Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Curso de Licenciatura Plena em Matemática

JOSÉ WILKYSON DA SILVA OLIVEIRA

LUCAS DOS SANTOS ARAUJO

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E AS DIVERSAS REPRESENTAÇÕES DE FRAÇÃO: UMA

ÊNFASE A REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÃO COMO MEDIDA DE COMPRIMENTO DE RETA.

Belém 2014

Centro de Ciências Sociais e Educação

Curso de Licenciatura Plena em Matemática Centro de Ciências Sociais e Educação - CCSE

Endereço: Rua Djalma Dutra, s/n. 66113-010 Belém – PA

www.uepa.br

JOSÉ WILKYSON DA SILVA OLIVEIRA

LUCAS DOS SANTOS ARAUJO

História da matemática e as diversas representações de fração: uma ênfase a representação de fração como medida de

comprimento de reta.

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciatura Plena em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador: Prof. Dr. Natanael Freitas Cabral.

Belém 2014

JOSÉ WILKYSON DA SILVA OLIVEIRA

LUCAS DOS SANTOS ARAUJO

História da matemática e as diversas representações de fração: uma ênfase a representação de fração como medida de

comprimento de reta.

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciatura Plena em Matemática, Universidade do Estado do Pará.

Data da aprovação: __/__/____ Banca Examinadora _____________________________________- Orientador Prof. Natanael Freitas Cabral Dr. Em Educação Matemática Universidade do Estado do Pará – UEPA _________________________________________ _________________________________________

Dedico este trabalho...

À minha família;

A meus pais, pela excelente educação que me

proporcionaram;

A minha esposa, pela compreensão; e

E ao meu filho, minha principal fonte de dedicação.

AGRADECIMENTOS

É muito gratificante saber que mais um obstáculo de nossa vida foi

ultrapassado. No entanto, é valido reconhecermos o apoio positivo e estimulador

que fizeram/fazem parte desta minha grande jornada. Em poucas palavras, tentarei

expressar o quão foi significativa à contribuição de todos que, de alguma maneira,

direta ou indiretamente contribuíram para a realização desse trabalho.

Em primeiro lugar, agradeço a DEUS pela vida, por estar ao meu lado em

todos os momentos, dando-me força e coragem para enfrentar os diversos desafios

aos quais fui posto à prova.

E em especial, agradeço a minha querida mãe, pelo amor, carinho,

dedicação e por desde sempre incentivar meus estudos, até mesmo nos momentos

mais difíceis ela sempre esteve ao meu lado, apoiando-me, dando-me força e

dizendo-me: “meu filho você vai conseguir”. Mãe, obrigado por tudo. Amo-te muito!

Ao meu saudoso pai, pela compreensão, ensinamentos e cuja presença

sinto todos os dias guiando meus passos, aconselhando-me e me ajudando na

tarefa de viver a vida veementemente e de forma correta.

À minha esposa e filho. Como também, sogros, tios, irmãos, avós,

cunhadas e sobrinhos, pela compreensão durante minha ausência da vida familiar.

Ao Prof. Dr. Natanael Freitas Cabral, nosso orientador, pelos

conhecimentos transmitidos; pela incomensurável compreensão e dedicação na

orientação deste trabalho.

Aos amigos Renan, Fabrício, Miguel, e demais amigos de classe pelos

momentos compartilhados. Em especial ao meu amigo Lucas, pelas sugestões e

trocas de ideias, acima de tudo, pela amizade que se fortalece firmemente.

Agradeço a todos os professores e servidores desta instituição de ensino

superior, pela dedicação e apoio a nós futuros professores.

E por fim, agradeço a UEPA, pelo ensino gratuito e de qualidade.

A todos minha eterna gratidão.

Muito obrigado!

“A única revolução possível é dentro de nós.” Mahatma Gandhi

Dedico este trabalho...

À minha mãe e minha irmã Bruna, por sempre

acreditarem em mim, tornando tudo isso possível,

estando sempre do meu lado.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar, agradeço à minha mãe, pelo duplo papel que sempre

desempenhou com tanta dedicação e esforço, estando sempre do meu lado, com o

seu apoio, seu carinho e sua compreensão em todos os momentos da sua vida. Ela

foi a grande responsável pela minha educação e sem ela nada disso seria possível.

Mãe, você é e sempre será a inspiração da minha vida.

Agradeço à minha querida irmã Bruna, que assim como minha mãe,

sempre acreditou em todos os momentos, sendo responsável por grande parte da

minha motivação e inspiração para os estudos. Compartilhar conhecimento com ao

lado dela sempre foi e será o grande prazer de ser seu irmão, minha eterna parceira

de conhecimento.

Ao meu amigo José Wilkyson, pela sua paciência, esforço, compreensão,

dedicação e apoio que você compartilhou comigo durante todos esses anos de

graduação e principalmente durante o desenvolvimento deste trabalho. Sua

determinação foi essencial para a conclusão deste trabalho.

Ao meu pai, minha madrasta e meu irmão, que me acolheram na etapa

final e crucial desde trabalho. Sem eles nada disso seria possível.

Aos todos os meus amigos da UEPA, em especial ao Alexandre, Cleber,

Thiago e Sebastião que sempre estiveram presente na minha caminhada nesta

graduação, me encorajando e apoiando sempre. Também à Pallas e Márcio, que

apesar de entrarem depois na minha vida, desenvolveram um papel muito

importante nela, contribuindo muito para minha formação.

À todos os meus amigos, pelos bons momentos compartilhados e

compreensão nos momentos de ausência, em especial à Thayla e Cleiton, meus

grandes amigos.

Aos meus familiares: minha avó Luzia, meus irmãos, meu sobrinho, meus

primos, minhas tias, meu padrasto, meus tios, meu cachorro Bibelô, meu avô e

demais entes queridos. Em especial à minha tia Isabel e meu primo Joan Pablo, que

nunca pouparam esforços para me apoiar quando precisei.

Ao Prof. Dr. Natanael Freitas Cabral, meu orientador, pela orientação

deste trabalho e pela presença na minha graduação desde o início até o fim, sempre

contribuindo com seu conhecimento de forma maestral.

A Todos, o meu MUITO OBRIGADO!!!!!!

“A educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo.”

Nelson Mandela

RESUMO

ARAUJO, Lucas dos Santos; OLIVEIRA, José Wilkyson da Silva. História da matemática e as diversas representações de fração: uma ênfase a representação de fração como medida de comprimento de reta. Universidade do

Estado do Pará, Belém, 2014.

O presente estudo tem como objetivo elaborar uma proposta de atividade para uma melhor compreensão acerca do tema fração, delineando um panorama histórico e resgatando as questões pertinentes às diversas representações de fração, dando ênfase a representação de fração como medida de comprimento de reta. Baseamo-nos, para tanto, nos trabalhos do educador matemático americano Hung-Hsi Wu, como também, na tese da Drª Sant’Anna (2008). Além de outros referenciais, tais como: Silva; Bertoni; Santos; Canova; Vasconcelos; Araujo; Barnabé; Cavalieri; Bonotto, dentre outros e das orientações contidas nos Parâmetros curriculares Nacionais para o ensino fundamental. Desta forma, buscamos simplificar o estudo das frações, de maneira a não repetir processos mecânicos de assimilação conforme é confirmado por Vasconcelos, Bertoni e Bezerra et al (ao propalarem do significado de fração como parte-todo). Verificamos também, duas coleções de livros didáticos, com o intuito de averiguarmos as distintas representações e situações do número fracionário, como também, o contexto histórico-fracionário. Confirmamos com isso, que a representação de fração como Parte-Todo e sua representação geométrica é o caso mais evidente, em ambas as coleções. Por conta disso, traçamos um eixo de estudo, baseado nos trabalhos de Wu e suas definições, a respeito da representação de fração como medida de comprimento de reta. Em seguida, fazemos uma proposta de ensino, baseado na tese da Drª Sant’Anna (2008), para que possamos entender que o significado de fração como Parte-Todo é apenas uma extensão da reta numérica.

Palavras-chaves: História da Matemática, Representações de Fração e

Representação de fração como medida de comprimento de reta.

ABSTRACT

ARAUJO, Lucas dos Santos; OLIVEIRA, José Wilkyson da Silva. História da matemática e as diversas representações de fração: uma ênfase a representação de fração como medida de comprimento de reta. Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.

This study aims to develop a proposed activity to a better understanding of

the theme fraction, outlining a historical overview and rescuing the relevant questions

to the various representations of fraction, emphasizing the representation of fraction

as a measure of length straight. We rely, therefore, on the work of the American

mathematician educator Hung - Hsi Wu, but also, in the thesis of Drª. Sant'Anna

(2008). In addition to other references, such as: Silva; Bertoni; Santos; Canova;

Vasconcelos Araujo; Barnabas; Cavalieri; Bonotto, among others and the guidance

contained in the National Curricular Parameters for elementary education . Thus, we

seek to simplify the study of fractions, so as not to repeat mechanical processes of

assimilation as is confirmed by Vasconcelos, Bertoni and Bezerra et al (propalarem

the meaning of fraction as part - whole). Also checked two collections of textbooks, in

order to averiguarmos distinct representations and fractional number of situations, as

well as the historical and fractional context. To confirm this, that the representation of

fraction as part - whole and its geometric representation is the most obvious case in

both collections. Because of this, we draw an axis of study, based on the work of Wu

and their definitions concerning the representation of fraction as a measure of length

straight. Then do a teaching based on the thesis of Drª. Sant'Anna (2008), so we can

understand the meaning of fraction as part - whole is just an extension of the number

line.

Keywords: History of Mathematics, Fraction Representations and

Representation fraction as a measure of length straight.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Representação egípsia de cúbito e palmo 19 Figura 2 - Agrimensores ou Esticadores de corda 19 Figura 3 – Hieróglifo egípcio (sistema de numeração) 20 Figura 4 – Exemplo de cálculo egípcio 20 Figura 5 – Uma parte do papiro de Rhind. 21 Figura 6 – Representação Egípcia de Fração 22 Figura 7 – Deus Hórus. 22 Figura 8 – Olho de Hórus. 22 Figura 9 – Bloco de Argila Babilônico. 24 Figura 10 – Sistema de Numeração Babilônico. 24 Figura 11 – Contagem com a mão. 25 Figura 12 – Monocórdio. 27 Figura 13 – Escala Harmônica Maior (dó, ré, mi, fá, sol, lá bemol, si, dó). 28 Figura 14 – Sistema de Numeração Grego. 29 Figura 15 – 1 Bolo dividido em 10 partes iguais (Fração como relação Parte-Todo) 38 Figura 16 – Representação Geométrica e Simbólica da Concepção Parte-Todo 38 Figura 17 – Representação de Máquina de Transformação, Concepção de Operador. 40 Figura 18 – Representação Fracionária na Reta Numérica: Fração Como Número. 41 Figura 19 – Fração como significado parte-todo. 50 Figura 20 – Exercícios Referentes à Fração: Representação Geométrica e Parte-Todo. 51 Figura 21 – Fração Como Operador Multiplicativo. 52 Figura 22 – Definição de Fração Equivalente (6º ano) 52 Figura 23 – Conceito de Número Racional (7º ano) 52 Figura 24 – Representação Decimal do Número Fracionário (Porcentagens e Gráficos). 53 Figura 25 – Fração Como Ponto na Reta. 54 Figura 26 – Frações Algébricas. 54 Figura 27 – Representação Geométrica do Significado de Fração Parte-Todo. 55 Figura 28 – Representação Fracionária Decimal e Porcentagem (Exemplo Cotidiano). 56 Figura 29 – Reta numérica. 59 Figura 30 – Reta numérica dividida em três partes iguais. 60

Figura 31 – Representação de na reta numérica. 61

Figura 32 - Primeiras frações com denominadores iguais a três na reta numérica. 62 Figura 33 – Adição de Frações na Reta. 64 Figura 34 – Adição de Fração (concatenação de segmentos). 64 Figura 35 – Multiplicação de Fração. 65 Figura 36 – Adição de frações na reta numérica. 68 Figura 37 – Concatenação dos dois segmentos. 69 Figura 38 – Comparação de frações. 70

Figura 39 – Representação Parte-Todo de (Parte Pintada). 72

Figura 40 – Representação Fracionária Parte-Todo: Frações Equivalentes. 73 Figura 41 – Representação Parte-todo Na Reta. 73 Figura 42 – Representação na Reta de Frações Equivalentes. 74

Figura 43 – Representação na reta da fração5

5. 74

Figura 44 - representação do número 8

5 em dois suportes diferentes. 75

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 14

2. BREVE CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA 17

2.1 NO EGITO 18

2.2 NA MESOPOTÂMIA 23

2.3 NA GRÉCIA 27

2.4 EM ROMA 29

3. SIGNIFICADO DA FRAÇÃO 30

3.1. FRAÇÃO 31

3.2. RAZÃO, PROPORÇÃO E NÚMERO DECIMAL: COMO DIFERENCIÁ-LOS? 32

3.2.1. RAZÃO 33

3.2.2 PROPORÇÃO 34

3.2.3 NÚMERO DECIMAL 35

3.3 DIFERENTES CONTEXTOS DO NÚMERO FRACIONÁRIO 37

3.3.1 A REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÃO COMO PARTE-TODO 37

3.3.2 A REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÃO COMO QUOCIENTE 39

3.3.3 A REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÃO COMO OPERADOR MULTIPLICATIVO 40

3.3.4 A REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÃO COMO NÚMERO 41

3.3.5 A REPRESENTAÇÃO DE FRAÇÃO COMO MEDIDA DE COMPRIMENTO 42

4. PCNS, O ENSINO DE FRAÇÃO NA ESCOLA E SUAS DIFICULDADES 43

5. AS CONCEPÇÕES FRACIONÁRIAS NO LIVRO DIDÁTICO 50

5.1 COLEÇÃO 1 – A CONQUISTA DA MATEMÁTICA – 2009 50

5.2 COLEÇÃO 2 – VONTADE DE SABER – 2009 54

6. FRAÇÃO COMO MEDIDA DE COMPRIMENTO DE RETA 57

6.1 DEFINIÇÃO DE WU SOBRE FRAÇÕES COMO MEDIDA DE COMPRIMENTO 59

6.2 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES SEGUNDO WU. 63

6.2.1 FRAÇÃO COMO DIVISÃO 67

6.2.2 ADIÇÃO DE FRAÇÕES 68

6.2.3 COMPARANDO FRAÇÕES: 70

6.2.3.1 ALGORITMO DE MULTIPLICAÇÃO CRUZADA 70

7. PROPOSTA DE ATIVIDADE 71

7.1 FRAÇÕES EQUIVALENTES 71

7.2 EXEMPLO DE ATIVIDADE 75

8. CONSIDERAÇÕES FINAIS 78

REFERÊNCIAS 80

14

1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho é resultado de pesquisas bibliográficas realizada com

o objetivo de relacionar o ensino das frações no ensino fundamental com a sua

história. Com o intuito de analisarmos os diferentes significados do número

fracionário, este trabalho foi realizado através de revisões de literaturas, a fim de

propormos um referencial teórico-analítico para o ensino de fração como medida de

comprimento de reta. Baseamo-nos, para tanto, nos trabalhos do matemático

americano Hung-Hsi Wu (2009, 2010 e 2012) e na tese da Drª. Sant’ Anna (2008).

Faz parte deste estudo também, a tese da Drª. Silva (2005), as colocações da Drª.

Bertoni (2008 e 2009), as dissertações de mestrado de Santos (2005), Canova

(2006), Vasconcelos (2007), Araujo (2010), e Barnabé (2011). Como também, as

monografias de Cavalieri (2005) e Bonotto (2011), dentre outros.

