JednakostiJednakosti

- neka svojstva jednakosti -- neka svojstva jednakosti -

Koji od znakova <, > ili = trebamo staviti umjesto upitnika:

a) b) c)

težinažutevreće

težinaplavevreće

težinažutevreće

težinaplavevreće

težinažutevreće

težinaplavevreće

= > <? ? ?

Dakle,

vagu u ravnoteži predstavlja znak= .

Vaga

Koji od znakova <, > ili = trebamo staviti umjesto upitnika:

a)

težinažutevreće

težinaplavevreće

=

Dakle,

vagu u ravnoteži predstavlja znak= .

I obratno:

Ako imamo jednakost, možemo je zamišljati kaovagu u ravnoteži .

Npr.

7 + 8

3 · 57 + 8

3 · 5?=

Vaga

Što sve možemo učiniti, a da vaga i dalje ostane u ravnoteži?

Odgovore potražimo u sljedećim primjerima...

7 + 8 = 3 · 5

3 · 57 + 8

težina žute = težina plave

težina 3 kestena = težina 5 jagoda

Što sve možemo učiniti s jednakošću, a da ona i dalje ostane jednakost?

To jest...

Zanima nas...

Na vagi su:

- s jedne strane jabuka i banana

- s druge strane kruška i breskva

Je li vaga u ravnoteži?

Je.

Što iz toga možemo zaključiti?

jabuka + banana = kruška + breskva

Ako s obje strane dodamo jednake marelice, hoće li vaga

i dalje ostati u ravnoteži?

+ marelica + marelica

jabuka + banana + marelica = kruška + breskva + marelica

Hoće.

Primjer 1.:

Dakle:

Ako imamo vagu u ravnotežii ako i lijevoj i desnoj strani dodamo isto,

vaga će i dalje biti u ravnoteži.

Matematički rečeno:

Ako imamo jednakosti ako i lijevoj i desnoj strani dodamo isto,

i dalje ćemo imati jednakost.

Npr.:

U matematici:Kosa crta označava da se ono što piše iza njeodnosi na obje strane jednadžbe.

Dakle, i lijevoj i desnoj strani dodat ćemo marelicu.

jabuka + banana = kruška + breskva / + marelica

jabuka + banana + marelica=kruška + breskva + marelica

Dakle:

Ako imamo vagu u ravnotežii ako i lijevoj i desnoj strani dodamo isto,

vaga će i dalje biti u ravnoteži.

Matematički rečeno:

Ako imamo jednakosti ako i lijevoj i desnoj strani dodamo isto,

i dalje ćemo imati jednakost.

Npr.:10 - 2 24 : 3?= / + 6

I lijevoj i desnoj strani jednakosti dodat ćemo 6.

10 - 2 + 6 24 : 3 + 6=

Pokušajmo isto i s brojevima...

Provjera jednakosti: 14 = 14 Što znači kosa crta?

A ako od obje straneoduzmemo isto?

Primjer 2.:

Ako je ova vaga u ravnoteži:

i ako od obje strane oduzmemo (maknemo) po 3 jednake jagode,

ona će i dalje ostati __________u ravnoteži .

Zapišimo to i matematički:

U početku smo imali...

Primjer 2.:

Ako je ova vaga u ravnoteži:

kruška + 3 jagode /kruška = limun +

=limun + 4 jagode - 3 jagode

jagoda

Zapišimo to i matematički:

Što smo ono napravilis obje strane?...

Što nam nakon toga ostaje na kojoj strani?

Dakle:

Ako imamo vagu u ravnoteži

i ako i od lijeve i od desne strane oduzmemo isto,

vaga će i dalje ostati u ravnoteži.

Matematički rečeno:

Ako imamo jednakost

i ako i od lijeve i od desne strane oduzmemo isto,

i dalje ćemo imati jednakost.

A množenje i dijeljenje?

Primjer 3.:

žuta vreća = plava vreća /∙ 3

3 žute vreće 3 plave vreće?=

Kad spustimo te vreće,hoće li vaga i daljeostati u ravnoteži?

Zašto?

Hoće, ostat će u ravnotežizato što na gornjoj vagi vidimo

da je žuta vreća jednako teška kao i plava, a onda su i 3 žute vreće

jednako teške kao i 3 plave(sve su međusobno jednako teške).

Dakle:

Ako imamo jednakost

i ako i lijevu i desnu stranu pomnožimo istim brojem,i dalje ćemo imati jednakost.

