Juliana Borges Pedrotti - repositorio.ufsm.br

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIACENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

Juliana Borges Pedrotti

O ANEL DE GREEN DA ÁLGEBRA DE TAFT

Santa Maria, RS2019


O ANEL DE GREEN DA ÁLGEBRA DE TAFT

Dissertação apresentada ao Curso dePós-Graduação em Matemática, daUniversidade Federal de Santa Maria(UFSM, RS), como requisito parcialpara a obtenção do grau de Mestre emMatemática.

ORIENTADORA: Profa. Dra. Daiana Aparecida da Silva FlôresCOORIENTADORA: Profa. Dra. Saradia Sturza Della Flora

Santa Maria, RS2019

Sistema de geração automática de ficha catalográfica da UFSM. Dados fornecidos pelo autor(a). Sob supervisão da Direção da Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca Central. Bibliotecária responsável Paula Schoenfeldt Patta CRB 10/1728.

Borges Pedrotti, Juliana O anel de Green da álgebra de Taft / Juliana BorgesPedrotti.- 2019. 99 f.; 30 cm

Orientadora: Daiana Aparecida da Silva Flôres Coorientadora: Saradia Sturza Della Flora Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de SantaMaria, Centro de Ciências Naturais e Exatas, Programa dePós-Graduação em Matemática, RS, 2019

1. Álgebra de Taft 2. Anel de Green 3. MódulosIndecomponíveis 4. Produto Tensorial de Módulos I.Aparecida da Silva Flôres, Daiana II. Sturza DellaFlora, Saradia III. Título.


O ANEL DE GREEN DA ÁT,çEBRA DE TAFT

Dissertaçã;o apresentada ao Curso de

Pós-Graduação em Matemática, da

Universidade Federal de Sanla Maria

(UFSM, RS), como requisito parcial

para a obtenção do grau de Mestre em

Matemática,

Aprovado em 28 de junho de 2019;

íPresidenta/ Orientadoqa)

Saradia (uFsM)(Coorientadora)

Bárbara Seelig Pogorelsky (UFRGS)

Santa Maria, RS

201S

ãiana Aparecida da Sihxa Flôres (UFSM)

'érto Lazzarin (UFSM)

Agradecimentos

Agradeço à Deus, por sempre me guiar e mostrar que é possível.

Aos meus pais Rita e Manoel, e aos meus irmãos, por todo carinho que semprerecebi, principalmente nestes anos em que estive distante.

Ao Leonardo, pelo companheirismo e incentivo desde o início da minha jornadana matemática. Obrigada por sempre estar disposto a me ajudar, me ouvir e viver estesonho comigo.

À família do Leonardo, por todo amparo e apoio.

Aos meus colegas de mestrado pelos momentos de descontração, pelas jantas, jogosde truco, estudos e pela parceria durante estes anos. Em especial à Poli e à Ste pelaamizade, por me acalmar nos momentos difíceis e por tornarem meus dias em SantaMaria mais felizes.

As minhas orientadoras Daiana e Saradia, por todos os ensinamentos, dedicaçãoe confiança que depositaram em mim quando aceitaram me orientar. Obrigada pelapaciência e compreensão durante essa caminhada.

Ao professor Maurício, por todo auxílio e incentivo durante o mestrado.

Aos professores da UFPel, Giovanni, Lisandra e Camila, que sempre estiveramdispostos a me ajudar e ensinar. Em especial, a professora Andrea por me mostrar abeleza da Álgebra e por me motivar a continuar os estudos.

Agradeço a professora Bárbara Seelig Pogorelsky e ao professor João RobertoLazzarin por terem aceitado participar da banca, e pelas sugestões e correções dadas.

À CAPES, pelo apoio financeiro.

"Se você já passou a noite toda acordado e chorou até acabarem as lágrimas...Então, sabe que no fim somos acometidos por uma grande calma."

(C. S. Lewis - O Leão, a Feiticeira e o Guarda-Roupa).

RESUMOO ANEL DE GREEN DA ÁLGEBRA DE TAFT

AUTORA: Juliana Borges PedrottiORIENTADORA: Daiana Aparecida da Silva Flôres

COORIENTADORA: Saradia Sturza Della Flora

O objetivo deste trabalho é caracterizar o anel de Green da álgebra de Taft, denotada por𝑇𝑁(𝑞), onde 𝑁 é um inteiro positivo maior que 1 e 𝑞 é uma raiz 𝑁 -ésima primitiva daunidade. O anel de Green, denotado por 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)), é gerado pelas classes de isomorfismos[𝑀 ] de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos de dimensão finita com adição dada por [𝑀 ] + [𝑁 ] = [𝑀 ⊕ 𝑁 ]e multiplicação dada pelo produto tensorial e possui uma Z-base dada pelas classes deisomorfismos de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos indecomponíveis de dimensão finita. Neste trabalho des-crevemos os 𝑇𝑁(𝑞)-módulos indecomponíveis e o produto tensorial entre estes. A partirdisto mostramos que 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) é um anel comutativo gerado por dois elementos sujeitos adeterminadas relações.

Palavras-chaves: Álgebra de Taft. Anel de Green. Módulos Indecomponíveis. ProdutoTensorial de Módulos.

ABSTRACTTHE GREEN RING OF TAFT ALGEBRA

AUTHOR: Juliana Borges PedrottiADVISOR: Daiana Aparecida da Silva FlôresCO-ADVISOR: Saradia Sturza Della Flora

The aim of this work is to characterize the Green ring of Taft algebra, denoted by 𝑇𝑁(𝑞),where 𝑁 is a positive integer greater than 1 and 𝑞 is a primitive root of unity of order𝑁 . The Green ring, denoted by 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)), is generated by the isomorphism classes [𝑀 ]of finite dimensional 𝑇𝑁(𝑞)-modules with addition given by [𝑀 ] + [𝑁 ] = [𝑀 ⊕ 𝑁 ] andmultiplication given by the tensor product and it has a -basis given by the classes of iso-morphisms of indecomposable finite dimensional 𝑇𝑁(𝑞)-modules. In this work we describethe indecomposable 𝑇𝑁(𝑞)-modules and the tensorial product between these. From thatwe show that 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) is a commutative ring generated by two elements subject to certainrelations.

Key-words: Taft Algebra. Green Ring. Indecomposable Modules. Tensor Product ofModules.

Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 PRÉ-REQUISITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1 Álgebras e álgebras livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Módulos sobre álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.1 Módulos livres, projetivos e injetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Módulos indecomponíveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.3 Semissimplicidade e radical de Jacobson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2.4 O radical de um módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Álgebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3.1 Álgebra de Taft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.2 O Teorema de Maschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.3 O anel de Green de uma álgebra de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3 O ANEL DE GREEN DA ÁLGEBRA DE TAFT. . . . . . . . . . . . 693.1 Módulos de dimensão finita da álgebra de Taft . . . . . . . . . . . . 693.1.1 Módulos simples de dimensão finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.1.2 Módulos indecomponíveis de dimensão finita . . . . . . . . . . . . . . . . 733.2 O produto tensorial de módulos indecomponíveis . . . . . . . . . . . 79

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10

1 Introdução

Na teoria de representações finito-dimensionais de uma álgebra de Hopf 𝐻 as re-presentações indecomponíveis e o produto tensorial entre estas desempenham um papelde destaque. Entretanto, o cálculo de ambos não é, em geral, uma tarefa fácil. Além disso,a decomposição do produto tensorial de representações indecomponíveis em soma diretade indecomponíveis tem sido explorada em diversos trabalhos, (CHEN, 2002), (GUNN-LAUGSDÒTTIR, 2003), (CIBILS, 1993) e (LI, L.; ZHANG, Y., 2013). Tendo calculadoestes ingredientes podemos resumir estas informações no anel de representações finito-dimensionais de 𝐻, denotado por 𝑟(𝐻). Precisamente 𝑟(𝐻) é gerado pelas classes de iso-morfismos [𝑀 ] de 𝐻-módulos de dimensão finita com adição dada por [𝑀 ]+[𝑁 ] = [𝑀⊕𝑁 ]e multiplicação dada pelo produto tensorial. Mais ainda, o anel 𝑟(𝐻) é gerado pelas classesde isomorfismos de 𝐻-módulos indecomponíveis de dimensão finita.

O anel de representações finito-dimensionais também é chamado de anel de Green,por conta dos trabalhos pioneiros de J.A. Green (GREEN, 1962) e (GRENN, 1964) nestadireção, para o caso de álgebras de grupo. O interessante desta abordagem é que podemosobter resultados sobre a álgebra a partir das propriedades da estrutura multiplicativa desteanel. Por exemplo, a álgebra de grupo k𝐺 é de tipo finito se e somente se não existemelementos nilpotentes em 𝑟(k𝐺) (BENSON, 1996).

Pode-se dizer que o anel de Green é tão interessante quanto o anel de Grothendi-eck, outra ferramenta interessante na teoria de representações. Em (LORENZ, 1997) e(WITHERSPOON, 1996) os autores mostram que para uma álgebra de Hopf semissim-ples de dimensão finita, o anel de Green é igual ao anel de Grothendieck. No caso geral,entretanto, calcular o anel de Green costuma ter um grau de complexidade um poucomaior que calcular o anel de Grothendieck.

Neste trabalho calculamos o anel de Green da álgebra de Taft 𝑇𝑁(𝑞), conforme otrabalho de (CHEN, H.; VAN OYSTAEYEN F.; ZHANG, Y., 2014). Destacamos queeste foi o primeiro exemplo calculado explicitamente de um anel de Green que difere doanel de Grothendieck, uma vez que a álgebra de Taft não é semissimples. Este trabalhoestá organizado da seguinte maneira. No primeiro capítulo abordaremos os pré-requisitosnecessários para o desenvolvimento do capítulo subsequente. Este aborda, em particular,as noções de álgebras livres e álgebras de Hopf, uma vez que a álgebra de Taft é o quo-ciente de uma álgebra livre, a qual é uma álgebra de Hopf. Além disso, tendo em vistanosso objetivo, necessitamos tratar de resultados clássicos da teoria de módulos sobreuma álgebra, sobretudo abordamos as noções de módulos livres, projetivos, injetivos esemissimples; bem como da noção de radical de um módulo. Para encerrar este capítulo,

Capítulo 1. Introdução 11

introduzimos o anel de Green de uma álgebra de Hopf de dimensão finita. O segundo capí-tulo é inteiramente dedicado ao cálculo do anel de Green da álgebra de Taft. Os resultadossão desenvolvidos conforme (CHEN, H.; VAN OYSTAEYEN F.; ZHANG, Y., 2014). Naprimeira seção são calculados os 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda simples e indecomponíveis dedimensão finita. Mostramos que existem 𝑁2 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda indecomponíveisde dimensão finita não isomorfos (ver Teorema 3.1.11). A seguir apresentamos uma des-crição do produto tensorial destes módulos indecomponíveis, com base nos trabalhos de(CIBILS, 1993) e (GUNNLAUGSDÓTTIR, 2003). Por fim, descrevemos o anel de Green𝑟(𝑇𝑁(𝑞)), mostrando que este é um anel comutativo gerado por dois elementos, sujeito acertas relações.

Ao longo deste trabalho k denota um corpo, todos os espaços vetoriais aqui consi-derados são sobre k e todas as aplicações são transformações k-lineares. Denotaremos oproduto tensorial sobre k simplesmente por ⊗. Além disso, para cada 𝑛 inteiro positivo,denotaremos por 𝐼𝑛 = {0, 1, · · · , 𝑛}, e para quaisquer 𝑠, 𝑡 inteiros positivos tais que 𝑠 ≤ 𝑡,denotaremos por 𝐼𝑠,𝑡 = {𝑛 ∈ Z | 𝑠 ≤ 𝑛 ≤ 𝑡}. Além disso, para cada 𝑆 subconjunto de umk-espaço vetorial 𝑉 denotaremos por 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑆} = {∑𝑖∈𝐼𝑛

𝛼𝑖𝑠𝑖 | 𝛼𝑖 ∈ k, 𝑠𝑖 ∈ 𝑆}.

12

2 Pré-Requisitos

Neste capítulo iremos introduzir as ferramentas necessárias para o desenvolvimentodeste trabalho que tem por objetivo principal calcular os módulos à esquerda indecompo-níveis da álgebra de Taft.

Começaremos este capítulo com os conceitos de álgebras e álgebras livres. A cercadestes provaremos resultados que serão fundamentais para mostrarmos que a álgebra deTaft é uma álgebra de Hopf. Posteriormente, daremos a definição de módulos sobreuma álgebra, com o intuito de estudarmos propriedades sobre os módulos projetivos eindecomponíveis. Além disso, apresentaremos alguns resultados importantes da teoria deálgebras de Hopf de dimensão finita e de semissimplicidade.

2.1 Álgebras e álgebras livresNesta seção iremos definir, bem como apresentar alguns resultados e exemplos

importantes sobre álgebras e álgebras livres. Além disso, nosso principal objetivo seráintroduzir o objeto de estudo deste trabalho, a álgebra de Taft, a qual é um quocientede uma álgebra livre. Os resultados apresentados nesta seção podem ser encontrados em(KASSEL, 1995) e (COHN, 2003).

Definição 2.1.1. Uma álgebra sobre um corpo k, ou simplesmente uma k-álgebra, é um k-espaço vetorial 𝐴 munido de duas transformações lineares 𝑚 : 𝐴⊗𝐴 −→ 𝐴 e 𝑢 : k −→ 𝐴,tais que os seguintes diagramas são comutativos:

𝐴⊗ 𝐴⊗ 𝐴𝑚⊗𝐼𝑑𝐴 //

𝐼𝑑𝐴⊗𝑚

��

𝐴⊗ 𝐴

𝑚

��𝐴⊗ 𝐴 𝑚

// 𝐴

𝐴⊗ 𝐴

𝑚

��

k⊗ 𝐴

𝜂%%

𝑢⊗𝐼𝑑𝐴

99

𝐴⊗ k

𝜂yy

𝐼𝑑𝐴⊗𝑢ee

𝐴.

As aplicações 𝑚 e 𝑢 são chamadas de multiplicação e unidade, respectivamente, edenotaremos 𝑢(1k) = 1𝐴. A aplicação 𝜂 : k⊗𝐴 −→ 𝐴 denota o isomorfismo canônico, ouseja, 𝜂(1k ⊗ 𝑎) = 𝑎, para todo 𝑎 ∈ 𝐴. Notemos que o primeiro diagrama é a relação deassociatividade da multiplicação, enquanto o segundo, descreve a existência da unidadede 𝐴.

Exemplo 2.1.2. O corpo k é uma k-álgebra com as operações usuais.

Exemplo 2.1.3. Seja 𝐴 uma k-álgebra com multiplicação 𝑚 e unidade 𝑢. Definimos𝑚𝑜𝑝 = 𝑚 ∘ 𝜏 , onde 𝜏 :𝐴⊗𝐴 −→ 𝐴⊗𝐴 é a transformação twist dada por 𝜏(𝑎⊗ 𝑏) = 𝑏⊗ 𝑎,

Capítulo 2. Pré-Requisitos 13

para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴. Então, (𝐴,𝑚𝑜𝑝, 𝑢) é uma k-álgebra, a qual chamaremos deálgebra aposta e denotaremos por 𝐴𝑜𝑝.

Exemplo 2.1.4. Sejam 𝐴 e 𝐵 duas k-álgebras com multiplicações 𝑚𝐴 e 𝑚𝐵 e unidades𝑢𝐴 e 𝑢𝐵, respectivamente. Então, 𝐴 ⊗ 𝐵 é uma k-álgebra com multiplicação dada por𝑚𝐴⊗𝐵 = (𝑚𝐴 ⊗ 𝑚𝐵) ∘ (𝐼𝑑𝐴 ⊗ 𝜏 ⊗ 𝐼𝑑𝐵) e unidade dada por 𝑢𝐴⊗𝐵 = (𝑢𝐴 ⊗ 𝑢𝐵) ∘ 𝜓, onde𝜏 :𝐵 ⊗𝐴 −→ 𝐴⊗𝐵 é a transformação twist e 𝜓 : k −→ k⊗ k é o isomorfismo canônico.

Exemplo 2.1.5. Seja (𝐺, ·) um grupo multiplicativo. Denotamos por k𝐺 o k-espaçovetorial com base {𝑔 | 𝑔 ∈ 𝐺}. Definimos 𝑚 : k𝐺 ⊗ k𝐺 −→ k𝐺 por 𝑚(𝑔 ⊗ ℎ) = 𝑔ℎ, paraquaisquer 𝑔, ℎ ∈ 𝐺, e 𝑢 : k −→ k𝐺 por 𝑢(1k) = 1𝐺. Claramente k𝐺 é uma k-álgebra via𝑚 e 𝑢, chamada de álgebra de grupo.

Exemplo 2.1.6. Seja 𝑀𝑛(k) o conjunto das matrizes 𝑛 × 𝑛 com entradas em k. Então,𝑀𝑛(k) tem uma estrutura de k-álgebra com a multiplicação usual de matrizes e unidadedada pela aplicação que associa 1k a matriz identidade.

Exemplo 2.1.7. Seja k um corpo que contém uma raiz 𝑁 -ésima primitiva da unidade𝑞. Considere k𝑁2 ≃ 𝑀𝑁(k) como k-espaço vetorial. Iremos munir k𝑁2 com um produto,diferente do produto usual de matrizes. Seja {𝑒𝑖,𝑗 | 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1} a base canônica de k𝑁2 , ouseja, 𝑒𝑖,𝑗 é a matriz que tem 1 na posição 𝑖𝑗 e 0 nas demais. Definimos 𝑚 : k𝑁2 ⊗k𝑁2 → k𝑁2

por

𝑚(𝑒𝑖,𝑗 ⊗ 𝑒𝑠,𝑡) = 𝑒𝑖,𝑗𝑒𝑠,𝑡 =

⎧⎪⎨⎪⎩𝑞𝑗𝑠𝑒𝑖⊕𝑠,𝑗+𝑡, se 𝑗 + 𝑡 < 𝑁,

0, se 𝑗 + 𝑡 ≥ 𝑁 ;

onde ⊕ indica a soma de Z𝑁 . Seja 𝛾 := 𝛾𝐼𝑁−1 a função 𝛾 = 𝛾𝐼𝑁−1 : N −→ {0, 1} dada por𝛾(𝑗) = 1 se 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1 e 𝛾(𝑗) = 0 se 𝑗 /∈ 𝐼𝑁−1. Com isso, e convencionando que 𝑒𝑖,𝑗 = 0 se𝑗 > 𝑁 , o produto é dado por 𝑒𝑖,𝑗𝑒𝑠,𝑡 = 𝛾(𝑗+ 𝑡)𝑞𝑗𝑠𝑒𝑖⊕𝑠,𝑗+𝑡. Vejamos que k𝑁2 é uma álgebraassociativa e unitária com esta multiplicação. De fato,

(𝑒𝑖,𝑗𝑒𝑠,𝑡)𝑒𝑢,𝑣 = (𝛾(𝑗 + 𝑡)𝑞𝑗𝑠𝑒𝑖⊕𝑠,𝑗+𝑡)𝑒𝑢,𝑣= 𝛾(𝑗 + 𝑡)𝛾((𝑗 + 𝑡) + 𝑣)𝑞𝑗𝑠𝑞(𝑗+𝑡)𝑢𝑒(𝑖⊕𝑠)⊕𝑢,(𝑗+𝑡)+𝑣.

Por outro lado,

𝑒𝑖,𝑗(𝑒𝑠,𝑡𝑒𝑢,𝑣) = 𝑒𝑖,𝑗(𝛾(𝑡+ 𝑣)𝑞𝑡𝑢𝑒𝑠⊕𝑢,𝑡+𝑣)

= 𝛾(𝑡+ 𝑣)𝛾(𝑗 + (𝑡+ 𝑣))𝑞𝑡𝑢𝑞𝑗(𝑠⊕𝑢)𝑒𝑖⊕(𝑠⊕𝑢),𝑗+(𝑡+𝑣).

Como (𝑗 + 𝑡) + 𝑣 = 𝑗 + (𝑡+ 𝑣) e 𝑗 + 𝑡+ 𝑣 ∈ 𝐼𝑁−1 implica que 𝑗 + 𝑡 ∈ 𝐼𝑁−1 e 𝑡+ 𝑣 ∈ 𝐼𝑁−1,segue que 𝛾(𝑗 + 𝑡)𝛾((𝑗 + 𝑡) + 𝑣) = 𝛾(𝑗 + 𝑡+ 𝑣) = 𝛾(𝑡+ 𝑣)𝛾(𝑗 + (𝑡+ 𝑣)). Também é claroque (𝑖 ⊕ 𝑠) ⊕ 𝑢 = 𝑖 ⊕ (𝑠 ⊕ 𝑢). Além disso, como 𝑞 é uma raiz 𝑁 -ésima (primitiva) da


unidade, segue que 𝑞𝑗(𝑠⊕𝑢) = 𝑞𝑗(𝑠+𝑢) = 𝑞𝑗𝑠+𝑗𝑢, e assim 𝑞𝑡𝑢𝑞𝑗(𝑠⊕𝑢) = 𝑞𝑡𝑢+𝑗𝑠+𝑗𝑢 = 𝑞𝑗𝑠𝑞(𝑗+𝑡)𝑢.Portanto, (𝑒𝑖,𝑗𝑒𝑠,𝑡)𝑒𝑢,𝑣 = 𝑒𝑖,𝑗(𝑒𝑠,𝑡𝑒𝑢,𝑣). Vejamos que 𝑒0,0 é a unidade. De fato,

𝑒0,0𝑒𝑖,𝑗 = 𝛾(0 + 𝑗)𝑞0.𝑖𝑒0⊕𝑖,0+𝑗 = 𝛾(𝑗)𝑞0𝑒𝑖,𝑗 = 𝑒𝑖,𝑗

e, 𝑒𝑖,𝑗𝑒0,0 = 𝛾(𝑖+ 0)𝑞𝑗.0𝑒𝑖⊕0,𝑗+0𝛾(𝑖)𝑞0𝑒𝑖,𝑗 = 𝑒𝑖,𝑗. Esta álgebra será denotada por 𝒜𝑁2 .

Lema 2.1.8. Em 𝒜𝑁2 valem as seguintes relações:

(i) 𝑒0,1𝑒1,0 = 𝑞𝑒1,0𝑒0,1;

(ii) (𝑒1,0)𝑗 = 𝑒𝑗𝑚𝑜𝑑(𝑁),0, para todo 𝑗 ∈ N;

(iii) (𝑒0,1)𝑗 = 𝛾(𝑗)𝑒0,𝑗, para todo 𝑗 ∈ N. Em particular, (𝑒0,1)𝑁 = 0.

Demonstração. (i) Note que 𝑒0,1𝑒1,0 = 𝛾(1 + 0)𝑞1.1𝑒0⊕1,1+0 = 𝛾(1)𝑞1𝑒1,1 = 𝑞𝑒1,1. Por outrolado, 𝑒1,0𝑒0,1 = 𝛾(0 + 1)𝑞0.0𝑒1⊕0,0+1 = 𝛾(1)𝑞0𝑒1,1 = 𝑒1,1. Logo, 𝑒0,1𝑒1,0 = 𝑞𝑒1,0𝑒0,1.

(ii) Façamos indução sobre 𝑗. Para 𝑗 = 0 e 𝑗 = 1 é claro. Suponhamos o resultado válidopara 𝑗 e provemos para 𝑗 + 1. De fato,

(𝑒1,0)𝑗+1 =(𝑒1,0)𝑗𝑒1,0 = 𝑒𝑗𝑚𝑜𝑑(𝑁),0𝑒1,0 = 𝛾(0 + 0)𝑞0.1𝑒𝑗𝑚𝑜𝑑(𝑁)⊕1,0+0

=𝛾(0)𝑞0𝑒𝑗+1𝑚𝑜𝑑(𝑁),0 = 𝑒𝑗+1𝑚𝑜𝑑(𝑁),0.

(iii) Faremos indução sobre 𝑗. Para 𝑗 = 0 e 𝑗 = 1 é claro. Suponhamos o resultado válidopara 𝑗 e provemos para 𝑗 + 1. Com efeito,

(𝑒0,1)𝑗+1 =(𝑒0,1)𝑗𝑒0,1 = 𝛾(𝑗)𝑒0,𝑗𝑒0,1

=𝛾(𝑗)𝛾(𝑗 + 1)𝑞𝑗.0𝑒0⊕0,𝑗+1 = 𝛾(𝑗 + 1)𝑒0,𝑗+1.

Definição 2.1.9. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐵 um k-subespaço vetorial de 𝐴. Dizemosque 𝐵 é uma k-subálgebra de 𝐴 se 𝑚(𝐵 ⊗𝐵) ⊆ 𝐵 e 𝑢(1k) ∈ 𝐵.

Definição 2.1.10. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um k-subespaço vetorial de 𝐴. Dizemosque 𝐼 é um ideal à esquerda de 𝐴 se 𝑚(𝐴 ⊗ 𝐼) ⊆ 𝐼. Analogamente, define-se ideal àdireita de 𝐴. Diremos que 𝐼 é um ideal bilateral, ou simplesmente um ideal de 𝐴 se 𝐼 éum ideal à esquerda e à direita de 𝐴.

Exemplo 2.1.11. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑆 um subconjunto não vazio de 𝐴. O ideal àesquerda gerado por 𝑆 é o conjunto 𝐴𝑆 = {∑𝑖∈𝐼1,𝑛

𝑎𝑖𝑠𝑖 | 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 e 𝑠𝑖 ∈ 𝑆}. Analogamente,definimos o ideal à direita gerado por 𝑆, 𝑆𝐴; e o ideal bilateral gerado por 𝑆, 𝐴𝑆𝐴.

Observação 2.1.12. Se 𝐴𝑆 = 𝑆𝐴, então claramente o ideal à esquerda gerado por 𝑆 éum ideal bilateral de 𝐴 e neste caso será denotado por ⟨𝑆⟩. No caso que 𝑆 tem um únicoelemento 𝑠, então ⟨𝑆⟩ é o ideal principal gerado por 𝑠 o qual será denotado por ⟨𝑠⟩.


Definição 2.1.13. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um ideal à esquerda de 𝐴, 𝐼 = 𝐴. Dizemosque 𝐼 é um ideal à esquerda maximal de 𝐴 se para qualquer ideal à esquerda 𝐽 de 𝐴

satisfazendo 𝐼 ⊆ 𝐽 ⊆ 𝐴, então 𝐼 = 𝐽 ou 𝐽 = 𝐴. Dizemos ainda que 𝐼 = {0} é umideal à esquerda minimal de 𝐴 se para qualquer ideal à esquerda 𝐽 de 𝐴 satisfazendo{0} ⊆ 𝐽 ⊆ 𝐼, então 𝐽 = {0} ou 𝐽 = 𝐼.

Observação 2.1.14. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐵𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛, ideais à esquerda de 𝐴.Suponha que 𝐴 = ⨁

𝑖∈𝐼1,𝑛𝐵𝑖. Assim, 1𝐴 = ∑

𝑖∈𝐼1,𝑛𝑒𝑖, com 𝑒𝑖 ∈ 𝐵𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛. Notemos

que 1𝐴𝑒𝑖 = ∑𝑗∈𝐼1,𝑛

𝑒𝑗𝑒𝑖 e pela unicidade da escrita, segue que 𝑒𝑖𝑒𝑖 = 𝑒𝑖2 = 𝑒𝑖 e 𝑒𝑖𝑒𝑗 = 0,

para todo 𝑖 = 𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛. Além disso, temos que 𝐵𝑖 = 𝐴𝑒𝑖, pois 𝑒𝑖 ∈ 𝐵𝑖, e 𝐵𝑖 éideal à esquerda de 𝐴, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛, assim 𝐴𝑒𝑖 ⊆ 𝐵𝑖. Reciprocamente, seja 𝑏 ∈ 𝐵𝑖, então𝑏 = 𝑏1𝐴 = ∑

𝑖∈𝐼1,𝑛𝑏𝑒𝑖. Logo, 𝑏𝑒𝑖 = 𝑏, ou seja, 𝐵𝑖 ⊆ 𝐴𝑒𝑖. Consequentemente, 𝐵𝑖 = 𝐴𝑒𝑖.

Por outro lado, suponha que existem 𝑒𝑖 ∈ 𝐴, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛, cuja soma é igual a 1𝐴, 𝑒𝑖𝑒𝑗 = 0, paratodo 𝑖 = 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛, 𝑒𝑖2 = 𝑒𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 e considere 𝐵𝑖 = 𝐴𝑒𝑖. Vejamos que 𝐴 = ⨁

𝑖∈𝐼1,𝑛𝐵𝑖.

Seja 𝑎 ∈ 𝐴, então 𝑎1𝐴 = 𝑎∑𝑖∈𝐼1,𝑛

𝑒𝑖 = ∑𝑖∈𝐼1,𝑛

𝑎𝑒𝑖, e desta forma 𝐴 = ∑𝑛𝑖=1 𝐵𝑖. Mais

ainda, seja 𝑏 ∈ 𝐵𝑖 ∩ (∑𝑖 =𝑗∈𝐼1,𝑛𝐵𝑗), então 𝑏 = 𝑎𝑖𝑒𝑖 ∈ 𝐵𝑖 e 𝑏 = ∑𝑗∈𝐼1,𝑛

𝑎𝑗𝑒𝑗 ∈ ∑𝑖 =𝑗∈𝐼1,𝑛𝐵𝑗,

𝑗 = 𝑖. Assim, 𝑏𝑒𝑖 = 𝑎𝑖𝑒𝑖𝑒𝑖 = 𝑎𝑖𝑒𝑖2 = 𝑎𝑖𝑒𝑖 = 𝑏 e 𝑏𝑒𝑖 = ∑

𝑗∈𝐼1,𝑛𝑎𝑗𝑒𝑗𝑒𝑖 = 0, pois 𝑒𝑖𝑒𝑗 = 0, para

todo 𝑖 = 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛. Portanto, 𝑏 = 0 e 𝐴 = ⨁𝑖∈𝐼𝑛

𝐵𝑖.

Com isso mostramos que dados 𝐵𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 ideais à esquerda de 𝐴, 𝐴 = ⨁𝑖∈𝐼𝑛

𝐵𝑖

se e somente se existem idempotentes 𝑒𝑖 ∈ 𝐴, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 tais que ∑𝑖∈𝐼1,𝑛𝑒𝑖 = 1𝐴, 𝑒𝑖𝑒𝑗 = 0,

para todo 𝑖 = 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛 e 𝐵𝑖 = 𝐴𝑒𝑖.

Definição 2.1.15. Sejam 𝐴 e 𝐵 k-álgebras com multiplicações 𝑚𝐴 e 𝑚𝐵 e unidades 𝑢𝐴e 𝑢𝐵, respectivamente. Uma transformação linear 𝑓 : 𝐴 −→ 𝐵 é um homomorfismo dek-álgebras se os seguintes diagramas são comutativos:

𝐴⊗ 𝐴𝑓⊗𝑓 //

𝑚𝐴

��

𝐵 ⊗𝐵

𝑚𝐵

��𝐴

𝑓// 𝐵

k 𝑢𝐴 //

𝑢𝐵

��

𝐴

𝑓

��𝐵.

A comutatividade do primeiro diagrama acima pode ser reescrita da seguinte ma-neira:

𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)

para quaisquer 𝑎,𝑏 ∈ 𝐴. Já a comutatividade do segundo diagrama significa simplesmenteque

𝑓(1𝐴) = 1𝐵.

Assim como no caso de grupos e anéis, dado um homomorfismo de k-álgebras𝑓 :𝐴 −→ 𝐵 definimos o núcleo de 𝑓 por 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑎 ∈ 𝐴 | 𝑓(𝑎) = 0} e a imagem de 𝑓


por 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑓(𝑎) | 𝑎 ∈ 𝐴}. É fácil ver que, 𝐾𝑒𝑟(𝑓) é um ideal de 𝐴 e 𝐼𝑚(𝑓) é uma k-subálgebra de 𝐵. Além disso, se 𝐼 é um ideal de 𝐴 tal que 𝐼 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓), podemos mostrarque existe uma única estrutura de k-álgebra no k-espaço vetorial 𝐴/𝐼 tal que a função𝑓 :𝐴/𝐼 −→ 𝐵 dada por 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎), para todo 𝑎 ∈ 𝐴, é um homomorfismo de k-álgebras.Um homomorfismo injetor de k-álgebras é dito um monomorfismo, um homomorfismosobrejetor é dito um epimorfismo e um homomorfismo bijetor é dito um isomorfismo. Nocaso que 𝑓 é um isomorfismo, as k-álgebras 𝐴 e 𝐵 são ditas isomorfas e denotaremos por𝐴 ≃ 𝐵. Em particular, se 𝑓 é um homomorfismo injetor então 𝐴/𝐾𝑒𝑟(𝑓) ≃ 𝐼𝑚(𝑓), queé conhecido como o teorema do isomorfismo.

Nosso objetivo com este trabalho será descrever o anel de Green da álgebra de Taft,a qual é o quociente de uma álgebra livre. Por esta razão, vamos apresentar a definiçãoe alguns resultados sobre álgebras livres, a qual será dada pela seguinte propriedadeuniversal.

Definição 2.1.16. Uma álgebra livre sobre um conjunto não vazio 𝑋 é um par (𝐿, 𝛼),onde 𝐿 é uma k-álgebra e 𝛼 : 𝑋 −→ 𝐿 é uma função tal que para qualquer k-álgebra 𝐴 equalquer função 𝑓 :𝑋 −→ 𝐴 existe um único homomorfismo de k-álgebras 𝑓 :𝐿 −→ 𝐴 talque o seguinte diagrama é comutativo:

𝑋𝑓 //

𝛼

��

𝐴

𝐿.

𝑓

??

Dado 𝑋 um conjunto não vazio, vejamos que existe uma álgebra livre sobre X.Dizemos que uma palavra de tamanho 𝑛 em 𝑋, 𝑛 ∈ N é uma 𝑛-upla (𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) ∈ 𝑋𝑛.Uma palavra de tamanho zero é a palavra vazia. A fim de facilitar a escrita, denotaremosuma palavra (𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) por 𝑥1𝑥2...𝑥𝑛. Além disso, se 𝑥1 = 𝑥2 = ... = 𝑥𝑛, denotamos𝑥1𝑥2...𝑥𝑛 = 𝑥𝑛1 . Consideremos k⟨𝑋⟩ o k-espaço vetorial com base dada pelo conjunto detodas as palavras sobre 𝑋. Definimos a multiplicação em k⟨𝑋⟩ pela concatenação, isto é,dadas 𝑥1𝑥2...𝑥𝑛, 𝑦1𝑦2...𝑦𝑘 ∈ k⟨𝑋⟩ temos que

𝑥1𝑥2...𝑥𝑛 · 𝑦1𝑦2...𝑦𝑘 = 𝑥1𝑥2...𝑥𝑛𝑦1...𝑦𝑘,

a qual é uma palavra de tamanho 𝑛 + 𝑘 em k⟨𝑋⟩. Observemos que a concatenação depalavras é associativa, assim a multiplicação também o é. Além disso, a palavra vazia éa unidade. Notemos que (k⟨𝑋⟩, 𝜄), onde 𝜄 é a inclusão canônica de 𝑋 em k⟨𝑋⟩, satisfaza Definição 2.1.16. Com efeito, sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑓 : 𝑋 −→ 𝐴 uma função.Considere 𝑓 : k⟨𝑋⟩ −→ 𝐴 dada por 𝑓(𝑥1𝑥2...𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2) · · · 𝑓(𝑥𝑛) e 𝑓 aplicada napalavra vazia igual a 1𝐴. Claramente 𝑓 é um homomorfismo de álgebras. Para mostrar


a unicidade, suponhamos que exista 𝑔 : k⟨𝑋⟩ −→ 𝐴 homomorfismo de álgebras tal que𝑔 ∘ 𝜄 = 𝑓 . Então, para qualquer 𝑥1𝑥2 · · ·𝑥𝑛 ∈ k⟨𝑋⟩ temos

𝑔(𝑥1𝑥2...𝑥𝑛) = 𝑔(𝑥1)𝑔(𝑥2) · · · 𝑔(𝑥𝑛) = 𝑔(𝜄(𝑥1))𝑔(𝜄(𝑥2)) · · · 𝑔(𝜄(𝑥𝑛))

= 𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2) · · · 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥1𝑥2...𝑥𝑛).

Logo, 𝑓 é o único homomorfismo de álgebras tal que 𝑓 ∘ 𝜄 = 𝑓 . Portanto, (k⟨𝑋⟩, 𝜄) éuma álgebra livre. Mais ainda, vejamos que (k⟨𝑋⟩, 𝜄) é a única álgebra livre a menos deisomorfismo. Para isso, suponhamos que (𝐿, 𝜔) seja outra álgebra livre. Como (k⟨𝑋⟩, 𝜄) éuma álgebra livre, então existe um único homomorfismo de k-álgebras tal que o seguintediagrama é comutativo:

𝑋𝜔 //

𝜄

��

𝐿

k⟨𝑋⟩.

𝑔

==

Por outro lado, como (𝐿, 𝜔) é uma álgebra livre, existe um único homomorfismo de k-álgebras tal que o seguinte diagrama é comutativo:

𝑋𝜄 //

𝜔

��

k⟨𝑋⟩

𝐿.

ℎ

==

Assim, como 𝑔∘ 𝜄 = 𝜔 e ℎ∘𝜔 = 𝜄 então, (𝑔∘ℎ)∘𝜔 = 𝜔 e consequentemente, 𝑔∘ℎ = 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩.Analogamente, ℎ ∘ 𝑔 = 𝐼𝑑𝐿.

Exemplo 2.1.17. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Em particular, 𝐴 é um conjunto e assimpodemos considerar a álgebra livre (k⟨𝐴⟩, 𝜄). Considerando a função identidade de A,𝐼𝑑𝐴 :𝐴 −→ 𝐴, então pela propriedade universal da álgebra livre temos que existe únicohomomorfismo de k-álgebras 𝐼𝑑𝐴 : k⟨𝐴⟩ −→ 𝐴 tal que 𝐼𝑑𝐴 ∘ 𝜄 = 𝐼𝑑𝐴. Assim, peloteorema do isomorfismo, segue que, k⟨𝐴⟩/𝐾𝑒𝑟(𝐼𝑑) ≃ 𝐴. Isso nos diz que toda álgebra éo quociente de uma álgebra livre.

Definição 2.1.18. Sejam 𝑋 um conjunto e 𝑆 ⊆ k⟨𝑋⟩. A álgebra livre gerada por 𝑋 erelações 𝑆 é o quociente k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩.

A partir da Definição 2.1.16 é natural nos perguntarmos se o homomorfismo dek-álgebras 𝑓 pode induzir um homomorfismo de álgebras 𝑓 : k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩ −→ 𝐴. Veremosna proposição a seguir que sob determinadas condições isto é possível.


Proposição 2.1.19. Sejam 𝐴 uma k-álgebra, 𝑆 um subconjunto não vazio de k⟨𝑋⟩ e𝑓 :𝑋 −→ 𝐴 uma função. Se 𝑓 :k⟨𝑋⟩ −→ 𝐴 satisfaz 𝑓(𝑆) = {0}, então existe um únicohomomorfismo de k-álgebras 𝑓 :k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩ −→ 𝐴 tal que 𝑓 ∘ 𝜋 = 𝑓 , onde 𝜋 é a projeçãocanônica de k⟨𝑋⟩ em k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩.

Demonstração. Seja 𝑓 :𝑋 −→ 𝐴 uma função, então pela propriedade universal da álgebralivre existe 𝑓 : k⟨𝑋⟩ −→ 𝐴 um homomorfismo de k-álgebras tal que 𝑓 ∘ 𝜄 = 𝑓 . Se𝑓(𝑆) = {0} mostremos que ⟨𝑆⟩ ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓). Seja 𝑥 = ∑

𝑖∈𝐼1,𝑛𝑥𝑖𝑠𝑖𝑦𝑖 ∈ ⟨𝑆⟩, onde 𝑥𝑖,

𝑦𝑖 ∈ k⟨𝑋⟩ e 𝑠𝑖 ∈ 𝑆 então

𝑓(𝑥) = 𝑓(∑𝑖∈𝐼1,𝑛

𝑥𝑖𝑠𝑖𝑦𝑖) =∑𝑖∈𝐼1,𝑛

𝑓(𝑥𝑖)𝑓(𝑠𝑖)𝑓(𝑦𝑖) = 0.

Assim, segue do teorema do isomorfismo que existe um único homomorfismo de álgebras𝑓 :k⟨𝑋⟩/⟨𝑆⟩ −→ 𝐴 tal que 𝑓 ∘ 𝜋 = 𝑓 . Logo, (𝑓 ∘ 𝜋)(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝛼(𝑥)) = 𝑓(𝑥), paratodo 𝑥 ∈ 𝑋. Portanto, 𝑓 ∘ 𝜋 = 𝑓 .

Exemplo 2.1.20. Fixe um inteiro 𝑁 ≥ 2 e suponha que k é um corpo contendo umaraiz 𝑁 -ésima primitiva da unidade 𝑞. Sejam 𝑋 = {ℎ, 𝑔} e 𝑅 = {ℎ𝑁 , 𝑔𝑁 − 1, ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ}.Definimos a álgebra de Taft, denotada por 𝑇𝑁(𝑞), como sendo a álgebra gerada por 𝑋 erelações 𝑅, ou seja

𝑇𝑁(𝑞) = k⟨ 𝑔, ℎ | 𝑔𝑁 = 1, ℎ𝑁 = 0, ℎ𝑔 = 𝑞𝑔ℎ ⟩.

Lema 2.1.21. Seja 𝑇𝑁(𝑞) a álgebra de Taft. Então,

(i) {𝑔𝑖ℎ𝑗 | 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1} é uma base de 𝑇𝑁(𝑞) sobre k;

(ii) ℎ𝑗𝑔𝑖 = 𝑞𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗, para quaisquer 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1;

(iii) (−𝑞−1𝑔𝑖−1ℎ)𝑖 = (−1)𝑖𝑞−𝑖𝑞𝑖(𝑖−1)2

2 𝑔𝑖(𝑖−1)ℎ𝑖, para todo 𝑖 ∈ N.

Demonstração. (i) Vejamos que 𝑇𝑁(𝑞) ≃ 𝒜𝑁2 como álgebra, onde 𝒜𝑁2 é a álgebra intro-duzida no Exemplo 2.1.7. Definimos 𝑓 :𝑋 −→ k𝑁2 por 𝑓(𝑔) = 𝑒1,0 e 𝑓(ℎ) = 𝑒0,1. Assim,pela propriedade universal da álgebra livre, existe um único homomorfismo de álgebras𝑓 : k⟨𝑋⟩ −→ k𝑁2 tal que 𝑓(𝑔) = 𝑒1,0 e 𝑓(ℎ) = 𝑒0,1. Além disso, pelo Lema 2.1.8, temosque

𝑓(𝑔𝑁 − 1) = 𝑓(𝑔)𝑁 − 𝑓(1) = (𝑒1,0)𝑁 − 𝑒0,0 = 𝑒𝑁𝑚𝑜𝑑(𝑁),0 − 𝑒0,0 = 𝑒0,0 − 𝑒0,0 = 0,

𝑓(ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ) = 𝑓(ℎ)𝑓(𝑔) − 𝑞𝑓(𝑔)𝑓(ℎ) = 𝑒0,1𝑒1,0 − 𝑞𝑒1,0𝑒0,1 = 0,


e, 𝑓(ℎ𝑁) = 𝑓(ℎ)𝑁 = (𝑒0,1)𝑁 = 0. Portanto, 𝑓 induz um único homomorfismo de álgebras𝑓 ′ : 𝑇𝑁(𝑞) −→ k𝑁2 , satisfazendo 𝑓 ′(𝑔) = 𝑒1,0 e 𝑓 ′(ℎ) = 𝑒0,1. Definimos 𝜙 : 𝒜𝑁2 −→ 𝑇𝑁(𝑞)por 𝜙(𝑒𝑖,𝑗) = 𝑔𝑖ℎ𝑗, para todo 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1. Pelo Lema 2.1.8,

𝑓 ′ ∘ 𝜙(𝑒𝑖,𝑗) = 𝑓 ′(𝑔𝑖ℎ𝑗) = 𝑓 ′(𝑔)𝑖𝑓 ′(ℎ)𝑗 = (𝑒1,0)𝑖(𝑒0,1)𝑗

= 𝑒𝑖,0𝑒0,𝑗 = 𝛾(0 + 𝑗)𝑞0.0𝑒𝑖⊕0,0+𝑗 = 𝛾(𝑗)𝑒𝑖,𝑗 = 𝑒𝑖,𝑗,

ou seja, 𝑓 ′ ∘ 𝜙 = 𝐼𝑑𝒜𝑁2 . Por outro lado, temos que 𝜙 ∘ 𝑓 ′(𝑔) = 𝜙(𝑒1,0) = 𝑔1ℎ0 = 𝑔 e(𝜙 ∘ 𝑓 ′)(ℎ) = 𝜙(𝑒0,1) = 𝑔0ℎ1 = ℎ, ou seja, 𝜙 ∘ 𝑓 ′ = 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞). Logo, 𝑇𝑁(𝑞) ≃ 𝒜𝑁2 comok-álgebra, e em particular, concluímos que dimk(𝑇𝑁(𝑞)) = 𝑁2 e {𝑔𝑖ℎ𝑗 | 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1} ébase de 𝑇𝑁(𝑞).

(ii) Provemos que o resultado vale por indução sobre 𝑗. Claramente se 𝑗 = 0, então𝑔𝑖 = 𝑞0𝑔𝑖, para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1. Se 𝑗 = 1, vejamos que ℎ𝑔𝑖 = 𝑞𝑖𝑔𝑖ℎ, para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1.De fato, para 𝑖 = 0 é claro, e para 𝑖 = 1 temos que ℎ𝑔 = 𝑞𝑔ℎ. Suponha que ℎ𝑔𝑖 = 𝑞𝑖𝑔𝑖ℎ emostremos que ℎ𝑔𝑖+1 = 𝑞𝑖+1𝑔𝑖+1ℎ, para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1. Então,

ℎ𝑔𝑖+1 = 𝑞𝑖𝑔𝑖ℎ𝑔 = (𝑞𝑖𝑔𝑖ℎ)𝑔 = 𝑞𝑖𝑔𝑖𝑞𝑔ℎ = 𝑞𝑖+1𝑔𝑖+1ℎ.

Com isso, suponha que o resultado vale para 𝑗 e mostremos que vale para 𝑗 + 1. Assim,

ℎ𝑗+1𝑔𝑖 = ℎℎ𝑗𝑔𝑖 = ℎ(𝑞𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗) = 𝑞𝑖𝑗(ℎ𝑔𝑖)ℎ𝑗 = (𝑞𝑖𝑗𝑞𝑖𝑔𝑖ℎ)ℎ𝑗 = 𝑞𝑖(𝑗+1)𝑔𝑖ℎ𝑗+1.

(iii) Faremos a prova por indução sobre 𝑖. Porém inicialmente provaremos algumas afir-mações que serão utilizadas para tal. Tomemos 𝑧 = −𝑞−1𝑔𝑖−1ℎ e notemos que 𝑧𝑔 = 𝑞𝑔𝑧.Com efeito,

𝑧𝑔 = (−𝑞−1𝑔𝑖−1ℎ)𝑔 = −𝑞−1𝑔𝑖−1ℎ𝑔 = −𝑞−1𝑔𝑖−1𝑞𝑔ℎ = −𝑔𝑖ℎ.

Por outro lado, 𝑞𝑔𝑧 = 𝑞𝑔(−𝑞−1𝑔𝑖−1ℎ) = −𝑔𝑖ℎ. Além disso, pelo mesmo argumentoutilizado no item (ii), podemos ver que 𝑧𝑖𝑔 = 𝑞𝑖𝑔𝑧𝑖, para todo 𝑖 ∈ N. Mostremos porindução sobre 𝑖 que (𝑔𝑧)𝑖 = 𝑞

𝑖(𝑖−1)2 𝑔𝑖𝑧𝑖, para todo 𝑖 ∈ N. Claramente vale para 𝑖 = 1.