Com o objetivo de discutir sobre a constituição histórica do conceito do

número fracionário, fizemos uma breve pesquisa histórica sobre a necessidade

humana que deu origem ao surgimento do conceito de fração, principalmente em

obras sobre a história da matemática, tais como: História da Matemática, escrito por

Carl B. Boyer, Introdução à História da Matemática de Howard Eves, Os números

na história da civilização de Luiz Márcio Imenes e História da Matemática de

Hermes Antonio Pedroso. Assim como, analisamos a presença deste conteúdo nos

Parâmetros Curriculares Nacionais, seguida de algumas considerações com o

enfoque no ensino das frações na educação escolar e suas dificuldades.

Com isso, após diversas experiências em ambientes de aprendizagem

trabalhando fração, é notório observarmos a aversão dos alunos, frente a qualquer

situação que envolva as operacionalizações com o número fracionário. Talvez, por

pendências referentes ao aprendizado das mesmas. Neste sentido, surgiu o desejo

de mostrar como trazer esse conteúdo para uma sala de aula de forma a contribuir

para um aprendizado significativo, o qual desenvolva competências e habilidades

necessárias relacionadas à prática desses conteúdos.

As frações constituem um dos mais importantes e mais desafiadores

tópicos do currículo de Matemática. Visto que, é o “ponta pé” inicial para o ensino de

funções e álgebra. Além disso, seu ensino vem envolvendo, há muitas décadas,

educadores e pesquisadores do mundo todo no sentido de obter resultados

15

concretos junto aos educandos. No Brasil, principalmente nas duas últimas décadas,

têm surgido novas propostas curriculares e metodológicas bastante promissoras

que, juntamente com algumas orientações contidas nos novos Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCNs) para o Ensino Fundamental, formam um excelente

arsenal pedagógico contra as dificuldades de aprendizagem de frações

apresentadas pelos alunos. Muitas destas metodologias estão disponíveis em uma

parte dos livros didáticos atuais e incorporam avanços significativos das mais

recentes pesquisas na área de ensino de Matemática. No entanto, apesar dos

avanços nas pesquisas, nas orientações fornecidas pelos nos PCNs e nos livros

didáticos, os professores que atuam no Ensino Fundamental continuam tendo

muitas dificuldades para ensinar os significados básicos sobre frações. Quem sabe

essas dificuldades ocorrem porque eles próprios não adquiriram tais conhecimentos

de forma apropriada, nem quando foram alunos da Educação Básica, nem durante

seus cursos de formação profissional, ou talvez, porque tais avanços não estão

chegando até eles.

Com isso, a dúvida que fica é:

Se nos cursos de Licenciatura em Matemática acaba-se por menosprezar

os conceitos considerados “básicos” dentre eles os diversos significados e

aplicações do conceito de fração ou se os mesmos são estudados e discutidos sem

alguma profundidade.

Desta forma, o objetivo geral deste trabalho é elaborar uma proposta de

atividade para uma melhor compreensão acerca do tema fração é evidenciar a

necessidade de rever a metodologia aplicada, referente às diversas representações

do número fracionário. Como também, conhecer a história das frações, para

tentarmos compreender a sua importância nas séries iniciais.

O primeiro capítulo é a Introdução, em que apresentamos o objetivo e

fazemos uma revisão panorâmica do tema.

O segundo capítulo intitulado “Breve contextualização histórica”, tem

como objetivo destacar algumas civilizações que foram responsáveis pela gênese do

saber matemático, tais como: os egípcios, Mesopotâmios, Gregos e Romanos. Para

tanto, daremos destaque ao conhecimento fracionário, haja vista, ser uma de nossa

frente de pesquisa.

No terceiro capítulo, intitulado “Significado da Fração”, apresentamos

diferentes posições frente ao ensino de frações, resgatando em algumas situações a

16

história da matemática, o que nos permitira o entendimento deste assunto como

mais clareza. Neste sentido, descrevemos uma fração e diferenciamos os conceitos

de razão, proporção e número decimal. Ainda neste capítulo mostramos os

diferentes contextos do número fracionário. Isto é, suas diferentes representações,

abordados passo a passo e na seguinte sequência respectivamente: representação

de fração como Parte-Todo; representação de fração como quociente;

representação de fração como operador multiplicativo; representação de fração

como número e representação de fração como medida de comprimento. Este último,

sendo abordado com mais ênfase no capítulo seis deste trabalho.

No quarto capítulo, é possível termos uma visão, à luz dos

posicionamentos dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e a abordagem

fracionária nas escolas e suas dificuldades, na busca de uma melhor compreensão

sobre a importância da história da matemática, como também, o ensino de frações.

Dando ênfase às recomendações contidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN), para sua introdução a partir do segundo ciclo do Ensino Fundamental.

No quinto capítulo, fazemos um breve levantamento didático, sobre a

abordagem de frações nos livros didáticos. Para tanto, analisamos as coleções de

livros didáticos do ensino fundamental respectivamente: A conquista da Matemática;

e Vontade de Saber, para investigarmos de que maneira livros didáticos/coleção é

enfatizada a abordagem histórico-fracionária e qual o livro aborda os diferentes

significados do número fracionário.

No sexto capítulo, intitulado “Fração como medida de comprimento”,

analisaremos os trabalhos do educador matemático americano Hung-Hsi Wu, que

propõe o ensino de fração como medida de comprimento de reta (outra frente de

nossa abordagem fracionária). Como também, faremos links à tese da Drª. Sant’

Anna (2008), na qual ela se baseia fortemente nos trabalhos deste renomado

matemático. Neste capítulo, enfatizaremos os trabalhos de Wu e suas definições

frente ao significado de fração como medida de comprimento de reta.

No penúltimo capítulo, fazemos um retrospecto do conceito de fração

equivalente. Haja vista, ser segundo Wu, o principal conceito referente ao número

racional. Em seguida, apresentamos uma proposta de atividade, com base nos

trabalhos da Drª. Sant´Anna e outras fontes didáticas.

O último capítulo, intitulado “Considerações finais” fará comentários que

findam esse trabalho.

17

2. BREVE CONTEXTUALIZAÇÃO HISTÓRICA

Neste capítulo, destacaremos algumas civilizações que foram

responsáveis pela gênese do saber matemático. Daremos destaque ao

conhecimento fracionário, haja vista ser uma de nossa frente de pesquisa.

Uma reflexão sobre como a história da Matemática é importante para o

ensino de Matemática, é que a própria História nos dá uma pista de quais elementos

fizeram e fazem parte da construção do conhecimento matemático e, portanto,

devem fazer parte do ensino de Matemática. A história reforça os três pilares nos

quais entendemos que o ensino de Matemática deve estar apoiado. Conceituar,

manipular e aplicar, não necessariamente nesta ordem, estiveram presentes na

construção da Matemática, em diferentes proporções, nos diversos períodos

históricos. A existência desses três pilares no ensino de Matemática, ao mesmo

tempo em que traduz a essência do conhecimento matemático, “experimental-

abstrato”, amplia a visão do ser humano do século XXI quanto aos saberes que a

humanidade vem edificando há séculos e que têm fornecido algumas respostas para

a “constante e mutável” necessidade do homem em resolver problemas.

18

2.1 No Egito

Segundo a história da matemática, o rio Nilo é a fonte de vida do Egito há

milênios e foi nele que talvez, surgissem os primeiros sinais da Matemática que

conhecemos hoje. As pessoas abandonaram a vida nômade e começaram a se

estabelecerem lá por volta de 6.000 a.C. As condições eram perfeitas para a

agricultura.

Sendo a cheia do Nilo um dos eventos mais importantes à agricultura

egípcia, ela foi usada como marcação de início de cada ano. E era assim que os

egípcios registravam os acontecimentos periódicos do Egito. Registrar os padrões

das estações era essencial não apenas para a gerência da terra, como também à

religião. Os antigos egípcios que se estabeleceram as margens do rio Nilo,

acreditavam que eram os deuses os responsáveis pela cheia do rio a cada ano e em

troca da água, que os fornecia sustento, vida. Os egípcios ofereciam-lhes porções

da produção como agradecimento.

Quando os assentamentos tornaram-se maiores, foi necessário encontrar

maneiras de administrá-los. Calcular porções de terra, fazer previsões da colheita e

cobrar impostos. Em suma, as pessoas precisavam contar e medir. Uma das noções

de divisão e de proporção matemática, desenvolvida por esse povo esta resaltada

na história do Faraó Sésotris1.

Sesóstris tinha dividido as terras em retângulos iguais entre todos os egípcios, de modo que todos pagavam o mesmo tributo. Quem perdesse parte de sua terra em conseqüência da cheia devia comunicar ao rei, que mandava então um inspetor calcular a perda e fazer um desconto proporcional ao imposto. Foi assim que nasceu a geometria. (PEDROSO, 2009 p.32)

_____________ 1 O Faraó Sésotris repartiu o solo do Egíto as margens do rio Nilo a fim de arrecadar impostos sobre a terra. Se o rio levava qualquer parte do lote de um egípicio, o imposto era dividido proporcionalmente à perda.

19

Os egípcios utilizavam parte de seus corpos como sua principal referência

de contagem e foi assim que as unidades de medidas evoluíram. Um palmo

representava a largura de uma mão. Um cúbito2, a distância entre o cotovelo e a

ponta dos dedos. Para tanto, os egípcios precisavam de uma maneira para registrar

os resultados de seus cálculos3. Tais resultados eram descritos nos chamados

hieróglifos4.

Figura 1 - Representação egípcia de cúbito e palmo Fonte: Arquivo pessoal.

Figura 2 - Agrimensores ou Esticadores de corda

Fonte: Arquivo pessoal.

Segundo Eves (2004), os hieróglifos egípcios, cujo emprego remonta

acerca do ano 3400 a.C. eram usados principalmente para fazer inscrições em

pedras, fornecem um exemplo de sistema de agrupamento simples5. Embora os

hieróglifos às vezes fossem utilizados em outros materiais que não eram as pedras,

os egípcios cedo desenvolveram escrituras consideravelmente mais rápidas para

trabalhos em papiro6, madeira e cerâmica, a qual possuía um sistema de numeração

cuja base era 10.

_____________ 2

Sistema de medida utilizado pelos agrimensores ou esticadores de corda do faraó para o calculo de áreas. 3 A palavra cálculo originou-se da palavra latina calculus, que significa “pedrinha”. (IMENES, 1995).

4 Sinais sagrados regidos por uma escrita clara e simples.

5 Talvez o sistema de numeração mais antigo a se desenvolver. Nessa modalidade de sistema

escolhe-se um número b como base e adotam-se símbolos para 1, b, b2, b

3, etc. (EVES, 2004).

6 Delicado material feito de talas de plantas utilizados pelos escribas egípcios no registro de

descobertas matemáticas.

20

O sistema decimal de numeração egípcia era motivado pelos 10 (dez)

dedos das mãos. O sinal de 1 (um), era um traço vertical. 10 (dez), um osso de

calcanhar. 100 (cem), um rolo de corda e 1000 (mil), uma flor de lótus.

Figura 3 – Hieróglifo egípcio (sistema de numeração) Fonte: Arquivo pessoal.

Desta forma, qualquer número expressava-se pelo uso desses símbolos

aditivamente, repetindo-se cada um deles o número necessário de vezes. Por

exemplo:

Figura 4 – Exemplo de cálculo egípcio

É notório observarmos que o sistema numérico egípcio era

fundamentalmente simples, eles não tinham um conceito de uma notação posicional.

Então um risco só poderia representar uma unidade. Apesar de escrever um milhão

com apenas um desenho e não com os sete que usamos. Se quiséssemos escrever

um milhão menos um (1.000.000 – 1), o escriba7 egípcio teria que escrever: nove

traços verticais, nove ossos de calcanhar, nove rolos de cordas... e assim por diante

num total de 54 desenhos.

No entanto, apesar deste sistema numérico ser bastante trabalhoso os

egípcios era brilhantes solucionadores de problemas. Tal informação nos é

comprovada através dos poucos registros que sobreviveram: Os chamados papiros,

nos quais os escribas desenvolviam seus conhecimentos matemáticos. Mas, esse

delicado material foi se deteriorando com o tempo e muitos segredos pereceram

com ele.

_____________ 7 Eram os privilegiados, responsáveis pela escrita dos hieróglifos Egípcios.

21

O papiro de Rhind8 é o mais importante documento da gênese

matemática egípcia. Nele é possível sabermos que tipos de problemas os egípcios

tinham que enfrentar em seu cotidiano, demonstrado de forma explícita, por

exemplo, como as divisões eram feitas. Além do simbolismo algébrico empregado

pelos escribas.

Segundo Eves (2004), no papiro de Rhind encontram-se símbolos para

mais e menos. O primeiro deles representa um par de pernas caminhando da

esquerda para a direita, o sentido normal da escrita egípcia, e o outro representa um

par de pernas caminhando da direita para a esquerda, em sentido contrário a escrita

egípcia.

Figura 5 – Uma parte do papiro de Rhind. Fonte: Arquivo pessoal.

Muitos dos problemas deste papiro mencionam pães e cerveja, porque

era comum pagar os trabalhadores egípcios com comida e bebida. Um desses

problemas, por exemplo, se preocupa em dividir 9 (nove) pães igualmente entre 10

pessoas sem que houvesse briga. Desta forma é possível percebermos que o

conhecimento fracionário egípcio começa a ser explorado.

Ainda segundo Eves (2004), a organização do sistema numérico

fracionário dos egípcios era baseada no conceito unitário, de forma que a maioria

das frações apresentava o seu numerador constituído pelo numeral 1 (um) –

representado por um sinal de forma elíptica. Tais frações eram denominadas frações

unitárias ou egípcias.

_____________ 8 O Papiro de Rhind, foi registrado por um escriba chamado Ahmes por volta de 1700 a. C.

22

Assim: 1

3 correspondia a um símbolo,

1

4 correspondia a outro símbolo.

Figura 6 – Representação Egípcia de Fração Fonte: EVES (2004, p. 73).

Em particular, as frações do tipo n

1

2 (que seriam tipo

1 1 1 1 1, , , , ,...

2 4 8 16 32)

tinham símbolos especiais, surgindo da associação desses símbolos, do 1

2 a

1.

64

Uma das mais antigas dessas representações veio de um hieróglifo que tinha

significado místico que se chama o “olho de Hórus9”.

Figura 7 – Deus Hórus. Fonte: Arquivo pessoal.

Figura 8 – Olho de Hórus. Fonte: Arquivo pessoal.

Todavia, a fração 2

n era tida como exceção. Uma vez que não obedecia a

regral geral n

1

2. Nestes casos, os egípcios desenvolveram as chamadas tábuas de

representações fracionárias para representar frações do tipo 2

n, por exemplo,

2

7 era

expresso como 1 1

4 28, ou seja, conforme a natureza didática egípcia era mantida o

numerador constante e igual a um e os denominadores variáveis.

_____________

9 Hórus foi um antigo Deus do Egito representado por metade homem, metade falcão. De acordo com a lenda, o pai de hórus foi morto pelo seu outro filho, Seth. Hórus estava determinado a vingar o assassinato, durante uma batalha muito violenta Seth arrancou o olho de Hórus, o cortou em pedaços e espalhou pelo Egito. Mas os deuses estavam cuidando de Hórus e reuniram os pedaços e refizeram o olho.

23

Destacamos de Pedroso (2009) a ideia de que provavelmente os egípcios

desenvolveram uma regra para a representação dessas frações em frações

impróprias 2 1 1

1 ( 1)

2 2

n n nn

e que por causa disto, que boa parte dos papiros

desse povo apresentavam bastantes escritas relacionadas a fração.

