Kalkulüs - Başkent Üniversitesitkaracay/etudio/ders/math/GenelMath/13mi.pdf · Contents 1 Analiz Ögr˘ etimi 3 1.1 ˙Iki Milenyum Süren Sorunlar . . . . . . . . . . . . .

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E S ,

O R H A N Ö Z E R , S E R K A N A L I D Ü Z C E

K A L K U L Ü S

N O B E L

Contents

1 Analiz Ögretimi 3

1.1 Iki Milenyum Süren Sorunlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2 Mantık ve Matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2.1 Tümdengelim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.2 Tümevarım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Matematik Dili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

I Ön Bilgiler 31

2 Ön Bilgiler (Pre Kalkulüs) 3

2.1 Ön KalKulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Önermeler Cebiri 3

3.1 Iki-degerli Mantık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Matematiksel Mantık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Boole Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Yalın Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.2 Bilesik Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4.3 Denk Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Önermeler Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6 Operatörler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6.1 ∧ Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6.2 ∨ Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Degilleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7.1 Bir Önermenin Degili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7.2 Ise Baglacı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7.3 Kosullu Önerme Sonuçları . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8 ∨ Operatörünün Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8.1 ∨’nin Esgüçlülügü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8.2 ∨’ nin Yer Degisim Özeligi . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8.3 ∨’ nin Birlesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.9 Dagılma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.10 Bilesik Önermelerin Degillenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.10.1 De Morgan Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.11 ⇔: Ancak ve Ancak Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4

3.12 Hepdogru ve Hepyanlıs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.12.1 Karsıt Ters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.12.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.12.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Kümeler Cebiri 4

4.1 Kümeler Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Kapsama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.2 Evrensel Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Venn Çizenekleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.1 Tümleyen Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.2 Bos Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.3 Tek ögeli küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2.4 Esit Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.5 Has Alt Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.6 Kuvvet Kümesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.7 Simetrik Fark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Bagıntılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.1 Kartezyen Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.2 Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3.3 Kartezyen Çarpımın Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Analitik Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 Bagıntılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.1 Bagıntıların Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.2 Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6 Bagıntı Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7 Denklik Bagıntıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7.1 Esitlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.8 Denklik Bagıntısı Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8.1 Denk Ögeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.9 Denklik Sınıfları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.10 Ters Bagıntı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.11 Simetrik Bagıntı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Sayılar 4

5.1 Sayıların Kurulusu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.2 Sayıların Sıralanması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3 Dogal Sayılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.4 Dogal Sayıların Kurulusu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.5 Peano Belitleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.6 Sonlu Tüme Varım Ilkesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.7 Nicelik Sayıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.8 Esgüçlülük . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.9 Sayılabilirlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.10 Sayılamayan Sonsuz Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.11 Gerçel Sayıların Tamlıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.12 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5

6 Rasyonel Üslü Ifadeler 4

6.1 Tamsayı Üsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1.1 Üslü Ifadelerin Özelikleri: . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.1.2 Negatif Üsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1.3 Benzer Üslü Ifadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2 Rasyonel Kuvvetler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3 Üslü Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4 Alıustırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.5 Üslü Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.6 Alıustırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.7 Köklü Ifadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.9 e Sayısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.10 Analitik Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.11 n-sıralılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.12 Kartezyen Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.12.1 Ikili ve Çoklu sıralılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.12.2 n-sıralılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.13 Analitik Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.14 Kartezyen Çarpımın Genellesmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.15 ALISTIRMALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Denklemler 5

7.1 Dogru deklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.1.1 Iki noktası bilinen dogru Denklemi: . . . . . . . . . . . 87

7.1.2 Bir noktası ve egimi bilinen dogru Denklemi: . . . . . 88

7.2 Dogrunun Genel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.1 Ikinci Dereceden Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.2.2 ax2 = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . . . . . . 89

7.3 ax2 +bx = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . . . . . . . 89

7.3.1 ax2 + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . . . . 89

7.3.2 ax2 +bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . 90

7.4 Degisken degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.5 Köklü denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.6 Mutlak Deger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.8 Köklerle Katsayılar Arasındaki Bagıntılar . . . . . . . . . . . . 94

7.8.1 Köklerin Toplamı: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.8.2 Köklerin Çarpımı: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.8.3 Köklerin Farkının Mutlak Degeri: . . . . . . . . . . . . . 95

7.9 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.10 Ikinci Dereceden Denklemlerin Incelenmesi . . . . . . . . . . 96

7.11 Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.12 Esitsizlikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.13 Esitsizlik Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.14 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.15 Ikinci Dereceden Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.16 Parabol Çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6

7.17 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.18 Esitsizlik Sistemlerinin Grafikle Çözümü . . . . . . . . . . . . 105

7.19 Örnekler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.20 Dogrusal denklem sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8 Parametrik denklemeler 6

8.1 Egrinin yönü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.2 kapalı Egri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.3 Çember’in Parametrik Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.4 Elips’in Parametrik Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.5 Cycloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9 Matrisler 6

9.1 Matrisler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.1.1 Satır ve Kolon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.2 Matrisin Bilesenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.3 Matris Islemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.3.1 Matrislerin Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.3.2 Matrislerde Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.3.3 Matrisin Sayı ile Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.3.4 Matrislerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.3.5 Çarpımın Sırası Degisemez . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.3.6 Ikiden çok matrisin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.3.7 Matrisin Devrigi (transpose) . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.4 Matrislerin Çarpımının Devrigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.4.1 Matrislerde Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9.5 Matris Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.1 Kare Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.2 Sıfır Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.3 Kare Matrisin Kösegenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.4 Kare Matrisin Kuvveti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.5 Birim Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.5.6 Simetrik Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.5.7 Anti Simetrik Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.5.8 Ters Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.5.9 Üçgensel Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.5.10 Matrisin Izi (trace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.6 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.7 Matrisin Uzunlugu (size) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

9.8 Determinantlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.9 Determinant Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.9.1 1×1 Matrislerin determinantı . . . . . . . . . . . . . . 123

9.9.2 2×2 Matrislerinin determinantı . . . . . . . . . . . . . 123

9.9.3 3×3 Matrislerinin determinantı . . . . . . . . . . . . . 124

9.9.4 Sarrus Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.10 Baska Yöntemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.10.1 Yüksek Boyutlu Matrislerin Determinantları . . . . . . 125

9.11 Laplace Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7

9.11.1 Minör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

9.12 Esçarpan (cofactor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.13 Determinant için Laplace Açılımı . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.14 Determinantların Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.14.1 Sarrus Yöntemiyle Hesap: . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.14.2 Laplace Yöntemiyle Hesap: . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.14.3 Gauss Eleme Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.15 Ters Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.16 Matrisler Üzerinde Ilkel Satır islemleri . . . . . . . . . . . . . . 131

9.17 Gauss Eleme Yöntemi ile Ters Matrisi Bulma . . . . . . . . . . 132

9.18 Ekli Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.19 Esçarpan Ile Matrisin tersini Bulma . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.20 Dogrual Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.21 Esçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunusu138

9.22 Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü . . . . 140

9.23 Dogrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü . 141

10 Dogrual Denklem Sistemleri 7

10.0.1 Sonsuz Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.0.2 Tek çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10.0.3 Matrislerle Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.1 Denk Sistmler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

10.2 Indirgenmis Satır Esolon Biçimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.3 Esçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunusu148

10.4 Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü . . . . 150

10.5 Dogrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü . 151

10.5.1 Iki Bilinmeyen için Cramer Formülü . . . . . . . . . . . 151

10.5.2 Üç Bilinmeyen için Cramer Formülü . . . . . . . . . . 153

10.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

11 Polinomlar 7

11.1 Bir Belirsizli Polinomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.2 Çok Belirsizli Polinomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

11.3 Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama . . . . . . . . . . . . . . 158

11.4 Iki Polinomun Esitligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

11.5 Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

11.6 Polinomlar Kümesi Üzerinde Islemler . . . . . . . . . . . . . . 160

11.7 Toplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11.8 Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.9 Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

11.10Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.11Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.12Sayıl (skalerle) Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

11.13Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.14Baslıca Özdeslikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.14.1 Iki Terim Toplamının Karesi . . . . . . . . . . . . . . . 168

11.14.2Iki Terimin Farkının Karesi . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11.14.3Iki Terimin Toplamı Ile Farkının Çarpımı . . . . . . . . 169

8

11.14.4Üç Terim Toplamının Karesi . . . . . . . . . . . . . . . . 170

11.14.5Iki Terim Toplamının Küpü . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.14.6Iki Terim Farkının Küpü . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.14.7Iki Küp Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.15Iki Terimlinin Kuvvetleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.17Polinomlarda Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

11.18Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

11.19Bölme Algoritması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

11.20Çarpan Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

11.21Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

11.22Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

11.23Horner Yöntemi ile Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.24Bir Polinomun (x −a)(x −b) Ile Bölünmesinden Elde Edilen

Kalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

11.25Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11.26Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

11.27Polinomların Çarpanlara Ayrılması . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11.28Karmasıkları Basite Indirgemek! . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

11.29ebob, ekok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

11.30Cebirsel Ifadeleri Çarpanlara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

11.30.1Ortak Çarpan Parantezine Alma . . . . . . . . . . . . . 201

11.31Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

11.32Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.33Özdeslikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

11.34Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

11.35Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11.36Özdeslikleri Kullanma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

11.37Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

11.38Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

11.39Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

11.40Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

11.41Baslıca Özdeslikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

12 Fonksiyonlar 8

12.1 Foksiyonun Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

12.2 Tek Degerli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12.3 Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

12.4 Fonksiyon Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4.1 Esit Foksiyonalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4.2 Içine Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4.3 Örten Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

12.4.4 Bire Bir Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.5 Bire Bir Içine Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.6 Bire Bir Örten Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.7 Sabit Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.8 Sıfır Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.4.9 Özdeslik Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

9

12.5 Kapalı Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

12.6 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

12.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

12.8 Fonksiyonların Bileskesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

12.9 Bileske Isleminin Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12.9.1 Yer Degisim Özeligi Yoktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12.9.2 Birlesme Özeligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.10Ters Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

12.11Ters Foksiyonun Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

13 Rasyonel Ifadeler 9

13.1 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

13.2 Rasyonel Ifadelerin Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

13.3 Rasyonel Ifadelerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

13.4 Rasyonel Ifadelerde Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

13.5 Polinom Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

13.6 Birinci Dereceden Polinom Denklemlerin Çözümü . . . . . . 233

14 Kombinason Ve Permütasyon 9

14.0.1 Kombinasyon (Combination) . . . . . . . . . . . . . . . 235

14.1 Permütasyon (permutation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

14.2 Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

14.2.1 Kombinarik’in temel formülü . . . . . . . . . . . . . . . 237

14.3 Sayma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

15 Pascal Üçgeni 9

16 Ön Trigonometri 9

16.1 Yönlü Açılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

16.2 Yönlü yaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

16.3 Birim Çember . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.4 Açı Ölçü Birimleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.4.1 Derece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

16.4.2 Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

16.4.3 Radyan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

16.5 Trigonometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

16.5.1 Simetrik Açılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

16.5.2 Simetriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

16.6 Trigonometrik Fonksiyonların Özelikleri . . . . . . . . . . . . 251

16.7 Özel Açılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

16.8 Trigonometrik Fonksiyonları Grafikleri . . . . . . . . . . . . . 252

16.8.1 Cosinus Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

16.8.2 Sinus grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

16.8.3 Tanjant Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

16.9 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

16.9.1 Arcsinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

16.9.2 ArcCosinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

10

16.9.3 Arctanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

16.9.4 Arccotanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

16.10Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

16.11Periyodik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

16.12Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

16.13Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.14Fonksiyonun Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.15Soldan ve Sagdan Yaklasım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.15.1Soldan Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.15.2Sagdan Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

16.15.3Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

16.16Uç Noktalarda Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

16.17Karl Weierstrass’ın Tanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

16.18Örnekler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

16.19Limit Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

16.20belirsiz Biçemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

16.20.1Sonsuzdaki Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

16.21Çözümlü Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

16.22Rasynel Fonksiyonlarda Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

16.22.1Sonsuzda Limitin Olmadıgı Durum . . . . . . . . . . . 271

16.22.2Köklü Ifadelerin Sonsuzdaki Limiti . . . . . . . . . . . . 271

16.23Çözümlü Prolemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

26 Integral Alma Yöntemeleri 10

27 Belirsiz Integral 10

27.0.1 Belirsiz Integral Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . 305

27.1 Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

27.2 Trigonometrik Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

27.3 Ters Trigonometrik Konumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

27.4 Çözümlü Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

27.5 Rasyonel Fonksiyonların Integralleri . . . . . . . . . . . . . . . 316

27.5.1 Payda’nın Türevi Pay’a Esitse . . . . . . . . . . . . . . . 316

27.5.2 Basit Kesirlere ayırma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

27.5.3 Payda’da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa . . . . . 320

27.6 Karma problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

27.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

27.8 Ilkel Fonksiyon Biliniyorsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

27.9 Sürekli Fonksiyonların Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

27.10Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

27.11tan θ2 Konumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

27.12Kısmi Integrasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

27.13Polinomların Çarpanlara Ayrılması . . . . . . . . . . . . . . . . 342

27.14Basit Kesirlere Ayırma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

27.15Rasyonel Fonksiyonların Integrallenmesi . . . . . . . . . . . . 345

27.16Rasonel Fonksiyonların Kesirlere Ayrılması . . . . . . . . . . . 349

27.17Rasyonellestirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

27.18Köklü Ifadelerin Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

11

27.19Indirgenme Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

27.20Bazı Indirgeme Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

27.21Baglantılı Oranlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

28 Belirsiz Integral 11










28.6 Belirli Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

28.7 Belirsiz Integral Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

28.8 Calculus’un Birinci Temel Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . 388

28.8.1 Calculus’un 1.Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

28.8.2 Calculus’un Ikinci Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . 388

28.9 Belirsiz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391


28.10Alan Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

28.11Iki Katlı Integral Ile Düzlemsel Alan Hesabı . . . . . . . . . . . 391

29 Integral 11

29.1 Integral Kavramı ve Tanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

29.1.1 Belirli Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

29.2 Belirli Integral Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

29.3 Calculus’un Temel Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

29.3.1 Calculus’un 1.Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . 401

29.3.2 Calculus’un Ikinci Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . 402

29.4 Belirsiz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404










29.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

29.11Belirli Integral Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427

29.12Sayısal Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

29.13Düzlemsel Egrilerin Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

12

30 Integral Alma teknikleri 11


30.2 Integral Alma Yöntemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436


30.4 tan θ2 Konumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

30.5 Kısmi Integrasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

30.6 Logaritmik integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

30.7 Köklü Ifadelerin Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

31 Integral Alma teknikleri 12


31.2 Integral Alma Yöntemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

31.3∫

R(si nx,cosx) biçimindeki Integraller . . . . . . . . . . . . . 457

31.4 Indirgenme Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

31.5 Bazı Indirgeme Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466


31.7 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

31.7.1 Arcsinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

31.7.2 ArcCosinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

31.7.3 Arctanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

31.7.4 Arccotanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

31.8 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

31.9∫

R(si nx,cosx) biçimindeki Integraller . . . . . . . . . . . . . 472

31.10Logaritmik integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

31.11Dönel Cisimleri Hacimleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

31.12Silindirik Kabuklar Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

31.13Dilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma . . . . . . . . . . . . . . 482

31.14Örnek Hacim Hesapları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

32 Dogal Logaritma Fonksiyonu 12

32.1 Dogal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı . . . . . . . . . . . . 488

32.2 Tanım bölgesini Genisletme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

32.3 Dogal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri . . . . . . . . . . 489

32.4 Dogal Logaritma Fonksiyonunun Grafigi . . . . . . . . . . . . 490

32.5 Logaritmik Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

32.6 Logaritmik Türevin Intrgrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

32.7 Üstel Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

32.8 a tabanlı Üstel Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

32.9 a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Davranısı . . . . . . . . . . . . . 492

32.10a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi . . . . . . . . . . . . . . . 493

32.11a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Integrali . . . . . . . . . . . . . . 493

32.12a Tabanına Göre Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

32.13l oga x fonksiyonunun özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

32.14l oga x fonksiyonunun Türevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

32.15Çözümlü Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

13

33 Kutupsal Koordinatlar 12

33.1 Kutupsal Koordinatlarda Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

33.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

33.3 Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri . . . . . . . 503

33.3.1 Merkeze Göre Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

33.3.2 Ox− Eksenine Göre Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . 503

33.3.3 O y− Eksenine Göre Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . 503

33.4 Grafik Çiziminde Izlenecek Yol: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

33.5 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

33.6 Kutupsal Sistemde Tegetin Egimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

33.7 Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı . . . . . . . . . . . . . . . 507

33.8 Iki kutupsal egri arasında kalan alan . . . . . . . . . . . . . . . 508

33.9 Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . 510

33.10Kutupsal Koordinatlarda Dönel Yüzeyler . . . . . . . . . . . . 510

33.11Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

33.12Parametrik Fonksiyonların Türevi . . . . . . . . . . . . . . . . 512

33.13Ikinci Basamaktan Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

33.14Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

33.15Sayısal Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

33.15.1Dikdörten Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

33.16Yamuk Kuralı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518

33.17Pappus teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

33.18Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

33.18.1Dairesel Simit’in Yüzeyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

33.18.2Dairesel Simit’in Hacmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

33.19Simpson Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

33.20Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

34 Diziler 13

34.0.1 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

34.0.2 Yakınsak Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

34.1 Aritmetik Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

34.2 Geometrik Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

34.3 Monoton Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

34.4 Alt dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

34.5 Sınırlı dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

34.6 Dizilerde Limit Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

34.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

35 Seriler 13

35.0.1 Kısmi Toplam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

35.1 Yakınsak Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

35.2 Rasyonel Terimli Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

35.3 Özel Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

35.4 Aritmetik Seri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

35.5 Geometrik Seri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

35.6 Binom Serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

14

35.7 Genellesmis Binom Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

35.8 Serilerin Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

35.9 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

35.10Kuvvet Serilerinin Yakınsaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

35.11Yakınsaklık Aralıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

35.12Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel Islemler . . . . . . . . . . . . 546

35.13Toplama ve Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

35.14Kuvvet Serilerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

35.15Kuvvet Serilerinin Bölümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

35.15.1Alterne Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

35.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

35.17Caucy Dizi ve Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

36 Seriler Için Yakınsaklık Testleri 14

36.1 p-serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

36.2 Oran Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

36.3 Kök Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

36.4 Integral Testi: p-serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

36.5 p-serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

36.6 Karsılastırma Testleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

36.7 Limit Karsılastırma Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

36.8 Oran Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

36.9 Newton Metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573

37 Degisken Terimli Seriler 14

37.1 Kuvvet Serilerinin Yakınsaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577

37.2 Yakınsaklık Aralıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

37.3 Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel Islemler . . . . . . . . . . . . 579

37.4 Toplama ve Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

37.5 Kuvvet Serilerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579

37.6 Kuvvet Serilerinin Bölümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

37.7 Maclaurin Serisi Uygulamaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

37.8 Düzgün Yakınsama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

37.8.1 Fonksiyon Dizileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

37.8.2 Fonksiyon Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

37.8.3 Fonksiyon Dizileri Için Cauchy Kriteri . . . . . . . . . . 589

37.8.4 Fonksiyon Serileri Için Cauchy Kriteri . . . . . . . . . . 590

37.9 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

37.10Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Integrali . . . . . . . . . . . . . . 592

37.11Dirichlet ve Abel Testleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

37.12Dirichlet Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597

37.13Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Türevlenmesi . . . . . . . . . . . 599

37.14Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

37.15Kuvvet Serilerinin Türevlenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

37.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

37.17Kuvvet Serilerinin Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

37.18Çözümlü Kuvvet Serisi Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . 606

37.19Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

15

37.20Serilerin Yaklasık Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

37.21Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

38 Vektörler 15

38.1 Vektör Uzayı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

38.2 Simgeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

38.3 Denk Vektörler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

38.4 Vektörlerin Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614

38.5 Vektör Uzayında Islemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

38.5.1 Sıfır Vektörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

38.6 Vektörlerin Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

38.6.1 Toplamanın Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

38.7 Vektörlerde Çıkarma Islemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

38.8 Vektörün Sayı ile Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

38.9 Birim Vektör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

38.10Dogrultu Açıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617

38.11Analitik Geometriye Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

38.12Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

38.13Bilesenlerle Islemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620

38.14Nokta Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

38.15Izdüsüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

38.15.1Izdüsümün Genellenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

38.16Iki Vektör Arasındaki Açı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623

38.17Iki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü . . . . . . . . . . . . . . . 624

38.18Iki Vektörün Birbirine Dikligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

38.18.1Üçgen Esitsizligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

38.19Uzayda Dogru ve Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

38.20Iki noktası Verilen Dogru Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . 626

38.21Noktanın Dogruya Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627

38.22Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628

38.23Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . . 628

38.24Noktanın Düzleme Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

38.25Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630

38.26Vektörel Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631

38.27Vektörel Çarpımın Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

38.28VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları . . . . . . . . . . . . . . 632

38.28.1Diklik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

38.28.2Alan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

38.29Üçlü Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

38.30Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

38.31Uzayda Dogru ve Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634

38.32Iki noktası Verilen Dogru Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . 635

38.33Noktanın Dogruya Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

38.34Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636

38.35Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . 637

38.36Noktanın Düzleme Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

38.37Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639

16

39 Katlı Integral 15

39.1 Iki Katlı Integralin Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642

39.2 Ardısık Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643

39.3 Katlı Integral Uygulamaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654

39.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659

39.5 Katlı integralde degisken degistirme . . . . . . . . . . . . . . . 659

39.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662

39.7 Iki Katlı Integral Ile Düzlemsel Alan Hesabı . . . . . . . . . . . 663

39.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665

39.9 Iki Katlı Integral Ile Hacim hesapları . . . . . . . . . . . . . . . 666

39.10Kutupsal Koordinatlarda Iki Katlı Integraller . . . . . . . . . . 667

39.11Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670

40 Üç Katlı Integraller 16

40.1 Hacim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675

40.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677

40.3 Üç Katlı Integrallerde Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . 677

40.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

40.5 Silindirsel Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

40.5.1 Silindir Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678

40.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682

40.7 Üç Katlı Integrallerde Küresel Koordinatlar . . . . . . . . . . . 682

40.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686

34 Egrisel Integraller 16

34.1 Düzlemde Egrisel Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735

34.2 Uzayda Egrisel Intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740

34.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742

34.4 Vektör Alanlarının Egrisel Interalleri . . . . . . . . . . . . . . . 743

34.5 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

34.6 Vector Alanını Egrisel Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746

34.7 Egrisel Integralle is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748

34.8 Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749

34.9 Integralin Yoldan Bagımsızlıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750

34.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755

34.11Üç Boyutlu Uzayda Korunumlu Vektör Alanı . . . . . . . . . . 755

34.12Green Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756

34.13Green teoemi Ile Alan Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759

34.14Aıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

34.15Yüzey Integralleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760

34.16Paramertrik Yüzeyin Alanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762

34.17Yüzey Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765

34.18Yönlendirilmis Yüzey Üzerinde Integral . . . . . . . . . . . . . 767

34.19Vektör Alanlarının Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768

34.20Stokes Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

34.21Divergence Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773

34.21.1Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776

17

35 Vektör Degerli Fonksiyonlar 16

35.1 Vektör Degerli Fonksiyonlar ve Uzay Egrileri . . . . . . . . . . 777

35.2 Vektör Degerli Fonksiyonların Limiti . . . . . . . . . . . . . . . 778

35.2.1 Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778

35.3 Vektör degerli Fonksiyonların Sürekliligi . . . . . . . . . . . . 780

35.4 Süreklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

35.5 Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780

35.6 Türev Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781

35.7 Vektör degerli Fonksiyonların Tegeti . . . . . . . . . . . . . . . 782

35.8 Düzgün Egri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

35.8.1 Düzgün Egriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783

35.9 Vektör Degerli Fonksiyonların integrali . . . . . . . . . . . . . 783

35.9.1 Belirsiz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783

35.9.2 Belirli Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784

35.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785

35.11Egri Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786

35.12Egrilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787

35.13Egrilik Çemberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789

35.14Normal ve Ikinci Normal Vektörler . . . . . . . . . . . . . . . . 790

35.15Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791

35.16Uzayda Hareket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792

35.17Kepler Yasaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

35.18Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

36 Konikler 17

36.1 Koniklerin Adlandırılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

36.2 Koniklerin Kutupsal Sistemdeki Denklemleri . . . . . . . . . . 795

36.3 Koniklerin Kartezyen Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797

36.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

36.5 Ikinci Dereceden Yüzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799

36.6 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

36.7 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

36.8 Hiperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801

36.9 Eliptik Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

36.10Eliptik Koni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804

36.11Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

37 Fiziksel uygulamalar 17

37.1 Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi . . . . . . . . . . . . . . . . 807

37.2 Agırlık Merkezi Bulma Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . 807

37.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

37.4 Yay’ın Kütle merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

37.5 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

37.6 Yogunluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811

37.7 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812

37.7.1 Noktaya Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812

37.7.2 Dogru üzerinde Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . 812

18

37.8 Kütle Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

37.9 Noktanın Eksene Göre Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 813

37.10Düzleme Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814

37.11Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti . . . . . . . 815

37.12Bir Yayın Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815

37.13Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816

37.14Üç Katlı Integral Ile Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817

37.15Düzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . 818

37.16Agırlık Merkezi Bulma Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . 819

37.17Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

37.18Yay’ın Kütle merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822

37.19Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

37.20Yogunluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823

37.21Work (Is) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824

38 Diferensiyel denklemler 18

38.1 Birinci basamaktan birinci dereceden Diferensiyel denklemler827

38.2 Özel ve Genel Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828

38.3 Tek Degiskenli Diferensiyel Denklemler . . . . . . . . . . . . . 828

38.4 Denklemin Dogrusala Dönüsmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 830

39 Diferensiyel Denklemler 18

39.1 Tek Degiskenli Diferensiyel Denklemler . . . . . . . . . . . . . 831

39.2 Tam Diferensiyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833

39.3 Degiskenlerine Ayrılabilir Denklemler . . . . . . . . . . . . . . 840

39.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843

39.5 Integral Çarpanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844

39.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852

39.7 Birinci Basamaktan Homojen denklemeler . . . . . . . . . . . 854

39.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862

39.9 Birinci Basamaktan Dogrusal Diferensiyel Denklemler . . . . 864

39.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868

39.11Tam Diferensiyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869

39.12Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874

39.13Degiskenlerine Ayrılabilir Denklemler . . . . . . . . . . . . . . 876

39.14Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879

39.15Integral Çarpanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881

39.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888

39.17Birinci Basamaktan Homojen denklemeler . . . . . . . . . . . 889

39.18Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894

39.19Birinci Basamaktan Dogrusal Diferensiyel Denklemler . . . . 895

39.20Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900

39.21Bernoulli Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 901

39.22Bernoulli Diferensiyel Denkleminin Çözümü . . . . . . . . . . 901

39.23Çözümlü Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902

39.24Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905

39.25Riccati Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906

39.26Clairaut Diferensiyel denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 910

19

39.27Lagrange Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 911

39.28Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913

40 Üç Katlı Integraller 19

40.1 Hacim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917

40.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919

40.3 Üç Katlı Integrallerde Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . 919

40.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920

40.5 Silindirsel Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921

40.6 Üç Katlı Integrallerde Küresel Koordinatlar . . . . . . . . . . . 923

40.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926

40.8 Düzensiz Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927

40.9 Aralıgın Sonsuz Olması Durumu . . . . . . . . . . . . . . . . . 927

40.9.1 [a,∞) aralıgında integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 927

40.9.2 (−∞, a] aralıgında integral . . . . . . . . . . . . . . . . 927

40.9.3 (−∞,∞) aralıgında integral . . . . . . . . . . . . . . . . 928

40.10Aralıgın uç noktalarında fonksiyonun sınırsız olması durumu: 928

40.10.1Sol Uç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928

40.10.2Sag Uç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928

40.11Aralıgın içinde fonksiyonun sınırsız olması durumu: . . . . . 928

40.12Düzensiz intgralleri karsılastırma: . . . . . . . . . . . . . . . . 929

40.12.1Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937

40.13Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi . . . . . . . . . . . . . . . . 937

40.14Agırlık Merkezi Bulma Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . 938

40.15Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

40.16Yay’ın Kütle merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941

40.17Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

40.18Yogunluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

40.19Sıvı Basıncı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942

40.20Work (Is) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944

40.21Pappus teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945

40.22Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946

40.23Simpson Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947

40.24Yamuk Kuralı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949

40.25Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951

40.26Noktaya Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951

40.27Dogru üzerinde Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951

40.27.1Kütle Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

40.28Noktanın Eksene Göre Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

40.29Düzleme Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952

40.30Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti . . . . . . . 953

40.31Bir Yayın Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

40.32Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955

41 Belirli Integral Uygulamaları 19

41.1 Düzlemsel Egrilerin Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957

41.2 Alan hesapları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960

41.3 Foksiyonun Orta Degeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961

20

Index 19

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E S ,

O R H A N Ö Z E R , S E R K A N A L I D Ü Z C E

K A L K U L Ü S

N O B E L

39 Katlı Integral

Sekil 39.1: HacimBu bölümde iki ve üç katlı integral uygulamalarına yer verilecektir.

I K I K AT L I I N T E G R A L

f : [a,b] ⊂R→R, y = f (x) fonksiyonunun tek katlı integralini,

∆x = b −a

nt ∈ [xi−1, xi ]

olmak üzere ∫ b

af (x)d x = lim

n→∞n∑

i=1f (t )∆xi (39.1)

Riemann toplamının limiti olarak tanımlamıstık. f (x) ≥ 0 ise∫ b

a f (x)d x

integrali [a,b] aralıgı üzerinde ve f fonksiyonunun grafigi altında kalan

düzlemsel bölgenin alanına esit oldugunu biliyoruz.

Sekil 39.2: Alan

Sekil 39.3: Riemann toplamı

Simdi, tek degiskenli fonkiyonlar için bildigimiz bu integral kavramını

f : D ⊂R2 →R, z = f (x, y) (39.2)

iki degiskenli fonksiyonuna genellestirecegiz. Tek katlı integraldeki küçük

∆z uzunlugu yerine küçük ∆x∆y dikdörtgen alanı gelecektir. S yüzeyi

S = {(x, y , z) ∈R3| 0 ≤ z ≤ f (x, y), (x, y) ∈ D} (39.3)

olsun.

f : D ⊂R2 →R, z = f (x, y) (39.4)

fonksiyonu D bölgesinde tanımlı ve her (x, y) ∈ D için | f (x, y)| ≤ M olacak

biçimde bir M sayısı var olsun. Eger

D = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} (39.5)

Sekil 39.4: Bölüntü

ise, koordinat eksenleine paraleller çizerek, D bölgesini Sekil (39.10)

deki gibi sonlu sayıda küçük dikdörtgenlere ayıralım. Olusan küçük

dikdörtgenler ailesine D bölgesinin bir bölüntüsü (partition) denilir. Bu

bölüntüyü P ile gösterirsek;

Di j = [xi−1, xi ]× [y j−1, y j ]

= {(x, y)| xi−1 ≤ x ≤ xi , y j−1 ≤ y ≤ y j }

(i = 1,2,3, . . . ,m; j = 1,2,3, . . . ,n)

olur. Bölüntü aralıklarını esit alarak,

∆x = b −a

m, ∆y = d − c

n(39.6)

diyelim. Di j dikdörtgenlerinin herbirisin alanı

∆Ai j =∆xi .∆y j (39.7)

642 Katlı Integral

dir. Bu dikdötgen alanının kösegen uzunluguna di j diyelim. Pisagor

teoreminden, d 2i j = (∆xi )2 + (∆y j )2 olur.

||P || = max{di j : (i = 1,2,3, . . . ,m; j = 1,2,3, . . . ,n)} (39.8)

limm→∞,n→∞⇒||P ||→ 0

olacaktır.

Tanım 39.1.

f (x, y) fonlsiyonu düzlemde D bölgesinde tanımlı ve (si j , ti j ) ∈ Di j

olmak üzere ÏD

f (x, y)d A = limm→∞,n→∞

m∑i=1

n∑j=1

f (si j , ti j )∆Ai j

= lim||P ||→0

m∑i=1

n∑j=1

f (s, t )∆Ai j

limiti varsa, bu limite f (x, y) fonksiyonunun D bölgesinde iki katlı

integrali denilir. 1 2 31 f (x, y) fonksiyonu D bölgesinde sürekliise, yukarıdaki limitler vardır. Dolayısıyla,bir bölgede sürekli olan iki degiskenlifonksiyonun o bölge üzerinde iki katlıintegrali vardır.2 f (x, y) ≥ 0 ise z = f (x, y) yüzeyininaltında ve D bölgesinin üzerinde olusankatı cismin hacmi

V =Ï

Df (x, y)d A (39.9)

dır.3 f (x, y) = 1 ise z = f (x, y) = 1 yüzeyinin al-tında ve D bölgesinin üzerinde olusan katıcismin hacmi V = A ×1 = A olacagından,D bölgesinin alanı

A =Ï

Dd A (39.10)

olur.

Süreksizlik noktalarını atarak fonksiyonun sürekli oldugu bir D böl-

gesinde integralini tanımlayabiliriz. R dörtgensel bir bölge olmk üzere,

D ⊂ R ve f fonksiyonu D üzerinde sürekli olmak üzere

F (x, y) = f (x, y), (x, y) ∈ D

0, (x, y) 6∈ D

tanımını yapalım. BuradanÏD

f (x, y)d A =Ï

RF (x, y)d A (39.11)

çıkar.

39.1 Iki Katlı Integralin Özelikleri

K AT L I I N T E G R A L K U R A L L A R I

f (x, y) ve g (x, y) foksiyonları D bölgesinde integrallenebilir ise,

1. ÏDα f (x, y)d A =α

Ïf (x, y)d A (α ∈R) (39.12)

2. ÏD

(f (x, y)± g (x, y

)d A =

ÏD

f (x, y)d A±Ï

Df (x, y)d A (39.13)

3.

I =Ï

Df (x, y)d A

=Ï

D1

f (x, y)d A+Ï

D2

f (x, y)d A, (D = D1 ∪D2, D1 ∩D2 =;)

4. Her (x, y) ∈ D için f (x, y) ≤ g (x, y) ise

ÏD

f (x, y)d A ≤Ï

Dg (x, y)d A (39.14)

39.2 Ardısık Integral 643

5. ∣∣∣∣ÏD

f (x, y)d A

∣∣∣∣≤ÏD

∣∣ f (x, y)∣∣d A (39.15)

olur.

Bunların ispatları iki katlı integral tanımından çıkarılabilir.

39.2 Ardısık Integral

K AT L I I N T E G R A L I A RT A R D A A L I N A N T E K K AT L I I T E G R A L L E R E

D Ö N Ü S T Ü R M E

Çok katlı integral hesabı yaparken, tanımı kullanmak pratik degildir.

Onun yerine katlı integrali tek katlı integrallerin art arda uygulanması

haline dönüstürebiliriz. Bu yöntem isi çok kolaylastırır. D bölgesi (39.5)

gibi verilsin. Bu durumdaÏD

f (x, y)d A =∫ b

a

(∫ d

cf (x, y)d y

)d x (39.16)

esitligi vardır.

Bu esitlikte x le y degiskenlerinin sırası degisirilebilir:ÏD

f (x, y)d A =∫ d

c

(∫ b

af (x, y)d x

)d y (39.17)

Örnek 39.2. ÏD

x2 yd A (39.18)

integralini D = {0 ≤ x ≤ 3;1 ≤ y ≤ 2} bölgesi üzerinde bulunuz.

Çözüm 1:

I =Ï

Dx2 yd A

=∫ 3

0

∫ 2

1x2 yd yd x

=∫ 3

0

(∫ 2

1x2 yd y

)d x

=∫ 3

0

(x2 y2

2

∣∣∣∣2

y=1d x

=∫ 2

1

3

2x2d x

= 27

2Çözüm 2:

I =Ï

Dx2 yd A

=∫ 2

1

∫ 3

0x2 yd xd y

=∫ 2

1

(∫ 3

0x2 yd x

)d y

=∫ 2

1

(y

x3

3

∣∣∣∣3

x=0d y

=∫ 2

19yd y

= 27

2

644 Katlı Integral

olu.

Teorem 39.3. (F U B I N I ) f (x, y) fonksiyonu D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b;c ≤ y ≤d} bölgesi üzerinde sürekli iseÏ

Df (x, y)d A =

∫ b

a

∫ d

cf (x, y)d yd x =

∫ d

c

∫ b

af (x, y)d xd y

esitligi vardır.

44 1870 yılında Venedik’te bir matem-atikçinin oglu olarak dünyaya geldi.Matematige olan yetenegi onun ögren-imini ve çalısma hayatını belirledi.Matematigin analiz, geometri, matem-atiksel fizik gibi degisik alanlarında çalıstı.Özellikle Dini ve Bianchi’den aldıgı dersleronu kariyerin üst noktalarına getirdi.Italya’nın önemli üniversitelerinde çalıstı.Fasizmin ve anti-semitizmin Italya’da öneçıkmasıyla Fubini de istifaya zorlandı.Son yıllarını ABD’de Advanced StudyInstitute’de geçirdi. 1943 yılında yasamınıyitirdi.

Sekil 39.5: Guido Fubini(1870-1943)

Örnek 39.4. D = {1 ≤ x ≤ 2;0 ≤ y ≤ 1} bölgesi üzerindeÏD

x2 y5d A (39.19)

integralini bulunuz.

Çözüm 1:

I =Ï

Dx2 y5d A

=∫ 2

1

(∫ 1

0x2 y5d y

)d x = 7

18

Çözüm 2:

=∫ 1

0

(∫ 2

1x2 y5d x

)d y = 7

18

Örnek 39.5.

f (x, y) = 2 (39.20)

fonksiyonunun D = {(x, y) : 2 ≤ x ≤ 4;3 ≤ y ≤ 4} bölgesi üzerinden


Çözüm: ÏD

2d A =∫ 4

3

∫ 4

22d x d y = 2

∫ 4

34d y = 8

Örnek 39.6.

f (x, y) = 6x y2 (39.21)

fonksiyonunun D = {[2,4]× [1,2]} bölgesi üzerinden integralini bulunuz.

Çözüm 1: D = {(x, y) : (x, y) ∈ [2,4]× [1,2]} ise,∫ ∫D

6x y2 d A =∫ 4

2

∫ 2

1(6x y2)d y d x

=∫ 4

2

(2x y3)∣∣2

1 d x

=∫ 4

114x d x

= 7x2∣∣42

= 84


integrallerin sırasını degistirirsek,

Çözüm 2:

∫ ∫D

6x y2d A =∫ 2

1

∫ 4

2(6x y2)d x d y

=∫ 2

1

(3x2 y2)

∣∣42 d y

=∫

36y2 d y

= 12y3∣∣21

= 84

çıkar.

Örnek 39.7.

f (x, y) = 2x −4y3 (39.22)

fonksiyonunun D = {[−5,4]× [0,3]} bölgesi üzerinden integralini bulunuz.

Çözüm 1:

∫ ∫D

2x −4y3 d A =∫ 4

−5

∫ 3

0(2x −4y3)d y d x

=∫ 4

−5(2x y − y4)

∣∣30 d x

=∫ 4

−5(6x −81)d x

= (3x2 −81x)∣∣4−5

=−756

Örnek 39.8.

f (x, y = 6x y , (39.23)

fonksiyonunun A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2;0 ≤ y ≤ x2} bölgesi üzerinden


Çözüm 1:

∫ ∫A

f (x, y)d A =∫ 2

0

∫ x2

06x yd yd x

=∫ 2

0(3x y2∣∣x2

y=0 d x

=∫ 2

03x5d x

= 1

2x6|20

= 1

2(64)− 1

2(0)

= 32

646 Katlı Integral

Çözüm 2: ∫ ∫A

f (x, y)d A =∫ 4

0

∫ 2

py

6x yd xd y

=∫ 4

0

(3x y2∣∣x2

y=0 d y

=∫ 4

03x2y

∣∣2y=0 d x

=∫ 4

03x2 yd y

∣∣∣∣2

py

=∫ 4

0(12y −3y2)d y

= (6y2 − y3)∣∣40

= (6(42)−43)−6(02 −02)

= 32

Örnek 39.9.

f (x, y) = 6x2 y (39.24)

fonksiyonunun D = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 3;0 ≤ y ≤ 1} bölgesi üzerinden


Çözüm: ∫ 3

−1

∫ 1

06x2 yd yd x

=∫ 3

−13x2 y2∣∣1

y=0 d x

=∫ 3

−13x2d x

= x3∣∣3−1

= 28

Örnek 39.10.

f (x, y) = 6x2 y (39.25)

fonksiyonunun D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1;−1 ≤ y ≤ 3} bölgesi üzerinden


Çözüm: ∫ 1

0

∫ 3

−16x2 yd yd x

=∫ 1

03x2 y2

∣∣∣∣3

−1

=∫ 1

0(27x2 −3x2)d x

=∫ 1

024x2 d x

= 24

3x3

∣∣∣∣1

0

= 8x3∣∣10

= 8


Örnek 39.11.

f (x, y) = y√x + y2

(39.26)

fonksiyonunun D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 4;0 ≤ y ≤ 2} bölgesi üzerinden


Çözüm 1:

∫ 4

1

∫ 2

0

y√x + y2

d yd x =∫ 4

1

(px +4−p

x)

d x

= 2 (p

x +4−px)

∣∣∣4

1

= 2(p

8−p4)− (

p5−p

1))

= 2((2p

2−2−p5+1)

)= 2

(2p

2−p5−1

)Çözüm 2:

∫ 2

0

∫ 4

1

y√x + y2

d xd y =∫ 2

02y

(√4+ y2 −

√1+ y2

)d y

= 2(2p

2−p5−1)

)

Örnek 39.12.

f (x, y) = x y (39.27)

fonksiyonunun D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3)}, bölgesi üzerinden


Çözüm:

=∫ ∫

Dx yd A =

∫ 1

0

∫ 3

0x y d yd x

=∫ 1

0x

y2

2

∣∣∣∣3

0d x

=∫ 1

0x(

9

2−0) d x

= 9

2

x2

2

∣∣∣∣1

0

= 9

4

Örnek 39.13.

f (x, y) =px y (39.28)

fonksiyonunun D = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 4, 4 ≤ y ≤ 9} bölgesi üzerinden


648 Katlı Integral

Çözüm:

I =∫ 4

1

∫ 9

4

px y d yd x

=∫ 4

1

∫ 9

4

pxp

y d y d x

=∫ 4

1

px

∫ 9

4

py d yd x

= 2

3

∫ 4

1

px y3∣∣9

4 d x

= (2

3)(

2

3)19

√x3

∣∣∣4

1

= (4

9)19(8−1)

= 532

9

Örnek 39.14.

f (x, y) = yex (39.29)

fonksiyonunun D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2,−1 ≤ y ≤ 1} bölgesi üzerinden


Çözüm:

∫ 2

0

∫ 1

−1yex d yd x =

∫ 2

0ex y2

2

∣∣∣∣1

−1d x

=(

1

2− 1

2

)∫ 2

0ex d x

= 0∫ 1

−1

∫ 2

0yex d x d y =

∫ 1

−1yex

∣∣∣∣2

x=0d x

=∫ 1

−1y(e2 −1)d y

= (e2 −1)y2

2

∣∣∣∣1

y=−1

= (e2 −1)

(1

2− 1

2

)= 0

Asagıdaki integrallerde integral sırası önem kazanmaktadır. Hesabı

kolaylastıran integral sırasını belirleyerek integrali hesaplayınız.

a) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2)},∫ ∫

D xex y d A


∫ ∫D

xex y d A =∫ 1

0

∫ 2

1xex y d y d x

=∫ 1

0x

(∫ 2

1ex y d y

)d x

=∫ 1

0

(e2x −ex)

d x

= e2x

2−ex

∣∣∣∣1

0

=(

e2

2−e

)−

(1

2−1

)= e2

2−e + 1

2


b)D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} bölgesi üzerinde∫ ∫D

x

1+x yd A }

integralini hesaplayınız.

u = 1+x y ,du = xd y konumuyla;

∫ ∫D

x

1+x yd A =

∫ 1

0ln(1+x y)

∣∣10 d x

=∫ 1

0[ln(1+x)− ln1]d x

=∫ 1

0ln(1+x)d x

= (x +1)(ln(x +1)−1)|10 = 2(ln2−1)− (1).(−1) = 2ln2−2+1 = 2ln2−1 = 2(ln2−1)


Verilen denklemlerin grafikleri ile sınırlanan bölgeyi grafikle gösteriniz

ve küme gösterimiyle, düzgün x-bölgesi (Tip I) ve/veya düzgün y-bölgesi

(Tip II) olarak ifade ediniz.

a) y = 5−x2, y = 1

Sekil 39.8: Yüzey Altında Hacim

D = {(x, y)|−2 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 5−x2}

= {(x, y)|1 ≤ y ≤ 5, −√5− y ≤ x ≤√

5− y}

b) y = x2, y = 4

Sekil 39.9: Sütünların Olusumu

D = {(x, y)|−2 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 4}

= {(x, y)| 0 ≤ y ≤ 4, −py ≤ x ≤py}

c) y = x2 −6x +8, x + y = 8

D = {(x, y)|y = x2 −6x +8, x + y = 8}

= {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 5, x2 −6x +8 ≤ y ≤ 8−x}

= {(x, y) : −1 ≤ y ≤ 3,3−√1+ y ≤ x ≤ 3+√

1+ y

∪ {(x, y) : 3 ≤ y ≤ 8,3−√1+ y ≤ x ≤ 8− y}

650 Katlı Integral

d)

y = 5+4x −x2, x + y = 5

y = 5+4x −x2, x + y = 5

⇒ x2 −5x

⇒ x(x −5) = 0

⇒ x1 = 0, x2 = 5

Sekil 39.10: Bölüntü D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 5, −x +5 ≤ y ≤ 5+4x −x2}

Köseleri (1,1), (3,3), (4,3) ve (5,2) noktalarında olan dörtgensel bölge

D olsun. D yi sadece sınır noktalarında ortak noktaları bulunan düzgün

bölgelerin birlesimi olarak ifade ediniz.

a)∫ ∫

D 24xd A

D = D1 ∪D2 ∪D3 alınırsa,∫ ∫D

24xd A =∫ ∫

D1

24xd A1 +∫ ∫

D2

24xd A2 +∫ ∫

D3

24xd A3

=∫ 3

1

∫ x

x4 + 3

4

24xd yd x

olur.

