Upload
muhammadridhaalikadir
View
162
Download
19
Embed Size (px)
Citation preview
H W ARE YOU
11/2/201211
H W ARE YOUTO DAY
Garuda dengan sayapmu kibarkan sang merah putih
UMI LEADERSHIP 2010 2014
RectorProf. Dr. Hj. Masrurah Mokhtar, MAProf. Dr. Hj. Masrurah Mokhtar, MA
Vice Rector for Academic AffairProf. Dr. H. Syahnur Said, MSi
UMI LEADERSHIP 2010 2014
Vice Rector for Administration andFinancial AffairFinancial Affair
Dr. Ir. H. Iskandar BP, MSc
Vice Rector for Student AffairProf. Dr. H. Achmad Gani, SE, MSi
UMI LEADERSHIP 2010 2014
MENJADI
SARJANA TEKNIK MESIN DAN PERTAMBANGANUNIVERSITAS MUSLIM INDONESIA
MEMILIKI MOTIVASI & INOVASI BERKELANJUTAN
ANDA MEMULAI NYADARI SINI ?
JUMLAH SKS = 151 SKS
BILA RERATA 20 SKS/ SEMISTER, MAKA
151/ 20= 7,5-8 SEMISTER (3,5 - 4 TAHUN)
ATAU IPK MENCAPAI 3-3,5 DAN RERATA 22-24SKS/ SEMISTER, MAKA
11/2/20128
SKS/ SEMISTER, MAKA
151/24= 7 SEMISTER (3,5-4 TAHUN)
ade2 sudah sarjana
APA YANG PERLU DIMILIKI SEBAGAIMAHASISWA ?
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI8
JENIS MATA KULIAH
1. CIRI KHAS-MULOK
2. DASAR KEAHLIAN
3. KEAHLIAN
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI
9
3. KEAHLIAN
4. PILIHAN KONSENTRASI/ BA
5. KP - KKN
TOTAL 151 SKS
JENIS MATA KULIAH
1. CIRI KHAS-KEUMIAN
2. DASAR KEAHLIAN
3. INTI/ KEAHLIAN
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI
10
3. INTI/ KEAHLIAN
4. PILIHAN KONSENTRASI/ BA
5. KP - KKN
TOTAL 151 SKS
UNTUK MATA KULIAH DENGAN
1. BOBOT 1 SKS DIPERLUKAN WAKTU
TATAP MUKA DI KELAS 1 JAM MATA
KULIAH = 50 MENIT
ALOKASI WAKTU
11/2/201211
2. BOBOT 2 SKS = 100 MENIT
3. BOBOT 3 SKS = 150 MENIT
4. BOBOT 4 SKS = 200 MENIT
5. waktu belajar di rumah minimal
6. 4 5 jam/ hari.2mata kuliah
11/2/2012MAHMUDDIN - TAMBANG UMI11
CARA BELAJAR
KELOMPOK : TERDIRI 4-5 ORANG/ KLP
KELAS : 40 ORG / 10-8 KELOMPOK
- INFORMASI
- SALING MENGUNTUNGKAN
- LEBIH MUDAH - RINGAN
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI12 11/2/201212
- LEBIH MUDAH - RINGAN
- SALING MEMOTIVASI
- SETIAKAWANAN
INILAH YANG PERLU DIMILIKI MAHASISWA ?
- KONSENTRASI
- FOKUS
- PERHATIAN YANG TINGGI
- DEDIKASI
- BERPIKIR LOGIS
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI
13
- BERPIKIR LOGIS
- INOVASI DAN KREATIVITAS
- INTELEKTUAL DAN INTEGRITAS
- MANDIRI DAN KEPERCAYA AN
- KONSISTEN/ PENDIRIAN
- MALU
MATA KULIAH
KALKULUS SATU3TMI622
FAK
ULT
AS
TEK
NIK
UM
IM
AK
AS
SA
R
Dosen Pengampu : MahmuddinNo. HP : 081578897171Pengabdian : Jurusan Teknik Mesin (JTM) UMISub. Pengabdian : Lab. Pengujian Mesin JTM
14
JUR
US
AN
TEK
NIK
MES
INFA
KU
LTA
ST
EK
NIK
SYARAT KELULUSAN NB KEHADIRAN MINIMAL 75% %
TUGAS MANDIRI 15%
UJIAN TENGAH SEMISTER (UTS) I 25%
UJIAN TENGAH SEMISTER II 25%
ME
SIN
UM
IMA
KA
SS
AR
UJIAN SEMISTER (US) 35%
SIKAP-MOTIVASI -+%
Bila nilai UTS baik, bebas US
dengan nilai A
JUR
US
AN
TE
KN
IKM
ES
INU
MIM
AK
AS
SA
R
PERTEMUANAWAL
PENDAHULUAN
Pertama mempelajari KALKULUS I, maka akan timbulbeberapa pertanyaan dalam benak kita diantaranya adalah:
1. Apa yang dimaksud dengan kalkulus
2. Mengapa kita harus mempelajarinya
3. Mengapa kita ingin mempelajarinya3. Mengapa kita ingin mempelajarinya
4. Bagaimana hubungan dengan ilmu-ilmu lain yang pernahkita pelajari maupun kaitannya dengan kenyataan-kenyataan yang ita hadapi sehari-hari
5. Apa manfaat mempelajarinya
Persamaan Linear dan PersamaanLinear Simultan
Persamaan dan identitas
` Persamaan adalah pernyataan kasamaan antara dua ekspresialjabar yang cocok untuk bilangan nilai variabel tertentu atauvariabel yang diketahui, dan penyelesaian persamaan adalahdengan proses menentukan nilai tertentu ini.. Jika pernyataan
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI27
persamaan benar untuk semua nilai yang tidak diketahui,pernyataan itu identitas.
Contoh:
(x2 y2)=(x y)(x + y) benar untuk semua nilai x dan y danidentitas.
(a + 3)2 = a2 + 4a + 17 adalah persamaan benar hanya jika a=4
(a + 3)2 = a2 + 6a + 9 adalah identitas, benar untuk semua nilai a.
Persamaan Linear (PL)PL mencakup hanya satu variabel yang tidak diketahuidengan pangkat tidak lebih tinggi daripada yang pertama. PLjuga diacu sebagai persamaan sederhana.
Solusi persamaan sedehana
- Penyederhanaan persamaan pada masing-masing ruaspersamaan yang mengandung persamaan dalam bentuk,
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI28
(ax + b) = (cx + d) menghasilkan (ax cx) = (d b) dansehingga diperoleh x = (d b)/ (a c)
11/2/201228
Contoh lainadalah:
Persamaan yang dianggap bukan persamaan yangsederhana seringkali dikembangkan menjadi persamaan
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI
29
sederhana seringkali dikembangkan menjadi persamaansederhana selama penyederhanaan. Misalnya adalah:
X= -1
Dengan x= -1 saudara mencek hasil dengansubtitusi harga x ke persamaan yang dimaksud
Dengan cara yang sama selesaikan persamaan ini:
Diperoleh:
Dengan persamaan sederhana mencakup pecahanaljabar, langkah pertama adalah untuk pengeliminasipenyebut dengan mengalikan semua dengan kelipatanKPK (persekutuan terkecil penyebut)KPK (persekutuan terkecil penyebut)
Contoh:
KPK 2, 3, 4dan 6
adalah 12
Lakukan ini dengan cara yang sma
KPK penyebut adalah x(x - 3)(x - 5)
Perdengarkanlah suaramu bila berbisik ?
Kerjakan dengan cara sama:
begini caranya ya ha ha ha ?
Tak kusangka dia datang ?
Persamaan linear simultan dengan dua anu
Persamaan linear simultan adalah persamaan dengan duavariabel atau lebih persamaan dengan bilangan yangsama adalah bilangan variabel yang terhadap diperlukanuntuk mencapai jawabannya.
Ada dua metode penyelesaikan persamaan ini :
siapapun dia ?
1. Solusi dengansubtitusi Selesaikan persamaan berikut ini
1
2
Jika x=4 disubtitusi kepersamaan asal lain, misalnya.
Dengan demikian kita mempunyai x= 4 dan y= -3.Sebagai cek bahwa nilai x tersebut disubtitusi ke persamaan
Aku tetap di hatimu ha ha ha
Sebagai cek bahwa nilai x tersebut disubtitusi ke persamaan1 atau 2.
Dan hasilnya adalah :
Maka, x= 4 dan y= -3 adalahsolusi yang diperlukan.
X= 4
X= -3
Kerjakan dengan cara sama:.
1
2
1. Solusi dengankoefisien persamaan
Solusi ini lebih sederhana, yakni jika mengalikan persamaan (1)dengan koefisien y dari persamaan (2) dan mengalikanpersamaan (2) dengan koefisien y dari persamaan (1). Ataudengan koefisien dari x
1
2
Catatan boys:
Bahwa jika suku y dan x mempunyai tanda yang sama, memangkita dapat mengurangkan satu baris dari yang lain untukmengeliminasi satu variabel.
SOLUSINYA ADALAH,
mengeliminasi satu variabel.
Contoh lain1
2
Solusinya adalah,
Solusinya adalah,
Kerjakan sepeti sebelumnya
Persamaan linear simultan dengan tiga anu
Dengan tiga anu, maka diperlukan tiga persamaan yangDengan tiga anu, maka diperlukan tiga persamaan yangmengandung jawaban yang diperlukan. Metodepenyelesaiannya adalah pengembangan dari penyelesaiandengan dua anu.. ?
Solusinya adalah,
Contoh :
Lakukan ujiterhadap
persamaan (1),(2) atau (3)
solusinya apa ?solusinya apa ?
Contoh lain:
Jangan merasa pintar dan tahu ?
Penyederhanaan awalBila ditemukan suatu persamaan seperti berikut, makadisederhanakan terlebih dahulu sehingga diperolehpersamaan yang lebih sederhana.
Untuk x= 3 disubtitusi ke persamaan (3) atau (4) dandiperoleh y= 5. Selanjutnya cek dengan subtitusikan nilai xdan y dan hasilnya bagaimana ?
Contoh berikutmengingatkanmemory lagi
KPK = 20
KPK = 12
Dengan metode subtitusiatau koefisien
Telah berlalu ?
LATIHAN SOAL-SOALSelesaikan persamaan linear berikut
Selesaikan persamaan-persamaan simultanberikut
Dengan subtitusi
Dengan eliminasi
Masih ingatkah ?
Selesaikan kelompok tiga persamaan dengan tiga variabel takdiketahui
Sederhanakan dan selesaikankelompok persamaan simultanberikut.berikut.
Adakah dihatimu ?
Selesaikan persamaan berikut.
Mestinya bisa ?
Lanjutan.
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI
48
Tak kusangka dia ?
Selesaian persamaan simultan.
Selesaian pasangan persamaan ini.
Insy
aA
llah
?
Selesaian.
Insy
aA
llah
?
PER TEMU ANKEDUA
11/2/2012TEKNIK MESIN - PERTAMBANGAN BY MAHMUDDIN50
KEDUAbahasan : persamaan parsialdilanjutkan limit, diferensial
PECAHAN PARSIAL
Untuk menyederhanakan persamaanaritmatika yang terdiri bilangan pecahanpertama-tama kita konversi pecahanmasing-masing ke bentuk baru yangmasing-masing ke bentuk baru yangmempunyai penyebut persekutuan yangadalah KPK penyebut individu
MARI KITA SIMAK CONTOH BERIKUT INI
kita lihat ilustrasi ini
Bahwa pecahan aljabar dapat dikombinasikan denganmengkonversi ke penyebut baru yang adalah KPK penyebutmasing-masing. Contoh.
KPK penyebut adalah [x 3][x 1]
Dalam praktek, proses kebalikan sering diperlukan yaitu yang dinyatakan denganpecahan aljabar yang ada, kita perlu menunjukkan sebagai bilangan pecahankomponen yang paling sederhana.
dari contoh sebelumnya jelas bahwa, pada kasus ini
(2x2 - 20x - 58)/ (x3 + 3x2 6x 8) = [3/ (x+4) 5/ (x2) + 4(x+1)]Tiga pecahan sederhana pada ruas kanan disebut pecahanparsial persamaan di ruas kiri dan kita harus melihat bagaimanaini diperoleh jika kita tidak mempunyai bentuk fungsi aslinya.Sekarang kita perhatikan kasus sederhana dan proses tahappertahappertahap
1. Tahap pertama adalah mencek bahwa pembilang fungsi yangdiberikan mempunyai derajat lebih rendah daripadapenyebutnya. Jika tidak pembilang harus dibagi denganpenyebutnya. Sebagai contoh, [3x2 - 10x - 4] / [x2 - 6x + 8],pembilang mempunyai pangkat tidak lebih kecil dari penyebut.Sehingga, kita membagi.
Buka lembar berikut
2. Kemudian kita faktorkan penyebut ke faktor-faktor primanya. Ini
288 x
3
24183
4103862
22
xx
xxxx
2. Kemudian kita faktorkan penyebut ke faktor-faktor primanya. Inipenting ketika faktor yang dimiliki menentukan bentuk pecahanparsial
..............862 xx
Lembar berikutnya simak lanjutan soal ini
Setiap faktor linear (ax + b) pada pecahan memberikanpecahan parsial bentuk [A/ (ax + b)], dengan A konstan untukditentukan.
Jadi.
42288
86
2882
xx
x
xx
x
42862 xxxx
Jadi.
Selanjutnya, kalikan kedua ruas dengan penyebutnya(x - 2)(x - 4) yang menghasilkan ..
.
4286
2882
x
B
x
A
xx
x
PERHATIKAN ke lembar berikutnya
lanjutan lembar sebelumnya
Perhatikan aturan 2 dan 3
Ini adalah identitas dan benar untuk semua nilai x. Sangat mudah memilih nilai xyang membuat salahsatu kurung menjadi nol. Sebagai contoh, denganmenerapkan x= 4 memberikan . Lembar berikutnya ?
Dari persamaan ini,
Bahwa untuk x= 4, maka B= 2 dan untuk x= 2, maka A= 6.dengan demikian dapat dituliskan bahwa persamaan awalberubah menjadi:
SIMAK ATURAN PECAHANPARSIAL
42288
386
2883
86
410322
2
xx
x
xx
x
xx
xx
4
2
2
63
86
41032
2
xxxx
xx
ATURAN PECAHAN PARSIAL
1. Pembilang fungsi yang duberikan harus berderajatlebih rendah daripada penyebutnya. Jika tidak kitakemudian membanginya dengan pembagianpanjang untuk mendapat polinomial dan sisanyadibagi penyebut yang dapat ditunjukkan sebagaipecahan parsial.pecahan parsial.
2. Faktorisasikan penyebut ke dalam faktor prima. Itumenetukan bentuk pecahan parsial yang dipunyai.
3. Faktor linear (ax + b) memberikan pecahan parsialberbentuk [A/ (ax + b)].
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN59
4. Ulangi faktor (ax + b)2 memberikan pecahan parsial
[ A/ (ax + b) ] + [ B/ (ax + b)2]
5. Serupa dengan di atas (ax + b)3 memberi[ A/ (ax + b) ]+ [ B/ (ax + b)2 ] + [ C+/ (ax + b)3 ].
6. `Sebuah kuadrat irreducibel yaitu faktor kuadratik yangtidak dapat difaktorkan lebih lanjut ke faktor linear(ax2 + bx + c) memberikan pecahan parsial,
[ Ax + B ] / [ ax2 + bx + c ]
7. Ulangi faktor kuadratik tipe yang sama, (ax2 + bx + c)2,memberi pecahan parsial,
[Ax + B]/ [ ax2 + bx + c ] + [Cx + D]/ [ ax2 + bx + c ]2
BEBERAPA CONTOH LEMBAR BERIKUT :
aturan 1lanjutkanaturan 2
dan 3
1. Pembilang fungsi yang dIberikan harus berderajat lebihrendah daripada penyebutnya. Jika tidak kita kemudianmembanginya dengan pembagian panjang untukmendapat polinomial dan sisanya dibagi penyebut yangdapat ditunjukkan sebagai pecahan parsial.