No campo da Geometria, segundo PEDROSO (2009), são propostos

problemas dependentes do uso de fórmulas numéricas, não abstratas, que não são

deduzidas no texto. Tais problemas incluem o cálculo de área de campos limitados

por linhas retas ou por arcos de circunferência, considerando-se no primeiro caso

apenas triângulos, retângulos e trapézios. Também se estuda o volume do tronco de

pirâmide quadrática.

O clássico problema da “quadratura do círculo” é abordado, obtendo-se

para o número a aproximação de 256

3,1604...81

que, comparada com a

verdadeira, 3,1415..., representa um resultado excelente para a época. Uma vez

que, não tinham conhecimento dos números irracionais.

2.2 Na Mesopotâmia

Historicamente, Damasco era a principal rota de comércio entre o Egito e

a Mesopotâmia. Os babilônicos controlavam maior parte do que hoje é o Iraque, Irã

e Síria desde 1800 a. C. para expandir e controlar o seu comércio. Os babilônios

tonaram-se excelentes manipuladores e administradores dos números.

Os escribas registravam os acontecimentos práticos do dia-a-dia em

blocos de argila, que eram espécies de “exercícios de criança”. Ou seja, são

relíquias em comum que nos fornecem a ideia de como os babilônios lidavam com a

matemática cotidiana.

As soluções a esses problemas eram verdadeiras receitas matemáticas.

Isto é, o escriba simplesmente seguia e gravava os comandos para se chegar ao

resultado é o que chamamos hoje de algoritmo.

24

Figura 9 – Bloco de Argila Babilônico. Fonte: Arquivo pessoal.

Diferente dos Egípcios, o sistema de numeração babilônico era uma

mistura de base dez com base sessenta, no qual os números menores que 60 eram

representados pelo uso de um sistema de base 10 simples, por agrupamentos; e o

número 60 e os maiores eram designados pelo princípio da posição na base

sessenta.

Conforme destaca Boyer (2003), A numeração cuneiforme babilônica,

para os inteiros menores, seguia as mesmas linhas que a hieroglífica egípcia, com

repetições dos símbolos para unidades e dezenas. Se o escriba egípcio, esculpindo

na pedra escrevia cinquenta e nove como , o escriba babilônico podia

analogamente representar o mesmo número em uma tabela de argila por quatorze

marcas em cunha da seguinte forma .

Figura 10 – Sistema de Numeração Babilônico. Fonte: Arquivo pessoal.

25

Usando os dedos, os babilônios encontraram uma maneira mais intrigante

de contar partes do corpo. Eles contavam as falanges dos quatro dedos maiores de

uma das mãos para contar 12 x 5. Isto é, 60 (sessenta) números diferentes. Mas, o

número sessenta tinha outra propriedade importante.

Figura 11 – Contagem com a mão. Fonte: IMENES (1995, p. 17).

Parece mais provável, porém, que a base sessenta fosse adotada conscientemente e localizada no interesse da metrologia, pois uma grandeza de sessenta unidades pode ser facilmente subdividida em metades, terços, quartos, quintos, sextos, décimos, doze avos, quinze avos, vigésimos e trigésimos assim dez possíveis subdivisões. (BOYER, p. 17).

Neste sentido, segundo Eves (2004), a Matemática na Mesopotâmia

desenvolveu-se mais do que no Egito, o que pode ter ocorrido em consequência de

um desenvolvimento econômico mais avançado. Ainda hoje utilizamos este sistema

ao medir o tempo em horas, minutos e segundos e os ângulos em graus.

Um símbolo em uma sequencia fica, então, multiplicado por 60 cada vez

que avançamos uma casa à esquerda. Por exemplo, 1 seguido por outro 1

significava 61 e 5 seguido por 6 e por 3 (5,06,03) significava

25.60 6.60 3 18363 . Este sistema de posição não difere essencialmente do

nosso próprio sistema de escrita de números, em que o símbolo 343 representa

23.10 4.10 3 .

Destacamos de Silva (2005), que partindo de sistema posicional de base

60, em sua escrita cuneiforme, os babilônios criaram um sistema posicional ambíguo

para representar os números fracionários, pois o número 1 seguido por 30, por

exemplo, poderia representar 1 x 60 30 ou 30

160

.

26

Para se calcular números inversos, os babilônios confeccionaram tabelas

de multiplicação, de recíprocos, quadrados, cubos, raízes quadradas e cúbicas.

Os escribas possuíam, além de tabelas completas de multiplicação e de cálculos de inversos, as quais lhes bastavam consultar para efetuar os produtos e divisões, visto que dividir por um número é, evidentemente, o mesmo que multiplicá-lo pelo seu inverso. Estavam, portanto aptos a calcular numerosas frações rapidamente e com exatidão. (GOLDEFROY, 1997, p. 35, apud SILVA).

Os babilônios também não tinham um símbolo que representasse o zero,

mas nas posições em que ele deveria aparecer era deixado um espaço em branco,

ficando a cargo do leitor a tarefa de “adivinhar”, pelo contexto, o valor correto que

estava sendo representado.

Outrossim, segundo PEDROSO (2009), era impressionante a exatidão

dos cálculos efetuados pelos escribas babilônicos para extrair a raiz quadrada de um

número positivo, o qual seu algoritmo descreveremos a seguir:

Algoritmo para a , sendo a um número inteiro positivo. Sejam 1a uma

primeira aproximação dessa raiz e 1

1

a

ba

(se 1a é por falta, 1b é por

excesso e vice-versa). Logo a média aritmética 2 1 1 1

1

1 1

2 2

aa a b a

a

é uma nova aproximação. A seguir avaliamos 2

2

a

ba

e a média aritmética

3 2 2 2

2

1 1

2 2

aa a b a

a para obtermos um resultado melhor. O

processo pode ser continuado indefinidamente. (ibid., p. 22).

Exemplo: calcular 15

Vejamos:

2

115, 4, 4 16 a a . Logo, 1 2

15 1 154 3,875

4 2 4

b e a . A seguir,

2 3

15 1 153,870967742 3,870967742 3,872983871

3,875 2 3,870967742

b e a .

Assim, 315 3,872983871 a .

27

2.3 Na Grécia

Devido às invasões dos povos bárbaros deu-se origem a história da

civilização grega. Estes povos foram conquistando as civilizações ali estabelecidas e

avançando em direção à ilha de Creta. Segundo, PEDROSO (2009), A chegada dos

dórios10, no século XII a.C., às circunvizinhanças do mar Egeu, constitui momento

decisivo na formação do povo e da cultura grega. Neste contexto, os Gregos

mudaram do sistema de escrita hieroglífica para o alfabeto fenício, Isto permitiu

conduzir por escrito a sua literatura, utilizando o papiro.

Para os gregos, números eram os inteiros positivos. As frações eram

muito usadas, mas como a razão entre dois inteiros. As notações gregas primitivas

para os inteiros serviam bem aos seus objetivos e tiveram como base a música,

mais precisamente com um instrumento chamado monocórdio11, estudado pelos

pitagóricos12.

Figura 12 – Monocórdio. Fonte: Arquivo pessoal.

O estudo da música e as relações Matemáticas das notas musicais levaram aos Pitagóricos a considerar razões entre inteiros, que representariam razões entre comprimentos das cordas dos instrumentos musicais. Perceberam que a relação entre uma nota musical e a mesma nota musical uma oitava acima era de dois para um, em termos de comprimento de corda vibrante. (VASCONCELOS, 2007, p. 23).

_____________

10 Os dórios foram um povo de origem indo-européia que habitava a região central da Europa antes

do século XII A.C. A partir deste século, os dórios migraram para a Península Balcânica e participaram da formação de várias cidades-estados da Grécia Antiga, junto com os jônios, eólios e aqueus. 11

Instrumento composto de uma caixa de ressonância, sobre a qual se estende uma corda que se

apóia sobre dois cavaletes móveis, e que já era usado no tempo de Pitágoras (séc. VI-V a. C.) para o estudo e cálculo das relações entre as vibrações sonoras (Fonte: Novo Dicionário Aurélio). 12 Membros pertencentes a uma sociedade secreta de Filosofia e Religião, formada por pitágoras em Crotona, sul da Itália, conhecida como a Escola Pitagórica.

28

Figura 13 – Escala Harmônica Maior (dó, ré, mi, fá, sol, lá bemol, si, dó). Fonte: Revista Cálculo (2012, p. 48).

Foi desta forma que Pitágoras, com o seu monocórdio, encontrou a

sequência:

1 1 1 11, , , , ,...

2 3 4 5

Até hoje essa sequência é conhecida como sequência harmônica ou

sequência pitagórica. Segundo Sousa (2012), Pitágoras afinava uma corda e depois

tocava a corda com frações simples. Desta forma, notou que uma fração simples de

uma corda sempre resultava num som agradável, mas que frações mais

complicadas, como 1 1

, ,5 6

quase sempre resultavam em sons desagradáveis. “depois

Pitágoras estudou como as frações de duas ou três cordas distintas, cada uma

afinada de um jeito (sol, dó, lá, por exemplo), agradavam os ouvidos ou doíam nos

ouvidos” (ibid., p. 48).

A representatividade de uma fração grega era parecida com as dos

egípcios. Segundo Boyer (2003), os gregos sentiam-se tentados a usar frações

unitárias que eram denotadas, primeiro escrevendo o denominador e depois

simplesmente o seguiam de um sinal diacrítico ou acento. Assim, 1

34 se escrevia

.

Pedroso (2009) Salienta que Eudoxo de Cnido (408-435), membro da

academia platônica, resolveu o problema da proporcionalidade de uma maneira

geral após introduzir a noção de grandezas de mesma espécie, tais como,

comprimento, área, volume, tempo, etc. “ Eudoxo postulou que: A C

B D sempre que

dados m e n inteiros positivos quaisquer, mA nB mC nD ;

mA nB mC nD ; mA nB mC nD .” (ibid., p. 93).

29

Figura 14 – Sistema de Numeração Grego. Fonte: IMENES (1995, p. 32).

2.4 Em Roma

Roma foi o centro de uma das mais notáveis civilizações da Antiguidade,

porém, sabe-se muito pouco a respeito da origem da notação romana para números.

Os romanos nunca usaram as letras sucessivas de seu alfabeto para propósitos de

numeração, como faziam algumas outras civilizações antigas.

O declínio gradual da matemática grega nesse período, em geral, é atribuído ao pragmatismo dos romanos, interessados, apenas, nos assuntos de natureza prática, como a engenharia e o direito. O gosto grego pelas questões teóricas jamais o fascinaram e, na matemática, somente a aritmética elementar recebeu alguma atenção, por seu uso nas transações comerciais, na guerra, nas construções e na tributação. (PEDROSO, 2009, p. 148).

Destacamos de Silva (1997), que os cálculos com as frações apareciam

com frequência nas transações comerciais e na metrologia “cada fração tinha um

nome especial e mantinha, geralmente, o denominador 12 como uma constante,

provavelmente porque sua moeda de cobre as, que pesava uma libra, era dividida

em 12 unciae.” (Ibid., p. 14).

Este breve relatório histórico fornece-nos uma visão geral dos fatos

relacionados à origem e ao desenvolvimento significativo das frações, bem como

sobre a importância deles para o reconhecimento dos diferentes sentidos dos

números fracionários.

30

3. SIGNIFICADO DA FRAÇÃO

É comum aprendermos nas escolas que um número racional é todo

número que pode ser escrito na forma

, com (a, b , onde a é denominado

numerador e b denominador, mais conhecida como fração, possui variações de

significados e aplicações muito importantes.

Evidentemente, esta “definição” não é suficiente porque não se define

antes o que é uma fração. Uma vez que, neste contexto matemático estão inseridos

outros significados, tais como: “parte-todo”, “medida”, “número”, “quociente” e

“operador multiplicativo”. Além disso, as diferentes representatividades dos termos

razão, proporção, fração, e números decimais confundem-se constantemente nas

abordagens destes temas nas variadas situações cotidianas.

A simbologia

pode significar, por exemplo, que repartimos um todo –

contínuo13 ou discreto14 – em b partes iguais das quais tomamos a partes. Essa

mesma simbologia pode significar também o resultado da divisão do número natural

a pelo número natural não nulo b – a laranjas divididas para b crianças, desta forma,

estabelecendo outro significado para frações. Isto é, o resultado da divisão do

numerador pelo denominador, ou seja, o quociente da divisão entre dois naturais.

Ainda é possível representar analogias entre duas grandezas, de mesma espécie ou

não, desta forma, atribuímos ao termo fração à ideia de razão entre duas grandezas.

Tal conhecimento matemático é de extrema importância para o estudo das

proporções, diretas ou inversas, presentes em diversas situações de nosso cotidiano

nos problemas em que envolvem “regra de três”. No campo da Física, por exemplo,

é aplicado ao estudarmos os conceitos de velocidade e aceleração de um móvel, na

Química ao estudarmos cálculo estequiométrico, cinética química, dentre outras

coisas.

_____________ 13 Quantidade contínua refere-se àquelas quantidades passiveis de serem divididas exclusivamente, sem que percam suas características, por exemplo, um chocolate (VASCONCELOS, 2007, p. 34). 14

Quantidade discreta refere-se àquelas enumeráveis, contáveis, que dizem respeito a um conjunto de objetos (VASCONCELOS, 2007, p. 34).

31

Na Geografia, quando estudamos, por exemplo, a renda “per capta” de

certa população, a densidade populacional de alguma região ou quando se consulta

um mapa qualquer, no qual aparece a “escala” com que o mesmo foi confeccionado,

possibilitando calcularmos as distâncias reais entre os pontos do referido mapa

usando a ideia de razão. Matematicamente, está presente em um dos mais

importantes e fundamentais conceitos da Geometria: o conceito de “semelhança”.

Conhecimento matemático esse, muito utilizado nas indústrias em projetos

pensados pelos chamamos Desenhistas Industriais os quais fazem um protótipo

desenhado numa certa “escala”, ampliando ou reduzindo seu tamanho original, de

acordo com a necessidade de mercado, estabelecendo, assim, formas semelhantes.

Na construção civil são utilizadas pelos engenheiros e arquitetos, como

forma de visualização de uma obra, as chamadas maquetes que tem como

fundamento o conceito de semelhança. Desta forma, é notório observarmos que

existem diversos ramos de atividade humana e uma série de áreas do conhecimento

que utilizam o significado de fração como razão. Além desses significados, as

frações estão presentes em nosso cotidiano na forma de números decimais ou ainda

como percentuais, muitos utilizados em nossas transações comerciais. Contudo, as

frações podem, ainda, ser representadas na reta numérica.

Por conta disso, para uma melhor compreensão do tema discutido neste

trabalho, neste capítulo, apresentamos diferentes posições frente ao ensino de

frações, resgatando em algumas situações a história da matemática, o que nos

permitirá o “entendimento” deste assunto como mais clareza.

3.1. Fração

Segundo o dicionário Aurélio, um dos mais antigo e famoso referencial

linguístico brasileiro, fração é um “número que representa uma ou mais partes da

unidade que foi dividida em partes iguais”.

Para Bertoni:

O termo fração tem sido comumente usado tanto para designar certas partes de um todo, ou de uma unidade, quanto para designar uma representação numérica dessa parte. Esses usos estão consagrados e não procuraremos fugir deles. O próprio contexto dirá quando a fração está designando uma parte da unidade: aqui temos um quarto de queijo, ali está

32

meio melão, ou quando expressa numericamente essa parte: o pedaço correspondente a ¼ de queijo, a parte correspondente a ½ melão. (BERTONI, 2009, p. 20)

Historicamente, conforme sabemos o processo fracionário não surgiu de

um dia para o outro. Pois, segundo a história da matemática, foram encontrados

vários registros de sentidos, simbologias e significados ligados ao número racional e

sua representação fracionária.