D = D4 ∪D5 alınırsa,

I =∫ ∫

D24yd A =

∫ ∫D4

24yd A4 +∫ ∫

D−524yd A5

=∫ 2

1

∫ 4y−3

y24y d xd y

+∫ 3

3

∫ 7−y

y24y d xd y

olur

Integrasyon bölgesi verilmis olan çift katlı integrali hesaplayınız.

a) D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 2x,0 ≤ x ≤ 2},∫ ∫

D (x2 +x y)d A

Sekil 39.11: Riemann toplamı

∫ 2

0

∫ 2x

0(x2 +x y)d yd x = 16

b) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y ,0 ≤ y ≤ 1},∫ ∫

D (24x y3)d A

∫ 1

0

∫ y

024x y3d xd y =

∫ 1

012x2 y3∣∣y

0 d y

=∫ 1

012y3(y2 −0)d y

=∫ 1

012y5d y

= 2y6∣∣10

= 2

c) D = {(x, y) : y2 ≤ x ≤ y ,0 ≤ y ≤ 1},∫ ∫

Dp

x yd A


∫ 1

0

∫ y

y2

px yd xd y = 2

27

ç) D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y2,0 ≤ y ≤ 1},∫ ∫

D yex d A

I =∫ 1

0

∫ y2

0yex d xd y =

∫ 1

0ex y

∣∣y2

x=0 d y

= 1

2e y2 − y2

2

∣∣∣∣1

0

= 1

2(e −1)

d) D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x,0 ≤ x ≤ 1},∫ ∫

D ex+y d A

I =∫ 1

0

∫ x

0ex+y d yd x

I =∫ 1

0

∫ x

0ex .e y d yd x

=∫ 1

0ex .e y ∣∣x

0 d x

=∫ 1

0(e2x −ex ) d x

= 1

2e2x −ex

∣∣∣∣1

0

= 1

2(e −1)2

I N T E G R A L S I R A S I N I D E G I S T I R M E

Asagıdaki inegrallerde integrasyon bölgesinin grafigini çizerek integral

sırasını degistiriniz.

a)∫ 1

0

∫ x3

x4 f (x, y)d yd x

I =∫ 1

0

∫ x3

x4f (x, y)d yd x

=∫ 1

0

∫ 4py

3pyf (x, y)d xd y

Asagıdaki integralleri integrali sırasını degistirerek hesaplayınız

(integral sırasını degistirmeden hesaplamayı denemeyiniz!)

652 Katlı Integral

a)

∫ 1

0

∫ 1

xe y2

d yd x =∫ 1

0

∫ y

0e y2

d xd y

=∫ 1

0e y2

x∣∣∣y

0d y

=∫ 1

0ye y2

d y

= e y2

2

∣∣∣∣∣y

0

= e

2− 1

2

= 1

2(e −1)

b)

∫ 1

0

∫ 1

y22yex2

d xd y =∫ 1

0

∫ px

02yex2

d yd x

=∫ 1

012ex2 y2

2

∣∣∣∣p

x

y=0d x

= 6∫ 1

0ex2

xd x

= 3ex2∣∣∣1

x=0

= 3(e −1)

c)

I =∫ 2

0

∫ 4

y2

4y

1+x2 d xd y

=∫ 4

0

1

1+x2 2y2∣∣∣∣p

x

0d x

=∫ 4

0

2y2

1+x2

∣∣∣∣p

x

0d x

=∫ 4

0

2x

1+x2 d x

= ln(1+x2)∣∣40

= ln(17)− l n(1)

= ln(17)


ç)

∫ 4

0

∫ 2

x2

2√

1+2y2d yd x =∫ 2

0

∫ 2y

02√

1+2y2d xd y

=∫ 2

02√

1+2y2x

∣∣∣∣2y

0d y

=∫ 2

0

√1+2y24yd y

= 2

3

√(1+2y2)3

∣∣∣∣2

0

= 2

3

(√93 −1

)= 2

3(26)

= 52

3

b)∫ 1

0

∫ y2

0 f (x, y)d xd y

∫ 1

0

∫ y2

0f (x, y)d xd y =

∫ 1

0

∫ 1

px

f (x, y)d yd x

c)∫ 2

0

∫ 4xx3 f (x, y)d yd x

∫ 2

0

∫ 4x

x3f (x, y)d xd y =

∫ 8

0

∫ 3py

y/4f (x, y)d yd x

ç)∫ 8

0

∫ √y2

y4

f (x, y)d xd y

∫ 8

0

∫ √y2

y/4f (x, y)d xd y =

∫ 2

0

∫ 4x

2x2f (x, y)d yd x

Integrasyon bölgesi D verilen denklemlerin grafikleri ile sınırlanan çift

katlı integrali hesaplayınız.

a) D = {(x, y) : y = x3, y = x2} ile sınırlı,∫ ∫

D y2d A

∫ ∫D

y2d A =∫ 1

0

∫ x2

x3y2d yd x

=∫ 1

0

y3

3

∣∣∣∣x2

x3d x

= 1

3

∫ 1

0(x6 −x9)d x

= 1

3[

x7

7− x10

10]

∣∣∣∣1

0

= 1

70

b) D = {(x, y) : y2 = 2x, y2 = 8−2x ile sınırlı },∫ ∫

D (4− y2)d A

654 Katlı Integral

∫ ∫D

(4− y2)d A = 2∫ 2

0

∫ p2x

0(4− y2)d yd x

+2∫ 4

2

∫ p8−2x

0(4− y2)d yd x

= 2

(128

15+ 128

15

)= 512

15

c)

D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ 1, 2y ≤ x ≤ 2

∫ ∫D

ex2d A =

∫ 2

0

∫ x/2

0ex2

d yd x

=∫ 2

0ex2

y

∣∣∣∣x/2

0d x

=∫ 2

0ex2 x

2d x

= 1

2

∫ 2

0xex2

d x

= 1

4(e4 −1)

ç) D = {(x, y) : x = 0, x = 2y , y = 1} ile sınırlı bölge,∫ ∫

D e−y2 d A

∫ ∫D

e−y2 d A =

∫ 2

0

∫ 1

x/2e−

y2 d yd x

=∫ 2

0−2e−y/2

∣∣∣∣1

x/2d x

=−2

(∫ 2

0e−1/2 −e−x/4

)d x

=−2

(∫ 2

0xe−1/2 +4e−x/2

)2

0d x

=−2

[(

2pe+ 4

e)− (0+4)

]= 8− 4p

e− 8

e

= 8e −4p

e −8

e

39.3 Katlı Integral Uygulamaları

N E D E N I N T E G R A L S I R A S I N I D E G I S T I R I YO RU Z ?

Katlı integrali ardısık integral (iterated) haline getirebidigimiz durum-

larda, birisini öne ya da sona almak çogu kez önem tasımaz. Ama bazı

durumlarda birisini öne almanın kolaylık sagladıgı görülebilir. Bununla

ilgili bazı örnekler verecegiz.

Teorem 39.15. D = {a ≤ x ≤ b; g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} bölgesi üzerinde f (x, y)

39.3 Katlı Integral Uygulamaları 655

fonksiyonu sürekli iseÏD

f (x, y)d A =∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)f (x, y)d yd x

olur.

Degiskenlerin yerleri degistirilirse, benzer sonuç elde edilebilir:

D = {c ≤ y ≤ d ;h1(y) ≤ y ≤ h2(y)} bölgesi üzerinde f (x, y) fonksiyonu

sürekli ise ÏD

f (x, y)d A =∫ d

c

∫ h2(x)

h1(x)f (x, y)d xd y

olur.

Ispat: Ardısık integral tanımından çıkarılır.

Örnek 39.16. D = {y = 0, y = 2x, x = 1} dogruları ile sınırlı bölge iseÏD

(x + y)d A (39.30)


Çözüm :

I =Ï

D(x + y)d A

=∫ 1

0

(∫ 2x

0(x + y)d y

)d x = 4

3

=∫ 2

0

(∫ 1

y2

(x + y)d x

)d y = 4

3

Örnek 39.17.

I =∫ 2

0

∫ ex

1f (x, y)d yd x

integralinin ardısık integral sırasını degistiriniz.

Sekil 39.12: D={0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ ex

Çözüm :

I =∫ e2

1

∫ 2

l nyf (x, y)d xd y

Örnek 39.18.

I =∫ 2

−1

∫ x

x2−2f (x, y)d yd x

integralinin ardısık integral sırasını degistiriniz.

Sekil 39.13: 0 ≤ x ≤ 1, y = x

Çözüm :

I =∫ −1

−2

∫ py+2

−py+2f (x, y)d yd x +

∫ 2

−1

∫ py+2

yf (x, y)d yd x

Örnek 39.19.

I =∫ 1

0

∫ 1

xe y2

d yd x

integralini hesaplayınız..

656 Katlı Integral

Çözüm :

I =∫ 1

0

∫ y

0e y2

d xd y

=∫ 1

0ye y2

d y

= e −1

2

Örnek 39.20.

I =∫ 1

0

∫ x2

0(x + y)d yd x

integralinin ardısık integral sırasını degistirerek hesaplayınız.

Sekil 39.14: 0 ≤ x ≤ 1 y = x2

Çözüm :

I =∫ 1

0

∫ 1

py

(x + y)d xd y

= 7

20

Örnek 39.21. D bölgesi x2 + y2 = 1 çemberi ile x2 +2y2 = 1 elipsi ile sınırlı

bölge ise

I =Ï

Dx2d A


Sekil 39.15: x2 + y2 = 1 x2 +2y2 = 1

Çözüm : sekilden görüldügü gibi D = D1 ∪D2 olarak iki parçaya

ayırmalıyız.

I =Ï

Dx2d A =

ÏD1

x2d A+Ï

D2

x2d A

=∫ 1

−1

∫ p1−x2√

1−x22

x2d yd x +∫ 1

−1

∫ −√

1−x22

−p

1−x2x2d yd x

= 2∫ 1

−1x2

√1−x2 −

√1−x2

2

d x

= 2

(1− 1p

2

)∫ 1

−1x2

√1−x2d x

= 4

(1− 1p

2

)∫ 1

−1x2

√1−x2d x, (x = si nt ,d x = costd t )

= 4

(1− 1p

2

)∫ π/2

0si n2tcos2td t

= 4

(1− 1p

2

)1

4

∫ π/2

0si n22td t

= 4

(1− 1p

2

)1

8

∫ π/2

0(1− cos4t )d t

= 4

(1− 1p

2

)1

8

(t − si n4t

4

∣∣∣∣π/2

0

= 4

(1− 1p

2

)π

16

= (p

2−1)π

4p

2

39.3 Katlı Integral Uygulamaları 657

Örnek 39.22. D bölgesi birinci dörtte birlik alanda x y = 16, y = x, y =0, x = 8 egrileri ile sınırlı bölge ise

I =Ï

Dx2d A


Sekil 39.16: x y = 16, y = x, y = 0, x = 8

Çözüm 1:

I =Ï

Dx2d A =

ÏD1

x2d A+Ï

D2

x2d A

=∫ 4

2

∫ 16/y

yx2d xd y +

∫ 2

0

∫ 8

yx2d xd y

= 1

3

∫ 4

2

(163

y3

)d y + 1

3

∫ 2

0(83 − y3)d y

= 448

Çözüm 2:

I =Ï

Dx2d A =

ÏD1

x2d A+Ï

D2

x2d A

=∫ 4

0

∫ x

0x2d yd x +

∫ 8

4

∫ 16/x

0x2d yd x

= 448

Örnek 39.23. D bölgesi y = x2, y = 8−x2 egrileri ile sınırlı bölgenin alanını

bulunuz.

Al an A =Ï

Dd A


Sekil 39.17: y = x2, y = 8−x2

Çözüm 1:

I =Ï

Dx2d A =

ÏD1

x2d A+Ï

D2

x2d A

=∫ 2

−2

∫ 8−x2

x2d yd x

=∫ 2

−2

((8−x2)−x2)d x

= 64

3

Örnek 39.24.

f (x, y) = exy (39.31)

fonksiyonunun D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y ;0 ≤ y ≤ 1} bölgesi üzerinden


Sekil 39.18: D = {(X , y) : 0 ≤ x ≤ y ;0 ≤ y ≤1}

658 Katlı Integral

Çözüm:

∫ ∫D

exy d A =

∫ 1

0

∫ y

0e

xy d x d y

=∫ 1

0(ye

xy

∣∣∣∣y

0)d y

=∫ 1

0(ye − y)d y

= (e −1)∫ 1

0yd y

= 1

2(e −1)y2

∣∣∣∣ t 10 yd y

= 1

2(e −1)

Burada intgralin sırasını degistirirsek∫ x

y d y integralini hesaplayamayız.

Örnek 39.25.

f (x, y) = ex2(39.32)

fonksiyonunun D = {(x, y) : 0 ≤ y ≤ x;0 ≤ x ≤ 1} bölgesi üzerinden


Sekil 39.19: D = {0 ≤ y ≤ x;0 ≤ x ≤ 1}

Çözüm:

∫ ∫D

ex2d A =

∫ 1

0

∫ x

0ex2

d y d x

=∫ 1

0(yex2

∣∣∣x

0)d x

=∫ 1

0

(xex2

)d x, (u = x2,du = 2xd x)

= 1

2

∫ 1

0eudu

= 1

2(e −1)

Burada intgralin sırasını degistirirsek

∫ex2

d x

integralini hesaplayamayız.

