Upload
adityadh
View
63
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
asddd
Citation preview
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 1/24
Kalkulus Vektor 38
BAB 3 : KALKULUS VEKTOR
3.1.
Pendahuluan
Di dalam bab ini, akan dibicarakan fungsi-fungsi bernilai
real dengan satu, dua atau tiga peubah. Seperti umumnya
pembicaraan kalkulus, maka pembicaraan fungsi bernilai vektor
akan meninjau pula konsep Limit, Derivatif dan Integral,
meskipun secara ringkas. Dibicarakan pula operato-operator Div,
Grad dan Curl. Pembaca diasumsikan sudah akrab dengan
geometri ruang, khususnya persamaan garis, bidang dan luasan.
Pada bagian akhir, ditambahkan konsep integral garis yang
pada beberapa buku teks kadang-kadang dipisahkan dengan
pembicaraan fungsi bernilai vektor. Pembicaraan integral garis
diakhiri dengan Teorema Green dan akibatnya. Integral garis
tersebut akan diterapkan untuk menghitung luas sekat, luas
daerah dengan batas suatu kurva dan menghitung besar kerja
suatu gaya.
3.2. Fungsi Bernilai Vektor
Diketahui fungsi-fungsi f 1,f 2,f 3 : Rn → R. Fungsi bernilai
vektor f didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 1
Tujuan Instruksional Khusus :
Mahasiswa diharapkan dapat menyebutkan perbedaan fungsi bernilaireal dan fungsi bernilai vektor, dapat mencari limit dan derivatif fungsibernilai vektor, dapat mengerjakan operasi Grad, Div dan Curl sertadapat mengerjakan integral garis.
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 2/24
Kalkulus Vektor 39
(a). Untuk n=1, f (x)=f 1(x)i+f 2(x) j+f 3(x)k
(b).
Untuk n=2, f (x,y)=f 1(x,y)i+f 2(x,y) j+f 3(x,y)k (c). Untuk n=3, f (x,y,z)=f 1(x,y,z)i+f 2(x,y,z) j+f 3(x,y,z)k
dengan i, j dan k masing-masing vektor satuan searah
sumbu x, y dan z.
Berikut ini contoh-contoh fungsi bernilai real beserta pola vektor-
vektor yang dihasilkan.
Catatan :
f (x) = f 1(x)i+f 2(x) j+f 3(x)k
= ⟨f 1(x),f 2(x),f 3(x)⟩ f (x,y) = f 1(x,y)i+f 2(x,y) j+f 3(x,y)k
= ⟨f 1(x,y),f 2(x,y),f 3(x,y)⟩
f (x,y,z) = f 1(x,y,z)i+f 2(x,y,z) j+f 3(x,y,z)k
= ⟨f 1(x,y,z),f 2(x,y,z),f 3(x,y,z)⟩
1).
Beberapa nilai f
x=0 ⇒ f (0)=4i
x=π /6 ⇒ f (π /6)=2i+2√3 j
x=π /4 ⇒ f (π /4)=2√2i+2√2 j
x=π /2 ⇒ f (π /2)=4 j
Pola vektor yang terbentuk adalah lingkaran pada bidang
XOY dengan jari-jari 4.
2).
f (x)=4cos(x)i+4sin(x) j
f (t)=4cos(t)i+4sin(t) j+3k
k
f (x)i j
bidang z=3
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 3/24
Kalkulus Vektor 40
Bentuk kurva adalah lingkaran pada
bidang z=3, dengan jari-jari 4.
3). f (x)=4cos(x)i+4sin(x) j+xk
Kurva yang terbentuk adalah spiral
ke arah sumbu z.
Dari tiga contoh di atas, terlihat
bahwa nilai-nilai fungsi berupa
vektor-vektor posisi membentuk
suatu kurva pada ruang R3.
Selanjutnya ditinjau contoh pola nilai-nilai fungsi vektor
dengan dua atau tiga peubah yang biasa disebut vector field .