Suponha que seja válido para 𝑖 e mostremos que vale para 𝑖+ 1. De fato,

(𝑔𝑧)𝑖+1 = (𝑔𝑧)𝑖(𝑔𝑧) = (𝑞𝑖(𝑖−1)

2 𝑔𝑖𝑧𝑖)(𝑔𝑧) = 𝑞𝑖(𝑖−1)

2 𝑔𝑖(𝑧𝑖𝑔)𝑧

= 𝑞𝑖(𝑖−1)

2 𝑔𝑖𝑞𝑖𝑔𝑧𝑖𝑧 = 𝑞𝑖(𝑖−1)

2 +𝑖𝑔𝑖+1𝑧𝑖+1 = 𝑞(𝑖+1)𝑖

2 𝑔𝑖+1𝑧𝑖+1.

Finalmente, provemos que (−𝑞−1𝑔𝑖−1ℎ)𝑖 = (−1)𝑖𝑞−𝑖𝑞𝑖(𝑖−1)2

2 𝑔𝑖(𝑖−1)ℎ𝑖, para todo 𝑖∈N. Para𝑖 = 1 é claro. Suponhamos que o resultado seja válido para 𝑖 e vejamos que vale para𝑖+ 1.

(−𝑞−1𝑔𝑖ℎ)𝑖+1 = (−𝑞−1𝑔𝑖ℎ)(−𝑞−1𝑔𝑖ℎ)𝑖 = (−𝑞−1𝑔𝑖ℎ)(𝑔(−𝑞−1𝑔𝑖−1ℎ))𝑖

= (−𝑞−1𝑔𝑖ℎ)(𝑔𝑧)𝑖 = (−𝑞−1𝑔𝑖ℎ)(𝑞𝑖(𝑖−1)

2 𝑔𝑖𝑧𝑖)

= −𝑞−1𝑞𝑖(𝑖−1)

2 𝑔𝑖(ℎ𝑔𝑖)𝑧𝑖 = −𝑞−1𝑞𝑖(𝑖−1)

2 𝑔𝑖(𝑞𝑖𝑔𝑖ℎ)𝑧𝑖

= (−𝑞−1𝑞𝑖(𝑖−1)

2 𝑞𝑖𝑔2𝑖ℎ)(−𝑞−1𝑔𝑖−1ℎ)𝑖.


Pela hipótese de indução, temos

(−𝑞−1𝑔𝑖ℎ)𝑖+1 = (−𝑞−1𝑞(𝑖−1)𝑖

2 𝑞𝑖𝑔2𝑖ℎ)((−1)𝑖𝑞−𝑖𝑞𝑖(𝑖−1)2

2 𝑔𝑖(𝑖−1)ℎ𝑖)

= −(−1)𝑖𝑞−1𝑞(𝑖−1)𝑖

2 𝑞𝑖(𝑖−1)2

2 𝑔2𝑖(ℎ𝑔𝑖(𝑖−1))ℎ𝑖

= (−1)𝑖+1𝑞−1𝑞(𝑖−1)𝑖

2 𝑞𝑖(𝑖−1)2

2 𝑔2𝑖𝑞𝑖(𝑖−1)𝑔𝑖(𝑖−1)ℎℎ𝑖

= (−1)𝑖+1𝑞−1𝑞(𝑖−1)𝑖

2 𝑞𝑖(𝑖−1)2

2 𝑞𝑖(𝑖−1)𝑔2𝑖𝑔𝑖(𝑖−1)ℎ𝑖+1

= (−1)𝑖+1𝑞−𝑖−1𝑞(𝑖+1)𝑖2

2 𝑔2𝑖+𝑖(𝑖−1)ℎ𝑖+1

= (−1)𝑖+1𝑞−(𝑖+1)𝑞(𝑖+1)𝑖2

2 𝑔(𝑖+1)𝑖ℎ𝑖+1,

como queríamos.

Lema 2.1.22. O ideal à esquerda gerado por ℎ é um ideal bilateral de 𝑇𝑁(𝑞).

Demonstração. Seja 𝑥 = ∑𝑖,𝑗∈𝐼𝑁−1 𝛼𝑖𝑗𝑔

𝑖ℎ𝑗 ∈ 𝑇𝑁(𝑞), 𝛼𝑖𝑗 ∈ k, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1. Então, peloLema 2.1.21 (ii), temos

ℎ𝑥 = ℎ(∑

𝑖,𝑗∈𝐼𝑁−1

𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗) =

∑𝑖,𝑗∈𝐼𝑁−1

𝑞𝑖𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗+1 ∈ 𝑇𝑁(𝑞)ℎ,

𝑥ℎ = (∑


𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗)ℎ = ℎ

∑𝑖,𝑗∈𝐼𝑁−1

𝑞−𝑖𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗 ∈ ℎ𝑇𝑁(𝑞).

Logo, pela Observação 2.1.12 temos que 𝑇𝑁(𝑞)ℎ é um ideal bilateral de 𝑇𝑁(𝑞).

A álgebra de Taft definida no exemplo acima tem uma estrutura adicional, à sabera de álgebra de Hopf, o que será mostrado na terceira seção deste capítulo.

2.2 Módulos sobre álgebrasNesta seção apresentaremos a definição e alguns resultados importantes de módulos

sobre uma álgebra. O objetivo é estabelecer algumas propriedades que serão fundamen-tais ao longo deste trabalho e que envolvem classes especiais de módulos, módulos livres,projetivos, injetivos e indecomponíveis. Por fim, introduziremos o conceito de semissim-plicidade e desenvolveremos um pouco da teoria necessária para o próximo capítulo. Osresultados apresentados nesta seção podem ser encontrados em (MILIES, 1972), (LAM,1991), (ROTMAN, 2009), (SKOWRÓNSKI; YAMAGATA, 2011), (ASSEM; SIMSON;SKOWROŃSKI, 2006), (LINCKELMANN, 2018), (LEINSTER, 2014) e (CHEN, 2002).

Definição 2.2.1. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Um 𝐴-módulo à esquerda é um par (𝑀,𝜇𝑀)onde 𝑀 é um k-espaço vetorial e 𝜇𝑀 : 𝐴⊗𝑀 −→ 𝑀 é uma transformação linear tal que


os seguintes diagramas são comutativos:

𝐴⊗ 𝐴⊗𝑀𝐼𝑑𝐴⊗𝜇𝑀 //

𝑚𝐴⊗𝐼𝑑𝑀

��

𝐴⊗𝑀

𝜇𝑀

��𝐴⊗𝑀 𝜇𝑀

//𝑀

k⊗𝑀𝑢𝐴⊗𝐼𝑑𝑀 //

𝜂

##

𝐴⊗𝑀

𝜇𝑀

��𝑀.

A aplicação 𝜇𝑀 é chamada de ação de 𝐴 sobre 𝑀 , diremos também que 𝐴 agesobre 𝑀 . Denotaremos 𝜇𝑀(𝑎⊗𝑚) simplesmente por 𝑎𝑚, para quaisquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 .Assim, a comutatividade do primeiro diagrama da Definição 2.2.1 pode ser reescrita naforma:

(𝑎𝑏)𝑚 = 𝑎(𝑏𝑚),

para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Enquanto, a comutatividade do segundo diagramasignifica simplesmente que:

1𝐴𝑚 = 𝑚,

para todo 𝑚 ∈ 𝑀 .

De maneira análoga podemos definir 𝐴-módulo à direita. Os resultados que serãoapresentados neste trabalho valem tanto para 𝐴-módulos à esquerda quanto para 𝐴-módulos à direita, e as demonstrações são feitas de maneira análoga.

Exemplo 2.2.2. Todo k-espaço vetorial é um k-módulo à esquerda com as operaçõesusuais.

Exemplo 2.2.3. Toda k-álgebra 𝐴 é um 𝐴-módulo à esquerda via multiplicação.

Denotaremos 𝐴 com estrutura de 𝐴-módulo à esquerda (respectivamente à direita)por 𝐴𝐴 (respectivamente 𝐴𝐴).

Definição 2.2.4. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 um k-subespaço vetorial de 𝑀 .Dizemos que 𝑁 é um 𝐴-submódulo à esquerda de 𝑀 , ou simplesmente, um submódulo àesquerda de 𝑀 se 𝜇𝑀(𝐴⊗𝑁) ⊆ 𝑁 .

Exemplo 2.2.5. Claramente os 𝐴-submódulos à esquerda de uma k-álgebra 𝐴 são osideais à esquerda de 𝐴.

Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 ⊆ 𝑀 um submódulo à esquerda de 𝑀 .Considere 𝑀/𝑁 como k-espaço vetorial, e definimos 𝜇𝑀/𝑁 : 𝐴 ⊗ 𝑀/𝑁 −→ 𝑀/𝑁 por𝜇𝑀/𝑁(𝑎⊗𝑚) = 𝑎𝑚. Dessa forma, 𝑀/𝑁 possui estrutura de 𝐴-módulo à esquerda. Alémdisso, podemos notar que existe uma correspondência biunívoca entre os submódulos àesquerda do quociente 𝑀/𝑁 e os submódulos à esquerda de 𝑀 que contém 𝑁 . Ou seja,


para cada 𝐴-submódulo à esquerda 𝐾 de 𝑀 com 𝐾 ⊇ 𝑁 está associado um 𝐴-submóduloà esquerda 𝑋 de 𝑀/𝑁 . Reciprocamente, para cada 𝐴-submódulo à esquerda 𝑋 de 𝑀/𝑁

está associado um 𝐴-submódulo à esquerda 𝐾 de 𝑀 com 𝐾 ⊇ 𝑁 .

Observação 2.2.6. Sejam 𝐼 um ideal de 𝐴 e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Então, 𝑀 é𝐴/𝐼-módulo à esquerda via 𝑎𝑚=𝑎𝑚, para todo 𝑎∈𝐴,𝑚∈𝑀 , se e somente se 𝐼𝑀={0}.Com efeito, suponha que 𝑀 seja um 𝐴/𝐼-módulo à esquerda via 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚, para todo𝑎 ∈ 𝐴,𝑚 ∈ 𝑀 . Em particular, para todo 𝑥 ∈ 𝐼,𝑚 ∈ 𝑀 , temos que 𝑥𝑚 = 𝑥𝑚 = 0𝑚 = 0.Logo, 𝐼𝑀 = {0}. Reciprocamente, considere a aplicação 𝜇 : 𝐴/𝐼 × 𝑀 → 𝑀 dada por𝜇(𝑎,𝑚)=𝑎𝑚, para quaisquer 𝑎∈𝐴 e 𝑚∈𝑀 . Note que 𝜇 está bem definida, pois dados𝑎, 𝑏∈𝐴/𝐼 tais que 𝑎= 𝑏, então 𝑎 − 𝑏∈𝐼. Logo, 0=(𝑎 − 𝑏)𝑚=𝑎𝑚 − 𝑏𝑚=𝑎𝑚 − 𝑏𝑚, paratodo 𝑚 ∈ 𝑀 . É fácil ver que 𝜇 é uma função bilinear, então pela propriedade universaldo produto tensorial segue que existe uma única transformação linear 𝜇 : 𝐴/𝐼 ⊗𝑀 → 𝑀

tal que 𝜇 ∘ 𝜔 = 𝜇, onde 𝜔 : 𝐴/𝐼 × 𝑀 → 𝐴/𝐼 ⊗ 𝑀 é uma função bilinear. Claramente𝑎(𝑏𝑚) = (𝑎𝑏)𝑚 e 1𝐴𝑚 = 𝑚, para quaisquer 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴/𝐼 e 𝑚 ∈ 𝑀 .

Vejamos a seguir algumas definições que serão importantes no decorrer desta seção.

Definição 2.2.7. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo e 𝑁 um submódulo à esquerda de 𝑀 , 𝑁 = 𝑀 .Dizemos que 𝑁 é um submódulo à esquerda maximal de 𝑀 se para qualquer submódulo àesquerda 𝑁 ′ de 𝑀 , satisfazendo 𝑁 ⊆ 𝑁 ′ ⊆ 𝑀 , então 𝑁 ′ = 𝑁 ou 𝑁 ′ = 𝑀 .

Exemplo 2.2.8. Os submódulos à esquerda maximais de 𝐴𝐴 são precisamente os ideaisà esquerda maximais de 𝐴.

Definição 2.2.9. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. O anulador de𝑀 é o conjunto

𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑀) = {𝑎 ∈ 𝐴 | 𝑎𝑚 = 0, para todo 𝑚 ∈ 𝑀}.

Observemos que dados 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑥 ∈ 𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑀) temos (𝑎𝑥)𝑚 = 𝑎(𝑥𝑚) = 0 e(𝑥𝑎)𝑚 = 𝑥(𝑎𝑚) = 0, para todo 𝑚 ∈ 𝑀 . Logo, 𝑎𝑥 ∈ 𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑀) e 𝑥𝑎 ∈ 𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑀), ou seja,o anulador de 𝑀 é um ideal de 𝐴. Pela Observação 2.2.6, 𝑀 é um 𝐴/𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑀)-móduloà esquerda via ��𝑚 = 𝑎𝑚, para quaisquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 .

Definição 2.2.10. Sejam 𝐴 uma k-álgebra, (𝑀,𝜇𝑀) e (𝑁,𝜇𝑁) 𝐴-módulos à esquerda.Uma transformação linear 𝑓 :𝑀 −→ 𝑁 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda seo seguinte diagrama é comutativo:

𝐴⊗𝑀𝐼𝑑𝐴⊗𝑓 //

𝜇𝑀

��

𝐴⊗𝑁

𝜇𝑁

��𝑀

𝑓// 𝑁.


Ou seja, 𝑓(𝑎𝑚) = 𝑎𝑓(𝑚), para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 .

Exemplo 2.2.11. Seja 𝑓 :𝐴 −→ 𝐵 um homomorfismo sobrejetor de k-álgebras. Se 𝑀 éum 𝐵-módulo à esquerda, então 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda via ação induzida por 𝑓 ,ou seja, dados 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 , 𝑎𝑚 = 𝑓(𝑎)𝑚.

Exemplo 2.2.12. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um ideal de 𝐴, então 𝜋 :𝐴 → 𝐴/𝐼 é umhomomorfismo sobrejetor de k-álgebras. Assim, se 𝑀 é um 𝐴/𝐼-módulo à esquerda, então𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda via 𝑎𝑚 = 𝜋(𝑎)𝑚, para quaisquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 .

Observação 2.2.13. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑉 um k-espaço vetorial. Considere𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) = {𝑇 : 𝑉 −→ 𝑉 | 𝑇 é transformação linear}. É fácil ver que, 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) é umak-álgebra com a multiplicação dada pela composição e unidade dada pela identidade. Noteque se 𝑉 é um 𝐴-módulo à esquerda via 𝜇(𝑎 ⊗ 𝑣) = 𝑎𝑣, para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑣 ∈ 𝑉 entãoexiste 𝜌 :𝐴 −→ 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) homomorfismo de álgebras. Com efeito, defina 𝜌 :𝐴 −→ 𝐸𝑛𝑑(𝑉 )por 𝜌(𝑎)(𝑣) = 𝜌𝑎(𝑣) = 𝑎𝑣, para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑣 ∈ 𝑉 . Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑣 ∈ 𝑉 temos que,

𝜌𝑎𝑏(𝑣) = (𝑎𝑏)𝑣 = (𝑎𝑏)𝑣 = 𝑎(𝑏𝑣) = 𝜌𝑎(𝜌𝑏(𝑣)) = (𝜌𝑎 ∘ 𝜌𝑏)(𝑣).

Assim, 𝜌(𝑎𝑏) = 𝜌𝑎𝑏 = 𝜌𝑎 ∘ 𝜌𝑏 = 𝜌(𝑎) ∘ 𝜌(𝑏). Além disso,

𝜌(1𝐴) = 𝜌1𝐴(𝑣) = 1𝐴𝑣 = 𝑣 = 𝐼𝑑𝐸𝑛𝑑(𝑉 )(𝑣),

para todo 𝑣 ∈ 𝑉 . Portanto, 𝜌 é um homomorfismo de álgebras. Reciprocamente, se𝜌 :𝐴 −→ 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ) é um homomorfismo de álgebras então, é fácil verificar que, 𝑉 é um𝐴-módulo à esquerda via 𝑎𝑣 = 𝜌𝑎(𝑣), para todo 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑣 ∈ 𝑉 .

A seguir iremos discutir brevemente sobre sequências exatas de módulos.

Definição 2.2.14. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Sejam {𝑀𝑖}𝑖∈𝐼 uma família de 𝐴-módulos àesquerda e {𝑓𝑖 : 𝑀𝑖 −→ 𝑀𝑖+1}𝑖∈𝐼 uma família de homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda.Dizemos que o diagrama

· · · 𝑓𝑖−1−→ 𝑀𝑖𝑓𝑖−→ 𝑀𝑖+1

𝑓𝑖+1−→ · · ·

é uma sequência exata se, 𝐼𝑚(𝑓𝑖) = 𝐾𝑒𝑟(𝑓𝑖+1), para todo 𝑖 ∈ 𝐼.

Exemplo 2.2.15. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos à esquerda. A sequência 0 𝑓−→ 𝑀𝑔−→ 𝑁

é exata se e somente se 𝑔 é um monomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. De fato, se asequência 0 𝑓−→ 𝑀

𝑔−→ 𝑁 é exata então, 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐾𝑒𝑟(𝑔). Como 𝐼𝑚(𝑓) = {0} temosque, 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = {0} e, consequentemente, 𝑔 é injetora. Reciprocamente, se 𝑔 é injetoraentão, 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = {0}. Como 𝐼𝑚(𝑓) = {0} segue que 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐾𝑒𝑟(𝑔).

De maneira análoga, podemos mostrar que a sequência 𝑀 𝑓−→ 𝑁𝑔−→ 0 é exata se e

somente se 𝑓 é um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Disso decorre que, a sequência0 −→ 𝑀

𝑓−→ 𝑁−→ 0 é exata se e somente se 𝑓 é um isomorfismo de 𝐴-módulos àesquerda.


Definição 2.2.16. Uma sequência exata do tipo 0 −→ 𝑀𝑓−→ 𝑁

𝑔−→ 𝐾 −→ 0 é ditauma sequência exata curta.

Exemplo 2.2.17. Sejam 𝐴 uma k-álgebra, 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 um submó-dulo à esquerda de 𝑀 . Então, a sequência 0 −→ 𝑁

𝑖−→ 𝑀𝜋−→ 𝑀/𝑁 −→ 0, onde 𝜋 é a

projeção canônica, é claramente uma sequência exata curta.

Observação 2.2.18. Dada a sequência exata curta 0 −→ 𝑀𝑓−→ 𝑁

𝑔−→ 𝐾 −→ 0.Considere 𝑀 ′ = 𝐼𝑚(𝑓). Claramente 𝑀 ′ é um submódulo à esquerda de 𝑁 . Como 𝑔 ésobrejetora, 𝑁/𝐾𝑒𝑟(𝑔) ≃ 𝐾. Mas, 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = 𝐼𝑚(𝑓) e assim 𝑁/𝐼𝑚(𝑓) ≃ 𝐾. Além disso,𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓) ≃ 𝐼𝑚(𝑓) e como 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {0}, temos que, 𝑀 ≃ 𝑀 ′. Logo, a sequência0 −→ 𝑀 ′ 𝑖−→ 𝑁

𝜋−→ 𝑁/𝑀 ′ −→ 0 é exata. Isso nos diz que, toda sequência exata curtatem a forma da sequência do Exemplo 2.2.17.

Proposição 2.2.19. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Consideremos a seguinte sequência exatacurta de 𝐴-módulos

0 −→ 𝑁𝑓−→ 𝑀

𝑔−→ 𝐾 −→ 0.

Então as seguintes afirmações são equivalentes:

(i) 𝑀 ≃ 𝑁 ⊕𝐾;

(ii) Existe um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝜓 : 𝑀 −→ 𝑁 tal que 𝜓∘𝑓 = 𝐼𝑑𝑁 ;

(iii) Existe um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝜑 : 𝐾 −→ 𝑀 tal que 𝑔∘𝜑 = 𝐼𝑑𝐾 .

Demonstração. (i) ⇒ (ii) Suponhamos que 𝑀 ≃ 𝑁 ⊕ 𝐾. Como 𝑓 é injetora segue peloteorema do homomorfismo de módulos que, 𝑁 ≃ 𝐼𝑚(𝑓). Dessa forma, dado 𝑚 ∈ 𝑀 ,temos 𝑚 = 𝑚1 +𝑚2, onde 𝑚1 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) e 𝑚2 ∈ 𝐾. Assim, existe um único 𝑛 ∈ 𝑁 tal que𝑓(𝑛) = 𝑚1. Definimos 𝜓 : 𝑀 −→ 𝑁 por 𝜓(𝑚) = 𝑛. Assim, 𝜓 está bem definida e é umhomomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. De fato, sejam 𝑚,𝑚′ ∈ 𝑀 então 𝑚 = 𝑚1 +𝑚2,com 𝑚1 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) e 𝑚2 ∈ 𝐾 e 𝑚′ = 𝑚′

1 + 𝑚′2, com 𝑚′

1 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) e 𝑚′2 ∈ 𝐾. Então,

𝜓(𝑚 + 𝑚′) = 𝜓(𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚′1 + 𝑚′

2) = 𝑦, onde 𝑓(𝑦) = 𝑚1 + 𝑚′1. Por outro lado,

𝜓(𝑚) + 𝜓(𝑚′) = 𝑧 + 𝑧′, onde 𝑓(𝑧) = 𝑚1 e 𝑓(𝑧′) = 𝑚′1. Então,

𝑓(𝑦) = 𝑚1 +𝑚′1 = 𝑓(𝑧) + 𝑓(𝑧′) = 𝑓(𝑧 + 𝑧′).

Como 𝑓 é injetora, 𝑦 = 𝑧 + 𝑧′. Logo, 𝜓(𝑚 + 𝑚′) = 𝜓(𝑚) + 𝜓(𝑚′). Agora, dado 𝑎 ∈ 𝐴

e 𝑚 = 𝑚1 + 𝑚2 ∈ 𝑀 , 𝜓(𝑎𝑚) = 𝜓(𝑎𝑚1 + 𝑎𝑚2) = 𝑤, onde 𝑓(𝑤) = 𝑎𝑚1. Por outrolado, 𝑎𝜓(𝑚) = 𝑎𝑧, onde 𝑓(𝑧) = 𝑚1. Assim, 𝑎𝑚1 = 𝑎𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑎𝑧) e como 𝑓 é injetora𝑤 = 𝑎𝑧, ou seja, 𝜓(𝑎𝑚) = 𝑎𝜓(𝑚). Além disso, para todo 𝑛 ∈ 𝑁 , temos que 𝑓(𝑛) seescreve unicamente como 𝑓(𝑛) + 0 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) ⊕𝐾, logo

(𝜓 ∘ 𝑓)(𝑛) = 𝜓(𝑓(𝑛)) = 𝜓(𝑓(𝑛) + 0) = 𝑛 = 𝐼𝑑𝑁(𝑛).


(ii) ⇒ (i) Suponhamos que exista 𝜓 : 𝑀 −→ 𝑁 tal que 𝜓 ∘ 𝑓 = 𝐼𝑑𝑁 . Vejamos agoraque 𝑀 ≃ 𝐼𝑚(𝑓) ⊕ 𝐾𝑒𝑟(𝜓). Seja 𝑚 ∈ 𝑀 , tomamos 𝑥 = 𝑓(𝜓(𝑚)) ∈ 𝑀 e consideramos𝑦 = 𝑚− 𝑥 ∈ 𝑀 . Então,

𝜓(𝑦) = 𝜓(𝑚− 𝑥) = 𝜓(𝑚) − 𝜓(𝑥) = 𝜓(𝑚) − 𝜓(𝑓(𝜓(𝑚))) = 𝜓(𝑚) − 𝜓(𝑚) = 0,

ou seja, 𝑦 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜓). Logo, 𝑚 = 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) + 𝐾𝑒𝑟(𝜓). Seja 𝑧 ∈ 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐾𝑒𝑟(𝜓)então, existe 𝑛 ∈ 𝑁 tal que 𝑓(𝑛) = 𝑧 e assim 𝑛 = 𝜓(𝑓(𝑛)) = 𝜓(𝑧) = 0, donde segue que𝑧 = 0. Portanto, 𝑀 ≃ 𝐼𝑚(𝑓) ⊕ 𝐾𝑒𝑟(𝜓). Como 𝑓 é injetora, 𝑁 ≃ 𝐼𝑚(𝑓). Pelo teoremado homomorfismo de módulos à esquerda, temos que 𝐾 ≃ 𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑔), e pela sequênciaser exata, 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = 𝐼𝑚(𝑓). Logo, 𝐾 ≃ (𝐼𝑚(𝑓) ⊕𝐾𝑒𝑟(𝜓))/𝐼𝑚(𝑓) ≃ 𝐾𝑒𝑟(𝜓).

Analogamente, (i) é equivalente a (iii).

Definição 2.2.20. Uma sequência exata curta que satisfaz uma, e portanto todas, ascondições da Proposição 2.2.19 é dita uma sequência exata curta que cinde.

2.2.1 Módulos livres, projetivos e injetivos

Começaremos esta subseção introduzindo o conceito de módulos livres e mos-trando algumas propriedades importantes sobre estes módulos. Posteriormente, iremosdefinir e apresentar alguns resultados sobre módulos projetivos e injetivos. Os resultadosapresentados nesta subseção podem ser encontrados em (MILIES, 1972), (LAM, 1991),(ROTMAN, 2009), (SKOWRÓNSKI; YAMAGATA, 2011) e (LEINSTER, 2014).

Dado uma k-álgebra 𝐴, denotaremos por 𝐴(𝐼) o conjunto de todas as sequênciasquase nulas (𝜆𝑖)𝑖∈𝐼 onde 𝜆𝑖 ∈ 𝐴, para todo 𝑖 ∈ 𝐼, ou seja, 𝜆𝑖 = 0 exceto para um númerofinito de índices 𝑖 ∈ 𝐼. Notemos que 𝐴(𝐼) é a soma direta ⊕𝑖∈𝐼𝐴𝑖, onde cada somando éigual a 𝐴.

Seja {𝑚𝑖}𝑖∈𝐼 um conjunto de elementos de um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 . Umelemento 𝑚 ∈ 𝑀 é uma combinação linear de {𝑚𝑖}𝑖∈𝐼 se existe (𝜆𝑖)𝑖∈𝐼 ∈ 𝐴(𝐼) tal que𝑚 = ∑

𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑚𝑖. Notemos que esta soma está bem definida, pois só um número finito desomandos é não nulo. Dizemos que {𝑚𝑖}𝑖∈𝐼 gera 𝑀 se qualquer elemento de 𝑀 podeser escrito como uma combinação linear finita de elementos de {𝑚𝑖}𝑖∈𝐼 . Além disso, umconjunto {𝑚𝑖}𝑖∈𝐼 de elementos de 𝑀 é dito linearmente independente ou livre se paratoda sequência quase nula (𝜆𝑖)𝑖∈𝐼 ∈ 𝐴(𝐼) tal que ∑𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑚𝑖 = 0 tivermos que 𝜆𝑖 = 0, paratodo 𝑖 ∈ 𝐼.

Definição 2.2.21. Um conjunto {𝑚𝑖}𝑖∈𝐼 de elementos de um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 éuma base de 𝑀 se é linearmente independente e gera 𝑀 . Dizemos ainda, que 𝑀 é livrese existe uma base para 𝑀 .

Observação 2.2.22. Notemos que sempre existe um conjunto de geradores de M, aomenos o próprio 𝑀 .


Exemplo 2.2.23. O 𝐴-módulo à esquerda 𝐴 é um módulo livre com base {1𝐴}.

Exemplo 2.2.24. Seja 𝐴 uma k-álgebra e 𝑛 um inteiro tal que 𝑛 ≥ 1 então o produtocartesiano de 𝐴𝑛 é um 𝐴-módulo à esquerda livre com base {𝑒𝑖}𝑖∈𝐼 , onde 𝑒𝑖 é a 𝑛-uplaque tem 1 na posição 𝑖 e zero nas demais.

Mais geralmente, dada uma k-álgebra 𝐴, consideremos a soma direta 𝐴(𝐼). Indi-caremos por 𝑒𝑘 o elemento 𝑒𝑘 = (𝑚𝑖)𝑖∈𝐼 tal que 𝑚𝑘 = 1 e 𝑚𝑖 = 0 se 𝑖 = 𝑘. O conjunto{𝑒𝑘}𝑘∈𝐼 é uma base de 𝐴(𝐼), chamada de base canônica. Portanto, 𝐴(𝐼) é um 𝐴-módulolivre.

Definição 2.2.25. Um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 é dito finitamente gerado se existe umconjunto finito de elementos que gera 𝑀 .

A proposição a seguir mostra que para definirmos um homomorfismo de 𝐴-módulosà esquerda 𝑓 :𝑀 −→ 𝑁 , onde 𝑀 é livre, é suficiente defini-lo na base.

Proposição 2.2.26. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos à esquerda, {𝑚𝑖}𝑖∈𝐼 uma base de 𝑀 e{𝑛𝑖}𝑖∈𝐼 um subconjunto qualquer de 𝑁 . Então, existe um único homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 :𝑀 −→ 𝑁 tal que 𝑓(𝑚𝑖) = 𝑛𝑖, para todo 𝑖 ∈ 𝐼.

Demonstração. Seja 𝑚 = ∑𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑚𝑖∈𝑀 , com (𝜆𝑖)𝑖∈𝐼 ∈𝐴(𝐼). Definimos 𝑓(𝑚) = ∑

𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑛𝑖.Sejam 𝑚1 = ∑

𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑚𝑖,𝑚2 = ∑𝑖∈𝐼 𝜆

′𝑖𝑚𝑖 ∈ 𝑀 e 𝛼 ∈ k. Então,

𝑓(𝛼𝑚1 +𝑚2) =∑𝑖∈𝐼

(𝛼𝜆𝑖 + 𝜆′𝑖)𝑛𝑖 = 𝛼

∑𝑖∈𝐼

𝜆𝑖𝑛𝑖 +∑𝑖∈𝐼

𝜆′𝑖𝑛𝑖

= 𝛼∑𝑖∈𝐼

𝜆𝑖𝑛𝑖 +∑𝑖∈𝐼

𝜆′𝑖𝑛𝑖 = 𝛼𝑓(𝑚1) + 𝑓(𝑚2).

Portanto, 𝑓 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Suponha que exista outrohomomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 ′ : 𝑀 −→ 𝑁 tal que 𝑓 ′(𝑚𝑖) = 𝑛𝑖, para todo𝑖 ∈ 𝐼. Então, dado 𝑚 = ∑

𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑚𝑖, temos

𝑓 ′(𝑚) = 𝑓(∑𝑖∈𝐼

𝜆𝑖𝑚𝑖) =∑𝑖∈𝐼

𝜆𝑖𝑓′(𝑚𝑖) =

∑𝑖∈𝐼

𝜆𝑖𝑛𝑖 = 𝑓(𝑚).

Portanto, 𝑓 = 𝑓 ′.

Proposição 2.2.27. Todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 é uma imagem epimórfica de ummódulo livre.

Demonstração. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑋 = {𝑚𝑖}𝑖∈𝐼 um conjunto de ge-radores de 𝑀 . Considere {𝑒𝑖}𝑖∈𝐼 base de 𝐴(𝐼). Pela Proposição 2.2.26, 𝑓 : 𝐴(𝐼) −→ 𝑀

dada por 𝑓(∑𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑒𝑖) = ∑𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑚𝑖 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Resta


mostrar que, 𝑓 é sobrejetora. De fato, seja 𝑦 = ∑𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑚𝑖 ∈ 𝑀 . Tome ∑𝑖∈𝐼 𝜆𝑖𝑒𝑖 ∈ 𝐴(𝐼),

então𝑓(∑𝑖∈𝐼

𝜆𝑖𝑒𝑖) =∑𝑖∈𝐼

𝜆𝑖𝑚𝑖 = 𝑦.

Definição 2.2.28. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos à esquerda. Dizemos que um 𝐴-módulo àesquerda 𝑃 é projetivo se dado um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 :𝑀 −→ 𝑁 eum homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑔 :𝑃 −→ 𝑁 existe um único homomorfismode 𝐴-módulos à esquerda ℎ :𝑃 −→ 𝑀 tal que o seguinte diagrama é comutativo

𝑃ℎ

~~𝑔��

𝑀𝑓 // 𝑁 // 0.

Exemplo 2.2.29. Todo 𝐴-módulo à esquerda livre é projetivo. Com efeito, seja 𝐿 um𝐴-módulo à esquerda livre com base {𝑥𝑖}𝑖∈𝐼 . Dados dois 𝐴-módulos à esquerda 𝑀 e 𝑁 ,𝑓 :𝑀 −→ 𝑁 um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda e 𝑔 :𝐿 −→ 𝑁 um homomorfismode 𝐴-módulos à esquerda. Mostremos que sempre existe um homomorfismo de 𝐴-módulosà esquerda ℎ :𝐿 −→ 𝑀 tal que o seguinte diagrama é comutativo

𝐿ℎ

~~𝑔��

𝑀𝑓 // 𝑁 // 0.

Para cada 𝑥𝑖 da base de 𝐿, temos que 𝑔(𝑥𝑖) ∈ 𝑁 e como 𝑓 é sobrejetora entãoexiste 𝑚𝑖 ∈ 𝑀 tal que 𝑓(𝑚𝑖) = 𝑔(𝑥𝑖), 𝑖 ∈ 𝐼. Defina ℎ(𝑥𝑖) = 𝑚𝑖. Pela Proposição 2.2.26ℎ : 𝐿 −→ 𝑀 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Vejamos que 𝑓 ∘ ℎ = 𝑔.Então, 𝑓(ℎ(𝑥𝑖)) = 𝑓(𝑚𝑖) = 𝑔(𝑥𝑖), para todo 𝑖 ∈ 𝐼. Logo, o diagrama acima é comutativoe consequentemente, 𝐿 é um 𝐴-módulo à esquerda projetivo.

Em particular, segue do exemplo acima que toda k-álgebra vista como 𝐴-móduloà esquerda é um 𝐴-módulo à esquerda projetivo.

Proposição 2.2.30. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑃 um 𝐴-módulo à esquerda. Então, asseguintes afirmações são equivalentes:

(i) 𝑃 é projetivo;

(ii) Se existe um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 e 𝑓 :𝑀 −→ 𝑃 um epimorfismo de 𝐴-módulosà esquerda, então 𝑃 é isomorfo a um somando direto de 𝑀 ;

(iii) Existe um 𝐴-módulo à esquerda livre 𝐿 tal que 𝐿 = 𝑃 ⊕𝑄, para algum 𝐴-módulo àesquerda 𝑄.


Demonstração. (i) ⇒ (ii) Suponha que 𝑃 seja um 𝐴-módulo à esquerda projetivo. Sejam𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑓 :𝑀 −→ 𝑃 um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda.Como 𝑃 é projetivo, temos que o seguinte diagrama é comutativo

𝑃ℎ

~~𝐼𝑑𝑃��

𝑀𝑓 // 𝑃 // 0.

Assim, a seguinte sequência exata curta de 𝐴-módulos à esquerda

0 −→ 𝐾𝑒𝑟(𝑓) 𝑖−→ 𝑀𝑓−→ 𝑃 −→ 0

cinde. Pela Proposição 2.2.19 temos que 𝑀 ≃ 𝐾𝑒𝑟(𝑓) ⊕ 𝑃 .

(ii) ⇒ (iii) Pela Proposição 2.2.27 existe um 𝐴-módulo à esquerda livre 𝑀 e um epimor-fismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑃 . Logo, por hipótese 𝑃 é isomorfo a umsomando direto de 𝑀 .

(iii) ⇒ (i) Seja 𝐿 um 𝐴-módulo à esquerda livre tal que 𝐿 = 𝑃 ⊕𝑄 para algum 𝐴-móduloà esquerda 𝑄. Sejam 𝑀 , 𝑁 𝐴-módulos à esquerda, 𝑓 :𝑀 −→ 𝑁 um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda e 𝑔 :𝑃 −→ 𝑁 um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Provemosque existe um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda ℎ : 𝑃 −→ 𝑀 tal que 𝑓 ∘ ℎ = 𝑔.Como 𝐿 = 𝑃 ⊕𝑄, todo 𝑥 ∈ 𝐿 se escreve de forma única como 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 onde 𝑥1 ∈ 𝑃 e𝑥2 ∈ 𝑄. Claramente 𝑔 :𝐿 −→ 𝑁 dada por 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑔(𝑥1) é um homomorfismode 𝐴-módulo à esquerda. Pelo Exemplo 2.2.29 temos que 𝐿 é projetivo. Dessa forma,temos o seguinte diagrama

𝐿

ℎ′

��

𝑔

𝑃𝜄oo

𝑔��

𝑀𝑓// 𝑁 // 0.

Definindo ℎ = ℎ′ ∘ 𝜄 temos,

(𝑓 ∘ ℎ)(𝑦) = (𝑓 ∘ (ℎ′ ∘ 𝜄))(𝑦) = ((𝑓 ∘ ℎ′) ∘ 𝜄)(𝑦) = (𝑔 ∘ 𝜄)(𝑦) = 𝑔(𝜄(𝑦)) = 𝑔(𝑦),

para todo 𝑦 ∈ 𝑃 . Logo, 𝑃 é um 𝐴-módulo à esquerda projetivo.

Definição 2.2.31. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Uma cobertura projetiva para 𝑀

é um par (𝑃, 𝑓), onde 𝑃 é um 𝐴-módulo à esquerda projetivo e 𝑓 : 𝑃 −→ 𝑀 é umepimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda tal que se 𝑁 é um 𝐴-módulo à esquerda projetivoe 𝑔 : 𝑁 −→ 𝑃 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda com 𝑓 ∘ 𝑔 : 𝑁 −→ 𝑀

um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda, então 𝑔 é um epimorfismo de 𝐴-módulos àesquerda.

A seguir iremos enunciar um teorema que garante a existência da cobertura pro-jetiva para todo 𝐴-módulo à esquerda.


Teorema 2.2.32. ([Teorema 8.4., SKOWRÓNSKI; YAMAGATA, 2011]) Todo 𝐴-móduloà esquerda possui uma cobertura projetiva.

Observação 2.2.33. Seja 𝑃 um 𝐴-módulo à esquerda projetivo. Então (𝑃, 𝐼𝑑𝑃 ) é acobertura projetiva de 𝑃 . De fato, seja 𝑁 um 𝐴-módulo à esquerda projetivo e 𝑔 :𝑁 −→ 𝑃

um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda tal que 𝐼𝑑𝑃 ∘𝑔 :𝑁 −→ 𝑃 é um epimorfismo de𝐴-módulos à esquerda. Então, claramente 𝑔 é um epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda.

Proposição 2.2.34. Sejam (𝑃1, 𝑓1) e (𝑃2, 𝑓2) coberturas projetivas de um 𝐴-módulo àesquerda 𝑀 . Então, 𝑃1 ≃ 𝑃2.

Demonstração. Sejam 𝑓1 : 𝑃1 −→ 𝑀 e 𝑓2 : 𝑃2 −→ 𝑀 dois epimorfismos de 𝐴-módulosà esquerda. Como 𝑃1 e 𝑃2 são 𝐴-módulos à esquerda projetivos temos que os seguintesdiagramas são comutativos

𝑃1ℎ

~~𝑓1��

𝑃2𝑓2 //𝑀 // 0,

𝑃2ℎ′

~~𝑓2��

𝑃1𝑓1 //𝑀 // 0.

Ou seja, 𝑓2 ∘ ℎ = 𝑓1 e 𝑓1 ∘ ℎ′ = 𝑓2. Assim, 𝑓2 ∘ ℎ : 𝑃1 −→ 𝑀 e 𝑓1 ∘ ℎ′ : 𝑃2 −→ 𝑀 sãoepimorfismos de 𝐴-módulos à esquerda. Como (𝑃1, 𝑓1) e (𝑃2, 𝑓2) são coberturas projetivasde 𝑀 , ℎ e ℎ′ são epimorfismos de 𝐴-módulos à esquerda. Além disso,

𝑓1 = 𝑓2 ∘ ℎ = (𝑓1 ∘ ℎ′) ∘ ℎ = 𝑓1 ∘ (ℎ′ ∘ ℎ).

Logo, ℎ′ ∘ ℎ = 𝐼𝑑𝑃1 . Por outro lado, 𝑓2 = 𝑓1 ∘ ℎ′ = (𝑓2 ∘ ℎ) ∘ ℎ′ = 𝑓2 ∘ (ℎ ∘ ℎ′). Assim,ℎ ∘ ℎ′ = 𝐼𝑑𝑃2 . Logo, 𝑃1 ≃ 𝑃2.

Definição 2.2.35. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝐴-módulos à esquerda. Dizemos que um 𝐴-módulo àesquerda 𝐼 é injetivo se dado um monomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 :𝑀 −→ 𝑁 eum homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑔 :𝑀 −→ 𝐼, existe um único homomorfismode 𝐴-módulos à esquerda ℎ :𝑁 −→ 𝐼 tal que o seguinte diagrama é comutativo

0 //𝑀𝑓 //

𝑔��

𝑁

ℎ~~𝐼.

Exemplo 2.2.36. Todo k-espaço vetorial 𝑉 é um k-módulo à esquerda injetivo. De fato,sejam 𝑈 e 𝑊 dois k-espaços vetoriais tais que 𝑓 :𝑈 −→ 𝑊 é uma transformação linearinjetora e 𝑔 :𝑈 −→ 𝑉 uma transformação linear. Seja {𝑢𝑖}𝑖∈𝐼 uma base de 𝑈 . Como 𝑓é injetora, {𝑓(𝑢𝑖)}𝑖∈𝐼 é linearmente independente em 𝑊 . Estendendo {𝑓(𝑢𝑖)}𝑖∈𝐼 a umabase de 𝑊 , {𝑓(𝑢𝑖)}𝑖∈𝐼 ∪ {𝑤𝑗}𝑗∈𝐽 e escolhendo {𝑣𝑗}𝑗∈𝐽 um conjunto qualquer de vetores


de 𝑉 , defina ℎ :𝑊 −→ 𝑉 por ℎ(𝑓(𝑢𝑖)) = 𝑔(𝑢𝑖), para todo 𝑖 ∈ 𝐼 e ℎ(𝑤𝑗) = 𝑣𝑗, para todo𝑗 ∈ 𝐽 . Assim, claramente o seguinte diagrama é comutativo

0 // 𝑈𝑓 //

𝑔��

𝑊

ℎ~~𝑉.

Logo, 𝑉 é k-módulo à esquerda injetivo.

Definição 2.2.37. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Um fecho injetivo para 𝑀 é umpar (𝐼, 𝑓), onde 𝐼 é um 𝐴-módulo à esquerda injetivo e 𝑓 :𝑀 −→ 𝐼 é um monomorfismode 𝐴-módulos à esquerda tal que se 𝑁 é um 𝐴-módulo à esquerda injetivo e 𝑔 :𝐼 −→ 𝑁 éum homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda tal que 𝑔 ∘ 𝑓 :𝑀 −→ 𝑁 é um monomorfismode 𝐴-módulos à esquerda, então 𝑔 é um monomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda.

Observação 2.2.38. Seja 𝐼 um 𝐴-módulo à esquerda injetivo. Então (𝐼, 𝐼𝑑𝐼) é o fechoinjetivo de 𝐼. De fato, seja 𝑁 um 𝐴-módulo à esquerda injetivo e 𝑔 : 𝐼 −→ 𝑁 umhomomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda tal que 𝑔 ∘ 𝐼𝑑𝐼 : 𝐼 −→ 𝑁 é um monomorfismode 𝐴-módulos à esquerda. Então, claramente 𝑔 é um monomorfismo de 𝐴-módulos àesquerda.

Assim como na cobertura projetiva existe um teorema que garante a existênciado fecho injetivo, e de maneira análoga ao que foi feita na Proposição 2.2.34 podemosmostrar que o fecho injetivo de um 𝐴-módulo à esquerda é único a menos de isomorfismo.Denotaremos a cobertura projetiva e o fecho injetivo de um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 por𝑃 (𝑀) e 𝐸(𝑀), respectivamente.

Definição 2.2.39. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Dizemos que 𝐴 é auto-injetiva se 𝐴 como𝐴-módulo à esquerda é injetivo.

2.2.2 Módulos indecomponíveis.

Nesta subseção iremos introduzir a definição de módulos simples, módulos inde-componíveis, módulos uniseriais e mostrar algumas propriedades sobre estes módulos queserão fundamentais para o desenvolvimento deste trabalho. Além disso, iremos definir emostrar alguns resultados importantes sobre módulos artinianos e noetherianos. Os re-sultados apresentados nesta subseção podem ser vistos em (MILIES, 1972), (LAM, 1991)e (LEINSTER, 2014).

Definição 2.2.40. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda não nulo. Dizemos que 𝑀 é simplesse os únicos submódulos à esquerda de 𝑀 são os triviais.

Exemplo 2.2.41. Os ideais à esquerda minimais de uma k-álgebra 𝐴 são precisamenteos 𝐴-submódulos à esquerda simples de 𝐴.


Exemplo 2.2.42. Considere Z como Z-módulo à esquerda. Sabemos que todo Z-submóduloà esquerda de Z é da forma 𝑛Z = {𝑛𝑥 | 𝑥 ∈ Z}, onde 𝑛 ∈ N. Logo, Z não é simples comoZ-módulo à esquerda.

Proposição 2.2.43. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Então 𝑀/𝑁 é simples se esomente se 𝑁 é um submódulo à esquerda maximal de 𝑀 .

Demonstração. Suponhamos que 𝑀/𝑁 seja simples. Consideremos 𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀/𝑁 aprojeção canônica de 𝐴-módulos à esquerda e 𝑁 ′ um submódulo à esquerda de 𝑀 tal que𝑁 ( 𝑁 ′ ⊆ 𝑀 . Notemos que 𝜋(𝑁 ′) = 𝑁 ′/𝑁 é um submódulo à esquerda de 𝑀/𝑁 , então𝑁 ′/𝑁 = {0} ou 𝑁 ′/𝑁 = 𝑀/𝑁 . Como 𝑁 ( 𝑁 ′, 𝑁 ′/𝑁 = {0}, e assim 𝑁 ′/𝑁 = 𝑀/𝑁 .Logo, pela correspondência entre os submódulos à esquerda de 𝑀/𝑁 e os submódulos àesquerda de 𝑀 que contém 𝑁 , 𝑁 ′ = 𝑀 , e consequentemente, 𝑁 é submódulo à esquerdamaximal de 𝑀 . Reciprocamente, suponha que 𝑁 é submódulo à esquerda maximal da 𝑀e seja 𝐿 = {0} submódulo à esquerda de 𝑀/𝑁 . Pela correspondência, segue que 𝑀/𝑁 ésimples.

Definição 2.2.44. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda não nulo. Dizemos que 𝑀 é indecom-ponível se não existem submódulos à esquerda não triviais 𝑁1 e 𝑁2 tais que 𝑀 = 𝑁1 ⊕𝑁2.

Notemos que todo módulo simples é também um módulo indecomponível. Porém,a recíproca não é verdadeira. Vimos no Exemplo 2.2.42 que Z não é simples como Z-módulo à esquerda, mas Z é indecomponível como Z-módulo à esquerda. Suponhamosque existem submódulos à esquerda 𝑁1, 𝑁2 ⊆ Z tais que Z = 𝑁1⊕𝑁2. Consequentemente,𝑁1 = 𝑛1Z e 𝑁2 = 𝑛2Z, com 𝑛1,𝑛2 ∈ Z. Assim, tomando 𝑚 = 𝑛1𝑛2 = 𝑛2𝑛1, segue que𝑚 ∈ 𝑁1 e 𝑚 ∈ 𝑁2. Logo, 𝑛1𝑛2 = 0, e isto implica que 𝑛1 = 0 ou 𝑛2 = 0. Portanto,𝑁1 = {0} ou 𝑁2 = {0}.

Definição 2.2.45. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 , 𝐾 ⊆ 𝑀 submódulos à es-querda de 𝑀 . Dizemos que 𝑀 é um módulo uniserial se 𝑁 ⊆ 𝐾 ou 𝐾 ⊆ 𝑁 .

