Upload
intoshblef
View
232
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
1/62
7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
2/62
COPYRIGHT: 20112016, Dr. Gyori Istvn, Dr. Pituk Mihly, Pannon Egyetem MuszakiInformatikai Kar Matematika Tanszk
LEKTORLTA: Dr. Molnrka Gyozo, Szchenyi Istvn Egyetem Muszaki Tudomnyi KarMechatronika s Gpszerkezettan Tanszk
Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)
A szerzo nevnek feltntetse mellett nem kereskedelmi cllal szabadon msolhat, terjeszt-heto, megjelentetheto s eloadhat, de nem mdosthat.
TMOGATS:Kszlt a TMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0008 szm, Tananyagfejleszts mrnk informati-kus, programtervezo informatikus s gazdasginformatikus kpzsekhez cmu projekt kere-tben.
ISBN 978-963-279-504-1
KSZLT: aTypotex KiadgondozsbanFELELOS VEZETO: Votisky ZsuzsaAZ ELEKTRONIKUS KIADST ELOKSZTETTE: Juhsz Lehel
KULCSSZAVAK:egyvltozs vals fggvny, sorozat, hatrrtk, folytonossg, derivlt, hatrozatlan integrl,Riemann-integrl, improprius integrl, Laplace-transzformlt
SSZEFOGLALS:A jegyzet a Pannon Egyetem Muszaki Informatikai Karn oktatottMatematikai analzis I.kurzus anyagnak sszefoglalsa informatikus s villamosmrnk hallgatk rszre. Azolvas megismerkedhet az egyvltozs vals fggvnyek differencilszmtsval sintegrlszmtsval, ezen bell az analzis olyan kzponti fogalmaival, mint a hatrrtk,folytonossg, derivlt s az integrl. Egy villamossgtani problma kapcsn ismertetsrekerl a Laplace transzformlt fogalma s fontosabb tulajdonsgai.
http://www.typotex.hu/http://www.typotex.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
3/62
Tartalomjegyzk
Bevezets 5
1. Halmazok, fggvnyek 61.1. Halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Szmhalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. A fggvny defincija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Az sszetett fggvny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Az inverz fggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Egyvltozs vals fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Egyvltozs vals fggvnyek hatrrtke s folytonossga 122.1. Konvergens sorozatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Vgtelenhez tart sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Monoton sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Specilis sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. A bovtett szmegyenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6. Krnyezetek s pontozott krnyezetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7. A fggvny hatrrtke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8. Folytonossg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.9. Az elemi alapfggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Egyvltozs vals fggvnyek differencilszmtsa 293.1. A differencilhatsg fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Differencilsi szablyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Az elemi alapfggvnyek derivltjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4. Magasabb rendu derivltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5. Intervallumon val differencilhatsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6. Kzprtkttelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.7. Monotonitsi kritriumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.8. A LHospital-szably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.9. Abszolt s loklis szlsortkek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.10. Konvexsg, konkvsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
4/62
4 TARTALOMJEGYZK
4. Egyvltozs vals fggvnyek integrlszmtsa 384.1. Primitv fggvny s hatrozatlan integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Alapintegrlok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3. Integrls elemi talaktsokkal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4. Parcilis integrls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5. Integrls helyettestssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6. A Riemann-integrl defincija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7. A Riemann-integrl tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.8. A Riemann-integrl kiszmtsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.9. Az integrlfggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.10. Az improprius integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.11. Az integrlszmts nhny alkalmazsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5. Egy villamossgtani problma 535.1. Soros RLC ramkr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Vals vltozj komplex fggvnyek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3. A Laplace transzformlt fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4. A Laplace transzformlt tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5. A soros RLC ramkr vizsglata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Irodalomjegyzk 62
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
5/62
BevezetsEbben a jegyzetben a Pannon Egyetem Muszaki Informatikai Karn az ltalunk tartott Ma-tematikai analzis I. kurzus anyagt foglaltuk ssze. Clunk segteni az informatikus svillamosmrnk hallgatknak, hogy megismerjk az egyvltozs fggvnyek differencil- sintegrlszmtst, s sikeresen felkszljenek a vizsgra. A trgyhoz gyakorlatok vannakelorva, amelyekhez a hallgatk kln feladatgyujtemnyt kapnak, ezrt a jegyzet gyakor-lfeladatokat nem tartalmaz, csak mintapdkat. A ttelek bizonytsait elhagytuk. Arratrekedtnk, hogy az analzis kzponti fogalmait, mint pldul a hatrrtk, folytonossg,
differencils s integrls, s azok legfontosabb tulajdonsgait sszefoglaljuk. Ismertetjktbbek kztt a szakmai trgyakban gyakran hasznlt Laplace transzformlt fogalmt s an-nak alkalmazst a villamossgtanban.
