Kalkulus Variasi - tbakhtiar.staff.ipb.ac.idtbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2017/02/handout1.pdf · Spesi–kasi dari kriteria yang akan dioptimumkan (fungsional objektif). Model

Kalkulus VariasiPendahuluan, Model Matematika, Keterkontrolan

Toni Bakhtiar

Departemen Matematika IPB

Februari 2017

[email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 1 / 42

Outline

Beberapa contoh masalah kontrol optimum

Rumusan masalah kontrol optimum1 Model matematika2 Persamaan state3 Fungsi kendala

Reachability, controllability, observability

Sistem kendali


Masalah Inventori-Produksi

Sumber: Sethi & Thompson (2006)Fungsional objektif:

minP

∫ T

0

[h(I − I )2

2+c(P − P)2

2

]e−rt dt.

Fungsi kendala:

I (t) = P(t)−D(t),I (0) = I0,

dengan I tingkat inventori, P tingkat produksi, D tingkat permintaan, Itingkat inventori yang ingin dicapai, P tingkat produksi yang ingin dicapai,dan e−rt faktor diskon.Masalah: menentukan tingkat produksi P = P(t) sedemikian sehinggameminimumkan biaya-biaya penalti akibat tidak terpenuhinya target dalaminventori dan produksi.


Masalah Pemasaran melalui Iklan

Sumber: Sethi & Thompson (2006)Fungsional objektif:

maxc

∫ ∞

0(π(G )− c(t))e−rt dt.

Fungsi kendala:

G (t) = c(t)− δG (t),

G (0) = G0,

dengan π tingkat penerimaan (revenue) yang merupakan fungsi dari citraperusahaan (goodwill) G , c biaya produksi (iklan), dan δ laju depresiasi.Masalah: menentukan besarnya biaya yang dikeluarkan untuk iklanc = c(t) sedemikian sehingga memaksimumkan tingkat keuntungan.


Masalah Pemeliharaan dan Pemanenan Ikan

Sumber: Sydsæter et al. (2008)Fungsional objektif:

maxu

(x(T )P(T , x(T ))e−rT −

∫ T

0cx(t)u(t)e−rt dt

).

Fungsi kendala:

x(t) = x(t)g(t, u(t)),

x(0) = x0,

dengan x(t) berat ikan pada saat t, P(t, x) harga ikan dengan berat xpada saat t, u(t) banyaknya pakan ikan yang digunakan, dan c > 0 biayapakan ikan.Masalah: menentukan banyaknya pakan ikan yang digunakan u = u(t)sedemikian sehingga memaksimumkan keuntungan.


Masalah Energi dan Kualitas Lingkungan

Sumber: Chiang (1992)Fungsional objektif:

maxE

∫ T

0U(C (E ),P(E )) dt.

Fungsi kendala:

S(t) = −E (t),S(0) = S0, S(T ) ≥ 0,

dengan U fungsi utilitas yang bergantung pada konsumsi energi C (E ) danpolusi P(E ), E laju penggunaan energi (BBM), dan S persediaan energi(BBM).Masalah: menentukan laju penggunaan energi (BBM) E = E (t)sedemikian sehingga memaksimumkan utilitas.


Masalah Kebijakan Antipolusi

Sumber: Chiang (1992)Fungsional objektif:

maxE

∫ T

0U(C (E ),P) dt.

Fungsi kendala:

S(t) = −A(t)− E (t),P(t) = αE (t)− βA(t)− δP(t),

S(0) = S0, S(T ) ≥ 0,P(0) = P0, P(T ) ≥ 0,

dengan U fungsi utilitas yang bergantung pada konsumsi energi C (E ) dantingkat polusi P, E laju penggunaan energi (BBM), A aktivitas antipolusi,dan S persediaan energi (BBM).Masalah: menentukan laju penggunaan energi (BBM) E = E (t)sedemikian sehingga memaksimumkan utilitas.