Observação 2.2.46. Seja 𝑁 um submódulo à esquerda de um 𝐴-módulo à esquerda uni-serial 𝑀 . Considere 𝐿,𝐾 ⊆ 𝑁 submódulos à esquerda de 𝑁 . Consequentemente, 𝐿 e 𝐾são submódulos à esquerda de 𝑀 , e como 𝑀 é uniserial segue que 𝐿 ⊆ 𝐾 ou 𝐾 ⊆ 𝐿.Logo, 𝑁 é uniserial e, portanto, todo submódulo à esquerda de um módulo à esquerdauniserial é uniserial.

Notemos que todo 𝐴-módulo à esquerda uniserial 𝑀 é indecomponível. Comefeito, suponhamos que 𝑀 seja decomponível. Então 𝑀 = 𝑁1 ⊕ 𝑁2 onde 𝑁1, 𝑁2 ⊆ 𝑀

são submódulos à esquerda de 𝑀 . Como 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda uniserial temosque 𝑁1 ⊆ 𝑁2 ou 𝑁2 ⊆ 𝑁1. Assim, em qualquer um dos casos 𝑁1 ∩𝑁2 = {0}, o que é uma


contradição. Portanto, 𝑀 é indecomponível. Notemos que a recíproca não vale, pois Z éindecomponível e claramente não é uniserial.

No que segue, trataremos brevemente da noção de condições de cadeia com ointuito de definir módulos à esquerda artinianos e noetherianos, bem como dar algumaspropriedades e resultados sobre estes.

Definição 2.2.47. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Dizemos que 𝑀 satisfaz a condiçãode cadeia ascendente (CCA) se não existe uma cadeia ascendente infinita de submódulosà esquerda de 𝑀 . Isto é, se

𝑁1 ⊆ 𝑁2 ⊆ · · · ⊆ 𝑁𝑘 · · ·

é uma cadeia ascendente, existe um número inteiro 𝑛 tal que 𝑁𝑛 = 𝑁𝑛+𝑖, 𝑖 ≥ 1. Nessecaso, dizemos que a cadeia é estacionária.

De maneira analóga, podemos definir condição de cadeia descendente (CCD).

Definição 2.2.48. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Dizemos que 𝑀 é noetheriano (res-pectivamente artiniano) se a família de todos os 𝐴-submódulos à esquerda de 𝑀 satisfazCCA (respectivamente CCD).

Exemplo 2.2.49. O corpo k visto como k-módulo à esquerda é artiniano e noetheriano,visto que a única cadeia possível de submódulos à esquerda de k é {0} ⊆ k.

Exemplo 2.2.50. Consideremos Z como Z-módulo à esquerda. Sabemos que os Z-submódulos à esquerda de Z são da forma 𝑛Z, 𝑛 ∈ Z. Observe que a cadeia descendente2Z ⊇ 4Z ⊇ · · · 2𝑛Z ⊇ · · · não é finita, ou seja, Z não é artiniano. Por outro lado, temosque 𝑛Z ⊆ 𝑚Z se e somente se 𝑚 divide 𝑛. Como o conjunto dos divisores de um númerointeiro é finito, segue que Z é um Z-módulo à esquerda noetheriano.

Proposição 2.2.51. Se 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda artiniano, então 𝑀 contém umsubmódulo à esquerda simples.

Demonstração. Suponhamos que 𝑀 não contenha um submódulo à esquerda simples. Emparticular, 𝑀 não é simples. Então existe 𝑀1 = {0} tal que 𝑀 )𝑀1, e 𝑀1 não é simples.Então, existe 𝑀2 = {0} tal que 𝑀 ) 𝑀1 ) 𝑀2, e 𝑀2 não é simples. Procedendo destaforma, obtemos uma cadeia infinita de submódulos distintos, ou seja, 𝑀 não satisfazCCD. Logo, 𝑀 não é artiniano.

Observação 2.2.52. Se 𝑀 é noetheriano, então a Proposição anterior não é válida pois,Z é um Z-módulo à esquerda noetheriano que não contém submódulos à esquerda simples.

Proposição 2.2.53. Seja 0 −→ 𝑀1𝑓−→ 𝑀

𝑔−→ 𝑀2 −→ 0 uma sequência exata curta de𝐴-módulos à esquerda. Então, 𝑀 é noetheriano (respectivamente artiniano) se e somentese 𝑀1 e 𝑀2 são noetherianos (respectivamente artinianos).


Demonstração. Faremos a prova para o caso noetheriano. O caso artiniano é feito demaneira análoga.

Consideremos 𝑁1 ⊆ 𝑁2 ⊆ · · · ⊆ 𝑁𝑡 ⊆ · · · uma cadeia de submódulos à esquerdade 𝑀1 e 𝐾1 ⊆ 𝐾2 ⊆ · · ·𝐾𝑡 ⊆ · · · uma cadeia de submódulos à esquerda de 𝑀2. Logo,𝑓(𝑁1) ⊆ 𝑓(𝑁2) ⊆ · · · ⊆ 𝑓(𝑁𝑡) ⊆· · · e 𝑔−1(𝐾1) ⊆ 𝑔−1(𝐾2) ⊆ · · · 𝑔−1(𝐾𝑡) ⊆ · · · são cadeiasde submódulos à esquerda de 𝑀 . Como 𝑀 é noetheriano, estas cadeias de submódulos àesquerda são estacionárias, ou seja, 𝑓(𝑁𝑛) = 𝑓(𝑁𝑛+𝑗) e 𝑔−1(𝐾𝑚) = 𝑔−1(𝐾𝑚+𝑗), para todo𝑗 ≥ 1. Como 𝑓 é injetora, temos que 𝑁𝑛 =𝑁𝑛+𝑗, para todo 𝑗 ≥ 1 e consequentemente,𝑀1 é noetheriano. Desde que, 𝑔 é sobrejetora, temos que 𝐾𝑚 = 𝐾𝑚+𝑗, para todo 𝑗 ≥1. Logo, 𝑀2 é noetheriano. Reciprocamente, seja 𝐿1 ⊆ 𝐿2 ⊆ · · · ⊆ 𝐿𝑡 ⊆ · · · umacadeia ascendente de submódulos à esquerda de 𝑀 . Esta induz as seguintes cadeias,𝑓−1(𝐿1) ⊆ 𝑓−1(𝐿2) ⊆ · · ·𝑓−1(𝐿𝑡) ⊆ · · · em 𝑀1 e 𝑔(𝐿1) ⊆ 𝑔(𝐿2) ⊆ · · · ⊆ 𝑔(𝐿𝑡) ⊆ · · ·em 𝑀2. Como 𝑀1 e 𝑀2 são noetherianos, temos que existem índices 𝑛 e 𝑚 tais que𝑓−1(𝐿𝑛) = 𝑓−1(𝐿𝑛+𝑗) e 𝑔(𝐿𝑚) = 𝑔(𝐿𝑚+𝑗), para todo 𝑗 > 0. Tomando 𝑙 = 𝑚𝑎𝑥{𝑛,𝑚},obtemos 𝑓−1(𝐿𝑙) = 𝑓−1(𝐿𝑙+𝑗) e 𝑔(𝐿𝑙) = 𝑔(𝐿𝑙+𝑗), para todo 𝑗 > 0. Mostremos que,𝐿𝑙 = 𝐿𝑙+1, para todo 𝑗 > 0. Seja 𝑥 ∈ 𝐿𝑙+1. Assim, 𝑔(𝑥) ∈ 𝐿𝑙, isto é, existe 𝑦 ∈ 𝐿𝑙 talque 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑦), de modo que, 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝑔) = 𝐼𝑚(𝑓). Logo, existe 𝑧 ∈ 𝑓−1(𝐿𝑙+𝑗) talque 𝑦 − 𝑥 = 𝑓(𝑧). Como 𝑓−1(𝐿𝑙+𝑗) = 𝑓−1(𝐿𝑙) temos que, 𝑦 − 𝑥 = 𝑓(𝑧) ∈ 𝐿𝑙. Assim,𝑥 = 𝑦 − 𝑓(𝑧) ∈ 𝐿𝑙, ou seja, 𝐿𝑙 = 𝐿𝑙+𝑗, para todo 𝑗 > 0. Logo, 𝑀 é noetheriano.

Corolário 2.2.54. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda e 𝑁 um submódulo à esquerda de𝑀 . Então, 𝑀 é noetheriano (respectivamente artiniano) se e somente se 𝑁 e 𝑀/𝑁 sãonoetherianos (respectivamente artinianos).

Demonstração. Basta considerar a sequência exata curta 0 −→ 𝑁 →˓𝑀𝜋−→ 𝑀/𝑁 −→ 0

e aplicar o resultado acima.

Definição 2.2.55. Uma k-álgebra 𝐴 é artiniana (respectivamente, noetheriana) se 𝐴

visto como 𝐴-módulo à esquerda é artiniano (respectivamente, noetheriano).

Observação 2.2.56. Notemos que se 𝐴 é artiniana pela Proposição 2.2.51, 𝐴 contém umsubmódulo à esquerda simples. Assim, pelo Exemplo 2.2.41 𝐴 contém um ideal à esquerdaminimal.

A seguir vejamos algumas definições e resultados que serão fundamentais paramostrarmos uma caracterização importante sobre módulos à esquerda artinianos e no-etherianos.

Definição 2.2.57. Sejam 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Consideremos duas cadeias desubmódulos à esquerda de 𝑀 da forma:

𝑀 = 𝑀0 )𝑀1 ) · · · )𝑀𝑘 = {0} (𝒞)


𝑀 ′ = 𝑀 ′0 )𝑀 ′

1 ) · · · )𝑀 ′𝑡 = {0} (𝒞 ′).

Dizemos que 𝒞 ′ é um refinamento de 𝒞 se todo submódulo à esquerda de 𝒞 é um membrode 𝒞 ′. Além disso, 𝒞 e 𝒞 ′ são equivalentes, se 𝑘 = 𝑡 e após uma reordenação dos índices,se necessário, 𝑀𝑖/𝑀𝑖+1 ≃ 𝑀 ′

𝑖/𝑀′𝑖+1, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑡−1.

Definição 2.2.58. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. A cadeia de submódulos à esquerda

𝑀 = 𝑀0 )𝑀1 ) · · · )𝑀𝑘 = {0}

é uma série de composição de 𝑀 se o quociente 𝑀𝑖/𝑀𝑖+1 é um 𝐴-módulo à esquerda sim-ples, para cada 𝑖 ∈ 𝐼𝑘−1. O inteiro 𝑘 é chamado de comprimento da série de composição.

Exemplo 2.2.59. Seja 𝑉 um k-espaço vetorial de dimensão finita com base {𝑣𝑖 | 𝑖∈𝐼1,𝑛}.Como 𝑉 é um k-módulo à esquerda, consideremos a seguinte cadeia de submódulos àesquerda de 𝑉

𝑉 = 𝑉0 ) 𝑉1 ) · · · ) 𝑉𝑛 = {0}

onde 𝑉0 = 𝑉 , 𝑉𝑖 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣𝑖+1, ..., 𝑣𝑛}, 𝑖 ∈ 𝐼𝑛−1 e 𝑉𝑛 = {0}. Como cada 𝑉𝑖/𝑉𝑖+1 é um k-módulo à esquerda simples, para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑛−1, então a cadeia de submódulos à esquerdade 𝑉 acima é uma série de composição de 𝑉 de comprimento 𝑛.

Observemos que se 𝑀 possui uma série de composição de comprimento 𝑘, entãopodemos mostrar que qualquer outra série de composição de 𝑀 também terá comprimento𝑘. Isto é provado no seguinte teorema, conhecido como Teorema de Jordan-Hölder, cujademonstração não será apresentada, porém este é um resultado clássico da Teoria deMódulos.

Teorema 2.2.60. ([Teorema VI.3.1, MILIES, 1972]) Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerdaque admite uma série de composição. Então,

(i) toda cadeia de submódulos à esquerda estritamente descrescente é finita e admiteum refinamento que é uma série de composição;

(ii) duas séries de composição de 𝑀 são equivalentes.

O teorema acima nos permite definir o comprimento de um módulo à esquerda.

Definição 2.2.61. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Se 𝑀 admite uma série de com-posição de comprimento 𝑘, então dizemos que 𝑀 possui comprimento 𝑘 e denotamos porℓ(𝑀) = 𝑘.

Teorema 2.2.62. Um 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 tem comprimento finito se e somente seé artiniano e noetheriano.


Demonstração. Suponhamos que o comprimento de 𝑀 seja finito, ou seja, ℓ(𝑀) = 𝑟. Setivermos uma cadeia estritamente decrescente de submódulos à esquerda de 𝑀 , entãopelo Teorema de Jordan-Hölder esta cadeia deve ser finita. Logo, 𝑀 é artiniano. Seja𝑁0 ⊆ 𝑁1 ⊆ · · · uma cadeia crescente de submódulos à esquerda de 𝑀 . Para cada 𝑡 ∈ Npodemos considerar a cadeia finita 𝑀 ⊇ 𝑁𝑡 ⊇ 𝑁𝑡−1 ⊇ · · · ⊇ 𝑁0 ⊇ {0} (𝒞). Assim,segue do Teorema de Jordan-Hölder que 𝒞 pode ser refinada a uma série de composiçãoque tem comprimento 𝑟. Logo, 𝑡 ≤ 𝑟 = ℓ(𝑀). Como 𝑡 é arbitrário a cadeia 𝒞 deveser finita, e portanto 𝑀 é noetheriano. Reciprocamente, suponha que 𝑀 = {0} sejaartiniano e noetheriano. Entre todos os submódulos à esquerda de 𝑀 , escolhemos umsubmódulo à esquerda maximal 𝑀1, o qual existe já que 𝑀 satisfaz CCA. Se 𝑀1 = {0},então 𝑀 ⊇ 𝑀1 = {0} é uma série de composição já que 𝑀1 é maximal. Se 𝑀1 = {0},escolhemos um submódulo à esquerda maximal 𝑀2 de 𝑀1 e se 𝑀2 = {0}, então 𝑀 =𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ 𝑀2 = {0} é uma série de composição de 𝑀 . Se 𝑀2 = {0}, então continuamoso processo obtendo a seguinte cadeia 𝑀 = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ · · · ⊇ 𝑀𝑘 = {0} já que 𝑀 éartiniano. Devido a escolha de cada 𝑀𝑗 maximal, para todo 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 − 𝑙, o móduloà esquerda 𝑀𝑗/𝑀𝑗+1 é simples. Portanto, a cadeia acima é uma série de composição de𝑀 .

Proposição 2.2.63. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 um 𝐴-módulo àesquerda finitamente gerado. Então,

(𝑖) 𝑀 tem dimensão finita como k-espaço vetorial;

(𝑖𝑖) 𝑀 tem comprimento finito como 𝐴-módulo à esquerda.

Demonstração. (i) Suponhamos que {𝑣𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛} seja uma base de 𝐴 como k-espaçovetorial e que {𝑚𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟} gera 𝑀 como 𝐴-módulo à esquerda. Denotemos por𝑤𝑖𝑗 = 𝑣𝑖𝑚𝑗, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 e 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑟, e mostremos que o conjunto {𝑤𝑖𝑗 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑟} gera𝑀 como k-espaço vetorial. Seja 𝑥 ∈ 𝑀 . Então, existem 𝑎𝑖 ∈ 𝐴 tais que 𝑥 = ∑

𝑖∈𝐼1,𝑟𝑎𝑖𝑚𝑖.

Para cada 𝑎𝑖, existem 𝛼𝑗𝑖 ∈ k tais que 𝑎𝑖 = ∑𝑗∈𝐼1,𝑛

𝛼𝑖𝑗𝑣𝑗. Portanto,

𝑥 =∑𝑖∈𝐼1,𝑡

𝑎𝑖𝑚𝑖 =∑𝑖∈𝐼1,𝑟

(∑𝑗∈𝐼1,𝑛

𝛼𝑖𝑗𝑣𝑗)𝑚𝑖 =∑

𝑖∈𝐼1,𝑟,𝑗∈𝐼1,𝑛

𝛼𝑖𝑗𝑣𝑗𝑚𝑖 =∑

𝑖∈𝐼1,𝑟,𝑗∈𝐼1,𝑛

𝛼𝑖𝑗𝑤𝑖𝑗.

(ii) Suponha que 𝑀 não tem comprimento finito como 𝐴-módulo à esquerda, ou seja, queexiste uma cadeia 𝑀 = 𝑀0 ) 𝑀1 ) · · · ) 𝑀𝑘 ) · · · infinita de submódulos à esquerdade 𝑀 . Como todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 é um k-espaço vetorial via 𝛼𝑚 = 𝛼1𝐴𝑚, paraquaisquer 𝛼 ∈ k e 𝑚 ∈ 𝑀 , temos que todo 𝐴-submódulo à esquerda de 𝑀 é, em particular,um k-subespaço vetorial de 𝑀 . Assim, qualquer cadeia de 𝐴-submódulos à esquerda de𝑀 é, em particular, uma cadeia de k-subespaços vetoriais de 𝑀 . Além disso, 𝑀 é umk-espaço vetorial de dimensão finita pelo item (i). Digamos que 𝑑𝑖𝑚k𝑀 = 𝑛. Da cadeiaacima temos que 𝑑𝑖𝑚k𝑀𝑖 ≤ 𝑛− 𝑖, para todo 𝑖. Então 𝑑𝑖𝑚k𝑀𝑛 = 0 e, consequentemente,


𝑀𝑛 = {0}, o que é uma contradição. Portanto, 𝑀 tem comprimento finito como 𝐴-móduloà esquerda.

Observação 2.2.64. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Pela Proposi-ção anterior, 𝑀 tem dimensão finita como k-espaço vetorial. Assim, se 𝑑𝑖𝑚k𝑀 = 𝑛 peloExemplo 2.2.59, 𝑀 possui comprimento finito 𝑛. Consequentemente, ℓ(𝑀) = 𝑑𝑖𝑚k𝑀 .

O seguinte resultado nos dá uma importante caracterização de módulos à esquerdauniseriais via série de composição.

Proposição 2.2.65. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Então, 𝑀 éuniserial se e somente se 𝑀 possui uma única série de composição.

Demonstração. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda uniserial. Suponha que 𝑀 possui duasséries de composições 𝑀 = 𝑁0 ) 𝑁1 ) · · · ) 𝑁𝑘 = {0} e𝑀 = 𝑁 ′

0 ) 𝑁 ′1 ) · · · ) 𝑁 ′

𝑘 = {0}distintas de comprimento 𝑘, ou seja, ℓ(𝑀) = 𝑘. Assim, existe 𝑖 ∈ 𝐼𝑘 tal que 𝑁𝑖 = 𝑁 ′

𝑖 .Como 𝑀 é uniserial, 𝑁𝑖 ⊆ 𝑁 ′

𝑖 ou 𝑁 ′𝑖 ⊆ 𝑁𝑖. Suponha sem perda de generalidade que

𝑁𝑖 ⊆ 𝑁 ′𝑖 então temos a seguinte cadeia de submódulos à esquerda de 𝑀

𝑀 = 𝑁 ′0 ) 𝑁 ′

1 ) · · · ) 𝑁 ′𝑖 ) 𝑁𝑖 ) 𝑁𝑖+1 ) · · · ) 𝑁𝑘 = {0} (𝒞).

Pelo Teorema de Jorder-Hölder (𝒞) pode ser refinada a uma série de composição, e as-sim ℓ(𝑀) ≥ 𝑘 + 1, o que é uma contradição. Portanto, 𝑀 possui uma única sériede composição. Reciprocamente, suponha que 𝑀 tem uma única série de composição𝑀 = 𝑁0 ) 𝑁1 ) · · · ) 𝑁𝑘 = {0}. Sejam 𝑁 e 𝑁 ′ 𝐴-submódulos à esquerda própriosde 𝑀 . Em particular, 𝑀 ) 𝑁 ) {0} é uma cadeia, consequentemente, pelo Teorema deJordan-Hölder, esta pode ser refinada a uma série de composição de 𝑀 . Logo, 𝑁 ≃ 𝑁𝑖,para algum 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑘. Analogamente, 𝑁 ′ ≃ 𝑁𝑗, para algum 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑘. Portanto, 𝑁 ⊆ 𝑁 ′ ou𝑁 ′ ⊆ 𝑁 .

A seguir enunciaremos o clássico Teorema de Krull-Schmidt, que garante que todo𝐴-módulo à esquerda 𝑀 de comprimento finito tem uma decomposição em soma diretade submódulos à esquerda indecomponíveis. E mais ainda, esta decomposição é únicaa menos de isomorfismo. Optamos por não apresentar a demonstração deste resultado,visto que, assim como o Teorema de Jorder-Hölder este é um clássico resultado da Teoriade Módulos.

Teorema 2.2.66. ([Teorema 19.21, LAM, 1991]) Todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 = {0}de comprimento finito tem uma decomposição em soma direta de submódulos

𝑀 = 𝑀1 ⊕𝑀2 ⊕ · · · ⊕𝑀𝑟 (𝐷)


onde cada 𝑀𝑖 é um submódulo à esquerda indecomponível de 𝑀, para 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟. Além disso,essa decomposição é única a menos de isomorfismo, isto é, se tivermos também

𝑀 = 𝑁1 ⊕𝑁2 ⊕ · · · ⊕𝑁𝑠 (𝐷′)

onde cada 𝑁𝑗 é um submódulo à esquerda indecomponível de 𝑀, para 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑠, então 𝑟 = 𝑠

e reindexando os índices se necessário, temos 𝑀𝑖∼= 𝑁𝑖, para cada 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟.

Se 𝐴 é uma k-álgebra de dimensão finita, em particular, 𝐴𝐴 = 𝑃1 ⊕ 𝑃2 ⊕ ...⊕ 𝑃𝑛,onde 𝑃𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 são 𝐴-módulos à esquerda indecomponíveis unicamente determinados.Além disso, pela Proposição 2.2.30 cada 𝑃𝑖 é projetivo. Por outro lado, pelo Exemplo2.1.14 temos que 𝑃𝑖 ≃ 𝐴𝑒𝑖, onde {𝑒𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛} é um conjunto de idempotentes ortogonaistais que ∑𝑖∈𝐼1,𝑛

𝑒𝑖 = 1𝐴.

A seguir enunciaremos um importante lema que nos diz que todo 𝐴-módulo àesquerda projetivo e indecomponível é isomorfo a algum 𝐴-módulo à esquerda projetivoque aparece na decomposição de 𝐴 como 𝐴-módulo à esquerda. A demonstração desteresultado é bem construtiva, e envolve várias propriedades sobre módulos à esquerdasimples e indecomponíveis, por está razão optamos por omití-la do texto. Além disso,utilizaremos apenas a caracterização apresentada no resultado, cuja prova pode ser vistaem (LEINSTER, 2014).

Lema 2.2.67. ([Lema 9.5, LEINSTER, 2014]) Com as notações estabelecidas acima, todo𝐴-módulo à esquerda projetivo e indecomponível é isomorfo à 𝑃𝑖, para algum 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛.

2.2.3 Semissimplicidade e radical de Jacobson

Apresentaremos nesta seção a definição de k-álgebra semissimples e de radicalde Jacobson de uma k-álgebra. Discutiremos algumas propriedades importantes sobreesses conceitos, a fim de introduzir a noção de 𝐽-semissimplicidade. Para isso, utiliza-remos alguns resultados sobre módulos artinianos e noetherianos vistos anteriormente.As definições e resultados expostos nesta subseção podem ser encontrados em (MILIES,1972), (LAM, 1991), (SKOWRÓNSKI; YAMAGATA, 2011), (ASSEM; SIMSON; SKO-WROŃSKI, 2006) e (LINCKELMANN, 2018).

Definição 2.2.68. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Dizemos que 𝑀 é semissimples setodo submódulo à esquerda de 𝑀 é um somando direto de 𝑀 .

Claramente se 𝑀 é simples, então 𝑀 é semissimples, pois se 𝑀 é simples os únicossubmódulos à esquerda de 𝑀 são os triviais, assim 𝑀 = 𝑀⊕{0}. Mas, {0} é semissimplese não é simples, logo a recíproca não é válida.

Exemplo 2.2.69. O corpo k visto como k-módulo à esquerda é simples, consequente-mente é semissimples.


Definição 2.2.70. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. O socle de𝑀 , denotado por 𝑠𝑜𝑐(𝑀), é a soma de todos os submódulos à esquerda simples de 𝑀 .

Observação 2.2.71. Se 𝑀 não possui submódulos simples, então 𝑠𝑜𝑐(𝑀) = {0}.

Exemplo 2.2.72. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Então, 𝑠𝑜𝑐(𝑀) é um 𝐴-submóduloà esquerda semissimples de 𝑀 . Mais ainda, o 𝑠𝑜𝑐(𝑀) é o maior submódulo à esquerdasemissimples de 𝑀 .

Apresentaremos agora uma série de resultados sobre módulos à esquerda semis-simples, resultados estes que serão úteis no decorrer deste trabalho.

Lema 2.2.73. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda semissimples. Então,

(i) todo submódulo à esquerda de 𝑀 é semissimples;

(ii) toda imagem epimórfica de 𝑀 é semissimples.

Demonstração. (i) Suponha que 𝑀 seja um 𝐴-módulo à esquerda semissimples e que 𝑁é um submódulo à esquerda de 𝑀 . Se 𝐿 é um submódulo à esquerda de 𝑁 temos que 𝐿é submódulo à esquerda de 𝑀 e como 𝑀 semissimples, existe um submódulo à esquerda𝐾 de 𝑀 tal que 𝑀 = 𝐿⊕𝐾. Assim,

𝑁 = 𝑀 ∩𝑁 = (𝐿⊕𝐾) ∩𝑁 = (𝐿 ∩𝑁) ⊕ (𝐾 ∩𝑁) = 𝐿⊕ (𝐾 ∩𝑁).

Logo, 𝑁 é semissimples.

(ii) Sejam 𝜙 : 𝑀 −→ 𝑁 um homomorfismo sobrejetor de 𝐴-módulos à esquerda e 𝐿 umsubmódulo à esquerda de 𝑁 . Notemos que 𝜙−1(𝐿) é um submódulo à esquerda de 𝑀 ,pois 𝑎𝜙(𝑚) = 𝜙(𝑎𝑚) ∈ 𝜙−1(𝐿), para quaisquer 𝑎 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 . Como 𝑀 é semissimples,existe um submódulo à esquerda 𝐾 de 𝑀 tal que 𝑀 = 𝜙−1(𝐿) ⊕ 𝐾. Por hipótese 𝜙 éum homomorfismo sobrejetor então, dado 𝑛 ∈ 𝑁 , existe 𝑚 ∈ 𝑀 tal que 𝜙(𝑚) = 𝑛. Logo,𝑚 = 𝑚1 +𝑚2 com 𝑚1 ∈ 𝜙−1(𝐿) e 𝑚2 ∈ 𝐾, donde

𝑛 = 𝜙(𝑚) = 𝜙(𝑚1) + 𝜙(𝑚2) ∈ 𝐿+ 𝜙(𝐾).

Logo, 𝑁 = 𝐿+𝜙(𝐾). Além disso, se 𝑦 ∈ 𝐿∩𝜙(𝐾) então, existe 𝑥 ∈ 𝐾 tal que 𝜙(𝑥) = 𝑦,ou seja, 𝑥 ∈ 𝜙−1(𝐿) ∩𝐾 = {0}. Portanto, 𝑦 = 𝜙(0) = 0 e assim 𝑁 = 𝐿⊕ 𝜙(𝐾).

Em particular, segue do item (ii) do lema anterior que todo quociente de ummódulo à esquerda semissimples é semissimples. Basta considerar, 𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀/𝑁 aprojeção canônica.

Lema 2.2.74. Todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 semissimples não nulo contém um submóduloà esquerda simples.


Demonstração. Suponha que 𝑀 seja um 𝐴-módulo à esquerda semissimples, e seja 𝑚 ∈ 𝑀

tal que 𝑚 = 0. Considere o submódulo à esquerda 𝐴𝑚 de 𝑀 , o qual é semissimples peloLema 2.2.73 (i). Seja ℱ = {𝑁 | 𝑁 é submódulo à esquerda de 𝐴𝑚 e 𝑚 ∈ 𝑁}. Noteque ℱ = ∅ pois {0} ∈ ℱ . Considere uma cadeia de submódulos à esquerda distintosde ℱ ordenada pela inclusão, claramente a união destes submódulos à esquerda é umacota superior para esta cadeia. Pelo Lema de Zorn, existe 𝑁 um elemento maximalem ℱ . Como 𝐴𝑚 é semissimples, existe um submódulo à esquerda 𝐾 de 𝐴𝑚 tal que𝐴𝑚 = 𝑁 ⊕ 𝐾. Vejamos que, 𝐾 é um módulo à esquerda simples. Primeiramente, noteque como 𝑚 ∈ 𝑁 então 𝑚 = 𝑛 + 𝑘 com 𝑛 ∈ 𝑁 e 0 = 𝑘 ∈ 𝐾. Além disso, se 𝐾 ′ = {0} éum submódulo à esquerda de 𝐾, devemos ter que 𝐾 = 𝐾 ′ ⊕𝐿, para algum 𝐿 submóduloà esquerda de 𝐾. Pela maximalidade de 𝑁 , 𝑚 ∈ 𝑁 ⊕ 𝐾 ′ de modo que 𝑁 ⊕ 𝐾 ′ = 𝐴𝑚.Então, 𝑁 ⊕ 𝐾 ′ = 𝐴𝑚 = 𝑁 ⊕ 𝐾 = 𝑁 ⊕ (𝐾 ′ ⊕ 𝐿) e assim segue que 𝐿 = {0}. Portanto,𝐾 ′ = 𝐾 e temos que 𝐾 é um módulo à esquerda simples.

Teorema 2.2.75. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda não nulo. Então, as seguintes afir-mações são equivalentes:

(i) 𝑀 é semissimples;

(ii) 𝑀 é escrito como soma direta de uma família de submódulos à esquerda simples;

(iii) 𝑀 é soma de uma família de submódulos à esquerda simples.

Demonstração. (i) ⇒ (iii) Suponha que 𝑀 seja semissimples. Seja 𝑀1 a soma de todosos submódulos à esquerda simples de 𝑀 . Como 𝑀 é semissimples então, 𝑀 = 𝑀1 ⊕𝑀2,para algum 𝑀2 submódulo à esquerda de 𝑀 . Se 𝑀2 = {0}, pelo Lema 2.2.74, 𝑀2 contémum submódulo à esquerda simples 𝑁 . Como 𝑁 também é submódulo à esquerda de 𝑀 ,então 𝑁 ⊆ 𝑀1 ∩ 𝑀2. Ou seja, este submódulo à esquerda deve estar contido em 𝑀1, oque é uma contradição. Logo, 𝑀2 = {0} e assim 𝑀 = 𝑀1.

(iii) ⇒ (i) Suponha que 𝑀 = ∑𝑖∈𝐼𝑀𝑖, onde cada 𝑀𝑖 é um submódulo à esquerda sim-

ples de 𝑀 , e seja 𝑁 um submódulo à esquerda de 𝑀 . Considere a seguinte família desubconjuntos 𝐽 ⊆ 𝐼:

ℱ = {𝐽 ⊆ 𝐼 |⨁𝑗∈𝐽

𝑀𝑗 é uma soma direta e𝑁 ∩⨁𝑗∈𝐽

𝑀𝑗 = {0}}.

Notemos que ℱ = ∅, pois {0} ∈ ℱ . Podemos aplicar o Lema de Zorn em ℱ , pois seconsiderar a relação de ordem parcial em ℱ temos que 𝐽1 ⊆ 𝐽2 ⊆ ... ⊆ 𝐽𝑛 ⊆ ... é umacadeia em ℱ que possui uma cota superior, assim obtemos um elemento 𝐽 maximal nessafamília.

Seja 𝑀 ′ = 𝑁 ⊕ (⊕𝑗∈𝐽𝑀𝑗), e vejamos que 𝑀 ′ = 𝑀 . Claramente 𝑀 ′ ⊆ 𝑀 já que,𝑁 e 𝑀𝑗, para todo 𝑗 ∈ 𝐽 são submódulos à esquerda de 𝑀 . Resta mostrar que 𝑀 ⊆ 𝑀 ′.


Para isso provemos que 𝑀𝑖 ⊆ 𝑀 ′, para todo 𝑖 ∈ 𝐼. Suponha que 𝑀𝑖 ( 𝑀 ′ para algum𝑖′ ∈ 𝐼. Como a interseção de submódulos à esquerda é um submódulo à esquerda e 𝑀𝑖′ ésimples, então 𝑀𝑖′ ∩𝑀 ′ = {0}. Assim,

𝑀 ′ +𝑀𝑖′ = 𝑀 ′ ⊕𝑀𝑖′ = (𝑁 ⊕𝑗∈𝐽 𝑀𝑗) ⊕𝑀𝑖′

o que contradiz a maximalidade de 𝐽 , pois 𝑖′ ∈ 𝐽 . Logo, 𝑀𝑖 ⊆ 𝑀 ′ para todo 𝑖 ∈ 𝐼 econsequentemente 𝑀 é semissimples.

(iii) ⇒ (ii) Suponha que 𝑀 = ∑𝑖∈𝐼𝑀𝑖, onde cada 𝑀𝑖 é um submódulo à esquerda

simples de 𝑀 . Considere a família ℱ = {𝐽 ⊆ 𝐼 | ∑𝑗∈𝐽𝑀𝑗 é uma soma direta}. Usandoum argumento análogo ao de cima, existe 𝐼 ′ elemento maximal em ℱ . Seja 𝑀 ′ = ⊕𝑗∈𝐼′𝑀𝑗,e mostremos que 𝑀 ′ = 𝑀 . Como 𝑀𝑖 é módulo à esquerda simples para cada 𝑖 ∈ 𝐼 temosque, 𝑀𝑖 ∩ 𝑀 ′ = 𝑀𝑖 ou 𝑀𝑖 ∩ 𝑀 ′ = {0}. Se ocorrer 𝑀𝑖 ∩ 𝑀 ′ = {0} então, 𝐼 ′ ∪ {𝑖} ) 𝐼 ′ oque contradiz a maximalidade de 𝐼 ′. Logo, 𝑀𝑖 ⊆ 𝑀 ′ para todo 𝑖 ∈ 𝐼, e como claramente𝑀 ′ ⊆ 𝑀 segue que 𝑀 = 𝑀 ′.

(ii) ⇒ (iii) Imediato.

Definição 2.2.76. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Dizemos que 𝐴 é uma k-álgebra semissimplesà esquerda, se 𝐴 como 𝐴-módulo à esquerda é semissimples.

Vejamos à seguir duas propriedades importantes sobre álgebras semissimples.

Proposição 2.2.77. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Então, 𝐴 é semissimples à esquerda se esomente se todos os 𝐴-módulos à esquerda são semissimples.

Demonstração. Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. Se 𝑀 = {0}, claramente 𝑀 é semissim-ples à esquerda. Suponha que 𝑀 = {0} então existe 0 = 𝑚 ∈ 𝑀 . Consideremos o submó-dulo à esquerda 𝐴𝑚 de 𝑀 e o epimorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝜓 : 𝐴 −→ 𝐴𝑚 dadapor 𝜓(𝑎) = 𝑎𝑚. Assim, pelo teorema do isomorfismo de módulos à esquerda temos que𝐴/𝐾𝑒𝑟(𝜓) ≃ 𝐴𝑚. Como 𝐴 é semissimples à esquerda, podemos escrever 𝐴 = 𝐾𝑒𝑟(𝜓)⊕𝐼,com 𝐼 submódulo à esquerda de 𝐴 e assim, pelo Teorema 2.2.74 𝐼 é semissimples. Logo,𝐴𝑚 ≃ 𝐾𝑒𝑟(𝜓) ⊕ 𝐼/𝐾𝑒𝑟(𝜓) ≃ 𝐼 e, consequentemente, 𝐴𝑚 é semissimples. Pela Proposi-ção 2.2.75, 𝐴𝑚 é uma soma de 𝐴-módulos à esquerda simples. Como 𝑀 = ∑

𝑚∈𝑀 𝐴𝑚,segue novamente da Proposição 2.2.75 que 𝑀 é semissimples. A recíproca é imediata.

Proposição 2.2.78. Toda k-álgebra semissimples é simultaneamente artiniana e noethe-riana.

Demonstração. Suponhamos que 𝐴 seja uma k-álgebra semissimples à esquerda. Então𝐴 visto como 𝐴-módulo à esquerda é semissimples. Pelo Teorema 2.2.75 𝐴 = ⊕𝑗∈𝐽𝑋𝑗,


onde cada 𝑋𝑗 é um submódulo à esquerda simples de 𝐴. Assim, 1𝐴 = ∑𝑗∈𝐼1,𝑛

𝑎𝑗, onde𝑎𝑗 ∈ 𝑋𝑗, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑛. Logo, dado 𝑎 ∈ 𝐴

𝑎 = 𝑎1𝐴 = 𝑎∑𝑗∈𝐼1,𝑛

𝑎𝑗 =∑𝑗∈𝐼1,𝑛

𝑎𝑎𝑗 ∈∑𝑗∈𝐼1,𝑛

𝑋𝑗.

Portanto, 𝐴 = ⊕𝑗∈𝐼1,𝑛𝑋𝑗, e desta decomposição finita, podemos escrever uma sequênciade composição de submódulos à esquerda de 𝐴.

No que segue, introduziremos o conceito de radical de Jacobson de 𝐴 e provaremosalgumas de suas propriedades.

Definição 2.2.79. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Definimos o radical de Jacobson de 𝐴 comosendo a interseção de todos os ideais à esquerda maximais de 𝐴, o qual será denotado por𝐽(𝐴). Ou seja,

𝐽(𝐴) =⋂

ℳ

onde ℳ percorre todos ideais à esquerda maximais de 𝐴.

Proposição 2.2.80. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑎 ∈ 𝐴. Então, as seguintes afirmaçõessão equivalentes:

(i) 𝑎 ∈ 𝐽(𝐴);

(ii) 1 − 𝑥𝑎 é inversível à esquerda, para qualquer 𝑥 ∈ 𝐴;

(iii) 𝑎𝑀 = {0}, para qualquer 𝐴-módulo à esquerda simples 𝑀 .

Demonstração. (i) ⇒ (ii) Seja 𝑎 ∈ 𝐽(𝐴). Suponha por absurdo que existe 𝑥 ∈ 𝐴 talque 1 − 𝑥𝑎 não é inversível à esquerda. Então, existe ℳ0 ideal maximal de 𝐴 tal que1 − 𝑥𝑎 ∈ ℳ0, pois 𝐴(1 − 𝑥𝑎) é um ideal próprio de 𝐴 e assim deve existir ℳ0 idealmaximal de 𝐴 tal que 𝐴(1 − 𝑥𝑎) ⊆ ℳ0. Como 𝑎 ∈ 𝐽(𝐴) = ⋂ℳ, para todo ℳ idealmaximal de 𝐴, temos que 𝑎 ∈ ℳ0, e portanto 𝑥𝑎 ∈ ℳ0. Logo, 1 = (1 − 𝑥𝑎) + 𝑥𝑎 ∈ ℳ0,o que é um absurdo. Portanto, 1 − 𝑥𝑎 é inversível à esquerda para qualquer 𝑥 ∈ 𝐴.

(ii) ⇒ (iii) Sejam 1 − 𝑥𝑎 inversível à esquerda, para qualquer 𝑥 ∈ 𝐴, e 𝑀 um 𝐴-móduloà esquerda simples. Suponha por absurdo que exista 𝑚 ∈ 𝑀 tal que 𝑎𝑚 = 0.Como 𝐴(𝑎𝑚) = {𝑥(𝑎𝑚) = (𝑥𝑎)𝑚 |𝑥 ∈ 𝐴} é um submódulo à esquerda de 𝑀 e 𝑀 ésimples, temos que 𝐴(𝑎𝑚) = {0} ou 𝐴(𝑎𝑚) = 𝑀 . Como 𝑎𝑚 ∈ 𝐴(𝑎𝑚) e 0 = 𝑎𝑚,concluímos que 𝐴(𝑎𝑚) = 𝑀 . Assim, existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que 𝑚 = 𝑥𝑎𝑚. Logo, (1−𝑥𝑎)𝑚 = 0.Por hipótese, 1 − 𝑥𝑎 é inversível, então 𝑚 = 0. Absurdo, pois 𝑎𝑚 = 0.

(iii) ⇒ (i) Suponhamos que 𝑎𝑀 = {0} para qualquer 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 simples.Notemos que para qualquer ℳ ideal maximal de 𝐴, temos que 𝐴/ℳ é um 𝐴-módulo àesquerda simples. De fato, desde que todo 𝐴-submódulo à esquerda de 𝐴/ℳ é da forma


𝑁/ℳ onde 𝑁 é um ideal de 𝐴 que contém ℳ, assim 𝑁 = 𝐴 ou 𝑁 = ℳ, e portanto𝑁/ℳ = 𝐴/ℳ ou 𝑁/ℳ ≃ {0}. Logo, 𝐴/ℳ é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Assim,𝑎(𝐴/ℳ). Em particular, 𝑎(1 +𝑀) = 𝑎+𝑀 = 0 e consequentemente, 𝑎 ∈ 𝑀 . Portanto,𝑎 ∈ ⋂ℳ = 𝐽(𝐴).

Notemos que o item (iii) acima é equivalente, 𝑎 ∈ 𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑀), para qualquer 𝐴-módulo à esquerda simples 𝑀 e 𝑎 ∈ 𝐽(𝐴). Dessa forma, segue imediatamente da propo-sição anterior o seguinte corolário.

Corolário 2.2.81. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Então, 𝐽(𝐴) = ⋂𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑀), onde 𝑀 percorre

todos os 𝐴-módulos à esquerda simples.

O resultado à seguir é conhecido como o Lema de Nakayama e é muito utilizadonos estudos de radical de Jacobson, e será importante para mostrarmos que o radical deJacobson é nilpotente.

Lema 2.2.82. Sejam 𝐴 uma k-álgebra, 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente geradoe 𝐼 ⊆ 𝐽(𝐴), onde 𝐼 é um ideal de 𝐴. Se 𝐼𝑀 = 𝑀 , então 𝑀 = {0}.

Demonstração. Suponha que 𝑀 seja finitamente gerado e 𝑀 = 𝐼𝑀 . Provaremos o re-sultado por indução sobre o número de geradores de 𝑀 . Se 𝐼𝑀 = 𝑀 = 𝐴𝑚1, com𝑚1 ∈ 𝑀 , então 𝑚1 = 𝑥1𝑚1, para algum 𝑥1 ∈ 𝐼, e consequentemente, (1 − 𝑥1)𝑚1 = 0.Logo, 𝑚1 = 0, pois 1 − 𝑥1 é um elemento inversível à esquerda pela Proposição 2.2.80.Portanto, 𝑀 = {0}. Suponha o resultado válido se 𝑀 é gerado por 𝑟 elementos. Su-ponha que {𝑚𝑖 ∈ 𝑀 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟+1} gera 𝑀 . Desde 𝑀 = 𝐼𝑀 , então existem elementos𝑥𝑖 ∈ 𝐼, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟+1, tais que 𝑚1 = ∑

𝑖∈𝐼1,𝑟+1 𝑥𝑖𝑚𝑖. Assim, (1 − 𝑥1)𝑚1 = ∑𝑖∈𝐼2,𝑟+1 𝑥𝑖𝑚𝑖 e,

consequentemente por (1 − 𝑥1) ser inversível à esquerda, 𝑚1 = ∑𝑖∈𝐼2,𝑟+1 𝑦𝑥𝑖𝑚𝑖, onde 𝑦 é o

inverso à esquerda de (1 − 𝑥1). Logo, 𝑚1 ∈ ∑𝑖∈𝐼2,𝑟+1 𝐴𝑚𝑖. Portanto, 𝑀 = ∑

𝑖∈𝐼2,𝑟+1 𝐴𝑚𝑖

e pela hipótese de indução 𝑀 = {0}.

Definição 2.2.83. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um ideal à esquerda de 𝐴. Dizemos que𝐼 é um ideal à esquerda nilpotente, se existir 𝑛 ≥ 1 tal que 𝐼𝑛 = {0}. Dizemos ainda, queum elemento de uma k-álgebra 𝐴 é nilpotente, se existir 𝑛 ≥ 1 tal que 𝑎𝑛 = 0. O menorinteiro 𝑛 tal que 𝐼𝑛 = {0} e 𝑎𝑛 = 0 é chamado de índice de nilpotência.

Proposição 2.2.84. Seja 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita. Então, 𝐽(𝐴) é um idealà esquerda nilpotente.

Demonstração. Considere a seguinte cadeia decrescente de ideais à esquerda de 𝐴

𝐴𝐴 ⊃ 𝐽(𝐴) ⊃ 𝐽(𝐴)2 ⊃ · · · ⊃ 𝐽(𝐴)𝑖 ⊃ 𝐽(𝐴)𝑖+1 · · · .


Como 𝐴 é uma k-álgebra de dimensão finita então 𝐴𝐴 tem comprimento finito, entãoexiste 𝑛 ≥ 1 tal que 𝐽(𝐴)𝑛 = 𝐽(𝐴)𝑛+1. Assim, 𝐽(𝐴)𝑛 = 𝐽(𝐴)𝐽(𝐴)𝑛, logo aplicando oLema 2.2.82, 𝐽(𝐴)𝑛 = {0}.

Definição 2.2.85. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝐼 um ideal à esquerda de 𝐴. Dizemos que𝐼 é um nil ideal à esquerda de 𝐴 se todo elemento de 𝐼 é nilpotente.

Proposição 2.2.86. Seja 𝐼 um nil ideal à esquerda de uma k-álgebra 𝐴. Então, 𝐼⊆𝐽(𝐴).

Demonstração. Sejam 𝑥 ∈ 𝐼 e 𝑎 ∈ 𝐴. Como 𝐼 é nil ideal de 𝐴, temos que 𝑎𝑥 é umelemento nilpotente, pois 𝑎𝑥 ∈ 𝐼. Consideremos o índice de nilpotência de 𝑎𝑥 igual a 𝑛,isto é, (𝑎𝑥)𝑛 = 0, 𝑛 ≥ 1 e (𝑎𝑥)𝑛−1 = 0. Então, temos

(1 + 𝑎𝑥+ (𝑎𝑥)2 + ...+ (𝑎𝑥)𝑛−1)(1 − 𝑎𝑥) = 1,

onde segue que 1 − 𝑎𝑥 possui inverso à esquerda. Logo, pela Proposição 2.2.80 temos que𝑥 ∈ 𝐽(𝐴).

Definição 2.2.87. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Dizemos que 𝐴 é Jacobson semissimples, ousimplesmente 𝐽-semissimples, se 𝐽(𝐴) = {0}.

O próximo teorema nos dá uma relação entre as k-álgebras semissimples e a noçãode 𝐽-semissimplicidade.

Teorema 2.2.88. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Então, as seguintes afirmações são equivalentes:

(i) 𝐴 é semissimples;

(ii) 𝐴 é 𝐽-semissimples e artiniano à esquerda.

Demonstração. Suponhamos que 𝐴 seja semissimples. Pela Proposição 2.2.78, 𝐴 é arti-niano, e pelo Teorema 2.2.75, temos que 𝐴 é uma soma direta de 𝐴-módulos à esquerdasimples. Se 𝑎 ∈ 𝐽(𝐴), 𝑎 anula todos estes módulos à esquerda simples, ou seja, 𝑎𝐴 = 0.Logo, 𝑎 = 0. Reciprocamente, suponhamos que 𝐴 é artiniano à esquerda e 𝐽(𝐴) = 0.Consideremos 𝐼1 um ideal à esquerda minimal de 𝐴𝐴, que sempre existe pela Observação2.2.56. Mostremos que 𝐼1 é um somando direto de 𝐴. Vejamos primeiro que deve existir𝑀1 ideal à esquerda maximal de 𝐴 tal que 𝐼1 (𝑀1. De fato, se 𝐼1 estiver contido em to-dos os ideais à esquerda maximais de 𝐴, então 𝐼1 ⊆ 𝐽(𝐴) = {0}, o que é uma contradição.Como 𝐼1 é minimal então 𝑀1 ∩ 𝐼1 = {0}. Além disso, pela maximalidade de 𝑀1 temosque 𝑀1 + 𝐼1 = 𝐴. Consequentemente, 𝐴 = 𝑀1 ⊕ 𝐼1. Notemos que 𝑀1 é artiniano, pois éum submódulo à esquerda de um módulo à esquerda artiniano. Repetindo o argumentoacima, com 𝑀1 em lugar de 𝐴, obtemos que 𝐴 = 𝐼1 ⊕ 𝐼2 ⊕ · · · ⊕ 𝐼𝑟, onde 𝐼𝑗 é um ideal àesquerda minimal de 𝐴. Portanto, 𝐴 é semissimples.