Nyatakan dalam pecahan paersial.Pertimbangan pertama adalah pembilangderajat yang lebih rendah daripada penyebutnya
dapat ditunjukkan sebagai pecahan parsial.
Jadi, kita harus membagi dengan pembangian panjang berikut.
2. Faktorisasikan penyebut ke dalam faktor prima. Itumenetukan bentuk pecahan parsial yang dipunyai.
3. Faktor linear (ax + b) memberikan pecahan parsialberbentuk [A/ (ax + b)].
sehingga penyebutnya (x2 2x 3) diuraikanmenjadi (x + 1)(x - 3), selanjutnya diperoleh.
langkah selanjutnya dibuat menjadi
dengan menyamakanruas kiri dan kanan,adalah
setelah menyamakan ruas kiri dan kanan, kumpulkansemua suku yang sama dan diperoleh nilai A dan Bseperti berikut.
subtitusi nlai A dan B kedalam persamaan akandiperoleh
diperoleh penyelesaianberikut ini
Solusi dari pecahan parsial adalahSolusi dari pecahan parsial adalah
Contoh lain:ingat kembali:
Pembilang fungsi yang diberikan harusberderajat lebih rendah daripada penyebutnya.Jika tidak kita kemudian membanginya denganpembagian panjang untuk mendapat polinomialdan sisanya dibagi penyebut yang dapatditunjukkan sebagai pecahan parsial.
perhatikan aturan 2 dan 3selanjutnya, penyebutnya diuraikan menjadi
aturan 3 dituliskanaturan 3 dituliskan
penyelesaiannya
Nomor 4
Nomor 5
Subtitusi hargaA dan B
Nomor 6
Subtitusi hargaA dan B
Nomor 7
Subtitusi hargaA dan B ke
persamaan awal
Nomor 8
Subtitusi hargaA dan B ke
persamaan awal
Untuk kasus ini adalah pembilang berderajat lebih rendah daripadapenyebutnya jadi, pembagian mula-mula tidak diperlukan.
Namun, perhatikan bahwa penyebut mengandung faktor kuadrat yangtidak dapat difaktorkan lebih lanjut menjadi faktor linear uji yang umummengkonfirmasikan, untuk yang tidak
Selesaikan dalam pecahanparsial berikut,
Nomor 9
kuadrat sempurna. Seperti telah disebutkan dalam satuan sebelumnya,faktor kuadrat yang tidak teratur memberikan
pecahan parsial
jadi
Mari kita bersama-samamesyimak caranya ...
Kalikan semuanyadengan penyebut
Selanjutnya, kumpulkan semua suku diruas kanan menghasilkan,
Hal ini adalah identitas, jadi dapat menyamakan koefisien sukudi masing-masing ruas,
Suku konstan
Dari persamaan(1) dan (2)
Subtitusi B dan C ke persamaan (3),akan diperoleh harga A !
Subtitusi di dalam (1)
Subtitusi di dalam (3)
Harga A= 4, B= 3dan C=-2
menghasilkan,
Selesaikan dalambentuk pecahan parsial
Nomor 11
Sekarang, untuk faktor
yang bukan kuadrat sempurna, adalah tak teratur
Pecahan parsial akan berbentuk ?
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN79
Pecahan parsial akan berbentuk ?
Hasilnya adalah,
Suku konstan
Subtitusi ke (1) dan (2) memberikan B= 1 dan C= 4
harga A, B dan C yang telah diperoleh disubtitusike persamaan awal yaitu:
11/2/2012
Kasus berikuk adalah dengan memakai kembali faktorpenyebut yang dihitung,
memberikan pecahan parsial
dan memberikan
Contoh: selesaikan dalam bentuk pecahanparsial
Diubah dalam bentuk
Kemudian kalikan semuanya dengan penyebut asli,hasilnya adalah:
Sekarang samakan koefisien dan A dan B ditemukan,
Dengan cara sama selesaikan dengan pecahan parsial
Hasilnya ini
menyamakankoefisien sukusama, dan diperolehA, dan B
Subtitusi harga A= 7dan B= 9, maka
Hasilnya ini
Di sini,
Evaluasikoefisien
Sekarang samakan koefisiendan A dan B ditemukan
Dengan mensubtitusi harga A= 2 dan B= -3 dan C= 7,maka
Solusinya ini
Dengan cara sama selesaikan dengan pecahan parsial
Tunjukkan dalam pecahan parsial,
Untuk hal berikut mempelajari kasus dengan penyebut adalahpetrsamaan kubik dengan faktor linear yang berbeda.
Kalikan dan kumpulkan suku sejenis, dan ..
Menyelesaikan tiga persamaan simultan dan memberikannilai A, B dan C.
Suku konstan
menyamakankoefisien
(4)
(5)
Sekarang dapat menyelesaikan (4) dan (5) untukmenentukan A dan B dan kemudian subtitusikanke (1) untuk mencari C, akhirnya.
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN89
Perhatikan cara menyelesaikan pemecahan parsial ini ?dan hasilnya adalah,
Contoh terakhir ini, penyebut telah diselesaikan denganbaik sebagai produk tiga faktor linear. Ini juga baik untukpersamaan kubik yang dalam kasus faktorisasi harusdiselesaikan menggunakan teorima sisa sebelum progresselanjutnya dapat dibuat. Di sini kemudian contoh ini yangmembawa ke puncak program ini.
Tentukan pecahan parsial
Pertama bahwa tidak ada pembagian awal yangdiperlukan kemudian harus faktorisasikan penyebut kefaktor primanya seperti pada contoh sebelumnya.
Jadi, menerapkan f(x) = x3 4x2 +x + 6, kita dapatditentukan tiga faktor linear f(x) jika ada. Jawabannyaadalah ..
bukan faktor
faktor f(x)
Dan sekarang ikuti selanjutnya !
Suku konstan
menyamakankoefisien
hanya untuk mengingat contoh2 penyelesaianlembar sebelumnya
Jangan sia-siakan haribaikmu
SOAL DI BAWAH INI UNTUK LATIHAN DIRUMAH KOST ?
DAN INI PP-NYANYATAKAN DALAMBENTUK PP
berpikirlah secara sistematis
SO
AL
INID
IRU
MA
HN
YATA
KA
NP
EC
AH
AN
PAR
SIA
LK
ER
JAK
AN
SO
AL
-SO
AL
INID
IRU
MA
HN
YATA
KA
NP
EC
AH
AN
PAR
SIA
L
Semoga anda terbaik
PER TEMU ANKE-tiga
11/2/2012TEKNIK MESIN - PERTAMBANGAN BY MAHMUDDIN
KE-tiga
99
bahasan : limit, diferensialdilanjutkan integral
Limit fungsi adalah bagian dari materi pengantarkalkulus terutama bahasan diferensial dan integralDasar-dasar limit dirumuskan oleh seorang ahlimatematika dari Perancis, Augustin-Louis Cauchy(1789-1857).
LIMIT FUNGSI
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - PERTAMBANGAN100
(1789-1857).
Pengertin limit fungsi dengan limit kiri dan limitkanan, pengertian limit fungsi untuk xa danx.
