Embed Size (px)
Citation preview
1) Tìm các giới hạn
1. 2 2 2 2
3n
1 3 5 ... (2n 1)lim
n→∞
+ + + + −
2. 2 3 nn
1 3 5 2n 1lim ...
2 2 2 2→∞
− + + + +
3. n
n
alim 1
n→∞
+
4. n
n
1lim 1 sin
n→∞
+
5. n
n
1 1lim cos sin
n n→∞
+
6. n n n2 2 2 2 2
n n 1 1 1x ;y ;z ...
n 1 n n n 1 n 2 n n= = = + + +
+ + + + +
7. 2 2 2 2
2 2 2 2n
1 3 5 ... (2n 1)lim
2 4 6 ... (2n)→∞
+ + + + −
+ + + +
8. [ ]
3 3 3 3
2n
1 4 7 ... (3n 2)lim
1 4 7 ... (3n 2)→∞
+ + + + −
+ + + + −
9. n
(n 2)! (n 1)!lim
(n 2)! (n 1)!→∞
+ + +
+ − +
10. ( ) k k 1k k
nlim n 1 n n 1 , k 1, k−
→∞+ − + > ∈�
2) Xét sự tồn tại các giới hạn của các dãy sau
1. n n
1 1 1x 1 1 ... 1
2 4 2
= − − −
2. n1 1 1
x ...2 2.4 2.4.6...(2n)
= + + +
3. n 2 n
1 1 1x ...
3 1 3 1 3 1= + + +
+ + +
3) Tìm giới hạn nnlim x→∞
với
1 2 n
n c¨n
x 2;x 2 2 ;...;x 2 2 2 ... 2= = + = + + + +�����������
4) Cho dãy { }nx xác định như sau : 10 x 1 < < n 1 n n x x (2 x )+ = − với n 1, 2,..=
Chứng minh rằng { }nx có giới hạn và tìm giới hạn đó.
5) Tìm giới hạn các hàm số
1. x
x x xlim
x 1→+∞
+ +
+
2. 3xlim (x a)(x b)(x c) x→+∞
+ + + −
3. 3x 0
sin5xsin3xsinxlim
45x→
4. x 0
tan 2xlim
3x→
5. x 0
sin5xlim
sin3x→
6. cot x
x 1lim(1 sin x)
→+ π
7. x 0
1 cos xlim
1 cos x→ +
−
−
8.
x 12 x 1
2x
x 1lim
x 1
+
−
→±∞
− +
9.
1
s inx
x 0
1 tan xlim
1 sinx→
+
+
10. x 0
ln axlim ln(x ln a).ln (a 0)
xln
a→+
>
11. [ ]xlim x ln(x 1) ln x→+∞
+ −
12. ( )2cot x2
x 0lim 1 x→
+
13. 3x
x 0
e 1lim
xtan
2→
−
14. 2x 0
arcsin 2x 2arcsin xlim
x→
−
15. tan xx 0
ln(1 sinx)lim
3 1→
−
−
16. 2 2
2x 0
ln(1 x x ) ln(1 x x )lim
x→
+ + + − +
17. 2
x 0
arctan(x 3x)lim
arcsin 2x→
+
18.
s inx
x s inx
x 0
sinxlim
x−
→
19. ( )3 2
3x 0
1 x cos x arctan xlim
x→
− −
20. 4 2
x 0
x 1 x 1lim
sin x→
+ − +
21. ( )xlim 2arctan x ln x→+∞
π −
22. x 0
x tan xlim
x sin x→
−
−
23. x 0
ln(1 x) ln(1 x)lim
arctan(1 x) arctan(1 x)→
+ − −
+ − −
24. x /4
x 1 cos2xlim
x sin x→π
− −
25. x 0
x 1 cos2xlim
x sin x→
− −
26.
( )4 2
3x 0
x1 x cos x arcsin
1 xlimx→
− −+
27. 2x 0
x cot x 1lim
x→
−
28. 3 3 2
x 1
7 x 3 xlim
x 1→
+ − +
−
29. 2
x 0
sin xlim
1 cos x→ −
30. x
x 0
1lim ln ;
x→ +
31.
