Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Juegos Repetidos
Tema 1: Juegos repetidos un número finito de veces
Universidad Carlos III de Madrid
2
Juegos repetidos un número finito de veces
§ Un juego repetido un número finito de veces es un juego dinámico en el que un juego simultáneo (juego de etapa) se juega un número finito de veces y los resultados de cada etapa son observados antes de la siguiente.
§ Ejemplo: Jugar el dilema del prisionero varias veces. El juego de etapa es el juego simultáneo del dilema del prisionero.
3
Resultados
§ El juego repetido tiene un único ENPS si el juego de etapa (el juego simultáneo) tiene un único EN. – En el ENPS se juegan las estrategias de EN en cada
etapa. § Si el juego de etapa tiene 2 o más EN, pueden
existir ENPS en los que en alguna etapa NO se juegan estrategias que sean EN sino que se juega algo que es mejor para los dos jugadores.
4
Un juego repetido dos veces § Pensemos en un juego repetido dos veces
Ø Dos jugadores juegan el mismo juego simultáneo dos veces, en t=1 y en t=2
Ø El resultado de la primera vez que se juega (de t=1) es observado antes de jugarlo una segunda vez
Ø El pago del juego repetido es la suma de los pagos en cada jugada (t=1, t=2)
Ø ¿Cual es el ENPS?
Jugador 2
L2 R2
Jug. 1 L1 1 , 1 5 , 0
R1 0 , 5 4 , 4
5
Forma extensiva
R2
1+1 1+1
1 L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2
1+5 1+0
1+0 1+5
1+4 1+4
1 1 1 1
5+1 0+1
5+5 0+0
5+0 0+5
5+4 0+4
0+1 5+1
0+5 5+0
0+0 5+5
0+4 5+4
4+1 4+1
4+5 4+0
4+0 4+5
4+4 4+4
6
Conjuntos de Información y Estrategias
1.1 L1 R1
2.1
L2 R2 L2 R2
L1 R1
L2 R2
2. 2
L2 R2
L1 R1
L2 R2
2. 3
L2 R2
L1 R1
L2 R2
2.4
L2 R2
L1 R1
L2 R2
2.5
L2
1+5 1+0
1+0 1+5
1+4 1+4
1.2 1.3 1.4 1.5
5+1 0+1
5+5 0+0
5+0 0+5
5+4 0+4
0+1 5+1
0+5 5+0
0+0 5+5
0+4 5+4
4+1 4+1
4+5 4+0
4+0 4+5
Cada Jugador: 5 CI
Ej de estrategia: L1 R1 R1 L1 L1
4+4 4+4
1+1 1+1
7
Subjuegos: 4 + Juego Completo
1 L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2
6 1
1 6
5 5
1 1 1 1
6 1
10 0
5 5
9 9
1 6
5 5
0 10
4 9
5 5
9 4
4 9
2 2
Subjuego1 Subjuego 2 Subjuego 3
8 8
Subjuego 4
8
Otra forma de representarlo
R2
1 L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2
1 1
5 0
0 5
4 4
1 1 1 1 (1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4)
1 1
5 0
0 5
4 4
1 1
5 0
0 5
4 4
1 1
5 0
0 5
4 4
Los pagos totales serán (1, 1)
+ pagos en ese subjuego
9
Calculamos el EN del Subjuego 1 El resultado es independiente de que se tomen los pagos
sólo de esa etapa o los pagos totales Pagos t=2 Jugador 2
L2 R2
Jug. 1 L1 1 , 1 5 , 0
R1 0 , 5 4 , 4
Pagos t=1 + t=2 Jugador 2
L2 R2
Jug. 1 L1 2 , 2 6 , 1
R1 1 , 6 5 , 5
10
EN de subjuegos
§ En cada uno de los cuatro subjuegos hay un único EN que es
§ Sustituimos, por inducción hay atrás, el subjuego por sus pagos en el EN y resolvemos el juego completo
EN = {L1, L2}
11
Sustituimos el subjuego por su pago en EN
1 L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
L1 R1
2
L2 R2
2
L2 R2
1 1
5 0
0 5
4 4
1 1 1 1 (2, 2) (6, 1) (1, 6) (5, 5)
1 1
5 0
0 5
4 4
1 1
5 0
0 5
4 4
1 1
5 0
0 5
4 4
12
Calculamos EN del juego completo con “pagos sustituidos”
L2 R2
L1 2 , 2 6 , 1
R1 1 , 6 5 , 5
El pago de EN (1, 1) de la segunda etapa ha sido añadido a los pagos en t=1
13
ENPS § ENPS:
(L1 L1L1L1L1, L2 L2L2L2L2)
§ El jugador 1 juega L1 en t= 1, y juega L1 en t=2 para todo resultado posible en t=1.