(1). f (x,y)=xi+y j
(2). f (x,y)=-yi+x j
-4
4-4
4
-4
4
-4
4
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 4/24
Kalkulus Vektor 41
π 0
π
(3). f (x,y)=sin(x)i+cos(y) j
(4). f (x,y,z)=xi+y j+zk
3.3. Limit, Kekontinuan, Derivatif dan Integral
( ) ( ) ( ) ( ) 33tt
22tt
11tttt
vtf limdanvtf lim,vtf limtlim0000
===⇔=→→→→
vf
Definisi 2:Diketahui f (t)=⟨f 1(t),f 2(t),f 3(t)⟩ dan vektor v=⟨v1,v2,v3⟩.
Hal ini berarti :
( ) ( ) ( ) ( )tf lim,tf lim,tf limtlim 3tt
2tt
1tttt 0000 →→→→
=f .
Contoh
y
z
x
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 5/24
Kalkulus Vektor 42
f (t)=(t2+1)i+1t
1t2
+
− j+(2t+5)k , maka
( ) ( ) ( )
k322
3,2,2
5t2lim,1t
1tlim,1tlimtlim
1t
2
1t
2
1t1t
+−=
−=
++
−+=
−→−→−→−→f
( )tlim0ttf
→
Eksistensi Limit
Berdasarkan definisi 2 di atas, maka ada (eksis) jika
hanya jika ( ) ( ) ( )tf limdantf lim,tf lim 3tt
2tt
1tt 000 →→→
ada.
Limit fungsi vektor dua atau tiga peubah serupa dengan
pendefinisian di atas.
( ) ( )0tt
ttlim0
f f =→
Definisi 3:
Diketahui fungsi vektor
f (t) = f 1(t)i+f 2(t) j+f 3(t)k = ⟨f 1(t),f 2(t),f 3(t)
Fungsi f dikatakan kontinu di titik t=t0 jika dan hanya jika
.
( ) ( ) ( ) ( )
h
thtlimt't
dt
d0h
f f f f
−+=≡
→
Definisi 4:
Diketahui fungsi vektor
f (t) = f 1(t)i+f 2(t) j+f 3(t)k = ⟨f 1(t),f 2(t),f 3(t)
Derivatif fungsi vektor f didefinisikan
asalkan limit tersebut ada.
Dengan demikian diperoleh :
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 6/24
Kalkulus Vektor 43
( ) ( ) ( ) ( )tf dt
d,tf
dt
d,tf
dt
dt
dt
d321=f
1t
1t2
+
−
Contoh :
f (t)=(t2+1)i+ j+(2t+5)k
( ) ( ) ( )
2,)1t(
1t2t,t2
2,)1t(
)1t()1t(t2,t2
5t2dt
d,
1t
1t
dt
d,1t
dt
dt
dt
d
2
2
2
2
22
+
−+=
+
+−+=
+
+
−+=f
Tafsiran geometris derivatif
:
1.
Sifat 1:
( ) ( )( ) ( ) ( )t
dt
dt
dt
dtt
dt
dgf gf +=+
2. ( )( ) ( ) ( ) ( )
+
= t
dt
d)t(kttk
dt
dt)t(k
dt
df f f
3. ( )( ) ( ) ( ) ( )
⋅+⋅
=⋅ t
dt
d)t(tt
dt
dt)t(
dt
dgf gf gf
4. ( )( ) ( ) ( ) ( )
×+×
=× t
dt
d)t(tt
dt
dt)t(
dt
dgf gf gf
f ’(t)
f (t)
f (t+h)
garis tangen
kurva C
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 7/24
Kalkulus Vektor 44
5. Jika f =f (s) dan s=s(t), makadt
ds
ds
d
dt
d f f = (aturan rantai)
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ = dttf ,dttf ,dttf dtt 321f
Definisi 5:
Diketahui fungsi vektor
f (t) = f 1(t)i+f 2(t) j+f 3(t)k = ⟨f 1(t),f 2(t),f 3(t)
Integral fungsi vektor f didefinsikan :
3.4. Operator GRAD, DIV dan CURL
( ) ( ) ( )
ji
∂
∂+
∂
∂=∇≡
y
y,xf
x
y,xf f f Grad
Definisi 6:
Diketahui fungsi skalar f(x,y) dan g(x,y,z). Gradien fungsi f
dan g tersebut, masing-masing didefinisikan sebagai berikut
( ) ( ) ( ) ( )
k ji
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇≡
z
z,y,xg
y
z,y,xg
x
z,y,xgggGrad
Dalam hal ini :
k ji ji
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂≡∇
∂
∂+
∂
∂≡∇
zyx
atau
yx
disebut operator gradien.