1
x
x 0
sin xlim
x→
32. xx 1
1 1lim
x e 1→
−
−
33. 2
1
x
x 0
sin xlim
x→
34. ( )2
3x 0
1 x cos x arcsin xlim
x→
− −
35. x
x
2lim arctgx→+∞
π
36. x 0lim (x sin x)ln x→
−
6) Tìm các giới hạn bằng cách thay tương đương
1. n
mx 0
sinxlim khi m,n
sin x→∈�
2. x
2
ln sin xlim
x2
π→
π−
3. x 0
arcsin xlim
xtan
2→ π
7) So sánh bậc của các VCB sau
1. (x) x 1 xα = + − và 1
(x) khi xx
β = → +∞
2. xf (x) e−= và 1
g(x) khi xx
= → +∞
3. 1 1
f (x) sinx x
= và 2
1g(x) khi x
x= → +∞ a
8) Xét sự liên tục của các hàm số
1. ( )
xe x 1x 0
1 x cos xf x 3 x 0
1 cos xx 0
xsin ax
− −>
− −= − = − <
2. ( )x4.2 x 0
f x2A x x 0
<=
+ ≥
Với A vừa tìm được để hàm số liên tục thì hàm số có khả vi tại x 0= không ?
3.
sinxkhi x 0
xf (x)
1 khi x 0
≠
= =
4. ( )3 nx
nxn
x x ef x lim
1 e→∞
+=
+
5.
2sin x khi x2
f (x) A.sin x B khi x2 2
cos x khi x2
π− ≤ −
π π= + − < <
π≥
6. 1
x 1
1khi x 1
f (x)1 e
A khi x 1
−
≠
= +
=
7. 2
1khi x 1
f (x) (1 x)
A khi x 1
≠ −
= + = −
8.
2x 1khi x 2
f (x) x 2A khi x 2
− ≠
= − =
9.
2
2
3
xt
0
x 1 1 khi x 0
1 x
f (x) sin x khi x 0
(e 1)dt
+ − ≤
−
= >
−∫
10. Cho hàm số arccos x
, x ( 1; 1]f (x) x 1
A, x 1
π −∈ −
= + = −
Tìm A để hàm số liên tục tại trên [ ]1,1− .
11. Cho hàm số ( )n 1
x sin x 0f x x
0 x 0
≠
= =
Tìm n ∈� để hàm số khả vi tại x 0=
12. Cho hàm số ( )
xx xkhi x 1
f x ln x x 1a khi x 1
− ≠
= − + =
Tìm a để hàm số liên tục x 0∀ >
9) Xác định giá trị f(0) để các hàm f(x) sau liên tục
1. 2 1f (x) x cos
x=
2. f (x) x cot x=
3. 1
f (x) sinx.sin ;x
=
4. ( )1
xf (x) 1 x= +
5. 2
1
x2
1f (x) e ;
x
−=
6. 2f (x) x ln x=
10) Cho hàm số 1
sin khi x af (x) x a
0 khi x a
≠
= − =
Chứng tỏ rằng hàm nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b) với [ ]x a,b∈ ,
nhưng không ltục trên đoạn đó.
11) Chứng minh rằng hàm số 1
f (x)x
= liên tục trên (0, 1) nhưng không liên tục
đều trên đó.
12) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. 2
2
1 x xy
1 x x
+ −=
− +
2. 5 2xy x 2 3x
3
= − +
3. 2
3
1y 1
x
= −
4. 21 1 1y ln(x 1) ln(x 1)
2 4 2(1 x)= + − + −
+
5. y x 1 ln(x x 1)= + − + +
6. ( )2
2 2 2 2x af ) y x a ln x x a
2 2= + + + +
7. x
y x arcsin arctan x xx 1
= + −+
8. y arcsin(sin x)=
9. 2y arccos(cos x)=
10. 2
arcsin x 1 1 xy ln
2 1 x1 x
−= +
+−
13) Tìm đạo hàm xy′ trong các trường hơp sau
1. 2y f (x )=
2. 2 2y f (sin x) f (cos x)= +
3. [ ]{ }y f f f (x)=
14) Tính đạo hàm của các hàm số cho bởi tham số
1. x acht
y bsht
=
=
2. 2t 2
2t 2
x e cos t
y e sin t
=
=
3. 2
2
1x arcsin
1 t1
y arccos1 t
=
+ = +
4. 3
2
3
3atx
1 t
3aty
1 t
= +
= +
15) Tìm đạo hàm theo cấp chỉ ra của các hàm
1. 2 32
x x xy 2px; y ; y ; y′ ′′ ′′′=
2. 2 32 2
x x xx xy y 1; y ; y ; y′ ′′ ′′′− + =
3. 2
t
tx
x e cos t
y e sin t y ;y
=
′′ ′′′=
4. 2
1
xe khi x 0f (x)0 khi x 0
− ≠= =
Chứng minh rằng hàm có đạo hàm vô hạn lần tại x = 0
16) Ứng dụng vi phân tính gần đúng
1. o oA sin 29 ;B arc tg0,98;C cos151= = =
2. 2
2
(2,037) 1D
(2,037) 1
−=
+
17) Kiểm tra các điều kiện của định lý Roll và tìm số c nếu có đối với các hàm sau
1. [ ]sin xy 4 trên 0,= π
2. [ ]3 2y x 3x 2 trên 1,2= − +
3. [ ]3 2y 1 x trên 1,1= − −
4. [ ]2
4
2 xy trên 1,1
x
−= −
18) Xác định số c trong công thức số gia giới nội trên đoạn [ ]0,2 đối với hàm
23 xkhi 2 x 1
2f (x)1
khi 1 xx
−− < <
= < < +∞
19) Cho cặp hàm số 2f (x) x= và [ ]g(x) x trên 1,4= .Trên đoạn đó điều kiện nào
của định Côsi không được thỏa mãn.Tìm số c.
20) Viết khai triển Tay-Lor tại lân cận 0x = 0 của các hàm số sau
1. 1
y1 x
=+
2. y arctan x=
3. y ln(cos x)= đến số hạng với 6x
4. tan xy e= đến số hạng với 3x
21) Dùng khai triển Tay-Lor hạn chế để tính các giới hạn sau
1. 2x x 2x x
x 3x 0
xe xe 2e 2elim
(e 1)→
+ − +
−
2. 2 3x 0
1 1 x 2lim 1 ln
2 xx x→
+ + −
−
3. 2
x
1lim x x ln 1
x→∞
− +
4. x
3x 0
e sin x x(1 x)lim
x→
− +
5.
2x
2
4x 0
cos x elim
x
−
→
−
6. x 0
1 1lim cot gx
x x→
−
7. x 0
1 1lim
x sin x→
−
22) Áp dụng tích phân xác định tìm các giới hạn
1. 2 2 2n
1 2 n 1lim ...
n n n→∞
− + + +
2. n
1 1 1lim ...
n 1 n 2 n n→∞
+ + +
+ + +
3. 2 2 2 2 2 2n
n n nlim ...
n 1 n 2 n n→∞
+ + +
+ + +
4. n
1 2 (n 1)lim sin sin ... sin
n n n n→∞
π π − π + + +
23) Tính các tích phân bất định sau
1. a
24) Tính các tích phân sau
1. 3
2
4
xdxI
sin x
π
π
= ∫
2.
3
4
20
dxI
(x 1) x 1=
+ +∫
3. 1
0
arcsin xI dx
x(1 x)=
−∫
4. 2
21
I x log xdx= ∫
5. 1
32
dxI
(11 5x)
−
−
=+
∫
6. 3
0
I x arctan xdx= ∫
7. 3
21
f (x)I dx
1 f (x)−
′=
+∫ nếu
2
3
(x 1) (x 1)f (x)
x (x 2)
+ −=
−
25) Cho hàm f(x) liên tục trên [ ]a,a− .Chứng minh rằng
1. a a
a 0
f (x)dx 2 f (x)dx−
=∫ ∫ nếu hàm f(x) chẵn trên[ ]a,a−
2. a
a
f (x)dx 0−
=∫ nếu hàm f(x) lẻ trên[ ]a,a−
26) Chứng minh rằng a a
3 2
0 0
1x f (x )dx xf (x)dx khi a 0
2= >∫ ∫
27) Chứng minh rằng
1. Nếu hàm f(x) lẻ thì x x
a a
f (t)dt f (t)dt−
=∫ ∫ tức x
a
f (t)dt∫ là hàm chẵn
2. Nếu hàm f(x) chẵn thì x
a
f (t)dt∫ có là hàm lẻ không?
