1. Integral definidaNotación Sigma

La notación Sigma (Σ), se utiliza para abreviar una sumatoria, es decir una suma de varios (o incluso un número infinito) de términos. Tiene muchas aplicaciones, una de las más importantes es la que se refiere a sus usos para aproximar el área bajo la curva de una función. Hay además toda una teoría desarrollada en torno a esta cuando se usa como un método para resolver ecuaciones diferenciales. A continuación se da ejemplo del tema:

∑K=1

¿¿

5K2=12+22+32+42+52=1+4+9+16+25=55

Propiedades

1.

2.

3.

4.

5.

6.

2. Suma superior e inferior

Área bajo curva Sí f es continua y no negativa en un intervalo cerrado [a, b], área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x=a y x=b viene dada por:

Área ¿∫a

b

f ( x )dx

Observemos la siguiente figura 1:

En ella se ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de una integral definida aplicando la definición anterior.

3. Integral definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área

limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales

x = a y x = b.

La integral definida se representa por ∫a

b

f ( x )dx

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se

integra.

Propiedades de la integral definida

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites

de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se

descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y

[c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de

integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la

constante por la integral de la función.

4. Teorema del valor medio para integrales

Es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló Lagrange.

El teorema del valor medio de Lagrange de hecho es una generalización del teorema de Rolle que dice que si una función es definida y continua [ a , b ], diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y toma valores iguales en los extremos del intervalo --en otras palabras, f ( a ) = f ( b )-- entonces existe al menos algún punto c en el intervalo ( a , b ) tal que la tangente a la curva en c es horizontal, es decir f '( c)=0.

Demostración

El conocimiento del significado de la derivada de una función en un punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva es:

Donde los pares de puntos y son una pareja cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez conocida una pareja de puntos de una curva continua y derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a,b) tal que la pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Definimos una función:

Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del Teorema de Rolle ya que:

Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a)=g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g '(c) = 0, y por tanto:

y así

5. Teorema fundamental del cálculo

Consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Supóngase que se tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión.

Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre xy x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).

Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h.

Por lo tanto, se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene

Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al ya no estar h presente.

Se muestra entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la función de área A(x) es la antiderivada de la función original.

Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.

-Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo , definimos F sobre

Por Si f es continua en [a,b] ,

entonces F es derivable en y .

Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

DemostraciónLema

Sea [[ ]] integrable sobre y

Entonces

Demostración

Por definición se tiene que .

Sea h>0. Entonces .

Se define y como:

,

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Por lo tanto,

Sea . Sean

,

.

Aplicando el 'lema' se observa que

.

Como

,

entonces,

.

Puesto que , se tiene que

.

Y como es continua en c se tiene que

,

y esto lleva a que

.

-Segundo teorema fundamental del cálculo

Es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

Demostración

Sea

.

Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:

.

Por lo tanto,

tal que .

Observamos que

y de eso se sigue que ; por lo tanto,

.

Y en particular si tenemos que:

6. Sustitución y cambio de variable

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la

derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una

nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical: