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Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
• O expoente k está relacionado com o ângulo
do bordo de fuga, τ, através de
• k=2 corresponde à transformação de Joukowski
( )π
τπτ −=⇔−= 22 kk
( ) ( )( ) ( )
k
kk
kk
b
b
kbz
kbz
bb
bbkbz
+
−=
+
−⇔
−−+
−++=
ζ
ζ
ζζ
ζζ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
• k=2 corresponde a uma linha de corrente divisória que sai com continuidade tangencial. O bordo de fuga não é um ponto de estagnação
( ) ( )( ) ( )
k
kk
kk
b
b
kbz
kbz
bb
bbkbz
+
−=
+
−⇔
−−+
−++=
ζ
ζ
ζζ
ζζ
0=τ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• k=1,95 corresponde a uma linha de corrente
divisória que faz um ângulo inferior a π.O bordo de fuga é um ponto de estagnação
( ) ( )( ) ( )
k
kk
kk
b
b
kbz
kbz
bb
bbkbz
+
−=
+
−⇔
−−+
−++=
ζ
ζ
ζζ
ζζ
o9=τ
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
y
x
kb-kb
1. Cilindro centrado na origem do referencial
η
ξb
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
bck 9,3,95,1 ==
( ) ( )( ) ( )kk
kk
bb
bbkbz
−−+
−++=
ζζ
ζζ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
y
x
kb-kb
2. Cilindro centrado no eixo imaginário
η
ξb
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
bck 9,3,95,1 ==
( ) ( )( ) ( )kk
kk
bb
bbkbz
−−+
−++=
ζζ
ζζ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
y
x
kb-kb-∆
η
ξb
3. Cilindro centrado no eixo real negativo
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
∆+== bck 9,3,95,1
( ) kk
k
kbεε
ε
−+=∆
1
2
( ) ( )( ) ( )kk
kk
bb
bbkbz
−−+
−++=
ζζ
ζζ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
y
x
kb-kb-∆
4. Cilindro centrado no 2º quadrante
η
ξb
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
∆+== bck 9,3,95,1
( ) kk
k
kbεε
ε
−+=∆
1
2
( ) ( )( ) ( )kk
kk
bb
bbkbz
−−+
−++=
ζζ
ζζ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
x/c
-Cp
0 0.25 0.5 0.75 1-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
Extradorso, α=3o
Intradorso, α=3o
Extradorso, α=10o
Intradorso, α=10o
1. Cilindro centrado na origem do referencial
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
2
21
∞
∞−=
V
ppC p r
ρ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
x/c
-Cp
0 0.25 0.5 0.75 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Extradorso, α=0o
Intradorso, α=0o
Extradorso, α=10o
Intradorso, α=10o
Extradorso, α=-10o
Intradorso, α=-10o
2. Cilindro centrado no eixo imaginário
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
2
21
∞
∞−=
V
ppC p r
ρ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
x/c
-Cp
0 0.25 0.5 0.75 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Extradorso, α=0o
Intradorso, α=0o
Extradorso, α=10o
Intradorso, α=10o
3. Cilindro centrado no eixo real negativo
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
2
21
∞
∞−=
V
ppC p r
ρ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
x/c
-Cp
0 0.25 0.5 0.75 1-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
Extradorso, α=0o
Intradorso, α=0o
Extradorso, α=10o
Intradorso, α=10o
Extradorso, α=-10o
Intradorso, α=-10o
4. Cilindro centrado no 2º quadrante
Perfis SustentadoresPerfis de Kármán-Treftz
2
21
∞
∞−=
V
ppC p r
ρ
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• A transformação de Joukowski pode ser considerada como um caso particular da transformação
• Na transformação de Joukowski temos:
∑=
+=1n
n
naz
ζζ
2para02
1 ≥=∧= naba n
Perfis SustentadoresGeneralização da transformação conforme
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• No caso geral os coeficientes an são complexos
• A transformação generalizada permite obter qualquer perfil sustentador a partir de um cilindro circular
∑=
+=1n
n
naz
ζζ
Perfis SustentadoresGeneralização da transformação conforme
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• O coeficiente de sustentação, Cl, de um perfilsustentador em escoamento irrotacional e incompressível a pequenos ângulos de ataque é dado por
• Para um perfil de Joukowski
∑=
+=1n
n
naz
ζζ
( )βαπ +
+=
c
daC tl 12
77,0≅ta
Perfis SustentadoresGeneralização da transformação conforme
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresMomento de Picada em torno do centro do perfil
[ ]απρπ
ρ i
0 2i2
−∞Μ−ℜ+
Γ−= eU
QM
• Para um perfil sustentador Q=0
[ ]απρ i
0 2i −∞Μ−ℜ= eUM
• Μ é o coeficiente do termo z-2 da velocidadecomplexa a grandes distâncias do perfil
• Admitindo que o coeficiente a1 é dado por
αα i2i
1 eVaeVa ∞−
∞ −=Μrr
λ2i2
1
−= eba
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresMomento de Picada em torno do centro do perfil
• Para pequenos valores de α tem-se
• Admitindo uma corda
( )λαπ
ρ+−≅=
∞2
21 2
2
cV
MC c
M c r
bc 4≅
( )λαπρ +−≅ ∞
224 VbM c
r
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Os perfis NACA foram desenvolvidos a partir de 1933 pelo National Advisory Committee for Aeronautics (NACA), hoje em dia denominado National Aeronautics and Space Administration (NASA).
• Os perfis NACA são construídos adicionando uma distribuição de espessura na direcção normal ao esqueleto e encontram-se divididos em várias séries.
Perfis SustentadoresPerfis NACA
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 4 dígitos, NACA ABCD
A → Flecha relativa em percentagem, f/c
B → Coordenada da flecha máxima, xm, dada por 10xm/c
CD → Espessura relativa em percentagem, d/c
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 4 dígitos, NACA ABCD
- Distribuição de espessura
- Esqueleto
2 arcos de parábola concordantes no ponto de flecha máxima, cuja abcissa é xm
( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0
xxxxxd
y −+−−=
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 4 dígitos, NACA ABCD
- Distribuição de espessura
- Esqueleto
( )
( )( )( )
=>⇐−+−−
=≤⇐−
=
10211
1
1002
2
2
Bxxxxxx
x
f
Afxxxxx
x
f
y
mmmm
m
mm
m
m
( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0
xxxxxd
y −+−−=
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 4 dígitos
- NACA 0012
Perfil simétrico com 12% de espessura relativa
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Série de 4 dígitos
- NACA 4412
Perfil com uma flecha relativa de 4% localizadaem xm=0.4c (40% do bordo de ataque) e com12% de espessura relativa
Perfis SustentadoresPerfis NACA
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos, NACA ABCDE
A → Valor aproximado de
BC → Coordenada da flecha máxima, xm, dada por 200xm/c
DE → Espessura relativa em percentagem, d/c
é o coeficiente de sustentação de projecto
( )projlC10
3
2×
( )projlC
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos, NACA ABCDE
- Distribuição de espessura idêntica à série 4
- Esqueleto
2 polinómios que definem uma curvatura decrescente desde o bordo de ataque, sendouma recta a partir dum ponto ligeiramente àdireita do ponto de flecha máxima, cuja abcissa é xm
( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0
xxxxxd
y −+−−=
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos, NACA ABCDE
- Distribuição de espessura
- Esqueleto
( )( )
( )
>⇐−
≤⇐−+−
=
mxxmk
mxxmmmxxk
y
m
m
16
1
336
1
3
1
223
1
( )432 1015.02843,03516,0126,02969,02,0
xxxxxd
y −+−−=
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos, NACA ABCDE