Lema 2.2.89. Seja 𝐴 uma k-álgebra artiniana. Então, 𝐴/𝐽(𝐴) é uma k-álgebra artinianae 𝐽-semissimples.

Demonstração. Como 𝐴 é artiniana e 𝐽(𝐴) é um ideal à esquerda de 𝐴, pelo Corolário2.2.54, 𝐴/𝐽(𝐴) é um 𝐴-módulo à esquerda artiniano. Vejamos que 𝐴/𝐽(𝐴) é um 𝐴/𝐽(𝐴)-módulo à esquerda artiniano. Pela Observação 2.2.6 𝐴/𝐽(𝐴) é um 𝐴/𝐽(𝐴)-módulo àesquerda, pois 𝐽(𝐴)(𝐴/𝐽(𝐴)) = {0}. Considere a seguinte cadeia de 𝐴/𝐽(𝐴)-submódulosà esquerda de 𝐴/𝐽(𝐴)

𝐴/𝐽(𝐴) = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ 𝑀2 ⊇ · · · ⊇ 𝑀𝑛 ⊇ · · · (𝒞).

Pelo Exemplo 2.2.12 cada 𝑀𝑖 é um 𝐴-módulo à esquerda, então a cadeia acima é umacadeia de 𝐴-submódulos à esquerda. Como 𝐴/𝐽(𝐴) é um 𝐴-módulo à esquerda artiniano,(𝒞) é estacionária, ou seja, existe um inteiro 𝑖 tal que 𝑀𝑖 = 𝑀𝑖+𝑘, para todo 𝑘 ≥ 1.Consequentemente, (𝒞) é estacionária como 𝐴/𝐽(𝐴)-módulo e, portanto, 𝐴/𝐽(𝐴) é um𝐴/𝐽(𝐴)-módulo à esquerda artiniano. Resta mostrar que, 𝐴/𝐽(𝐴) é uma k-álgebra 𝐽-semissimples. De fato, basta observar que todo 𝐴-módulo à esquerda simples, com açãodada por 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚, para todo 𝑚 ∈ 𝑆, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Estaação está bem definida, pois por definição, 𝐽(𝐴) ⊆ 𝐴𝑛𝑛𝐴(𝑆).

Para finalizar esta subseção provaremos um resultado que será uma ferramentaimportante para desenvolver a próxima subseção.

Proposição 2.2.90. Sejam 𝐴 uma k-álgebra artiniana e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerdafinitamente gerado. Então, 𝑀 é semissimples se e somente se 𝐽(𝐴)𝑀 = {0}.

Demonstração. Suponha que 𝑀 seja um 𝐴-módulo à esquerda semissimples. Então, 𝑀é uma soma de submódulos à esquerda simples. Assim, se 𝑎 ∈ 𝐽(𝐴), 𝑎 anula todos estessubmódulos à esquerda simples e, consequentemente, 𝐽(𝐴)𝑀 = {0}. Reciprocamente,suponha que 𝐽(𝐴)𝑀 = {0}. Então, pela Observação 2.2.6 𝑀 é um 𝐴/𝐽(𝐴)-móduloà esquerda via 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚. Além disso, pelo lema anterior temos que 𝐴/𝐽(𝐴) é uma k-álgebra artiniana e 𝐽-semissimples. Logo, pela Proposição 2.2.77 𝑀 é um 𝐴/𝐽(𝐴)-móduloà esquerda semissimples, ou seja, 𝑀 = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑛𝑆𝑖, onde cada 𝑆𝑖 é um 𝐴/𝐽(𝐴)-submóduloà esquerda simples de 𝑀 . Basta mostrar que cada 𝑆𝑖 é um 𝐴-módulo à esquerda simples,para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1. Como cada 𝑆𝑖 é um 𝐴/𝐽(𝐴)-submódulo à esquerda de 𝑀 , entãopelo Exemplo 2.2.12 cada 𝑆𝑖 é um 𝐴-módulo à esquerda. Considere 𝐿 um 𝐴-submóduloà esquerda de 𝑆𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 então 𝐽(𝐴)𝐿 ⊆ 𝐽(𝐴)𝑆𝑖. Note que pela Observação 2.2.6temos 𝐽(𝐴)𝑆𝑖 = {0}, consequentemente, 𝐽(𝐴)𝐿 = {0}. Logo, pela Observação 2.2.6 𝐿

é um 𝐴/𝐽(𝐴)-submódulo à esquerda de 𝑆𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛 e como cada 𝑆𝑖 é 𝐴/𝐽(𝐴)-móduloà esquerda simples temos que 𝐿 = {0} ou 𝐿 = 𝑆𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛. Portanto, cada 𝑆𝑖 é um𝐴-módulo à esquerda simples.


2.2.4 O radical de um módulo

Nesta subseção definiremos o radical de um módulo à esquerda e apresentaremosalgumas propriedades sobre este, com o objetivo de introduzirmos uma classe especial dek-álgebras de dimensão finita, à saber, as álgebras de Nakayama. Os resultados expostosnesta subseção podem ser encontrados em (ASSEM; SIMSON; SKOWROŃSKI, 2006).

Definição 2.2.91. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda. O radical de𝑀 , denotado por 𝑟𝑎𝑑(𝑀), é a interseção de todos os submódulos à esquerda maximais de𝑀 .

Exemplo 2.2.92. Seja 𝐴 uma k-álgebra. Considere 𝐴 como 𝐴-módulo à esquerda. Cla-ramente 𝑟𝑎𝑑(𝐴𝐴) = 𝐽(𝐴).

Vejamos agora algumas propriedades do radical de um 𝐴-módulo à esquerda.

Proposição 2.2.93. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 e 𝑁 dois 𝐴-módulosà esquerda finitamente gerados. Então, as seguintes afirmações são válidas.

(i) Seja 𝑚 ∈ 𝑀 . Então, 𝑚 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀) se e somente se 𝑓(𝑚) = 0, para qualquerhomomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑆, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo àesquerda simples;

(ii) 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ⊕𝑁) = 𝑟𝑎𝑑(𝑀) ⊕ 𝑟𝑎𝑑(𝑁);

(iii) Considere 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑁 um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Então,𝑓(𝑟𝑎𝑑(𝑀)) ⊆ 𝑟𝑎𝑑(𝑁);

(iv) 𝑟𝑎𝑑(𝑀) = 𝐽(𝐴)𝑀 .

Demonstração. (i) Seja 𝑓 :𝑀 −→ 𝑆 um homomorfismo não nulo de 𝐴-módulos à esquerda,onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Vejamos que 𝐾𝑒𝑟(𝑓) é um submódulo à es-querda maximal de 𝑀 . De fato, considere 𝜋 :𝑀 −→ 𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓), então pelo teorema dohomomorfismo, existe um monomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda 𝑓 :𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓) −→ 𝑆

tal que 𝑓 ∘ 𝜋 = 𝑓 . Assim, 𝑓(𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓)) é um submódulo à esquerda de 𝑆. Como𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples, 𝑓(𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓)) = {0} ou 𝑓(𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓)) = 𝑆.Porém, 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑀}, pois 𝑓 é não nula. Logo, 𝑓(𝑀/𝐾𝑒𝑟(𝑓)) = 𝑆 e, consequen-temente, pela Proposição 2.2.43 𝐾𝑒𝑟(𝑓) é um submódulo à esquerda maximal de 𝑀 .Logo, 𝑟𝑎𝑑(𝑀) ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓). Reciprocamente, seja 𝐿 um submódulo à esquerda maximalde 𝑀 . Pela Proposição 2.2.43 𝑀/𝐿 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Considere𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀/𝐿 a projeção canônica. Por hipótese, 𝜋(𝑚) = 0 então 𝑚 ∈ 𝐿, pois𝐾𝑒𝑟(𝜋) = 𝐿. Logo, 𝑚 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀).


(ii) Seja 𝑥 = (𝑚,𝑛) ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ⊕ 𝑁), com 𝑚 ∈ 𝑀 e 𝑛 ∈ 𝑁 . Consideremos 𝑓 :𝑀 −→ 𝑆

um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda sim-ples. Definimos, 𝐹 : 𝑀 ⊕ 𝑁 −→ 𝑆 por 𝐹 (𝑚′, 𝑛′) = 𝑓(𝑚′). É fácil ver que, 𝐹 éum homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Como 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ⊕ 𝑁), pelo item (i),0 = 𝐹 (𝑥) = 𝐹 (𝑚,𝑛) = 𝑓(𝑚). Logo, 𝑚 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀). De maneira análoga, mostramosque 𝑛 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑁). Portanto, 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀) ⊕ 𝑟𝑎𝑑(𝑁). Reciprocamente, seja 𝑥 = (𝑚,𝑛) ∈𝑟𝑎𝑑(𝑀) ⊕ 𝑟𝑎𝑑(𝑁). Consideremos 𝑓 : 𝑀 ⊕ 𝑁 −→ 𝑆 um homomorfismo de 𝐴-módulosà esquerda, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Definimos 𝐹 : 𝑀 −→ 𝑆 por𝐹 (𝑚′) = 𝑓(𝑚′, 0). É fácil ver que, 𝐹 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Como𝑚 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀) temos que 0 = 𝐹 (𝑚) = 𝑓(𝑚, 0). Analogamente, definimos 𝐺 :𝑁 −→ 𝑆 por𝐺(𝑛) = 𝑓(0, 𝑛). Claramente 𝐺 é um homomorfismo de 𝐴-módulos e como 𝑛 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑁)temos que 0 = 𝐺(𝑛) = 𝑓(0, 𝑛). Logo, 𝑓(𝑚,𝑛) = 𝑓(𝑚, 0) + 𝑓(0, 𝑛) = 0, e portanto peloitem (i) 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀 ⊕𝑁).

(iii) Seja 𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀). Consideremos 𝑔 : 𝑁 −→ 𝑆 um homomorfismo de 𝐴-módulosà esquerda, onde 𝑆 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Definimos, 𝐹 : 𝑀 −→ 𝑆 por𝐹 (𝑚) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑚). Claramente 𝐹 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda e como𝑥 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑀) temos que 0 = 𝐹 (𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)). Portanto, 𝑓(𝑥) ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝑁).

(iv) Seja 𝑁 um submódulo à esquerda maximal de 𝑀 . Pela Proposição 2.2.43 temos que𝑀/𝑁 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Então, 𝑎(𝑏 + 𝑁) = 𝑎𝑏 + 𝑁 = 0, para todo𝑎 ∈ 𝐽(𝐴) e 𝑏 ∈ 𝑀 , assim, 𝑎𝑏 ∈ 𝑁 e 𝐽(𝐴)𝑀 ⊆ 𝑁 . Portanto, 𝐽(𝐴)𝑀 ⊆ ⋂

𝑁∈ℳ𝑎𝑥(𝑀) 𝑁 ,onde ℳ𝑎𝑥(𝑀) denota o conjunto de todos os submódulos à esquerda maximais de 𝑀 .Resta mostrarmos que 𝐽(𝐴)𝑀 ⊆ 𝑟𝑎𝑑(𝑀). Seja 𝑚 ∈ 𝑀 e consideramos 𝑓𝑚 : 𝐴 −→ 𝑀

dada por 𝑓𝑚(𝑎) = 𝑎𝑚, para todo 𝑎 ∈ 𝐴. Vejamos que 𝑓𝑚 é um homomorfismo de 𝐴-módulos à esquerda. Sejam 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 e 𝑚 ∈ 𝑀 , então 𝑓𝑚(𝑏𝑎) = (𝑏𝑎)𝑚 = 𝑏(𝑎𝑚) = 𝑏𝑓𝑚(𝑎).Sejam 𝑎 ∈ 𝑟𝑎𝑑(𝐴𝐴) = 𝐽(𝐴) e 𝑚 ∈ 𝑀 . Assim, pelo item (iii), temos que 𝑎𝑚 = 𝑓𝑚(𝑎) ∈𝑓𝑚(𝑟𝑎𝑑(𝐴𝐴)) = 𝑟𝑎𝑑(𝑀).

Observação 2.2.94. Prova-se por indução que 𝑟𝑎𝑑(⊕𝑖∈𝐼𝑛𝑀𝑖) = ⊕𝑖∈𝐼𝑛𝑟𝑎𝑑(𝑀𝑖).

Lema 2.2.95. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerdafinitamente gerado. Se 𝑀 é semissimples, então 𝑟𝑎𝑑(𝑀) = {0}.

Demonstração. Suponhamos que𝑀 seja um𝐴-módulo semissimples. Então, 𝑀 = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑟𝑆𝑖,onde cada 𝑆𝑖 é um 𝐴-módulo à esquerda simples. Pela Observação 2.2.94 temos que𝑟𝑎𝑑(𝑀) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑟𝑟𝑎𝑑(𝑆𝑖). Como 𝐽(𝐴)𝑆𝑖 = {0}, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟, então 𝑟𝑎𝑑(𝑆𝑖) = {0}, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑟.Portanto, 𝑟𝑎𝑑(𝑀) = {0}.

Proposição 2.2.96. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 um 𝐴-módulo àesquerda finitamente gerado. Então, as seguintes afirmações são válidas


(i) O 𝐴-módulo à esquerda 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀) é semissimples e é um 𝐴/𝐽(𝐴)-módulo à es-querda;

(ii) Se 𝐿 é um submódulo à esquerda de 𝑀 tal que 𝑀/𝐿 é um 𝐴-módulo à esquerdasemissimples, então 𝑟𝑎𝑑(𝑀) ⊆ 𝐿.

Demonstração. (i) Como 𝑟𝑎𝑑(𝑀) = 𝐽(𝐴)𝑀 , vejamos que 𝐽(𝐴)(𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀)) = {0}. Defato, sejam 𝑎 ∈ 𝐽(𝐴) e 𝑚 ∈ 𝑀 . Assim, 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚 = 0, para todo 𝑚 ∈ 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀). Logo,𝐽(𝐴)(𝑀/𝐽(𝐴)𝑀) = {0} e, pela Proposição 2.2.90 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀) é semissimples. Além disso,pela Observação 2.2.6 segue que 𝑀 é 𝐴/𝐽(𝐴)-módulo à esquerda.

(ii) Suponha que 𝐿 seja um submódulo à esquerda de 𝑀 tal que 𝑀/𝐿 é um 𝐴-módulo àesquerda semissimples. Considere 𝜋 : 𝑀 −→ 𝑀/𝐿 a projeção canônica. Pelo item (iii) daProposição 2.2.93, 𝜋(𝑟𝑎𝑑(𝑀)) ⊆ 𝑟𝑎𝑑(𝑀/𝐿). Como 𝑀/𝐿 é semissimples então pelo Lema2.2.96, 𝑟𝑎𝑑(𝑀/𝐿) = {0}. Assim, 𝜋(𝑟𝑎𝑑(𝑀)) ⊆ {0}, e assim 𝑟𝑎𝑑(𝑀) ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝜋) = 𝐿.

Como consequência das proposições anteriores temos o seguinte corolário que nadamais é que a recíproca do Lema 2.2.95.

Corolário 2.2.97. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 um 𝐴-módulo àesquerda finitamente gerado. Se 𝑟𝑎𝑑(𝑀) = {0}, então 𝑀 é semissimples.

Demonstração. Suponha que 𝑟𝑎𝑑(𝑀) = {0}. Assim, 𝑀 ≃ 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀) e pela Proposição2.2.96 (i) temos que 𝑀 ≃ 𝑀/𝑟𝑎𝑑(𝑀) é um 𝐴-módulo à esquerda semissimples. Logo, 𝑀é um 𝐴-módulo à esquerda semissimples.

Seja 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado. Note que para cada 𝑖 ≥ 1,definimos 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀) = 𝐽(𝐴)𝑖𝑀 e 𝑟𝑎𝑑0(𝑀) = 𝑀 . Então, 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀) = 𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑𝑖−1(𝑀)), pois

𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀) = 𝐽(𝐴)𝑖𝑀 = 𝐽(𝐴)𝐽(𝐴)𝑖−1𝑀 = 𝐽(𝐴)𝑟𝑎𝑑𝑖−1(𝑀) = 𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑𝑖−1(𝑀)).

Então, 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) = 𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀)) = 𝐽(𝐴)𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀), e assim 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) ⊆ 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀). Maisainda, se 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) = 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀), para algum 𝑖≥0 então 𝐽(𝐴)(𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀)) = 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀). Logo,pelo Lema 2.2.82 temos que 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀) = {0}. Além disso, 𝑟𝑎𝑑𝑛(𝑀) = {0}, para algum𝑛≥ 1, visto que, 𝐽(𝐴) um ideal à esquerda nilpotente. Agora, se 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀) = 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀),𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀)/𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) é um 𝐴-módulo à esquerda semissimples. Com efeito, sabemos que

𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀)/𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀)) = 𝐽(𝐴)(𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀)/𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀))

= 𝐽(𝐴)(𝐽(𝐴)𝑖𝑀/𝐽(𝐴)𝑖+1𝑀) = {0}.

Logo, pelo Corolário 2.2.97, 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀)/𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) é semissimples.

A partir da discussão feita acima, temos a seguinte cadeia decrescente de submó-dulos à esquerda de 𝑀 , existe um 𝑛 (mínimo) tal que 𝑀

𝑀 ) 𝑟𝑎𝑑(𝑀) ) 𝑟𝑎𝑑2(𝑀) ) · · · ) 𝑟𝑎𝑑𝑛−1(𝑀) ) 𝑟𝑎𝑑𝑛(𝑀) = {0},


tal que os 𝐴-módulos à esquerda 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀)/𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀), 𝑖 ∈ 𝐼𝑛−1 são semissimples. Cha-mamos está cadeia de série radical de 𝑀 ou de série de Loewy de 𝑀 . O número 𝑛 é ditoo comprimento de Loewy do módulo à esquerda 𝑀 , e denotaremos por ℓℓ(𝑀). Com isso,podemos concluir que os 𝐴-módulos à esquerda finitamente gerados semissimples são os𝐴-módulos à esquerda de comprimento de Loewy igual a 1.

Observação 2.2.98. Sejam 𝑀𝑖 e 𝑁𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛, 𝐴-módulos à esquerda finitamente gerados.Pela Observação 2.2.94, ℓℓ(⊕𝑛∈𝐼1,𝑛𝑀𝑛) = 𝑚𝑎𝑥{ℓℓ(𝑀𝑖) | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛}.

Corolário 2.2.99. Sejam 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita e 𝑀 um 𝐴-módulo àesquerda finitamente gerado. Então, ℓℓ(𝑀) ≤ ℓℓ(𝐴𝐴).

Demonstração. Consideremos ℓℓ(𝑀) = 𝑛 e ℓℓ(𝐴𝐴) = 𝑘. Assim, 𝑟𝑎𝑑𝑛(𝑀) = {0} e𝑟𝑎𝑑𝑘(𝐴𝐴) = 𝐽(𝐴)𝑘 = {0}. Como 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀) = 𝐽(𝐴)𝑖𝑀 = 𝑟𝑎𝑑(𝐴𝐴)𝑖𝑀 , para todo 𝑖 ≥ 0,então 𝑛 ≤ 𝑘.

A seguir veremos uma importante caracterização de módulos uniseriais a partir dasérie radical do 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 .

Proposição 2.2.100. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 𝑀 um 𝐴-módulo à esquerda finitamentegerado. Então, as seguintes condições são equivalentes

(i) 𝑀 é uniserial;

(ii) a série radical é uma série de composição de 𝑀 ;

(iii) ℓ(𝑀) = ℓℓ(𝑀).

Demonstração. (i) ⇒ (ii) Suponhamos que 𝑀 seja uniserial e consideremos

𝑀 = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ · · · ⊇ 𝑀𝑛 = {0}

a única série de composição de 𝑀 . Em particular, 𝑀1 é o único submódulo à esquerdamaximal de 𝑀 , já que todo submódulo à esquerda de 𝑀 é um termo em uma série decomposição. Consequentemente, 𝑀1 = 𝑟𝑎𝑑(𝑀). Além disso, como 𝑀 é uniserial então𝑀1 também é uniserial. Assim, de maneira análoga temos que 𝑀2 = 𝑟𝑎𝑑(𝑀1), dondesegue que 𝑀2 = 𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑(𝑀)) = 𝑟𝑎𝑑2(𝑀). Repetindo este argumento segue que a série𝑀 = 𝑀0 ⊇ 𝑀1 ⊇ · · · ⊇ 𝑀𝑛 = {0} é a série radical de 𝑀 .

(ii) ⇒ (iii) Imediato.

(iii) ⇒ (i) Como ℓ(𝑀)=ℓℓ(𝑀)=𝑛. Então, 𝑀=𝑟𝑎𝑑(𝑀) ⊇ 𝑟𝑎𝑑2(𝑀) ⊇· · ·⊇ 𝑟𝑎𝑑𝑛(𝑀)={0}é uma série de composição de 𝑀 . Logo, 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀)/𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀), para todo 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛−1 ésimples. Pela Proposição 2.2.43, 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) é submódulo à esquerda maximal de 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀).Desde que 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) = 𝑟𝑎𝑑(𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀)) é a interseção de todos os submódulos à esquerda


maximais de 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀) temos que 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) é o único submódulo à esquerda maximal de𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀). Em particular, 𝑟𝑎𝑑(𝑀) é o único submódulo à esquerda maximal de 𝑀 . Seja𝑁 um submódulo à esquerda não trivial de 𝑀 . Então, 𝑁 ⊆ 𝑟𝑎𝑑(𝑀). Seja 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛−1 omaior índice tal que 𝑁 ⊆ 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀). Como 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) é o único submódulo à esquerdamaximal de 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀) e 𝑁 𝑟𝑎𝑑𝑖+1(𝑀) temos que 𝑁 = 𝑟𝑎𝑑𝑖(𝑀). Logo, a série radical de𝑀 é formada por todos os submódulos à esquerda de 𝑀 , ou seja, ela é a única. Portanto,𝑀 é uniserial.

A seguir enunciaremos um lema que nos diz que se o comprimento de Loewy de𝐴𝐴 é igual ao comprimento de Loewy do 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 e 𝑀 é indecomponível,então 𝑀 é projetivo e injetivo. A demonstração deste resultado é bem construtiva, eenvolve várias propriedades sobre módulos indecomponíveis, projetivos, injetivos e outrosconceitos que não foram apresentados neste trabalho, por esta razão optamos por omití-lado texto. A demonstração deste resultado pode ser vista em (CHEN, 2002).

Lema 2.2.101. ([Lema 3.5. CHEN, 2002]) Seja 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finitaauto-injetiva com ℓℓ(𝐴𝐴) = 𝑛. Se 𝑀 é um 𝐴-módulo à esquerda com ℓℓ(𝑀) = 𝑛, então𝑀 contém um somando direto projetivo e indecomponível. Mais ainda, se 𝑀 é indecom-ponível, então 𝑀 é projetivo e injetivo.

Para finalizar esta subseção vamos apresentar a definição de álgebra de Nakayama.

Definição 2.2.102. Seja 𝐴 uma k-álgebra de dimensão finita. Dizemos que 𝐴 é umaálgebra de Nakayama se todo 𝐴-módulo à esquerda projetivo e indecomponível é uniseriale todo 𝐴-módulo à esquerda injetivo e indecomponível é uniserial.

O teorema a seguir será fundamental para garantir que os módulos indecompo-níveis da álgebra de Taft que serão calculados no Lema 3.1.9 (ii) são os únicos módulosindecomponíveis nesta álgebra.

Teorema 2.2.103. ([Teorema 3.5, ASSEM; SIMSON; SKOWROŃSKI, 2006 ]) Seja 𝐴

uma k-álgebra de Nakayama. Então, todo 𝐴-módulo à esquerda 𝑀 finitamente gerado eindecomponível é isomorfo a um 𝐴-módulo à esquerda da forma 𝑃/𝑟𝑎𝑑𝑛(𝑃 ), para algum𝑃 𝐴-módulo à esquerda finitamente gerado, projetivo e indecomponível com 𝑛 ∈ 𝐼1,ℓℓ(𝑃 ).

2.3 Álgebras de HopfNesta seção daremos a definição de álgebra de Hopf, bem como algumas proprie-

dades importantes. Além disso, nossos objetivos nesta seção serão mostrar que a álgebrade Taft é uma álgebra de Hopf e demonstrar um resultado importante sobre álgebrasde Hopf de dimensão finita, à saber, o teorema de Maschke. Por fim, introduziremos o


anel de Green de uma álgebra de Hopf de dimensão finita. Os resultados expostos nestaseção podem ser encontrados em (DASCALESCUS; RAIANU; NASTASESCUS, 2001),(RADFORD, 2012), (KASSEL, 1995), (KLIMYK; SCHMUDGEN, 1997), (SCHNEIDER,1995) e (ARMSTRONG, 1988) e (LANG, 2002).

Definição 2.3.1. Uma coálgebra sobre um corpo k, ou simplesmente uma k-coálgebra,é um k-espaço vetorial 𝐶 munido de duas transformações lineares, Δ : 𝐶 −→ 𝐶 ⊗ 𝐶 e𝜀 : 𝐶 −→ k, tais que os seguintes diagramas são comutativos:

𝐶Δ //

Δ

��

𝐶 ⊗ 𝐶

Δ⊗𝐼𝑑𝐶

��𝐶 ⊗ 𝐶

𝐼𝑑𝐶⊗Δ// 𝐶 ⊗ 𝐶 ⊗ 𝐶

𝐶𝜂−1

%%

𝜂−1

yyΔ

��

k⊗ 𝐶 𝐶 ⊗ k

𝐶 ⊗ 𝐶.𝜀⊗𝐼𝑑𝐶

ee

𝐼𝑑𝐶⊗𝜀

99

As aplicações Δ e 𝜀 são chamadas de comultiplicação e counidade, respectiva-mente. Além disso, notemos que a comutatividade do primeiro diagrama é a relação quechamamos de coassociatividade, ou seja:

(Δ ⊗ 𝐼𝑑𝐶) ∘ Δ = (𝐼𝑑𝐶 ⊗ Δ) ∘ Δ.

Já a comutatividade do segundo diagrama é a existência da counidade de 𝐶, ou seja,

(𝜀⊗ 𝐼𝑑𝐶)(Δ(𝑐)) = 1k ⊗ 𝑐 e (𝐼𝑑𝐶 ⊗ 𝜀)(Δ(𝑐)) = 𝑐⊗ 1k,

para todo 𝑐 ∈ 𝐶.

Observação 2.3.2. Seja (𝐶,Δ, 𝜀) uma k-coálgebra, para qualquer 𝑐 ∈ 𝐶 temos que

Δ(𝑐) =𝑛∑𝑖=1

𝑐𝑖1 ⊗ 𝑐𝑖2 onde 𝑐𝑖1, 𝑐𝑖2 ∈ 𝐶, 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑛.

Para denotar a imagem de um elemento 𝑐 ∈ 𝐶 pela aplicação Δ, usaremos anotação de Sweedler (ou notação sigma) a qual suprime os índices 𝑖 e nos permite escrever:

Δ(𝑐) =𝑛∑𝑖=1

𝑐𝑖1 ⊗ 𝑐𝑖2 :=∑

𝑐1 ⊗ 𝑐2.

Como Δ(𝑐) ∈ 𝐶 ⊗ 𝐶 temos duas maneiras possíveis de reaplicar a função Δ,Δ ⊗ 𝐼𝑑𝐶 e 𝐼𝑑𝐶 ⊗ Δ. Utilizando a notação estabelecida na Observação acima, obtemosque Δ ⊗ 𝐼𝑑𝐶(Δ(𝑐)) = ∑

𝑐11 ⊗ 𝑐12 ⊗ 𝑐2 e também que 𝐼𝑑𝐶 ⊗ Δ(Δ(𝑐)) = ∑𝑐1 ⊗ 𝑐21 ⊗ 𝑐22. A

comutatividade do primeiro diagrama na Definição 2.3.1 diz que estes são iguais. Podemosentão definir Δ2 : 𝐶 −→ 𝐶 ⊗ 𝐶 ⊗ 𝐶 por Δ2 = Δ ⊗ 𝐼𝑑𝐶 = 𝐼𝑑𝐶 ⊗ Δ e estendemos nossanotação para

Δ2(𝑐) =∑

𝑐11 ⊗ 𝑐12 ⊗ 𝑐2 =∑

𝑐1 ⊗ 𝑐21 ⊗ 𝑐22 :=∑

𝑐1 ⊗ 𝑐2 ⊗ 𝑐3.


Definindo recursivamente Δ𝑛 : 𝐶 −→ 𝐶 ⊗ · · · ⊗ 𝐶, onde 𝐶 aparece 𝑛 + 1-vezes,por Δ1 = Δ e Δ𝑛 = (Δ ⊗ 𝐼𝑑𝑛−1

𝐶 ) ∘ Δ𝑛−1 para 𝑛 ≥ 2, enunciamos o seguinte resultado,que é conhecido como coassociatividade generalizada.

Proposição 2.3.3. ([Proposição 1.1.7, DASCALESCUS; RAIANU; NASTASESCUS,2001]) Seja (𝐶,Δ, 𝜀) uma k-coálgebra. Então, para todo 𝑛 ≥ 2 e 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 − 1, vale aseguinte equação Δ𝑛 = (𝐼𝑑𝑝𝐶 ⊗ Δ ⊗ 𝐼𝑑𝑛−𝑝−1

𝐶 ) ∘ Δ𝑛−1.

Neste trabalho optamos por não apresentar a demonstração da Proposição acima,visto que, este é um resultado clássico da Teoria de álgebras de Hopf. A prova desseresultado pode ser encontrada com detalhes em (DASCALESCUS; RAIANU; NASTA-SESCUS, 2001).

Exemplo 2.3.4. O corpo k tem uma estrutura de k-coálgebra dada por Δ(1k) = 1k ⊗ 1ke 𝜀(1k) = 1k.

Exemplo 2.3.5. Sejam 𝐶 e 𝐷 k-coálgebras com comultiplicações Δ𝐶 e Δ𝐷 e counidades𝜀𝐶 e 𝜀𝐷, respectivamente. Então, 𝐶 ⊗ 𝐷 é uma k-coálgebra com comultiplicação dadapor Δ𝐶⊗𝐷 = (𝐼𝑑𝐶 ⊗ 𝜏 ⊗ 𝐼𝑑𝐷) ∘ (Δ𝐶 ⊗ Δ𝐷) e counidade dada por 𝜀𝐶⊗𝐷 = 𝜓′ ∘ (Δ𝐶 ⊗ Δ𝐷),onde 𝜏 : 𝐶⊗𝐷 −→ 𝐷⊗𝐶 é a aplicação twist e 𝜓 : k⊗k −→ k é o isomorfismo canônico.

Exemplo 2.3.6. A álgebra de grupo k𝐺 é uma k-cóalgebra com comultiplicação dadapor Δ(𝑔) = 𝑔 ⊗ 𝑔 e counidade por 𝜀(𝑔) = 1k, para todo 𝑔 ∈ 𝐺.

Definição 2.3.7. Sejam 𝐶 uma coálgebra e 𝐸 um k-subespaço vetorial de 𝐶. Dizemosque 𝐸 é uma subcoálgebra de 𝐶 se Δ(𝐸) ⊆ 𝐸 ⊗ 𝐸.

Definição 2.3.8. Sejam 𝐶 uma k-cóalgebra e 𝐷 um k-subespaço vetorial de 𝐶. Dizemosque

(i) 𝐷 é um coideal à esquerda se Δ(𝐷) ⊆ 𝐶 ⊗𝐷;

(ii) 𝐷 é um coideal à direita se Δ(𝐷) ⊆ 𝐷 ⊗ 𝐶;

(iii) 𝐷 é um coideal se Δ(𝐷) ⊆ 𝐶 ⊗𝐷 +𝐷 ⊗ 𝐶 e 𝜀(𝐷) = 0.

Definição 2.3.9. Sejam 𝐶 uma k-cóalgebra e 𝑐 ∈ 𝐶 tal que 𝑐 = 0. Dizemos que 𝑐 é umelemento de tipo grupo se Δ(𝑐) = 𝑐 ⊗ 𝑐, e denotamos por 𝐺(𝐶) o conjunto de todos oselementos de tipo grupo de 𝐶.

Observação 2.3.10. Uma consequência imediata da definição acima é que 𝜀(𝑐) = 1, paratodo 𝑐 ∈ 𝐺(𝐶), pois 𝑐 = 𝑐1k = 𝑐𝜀(𝑐) e consequentemente (1 − 𝜀(𝑐))𝑐 = 0.


Definição 2.3.11. Sejam 𝐶 e 𝐷 k-coálgebras com comultiplicações Δ𝐶 e Δ𝐷 e counidades𝜀𝐶 e 𝜀𝐷, respectivamente. Uma transformação linear 𝑓 : 𝐶 → 𝐷 é um homomorfismo dek-coálgebras se os seguintes diagramas são comutativos:

𝐶𝑓 //

Δ𝐶

��

𝐷

Δ𝐷

��𝐶 ⊗ 𝐶

𝑓⊗𝑓// 𝐷 ⊗𝐷

𝐶𝑓 //

𝜀𝐶

��

𝐷

𝜀𝐷

��k.

As comutatividades dos diagramas acima, podem ser reescritas das seguintes ma-neiras: ∑

𝑓(𝑐1) ⊗ 𝑓(𝑐2) =∑

(𝑓(𝑐))1 ⊗ (𝑓(𝑐))2 e 𝜀𝐷(𝑓(𝑐)) = 𝜀𝐶(𝑐),

para todo 𝑐 ∈ 𝐶.

Seja 𝑓 : 𝐶 → 𝐷 um homomorfismo de coálgebras. É fácil ver que 𝐾𝑒𝑟(𝑓) é umcoideal 𝐶. Além disso, se 𝐸 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓), então existe única estrutura de k-coálgebra 𝐶/𝐸tal que 𝜋 : 𝐶 → 𝐶/𝐸 é um homomorfismo de k-coálgebras.

Quando um k-espaço vetorial possui tanto a estrutura de k-álgebra quanto a es-trutura de k-coálgebra, e se estas estruturas são compatíveis obtemos uma nova estrutura,chamada de biálgebra, conforme a seguinte definição.

Definição 2.3.12. Seja 𝐻 um k-espaço vetorial. Dizemos que uma quíntupla (𝐻,𝑚, 𝑢,Δ, 𝜀)é uma k-biálgebra, ou simplesmente uma biálgebra, se

(i) (𝐻,𝑚, 𝑢) é uma k-álgebra;

(ii) (𝐻,Δ, 𝜀) é uma k-coálgebra;

(iii) Δ e 𝜀 são homomorfismos de k-álgebras.

Exemplo 2.3.13. Dos Exemplos 2.1.5 e 2.3.6 vimos que a álgebra de grupo k𝐺 é umaálgebra e uma cóalgebra. Para verificar que k𝐺 é uma biálgebra, devemos mostrar que𝜀 e Δ são homomorfismos de álgebras. Com efeito, para quaisquer 𝑔, ℎ ∈ 𝐺, temos queΔ(𝑔ℎ) = 𝑔ℎ ⊗ 𝑔ℎ = (𝑔 ⊗ 𝑔)(ℎ ⊗ ℎ) = Δ(𝑔)Δ(ℎ) e Δ(1𝐺) = 1𝐺 ⊗ 1𝐺, e portanto Δ é umhomomorfismo de álgebras. E também 𝜀(𝑔ℎ) = 1k = 1k1k = 𝜀(𝑔)𝜀(ℎ) e 𝜀(1𝐺) = 1k, eportanto 𝜀 é também um homomorfismo de álgebras.

Definição 2.3.14. Sejam 𝐻 e 𝐿 k-biálgebras. Uma transformação linear 𝑓 :𝐻 → 𝐿 éhomomorfismo de k-biálgebras se 𝑓 é um homomorfismo de k-álgebras e de k-cóalgebras.

Sejam (𝐴,𝑚, 𝑢) uma k-álgebra e (𝐶,Δ, 𝜀) uma k-cóalgebra. Considere𝐻𝑜𝑚k(𝐶,𝐴)o conjunto de todas as transformações k-lineares de 𝐶 em 𝐴. Este é um k-espaço veto-rial com a soma pontual e a multiplicação por escalar dada por (𝛼𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝛼𝑥), para


quaisquer 𝑓 ∈ 𝐻𝑜𝑚k(𝐶,𝐴), 𝛼 ∈ k e 𝑥 ∈ 𝐶. Dados 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐻𝑜𝑚k(𝐶,𝐴) podemos definirem 𝐻𝑜𝑚k(𝐶,𝐴) uma multiplicação, chamada de produto convolução, por:

(𝑓 * 𝑔)(𝑐) = (𝑚 ∘ (𝑓 ⊗ 𝑔) ∘ Δ)(𝑐) = 𝑓(𝑐1)𝑔(𝑐2),

para todo 𝑐 ∈ 𝐶, e uma unidade dada por 𝑢𝐻𝑜𝑚k(𝐶,𝐴)(1k) = 𝑢 ∘ 𝜀. É fácil verificar, que𝐻𝑜𝑚k(𝐶,𝐴) tem estrutura de k-álgebra.

Considerando 𝐻 uma biálgebra e denotando por 𝐻𝐶 o k-espaço vetorial 𝐻 comestrutura de cóalgebra e 𝐻𝐴 o k- espaço vetorial 𝐻 com estrutura de álgebra, pelo quevimos acima, 𝐻𝑜𝑚k(𝐻𝐶 , 𝐻𝐴) é uma álgebra com o produto convolução. Mais ainda,notemos que 𝐼𝑑𝐻 ∈ 𝐻𝑜𝑚k(𝐻𝐶 , 𝐻𝐴). Com isso, podemos dar a seguinte definição.

Definição 2.3.15. Seja 𝐻 uma k-biálgebra. Uma transformação linear 𝑆 :𝐻 −→ 𝐻 échamada de antípoda de 𝐻 se 𝑆 é a inversa da identidade com relação ao produto deconvolução, ou seja, 𝑆 * 𝐼𝑑𝐻 = 𝐼𝑑𝐻 * 𝑆 = 𝑢 ∘ 𝜀.

Da definição acima temos: (𝑆 * 𝐼𝑑𝐻)(ℎ) = (𝑚 ∘ (𝑆 ⊗ 𝐼𝑑𝐻) ∘ Δ)(ℎ) = ∑𝑆(ℎ1)ℎ2,

para todo ℎ ∈ 𝐻. Analogamente, (𝐼𝑑𝐻 * 𝑆)(ℎ) = ∑ℎ1𝑆(ℎ2), para todo ℎ ∈ 𝐻.

Definição 2.3.16. Uma álgebra de Hopf é uma biálgebra 𝐻 que possui uma antípoda.

Exemplo 2.3.17. Vimos que k𝐺 é uma biálgebra. Para que k𝐺 seja uma álgebra deHopf, resta apenas definir a antípoda. Seja 𝑆 : k𝐺 −→ k𝐺 dada por 𝑆(𝑔) = 𝑔−1, onde𝑔−1 denota o elemento inverso de 𝑔 com relação a operação do grupo. Vejamos que 𝑆 é aantípoda de k𝐺. Seja 𝑔 ∈ k𝐺 então,

(𝑢k𝐺 ∘ 𝜀k𝐺)(𝑔) = 𝑢k𝐺(𝜀k𝐺(𝑔)) = 𝑢k𝐺(1k) = 1𝐺.

Por outro lado,

(𝑆 * 𝐼𝑑k𝐺)(𝑔) = 𝑆(𝑔)𝐼𝑑k𝐺(𝑔) = 𝑆(𝑔)𝑔 = 𝑔−1𝑔 = 1𝐺.

Assim, 𝑆 * 𝐼𝑑k𝐺 = 𝑢k𝐺 ∘ 𝜀k𝐺. Analogamente, 𝐼𝑑k𝐺 * 𝑆 = 𝑢k𝐺 ∘ 𝜀k𝐺. Logo, 𝑆 é a antípodade k𝐺.

Definição 2.3.18. Sejam 𝐻 uma álgebra de Hopf com antípoda 𝑆 e 𝐾 um k-subespaçovetorial de 𝐻. Dizemos que 𝐾 é uma subálgebra de Hopf de 𝐻 se 𝐾 é uma subálgebra euma subcoálgebra de 𝐻 satisfazendo 𝑆(𝐾) ⊆ 𝐾.

Definição 2.3.19. Sejam 𝐻 uma álgebra de Hopf com antípoda 𝑆 e 𝐼 um k-subespaçovetorial de 𝐻. Dizemos que 𝐼 é um ideal de Hopf de 𝐻 se 𝐼 é um ideal e um coideal de𝐻 tal que 𝑆(𝐼) ⊆ 𝐼.

Definição 2.3.20. Sejam 𝐻 e 𝐿 álgebras de Hopf. Dizemos que 𝑓 : 𝐻 −→ 𝐿 é umhomomorfismo de álgebras de Hopf se 𝑓 é um homomorfismo de biálgebras.


A proposição a seguir prova que todo homomorfismo de álgebras de Hopf preservaa antípoda.

Proposição 2.3.21. Sejam 𝐻 e 𝐿 álgebras de Hopf e 𝑓 : 𝐻 −→ 𝐿 um homomorfismo debiálgebras. Então, 𝑓 ∘ 𝑆𝐻 = 𝑆𝐿 ∘ 𝑓 .

Demonstração. Considere a k-álgebra 𝐻𝑜𝑚k(𝐻,𝐿) com o produto convolução. Mostre-mos que 𝑓 ∘ 𝑆𝐻 é um inverso à direita de 𝑓 e 𝑆𝐿 ∘ 𝑓 um inverso à esquerda de 𝑓 em𝐻𝑜𝑚k(𝐻,𝐿). Com efeito, para qualquer ℎ ∈ 𝐻, temos que

(𝑓 * (𝑓 ∘ 𝑆𝐻))(ℎ) =∑

𝑓(ℎ1)(𝑓 ∘ 𝑆𝐻)(ℎ2) =∑

𝑓(ℎ1)𝑓(𝑆𝐻(ℎ2)) = 𝑓(∑

ℎ1𝑆𝐻(ℎ2))

= 𝑓(𝜀𝐻(ℎ)1𝐻) = 𝜀𝐻(ℎ)𝑓(1𝐻) = 𝜀𝐻(ℎ)1𝐿 = (𝑢𝐿 ∘ 𝜀𝐻)(1k)

Analogamente, temos que ((𝑆𝐿∘𝑓)*𝑓)(ℎ) = (𝑢𝐿∘𝜀𝐻)(1k). Logo, 𝑓−1 = 𝑆𝐿∘𝑓 = 𝑓∘𝑆𝐻 .

Seja 𝑓 :𝐻 → 𝐿 um homomorfismo de álgebras de Hopf. É fácil ver que 𝐾𝑒𝑟(𝑓)é um ideal de Hopf de 𝐻. Além disso, se 𝐼 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝑓), então existe única estrutura deálgebra de Hopf sobre 𝐻/𝐼 tal que 𝜋 : 𝐻 → 𝐻/𝐼 é um homomorfismo de álgebras deHopf.

Vejamos a seguir alguns resultados importantes sobre álgebras de Hopf.

Proposição 2.3.22. Seja (𝐻,𝑚, 𝑢,Δ, 𝜀, 𝑆) uma álgebra de Hopf. Então, para quaisquer𝑔, ℎ ∈ 𝐻, temos

(i) 𝑆(ℎ𝑔) = 𝑆(𝑔)𝑆(ℎ);

(ii) 𝑆(1𝐻) = 1𝐻 ;

(iii) Δ(𝑆(ℎ)) = ∑𝑆(ℎ2) ⊗ 𝑆(ℎ1);

(iv) 𝜀(𝑆(ℎ)) = 𝜀(ℎ).

Demonstração. (i) Considere a k-álgebra 𝐵 = 𝐻𝑜𝑚k(𝐻 ⊗𝐻,𝐻) com o produto convolu-ção. Sejam 𝐹,𝐺,𝑀 : 𝐻 ⊗𝐻 −→ 𝐻 dadas por 𝐹 (ℎ⊗ 𝑔) = 𝑆(𝑔)𝑆(ℎ), 𝐺(ℎ⊗ 𝑔) = 𝑆(ℎ𝑔) e𝑀(𝑔 ⊗ ℎ) = 𝑔ℎ para quaisquer 𝑔, ℎ ∈ 𝐻. Vamos provar que 𝑀 é a inversa à esquerda de𝐹 e é a inversa à direita de 𝐺. Dados 𝑔, ℎ ∈ 𝐻, então

(𝑀 * 𝐹 )(𝑔 ⊗ ℎ) =∑

𝑀((𝑔 ⊗ ℎ)1)𝐹 ((𝑔 ⊗ ℎ)2) =∑

𝑀(𝑔1 ⊗ ℎ1)𝐹 (𝑔2 ⊗ ℎ2)

=∑

(𝑔1ℎ1)(𝑆(ℎ2)𝑆(𝑔2)) =∑

𝑔1𝜀(ℎ)1𝐻𝑆(𝑔2) = 𝜀(ℎ)𝜀(𝑔)1𝐻= 𝜀𝐻⊗𝐻(𝑔 ⊗ ℎ)1𝐻 = 𝜀𝐻⊗𝐻(𝑔 ⊗ ℎ)𝑢(1k) = (𝑢𝐻 ∘ 𝜀𝐻⊗𝐻)(𝑔 ⊗ ℎ)


Por outro lado,

(𝐺 *𝑀)(𝑔 ⊗ ℎ) =∑

𝐺((𝑔 ⊗ ℎ)1)𝑀((𝑔 ⊗ ℎ)2) =∑

𝐺(𝑔1 ⊗ ℎ1)𝑀(𝑔2 ⊗ ℎ2)

=∑

𝑆(𝑔1ℎ1)((ℎ2)(𝑔2)) =∑

𝑆((𝑔ℎ)1)((𝑔ℎ)2) = 𝜀(𝑔ℎ)1𝐻= 𝜀(𝑔)𝜀(ℎ)1𝐻 = 𝜀𝐻⊗𝐻(𝑔 ⊗ ℎ)1𝐻 = 𝜀𝐻⊗𝐻(𝑔 ⊗ ℎ)𝑢(1k)

= (𝑢𝐻 ∘ 𝜀𝐻⊗𝐻)(𝑔 ⊗ ℎ)

Portanto, 𝐹 = 𝐺.

(ii) Como Δ(1𝐻) = 1𝐻⊗𝐻 , temos que 𝑆(1𝐻)1𝐻 = 𝜀(1𝐻) = 1k1𝐻 = 1𝐻 .

Os itens (iii) e (iv) são feitos de maneira análoga.

Observamos que os itens (i) e (ii) da proposição acima dizem que 𝑆 é um anti-homomorfismo de k-álgebras, e os itens (iii) e (iv) dizem que 𝑆 é também um anti-homomorfismo de k-coálgebras.

Lema 2.3.23. Seja 𝐻 uma álgebra de Hopf. Então, 𝐺(𝐻) tem estrutura de grupo com amultiplicação induzida de 𝐻.