Hangslyozzuk, hogy e jegyzet nem ptolja az eloadsokon val rszvtelt, ahol tovbbipldkon s egyszerubb bizonytsokon keresztl segtjk e nehz anyag megrtst. Azok-nak a hallgatknak, akiket a kihagyott bizonytsok s tovbbi lehetsges alkalmazsok irntrdeklodnek, melegen ajnljuk az irodalomjegyzkben feltntetett tanknyveket.
A jegyzet a TMOP - 4.1.2-08/1/A program keretben kszlt.Ezton fejezzk ki ksznetnket Hartung Ferenc kollgnknak a jegyzet elksztse so-
rn nyjtott rtkes segtsgrt.
Veszprm, 2011. janur 31.
Gyori Istvn s Pituk Mihly
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
6/62
1. fejezetHalmazok, fggvnyek
1.1. Halmazok
Azegsz szmokhalmaznak jele Z. A nemnegatv egsz szmokattermszetes szmoknak
nevezzk. A termszetes szmok halmazt az N, a pozitv egsz szmok halmazt pedig azN+ szimblummal jelljk. Avals szmokhalmaznak jele R. Az Rhalmaztszmegye-nesnekis szoks nevezni.
Egyxvals szmabszolt rtktaz
|x|=
x, hax0x, hax
7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
7/62
1.2. SZMHALMAZOK 7
LegyenA, B kt halmaz. Arszhalmaza B-nek, jelben A B, ha Aminden elemeB-nek is eleme.AsBegyestst,metszettsklnbsgtaz
A B={x|xAvagyxB},A B={x|xAsxB},A
\B=
{x|
x
Asx /
B}
kpletekkel definiljuk. AsB Descartes-szorzatnak jeleA B. AzA Bhalmaz azon(a, b)rendezett prokbl ll, amelyekreaAsbB . Teht
A B={(a, b)|aAsbB}.Azres halmaz jele . HaA B =, akkor azA,Bhalmazokatdiszjunktaknakmondjuk.
1.2. Szmhalmazok
1.2.1. Definci. R rszhalmazait (vals)szmhalmazoknakmondjuk.
1.2.2. Definci. Legyen A R. A c R szmot az Ahalmaz felso korltjnak (alskorltjnak) mondjuk, ha mindenxAesetnxc(xc).
AzAhalmazfellrol korltos (alulrl korltos), ha ltezik felso korltja (als korltja).AzAhalmazkorltos, ha korltos fellrol s alulrl is.
Knnyu beltni, hogyA Rppen akkor korltos, ha ltezik k > 0gy, hogy mindenxA-ra |x| k.
Azintervallumokspecilis szmhalmazok. Akorltos intervallumoka kvetkezok:
(a, b) =
{x
R
|a < x < b
},
[a, b) ={x R |ax < b},(a, b] ={x R |a < xb},[a, b] ={x R |axb},
ahol a, b R, a < b. Az elso intervallum nylt, a msodik balrl zrt, jobbrl nylt, aharmadikbalrl nylt, jobbrl zrt, a negyedik pedigzrt.A
(c, ) ={x R |x > c },[c, ) ={x R |xc },
(, c) ={x R |x < c },(, c] ={x R |xc },
aholc R, valamint a(, ) = R
nem korltos intervallum.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
8/62
8 1. HALMAZOK, FGGVNYEK
1.2.3. Definci. LegyenA R. AzmAszmot azAhalmazlegnagyobb elemnek vagymaximumnak (legkisebb elemnek vagy minimumnak) mondjuk, ha mindenxA esetnxm(xm). Jells:m = max A, illetvem= min A.1.2.4. Plda. Ha A = (0, 1), akkor min As max A sem ltezik. Ha A = [0, 1), akkormin A = 0,max Anem ltezik. HaA = (0, 1], akkormin Anem ltezik, max A = 1. Ha
pedigA= [0, 1], akkormin A= 0smax A= 1.Az elozo plda azt mutatja, hogy korltosAesetn is elofordulhat, hogymin Asmax A
sem ltezik. Ugyanakkor igaz a kvetkezo:
1.2.5. Ttel. Ha =A Rfellrol korltos (alulrl korltos), akkorAfelso korltjai (alskorltjai) kztt mindig van legkisebb (legnagyobb).