( )
( ) ( ) ( )k ji
k ji
yz2zxy1
z
f
y
f
x
f f f Grad
2 ++++=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=∇≡
Contoh
Jika f(x,y)=x+xy+yz2 , maka
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 8/24
Kalkulus Vektor 45
( ))y,x(f Grad1
)y,x(f D ⋅
= v
vv
Derivatif berarah
Derivatif berarah fungsi skalar f(x,y) pada arah vektor v di
bidang XOY adalah
Khususnya jika :
v=i ⇒ x
)y,x(f )y,x(f D
∂
∂=v
v= j ⇒ y
)y,x(f )y,x(f D∂
∂=v
Tafsiran geometris
( )z
f
y
f
x
f Div 321
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⋅∇≡ f f
Definisi 7:
Diketahui fungsi vektor
f (x,y,z)=⟨f 1(x,y,z),f 2(x,y,z),f 3(x,y,z)⟩.
Divergensi f didefinisikan :
v
Definisi 8:
Grad(f(P))
z=f(x,y)
kurva C
bidang tangenP
garis singgung kurva C di titik P
gradien=Dvf(P)
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 9/24
Kalkulus Vektor 46
Diketahui fungsi vektor
f (x,y,z)=⟨f 1(x,y,z),f 2(x,y,z),f 3(x,y,z)⟩.Curl f didefinisikan :
( )
321 f f f
zyxCurl ∂∂∂∂∂∂=×∇≡
k ji
f f
( ) z3,zy2,yxzy,x, 32
=f
Contoh:
( ) ( ) ( ) ( )
3zy6xy2
z3z
zy2y
yxx
Div
2
32
++=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⋅∇≡ f f
( ) ki
k ji
f f 23
32
xy2
z3zy2yx
zyxCurl −−=∂∂∂∂∂∂=×∇≡
Dari contoh di atas, terlihat bahwa operator divergensi
mengasilkan fungsi skalar, sedangkan operator curl
menghasilkan fungsi vektor.
3.5. Integral Garis
Telah diketahui bahwa ( )∫b
adxxf dimaksudkan sebagai
integral fungsi f pada interval [a,b]. Bila konsep integral tersebut
diperluas dengan menggantikan peranan interval [a,b] dengan
suatu kurva C maka akan diperoleh suatu bentuk integral yang
dinamakan integral garis (line integral).
Beberapa Istilah
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 10/24
Kalkulus Vektor 47
Ditinjau suatu kurva C yang didefinisikan oleh persamaan
parameter : x=x(t) , y=y(t) , a≤t≤b. Titik A(x(a),y(a)) danB(x(b),y(b)) masing-masing disebut titik pangkal dan titik
ujung kurva C.
1. C dikatakan mulus (smooth) jikadx
/dt dandy
/dt masing-
masing kontinu pada interval tertutup [a,b] dan tidak
serempak bernilai nol pada interval terbuka (a,b).
2. C dikatakan mulus sepotong-sepotong (piecewise
smooth) jika terdapat bilangan bulat positif n sedemikian
hingga n
1k
kCC=
= , C j∩Ck=∅, ∀ j≠k dengan Ck kurva mulus
untuk k=1,2,...,n.
3. C dikatakan kurva tertutup (closed curve) jika A=B.
4. C dikatakan kurva tertutup sederhana (simple closed
curve) jika A=B dan C tidak memotong dirinya sendiri.
5. Orientasi positif kurva C adalah dari titik A ke titik B.
1. f terdefinisi pada suatu daerah yang memuat C pada
bidang xy.