Demonstração. Como 𝐻 é uma álgebra de Hopf, então Δ : 𝐻 −→ 𝐻 ⊗ 𝐻 é um homo-morfismo de álgebras. Assim, Δ(1𝐻) = 1𝐻 ⊗ 1𝐻 , ou seja, 1𝐻 ∈ 𝐺(𝐻). Se 𝑔 ℎ ∈ 𝐺(𝐻),então

Δ(𝑔ℎ) = Δ(𝑔)Δ(ℎ) = (𝑔 ⊗ 𝑔)(ℎ⊗ ℎ) = 𝑔ℎ⊗ 𝑔ℎ,

consequentemente, 𝑔ℎ ∈ 𝐺(𝐻). Por fim, como 𝑆 é anti-homomorfismo de cóalgebrastemos que, Δ(𝑆(𝑔)) = 𝑆(𝑔) ⊗ 𝑆(𝑔) donde 𝑆(𝑔) ∈ 𝐺(𝐻), para todo 𝑔 ∈ 𝐻. Além disso, se𝑔 ∈ 𝐺(𝐻), então 𝑔−1 = 𝑆(𝑔) ∈ 𝐺(𝐻) pois, pela definição da antípoda 𝑆 temos

𝑆(𝑔)𝑔 = 𝑔𝑆(𝑔) = 𝜀(𝑔)1𝐻 = 1𝐻 ,

Analogamente, 𝑔𝑆(𝑔) = 1𝐻 .

Exemplo 2.3.24. Seja 𝐺(𝐻) o conjunto dos elementos de tipo grupo de uma álgebra deHopf 𝐻. Então, pelo lema acima k𝐺(𝐻) é uma subálgebra de Hopf de 𝐻.

Proposição 2.3.25. Seja 𝑋 um conjunto não vazio. Então, a álgebra livre k⟨𝑋⟩ é umaálgebra de Hopf.

Demonstração. Para mostrarmos que k⟨𝑋⟩ é uma k-álgebra de Hopf precisamos definirΔ, 𝜀 e 𝑆, de tal maneira que Δ e 𝜀 sejam homomorfismos de k-álgebras e 𝑆 seja anti-homomorfismo de k-álgebras e de k-coálgebras. Seja Δ′ : 𝑋 −→ k⟨𝑋⟩ ⊗ k⟨𝑋⟩ a funçãodada por Δ′(𝑥) = 𝑥 ⊗ 1 + 1 ⊗ 𝑥. Pela Definição 2.1.16 existe único homomorfismo deálgebras Δ : k⟨𝑋⟩ −→ k⟨𝑋⟩ ⊗ k⟨𝑋⟩ tal que Δ ∘ 𝛼 = Δ′. Analogamente, existe um único


homomorfismo de k-álgebras 𝜀 : k⟨𝑋⟩ −→ k induzido por 𝜀(𝑥) = 0, para todo 𝑥 ∈ 𝑋.Mostremos que (k⟨𝑋⟩,Δ, 𝜀) é uma k-coálgebra, ou seja, que valem as seguintes igualdades(Δ ⊗ 𝐼𝑑) ∘ Δ = (𝐼𝑑⊗ Δ) ∘ Δ, ((𝜀⊗ 𝐼𝑑) ∘ Δ)(𝑥) = 1k ⊗ 𝑥 e ((𝐼𝑑⊗ 𝜀 ∘ Δ)(𝑥) = 𝑥⊗ 1k paratodo 𝑥 ∈ k⟨𝑋⟩. Basta provar que estas valem para os elementos da base de k⟨𝑋⟩. Seja𝑥 ∈ 𝑋, então

(Δ ⊗ 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩)(Δ(𝑥)) = (Δ ⊗ 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩)(𝑥⊗ 1 + 1 ⊗ 𝑥)

= Δ(𝑥) ⊗ 1 + Δ(1) ⊗ 𝑥 = (𝑥⊗ 1 + 1 ⊗ 𝑥) ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ 𝑥

= 𝑥⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ 𝑥⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ 𝑥.

Por outro lado,

(𝐼𝑑k⟨𝑋⟩ ⊗ Δ)(Δ(𝑥)) = (𝐼𝑑k⟨𝑋⟩ ⊗ Δ)(𝑥⊗ 1 + 1 ⊗ 𝑥)

= 𝑥⊗ Δ(1) + 1 ⊗ Δ(𝑥) = 𝑥⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ (𝑥⊗ 1 + 1 ⊗ 𝑥)

= 𝑥⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ 𝑥⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ 𝑥.

Além disso,

(𝜀⊗ 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩)(Δ(𝑥)) = (𝜀⊗ 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩)(𝑥⊗ 1 + 1 ⊗ 𝑥) = 𝜀(𝑥) ⊗ 1 + 𝜀(1) ⊗ 𝑥 = 1k ⊗ 𝑥.

Analogamente, ((𝐼𝑑k⟨𝑋⟩ ⊗ 𝜀 ∘ Δ)(𝑥) = 𝑥⊗ 1k. Logo k⟨𝑋⟩ é uma coálgebra.

Como Δ e 𝜀 são homomorfismos de álgebras, segue que k⟨𝑋⟩ é uma biálgebra.Resta mostrar que existe uma antípoda para k⟨𝑋⟩. Seja 𝑆 ′ : 𝑋 −→ k⟨𝑋⟩𝑜𝑝 a função defi-nida por 𝑆 ′(𝑥) = −𝑥, para todo 𝑥 ∈ 𝑋. Pela Definição 2.1.16 existe único homomorfismode álgebras 𝑆 : k⟨𝑋⟩ −→ k⟨𝑋⟩𝑜𝑝 tal que 𝑆 ∘𝛼 = 𝑆 ′. Vejamos que 𝑆 é a antípoda de k⟨𝑋⟩,ou seja, que (𝑆 * 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩) = 𝑢 ∘ 𝜀 = (𝐼𝑑k⟨𝑋⟩ *𝑆). Da mesma forma que feito anteriormente,se mostrarmos as igualdades para os elementos de 𝑋, então essas igualdades se estendempara elementos de k⟨𝑋⟩. Seja 𝑥 ∈ 𝑋, então

(𝑆 * 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩)(𝑥) = (𝑚 ∘ (𝑆 ⊗ 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩))(Δ(𝑥)) = (𝑚 ∘ (𝑆 ⊗ 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩))(𝑥⊗ 1 + 1 ⊗ 𝑥)

= 𝑚(𝑆(𝑥) ⊗ 1 + 𝑆(1) ⊗ 𝑥) = 𝑆(𝑥)1 + 1𝑥 = −𝑥+ 𝑥 = 0 = 𝑢(𝜀(𝑥)).

Logo, (𝑆 * 𝐼𝑑k⟨𝑋⟩) = 𝑢 ∘ 𝜀. Analogamente, (𝐼𝑑k⟨𝑋⟩ * 𝑆) = 𝑢 ∘ 𝜀. Portanto, k⟨𝑋⟩ é umaálgebra de Hopf.

A seguir apresentaremos um teorema que garante a injetividade de álgebras deHopf de dimensão finita. Este é um resultado bem conhecido da Teoria de álgebras deHopf. De fato, encontramos na literatura que este vale em uma situação mais geral.Entretanto, enunciaremos a versão mais adequada ao nosso interesse.

Teorema 2.3.26. ([Teorema 1.4.13, SILVA, 2014]) Toda álgebra de Hopf de dimensãofinita é auto-injetiva.


2.3.1 Álgebra de Taft

Nesta subseção mostraremos que a álgebra de Taft introduzida no Exemplo 2.1.20é uma álgebra de Hopf. Para isso, vamos usar os resultados sobre álgebras livres vistosanteriormente, definir o conceito de 𝑞-binomial e provarmos alguns resultados sobre este.Os resultados apresentados nesta subseção podem ser encontrados em (KASSEL, 1995) e(KLIMYK; SCHMUDGEN, 1997).

Para cada 𝑛 ∈ N e 0 = 𝑞 ∈ k, considere

(𝑛)𝑞 = 1 + 𝑞 + ...+ 𝑞𝑛−1.

Se 𝑞 = 1, então claramente (𝑛)𝑞 = 𝑛. Além disso, se 𝑞 = 1, então (𝑛)𝑞 = 𝑞𝑛−1𝑞−1 .

Definição 2.3.27. Seja 𝑛 ∈ N, o 𝑞-fatorial de 𝑛 é dado por

(0)𝑞! = 1, (𝑛)𝑞! = (𝑛)𝑞(𝑛− 1)𝑞...(1)𝑞.

Claramente se 𝑞 = 1, então (𝑛)𝑞! = 𝑛!.

Definição 2.3.28. Seja 𝑛 ∈ N. Para cada 𝑖, 1 ≤ 0 ≤ 𝑛 − 1, o coeficiente 𝑞-binomial de𝑛 é dado por (

𝑛

𝑖

)𝑞

= (𝑛)𝑞!(𝑛− 𝑖)𝑞!(𝑖)𝑞!

.

Além disso,(𝑛0

)𝑞

= 1 =(𝑛𝑛

)𝑞.

Observação 2.3.29. Se 𝑞 é uma raiz 𝑁-ésima primitiva da unidade e 𝑁 |𝑛, então

𝑞𝑛 = 𝑞𝑁𝑘 = (𝑞𝑁)𝑘 = 1,

onde 𝑘 ∈ Z. Consequentemente, (𝑛)𝑞 = 0 e(𝑛𝑖

)𝑞

= 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛− 1.

Proposição 2.3.30. Sejam 𝑛 ∈ N tal que 0 = 𝑞 ∈ k e 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. Então,

𝑞𝑖(𝑛

𝑖

)𝑞

+(

𝑛

𝑖− 1

)𝑞

=(𝑛+ 1𝑖

)𝑞

.

Demonstração. Sejam 𝑛 ∈ N e 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛− 1. Faremos por indução em 𝑛.

Se 𝑛 = 1 então, 𝑖 = 0 e 𝑖 = 1. Assim, para 𝑖 = 0, 𝑞0(

10

)𝑞

= 1. Por outro lado,(20

)𝑞

= 1. Para 𝑖 = 1, temos que 𝑞(

11

)𝑞+(

10

)𝑞

= 𝑞+1. Por outro lado,(

21

)𝑞

= (2)𝑞! = 1+𝑞.Logo, vale para 𝑛 = 1. Suponha o resultado válido para 𝑛 e mostremos que vale para𝑛+ 1.

𝑞𝑖(𝑛

𝑖

)𝑞

+(

𝑛

𝑖− 1

)𝑞

= 𝑞𝑖(𝑛)𝑞!(𝑛− 𝑖)𝑞!(𝑖)𝑞!

+ (𝑛)𝑞!(𝑛− 𝑖+ 1)𝑞!(𝑖− 1)𝑞!

= 𝑞𝑖(𝑛)𝑞!(𝑛− 𝑖+ 1)𝑞 + (𝑛)𝑞!(𝑖)𝑞!(𝑛− 𝑖+ 1)𝑞!(𝑖)𝑞!

= (𝑛)𝑞!(𝑛− 𝑖+ 1)𝑞!(𝑖)𝑞!

(𝑞𝑖(𝑛− 𝑖+ 1)𝑞 + (𝑖)𝑞)


Como 𝑖 ≤ 𝑛 então,

𝑞𝑖(𝑛− 𝑖+ 1)𝑞 + (𝑖)𝑞 = 𝑞𝑖 + 𝑞𝑖+1 + ...+ 𝑞𝑛 + 1 + 𝑞 + ...+ 𝑞𝑖−1 = (𝑛+ 1)𝑞.

Assim,

(𝑛)𝑞!(𝑛− 𝑖+ 1)𝑞!(𝑖)𝑞!

(𝑛+ 1)𝑞 = (𝑛+ 1)𝑞!(𝑛− 𝑖+ 𝑞)𝑞!(𝑖)𝑞!

=(𝑛+ 1𝑖

)𝑞

.

Proposição 2.3.31. Sejam 𝐴 uma k-álgebra e 0 = 𝑞 ∈ k e 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 tais que 𝑥𝑦 = 𝑞𝑦𝑥.Então,

(𝑥+ 𝑦)𝑛 =∑𝑖∈𝐼𝑛

(𝑛

𝑖

)𝑞

𝑦𝑖𝑥𝑛−𝑖.

Demonstração. Faremos por indução em 𝑛. Claramente vale para 𝑛 = 1. Suponhamosque vale para 𝑛 e mostremos que vale para 𝑛+ 1.

(𝑥+ 𝑦)𝑛+1 = (𝑥+ 𝑦)𝑛(𝑥+ 𝑦) = (∑𝑗∈𝐼𝑛

(𝑛

𝑗

)𝑞

𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗)(𝑥+ 𝑦)

=∑𝑗∈𝐼𝑛

(𝑛

𝑗

)𝑞

𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗+1 +∑𝑗∈𝐼𝑛

(𝑛

𝑗

)𝑞

𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗𝑦

=∑𝑗∈𝐼𝑛

(𝑛

𝑗

)𝑞

𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗+1 +∑𝑗∈𝐼𝑛

(𝑛

𝑗

)𝑞

𝑞𝑛−𝑗𝑦𝑗+1𝑥𝑛−𝑗

=⎛⎝(0

𝑛

)𝑞

𝑥𝑛+1 +∑𝑗∈𝐼1,𝑛

(𝑛

𝑗

)𝑞

𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗+1

⎞⎠+⎛⎝(𝑛

𝑛

)𝑞

𝑦𝑛+1 +∑

𝑗∈𝐼𝑛−1

(𝑛

𝑗

)𝑞

𝑞𝑛−𝑗𝑦𝑗+1𝑥𝑛−𝑗

⎞⎠= 𝑥𝑛+1+𝑦𝑛+1+

∑𝑗∈𝐼1,𝑛

(𝑛

𝑗

)𝑞

𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗+1+∑𝑗∈𝐼1,𝑛

(𝑛

𝑗 − 1

)𝑞

𝑞𝑛−𝑗+1𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗+1.

Notemos que,(𝑛𝑗−1

)𝑞

= 𝑛𝑞 !(𝑗−1)𝑞 !(𝑛−𝑗+1)𝑞 ! =

(𝑛

𝑛−𝑗+1

)𝑞

e(𝑛𝑗

)𝑞

=(

𝑛𝑛−𝑗

)𝑞. Assim,

(𝑥+ 𝑦)𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 + 𝑦𝑛+1 +∑𝑗∈𝐼1,𝑛

((

𝑛

𝑛− 𝑗

)𝑞

(𝑛

𝑛− 𝑗 + 1

)𝑞

𝑞𝑛−𝑗+1)𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗+1

= 𝑥𝑛+1 + 𝑦𝑛+1 +∑𝑗∈𝐼1,𝑛

(𝑛+ 1

𝑛− 𝑗 + 1

)𝑞

𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗+1

=∑

𝑗∈𝐼𝑛+1

(𝑛+ 1

𝑛− 𝑗 + 1

)𝑞

𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗+1.

Como(

𝑛+1𝑛−𝑗+1

)𝑞

=(𝑛+1𝑗

)𝑞

então, (𝑥+ 𝑦)𝑛+1 = ∑𝑗∈𝐼𝑛+1

(𝑛+1𝑗

)𝑞𝑦𝑗𝑥𝑛−𝑗+1.


Pelo Exemplo 2.1.20 a álgebra de Taft é definida como o quociente da álgebralivre k⟨𝑋⟩, onde 𝑋 = {𝑔, ℎ}. Considere Δ′ : 𝑋 −→ 𝑇𝑁(𝑞) ⊗ 𝑇𝑁(𝑞), 𝜀′ : 𝑋 −→ k e𝑆 ′ : 𝑋 −→ 𝑇𝑁(𝑞) definidas, respectivamente, por:

Δ′(ℎ) = 1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔, Δ′(𝑔) = 𝑔 ⊗ 𝑔,

𝜀′(ℎ) = 0, 𝜀′(𝑔) = 1,

𝑆 ′(𝑔) = 𝑔𝑛−1, 𝑆 ′(ℎ) = −𝑞−1𝑔𝑛−1ℎ.

Pela propriedade universal das álgebras livres, existem Δ′′ : k⟨𝑋⟩ −→ 𝑇𝑁(𝑞) ⊗ 𝑇𝑁(𝑞),𝜀′′ : k⟨𝑋⟩ −→ k e 𝑆 ′′ : k⟨𝑋⟩ −→ 𝑇𝑁(𝑞)𝑜𝑝 homomorfismos de k-álgebras tais que:

Δ′′ ∘ 𝑖 = Δ′, 𝜀′′ ∘ 𝑖 = 𝜀′ e 𝑆 ′′ ∘ 𝑖 = 𝑆 ′.

Do Exemplo 2.1.20 sabemos que 𝑇𝑁(𝑞) = k⟨𝑋⟩/⟨𝑅⟩, onde 𝑅 = {ℎ𝑁 , 𝑔𝑁 − 1, ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ}.Logo, pela Proposição 2.1.19 resta mostrar que Δ′′(𝑅)=0, 𝜀′′(𝑅)=0 e 𝑆 ′′(𝑅)=0. Vejamosinicialmente que vale para 𝜀′′ e 𝑆 ′′. De fato, 𝜀′′(ℎ𝑔− 𝑞𝑔ℎ)= 𝜀′′(ℎ)𝜀′′(𝑔) − 𝑞𝜀′′(𝑔)𝜀′′(ℎ)) = 0,𝜀′′(𝑔𝑁 −1) = (𝜀′′(𝑔))𝑁 −1 = 0 e 𝜀′′(ℎ𝑁) = (𝜀′′(ℎ))𝑁 = 0. Além disso, pela Proposição 2.1.21(iii) temos

𝑆 ′′(ℎ𝑁) = (𝑆 ′′(ℎ))𝑁 = (−𝑞−1𝑔𝑁−1ℎ)𝑁 = (−1)𝑁𝑞−𝑁𝑞𝑁(𝑁−1)2

2 𝑔𝑁(𝑁−1)ℎ𝑁 = 0,

e,

𝑆 ′′(𝑔𝑁 − 1) = (𝑆 ′′(𝑔))𝑁 − 1 = (𝑔𝑁−1)𝑁 − 1 = (𝑔𝑁)𝑁−1 − 1 = 0.Finalmente,

𝑆 ′′(ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ) = 𝑆 ′′(𝑔)𝑆 ′′(ℎ) − 𝑞(𝑆 ′′(ℎ)𝑆 ′′(𝑔))

= ((−𝑞−1𝑔𝑁−1ℎ)𝑔𝑁−1) − 𝑞((𝑔𝑁−1)(−𝑞−1𝑔𝑁−1ℎ))

= −𝑞−1𝑔𝑁−1ℎ𝑔𝑁−1 + 𝑔𝑁−1(𝑔𝑁−1ℎ)

= −𝑞−1𝑔𝑁−1ℎ𝑔𝑁−1 + 𝑞−1𝑔𝑁−1ℎ𝑔𝑁−1 = 0.

Consequentemente, 𝜀 :𝑇𝑁(𝑞) −→ 𝑇𝑁(𝑞) ⊗ 𝑇𝑁(𝑞) e 𝑆 :𝑇𝑁(𝑞) −→ 𝑇𝑁(𝑞) são homo-morfismo de k-álgebras tais que 𝜀 ∘ 𝜋 = 𝜀′′ e 𝑆 ∘ 𝜋 = 𝑆 ′′. Para mostrar que Δ′′(𝑅) = 0,utilizaremos os resultados sobre o coeficiente 𝑞-binomial.

Notemos que (1⊗ℎ)(ℎ⊗𝑔) = ℎ⊗ℎ𝑔 = ℎ⊗𝑞𝑔ℎ = 𝑞(ℎ⊗𝑔)(1⊗ℎ). Pela Proposição2.3.31 temos

Δ′′(ℎ𝑁) = (Δ′′(ℎ))𝑁 = (1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔)𝑁 =∑𝑖∈𝐼1,𝑁

(𝑁

𝑖

)𝑞

(1 ⊗ ℎ)𝑖(ℎ⊗ 𝑔)𝑁−𝑖

(*)=(𝑁

0

)𝑞

(1 ⊗ ℎ)0(ℎ⊗ 𝑔)𝑁 +(𝑁

𝑁

)𝑞

(1 ⊗ ℎ)𝑁(ℎ⊗ 𝑔)0

= (ℎ⊗ 𝑔)𝑁 + (1 ⊗ ℎ)𝑁 = ℎ𝑁 ⊗ 𝑔𝑁 + 1 ⊗ ℎ𝑁 = 0.


Como 𝑞 é uma raíz 𝑁 -ésima primitiva da unidade, pela Observação 2.3.29(𝑁𝑖

)𝑞

= 0, paratodo 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑁−1, isto foi usado em (*). Além disso,

Δ′′(𝑔𝑁 − 1) = Δ′′(𝑔)𝑁 − Δ′′(1) = (𝑔 ⊗ 𝑔)𝑁 − 1 ⊗ 1

= 𝑔𝑁 ⊗ 𝑔𝑁 − 1 ⊗ 1 = 𝑔𝑁 ⊗ 𝑔𝑁 − 1 ⊗ 𝑔𝑁 + 1 ⊗ 𝑔𝑁 − (1 ⊗ 1)

= (𝑔𝑁 − 1) ⊗ 𝑔𝑁 + 1 ⊗ (𝑔𝑁 − 1) = 0.

Finalmente,

Δ′′(ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ) = Δ′′(ℎ)Δ′′(𝑔) − 𝑞(Δ′′(𝑔)Δ′′(ℎ))

= (1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔)(𝑔 ⊗ 𝑔) − 𝑞((𝑔 ⊗ 𝑔)(1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔))

= 𝑔 ⊗ ℎ𝑔 + ℎ𝑔 ⊗ 𝑔2 − 𝑔 ⊗ 𝑞𝑔ℎ− 𝑞𝑔ℎ⊗ 𝑔2

= (ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ) ⊗ 𝑔2 + 𝑔 ⊗ (ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ) = 0.

Assim, existe único homomorfismo de álgebras Δ : 𝑇𝑁(𝑞) −→ 𝑇𝑁(𝑞) ⊗ 𝑇𝑁(𝑞) tal queΔ ∘ 𝜋 = Δ′′. Para que 𝑇𝑁(𝑞) seja uma k-coálgebra, resta mostrar que Δ é coassociativa e𝜀 satisfaz a propriedade da counidade. É suficiente provarmos para 𝑋 = {𝑔, ℎ}. De fato,para ℎ ∈ 𝑋 temos:

(𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) ⊗ Δ)(Δ(ℎ)) = (𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) ⊗ Δ)(1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔)

= 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞)(1) ⊗ Δ(ℎ) + 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞)(ℎ) ⊗ Δ(𝑔)

= 1 ⊗ (1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔) + ℎ⊗ 𝑔 ⊗ 𝑔

= 1 ⊗ 1 ⊗ ℎ+ 1 ⊗ ℎ⊗ 𝑔 + ℎ⊗ 𝑔 ⊗ 𝑔.

Por outro lado,

(Δ ⊗ 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞))(Δ(ℎ)) = (Δ ⊗ 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞))(1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔)

= Δ(1) ⊗ 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞)(ℎ) + Δ(ℎ) ⊗ 𝐼𝑑𝑇𝑛(𝑞)(𝑔)

= 1 ⊗ 1 ⊗ ℎ+ (1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔) ⊗ 𝑔

= 1 ⊗ 1 ⊗ ℎ+ 1 ⊗ ℎ⊗ 𝑔 + ℎ⊗ 𝑔 ⊗ 𝑔

Mais ainda,

(𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) ⊗ 𝜀)(Δ(ℎ)) = (𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) ⊗ 𝜀)(1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔)

= 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞)(1) ⊗ 𝜀(ℎ) + 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞)(ℎ) ⊗ 𝜀(𝑔) = ℎ⊗ 1k.

Analogamente, (𝜀⊗ 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞))(Δ(ℎ)) = 1k ⊗ ℎ.

Para ℎ ∈ 𝑋,

(𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) * 𝑆)(ℎ) = (𝑚 ∘ (𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) ⊗ 𝑆))(1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔)

= 𝑚((𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) ⊗ 𝑆)(1 ⊗ ℎ) + (𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) ⊗ 𝑆)(ℎ⊗ 𝑔))

= 𝑆(ℎ) + ℎ𝑆(𝑔) = (−𝑞−1𝑔𝑁−1ℎ) + ℎ𝑔𝑁−1

= −𝑞−1𝑔𝑁−1ℎ+ 𝑞−1𝑔𝑁−1ℎ = 0 = 𝜀(ℎ) = (𝑢 ∘ 𝜀)(ℎ).


Analogamente, (𝑆 * 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞))(ℎ) = (𝑢 ∘ 𝜀)(ℎ).

Para 𝑔 ∈ 𝑋,

(𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) * 𝑆)(𝑔) = (𝑚 ∘ (𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞) ⊗ 𝑆))(𝑔 ⊗ 𝑔) = 𝑔𝑆(𝑔) = 𝑔𝑔𝑛−1

= 𝑔𝑛 = 1 = 𝜀(𝑔) = (𝑢 ∘ 𝜀)(𝑔).

Da mesma forma, (𝑆 * 𝐼𝑑𝑇𝑁 (𝑞))(𝑔) = (𝑢 ∘ 𝜀)(𝑔). Logo 𝑆 é a antípoda de 𝑇𝑁(𝑞), e portanto𝑇𝑁(𝑞) é uma álgebra de Hopf.

Observação 2.3.32. (i) Pelo Lema 2.1.21 (i) sabemos que, {𝑔𝑖ℎ𝑗 | 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1} formauma base para 𝑇𝑁(𝑞) sobre k, então 𝑑𝑖𝑚k𝑇𝑁(𝑞) = 𝑁2. Assim, pelo Teorema 2.3.26,𝑇𝑁(𝑞) é auto-injetiva. Além disso, como (1 ⊗ ℎ)(ℎ⊗ 𝑔) = ℎ⊗ ℎ𝑔 = 𝑞(ℎ⊗ 𝑔)(1 ⊗ ℎ),então pela Proposição 2.3.31 temos que Δ(𝑔𝑖ℎ𝑗) = ∑

𝑙∈𝐼𝑗

(𝑗𝑙

)𝑞𝑔𝑖ℎ𝑙 ⊗ 𝑔𝑖+𝑙ℎ𝑗−𝑙, para

quaisquer 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1.

(ii) Claramente ⟨ℎ⟩ é um ideal de Hopf de 𝑇𝑁(𝑞).

A próxima proposição mostra que o conjunto dos elementos de tipo grupo de 𝑇𝑁(𝑞)é um grupo cíclico.

Proposição 2.3.33. O conjunto 𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) formado pelos elementos de tipo grupo de𝑇𝑁(𝑞) é um grupo cíclico gerado por 𝑔.

Demonstração. Como Δ é multiplicativa, então toda potência de 𝑔 pertence a 𝐺(𝑇𝑁(𝑞)).Reciprocamente, seja 𝑎 = ∑

𝑖,𝑗∈𝐼𝑁−1 𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗 ∈ 𝐺(𝑇𝑁(𝑞)). Pela Observação 2.3.32 (ii) segue

que

Δ(𝑎) =∑


∑𝑙∈𝐼𝑗

(𝑗

𝑙

)𝑞

𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑙 ⊗ 𝑔𝑖+𝑙𝑙ℎ𝑗−𝑙.

Por outro lado,

Δ(𝑎) = 𝑎⊗ 𝑎 =∑


𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗 ⊗

∑𝑘,𝑙∈𝐼𝑁−1

𝛼𝑘𝑙𝑔𝑘ℎ𝑙 =

∑𝑖,𝑗,𝑘,𝑙∈𝐼𝑁−1

𝛼𝑖𝑗𝛼𝑘,𝑙𝑔𝑖ℎ𝑗 ⊗ 𝑔𝑘ℎ𝑙. (2.1)

Como {𝑔𝑖ℎ𝑗 ⊗ 𝑔𝑘ℎ𝑙 | 0 ≤ 𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 ≤ 𝑁 − 1} é uma base de 𝑇𝑁(𝑞) ⊗ 𝑇𝑁(𝑞), então tomando𝑖 = 𝑘 e 𝑗 = 𝑙 ≥ 1, temos que 𝛼2

𝑖𝑗 = 0, pois o termo 𝑔𝑖ℎ𝑗 ⊗ 𝑔𝑖ℎ𝑗 não ocorre na primeiraparcela da igualdade acima. Logo, 𝛼𝑖𝑗 = 0 para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1 e 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁−1. Logo,𝑎 = ∑

𝑖 𝛼𝑖0𝑔𝑖 e de (2.1) temos ∑𝑖∈𝐼𝑁−1 𝛼𝑖0𝑔

𝑖 ⊗ 𝑔𝑖 = ∑𝑖,𝑠∈𝐼1,𝑁−1 𝛼𝑖0𝛼𝑠0𝑔

𝑖 ⊗ 𝑔𝑠. Note que se𝑖 = 𝑠, então 𝛼2

𝑖0 = 𝛼𝑖0 para todo 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑁−1. Se 𝛼𝑖0 = 0 para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1, então 𝑎 = 0, oque é uma contradição. Logo, existe algum 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1 tal que 𝛼𝑖0 = 1. Mais ainda, existeúnico 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1 tal que 𝛼𝑖0 = 1, pois se 𝑠 = 𝑖 temos que 𝛼𝑖𝑜𝛼𝑠0 = 0, e consequentemente𝛼𝑠0 = 0. Portanto, 𝑎 = 𝛼𝑖0𝑔

𝑖 = 𝑔𝑖.


2.3.2 O Teorema de Maschke

Nesta subseção introduziremos o conceito de integral em uma álgebra de Hopf como objetivo de demonstrar o teorema de Maschke para álgebras de Hopf de dimensão finita,o qual apresenta uma caracterização para álgebras de Hopf semissimples. Os resultadosapresentados nesta subseção podem ser encontrados em (DASCALESCUS; RAIANU;NASTASESCUS, 2001), (RADFORD, 2012) e (SCHNEIDER, 1995).

Definição 2.3.34. Seja 𝐻 uma álgebra de Hopf. Uma integral à esquerda em 𝐻 é umelemento 𝑡 ∈ 𝐻 que satisfaz ℎ𝑡 = 𝜀(ℎ)𝑡, para todo ℎ ∈ 𝐻. Denotamos por

∫ 𝑙𝐻 o conjunto

dos elementos integrais à esquerda em 𝐻. Analogamente, podemos definir uma integral àdireita em 𝐻.

Observação 2.3.35. O conjunto das integrais em 𝐻 é um ideal de 𝐻. De fato, sejam𝑡 ∈

∫ 𝑙𝐻 e 𝑘, ℎ ∈ 𝐻 então,

𝑘(𝑡ℎ) = (𝑘𝑡)ℎ = (𝜀(𝑘)𝑡)ℎ = 𝜀(𝑘)𝑡ℎ,

ou seja, 𝑡ℎ ∈∫ 𝑙𝐻 . Analogamente, ℎ𝑡 ∈

∫ 𝑙𝐻 . Portanto,

∫ 𝑙𝐻 é um ideal de 𝐻. Similarmente,∫ 𝑟

𝐻 o conjunto das integrais à direita de 𝐻, é um ideal de 𝐻.

Exemplo 2.3.36. Seja (𝐺, ·) um grupo multiplicativo finito e considere a álgebra de Hopfk𝐺. Então, 𝑡 = ∑

𝑔∈𝐺 𝑔 é um elemento integral à esquerda e à direita em k𝐺. Com efeito,seja ℎ ∈ 𝐺, então

ℎ𝑡 = ℎ∑𝑔∈𝐺

𝑔 =∑𝑔∈𝐺

ℎ𝑔 =∑𝑙∈𝐺

𝑙 = 𝑡.

Por outro lado, temos que 𝑡 = 1k𝑡 = 𝜀(ℎ)𝑡. Logo, ℎ𝑡 = 𝜀(ℎ)𝑡, para todo ℎ ∈ 𝐺. Analoga-mente, 𝑡ℎ = 𝜀(ℎ)𝑡, para todo ℎ ∈ 𝐺.

O resultado a seguir é conhecido como Teorema de Larson-Sweedler, e nos diz que oespaço das integrais tem dimensão 1 e que a antípoda é bijetora, quando 𝐻 tem dimensãofinita. Optamos por não apresentar sua demonstração, pois a mesma demandaria exibiralguns resultados auxiliares. A demonstração pode ser vista em (SCHNEIDER, 1995).

Teorema 2.3.37. ([Teorema 2.3, SCHNEIDER, 1995]) Seja 𝐻 álgebra de Hopf de di-mensão finita. Então:

(i) dim(∫ 𝑙𝐻) = dim(

∫ 𝑟𝐻) = 1;

(ii) A antípoda 𝑆 é bijetora e 𝑆(∫ 𝑙𝐻) =

∫ 𝑟𝐻 ;

(iii) Para todo 0 = 𝜆 ∈∫ 𝑙𝐻*, a aplicação 𝜃 : 𝐻 −→ 𝐻*, dada por 𝜃(ℎ) = ℎ𝜆 é um

isomorfismo de k-espaços vetoriais.


Observação 2.3.38. Seja 𝐺 um grupo multiplicativo finito. O teorema acima nos garanteque qualquer outra integral em k𝐺 é múltipla escalar de 𝑡 = ∑

𝑔∈𝐺 𝑔.

Definição 2.3.39. Seja 𝐻 uma álgebra de Hopf. Dizemos que 𝐻 é uma álgebra de Hopfsemissimples se 𝐻𝐻 é semissimples.

A observação a seguir será necessária para a demonstração do Teorema de Maschke.

Observação 2.3.40. Seja 𝐻 uma álgebra de Hopf. Sabemos que 𝐻 é um 𝐻-móduloà esquerda via multiplicação de 𝐻 e notemos que k é um 𝐻-módulo à esquerda via 𝜀,ou seja, ℎ𝜆 = 𝜀(ℎ)𝜆, para quaisquer ℎ ∈ 𝐻 e 𝜆 ∈ k. Assim, 𝜀 é um homomorfismo de𝐻-módulos à esquerda. Com efeito, 𝜀(ℎ𝑔) = 𝜀(ℎ)𝜀(𝑔) = ℎ𝜀(𝑔), para quaisquer ℎ, 𝑔 ∈ 𝐻.

Teorema 2.3.41. ([Teorema de Maschke]) Seja 𝐻 uma álgebra de Hopf de dimensãofinita 𝑛. Então, 𝐻 é semissimples se e somente se 𝜀(𝑡) = 0, para algum 𝑡 ∈

∫ 𝑙𝐻 .

Demonstração. Suponhamos que 𝐻 seja semissimples. Como 𝐻 é uma álgebra de Hopf,então 𝜀 :𝐻 −→ k é um homomorfismo de álgebras. Além disso, pelo Exemplo 2.3.40 𝜀 éum homomorfismo de 𝐻-módulos à esquerda. Assim, 𝑁 = 𝐾𝑒𝑟(𝜀) é um 𝐻-submóduloà esquerda e pelo teorema do núcleo e da imagem, segue que 𝑑𝑖𝑚k𝑁 = 𝑛 − 1. Como𝐻 é semissimples, existe 𝐼 submódulo à esquerda de 𝐻 tal que 𝐻 = 𝑁 ⊕ 𝐼. Assim,𝑑𝑖𝑚k𝐻 = 𝑑𝑖𝑚k𝑁 + 𝑑𝑖𝑚k𝐼, ou seja, 𝑑𝑖𝑚k𝐼 = 1. Notemos que 1𝐻 = 𝑔 + 𝑡, com 𝑔 ∈ 𝑁 ,0 = 𝑡 ∈ 𝐼, pois 1𝐻 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜀). Consequentemente, 𝐼 = k𝑡. Vejamos que, 𝑡 ∈

∫ 𝑙𝐻 . Seja

ℎ ∈ 𝐻 então ℎ𝑡 = 0+ℎ𝑡. Por outro lado, ℎ𝑡 = ℎ𝑡−𝜀(ℎ)𝑡+𝜀(ℎ)𝑡. Notemos que 𝜀(ℎ)𝑡 ∈ 𝐼 eℎ𝑡−𝜀(ℎ)𝑡 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜀), pois 𝜀(ℎ𝑡−𝜀(ℎ)𝑡) = 𝜀(ℎ𝑡)−𝜀(ℎ)𝜀(𝑡) = 𝜀(ℎ)𝜀(𝑡)−𝜀(ℎ)𝜀(𝑡) = 0. Como𝐻 = 𝑁 ⊕ 𝐼 segue que ℎ𝑡 = 𝜀(ℎ)𝑡. Assim, 𝑡 ∈

∫ 𝑙𝐻 . Como 𝐼 é precisamente o complemento

de 𝑁 então 𝜀(𝑡) = 0.

Reciprocamente, suponhamos que exista 𝑡 ∈∫ 𝑙𝐻 tal que 𝜀(𝑡) = 0. Podemos supor

que, 𝜀(𝑡) = 1k. Usaremos esse elemento para mostrar que todo 𝐻-módulo à esquerdaé semissimples. Seja 𝑀 um 𝐻-módulo à esquerda e 𝑁 um submódulo à esquerda de𝑀 . Considere 𝜋 : 𝑀 −→ 𝑁 a projeção canônica de k-espaços vetoriais de 𝑀 sobre 𝑁 .Definimos Π : 𝑀 −→ 𝑁 por Π(𝑚) = ∑

𝑡1𝜋(𝑆(𝑡2)𝑚), para todo 𝑚 ∈ 𝑀 . Temos que Π éum homomorfismo de 𝐻-módulos à esquerda, pois dado 𝑚 ∈ 𝑀 e ℎ ∈ 𝐻:

ℎΠ(𝑚) = ℎ(∑

𝑡1𝜋(𝑆(𝑡2)𝑚)) =∑

ℎ𝑡1𝜋(𝑆(𝑡2)𝑚)

=∑

ℎ1𝜀(ℎ2)𝑡1𝜋(𝑆(𝑡2)𝑚) =∑

ℎ1𝑡1𝜋(𝑆(𝑡2)𝜀(ℎ2)𝑚)

=∑

ℎ1𝑡1𝜋(𝑆(𝑡2)𝑆(ℎ2)ℎ3𝑚) =∑

ℎ1𝑡1𝜋(𝑆(ℎ2𝑡2)ℎ3𝑚)

=∑

(ℎ1𝑡)1𝜋(𝑆(ℎ1𝑡)2ℎ2𝑚).

Como 𝑡 ∈∫𝐻𝑙 então, Δ(ℎ1𝑡) = Δ(𝜀(ℎ1)𝑡) = (𝜀(ℎ1)𝑡1) ⊗ 𝑡2. Logo, 𝜀(ℎ1)𝑡1 = (ℎ1𝑡)1 e

𝑡2 = (ℎ1𝑡)2. Assim,


∑(𝜀(ℎ1)𝑡)1𝜋(𝑆((𝜀(ℎ1)𝑡)2ℎ2𝑚) =

∑𝑡1𝜋(𝑆(𝜀(ℎ1)𝑡2)ℎ2𝑚)

=∑

𝑡1𝜋(𝑆(𝑡2)𝜀(ℎ1)ℎ2𝑚)

=∑

𝑡1𝜋(𝑆(𝑡2)ℎ𝑚) = Π(ℎ𝑚).

Portanto, ℎΠ(𝑚) = Π(ℎ𝑚). Além disso, se 𝑛 ∈ 𝑁 , então

Π(𝑛) =∑

𝑡1𝜋(𝑆(𝑡2)𝑛) =∑

𝑡1𝑆(𝑡2)𝑛 =(∑

𝑡1𝑆(𝑡2))𝑛 =𝜀(𝑡)1𝐻𝑛 = 𝑛.

Logo, Π é projeção sobre 𝑁 como 𝐻-módulo à esquerda. Vejamos que, 𝑀 = 𝑁⊕𝐾𝑒𝑟(Π),como 𝐻-módulos à esquerda. Com efeito, seja 𝑚 ∈ 𝑀 então 𝑚 = 𝑚 − Π(𝑚) + Π(𝑚),onde Π(𝑚) ∈ 𝑁 e 𝑚− Π(𝑚) ∈ 𝐾𝑒𝑟(Π), pois

Π(𝑚− Π(𝑚)) = Π(𝑚) − Π2(𝑚) = Π(𝑚) − Π(𝑚) = 0.

Agora, se 𝑥 ∈ 𝑁 ∩𝐾𝑒𝑟(Π) temos que 𝑥 = Π(𝑦), para algum 𝑦 ∈ 𝑀 e Π(𝑥) = 0, donde

0 = Π(𝑥) = Π(Π(𝑦)) = Π2(𝑦) = Π(𝑦) = 𝑥.

Logo, 𝑥 = 0 e consequentemente, 𝐻 é uma álgebra de Hopf semissimples.

Corolário 2.3.42. Seja 𝐺 um grupo multiplicativo finito. Então, k𝐺 é uma álgebrasemissimples se e somente se a característica de k não divide a ordem de 𝐺.

Demonstração. Pela Observação 2.3.38 sabemos que,∫ 𝑙k𝐺 =

∫ 𝑟k𝐺 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑡}, 𝑡 = ∑

𝑔∈𝐺 𝑔.Assim,

𝜀(𝑡) = 𝜀(∑𝑔∈𝐺

𝑔) =∑𝑔∈𝐺

𝜀(𝑔) =∑𝑔∈𝐺

1k = |𝐺|1k,

onde |𝐺| é a ordem do grupo. Pelo Teorema de Maschke, k𝐺 é semissimples se e somentese a característica de k não divide a ordem de 𝐺.

Proposição 2.3.43. A álgebra de grupo k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) é semissimples.

Demonstração. Pelo Proposição 2.3.33 sabemos que 𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) é o grupo cíclico geradopor 𝑔. Como k contém uma raíz 𝑁 -ésima primitiva da unidade, então 𝑐(k) não divide 𝑁 ,donde segue pelo Corolário 2.3.42 que k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) é semissimples.

2.3.3 O anel de Green de uma álgebra de Hopf

Nesta subseção apresentaremos uma construção para o anel de Green de uma ál-gebra de Hopf de dimensão finita 𝐻. Com este objetivo, iniciaremos enunciando umaproposição clássica que garante a existência de um grupo abeliano livre a partir de ummonóide, a qual será fundamental para provarmos que o anel de Green é um grupo abeli-ano. Os resultados apresentados nesta seção podem ser encontrados em (ARMSTRONG,1988) e (LANG, 2002).


Proposição 2.3.44. Seja Γ um monóide comutativo. Então, existe um grupo abeliano𝐾(Γ) e um homomorfismo de monóides 𝛾 : Γ −→ 𝐾(Γ) com a seguinte propriedadeuniversal: para qualquer par (𝐺, 𝑓), onde 𝐺 é um grupo abeliano e 𝑓 : Γ −→ 𝐺 é umhomomorfismo de monóides, existe um único homomorfismo de grupos 𝑓 :𝐾(Γ) −→ 𝐺 talque 𝑓 ∘ 𝛾 = 𝑓 .

Seja 𝐻 uma álgebra de Hopf de dimensão finita. Considere 𝒞 o conjunto de todosos 𝐻-módulos à esquerda finitamente gerados. Definimos a seguinte relação sobre 𝒞

𝑀 ∼ 𝑁 se e somente se 𝑀 ≃ 𝑁,

para quaisquer 𝑀,𝑁 ∈ 𝒞. Claramente ∼ é uma relação de equivalência sobre 𝒞. Assim,podemos considerar [𝑀 ] = {𝑀 ∈ 𝒞 | 𝑀 ∼ 𝑁}, a classe de equivalência de um elemento𝑀 ∈ 𝒞, e o quociente 𝒞/ ∼ = {[𝑀 ] |𝑀 ∈ 𝒞}.

Lema 2.3.45. O conjunto quociente 𝒞/ ∼ é um monóide comutativo com a seguinteoperação [𝑀 ] + [𝑁 ] = [𝑀 ⊕𝑁 ].

Demonstração. Sejam [𝑀 ], [𝑁 ], [𝑀 ′] 𝑒 [𝑁 ′] ∈ 𝒞/ ∼ tais que [𝑀 ] = [𝑀 ′] e [𝑁 ] = [𝑁 ′].Assim, existem 𝑓 : 𝑀 −→ 𝑀 ′ e 𝑔 : 𝑁 −→ 𝑁 ′ isomorfismos de 𝐻-módulos à esquerda.Definimos 𝜓 : 𝑀 ⊕ 𝑁 −→ 𝑀 ′ ⊕ 𝑁 ′ por 𝜓(𝑚,𝑛) = (𝑓(𝑚), 𝑔(𝑛)), para quaisquer 𝑚 ∈ 𝑀

e 𝑛 ∈ 𝑁 . Claramente 𝜓 é um isomorfismo de 𝐻-módulos à esquerda. Assim, temos que[𝑀 ⊕𝑁 ] = [𝑀 ′ ⊕𝑁 ′], ou seja, a operação está bem definida. Além disso, é fácil ver que

𝑀 ⊕ {0} ≃ 𝑀,𝑀 ⊕ (𝑁 ⊕ 𝐿) ≃ (𝑀 ⊕𝑁) ⊕ 𝐿 e 𝑀 ⊕𝑁 ≃ 𝑁 ⊕𝑀,

para quaisquer 𝑀,𝑁 e 𝐿 ∈ 𝒞. Portanto, [𝑀 ] + [{0}] = [𝑀 ], [𝑀 ] + [𝑁 ] = [𝑁 ] + [𝑀 ] e[𝑀 ] + ([𝑁 ] + [𝐿]) = ([𝑀 ] + [𝑁 ]) + [𝐿], para quaisquer [𝑀 ], [𝑁 ] e [𝐿] ∈ 𝒞/ ∼.

Considerando Γ = 𝒞/ ∼, então pela Proposição 2.3.44, existe um grupo abeliano𝐾(Γ) e um homomorfismo de monóides 𝛾 :Γ −→ 𝐾(Γ) que satisfaz a propriedade univer-sal. Denotaremos 𝐾(Γ) por 𝑟(𝐻). Vejamos que 𝑟(𝐻) possui uma estrutura de anel. Paratanto, necessitamos dos seguintes resultados.

Lema 2.3.46. Sejam 𝐻 uma álgebra de Hopf, 𝑀 e 𝑁 𝐻-módulos à esquerda. Então,𝑀 ⊗𝑁 é um 𝐻-módulo à esquerda via Δ.

Demonstração. Vejamos que (ℎℎ′)(𝑚 ⊗ 𝑛) = ℎ(ℎ′(𝑚 ⊗ 𝑛)) e 1𝐻(𝑚 ⊗ 𝑛) = 𝑚 ⊗ 𝑛, paraquaisquer ℎ, ℎ′ ∈ 𝐻 e 𝑚⊗ 𝑛 ∈ 𝑀 ⊗𝑁 , onde ℎ(𝑚⊗ 𝑛) = ∑

ℎ1𝑚⊗ ℎ2𝑛. De fato,

(ℎℎ′)(𝑚⊗ 𝑛) =∑

(ℎℎ′)1𝑚⊗ (ℎℎ′)2𝑛 =∑

ℎ1ℎ′1𝑚⊗ ℎ2ℎ

′2𝑛

= ℎ(∑

ℎ′1𝑚⊗ ℎ′

2𝑛) = ℎ(ℎ′(𝑚⊗ 𝑛)),


pois usamos na segunda igualdade que Δ é multiplicativa. Além disso,

1𝐻(𝑚⊗ 𝑛) =∑

1𝐻𝑚⊗ 1𝐻𝑛 = 1𝐻𝑚⊗ 1𝐻𝑛 = 𝑚⊗ 𝑛.

Proposição 2.3.47. Sejam 𝐻 uma álgebra de Hopf, 𝑀,𝑁,𝐿 𝐻-módulos à esquerda.Então, temos os seguintes isomorfismos de 𝐻-módulos à esquerda.

(i) 𝑀 ⊗ k ≃ 𝑀 ≃ k⊗𝑀 ;

(ii) 𝑀 ⊗ (𝑁 ⊗ 𝐿) ≃ (𝑀 ⊗𝑁) ⊗ 𝐿;

(iii) 𝑀 ⊗ (𝑁 ⊕ 𝐿) ≃ (𝑀 ⊗𝑁) ⊕ (𝑀 ⊗ 𝐿).

Demonstração. Lembremos que, pela Observação 2.3.40, k é um 𝐻-módulo à esquerdavia 𝜀. Além disso, pelo Lema (2.3.46) o produto tensorial de 𝐻-módulos à esquerda é um𝐻-módulo à esquerda.