28) Chứng minh rằng
1.
11 x
2 2x 1
dt dt
1 t 1 t=
+ +∫ ∫ với x 0>
2. b b
a a
f (x)dx f (a b x)dx= + −∫ ∫
29) Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên [ ]0,1 thì
1. 2 2
0 0
f (sin x)dx f (cos x)dx
π π
=∫ ∫
2. 2
0 0
xf (sin x)dx f (sin x)dx2
π
ππ
=∫ ∫
ứng dụng tính 2
0
xsin xI dx
1 cos x
π
=+
∫
30) Tìm cực trị và điểm uốn của hàm số x
2
0
y (t 1)(t 2) dt= − −∫
31) Ứng dụng định lý giá trị trung bình ước lượng giá trị các tích phân sau
1. 1 9
0
xI dx
1 x=
+∫
2. 1
31
dxI
8 x−
=+
∫
3. 2
2
0
1I 1 sin xdx
2
π
= +∫
4. 3
3
1
I sgn(x x )dx= −∫
5. 4
0
I x tan x dx
π
= ∫
6. / 2
0
I cos2x.ln cos x dxπ
= ∫
32) Tìm các giới hạn sau
1. n
n1
1 1lim ln 1 dx
n x→ ∞
+
∫
2. 1 n
n0
xlim dx
1 x→∞ +∫
3. 2
n
n0
lim sin xdx
π
→∞∫
4. n 1 n 1
nnn
x 1lim dx
x 1
+ −
→∞
+
+∫
33) Tính độ dài các đường cong sau
1. y ln x= từ x 3= đến x 8=
2. xy arcsin(e )−= từ x 0= đến x 1=
3. x a(cos t t sin t)
y a(sin t t cos t)
= +
= − với (0 t 2 )≤ ≤ π
4. x a(2cos t cos2t)
y a(2sin t sin 2t)
= −
= − với (0 t 2 )≤ ≤ π
5. r a(1 cos )= + ϕ
34) Tính diện tích miền giới hạn bởi các đường tương ứng
1. 2ay x= và 2ay x=
2. 2 2
2 2
x y1
a b+ =
3. 36x y 16x= − và 324x y 16y= −
4. 2 2
22 2 2 2
a br
a sin b cos=
θ + θ (Elip)
5. Tìm diện tích miền giới hạn bởi đường xycloit
x a(t sin t)
y a(1 cos t)
= −
= − (0 t 2 )≤ ≤ π và trục 0x
6.
2 2 2
3 3 3x y a+ =
7. 2
2 3
x 2t t
y 2t t
= −
= −
8. 2 2r a cos2= ϕ
35) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt được tạo thành do các đường quay :
1. 2y 2x x= − và y 0= quay xung quanh: 1)Trục 0x ;2)Trục 0y
2. b 2 2 2x (y b) a (b a 0)+ − = ≥ > quay xung quanh trục 0x
3. 2y x= và y 0= quay xung quanh trục x 2=
4. xy e−= và y 0= với 0 x≤ < +∞ quay xung quanh:1) Trục 0x ;2) Trục 0y
5. x a(t sin t)
y a(1 cos t)
= −
= − với (0 t 2 )≤ ≤ π quay xung quanh trục:
1) Trục 0x;2) Trục y 2a=
6. v
36) Tính thể tích vật thể giới hạn các mặt sau:
1. 2 2 2
2 2 2
x y z1
a b c+ + =
2. 2 2
2 2
x yz
a b= + và mặt z k 0= >
37) Tính thể tích vật tròn xoay
1. 2 2 2x (y b) a (b a)+ − = ≥ quay xung quanh trục 0x
2. xy e−= với 0 x≤ < +∞ quay xung quanh trục 0x
3. 2y 2x= với 2
0 x3
≤ ≤ quay xung quanh trục 0x;0y
4. x a(t sin t)
y a(1 cos t)
= −
= − với (0 t 2 )≤ ≤ π quay xung quanh trục
1) Trục 0x ;2) Trục y 2a=
38) Tính tổng các chuỗi số sau đây
1. 1 1 1
... ...1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
+ + + +− +
2. 2 2 n n
2 n
2 3 2 3 2 3... ...