1.2.6. Definci. Legyen = A R. Ha Afellrol korltos (alulrl korltos), akkor Alegkisebb felso korltjt (legnagyobb als korltjt) azAhalmazfelso hatrnak vagy szup-rmumnak (als hatrnak vagy infimumnak) nevezzk. Jells: sup A, illetveinfA.
1.3. A fggvny defincijaA fggvny defincija a kvetkezo:
1.3.1. Definci. LegyenekAsB adott halmazok. AzA BDescartes-szorzatZrszhal-maztA-blB-be vezeto (AB tpus) fggvnynek (lekpezsnek)mondjuk, ha brmelyx Aesetn legfeljebb egyy Bltezik gy, hogy(x, y) Z. Ha ezt a lekpezstf-fel
jelljk, akkor (x, y)Zesetny-t azxelemfltali kpnekmondjuk, s azt rjuk, hogyy= f(x). Azffggvnyrtelmezsi tartomnyna
D(f) ={xA|ltezikyB gy, hogy(x, y)Z}
halmazt,frtkkszletnpedig azR(f) ={yB|ltezikxAgy, hogy(x, y)Z}
halmazt rtjk.Azt, hogyf A-bl B-be vezeto lekpezs azf : A B szimblummal jelljk. Ms
szval azf :AB szimblum azt jelenti, hogyD(f)AsR(f)B . Hangslyozzuk,hogy ltalbanD(f)=AsR(f)=B .
HaHD(f), akkor aHhalmazfltali kpnazf(H) ={f(x)|xH}
halmazt rtjk.LegyenH D(f). Azf fggvnyHhalmazra val leszuktsn (megszortsn),jele
f|H, azt a fggvnyt rtjk, amelynek rtelmezsi tartomnyaD
f|H
= H, s kpletef|H
(x) =f(x), xH.
Azf :AB fggvnygrafikonjagraph(f) ={(x, f(x))|xD(f)} A B.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
9/62
1.4. AZ SSZETETT FGGVNY 9
1.3.2. Plda. Legyen
Z={(x, y) R R |x2 + y2 = 1 } R R.
Zaz x, y-sk azon pontjainak a halmaza, amelyek rajta vannak a(0, 0)kzppont 1 sugarkrvonalon. A Zhalmaz nem lekpezs R-bol R-be, mert (0, 1)
Z s (0,
1)
Z is
teljesl. Viszont a
Z={(x, y) R R |x2 + y2 = 1, y0 } R R
halmaz, a (0, 0)kzppont 1 sugar felso flkrvonal, mr R-bol R-be vezeto lekpezs.Haf-fel jelljk, akkor a definciban hasznlt jellssel D(f) = [1, 1],R(f) = [0, 1]s
y= f(x) =
1 x2, x[1, 1].
1.4. Az sszetett fggvny
1.4.1. Definci. Legyenf :AB s g : B Ckt fggvny. Minden olyanxD(g)esetn, amelyreg(x)D(f), legyen
(f g)(x) =f(g(x)).
Azf g-vel jellt fggvnyt, amelynek rtelmezsi tartomnya
D(f g) ={xD(g)|g(x)D(f)},
fsgkompozcijnaknevezzk.
1.4.2. Plda. Legyen
f(x) = 4x + 2, x[0, 1],g(x) =x 3, x[0, 4].
Ekkor(f g)(x) =f(g(x)) = 4g(x) + 2 = 4(x 3) + 2 = 4x 10.
MivelD(f) = [0, 1], g(x) = x 3 D(f)ppen akkor, ha 3 x 4. Ha figyelembevesszk, hogyD(g) = [0, 4], azt kapjuk, hogy
D(f g) = [3, 4].
1.5. Az inverz fggvny
1.5.1. Definci. Azffggvnytinvertlhatnak (egy-egyrtelmunek) mondjuk, ha brmelyx1,x2D(f),x1=x2esetnf(x1)=f(x2).
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
10/62
10 1. HALMAZOK, FGGVNYEK
1.5.2. Definci. Haf : A B invertlhat, D(f) = As R(f) = B, akkor azt mond-juk, hogyfklcsnsen egyrtelmu lekpezst ltestAs B kztt. Ms szval fbijektvlekpezs vagy rvidenbijekci.
1.5.3. Definci. Hafinvertlhat, akkorfinverz fggvnye az a fggvny, amelyR(f)-etkpeziD(f)-be, s mindeny
R(f)-hez azt azx
D(f)-et rendeli, amelyrey = f(x). Az
inverz fggvny jele: f1.
A defincibl kvetkezik, hogy D(f1) = R(f)s R(f1) = D(f), tovbb mindenxD(f)-re
f1(f(x)) = x,
s mindenyR(f)esetnf(f1(y)) = y.
1.5.4. Plda. Ag(x) = 1 x2, x[1, 1]
fggvny nem invertlhat, mertg(1) =g(1). Azf(x) = 1 x2, x[1, 0]
fggvny viszont invertlhat, mert ha valamelyx1, x2 D(f) = [1, 0]esetnf(x1) =f(x2), akkor azt kapjuk, hogy x21 = x
22, s innen|x1| =|x2|, majdx1 =x2, s vgl
x1 = x2addik. Knnyu beltni, hogyR(f) = [0, 1]. Az
y= f(x) = 1 x2, xD(f) = [1, 0], yR(f) = [0, 1]felttelekbol kapjuk, hogyx2 = 1 y.Innen |x|=1 y, majd x=1 y, s vgl
x=1 y= f1(y)addik. Tehtfinverz fggvnye:
f1(x) =
1 x, x[0, 1].
1.6. Egyvltozs vals fggvnyek
1.6.1. Definci. Az ffggvnytvals fggvnynekmondjuk, ha R(f) R. Az ffggvnytegyvltozs fggvnynekmondjuk, haD(f)
R.
A tovbbiakban egyvltozs vals fggvnyeket, azaz R-bol R-be vezeto fggvnyeketfogunk vizsglni. Az egyvltozs vals fggvnyek grafikonjait az x, y-skban brzolhatjuk,
graph(f) ={(x, f(x))|xD(f)} R R = R2.Az inverz fggvny defincijbl kapjuk, hogy ha f : R R invertlhat, akkor azf1
inverz fggvny grafikonjtfgrafikonjnak azy = xegyenesre val tkrzsvel kapjuk.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
11/62
1.6. EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK 11
1.6.2. Definci. Haf1s f2vals fggvnyek, akkor azf1 f2,f1 f2s f1f2
fggvnyeket
az
(f1 f2)(x) =f1(x) f2(x), xD(f1 f2) =D(f1) D(f2),(f1
f2) =f1(x)
f2(x), x
D(f1
f2) =D(f1)
D(f2),
f1f2
(x) = f
1(x)f2(x)
, xD
f1f2
={xD(f1) D(f2)|f2(x)= 0}
kpletekkel definiljuk.
1.6.3. Definci. Az f : R Rfggvny fellrol korltos (alulrl korltos), ha ltezikc R gy, hogy mindenxD(f)-ref(x)c(f(x)c).
Azf : R R fggvnykorltos , ha korltos fellrol s alulrl is.Knnyu beltni, hogy f : R
Rppen akkor korltos, ha ltezik k > 0gy, hogy
mindenxD(f)-re |f(x)| k.1.6.4. Definci. Azf : R R fggvnymonoton nvekedo (monoton cskkeno), ha br-melyx1,x2 D(f),x1 < x2esetnf(x1) f(x2)(f(x1 f(x2)). Ha az utols egyen-lotlensget-ra) cserljk, akkor aszigoran monoton nvekedo (szigoran monotoncskkeno) fggvny defincijt kapjuk.