Neste sentido, segundo Barnabé (2011), as Frações tiveram origem no

antigo Egito, com o intuito de facilitar a medição de terras inundadas pelas cheias do

rio Nilo, as quais eram muito disputadas, uma vez que, as cheias do rio fertilizavam o

solo e o favoreciam para agricultura. A tarefa de medição era destinada aos

agrimensores, também chamados de esticadores de corda, que utilizavam cordas

como referência de unidade de medida. Para medir um terreno bastava-lhes esticar

as cordas já marcadas pela tal unidade. No entanto, fica claro que não era sempre

que a unidade de medida definida por eles caberia um número inteiro de vezes no

lado do terreno. Ainda segundo o autor supracitado, é neste contexto que o número

fracionário é criado. A simbologia numérica de representatividade do número

fracionário egípcio não tinha caráter posicional de escrita, faziam apenas uso das

chamadas frações unitárias.

Corrobora com o que fora supracitado acima, Boyer:

A matemática do Egito Antigo utilizava, para contagem e para medida, números, cuja forma se diferenciava da forma dos hieróglifos usados para a escrita de palavras. Como os egípcios não podiam empregar apenas números inteiros para fazer medidas, desenvolveram o uso de frações com numerador igual a 1. Fixando-se o número 1, eles podiam trabalhar com medidas de uma forma prática, considerando frações como representação de pedaços de um inteiro (BOYER, 2003).

3.2. Razão, Proporção e Número Decimal: Como diferenciá-los?

As distintas definições dos termos razão, proporção e número decimal,

confundem-se constantemente em diversos enfoques didáticos. Por conta disso,

para uma melhor compreensão do tema discutido neste trabalho, este tópico tem

como objetivo maior diferenciar (ou não) os termos supracitados, retomando

inclusive, a origem das palavras para tal explicação.

33

3.2.1. Razão

Segundo Barnabé (2011), o nome razão tem sua gênese na Grécia,

encontrada com grande facilidade na mais famosa obra de geometria, talvez até

podendo ser descrita como a maior obra de todo estudo de Matemática oriundo do

mundo antigo: “Os Elementos” de Euclides15. Tratava-se de um material didático

para o ensino de Geometria (elementar) aos matemáticos iniciantes.

No livro V desta obra, Euclides enuncia, assim como nos outros livros,

uma série de definições, mas além dos números estuda relações de grandezas

como comprimentos e áreas. Vejamos algumas das definições descritas por ele

(EUCLIDES, in COMMANDINO, 1944, p. 75):

... III – A razão entre duas grandezas, que são do mesmo gênero, é um

respeito recíproco de uma para outra, enquanto uma é maior, ou menor do que a

outra, ou igual a ela.

IV – As grandezas têm entre si razão, quando a grandeza menor, tomada

certo número de vezes, pode vencer a grandeza maior.

V – As grandezas têm entre si a mesma razão, a primeira para, a

segunda, e a terceira para a quarta, quando umas grandezas, quaisquer que sejam,

eqüimultíplices da primeira e da terceira a respeito de outras, quaisquer que sejam,

eqüimultíplices da segunda e da quarta, são ou juntamente maiores, ou juntamente

iguais, ou juntamente menores.

VI – As grandezas, que têm entre si a mesma razão, se chamam

proporcionais.

Ainda segundo a história da matemática, Silva (2005), acrescenta que no

Egito era comum encontrar tarefas que tratavam da qualidade do pão ou da cerveja

com base na quantidade de trigo ou de cevada utilizada na sua fabricação.

_____________ 15

Euclides de Alexandria (360 a.C. - 295 a.C.) foi um professor, matemático platônico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana. Euclides escreveu em uma única obra toda a Matemática conhecida no ano 300 a. C: Os Elementos, em 13 volumes.

34

Ainda segundo Silva (2005):

Esses problemas egípcios mostram a origem prática dessa aritmética pouco cômoda e de uma álgebra primitiva, mas entendemos que tais tipos de tarefas mostram a tentativa da trazer situações da realidade, não só para ensinar, mas, como tratar situações que envolvam o cálculo com números fracionários. A concepção de razão, por sua vez, quando mobilizada é tratada como quociente de dois números (STRUIK, 1997, apud SILVA, 2005. p. 81).

Vasconcelos (2007) interpreta razão como uma comparação de duas

quantidades, segundo ele: “as razões podem ser comparações parte-parte em um

conjunto ou comparações parte-todo” (ibid., p. 42). De maneira a completar seu

raciocínio referente à razão Vasconcelos acrescenta os seguintes exemplos: “A

razão de 12 Km em 9 minutos 12

9

compara Km e minutos.” (ibid., p. 43) e “A razão

de 4 ovos brancos por 2 ovos marrons em um pacote com 6 ovos 4 2 .” (ibid, p.

43).

A interpretação razão permite comparar quantidades de tipos diferentes enquanto que as interpretações parte-todo em contexto de medida só nos permite comparar quantidades do mesmo tipo. (VASCONCELOS, 2007, p.43)

3.2.2 Proporção

No que diz respeito ao significado de proporção Barnabé (2011)

acrescenta-nos que Euclides em sua obra “Os Elementos” registra a definição de

proporção da seguinte forma: “(...) VIII – Proporção, ou proporcionalidade é uma

semelhança de razões.” (EUCLIDES, in COMMANDINO, 1944, p. 75). Objetivando

em sua origem relações geométricas. Neste sentido, Barnabé propala que a palavra

“semelhança” perdeu sentido original tanto com o passar do tempo quanto pelo uso

indiscriminado dos termos fração e razão, não importando a situação em que estes

fossem empregados (ibid., p. 32).

Se verificarmos o significado da palavra proporção no dicionário Aurélio

teremos como resposta, no campo aritmético, que é uma “igualdade entre duas

razões”.

Segundo Silva (2005), uma das características dos números fracionários

enquanto razão é a predominância da ideia de par ordenado de números naturais,

35

descrito de acordo com a situação por um fracionário ab

ou por a : b . Desta forma a

razão determina uma proporção, uma vez que a alteração feita em a, acarretará em

uma mudança proporcional em b. Para efeito de exemplo, Silva (2005) nos

acrescenta:

Se identificarmos em uma situação a razão (ou 3 para 4) teremos consequentemente as razões ou e assim por diante , que nos permite definir a proporção com a igualdade entre duas razões e

representá-la genericamente por

, que se lê “a está

para b, assim como c está para d”. (ibid., p. 270)

Vasconcelos (2007) baseado nos trabalhos de Nunes e Bryant (1997)

corrobora com a ideia supracitada acima e acrescenta-nos como exemplo de

proporção: “(...) 1 carro para 4 rodas.” (ibid., p. 33).

3.2.3 Número Decimal

Historicamente, foi com o sistema de Numeração Decimal hindu-

arábicos16 que se deu origem ao que conhecemos hoje por números racionais. Esse

progresso na Matemática pôde aprimorar e simplificar os cálculos com frações,

permitindo seu uso em resoluções e soluções de problemas, desde os mais triviais,

até os mais difíceis. Desta forma, ao criarem o Sistema de Numeração Decimal

permitiram que o trabalho com as frações se tornasse mais prático. Com isso, as

frações passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais. A partir

dai, apresentaram-se como solução para inúmeros problemas matemáticos.

Silva (2005) complementa que, historicamente muitos povos sentiram a

necessidade de outros números, que não os naturais, para poder representar

resultados, principalmente de medições, conduzindo-os a buscar uma unidade que

não exigisse a representação fracionária, no entanto, diante da impossibilidade de

realizar essa tarefa cada um construiu suas próprias unidades. Um consenso parcial

ocorreu somente em 1972 com a criação de sistema métrico decimal que se

consolidou, principalmente, para facilitar as relações comerciais entre povos

diferentes.

_____________ 16

Algarismos criados pelos hindus e difundidos pelos árabes (BARNABÉ, 2011, p. 33).

36

No entanto, segundo Barnabé (2011):

Os números racionais acabam sendo interpretados algumas vezes como razões, em consequência da igualdade na apresentação dos conceitos de razão e fração. Vale lembrar que os números decimais são somente para a notação de alguns números racionais, ou seja, frações com denominadores específicos. Tal especificidade é alimentada pelas características de nosso sistema de numeração

17 de base 10. (BARNABÉ, 2011, p. 34)

Ainda segundo Barnabé: “O chamado número decimal nada mais é do

que a representação simplificada de uma fração com um numerador inteiro e o

denominador com uma potência de base 10” (ibid., p. 33).

Vasconcelos (2007) com base nos estudos de Lineares (2003) nos

acrescenta que as frações decimais se organizam como divisões em 10 partes de

uma unidade e realizando divisões sucessivas. Além disso, segundo este autor, o

significado de fração como quociente pode produzir, ao se realizar a divisão uma

expressão decimal finita ou infinita, por exemplo:

1

3 produz uma expressão decimal infinita 0,33333....

1

4 produz uma expressão finita 0,25 (ibid., p. 41).

Neste sentido, Vasconcelos acrescenta, as expressões decimais finitas

são as únicas que permitem encontrar “fração decimal” equivalente e, portanto, uma

fração equivalente com o denominador com potências de 5 e 2 (os divisores de 10),

por exemplo, 1 25

0,254 100 (ibid., p. 41).

Com isso, toda fração cujo denominador é uma potência de 10 chama-se

fração decimal. As frações decimais podem ser representadas da forma decimal,

conforme se percebe nos referenciais supracitados acima. Presentemente, o uso

dos números em forma decimal é mais comum do que na forma fracionária, uma vez

que, podem aparecer, cotidianamente, expressando valores monetários, mediadas,

ordem de grandeza ou porcentagens, entre outros.

_____________ 17

Sistema de Numeração Decimal (BARNABÉ, 2011, p. 34).

37

3.3 Diferentes Contextos do Número Fracionário

Este tópico tem como propósito expor as bases teóricas que sustentam

este trabalho. Verificando os diferentes contextos de representatividade do número

fracionário tais como: parte-todo; quociente, operador multiplicativo, número e

medida de comprimento. Acreditamos ser importante “tentar” esclarecer tais

contextos, uma vez que, talvez seja este o motivo, de pairar sobre estes temas uma

grande e maciça névoa de dúvidas e incertezas na construção destes conceitos por

parte dos alunos do Ensino Fundamental.

3.3.1 A Representação de Fração Como Parte-Todo

A ideia presente nesse significado, segundo Vasconcelos (2007), é a

partição de um dado objeto em n partes, isto é, um todo dividido em partes iguais e

que cada parte poderá ser representada como 1/n. Exemplo: Uma barra de

chocolate foi dividida em quatro partes iguais. João comeu três dessas partes. Que

fração representa o que João comeu?

Segundo nossos referenciais teóricos, este significado é o mais explorado

pelos professores em sala de aula, o que de certa forma restringe o estudo

fracionário para além de outros significados. Para Vasconcelos (2007), o conceito de

parte-todo é apresentado aos alunos através de situações tradicionais de divisão de

figuras geométricas, como retângulos, quadrados e círculos, o que segundo ele,

gera muitas dúvidas.

Corroboram com esta ideia Bezerra et al (2009) que acrescentam que a

maioria dos professores apresentam estratégias de ensino muito limitadas ao

ensinarem frações, segundo eles, tais estratégias limitam-se praticamente à

indicação do uso do desenho ou do material concreto. Além disso:

Parece não haver uma clareza desses professores sobre os diferentes significados da fração, o que os leva a propor situações que se restringem à percepção e ao significado parte-todo (ibid., p. 415).

38

Destacamos de Bertoni (2009):

Na fração pensada como uma relação parte-todo, o denominador é o número que indica em quantas partes a unidades foi dividida. Ele denomina a fração: quartos, oitavos etc. O numerador indica quantas partes dessas foram tomadas - ele numera as partes tomadas.

Figura 15 – 1 Bolo dividido em 10 partes iguais (Fração como relação Parte-Todo) Fonte: (Bertoni, 2009, p. 46)

Para Silva (2005), a concepção parte-todo surge da ação de dividir uma

grandeza contínua (comprimento, área, volume, ...) em partes equivalentes ou uma

grandeza discreta (coleção de objetos) em partes iguais em quantidades de objetos.

Segundo ela, comumente são manuseados dois tipos de objetos ostensivos: “o

registro da escrita simbólica , associado ao registro figural em que regiões ou

conjunto de figuras, representando elementos discretos, aparecem divididos em

partes iguais” (ibid., p. 106). Neste sentido a Doutora acrescenta:

O sujeito para mobilizar a concepção parte-todo deve relacionar um, ou mais, registros escritos; uma, ou mais, figuras divididas de certa maneira e vice-versa, ou ainda, criar relações pertinentes (SILVA, 2005, p. 106).

Figura 16 – Representação Geométrica e Simbólica da Concepção Parte-Todo Fonte: (SILVA, 2005, p. 106).

39

3.3.2 A Representação de Fração como Quociente

Este amplo entrelaçado de significados inclui ainda o termo quociente18, o

qual segundo o dicionário Aurélio significa “Quantidade resultante da divisão de uma

quantidade por outra”.

Para Vasconcelos (2007), o significado de quociente está presente em

situações agregadas à ideia da divisão como tática para resolver um determinado

problema. Para uma melhor compreensão ela exemplifica:

“Exemplo 1 – quantidade contínua: Se dividirmos duas pizzas igualmente

entre três pessoas, que fração representa o que cada uma irá comer?” (ibid., p. 37).

“Exemplo 2 – quantidade discreta: Tenho 20 bolinhas de gude e vou

dividir igualmente entre quatro crianças. Que fração representa essa divisão?” ( ibid.,

p. 37).

Neste sentido fica claro que este significado esta presente em situações

associadas à idéia de partição, sendo o quociente o valor real desta partição.

Neste sentido, a concepção de quociente para Silva (2005) está

relacionada à associação de distribuição de grandezas, onde que representa o

resultado de uma distribuição significa que a foi distribuído em b partes, isto é, a foi

dividido em um número b de partes iguais. Ou seja, a

a bb

, cujo fracionário é um

quociente.

Canova (2006) complementa da Seguinte forma:

Este significado está presente em situações em que está envolvida a idéia de divisão – por exemplo, uma pizza a ser repartida igualmente para 5 crianças. Nas situações de quociente temos duas variáveis (por exemplo, número de pizzas e número de crianças), sendo que uma corresponde ao

numerador e a outra ao denominador – no caso,

. A fração, neste caso,

corresponde a divisão (1 dividido pro 5) e também ao resultado da divisão

(cada criança recebe

) (CANOVA, 2006, p. 44).

Neste sentido, a autora acima confirma o que fora exposto por Silva: “(...)

a divisão é uma boa estratégia para resolvê-la, isto é, o quociente (significado)

representa a quantidade de pizzas que cada pessoa irá receber” (ibid., p. 45).

_____________ 18

De origem no latim, quotiens, que significa “quantas vezes”. Barnabé (2011, p. 32).

40

3.3.3 A Representação de Fração Como Operador Multiplicativo

Para Vasconcelos (2007), este significado está associado ao papel de

transformação, isto é, uma ação que se deve imprimir sobre um número,

transformando-o.

Silva (2005) ao exemplificar o significado de fração como operador

multiplicativo faz a seguinte analogia:

O estado inicial (18) seria a entrada da máquina de

, que produz o estado

final (15) em sua saída. Esta máquina, em particular, funciona dividindo por 6, o que entrar, e multiplicando o resultado por 5: (18 5) x 5, representando assim, o resultado 15.

Figura 17 – Representação de Máquina de Transformação, Concepção de Operador. Fonte: (SILVA, 2005, p. 140).

Corroborando com a Doutora supracitada acima, Canova (2006)

complementa:

Conceber a fração como um operador multiplicativo é admitir que a fração

funciona em quantidades contínuas como uma máquina de reduz ou amplia essa quantidade (...) (CANOVA, 2006, p. 48).

