Jorge Edgar Páez Ortegón

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL

Departamento de Matemáticas

X H

Punto de partida

La Hoja La Paleta

456

2

8

3

1 0

7

9El Orden

0 1 2 3 4 5 6 7 8

n-pintura Instrucciones

2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 1 12 2 3 3 3 3 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 12 4 3 3 3 3 3 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 2 23 4 4 4 4 4 4 2 4 5 5 5 4 1 0 0 0 0 0 3 3 3 33 4 4 4 4 4 3 4 5 5 5 5 5 4 0 0 0 0 0 3 3 3 33 4 4 4 4 4 2 5 5 5 5 5 5 5 3 0 0 0 0 1 3 3 34 4 4 5 5 3 2 5 5 5 5 5 5 5 5 2 0 0 0 0 2 2 23 4 5 4 4 2 0 5 5 5 5 5 5 5 5 2 0 0 0 0 2 2 23 4 5 4 4 2 0 3 3 5 5 5 5 2 2 2 0 0 0 0 0 0 02 3 3 3 4 2 0 5 5 5 6 6 6 6 5 2 0 0 0 0 0 0 10 0 2 2 2 0 0 5 5 6 6 6 6 6 5 3 0 0 0 0 1 1 11 1 1 1 1 0 0 5 6 6 6 6 6 6 5 2 0 0 0 0 1 1 11 1 1 1 1 0 0 4 6 6 4 5 6 5 4 2 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1 1 0 0 4 5 5 5 5 6 6 4 2 0 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 0 0 0 5 6 5 6 6 5 3 2 0 0 0 0 0 0 11 1 1 2 2 0 0 0 2 6 6 6 5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 11 1 3 4 3 0 0 0 0 6 4 4 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 11 3 4 4 3 0 0 0 0 2 4 4 3 2 2 3 0 0 0 0 0 0 11 3 4 4 3 0 0 0 0 0 5 6 6 5 5 5 5 0 0 0 0 0 12 2 2 2 2 0 0 0 0 0 5 6 6 6 5 5 4 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 0 0 0 4 3 7 7 7 7 6 6 5 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 0 0 4 6 6 7 7 7 7 7 6 5 2 0 0 0 0 01 1 1 1 1 0 2 6 7 7 7 7 7 7 7 6 5 2 1 0 0 0 01 1 1 1 1 2 5 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 2 1 0 0 0 01 1 1 1 1 4 6 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 2 2 2 2 2 11 0 0 0 0 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 3 3 4 4 3 10 0 0 0 1 4 6 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 4 3 2 1 1 10 0 0 0 0 2 3 3 4 6 6 7 7 7 6 5 4 2 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 2 2 3 3 4 4 4 4 4 2 2 2 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0

3-pinturas

V F

A B

Topología

k-pintura n-pintura ( Si k n )

S M N

F V

3-pinturas

Noestamosni en pro,ni encontra,

Sinotodo locontrario !

M P T

N L Q

RELACIÓN DE CONTENCIA

OPERACIONES ENTRE n-pinturas

A B

“el más oscuro” AB “el más claro” AB

OPERACIONES ENTRE n-pinturas

A B

AB

“si en A es más oscura o igual que en B la más clara de todas las posibles (H), el color en B si no es así”