39.4 Alıstırmalar 659

39.4 Alıstırmalar

Asagıdaki katlı hesaplayınız.

1.∫ 1

0

∫ 1−x

0(1−x − y)d yd x

2.∫ 1

0

∫ 1

px

cos y3d yd x

3.∫ 1

0

∫ 1

ysin x2d xd y

4.∫ 2

0

∫ p2x−x2

0(x2 + y2)d yd x

5.∫ 4

0

∫ 2y

y(x +e y )d xd y

6.∫ 2

−1

∫ x2+1

x(x y)d yd x

7.∫ 1/2

0

∫ y

0

1p1−x2

d xd y

8.∫ 4

0

∫ px

x/2x2 yd yd x

9.∫ p

2

0

∫ p2−y2

−p

2−y2(2x − y)d xd y

10.∫ 1

0

∫ 2y

0e−y2

d xd y

11.∫ 1

0

∫ p1−x2

−p

1−x2xd yd x

12.∫ 1

−1

∫ p1−y2

0xd xd y

39.5 Katlı integralde degisken degistirme

Tek degiskenlilerde oldugu gibi, bazı durumlarda degisken degistirerek

katlı integral daha kolay hesaplanabilir hale dönüstürülebilir. Aslında

katlı integrali ardısık integraller olarak hesaplanabildigine göre, degisken

degistirimi tek degiskenli integrallerde yaptıgımızın tekrarı olacaktır. Yine

de bu dönüsümün yapılabilmesini mümkün kılan teoremi ifade etmekte

yarar vardır.

Teorem 39.26. 1. f (x, y) fonksiyonu xy-düzlemindeki bir D bölgesinde

sürekli olsun.

2. Düzlemde tanımlı bir T dönüsümü

T :

x = g (u, v)

y = h(u, v)

parametrik biçiminde verilsin.

3. g ve h fonksiyonları D∗ üzerinde sürekli olsunlar.

4. T dönüsümü bire-bir örten olacak biçimde D bölgesini D∗ bölgesine

dönüstürsün.

660 Katlı Integral

5.

J (u, v) = ∂(x, y)

∂(u, v)=

[∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

](39.33)

6. J (u, v) 6= 0

varsayıları saglanıyorsaÏD

f (x, y)d yd x =Ï

D∗f(g (u, v),h(u, v)

) |J (u, v)|dud v (39.34)

dir.

Ispat: T dönüsümü uv-düzlemindeki bir (u, v) noktasını xy-düzlemindeki

(x, y) noktasına götüren dönüsümdür. g ,h fonksiyonları D∗ bölgesinde

tanımlı ve sürekli türevlere sahip fonksiyonlardır. T dönüsümünü vektör

degerli bir fonksiyon imis gibi düsünebiliriz. (0,0) bas noktasını (x, y)

noktasına birlestiren vektörü~r = x~i + y~j ya da~r = g (u, v)~i +h(u, v)~j

biçiminde yazabilirz. g ,h fonksiyonları süreli türevlere sahip olduguna

göre ∂g∂u , ∂g

∂v , ∂h∂u , ∂h

∂v kısmi türevleri var ve süreklidirler. u = u0 ve v = v0

egrileinin teget vektörleri ∂~r∂v

∂~r∂u olacaktır.

T dönüsümü altında boyutları ∆u ×∆v olan dikdörtgen xy-düzleminde

biçemi bozulmus dikdörtgenimsi bir bölgeye dönüsür. Bunun alanı

yaklasık olarak, ∣∣∣∣ ∂~r∂u× ∂~r

∂v

∣∣∣∣∆u∆v

olur. Ayrıca,

∣∣∣∣ ∂~r∂u× ∂~r

∂v

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣

i j k∂x∂u

∂y∂u 0

∂x∂v

∂y∂v 0

∣∣∣∣∣∣∣= k

∣∣∣∣∣ ∂x∂u

∂y∂u

∂x∂v

∂y∂v

∣∣∣∣∣= k

∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣olur. Buradan, ∣∣∣∣ ∂~r∂u

× ∂~r

∂v

∣∣∣∣∆u∆v =∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣∆u∆v

elde edilir. Simdi integral tanımına dönersek,∑f(g (u, v),h(u, v)

) |J (u, v)|dud v

toplamının limiti varsa, bu limitÏD

f (x, y)d yd x

integraline esit olacaktır. O halde,ÏD

f (x, y)d yd x =Ï

D∗f(g (u, v),h(u, v)

) |J (u, v)|dud v (39.35)

çıkar. Simgelerde birligi saglamak için,

d A = d xd y

=∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣dud v

oldugunu vurgulamak yeterlidir.

39.5 Katlı integralde degisken degistirme 661

Örnek 39.27. x2

a2 + y2

b2 ≤ 1 ile sınırlı D bölgesinin alanını degisken

degistirme yöntemi ile bulunuz.

Çözüm:x = au, y = bv degisken degistirimini yaparsak, D bölgesi

u2 + v2 ≤ 1 açık diskine dönüsür. Bunu yapan parametrik dönüsümler

sürekli türevlenebilir. Dolayısıyla Teorem (39.33) uygulanabilir. ( a >0, b > 0 olmak üzere

d xd y =∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣dud v =∣∣∣∣∣[

a 0

0 b

]∣∣∣∣∣= ab dud v

olur. Dolayısıyla,ÏD

1 d xd y =Ï

D∗ab dud v = ab(π12) =πabbr 2

çıkar.

Örnek 39.28. Köseleri (0,0), (1,1), (2,0) olan D üçgeninin üzerinde,ÏD

(x + y)3 d xd y

integralini degisken drgistirimi yaparak bulunuz.

Çözüm:u = y − x, v = y + x degisken degistirimini yaparsak, D bölgesi

köseleri (0,0), (0,2), (−2,2) olan D∗ üçgenine dönüsür. Bunu yapan

parametrik dönüsümler sürekli türevlenebilir. Dolayısıyla Teorem (39.33)

uygulanabilir.∂(u, v)

∂(x, y)= 1

∂(x,y)∂(u,v)

=[−1 1

1 1

]=−2

dir. Buradan,

d xd y =∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ dud v = 1

2dud v

ÏD

(x + y)3 d xd y =Ï

D∗

1

2v3 dud v

= 1

2

∫ 2

0

∫ 0

−vv3 dud v

= 1

2

∫ 2

0v4 d v

= 16

5

Örnek 39.29. Köseleri (0,0), (1,1), (2,0) olan D üçgeninin üzerinde,ÏD

ey−xy+x d xd y

integralini degisken drgistirimi yaparak bulunuz.

Çözüm:

u = y −x, v = y +x ⇒ x = 1

2(u + v), y = 1

2(v −u) ⇒ u = v ,u =−v , v = 2)

D bölgesi köseleri (0,0), (2,2), (−2,2) olan D∗ üçgenine dönüsür. Bunu

yapan parametrik dönüsümler sürekli türevlenebilir. Dolayısıyla Teorem

(39.33) uygulanabilir.

662 Katlı Integral

∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣=[− 1

212

12

12

]=−1

2

olur. Buradan, ÏD

ey−xy+x d xd y =

ÏD∗

1

2e

uv dud v

= 1

2

∫ 2

0

∫ v

−ve

uv dud v

= e − 1e

2

∫ 2

0v d v

= e − 1

e

39.6 Alıstırmalar

1. Köseleri (1,0), (2,0), (0,−2), (0,−1) olan D yamugu üzerinde,ÏD

ex+yx−y d xd y


2. x −2y = 0, x −2y = 4,3x − y = 1,3x − y = 8 dogrularının sınırladıgıD

bölgesi üzerinde, ÏD

x −2y

3x − yd A


3. Köseleri (1,0), (2,0), (0,2), (0,1) olan D yamugu üzerinde,ÏD

cos

(y −x

y +x

)d A


4. D = {(x, y) : π< x + y < 2π, −π< x − y <π} bölgesi üzerinden,ÏD

(x2 − y2)sin2(x + y) d xd y


5. 9x2 +4y2 = 1 elipsi üzerinden,ÏD

sin(9x2 +4y2)d A


6. |x|+ |y | ≤ 1 eitsizligi ile belirlenen D bölgesi üzerinden,ÏD

ex+y d A


7. Köseleri (0,0), (2π,0), (0,π) olan D üçgeni üzerinden,ÏD

sin(x +2y).cos(x −2y)d A


39.7 Iki Katlı Integral Ile Düzlemsel Alan Hesabı 663

8. y = x2, y = 4x2, x y = 1, x y = 5 egrilerinin sınırladıgı D bölgesi üz-

erinden, ÏD

x yd A


39.7 Iki Katlı Integral Ile Düzlemsel Alan Hesabı

1. Pappus teoremini kullanarak dik dairesel koninin yanal yüzeyinin

alanını ve hacmini bulunuz.

Çözüm:

Genel olması için koninin yüksekligi olarak herhangi bir r sayısı alalım.

Koninin simetri dogrusu O y− ekseni olacak sekilde tepe noktasını

(O,O) baslangıç noktasına koyalım. Koni sekilde görüldügü gibi bas

asagı konumlanmıs olsun.

Koninin yanal yüzeyindeki |OB | dogru parçasını kütle merkezi, |OB |bin orta noktasıdır: (x, y) = ( 1

2 r , 12 h) dir (bkz. ). Alan

A = |OB |.2πR = 2√

r 2 +h2.πr

2

=πr√

r 2 +h2

O AB üçgeninin kütle merkezi ( r3 , h

2 ) dır. Hacim

V = (2πR)r h

2= 2i

r

3.r h

2= 1

3πr 2h

olur.

2. Pappus’un ikinci teoremini kullanarak y =p

r 2 −x2, −r ≤ x ≤ r

yayının kütle merkezini bulunuz.

Çözüm:

Pappus’un ikinci teoremini kullanacagız. Kürenin alanının 4πr 2

oldugunu biliyoruz. Buna göre;

x = 0, (39.36)

y =∫

ydm

ydm

=∫ p

r 2 −x2.p−t1+ y2 d x

d s

=∫ p

r 2 −x2. rpr 2−x2 d x∫ rp

r 2−x2d x

=∫ r−r r d x∫ r

−rrp

r 2−x2d x

= 2r 2

πr

= 2r

π

664 Katlı Integral

Yüzey Alanı S:

S = (rπ)2π(2rπ

)= 4πr 2 (39.37)

çıkar. Buunu daha kısa yolla yapabiliriz.

4πr 2 = (rπ)2πy

⇒ y = 2

πr

Verilen iki denklemin grafikleri arasında kalan bölgenin alanını çift

katlı integralle hesaplayınız.

a) y = x2

4 , y = 12 x +2

Sekil 39.20: Soru7-11a Al an =∫ 4

−2

∫ 2+x/2

x2/4d yd x

=∫ 4

−2

(x

2+2− x2

4

)d x

= (4+8− 64

8)∗ (1−4+ 8

12)

= 15−6

= 9

b) x y = 5, x + y = 6

Sekil 39.21: x y = 5, x + y = 6Al an =

∫ 5

1

∫ 6−x

5/xd yd x

=∫ 5

1

((6−x)− 5

x

)d x

= (6− x2

2−5l n(x))

∣∣∣∣5

1)

= (30− 25

2−5ln5)− (6− 1

2−5ln1)

= 30−18−5ln5

= 12−5ln5

= 9

c) y = x, y = x3

Sekil 39.22: y = x, y = x3 Al an = 2∫ 1

0

∫ x

x3d yd x

= 2∫ 1

0

((x −x3)

)d x

= 2

(x2

2− x4

4

)1

0

= 2(1

2− 1

4)

= 1

2


Örnek

r yarıçaplı bir çember, çember düzleminde ve çember merkezine

b, (b > r ) uzaklıkta sabit duran bir eksen etrafında döndürülüyor. Mey-

dana gelen cismin (simit, torus, daughnut) yüzey alanını ve hacmini

bulunuz.

Çözüm:

Çemberin agırlık merkezi kendi merkezidir. Çemberin merkezi eksen

etrafında bir dönüs yapınca 2πb kadar yol alır. Çemberin alanı πr 2 dir.

Pappus teoremine göre hacim

V = (2πb)(πr 2) = 2π2br 2

olur, yüzey alanı ise

S = (2πb)(2πr ) = 4π2br

olur.

39.8 Alıstırmalar

1. x = a, y = a karesinden a yarıçaplı çember çıkarılıyor. Geri kalan

düzlemsel bölgenin alanını bulınız.

2. y = x3, x = 1, x = 2, y = x egrileri ile sınırlanan düzlemsel bölgenin

alanını bulunuz.

3. , ∫ 1

0

∫ 2

2xe y2

d yd x


4. ∫ 2

0

∫ 4

y2y cos x2d xd y


5. ∫ 8

0

∫ 2

3py

y√(16+x7)

6. ∫ 2

0

∫ 4

y2y cos x2d xd y


7. y = x3

3 , y = x +4, y =−4x +9 egrilerinin sınırladıgı düzlemsel bölgenin

alanını bulunuz.

8. x2+z2 = 9 silindirini y = 2x düzlemi kesiyor. Birinci bölgede silindirden

ayrılan parçanın hacmini bulunuz.

9. x = −y2, y − x = 2 egrileri ile sınırlanan düzlemsel bölgenin alanını

bulunuz.

666 Katlı Integral

39.9 Iki Katlı Integral Ile Hacim hesapları

Bu kesimde iki ya da daha çok yüzey ile sınırlanan hacimleri hesaplay-

acagız. Uygulamada çogunlukla yüzeylerden birisi x y-düzleminde

düzgün egrilerle sınırlanmıs düzlemsel bir bölge olur ve yanal yüzeyler

sözkonusu bölgenin sınırlarını dogrultman olarak kabul eden ve ayrıtları

düzlemsel bölgeye dik olan bir silindirdir. Silindirin bir kapagı düzlemsel

bölgedir, öteki kapak silindir ile baska bir yüzeyin arakesiti tarafından

belirlenir.

Örnek 39.30. Köseleri (0,0), (0,1), (1,0) olan D üçgeni ile z = x + y yüzeyi

arasındaki hacmi bulunuz.

Sekil 39.23: Yüzeyler arasındaki hacim

Sekil 39.24: z = (x − y)2 yüzeyi

V =∫ ∫

D(x + y)d A

=∫ 1

0

∫ 1−x

0(x + y)d yd x

=∫ 1

0(x y + y2

2

∣∣∣∣1−x

y=0d x

=∫ 1

0

[x(1−x)+ (1−x)2

2

]d x

=∫ 1

0

[−x2

2+ 1

2

]d x

= −x3

6+ x

2

∣∣∣∣1

0

=−1

6+ 1

2

= 4

12

= 1

3

Sekil 39.25: Üçgenköseleri:(0,0), (0,2), (2,2)

y = 1− x2 ve y = 0 ile sınırlanan D bölgesi ile z = 4 düzlemi arasında

kalan hacim.