Az f : R Rfggvny monoton(szigoran monoton), ha monoton nvekedo vagymonoton cskkeno (szigoran monoton nvekedo vagy szigoran monoton cskkeno).
1.6.5. Definci. Azf : R Rfggvnypros (pratlan), ha brmely x D(f)esetnxD(f), sf(x) =f(x)(f(x) =f(x)).
Minden pros fggvny grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre nzve, s minden pratlanfggvny grafikonja szimmetrikus az origra ((0,0) pontra) nzve.
1.6.6. Definci. Azf : R R fggvnyperiodikus apperidussal, ha brmelyxD(f)esetnx +pD(f), sf(x +p) =f(x).1.6.7. Definci. Azf : R Rfggvnylland (konstans),ha ltezikc Rgy, hogymindenxD(f)esetnf(x) =c.1.6.8. Definci. Azf : R R fggvnyzrushelyn olyanaD(f)pontot rtnk, aholf(a) = 0. Haf(a) = 0, azt is mondjuk, hogyfeltunik azahelyen .
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
12/62
2. fejezetEgyvltozs vals fggvnyekhatrrtke s folytonossga
2.1. Konvergens sorozatok
2.1.1. Definci.Sorozatnakolyan fggvnyt neveznk, amelynek rtelmezsi tartomnyaN.Vals sorozatnak N-en definilt vals fggvnyt neveznk. Haa: N R egy vals sorozat,akkor aza(n)szmotan-nel szoks jellni. Azan-et a sorozatn-edik tagjnakmondjuk. Aza: N R helyett az {an}n=0vagy {an}jells hasznlatos.
A tovbbiakban csak vals sorozatokkal fogunk foglalkozni.
2.1.2. Definci. Aza Rszmot az{an}sorozathatrrtknek (limesznek) mondjuk,ha brmely >0 esetn ltezikn0 N gy, hogy mindennn0-ra |an a| < . Jells:an
avagy lim
n
an = a. A definciban szereplo n0 szmot az hibakorlthoztartoz
kszbszmnaknevezzk.
Azan a Rfelttel geometriailag azt jelenti, hogy brmely > 0esetn az{an}sorozat tagjai vges szm kivtellel benne vannak azx, y- ska < y < a + svjban.2.1.3. Definci. Az{an}sorozatot konvergensnekmondjuk, ha ltezik a R, gy, hogyana. Azokat a sorozatokat, amelyek nem konvergensek,divergensekneknevezzk.2.1.4. Ttel (A hatrrtk egyrtelmusge). Minden konvergens sorozatnak pontosan egyhatrrtke van.
2.1.5. Plda. Legyen an= n
n + 1, n N.
Ha a trtet1
n-nel bovtjk, azt kapjuk, hogy
an= 1
1 + 1n, n N.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
13/62
2.1. KONVERGENS SOROZATOK 13
Ebbol knnyu megsejteni, hogy limn
an = 1. Ezt igazolni fogjuk a definci szerint is.
Legyen >0 adva. Ekkor az |an 1| < felttel (n N esetn) ekvivalens (egyenrtku)az
n
n + 1 1
< ,
illetven 1
1
egyenlotlensggel. Teht brmely olyann0 N, amelyre n0 > 1 1 az hibakorltnak
megfelelo kszbszm. Mivel >0tetszoleges volt, ezrtan1.2.1.6. Definci. Ha{nk}k=0 termszetes szmok szigoran monoton nvekedo sorozata,akkor az {ank)k=0sorozatot az {an}n=0sorozatrszsorozatnak nevezzk.
Az albbi tulajdonsg nyilvnval.
2.1.7. Ttel. Ha az{an}n=0 sorozat konvergens, akkor{an}n=0 brmely{ank)k=0 rsz-sorozata is konvergens, s lim
kank = limn
an.
A ttelbol kvetkezik, hogy azan= (1)n sorozat divergens, hiszen
a2k = 11, s a2k+1=1 1.
Mivel a sorozatok specilis vals fggvnyek, a korltossgukat (alulrl s fellrol is)mr definiltuk.