Um exemplo proposto pela autora acima nos diz o seguinte: “um estojo contém 40

lápis coloridos. Mariana deu 3

4 dos lápis para sua amiga. Quantos lápis Mariana

deu?” ( ibid., p. 48). Ainda segundo Canova (2006), nas situações que se referem à

porcentagem o significado de operador multiplicativo esta implícito: “(...) Ricardo teve

aumento de seu salário de 15%, isto é, 15

100 (...) só tem sentido dizer que 15% ou

15

100 referindo-se a uma quantidade, discreta ou contínua. Logo a porcentagem faz

parte do significado operador multiplicativo” (ibid., p.49).

41

3.3.4 A Representação de Fração Como Número

Para Canova (2006), assim como o número inteiro, o conceito de fração,

neste significado, é representado por pontos na reta numérica. Segundo a autora:

“Existem duas formas de representação fracionária, ordinária e decimal ( ibid., p.

47)”.

Destacamos da autora citada acima, o seguinte fragmento:

O sujeito frente a essa situação deverá reconhecer a fração como um número (significado) e não uma superposição de dois números naturais. Devemos perceber ainda, que todo número tem um ponto correspondente na reta numérica e que sua localização depende do princípio de ordenação

(invariante) isto é,

é um número compreendido entre 0 e 1 (ibid., p. 47).

Figura 18 – Representação Fracionária na Reta Numérica: Fração Como Número.

É importante destacarmos que, segundo (ARAÚJO, 2010 p. 39), este

significado é pouco explorado pelos docentes, que inconstantemente tem usado a

reta numérica nos procedimentos de construção de conceitos matemáticos, mesmo

aqueles envolvendo números naturais. Esta afirmação já fora confirmada por

Canova (2006), em sua dissertação de mestrado, ao analisar o desempenho dos

professores quanto aos cinco significados da fração, no que diz respeito ao

significado fração como número, a autora inferiu:

O significado número foi o que apresentou menor índice de acertos. Nas questões criadas esse significado apareceu em apenas uma indicação. Sendo assim, inferimos que esses professores não entendem a fração como número (CANOVA, 2006, p. 175).

42

3.3.5 A Representação de Fração Como Medida de Comprimento

A concepção de fração neste significado esta ligado à ideia de dividirmos

uma unidade (partes iguais) em subunidades e conferirmos quantas dessas partes

caberão naquilo que se quer medir. Com relação à História da Matemática, podemos

destacar que este significado de fração é bastante representativo para a justificativa

do desenvolvimento histórico dos números fracionários e pode ser explorado

inicialmente de modo informal com os alunos, na introdução ao estudo de frações, e

depois ser formalizado. Neste sentido Silva (2005), propala que as tarefas que

envolvem a medição de comprimento são apropriadas para a percepção da limitação

dos números naturais, com resultados de medições, e da necessidade de “novos

números” para a quantificação adequada de comprimento. Em sua tese de

Doutorado, Silva (2005), aborda o significado de fração como medida nos mostrando

algumas tarefas que segundo a doutora são necessárias para introduzir os conceitos

referentes ao número fracionário e suas propriedades o que segundo ela: “(...)

auxiliará, mais tarde, na concepção do conjunto dos números racionais” ( ibid., p.

120).

Araujo (2010), baseado nos estudos de Damico (2007), exemplifica-nos

este significado da seguinte forma: “(...) quantas vezes um palmo cabe no

comprimento de uma mesa?” (ibid., p. 41). Segundo a autora, a questão exige uma

resposta para a pergunta – quantas vezes?.

Acrescentamos ainda a concepção do educador matemático Wu19, o qual

será tratado com mais detalhe no capítulo 5 deste trabalho, sobre o significado de

fração como medida de comprimento. Segundo Wu (2012, apud revista Cálculo), a

criança desde cedo deve desenhar a linha dos números e deve redesenha-lá

sempre que descobrir um número “novo”. Como por exemplo 2 . Desta forma, a

criança vai se acostumando com a ideia de que todos os números têm seu lugar, e

de que não há números normais, como 5, e “números esquisitos” como 1

5.

_____________ 19

Hung-Hsi Wu, matemático americano, professor desde 1973 do departamento de Matemática da universidade de Berkeley. Propõe o ensino de fração como medida de comprimento de reta, visando a conduzir o aluno à compreensão de fração como número. (Sant’ Anna, 2008).

43

4. PCNS20, O ENSINO DE FRAÇÃO NA ESCOLA E SUAS DIFICULDADES

Conforme fora explicado anteriormente, em nossa breve contextualização

histórica (Capítulo 2), o processo fracionário não surgiu de um dia para o outro. Pois,

segundo a história da matemática, foram encontrados vários registros de sentidos,

simbologias e significados ligados ao número racional e sua representação

fracionária, assim como, propalamos também, da metodologia aplicada por algumas

civilizações na operacionalização algébrica desses números.

No entanto, neste capítulo, falaremos a respeito do posicionamento dos

PCNs e sobre a abordagem fracionária nas escolas e suas dificuldades, para

buscarmos compreender a importância da história da matemática, como também, o

ensino de frações. Dando ênfase às recomendações contidas nos Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN), para sua introdução a partir do segundo ciclo do

Ensino Fundamental.

Ao longo do ensino fundamental os conhecimentos numéricos são

construídos e assimilados de modo a serem eficazes para resolver determinados

problemas, considerando-se suas propriedades, relações e o modo como se

configuram historicamente.

Nesse sentido, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais:

A História da Matemática, mediante um processo de transposição didática e juntamente com outros recursos didáticos e metodológicos, pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem em Matemática. (BRASIL, 1997, p. 34).

Além disso, ainda segundo os PCNs, ao revelar a Matemática como

criação humana, identificamos as necessidades e preocupações de diferentes

culturas em diferentes momentos da história.

_____________ 20

Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasil-DF, 1997.

44

Além disso, conceitos abordados em conexão com sua história constituem-se veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. A História da Matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural. (PCN, 1997. p. 34).

Em vista disso, em diversas situações, o recurso histórico da Matemática

pode explicar ideias matemáticas que estão sendo levantadas pelo aluno, sobretudo

para dar respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a constituição

de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento.

Com relação aos documentos oficiais de 1997, os PCNs, a finalidade na

abordagem dos números racionais é levar os alunos a entenderem que os números

naturais são insuficientes para resolver determinados problemas. Sendo assim,

sugerem que a construção da ideia de número racional esteja relacionada à divisão

entre dois números inteiros. Recomendam ainda, que a introdução do estudo dos

números racionais seja feita pela sua importância no contexto cotidiano, haja vista,

aparecerem no dia-a-dia de muitas pessoas, principalmente em sua representação

decimal do que na forma fracionária.

A aprendizagem dos números racionais, no entanto, supõe rupturas com

ideias construídas pelos alunos acerca dos números naturais e, portanto, demanda

tempo e abordagem adequada. Neste sentido, os PCNs propõem, um trabalho

interessante como o uso da calculadora em atividades em que os alunos são

convidados a dividir 1 por 2, 1 por 3, 1 por 4, etc., levantando hipóteses sobre as

escritas que aparecem no visor da calculadora , iniciando a interpretar a interpretar o

significado dessas representações decimais. Utilizando a calculadora, os alunos

podem perceber que as regras do sistema de numeração decimal, utilizadas para

representar números naturais, podem ser aplicadas para se obter a escrita dos

números racionais na forma decimal. A abordagem dos números racionais deve ser

iniciada pela sua representação decimal, uma vez que essa representação aparece

com mais frequência na vida cotidiana do aluno (BRASIL, 1997).

Destacamos ainda, dos PCNs, que a apresentação fracionária é bem

menos frequente na vida cotidiana limitando-se a metades, terços, quartos e mais

pela linguagem oral das representações. Neste sentido:

A prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre a situações que envolvem a relação parte-todo, como no caso da divisão de chocolate, ou uma pizza, em partes iguais (BRASIL, 1997, p.68).

45

A falta de compreensão que a representação

com b 0 é um número e

não dois números naturais e um traçado separando-os fazem com surjam outras

dificuldades na aquisição deste novo conceito. Neste sentido, é importante salientar,

que à representação fracionária, dos números racionais, segundo os PCN, é pouco

frequente no contexto diário dos alunos, pois se limita a metades, terços, quartos, na

maioria das vezes pela via da linguagem oral do que das representações. Os PCN

sugerem ainda que, a prática mais comum para explorar o conceito de fração é a

que recorre às situações que estão implícitas a relação parte-todo. Nesse caso, a

fração indica a relação que existe entre o número de partes e o total de partes. Outro

significado das frações é a do quociente, baseia-se na divisão (a : b = a/b; b 0).

Para o aluno essa situação se diferencia da interpretação anterior (parte-todo), pois

dividir “um chocolate em 3 partes e comer duas dessas partes é uma situação

diferente daquela em que é preciso dividir 2 chocolates para três pessoas” (ibid.,

p.68).

Os PCN sugerem ainda uma terceira situação diferente das duas

anteriores “é aquela em que a fração é usada como uma espécie de índice

comparativo entre duas quantidades e uma grandeza, ou seja, quando é

interpretada como razão” (PCN, 1997, p. 68).

Em síntese, de acordo com os PCNs, o desenvolvimento de frações até a

4ª série deve centrar-se nas ideias associadas ao número fracionário, e na leitura,

escrita, comparação e ordenação de representações fracionárias de uso frequente.

Além disso, sugerem que no segundo ciclo do Ensino Fundamental sejam

trabalhados três significados: parte-todo, razão e quociente, e somente no terceiro

ciclo do Ensino Fundamental sejam introduzidos o significado de operador

multiplicativo.

Em se tratando de frações no âmbito escolar, iremos apontar alguns

trabalhos que apresentam estudos sobre ensino de frações nas escolas e as

dificuldades apontadas por estas pesquisas em relação a este tema. Pois com essas

pesquisas e nossas experiências em salas de aulas, podemos observar que as

frações vêm aparecendo como um dos temas que mais apresenta dificuldades no

ensino fundamental. Vários estudos afirmam o baixo rendimento dos alunos neste

assunto. Em anos anteriores, muitas pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem de

frações detectaram muitos problemas nesse tema.

46

Sá (2011) mostra diversas pesquisas sobre o atual ensino de frações no

Ensino Fundamental e destaca que um dos fatores sobre esse atual ensino: através

do conteúdo de frações, os alunos estão, na verdade, aprendendo um trabalho

mecânico, e que não estão trabalhando a interpretação ou a manipulação de dados.

E esse pensamento é totalmente contrário ao de Sá, visto que ela pensa que o

aluno, durante o seu período escolar, ele não deve aprender só conteúdos, mas

através desses conteúdos ele deve aprender maneiras de analisar a realidade.

Segundo Bertoni (2009), as frações têm sido um dos temas mais

complexos no ensino fundamental. Avaliações e pesquisas atestam o baixo

rendimento dos alunos no assunto. Nos últimos anos, os estudos sobre o ensino e a

aprendizagem desse tema têm detectado numerosos problemas e levantado

proposições, que, entretanto, não abrangem a totalidade da problemática, nem são

conclusivas. Talvez devido a isso, propostas de ensino incorporando esses

resultados são apenas incipientes. O mais banal de se encontrar são as mesmas

propostas de sempre, que iniciam informando as crianças sobre nomes e símbolos

de frações, expondo quadrados, retângulos ou círculos divididos e parcialmente

pintados.

O que é confirmado no trabalho de Bonotto (2011):

(...) O ensino de frações não está tendo, pelo professor merecida importância entre os conteúdos de matemática trabalhados na 5ª série. Na maioria das vezes o professor trabalha em sala de aula de forma mecânica e tradicional, e não permite que o aluno faça conexão entre teoria e prática. O professor apresenta o conteúdo de forma abstrata e dedica pouco tempo à parte conceitual de frações e muito para os cálculos. Exemplo de como é trabalhado a parte conceitual de frações temos: um retângulo representa uma barra de chocolate, que é repartido em três partes e as distribui igualmente para três pessoas. Quanto cada pessoa vai receber de chocolate? Como representamos isso em frações?. (BONOTTO, 2011, p. 16).

Isso atesta o fato de que o ensino de frações precisa de uma atenção

maior e que se devem buscar novas propostas para o ensino da mesma, visto que,

conforme as afirmações de Bertoni e Bonotto, as propostas utilizadas não têm

ajudado muito para uma melhora na aprendizagem dos alunos a cerca do ensino de

frações.

Ainda no trabalho de Sá, ela relata sobre sua experiência em uma classe

de Educação de Jovens e Adultos, em que foi obversado por ela, durante uma

atividade, que alguns alunos dessa classe preferiam dividir o numerador pelo

47

denominador das frações, para assim trabalharem com um número decimal, sendo

que a manipulação com frações não era algo novo pra eles, visto que estes alunos

já haviam estudado em algum momento de suas vidas, os números racionais. Essa

atitude parecia mais cômoda e de fácil interpretação e manipulação para os alunos.

Sá acredita que isso se deve ao fato de os números decimais serem mais usados no

dia-a-dia, mais trabalhados na sala de aula, e enfim, acabam sendo mais

requisitados por parte dos alunos, porem, Bertoni (apud SÁ, 2011) afirma que essas

transformações frequentes nas salas de aula sugerem uma síndrome, da qual ele

chama de “evitamento das frações”.

Sá mostra que quando se procura inserir o conteúdo de frações na sala

de aula de forma significativa para os alunos, o aprendizado acontece de maneira

diferente, despertando o interesse sobre o assunto com atividades e exercícios mais

presentes no cotidiano do aluno, fazendo com esses alunos percebam onde as

frações estão inseridas em seus ambientes socioculturais.

Outra experiência relatada por Sá confirma que as operações envolvendo

frações sempre causam estranhamento a quem as encontra e que apesar de

saberem operar corretamente essas operações, os alunos ficavam confusos quanto

as questões de comparação, equivalência, etc.. Isso se mostra como algo

preocupante, visto que, segundo a ideia de Pereira (apud SÁ, 2011), boa parte dos

alunos acaba o ensino básico sem dominar as noções de frações, e isso se tornará

um problema quando esses precisarem utilizá-las para trabalhar com estatísticas,

juros, probabilidades, etc.

Sobre o ensino de fração como relação parte-todo, segundo Sá esse

ensino é iniciado constituindo-se de muitas representações gráficas, onde figuras

(na maioria planas) são divididas em n partes iguais e uma certa quantia dessas n

partes é destacada, seguindo também o exemplo da maioria dos livros didáticos. E

ainda acrescenta que essa forma de constituição de conceito de fração desenvolve

no aluno uma habilidade diferente da desejada, que seria atribuir à fração uma

quantidade, compará-la com um número natural, localizá-la na reta numérica, etc.

Em relação às dificuldades encontradas na sala de aula, Sá mostra que

em uma pesquisa de Bocalon (2008, apud SÁ, 2011), em que professores do Ensino

Fundamental relatam que as crianças não entendem a fração como uma divisão em

partes iguais, fato esse que resulta em erros conceituais, e ainda aponta que a maior

das dificuldades encontradas é devida a falta de base matemática trazida das séries

48

iniciais. Reforçando essa ideia, temos a afirmação de Nunes (2005, apud SÁ, 2011):

“para que os alunos tenham bem claro como é importante que as partes sejam

iguais, é necessário que eles estabeleçam a conexão entre o conceito de fração e a

operação de divisão, pois essa produz sempre partes iguais”. Sá pensa que é

impossível entender o conceito de fração sem estabelecer essa conexão entre o

conceito de fração e a operação de divisão. Essa conexão é justamente o que causa

diversos problemas, visto que, a divisão é umas das operações matemática que os

alunos tem muitas dificuldades.