(i) Seja 𝜑 : 𝑀 ⊗ k −→ 𝑀 dado por 𝜑(𝑚⊗ 1k) = 𝑚. Como 𝜑 é isomorfismo de k-espaçosvetoriais, resta ver que 𝜑 é um homomorfismo de 𝐻-módulos à esquerda. Seja ℎ ∈ 𝐻,então

𝜑(ℎ(𝑚⊗ 1k)) = 𝜑(ℎ1𝑚⊗ ℎ21k) =∑

𝜑(ℎ1𝑚⊗ 𝜀(ℎ2)) =∑

𝜑(𝜀(ℎ2)ℎ1𝑚⊗ 1k)

=∑

(𝜀(ℎ2)ℎ1)𝑚 = ℎ𝑚 = ℎ𝜑(𝑚⊗ 1k).

Analogamente, k⊗𝑀 ≃ 𝑀 .

(ii) Considere 𝜓 : 𝑀 ⊗ (𝑁 ⊗𝐿) −→ (𝑀 ⊗𝑁) ⊗𝐿 dada por 𝜓(𝑚⊗ (𝑛⊗ 𝑣)) = (𝑚⊗𝑛) ⊗ 𝑣,para quaisquer 𝑚 ∈ 𝑀 , 𝑛 ∈ 𝑁 e 𝑣 ∈ 𝐿. Como 𝜓 é um isomorfismo de k-espaços vetoriais,resta ver que 𝜓 é um homomorfismo de 𝐻-módulos à esquerda. Seja ℎ ∈ 𝐻, então

ℎ𝜑(𝑚⊗ (𝑛⊗ 𝑣)) = ℎ((𝑚⊗ 𝑛) ⊗ 𝑣) =∑

ℎ1(𝑚⊗ 𝑛) ⊗ ℎ2𝑣

=∑

ℎ11𝑚⊗ ℎ12𝑛⊗ ℎ2𝑣 =∑

ℎ1𝑚⊗ ℎ2𝑛⊗ ℎ3𝑣.

Por outro lado,

𝜑(ℎ(𝑚⊗ 𝑛) ⊗ 𝑣) = 𝜑(∑

ℎ1(𝑚⊗ 𝑛) ⊗ ℎ2𝑣)

=∑

𝜑((ℎ11𝑚⊗ ℎ12𝑛) ⊗ ℎ2𝑣)

=∑

ℎ11𝑚⊗ (ℎ12𝑛⊗ ℎ2𝑣) =∑

ℎ1𝑚⊗ ℎ2𝑛⊗ ℎ3𝑣,

para quaisquer 𝑚 ∈ 𝑀 , 𝑛 ∈ 𝑁 e 𝑣 ∈ 𝐿.

(iii) Seja 𝜙 : 𝑀 ⊗ (𝑁 ⊕𝐿) −→ 𝑀 ⊗𝑁 ⊕𝑀 ⊗𝐿 dada por 𝜙(𝑚⊗ (𝑛, 𝑣)) = (𝑚⊗𝑛,𝑚⊗ 𝑣),para quaisquer 𝑚 ∈ 𝑀 , 𝑛 ∈ 𝑁 e 𝑣 ∈ 𝐿. Como 𝜙 é um isomorfismo de k-espaços vetoriais,


resta ver que 𝜙 é um homomorfismo de 𝐻-módulos à esquerda. Seja ℎ ∈ 𝐻, então

𝜙(ℎ(𝑚⊗ (𝑛, 𝑣))) = 𝜙(∑

ℎ1𝑚⊗ ℎ2(𝑛, 𝑣)) =∑

𝜙(ℎ1𝑚⊗ (ℎ2𝑛, ℎ2𝑣))

=∑

(ℎ1𝑚⊗ ℎ2𝑛, ℎ1𝑚⊗ ℎ2𝑣) = (ℎ(𝑚⊗ 𝑛), ℎ(𝑚⊗ 𝑣))

= ℎ(𝑚⊗ 𝑛,𝑚⊗ 𝑣) = ℎ𝜙(𝑚⊗ (𝑛, 𝑣)),

para quaisquer 𝑚 ∈ 𝑀 , 𝑛 ∈ 𝑁 e 𝑣 ∈ 𝐿.

Observação 2.3.48. Sejam 𝑀,𝑁 𝐻-módulos à esquerda, Em geral, 𝑀 ⊗ 𝑁 não é iso-morfo à 𝑁⊗𝑀 como 𝐻-módulos à esquerda. Porém, pelo menos para uma classe especialde álgebras de Hopf, as álgebras de Hopf quase-triangulares, temos que 𝑀 ⊗𝑁 ≃ 𝑁 ⊗𝑀

como 𝐻-módulos à esquerda.

Proposição 2.3.49. O grupo abeliano 𝑟(𝐻) é um anel com unidade com a seguinteoperação [𝑀 ][𝑁 ] = [𝑀 ⊗𝑁 ].

Demonstração. Inicialmente provemos que a operação dada está bem definida. Sejam[𝑀 ], [𝑁 ], [𝑀 ′] e [𝑁 ′] ∈ 𝑟(𝐻) tais que [𝑀 ] = [𝑀 ′] e [𝑁 ] = [𝑁 ′]. Assim, existem isomorfismosde 𝐻-módulos à esquerda 𝑓 :𝑀 −→ 𝑀 ′ e 𝑔 :𝑁 −→ 𝑁 ′. Para ver que [𝑀⊗𝑁 ] = [𝑀 ′ ⊗𝑁 ′],consideremos a função 𝜓 : 𝑀 × 𝑁 −→ 𝑀 ′ ⊗ 𝑁 ′ dada por 𝜓(𝑚,𝑛) = 𝑓(𝑚) ⊗ 𝑔(𝑛), paraquaisquer 𝑚 ∈ 𝑀 e 𝑛 ∈ 𝑁 . Claramente 𝜓 é bilinear. Então, pela propriedade universaldo produto tensorial, existe uma única transformação k-linear 𝜓 : 𝑀 ⊗ 𝑁 −→ 𝑀 ′ ⊗ 𝑁 ′

tal que 𝜓(𝑚 ⊗ 𝑛) = 𝑓(𝑚) ⊗ 𝑔(𝑛), para quaisquer 𝑚 ∈ 𝑀 e 𝑛 ∈ 𝑁 . Vejamos que 𝜓 éhomomorfismo de 𝐻-módulos à esquerda.

𝜓(ℎ(𝑚⊗ 𝑛)) = 𝜓(∑

ℎ1𝑚⊗ ℎ2𝑛) =∑

𝜓(ℎ1𝑚⊗ ℎ2𝑛) =∑

𝑓(ℎ1𝑚) ⊗ 𝑔(ℎ2𝑛)

=∑

ℎ1𝑓(𝑚) ⊗ ℎ2𝑔(𝑛) = ℎ(𝑓(𝑚) ⊗ 𝑔(𝑛)) = ℎ𝜓(𝑚⊗ 𝑛),

para quaisquer 𝑚 ∈ 𝑀 , 𝑛 ∈ 𝑁 e ℎ ∈ 𝐻. Além disso, note que 𝜓′ : 𝑀 ′ ⊗ 𝑁 ′ −→ 𝑀 ⊗ 𝑁

definida por 𝜓′(𝑚′⊗𝑛′) = 𝑓−1(𝑚)⊗𝑔−1(𝑛), para quaisquer𝑚 ∈ 𝑀 e 𝑛 ∈ 𝑁 , é inversa de 𝜓.Logo, 𝜓 é isomorfismo de 𝐻-módulos à esquerda. Para quaisquer 𝐻-módulos à esquerda𝑀,𝑁 e 𝐿, pela Proposição 2.3.47 temos que [𝑀 ]([𝑁 ][𝐿]) = ([𝑀 ][𝑁 ])[𝐿], [𝑀 ][k] = [𝑀 ],[𝑀 ]([𝑁 ] + [𝐿]) = [𝑀 ][𝑁 ] + [𝑀 ][𝐿] e ([𝑁 ] + [𝐿])[𝑀 ] = [𝑁 ][𝑀 ] + [𝐿][𝑀 ]. Portanto, 𝑟(𝐻) éum anel com unidade.

Definição 2.3.50. Seja 𝐻 uma álgebra de Hopf de dimensão finita. O conjunto 𝑟(𝐻)das classes de isomorfismos de 𝐻-módulos à esquerda finitamente gerado com as seguintesoperações [𝑀 ] + [𝑁 ] = [𝑀 ⊕𝑁 ] e [𝑀 ][𝑁 ] = [𝑀 ⊗𝑁 ] é um anel com unidade [k] chamadode anel de Green.

Exemplo 2.3.51. Considerando 𝐻 = k, temos que k é uma k-álgebra de Hopf dedimensão finita. Assim, os k-módulos à esquerda são k-espaços vetoriais. Como em 𝑟(𝐻)consideramos os 𝐻-módulos finitamente gerados, neste caso, os k-módulos à esquerda


finitamente gerados são k-espaços vetoriais de dimensão finita. Portanto, 𝑟(𝐻) é o anelformado pelas classes de isomorfismo de k-espaços vetoriais de dimensão finita. Comodois k-espaços vetoriais 𝑉 e 𝑊 de dimensão finita são isomorfos se e somente se têm amesma dimensão, então, denotando 𝑉 por 𝑉𝑛, onde 𝑛 é a dimensão de 𝑉 , obtemos que[𝑉𝑛] = [k𝑛]. Portanto,

𝑟(𝐻) = 𝑠𝑝𝑎𝑛{[k𝑛] |𝑛 ∈ N} = 𝑠𝑝𝑎𝑛{[k]} = Z,

pois [k𝑛] = [k⊕ k⊕ · · · ⊕ k] = 𝑛[k].

Para concluir esta subseção, veremos a seguir que para toda álgebra de Hopf dedimensão finita 𝐻, 𝑟(𝐻) possui uma Z-base. De fato, sabemos que todo grupo abelianoé um Z-módulo à esquerda então 𝑟(𝐻) é um Z-módulo à esquerda. Mais ainda, 𝑟(𝐻)possui uma base como Z-módulo à esquerda. Precisamente, temos o seguinte resultado.

Lema 2.3.52. O anel de Green da álgebra de Hopf 𝐻 é um grupo abeliano livre comZ-base dada por {[𝑀 ] |𝑀 ∈ 𝑖𝑛𝑑(𝐻)}, onde 𝑖𝑛𝑑(𝐻) denota o conjunto dos 𝐻-módulos àesquerda indecomponíveis de dimensão finita.

Demonstração. Mostremos que {[𝑀 ] |𝑀 ∈ 𝑖𝑛𝑑(𝐻)} é uma base para 𝑟(𝐻) como Z-módulo à esquerda. Considere [𝑀 ] ∈ 𝑟(𝐻). Em particular, pela Proposição 2.2.63 𝑀 éum 𝐻-módulo à esquerda de comprimento finito então, pelo Teorema de Krull-Schmidt,[𝑀 ] = [𝑁1]+[𝑁2]+· · ·+[𝑁𝑟], onde cada 𝑁𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟 é um 𝐻-submódulo à esquerda inde-componível de 𝑀 . Além disso, essa decomposição é única a menos de isomorfismo, o quegarante a independência linear da família {[𝑀 ] |𝑀 ∈ 𝑖𝑛𝑑(𝐻)}. Logo, {[𝑀 ] |𝑀 ∈ 𝑖𝑛𝑑(𝐻)}é uma Z-base de 𝑟(𝐻).

O lema anterior nos diz que para descrevermos 𝑟(𝐻) basta descrevermos as classesde isomorfismos dos 𝐻-módulos à esquerda indecomponíveis de dimensão finita.

69

3 O anel de Green da álgebra de Taft.

Neste capítulo descreveremos o anel de Green da álgebra de Taft 𝑇𝑁(𝑞). No capí-tulo anterior, introduzimos o anel de Green de uma álgebra de Hopf de dimensão finita𝐻 e mostramos que este é um Z-módulo livre, cuja base é formada pelos 𝐻-módulos àesquerda indecomponíveis finitamente gerados. Com isso, é natural que iniciemos este ca-pítulo determinando todos os módulos à esquerda indecomponíveis de 𝑇𝑁(𝑞). Além disso,é necessário calcular o produto tensorial entre os módulos à esquerda indecomponíveis de𝑇𝑁(𝑞), isto será feito na Seção 3.2.

3.1 Módulos de dimensão finita da álgebra de TaftNeste seção descreveremos os módulos à esquerda indecomponíveis de dimensão fi-

nita da álgebra de Taft 𝑇𝑁(𝑞), conforme o desenvolvimento apresentado no artigo (CHEN;VAN OYSTAEYEN; ZHANG, 2014).

3.1.1 Módulos simples de dimensão finita

Inicialmente iremos determinar todos os módulos à esquerda simples da álgebra deTaft, com este intuito estabeleceremos uma relação entre os módulos à esquerda simplesda álgebra de grupo k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) e da álgebra de Taft 𝑇𝑁(𝑞). Pelo Exemplo 2.3.24, temosque k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) é uma subálgebra de Hopf de 𝑇𝑁(𝑞).

Vejamos primeiro que existe 𝜋 : 𝑇𝑁(𝑞) −→ k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) um homomorfismo sobre-jetor de k-álgebras. Lembremos que 𝑋 = {𝑔, ℎ} é o conjunto de geradores de 𝑇𝑁(𝑞).Seja 𝜋′ : 𝑋 −→ k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) a função dada por 𝜋′(𝑔) = 𝑔 e 𝜋′(ℎ) = 0. Pela proprie-dade universal da álgebra livre, temos que existe um único homomorfismo de k-álgebras𝜋 : k⟨𝑋⟩ −→ k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) tal que 𝜋 ∘ 𝜄 = 𝜋′, onde 𝜄 é a inclusão canônica de 𝑋 em k⟨𝑋⟩.Notemos que

𝜋(ℎ𝑁) = (𝜋(ℎ))𝑁 = 𝜋′(ℎ)𝑁 = 0,

𝜋(ℎ𝑔 − 𝑞𝑔ℎ) = 𝜋(ℎ𝑔) − 𝜋(𝑞𝑔ℎ) = 𝜋(ℎ)𝜋(𝑔) − 𝑞𝜋(𝑔)𝜋(ℎ) = 𝜋′(ℎ)𝜋′(𝑔) − 𝑞𝜋′(𝑔)𝜋′(ℎ) = 0.

Além disso,

𝜋(𝑔𝑁 − 1) = 𝜋(𝑔𝑁) − 𝜋(1) = 𝜋(𝑔)𝑁 − 1 = 𝜋′(𝑔)𝑁 − 1 = 𝑔𝑁 − 1 = 0.

Assim, 𝜋(𝑅) = 0. Portanto, pela Proposição 2.1.19 existe um único homomorfismo dek-álgebras 𝜋 : 𝑇𝑁(𝑞) −→ k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)). Claramente 𝜋 é sobrejetor. Pelo Exemplo 2.2.11,k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) possui estrutura de 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda via 𝜋. Mais ainda, k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) éum 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda simples como mostra o seguinte resultado.

Capítulo 3. O anel de Green da álgebra de Taft. 70

Proposição 3.1.1. A álgebra de grupo k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) é um 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda simples.

Demonstração. Seja 𝐿 = {0} um submódulo à esquerda de k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)). Então, existe𝑥 = 𝑔𝑖 ∈ 𝐿, com 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1. Assim, dado 𝑎 = 𝑔𝑗−𝑖 ∈ 𝑇𝑁(𝑞), para todo 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1, temos que

𝑎𝑥 = 𝑔𝑗−𝑖𝑔𝑖 = 𝑔𝑗 ∈ 𝐿. (3.1)

Portanto, 𝐿 = k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)).

A próxima proposição mostra que 𝜋 : 𝑇𝑁(𝑞) −→ k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) é um homomorfismode álgebras de Hopf com núcleo igual ao gerado por ℎ, ⟨ℎ⟩.

Proposição 3.1.2. O homomorfismo de k-álgebras 𝜋 : 𝑇𝑁(𝑞) −→ k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) é um ho-momorfismo sobrejetor de álgebras de Hopf com 𝐾𝑒𝑟(𝜋) = ⟨ℎ⟩.

Demonstração. Resta mostrar que 𝜋 é homomorfismo de k-cóalgebras. Como Δ e 𝜋 sãohomomorfismo de álgebras então Δ ∘ 𝜋 e (𝜋 ⊗ 𝜋) ∘ Δ são homomorfismo de álgebras.Assim, é suficiente mostrar que (Δ ∘𝜋)(𝑔) = (𝜋⊗𝜋) ∘ Δ(𝑔) e (Δ ∘𝜋)(ℎ) = (𝜋⊗𝜋) ∘ Δ(ℎ).De fato,

(Δ ∘ 𝜋)(𝑔) = Δ(𝑔) = 𝑔 ⊗ 𝑔 = 𝜋(𝑔) ⊗ 𝜋(𝑔) = (𝜋 ⊗ 𝜋) ∘ Δ(𝑔),

(𝜋 ⊗ 𝜋 ∘ Δ)(ℎ) = (𝜋 ⊗ 𝜋)(1 ⊗ ℎ+ ℎ⊗ 𝑔) = 0 = Δ(0) = (Δ ∘ 𝜋)(ℎ).

Além disso, (𝜀∘𝜋)(𝑔) = 𝜀(𝑔) = 1 = 𝜀(𝑔) e (𝜀∘𝜋)(ℎ) = 𝜀(ℎ) = 0 = 𝜀(ℎ). Portanto, 𝜋 é umhomomorfismo de k-coálgebras. Finalmente, mostremos que 𝐾𝑒𝑟(𝜋) = ⟨ℎ⟩. Claramente⟨ℎ⟩ ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝜋). Reciprocamente, seja 𝑎 = ∑

𝑖,𝑗∈𝐼𝑁−1 𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗 ∈ 𝑇𝑁(𝑞) tal que 𝜋(𝑎) = 0.

Assim,

0 = 𝜋

⎛⎝ ∑𝑖,𝑗∈𝐼𝑁−1

𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗

⎞⎠ =∑


𝛼𝑖𝑗𝜋(𝑔)𝑖𝜋(ℎ)𝑗 =∑

𝑖∈𝐼𝑁−1

𝛼𝑖0𝑔𝑖.

Como {𝑔𝑖 |𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1} é um conjunto linearmente independente, temos que 𝛼𝑖𝑜 = 0, paratodo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1. Logo,

𝑎 =∑

𝑖∈𝐼𝑁−1,𝑗∈𝐼1,𝑁−1

𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗 =

∑𝑖∈𝐼𝑁−1,𝑗∈𝐼1,𝑁−1

𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗−1ℎ

=⎛⎝ ∑𝑖∈𝐼𝑁−1,𝑗∈𝐼1,𝑁−1

𝛼𝑖𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗−1

⎞⎠ℎ ∈ ⟨ℎ⟩.

A seguir apresentaremos alguns fatos importantes a respeito do radical de Jacobsonde 𝑇𝑁(𝑞) que serão fundamentais para descrever os módulos à esquerda simples destaálgebra.


Proposição 3.1.3. O radical de Jacobson de 𝑇𝑁(𝑞) é o núcleo da transformação 𝜋, ouseja, 𝐽(𝑇𝑁(𝑞)) = 𝐾𝑒𝑟(𝜋).

Demonstração. Seja 𝑎=∑𝑖,𝑗∈𝐼𝑁−1 𝛼𝑖𝑗𝑔

𝑖ℎ𝑗 ∈ 𝐽(𝑇𝑁(𝑞)), então 𝑎∈𝐴𝑛𝑛𝑇𝑁 (𝑞)(𝑀), para qual-quer 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda simples 𝑀 . Em particular, 𝑎𝑀=0, para 𝑀 = k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)).Assim,

0 = 𝑎𝑔𝑡 = 𝜋(𝑎)𝑔𝑡 =⎛⎝𝜋

⎛⎝ ∑𝑖,𝑗∈𝐼𝑁−1

𝛼𝑖,𝑗𝑔𝑖ℎ𝑗

⎞⎠⎞⎠ 𝑔𝑡 =∑


𝛼𝑖𝑗(𝜋(𝑔)𝑖𝜋(ℎ)𝑗)𝑔𝑡 =∑

𝑖∈𝐼𝑁−1

𝛼𝑖0𝑔𝑖+𝑡.

Logo 𝛼𝑖0 = 0, para todo 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1, e consequentemente 𝑎 ∈ ⟨ℎ⟩ = 𝐾𝑒𝑟(𝜋). Reciproca-mente, seja 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟(𝜋) = ⟨ℎ⟩. Então, 𝑥𝑁 = 0, pois ⟨ℎ⟩ = 𝑇𝑁(𝑞)ℎ = ℎ𝑇𝑁(𝑞). Ou seja, ⟨ℎ⟩é um nil ideal de 𝑇𝑁(𝑞). Assim, pela Proposição 2.2.86, 𝐾𝑒𝑟(𝜋) = ⟨ℎ⟩ ⊆ 𝐽(𝑇𝑁(𝑞)).

Corolário 3.1.4. Para todo 𝑚 ≥ 1, 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑚 = 𝑇𝑁(𝑞)ℎ𝑚 = ⟨ℎ𝑚⟩.

Demonstração. Vejamos que 𝑇𝑁(𝑞)ℎ𝑚 = ℎ𝑚𝑇𝑁(𝑞), para todo 𝑚 ≥ 1. Para isso, faremosindução sobre 𝑚. Para 𝑚 = 1 o resultado segue diretamente do Lema 2.1.22. Suponhaque, 𝑇𝑁(𝑞)ℎ𝑚 = ℎ𝑚𝑇𝑁(𝑞), 𝑚 ≥ 1 e mostremos que vale para 𝑚+ 1. Então,

ℎ𝑚+1𝑇𝑁(𝑞) = ℎℎ𝑚𝑇𝑁(𝑞) = ℎ𝑇𝑁(𝑞)ℎ𝑚 = 𝑇𝑁(𝑞)ℎℎ𝑚 = 𝑇𝑁(𝑞)ℎ𝑚+1.

Disso decorre que ⟨ℎ𝑚⟩ é um ideal bilateral de 𝑇𝑁(𝑞).

Agora, mostremos que 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑚 = ⟨ℎ𝑚⟩ por indução sobre 𝑚. Pela Proposição3.1.3, o resultado vale para 𝑚 = 1. Suponha que 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑚 = ⟨ℎ𝑚⟩, para todo 𝑚 ≥ 1e mostremos que 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑚+1 = ⟨ℎ𝑚+1⟩. Seja 𝑥 ∈ 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑚+1 = 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑚𝐽(𝑇𝑁(𝑞)).Ou seja, 𝑥 = 𝑎𝑏 onde 𝑎 = 𝑦ℎ𝑚 ∈ 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑚 e 𝑏 = 𝑧ℎ ∈ 𝐽(𝑇𝑁(𝑞)), com 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑇𝑁(𝑞). Assim 𝑥 = 𝑎𝑏 = (𝑦ℎ𝑚)(𝑧ℎ) = 𝑥(ℎ𝑚𝑧)ℎ = 𝑦(𝑧′ℎ𝑚)ℎ = (𝑦𝑧′)ℎ𝑚+1, onde 𝑧′ ∈ 𝑇𝑁(𝑞).Portanto, 𝑥 ∈ ⟨ℎ𝑚+1⟩. A inclusão contrária se verifica, pois

⟨ℎ𝑚+1⟩ ⊆ ⟨ℎ𝑚⟩⟨ℎ1⟩ = 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑚𝐽(𝑇𝑁(𝑞)) = 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑚+1.

Como uma consequência da proposição acima temos que 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑁−1 = 0 e𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑁 = 0. Como 𝑟𝑎𝑑(𝑇𝑁 (𝑞)𝑇𝑁(𝑞))𝑁 = 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑁 = 0, então o comprimento Lo-ewy de 𝑇𝑁(𝑞) como 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda é 𝑁 .

Corolário 3.1.5. Seja 𝑀 um 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda. Então, 𝑀 é semissimples se esomente se ℎ𝑀 = {0}.

Demonstração. Pela Proposição 2.2.90 é suficiente provar que 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑀 = ℎ𝑀 . Defato, seja 𝑦 = 𝑥𝑚 ∈ 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑀 , ou seja, 𝑥 = 𝑎ℎ ∈ 𝐽(𝑇𝑁(𝑞)) = ⟨ℎ⟩, com 𝑎 ∈ 𝑇𝑁(𝑞).Então, 𝑦 = 𝑎ℎ𝑚 = ℎ𝑎′𝑚 ∈ ℎ𝑀 , onde 𝑎′ ∈ 𝑇𝑁(𝑞). Claramente ℎ𝑀 ⊆ ⟨ℎ⟩𝑀 .


Notemos que todo k𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-módulo à esquerda é um 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerdavia 𝜋 : 𝑇𝑁(𝑞) −→ 𝑘𝐺(𝑇𝑁(𝑞)). Reciprocamente, todo 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda semis-simples 𝑀 é um k𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-módulo à esquerda, pois pela Proposição 3.1.5 ℎ𝑀 = {0} e⟨ℎ⟩ = 𝐾𝑒𝑟(𝜋).

Proposição 3.1.6. Seja 𝑀 um 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda. Então, 𝑀 é simples se esomente se 𝑀 é um k𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-módulo à esquerda simples e ℎ𝑀 = {0}.

Demonstração. Suponhamos que 𝑀 seja um 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda simples. Em par-ticular, 𝑀 é semissimples. Pela correspondência estabelecida acima, temos que 𝑀 é umk𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-módulo à esquerda. Vejamos que 𝑀 é simples como k𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-módulo à es-querda. De fato, seja {0} ( 𝑁 ⊆ 𝑀 um k𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-submódulo à esquerda. Então, 𝑁 éum 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda via 𝜋 e como 𝑀 é simples como 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerdaentão 𝑁 = 𝑀 . Reciprocamente, suponhamos 𝑀 seja um k𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-módulo à esquerdasimples e ℎ𝑀 = {0}, então pela correspondência estabelecida 𝑀 é um 𝑇𝑁(𝑞)-móduloà esquerda, com ℎ𝑀 = {0}. Resta mostrarmos que 𝑀 é simples como 𝑇𝑁(𝑞)-móduloà esquerda. Seja {0} ( 𝑁 ⊆ 𝑀 um 𝑇𝑁(𝑞)-submódulo à esquerda, e assim, ℎ𝑁 = {0}.Novamente pela correspondência, 𝑁 é um k𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-submódulo à esquerda de 𝑀 . Como𝑀 é simples, 𝑀 = 𝑁 .

A partir disto conseguimos estabelecer uma relação entre os módulos à esquerdasimples da álgebra de grupo k𝐺(𝑇𝑁(𝑞)) e os módulos à esquerda simples de 𝑇𝑁(𝑞).

Lema 3.1.7. Existem 𝑁 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda simples 𝑆𝑖 não isomorfos, onde cada𝑆𝑖 é unidimensional e determinado por

𝑔𝑣 = 𝑞𝑖𝑣, ℎ𝑣 = 0, 𝑣 ∈ 𝑆𝑖, (3.2)

onde 𝑖 ∈ Z𝑁 := Z/𝑁Z.

Demonstração. Inicialmente provemos que os 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda simples são uni-dimensionais e determinados por (3.2). Seja 𝑆 um 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda simples. PelaProposição 3.1.6, temos que 𝑆 é um k𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-módulo à esquerda simples e ℎ𝑆 = {0}.Definimos a transformação linear 𝑇 :𝑆 −→ 𝑆 por 𝑇 (𝑣) = 𝑔𝑣, para todo 𝑣 ∈ 𝑆. Notemosque 𝑇𝑁 = 𝐼𝑑𝑆. Logo, o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥𝑁 − 1 anula 𝑇 . Como k contém uma raiz𝑁 -ésima primitiva da unidade 𝑞, então 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 𝑞) · · · (𝑥 − 𝑞𝑁−1). Como opolinômio minimal de 𝑇 , 𝑚𝑇 divide qualquer polinômio que anula 𝑇 , então 𝑚𝑇 é produtode fatores lineares e consequentemente 𝑇 é diagonalizável. Assim, existe uma base 𝛽 de 𝑆formada por autovetores de 𝑇 , então 𝑇 (𝑣) = 𝛼𝑣, ou seja, 𝑔𝑣 = 𝛼𝑣. Logo, ⟨𝑣⟩ = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣}.Como 𝑆 é um k𝐺(𝑇𝑁(𝑞))-módulo à esquerda simples, temos que 𝑆 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣} e portanto𝑆 é unidimensional. Além disso, 𝑔𝑁𝑣 = 𝛼𝑁𝑣. Por outro lado, 𝑔𝑁𝑣 = 𝑣, pois 𝑔𝑁 = 1.Então, 𝛼𝑁𝑣 = 𝑣 e assim 𝛼𝑁 = 1. Isso significa, que 𝛼 é uma raiz 𝑁 -ésima da unidade.


Logo, 𝛼 = 𝑞𝑖, para algum 𝑖 ∈ Z𝑁 . Portanto, 𝑔𝑣 = 𝑞𝑖𝑣, onde 𝑖 ∈ Z𝑁 . Por fim, sejam 𝑆 e𝑆 ′ 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda simples determinados, respectivamente, por

𝑔𝑣 = 𝑞𝑖𝑣, ℎ𝑣 = 0, 𝑣 ∈ 𝑆,

𝑔𝑣′ = 𝑞𝑗𝑣′, ℎ𝑣′ = 0, 𝑣′ ∈ 𝑆 ′.

Suponhamos que o isomorfismo linear 𝜑 : 𝑆 −→ 𝑆 ′ definido por 𝜑(𝑣) = 𝑣′ seja umisomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Então, 𝜑(𝑔𝑣) = 𝑔𝜑(𝑣) = 𝑔𝑣′ = 𝑞𝑗𝑣′. Por outrolado, 𝜑(𝑔𝑣) = 𝜑(𝑞𝑖𝑣) = 𝑞𝑖𝜑(𝑣) = 𝑞𝑖𝑣′. Logo, 𝑞𝑖−𝑗 = 0 e como 𝑞 é uma raiz 𝑁 -ésimaprimitiva da unidade, 𝑖 = 𝑗.

3.1.2 Módulos indecomponíveis de dimensão finita

Nesta subseção descreveremos os módulos à esquerda indecomponíveis de 𝑇𝑁(𝑞).

Lema 3.1.8. Sejam 𝑙 ∈ 𝐼1,𝑁 e 𝑖 ∈ Z. Então, existe um homomorfismo de k-álgebras𝜌𝑙,𝑖 : 𝑇𝑁(𝑞) −→ 𝑀𝑙(k) dado por

𝜌𝑙,𝑖(𝑔) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑞𝑖

𝑞𝑖−1

𝑞𝑖−2

. . .𝑞𝑖−𝑙+1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, 𝜌𝑙,𝑖(ℎ) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

01 0

1 . . .. . . 0

1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Demonstração. Considere a função 𝜌′ : 𝑋 −→ 𝑀𝑙(k) dada por

𝜌′(𝑔) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

𝑞𝑖

𝑞𝑖−1

𝑞𝑖−2

. . .𝑞𝑖−𝑙+1

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠, 𝜌′(ℎ) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

01 0

1 . . .. . . 0

1 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

Pela propriedade universal da álgebra livre, temos que existe um único homomorfismode k-álgebras 𝜌 : k⟨𝑋⟩ −→ 𝑀𝑙(k) tal que 𝑓 ′ ∘ 𝜄 = 𝑓 , onde 𝜄 : 𝑋 → k⟨𝑋⟩ é a inclusãocanônica. Uma vez que 𝜌(𝑔) é uma matriz diagonal e 𝑞 é uma raiz 𝑁 -ésima da unidade,então 𝜌(𝑔)𝑁 = 𝐼𝑑𝑙. Além disso, como 𝜌(ℎ) é nilpotente e 𝑙 ≤ 𝑁 , então 𝜌(ℎ)𝑁 = 0. Porfim,

𝜌(ℎ)𝜌(𝑔) =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0𝑞𝑖 00 𝑞𝑖−1

. . .𝑞𝑖−𝑙+2 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠= 𝑞𝜌(𝑔)𝜌(ℎ).


Pela Proposição 2.1.19 existe único homomorfismo de k-álgebras 𝜌𝑙,𝑖 : 𝑇𝑁(𝑞) −→ 𝑀𝑙(k).

Na Observação 2.2.13 vimos que existe uma correspondência entre os módulos deuma k-álgebra 𝐴 e os homomorfismos de k-álgebras de 𝐴 em 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ), onde 𝑉 é um k-espaço vetorial. Em particular, se 𝑉 tem dimensão finita 𝑛, então a álgebra de matrizes𝑀𝑛(k) é isomorfa a 𝐸𝑛𝑑(𝑉 ). Denote por 𝑀(𝑙, 𝑖) o 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda obtido poresta correspondência. Explicitamente, seja {𝑣𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑙} base de 𝑀(𝑙, 𝑖) tal que:

ℎ𝑣𝑗 =

⎧⎪⎨⎪⎩𝑣𝑗+1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑙 − 1

0, 𝑗 = 𝑙, 𝑔𝑣𝑗 = 𝑞𝑖−𝑗+1𝑣𝑗,

para todo 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙. Claramente 𝑣𝑗 = ℎ𝑗−1𝑣1, para todo 𝑗 ∈ 𝐼2,𝑙. Chamamos esta base debase canônica de 𝑀(𝑙, 𝑖). Para qualquer inteiro 𝑖, iremos considerar 𝑖 como sua imagemsobre a projeção canônica de Z em Z𝑁 .

Lema 3.1.9. Para 𝑙, 𝑙′ ∈ 𝐼1,𝑁 e 𝑖, 𝑖′ ∈ Z𝑁 , seja 𝑀(𝑙, 𝑖) o 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda definidono Lema 3.1.8. Então,

(i) 𝑠𝑜𝑐(𝑀(𝑙, 𝑖)) = k𝑣𝑙 ≃ 𝑆𝑖−𝑙+1 e 𝑀(𝑙, 𝑖)/𝑟𝑎𝑑(𝑀(𝑙, 𝑖)) ≃ 𝑆𝑖;

(ii) 𝑀(𝑙, 𝑖) é indecomponível e uniserial;

(iii) 𝑀(𝑙, 𝑖) ≃ 𝑀(𝑙′, 𝑖′) se e somente se 𝑙′ = 𝑙 e 𝑖′ = 𝑖 ∈ Z.

Demonstração. (i) Como 𝑠𝑜𝑐(𝑀(𝑙, 𝑖)) é o maior 𝑇𝑁(𝑞)-submódulo à esquerda semissimplesde 𝑀(𝑙, 𝑖), pela Proposição 2.2.90, ℎ𝑠𝑜𝑐(𝑀(𝑙, 𝑖)) = {0}. Logo, 𝑠𝑜𝑐(𝑀(𝑙, 𝑖)) = {𝑚 ∈ 𝑀 |ℎ𝑚=0}. Vejamos que, 𝑠𝑜𝑐(𝑀(𝑙, 𝑖)) = k𝑣𝑙. Seja 𝑚 = ∑

𝑖∈𝐼1,𝑙𝛼𝑖𝑣𝑖 ∈ 𝑠𝑜𝑐(𝑀(𝑙, 𝑖)). Então,

0 = ℎ𝑚 = ℎ∑𝑖∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑖𝑣𝑖 =∑𝑖∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑖ℎ𝑣𝑖 =∑

𝑖∈𝐼1,𝑙−1

𝛼𝑖𝑣𝑖+1.

Então, 𝛼𝑖 = 0 para todo 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑙−1, consequentemente, 𝑚 ∈ k𝑣𝑙. A outra inclusão éimediata. Portanto, 𝑠𝑜𝑐(𝑀(𝑙, 𝑖)) = k𝑣𝑙 e pelo Lema 3.1.7, 𝑠𝑜𝑐(𝑀(𝑙, 𝑖)) ≃ 𝑆𝑖−𝑙+1. Alémdisso, 𝑟𝑎𝑑(𝑀(𝑙, 𝑖)) = ℎ𝑀(𝑙, 𝑖) então 𝑟𝑎𝑑(𝑀(𝑙, 𝑖)) = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣2, ..., 𝑣𝑙}. Consideremos atransformação 𝜓 : 𝑀(𝑙, 𝑖) −→ 𝑆𝑖 definida por 𝜓(𝑣1) = 𝑣 e 𝜓(𝑣𝑗) = 0, se 𝑗 ∈ 𝐼2,𝑙. Assim,𝜓(𝑔𝑣1) = 𝜓(𝑞𝑖𝑣1) = 𝑞𝑖𝜓(𝑣1) = 𝑞𝑖𝑣 = 𝑔𝑣 = 𝑔𝜓(𝑣1) e 𝜓(ℎ𝑣1) = 𝜓(𝑣2) = 0 = ℎ𝜓(𝑣1). Para𝑗 ≥ 2, 𝜓(𝑔𝑣𝑗) = 𝜓(𝑞𝑖−𝑙+1𝑣𝑗) = 𝑞𝑖−𝑙+1𝜓(𝑣𝑗) = 0 = 𝑔𝜓(𝑣𝑗) e 𝜓(ℎ𝑣𝑗) = 𝜓(𝑣𝑗+1) = 0 = ℎ𝜓(𝑣𝑗).Logo, 𝜓 é um homomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda e 𝐾𝑒𝑟(𝜓) = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣2, ..., 𝑣𝑙}.Portanto, pelo teorema do homomorfismo, 𝑀(𝑙, 𝑖)/𝑟𝑎𝑑(𝑀(𝑙, 𝑖)) ≃ 𝑆𝑖.

(ii) Note que ℎ𝑙−1𝑣1 = 𝑣𝑙 então ℎ𝑙−1𝑀(𝑙, 𝑖) = 0. Mas ℎ𝑙𝑣1 = 0, assim ℎ𝑙𝑀(𝑙, 𝑖) = 0.Logo, ℓℓ(𝑀(𝑙, 𝑖)) = 𝑙, pois 𝑟𝑎𝑑(𝑀(𝑙, 𝑖))𝑙 = 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑙𝑀(𝑙, 𝑖) = ⟨ℎ𝑙⟩𝑀(𝑙, 𝑖) = 0. Assim,pela Proposição 2.2.100 𝑀(𝑙, 𝑖) é uniserial e, desta forma é indecomponível.


(iii) Seja 𝜑 :𝑀(𝑙, 𝑖) −→ 𝑀(𝑙′, 𝑖′) um isomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Em parti-cular, 𝜑 é um isomorfismo de k-espaços vetoriais, então 𝑙=𝑑𝑖𝑚k𝑀(𝑙, 𝑖)=𝑑𝑖𝑚k𝑀(𝑙′, 𝑖′)= 𝑙′.Além disso, notemos que 𝜑(𝑣𝑙) = ∑

𝑗∈𝐼1,𝑙𝛼𝑙𝑗𝑣

′𝑗, onde {𝑣′

𝑗 | 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙} é a base canônica de𝑀(𝑙′, 𝑖′). Assim,

0 = 𝜑(ℎ𝑣𝑙) = ℎ𝜑(𝑣𝑙) = ℎ∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑙𝑗𝑣′𝑗 =

∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑙𝑗(ℎ𝑣′𝑗) =

∑𝑗∈𝐼1,𝑙−1

𝛼𝑙𝑗𝑣′𝑗+1.

Logo, 𝛼𝑙𝑗 = 0, para todo 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙−1. Portanto, 𝜑(𝑣𝑙) = 𝛼𝑙𝑙𝑣′𝑙. Como 𝛼𝑙𝑙 = 0, pois 𝜑 é

isomorfismo. Então, 𝜑(𝑔𝑣𝑙) = 𝜑(𝑞𝑖−𝑙+1𝑣𝑙) = 𝑞𝑖−𝑙+1𝜑(𝑣𝑙) = 𝑞𝑖=𝑙+1𝛼𝑙𝑙𝑣′𝑙. Por outro lado,

𝜑(𝑔𝑣𝑙) = 𝑔𝜑(𝑣𝑙) = 𝑔(𝛼𝑙𝑙𝑣′𝑙) = 𝛼𝑙𝑙(𝑔𝑣′

𝑙) = 𝛼𝑙𝑙𝑞𝑖′−𝑙+1𝑣′

𝑙. Logo, 𝑞𝑖−𝑙+1𝛼𝑙𝑙𝛼𝑙𝑙 = 𝑞𝑖′−𝑙+1𝛼𝑙𝑙 e

consequentemente 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖′ . Como 𝑞 é uma raiz 𝑁 -ésima primitiva da unidade, segue que

𝑖 = 𝑖′. A recíproca é imediata.

Mais adiante veremos que os módulos à esquerda indecomponíveis dados no lemaacima são todos os módulos à esquerda indecomponíveis de 𝑇𝑁(𝑞). Antes, como con-sequência do Lema 3.1.9 obtemos o seguinte resultado.

Corolário 3.1.10. Sejam 𝑙 ∈ 𝐼1,𝑁 e 𝑖 ∈ Z. Então,

(i) 𝑀(𝑙, 𝑖) é simples se e somente se 𝑙 = 1. Nesse caso, 𝑀(1, 𝑖) ≃ 𝑆𝑖;

(ii) 𝑀(𝑙, 𝑖) é projetivo (injetivo) se e somente se 𝑙 = 𝑁 ;

(iii) 𝑀(𝑁, 𝑖) ≃ 𝑃 (𝑆𝑖) ≃ 𝐼(𝑆𝑖+1).

Demonstração. (i) Suponha que 𝑙 ≥ 2. Claramente 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣2, ..., 𝑣𝑙} = 𝑟𝑎𝑑(𝑀(𝑙, 𝑖)) é umsubmódulo não trivial de 𝑀(𝑙, 𝑖) e consequentemente 𝑀(𝑙, 𝑖) não é simples. A reciproca éimediata. Pelo Lema 3.1.9 temos que 𝑆𝑖 ≃ 𝑀(1, 𝑖)/𝑟𝑎𝑑(𝑀(1, 𝑖)) ≃ 𝑀(1, 𝑖)/{0} ≃ 𝑀(1, 𝑖).(ii) Inicialmente, mostremos que {𝑒𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1}, onde 𝑒𝑖 = 1

𝑁

∑𝑗∈𝐼𝑁−1 𝑞

−𝑖𝑗𝑔𝑗, para todo𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1 é um conjunto de idempotentes ortogonais tal que 1 = ∑

𝑖∈𝐼𝑁−1 𝑒𝑖, ou seja,𝑒𝑖 = 𝑒𝑖

2 e 𝑒𝑖𝑒𝑗 = 0, para todo 𝑖 = 𝑗 onde 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1. Com efeito,

𝑒2𝑖 = 1

𝑁2

∑𝑗,𝑘∈𝐼𝑁−1

𝑞−𝑖𝑗−𝑖𝑘𝑔𝑗+𝑘 = 1𝑁2

∑𝑗∈𝐼𝑁−1

⎛⎝ ∑𝑘∈𝐼𝑁−1

𝑞−𝑖(𝑗+𝑘)𝑔𝑗+𝑘

⎞⎠= 1𝑁2


⎛⎝ ∑𝑙∈𝐼𝑁−1

𝑞−𝑖𝑙𝑔𝑙

⎞⎠ = 1𝑁2


𝑁𝑒𝑖 = 1𝑁


𝑒𝑖 = 1𝑁𝑁𝑒𝑖 = 𝑒𝑖.

Na quarta igualdade temos que fixado 𝑗, podemos substituir 𝑗 + 𝑘 por 𝑙, pois tanto 𝑞

quanto 𝑔 são cíclicos. Além disso,

𝑒𝑖𝑒𝑘 =⎛⎝ 1𝑁


𝑞−𝑖𝑗𝑔𝑗

⎞⎠⎛⎝ 1𝑁

∑𝑙∈𝐼𝑁−1

𝑞−𝑘𝑙𝑔𝑙

⎞⎠ = 1𝑁2

∑𝑗,𝑘∈𝐼𝑁−1

𝑞−(𝑖𝑗+𝑙𝑘)𝑔𝑗+𝑙.


Fixado 𝑗 e substituindo 𝑙 por 𝑡− 𝑗, obtemos

𝑒𝑖𝑒𝑘 = 1𝑁2


⎛⎝ ∑𝑡∈𝐼𝑁−1

𝑞−(𝑖𝑗+(𝑡−𝑗)𝑘)𝑔𝑗+(𝑡−𝑗)

⎞⎠ = 1𝑁2


⎛⎝ ∑𝑡∈𝐼𝑁−1

𝑞−𝑖𝑗+𝑗𝑘−𝑡𝑘)𝑔𝑡

⎞⎠= 1𝑁2

∑𝑡∈𝐼𝑁−1

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼𝑁−1

(𝑞(𝑘−𝑖)𝑗)𝑞−𝑡𝑘𝑔𝑡

⎞⎠ = 1𝑁2

∑𝑡∈𝐼𝑁−1

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼𝑁−1

(𝑞(𝑘−𝑖)𝑗)⎞⎠ 𝑞−𝑡𝑘𝑔𝑡.

Como 𝑘 = 𝑖, temos que 𝑞𝑘−𝑖 é uma raiz 𝑁 -ésima da unidade, portanto ∑𝑗∈𝐼𝑁−1(𝑞(𝑘−𝑖))𝑗 =0.Consequentemente, 𝑒𝑖𝑒𝑘 = 0, para todo 𝑖 = 𝑘 com 𝑖, 𝑘 ∈ 𝐼𝑁−1. Por fim,


𝑒𝑗 =∑

𝑗∈𝐼𝑁−1

⎛⎝ 1𝑁

∑𝑘∈𝐼𝑁−1

𝑞−𝑗𝑘𝑔𝑘

⎞⎠ =∑

𝑗∈𝐼𝑁−1

⎛⎝ 1𝑁


(𝑞−𝑘)𝑗⎞⎠ 𝑔𝑘

= 1𝑁

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼𝑁−1

(𝑞0)𝑗𝑔0 +∑

𝑘∈𝐼1,𝑁−1

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼𝑁−1

(𝑞−𝑘)𝑗⎞⎠ 𝑔𝑘

⎞⎠ = 1𝑁

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼𝑁−1

1𝑗⎞⎠ = 1

𝑁𝑁 = 1.

Como 𝑘 = 0 então 𝑞𝑘 é uma raiz 𝑁 -ésima primitiva da unidade, logo ∑𝑗∈𝐼𝑁−1(𝑞−𝑘)𝑗 = 0.Pelo Exemplo 2.1.14 temos que 𝑇𝑁(𝑞) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−1𝑇𝑁(𝑞)𝑒𝑖.

Desde que ℎ𝑁−1 = 0 temos

ℎ𝑁−1𝑒𝑖 = ℎ𝑁−1

⎛⎝ 1𝑁


𝑞−𝑖𝑗𝑔𝑗

⎞⎠ = 1𝑁


ℎ𝑁−1𝑞−𝑖𝑗𝑔𝑗 = 1𝑁


𝑞−𝑖𝑗ℎ𝑁−1𝑔𝑗 = 0.

Vejamos que 𝑇𝑁(𝑞)𝑒𝑖=𝑠𝑝𝑎𝑛{ℎ𝑗𝑒𝑖 |𝑗∈𝐼𝑁−1}. Claramente 𝑠𝑝𝑎𝑛{ℎ𝑗𝑒𝑖 | 𝑗∈𝐼𝑁−1}⊆𝑇𝑁(𝑞)𝑒𝑖.Para a outra inclusão, iniciaremos por provar via indução sobre 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁−1 que 𝑔𝑗𝑒𝑖 = 𝑞𝑖𝑗𝑒𝑖.Para 𝑗 = 1 obtemos

𝑔𝑒𝑖 = 1𝑁


𝑞−𝑖𝑗𝑔𝑗+1 = 𝑞𝑖

⎛⎝1𝑁


𝑞−𝑖(𝑗+1)𝑔𝑗+1

⎞⎠= 𝑞𝑖

⎛⎝ 1𝑁

∑𝑙∈𝐼1,𝑁


⎞⎠= 𝑞𝑖

⎛⎝1𝑁

∑𝑙∈𝐼𝑁−1


⎞⎠ = 𝑞𝑖𝑒𝑖

Suponha que 𝑔𝑗𝑒𝑖 = 𝑞𝑖𝑗𝑒𝑖, para todo 𝑗 ≥ 1. Assim,

𝑔𝑗+1𝑒𝑖 = 𝑔(𝑔𝑗𝑒𝑖) = 𝑔(𝑞𝑖𝑗𝑒𝑖) = 𝑞𝑖𝑗𝑔𝑒𝑖 = 𝑞𝑖𝑗𝑞𝑖𝑒𝑖 = 𝑞𝑖(𝑗+1)𝑒𝑖.