Sekil 39.26: Köseleri: y = 1−x2

V =∫ ∫

D4d A

=∫ 1

−1

∫ 1−x2

04d yd x

=∫ 1

−14y

∣∣1−x2

y=0 d x

=∫ 1

−14(1−x2)d x

=∫ 1

−1(4−4x2)d x

= 2(4x − 4x3

3

∣∣∣∣1

0

= 16

3

39.10 Kutupsal Koordinatlarda Iki Katlı Integraller 667

39.10 Kutupsal Koordinatlarda Iki Katlı Integraller

Sekil 39.27: Kutupsal koorinatlar

Kutupsal koordinatlara dönüsümü incelerken

T :

x = r cosθ

y = r sinθ

dönüsümü ile xOy- dikey kartezyen koordinat sisteminden (r ,θ) kutupsal

koordinat sitemine nasıl dönüsüm yapıldıgını incelemistik. Bu kesimde,

bu dönüsümün katlı integrallerde kullanılısını ele alacagız.

Sekil 39.28: Dönüsüm

r 2 = x2 + y2, x = r cosθ, y = r sinθ

ve ∣∣∣∣ ∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣[∂x∂r

∂y∂r

∂x∂θ

∂y∂θ

]∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ cosθ sinθ

−r sinθ r cosθ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= r

çıkar. Öyleyse asagıdaki teoremi söyleyebiliriz:

Teorem 39.31. D = {(r ,θ)| a ≤ r ≤ b,αθ ≤β, 0 ≤β−α≤ 2π bölgesinde

f fonksiyonu sürekli iseÏD

f (x, y) d A =∫ β

α

∫ b

af (r cosθ,r sinθ)r dr dθ (39.38)

esitligi saglanır.

Kanıt: Önceki kesimde ifade edilen dnüsüm Teorem’inin varsayımları

saglandıgından, sözkonusu teoremin burada geçerli olacagı açıktır.

Örnek 39.32. x2 + y2 ≤ 4 kapalı diski üzerindekiÏD

(x2 + y2 +1)d A

katlı integralini kutupsal koordinatlara dönüsüm yaparak hesaplayınız.

Çözüm: ÏD

(x2 + y2 +1)d A =∫ 2π

0

∫ 2

0(r 2 +1)r dr dθ

=∫ 2π

0

(r 4

4+ r 2

2

∣∣∣∣2

0

= 12π

Sekil 39.29: Halka bölge

Sekil 39.30: ln(x2 + y2 yüzeyi

Örnek 39.33. x2 + y2 = 4, x2 + y2 = e2 çemberleri arasında kalan D halka

bölgesi üzerindeki ÏD

l n(x2 + y2)d A


Çözüm: ÏD

ln(x2 + y2)d A =∫ 2π

0

∫ e

2l n(r 2)r dr dθ

= 4π

(1

2r 2lnr − 1

4r 2

)∣∣∣∣e

2

=π(e2 +4−8ln2)

668 Katlı Integral

Teorem 39.34.

R = {(r ,θ)| α≤ θ ≤β, r1(θ) ≤ r ≤ r2(θ),r1(θ) ≥ 0,r2(θ) ≥ 0}

bölgesinde f fonksiyonu sürekli iseÏR

f (r ,θ) d A =∫αβ

∫ r2(θ)

r1(θ)f (r ,θ)r dr dθ (39.39)

esitligi saglanır.

Örnek 39.35. a yarıçaplı kürenin hacmini kutupsal koordinatları kulla-

narak hesplayınız.

Sekil 39.31: Kürenin hacmi

Çözüm: x2+y2+z2 = a2 küresinin xy-düzleminin üstünde kalan yarısını

hacmini bulup çıkanı 2 ile çarpabiliriz.

z ≥ 0, z =√

a2 −x2 − y2

dir. Yarı kürenin x y düzlemi üzerindeki izdüsümü

D = {(x, y)| x2 + y2 ≤ a2

ir. Buradan,

V = 2Ï

D

√(a2 −x2 − y2) d yd x = 2

∫ 2π

0

∫ a

0

√a2 − r 2r dr dθ

= 2∫ 2π

0

(−1

3(a2 − r 2)

32

)∣∣∣∣a

0dθ

=−2

3

∫ 2π

0

((a2 −a2)

32 − (a2 −02)

32

)dθ

= 2

3

∫ 2π

0a3θ dθ

= 2

3(a3θ

∣∣2π0

= 4

3πa3

Örnek 39.36. D bölgesi birinci dörtte birlik (first quadrant) bölgede

r = 3cosθ diskinden, r = 1+cosθ kalp egrisi (cardioid) atılınca geri kalan

bölge olsun. ÏD

1

xd A


Sekil 39.32: Alan

Sekil 39.33: z = 1x yüzeyi

Çözüm: 3cosθ = 1+cosθ⇒ 2cosθ = 1,cosθ = 12 ⇒ θ = π

3 oldugundan,

ÏD

1

xd A =

∫ π/3

0

∫ 3cosθ

1+cosθ

1

r cosθr dr dθ

=∫ π/3

0

∫ 3cosθ

1+cosθsecθ dr dθ

=∫ π/3

0r secθ|3cosθ

1+cosθ dθ

=∫ π/3

0(3cosθ secθ− (1+cosθ)secθ)dθ

=∫ π/3

0(2− secθ)dθ

= 2θ− ln|secθ+ tanθ||π/30

= 2π

3− ln(2+p

3)

39.10 Kutupsal Koordinatlarda Iki Katlı Integraller 669

Örnek 39.37. D bölgesi birinci dörtte birlik (first quadrant) bölgesi olsun.

Bu sınırsız bölgede, ÏD

e−(x2+y2)d A


Çözüm: Bu has olmayan bir integraldir. Öyleyse, Kutupsal koorinat

sistemine geçerek,ÏD

e−(x2+y2)d A = limn→∞

∫ π/2

0

∫ n

0e−r 2

r dr dθ

= limn→∞

∫ π/2

0

(−1

2e−r 2

∣∣∣∣n

0

)dθ

= limn→∞

∫ π/2

0

(−1

2e−n2 + 1

2

)dθ

= limn→∞

1

2

(1−e−n2

).θ

∣∣∣∣π/2

0

= limn→∞

π

4

(1−e−n2

)= π

4

Örnek 39.38.

I =∫ ∞

0e−x2

d x =pπ

2oldugunu gösteriniz.

Çözüm:

I =∫ ∞

0e−x2

d x

Ia =∫ a

0e−x2

d x

dersek, degisken adını serbestçe seçebildigimizi de düsünerek,

(Ia)2 =(∫ a

0e−x2

d x

)(∫ a

0e−y2

d y

)=

ÏR

e−(x2+y2) d xd y

=pπ

2(önceki problemden)

çıkar. Önceki problemin sonucunun bilinmedigini, varsayarak çözümü

bulabiliriz. Simdi, birinci dörtte birlik (first quadrant) bölgede R1 bölgesi

a yarıçaplı disk, R bölgesi kenar uzunlugu a olan kare, R2 bölgesip

2a

yarıçaplı disk olmak üzere,ÏR1

e−(x2+y2) d xd y ≤Ï

Re−(x2+y2) d xd y ≤

ÏR2

e−(x2+y2) d xd y

yazabiliriz. Kutupsal koordinatları kullanırsak,∫ π/2

0

∫ a

0e−r 2

r dr dθ ≤ (Ia)2 ≤∫ π/2

0

∫ p2a

0e−r 2

r dr dθ

buradan,π

4

(1−e−r 2

)≤ (Ia)2 ≤ π

4

(1−e−2a2

)lima→∞ için istene sonuç elde edilr:

I =∫ ∞

0e−x2

d x =pπ

2

670 Katlı Integral

39.11 Alıstırmalar

1. D = {(x, y)| π2 ≤ x2 + y2 ≤ 4π2} iseÏD

cos

(√x2 + y2

)d xd y


2. z = x2 + y2 parabolünün altında, x y− düzleminin üstünde ve x2 + y2 =2x silindirinin içinde kalan katı cismin hacmini bulunuz.

3. x2 + y2 + z2 = 1 küresi ile üstten ve z =√

x2 + y2 konisi ile alttan sınırlı

bölgenin hacmini bulunuz.

4. D bölgesi x =√

4− y2 yarı çemberi ve y−ekseni ile sınırlı bölge ise,ÏD

e−x2−y2d A


5. D bölgesi x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 2x, çemberleri ile sınırlı bölge ise,ÏD

x d A


6. ∫ 1

0

∫ p1−x2

0ex2+y2

d xd y


7. ∫ a

−a

∫ pa2−y2

0(x2 + y2)

32 d xd y


8. ∫ 4

0

∫ p16−y2

−p

16−y2(x2.y2) d xd y


9. ∫ 2

0

∫ p2x−x2

0

√x2 + y2 d yd x


10. Asagıdaki ntegralleri tek bir integral isareti atında yazınız.∫ 1

1/p

2

∫ x

p1−x2

x y d yd x +∫ p

2

1

∫ x

0x y d yd x +

∫ 2

p2

∫ p4−x2

0x yd yd x


11. r = 2− sinθ kalp egrisinin alanını bulunuz.

12. z = 8− x2 − y2 ve z = x2 + y2 praboloidleri arasında kalan bölgenin

hacmini bulunuz.


13. D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 9} iseÏD

cos√

x2 + y2 d A


14. D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 4} ise ÏD

ex2+y2d A


15. D = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1} iseÏD

e−p

x2+y2d A


16. r = 2sinθ egrisini çiziniz.

17. r = 1−cosθ egrisini çiziniz.

18. r = θ egrisini çiziniz.

19. r = |θ| egrisini çiziniz.

20. r = 2cos4θ egrisinin birinci bölgede sınırladıgı düzlemsel alanı

bulunuz.

21. ∫ a

−a

∫ pa2−x2

0e−x2−y2

d yd x


22. z = 4(x2 + y2 paraboloidi, x2 + (y − 32 )2 = 9

4 si,lindiri ve x y düzlemi

tarafından sınırlanan hacmi bulunuz.

23. x2 + y2 + z2 = 25 küresi içinde ve x2 + y2 = 9 silindiri dısında kalan

bölgenin hacmini bulunuz.

24. Kutupsal koordinatları kullanarak∫ π2

0

1

(cosθ+ sinθ)2 dθ = 1

oldugunu gösteriniz.

25. ∫ 2

0

∫ p4−x2

0

x y√x2 + y2

d yd x



26. ∫ ∞

0

∫ ∞

0e−x2−y2

d xd y


672 Katlı Integral

27. r = 2p

(2− sin2θ) egrisinin birinci bölgede sınırladıgı düzlemsel

bölgenin alanını bulunuz.

28. r = 1+cosθ kalp egrisi içinde ve r = 1 çemberi dısında kalan düzlem-

sel bölgenin alanını bulunuz.

29. r = 4θ3 , 0 ≤ θ ≤ 2π spirali ile x ekseninin sınırladıgı düzlemsel


30. r = 1+cosθ ile r = 1−cosθ kalp egrileri arasındaki alanı bulunuz.

31.

f (x, y) = 1

1−x2 − y2

fonksiyonunun x2 + y2 ≤ 34 bölgesi üzerindeki integralini bulunuz.

32.

f (x, y) = ln(x2 + y2)

x2 + y2

fonksiyonunun x2 + y2 = 1 çemberi ile x2 + y2 = e2 çemberinin

sınırladıgı bölge üzerindeki integralini bulunuz.

33. r 2 = 9sin2θ egrisinin sınırladıgı düzlemsel bölgenin alanını bulunuz.

34. y = x2, y =−1, y = 2x −1 egrilerinin sınırladıgı düzlemsel bölgenin

alanını bulunuz.

35. (x2 + y2)2 = 2a2x y egrisine Nernoulli lemniskatı denilir. Bu egrnin

P (1,1) noktasındaki tegpetinin denklemini yazınız.

36. (y−a)2(x2+y2) = b2 y2 egrisine Nicomede konkoidi denilir. Bu egrinin

P (p

15,1) noktasındaki tegetinin denklemini bulunuz.

37. Kapalı türev formülünü kullanarak, çemberin her tegetinin, çem-

ber merkezini degme noktasına birlestiren yarıçapa dik oldugunu

gösteriniz.

38. Kutupsal koordintları kullanarak,∫ π2

0

dθ

(cosθ+ sinθ)2 = 1


39. ∫ ∞

0

∫ ∞

0e−(x2+y2) d xd y


40. Pozitif Ox-ekseni ve r = 4θ3 , 0 ≤ θ ≤ 2π spirali tarafından sınırlananan


40 Üç Katlı Integraller

Sekil 40.1: Üç katlı integral

Üç katlı ya da n-katlı integral tanımı iki katlı integralin genellemesidir.

Bu bölümde üç katlı integralleri ele alacagız. Iki katlı intgralde integral

bölgesi olarak düzlemde bir D blgesini alıyorduk. Üç katlı integralde,

integral bölgesi düzlemsel olmak yerine üç boyutlu uzayda bir T hacmi

olacaktır. w = f (x, y , z) fonksiyonunun tanım bölgesi

T = {(x, y , z)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , e ≤ z ≤ f , x, y , z ∈R}

kümesidir. Bazı yerlerde ≤ yerine < bagıntısı gelebilir. Tabii bu küme

bir dikdörtgenler prizmasıdır. Ama bu özel bir durumdur; T her zaman

uzayda bilinen bir geometrik sekle benzemeyebilir. T kümesi üç boyutlu

uzayda bir yer (hacim) doldurur. Bu hacme katı cisim (solid) denilir.

Üç katlı integrali tanımlamak için, ilk isimiz T tanım kümesinin

bir bölüntüsünü olusturmak olacaktır. Tek katlı integralde bir dogru

parçasının, iki katlı integralde bir dikdörtgenin bölüntüsünü olusturmus-

tuk. Üç katlı integralde ise bir dikdörtenler prizmasının bölüntüsünü

olusturacagız. Bu is, önceki yaptıklarımızın benzeri olacaktır:

[a,b] aralıgının bir bölüntüsü n tane alt aralıktan olusan

P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < . . . < xn−1 < xn = b, n ∈N+

[c,d ] aralıgının bir bölüntüsü m tane alt aralıktan olusan

Q : c = y0 < y1 < y2 < y3 < . . . < ym−1 < ym = d m ∈N+

[e, f ] aralıgının bir bölüntüsü s tane alt aralıktan olusan

R : e = z0 < z1 < z2 < z3 < . . . < zs−1 < zs = f s ∈N+

olsun. T hacminin ayrısımını

Sekil 40.2: Katı cismin bölüntüsü

Sekil 40.3: Bir bölüntünün hacmi

Ti j k =P ×Q×R

= [xi−1, xi ]× [y j−1, y j ]× [zk−1, zk ]

1 ≤ i ≤ I , 1 ≤ j ≤ J , 1 ≤ k ≤ K , I , J ,K ∈N+

biçiminde ifade edebiliriz. Integral tanımında bölüntü aralıklarının en

uzununun uzunlugu sıfıra giderken limit alındıgı için, her üç boyuttaki

bölüntü aralıklarını kendi aralarında esit almak bir kısıtlama getirmez.

