Click here to load reader
Upload
leonhart-heartily
View
465
Download
118
Embed Size (px)
Citation preview
Kalkulus – 1
MODUL – 9
T U R U N A N LANJUTAN
di x = /2, turunan ini bernilai –6, yang karena itu merupaka kemiringan garis
singgung yang diinginkan. Persamaan garis ini adalah…
y−0=−6 (x−π2 )CONTOH 3 Perhatikan kincir riang (Ferris wheel) yang jari-jarinya 30 kaki,
berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam dengan kecepatan
sudut 2 radian/detik. Sebarpa cepat dudukan pada pelek naik (dalam arah tegak)
pada saat ia berada 15 kaki di atas garis mendatar yang melalui pusat kincir ?
Penyelesaian Kita dapat menganggap bahwa kincir berpusat di titik asal dan
bahwa dudukan P berada di (30, 0) pada saat t = 0 (Gambar 3). Jadi pada saat t,
P telah bergerak melalui sudut 2t radian, sehingga mempunyai koorinat (30 cos
2t, 30 sin 2t). laju pada saat P naik merupakan turunan koorinat tegak 30 sin 2t
diukur pada nilai t yang sesuai. Menurut Contoh 2,
Dx(30 sin 2t) = 60 cos 2t
Nilai t yang sesuai untuk perhitungan turunan ini adalah t = /12, karena 30 sin (2
. /12) = 15. Kita menyimpulkan bahwa pada t = /12, dudukan P naik pada.
60cos (2 . π2 )=60√3/2≈51 ,96 kaki per det ikSekali kita telah mengetahui turunan fungsi sinus dan kosinus, turunan fungsi-
fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan aturan
hasilbagi. Hasil-hasil ini diringkaskan dalam Teorema B. untuk buktinya, lihat
soal-soal 5-8.
Teorema B
Dxtan x = sec2 x Dxcot x = csc2 x
Dxsec x = sec x tan x Dxcsc x = -csc x cot x
Soal-Soal
Dalam soal-soal 1-14, carilah Dxy,
1. y = 2 sin x + 3 cos x 2. Y = sin2 x
3. y = sin2 x + cos2 x 4. Y = 1 – cos2x
5. y = sec x = 1/cos x 6. Y = csc x = 1/sin x
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I 1
7. y= tan x=sin x
cos x 8. y=cos x=cos x
sin x
9. y=sin x+cos xcos x 10.
y=sin x+cos xtan x
11. y = x2 cos x 12. y= x cos x+sin x
x2+1
13. y = tan2 x 14. Y = sec3x
15. Carilah persamaan garis singgung pada y = cos x di x =1
16. Carilah persamaan garis singgung pada y = cot x di y= π4
17. Tinjaulah kincir ria (Ferris whell) pada contoh 3. Pada laju berapakah
dudukan pada pelek bergerak secara mendatar ketia t = /4 detik (yakni,
kapankah dudukan mencapai puncak kincir)?
18. Padang kincir ria berjari-jari 20 desimeter berputar berlawanan arah
perputaran jarum pada kecepatan sudut sebesar 1 radian/detik. Satu dudukan
pada pelek berada di (2-,0) pada saat t = 0.
(a) Berapakah koordinatnya pada saat t = /6?
(b) Seberapa cepatkah kenaikannya (secara vertikal) di t = /6?
(c) Seberapa cepatkah kenaikannya (secara vertikal) pada saat laju
percepatnya?.
19. Carilah persamaan garis singgung terhadap y = tan x pada x = 0
20. Carilah semua titik pada grafik y = tan2 x di mana garis singgungnya
horizontal.
21. Carilah semua titik pada grafik y = 9 sin x cos x di mana garis singgungnya
horizontal
22. Anggaplah f(x) = x – sin x. carilah semua titik pada grafik y = f(x) di mana
garis singgungnya mendatar. Carilah semua titik pada grafik y = f(x) di mana
garis singgungnya memiliki kemiringan 2.
23. Perlihatkan bahwa kurva y = √2sin xdan y=√2cos x Saling berpotongan
tegak lurus pada sebuah titik tertentu dengan 0 < x < /2.
24. Pada saat t detik, pusat sebuah pelampung gabus berada sejauh 2 sin t
centimeter di atas (atau di bawah) permukaan air. Berapakah kecepatan
pelampung pada saat t = 0, /2, ?
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I 2
ATURAN RANTAI
Bayangkan jika anda harus mencari turunan dari
F(x) = (2x2 – 4x + 1)60
Pertama Anda harus mengalikan 60 faktor kuadrat 2x2 = 4x + 1 dan kemudian
mendiferensiasikan polinomial berderajat 120 yang dihasilkan. Atau, bagaimana
dengan mencoba mencari turunan
G(x) = sin 3x
Kita mungkin dapat menggunakan identitas trigonometri untuk mereduksinya
menjadi sesuatu yang bergantung pada sin x dan cos a dan kemudian
menggunakan aturan-aturan dari subbab sebelumnya.
Untunglah terdapat cara yang lebih baik. setelah anda mempelajari
Aturan Rantai, Anda akan mampu menuliskan jawaban.
F’*x0 = 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)
Dan
G’(x) = 3 cos 2x
Aturan Rantai sedemikian pentingnya sehingga Anda akan jarang
mendiferensiasikan fungsi tanpa menggunakannya. Tetapi agar dapat
menyatakan aturan tersebut sebagaimana mestinya, kita perlu menekankan
pentingnya x dalam cara penulsian Dx ini.
Notasi Dx Lambang Dxy harus dibaca “turunan y terhadap x”; mengukur
seberapa cepat y berubah terhadap x. indeks bawah x menunjukan bahwa x
diperlakukan sebagai perubah dasar. Jadi jika y = s2x3, kita dapat menuliskan.
Dxy = 3s2x2 dan Dsy = 2sx3
Dalam kasus pertama, s diperlakukan sebagai konstanta dan x adalah peubah
dasar; dalam kasus kedua, x adalah konstanta dan s adalah peubah dasar.
Contoh berikut merupakan contoh penting. Andaikan y = u60 dan u = 2x2
– 4x + 1. Maka Duy = 60u59 dan Dxu = 4x – 4. Tetapi perhatikan bahwa ketika
mensubstitusikan u = 2x2 – 4x + 1 dalam y = u60, kita dapatkan
y = (2x2 – 4x + 1)60
Dengan demikian cukup beralasan untuk mempertanyakan Dxy. Apa Dxy
bagaimana kaitannya terhadap Duy dan Dxu? Secara lebih umum, bagaimana
Anda mendiferensiasikan suatu fungsi komposit ?
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I 3
Diferensiasi Fungsi Komposit Jika Ida dapat mengetik dua kali lebih cepat
dari pada Tini da Tini dapat mengetik tiga kali lebih cepat dari pada Dono, maka
Ida dapat mengetik 2 . 3 = 6 kali lebih cepat dari pada Dono. Kedua laju tersebut
dikalikan.
Tinjaulah fungsi komposit y = f(g(x). karena turunan menunjukkan laju
perubahan, kita dapat mengatakan
y berubah secepat Duy kali u
u berubah secepat Dxu kali x
Kelihatannya beralasan untuk menyimpulkan bahwa
y berubah secapat Duy . Dxu kali x
Ini memang benar dan kita akan menyarankan suatu bukti dalam subbab
berikutnya. Hasilnya disebut Aturan Rantai.
Teorema A Aturan Rantai
Andaikan y = f(u) dan u = g(x). jika g terdiferenmsiasikan di x dan f
terdiferensiasikan di u = g(x), maka fungsi komposit f o g, di definisikan oleh (f o
g) (x) = f(g(x) terdiferensiasikan di x dan (f o g)’(x) = f’(g(x))g’(x)
Yakni Dx (f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)
Atau Dxy = DuyDxu
Mungkin akan membantu jika anda mengingatnya dengan cara ini;
turunan fungsional komposit adalah turunan fungsi terluar yang dihitung pada
fungsi yang lebih dalam dikali dengan turunan.
Penerapan Aturan rantai Kita mulai dengan contoh (2x2 – 4x + 1)60 yang
diperkenalkan pada permulaan subbab ini.