Di dalam bahasan ini mencakup: (1) limit fungsialjabar (2) limit fungsi trigonometri.
LIMIT FUNGSI ALJABAR
Perhatikan beberapa ungkapan di bawah ini,
Pemberantasan korupsi di Indonesia mendekati sepurna.
Rancangan tentang revisi UU KPK hampir saja disetujui
Nilai rata-rata kelas M1-TB1 untuk MT kalkulus satu hampir sajasama nilai rata-rata kelas TB2.sama nilai rata-rata kelas TB2.
Pencemaran udara di kota Makassar sedikit lagi ambang batas.
Hampir saja pernikahan ini batal
dari kata-kata tersebut seperti sedikit lagi, hampir saja, mendekati,hampir sama dapat dianalogikan dengan pengertiIan L I M I Tdalam kalkulus.
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI101
Bila seorang raja menceritakan sesuatu kepada rakyatnyaadalah bijaksana bila untuk bersikap ragu-ragu. Tetapi jugadengan sikap bijksana pula untuk tidak menerimapernyataan raja sebelum memeriksanya. Untukmembuktikan sesuatu haruslah kita memahami arti kata-kata yang digunakan dengan sejelas-jelasnya. Terutamayang menyangkut limit, karena kalkulus semuanya
Cerita pendek
yang menyangkut limit, karena kalkulus semuanyaberstandar pada arti dari kata tersebut.
Untuk menyatakan limitxxo f(x)= M berarti bahwa selisihantara f(x) dan M dapat dibuat sekecil mungkin denganmensyaratkan bahwa x cukup dekat tetapi tidak samadengan xo.
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI102
Bahwa f(x) berbeda dari M lebih kecil dari sama sajadengan mengatakan
f(x) - M<
M - < f(x) < M +
Limit : Mengatakan bahwa limxxo f(x) = M berarti bahwa untuksetiap 0 yang diberikan (betapapun kecilnya), terdapat 0yang sedemikian sehingga f(x)M asalkan bahwa0x xo , yakni0x xo , yakni
0 x - xo<
f(x) - M
Perhatikan bahwa: x - xo< akan memberikan selangxo - < x < xo + , sedangkan 0
mari bersama-sama membaca ungkapan ini:
Bila m adalah peubah real dan a adalah konstantareal. Kalau m mendekati nilai a, maka prosespendekatan ke nilai a dilakukan dari dua arah,yakni:
1. m mendekati a dari arah kiri, ditulis ma-
a
x
2. m mendekati a dari arah kanan, ditulis ma+
a
x
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI104
ma+
ma-
Disimpulkan bahwa
Teorema limit utama. Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan gadalah fungsi-fungsi, yakni f(x) dan g(x) yang mempunyai limit di xo. Maka,
1. Lim xxo k = k
2. Lim xxo x = xo
3. Lim xxo kf(x) = k lim xxo f(x)
4. Lim xxo [f(x) +g(x)] = lim xxo f(x) + lim xxo g(x)4. Lim xxo [f(x) +g(x)] = lim xxo f(x) + lim xxo g(x)
5. Lim xxo [f(x)-g(x)] = lim xxo f(x) - lim xxo g(x)
6. lim xxo [f(x).g(x)] = lim xxo (fx). lim xxo g(x)
7. Lim xxo [f(x)/g(x)] = lim xxo f(x)/lim xxo g(x) asalkan lim xxo g(x) 0
8. lim xxo [f(x)]n = [lim xxo f(x)]
n
9. lim xxof(x) = lim xxof(x) asalkan lim xxo f(x)0 bilamana n genap
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN TAMBANlG UMI105
n n
Contoh:
1. Limitx3 2x4 = 162 (x=3 subtitusi ke x)
Caranya, = 2 lim x3 [limx3 x]4 = 2[3]^4=162
2. Limx4 (3x2 2x)
limx4(3x2 - 2x) = limx4 [3x
2] - limx4[2x]
= 3 limx4[x2] - limx4 [2x] = 3 [limx4 x]
2 2 limx4 [x]
= 3 [4]2 2 [4] = 40= 3 [4]2 2 [4] = 40
3. limx4 [x2 9]/ x =
= limx4 [x2 9]/x = limx4[x
2 9]/lim x4 [x]
= limx4[x2 9]/4 = {limx4[x
2 9]}
= [limx4 (x2) limx4 (9)] = {[limx4 (x)]
2 + 9} = 5/4
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI106
3. Limx-1[x2 + 6x + 9] = [1 6 + 9] = 4
4. Limx2 [x2 -1][x -3] = limx2[x
2 1] Lim x2[x 3]
= [4 1][2 3] = -3
5. Limx5 [x2 25]/[x 5] = limx5 [(x 5)(x + 5)]/(x 5)
= limx5 [x + 5] = 10
6. Lim [x + 2]/ [x2 16] = . Tidak ada limit6. Limx4 [x + 2]/ [x2 16] = . Tidak ada limit
7. Limx 1 [x2 x 2]/ [x2 1] = .. . . Tidak ada limit
8. Limx 1 [x3-3x2-9x+5]/[x4-2x3+4x2-6x+3]
= limx1 [(x - 1)2 (x + 5)]/[(x - 1)2(x2 + 3)]
= lim x 1 [x + 5]/[x2 + 3] = 3/2
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI107
9. Limxa [a + 2x 3x]/[ 3a + x 2x, dengan a0
= limxa [a + 2x 3x]/[2a + x - 4x] . [3a + x + 2x]/
[a+2x + 3x]
= limxa [(a x)/(3a -3x)] . [(3a + x + 2x)/
(a + 2x + 3x)]
= 1/3 [4a/ 23a] =2/33= /3 [4a/ 23a] = /33
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI
108
Kalkulus adalah Logika, makabelajarlah dengan logika .. boy 2012
Membagi dengan pangkat tertinggi
bila f(x)/g(x) dapat dihitung dengan cara membagi f(x)dan penyebut g(x) dengan xn, dengan n adalah pangkattertinggi dari f(x) dan g(x)..
Contoh.
Hutunglah tiap limit fungsi berikut
1. Lim (4x-1)/(4x + 4) = Lim (4x/x -1/x)/(4x/x -4/x)1. Limx (4x-1)/(4x + 4) = Limx(4x/x -1/x)/(4x/x -4/x)
= [4 1/x]/[4 -4/x] = 1
2. limx (2 x2 x + 2)/(x2 + 7x + 7)
= limx (2x2/x2 x/x2 +2)/(x2/x2 + 7x/x2 +7/x2)
= (2 1/x +2/x2)/(1 + 7/x + 7/x2) = 2
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI109
3. Limx(x-5)/ (2x + 4)
4. Limx (2x2 + 3x + 2)/(2x- 10)
5. Limx (4x2 -4x +3)/( x2 x +2)
6. Limx (2x2 -2x +2)/(x2)
7. Limx (2x 2)2/ (x + 1)2
8. Limx (2x 1)3/ (x 2)(x2 + x + 1)8. Limx (2x 1) / (x 2)(x + x + 1)
9. Limx (2x + 4)2/(x4)
10. Limx (8x3 + 4x2 + x +2)/(16x3 + 3x2 + 7x + 1)
11. Limx (x + 4)4/(x4 + 4)
12. Limx (x2 + 3x + 2)/ (x + 1)2
13. Limx (x2 + 2x)2/(x4 + 4)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANGUMI
110
Mengalikan dengan faktor lawan
bila f(x)-g(x) dapat dihitung dengan caramengalikan dengan [f(x)+g(x)]/[f(x)+g(x)]sehingga bentuk limit dan akan menjadi.
