cfJ]' = ~(aJ)2 + [a(md)2]2 .Měření opakujeme pro několik různých vzdáleností osy od těžiště a výsledky merenísestavíme do přehledné tabulky. Ze všech vypočtených hodnot Jr určíme aritmetický průměra jeho chybu. Jestliže jsme měřili při pěti nebo více vzdálenostech osy od těžiště, počítámestřední nejistotu ze součtu čtverců odchylek jednotlivých hodnot Jr od aritmetického průměru.V tomto případě není třeba určovat nejistoty cf.I, Ci(mdY- ,eUT pro jednotlivá měření. Je-liměření méně než pět, vypočteme střední nejistotu výsledku ze vztahu

cfJ T = ~ '(CiJ To )2 + ...+ (aj T r .n V 1 "

c) měření momentu setrvačnosti pomocí přídavného tělíska

Metoda se používá v případě, že osa otáčení tělesa prochází těžištěm. Samotné těleso (bezpřídavného tělíska) nekývá, protože je v indiferentní poloze. Aby těleso kývalo, je třebak němu připevnit další těleso, jehož moment setrvačnosti JI známe. Moment setrvačnostitělesa vyjádříme pomocí Steinerovy věty JI + mjd/ , kde ml je hmotnost přidaného tělesa, dlje vzdálenost těžiště přidaného tělesa od osy otáčení. Celkový moment setrvačnosti obou tělesvzhledem k ose otáčení je JT + JI + mldl2 • Hmotnost obou těles je m + ml, vzdálenost těžiště

m d ,.I +.1 +m d2

od osy otáčení je d = I I . Pro dobu kyvu potom plat] T = 1[ T I I I a odtudm+», m.gd,

pro hledaný moment setrvačnosti máme .IT = r: m.gd , - J, - mjdl2

•1[

Postup měření:

1. Vážením na technických vahách určíme hmotnost přídavného tělíska ml.2. Posuvným mčřitkern zrnčřime průmčr přídavného tčlíska, určíme jeho poloměr.

Vypočteme moment setrvačnosti JI podle vztahu JI = ~mlr2 (tělísko má tvar válee).2

3. Změříme vzdálenost dl těžiště tělíska od osy otáčení, tělísko upevníme a změříme dobukyvu T.Všechny délky mčříme pětkrát, dobu kyvu mčřime postupnou metodou po lOkyvech (celkem 100 kYVŮ).

4. Měření provedeme pro různé vzdálenosti přídavného tělíska od osy otáčení. Výsledkyměření zapíšeme do tabulky.

5. Vypočítáme průměrnou hodnotu h a stanovíme její střední nejistotu.

Úloha Č. 3: Měření Youngova modulu pružnosti

F ~lYoungův modul udává vztah mezi napčtím - a deformací (relativním prodloužením)S ~tahem, pro který platí Hookův zákon M = ~ F , kde M značí prodloužení, Lo původní délku

t, E Svzorku, F tahovou sílu, Sprůřez vzorku. Jednotkou modulu pružnosti v tahu je I Pa. Modul .

E· hl d' d 1 ~ . h Platí E Fl M~~' l'Je e any mo u pružnosti v ta u. atí = - . erllne- 1Sy

s poloměrem r, pak lze vztah upravit na tvar E = Ff .nrř y

drát o kruhovém průřezu

pružnosti ve smyku G udává vztah mezi smykovým napětím a smykovou deformací y ve tvaru

r = ~ F , kde y je úhel smyku, F smyková síla, S plocha, ve které působí smyková síla F.GSJednotkou je 1 Pa.

a) měření Youngova modulu z protažení drátu

Metoda je založena na Hookově zákonu, je to metoda statická. Působí-li na drát délky I a

průřezu S síla F ve směru délky, prodlouží se drát o délku y, pro kterou platí y = ~ F I , kdeES

Postup měření:

K mčření použijeme zařízení podle obr. 3. Drát je na jednom konci upevněn, na druhém jezatěžován závažím. Prodloužení měříme číselníkovým úchylkoměrem (hodinkový indikátor)H.

Obr. 3: Měření Youngova modu/u

1. Drát zatížíme závažím o hmotnost 0,5 kg a změříme desetkrát jeho délku I . Odečetprovádíme na desetiny milimetru, měníme polohu měřítka. Měření zapíšeme do tabulky.

2. Vypočteme průmčrnou hodnotu délky l a pomocí druhých mocnin odchylek jcjí střednínejistotu.

3. Mikrometrem změříme průmčr drátu. Mčření opakujeme desetkrát, desetkrát mčřimc takénulovou polohu mikrometru. Výsledky zapíšeme do tabulky.

4. Vypočteme polomčr drátu r. Skutečný průmčr drátu d = dl - do, střední nejistota-d '(---:.-J)2 (---:.-J)? d .. - 1 ---:.-Jac = -V f5ul + f5uo ,r = -, nejistota ar = +aa .2 2

5. Postupnou metodou změříme prodloužení drátu - drát zatěžujeme závažím, jehožhmotnost zvyšujeme po 0,5 kg do hodnoty 4 kg. Provedeme 2n měření při rostoucím aklesajícím zatížení. Výsledky zapíšeme do tabulky.

6. Vypočteme aritmetický průměr z hodnot y, každá hodnota znamená prodloužení pnzměně závaží o n.O,5 kg. Z těchto hodnot určíme také aritmetický průměr a nejistotuměření.Vypočteme sílu F= m g, kde m = n.O,5 kg.