Cavalieri (2005) diz que na escola é comum ouvirmos exclamação do tipo

“nesse exercício tem frações” quando usada em algumas atividades e que isso é

uma constatação que desanima um grande número de alunos do 1º grau e até

mesmo do 2º grau. Ele ainda ressalta o fato que, mesmo sendo estudada nas séries

inicias, poucas pessoas sabem calcular com frações, pois ela é pouco usada no dia-

a-dia, fato este que acaba fazendo com que as frações sejam esquecidas. Ele ainda

fala sobre as dificuldades e dúvidas acerca do conceito de número racionais:

Tantas dúvidas e dificuldades encontradas pelos alunos talvez se devam ao

fato de o conceito de número racional não ser de fácil compreensão para a

criança. A maneira pela qual é iniciado o trabalho com os números

racionais, costuma-se introduzir “idéia de fração” associada a noção de

pedaço, depois se depara com uma fração do tipo 8

3, que contém dois

inteiros, que representa algo maior que um pedaço. (CAVALIERI, 2005, p.

32).

Cavalieri (2005) aponta também que, na escola são apresentadas várias

regras para operar com frações e que a criança não tem um verdadeiro aprendizado,

fato que leva a criança a não compreender o que está fazendo e que ela apenas

repete de maneira mecânica os procedimentos ensinados pelo professor, resultando

em conceitos maus formandos e esquecimento das regras que lhes foram

ensinadas.

A doutora Neide Sant’ Anna (2008) em sua tese de doutorado, apresenta

alguns resultados do SAEB – Sistema nacional de Avaliação Básica – onde alunos

brasileiros da 4 ª series e 8ª serie do ensino fundamental e 3ª series do ensino

médio, apresentam dificuldades semelhantes no que diz respeito ao conteúdo de

operações/álgebra e funções. Ela ainda comenta que há um senso comum entre os

49

professores, que um quesito forte para justificar essas dificuldades, é a priorização

da memorização/mecanização das regras e técnicas das series iniciais.

Bertoni (2010) ratifica o baixo rendimento dos alunos nas provas

escolares e nas provas de avaliação nacional, tanto no entendimento do significado

desses números quanto na operação com os mesmos, ou seja, quando aprendem

realizar os cálculos, não sabem onde aplica-los. Isso pelo fato de o ensino não foi

construído, e sim mecanizado, logo o aluno não consegue entender onde e para que

usar estes cálculos.

Bertoni (2010) apresenta alguns exemplos, de situações problemas e

cálculos mais diretos do tema, que alunos sentem dificuldades, problemas esses

que são corriqueiros.

Quanto vale 3/2 de 25,00?

Com 22 ½ litros, quantos frascos de 1 ½ litros poderemos encher?

Resolva mentalmente: quanto dá ½ dividido por ¼ ?

Por que a divisão de frações se faz daquele jeito estranho?

Por que se usa o mmc? Por que ele é usado na soma e na subtração e

não na divisão e na multiplicação?

Bonotto (2011) em sua monografica - Estratégias de ensino-

aprendizagem de frações - descreve a aplicação de um procedimento metodológico

de pesquisa e ensino no contexto de sala de aula, onde buscou desenvolver meios

de ensino-aprendizagem para o conteúdo de frações. Ela baseou-se em atividades

de pesquisa e análise de materiais que tratam de frações, utilizando diversos

recursos didáticos para aplicação de tais atividades cujo objetivo foi proporcionar ao

educando uma maior compreensão do conteúdo de frações, a partir das

contextualizações feitas.

Ao analisar as questões, Bonotto (2011) percebeu que houve dificuldades

para a resolução de todas as questões. Entretanto, as questões que apresentaram a

maior quantidade de alunos que não realizaram ou erraram, foi a questão das

operações com frações, onde eles apresentaram dificuldades em realizar a soma ou

a diferença de duas frações, tanto com denominadores iguais como diferentes, onde

eles somaram ou subtraíram tanto os numeradores como os denominadores,

enquanto que na divisão não conseguiram resolver, porém na multiplicação houve

um número maior de acertos.

50

5. AS CONCEPÇÕES FRACIONÁRIAS NO LIVRO DIDÁTICO

Neste capítulo, faremos um breve levantamento didático, sobre a

abordagem de frações nos livros didáticos. Para tanto, analisamos duas coleções de

livros didáticos do ensino fundamental, para investigarmos em quais livros

didáticos/coleção é enfatizada a abordagem histórico-fracionária e qual o livro

aborda este conhecimento matemático. Isto é, a forma como o livro introduz o

conteúdo, se já traz a definição diretamente ou se inicia com alguns recursos

didáticos ou aplicações; com relação aos diferentes significados de frações, se ele

aborda os casos gerais ou se enfatizam apenas particularidades.

Um bom livro didático é uma fonte para o conhecimento da matemática escolar. É nele que podemos nos familiarizar com a Matemática que devemos ensinar. Às vezes, os cursos de formação inicial do professor nessa área se descuidam de um aspecto fundamental: ensinar a matemática elementar com que os docentes irão lidar na sua prática docente na escola. E, assim, alguns professores, sem nenhum demérito, têm que aprender esta matemática no livro que adotam (Coleção Explorando o Ensino, v. 17, p. 29-30).

5.1 Coleção 1 – A Conquista da Matemática – 2009

Neste livro didático, referente ao sexto ano, o autor aborda os números

fracionários em dois capítulos “A representação fracionária dos números racionais” e

“A representação decimal dos números racionais”. Inicia o capítulo I, mostrando-nos

exemplos cotidianos onde podemos encontrar a representação fracionária. Vejamos:

Figura 19 – Fração como significado parte-todo.

51

Conforme podemos verificar na figura 19, o autor evidencia as clássicas

formas de se abordar o conteúdo fracionário, como pizzas ou barras de chocolate, o

que confirma as afirmações de Silva (2005), Vasconcelos (2007), Bezerra et. al. e

Bertoni (2009). Com relação à história da matemática, o livro apresenta-nos uma

declaração, sobre a história das frações, afirmando-nos que os números fracionários

apareceram pela primeira vez no Egito. Fica evidente, também, que o conteúdo de

forma unânime, é apresentado por situações, expressas por figuras que se apoiam

na idéia de fração como significado parte-todo.

É notório também, que não há um estudo prévio. Isto é, o livro não

evidencia de forma clara os algoritmos de resolução de problemas que envolvam as

outras representatividades do número fracionário, conforme podemos verificar no

exercício da figura seguinte:

Figura 20 – Exercícios Referentes à Fração: Representação Geométrica e Parte-Todo.

52

Com relação ao significado de fração como operador é notória a seguinte

situação:

Figura 21 – Fração Como Operador Multiplicativo.

Entretanto, o livro utiliza diversos exemplos sem deixar a generalização

de lado. Neste livro, é perceptível o uso de uma linguagem de fácil compreensão

para os alunos. Neste sentido, é notório percebermos que o autor atende a

maturidade cognitiva dos alunos. Pois é evidente o uso de generalizações, quase

sempre, escritas (1º e 6º ano), o que não ocorre no livro do 7º ano desta coleção.

Uma vez que neste, o autor faz uso de uma linguagem mais algébrica para

determinadas situações.

Figura 22 – Definição de Fração Equivalente (6º ano)

Figura 23 – Conceito de Número Racional (7º ano)

No capítulo, a representação decimal dos números racionais, ainda no

livro do sexto ano, é abordada o número fracionário relacionando-o ao estudo de

porcentagem. Neste sentido, são enfatizados diversos problemas relacionados ao

racional na sua representação decimal. Vejamos, por exemplo, a figura 24.

53

Figura 24 – Representação Decimal do Número Fracionário (Porcentagens e Gráficos).

A escrita didática do livro do sétimo ano, desta coleção, é “análoga” a

escrita do sexto ano. É unanime propalarmos que a maior parte dos teores, desta

coleção, é desenvolvida com base na resolução de problemas.

No sétimo volume, o conceito de número racional é explorado.

Diferentemente do sexto ano, o qual o número fracionário era visto apenas como

“um número qualquer”. Haja vista que, a forma fracionária dos números racionais

permaneceu evidente apenas no título principal deste capítulo.

No volume do sétimo ano é notório observarmos os números fracionários

em conjunto com os números racionais. No capítulo referente ao estudo dos

números racionais é evidenciada a resolução de problemas, nos quais são utilizados

generalizações de conceitos e propriedades. Sendo relacionado, neste capítulo, o

número fracionário a um ponto na reta. Isto é, o significado de fração como número.

Conforme podemos verificar na figura 25.

No terceiro volume, desta coleção, destinado aos alunos do oitavo ano,

observamos o ensino de frações algébricas, a qual é ensinada de repetitiva é

mecânica.

Com relação ao nono ano, não é perceptível correlações de assuntos que

abordem o ensino de frações e seus diferentes significados. Conforme fora visto em

edições anteriores.

54

Figura 25 – Fração Como Ponto na Reta.

Figura 26 – Frações Algébricas.

5.2 Coleção 2 – Vontade de Saber – 2009

Esta coleção apresenta um capítulo intitulado Frações. Neste tópico, é

perceptível o ensino de frações relacionado ao significado Parte-todo e,

posteriormente, outras propriedades relacionadas a esta temática. O conceito de

fracionário é introduzido através de algumas aplicações. São perceptíveis também,

as diferentes abordagens dos assuntos relacionados ao ensino de frações, isto é,

onde podemos encontra-las em nosso dia-a-dia.

55

Em suas atividades, esta coleção, contempla o significado de fração como

Parte-Todo. Enfatizando em muitas de suas atividades à representação Geométrica

a qual recorrem constantemente. Vejamos o seguinte problema, abaixo:

Figura 27 – Representação Geométrica do Significado de Fração Parte-Todo.

Encontramos também, em um de seus eixos temáticos um tópico

relacionado ao ensino de frações e porcentagem, ou seja, o número fracionário em

sua forma decimal (ver figura 28). Esta abordagem, embora se inicie de forma

empírica, aborda um assunto relacionado ao meio ambiente, cujo enfoque esta

relacionado à coleta seletiva do lixo. Diversas são as situações, nesta coleção, que

nos levam a uma reflexão sobre determinadas situações cotidianas.

O tópico referente ao número decimal é abordado de forma bastante

resumida; com relação ao significado de fração como medida. Esta coleção destaca-

nos três tipos diferentes para este significado. Assim intitulados: medidas lineares,

superficiais e volumétricas. Com uma linguagem atual, reflexiva e extensa.

56

Figura 28 – Representação Fracionária Decimal e Porcentagem (Exemplo Cotidiano).

Com relação à história da matemática, é pouco perceptível a abordagem

relacionada a esta temática, ficando evidente apenas um texto sobre a história de

fração no Egito.

O conteúdo de fração como significado de medida é abordado, no

segundo volume, desta coleção, destinado aos alunos do 7º ano. Em um tópico

intitulado Números Positivos e Números Negativos. No livro do 8º ano, as frações

são mencionadas com o sentido de divisão. Em seus exercícios, o significado de

fração como Parte-Todo, ainda, é bastante evidente. Porém, no 4º volume, o autor

aborda noções de razão e proporcionalidade de forma rápida e resumida.

Após analisarmos as duas coleções de livros didáticos que citamos neste

trabalho, podemos verificar que também não existe consenso entre os autores

citados com relação à utilização dos diversos significados das frações. Isto

demonstra, mais uma vez, que as discussões a respeito dessa temática ainda

57

necessitam ser bastante aprofundadas, principalmente através de novas pesquisas.

Parece-nos evidente que estamos longe de chegarmos a alguma conclusão que seja

de razoável consenso.

6. FRAÇÃO COMO MEDIDA DE COMPRIMENTO DE RETA

Neste capítulo analisaremos os trabalhos do educador matemático

americano Hung-Hsi Wu, que propõe o ensino de fração como medida de

comprimento de reta. Como também, faremos links à tese da Drª. Sant’ Anna (2008),

na qual ela se baseia fortemente nos trabalhos deste matemático, visto que a ideia

central de sua tese foi trabalhar o conceito de fração, identificando a fração como

número e representando esse número na reta numérica.

Conforme nossas pesquisas para este trabalho, podemos verificar que os

alunos apresentam enorme dificuldade durante o processo de aprendizagem dos

números racionais. Neste sentido, em sua tese de doutorado, a pesquisadora Neide

Sant’Anna (2008) nos diz que: “não têm faltado tentativas da comunidade de

educação matemática para melhorar o ensino de frações” (p.25), ela procurou

oferecer indícios ou pistas de tal forma que, por meio de uma nova abordagem do

ensino de frações, que toma como referência a reta numérica, o aluno possa vencer

suas dificuldades na passagem do campo aritmético para o campo algébrico.

Citando o educador matemático Wu como sua principal fundamentação teórica,

Sant’Anna (2008) coloca que esse pesquisador propôs trabalhar o conceito de

fração como medida de segmento de reta, bem como identificar fração como um

número e fazer sua representação na reta numérica. Sant’Anna nos propala que,

para Wu existem dois gargalos na educação matemática no Ensino Fundamental: o

ensino de frações e a introdução à álgebra. Wu aponta, segundo ela, áreas

problemáticas tanto na teoria como na prática do ensino de frações, que podem ser

descritas como (p. 25-26):

(1) O conceito de fração nunca é definido claramente e sua afinidade com

os números inteiros não é enfatizada suficientemente.

(2) As complexidades conceituais associadas ao emprego de frações são

enfatizadas desde o início em detrimento do conceito básico.

58

(3) As regras das operações aritméticas com frações são apresentadas

sem relacioná-las às regras das operações com números inteiros, com os quais os

alunos têm familiaridade.

(4) Em geral, explicações matemáticas de quase todos os aspectos

essenciais do conceito de fração ficam faltando.

Sant’Anna enfatiza o fato de Wu ser favorável à introdução da álgebra

mais cedo aos alunos, visto que, ao ser introduzido no campo algébrico, por meio do

ensino de frações no 7º ano, o aluno consiga abstrair-se a ponto de conseguir

superar as dificuldades que, de um modo geral, atingem os alunos nessa etapa do

processo de aprendizagem. Assim, Sant’Anna também concorda que a capacidade

de se abstrair deve ser desenvolvida tão cedo quanto possível ao longo do currículo

escolar, resaltando que o ensino de frações constitui oportunidade especialmente

adequada para esse fim e ainda vai além, acrescentando que esse fator dá ao aluno

uma vantagem na etapa correspondente à introdução à álgebra.

Ainda em relação à álgebra e os números inteiros, segundo Wu:

Enquanto a intuição sobre números inteiros pode ser baseada na contagem dos dedos, a aprendizagem de frações exige antes de tudo uma substituição mental para seus dedos. Precisamos de modo claro dizer o que é uma fração. Uma fração tem que ser um número, e, portanto a definição de uma fração como “parte-de-um-todo” não serve. O aluno precisa ver que as frações são a extensão natural dos números inteiros, de maneira que as operações aritméticas +, -, x, e ÷ de números inteiros podem ser estendidas de maneira natural para as frações. (WU, APUD, SANT’ANNA, 2008).

Wu (apud Sant’Anna, 2008) sustenta que definir uma fração (ou qualquer

número racional) como um ponto de reta numérica através do processo de partição

serve admiravelmente para efetuar esta transição, como por exemplo, ao dividir ao

meio a metade de um segmento de reta, é fácil perceber que a metade de 1

2 é

1

4

Sant’Anna resalta que o objetivo a ser atingido no ensino de fração consiste em

capacitar os alunos para realizar as quatro operações de fração com facilidade que

em habilitá-los a usar estas operações para resolver problemas.

