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K4と同じ組み合わせ型を持つ GKM グラフの分類
黒木 慎太郎
https://www.xmath.ous.ac.jp/ kuroki/
2017年 3月 2日第 9 回 STM(Satyric Math.)ワークショップ – in 岡山
50周年記念館3階会議室・岡山理科大学
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 1 / 15
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
群の作用
M2m(= M):2m次元の多様体T n(= T ):n次元トーラス(T ≃ S1 × · · · × S1︸ ︷︷ ︸
n 個
)
.Definition..
......
T がM に作用する (T ↷ M または (M ,T ))def⇐⇒ T ⊂ Diff(M).
つまり ∀t ∈ T が t : M → M(M 上の変換)を定義する.
x ∈ M に対して、その点を T で動かしたものT (x) = {t(x) | t ∈ T}を x の軌道という.
.Remark..
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軌道 T (x)は部分多様体になる。つまり, T (x) ∼= {x}, S1,T 2,T 3, ...
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 2 / 15
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
群の作用
M2m(= M):2m次元の多様体T n(= T ):n次元トーラス(T ≃ S1 × · · · × S1︸ ︷︷ ︸
n 個
)
.Definition..
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T がM に作用する (T ↷ M または (M ,T ))def⇐⇒ T ⊂ Diff(M).
つまり ∀t ∈ T が t : M → M(M 上の変換)を定義する.
x ∈ M に対して、その点を T で動かしたものT (x) = {t(x) | t ∈ T}を x の軌道という..Remark..
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軌道 T (x)は部分多様体になる。つまり, T (x) ∼= {x}, S1,T 2,T 3, ...
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 2 / 15
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
GKM多様体 [Guillemin-Zara, 2000∼]
.Definition (Guillemin-Holm-Zara)..
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(M ,T )が GKM(Goresky-Kottwictz-MacPherson)多様体 def⇐⇒ 1次元以下の軌道の集合M1 = {x ∈ M | T (x) = {x} or S1} がグラフの構造を持つ.
Α
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
具体例と GKMグラフ.Example..
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(1) トーリック多様体.(2) 等質空間 G/H(但し T ⊂ H ⊂ G が極大トーラス).(e.g. G2/SU(3) ≃ S6, SU(n + 1)/T n ≃ F l(Cn+1)).
GKM多様体 (M2m,T n) =⇒ GKMグラフ (Γ,A).
Figure: (S6,T 2)と (F l(C3),T 2)の GKMグラフ.
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
GKMグラフを考える利点
...1 高次元の多様体が(大雑把に)目で見えるようになる。
...2 幾何的に大変な証明を、組み合わせ的に証明できる。
...3 不変量((同変)コホモロジーや (同変)特性類...etc)をグラフの組み合わせ構造から計算できる。
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
GKMグラフを考える利点
...1 高次元の多様体が(大雑把に)目で見えるようになる。
...2 幾何的に大変な証明を、組み合わせ的に証明できる。
...3 不変量((同変)コホモロジーや (同変)特性類...etc)をグラフの組み合わせ構造から計算できる。
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 5 / 15
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
GKMグラフを考える利点
...1 高次元の多様体が(大雑把に)目で見えるようになる。
...2 幾何的に大変な証明を、組み合わせ的に証明できる。
...3 不変量((同変)コホモロジーや (同変)特性類...etc)をグラフの組み合わせ構造から計算できる。
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 5 / 15
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
GKMグラフを考える利点
...1 高次元の多様体が(大雑把に)目で見えるようになる。
...2 幾何的に大変な証明を、組み合わせ的に証明できる。
...3 不変量((同変)コホモロジーや (同変)特性類...etc)をグラフの組み合わせ構造から計算できる。
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 5 / 15
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
逆の問題 (GKMグラフ =⇒ GKM多様体?)
.Problem........ (Γ,A)に対し、それに対応する(良い)(M ,T )は存在するか?
.Remark..
......
もしもグラフ Γが 2-valent(つまり多角形の辺)の場合は、トーリック幾何を使えば答えは YES.
.今日の目標..
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...1 GKMグラフを抽象的に定義し (K4上の)それを分類する (組み合わせ論);
...2 それを定義する(同変形式的)GKM多様体を探す (幾何).
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 6 / 15
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
逆の問題 (GKMグラフ =⇒ GKM多様体?)
.Problem........ (Γ,A)に対し、それに対応する(良い)(M ,T )は存在するか?
.Remark..