Limx[f(x)g(x)] x [f(x)+g(x)] / [f(x)+g(x)]
=Lim [f2(x)+g2(x)] / [f(x)+g(x)]=Limx [f2(x)+g2(x)] / [f(x)+g(x)]
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI111
Contoh:1. Limx [(x+2)] [(x+1)] = Limx [(x+2)] [(x+1)] x [(x+2)]
+ [(x+1]) / [(x+2)] + [(x+1)]Limx (x+2) (x+1)/ [(x+2)] + [(x+1)]Limx 1/ [(x+2)] + [(x+1)] dibagi x
2. Limx [(x2+3x-4)] [(x2-x+2)]
Limx [(x2+3x-4)] [(x2-x+2)] x [(x2+3x-4)] + [(x2-x+2)] /
[x2+3x-4] + [x2-x+2]
Limx (1/x)/ [(1 + 2/x)]+ [(1 + 1/x)]
= 0/ [1+0] + [1 + 0] = 0
[x2+3x-4] + [x2-x+2]
Limx [4x 6] / [(x2 + 3x 4)] + [(x2 - x + 2)]
Selanjutnya akan dibagi dengan x, hasilnya adalah
Limx [4 6/x] / [(1 + 3/x - 4/x2)] + [(1 1/x 2/x2)]
Untuk x, akan diperoleh
= 2 = 211/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI112
Limx [(2x2 - x + 1)] [(x2 + 3x 1)]
Limx [(2x2 - x +1)] [(x2 + 3x 1)] x {[2x2 - x +1]
+ [(x2 + 3x 1)]/ [(2x2 - x +1)] + [(x2 + 3x 1)]}
Limx [x2 - 4x + 2] / [(2x2 - x +1)] + [(x2 + 3x 1)]
Selanjutnya akan dibagi dengan x2
Lim [1 4/x + 2/x2]/ [(2/x2 1/x3 + 1/x4)] +Limx [1 4/x + 2/x2]/ [(2/x2 1/x3 + 1/x4)] +
[1/x2 + 3/x3 1/x4)], subtitusi x
= [1 0 0]/ [(0+0+0)] + [(0 + 0 + 0)], hasilnya adalah:
= (tidak ada limit)
Contoh-contoh di atas membuka memori untuk penyelesaian soal selanjutnya
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI113
TURUNAN
(DERIVATIVE)(DERIVATIVE)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI114
TURUNAN (DERIVATIVE)
Turunan Fungsi Aljabar
Definisi: Bila y =f(x) adalah suatu fungsi variabel x, danbila,
dy/dx = lim x0 [y/x], atau berarti
f1(x) = lim [f(x + x) f(x)]/x
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI115
f1(x) = limx0 [f(x + x) f(x)]/x
ada dan tidak terbatas, maka limit tersebut dinamakanturunan atau derivative dari y terhadap x dan f(x)dikatakan fungsi dari x yang dapat diturunkan(diffrentiable).
11/2/2012115
Secara geometri dapatdigambarlan sebagai berikut.
P(x0,y0) titik sembarang pada grafikpada y = f(x) dan Q(x1,y1) titik yanglain juga terletak pada y = f(x)sedangkan hubungan antara P danQ diberikan
y= f(x)
y
y
Qy1
y Q diberikan
x1 = x0 + x, maka x = x1 - x0y1 = y0 + y, maka y = y1 - y0x = PR dan y = RQ, berarti dariP ke Q, bila x0 bertambah x, makay0 juga bertambah y.
x
x1 xxo
P Ry0
Koefisien arah (slope) garis sekans yang menghubungkantitik P dan Q adalah
m = [y1 y0]/ [x1 x0] = y/x
= f(x0 + x) f(x0)/ x
Bila, P(x0,y0) titik tetap, sedangkan Q(x1,y1) adalah titik yangberjalan sepanjang grafik menuju P, maka dalam keadaan
limit, berarti x0 akan memberikan koefisien arah garisselama berubah menjadi koefisien arah garis singgungpada grafik di titik P (mtg).
mtg = limQP m = limx0y/x
= limx0 [f(x0 + x) f(x0)]/ [x]
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI117
Bukti: bila y = c, c adalah konstanta
Maka untuk x = xox = xo + x
Harga y adalah tetap sama dengan c,
y=c
x
y
Teori (1). Turunan dari suatu konstanta sama dengannol (zero).
Harga y adalah tetap sama dengan c,
Maka. y = c
y + y = c
Dibagi dengan x, maka
y/x = 0
dy/dx = limx0 [y/x] = 011/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI118
x
x1 xxo
y = 0
Teori (2).Turunan y = xn terhadap x sama dengan nx(n-1), dimana nbilangan bulat positif.
Bukti: Dengan rumus Binomial, maka
y + y = (x + x)n
x + x n = 1
x2 + 2x (x) + (x)2 n = 2
x3 + 3x2 (x) + 3x (x)2 + (x)3 n = 3
xn+ nxn-1 (x) + (suku-suku dalam x dan x (x)2 n 3xn+ nxn-1 (x) + (suku-suku dalam x dan x (x)2 n 3
Karena y = xn, maka
x n = 1
2x (x) + (x)2 n = 2
3x2 (x) + 3x (x)2 + (x)3 n = 3
nxn-1 (x) + (suku-suku dalam x dan x).(x)2 n 3
++
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI119
y
Dibagi dengan x
1 n = 1
2x + x n = 2
3x2 + 3x(x) + (x)2 n = 3
nxn-1 + (suku-suku dalam x dan x).(x)2 n 3
Dengan pengertian Limit untuk x0, maka diperoleh turunan
y/x
Dengan pengertian Limit untuk x0, maka diperoleh turunan
1 n = 1
2x n = 2
3x2 n = 3
nxn-1 n 3
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI120
dy/dx
Teori: Bila U = f(x) adalah fungsi dari x yang dapat diturunkan, ckonstanta, maka.
d c U/dx = c dU/ dx
Bukti, misal y = c U, dimana U = f(x)
Maka, y + y = c(U + U), dimana U + U = f (x +x)
Jadi, y = c (U+U) c U = c (U) =
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI121
Jadi, y = c (U+U) c U = c (U) =
y/x = c (U/x)
dy/dx = limx0 y/x = limx0 c(U)/x
= c limx0 U/x = c (dU/dx)
y= c U dy/dx = d c U/ dx = c (dU/dx)
Dengan demikian bahwa. Bila U = xn, dan
y = cxn, n adalah bilangan bulat
dy/dx = cnxn-1
Contoh; y = 10x3, y = 3x4 + 4x3 + 2x2 + 3x + 8
y = 3x10, y = 4x3 + 3x2 + 3x2 + 4x +7
Jadi, bila y = xn, n bilangan bulat positif, maka
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI122
Jadi, bila y = xn, n bilangan bulat positif, maka
dy/dx= nxn-1, Sehingga dy/dx disebut turunan pertama dari y= f(x) terhadap x, besarnya juga diberi simbol y, d/dx f(x),f(x) atau Dy.