§ El jugador 2 juega L2 en t= 1, y L2 en t=2 para cualquier resultado de la primera etapa
14
Juego repetido de un Juego de etapa con dos EN
L2 M2 R2 L1 1 , 1 5 , 0 0 , 0
M1 0 , 5 4 , 4 0 , 0
R1 0 , 0 0 , 0 3 , 3
§ Juguemos dos veces el juego de etapa que abajo se describe en Forma Normal.
§ Notemos que tiene 2 EN y que (M1, M2) no es EN, pero tiene pagos que Pareto dominan los de los ENs.
§ ¿Puede jugarse (M1, M2) en t=1 en un ENPS?
15
Forma Extensiva (informal) 1
L1 R1
2 2
L2 R2 M2 L2 R2 M2
L2 R2 M2
2
L1 R1 2 2
L2 R2 M2 L2 R2 M2
L2 R2 M2
2 M1
(1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4) (0, 0)
M1
(0, 0) (0, 0) (0, 0) (3, 3) 1
(1, 1) (5, 0) (0, 5) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (3, 3) (4, 4)
1 1
16
¿Puede jugarse (M1, M2) en t=1 en un ENPS?
§ Sí, si usamos estrategias con “premios” y “castigos” creíbles. – Esto es, si premiamos y castigamos jugando
estrategias que sean EN § Premio: Jugar (R1, R2)
– Pagos: (3, 3)
§ Castigo: Jugar (L1, L2) – Pagos de 1
17
Estrategias de ENPS § Estrategias de ENPS
Ø t=1, jugador 1 juega M1, y el 2 juega M2. Ø t=2,
Ø 1 juega R1 si observa que en t=1 se jugó ( M1, M2 ), y juega L1 si se jugó algo distinto.
Ø 2 juega R2 si observa que en t=1 se jugó ( M1, M2 ), y juega L2 si se jugó algo distinto.
§ ¿Por qué constituyen un ENPS? – En cada subjuego de t=2, o se juega ( R1, R2 ), o se
juega ( L1, L2 ), por lo tanto en cada subjuego las estrategias generan un EN
– ¿Son EN del juego completo?
18
Forma extensiva 1
L1 R1
2 2
L2 R2 M2 L2 R2 M2
L2 R2 M2
2
L1 R1 2 2
L2 R2 M2 L2 R2 M2
L2 R2 M2
2 M1
(1, 1) (5, 0) (0, 5) (4, 4) (0, 0)
M1
(0, 0) (0, 0) (0, 0) (3, 3)
1
(1, 1) (5, 0) (0, 5) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (3, 3) (4, 4)
(1, 1) (1, 1) (1, 1) (3, 3) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) +
1 1
EN del juego completo
Jugador 2 L2 M2 R2
Jugador 1 L1 2 , 2 6 , 1 1 , 1
M1 1 , 6 7 , 7 1 , 1
R1 1 , 1 1 , 1 4 , 4
-Por inducción hacia atrás, sustituimos los subjuegos por sus pagos en EN
-El juego en forma Normal que resulta tiene (M1, M2) como jugada de EN
20
Intuición
§ Miremos el juego de etapa: Si 1 juega M1 al Jugador 2 le tienta desviarse y jugar L2 (gana 5 en
lugar de 4). Para que no se desvíe: 4 + premio > 5 + castigo, esto es 4+3 > 5+1
Lo mismo aplica al Jugador 2. Además, para que sea ENPS los premios y castigos deben ser
jugadas que sean EN
L2 M2 R2 L1 1 , 1 5 , 0 0 , 0
M1 0 , 5 4 , 4 0 , 0
R1 0 , 0 0 , 0 3 , 3
21
§ Si los pagos en el desvío fueran mayores (desviarse es más atractivo) no podríamos sostener (M1, M2) en t=1 en un ENPS Si 1 juega M1 al jugador 2 le tienta desviarse y jugar L2 (gana 7 en
lugar de 4). Para que no se desvíe, debe ser: 4 + premio >7 + castigo, pero eso NO se cumple (7<8). El 2 se desvía, y no es ENPS.
L2 M2 R2 L1 1 , 1 5 , 0 0 , 0
M1 0 , 7 4 , 4 0 , 0
R1 0 , 0 0 , 0 3 , 3