Ako imamo jednakost

i ako i lijevu i desnu stranu podijelimo istim brojem,

i dalje ćemo imati jednakost.

Što misliš, vrijedi li isto i za dijeljenje?

Možeš li to pojasniti pomoću gornjeg primjera?

Kratko možemo reći:

Ako imamo jednakost

i ako i s lijevom i s desnom stranom napravimo isto,

i dalje ćemo imati jednakost.

Uočimo još neka korisnasvojstva jednakosti...

Primjer 4.:

6 - 4 + 5 10 - 3=? Uočimo jedan od brojevana lijevoj strani jednakosti!

Oduzmimo od obje stranebroj 5 !

/ - 5

6 - 4 + 5 - 5 10 - 3 - 5=

Kakvi su brojevi +5 i -5 ?Što se s njima dogodi kod zbrajanja?Prepišimo što nam nakon toga ostaje na kojoj strani...

6 - 4 10 - 3 - 5=

Npr. broj 5 .

Što nam nakon togaostaje na kojoj strani?

Sad uočimo prvi i zadnji red!

Primjer 4.:

6 - 4 + 5 10 - 3=

6 - 4 10 - 3 - 5=

Uočimo po čemu se razlikuju ta dva reda!Sad uočimo prvi i zadnji red!Dakle:

Iz prvog retka smo dobili drugi redak tako da smo sve prepisali, osim broja 5.

Njega smo preselili s lijeve na desnu stranu.

Pritom mu se __________________promijenio predznak !

Provjerimo na još kojem primjeru hoće li se broju kojeg selimo s jedne strane na drugu

promijeniti predznak...

Primjer 5.:

6 - 4 + 5 10 - 3=? Uočimo sad neki drugi brojna lijevoj strani jednakosti!

Dodajmo objema stranamabroj 4 !

/ + 4

6 - 4 + 5 + 4 10 - 3 + 4=

Kakvi su brojevi -4 i +4 ?Što se s njima dogodi kod zbrajanja?Prepišimo što nam nakon toga ostaje na kojoj strani...

6 + 5 10 - 3 + 4=

Npr. broj -4 .

Što nam nakon togaostaje na kojoj strani?

Sad uočimo prvi i zadnji red!

Primjer 5.:

6 - 4 + 5 10 - 3=

6 + 5 10 - 3 + 4=

Uočimo po čemu se razlikuju ta dva reda!Sad uočimo prvi i zadnji red!Dakle:

Iz prvog retka smo dobili drugi redak tako da smo sve prepisali, osim broja -4.

Njega smo preselili s lijeve na desnu stranu.

Pritom mu se __________________promijenio predznak !

Provjerimo sad događa li se istoako broj selimo s desne strane na lijevu...

Primjer 6.:

6 - 4 + 5 10 - 3=? Uočimo sad neki drugi brojna desnoj strani jednakosti!

Dodajmo objema stranamabroj 3 !

/ + 3

6 - 4 + 5 + 3 10 - 3 + 3=

Kakvi su brojevi -3 i +3 ?Što se s njima dogodi kod zbrajanja?

Prepišimo što nam nakon toga ostaje na kojoj strani...

6 - 4 + 5 + 3 10=

Npr. broj -3 .

Što nam nakon togaostaje na kojoj strani?

Sad uočimo prvi i zadnji red!

Primjer 6.:

6 - 4 + 5 10 - 3=

6 - 4 + 5 + 3 10=

Uočimo po čemu se razlikuju ta dva reda!Dakle:

Iz prvog retka smo dobili drugi redak tako da smo sve prepisali, osim broja -3.

Njega smo preselili s desne na lijevu stranu.

Pritom mu se __________________promijenio predznak !

Dakle:

Bilo da neki pribrojnik selimo s lijeve na desnu

ili s desne na lijevu stranu,njemu se uvijek ________________promijeni predznak !!!

Sad uočimo prvi i zadnji red!

Kraće:

Ako neki pribrojnik selimo s jedne strane na drugu

njemu se promijeni predznak!

Autorica prezentacije:

Antonija Horvatek

siječanj 2007.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. zaobjavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima,udžbenicima, na CD-ima..., za korištenje na predavanjima,radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare...

Antonija Horvatek

Matematika na dlanuhttp://www.antonija-horvatek.from.hr/