1. contoh: y = x5, y = x6, y = x2 + x + 6,y = x3 + x2 + x + 4, y = x4 + x3 + x2 + x + 4
perhatikan, y = (a + b)n
perhatikan grafik sebelumnya
x0, maka diperoleh y/x = dy/dx adalah: dy/dx = nxn-1
Simak cara ini : TURUNAN fungsi berikut:
Bila y= x2, maka
y + y = (x + x)2
y + y = x2 + 2x.x + x2
Karena y = x2, disubtitusi ke...,diperoleh y =2x.x +(x)2
y/ x = 2x +(x)y/ x = 2x +(x)
karena x0,
y/x = dy/dx = 2x
bila, y = x2 maka dy/dx = 2x
dy/dx adalah gradien garissinggung kurva y = x2
y = x3
y + y = (x + x)3
y + y = (x3 + 3x2x + 3x x2 + x3)
Karena, y = x3, maka diperoleh
y = 3x2 x + 3x x2 + x3, dan
Bagaimana bila fungsi
yang diberikan, y = x3
y = 3x x + 3x x + x , dan
y/x = 3x2 + 3x x + x3/x
x0, maka
y/x = 3x2, y/x= dy/dx = 3x2
Bila y =x3, maka dy/dx = 3x2
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI125
Bila y = 4x2 + 7Misalkan, y = ax2 + b perhatikan grafik sebelumnya
y + y = a (x + x)n + b
y + y = a [(xn +nx(n-1)(x) + a[n(n-1)/2!][x(n-2)(x)2] + a[n(n-1)(n-2) /3!] [xn-3 (x)3]+ + (b) dengan, y = axn + b
y = anx(n-1)(x) + a[n(n-1)/2!][ x(n-2)(x)2] + a[n(n-1)(n-2)/3!]y = anx (x) + a[n(n-1)/2!][ x (x) ] + a[n(n-1)(n-2)/3!][xn-3 (x)3]+ .
y/x = anx(n-1)+ a[n(n-1)/2!] [ x(n-2)( x)]+a [n(n-1)(n-2)/3!] [xn-3
(x)2]+ .
x0, maka y/x) = anx(n-1) + 0 + 0 + 0 +.
y/x) = dy/dx = anx(n-1)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI126
Untuk, y = (4x2 + 7)
y + y = 4 (x + x)2 + 7
y + y = 4 [(x2 +2x(2-1)(x) + 4[2(2-1)/2!][ x(2-2)(x)2] + 7
dan y = 4x2 + 7
y = 4 [2x(2-1)(x) + 4[2(2-1)/2!][x(2-2)(x)2]
y/x = 8x+ 8/2[ x0)(x)2]y/x = 8x+ 8/2[ x0)(x)2]
untuk x0, diperoleh hasil
y/x = 8x+ 8/2[x0 (x)2]
Jadi, y/x = dy/dx = 8x
Bila y = 4x2 + 7, dy/dx = 8x
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI127
Teori. Turunan dari jumlah fungsi-fungsi yang dapat diturunkansama dengan jumlah turunan dari masing-masing fungsi berikut.
U + U = f(x + x) dan
V + V = g(x + x) Dan bila y = U + V, maka
y + y = (U + V) + (V + V) dan
Turunan dengan penjumlahan dan pengurangan fungsi
y + y = (U + V) + (V + V) dan
y = U + V
Bila masing-masing ruas dibagi dengan x, maka diperoleh
y/x = U/x + V/x
Keadaan limit untuk x0
limit y/x = lim U/x + lim V/x11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI128
Maka menurut definisi, bahwa dy/dx = dU/dx + dV/dx Akibat daripersamaan ini, Bila U, V, W . Z masing-masing fungsi xyang dapat diturunkan, dan bila
y = U + V + W + Z, akan diperoleh turunanpertama dari fungsi ini adalah
dy/dx = dU /dx + dV/dx + dW/dx + .. dZ/dx
Masing-masing diberikan, U= x2 + 3x +5 dan V= x3 + 4x2 + 4x + 7,maka , dU/dx = 2x + 3 dan dV/dx = 3x2 + 8x + 4, dengandemikian akan diperoleh
dy/dx = [2x + 3] + [3x2 + 8x + 4]
= [3x2 + 10x + 7]
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI129
Atau juga dalam bentuk lain, yakni bila
Z= U+V, dengan U dan V adalah fungsi x, ditulis dalam U = f(x)dan V = g(x). Turunan dari fungsi ini adalah
dZ/dx = dU/dx + dV/dx
Contoh lain: simak penyelesaiannya ?
1. y = (x3 + 2x2 + 4x) + (3x2 + 7x + 10)1. y = (x + 2x + 4x) + (3x + 7x + 10)
2. y = (x4 + 3x3 - 2x2 + 10) + ( x3 - 3x2 + 7x - 8)
3. y = (x5 - 3x4 + 2x3) - ( 3x3 + x2 - 7x)
4. y = (5x4 + 4x3) - ( 6x3 - 5x2)
5. y = 4(2x4 + 2x3 - 4x2) - 2( 2x3 - 4x2 + 7x)
6. y = 2(x3 + x2 5x) 3(x2 + 2x - 7)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI130
7. y = (x8 + 2x7 - 4x6) - ( 2x5 - 4x4) + (7x3 + x2 + x)
8. y = (2x4 + 2x3) (2x3 - 4x2) + (2x + 4)
9. y = x4 7x3 21x2 + 5
10. y = 7x + 1010. y = 7x + 10
11. y = (10x3 + 2x2) + (-10x3 2x2)
12. y = (x3 x2 x) (2x3 4x2 -2x)
13. y = (x + 2) (2x + 3) (x 4) + (2x2 + 4x + 4)
14. y = (x + 1)2 + (x3 + 2x + 4) - (x2 + 2)2
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI131
TURUNAN FUNGSI RASIONAL
Teori: Hasil ganda dari dua fungsi U dan V yang dapat diturunkanadalah dapat diturunkan, dan berlaku.
d(U.V)/dx = V (dU/dx) + U (dV/dx)
Bukti: bila y = UV, maka
y + y = (U + U) (V + V)y + y = (U + U) (V + V)
= U V + V (U) + U (V) + (U.V)
y = V (U) + U (V) + (U. V) akan dibagi x, diperoleh
y/x = V (U/x) + U (V/x) + U (V/x)
Bila x0, maka juga U0 dan V0
Jadi, lim y/x = V lim U/x + U lim V/x + limU lim V/x
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI132
Oleh karena limU0 U limx0V/x = 0
dy/dx = d (U.V)/dx = V dU/dx + U dV/dx
Dengan cara yang sama
Bila, U1, U2, U3, U4 Un dan U adalah masing-masing fungsi x atau U= f(x) yang dapat diturunkan, dan bila
y = U1 U2 U3 Uny = U1 U2 U3 Undy/dx = U2 U3 Un dU1/dx + U1 U3 Un dU2/dx +
U1 U2 Un dU3/dx + U1 U2 U3 Un-1 dUn/dx
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI133
Teori : Bila U dan V adalah fungsi dari x yang dapat diturunkandan V 0, maka
Untuk turunan hasil bagi fungsi x yang dinyatakansebagai berikut.
y = U/ V, dengan U dan V adalah fungsi x, atau
U = f(x) dan V = g(x)
Teori : Bila U dan V adalah fungsi dari x yang dapat diturunkandan V 0, maka
U = f(x) dan V = g(x)
d/dx (U/V) = [V (dU/dx) U (dV/dx)]/V2
dy/dx = V (dU/dx) U (dV/dx)/(V2)
Simak contoh-contoh
1. Di papan .. Tulis
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI134
dUn/dx = nUn-1 dU/dx,
Bila misalkan U dinyatakan dalam y = Un dan n = p/q ( p dan q bilanganbulat positif atau negatig dan q 0),
Maka, y = Up/q dan yq = Up
DENGAN INDUKSI LENGKAP
Teori: Bila U adalah fungsi yang dapat diturunkan dann bilangan rasional
Maka, y = U dan y = U
bahwa ruas kaki masing-masing didiferensialkan terhadap x, memberikan
qyq-1 dy/dx = pUp-1 dU/dx,
dy/dx = [pUp-1dU/dx] / [qyq-1] atau = [(p/q)Up-1 x y/yq x dU/dx]
Harga y = Up/q dan yq = Up disubtitusi dan menghasilkan
dy/dx= [p/q Up-1 x (Up/q/Up) dU/dx] = [p/q U(p/q-1) dU/dx], Jadi dUn/dx = n Un-1 dU/dx dan untuk n bilangan bulat atau rasional posneg
Contoh
1. (x3 + 3x)2 dengan tahapan adalah:
- dimisalkan bahwa U = x3 + 3x
- dituliskan kembali dalam y = Un
- diferensialakn y terhadap U, hasilnya dy/dU=nUn-1
- diferensialkan U terhadap x,- diferensialkan U terhadap x,
Selanjutnya,
dy/dx = [(nUn-1) x (dU/dx)] atau = [(dy/dU) x (dU/dx)]
Dengan dU/dx = 3x + 3 dan dy/dU = 2 U, jadi diperoleh
dy/dx = 2 U (3x + 3), U = x3 + 3x, maka
dy/dx = 2(x3 + 3x)(3x + 3) = 6x3 + 9X2 + 15X
2. y = (4x3 + 4)1/2
3. y = (3x + 2)/(4x2 + 3)
4. y = (x2 + 1)(3x2 2x3)
5. y = (x2 + 3)
6. y = (x2 + 3)/ x
7. y = (x2 - 1)(x3 2x 1)
3
3
bers
ma-
sam
a
7. y = (x2 - 1)(x3 2x 1)
8. y = (x2 - 9)(x3 27)(x4 81)
9. y = (3x + 2)(9x2 4)(27x3 + 8)
10. y = 3/ (2x -5) 11. y = (x3 - 4x)/(16 x2)
12. y = x/(x2 + 1) 13. y = x(x2 + 1)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI137
Sim
akbe
rsm
a
Teori: Bila U adalah fungsi x yang dapat diturunkan dan nbilangan rasional, maka
y = Un jadi dy/dx = n Un-1 [dU/dx], berlaku untuk nbilangan bulat atau rasional positif atau negatif.