6 6 6
+ + ++ + + + ‘
3. ( )n 1
n 2 2 n 1 n∞
=
+ − + +∑
39) Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau
1. n
40) Chứng minh rằng nếu chuỗi n nn 1
a (a 0)∞
=
≥∑ hội tụ thì chuỗi hàm 2n
n 1
a∞
=∑ cũng hội
tụ.Điều ngược lại có đúng không ?
41) Chứng minh rằng nếu nnlim na a 0→∞
= ≠ thì nn 1
a∞
=∑ phân kỳ.
42) Chứng minh các chuỗi số sau phân kỳ
1. 2
n 2
n
n 1
∞
= −∑
2. n 1
3 54 2n 1
1 1 1 1 ( 1)... ...
10 10 10 10 10
−
+
−− + − + + +
3. n 1
n 1
2n 1
∞
=
+
+∑
4. n 0
2n 1
3n 2
∞
=
−
+∑
43) Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau
1. 1 1 1
1 ... ...3 5 2n 1
+ + + + +−
2. 1 1 1
... ...1001 2001 1000n 1
+ + + ++
3. 1 1 1 1
... ..1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1)
+ + + + +− +
4.
( )n
n 1
2n 1
2
∞
=
−∑
44) Chứng minh rằng nếu các chuỗi 2n
n 1
a∞
=∑ và 2
nn 1
b∞
=∑ mà hội tụ,thì các chuỗi
n nn 1
a b∞
=∑ và 2
n nn 1
(a b )∞
=
+∑ cũng hội tụ.
45) Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau
1. 3 5 n 1
1 1 1 1... ...
1.2 3.2 5.2 (2n 1)2 ++ + + + +
−
2. 1 1 1
... ...ln 2 ln3 ln(n 1)
+ + + ++
3. 2
n 1
1
n 4n 5
∞
= − +∑
4.
1n
n
nn 1
n
1n
n
+∞
= +
∑
5. n
n 1
1
ln n
∞
=∑
6. ( ) 3 2
n 1
1
2n 3 n 1
∞
= + +∑
7. 1 3 5 7
...2 42 2 2
+ + + +
8. 2 3 n
2 3 n
2.1! 2 .2! 2 .3! 2 .n!... ...
1 2 3 n+ + + + +
9. n
n 1
4n 3
n.3
∞
=
−∑
10. 2
nn 1
n
12
n
∞
= +
∑
11. 2 3 n
1 1 1 1... ..
ln 2 ln 3 ln 4 ln (n 1)+ + + + +
+
12. 2 31 2 3
...3 5 7
+ + +
13.
n3 n
nn 1
n 2 ( 1)
3
∞
=
+ − ∑
14.
2 32 3
2 3
3 42 2 3
...3 3 3
+ + +
46) Ứng dụng tính chất của chuỗi số chứng minh
1. n
n
alim 0
n!→∞=
2. n
2n
nlim 0
(n!)→∞=
3. 2
n
nn
(n!)lim 0
n→∞=
47) Sử dụng tiêu chuẩn lôgarit xét sự hội tụ của các chuỗi
1. ln x
n 2
n (x 0)∞
=
>∑
2. ln(ln n)
n 2
1
(ln n)
∞
=∑
3. [ ]ln n
n 2
1
ln(ln n)
∞
=∑
48) Dùng dấu hiệu Lepnit khảo sát sự hội tụ của các chuỗi
1. n
n 0
( 1)
2n 1
∞
=
−
+∑
2. n 1
n 1
1( 1) tan
n
∞−
=
−∑
3. n
n 2
n( 1)
n n 1
∞
=
−−
∑
4. 2 2
n 1
sin( n k )∞
=
π +∑
49) khảo sát sự hội tụ của chuỗi
2
2n 2
ncos
n 1ln n
∞
=
π
+∑
50) Tìm miền hội tụ (tuyệt đối và bán hội tụ) của các chuỗi hàm
1. nn
n 1
( 1) 1 x
2n 1 1 x
∞
=
− −
− + ∑
2. n
n 1
n x
n 1 2x 1
∞
=
+ + ∑
3. n
2n 1
1.3.5..(2n 1) 2x
2.4.6.2n x 1
∞
=
− +
∑
4. 2n
n nn
n 1
n.3x (1 x)
2
∞
=
−∑
5. n n
2n 1
2 sin x
n
∞
=∑
51) Tìm miền hội tụ và xét tính liên tục của các chuỗi hàm sau
1. n
n 1
1x
n
∞
=
+
∑
2. 2 n
n 1
x
(1 x )
∞
= +∑
3. 2 n
n 1
x
(2 x )
∞
= +∑
4. 2 2
n 1
sin nx
x n
∞
= +∑
52) Nghiên cứu tính khả vi mọi cấp của chuỗi hàm n
n 1
sin(2 x)
n!
