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中心極限定理
すべては正規分布へ！
1
2中心極限定理
3
これを確かめる
4一様分布の場合 n=1
-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
du
nif
(x)
5一様分布の場合 n=2
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
sap
ply
(x, u
2s)
独立な 2 個の一様分布の和の分布
6一様分布の場合 n=3
独立な 3 個の一様分布の和の分布
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
sap
ply
(x, u
3s)
7
u2 <- function(z) switch(length(which(c((z >= 0), (z >= 1), (z > 2)))) + 1, 0, z, 2 - z, 0) u2s <- function(z) u2(z / sqrt(6) + 1) / sqrt(6)
x <- seq(-3, 3, length = 101) plot(x, sapply(x, u2s), type = "l") curve(dnorm, -3, 3, add = T, col = 2)
u3 <- function(z)
switch(length(which(c((z >= 0), (z >= 1), (z > 2), (z > 3)))) + 1,
0, z^2 / 2, -z^2 + 3 * z - 3 / 2, (z - 3)^2 / 2, 0)
u3s <- function(z)
u3(1.5 + (z * 0.5))* 0.5
x <- seq(-3, 3, length = 101)
plot(x, sapply(x, u3s), type = "l", ylim = c(0, 0.4))
curve(dnorm, -3, 3, add = T, col = 2)
8種々の分布
• シミュレーションで使うための新しい分布を定義する二次分布三角分布平方根分布
一様分布２項分布など
9密度関数と分布関数
10中心極限定理のシミュレーション
• 平均，分散があればどんな分布でも成立する 離散型でも成立
• 左右対称な分布と非対称な分布での振る舞いを比較する 標準正規分布へどのぐらいで収束するか
• 母集団分布に，種々の分布を仮定1. 標本を n個取り出す2. その平均を求める3. それをシミュレーション回数 nsim 回繰り返して， nsim 個の平均を
求める
11中心極限定理のシミュレーション（一様分布の場合）
n <- 10
nsim <-1000
rslt <- apply(sapply(rep(n, nsim), runif), 2, mean)
rslt
rslt <- c()
n <- 10
nsim <-1000
for(i in 1:nsim){
rslt[i] <- mean(runif(n))
}
rslt
stdata <- scale(rslt)
hist(stdata, nclass = 20, xlim = c(-4, 4), freq = F)
curve(dnorm, -4, 4, add = T, col = 2)
nsim 個の平均の値の平均と標準偏差を求め，基
準化する標準正規分布の密度関数を重ね書きして，正規分布への収束の度合いを眺める
12中心極限定理のシミュレーション（一様分布の場合）
cltplot <- function(data, n){
hist(scale(data), nclass = 20, xlim = c(-4, 4),
ylim = c(0, 0.5), freq = F, main = paste("N =" , n))
curve(dnorm, -4, 4, col = 2, add = T)
}
clturand <- function(n, nsim){
if(n == 1)
result <- apply(matrix(sapply(rep(n, nsim), runif), n, nsim), 2, mean)
else
result <- apply(sapply(rep(n, nsim), runif), 2, mean)
cltplot(result, n)
}
13
> clturand(5,1000)N = 5
scale(data)
De
nsi
ty
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
14nを変化させる
nsim<-1000
cltunif <- function(nmax){
for(i in 1:nmax){
if (options()$device == "X11")
X11()
if (options()$device == "windows")
win.graph()
clturand(i, nsim)
}
}
> cltunif(5)
nsim を 100 や 500 に変えてみて収束の具合を見る
どのぐらいで収束しているか見よう。
出てきたグラフをすべて削除するには， graphics.off()
15一様分布だけではなく，分布を指定する
source(“dist.r”)
cltrand <- function(n, nsim, rdist){
if(n == 1)
result <- apply(matrix(sapply(rep(n, nsim), rdist), n, nsim), 2, mean)
else
result <- apply(sapply(rep(n, nsim), rdist), 2, mean)
cltplot(result, n)
}
clt <- function(nmax, rdist){
for(i in 1:nmax){
if (options()$device == "X11")
X11()
if (options()$device == "windows")
win.graph()
cltrand(i, nsim, rdist)
}
}
16使い方
• 教科書 95 ページ参照• 二次分布の場合 clt(5, rquad)
N = 5
scale(data)
De
nsi
ty
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
N = 1
scale(data)
De
nsi
ty
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
17clt 関数で指定できる分布の例
18パラメータが必要な分布では