Contoh:
1. y = (x2 + 3x)2 dy/dx = 2(2x3 + 9x2 + 9x)
2. y = (4x3 + 1)1/2 dy/dx = 6x2/ (4x3 + 1)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI138
2. y = (4x3 + 1)1/2 dy/dx = 6x2/ (4x3 + 1)
3. y = (3x + 2)/(4x2 + 3) dy/dx = -(12x2 - 16x 9)/(4x2 + 3)2
4. y = (x3 4x)/ (16 x2) dy/dx = -(x4 - 44x2 + 64)/(16 - x2)2
5. y = 3/ (2x 5) dy/dx = -6/ (2x 5 )2
6. y = (x2 9)(x3 27)(x4 81) 10. y = (x2 + 2) 11. y =(x2 + 3)/x
7. y = x/(x2 + 1) 8. y = x(x2 + 1) 9. (3x + 2)/(4x2 + 3)
3 3
1. Persamaan lintasan dari suatu partikel adalah s = 2x2 + 3t + 5,s dalam cm dan t seconds. Berapakah kecepatan rata-rata daripartikel dalam interval t=1 dan t=5
2. Persamaan lintasan dari suatu partikel adalah s = t3 - 9t2 + 15t -7Tentukan harga s dan v jika percepatan = 0, dan untuk harga-harga tyang manakah v 0.
3. Sebuah tangki minyak akan dikosongkan isinya, bila kapasitas minyak3. Sebuah tangki minyak akan dikosongkan isinya, bila kapasitas minyakdalam tangki pada saat t menit sebesar
Q = 67.500 - 9000t - 300t2
Berapa meterkubik permenit kecepatan minyak mengalir keluar padasaat t=0 dan pada saat t= 2 menit sebelum minyak dalam tangki habis.
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI139
Untuk mencari turunan fungsi implisit yang dinyatakandalam bentuk f(x,y)= 0. Lebih baik disajikan dengancontoh penyelesaian berikut.
Hitunglah dy/dx dari
1. x2y + xy2 = 6, masing-masing suku didifrensialkan terhadap x,akan memberikan
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
140
akan memberikan
d/dx(x2y) + d/dx(xy2) - d/dx(6) = 0
2xy + x2dy/dx + y2 + 2xy dy/dx 0 = 0
kumpulkan suku yang mengandung dy/dx, dan menghasilkan
(x2 + 2xy)dy/dx = -(2xy + y2)
Jadi, dy/dx = -[(2xy + y2)/(x2 + 2xy)]; untuk x2 + 2xy 0
contoh berikutnya
2. y = x/ (x2 + 1)
3. xy + (x + y + 1)2 = 0
4, (3x + 7)5 = 2y3
5. y3 = (x y)/ (x + y)
6. (x + y)3 + (x y)3 = x4 + y4
Simak bersama-sama
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI141
TURUNAN FUNGSI KOMPOSIT (COMPOSITE)
Bila fungsi y = F(x) ditulis dalam bentuk persamaanparameter dalam t, yakni x = f(t) dan y = g(t), maka
y = F(x) = F[f(t)] = g(t) dan dy/dx dituliskan berikut
dy/dx = [dy/dt ]/ [dx/dt] untuk dx/dt 0
Contoh:
Hitunglah dy/dt dari x = [t + 1/t] dan y = [t 1/t]Hitunglah dy/dt dari x = [t + 1/t] dan y = [t 1/t]
- Tuliskan dx/dt hasilnya 1 - 1/t2
- Tuliskan dy/dt hasilnya 1 + 1/t2
- Kemudian subtitusi ke dy/dx = [dy/dt ]/ [dx/dt] dan diperoleh
dy/dx = [1 + 1/t2]/[1 1/t2] = [t2 + 1]/[t2 1] dibagi t,dy/dx = [t+ 1/t]/[t 1] subtitusi x dab y, dy/dx = ( x/ y)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI142
1. x = u2/(u2 +1) dan u = (2x +1)
2. x = 2t + 3 dan y = t2 1
3. x = 1/ (1 t) dan y = t2
Bila suatu fungsi dinyatakan dalam y = f(x) dan z = g(x) atau
y = F(x) = g[f(x)]. Maka F adalah fungsi dari x yang dapat
diturunkan dan turunan y terhadap x adalah:diturunkan dan turunan y terhadap x adalah:
dy/dx = [dy/dz] x [dz/dx] rumus cantik
Bila Z = F(x,y) dan x dan y adalah fungsi t, maka
dZ/dt = (dZ/dx)( dx/dt) + (dZ/dy)( dy/dt)
Bila, W = f(x, y, z) dan x, y dan z adalah fungsi t. Maka
dW/dt = (dW/dx)(dx/dt) + (dW/dy)(dy/dt) + (dW/dz)(dz/dt)
DIFERENSIAL PARSIAL
Jika suatu fungsi F = f(x,y) dan fungsi ini didiferensialkanterhadap x, dan y, maka diperoleh fungsi baru,
dF/dx= dan dF/ dy
Misalnya:Misalnya:
Z= x2 + y2, disini Z merupakan fungsi dari x dan y. Dengan demikian,
dZ/dx, dapat dicari dengan mendiferensialkan Z terhadap x, dengany konstan.
dZ/dy, juga dapat dicari mendiferensialkan Z terhadap y,,dengan xkonstan.
Contoh:
1. Untuk memperoleh du/dx, kita anggap y konstan.
Diferensialkan x2 terhadap x adalah 2x
Diferensialkan parsial xy terhadap x adalah y. dan (y adalahfaktor konstan).
Diferensialkan parsial y2 terhadap x adalah 0 (y2 adalah suku
u = x2 + xy + y2
Diferensialkan parsial y2 terhadap x adalah 0 (y2 adalah sukukonstan), jadi du/dx= 2x + y
2. Untuk memperoleh du/dy, kita anggap x konstan, diferensialkanparsial x2 terhadap y=0 (x2 adalah suku konstan).
Diferensialkan parsial xy terhadap y=x (x adalah suku konstan).