∞
=∑
53) Tìm miền hội tụ và xét tính khả vi của các hàm sau
1. n
n 1
( 1) xf (x)
n x
∞
=
−=
+∑
2. 2 2
n 1
xf (x)
n x
∞
=
=+
∑
54) Quy luật qua giới hạn dưới dấu tích phân có thỏa mãn đối với
1
2 4n0
nxlim dx
1 n x→∞ +∫ hay không ?
55) Quy luật lấy vi phân từng số hạng của chuỗi hàm có thỏa mãn không ?
2
n 1
xarctan
n
∞
=∑
56) Bằng phương pháp lấy tích phân từng số hạng của chuỗi hàm,tính
0
ln(1 a cos x)dx
cos x
π+
∫ với a 1<
57) Tính các tổng sau:
1. n
n 1
( 1)
3n 1
∞
=
−
+∑
2. ( )n n
n 1
1 1 x
2n 1 x 1
∞
=
− −
+ + ∑
3. ( )( )
n 1 n
n 1
2n 11 x
n n 1
∞−
=
+−
+ ∑
4. ( )2n 1
n 1
n 1
x1
2n 1
−∞−
=
−+
∑
5. 3n 1
nn 0
x
(3n 1)2
+∞
= +∑
6. n 1
4n 5n 1
( 1)
(2n 1)3
−∞
+=
−
+∑
7. n 1
n 1n 1
( 1)
n(n 1)5
−∞
+=
−
+∑
8. ( )
( )
n 1
2 n 1
11 1A 1 ... ...
3.3 5.3 2n 1 3
−
−
−= − + + + +
−
58) Chứng minh rằng nếu 4n
n 0
xy(x)
(4n)!
∞
=
= ∑ thì nó thỏa mãn: (4)y y 0− =
59) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1. 2 n
n 0
(n 2) (x 1)+∞
=
+ +∑
2. n
nn 2
x
n.4 .ln n
∞
=∑
3. n
2n 1
n 4x 1
x 2n 3n 1
∞
=
−
+ + +∑
4. n
2n 1
1 x 1
x 1n 1
∞
=
−
+ +∑
5. n n
nn
n 1
3 2(x 1)
6
∞
=
+−∑
6. ( )n
2n
n 1
n 1x 2
2n 1
∞
=
+ −
+ ∑
7. ( ) ( )
( )
n n
nn 0
1 . 3x 1
2n 1 5
∞
=
− +
+∑
8. ( )n n
n 1
1 1 x
2n 1 1 2x
∞
=
− −
+ + ∑
9. n
3 3n 1
n 3 x 3
3n 3
∞
=
+ − +
∑
60) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi
1. n
n 1
1 4 x
n 7x 2
∞
=
−
+ ∑
2. 2 n
n 1
n x∞
=∑
3. 2n
n 0
(2n 1)x
n!
∞
=
+∑
4. ( ) nn 0 2 2
n 1S x
(2 x )
∞
=
+=
+
∑
5. 2n
n 1
2n 1x
n!
∞
=
+∑
6. ( ) n
n 0
n 2S
n 1 2
∞
=
+=
+∑
7. 2
nn
n 1
nx
2 n!
∞
=∑
8. 2 n
1 2 n... ...
x x x+ + + +
9. 2 4 2kx x x
1 ... ...2! 4! (2k)!