Acreditamos que as colocações de Sant’Anna, com base nos trabalhos de

Wu, se refiram a estudantes do segundo segmento do Ensino fundamental, pois

sugere a utilização da reta numérica como referência para a abordagem do ensino

de fração, o que não deixa de ser uma abordagem abstrata. Além disso,

59

acreditamos que as áreas problemáticas indicadas por Wu são algumas das

inúmeras razões que podem esclarecer o porquê da grande maioria dos alunos que

chegam ao Ensino Médio não possuir as noções básicas a respeito dos vários

significados do número fracionário, mal conseguindo conceituá-los como números.

Visto a importância e as razões favoráveis do ensino de fração como

medida de comprimento, agora vamos mostrar a definição de Wu (2008, 2009, e

2012) para uma fração como medida de comprimento de reta.

6.1 Definição De Wu Sobre Frações Como Medida De Comprimento

Wu (2009) define fração como medida de comprimento de reta como um

aperfeiçoamento do conceito usual de uma fração como uma "parte de um todo”. Ele

começa a explicação dessa definição da seguinte maneira: ele pede para começar

com uma linha, que é geralmente tomada como uma horizontal, e fixar dois pontos

sobre ela. O ponto da esquerda deve ser denotado como 0 e o direita como 1,

assim, a discussão feita por ele vai se concentrar inteiramente na metade da linha à

direita do 0, ou seja, os números negativos não serão usados. Agora, devemos

avançar para a direita, a partir do 0, marcando pontos sucessivos distantes entre si,

assim como 1 é distante de 0 (como uma régua). Identifique esses pontos por todos

os números 0, 1, 2, 3, etc., conforme na figura abaixo.

Figura 29 – Reta numérica.

Seguindo a sua explicação, Wu começa uma discussão informal,

levantando a hipótese de que, se adotarmos a abordagem usual para frações, o

"todo" seria tomado como segmento de 0 a 1, chamado de segmento unidade, a ser

denotado por [0,1]. O número 1 é chamado de unidade. Em seguida, uma fração,

como 1

3 seria de comum acordo, uma parte quando todo o [0,1] é dividido em três

partes iguais. Mas se tentarmos avançar com a matemática, imediatamente nós

teremos problemas. Porque uma fração é um número e não uma forma ou uma

figura geométrica. O segmento unidade [0,1], por conseguinte, não pode ser o todo.

60

A linguagem de "partes iguais" também é problemática, porque em qualquer outra

coisa senão segmentos de reta geralmente não é claro o que "partes iguais"

significam. Por exemplo, se o todo é um pernil, fazer "partes iguais" significa peças

com pesos iguais, comprimentos iguais, quantidades iguais de carne, quantidades

iguais de ossos, etc. Assim, Wu se ver forçado a introduzir uma maior precisão em

sua discussão, a fim de evitar mal-entendidos. O que deveria se especificar, em vez

disso, é que o conjunto é o comprimento do segmento unidade [0,1], em vez do

próprio segmento. Quando dizemos [0,1] é dividido em "partes iguais" o que

devemos dizer é que [0,1] é dividido em segmentos de comprimentos iguais. A

fração de 1

3, portanto, seria o comprimento de todo o segmento, de modo que três

segmentos com o mesmo comprimento, quando colocados juntos, formam um

segmento de comprimento 1. Uma vez que todos os segmentos entre os números

inteiros consecutivos têm um comprimento, quando do mesmo modo que dividem

cada um dos segmentos entre os números inteiros consecutivos em três segmentos

de comprimento igual, o comprimento de cada um desses segmentos curtos é

também de 1

3. Em particular, cada um dos seguintes segmentos engrossados na

imagem abaixo tem um comprimento de 1

3 e, portanto, é uma representação

legítima de 1

3.

Figura 30 – Reta numérica dividida em três partes iguais.

Agora, devemos nos concentrar no segmento engrossado na extrema

esquerda, próximo ao 0. A distância de seu ponto final desde 0 é naturalmente .

Uma vez que o valor de cada número inteiro na linha número revela a sua distância

de 0 (por exemplo, a distância do ponto rotulado 3 é exatamente 3 de 0), a lógica

exige rotular o ponto final direito desse segmento pela fração 1

3, e chamamos este

segmento de "representação padrão" de 1

3. Nós também denotamos este segmento

61

engrossado por [0, 1

3], porque a notação exibe claramente o ponto final esquerdo

como 0 e o ponto de extremidade direita como 1

3. Para resumir, descrevemos como

a noção ingênua de 1

3 como "uma parte quando o todo é dividido em 3 partes

iguais" pode ser refinado por etapas sucessivas e transformado em um ponto da reta

numérica, como mostrado abaixo.

Figura 31 – Representação de na reta numérica.

Em um ambiente matemático formal, agora usamos este ponto específico

como representante oficial de 1

3. Em outras palavras, qualquer que seja a expressão

matemática que queremos fazer sobre o valor correspondente a 1

3, isso deve ser

feito em termos deste ponto. Este acordo reforça a uniformidade de linguagem e dá

clareza a qualquer discussão matemática referente à 1

3. Ao mesmo tempo, a

discussão anterior também dá a confiança de que podemos relacionar este ponto na

reta numérica para nossa experiência diária com 1

3, devendo surgir essa

necessidade.

O que se têm feito para a representação de 1

3 pode ser feito a qualquer

fração com um denominador igual a 3, por exemplo, a representação padrão de 2

3

seria o ponto marcado na direita de 1

3, e que

3

3 seria o próprio 1. De um modo geral,

identificamos qualquer 3

m para qualquer número inteiro m com a sua representação

padrão, e para permitir que 0 seja escrito como . Aqui, então, são as primeiras

frações com denominadores iguais a 3.

62

Figura 32 - Primeiras frações com denominadores iguais a três na reta numérica.

Note-se que é fácil para descrever cada uma destas frações. Por

exemplo, 7

3 é o 7º ponto de divisão, quando a reta numérica é dividida em três

partes (em linguagem autoexplicativa). Equivalentemente, podemos também dizer

que 7

3 é o 7º múltiplo de

1

3 (mais uma vez, em linguagem autoexplicativa).

O que temos de frações com denominadores iguais a 3 pode ser feito a

qualquer fração. Desta forma, podemos transformar o conceito ingênuo de uma

fração como parte de um todo para o conceito claramente definido de uma fração

como um ponto na reta numérica.

Partindo destes princípios de definição de fração como medida de

comprimento da reta numérica, Wu (2009) já nos confirmava que há muitas

vantagens indispensáveis dessa transformação, mas que há três que devem ser

levados para fora imediatamente.

Na reta numérica, todos os pontos estão em pé de igualdade, de modo que, como mostrando na imagem anterior, por exemplo, não há diferença

conceitual entre e , pois ambos os números são igualmente de fácil

acesso. A essência desta mensagem é que, quando uma fração é claramente definida como um ponto da reta numérica, a diferença conceitual entre as chamadas frações próprias e impróprias desaparece completamente. (WU, 2009)

Assim, a primeira grande vantagem de compreender frações como um

ponto na reta numérica é que todas as frações são criadas iguais. Agora podemos

discutir todas as frações de uma só vez com facilidade, se adequado ou inadequado.

Nesta pequena maneira, o conceito de fração começa a simplificar, e aprender sobre

fração fica mais fácil.

A segunda principal vantagem é que tal conceito de frações é

inerentemente flexível. Uma vez que nós especificarmos o que a unidade 1

representa, todas as frações podem ser interpretadas em termos da unidade.

Exemplificando:

63

Agora estamos prontos para que o pernil citado no início do texto. Se

deixarmos que um suporte para o peso do pernil, em seguida,

representaria uma peça do pernil que é um terço de todo o pernil em peso. Se, por outro lado, deixar um suporte para o volume do presunto, em seguida, a mesma fração irá agora ser uma peça do pernil que é um terço de todo o presunto em volume, por exemplo, em centímetros cúbicos. (WU, 2009)

Isso nos leva a terceira grande vantagem: o aumento da flexibilidade

exige um aumento na precisão. Assim, se vão às referências à solta de "partes

iguais".

6.2 Operações com frações segundo Wu.

Segundo Wu (2012, apud., Revista Cálculo), quase todos os problemas

com frações surgem porque o docente não persiste em duas ideias fundamentais

para o ensino de frações: a de equivalência de frações e a de que uma fração é um

número como outro qualquer, que pode e deve ser anotado na reta dos números.

A ideia de fração equivalente é simples: ao multiplicar o numerador e o

denominador pelo mesmo número (a seguir, esse número é w), obteremos uma

fração equivalente à primeira fração, pois as duas, feitas as contas com a

calculadora, resultam no mesmo quociente.

a w a

b w b

Segundo Wu (2012, apud.,Revista Cálculo), depois que a criança assimila

essa ideia, Hung-Hsi Wu lhe pede que marque o lugar das frações na linha dos

números. Para marcar 1

3, por exemplo, a criança simplesmente divide a unidade em

três partes iguais, e marca a primeira parte, bem junto ao 0, como1

3, e a partir daí

2

3,

3

3(que coincide com 1),

4 5,

3 3 e

6

3(que coincide com 2), e assim por diante para

várias frações, conforme já fora mostrado anteriormente na definição de fração com

medida de comprimento de reta.

Feito isso, Wu (ibid., p.15) faz o seguinte questionamento, que deve ser

feito aos alunos: como somar 3

2com

4

3?

64

Figura 33 – Adição de Frações na Reta.

Com as frações na linha dos números, os alunos percebem que somar

frações é igual a somar outros números. Isto é, ela deve somar o comprimento de 0

até 3

2 com o comprimento de 0 até

4

3, do mesmo maneira que usa ela para somar 5

com 3, somando do comprimento de 0 até 5 com o comprimento de 0 até 3. E como

fazer isso? É neste momento que segundo Wu (2012, apud.,Revista Cálculo), a

criança recorres à ideia de fração equivalente para deixar as duas frações com o

mesmo denominador, e facilitar as contas. Depois de pensar e de conversar com os

colegas, a criança multiplica a primeira fração por k=3 e a segunda fração por k=2:

“Olhando a linha dos números”, diz Wung-hsi Wu, a operação acima fica

simples. O segmento de 3

2 de comprimento é a concatenação de 9 segmentos de

1

6

de comprimento, e o segmento 4

3 é a concatenação de 8 segmentos de

1

6, e tudo

isso vai dar um segmento de 17

6 é a mesma coisa que dois segmentos inteiros,

mais 5 segmentos de 1

6.

Figura 34 – Adição de Fração (concatenação de segmentos).

65

“Desse jeito, o aluno passa a ver as frações como uma extensão natural

dos números inteiros, e não como uma coisa extra e confusa” (Wu, 2012,

Apud.,Revista Cálculo).

A mesma ideia vale para as multiplicações de frações. Se a criança já

sabe que multiplicar 2 por 3 é achar a área de um retângulo com 3 unidades de

comprimento e 2 unidades de altura, ela sabe que multiplicar 2

3 por

4

5 é algo

equivalente. Ou seja, é achar à área de um retângulo de comprimento igual a 4

5 e

largura igual a 2

3. Como assim? Ele desenha um quadrado de lado igual a 1. Ai ela

divide dois lados opostos por 3 e dois lados opostos por 5,e desenha uma grade. Ela

vai dividir o quadrado em 15 retângulos de lados iguais a 1

5 e

1

3. Em seguida, ela

hachura a área do retângulo de lados iguais a 4

5 e

2

3. Ela vai notar, com facilidade,

que essa área equivale a 8

15 de um inteiro de um inteiro ao quadrado.

E com isso ela vai entender, em vez de decorar, porque, ao multiplicar

uma fração pela outra, basta multiplicar uma fração pela outra, basta multiplicar os

dois numeradores e depois os dois denominadores.

Figura 35 – Multiplicação de Fração.

66

Hung-Hsi Wu diz que, quando a criança compreende as idéias na base de

qualquer algoritmo, ela não decora o algoritmo, mas usa para deixar certas

operações mais simples. “Ela entende a mágica de aprender”, diz Hung-Hsi: “obter a

capacidade de transformar algo complicado em muito mais simples”.

Outra consequência útil de frações equivalentes, segundo Wu (2008), é o

seguinte Fato Fundamental de Pares de Frações, o qual Wu abrevia como FFFP:

Quaisquer duas frações pode ser representado simbolicamente como duas

frações, com o mesmo denominador.

A razão é simples: se as frações são m

n e

k

l, em seguida, por causa de

equivalência de frações, temos

m m l k n k e

n n l l n l

Agora, eles compartilham o denominador nl.

Por que devemos prestar atenção no FFFP? Se quaisquer duas frações

podem ser escritas como frações com o mesmo denominador, por exemplo, a

n e

b

n,

em seguida, eles são colocados em pé de igualdade, no sentido de que na

sequência de n-ésima, estas duas frações estão em a-ésima e b-ésima posições.

Por exemplo, pode-se dizer imediatamente que a

n está à esquerda de

b

n, se a<b.

Tais considerações terão um papel importante a seguir.

Frações equivalentes naturalmente trazem à tona a questão de saber se

os alunos devem sempre reduzir cada fração para termos mais baixos. Implícito

nesta declaração é o pressuposto de que cada fração é igual a uma fração única em

termos mais baixos (embora esta hipótese é verdadeira e credível, e a sua prova é,

no entanto, um caso bastante trivial, dependendo como faz-se essa prova no

algoritmo de Euclides.). O que é mais pertinente é o fato de que, como uma fração,

12

9 é tão bom quanto

4

3, e, em geral

nk

nl é tão bom quanto

n

l. Uma insistência em

ter sempre uma fração em seus termos mais baixos é, portanto, uma preferência,

mas não uma necessidade matemática. Além disso, às vezes não é imediatamente

óbvio se uma fração é menor em termos ou não, por exemplo, 68

51. Uma atitude mais

67

flexível para com frações não redutíveis consequentemente faz uma melhor

educação matemática para os alunos da escola.

Nos subtópico seguintes daremos ênfase na exposição de Wu (2008) de

como ensinar frações como medida de segmento na reta numérica, ressaltando as,

fração como divisão, adição de frações e comparação de frações. Lembrando que

as exposições seguintes levam sempre em consideração o significado de Wu para

fração como medida de segmento na reta numérica e frações equivalentes, como

exporto anteriormente.

6.2.1 Fração como divisão

Para quaisquer dois inteiros números m e n, com n ≠ 0, que define a

divisão de m por n, como se segue:

m ÷ n é o comprimento de um lado, quando um segmento de

comprimento m é dividido em n partes iguais.

Por que esta definição? Porque os alunos entrando no 6º ano ou nas

imediações do 6º ano, só sabem sobre o significado de "9 dividido por 3", "28

dividido por 7", ou, em geral, "estou dividido pelo n quando m é um múltiplo de n".

Mas agora nós estamos falando sobre a divisão de inteiros positivos arbitrários,

como "5 dividido por 7" ou "28 dividido por 9". Tais divisões são conceitualmente

distintas dos conceitos prévios de "divisão" do 6º ano. Um dos principais problemas

da literatura matemática escolar é o fracasso ao chamar a atenção para essa

definição mais nítida entre esses dois tipos de divisão e dar uma definição precisa

do caso geral, como visto acima. Com esta definição entendido, um ponto crítico

para o desenvolvimento do conceito de uma fração é a prova a seguir:

Teorema 1: Para quaisquer dois inteiros números m e n, n ≠ 0,

mm n

n

Isto é chamado de interpretação de divisão por uma fração. A prova disso

é muito simples. Para particionarmos [0, m] em partes iguais n, expressamos m = m

1

como nm

n.

68

Isto é, [0, m] é igual a cópias nm de 1

n, o que é também n cópias de

m

n.

Então uma parte em uma partição de [0, m] em n partes iguais é m

n.

Este teorema permite que as soluções de problemas, tais como, "Nove

estudantes contribuíram com dinheiro pra comprar um saco de 50 quilos de arroz.