Simgeleri basitlestirmek için, P bölüntüsündeki aralıkların uzuluklarının

aynı ve ∆x, Q bölüntüsündeki aralıkların uzuluklarının aynı ve ∆y , R


bölüntüsündeki aralıkların uzuluklarının aynı ve ∆z oldugunu varsay-

alım. Buna göre T prizmasının Ti j k küçük prizmalarından olustugunu ve

onların her birisinin hacminin

∆V =∆x ×∆y ×∆z (40.1)

oldugunu söyleyebiliriz. Artık integral tanımı için Riemann toplamını

olusturabiliriz:

(x∗i j k , y∗

i j k , z∗i j k ) ∈ Ti j k

olmak üzere

Snms =n∑

i=1

m∑j=1

s∑k=1

f (x∗i j k , y∗

i j k , z∗i j k )∆V (40.2)

diyelim.

Tanım 40.1. T bölgesi üç boyutlu R3 uzayında bir bölge ve f (x, y , z)

fonksiyonu bu bölge üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun.ÑT

f (x, y , z)dV = limn,m,s→∞

n∑i=1

m∑j=1

s∑k=1

f (x∗i j k , y∗

i j k , z∗i j k )∆V (40.3)

diyelim. Sagdaki limit varsa, bu limit degerine f fonksiyonunun T bölgesi

üzerindeki üç katlı integrali denilir ve soldaki simge ile gösterilir.

Anımsanacagı gibi, iki katlı integralin tanımında hesaplamanın zor-

lugunu asmak için, katlı integrali integral tanımından hesaplamak yerine

ardısık integrallerle hesaplama yoluna gitmistik. Benzer düsünceyi üç

katlı integrallere de uygulayacagız. Üç katlı integrali art arda uygulanan

üç tane tek katlı integralin hesplanmasına indirgeyebiliriz. O durumda,

tek katlı integral için bildigimiz bütün integral alma yöntemlerini uygu-

layabilecegiz. Bu olgu Katlı integrallerin hepsi için geçerlidir ve integral

hesabını çok kolaylastırır.

Yine anımsayacagınız gibi, düzlemsel bir D bölgesi üzerinden iki katlı

integrali ardısık integrallere dönüstürüken D bölgesinin Ox− ve O y−eksenleri üzerine izdüsümlerini alıyor ve izdüsümün uç noktalarını en

dıstaki integralin sınırları olarak kullanıyorduk. Benzer isi üç boyut için

de düsünebiliriz.Ancak, bu kez izdüsümler koordinat eksenlei yerine x y ,

xz, y z koordinat düzlemleri üzerine yapılacaktır. Bu üçünü ayrı ayrı bir

teorem halinde yazalım:

Teorem 40.2.

1. T bölgesinin x y− koordinat düzlemine izdüsümü Tx y olmak üzere

Sekil 40.4: xy düzlemine izdüsüm

f (x, y , z) fonksiyonu

T = {(x, y , z)| (x, y) ∈ Tx y , g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y)}

bölgesi üzerinde sürekli ise,ÑT

f (x, y , z)dV =Ï

Tx y

(∫ g2(x,y)

g1(x,y)f (x, y , z) d z

)d A (40.4)

esitligi saganır.

40.1 Hacim 675

2. T bölgesinin xz− koordinat düzlemine izdüsümü, Txz olmak üzere,

Sekil 40.5: xz düzlemine izdüsüm


T = {(x, y , z)| (x, z) ∈ Txz , h1(x, z) ≤ y ≤ h2(x, z)}

bölgesi üzerinde sürekli ise,

ÑT

f (x, y , z)dV =Ï

Txz

(∫ h2(x,z)

h1(x,z)f (x, y , z) d y

)d A (40.5)

esitligi saganır.

Sekil 40.6: yz düzlemine izdüsüm

3. T bölgesinin y z− koordinat düzlemine izdüsümü Ty z olmak üzere


T = {(x, y , z)| (y , z) ∈ Ty z , k1(y , z) ≤ x ≤ k2(y , z)}

bölgesi üzerinde sürekli ise,

ÑT

f (x, y , z)dV =Ï

Ty z

(∫ k2(y ,z)

k1(y ,z)f (x, y , z) d x

)d A (40.6)

esitligi saganır.

40.1 Hacim

T tanım bölgesinde f (x, y , z) ≡ 1 ise, f nin T bölgesi üzerinden üç katlı

interali T katı cisminin hacmine esitir. Bunu bir teorem olarak ifade

edbiliriz:

Teorem 40.3.

Sekil 40.7: Düzgün dörtyüzlü

ÑT

f (x, y , z)dV =Ï

Tx y

(∫ g2(x,y)

g1(x,y)d z

)d A (40.7)

=Ï (

g2/x, y)− g1(x, y))

d A (40.8)

ifadesi iki yüzey arasında kalan katı cismin hacmini verir.

Örnek 40.4. T katı cismi x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 düzlemlerinin

sınırladıgı düzgün dörtyüzlüdür.ÑT

zdV (40.9)


Sekil 40.8: Düzgün dörtyüzlünün x ydüzlemi üzerine izdüsümü

Çözüm: T bölgesinin x y düzlemi üzerine izdüsümü Tx y olsun. T

bölgesi üstten z = 1−x − y düzlemi ile ve alttan z = 0 düzlemi ile sınırlıdır:

T = {(x, y , z) : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1−x, 0 ≤ z ≤ 1−x − y} (40.10)


dir. O halde, ÑT

zdV =∫ 1

0

∫ 1−x

0

∫ 1−x−y

0zd zd yd x

=∫ 1

0

∫ 1−x

0

z2

2

∣∣∣∣1−x−y

0d yd x

= 1

2

∫ 1

0

∫ 1−x

0(1−x − y)2 d yd x

= 1

2

∫ 1

0− (1−x − y)3

3

∣∣∣∣1−x

0d x

= 1

6

∫ 1

0(1−x)3d x

= 1

6

(− (1−x)4

4

∣∣∣∣1

0

= 1

24

Sekil 40.9: paraboloid

Aynı integrali T nin xz ve y z düzlemleri üzerine izdüsümleri için

hesaplayınız.

Örnek 40.5. T katı cismi z = 8−x2−y2, z = x2+y2 paraboloidleri arasında

kalan bölgedir. ÑT

dV (40.11)

integralini T nin x y− düzlemi üzerine izdüsümünü alarak hesaplayınız

ve xz− düzlemi üzerine izdüsümü (2.Tip) ve xz düzlemi üzerine izdüsümü

(3.Tip) üzerinde integral sınırlarını yazınız.



Sekil 40.12: paraboloidler arasındakihacim

Çözüm: xy-düzlemi üzerindeki izdüsümü Tx y : x2 + y2 ≤ 4 diskidir.

Çünkü z = 8− x2 − y2 denkleminde z = 0 konulursa Tx y izdüsümü

x2 + y2 = 4 olur. Buradan

I =Ñ

TdV =

∫ 2

−2

∫ p4−x2

−p

4−x2

∫ 8−x2−y2

x2+y2d zd yd x

= 4∫ 2

0

∫ p4−x2

0

(8−2(x2 + y2)

)d yd x

= 16π

olur. Ayrıca,

I =∫ 4

0

∫ 4

y2

∫ pz−y2

−p

z−y2d xd zd y +

∫ 2

−2

∫ 8−y2

4

∫ p8−z−y2

−p

8−z−y2d xd zd y

ya da

I =∫ 4

0

∫ pz

−pz

∫ pz−y2

−p

z−y2d xd zd y +

∫ 8

4

∫ p8−z

−p8−z

∫ p8−z−y2

−p

8−z−y2d xd yd z

ve

I =∫ 2

−2

∫ 4

x2

∫ pz−x2

−p

z−x2d yd zd x +

∫ 2

−2

∫ 8−x2

4

∫ p8−z−x2

−p

8−z−x2d yd zd x

ya da

I =∫ 4

0

∫ pz

−pz

∫ pz−x2

−p

z−x2d yd xd z +

∫ 8

4

∫ p8−z

−p8−z

∫ p8−z−x2

−p

8−z−x2d yd xd z

olur.


40.2 Alıstırmalar

1.

D = {z +x2 = 4, y + z = 4, y = 0, z = 0

yüzeyleri ile sınırlı bölgenin hacmini bulunuz.

2.

D = {y2 + z2 = 1, x = 0, x + y + z = 2


3.

S = {z = x2 + y2, z = 0, x2 + y2 = 4


4.

D = {x2 + z2 = 4, x2 + z2 = 4


40.3 Üç Katlı Integrallerde Degisken Degistirme

Tek ve iki katlı inegrallerde yaptıgımız gibi, üç katlı integral alırken de

hesaplamayı kolaylastıracak degisken degistirimi yapabiliriz. Bunu

saglayan teorem sudur:

Teorem 40.6. 1. φ = f (x, y , z) fonksiyonu üç boyutlu uzaydaki bir S

bölgesinde sürekli, bire bir ve örten τ dönüsümü,

τ :

x = g (u, v , w)

y = h(u, v , w)

z = k(u, v , w)

S bölgesini S∗ bölgesine dönüstürsün.

2. g ,h,k fonksiyonları S∗ üzerinde sürekli türevlenebilir olsunlar.

3. τ dönüsümünün jacobian’ı

J (u, v , w) = ∂(x, y , z)

∂(u, v , w)=

∣∣∣∣∣∣∣xu xv xw

yu yv yw

zu zv zw

∣∣∣∣∣∣∣olmak üzere J (u, v , w) 6= 0 iseÑS

f (x, y , z)dV =Ñ

S∗f(g (u, v , w),h(u, v , w),k(u, v , w)

) |J (u, v , w)| dud vd w

olur.

Kanıt: Iki katlı integrallerde yaptıgımıza benzer olarak yapılabilir.

Örnek 40.7. S = {(x, y , z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 1} olmak üzere,

τ :

u = x

v = x y

w = 3z


dönüsümü altında ÑS

(x2 y +3x y z) d xd yd z


Çözüm: u = x, v = x y , w = 3z ⇒ x = u, y = vu , z = w

3 yazılabilir. Buradan,

J (u, v , w) =

∣∣∣∣∣∣∣1 0 0−vu2

1u 0

0 0 13

∣∣∣∣∣∣∣oldugundan,

ÑS

(x2 y +3x y z) d xd yd z

=Ñ

S∗

(u2(

v

u)+3u(

v

u)(

w

3))|J (u, v , w)| dud vd w

= 1

3

∫ 3

0

∫ 2

0

∫ 2

1

(v + v w

u

)dud vd w

= 1

3

∫ 3

0

∫ 2

0(v + v w ln2)

∣∣∣∣2

1d vd w

= 2

3

∫ 3

0(1+w ln2)

v2

2

∣∣∣∣2

0d w

= 2

3

∫ 3

0(1+w ln2) d w

= 2

3

((w + w2

2ln2

∣∣∣∣3

0

= 2

3

((3+ 9

2ln2

)= 2+ ln8

bulunur.

40.4 Alıstırmalar

1. x = uv , y = v w , z = uv dönüsümünün Jacobiyanını bulunuz.

2. x = eu−v , y = eu+v , z = eu+v+w dünüsümünün Jacobiyanını bulunuz.

3. S : x2

4 + x2

9 + x2

25 = 1 elipsoidinin sınırladıgı bölgenin hacmini x = 2u, y =3v , z = 5w dönüsümünü kullanarak hesaplayınız.

40.5 Silindirsel Koordinatlar

40.5.1 Silindir Nedir?

Tanım 40.8. Düzlemsel bir C egrisi ile uzayda bir d dogrusu verilsin. C

egrisini kesen ve d dogrusuna paralel olan bütün dogruların olusturdugu

kümeye silindir denilir. C egrisine silindirin üreteci (generating curve) ve d

egrisine de silindirin dogrultmanı (directrix) denilir.

Buna göre silindir uzayda özel bir yüzey türüdür. Eger üreteç bnir

çember ise boru seklinde bir silindir olusur. Eger dogrutman çember

düzlemine dik ise , dik dairesel silindir olusur.

40.5 Silindirsel Koordinatlar 679

Sekil 40.13: Silindirler

Üç boyutlu koordinat sistemlerinin hepsi üç boyutlu kartezyen koor-

dinat sisteminin islevini bazı özel durumlar için daha kolay ifade etmeye

yararlar. Dolayısıyla, hepsi kartezyen sistemin (x, y , z) kordinatlarını

kendi islevlerine uygun biçimde ifade ederler.

Bunlardan birisi silindirik koordinat sitemidir. Dairesel silindir yüzeyi

üzerindeki noktaları kolay belirlemeye yarar. Silindirin yarıçapı degistiril-

erek uzaydaki her noktanın konumunu belirlenebilir.

Üç boyutlu uzayda bir (x,y,z) noktasının dikey kartezyen koordinat

sisteminden silindirik koordinatlara dönüsümü,

τ : R3 →R3

x = r cosθ

y = r sinθ

z = z

denklemleri ile verilir.

Sekil 40.14: Siindirsel koordinatlar

Sekil 40.15: Kartezyenden silindirseledönüsüm

Silindirsel koordinatlar kullanılarak üç katlı integraller kolayca hesap-

lanabilir.

Örnek 40.9. x2+y2 = a2 denklemini silindirsel koordinatlra dönüstürünüz.

Çözüm:

Dikey kartezyen koordinat sisteminde silindirsel koordinat sistemine

dönüsüm formülleri kullanılırsa,

r 2 =√

x2 + y2 ⇒ r = a

çıkar.

Örnek 40.10. x2 + y2 = a.z paraboloidini silindirsel koordinatlara

dönüstürünüz.

Çözüm:

Dikey kartezyen koordinat sisteminde silindirsel koordinat sistemine

dönüsüm formülleri kullanılırsa,

r 2 = az

çıkar.

Silindirsel koordinatlardaki üç katlı integrali ardısık integrallere

dönüstürmek için su teoremi kullanırız:

Teorem 40.11. T cismi üstten z = v(r ,θ) ve alttan z = u(r ,θ) yüzeyleri ile

sınırlı olsun.

1. T nin x y− düzlemi üzerine D izdsümü kutupsal koordinatlarda

verilsin.


2. f (r ,θ, z) fonksiyonu S üzerinde sürekli olsun.

3.

∂(x, y , z)

∂(r ,θ, z)=

∣∣∣∣∣∣∣xr xθ xz

yr yθ yz

zr zθ zz

∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣cosθ −r sinθ 0

sinθ r cosθ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣∣= r

ise, ÑS

f (r ,θ, z)dV =Ï

D

∫ v(r ,θ)

u(r ,θ)f (r ,θ, z)r d zdr dθ (40.12)

esitligi saglanır.

Kanıt: Öncekiler gibi yapılabilir.