2.1.8. Ttel (A konvergencia s korltossg kapcsolata).Minden konvergens sorozat korltos.
Azan = (1)n sorozat pldja mutatja, hogy a fordtott llts nem igaz.Kzvetlenl a defincibl vezetheto le a kvetkezo llts.
2.1.9. Ttel. Haan0s a {bn} sorozat korltos, akkoranbn0.A kvetkezo ttel azt mutatja, hogy konvergens sorozatokbl az alapmuvelek alkalmaz-
sval szintn konvergens sorozatokat kapunk.
2.1.10. Ttel(Muveletek hatrrtkekkel). Haana R,bnb R, akkor(i)an+ bn
a + b,
(ii)anbnab,(iii)bn= 0mindenn N-re sb= 0tovbbi felttelek mellettan
bn a
b.
A egyenlotlensg kt konvergens sorozat tagjai kztt rklodik a hatrrtkekre is.2.1.11. Ttel(Hatrtmenet egyenlotlensgekben). Haanbnvges szm kivtellel,ana R sbnb R, akkorab.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
14/62
14 2. HATRRTK, FOLYTONOSSG
Azan= 0sbn= 1
nsorozatok pldja mutatja, hogy az elozo ttelben a egyenlotlen-
sg nem cserlheto ki0esetn ltezikn0 N gy, hogy mindennn0s mn0esetn|an am|< .
2.2. Vgtelenhez tart sorozatok
Most olyan sorozatokat fogunk vizsglni, amelyek minden hatron tl nonek vagy cskken-nek.
2.2.1. Definci. Azt mondjuk, hogy az{an}sorozattart a plusz vgtelenhez (mnusz vg-telenhez), ha brmely c Resetn ltezik n0 Ngy, hogy minden n n0-ra an > c(an< c). Jells:
an (an ), illetve limn
an= ( limn
an=).
Azan (an ) felttel geometriailag azt jelenti, hogy brmelyc R esetn az{an} sorozat tagjai vges szm kivtellel benne vannak az x, y-sk y > c (y < c) flskjban.2.2.2. Plda. Megmutatjuk a definci alapjn, hogy n2 . Legyen c Radott. Hac < 0, akkor az n2 > cegyenlotlensg igaz mindenn
N-re, c
0esetn pedig ppen
akkor teljesl, ha n >c. Teht c < 0esetn brmely n0 N, c 0esetn pedig azn0 N,n0>
cvlaszts felel meg a definciban elort felttelnek.
A kvetkezo tulajdonsg nyilvnval.
2.2.3. Ttel. Haan (an ), akkor{an} alulrl(fellrol)korltos.A -be tart sorozatokra rvnyesek a kvetkezo szablyok.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
15/62
2.3. MONOTON SOROZATOK 15
2.2.4. Ttel(Muveletek vgtelen hatrrtkekkel).
(i) Haan , akkoran .(ii) Haan s {bn} alulrl korltos, akkoran+ bn .(iii) Ha an s van olyan c >0(d 0(an< 0)vges szm kivtellel, akkor 1
an 1
an .
Az (i)(iv)-hez hasonl lltsokat meg lehet fogalmazni arra az esetre is, amikor an.
2.2.5. Ttel(Hatrtmenet egyenlotlensgben). Haanbnvges szm kivtellel san (bn ), akkorbn (an ).
2.3. Monoton sorozatok
Az {an} sorozat ppen akkor monoton nvekedo (monoton cskkeno), ha mindenn N-rean an+1(an an+1), ha pedig a() egyenlotlensget-ra) cserljk, akkor aszigoran monoton nvekedo (szigoran monoton cskkeno) sorozat jellemzst kapjuk.
Egy monoton sorozatnak mindig ltezik (vges vagy vgtelen) hatrrtke.
2.3.1. Ttel(Monoton sorozat hatrrtke). Ha az
{an
}sorozat monoton nvekedo (monoton
cskkeno) s fellrol nem korltos (alulrl nem korltos), akkoran (an ).Ha az{an}sorozat monoton nvekedo (monoton cskkeno) s fellrol korltos (alulrl
korltos), akkoransup A(aninfA), aholA={an|n N}.Specilisan, minden monoton s korltos sorozat konvergens.