É suficiente provar que 𝑔𝑠ℎ𝑡𝑒𝑖 ∈ 𝑇𝑁(𝑞)𝑒𝑖 pertence ao 𝑠𝑝𝑎𝑛{ℎ𝑗𝑒𝑖 | 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1}. Pelo Lema2.1.21, 𝑔𝑠ℎ𝑡𝑒𝑖 = 𝑞−𝑠𝑡ℎ𝑡𝑔𝑠𝑒𝑖 = 𝑞−𝑠𝑡𝑞𝑠𝑖ℎ𝑡𝑒𝑖 = 𝑞𝑠(𝑖−𝑡)ℎ𝑡𝑒𝑖.

Agora, definindo 𝜓 : 𝑀(𝑁, 𝑖) −→ 𝑠𝑝𝑎𝑛{ℎ𝑗𝑒𝑖 | 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1} por 𝜓(𝑣𝑗) = ℎ𝑗−1𝑒𝑖 paratodo 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁 , onde {𝑣𝑗 | 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁} é a base canônica de 𝑀(𝑁, 𝑖). A aplicação 𝜓 é umisomorfismo linear, pois {ℎ𝑗𝑒𝑖 | 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1} é linearmente independente. Mostremos que 𝜓é um isomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Com efeito,

𝜓(𝑔𝑣𝑗) = 𝜓(𝑞𝑖−𝑗+1𝑣𝑗) = 𝑞𝑖−𝑗+1𝜓(𝑣𝑗) = 𝑞𝑖−𝑗+1ℎ𝑗−1𝑒𝑖.


Por outro lado,

𝑔𝜓(𝑣𝑗) = 𝑔(ℎ𝑗−1𝑒𝑖) = 𝑞−(𝑗−1)ℎ𝑗−1𝑔𝑒𝑖 = 𝑞1−𝑗ℎ𝑗−1𝑞𝑖𝑒𝑖 = 𝑞𝑖−𝑗+1ℎ𝑗−1𝑒𝑖.

Logo, 𝜓(𝑔𝑣𝑗) = 𝑔𝜓(𝑣𝑗), para todo 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁 . Além disso,

𝜓(ℎ𝑣𝑗) = 𝜓(𝑣𝑗+1) = ℎ𝑗𝑒𝑖 = ℎℎ𝑗−1𝑒𝑖 = ℎ𝜓(𝑣𝑗).

Portanto, 𝑇𝑁(𝑞) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−1𝑇𝑁(𝑞)𝑒𝑖 ≃ ⊕𝑖∈𝐼𝑁−1𝑀(𝑁, 𝑖), ou seja, 𝑀(𝑁, 𝑖) é so-mando direto de um 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda e, consequentemente, pela Proposição2.2.30 𝑀(𝑁, 𝑖) é projetivo. Note que do Lema 3.1.9 (ii) ℓℓ(𝑀(𝑁, 𝑖)) = 𝑁 . Além disso,sabemos que ℓℓ(𝑇𝑁(𝑞)) = 𝑁 e pela Observação 2.3.32 𝑇𝑁(𝑞) é auto-injetiva. Logo, doLema 2.2.101, 𝑀(𝑁, 𝑖) é injetivo. Reciprocamente, suponha que 𝑀(𝑙, 𝑖) projetivo. PeloLema 3.1.9 (ii) temos que 𝑀(𝑙, 𝑖) é indecomponível, então pelo Lema 2.2.67 𝑀(𝑙, 𝑖) éisomorfo à algum 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda projetivo e indecomponível que aparece nadecomposição de 𝑇𝑁(𝑞) como 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda. Como 𝑇𝑁(𝑞) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−1𝑀(𝑁, 𝑖)então 𝑀(𝑙, 𝑖) ≃ 𝑀(𝑁, 𝑖), Lema 3.1.9 (iii) segue que 𝑙 = 𝑁 .

(iii) Seja 𝑃 (𝑆𝑖) a cobertura projetiva de 𝑆𝑖. Considere 𝜓 : 𝑀(𝑁, 𝑖) −→ 𝑆𝑖 dada por𝜓(𝑣1) = 𝑣 e 𝜓(𝑣𝑗) = 0, se 𝑗 ∈ 𝐼2,𝑙. Note que 𝜓 é um epimorfismo e pelo item (ii) 𝑀(𝑁, 𝑖)é projetivo. Dados 𝐿 um 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda projetivo e 𝑔 : 𝐿 −→ 𝑀(𝑁, 𝑖) umhomomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda tal que 𝜓 ∘ 𝑔 : 𝐿 −→ 𝑆𝑖 é um epimorfismode 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Devemos mostrar que 𝑔 é um epimorfismo. Como 𝑀(𝑁, 𝑖)é projetivo o seguinte diagrama é comutativo

𝑀(𝑁, 𝑖)ℎ

{{𝜓

��𝐿

𝜓∘𝑔 // 𝑆𝑖 // 0.

Ou seja, existe ℎ : 𝑀(𝑁, 𝑖) −→ 𝐿 homomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda tal que𝜓 = (𝜓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ = 𝜓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ). Assim, 𝑔 ∘ ℎ = 𝐼𝑑𝑀(𝑁,𝑖), então 𝑔 é um epimorfismo de𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Portanto, (𝑀(𝑁, 𝑖), 𝜓) é a cobertura projetiva de 𝑆𝑖, dondesegue pela Proposição 2.2.34 que 𝑀(𝑁, 𝑖) ≃ 𝑃 (𝑆𝑖). De maneira análoga podemos mostrarque (𝑀(𝑁, 𝑖), 𝜑), onde 𝜑 : 𝑆𝑖 −→ 𝑀(𝑁, 𝑖) dada por 𝜑(𝑣) = 𝑣1 é o fecho injetivo de 𝑆𝑖.Logo 𝑀(𝑁, 𝑖) ≃ 𝐸(𝑆𝑖), e consequentemente, 𝑀(𝑁, 𝑖) ≃ 𝑃 (𝑆𝑖) ≃ 𝐸(𝑆𝑖).

Notemos que do Lema 3.1.9 e do Corolário 3.1.10 𝑀(𝑁, 𝑗), 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1 são todos os𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda projetivos (injetivos) e indecomponíveis que não são isomorfosentre si. Assim, desde que os 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda projetivos (injetivos) e inde-componíveis são uniseriais, então 𝑇𝑁(𝑞) é uma álgebra de Nakayama. Com isso, temos oseguinte resultado.

Teorema 3.1.11. Existem, a menos de isomorfismo, 𝑁2 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda in-decomponíveis de dimensão finita, à saber {𝑀(𝑙, 𝑖) | 𝑙 ∈ 𝐼1,𝑁 , 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1}.


Demonstração. Pela Proposição 2.2.103 temos que todo 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda fini-tamente gerado e indecomponível é isomorfo 𝑃/𝑟𝑎𝑑𝑛(𝑃 ), com 𝑛 ∈ 𝐼1,≤ℓℓ(𝑃 ), para algumum 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerda projetivo e indecomponível 𝑃 . Considere {𝑣𝑗 | 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁} abase canônica de 𝑀(𝑁, 𝑖) e {𝑣′

𝑗 | 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙} a base canônica de 𝑀(𝑙, 𝑖). Considere a trans-formação linear sobrejetora 𝜓 : 𝑀(𝑁, 𝑖) −→ 𝑀(𝑙, 𝑖) dada por 𝜓(𝑣𝑗) = 𝑣′

𝑗, para 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙

e 𝜓(𝑣𝑗) = 0, para 𝑗 ∈ 𝐼𝑙+1,𝑁 . Vejamos que 𝜓 é um homomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos àesquerda. De fato,

𝜓(𝑔𝑣𝑗) = 𝜓(𝑞𝑖−𝑗+1𝑣𝑗) = 𝑞𝑖−𝑗+1𝜓(𝑣𝑗) = 𝑞𝑖−𝑗+1𝑣′𝑗,

para todo 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙. Por outro lado, 𝑔𝜓(𝑣𝑗) = 𝑔𝑣′𝑗 = 𝑞𝑖−𝑗+1𝑣′

𝑗, para todo 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙. Alémdisso, 𝜓(ℎ𝑣𝑗) = 𝜓(𝑣𝑗+1) = 𝑣′

𝑗+1 = ℎ𝜓(𝑣𝑗). Agora se 𝑗 ∈ 𝐼𝑙+1,𝑁 temos que

𝜓(ℎ𝑣𝑗) = 𝜓(𝑣𝑗+1) = 0 = ℎ𝜓(𝑣𝑗)

e𝜓(𝑔𝑣𝑗) = 𝑞𝑖−𝑗+1𝜓(𝑣𝑗) = 0 = 𝑔𝜓(𝑣𝑗).

Além disso, 𝐾𝑒𝑟(𝜓) = 𝑟𝑎𝑑𝑙(𝑀(𝑁, 𝑖)). De fato, notemos que pela Proposição 2.2.93 eCorolário 3.1.4 temos que 𝑟𝑎𝑑𝑙(𝑀(𝑁, 𝑖)) = 𝐽(𝑇𝑁(𝑞))𝑙𝑀(𝑁, 𝑖) = ⟨ℎ𝑙⟩𝑀(𝑁, 𝑖). Assim,basta mostrarmos que 𝐾𝑒𝑟(𝜓) = ⟨ℎ𝑙⟩𝑀(𝑁, 𝑖). Seja 𝑥 = ∑

𝑖∈𝐼1,𝑁𝛼𝑖𝑣𝑖 ∈ 𝑀(𝑁, 𝑖) tal que

𝜓(𝑥) = 0. Então,

0 = 𝜓(𝑥) =∑𝑖∈𝐼1,𝑁

𝛼𝑖𝜓(𝑣𝑖) =∑𝑖∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑖𝜓(𝑣𝑖) +∑

𝑖∈𝐼𝑙+1,𝑁

𝛼𝑖𝜓(𝑣𝑖) =∑𝑖∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑖𝑣′𝑖.

Logo 𝛼𝑖 = 0, para todo 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑙, e consequentemente, 𝑥 = ∑𝑖∈𝐼1+𝑙,𝑁

𝛼𝑖𝑣𝑖. Portanto,∑

𝑖∈𝐼1,𝑁−1

𝛼𝑖+𝑙𝑣𝑖+𝑙 =∑

𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙

𝛼𝑖+𝑙ℎ𝑙𝑣𝑖 = ℎ𝑙

∑𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙

𝛼𝑖+𝑙𝑣𝑖 ∈ ⟨ℎ𝑙⟩𝑀(𝑁, 𝑖).

Seja 𝑥 = 𝑏ℎ𝑙𝑚 ∈ 𝑟𝑎𝑑𝑙(𝑀(𝑁, 𝑖)) = ⟨ℎ𝑙⟩𝑀(𝑁, 𝑖), ou seja, 𝑏 ∈ 𝑇𝑁(𝑞) e𝑚 = ∑𝑖∈𝐼1,𝑁

𝛼𝑖𝑣𝑖 ∈ 𝑀 ,𝛼𝑖 ∈ k para 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑁 . Então, 𝜓(𝑥) = 0 pois

𝑥 = 𝑏ℎ𝑙𝑚 = 𝑏ℎ𝑙

⎛⎝ ∑𝑖∈𝐼1,𝑁

𝛼𝑖𝑣𝑖

⎞⎠ = 𝑏

⎛⎝ ∑𝑖∈𝐼1,𝑁

𝛼𝑖ℎ𝑙𝑣𝑖

⎞⎠= 𝑏

⎛⎝ ∑𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙

𝛼𝑖ℎ𝑙𝑣𝑖 +

∑𝑖∈𝐼𝑁−𝑙+1,𝑁

𝛼𝑖ℎ𝑙𝑣𝑖

⎞⎠ = 𝑏

⎛⎝ ∑𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙

𝛼𝑖ℎ𝑙𝑣𝑖 + 0

⎞⎠= 𝑏


𝛼𝑖ℎ𝑙𝑣𝑖 = 𝑏


𝛼𝑖𝑣𝑖+𝑙.


3.2 O produto tensorial de módulos indecomponíveisNesta seção provaremos algumas propriedades sobre o produto tensorial dos mó-

dulos à esquerda indecomponíveis da álgebra de Taft 𝑇𝑁(𝑞), os quais foram totalmentedescritos na subseção anterior. Os resultados que mostraremos serão fundamentais paradescrever o anel de Green da Álgebra de Taft, visto que, estes módulos formam umaZ-base para o anel de Green de uma álgebra de Hopf de dimensão finita.

Lema 3.2.1. Sejam 𝑙 ∈ 𝐼1,𝑁 e 𝑟, 𝑟′ ∈ Z. Então,

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑆𝑟′ ≃ 𝑆𝑟′ ⊗𝑀(𝑙, 𝑟) ≃ 𝑀(𝑙, 𝑟 + 𝑟′).

Demonstração. Definimos 𝜓 :𝑀(𝑙, 𝑟)⊗𝑆𝑟′ −→ 𝑆𝑟′⊗𝑀(𝑙, 𝑟) por 𝜓(𝑣𝑗⊗𝑣) = 𝑞−𝑗𝑟′𝑣⊗𝑣𝑗, para

todo 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙. Claramente 𝜓 é um isomorfismo de k-espaços vetoriais. Resta mostrarmosque 𝜓 é um homomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Para tanto, é suficiente provarpara os geradores de 𝑇𝑁(𝑞) e para a base de 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑆𝑟′ . De fato,

𝜓(𝑔(𝑣𝑗 ⊗ 𝑣)) = 𝜓(𝑔𝑣𝑗 ⊗ 𝑔𝑣) = 𝜓(𝑞𝑟−𝑗+1𝑣𝑗 ⊗ 𝑞𝑟′𝑣) = 𝑞𝑟−𝑗+1𝑞𝑟

′𝜓(𝑣𝑗 ⊗ 𝑣)

= (𝑞𝑟+𝑟′−𝑗+1)𝑞−𝑗𝑟′𝑣 ⊗ 𝑣𝑗 = 𝑞𝑟+𝑟

′−𝑗(1+𝑟′)+1𝑣 ⊗ 𝑣𝑗 = 𝑞−𝑗𝑟′(𝑞𝑟′𝑣 ⊗ 𝑞𝑟−𝑗+1𝑣𝑗)

= 𝑞−𝑗𝑟′(𝑔𝑣 ⊗ 𝑔𝑣𝑗) = 𝑔(𝑞−𝑗𝑟′𝑣 ⊗ 𝑣𝑗) = 𝑔𝜓(𝑣𝑗 ⊗ 𝑣),

Logo, 𝜓(𝑔(𝑣𝑗 ⊗ 𝑣)) = 𝑔𝜓(𝑣𝑗 ⊗ 𝑣). Além disso,

𝜓(ℎ(𝑣𝑗 ⊗ 𝑣)) = 𝜓(𝑣𝑗 ⊗ ℎ𝑣 + ℎ𝑣𝑗 ⊗ 𝑔𝑣) = 𝜓(𝑣𝑗+1 ⊗ 𝑞𝑟𝑣) = 𝑞𝑟𝜓(𝑣𝑗+1 ⊗ 𝑣)

= 𝑞𝑟′(𝑞−(𝑗+1)𝑟′

𝑣 ⊗ 𝑣𝑗+1) = 𝑞−𝑗𝑟′𝑣 ⊗ 𝑣𝑗+1.

Por outro lado,

ℎ𝜓(𝑣𝑗 ⊗ 𝑣) = ℎ(𝑞−𝑗𝑟′𝑣 ⊗ 𝑣𝑗) = 𝑞−𝑗𝑟′

ℎ(𝑣 ⊗ 𝑣𝑗) = 𝑞−𝑗𝑟′(𝑣 ⊗ ℎ𝑣𝑗 + ℎ𝑣 ⊗ 𝑔𝑣𝑗)

= 𝑞−𝑗𝑟′𝑣 ⊗ 𝑣𝑗+1.

Para ver que 𝑆𝑟′ ⊗𝑀(𝑙, 𝑟) ≃ 𝑀(𝑙, 𝑟 + 𝑟′), consideremos 𝜑 : 𝑆𝑟′ ⊗𝑀(𝑙, 𝑟) −→ 𝑀(𝑙, 𝑟 + 𝑟′)dada por 𝜑(𝑣⊗ 𝑣𝑗) = 𝑣𝑗. Facilmente se vê que 𝜑 é um isomorfismo de k-espaços vetoriais.Mostremos que 𝜑 é um homomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. De fato,

𝜑(𝑔(𝑣 ⊗ 𝑣𝑗)) = 𝑞𝑟′𝑞𝑟−𝑗+1𝜑(𝑣 ⊗ 𝑣𝑗) = 𝑞𝑟+𝑟

′−𝑗+1𝑣𝑗 = 𝑔𝑣𝑗 = 𝑔𝜑(𝑣 ⊗ 𝑣𝑗).

𝜑(ℎ(𝑣 ⊗ 𝑣𝑗)) = 𝜑(𝑣 ⊗ ℎ𝑣𝑗 + ℎ𝑣 ⊗ 𝑔𝑣𝑗) = 𝜑(𝑣 ⊗ 𝑣𝑗+1) = 𝑣𝑗+1 = ℎ𝑣𝑗 = ℎ𝜑(𝑣 ⊗ 𝑣𝑗).

Observação 3.2.2. Note que como 𝑀(1, 𝑟) = 𝑆𝑟, em particular, pelo lema acima temosque 𝑆𝑟 ⊗ 𝑆𝑟′ ≃ 𝑆𝑟+𝑟′ e 𝑆𝑟 ⊗𝑀(𝑙, 0) ≃ 𝑀(𝑙, 0) ⊗ 𝑆𝑟 ≃ 𝑀(𝑙, 𝑟).


O lema anterior diz que o produto tensorial de um 𝑇𝑁(𝑞)-módulo à esquerdasimples por um indecomponível é comutativo, bem como prova que este continua sendoindecomponível.

Proposição 3.2.3. Sejam 𝑙 ∈ 𝐼2,𝑁 e 𝑟, 𝑟′ ∈ Z. Então, temos os seguintes isomorfismosde 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑁, 𝑟′) ≃ 𝑀(𝑁, 𝑟′) ⊗𝑀(𝑙, 𝑟) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙).

Demonstração. Sejam {𝑣𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑙} e {𝑢𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑁} as bases canônicas de 𝑀(𝑙, 𝑟) e de𝑀(𝑁, 𝑟′), respectivamente. Mostremos que 𝛾 = {𝑤𝑙,𝑗, ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1 | 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁 , 𝑠 ∈ 𝐼2,𝑙},é base de 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑁, 𝑟′), onde 𝑤𝑖,𝑗 := 𝑣𝑖 ⊗ 𝑢𝑗. Primeiramente, vejamos que 𝛾 é umconjunto linearmente independente. Sejam 𝛼𝑗, 𝛽𝑗,𝑠 ∈ k, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁 , 𝑠 ∈ 𝐼2,𝑙, tais que

0 =∑

𝑗∈𝐼1,𝑁

𝛼𝑗𝑤𝑙,𝑗 +∑

𝑗∈𝐼1,𝑁

∑𝑠∈𝐼2,𝑙

𝛽𝑗,𝑠ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1

=∑

𝑗∈𝐼1,𝑁


𝑗∈𝐼1,𝑁


𝛽𝑗,𝑠ℎ𝑗−1𝑣𝑙−(𝑠−1) ⊗ 𝑢1

=∑

𝑗∈𝐼1,𝑁


𝑗∈𝐼1,𝑁


𝛽𝑗,𝑠∑

𝑘∈𝐼𝑗−1

(𝑗 − 1𝑘

)𝑞

ℎ𝑗−1−𝑘𝑣𝑙−(𝑠−1) ⊗ 𝑔𝑗−1−𝑘ℎ𝑘𝑢1

=∑

𝑗∈𝐼1,𝑁


𝑗∈𝐼1,𝑁


𝛽𝑗,𝑠∑

𝑘∈𝐼𝑗−1

(𝑗 − 1𝑘

)𝑞

𝑣𝑙−𝑠+𝑗−𝑘 ⊗ 𝑞(𝑗−1−𝑘)(𝑟′−𝑘)𝑢𝑘+1

=∑

𝑗∈𝐼1,𝑁


𝑗∈𝐼1,𝑁

⎛⎝ ∑𝑘∈𝐼𝑗−1

(𝑗 − 1𝑘

)𝑞

⎛⎝ ∑𝑠∈𝐼2,𝑙

𝛽𝑗,𝑠𝑣𝑙−𝑠+𝑗−𝑘

⎞⎠⊗ 𝑞(𝑗−1−𝑘)(𝑟′−𝑘)𝑢𝑘+1

⎞⎠ .Na equação acima vamos separar os termos 𝑣𝑖 ⊗ 𝑢𝑁 , 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑁 dos demais. Note que noúltimo somatório isto ocorre quando 𝑘 + 1 = 𝑁 , ou equivalentemente quando 𝑗 = 𝑁 e𝑘 = 𝑁 − 1. Assim,

0 =∑

𝑗∈𝐼1,𝑁−1


𝑗∈𝐼1,𝑁−1

⎛⎝ ∑𝑘∈𝐼𝑗−1

(𝑗 − 1𝑘

)𝑞

⎛⎝ ∑𝑠∈𝐼2,𝑙

𝛽𝑗,𝑠𝑣𝑙−𝑠+𝑗−𝑘

⎞⎠⊗ 𝑞(𝑗−1−𝑘)(𝑟′−𝑘)𝑢𝑘+1

⎞⎠+


⎡⎣(𝑁 − 1𝑘

)𝑞

⎛⎝ ∑𝑠∈𝐼2,𝑙

𝛽𝑁,𝑠𝑣𝑙−𝑠+𝑁−𝑘

⎞⎠⊗ 𝑞(𝑁−1−𝑘)(𝑟′−𝑘)𝑢𝑘+1

⎤⎦+

𝛼𝑁𝑣𝑙 ⊗ 𝑢𝑁 +⎛⎝ ∑𝑠∈𝐼2,𝑙

𝛽𝑁,𝑠𝑣𝑙−𝑠+1

⎞⎠⊗ 𝑢𝑁 .

Como {𝑣𝑖⊗𝑢𝑗 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑙, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁} é base de 𝑀(𝑙, 𝑟)⊗𝑀(𝑁, 𝑟′), então 𝛼𝑁 = 𝛽𝑁,𝑠 = 0, paratodo 𝑠 ∈ 𝐼2,𝑙. Procedendo desta forma indutivamente, isto é, destacando os termos queacompanham o maior índice de 𝑢, concluímos que 𝛼𝑁−𝑝 = 𝛽𝑁−𝑝,𝑠 = 0, para cada 𝑠 ∈ 𝐼2,𝑙,𝑝 ∈ 𝐼𝑁−1. Portanto, 𝛼𝑗 = 𝛽𝑗,𝑠 = 0, para cada 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁 , 𝑠 ∈ 𝐼2,𝑙, e consequentemente 𝛾 élinearmente independente. Como 𝛾 é linearmente independente e a cardinalidade de 𝛾 éigual a dimensão de 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑁, 𝑟′), então 𝛾 é base de 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑁, 𝑟′).


Seja 𝛽 = ⋃𝑖∈𝐼1,𝑙

𝛽𝑖, onde 𝛽𝑖 = {𝑥𝑖𝑗 | 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁} é a base canônica de𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝑙).A aplicação 𝜓 : 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑁, 𝑟′) −→ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0

𝑀(𝑁, 𝑟+ 𝑟′ + 𝑖− 𝑙) dada por 𝜓(𝑤𝑙𝑗) = 𝑥1𝑗 e

𝜓(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1)1) = 𝑥𝑠𝑗+𝑁(𝑠−1), 𝑠 ∈ 𝐼2,𝑠 é claramente um isomorfismo de k-espaços vetoriais.Para provar que 𝜓 é um homomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda basta mostrar paraos geradores de 𝑇𝑁(𝑞). De fato,

𝜓(𝑔𝑤𝑙,𝑗) = 𝜓(𝑔(𝑣𝑙 ⊗ 𝑢𝑗)) = 𝜓(𝑞𝑟−𝑙+1𝑣𝑙 ⊗ 𝑞𝑟′−𝑗+1𝑢𝑗) = 𝑞𝑟−𝑙+1𝑞𝑟

′−𝑗+1𝜓(𝑣𝑙 ⊗ 𝑢𝑗)

= 𝑞𝑟+𝑟′+1−𝑙−𝑗+1𝑥1

𝑗 = 𝑞𝑟+𝑟′−𝑙−𝑗+2𝑥1

𝑗 = 𝑔𝑥1𝑗 = 𝑔𝜓(𝑤𝑙,𝑗),

𝜓(ℎ𝑤𝑙,𝑗) = 𝜓(ℎ(𝑣𝑙 ⊗ 𝑢𝑗)) = 𝜓(𝑣𝑙 ⊗ ℎ𝑢𝑗 + ℎ𝑣𝑙 ⊗ 𝑔𝑢𝑗) = 𝜓(𝑣𝑙 ⊗ 𝑢𝑗+1) = 𝑥1𝑗+1

= ℎ𝑥1𝑗 = ℎ𝜓(𝑤𝑙𝑗).

Além disso,

𝜓(𝑔ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1) = 𝜓(𝑞1−𝑗ℎ𝑗−1𝑔𝑤𝑙−(𝑠−1),1) = 𝑞1−𝑗𝜓(ℎ𝑗−1(𝑔𝑣𝑙−(𝑠−1) ⊗ 𝑔𝑢1))

= 𝑞1−𝑗𝑞𝑟−𝑙+𝑠𝑞𝑟′𝜓(ℎ𝑗−1𝑣𝑙−(𝑠−1) ⊗ 𝑢1) = 𝑞𝑟+𝑟

′−𝑙−𝑗+𝑠+1𝜓(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1)

= 𝑞𝑟+𝑟′−𝑙−𝑗+𝑠+1𝑥𝑠𝑗+𝑁(𝑠−1) = 𝑞𝑟+𝑟

′+𝑠−𝑙−(𝑗+𝑁(𝑠−1))+1𝑥𝑠𝑗+𝑁(𝑠−1)

= 𝑔𝑥𝑠𝑗+𝑁(𝑠−1) = 𝑔𝜓(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1),

𝜓(ℎ(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1)) = 𝜓(ℎ𝑗𝑤𝑙−(𝑠−1),1) = 𝑥𝑠𝑗+1+𝑁(𝑠−1) = ℎ𝑥𝑠𝑗+𝑁(𝑠−1)

= ℎ𝜓(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1).

Finalmente, para mostrar que 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑁, 𝑟′) ≃ 𝑀(𝑁, 𝑟′) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟) note quede maneira análoga ao que foi feito para mostrar que 𝛾 é base de 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑁, 𝑟′),podemos mostrar que 𝛾 = {��𝑗,𝑙, ℎ𝑗−1��1,𝑙−(𝑠−1) | 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁 , 𝑠 ∈ 𝐼2,𝑙}, é uma base de𝑀(𝑁, 𝑟′) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟), onde ��𝑗,𝑖 := 𝑢𝑗 ⊗ 𝑣𝑖, para quaisquer 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁 , 𝑖 ∈ 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙. Definimos𝜑 : 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑁, 𝑟′) −→ 𝑀(𝑁, 𝑟′) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟′) por 𝜑(𝑤𝑙,𝑗) = 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)��𝑗,𝑙, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑁 e𝜑(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1) = ℎ𝑗−1��1,𝑙−(𝑠−1), 𝑠 ∈ 𝐼𝑠,𝑙. Claramente 𝜑 é um isomorfismo de k-espaçosvetoriais. Resta mostrar que 𝜑 é um homomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Defato,

𝜑(ℎ𝑤𝑙,𝑗) = 𝜑(ℎ(𝑣𝑙 ⊗ 𝑢𝑗)) = 𝜑(𝑣𝑙 ⊗ 𝑢𝑗+1) = 𝜑(𝑤𝑙,𝑗+1) = 𝑞(𝑗+1)(𝑟−𝑙+1)��𝑗+1,𝑙,

𝜑(𝑔𝑤𝑙,𝑗) = 𝜑(𝑔(𝑣𝑙 ⊗ 𝑢𝑗)) = 𝜑(𝑔𝑣𝑙 ⊗ 𝑔𝑢𝑗) = 𝜑(𝑞𝑟−𝑙+1𝑣𝑙 ⊗ 𝑞𝑟′−𝑗+1𝑢𝑗)

= 𝑞𝑟−𝑙+1+𝑟′−𝑗+1𝜑(𝑣𝑙 ⊗ 𝑢𝑗) = 𝑞𝑟−𝑙+1+𝑟′−𝑗+1𝜑(𝑤𝑙,𝑗)

= 𝑞𝑟−𝑙+1+𝑟′−𝑗+1𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)��𝑗,𝑙.

Por outro lado,

ℎ𝜑(𝑤𝑙,𝑗) = ℎ(𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)��𝑗,𝑙) = 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)ℎ��𝑗,𝑙 = 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)ℎ(𝑢𝑗 ⊗ 𝑣𝑙)

= 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)(𝑢𝑗+1 ⊗ 𝑔𝑣𝑙) = 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)(𝑢𝑗+1 ⊗ 𝑞𝑟−𝑙+1𝑣𝑙)

= 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)𝑞𝑟−𝑙+1(𝑢𝑗+1 ⊗ 𝑣𝑙) = 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)+(𝑟−𝑙+1)(𝑢𝑗+1 ⊗ 𝑣𝑙)

= 𝑞(𝑗+1)(𝑟−𝑙+1)��𝑗+1,𝑙,


𝑔𝜑(𝑤𝑙,𝑗) = 𝑔(𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)��𝑗,𝑙) = 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)𝑔(𝑢𝑗 ⊗ 𝑣𝑙) = 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)(𝑔𝑢𝑗 ⊗ 𝑔𝑣𝑙)

= 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)(𝑞𝑟′−𝑗+1𝑢𝑗 ⊗ 𝑞𝑟−𝑙+1𝑣𝑙) = 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)𝑞𝑟′+𝑟−𝑗−𝑙+2(𝑢𝑗 ⊗ 𝑣𝑙)

= 𝑞𝑗(𝑟−𝑙+1)𝑞𝑟′+𝑟−𝑗−𝑙+2��𝑗,𝑙.

Além disso,

𝜑(ℎ(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1)) = 𝜑(ℎ𝑗𝑤𝑙−(𝑠−1),1)) = ℎ𝑗��1,𝑙−(𝑠−1) = ℎℎ𝑗−1��1,𝑙−(𝑠−1)

= ℎ𝜑(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1),

𝜑(𝑔ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1) = 𝜑(𝑞−(𝑗−1)ℎ𝑗−1𝑔𝑤𝑙−(𝑠−1),1) = 𝜑(𝑞−(𝑗−1)ℎ𝑗−1𝑔(𝑣𝑙−(𝑠−1) ⊗ 𝑢1))

= 𝑞−(𝑗−1)𝜑(ℎ𝑗−1(𝑞𝑟−𝑙+(𝑠−1)+1𝑣𝑙−(𝑠−1) ⊗ 𝑞𝑟′𝑢1))

= 𝑞−(𝑗−1)𝑞𝑟−𝑙+(𝑠−1)+1𝑞𝑟′𝜑(ℎ𝑗−1𝑣𝑙−(𝑠−1) ⊗ 𝑢1)

= 𝑞−(𝑗−1)+𝑟−𝑙+(𝑠−1)+1+𝑟′𝜑(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1)

= 𝑞−(𝑗−1)+𝑟−𝑙+(𝑠−1)+1+𝑟′ℎ𝑗−1��1,𝑙−(𝑠−1).

Por outro lado,

𝑔𝜑(ℎ𝑗−1𝑤𝑙−(𝑠−1),1) = 𝑔(ℎ𝑗−1��1,𝑙−(𝑠−1)) = 𝑞−(𝑗−1)ℎ𝑗−1𝑔��1,𝑙−(𝑠−1)

= 𝑞−(𝑗−1)ℎ𝑗−1𝑔(𝑢1 ⊗ 𝑣𝑙−(𝑠−1))

= 𝑞−(𝑗−1)ℎ𝑗−1(𝑔𝑢1 ⊗ 𝑔𝑣𝑙−(𝑠−1))

= 𝑞−(𝑗−1)ℎ𝑗−1(𝑞𝑟𝑢1 ⊗ 𝑞𝑟−(𝑙−(𝑠−1))+1𝑣𝑙−(𝑠−1))

= 𝑞−(𝑗−1)𝑞𝑟′𝑞𝑟−𝑙−(𝑠−1)+1ℎ𝑗−1𝑢1 ⊗ 𝑣𝑙−(𝑠−1)

= 𝑞−(𝑗−1)𝑞𝑟′+𝑟−𝑙+(𝑠−1)+1ℎ𝑗−1��1,𝑙−(𝑠−1).

Portanto, 𝜑 é um isomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda.

Segue do Lema 3.2.1 e da Proposição 3.2.3 que o produto tensorial entre dois 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda indecomponíveis 𝑀(𝑙, 𝑟) e 𝑀(𝑙′, 𝑟′) é comutativo quando 𝑙′ = 1 ou𝑙′ = 𝑁 . Queremos mostrar que isto vale para quaisquer 𝑙, 𝑙′ ∈ 𝐼1,𝑁 . Para isso, iremosutilizar o seguinte lema.

Lema 3.2.4. Sejam 𝑙 ∈ 𝐼2,𝑁−1 e 𝑟 ∈ Z. Então,

(i) 𝑀(𝑁, 𝑟) ⊗𝑀(2, 0) ≃ 𝑀(2, 0) ⊗𝑀(𝑁, 𝑟) ≃ 𝑀(𝑁, 𝑟 − 1) ⊕𝑀(𝑁, 𝑟);

(ii) 𝑀(2, 𝑟′) ⊗𝑀(𝑙, 𝑟) ≃ 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(2, 𝑟′) ≃ 𝑀(𝑙 + 1, 𝑟 + 𝑟′) ⊕𝑀(𝑙 − 1, 𝑟 + 𝑟′ − 1).

Demonstração. (i) Segue imediatamente da Proposição 3.2.3, para 𝑙 = 2.

(ii) Sejam {𝑣𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,2} e {𝑢𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑙} bases canônicas de 𝑀(2, 𝑟′) e de 𝑀(𝑙, 𝑟),respectivamente. Mostremos que 𝑀(2, 𝑟′)⊗𝑀(𝑙, 𝑟) ≃ 𝑀(𝑙+1, 𝑟+𝑟′)⊕𝑀(𝑙−1, 𝑟+𝑟′ −1).


Considere 𝑊1 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1) | 𝑗 ∈ 𝐼𝑙} e 𝑊2 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{ℎ𝑗(𝑤) | 𝑗 ∈ 𝐼𝑙−2}, onde𝑤 = 𝑣1 ⊗ 𝑢2 − (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1))𝑣2 ⊗ 𝑢1. Vejamos que 𝑊1, 𝑊2 são 𝑇𝑁(𝑞)-submódulosà esquerda de 𝑀(2, 𝑟′) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟). Claramente ℎ(ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1)) ∈ 𝑊1, para todo 𝑗 ∈ 𝐼𝑙.Provemos que ℎ𝑙+1(𝑣1 ⊗ 𝑢1) = 0. De fato, pela Proposição 2.3.31

ℎ𝑙+1(𝑣1 ⊗ 𝑢1) =∑𝑖∈𝐼𝑙+1

(𝑙 + 1𝑖

)𝑞

ℎ𝑖𝑣1 ⊗ 𝑔𝑖ℎ(𝑙+1)−𝑖𝑢1

=(𝑙 + 1

0

)𝑞

𝑣1 ⊗ ℎ𝑙+1𝑢1 +(𝑙 + 1

1

)𝑞

ℎ𝑣1 ⊗ 𝑔ℎ𝑙𝑢1

= 𝑣1 ⊗ 0 + (𝑙 + 1)𝑞 𝑣2 ⊗ 0 = 0.

Além disso,

𝑔ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1) = 𝑞−𝑗ℎ𝑗𝑔(𝑣1 ⊗ 𝑢1) = 𝑞−𝑗ℎ𝑗(𝑔𝑣1 ⊗ 𝑔𝑢1) = 𝑞−𝑗ℎ𝑗(𝑞𝑟′𝑣1 ⊗ 𝑞𝑟𝑢1)

= 𝑞−𝑗+𝑟′+𝑟ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1) ∈ 𝑊1, (3.3)

para todo 𝑗 ∈ 𝐼𝑙. Portanto, 𝑊1 é um 𝑇𝑁(𝑞)-submódulo à esquerda de 𝑀(2, 𝑟′) ⊗𝑀(𝑙, 𝑟).É claro que ℎℎ𝑗(𝑤) ∈ 𝑊2, para todo 𝑗 ∈ 𝐼𝑙−3. Vejamos que ℎ𝑙−1(𝑤) = 0. De fato,

ℎ𝑙−1(𝑤) = ℎ𝑙−1(𝑣1 ⊗ 𝑢2 − (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1))𝑣2 ⊗ 𝑢1)

= ℎ𝑙−1(𝑣1 ⊗ 𝑢2) − (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1))ℎ𝑙−1(𝑣2 ⊗ 𝑢1).

Considere 𝑐 = (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1)) = 𝑞𝑟−(𝑙−1)(1 + 𝑞 + · · · + 𝑞𝑙−2) = 𝑞𝑟−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞 naigualdade acima, assim

ℎ𝑙−1(𝑤) =∑𝑖∈𝐼𝑙−1

(𝑙 − 1𝑖

)𝑞

ℎ𝑖𝑣1 ⊗ 𝑔𝑖ℎ(𝑙−1)−𝑖𝑢2 − 𝑐∑𝑖∈𝐼𝑙−1

(𝑙 − 1𝑖

)𝑞

ℎ𝑖𝑣2 ⊗ 𝑔𝑖ℎ(𝑙−1)−𝑖𝑢1

=(𝑙 − 1

0

)𝑞

𝑣1 ⊗ ℎ𝑙−1𝑢2 +(𝑙 − 1

1

)𝑞

ℎ𝑣1 ⊗ 𝑔ℎ𝑙−2𝑢2

− 𝑐

⎛⎝(𝑙 − 10

)𝑞

𝑣2 ⊗ ℎ𝑙−1𝑢1 +(𝑙 − 1

1

)𝑞

ℎ𝑣2 ⊗ 𝑔ℎ𝑙−2𝑢1

⎞⎠= (𝑣1 ⊗ 0 + (𝑙 − 1)𝑞 𝑣2 ⊗ 𝑔𝑢𝑙) − 𝑐(𝑣2 ⊗ 𝑢𝑙 + (𝑙 − 1)𝑞 0 ⊗ 𝑔𝑢𝑙)

= (𝑙 − 1)𝑞𝑞𝑟−𝑙+1 (𝑣2 ⊗ 𝑢𝑙) − 𝑐(𝑣2 ⊗ 𝑢𝑙)

= (𝑙 − 1)𝑞𝑞𝑟−𝑙+1 (𝑣2 ⊗ 𝑢𝑙) − (𝑙 − 1)𝑞𝑞𝑟−𝑙+1 (𝑣2 ⊗ 𝑢𝑙) = 0.

Temos ainda,

𝑔ℎ𝑗(𝑤) = 𝑞−𝑗ℎ𝑗𝑔(𝑣1 ⊗ 𝑢2 − (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1))𝑣2 ⊗ 𝑢1)

= 𝑞−𝑗ℎ𝑗(𝑔(𝑣1 ⊗ 𝑢2) − (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1))𝑔(𝑣2 ⊗ 𝑢1))

= 𝑞−𝑗ℎ𝑗((𝑞𝑟′𝑣1 ⊗ 𝑞𝑟−1𝑢2) − (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1))(𝑞𝑟′−1𝑣2 ⊗ 𝑞𝑟𝑢1))

= 𝑞−𝑗ℎ𝑗(𝑞𝑟′+𝑟−1(𝑣1 ⊗ 𝑢2) − (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1))𝑞𝑟′+𝑟−1(𝑣2 ⊗ 𝑢1)

= 𝑞𝑟′+𝑟−𝑗−1ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1 − (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1))(𝑣2 ⊗ 𝑢1))

= 𝑞𝑟′+𝑟−𝑗−1ℎ𝑗(𝑤) ∈ 𝑊2, (3.4)


para todo 𝑗 ∈ 𝐼𝑙−2. Logo, 𝑊2 é um 𝑇𝑁(𝑞)-submódulo à esquerda de 𝑀(2, 𝑟′) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟).Consequentemente, 𝑊1 + 𝑊2 é um 𝑇𝑁(𝑞)-submódulo à esquerda de 𝑀(2, 𝑟′) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟).Além disso, 𝑊1 ∩𝑊2 = {0}. De fato, seja 𝑥 ∈ 𝑊1 ∩𝑊2 então

𝑥 =∑𝑗∈𝐼𝑙

𝛼𝑗ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1) =

∑𝑗=∈𝐼𝑙−2

𝛽𝑗ℎ𝑗(𝑤).

Vejamos,

𝑥 =∑𝑗∈𝐼𝑙

𝛼𝑗ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1) =

∑𝑗∈𝐼𝑙

𝛼𝑖

⎛⎝∑𝑘∈𝐼𝑗

(𝑗

𝑘

)𝑞

ℎ𝑘𝑣1 ⊗ 𝑔𝑘ℎ𝑗−𝑘𝑢1

⎞⎠= 𝛼0(𝑣1 ⊗ 𝑢1) +

∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑖


(𝑗

𝑘

)𝑞


⎞⎠= 𝛼0(𝑣1 ⊗ 𝑢1) +

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑗(𝑣1 ⊗ ℎ𝑗𝑢1 + (𝑗)𝑞 𝑣2 ⊗ 𝑔ℎ𝑗−1𝑢1)⎞⎠

= 𝛼0(𝑣1 ⊗ 𝑢1) +∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑗(𝑣1 ⊗ ℎ𝑗𝑢1 + (𝑗)𝑞 𝑣2 ⊗ 𝑞1−𝑗ℎ𝑗−1𝑔𝑢1)

= 𝛼0(𝑣1 ⊗ 𝑢1) +∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑗(𝑣1 ⊗ ℎ𝑗𝑢1 + (𝑗)𝑞 𝑣2 ⊗ 𝑞1−𝑗ℎ𝑗−1𝑞𝑟𝑢1)

= 𝛼0(𝑣1 ⊗ 𝑢1) +∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑗(𝑣1 ⊗ ℎ𝑗𝑢1 + (𝑗)𝑞 𝑣2 ⊗ 𝑞1−𝑗+𝑟ℎ𝑗−1𝑢1)

= 𝑣1 ⊗

⎛⎝∑𝑗∈𝐼𝑙

𝛼𝑗ℎ𝑗𝑢1

⎞⎠+ 𝑣2 ⊗

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑗𝑞1−𝑗+𝑟(𝑗)𝑞 ℎ𝑗−1𝑢1

⎞⎠= 𝑣1 ⊗

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼𝑙−1

𝛼𝑗𝑢𝑗+1

⎞⎠+ 𝑣2 ⊗

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑗𝑞1−𝑗+𝑟(𝑗)𝑞 𝑢𝑗

⎞⎠ . (3.5)

Por outro lado, de maneira análoga ao que foi feito acima, temos

𝑥 =∑

𝑗∈𝐼1,𝑙−2

𝛽𝑗ℎ𝑗(𝑤) =

∑𝑗∈𝐼1,𝑙−2

𝛽𝑗ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢2 − (𝑞𝑟−1 + · · · + 𝑞𝑟−(𝑙−1))(𝑣2 ⊗ 𝑢1))

= 𝛽0(𝑣1 ⊗ 𝑢2) − 𝛽0(𝑞𝑟−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞 𝑣2 ⊗ 𝑢1)+∑𝑗∈𝐼1,𝑙−2

𝛽𝑗


(𝑗

𝑘

)𝑞

ℎ𝑘𝑣1 ⊗ 𝑔𝑘ℎ𝑗−𝑘𝑢2 − (𝑞𝑟−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞)∑𝑘∈𝐼𝑗

(𝑗

𝑘

)𝑞


⎞⎠= 𝛽0(𝑣1 ⊗ 𝑢2 − 𝛽0(𝑞𝑟−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞 𝑣2 ⊗ 𝑢1)+∑𝑗∈𝐼1,𝑙−2

𝛽𝑗

⎛⎝⎛⎝𝑣1 ⊗ ℎ𝑗𝑢2 +(𝑗

1

)𝑞

ℎ𝑣1 ⊗ 𝑔ℎ𝑗−1𝑢2

⎞⎠− 𝑞𝑟−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞 𝑣2 ⊗ ℎ𝑗𝑢1)⎞⎠

= 𝛽0(𝑣1 ⊗ 𝑢2 − 𝛽0(𝑞𝑟−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞 𝑣2 ⊗ 𝑢1)+∑𝑗∈𝐼1,𝑙−2

𝛽𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢𝑗+2 + (𝑗)𝑞 𝑣2 ⊗ 𝑞−𝑗+𝑟𝑢𝑗+1 − 𝑞𝑟−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞 (𝑣2 ⊗ 𝑢𝑗+1)

)

= 𝑣1 ⊗

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼1,𝑙−2

𝛽𝑗𝑢𝑗+2

⎞⎠+ 𝑣2 ⊗

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼1,𝑙−2

𝛽𝑗((𝑗)𝑞 𝑞−𝑗+𝑟𝑥− 𝑞𝑟−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞) 𝑢𝑗+1)⎞⎠ .

(3.6)


De (3.5) e (3.6) segue que 𝛼0 = 0, 𝛼𝑗 = 𝛽𝑗−1, para todo 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙−1, 𝛼𝑙𝑞1−𝑙(𝑙)𝑞 = 0e 𝛼𝑗𝑞

1−𝑗(𝑗)𝑞 = 𝛽𝑗−1((𝑗 − 1)𝑞 𝑞−(𝑗−1)) − 𝑞−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞), 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙−1. Assim 𝛼𝑙 = 0 e𝛼𝑗[1 + 𝑞−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞] = 0. Note que 1 + 𝑞−(𝑙−1)(𝑙 − 1)𝑞 = 0 e consequentemente 𝑥 = 0.

Vejamos que 𝑊1 ≃ 𝑀(𝑙 + 1, 𝑟 + 𝑟′). Note que 𝛽 = {ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1) | 𝑗 ∈ 𝐼𝑗} é umabase de 𝑊1, pois dado 𝑥 = ∑

𝑗∈𝐼𝑗𝛼𝑗ℎ

𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1) = 0, onde 𝛼𝑗 ∈ k, 𝑗 ∈ 𝐼𝑗. Por (3.5) temosque

0 = 𝑥 = 𝑣1 ⊗

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼𝑙−1

𝛼𝑗𝑢𝑗+1

⎞⎠+ 𝑣2 ⊗

⎛⎝ ∑𝑗∈𝐼1,𝑙

𝛼𝑗𝑞1−𝑗+𝑟(𝑗)𝑞𝑢𝑗

⎞⎠ .Como {𝑣𝑖 ⊗ 𝑢𝑗+1 | 𝑖 ∈ 𝐼1,2, 𝑗 ∈ 𝐼1,𝑙} é uma base de 𝑀(2, 𝑟′) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟), então 𝛼𝑗 = 0,para todo 𝑗 ∈ 𝐼𝑙. Defina 𝜑 : 𝑊1 −→ 𝑀(𝑙 + 1, 𝑟 + 𝑟′) por 𝜑(ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1))) = 𝑥𝑗+1,𝑗 ∈ 𝐼𝑙. Claramente 𝜑 é um isomorfismo de k-espaços vetoriais. Resta mostrar que 𝜑 éum homomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda, para isso é suficiente mostrar para osgeradores 𝑔 e ℎ de 𝑇𝑁(𝑞). Então por (3.3) temos que 𝜑(𝑔ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1)) = 𝑞𝑟+𝑟

′−𝑗𝜑(ℎ𝑗(𝑣1 ⊗𝑢1)) = 𝑞𝑟+𝑟

′−𝑗𝑥𝑗+1. Por outro lado,

𝑔𝜑(ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1)) = 𝑔𝑥𝑗+1 = 𝑞𝑟+𝑟′−(𝑗+1)+1𝑥𝑗+1 = 𝑞𝑟+𝑟

′−𝑗𝑥𝑗+1.