Sekil 40.16: x y düzlemine izdüsüm

Özel olarak,

D = {(r ,θ) : α≤ θ ≤β, h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)}

ise, ÑS

f (r ,θ, z)dV =Ï

D

∫ β

α

∫ h2(θ)

h1(θ)

∫ v(r ,θ)

u(r ,θ)f (r ,θ, z)r d zdr dθ (40.13)

olur.

Örnek 40.12. S bölgesi birinci sekizde birlik (first octant) bölgede x2 + y2 =1 ve x2 + y2 = 4 silindirleri ile z = 0, z = 1, x = 0, x = y düzlemleri tarafından

sınırlı bölge ise, ÑS

(x2 + y2)dV (40.14)


Sekil 40.17: Izdüsüm

S bölgesi silindirik koordinatlarda

{(r ,θ, z) : 1 ≤ r ≤ 2,π

4≤ θ ≤ π

2, 0 ≤ z ≤ 1}

oldugundan, ÑS

(x2 + y2) dV

=∫ 1

0

∫ π2

π4

∫12r 2.r dr dθd z

= 15

16π

olur.

Örnek 40.13. ∫−22

∫ p4−x2

−p

4−x2

∫ 2

px2+y2

(x2 + y2)d zd yd x

integralini silimdirik koordinatları kullanarak hesaplayınız.

Çözüm: Integral bölgesi

S = {(x, y , z) : −2 ≤ x ≤ 2,−√

4−x2 ≤ y ≤√

4−x2,√

x2 + y2 ≤ 2}

oldugundan

Sekil 40.18: Izdüsüm

40.5 Silindirsel Koordinatlar 681

ÑS

(x2 + y2)dV

=∫ 2π

0

∫ 2

0

∫ 2

r

∫ 2

rr d zdr dθ

=∫ 2π

0

∫ 2

0r 3z

∣∣2r dr dθ

=∫ 2π

0

∫ 2

0r 3(2− r )dr dθ

= 2π

(1

2r 4 − 1

5r 5

∣∣∣∣2

0

= 16

5π

Örnek 40.14. S = {(x, y , z) : x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1} iseÑS

ze−x2−y2dV (40.15)


Çözüm: Silindirik koordinatlar kullanılır ve ardısık integraller uygu-

lanırsa, ÑS

ze−x2−y2dV

=∫ 1

0

∫ 2π

0

∫ 1

0ze−r 2

r dr dθd z

= π

2

(1− 1

e

)çıkar.

Örnek 40.15. S cismi 8− r 2 ve z = r 2 paraboloidleri ile sınırlı bölge ise S

cisminin hacmini bulunuz.

Sekil 40.19: Paraboloidler arsında kalanhacim

Çözüm: Hacim formülüuygulanırsa,

V =∫ 2π

0

∫ 2

0

∫ 8−r 2

r 2r d zdr dθ

=∫ 2π

0

∫ 2

0(8− r 2 − r 2)r dr dθ

= 16π

bulunur.

Örnek 40.16. Kartezyen koordinat sistemindeki

I =∫ p

2

0

∫ p4−y2

0

∫ p4−x2−y2

px2+y2+z2

d zd xd y

ardısık integrali küresel koordinat sistemine dönüstürerek çözünüz.

Çözüm:

Küresel koordin atlara dönüsügm yapılırsa,



I =∫ π

4

0

∫ π2

0

∫ 2

0ρ.ρ2 sinϕdρdϕdθ

=π∫ π

2

0sinϕ dϕ

=π

çıkar. Görüldügü gibi, küresel koordinatlara dönüsüm isllemleri çok

basitlestirmektedir.

Örnek 40.17. a yarıçaplı kürenin içinden z =√

x2 + y2 konisinin ayırdıgı

parçanın hacmini bulunuz.

Çözüm:


Çözüm: Küresel koordinat sistemi kullanılırsa,

V =∫ 2π

0

∫ π4

0

∫ 4cosϕ

0ρ2 sinϕ dρdϕdθ = 8π

çıkar.

40.6 Alıstırmalar

1. Dikey kartezyen koordinatlarda verilen asagıdaki noktaları silindirik

koordinatlara dönüstürünüz:

a) (1,−1,4) (b) (2p

3,2,17) (c) (1

2

p3,0,−1

2

d) (−4,−4,0) (e) (3p

2,−3,3) ( f ) (3,−p7,p

7)

2. Dikey kartezyen koordinatlarda verilen asagıdaki denklemleri

silindirik koordinatlara dönüstürünüz:

a) x2 + y2 + z2 = 4 (b) x + y − z = 1 (c) x2 + y2 − z2 = 1

d) x2 + z2 = 16 (e) x2 + y2 + z2 = 4z ( f ) −x2 − y2 + z2 = 1

40.7 Üç Katlı Integrallerde Küresel Koordinatlar

Sekil 40.22: Küresel koordinatlar

Üç boyutlu koordinat sistemlerinin hepsinin üç boyutlu kartezyen koor-

dinat sisteminin islevini bazı özel durumlar için daha kolay ifade etmeye

yaradıgını söylemistik. Bu kitapta inceleyecegimiz ikinci koordinat

sistemi küresel kordinat sistemidir.

Küresel koordinat sistemi adından da anlasoldıgı gibi, bir küre yüzeyi

üzerindeki noktaların konumunu belli etmek için kullanılan koordi-

nat sistemidir. Tabii, kürenin yarıçapını degistirerek üç boyutlu uzay-

daki her noktanın konumunu küresel koordinat sistemi ile belirlemek

mümkündür.

Küresel koordinat sisteminde üç nicelik vardır (yandaki sekle bakınız):

1. Uzaydaki P noktasının baslangıç noktasına |OP | uzaklıgı. Çogunlukla,

ρ = |OP | ya da r = |OP | ile gösterilir.

40.7 Üç Katlı Integrallerde Küresel Koordinatlar 683

2. |OP | nin x y-düzlemi üxerine |OQ| izdüsümü ile Ox-ekseni arasındaki

θ açısı. Bu açı silindirik koordinatlardaki isleve sahiptir ve üzerinde bir

kısıt yoktur.

3. |OP | ile Oz-ekseninin pozitif kısmı arasınadki ϕ açısı.

Üç boyutlu uzayda bir P (x, y , z) noktasının dikey kartezyen koordinat

sisteminden küresel koordinatlardaki (ρ,φ,θ) noktasına dönüstüren η

dönüsümü,

Sekil 40.23: Küresel koordinatlar

η : R3 →R3

x = ρ cosθ sinφ

y = ρ sinθ sinφ

z = ρ cosφ

denklemleri ile verilir. Burada P noktasının baslangıç noktasına uzaklıgı

ρ, P noktasının x y− düzlemine izdüsümü olan Q noktasının baslangıç

noktasına uzaklıgı r = ρ sinφ, OQ nun Ox− ekseniyle pozitif yöne yaptıgı

açı θ (0 ≤ θ ≤ 2π), OP nin Oz− ekseni ile pozizitif yönde yaptıgı açı

φ, (0 ≤ϕ≤π) dır. θ için kısıt olmadıgını söylemistik. Ama ϕ için (0 ≤ϕ≤π) kısıtlamasının oldugunu unutmayınız.

Örnek 40.18. Dikey kartezyen koordinat sistemindeki denklemi

x2 + y2 + (z −1)2 = 1

olan küreyi küresel koordinat sisteminde gösteriniz.

Sekil 40.24: kuresel koordinatlaradonusum

Çözüm: Yukrıdaki η dönüsümünü uygularsak,

1 = ρ2 sin2φcos2θ+ρ2 sin2φsin2θ+ (ρ cosφ−1)2

= ρ2 sin2φ(cos2θ+ sin2φ

)ρ2 cos2φ2ρ cosφ+1

⇒= ρ2 (sin2φ+cos2φ

)⇒ 2ρ cosφ

⇒ ρ2 = 2ρ cosφ

⇒ ρ = 2cosφ

çıkar.

Sekil 40.25: Dik dairesel konini

Sekil 40.26: Dik dairesel koninin boyutları

Örnek 40.19. Dikey kartezyen koordinat sistemindeki denklemi

z =√

x2 + y2

olan koniyi küresel koordinat sisteminde gösteriniz.

Çözüm: Yukrıdaki η dönüsümünü uygularsak,

ρ cosφ=√ρ2 sin2φ (ρ ≥ 0,sinφ≥ 0)

ρ cosφ= ρ sinφ

cosφsinφ

φ= π

4(0 ≤φ≤π)


çıkar.

Dikey kartezyen koordinat sistemindeki üç katlı integrali küresel

koordinat siteminde üç katlı integrale dönüstürmek için asagıdaki

teoremi kullanırız:

Teorem 40.20. :

1. Küresel koordinatlarda gösteilen S sınırlı cismi üzerinde ξ= f (ρ,φ,θ)

fonksiyonu sürekli,

2. η dönüsümü geçerli,

3. η dönüsümünün Jacobiyanı,

ρ2 sinφ=∣∣∣∣ ∂(x, y , z)

∂(ρ,φ,θ)

∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣xρ xφ xθyρ yφ yθzρ zφ zθ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣sinφcosθ ρ cosφcosθ −ρ sinφsinθ

sinφsinθ ρ cosφsinθ −ρ sinφcosθ

cosφ −ρ sinφ 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ise ÑS

f (x, y , z)dV =Ñ

S∗f (ρ,φ,θ)ρ2 sinφ dρdφdθ (40.16)

esitligi saglanır.

Burada S∗ , S katı cisminin küresel koordinatlardaki temsilidir.

ρ2 sinϕs degeri T dönüsümünün jacobian matrisinin determinantının

mutlak dgeridir:

∂(x, y , z)

∂(ρ,ϕ,θ)=

∣∣∣∣∣∣∣sinϕcosθ ρ cosϕcosθ −ρ sinϕsinθ

sinϕsinθ ρ cosϕsinθ ρ sinϕcosθ

cosϕ ρ sinϕ 0

∣∣∣∣∣∣∣= ρ2 sinϕ

Kanıt: Teorem (40.6)’dan çıkar.

Örnek 40.21. Üstten ρ ≤ 1 küresi ve alttan φ = π3 konisi ile sınırlı S

bölgesinin hacmini bulunuz.

Çözüm:

V =Ñ

Sρ2 sinφdρdφdθ

=∫ 2π

0

∫ π/3

0

∫ 1

0ρ2 sinφdρdφdθ

=∫ 2π

0

∫ π/3

0

1

3ρ3 sinφdφdθ

= 1

62π

= π

3bi r i m3

Örnek 40.22. S = {(x, y , z) : x2 + y2 + z2 ≤ 1} ise,ÑS

ep

(x2+y2+z2)3dV (40.17)


40.7 Üç Katlı Integrallerde Küresel Koordinatlar 685

Çözüm:

S cismi küre oldugundan küresel koordinatları kullanmak kolaylık

saglar. Üç katlı interali ardısık integrallere dönüstürürsek,ÑS

ep

(x2+y2+z2)3dV

=∫ pi

0

∫ 2π

0

∫ 1

0e(ρ2)3

ρ2 sinφdρdθdφ

=∫ pi

0

∫ 2π

0

∫ 1

0eρ

3ρ2 sinφdρdθdφ

= (−cosφ∣∣π0 .2π

(1

3eρ

3∣∣∣∣1

0

= 4

3π(e −1)

Örnek 40.23. ∫ 2ı

0

∫ p2

0

∫ p4−r 2

03r d zdr dθ (40.18)

integralini

1. Dikey katezyen koordinat sisteminde d zd xd y sırasına göre ardısık

integrale dönüstürünüz.

2. Küresel koordinat sisteminde dρdϕdθ sırasına göre ardısık integrale

dönüstürünüz

3. Silindirik koordinat sistemine dönüstürerek hesaplayınız.

Çözüm:

1. ∫ p2

−p2

∫ p2−y2

−p

2−y2

∫ (4−x2−y2)

(x2+y2)3d zd xd y

2. ∫ 2π

0

∫ π/4

0

∫ 2

03ρ2 sinφdρdφdθ

3. ∫ 2π

0

∫ p2

0

∫ p4−r 2

03r d zdr dθ = 3

∫ 2π

0

∫ p2

0

(r (4− r 2)1/2 − r 2)dr dθ

= 3∫ 2π

0

[−1

3

√(4− r 2)3 − r 3

3

]p2

0dθ

=∫ 2π

0(8−4

p2)dθ

= (8−4p

2 )2π

Örnek 40.24. ρ = 1−cosϕ elma yüzeyinin sınırladıgı hacmi bulunuz.

Çözüm: Küresel koordinat sitemini kullanalım:

V =∫ π

0

∫ 2π

0

∫ 1−cosϕ

0ρ2 sinϕdρdθdϕ

= 2π

3

∫ π

0(1−cosϕ)3 sinϕdϕ

= 8π

çıkar.


40.8 Alıstırmalar

Asagıdaki interallerin integral bölgelerini çiziniz ve interali hesaplayınız.

1. (a) ∫ π/2

0

∫ 2

0

∫ 9−r 2

0r d zdr dθ

(b) ∫ π/6

0

∫ π/2

0

∫ 3

0ρ2 sinφdρdθdφ

2. S bölgesi z = 0 düzleminin üstünde, z2 = 4x2 +4y2 konisinin altında ve

yandan x2 + y2 = 1 sindiri ile sınırlı iseÑS

x2dV


3. ∫ 1

−1

∫ p1−x2

−p

1−x2

∫ 2−x2−y2

x2+y2(x2 + y2)d zd yd x

integralini silindirsel koordinatları kullanarak hesaplayınız.

4. ∫ 1

0

∫ p1−y2

0

∫ px2+y2

x2+y2x y dV

integralini silindirsel koordinatları kullanarak hesaplayınız.

5. ∫ 2

−2

∫ p4−x2

−p

4−x2

∫ p4−x2−y2

0z√

x2 + y2 + z2 d zd xd y

integralini küresel koordinatları kullanarak hesaplayınız.

6. ∫ 3

0

∫ p9−y2

0

∫ p18−x2−y2

px2+y2

(x2 + y2 + z2) d zd xd y


7. Birinci bölgede x2 + y2 + z2 = 4 küresi ile sınırlı S bölgesi üzerindeÑS

ep

x2+y2+z2dV


8. z = 2, z = 4 düzlemleri ile |x| + |y | = 1 silindirinin sınırladıgı hacmi

bulunuz.

9. ∫ 1

0

∫ 1

0

∫ 2−x2−y2

0x yez d zd xd y


Index

d A, 641

d xd y , 641

üç katlı integral, 673

bölünrü, 641

hacim, 673

iki katlı integral, 641

Jacobian, 684

katı cisim, 673

katlı integral, 641

Riemann toplamı, 641

silindir, 678

triple integral, 673

Documents

Kalkulüs - Başkent Üniversitesitkaracay/etudio/ders/math/GenelMath/13mi.pdf · Contents 1 Analiz Ögr˘ etimi 3 1.1 ˙Iki Milenyum Süren Sorunlar . . . . . . . . . . . . .