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もしもグラフ Γが 2-valent(つまり多角形の辺)の場合は、トーリック幾何を使えば答えは YES.
.今日の目標..
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...1 GKMグラフを抽象的に定義し (K4上の)それを分類する (組み合わせ論);
...2 それを定義する(同変形式的)GKM多様体を探す (幾何).
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 6 / 15
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Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)
逆の問題 (GKMグラフ =⇒ GKM多様体?)
.Problem........ (Γ,A)に対し、それに対応する(良い)(M ,T )は存在するか?
.Remark..
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もしもグラフ Γが 2-valent(つまり多角形の辺)の場合は、トーリック幾何を使えば答えは YES.
.今日の目標..
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...1 GKMグラフを抽象的に定義し (K4上の)それを分類する (組み合わせ論);
...2 それを定義する(同変形式的)GKM多様体を探す (幾何).
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 6 / 15
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抽象 GKMグラフ
抽象 GKMグラフ [Guillemin-Zara, 2000~]
Γ = (V (Γ),E (Γ))を m-valentグラフとする.
Figure: K4 と 3-valentグラフと 4-valentグラフ.
.Definition..
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(抽象)GKMグラフとは、ラベル付きグラフ (Γ,A)のことを言う。ここで、ラベル A : E (Γ) → Zn (for 1 ≤ n ≤ m)は次の 3つの条件を満たす:
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抽象 GKMグラフ
軸流関数 (axial function) A (I)
ラベル A : E (Γ) → Zn が次の 3つの条件を満たすとき軸流関数(axial function)という。(1) A(pq) = −A(qp)
(2) m個のベクトル {A(e) | e ∈ Ep(Γ)}が Zn を張りかつ、対毎に線型独立 (pairwise linearly independent).
ここで H2(BT 3) = ⟨α, β, γ⟩.黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 8 / 15
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抽象 GKMグラフ
軸流関数A (II)
(3) ∀pq ∈ E (Γ), ∃ 全単射∇pq : Ep(Γ) → Eq(Γ) s.t.
∀e ∈ Ep(Γ), ∃cpq(e) ∈ Z s.t. A(∇pq(e))−A(e) = cpq(e)A(pq).
(∇ = {∇e | e ∈ E (Γ)}は接続と呼ばれる).Example..
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主定理
主定理
Γ = K4(4頂点完全グラフ)とすると、次の定理が成り立つ。.Theorem..
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(Γ,A)は次のいずれか 7つのうちの一つと同型になる:
Gst , G0(1, 1), G0(−1,−1), G0(k ,±1), G1(m), G2, G3,
k と mは |k | ≥ 2, m ≥ 1を満たす整数.
.Corollary..
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GKMグラフが K4 になるような (同変形式的な)GKM多様体は次の二つのうちのいずれかに微分同相になる:
CP3 = (C4 \ {0})/C∗,
Q3 = {z ∈ CP4 | ⟨z , z⟩R = 0} ∼= SO(5)/SO(2)× SO(3).
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主定理
K4上の軸流関数A
Gst , G0(1, 1), G0(−1,−1), G0(k ,±1), G1(m), G2, G3,
はそれぞれ次のグラフになる。
Figure: Gst .
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主定理
Figure: G0(1, 1) Figure: G0(−1,−1)
Figure: G0(k,±1)
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主定理
Figure: G1(m) Figure: G2
Figure: G3
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主定理
証明の概略
1.K4上の接続∇を全て分類する(7種類ある)
2.(K4,∇)を固定して軸流関数 Aが定義できるかどうかを考える(実際、軸流関数が上手く定義できるのは 4種類のみ)
3.考えうる軸流関数をすべて数え上げる。
4.同型であるものとないものを分類して証明終了。
黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 14 / 15
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主定理
CP3と Q3に対応する GKMグラフ
Figure: (CP3,T ℓ)のGKMグラフ (ℓ = 2, 3)
Figure: (Q3,T2)の
GKMグラフ G3
.Remark..
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(Q3,T2)はトーリック多様体ではないので、トーリック幾何(トー
リックトポロジー)でよく知られた方法からは構成できない!
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主定理
CP3と Q3に対応する GKMグラフ
Figure: (CP3,T ℓ)のGKMグラフ (ℓ = 2, 3)
Figure: (Q3,T2)の
GKMグラフ G3
.Remark..
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(Q3,T2)はトーリック多様体ではないので、トーリック幾何(トー
リックトポロジー)でよく知られた方法からは構成できない!黒木 慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 15 / 15