Perumusan Masalah Kontrol Optimum

Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan peubahkontrol yang dapat mengendalikan suatu proses sedemikian sehinggamemenuhi beberapa kendala fisik dan dalam waktu yang samamengoptimumkan kriteria tertentu.

Masalah kontrol optimum dapat diselesaikan melalui dua pendekatan:1 program dinamik (Bellman, 1957)2 prinsip maksimum (Pontryagin, 1962)

Dalam kuliah ini akan dibahas penyelesaian masalah kontrol optimummelalui pendekatan prinsip maksimum.

Pendekatan prinsip maksimum banyak menggunakan teknik dalamkalkulus variasi.

Dalam kuliah ini, kalkulus variasi merupakan bahan UTS dan kontroloptimum, sebagai penerapan kalkulus variasi, merupakan bahan UAS.


Model Matematika

Perumusan masalah kontrol optimum membutuhkan:

Model matematika dari proses yang akan dikendalikan.Fungsi kendala.Spesifikasi dari kriteria yang akan dioptimumkan (fungsional objektif).

Model matematika dari suatu proses umumnya dinyatakan dalam bentukpersamaan state (berupa persamaan diferensial):

x(t) = g(x(t), u(t), t),

dengan

x(t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

, u(t) =u1(t)u2(t)...

um(t)

, g(x , u, t) =g1(x , u, t)g2(x , u, t)

...gn(x , u, t)

.x(t) disebut sebagai vektor peubah state dan u(t) disebut sebagaivektor peubah kontrol


Model Matematika

Klasifikasi model:

nonlinear dan time-varying (non-autonomous atau takmandiri):

x(t) = g(x(t), u(t), t).

nonlinear dan time-invariant (autonomous atau mandiri):

x(t) = g(x(t), u(t)).

linear dan time-varying :

x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t).

linear dan time-invariant:

x(t) = Ax(t) + Bu(t).


Model Matematika

Analisis model taklinear x = g(x , u) biasanya dilakukan melalui modellinear padanannya (linearized model) yang berbentuk x = Ax + Bu,dengan A merupakan matriks Jacobi yang dievaluasi di sekitar titiktetapnya:

A =

∂g1∂x1

· · · ∂g1∂xn

.... . .

...∂gn∂x1

· · · ∂gn∂xn

x=x

.


Model Matematika

ExampleSebuah mobil berjalan lurus meninggalkan titik asal. Jarak mobil dari titikasal pada saat t dinyatakan sebagai s(t). Mobil diasumsikan dapatdikendalikan melalui percepatan (menginjak pedal gas) atau perlambatan(menginjak pedal rem) yang dinyatakan sebagai

s(t) = a(t) + b(t),

dengan peubah kontrol a merupakan percepatan dan b perlambatan.


Persamaan State

Example (Lanjutan)Dapat didefiniskan vektor peubah state dan vektor peubah kontrol:

x(t) =(x1(t)x2(t)

)=

(s(t)s(t)

), u(t) =

(u1(t)u2(t)

)=

(a(t)b(t)

).

Diperoleh x1 = x2 dan x2 = u1 + u2, sehingga dalam notasi matriksdiperoleh model matematika

x(t) =(0 10 0

)x(t) +

(0 01 1

)u(t).


Fungsi Kendala

Example (Lanjutan)Jika mobil mulai berjalan dari titik asal pada saat t0 dan berhenti di titik epada saat tf , maka diperoleh kendala

x1(t0) = 0, x1(tf ) = e,

x2(t0) = 0, x2(tf ) = 0.

Dalam notasi matriks,

x(t0) =(00

), x(tf ) =

(e0

).

Jika ada syarat tambahan bahwa mobil tidak boleh mundur, berputar, atauberbelok maka harus ada kendala tambahan

0 ≤ x1(t) ≤ e, 0 ≤ x2.


Fungsi Kendala

Example (Lanjutan)Maksimum percepatan ialah M1 dan maksimum perlambatan ialah M2

(admissible control):

0 ≤ u1(t) ≤ M1,

−M2 ≤ u2(t) ≤ 0.