2.3.2. Plda. Legyena0=
2s
an+1=
2 + an, n N.
Teljes indukcival bizonythat, hogy{an}monoton nvekedo s mindenn N-re
2an 2. Az elozo ttel szerintan avalamelya R-re. Elvgezve a hatrtmenetet azegyenletben s az utbbi egyenlotlensgben, azt kapjuk, hogy
a=
2 + a s
2a2.
Innena2 = 2 + a, tehta =1vagya = 2. Mivel a2 a 2felttelnek csaka = 2felel meg, ezrta= 2.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
16/62
16 2. HATRRTK, FOLYTONOSSG
2.4. Specilis sorozatok
Ismertetnk nhny fontos sorozatot s azok konvergenciatulajdonsgait.
2.4.1. Ttel(A{qn}geometriai sorozat). Ha q > 1, akkorqn . Ha q = 1, akkorqn = 1
1. Haq
(
1, 1), akkorqn
0. Ha pedigq
1, akkor a
{qn
}n=0sorozatnak
sem vges, sem vgtelen hatrrtke nem ltezik.
2.4.2. Plda.2n + 3n
4n + 5n =
25
n+35
n45
n+ 1
0,
mikzben felhasznltuk a geometriai sorozat konvergenciatulajdonsgait.
2.4.3. Ttel(Az { na} sorozat). Brmelya >0esetn na1.
2.4.4. Ttel(Az
{ n
n
}sorozat). n
n
1.
2.4.5. Plda.limn
n
2n + 1 = 1,
mert mindenn N+-ran
2 n
n= n
2n n2n + 1 n
3n= n
3 n
n,
slimn
( n
2 n
n ) = limn
( n
3 n
n ) = 1.
2.4.6. Ttel(Az
(1 + 1n
)n
sorozat). Az
(1 + 1n
)n
sorozat monoton nvekedo s korltos,ezrt konvergens is.
2.4.7. Definci. Az
e = limn
1 +
1
n
nhatrrtketEuler-fle szmnaknevezzk. Kzelto rtke:
e2, 7.
2.5. A bovtett szmegyenes
2.5.1. Definci. AzR = R {+, }
halmaztbovtett szmegyenesneknevezzk.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
17/62
2.6. KRNYEZETEK S PONTOZOTT KRNYEZETEK 17
A vals szmok < rendezsi relcijt kiterjesztjk R-ra a kvetkezokppen: mindena R esetn
< a, s a
7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
18/62
18 2. HATRRTK, FOLYTONOSSG
K(a) azon x R pontok halmaza, amelyekre|xa| < , azaz a-tl val tvols-guk kisebb, mint . Hasonlkppen, P(a) azon a-tl klnbzo x Rpontok halmaza,amelyekneka-tl val tvolsga kisebb, mint.
A jobb oldali s bal oldali krnyezeteket hasonlkppen definiljuk.
2.6.2. Definci. Aza
R pont (-sugar)jobb oldali (bal oldali) krnyezetn
K+ (a) = [a, a + ) (K (a) = (a , a])
alak intervallumot rtnk, ahol(0, ).Aza R pont (-sugar)jobb oldali (bal oldali) pontozott krnyezetn
P+ (a) = (a, a + ) (P (a) = (a , a))
alak intervallumot rtnk, ahol(0, ).Most a+ s krnyezeteit s pontozott krnyezeteit definiljuk.
2.6.3. Definci. A+
krnyezetn s egyttal pontozott krnyezetn (c, )
alak inter-vallumot rtnk, aholc R.
Akrnyezetn s egyttal pontozott krnyezetn (, c) alak intervallumot r-tnk, aholc R.
2.7. A fggvny hatrrtke
2.7.1. Definci. Ab R szmot azf : R R fggvnyhatrrtknekmondjuk aza Rpontban, ha frtelmezve van a valamely pontozott krnyezetben s brmely olyan {xn}n=0sorozatra, amelyre xn D(f), xn= amindenn N-re, s xn a, a fggvnyrtkek{f(xn)}n=0sorozatab-hez tart. Jells: f(x)b, haxavagylimxa f(x) =b.
Hasonlan definiljuk a jobb oldali s bal oldali hatrrtkeket is.