Konstruksi Integral Garis
Ditinjau fungsi f, z=f(x,y) dan kurva mulus C yang didefinisikan
oleh persamaan parameter : x=x(t), y=y(t), a≤t≤b. Titik A dan B
masing-masing titik pangkal dan titik ujung kurva C, sedemikian
hingga :
2. C dipartisi menjadi n subkurva : s1, s2, s3,..., sn dengan
panjang masing-masing : ∆s1, ∆s2, ∆s3,..., ∆sn. Partisi
pada kurva C tersebut bersesuaian dengan partisi
interval tertutup [a,b] : a=t0<t1<...<tn=b. Selanjutnya
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 11/24
Kalkulus Vektor 48
∆xk dan ∆yk masing-masing adalah panjang proyeksi
subkurva ∆sk , k=1,2,...,n pada sumbu x dan sumbu y.3. Diambil { } ( ) k
*k
*kk
nk1sy,xdansmaksP ∈∆=
≤≤
( ) ( )∑∫ =→ ∆=
n
1kk
*
k
*
k0PC sy,xf limdsy,xf
Definisi 9:
Integral Garis fungsi f sepanjang kurva C dari titik A ke titik
B didefinisikan sebagai berikut :
Selanjutnya, mengingat :
( ) ( ) k
2
k
k
2
k
k2
k
2
kk tt
y
t
xyxs ∆
∆
∆+
∆
∆=∆+∆≈∆
maka pada saat 0P → diperoleh :
( ) ( ) ( )( )∫∫
+
=
b
a
22
C
dtdt
dy
dt
dxty,txf dsy,xf
Dengan cara serupa dapat pula dirumuskan integral garis fungsi
f sepanjang kurva C, masing-masing terhadap x dan y sebagai
berikut :
( ) ( ) ( )( )∫∫
=
b
aC
dtdt
dxty,txf dxy,xf
( ) ( ) ( )( )∫∫
=
b
aC
dtdt
dyty,txf dyy,xf
1.
Teorema 1:
( ) ( )( ) ( ) ( )∫∫∫ +=+CCC
dsy,xgdsy,xf dsy,xgy,xf
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 12/24
Kalkulus Vektor 49
2. ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=+CCC
dyy,xgdxy,xf dyy,xgdxy,xf
3. Jika –C adalah kurva yang sama dengan kurva C, dengan
orientasi berlawanan dengan orientasi kurva C, maka :
a). ( ) ( )∫∫ =− CC
dsy,xf dsy,xf
b). ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ +−=+− CC
dyy,xgdxy,xf dyy,xgdxy,xf
4. Jika C kurva mulus sepotong-sepotong dan n
1k
kCC=
= ,
C j∩Ck=∅, ∀ j≠k dengan Ck kurva mulus untuk k=1,2,...,n
maka : ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +++=n21 CCCC
dsy,xf dsy,xf dsy,xf dsy,xf
–C : x = 4 sin t , y = 4 cos t , 0≤t≤π /2
Contoh
Diketahui kurva C dengan persamaan parameter :
C : x = 4 cos t , y = 4 sin t , 0≤t≤π /2
maka kurva yang sama dengan orientasi berlawanan adalah
Persamaan parameter lain C adalah : x=(16-y2)1/2, y=y,
0≤y≤4
Akan dihitung :
∫C
2 dsxy , ∫C
2 dxxy , ∫−C
2 dsxy dan ∫−C
2 dxxy
masing-masing sebagai berikut :
-CC
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 13/24
Kalkulus Vektor 50
( )( ) ( ) ( )
3
256dttsintcos256
dttcos4tsin4tsin4tcos4dsxy
2
0
2
2
0
222
C
2
==
+−=
∫
∫∫π
π
( )( ) ( )
64dttsintcos256
dttsin4tsin4tcos4dxxy
2
0
3
2
0
2
C
2
−=−=
−=
∫
∫∫π
π
3
256dsxydsxy
C
2
C
2 == ∫∫−
(berdasarkan teorema 3a)
64dxxydxxyC
2
C
2 =−= ∫∫−
(berdasarkan teorema 3b)
Hasil-hasil yang sama juga diperoleh dengan menggunakan
parameterisasi lain untuk C.
Perumusan integral garis dapat diperoleh untuk fungsi tiga
peubah f(x,y,z), dengan persamaan kurva C : x=x(t), y=y(t),
z=z(t), a≤t≤b .