+ + + + +
10. n
n 1
n x
n 1 2
∞
=
+ ∑
11. n 1
n 1
nx∞
+
=∑
12. n
n 0
(n 1)(x 1)∞
=
+ +∑
13. 2n 5
2nn 0
x
3 (2n 1)
+∞
= +∑
14. ( )n n
nn 0
1 ln x
2 n!
∞
=
−∑ ,dựa vào
nx
n 0
xe
n!
∞
=
= ∑
15. n
n 0
ln x
n!
∞
=∑
16. ( )( )n
n 1n
n 1
x 51
n3
∞−
=
−−∑
17. ( )2n
nn 1
x 3
n.5
∞
=
−∑
18. ( )n
xn 1
1
n
∞
=
−∑
19. ( )
( )
n 3n
3n 1
1 xS(x)
n n 1
∞
=
−=
+∑ qua đó tính (200)S (0)
20. ( )
( )
n
nn 0
x 2
n 1 2
∞
=
−
+∑ qua đó tính
( ) nn 1
1
n 1 2
∞
= +∑
61) Phân tích hàm f (x) xsin 2x cos3x= thành chuỗi MacLaurin và tìm bán kính hội
tụ của chuỗi thu được
62) Phân tích hàm 3f (x) sin x= thành chuỗi MacLaurin và tìm bán kính hội tụ của
chuỗi thu được.
63) Khai triển hàm f (x) ln x= thành chuỗi hàm nguyên của x 1− .Hãy tìm miền hội
tụ của chuỗi đó.Ứng dụng để tìm tổng của chuỗi: n 1
n 1
( 1)
n
+∞
=
−∑
64) Khai triển hàm f (x) ln x= thành chuỗi hàm nguyên của x 1− .Hãy tìm miền hội
tụ của chuỗi đó.Ứng dụng để tìm tổng của chuỗi: n 1
n 1
( 1)
n
+∞
=
−∑
65) Khai triển hàm y arctan x= thành chuỗi Maclaurin, tìm miền hội tụ của chuỗi
thu được và tính tổng: S = ( )n
n 0
1
2n 1
∞
=
−
+∑
66) Khai triển hàm số 2
1f (x)
x 4x 3=
+ + thành lũy thừa của (x 2)+ .
Tính (100) (101)f ( 2); f ( 2)− −
67) Cho hàm số 2f (x) sinx= . Tính đạo hàm (2000)f (0) .
68) Cho hàm số f (x) ln(1 2x)= + . Tính đạo hàm (2000)f (0) .
69) Khai triển hàm x 1
f (x) arctanx 1
−=
+ thành chuỗi Maclaurin, tìm miền hội tụ của
chuỗi thu được và tính tổng: S = ( )n
n 0
1
2n 1
∞
=
−
+∑
70) Khai triển hàm 2
2xf (x) arcsin
x 1=
+ thành chuỗi Maclaurin, tìm miền hội tụ của
chuỗi thu được và tính tổng: S = ( )n
n 0
1
2n 1
∞
=
−
+∑
71) Khai triển hàm2 x
f (x) arctan2x 1
−=
+ thành chuỗi Maclaurin, tìm miền hội tụ của
chuỗi thu được và tính tổng: ( )n
n 0
1S
2n 1
∞
=
−=
+∑
72) Khai triển hàm y arctan x= thành chuỗi Maclaurin, tìm miền hội tụ của chuỗi
thu được và tính tổng: n
nn 0
( 1)S
(2n 1)4
∞
=
−=
+∑
73) Cho hàm số 3f (x) ln(1 x )= + . Tính đạo hàm (2008)f (0) .