- EsqueletoValores de
Designação
210 0,05 0,0580 361,4
220 0,10 0,1260 51,64
230 0,15 0,2025 15,957
240 0,20 0.2900 6,643
250 0,25 0,3910 3,230
m1kmx
( ) 3,0parae,1 =projlm Cxmk
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 5 dígitos
- NACA 23015
Perfil com , uma flecha máxima localizada em xm=0.15c (15% do bordo de ataque)e com 15% de espessura relativa
( ) 3,0=projlC
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 6 dígitos, NACA 6A,B-CDE, a=ao
A → Valor de . é a abcissa do pontode pressão mínima para o correspondenteperfil simétrico com ângulo de ataquenulo. está relacionado com a distribuição de espessura do perfil
cxp 10 px
px
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
• Série de 6 dígitos, NACA 6A,B-CDE, a=ao
B → Gama de valores de Cl (multiplicado por 10) acima e abaixo do valor de Cl
de projecto em que existem gradientes depressão favoráveis ou quase nulos nointradorso e extradorso do perfil
C → . é o coeficiente de sustentação de projecto
( )projlC10 ( )
projlC
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresPerfis NACA
NACA 66-209 (a=1)
• Série de 6 dígitos, NACA 6A,B-CDE, a=ao
DE → Espessura relativa em percentagem
ao → Abcissa até à qual a carga (diferença depressão entre o extradorso e o intradorso)é aproximadamente constante. Para x>ao
a carga decresce linearmente. ao estárelacionado com o esqueleto do perfil
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
-
∞Vr
BAM
cM
L
α
α
x
y
• Propagação de momentos
( )
( ) lMlMM
ccBA
CCCCC
Lc
Mc
LMM
ccBA 2
1
2
1cos
22cos
+≅+=
+≅+=
α
α
Perfis SustentadoresMomento de Picada em Torno do
Bordo de Ataque
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
• Para um perfil sustentador a pequenos α temos
donde
-
∞Vr
BAM
cM
L
α
α
x
y
( ) ( )
λβγγπ
βαπ
λβπ
−=+≅
++−≅
com42
22
lM
M
CC
C
BA
BA
( ) ( )λαπ
βαπ +−≅+≅2
2cMl CC
Perfis SustentadoresMomento de Picada em Torno do
Bordo de Ataque
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresCentro Aerodinâmico ou Foco
-
∞Vr
L
α
α
x
y
cM
xM
• Centro aerodinâmico é o ponto relativamente ao qual o momento de picada é independente
do ângulo de ataque, α
• Coeficiente de momento em torno do ponto x
lMM Cc
xCC
cx−≅
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresCentro Aerodinâmico ou Foco
-
∞Vr
L
α
α
x
y
cM
xM
• Centro aerodinâmico obtem-se da condição
donde
00 =⇔=l
MM
dC
dC
d
dCxx
α
αα
d
dCd
dC
dC
dC
c
x
c
x
dC
dC
l
M
l
Mcaca
l
M ccc1
0 ==⇔=−
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresCentro Aerodinâmico ou Foco
-
∞Vr
L
α
α
x
y
cM
xM
4
1
2
1
2−=−≅
π
π
c
xca
• Para um perfil sustentador a pequenos α temos
donde
πα
π
α2
2≅−≅
d
dC
d
dClM c
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresCentro Aerodinâmico ou Foco
-
∞Vr
L
α
α
x
y
cM
xM
( ) γπ
γα
βλα 2
≅−=−=d
dC
d
dCC cc
ca
MM
M
• O centro aerodinâmico encontra-se aproximadamente a 25% da corda
• O coeficiente de momento em torno docentro aerodinâmico é dado por
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresCentro de Pressão
-
∞Vr
L
α
α
x
y
cM
xM
• Centro de pressão é o ponto da linha que contéma corda relativamente ao qual o momento de picada é nulo. Ou seja, o ponto de intersecção dalinha de acção da força de sustentação e da linhaque contém a corda
0=−≅ lMM Cc
xCC
cx
Aerodinâmica
Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica
Perfis SustentadoresCentro de Pressão
-
∞Vr
L
α
α
x
y
cM
xM
• Para um perfil sustentador a pequenos α temos
donde
( ) ( )λαπ
βαπ +−≅+≅2
2cMl CC
l
M
l
cp
C
C
Cc
xca+−=+−=
++−=
4
1
24
1
4
1
4
1 πγ
βα
γ
l
Mcp
lMMC
C
c
xC
c
xCC c
cx=⇔=−≅ 0