7. Vypočteme modul pružnosti v tahu. Za g dosazujte g = 9,81 m.s-2 . Sestrojíme grafzávislosti prodloužení na hmotnosti závaží.

8. Vypočteme střední nejistotu v určení modulu pružnosti v tahu

9. Vypočtenou hodnotu porovnáme s tabulkovou hodnotou.

bl měření modulu pružnosti v tahu z příčných kmitů tyče

Uvedená metoda je příkladem dynamické metody měření Youngova modulu. Je-li tyč délky Ina jednom konci upevněna, pak síla F, působící na opačném konci, způsobí prohnutí y, pro

~~ . ~ . 1 h 1 [3 F V hu i J I ~ , v'nez z teone pružnosti p yne vzta y = --- . e vzta u Je pp osny moment setrvačnosti3 EJp

průřezu tyče vzhledem k ose jdoucí těžištěm kolmo k působící síle a ležící v rovině průřezu, E3EJ

je modul pružnosti v tahu. Odtud lze vyjádřit sílu F = --3 P- Y .Jestliže tyč vychýlíme a1

3EJpustíme, koná kmitavý pohyb, pro který plati pohybová rovnice F = mla = ---, _Py, kde ml

('

je hmotnost úměrná hmotnosti kmitající části tyče. Srovnáme-li tento vztah s pohybovou

. , I . kéh lb' E 4,,2f3m1 kd T' d b k' v M' li vrovnici rarmoruc c o po ly u, mame = ?' e Je o a rrutu tycc. amc- I tyc3J T-p

obdélníkového průřezu s rozměrem b ve směru kmitání a rozměrem c kolmým k tomutov k 1 b3 o d I 16,,2f3mlsmeru, pa J = - c a Younguv mo u E = 1 2

P 12 b cTHmotnost ml tyče nelze určit vážením - tyč je upevněna, tzn. část tyče nekmitá a zbývajícíbody tyče kmitají s různou amplitudou, takže se neuplatní stejně. Hmotnost ml určíme takto:

)vv, d b k . T ěe bez zá v, Pl r K? 4,,2 Ka zmcnrnc o u rrutu tyce ez zavazi. atí ml a = - y, m: = -2- = -.

T mlb) Na konec tyče připevníme závaží o hmotností m (těžiště závaží musí ležet právě na koncítyče). Při kmitání se uplatní celá hmotnost tohoto tělesa, protože je umístěno v místě

. v šíh km' PI' 2 4,,2 K kd T . d b k' ~ 'v,ncjvétší o roz ItU. atí 11J1 = -2- = ,e I JC o a rmtu tyce sc zavazim.t; ml +m

c) Vydčlenim obou rovnic máme T: = ml ,pružnost K je v obou případech stejná. OdtudT; m+rn,

T2 T'lze vyjádřit hledanou hmotnost ml = 22m = ( X ) m.t, -T t; +T ~-T

PN3o N2<N35000

e) Výraz pro výpočet ml dosadíme do vztahu pro určení modulu pružnosti16rr1[3mE = -----;-------:--;-----,-

b3C(~ + TX~ - T)"

Postup měření:

I. Určíme rozměry tyče - desetkrát změříme délku volné části tyče po jejím upevněníMikrometrem změříme desetkrát rozměr b , přičemž nejdříve stanovíme desetkrát nulovoupolohu mikrornetru. Rozměr c měříme posuvným měřítkem. Rozměry měříme na různýchmístech tyče, výsledky zapíšeme do tabulky. Určíme střední nejistoty pomocí součtudruhých mocnin odchylek.

2. Hmotnost závaží m určíme vážením na technických vahách.3. Pomocí měřiče kmitů změříme desetkrát dobu trvání 100 kmitů samotné tyče. Potom na

konec tyče upevníme závaží o hmotnosti m a postup opakujeme. Pro kontrolu lze měřičemkmitů určit také dobu trvání např. lO., 20., atd. kmitu. Střední nejistoty počítáme opětpomocí součtu druhých mocnin odchylek.

4. Vypočteme modul pružnosti E. Pro střední nejistotu výsledku platí

se : E e:b)' +(:c)' +[~r-++~T+[~r---~)r+e~)'

5. Máme-li k dispozici dvě závaží o různé hmotnosti, lze změřit dobu kmitu nejprve s jednímzávažím, potom mčřcní opakovat pro druhé závaží a do vztahu pro výpočet E potom zahmotnost m dosadit rozdíl hmotností obou závaží.

6. Vypočtenou hodnotu porovnáme s tabulkovou hodnotou pro daný materiál a s hodnotamiurčenými pomocí jiných metod.

Měřič délky kyvu

N1 m N1

~ ~ -I DISPLEJ N1 (DN1) I:~~P2 vs~~ O,1ms

N1 +ft pulsy N2-N3N2·N3

TLO DISPLEJ N2-N3 (DN23) ~o ~sec. O.1ms

Vstup RESET LD70 P6

pulsy LD2O.01ms

IIIIIp4 LD3N20 ON3

PN2

O N2sooo

Obr. 4: Čelní panel měřiče délky kyvu

Napájení měřiče: externě ze zdroje 15 V/0,3 A. Nepřipojovat vyšší napětí!!!!

Délka kyvu je snímána optoelektronicky a zobrazena na displeji DNi, D 23 (v sekundách).Rozlišení posledního řádu displeje se přepíná přepínači P5 (lms - indikace LD4, 0,1 ros -indikace LD5) a P6 (0,1 ms - indik. LD6, 0,01 ros - indikace LD7).