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫
+
+
=
b
a
222
C
dtdt
dz
dt
dy
dt
dxtz,ty,txf dsz,y,xf
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫
=
b
aC
dtdtdxtz,ty,txf dxz,y,xf
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫
=
b
aC
dtdt
dytz,ty,txf dyz,y,xf
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫
=
b
aC
dtdt
dztz,ty,txf dzz,y,xf
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 14/24
Kalkulus Vektor 51
( ) ( )∫ +C
dyy,xgdxy,xf
Teorema 2: (Teorema Fundamental Integral Garis)
Diketahui fungsi f(x,y) dan g(x,y) masing-masing terintegralterhadap x dan y. Jika terdapat fungsi Φ(x,y) sedemikian
hingga
dΦ(x,y)=f(x,y)dx+g(x,y)dy
maka
hanya bergantung pada A (titik pangkal) dan B (titik ujung)
kurva C, dan
( ) ( ) ( ) ( )ABdyy,xgdxy,xf C
Φ−Φ=+∫ .
Teorema tersebut menyatakan bahwa bila fungsi f(x,y) dan
g(x,y) merupakan bentuk diferensial total dari fungsi Φ(x,y)
maka perhitungan integral garisnya tidak bergantung jejak
(bentuk) kurva C, tetapi hanya bergantung pada titik awal dan
titik akhir C. Dengan kata lain, perhitungan integral garis
tersebut bebas jejak (independent of the path).
( ) ( )∫ +C
dyy,xgdxy,xf
Teorema 3: (Kriterium Bebas Jejak)
Jika fungsi f(x,y) dan g(x,y) masing-masing mempunyai
derivatif parsial tingkat satu kontinu di dalam suatu daerah
terhubung sederhana D, maka
bebas jejak untuk setiap kurva mulus sepotong-sepotong C
di dalam D, bila dan hanya bila :
x
g
y
f
∂
∂=
∂
∂.
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 15/24
Kalkulus Vektor 52
Catatan
( ) ( ) ( )∫ ++C
dzz,y,xhdyz,y,xgdxz,y,xf
:
Untuk fungsi tiga peubah, f(x,y,z)
bebas jejak, bila dan hanya bila
x
g
y
f
∂
∂=
∂
∂,
x
h
z
f
∂
∂=
∂
∂ dan
y
h
z
g
∂
∂=
∂
∂
x
g
y
f
∂
∂=
∂
∂
Akibat Teorema 3
Jika C suatu kurva tertutup sederhana dan , maka
( ) ( )∫ +C
dyy,xgdxy,xf =0.
Catatan
( )∫C
dxy,xf
:
Simbol integral garis suatu fungsi f khusus untuk kurva
tertutup C adalah .
( ) ( ) ∫∫∫
∂
∂−
∂
∂=+
DC
dAy
f
x
gdyy,xgdxy,xf
Teorema 4 : (Teorema Green)
Diketahui D daerah di bidang xy dengan batas berupa kurva
C mulus sepotong-sepotong dan tertutup sederhana dengan
orientasi berlawanan arah jarum jam. Jika f(x,y) dan g(x,y)
masing-masing kontinu dan mempunyai derivatif parsial
tingkat satu kontinu di dalam D, maka
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 16/24
Kalkulus Vektor 53
3.6. Terapan
( ) ( ) ( )( )∫∫
+
=
b
a
22
C
dtdt
dy
dt
dxty,txf dsy,xf
Masalah Luas Sekat
Diketahui kurva C pada bidang XOY:
C : x=x(t), y=y(t), a≤t≤b
Diketahui pula luasan z=f(x,y).