Banyaknya BBM mula-mula G liter dan diasumsikan tidak ada pengisianBBM di tengah jalan yang dilewati:∫ tf

t0[k1u1(t) + k2x2(t)] dt ≤ G .

Diinginkan mobil tiba di titik e secepat mungkin:

min J = tf − t0 =∫ tf

t0dt.


Example (Ringkasan)

Masalah kontrol optimum (multivariabel, state terbatas, input terbatas,kendala integral):

min J :=∫ tf

t0dt

dengan kendala:

x1 = x2,

x2 = u1 + u2,

x1(t0) = 0, x1(tf ) = e,

x2(t0) = 0, x2(tf ) = 0,

0 ≤ x1(t) ≤ e, 0 ≤ x2,0 ≤ u1(t) ≤ M1, −M2 ≤ u2(t) ≤ 0,∫ tf

t0[k1u1(t) + k2x2(t)] dt ≤ G .


Masalah Kontrol Optimum

Untuk selanjutnya, kriteria (fungsional objektif) diasumsikan berbentuk

J = S(x(tf ), tf ) +∫ tf

t0f (x(t), u(t), t)dt.

Fungsi S disebut sebagai scrap value atau salvage value.Masalah kontrol optimum adalah masalah menentukan admissible controlu∗(t) yang dapat mengendalikan sistem dinamik

x(t) = g(x(t), u(t), t),

sedemikian sehingga mampu mengikuti admissible trajectory x∗(t) dalaminterval waktu [t0, tf ] dan mengoptimumkan fungsional objektif

J = S(x(tf ), tf ) +∫ tf

t0f (x(t), u(t), t)dt.

u∗(t) disebut kontrol optimum dan x∗(t) trajektori [email protected] (IPB) MAT332 Kontrol Optimum Februari 2017 17 / 42

Reachability

Diberikan sistem dinamik (proses):

x(t) = g(x(t), u(t), t),

DefinitionState z dikatakan reachable (dapat dicapai) pada waktu T dari sebarangstate y jika ∃u ∈ Ω(u) sedemikian sehingga

x(t0) = y ,

x(T ) = z .


Controllability


x(t) = g(x(t), u(t), t),

DefinitionSistem dinamik dikatakan controllable (terkontrol) jika sebarang state zreachable (dapat dicapai) dari sebarang state y .


Observability


x(t) = g(x(t), u(t), t), x(t0) = x0,

w(t) = h(x(t)) → observasi (pengamatan, pengukuran)

DefinitionSistem dinamik dikatakan observable (dapat diobservasi) jika berdasarkanu, w , dan [t0, tf ], kondisi awal x0 dapat ditentukan.


Controllability

ExampleAdakah u sehingga sistem berikut terkontrol?

x = x + u, x(t0) = x0, x(T ) = xT .

Jawab: Sistem di atas dikatakan terkontrol jika dapat ditemukan fungsikendali u(t) sedemikian sehingga membawa sistem dari titik (t0, x0)menuju titik (T , xT ) dengan x0, xT , t0 6= T sebarang. Akan dicari u dalambentuk paling sederhana, yaitu u(t) = k (konstan). Diperoleh

x = x + k ⇔ dxx + k

= dt

⇔∫ dxx + k

=∫dt

⇔ x(t) = Cet − k.


Example (Lanjutan)Dari nilai awal dan nilai akhir diperoleh sistem persamaan:

x(t0) = x0 ⇔ Cet − k = x0,x(T ) = xT ⇔ CeT − k = xT ,

sehingga diperoleh solusi:

C =x0 − xTet0 − eT ,

k =x0 − xTet0 − eT e

t0 − x0 =: u(t).

∴ Sistem terkontrol.


Controllability

Example

Tentukan kendali konstan u(t) = k sehingga sistem berikut terkontrol:

x = x + 2x + u,

x(0) = 0,

x(1) = 1,

x(0) = 0.