CONTOH 1 Jika y = (2x2 – 4x + 1)60, carilah Dxy
Penyelesaian Kita memikirkan y sebagai pangkat 60 dari sebuah fungsi x; yaitu
y = u60 dan u = 2x2 – 4x + 1
Fungsi terluar adalah u60 dan fungsi yang lebih dalam adalah 2x2 – 4x + 1, maka
Dxy = Duy ; Dxu
= (60u59) (4x – 4)
= 60(2x2 – 4x + 1)59 (4x – 4)
CONTOH 2 Jika y = 1/(2x5 – 7), carilah Dxy
Penyelesaian Pikirkanlah fungsi tersebut menjadi
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I 4
y= 1
u3=u−3 dan u=2x5−7
Jadi
D x y=Du y . Dxu
= (−3u−4 ) (10x4 )
=
−3u4. 10 x4
=
−30x4
(2 x5−7 )4
CONTOH 3 Jika y = sin (x3 – 3x), carilah Dxy
Penyelesaian Kita boleh menuliskan
y = sin u dan u = x3 – 3x
Karenanya,
Dxy = Dxy ‘ Dxu
= (cos u) . (3x2 – 3)
= [cos(x3 – 3x)] . (3x2 – 3)
= (3x2 – 3) cos(x3 – 3x)
CONTOH 4
Dt ( t3−2 t+1t4+3 )13
Penyelesaian Pikirkanlah hal ini sebagai Dty, dengan menganggap
y=u13 dan u= t3−2 t+1t4+3
Kemudian Aturan Rantai diikuti oleh Aturan Hasilbagi memberikan
Dty = Duy . Dtu
=13u12( t4+3 ) (3 t2−2 )−( t3−2 t+1 ) (4 t3)
(t4+3 )2
=13 ( t3−2 t+1t4+3 )12
.−t6+6 t4−4 t3+9 t2−6
( t4+3 )2
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I 5
Anda akan segera mempelajari untuk membuat pengenalan dalam hati tentang
peubah antara tanpa benar-benar menuliskannya. Jadi seorang pakar segera
menuliskan.
D x(cos3 x )=(−sin 3 x ) . 3=−3sin 3 x
D x (x3+sin x )6=6 (x3+sin x)5 (3 x2+cos x )
Dt ( tcos 3t )
4
=4( tcos3 t )
3cos 3 t−t(−sin 3 t )3cos23 t
=4 t3 (cos3 t+3t sin 3 t )cos53 t
Penerapan Aturan Rantai Lebih dari Sekali Kadang-kadang ketika kita
menggunakan Aturan Rantai pada sebuah fungsi komposit, kita menemukan
bahwa turunan dan fungsi yang lebih dalam juga memerlukan Aturan Rantai.
Dalam kasus seperti ini, kita harus menggunakan Aturan Rantai untuk kedua
kalinya.
CONTOH 5 carilah Dxsin3(4x)
Penyeelsaian Ingatlah bahwa sin3(4x) = [sin(4x)]3, maka kita melihat hal ini
sebagai sebuah fungsi kubik dari x. jadi, dengan menggunakan aturan “turunan
fungsi terluar dihitung pada fungsi yang lebih dalam dikali dengan fungsi yang
lebih dalam”, kita memperoleh
D x sin3 (4 x )=Dx [sin (4 x ) ]
3−1Dx [sin (4 x ) ]
Laku kita menggunakan aturan rantai sekali lagi untuk turunan fungsi yang lebih
dalam Dxsin3(4x) = 2[sin(4x)]3-1 Dxsin(4x)
= 3[sin(4x)]2 cos(4x) Dx(4x)
= 3[sin(4x)]2 cos(4x)4
= 12 cos(4x) sin2(4x)
CONTOH 6 Carilah Dxsin[cos(x2)].
Penyelesaian
Dxsin[cos(x2)] = cos[cod(x2)] . [-sin(x2)] . 2x
= -2x sin(x2) cos[cos(x2)]
CONTOH 7 Saat matahari terbenam dibelakang bangunan setinggi 120 kaki,
bayangan bangunan bertambah. Seberapa cepat bayangan tersebut bertambah
(dalam kaki per detik ketiak sinar matahari membuat sudut /4?. (lihat gambar 1).
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Ir. Sonny Koeswara M.Sc.
KALKULUS I 6