Sekat yang dimaksudkan adalah luasan tegak mengikuti
bentuk kurva C dari bidang XOY ke luasan z=f(x,y). Jika A
adalah luas luasan tersebut, maka :
A=
Masalah Kerja (Work
( ) ( ) ( )∫∫ ++=⋅C
321
C
dzz,y,xFdyz,y,xFdxz,y,xFdrF
)
Jika diketahui fungsi vektor
F=F1(x,y,z)i+F2(x,y,z) j+F3(x,y,z)k
dan kurva C : x=x(t), y=y(t), z=z(t), a≤t≤b,
kemudian diambil r(t)=x(t)i+y(t) j+z(t)k, maka :
z=f(x,y)
Sekat tegak
y
z
x
kurva C
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 17/24
Kalkulus Vektor 54
Tafsiran fisis bentuk integral tersebut adalah besarnya Kerja
(work) oleh gaya F sepanjang kurva C, yaitu :
∫ ⋅=C
dW rF
( )( ) ( )( )( )
( ) jakersatuan1
dtt3t2t
dtt3ttt2tttt
dzxydyxzdxyz
dW
1
0
555
1
0
22332
C
C
=
++=
++=
++=
⋅=
∫
∫
∫
∫ rF
Contoh:
Hitung besar kerja yang dilakukan gaya
f (x,y,z)=yzi+xz j+xyk
pada suatu partikel yang bergerak menurut kurva
r(t)=ti+t2 j+t3k
Penyelesaian:
)Ddaerahluas(AdyxC
=∫
Akibat Teorema Green
Dari teorema green, jika diambil f(x,y)=0, g(x,y)=x maka
diperoleh luas daerah D, yaitu :
.
atau jika diambil f(x,y)=-y, g(x,y)=0 diperoleh juga
AdxyC
=− ∫
Dan apabila kedua rumusan ini digabung, diperoleh :
∫ −=C
21 ydxdyxA
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 18/24
Kalkulus Vektor 55
1by
ax 2
2
2
2
=+
Contoh
Dihitung luas daerah ellips .
Ambil C kurva berbentuk ellips dengan persamaan
parameter :
x=a cos t , y=b sin t , 0≤t≤2π.
Berdasarkan akibat teorema green diperoleh luas daerah
ellips :
( )( )
( ) abdtt2cos1ab
dttcosbtcosa
dyxA
2
0
21
2
0
C
π=+=
=
=
∫
∫
∫
π
π
3.7. Perintah-Perintah MA THEMAT I CA
Grafik fungsi parameter dan fungsi vektor
In[1]:= <<Gr aphi cs` (*mengaktifkan grafik*)
In[2]:= Par amet r i cPl ot 3D[ {4Cos[ t ] ,
4Si n[ t ] , 3}, {t , 0, 6Pi }]
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 19/24
Kalkulus Vektor 56
In[3]:= Par amet r i cPl ot 3D[ {4Cos[ t ] ,
4Si n[ t ] , t }, {t , 0, 6Pi }]
In[4]:= Pl ot VectorFi el d[ {Si n[ x] , Cos[ y] },
{x, 0, Pi }, {y, 0, Pi }]
In[5]:= Pl ot Vect or Fi el d3D[ {x, y, z}, {x, 0, 2},
{y, 0, 2}, {z, 0, 2}, Vect or Heads→ Tr ue]
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 20/24
Kalkulus Vektor 57
2z 2xyz3xz
9xyz , 2xx y, x z 3y z
10xy z , 15x y z , 20x y z
Klakulus vektor
In[1]:= <<Cal cul us`Vect or Anal ysi s`
(*mengaktifkan fungsi-fungsi kalkulus vektor*)
In[2]:= Gr ad[ 5 x 2̂ y 3̂ z 4̂, Car t esi an[ x, y, z] ]
Out[2]=
In[3]:= Di v[ {x 2̂*y*z, 3x*y*z 3̂, ( x 2̂- z 2̂) },
Car t esi an[ x, y, z]]Out[3]:=
In[4]:= Cur l [ {x 2̂*y*z , 3x*y*z 3̂, ( x 2̂- z 2̂) },
Car t esi an[ x, y, z]]
Out[4]:=
Integral
Pada program MATHEMATICA v5, perhitungan integral,
derivatif atau limit lebih jelas menggunakan fasilitas
palettes. Dengan fasilitas tersebut integral ditulis apa
adanya (seperti menuliskan equations pada MSWord).
Berikut beberapa contoh hitung integral:
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 21/24
Kalkulus Vektor 58
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Jika didefinisikan (f g h)=f (g×h), buktikanlah
(f g h)’=(f’ g h)+ (f g’ h)+ (f g h’)
2. Diketahui kurva C : r(t)=t2i+(t2-1) j-7tk. Tentukan
persamaan parameter garis tangen kurva C pada saat t=3.