Eles precisam compartilhar o arroz igualmente por peso. Quantos quilos cada

pessoa deve receber?". Mais importante, este teorema é a razão para que agora nós

posamos retirar o símbolo de divisão ÷ e usar m

n exclusivamente para denotar "m

dividido pelo n” quando m, n são números inteiros.

6.2.2 Adição de frações

A adição de frações não pode ser diferente, conceitualmente, a partir da

adição de números inteiros, porque cada número inteiro representa uma fração.

Então, como vamos adicionar números inteiros quando números inteiros são

considerados pontos na linha número? Considere-se, por exemplo, a adição de 4 a

7. Em termos do número de linha, isto é apenas o comprimento total dos dois

segmentos unidos em conjunto de ponta a ponta, um comprimento de 4 e o outro

comprimento de 7, o que é, naturalmente, 11, como mostrado.

Figura 36 – Adição de frações na reta numérica.

69

Chamamos este processo de concatenação dos dois segmentos.

Imitando este processo, que definem, dado frações k m

el n

, a soma k m

l n por

k m

l n = o comprimento de dois segmentos concatenados, um de comprimento

k

l, seguidos de um comprimento de

m

n

Figura 37 - Concatenação dos dois segmentos. Fonte: WU (2008, p. 11).

É uma consequência imediata da definição que

k m k m

l n l

porque ambos os lados são iguais ao comprimento de k + m cópias de 1

l. Mais

explicitamente, o lado esquerdo é a duração de k cópias de 1

l combinada com m

cópias de 1

l, e é, por conseguinte, o comprimento de k + m cópias de

1

l, o que é

exatamente o lado direito. Devido a FFFP, o caso geral da adição de duas frações

com denominadores desiguais é imediatamente reduzida para o caso de

denominadores iguais, ou seja, para adicionar k m

l n , onde l ≠ n, usamos FFFP

reescrever k

l como

kn

ln e

m

n como

lm

ln. Então,

k m kn lm kn lm

l n ln ln ln

.

A primeira aplicação de adição de fração é a explicação para o algoritmo

de adição de (finitos) decimais. Uma segunda aplicação é para obter a chamada

forma expandida de uma completa (finito) decimal. Uma terceira aplicação de adição

de fração é introduzir o conceito de números mistos. Observamos que, a fim de

localizar frações na linha de número, é um método eficaz para usar divisão-com-

restante no numerador.

70

6.2.3 Comparando frações:

Por definição, dada duas frações k

l e

m

n, dizemos

m

n é menor do que

k

l

ou k

l é maior do que

m

n, se o ponto de

m

n seja para a esquerda de o ponto

k

lna

linha de número. Em símbolos: m

n<

k

l.

Figura 38 – Comparação de frações. Fonte: WU (2008, p. 13).

É uma percepção bastante chocante, que na apresentação usual de

frações (aquela que não usa a reta numérica), não exista uma definição sobre o que

significa uma fração ser maior do que a outra. Para dizer qual das duas frações

dadas é maior, a sequência seguinte é útil.

6.2.3.1 Algoritmo de multiplicação cruzada: Para todos os números inteiros de k,

l, m, n, k

l >

m

n é equivalente a kn> lm.

Aqui está a prova formal. Por FFFP, podemos reescrever k

l e

m

n como

kn

ln e

lm

ln, respectivamente. O algoritmo pode ser lido a partir desta observação.

Deve-se salientar que exatamente o mesmo raciocínio demonstra um algoritmo

semelhante para a igualdade:

k m

l n é equivalente a kn = lm

Isto é também referido como o algoritmo de multiplicação cruzada.

71

7. PROPOSTA DE ATIVIDADE

As atividades sugeridas, neste tópico, segundo as nossas concepções e

com base nos diversos trabalhos por nós pesquisados, são para melhor trabalhar o

“ensino das frações”, visando uma compreensão mais ampla do ensino de frações

como medida de comprimento de reta.

A realização destas atividades tem o propósito de ratificar as concepções

de WU ao nos afirma a importância do conceito de frações equivalentes, como

sendo o principal conceito, referente ao número fracionário. Segundo Wu (2012,

apud., revista cálculo), quase todos os problemas com frações surgem porque o

docente não persiste em duas ideias fundamentais para o ensino de frações: a de

equivalência de frações e a de que uma fração é um número como outro qualquer,

que pode e deve ser anotado na reta dos números. Neste sentido, consideramos

importante conceituarmos frações equivalentes.

7.1 Frações Equivalentes

Uma fração é dita equivalente, quando se mantêm a mesma proporção,

ou o mesmo valor, de outra fração. Para tanto, aprenderemos um método para

construir frações equivalentes. Vejamos, por exemplo, a seguinte fração 3

4. Se nós a

multiplicarmos por uma fração que é equivalente a 1, encontraremos como resposta

outra fração que representa o mesmo número. Isto é, a fração3

4.

vejamos: 3

4 x 1 =

3

4 x

2

2 =

6

8;

3

4 x 1 =

3

4 x

3

3=

9

12.

Portanto, as frações3

4,

6

8 e

9

12 são frações equivalentes.

No entanto, para chegarmos a esse conhecimento é necessário que os

alunos já conheçam as propriedades de multiplicação entre frações. Isto é, na

multiplicação entre frações multiplica-se numerador com numerador e

denominador com denominador. Exemplo: 3

4 x

2

2 =

6

8. Além disso, tal explicação

72

de fração equivalente ofusca a simples idéia intuitiva que há por trás de, que agora

vamos descrever.

Provaremos primeiro (2) para o caso especial de

3

4 = (

4

3 x

3

3) =

12

9

Este exemplo é realmente muito simples para ajudar na prova de um caso

geral. Entretanto, ele é uma boa introdução para as idéias básicas envolvidas. O

raciocínio ilustra bem as importâncias de termos definições precisas. De acordo

com a definição de frações, 3

4 é 3 cópias de

1

4, e nós queremos saber por que é

igual a3

4.

Vejamos primeiro sob o ponto de vista intuitivo de “cortar tortas”. É claro

que as tortas são representadas por círculos no plano e nós tentaremos dividir o

círculo em setores circulares congruentes. Assim 3

4 é representado pelas partes

pintadas do inteiro 1.

Figura 39 – Representação Parte-Todo de (Parte Pintada).

Agora dividiremos as partes em três pedaços congruentes, e desta

maneira obtemos a divisão da torta em 12 pequenos pedaços congruentes. Cada

um desses pedaços menores é, portanto 1

12.

73

Figura 40 – Representação Fracionária Parte-Todo: Frações Equivalentes.

Vejamos somente a parte pintada (cinza, laranja e verde). Ela está agora

dividida em 3 pedaços congruentes, cada um sendo1

12. Isto corresponde a

afirmação que 3

4 é 3 cópias de

1

4, isto é,

3

4 =

9

12.

No entanto, se verificássemos a idéia do argumento anterior utilizando a

reta numérica? Como seria? Para sermos breve, daqui por diante escreveremos

partes iguais a segmentos de comprimentos iguais no contexto da reta numérica.

Então vejamos:

Divida o segmento [0,1] em quatro partes iguais, o ponto de divisão (isto

é, 1

4 sendo indicado por flechas acima da reta numérica).

Figura 41 – Representação Parte-todo Na Reta.

Agora divida cada segmento de comprimento 1

4 em três partes iguais,

então [0,1] está agora dividido em 12 partes iguais, e cada uma dessas partes tem

comprimento 1

12. O desenho deixa claro que

3

4 é 3 cópias de

1

4. Sabendo que 3

cópias de 1

4 é igual a

3

4.

74

Figura 42 – Representação na Reta de Frações Equivalentes.

É importante destacarmos também, que a reta numérica é também um

ótimo recurso para tratar as frações como divisão de uma unidade (“todo”) em partes

iguais. Neste caso, iniciamos considerando os intervalos entre dois números naturais

marcados na reta numérica como o “todo”, que será subdividido em partes iguais.

Para marcar, por exemplo, a fração 3

5 na reta subdividimos o intervalo entre 0 e 1

em 5 partes iguais e cada uma destas partes corresponde a 1

5 deste intervalo.

Assim, fica mais fácil marcar 1 2 3 4

, , ,5 5 5 5

, até compreender melhor o significado da

fração 5

5.

Figura 43 – Representação na reta da fração5

5.

Representar frações na reta numérica contribui para a difícil passagem de

seu estudo como feito até agora para sua concepção como números. É um bom

recurso para observação de frações equivalentes e consolida a compreensão do

significado de número misto e sua associação com frações impróprias.

Compare, no exemplo a seguir, a representação do número 8

5 em dois

suportes diferentes (reta numérica e retângulos hachurados). Representada na reta

numérica, a fração 8

5 que pode ser escrita como o número misto

31

5 (um inteiro e

75

três quintos), desta forma, fica claro que ela representa um número maior do que 1.

No entanto, quando usamos os retângulos esta fração pode ser confundida com a

fração 8

10. Isso ocorre se considerarmos, como na ilustração abaixo, os dois

retângulos como um único “todo” que foi dividido em 10 partes iguais das quais 8

estão sendo consideradas (hachuradas). Observe que isso só é um erro, se tiver

sido bem definido que o “todo” é apenas um dos retângulos.

Figura 44 - representação do número 8

5 em dois suportes diferentes.

7.2 Exemplo de Atividade: Trabalhar o conceito de Frações Equivalentes e sua

Representatividade na reta numérica.

1. Usando a área do quadrado unitário como a unidade 1, mostre que 15

6 e

5

2 são

frações equivalentes.

2. Se 1 é a área de um quadrado unitário, e 7 1

= 23 3

, então 7

3 é a área de dois e um

terço quadrados unitários. A seguinte figura mostra a concatenação de três

quadrados unitários, e 7

3 é representado pela área de 7 dos terços quadrados, como

indicado na área sombreada.

76

a) Sem fazer cálculos, comente utilizando a figura acima, mostre que 21 7

= 9 3

são

frações equivalentes. Indique sua posição na reta numérica.

b) Agora, somente usando a reta numérica, represente a fração abaixo, sem precisar

repartir a unidade em 150 partes iguais: 40

150.

3. João Paulo desenhou um hexágono regular e dividiu-o em seis triângulos

congruentes. Desses seis pintou dois deles. Percebeu então que os dois triângulos

formavam um losango. Na verdade, o hexágono regular pode ser dividido em:

Seis triângulos congruentes ou

Três losangos congruentes ou

Dois trapézios congruentes.

a) Que fração o losango é do hexágono?

b) De que maneiras você pode representar a parte pintada?

c) Um trapézio é formado por 3 triângulos. De que maneiras você pode representar

um trapézio como fração do hexágono?

04. Sara fez um bolo para seus filhos e o repartiu em 24 pedaços iguais. João

comeu 3 pedaços, Pedro comeu 4, Marta comeu 5 e Jorge não comeu nenhum

pedaço. Que parte do bolo foi consumida?

a) 1

24

b) 1

4

c) 1

3

d) 1

2

e) 1

12

77

05. Utilize a reta numérica e responda: Qual é o maior: um nono de três quartos ou

um terço de nove quartos?

06. Observe a reta numerada:

Marque:

A – se o número estiver entre o 0 e 1.

B – se o número estiver entre o 1 e 2.

C – se o número estiver entre o 2 e 3.

D – se o número estiver entre o 3 e 4.

E – se o número for igual ou maior que 4.

( ) 2

4 ( )

9

5 ( )

42

12 ( )

4

4

( ) 24

6 ( )

58

22 ( )

978

10 ( )

1

3

07. Um pedaço de fita de 101 cm tem que ser cortada em 10 pedaços iguais. Qual

será o comprimento de cada pedaço dessa fita depois que ela for dividida?

a) 10 cm e resta 1 pedaço

b) 10 cm e resta 1 cm

c) 10

cm101

d) 1

10 cm10

e) 1

10 cm e resta cm10

08. Encontre quem é:

a) : 2 4

= 6

78

b) : 1

= 5 15

c) e : 3 15

= =6 12

8. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Durante este trabalho levantamos a importância do ensino de frações,

mostramos as diversas representações do número fracionário, desde sua história

até a maneira de como é ensinado nas escolas nos dias de hoje, com o intuito de

percebermos os principais problemas relacionados a esse ensino. Conhecer a

história das frações, compreender a sua importância nas séries iniciais e utiliza-la

como recurso metodológico é de extrema importância para o ensino da matemática,

pois, isto pode facilitar a aprendizagem deste conteúdo de tão grande importância e

utilização histórica. E, mesmo com o uso da tecnologia das calculadoras e dos

computadores de última geração, para se obter resultados de forma rápida e precisa

e também para resolver problemas considerados difíceis, o homem tem a

necessidade do conhecimento matemático. Assim, faz-se necessário dinamizar o

processo ensino-aprendizagem das frações, no sentido de despertar no docente e

no discente os aspectos da aplicabilidade desse conteúdo na sala de aula e no

próprio dia-a-dia, levando-os a despertar o gosto pelo estudo e a pesquisa. Não

adianta dizer ao discente que esse ou aquele assunto é importante porque vai cair

na prova ou porque está no programa. Ou então continuar usando os mesmos

exemplos para todas as séries para exemplificar frações como é o que acontece

com a barra de chocolate e a pizza.

É importante acrescentarmos também, que a organização lógico-histórica

do conceito de fração e da evolução de sua representação numérica perpassa

séculos, pois praticamente todos os povos contribuíram para sua evolução, desde as

frações unitárias dos egípcios até o nosso sistema de numeração decimal posicional

dos dias de hoje.

79

No entanto, percebemos que, apesar do reconhecimento que o ensino de

fração é de grande importância, poucas mudanças se veem no ensino da mesma na

sala de aula e nos livros didáticos, sendo que muitos estudos, como o de Santos

(2005), Cavalieri (2005), Bonotto (2010) entre outros, assim como o próprio PCN,

apontam que há diversas maneiras de como ensinar fração e que elas não podem

ser ignoradas, fazendo com que os alunos parem de ver as frações como certa

aversão. Muitas vezes, é difícil para o aluno, do Ensino Fundamental, assimilar o

conceito de fração e alguns livros usa uma linguagem ainda mais difícil ou partem

diretamente para o cálculo sem que haja uma introdução do assunto ou uma

fundamentação que desperte o interesse em aprender tal conteúdo.

Acreditamos que o grande gerador das dificuldades de aprendizagem de

frações está nas formas de aplicações diferenciadas da mesma, ou seja, na

variedade de ideias, conceitos ou representações que podem ser representados por

frações. Assim, essas diversas representações de fração geralmente não ficam

totalmente claro para o aluno, fato que gera dúvidas e dificuldades. Neste sentido,

percebemos que a origem do conhecimento matemático da fração está no problema

de medida e na busca de uma notação para representar esta medida. De modo a

sintetizar este pensamento, o homem precisou organizá-lo de modo que pudesse

ser registrado e o registro escrito desse pensamento proporcionou ser possível

transmiti-lo culturalmente às futuras gerações.

Desta forma, acreditamos que ao dar ênfase ao estudo de Wu sobre

fração como medida de comprimento de reta, o ensino de fração se dar de forma

mais eficiente e natural, fazendo com que o aluno reconheça o que está fazendo,

não apenas repetindo o que o professor já fez, visto que, ao inserir uma fração na

reta numérica, o aluno consegue visualizar melhor a fração como um número

qualquer, fato que Wu define como fundamental para o ensino de frações, assim

como a equivalência de frações.

Assim, acreditamos que as atividades sugeridas visando uma

compreensão mais ampla do ensino de frações como medida de comprimento de

reta, ajudarão a superar alguns dos problemas de aprendizagem detectados nos

alunos. Mas, gostaríamos de deixar claro que existem muitas outras atividades, e

que ao ensinar frações, a busca dessas atividades é essencial para possibilitar e

facilitar esse ensino de forma mais completa.

80

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