SolutionDengan mensubstitusikan u(t) = k diperoleh PD orde duax − x − 2x = k. Penyelesaian dari persamaan karakteristik r2 − r − 2 = 0ialah r = 2 dan r = −1, sehingga diperoleh solusi homogenxh(t) = C1e2t + C2e−t . Jika xp merupakan solusi partikular maka−2xp = k atau xp(t) = − 12k, sehingga solusi umum PD ialah

x(t) = C1e2t + C2e−t − 12k.

Syarat batas x(0) = 0 dan x(0) = 0 memberikan

C1 + C2 − 12k = 0, 2C1 − C2 = 0,

sehingga didapatkan 3C1 = 12k atau C1 =

16k dan C2 =

13k. Solusi umum

PD menjadi x(t) = 16ke

2t + 13ke−t − 1

2k. Dari syarat batas x(1) = 1diperoleh

k =1

16e2 + 1

3e−1 − 1

2

=: u(t).


ProblemAdakah u sehingga sistem berikut terkontrol?

x = x + ut, x(t0) = x0, x(T ) = xT .

ProblemAdakah u sehingga sistem berikut terkontrol?

x = −x + 2x + u, x(t0) = x0, x(T ) = xT , x(t0) = v0.


Teorema Keterkontrolan

Diberikan sistem dinamik linear dan time-invariant:

x = Ax + Bu

dengan A berukuran n× n.

TheoremSistem dinamik di atas controllable (terkontrol) jika dan hanya jikacontrollability matrix

M = [B AB A2B . . . An−1B ]

berpangkat penuh, yaitu rank(M) = n. Bukti: lihat, misalnya, Ogata(1997), hal. 737.

Teorema di atas hanya menjamin keterkontrolan sistem tetapi tidakmemberikan fungsi input u yang dapat mengontrol sistem.


ExampleDari sistem x = x + u diperoleh A = 1 dan B = 1 sehingga

M = (1)⇒ rank(M) = 1 (penuh).

ExampleUntuk sistem

x = −x + 2x + u,misalkan x1 = x dan x2 = x , sehingga diperoleh

x1 = x = x2,

x2 = x = −x + 2x + u = −x2 + 2x1 + u.

Dalam notasi matriks:[x1x2

]=

[0 12 −1

] [x1x2

]+

[01

]u.


Example (Lanjutan)Sistem:

x =[0 12 −1

]A

x +[01

]B

u.

Controlability matrix:

M =

[0 11 −1

]⇒ rank(M) = 2 (penuh)


ExampleSistem

x =

−a1 0 00 −a2 00 0 −a3

x + 111

uterkontrol karena untuk ai 6= 0 diperoleh

M =

1 −a1 a211 −a2 a221 −a3 a23

⇒ rank(M) = 3.


ExampleSistem

x =

−a1 0 00 −a2 00 0 −a3

x + 011

utidak terkontrol (uncontrolable) karena

M =

0 0 01 −a2 a221 −a3 a23

⇒ rank(M) = 2.


ProblemPeriksa keterkontrolan sistem-sistem berikut:

x =

−1 1 00 −1 00 0 −2

x + 011

u.x =

[a b0 c

]x +

[10

]u.


Sistem Kendali (Control System)

Sistem: susunan, himpunan, atau kumpulan benda (komponen fisik)yang saling berhubungan dan saling memengaruhi sebagai sebuahkesatuan. Contoh: sistem pengatur suhu, sistem kesetimbangantubuh, sistem perekonomian, dsb.

Kendali: pengendali (control), pengatur (regulator).Sistem kendali: susunan beberapa komponen fisik yang salingterhubung sedemikian sehingga dapatmengatur/mengendalikan/memerintah diri sendiri atau sistem lain.

Bagian-bagian sistem kendali:1 Sistem (proses, plant)2 Input: rangsangan, tindakan, perintah (biasanya dari luar) kepadasistem agar melakukan sesuatu.