3. Hitunglah
a. Grad(f), jika f(x,y,z)=5x2+y3+z4
b.
Div(f ), jika f (x,y,z)=⟨xe-z,4yz2,3ye-2x⟩
c. Curl(f ), jika f (x,y,z)=⟨xz,2yz,3xy⟩
4. Buktikan ∇2f=0 untuk f(x,y,z)=(x2+y2+z2)-1/2, kecuali di titik
(0,0,0). Operator2
2
2
2
2
22
zyx ∂
∂+
∂
∂+
∂
∂≡∇ biasa disebut
operator Laplace atau Laplacian.
5. Jika f(x,y,z)=xy-yz, tentukan Curl(Grad(f 2))
6. Diketahui benda bermassa m1 di titk pusat dan massa m2
dengan vektor posisi r(x,y,z)=xi+y j+zk. Gaya gravitasi
antara kedua benda tersebut adalah
F= rr
3
21mmG− , G konstanta gravitasi
Buktikan Div(F)=0 dan Curl(F)=0.
7.
Diketahui vektor kecepatan suatu fluida ideal di sekitarpenampang silinder adalah
( )( ) ( )
+−
+
−−= jiF
222222
22
yx
xy2
yx
yx1Ay,x , A suatu
konstanta
Buktikanlah :
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 22/24
Kalkulus Vektor 59
a. Jika titik (x,y) cukup jauh dari pusat silinder, maka
F(x,y)≅Ai b. F(x,y) irrotational , yaitu Curl(F)=0
c. F(x,y) incompressible, yaitu Div(F)=0
8. Tentukan persamaan parameter kurva-kurva berikut :
a). b).
c). (ans. x=a+(c-a)t, y=b+(d-b)t, t∈[0,1])
9. Hitung integral garis berikut terhadap kurva mulus C yang
berpangkal di titik (a,b) dan ujung di titik (c,d), dengan
memanfaatkan kriteria bebas jejak:
a. ∫ +C
223 dyyx3dxxy2
b. ∫ +C
y2y dyexdxxe2
c. ( ) ( )∫ ++−+−C
dy2y4xdx1yx3
d. ( ) ( )∫ −++−C
22 dyx3xy2dx6xy6y
-1 3
C
3
C
4
(a,b)
(c,d)
C
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 23/24
Kalkulus Vektor 60
10. Gunakan akibat teorema green untuk menghitung luas pelat
segiempat dengan titik-titik sudut (0,0),(1,-2),(5,-3) dan(4,2)
11. Diketahui ( ) ( )( )∫ ++−++C
22dy1xyx1kdxyx2
a. Tentukan nilai k sedemikian hingga integral garis
tersebut bebas jejak.
b. Gunakan nilai k pada bagian a untuk menghitung integral
tersebut sepanjang penggal garis dari titik (0,0) sampai
titik (5,-3).
7/21/2019 Kal Kulu s Vektor
http://slidepdf.com/reader/full/kal-kulu-s-vektor 24/24
Kalkulus Vektor 61
BAB 3 : KALKULUS VEKTOR ............................................... 38
3.1. Pendahuluan ...................................................... 38
3.2. Fungsi Bernilai Vektor.......................................... 38
3.3. Limit, Kekontinuan, Derivatif dan Integral............... 41
3.4. Operator GRAD, DIV dan CURL ............................. 44
3.5. Integral Garis ..................................................... 46
3.6. Terapan............................................................. 53
3.7.
Perintah-Perintah MATHEMATICA........................... 55
SOAL-SOAL LATIHAN.................................................. 58
BAB 3 : KALKULUS VEKTOR ................................................ 38
3.1. Pendahuluan ....................................................... 38
3.2. Fungsi Bernilai Vektor ........................................... 38
3.3. Limit, Kekontinuan, Derivatif dan Integral ............... 41
3.4. Operator GRAD, DIV dan CURL .............................. 44
3.5. Integral Garis ...................................................... 46
3.6. Terapan .............................................................. 53
3.7. Perintah-Perintah MATHEMATICA ........................... 55
SOAL-SOAL LATIHAN ................................................... 58