Diferensialkan parsial y2 terhadap y= 2y,
Maka diperoleh du/dy= x + 2y
Bila Z adalah fungsi x dan y atau Z = f(x,y) dinyatakan (2x-y)(x+3y)
Bentuk ini merupakan bentuk perkalian (ingat kuliah sebelumnya).Aturan perkalian yang biasa dapat diterapkan disini denganmengingat bahwa untuk mencari dZ/dx, dan y konstan dan dalammencari dZ/dy, dan x konstan. Maka,
dZ/dx = (2x-y) + 2(x+3y) = 4x + 5y
dZ/dy = -(x+3y) + 3(2x-y) = 5x 6y dZ/dy = -(x+3y) + 3(2x-y) = 5x 6y
Z = (4x-2y)(3x+5y)
dZ/dx = 24x + 14y
Sedangkan, dZ/dy = 14x 20y
Z = (2x-y)/(x+y) tentukan dZ/dx dan dZ/dy. Karena bentuk ini adalahpembagian, maka
=
4x + 14= 3y (x + y) dan
2x + 7 = -3x/ (x + y)
x/y = (x3 + 3x + y3 - 3Y)
x + y = (xy + x2y2 - x - y)
Z = ( x + y)/ (x y)
Z = (x2 + y2)/ (x2 y2)
Fungsi Implisit
Z = (x + y )/ (x y )
Z = (y2 + x2)/ (y2 x2)
Z = (x2 + y2)/(x2 - y2)
Z = (x2 - y2)/(x2 + y2)
Z = (x + y)2 / (x y)2
bahasan turunan funsgi tidaklah susah dan sulit, kecuali kesulitan itu datang dari kita sendiri
.. Boy 2012
Fungsi parsial
Z = (x + y) dengan x = 2t + 4 dan y = 4 2t
Z = 2x2 + 7x + y3 -3y) dengan x = t2 + 4t dan y = 4t t3
Z = (x3 + 3x + y3 3y) dengan x = 2t2 dan y = 2t2
Z = (xy + x2y2 - x - y) dengan x = 3t2 + 2 dan y = 3t2 - 2
Z = ( x + y)/ (x y) dengan x =(2t + 1)2 dan y = (2t - 1)2
W = (x2 + y2+ z2) dengan x = 2t 4, y = 2t + 4 dan z = t2 + 2t
SOAL-SOAL PENTING . ?
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI148
W = (x2 + y2+ z2) dengan x = 2t 4, y = 2t + 4 dan z = t2 + 2t
y = (x2 + 2x)1/3/ (x2 2x)1/3
y = (x2 + 2x)/(x2 2x2) y = x/x
y = (x2 2x) x (x2 + 4)/(x2 2x) x (x2 - 4) y = (x + 2)/(x + 1)
y = (x3 + 2x2 + 4x)2 / (x3 x2 7x)2 y = (x + 1)/(x-1)
y = (x3 + 2x2 + 4x)2 /(x3 x2 7x)23 3
TAK KUSANGKA DATANG LAGI . ?
Konsultasikan bila belum dimengertiboys 2012
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI149 WAJAHMU BIDADARIKU ?
DIFERENSIAL POLINOMIAL
MENDIFERENSIALKAN fungsi polinomial adalahmendiferensialkan masing-masing suku .
TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI150
Notasi alternatif Koefisien diferensialNotasi alternatif Koefisien diferensial
y = 2x2 5x + 3, maka dy/dx = 4x 5. ini adalah pernyataanpada yang dapat ditulis sebagi pernyataan tunggal denganmenempatkan y dan dy/dx, yaitu d/dx (2x2 5x + 3) dengancara yang sama, maka d/dx (4x3 7x2 + 2x 5)
12x2 14x + 2Metode I dan II adalah pilihan ?
Kemiringan grafik garislurus dinyatakan
m = dy/dx = tg
KEMIRINGAN GRAFIK GARIS LURUS
m = dy/dx = tg
Bila titik P(2,3) dan Q(6,4), makakemiringan grafik garis lurus adalahm= (4 2)/(6 2) = 0,5 dan darititik koordinat di P dan Q dapatdituliskan persamaan garis lurusyang dinyatakan dalam
y 4 = 0,5[x 3]y 4 = 0,5[x 3]
y = 0,5x + 2,5
Bila titik P(3,5) dan Q(7,1),maka kemiringan grafik garislurus adalah
m = (1 5)/(7 3) = -1
dan dari titik koordinat di P danQ dapat dituliskan persamaangaris lurus yang dinyatakangaris lurus yang dinyatakandalam
y 1 = -1 [x 7]
y = -x + 8
Bagaimana m bisa diperoleh dan tuliskan persamaan garis lurusyang menghubungkan titik koordinat P dan Q.
Bila titik Q bergeser sepanjanggaris PQ ke titik Q1, Q2 Q3 hinggatitik Q berimpit dengan titik P.Titik P adalah titik singgung garisf(x) Gambar (1). Dan membuatgaris lurus yang menyinggungtitik P seperti pada Gambar (2)
Q1Q2Q3
titik P seperti pada Gambar (2)
11/2/2012
Maka persamaan garis singgungkurva f(x) di titik P adalah
y1 y2 = m (x1 x2)
Jadi m = y/x
Ke
mir
ing
an
ga
ris
luru
s(m
)(1
)g
rafi
k(2
)tu
run
an
Ke
mir
ing
an
ga
ris
luru
s(m
)(1
)g
rafi
k(2
)tu
run
an
TURUNAN FUNGSI GONIOMETRI
Bila y = sinx
Maka, y + y = sin(x + x), y = sin(x + x) y
y = sin(x + x) - sinx dari rumus baku diperoleh bahwa:
sin A-sinB = 2[cos(A+B)/2][sin(A-B)/2] dengan
A= (x+x) dan B= xA= (x+x) dan B= x
Dengan demikian,
y = 2[cos(x+x)/2][sin(x/2] = 2[cos (x+x/2)] sin(x/2)
y/x = 2[cos(x+x/2)] [sin(x/2)]/x
= [cos(x+ x/2)] sin(x/2)/ (x/2)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI158
masih ingatkah aku
TURUN AN BAK U
TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI159
dari turunan baku dapatdituliskan bahwa:
Dengan x0 disubtitusikan ke . danDengan x0 disubtitusikan ke . dandiperoleh y/x = dy/dx cosx.1
Jika y = sinx, maka dy/dx = cosx
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI160
Dengan cara sama, maka
Bila y = cosx
Maka, y + y = cos(x + x), y = cos(x + x) y
y = cos(x + x) - cosx dari rumus baku diperoleh bahwa:
cosA-cosB = -2[sin(A+B)/2][sin(A-B)/2] dengan
A= (x+x) dan B= x
wahai bidadariku
A= (x+x) dan B= x
Dengan demikian,
y = -2[sin(2x+x)/2][sin(x/2] = -2[sin(x+x/2)] sin(x/2)
y/x = -2[sin(x+x/2)] [sin(x/2)]/x
= [sin(x+ x/2)] sin(x/2)/ (x/2)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI161
Sentuhlah aku ?
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI162
Dengan x0 disubtitusikan ke ....... dandiperoleh y/x = dy/dx -sinx.1
Jika y = cosx, maka dy/dx = -sinx
Turunan baku selengkapnya baca halaman awal PP
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI163
F adalah fungsi x, F(x)
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI164
Perhatikan contoh penyelesaian berikut
DENSUS 88 and TERORIS
11/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI167
mengerjakan soal2 latihan sambil minum kopi rasanya masyuuus .. ?
y = sin(2x -2)
y = x3/sinx
y = tan(2x -2)y = tan(2x -2)
y = tan2x
y = e2xtan(2x -2)
y = 4 cos(5x + 4)
y = e2x
y = -2e2x+-211/2/2012TEKNIK MESIN - MAHMUDDIN - TAMBANG UMI168
Selamat JalanSemoga Sukmamu Diterima
Di sisi Allah SWTDi sisi Allah SWTamin .
Bahasan selanjutnya INTEGRAL