3 Output: respon dari sistem akibat input.4 Disturbance input (noisy, exogeneous input): angin, gelombang, sinarmatahari, dsb.


Ktesibios (Yunani, 300 SM): Float valve regulator1 Sistem: proses penampungan air (on-off control, bang-bang control)2 Input: ketinggian air3 Output: air mengalir atau berhenti


Berdasarkan cara pengendalian (control action), sistem dibedakan atas:

1 Open-loop system: sistem yang tidak mempertimbangkan outputdalam proses selanjutnya. Contoh: mesin cuci, AC, microwave, lampulalu-lintas.

I lebih sederhana, lebih murah, kurang presisiI selalu stabil

2 Closed-loop system: sistem yang menggunakan output sebagaiumpanbalik (feedback) dalam proses selanjutnya. Contoh: katupKtesibios, autopilot, AC automatik, dsb.

I lebih rumit, butuh sensor untuk mencatat output (karena itu lebihmahal), lebih presisi

I bisa menjadi takstabil


Diagram Blok

Open-loop system

Closed-loop system


Sistem Pengendali Suhu Ruangan


Diagram Blok Sistem Pengendali Suhu Ruangan


Sistem Pengendali Kapal dengan Autopilot

Autopilot didesain untuk menjaga arah kapal (heading) terhadap berbagaigangguan seperti angin (wind), arus (current), dan gelombang (waves).Arah kapal diukur dengan gyro-compass dan dicocokkan dengan arah yangdikehendaki. Autopilot kemudian menghitung sudut kemudi (rudder) yangdibutuhkan dan mengirim sinyal ke gir kendali (steering gear). Sudutkemudi aktual diukur dengan sensor dan dibandingkan dengan sudut yangdibutuhkan. Beda sudut dan beda arah dijadikan umpanbalik (feedback).


Diagram Blok Sistem Pengendali Kapal dengan Autopilot


Sistem Pengendali Kecepatan

Kecepatan mobil diukur menggunakan sensor (speedometer) dandibandingkan dengan kecepatan yang diinginkan (reference speed, di jalantol 80-100 km/jam) dalam blok "Compute". Berdasarkan perbedaankecepatan aktual dan yang diinginkan, pedal gas/rem/kopling diinjakuntuk mengubah gaya yang dikenakan pada mobil melalui mesin, sistemtransmisi, dan roda.


Fungsi Transfer

Misalkan sistem dinamik suatu proses dinyatakan dalam persamaandiferensial orde-2 berikut:

ax(t) + bx(t) + cx(t) = Ku(t), x(0) = 0, x(0) = 0,

dengan x peubah state, u peubah kontrol, dan a, b, c ,Kkonstanta-konstanta.Transformasi Laplace persamaan di atas memberikan:

as2X (s) + bsX (s) + cX (s) = KU(s)⇔ X (s) =K

as2 + bs + cU(s)

Fungsi transfer P(s) merupakan fungsi yang menghubungkan input danoutput, yaitu

P(s) :=K

as2 + bs + c⇒ X (s) = P(s)U(s).


Fungsi Transfer

Dalam bentuk diagram blok:

U(s) −→ Kas2 + bs + c

−→ X (s)

Beberapa fungsi yang lazim dijadikan input:

Fungsi u(t) U(s)

Impulse u(t) =

∞ ; t = 00 ; t 6= 0 U(s) = e−s

Step u(t) =C ; t ≥ 00 ; t < 0

U(s) =Cs

Ramp u(t) =Ct ; t ≥ 00 ; t < 0

U(s) =Cs2

Parabolic u(t) =Ct2 ; t ≥ 00 ; t < 0

U(s) =2Cs3


Documents

Kalkulus Variasi - tbakhtiar.staff.ipb.ac.idtbakhtiar.staff.ipb.ac.id/files/2017/02/handout1.pdf · Spesi–kasi dari kriteria yang akan dioptimumkan (fungsional objektif). Model