BA

OPERACIONES ENTRE n-pinturas

AB BA

AB

OPERACIONES ENTRE n-pinturas

A B

AF = A BF = B

B B

BB=V BBV

OPERACIONES ENTRE n-pinturas

OPERACIONES ENTRE n-pinturas

A A

AA=F AAV

n-pintura Instrucciones n-predicados

2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 1 12 2 3 3 3 3 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 12 4 3 3 3 3 3 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 2 23 4 4 4 4 4 4 2 4 5 5 5 4 1 0 0 0 0 0 3 3 3 33 4 4 4 4 4 3 4 5 5 5 5 5 4 0 0 0 0 0 3 3 3 33 4 4 4 4 4 2 5 5 5 5 5 5 5 3 0 0 0 0 1 3 3 34 4 4 5 5 3 2 5 5 5 5 5 5 5 5 2 0 0 0 0 2 2 23 4 5 4 4 2 0 5 5 5 5 5 5 5 5 2 0 0 0 0 2 2 23 4 5 4 4 2 0 3 3 5 5 5 5 2 2 2 0 0 0 0 0 0 02 3 3 3 4 2 0 5 5 5 6 6 6 6 5 2 0 0 0 0 0 0 10 0 2 2 2 0 0 5 5 6 6 6 6 6 5 3 0 0 0 0 1 1 11 1 1 1 1 0 0 5 6 6 6 6 6 6 5 2 0 0 0 0 1 1 11 1 1 1 1 0 0 4 6 6 4 5 6 5 4 2 0 0 0 0 0 1 11 1 1 1 1 0 0 4 5 5 5 5 6 6 4 2 0 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 0 0 0 5 6 5 6 6 5 3 2 0 0 0 0 0 0 11 1 1 2 2 0 0 0 2 6 6 6 5 3 2 0 0 0 0 0 0 0 11 1 3 4 3 0 0 0 0 6 4 4 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 11 3 4 4 3 0 0 0 0 2 4 4 3 2 2 3 0 0 0 0 0 0 11 3 4 4 3 0 0 0 0 0 5 6 6 5 5 5 5 0 0 0 0 0 12 2 2 2 2 0 0 0 0 0 5 6 6 6 5 5 4 0 0 0 0 0 11 1 1 1 1 0 0 0 4 3 7 7 7 7 6 6 5 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 0 0 4 6 6 7 7 7 7 7 6 5 2 0 0 0 0 01 1 1 1 1 0 2 6 7 7 7 7 7 7 7 6 5 2 1 0 0 0 01 1 1 1 1 2 5 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 2 1 0 0 0 01 1 1 1 1 4 6 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 2 2 2 2 2 11 0 0 0 0 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 3 3 4 4 3 10 0 0 0 1 4 6 7 7 7 7 7 7 7 7 6 5 4 3 2 1 1 10 0 0 0 0 2 3 3 4 6 6 7 7 7 6 5 4 2 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 2 2 3 3 4 4 4 4 4 2 2 2 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0

n-pinturas n-predicados

A p(x)

A B p(x) q(x)

AB p(x) q(x)

AB p(x) q(x)

A B p(x) q(x)

A p(x)

XH

OPERACIONES

• x ((p(x) ((p(x) q(x)) q(x))

A B (A B) A (A B) A = V

A B A B

A (A B) (A (A B)) B

• x ((p(x) q(x)) p(x))

RAZONAMIENTOS

A A A A V

x ( p(x) p(x) )

B B B B V

RAZONAMIENTOS

A A

B B

(A B) (A B)

A B (A B) (A B)

RAZONAMIENTOS

• x(( p(x) q(x)) (( p(x) q(x)))

Ley de Agregación: x(p(x) (p(x) q(x)))Principio de no-contradicción:  x(( p(x) p(x)))Ley de casos: x(((p(x) q(x)) ( r(x) q(x))) ((p(x) r(x)) q(x)))Ley del absurdo: x((p(x) q(x)) (p(x) q(x)) p(x))Se tiene solamente una de las implicaciones de la ley de doble negación: x( p(x) ( p(x)))

RAZONAMIENTOS VALIDOS

La otra implicación de la ley de doble negación: x (( p(x)) p(x))

Ley de la contrapositiva: x(q(x) (p(x)) (p(x) q(x)))

Ley de reducción al absurdo: x((p(x) q(x)) (r(x) r(x)) (p(x) (x)))

RAZONAMIENTOS NO VALIDOS

[ 1 ] Barnes, D. y Mack, J. An algebraic introduction to Mathematical Logic. Springer-Verlag. New York. 1975.[ 2 ] Caicedo, X. Elementos de Lógica y calculabilidad. Una empresa Docente. Universidad de los Andes. Santafé de Bogotá, 1990.[ 3 ] Copi, I. M. Lógica Simbólica. Ed Continental. México. 1979.[ 4 ] Goldblatt, R Topoi: A Categorial analysis of Logic. Elsevier Science publishers. New York. 1984.[ 5 ] Grätzer, G. Lattice theory: First concepts and distributive lattices. W.H. Freeman. U.S.A. 1971.[ 6 ] Kaufmann, A. Introducción a la teoría de subconjuntos borrosos. C.E.C.S.A. México. 1977.[ 7 ] Luque, C. Donado, A. y Páez, J. Caracterización de conjuntos por ternas. XIII Coloquio Distrital de Matemáticas y estadística. Universidad Nacional. Santafé de Bogotá, 1996.[ 8 ] Luque, C. Páez, J. Donado, A. H-conjuntos: Una generalización de la noción de conjunto. XIV Coloquio Distrital de Matemáticas y estadística. Universidad Pedagógica Nacional. Santafé de Bogotá, 1997.[ 9 ] Stoll, Robert. Set theory and logic. W. H. Freeman. U.S.A. 1963.

BIBLIOGRAFIA