Se 𝑗 ∈ 𝐼𝑙−1, então

𝜑(ℎℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1)) = 𝜑(ℎ𝑗+1(𝑣1 ⊗ 𝑢1)) = 𝑥𝑗+2 = ℎ𝑥𝑗+1 = ℎ𝜑(ℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1))

Agora se 𝑗 = 𝑙, então

𝜑(ℎℎ𝑙(𝑣1 ⊗ 𝑢1)) = 𝜑(ℎ𝑙+1(𝑣1 ⊗ 𝑢1)) = 0 = ℎ𝜑(ℎ𝑙(𝑣1 ⊗ 𝑢1)).

Portanto, 𝜑 é um isomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos.

Finalmente, mostremos que 𝑊2 ≃ 𝑀(𝑙 − 1, 𝑟 + 𝑟′ − 1). De fato, notemos que𝛼 = {ℎ𝑗(𝑤) | 𝑗 ∈ 𝐼𝑙−2} é uma base de 𝑊2, a prova é feita de maneira análoga aoque foi realizado para provar que 𝛽 é uma base de 𝑊1. Definimos o isomorfismo linear𝜓 : 𝑊2 −→ 𝑀(𝑙 − 1, 𝑟 + 𝑟′ − 1) por 𝜓(ℎ𝑗(𝑤)) = 𝑦𝑗+1, 𝑗 ∈ 𝐼𝑙−2. Da mesma forma, paramostrar que 𝜓 um homomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda é suficiente mostrar paraos geradores 𝑔 e ℎ de 𝑇𝑁(𝑞). Por (3.4) temos

𝜓(𝑔ℎ𝑗(𝑤)) = 𝑞𝑟′+𝑟−𝑗−1𝜓(ℎ𝑗(𝑤)) = 𝑞𝑟

′+𝑟−𝑗−1𝑦𝑗+1.

Por outro lado,

𝑔𝜓(ℎ𝑗(𝑤)) = 𝑔𝑦𝑗+1 = 𝑞𝑟+𝑟′−1−(𝑗+1)+1𝑦𝑗+1 = 𝑞𝑟+𝑟

′−𝑗−1𝑦𝑗+1.

Se 𝑗 ∈ 𝐼𝑙−3, então 𝜓(ℎℎ𝑗(𝑣1 ⊗ 𝑢1)) = 𝜓(ℎ𝑗+1(𝑤)) = 𝑦𝑗+2 = ℎ𝑥𝑗+1 = ℎ𝜓(ℎ𝑗(𝑤)). Agora,se 𝑗 = 𝑙 − 2, então 𝜓(ℎℎ𝑙−2(𝑤)) = 𝜓(ℎ𝑙−2(𝑤)) = 0 = ℎ𝜓(ℎ𝑙−1(𝑤)). Portanto 𝜓 é umisomorfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Como 𝑑𝑖𝑚k𝑊1⊕𝑊2 = 𝑑𝑖𝑚k𝑊1+𝑑𝑖𝑚k𝑊2 = 2𝑙,


ou seja, 𝑑𝑖𝑚k𝑊1 ⊕ 𝑊2 = 𝑑𝑖𝑚k𝑀(2, 𝑟′) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟). Logo, 𝑊1 ⊕ 𝑊2 = 𝑀(2, 𝑟′) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟)como k-espaço vetorial. Logo, como 𝑊1 ≃ 𝑀(𝑙 + 1, 𝑟 + 𝑟′) e 𝑊2 ≃ 𝑀(𝑙 − 1, 𝑟 + 𝑟′ − 1),segue que 𝑀(𝑙+1, 𝑟+ 𝑟′) ⊕𝑀(𝑙+ 1, 𝑟+ 𝑟′ − 1) ≃ 𝑀(2, 𝑟′) ⊗𝑀(𝑙, 𝑟), como 𝑇𝑁(𝑞)-módulosà esquerda.

Para mostrar que 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(2, 𝑟′) ≃ 𝑀(𝑙+ 1, 𝑟+ 𝑟′) ⊕𝑀(𝑙+ 1, 𝑟+ 𝑟′ − 1), noteque se definirmos 𝑊 ′ = {ℎ𝑗(𝑤′) | 𝑗 ∈ 𝐼𝑙−2}, onde 𝑤′ = (𝑙 − 1)𝑞 𝑞−(𝑟′−1)𝑢1 ⊗ 𝑣2 − 𝑢2 ⊗ 𝑣1,então de maneira análoga ao que foi feito acima, apenas trocando 𝑊2 por 𝑊 ′ teremos oresultado.

As duas próximas proposições serão necessárias para provar que o produto tensorialentre 𝑀(𝑙, 𝑟) e 𝑀(𝑙′, 𝑟′) comuta. Provaremos que 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′, 𝑟′) é soma direta demódulos à esquerda indecomponíveis, para tanto será necessário analisarmos os casos𝑙 + 𝑙′ ≤ 𝑁 e 𝑙 + 𝑙′ > 𝑁 .

Proposição 3.2.5. Sejam 𝑙, 𝑙′ ∈ 𝐼1,𝑁−1 e 𝑟, 𝑟′ ∈ Z. Se 𝑙 + 𝑙′ ≤ 𝑁 , então

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0),

onde 𝑙0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′}.

Demonstração. Convencionemos que 𝑀(0, 𝑟) = {0}. Suponha que 𝑙′ + 𝑙 ≤ 𝑁 . Provemoso resultado por indução sobre 𝑙′. Para 𝑙′ = 1 temos pelo Lema 3.2.1 que

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(1, 𝑟′) ≃ 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑆𝑟′ ≃ 𝑆𝑟′ ⊗𝑀(𝑙, 𝑟) ≃ 𝑀(𝑙, 𝑟 + 𝑟′).

Por outro lado, como 𝑙′ = 1 então 𝑙0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 1} = 1, e |𝑙 − 1| = 𝑙 − 1. Assim,⊕𝑖∈𝐼1,1𝑀(|𝑙 − 1| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 1) = 𝑀(𝑙, 𝑟 + 𝑟′). Suponhamos que o resultado sejaválido para 𝑙′ ∈ 𝐼1,𝑁−2 e mostremos que vale para 𝑙′ + 1 onde 𝑙′ + 𝑙 + 1 ≤ 𝑁 , ou seja,queremos provar que

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑘𝑀(|𝑙 − 𝑙′ − 1| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑘), (3.7)

onde 𝑘 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′ + 1}.

Iremos analisar o seguinte produto tensorial 𝑀(2, 0) ⊗𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) de duasmaneiras. Pelo Lema 3.2.4 (ii) e pela hipótese de indução temos que:

𝑀(2, 0) ⊗𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) ≃ (𝑀(2, 0) ⊗𝑀(𝑙, 𝑟)) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′)

≃ (𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(2, 0)) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′)

≃ 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ (𝑀(2, 0) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′))

≃ 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ (𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′) ⊕𝑀(𝑙′ − 1, 𝑟′ − 1)

≃ (𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′)) ⊕

⊕𝑖∈𝐼1,𝑡 𝑀(|𝑙 − 𝑙′ + 1| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ − 1 + 𝑖− 𝑡), (3.8)


onde 𝑡 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′ − 1}. Por outro lado, aplicando a hipótese de indução e o Lema 3.2.4(ii) temos que:

𝑀(2, 0) ⊗𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) ≃ 𝑀(2, 0) ⊗ (𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′))

≃ 𝑀(2, 0) ⊗(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0

𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0))

≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0(𝑀(2, 0) ⊗𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0))

≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0(𝑀(|𝑙 − 𝑙′| + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0)⊕

𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ − 1 + 𝑖− 𝑙0))

≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙 − 𝑙′| + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0)⊕

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ − 1 + 𝑖− 𝑙0). (3.9)

Para provar (3.7) vamos dividir a análise em três casos:1o Caso: 𝑙 ≤ 𝑙′ − 1.

Neste caso temos que 𝑡=𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′−1}= 𝑙, 𝑙0 =𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′}= 𝑙 e 𝑘=𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′+1}= 𝑙.Além disso, |𝑙 − 𝑙′ + 1| = (𝑙′ − 1) − 𝑙 e |𝑙 − 𝑙′| = 𝑙′ − 𝑙. Assim,

⊕𝑖∈𝐼1,𝑡𝑀(|𝑙−𝑙′+1|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑡) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙𝑀(𝑙′−1−𝑙−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑙)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙𝑀(𝑙′ − 𝑙 − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ − 1 + 𝑖− 𝑙)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙−𝑙′|−2+2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ − 1 + 𝑖− 𝑙0).

Consequentemente, de (3.8) e (3.9) temos que

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙 − 𝑙′| + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙𝑀(|𝑙 − 𝑙′ − 1| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑘𝑀(|𝑙 − 𝑙′ − 1| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑘),

pois |𝑙 − 𝑙′ − 1| − 1 + 2𝑖 = −𝑙 + 𝑙′ + 1 − 1 + 2𝑖 = 𝑙 − 𝑙′ + 2𝑖 = |𝑙 − 𝑙′| + 2𝑖.2o Caso: 𝑙 = 𝑙′.

Neste caso temos 𝑡=𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′−1}= 𝑙′−1, 𝑙0 =𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′}= 𝑙′ e 𝑘=𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′+1}= 𝑙′.Assim,

⊕𝑖∈𝐼1,𝑡𝑀(|𝑙−𝑙′+1|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑡) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙′−1𝑀(|1|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑙′+1)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙′−1𝑀(2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙′),

e, além disso

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙−𝑙′|−2+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑙0) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙′

𝑀(−2+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑙′)

= 𝑀(0, 𝑟+𝑟′−1+1− 𝑙′) ⊕(⊕𝑖∈𝐼2,𝑙′

𝑀(2(𝑖− 1), 𝑟 + 𝑟′ − 𝑙′ + (𝑖− 1)))

= ⊕𝑗∈𝐼1,𝑙′−1𝑀(2𝑗, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑗 − 𝑙′)


Consequentemente, de (3.8) e (3.9) temos que

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙 − 𝑙′| + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑘𝑀(|𝑙 − 𝑙′ + 1| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑘).

3o Caso: 𝑙 ≥ 𝑙′ + 1.

Neste caso temos 𝑡=𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′−1}= 𝑙′−1, 𝑙0 =𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′}= 𝑙′ e 𝑘=𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′+1}= 𝑙′+1.Além disso, |𝑙 − 𝑙′ + 1| = 𝑙 − 𝑙′ + 1. Assim,

⊕𝑖∈𝐼1,𝑡𝑀(|𝑙−𝑙′+1|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑡)=⊕𝑖∈𝐼1,𝑙′−1𝑀(𝑙−𝑙′+1−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑙′+1)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙′−1𝑀(𝑙 − 𝑙′ + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙′).(3.10)

Além disso, como |𝑙 − 𝑙′| = 𝑙 − 𝑙′, então

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙−𝑙′|− 2+ 2𝑖, 𝑟+ 𝑟′− 1+ 𝑖−𝑙0) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙′

𝑀(𝑙 − 𝑙′ − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ − 1 + 𝑖− 𝑙′)

= 𝑀(𝑙 − 𝑙′, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑙′)⊕(⊕𝑖∈𝐼2,𝑙′

𝑀(𝑙 − 𝑙′ − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ − 1 + 𝑖− 𝑙′))

= 𝑀(𝑙 − 𝑙′, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑙′) ⊕(⊕𝑖∈𝐼2,𝑙′

𝑀(𝑙 − 𝑙′+2(𝑖− 1), 𝑟 + 𝑟′ − 𝑙′ + 𝑖− 1))

= (𝑀(𝑙 − 𝑙′, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑙′)) ⊕(⊕𝑗∈𝐼1,𝑙′−1𝑀(𝑙 − 𝑙′ + 2𝑗, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑙′ + 𝑗)

).

(3.11)

Logo por (3.8) e (3.9), temos que

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙 − 𝑙′| + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0) ⊕𝑀(𝑙 − 𝑙′, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑙′).

Mas,

⊕𝑖∈𝐼1,𝑘𝑀(|𝑙−𝑙′−1|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝑘) =⊕𝑖∈𝐼1,𝑙′+1𝑀(𝑙−𝑙′−1−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝑙′−1)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙′+1𝑀(𝑙 − 𝑙′ − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙′ − 1)

= (𝑀(𝑙 − 𝑙′, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑙′)) ⊕(⊕𝑖∈𝐼2,𝑙′+1𝑀(𝑙 − 𝑙′ + 2(𝑖− 1), 𝑟+𝑟′+(𝑖−1)−𝑙′)

)= (𝑀(𝑙 − 𝑙′, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑙′)) ⊕(⊕𝑗∈𝐼1,𝑙0

𝑀(𝑙 − 𝑙′ + 2𝑗, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙′ − 1)),

então segue o resultado.

Proposição 3.2.6. Sejam 𝑙, 𝑙′ ∈ 𝐼1,𝑁−1 e 𝑟, 𝑟′ ∈ Z. Se 𝑙 + 𝑙′ > 𝑁 , então

𝑀(𝑙, 𝑟)⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) ≃(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1

𝑀(|𝑙−𝑙′|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝑙0))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖))

onde 𝑙0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′} e 𝑙1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑙, 𝑙′}.


Demonstração. Convencionemos que ⊕𝑖∈𝐼1,𝑡𝑀(𝑛𝑖, 𝑠𝑖)={0}, quando 𝑡 ≤ 0 e 𝑀(𝑙, 𝑟)={0},quando 𝑙 ≤ 0. Suponhamos que 𝑙′ + 𝑙 > 𝑁 . Provaremos o resultado por indução sobre𝑙′. Observemos que se 𝑙′ = 1, então 𝑙 + 1 > 𝑁 , o que é uma contradição pois 𝑙 ≤ 𝑁 − 1.Logo, 𝑙′ > 1. Suponhamos que 𝑙′ = 2. Como 𝑙 + 2 > 𝑁 , então 𝑙 > 𝑁 − 2. Porém, 𝑙 < 𝑁 ,consequentemente 𝑙 = 𝑁 − 1. Se 𝑁 = 2, então 𝑙0 = 𝑙 = 1 e 𝑙1 = 2. Neste caso, pelo Lema3.2.4 (ii), temos

𝑀(1, 𝑟) ⊗𝑀(2, 𝑟′) ≃ 𝑀(2, 𝑟 + 𝑟′) ⊕𝑀(0, 𝑟 + 𝑟′ − 1) ≃ 𝑀(2, 𝑟 + 𝑟′).

Por outro lado,(⊕𝑖∈𝐼1,2−2𝑀(|1 − 2| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖 − 2)

)⊕(⊕𝑖∈𝐼1,1𝑀(2, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖)

)≃ 𝑀(2, 𝑟 + 𝑟′).

Consequentemente, o resultado vale. Se 𝑁 ≥ 3, então 𝑙1 = 𝑚𝑎𝑥{2, 𝑁 − 1} = 𝑁 − 1 e𝑙0 = 𝑚𝑖𝑛{2, 𝑁 − 1} = 2. Pelo Lema 3.2.4 (i), temos

𝑀(𝑁 − 1, 𝑟) ⊗𝑀(2, 𝑟′) ≃ 𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′) ⊕𝑀(𝑁 − 2, 𝑟 + 𝑟′ − 1).

Por outro lado,(⊕𝑖∈𝐼1,1𝑀(|𝑁−3|−1+ 2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−2)

)⊕(⊕𝑖∈𝐼1,1𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖)

)≃ 𝑀(𝑁−2, 𝑟+𝑟′−1)

⊕𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′).

Assim, o resultado também é válido neste caso. Portanto, o resultado é válido quando𝑙′ = 2 e 𝑁 ≥ 3. Suponhamos que o resultado é válido para 𝑙′ e mostremos que vale para𝑙′ + 1, ou seja, devemos provar que

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′) ≃(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝐿1

𝑀(|𝑙 − (𝑙′ + 1)| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝐿0))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+(𝑙′+1)−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖)), (3.12)

onde 𝐿0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′+1} e 𝐿1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑙, 𝑙′+1}. Assim como foi feito na proposição anterior,iremos analisar o produto tensorial 𝑀(2, 0) ⊗ 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′, 𝑟′) de duas maneiras. PeloLema 3.2.4 e pela hipótese de indução temos

(𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′, 𝑟′)) ⊗ 𝑀(2, 0) ≃((

⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖 − 𝑙0)

)⊕(

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖)

))⊗ 𝑀(2, 0)

≃(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1

𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖 − 𝑙0) ⊗ 𝑀(2, 0))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖) ⊗ 𝑀(2, 0))

≃(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1

𝑀(|𝑙 − 𝑙′| + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖 − 𝑙0))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1

𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖 − 1 − 𝑙0))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′−𝑖))

(3.13)


onde 𝑙0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′} e 𝑙1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑙, 𝑙′}. Por outro lado, aplicando a hipótese de indução eo Lema 3.2.4 (ii) temos

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ ((𝑀(𝑙′, 𝑟′) ⊗ 𝑀(2, 0)) ≃ 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ (𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′) ⊕ 𝑀(𝑙′ − 1, 𝑟′ − 1))

≃ (𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′)) ⊕ (𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′ − 1, 𝑟′ − 1))

≃ (𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′)) ⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑘1

𝑀(|𝑙−(𝑙′−1)|−1+2𝑖, 𝑟+(𝑟′−1)+𝑖−𝑘0))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+(𝑙′−1)−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+(𝑟′−1)+1−𝑖)), (3.14)

onde 𝑘0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′ − 1} e 𝑘1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑙, 𝑙′ − 1}. Como na proposição anterior, dividiremosa análise em casos.1o Caso: 𝑙 ≥ 𝑙′ + 1 e 𝑙 + 𝑙′ = 𝑁 + 1.

Neste caso, 𝑙0 = 𝑙′, 𝑘0 = 𝑙′ − 1, 𝐿0 = 𝑙′ + 1 e 𝑙1 = 𝑘1 = 𝐿1 = 𝑙. Além disso,|𝑙 − 𝑙′| = 𝑙 − 𝑙′ e |𝑙 − (𝑙′ − 1)| = 𝑙 − 𝑙′ + 1. Assim,

⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1𝑀(|𝑙−𝑙′|+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝑙0) = (⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙

𝑀(𝑙 − 𝑙′ + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙′))⊕

= (⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑘1𝑀(|𝑙−(𝑙′−1)|−1+2𝑖, 𝑟+(𝑟′−1)+𝑖−𝑘0)),

(3.15)

e, ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−1−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖) = {0}. Assim, de (3.13) e (3.14) temos

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′+1, 𝑟′) ≃ (⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙𝑀(𝑙−𝑙′−2+2𝑖, 𝑟+𝑟′+ 𝑖−1−𝑙′)) ⊕

(𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′) ⊕ 𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′−1))

= (⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙𝑀(𝑙−𝑙′− 2+ 2𝑖, 𝑟+𝑟′+ 𝑖−1−𝑙′)) ⊕ (⊕𝑖∈𝐼1,2𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖))

= (⊕𝑖∈𝐼1,𝑙′−1𝑀(𝑙−𝑙′− 2+ 2𝑖, 𝑟+𝑟′+ 𝑖−1−𝑙′)) ⊕ (⊕𝑖∈𝐼1,2𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖)).

como queríamos.2o Caso: 𝑙 ≥ 𝑙′ + 1 e 𝑙 + 𝑙′ ≥ 𝑁 + 2.

Neste caso, ainda temos que 𝑙0 = 𝑙′, 𝑘0 = 𝑙′ − 1, 𝐿0 = 𝑙′ + 1 e 𝑙1 = 𝑘1 = 𝐿1 = 𝑙.Além disso, |𝑙 − 𝑙′| = 𝑙 − 𝑙′ e |𝑙 − (𝑙′ − 1)| = 𝑙 − 𝑙′ + 1. Então,(

⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝐿1𝑀(|𝑙−(𝑙′+1)|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝐿0)

)⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+(𝑙′+1)−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖))

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙𝑀(𝑙 − 𝑙′ − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 1 − 𝑙′) ⊕

(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′+1−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖)).

(3.16)

Notemos que

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′+1−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖)⊕ (3.17)

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − (𝑙 + 𝑙′ + 1 −𝑁))

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖)⊕𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+𝑁−(𝑙+𝑙′))

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖)⊕𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+𝑁−(𝑙+𝑙′)),

(3.18)


e,

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−1−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖) ⊕𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−1−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖) ⊕𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ +𝑁 − 𝑙 − 𝑙′).

(3.19)

Logo, de (3.17) e (3.19)

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′+1−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖) ⊕ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−1−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖) ⊕ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖). (3.20)

Temos de (3.16) e (3.17) que(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝐿1

𝑀(|𝑙−(𝑙′+1)|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝐿0))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+(𝑙′+1)−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖))

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙𝑀(𝑙 − 𝑙′ − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 1 − 𝑙′) ⊕ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖) ⊕

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ +𝑁 − (𝑙 + 𝑙′)).

Com isso, de (3.20),(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝐿1

𝑀(|𝑙−(𝑙′+1)|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝐿0))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+(𝑙′+1)−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖))

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙𝑀(𝑙 − 𝑙′ − 2 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 1 − 𝑙′) ⊕ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖)⊕

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖).

Da igualdade acima e de (3.15), temos que o resultado segue de (3.13) e (3.14).3o Caso: 𝑙 = 𝑙′.

Neste caso, 𝑙0 = 𝑙′, 𝑘0 = 𝑙′ − 1, 𝐿0 = 𝑙, 𝑙1 = 𝑙′, 𝑘1 = 𝑙 e 𝐿1 = 𝑙′ + 1. Assim,

⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1𝑀(|𝑙 − 𝑙′|+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝑙0) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙′

𝑀(2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙′)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙𝑀(2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖− 𝑙′). (3.21)

Além disso,((⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙′−1𝑀(2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙)

)⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′+1−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖)))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−1−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖)). (3.22)

Notemos que 𝑙 + 𝑙′ = 𝑁 + 1 então 𝑙 + 𝑙′ −𝑁 = 1. Consequentemente, (3.22) se torna(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙′−1𝑀(2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙)

)⊕𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′) ⊕𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 1).


Logo, de (3.21) e da igualdade acima temos que o resultado segue de (3.13) e (3.14).Agora, se 𝑙 + 𝑙′ ≥ 𝑁 + 2 temos

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖) ⊕

(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖))

=((

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁−1𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′−𝑖))

⊕𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′−𝑙−𝑙′+𝑁))

⊕

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖)

=(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁−1𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖)

)⊕

⎛⎝𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑙 − 𝑙′ +𝑁)⊕

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖)

⎞⎠=(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁−1𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖)

)⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁+1𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖)

).

Portanto usando a igualdade acima em (3.22) temos que o resultado segue por (3.13) e(3.14).4o Caso: 𝑙 ≤ 𝑙′ − 1.

Neste caso, 𝑙0 = 𝑙, 𝑘0 = 𝑙, 𝐿0 = 𝑙, 𝑙1 = 𝑙′, 𝑘1 = 𝑙′ − 1 e 𝐿1 = 𝑙′ + 1. Além disso,|𝑙 − 𝑙′| = 𝑙′ − 𝑙. Assim,

⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑘1𝑀(|𝑙−(𝑙′−1)|−1+2𝑖, 𝑟+(𝑟′−1)+𝑖−𝑘0) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙′+1𝑀(𝑙′−1−𝑙−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑙)

= 𝑀(𝑙′−𝑙, 𝑟+𝑟′−𝑙)⊕(⊕𝑖∈𝐼2,𝑁−𝑙′+1𝑀(𝑙′−𝑙−2+2𝑖, 𝑟+𝑟′−1+𝑖−𝑙)

)= 𝑀(𝑙′−𝑙, 𝑟+𝑟′−𝑙)⊕(⊕𝑗∈𝐼1,𝑁−𝑙′ 𝑀(𝑙′−𝑙+2𝑗, 𝑟+𝑟′+𝑗−𝑙)

)(3.23)

Notemos que

⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1𝑀(|𝑙−𝑙′|−2+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−1−𝑙0) = ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙′ 𝑀(𝑙′−𝑙−2+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−1−𝑙)

=(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙′ 𝑀(𝑙′−𝑙−2+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−1 −𝑙)

)⊕

𝑀(𝑙′−𝑙, 𝑟+𝑟′−𝑙)

=(⊕𝑁−𝑙′−1𝑖=1 𝑀(𝑙′−𝑙−2𝑗, 𝑟+𝑟′+𝑗−𝑙)

)⊕ 𝑀(𝑙′−𝑙, 𝑟+𝑟′−𝑙), (3.24)

e

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′+1−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖) =

(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖))

⊕ 𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑁 − 𝑙 − 𝑙′)

= ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖) ⊕ 𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑁 − 𝑙 − 𝑙′).

(3.25)

Além disso,

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ − 𝑖) =

(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁−1𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′−𝑖)

)⊕ 𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑁 − 𝑙 − 𝑙′).

(3.26)


Logo, de (3.25) e (3.26) temos

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′+1−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖)⊕

(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁−1𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′−𝑖)

)=⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖)⊕

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖).

Portanto de (3.13) e (3.14) temos(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙′−1𝑀(𝑙′−𝑙−2𝑗, 𝑟+𝑟′+𝑗−𝑙)

)⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′+1−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1−𝑖))

≃𝑀(𝑙, 𝑟)⊗𝑀(𝑙′+1, 𝑟′).

Logo, em ambos os casos, temos que vale

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′ + 1, 𝑟′) ≃(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝐿1

𝑀(|𝑙 − (𝑙′ + 1)| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖 − 𝐿0))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+(𝑙′+1)−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑖))

, (3.27)

onde 𝐿0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′ + 1} e 𝐿1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑙, 𝑙′ + 1}.

Do Lema 3.2.1 e das Proposições 3.2.3, 3.2.5 e 3.2.6 segue imediatamente o seguintecorolário.

Corolário 3.2.7. Sejam 𝑙, 𝑙′ ∈ 𝐼1,𝑁 e 𝑟, 𝑟′ ∈ Z. Então,

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) ≃ 𝑀(𝑙′, 𝑟′) ⊗𝑀(𝑙, 𝑟).

Demonstração. Se 𝑙, 𝑙′ ∈ 𝐼1,𝑁−1, então o resultado segue das Proposições 3.2.5 e 3.2.6, umavez que 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′} = 𝑚𝑖𝑛{𝑙′, 𝑙}, 𝑚𝑎𝑥{𝑙, 𝑙′} = 𝑚𝑎𝑥{𝑙′, 𝑙} e |𝑙 − 𝑙′| = |𝑙′ − 𝑙|. Se 𝑙 ∈ 𝐼2,𝑁 e𝑙′ = 𝑁 ou 𝑙′ ∈ 𝐼2,𝑁 e 𝑙 = 𝑁 , então o resultado segue do Lema 3.2.3. Por fim, se 𝑙 = 𝑙′ = 1,então o resultado segue do Lema 3.2.1.

Corolário 3.2.8. Sejam 𝑀 e 𝑁 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda finitamente gerados. Então,

𝑀 ⊗𝑁 ≃ 𝑁 ⊗𝑀.

Demonstração. Como 𝑀 e 𝑁 são 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda finitamente gerados então 𝑀e 𝑁 possuem comprimento finito como 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Assim, pelo Teoremade Krull-Schmidt temos 𝑀 ≃ ⊕𝑡∈𝐼1,𝑟𝑀𝑡 e 𝑁 ≃ ⊕𝑗∈𝐼1,𝑠𝑁𝑗, onde cada 𝑀𝑡, 𝑁𝑗 são 𝑇𝑁(𝑞)-submódulos à esquerda indecomponíveis de 𝑀 e 𝑁 , respectivamente. Pelo Teorema 3.1.11segue que 𝑀𝑡 ≃ 𝑀(𝑙𝑡, 𝑖𝑡), para 𝑙𝑡 ∈ 𝐼1,𝑁 , 𝑖𝑡 ∈ 𝐼𝑁−1 e 𝑁𝑗 ≃ 𝑀(𝑙′𝑗, 𝑖′𝑗), para 𝑙′𝑡 ∈ 𝐼1,𝑁 ,𝑖′𝑡 ∈ 𝐼𝑁−1. Assim,

𝑀 ⊗𝑁 ≃(⊕𝑡∈𝐼1,𝑟𝑀𝑡

)⊗(⊕𝑗∈𝐼1,𝑠𝑁𝑗

)≃ ⊕𝑡∈𝐼1,𝑟 ⊕𝑗∈𝐼1,𝑠 (𝑀𝑡 ⊗𝑁𝑗)

≃ ⊕𝑗∈𝐼1,𝑠 ⊕𝑡∈𝐼1,𝑟 𝑀(𝑙𝑡, 𝑖𝑡) ⊗𝑀(𝑙′𝑗, 𝑖′𝑗) ≃ ⊕𝑗∈𝐼1,𝑠 ⊕𝑡∈𝐼1,𝑟 𝑀(𝑙′𝑗, 𝑖′𝑗) ⊗𝑀(𝑙𝑡, 𝑖𝑡)

≃ ⊕𝑗∈𝐼1,𝑠 ⊕𝑡∈𝐼1,𝑟 𝑁𝑗 ⊗𝑀𝑡 ≃(⊕𝑗∈𝐼1,𝑠𝑁𝑗

)⊗(⊕𝑡∈𝐼1,𝑟𝑀𝑡

)≃ 𝑁 ⊗𝑀.


Corolário 3.2.9. Sejam 𝑙, 𝑙′ ∈ 𝐼1,𝑁−1 e 𝑟, 𝑟′ ∈ Z. Então, 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′, 𝑟′) tem umsomando simples se e somente se 𝑙 = 𝑙′.

Demonstração. Suponhamos que 𝑙 = 𝑙′. Se 2𝑙 ≤ 𝑁 , então pela Proposição 3.2.5 temosque

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(−1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0)

= 𝑀(1, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑙0) ⊕ ⊕𝑖∈𝐼2,𝑙0𝑀(1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0)

onde 𝑙0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙} = 𝑙. Agora, se 2𝑙 > 𝑁 pela Proposição 3.2.6

𝑀(𝑙, 𝑟)⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′)≃(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙

𝑀(−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝑙))⊕(⊕𝑖∈𝐼1,2𝑙−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1+𝑖))

≃(𝑀(1, 𝑟 + 𝑟′ + 1 − 𝑙) ⊕ ⊕𝑖∈𝐼2,𝑁−𝑙

𝑀(−1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙))

⊕(⊕𝑖∈𝐼1,2𝑙−𝑁

𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 + 𝑖)),

onde 𝑙0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙} = 𝑙 e 𝑙1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑙, 𝑙} = 𝑙.

Reciprocamente, suponhamos que 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗ 𝑀(𝑙′, 𝑟′) possui um somando diretosimples. Se 𝑙 + 𝑙′ ≤ 𝑁 pela Proposição 3.2.5,

𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) ≃ ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙0𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0),

onde 𝑙0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′}. Assim, como 𝑀(𝑙, 𝑟) ⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) possui um somando simples, existe𝑖 ≥ 1 tal que |𝑙− 𝑙′| − 1 + 2𝑖 = 1. Consequentemente, |𝑙− 𝑙′| = 2(1 − 𝑖). Para 𝑖 ≥ 2, temosque 2(1 − 𝑖) ≤ 0, o que não ocorre, pois |𝑙 − 𝑙′| ≥ 0. Então, 𝑖 = 1 e assim |𝑙 − 𝑙′| = 0.Portanto, 𝑙 = 𝑙′. Agora, se 𝑙 + 𝑙′ < 𝑁 pela Proposição 3.2.6, temos

𝑀(𝑙, 𝑟)⊗𝑀(𝑙′, 𝑟′) ≃(⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1

𝑀(|𝑙 − 𝑙′| − 1 + 2𝑖, 𝑟 + 𝑟′ + 𝑖− 𝑙0))⊕(

⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟 + 𝑟′ + 1 + 𝑖)

),

onde 𝑙0 = 𝑚𝑖𝑛{𝑙, 𝑙′} e 𝑙1 = 𝑚á𝑥{𝑙, 𝑙′}. Como 𝑁 ≥ 2, a soma ⊕𝑖∈𝐼1,𝑙+𝑙′−𝑁𝑀(𝑁, 𝑟+𝑟′+1+𝑖)

não possui um somando simples, consequentemente, ⊕𝑖∈𝐼1,𝑁−𝑙1𝑀(|𝑙−𝑙′|−1+2𝑖, 𝑟+𝑟′+𝑖−𝑙0)

possui um somando simples. Logo, pelo mesmo argumento utilizado anteriormente, temos𝑙 = 𝑙′.

Consideremos 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) o anel de Green da álgebra de Taft. Notemos que dadosquaisquer elementos [𝑀 ] e [𝑁 ] ∈ 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)), [𝑀 ][𝑁 ] = [𝑁 ][𝑀 ], pois vimos no Corolário3.2.8 que 𝑀 ⊗𝑁 ≃ 𝑁 ⊗𝑀 , para quaisquer 𝑀 e 𝑁 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. Com isso,segue imediatamente o seguinte resultado.

Lema 3.2.10. O anel de Green da álgebra de Taft, 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) é um anel comutativo.


Observemos que a unidade de 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) é o 𝑇𝑁(𝑞)-módulo simples 𝑆0.

Os próximos resultados irão na direção de caracterizar o anel de Green da álgebrade Taft. Veremos que 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) é isomorfo a um quociente do anel de polinômios sobreZ nas variáveis 𝑦 e 𝑧, Z[𝑦, 𝑧]. Por conta disto introduzimos algumas notações que irãofacilitar na identificação. Denote 𝑎 = [𝑆−1] e 𝑥 = [𝑀(2, 0)].

Lema 3.2.11. Com as notações anteriores, valem as seguintes afirmações:

(i) 𝑎𝑁 = 1 e [𝑀(𝑙, 𝑟)] = 𝑎𝑁−𝑟[𝑀(𝑙, 0)], para todo 𝑙 ∈ 𝐼2,𝑁 e 𝑟 ∈ Z𝑁 ;

(ii) se 𝑁 > 2 então [𝑀(𝑙 + 1, 0)] = 𝑥[𝑀(𝑙, 0)] − 𝑎[𝑀(𝑙 − 1, 0)], para todo 𝑙 ∈ 𝐼2,𝑁−1;

(iii) 𝑥[𝑀(𝑁, 0)] = (𝑎+ 1)[𝑀(𝑁, 0)];

(iv) 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) é gerado por 𝑎 e 𝑥 como anel.

Demonstração. (i) Iniciaremos provando que [𝑎]𝑘 = [𝑆−𝑘], para todo 𝑘 ∈ N. Com efeito,provemos por indução sobre 𝑘. Como 𝑎⊗ 𝑎 ≃ 𝑆−1 ⊗ 𝑆−1 ≃ 𝑆−2, então

[𝑎]2 = [𝑆−1 ⊗ 𝑆−1] = [𝑆−2].

Suponhamos que o resultado seja válido para 𝑘 e provemos que vale para 𝑘 + 1. Então,

[𝑎]𝑘+1 = [𝑎]𝑘[𝑎] = [𝑆−𝑘][𝑆−1] = [𝑆−𝑘 ⊗ 𝑆−1] = [𝑆−(𝑘+1)],

pois 𝑆−𝑘 ⊗ 𝑆−1 ≃ 𝑆−(𝑘+1). Assim, 𝑎𝑁 = [𝑆−1]𝑁 = [𝑆𝑁 ], consequentemente basta provarque 𝑆−𝑁 ≃ 𝑆0 como 𝑇𝑁(𝑞)-módulo. Definimos 𝜑 : 𝑆−𝑁 −→ 𝑆0 dada por 𝜑(𝑣) = 𝑣′.Claramente 𝜑 é um isomorfismo de k-espaços vetoriais. Resta mostrar que 𝜑 é um homo-morfismo de 𝑇𝑁(𝑞)-módulos à esquerda. De fato, é suficiente provar para o gerador 𝑔 de𝑇𝑁(𝑞), pelo Lema 3.1.7. De fato, como 𝑞 é uma raiz 𝑁 -ésima primitiva da unidade temosque

𝜑(𝑔𝑣) = 𝜑(𝑞−𝑁𝑣) = 𝑞−𝑁𝜑(𝑣) = 𝑣′ = 𝑞0𝑣′ = 𝑞0𝜑(𝑣) = 𝑔𝜑(𝑣).

Por fim,

𝑎𝑁−𝑟[𝑀(𝑙, 0)] = [𝑆−1]𝑁−𝑟[𝑀(𝑙, 0)] = ([𝑆−1]𝑁 [𝑆−1]−𝑟)[𝑀(𝑙, 0)]

= ([𝑆0][𝑆−1]−𝑟)[𝑀(𝑙, 0)] = [𝑆𝑟][𝑀(𝑙, 0)] = [𝑀(𝑙, 𝑟)],

pois 𝑆𝑟 ⊗𝑀(𝑙, 0) ≃ 𝑀(𝑙, 𝑟).

(ii) Note que pelos Lemas 3.2.1 e 3.2.4 (ii) temos

𝑀(2, 0) ⊗𝑀(𝑙, 0) ≃ 𝑀(𝑙 + 1, 0) ⊕𝑀(𝑙 − 1,−1) ≃ 𝑀(𝑙 + 1, 0) ⊕ (𝑆1 ⊗𝑀(𝑙 − 1, 0)).

Logo, [𝑀(𝑙 + 1, 0)] + 𝑎[𝑀(𝑙 − 1, 0)] = 𝑥[𝑀(𝑙, 0)].


(iii) Pela Proposição 3.2.3 e pelo Lema 3.2.4 (i), temos

𝑀(2, 0) ⊗𝑀(𝑁, 0) ≃ (𝑆−1 ⊗𝑀(𝑁, 0)) ⊕𝑀(𝑁, 0) ≃ (𝑆−1 ⊗𝑀(𝑁, 0)) ⊕ (𝑆0 ⊗𝑀(𝑁, 0))

≃ (𝑆−1 ⊕ 𝑆0) ⊕𝑀(𝑁, 0).

E o resultado segue.

(iv) Pelos itens (i), (ii) e (iii) temos que 𝑎 = [𝑆−1] e 𝑥 = [𝑀(2, 0)] geram 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) comoanel.

A seguir definiremos os elementos 𝑢𝑛, 𝑛 ∈ N, que juntamente com os elementos 𝑎e 𝑥 caracterizarão um ideal 𝐼 de Z[𝑦, 𝑧] tal que 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) ≃ Z[𝑦, 𝑧]/𝐼.

Corolário 3.2.12. Seja 𝑢𝑛 ∈ 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)), 𝑛 ∈ N, definido recursivamente por 𝑢1 = 1, 𝑢2 = 𝑥

e 𝑢𝑙 = 𝑥𝑢𝑙−1 − 𝑎𝑢𝑙−2, 𝑙 ≥ 3. Então, [𝑀(𝑙, 0)] = 𝑢𝑙, para todo 𝑙 ∈ 𝐼1,𝑁 e (𝑥− 𝑎− 1)𝑢𝑁 = 0.

Demonstração. Mostremos que [𝑀(𝑙, 0)] = 𝑢𝑙 por indução sobre 𝑙. Notemos que 𝑢1 = [𝑆0]e 𝑢2 = [𝑀(2, 0)]. Suponhamos que o resultado seja válido para 𝑙 e provaremos que valepara 𝑙 + 1. Pelo Lema 3.2.11 (ii) segue que

𝑢𝑙+1 = 𝑥𝑢𝑙 − 𝑎𝑢𝑙−1 = 𝑥[𝑀(𝑙, 0)] − 𝑎[𝑀(𝑙 − 1, 0)] = [𝑀(𝑙 + 1, 0)],

e pelo item (iii) do lema anterior temos que 𝑥[𝑀(𝑁, 0)] = (𝑎 + 1)[𝑀(𝑁, 0)], portanto0 = (𝑥− 𝑎− 1)[𝑀(𝑁, 0)] = (𝑥− 𝑎− 1)𝑢𝑁 .

Definimos o polinômio de Fibonacci generalizado 𝑓𝑛(𝑦, 𝑧) ∈ Z[𝑦, 𝑧], 𝑛 ≥ 1, recursi-vamente por

𝑓1(𝑦, 𝑧) = 1, 𝑓2(𝑦, 𝑧) = 𝑧 e 𝑓𝑛(𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑓𝑛−1(𝑦, 𝑧) − 𝑦𝑓𝑛−2(𝑦, 𝑧), 𝑛 ≥ 3.

Considere 𝐼 o ideal de Z[𝑦, 𝑧] gerado pelos polinômios 𝑦𝑁 − 1 e (𝑧 − 𝑦 − 1)𝑓𝑁(𝑦, 𝑧).

Teorema 3.2.13. O anel de Green da álgebra de Taft é isomorfo a Z[𝑦, 𝑧]/𝐼.

Demonstração. Pelo Lema 3.2.11 (iv), 𝑎 e 𝑥 geram 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) como anel. Logo, existeum único homomorfismo sobrejetor de anéis 𝜑 :Z[𝑦, 𝑧] −→ 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) tal que 𝜑(𝑦) = 𝑎 e𝜑(𝑧) = 𝑥. Vejamos que 𝐼 ⊆ 𝐾𝑒𝑟(𝜑). De fato, pelo Lema 3.2.11 (iv) temos que

𝜑(𝑦𝑁 − 1) = 𝜑(𝑦𝑁) − 𝜑(1) = 𝜑(𝑦)𝑁 − 1 = 𝑎𝑁 − 1 = 0.

Observe que 𝜑(𝑓1(𝑦, 𝑧)) = 𝜑(1) = 1 = 𝑢1 e 𝜑(𝑓2(𝑦, 𝑧)) = 𝜑(𝑧) = 𝑥 = 𝑢2. Agora, seja 𝑖 ≥ 3e suponha que 𝜑(𝑓𝑖−2(𝑦, 𝑧)) = 𝑢𝑖−2 e 𝜑(𝑓𝑖−1(𝑦, 𝑧)) = 𝑢𝑖−1. Então,

𝜑(𝑓𝑖(𝑦, 𝑧)) = 𝜑(𝑧𝑓𝑖−1(𝑦, 𝑧) − 𝑦𝜑(𝑓𝑖−2(𝑦, 𝑧)) = 𝜑(𝑧)𝜑(𝑓𝑖−1(𝑦, 𝑧)) − 𝜑(𝑦)𝜑(𝑓𝑖−2(𝑦, 𝑧))

= 𝑥𝑢𝑖−1 − 𝑎𝑢𝑖−2 = 𝑢𝑖.


Logo, 𝜑(𝑓𝑖(𝑦, 𝑧)) = 𝑢𝑖, para todo 𝑖 ≥ 1. Em particular, 𝜑(𝑓𝑁(𝑦, 𝑧)) = 𝑢𝑁 . Então, peloCorolário 3.2.12

𝜑((𝑧 − 𝑦 − 1)𝑓𝑁(𝑦, 𝑧)) = 𝜑(𝑧 − 𝑦 − 1)𝜑(𝑓𝑁(𝑦, 𝑧)) = (𝜑(𝑧) − 𝜑(𝑦) − 𝜓(1))𝑢𝑁= (𝑥− 𝑎− 1)𝑢𝑁 = 0.

Pelo teorema do homomorfismo existe um único homomorfismo 𝜑 : Z[𝑦, 𝑧]/𝐼 −→ 𝑟(𝑇𝑁(𝑞))tal que 𝜑 ∘ 𝜋 = 𝜑 onde 𝜋 : Z[𝑦, 𝑧] −→ Z[𝑦, 𝑧]/𝐼 é a projeção canônica.

Iremos determinar uma inversa para 𝜑. Notemos que,𝐴 = {1, 𝑎, 𝑎2, ..., 𝑎𝑁−1} éum subanel de 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)). Além disso, ⟨𝑎⟩ = {1, 𝑎, ..., 𝑎𝑁−1} é um grupo, então podemosconsiderar o anel Z⟨𝑎⟩ o anel do grupo cíclico ⟨𝑎⟩ sobre Z, o qual coincide com 𝐴. Vejamosque 𝑢𝑖 ∈ 𝐴+ 𝐴𝑥+ · · · + 𝐴𝑥𝑖−1, para todo 𝑖 ≥ 1. Faremos isto por indução sobre 𝑖. PeloCorolário 3.2.12 sabemos que 𝑢1 = 1 ∈ 𝐴 e 𝑢2 = 𝑥 ∈ 𝐴𝑥. Suponhamos que o resultadoseja válido para 𝑖 e mostremos que vale para 𝑖+1. Como 𝑢𝑖+1 = 𝑥𝑢𝑖−𝑎𝑢𝑖−1, pela hipótesede indução 𝑥𝑢𝑖 ∈ 𝐴𝑥+ 𝐴𝑥2 + · · · + 𝐴𝑥𝑖 e 𝑎𝑢𝑖−1 ∈ 𝐴+ 𝐴𝑥+ · · · + 𝐴𝑥𝑖−2. Logo,

𝑢𝑖+1 = 𝑥𝑢𝑖 − 𝑎𝑢𝑖−1 ∈ 𝐴𝑥+ 𝐴𝑥2 + · · · + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴+ 𝐴𝑥+ · · · + 𝐴𝑥𝑖−2.

Assim, 𝑢𝑖+1 = 𝑥𝑢𝑖−𝑎𝑢𝑖−1 ∈ 𝐴+𝐴𝑥+𝐴𝑥2 + · · ·+𝐴𝑥𝑖+1. Logo, 𝑢𝑖 ∈ 𝐴+𝐴𝑥+ · · ·+𝐴𝑥𝑁−1,para todo 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑁 . Pelo Lema 3.2.11 (i) e pelo Corolário 3.2.12 temos que

[𝑀(𝑖, 𝑟)] = 𝑎𝑁−𝑟[𝑀(𝑖, 0)] = 𝑎𝑁−𝑟𝑢𝑖 ∈ 𝐴+ 𝐴𝑥+ · · · + 𝐴𝑥𝑁−1,

para todo 𝑖 ∈ 𝐼1,𝑁 e 𝑟 ∈ Z𝑁 . Logo, 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) ⊆ 𝐴 + 𝐴𝑥 + · · · + 𝐴𝑥𝑁−1 e claramente𝐴+ 𝐴𝑥+ · · · + 𝐴𝑥𝑁−1 ⊆ 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)). Portanto, 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) = 𝐴+ 𝐴𝑥+ · · · + 𝐴𝑥𝑁−1.

Como 𝐴 é um grupo cíclico e 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) é um grupo abeliano, então 𝐴 e 𝑟(𝑇𝑁(𝑞))são Z-módulos. Como 𝑋 = {𝑎𝑖 | 𝑖 ∈ 𝐼𝑁−1} é uma base de 𝐴 como Z-módulo, então𝑌 = {𝑎𝑖𝑥𝑗 | 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼𝑁−1} é uma base de 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) como Z-módulo, visto que o anel deGreen de 𝑇𝑁(𝑞) é livre de posto 𝑁2. Além disso, claramente Z[𝑦, 𝑧]/𝐼 é gerado peloselementos 𝑦𝑖𝑧𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼0,𝑁−1. Com isso, podemos definir 𝜓 : 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) −→ Z[𝑦, 𝑧]/𝐼 por𝜓(𝑎𝑖𝑥𝑗) = 𝑦𝑖𝑧𝑗, para todo 𝑖, 𝑗 ∈ 𝐼0,𝑁−1. Notemos que

𝜓 ∘ 𝜑(𝑦𝑖𝑧𝑗) = 𝜓(𝜑(𝑦𝑖𝑧𝑗)) = 𝜓(𝑎𝑖𝑥𝑗) = 𝑦𝑖𝑧𝑗

para todo 𝑦𝑖𝑧𝑗 ∈ Z[𝑦, 𝑧]/𝐼. Assim, 𝜑 ∘ 𝜑 = 𝐼𝑑Z[𝑦,𝑧]/𝐼 . Por outro lado,

𝜑 ∘ 𝜓(𝑎𝑖𝑥𝑗) = 𝜑(𝜓(𝑎𝑖𝑥𝑗)) = 𝜑(𝑦𝑖𝑧𝑗) = 𝑎𝑖𝑥𝑗,

para todo 𝑎𝑖𝑥𝑗 ∈ 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)), assim 𝜑 ∘ 𝜓 = 𝐼𝑑𝑟(𝑇𝑁 (𝑞)). Portanto 𝑟(𝑇𝑁(𝑞)) ≃ Z[𝑦, 𝑧]/𝐼.

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Juliana Borges Pedrotti - repositorio.ufsm.br