74) Tính các tích phân suy rộng sau:
1. 3
0
dxI
1 x
+∞
=+
∫
2. 3
0
3xdxI
1 x
+∞
=+
∫
3. 2
41
x 1I dx
x 1
+∞+
=+
∫
4. 2
40
1 xI dx
1 x
+∞+
=+
∫
5. 5 10
1
dxI
x 1 x x
+∞
=+ +
∫
6. 2 2
x ln xI dx
(1 x )
+∞
−∞
=−
∫
7. x
0
1 xI dx
e
∞+
= ∫
75) Chứng minh rằng 2
0
sin xdx 0
x
π
>∫
76) Xét sự hội tụ của tích phân
1. 2
4 20
x dx
x x 1
+∞
− +∫
2. 3 2
1
dx
x x 1
+∞
+∫
3. 2
2
dx
x x 1
+∞
−∫
4. 0
x cos xdx
x 100
+∞
+∫
5. p
q0
x sin xdx
1 x
+∞
+∫
6. 2
1
sin x dx∞
∫
7. x
1
e dx∞
∫
8. 2
1
sin xdx
x
+∞
∫
9. 2 20
dx
(4x 1) x 1
+∞
∫+ +
10. 3 4
0
1 xI arctan dx
x 1x
∞
=+∫
11. 3/ 2
0
arctan xdx
x
∞
∫
12. 2
3 21
1 xdx
x x x
+∞+
+∫
13. ( )2
6 50
ln 1 xdx
2x x
+∞ +
+∫
14. 0
1 xarcsin dx
x x 1
+∞
+∫
15. 2
1
ln(x 1)dx
x x 1
+∞+
−∫
16. 2 x
1
1 xdx
x e
∞+
∫
17. 2
3 21
1 xdx
x x x
+∞+
+∫
18. 2 3
1
arctan xdx
x x 1
∞
+∫
19. 0
2xxe dx−∞∫
20. 5
x0
xdx
e
∞
∫
21. 2
2
dx
x x 1
+∞
−∫
22. 1
sin xdx
x x
∞
∫
23. 5
0
x arctan xdx
1 x
+∞
+∫
24. 3
0
sin xdx
x
+∞
∫
25. 4
0xsin x dx
+∞
∫
26. 4
2
xsinxdx
1 x
+∞
+∫
27. 2
2
ln xdx
x
∞
∫
28. 0
1 xarctan dx
x 2x
+∞
+∫
29. 1
40
xdx
1 x−∫
30. 1
x x30
dx
x(e e )−−∫
31.
( )( )
5 2
233
x dx
x 3 5 x− −∫
32. 1
2 20
dx;(0 a 1)
(1 x )(1 ax )< <
− −∫
77) Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Fourier trong miền đã chỉ ra
1. 0 khi x 0
f (x)x khi 0 x
− π ≤ <=
< ≤ π
2. x
f (x) trên (0,2 )2
π −= π
3. x khi 0 x 2
f (x)0 khi x 0
π − < ≤ π=
=qua đó tính
( )n
n 1
1S
2n 1
∞
=
−=
−∑
4. x khi 0 x
f (x)x khi x 0
≤ ≤ π=
− − π < ≤ qua đó tính
( )2n 1
1S
2n 1
∞
=
=−
∑
5. 2f (x) x , x [ ; ]= ∈ − π π qua đó tính 2
n 1
1S
n
∞
=
=∑
6. ( )f x sin x= ; qua đó tính 2
n 1
1S
4n 1
∞
=
=−
∑
7. f (x) sgn x trên ( , )= −π π .Áp dụng tính n 1
n 1
( 1)
2n 1
−∞
=
−
−∑
8.
x khi 0 x 1
f (x) 1 khi 1 x 2
3 x khi 2 x 3
≤ <
= < < − ≤ ≤
9.
78) Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Fourier theo sin ; côsin
1. 2f (x) x= trong miền 0 x≤ < π
2. f (x) 10 x= − trong miền 5 x 15< <
3. Từ khai triển n 1
n 1
sin nxx 2 ( 1) ; ( x )
n
∞+
=
= − −π < < π∑ .
Bằng phương pháp lấy tích phân từng số hạnh của chuỗi hàm. Tìm khai triển Fourier
của các hàm 2 3 4x ;x ;x trong khoảng ( , )−π π .
4. b
79)
![s3-ap-southeast-1.amazonaws.com · Nêíl hàm sô' f liên tuc trên [a; b] và có dao hàm f' (x) > 0 trên khoång Chú I'd . (x) vói moi x e I thì hàm sô f ông dôi trên](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/5d6786c688c993f41f8bc46b/s3-ap-southeast-1-neil-ham-so-f-lien-tuc-tren-a-b-va-co-dao-ham.jpg)