2.7.2. Definci. Ab Rszmot az f : R Rfggvnyjobb oldali (bal oldali) hatr-rtknekmondjuk aza[, )(a(, ]) pontban, hafrtelmezve vanavala-mely jobb oldali (bal oldali) pontozott krnyezetben s brmely olyan{xn}n=0sorozatra,amelyre xn D(f), xn > a(xn < a) minden n N-re, sxn a, a fggvnyrtkek{f(xn)}n=0sorozatab-hez tart. Jells:f(x)b, haxa+(f(x)b, haxa) vagylimxa+
f(x) =b( limxa
f(x) =b).
Nyilvnval, hogya =
(a = +
) esetn a hatrrtk s a jobb oldali (bal oldali)hatrrtk fogalma megegyezik.
A hatrrtk s a floldali hatrrtkek kztt a kvetkezo a kapcsolat.
2.7.3. Ttel. Legyena R. A limxa
f(x)hatrrtk pontosan akkor ltezik, ha limxa+
f(x)s
limxa
f(x)ltezik, s
limxa
f(x) = limxa+
f(x).
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
19/62
2.7. A FGGVNY HATRRTKE 19
A hatrrtket definilhattuk volna a krnyezetek s pontozott krnyezetek segtsgvelis. Ugyanis igaz a kvetkezo llts.
2.7.4. Ttel. Az f : R Rfggvny hatrrtke az a Rpontban egyenlo a b R szmmalpontosan akkor, ha bbrmelyKkrnyezethez ltezik azaszmnak olyan Ppontozott kr-nyezete, amelyref(P)
K.
Hasonlkppen fogalmazhatjuk t a jobb oldali s bal oldali hatrrtk defincijt is.A defincibl s a sorozatokra vontakoz eredmnyekbol kvetkezik:
2.7.5. Ttel(A hatrrtkszmts szablyai). Legyena R.(i) Ekkor
limxa
(f(x) + g(x)) = limxa
f(x) + limxa
g(x),
limxa
(f(x) g(x)) = limxa
f(x) limxa
g(x),
limxa
f(x)
g(x)
=limxa
f(x)
limxa g(x)
,
feltve, hogylimxa
f(x)s limxa
g(x)ltezik, s a jobb oldalon szereplo m uvelet rtelmezve van
R-ban.(ii) Halim
xaf(x) = 0 sgkorltosavalamely pontozott krnyezetben, akkorlim
xa(f(x)
g(x)) = 0.
(iii) Ha limxa
f(x) = 0s f > 0a valamely pontozott krnyezetben, akkor limxa
1
f(x) =
+.(iv) Ha limxa f(x) = 0s f < 0a valamely pontozott krnyezetben, akkor limxa 1f(x) =
.(v) Ha lim
xaf(x), limxa
g(x)ltezik s f g a valamely pontozott krnyezetben, akkorlimxa
f(x) limxa
g(x).
(vi) (rendorelv) Ha limxa
f(x) = limxa
h(x) = b Rs f g haz a pont valamelypontozott krnyezetben, akkorlim
xag(x) =b.
Hasonl lltsokat lehet megfogalmazni jobb oldali s bal oldali hatrrtkekre is.Most kvetkezzen kt tovbbi fontos llts.
2.7.6. Ttel(Az sszetett fggvny hatrrtke). Legyena R. Halimxa
g(x) =b R, limxb
f(x) =c R,
sg(x)=bmindenx-re azapont valamely pontozott krnyezetbol, akkorlimxa
f(g(x)) =c.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
20/62
20 2. HATRRTK, FOLYTONOSSG
2.7.7. Ttel(Monoton fggvny hatrrtke). Legyen a < b+. Hafmonoton(a, b)-ben, akkor lim
xa+f(x)s lim
xbf(x)ltezik. Hafmonoton nvekedo(a, b)-ben, akkor
limxa+
f(x) = inff((a, b)), limxb
f(x) = sup f((a, b)),
ha pedigfmonoton cskkeno(a, b)-ben, akkor
limxa+
f(x) = sup f((a, b)), limxb
f(x) = inff((a, b)),
aholf((a, b)) ={f(x)|x(a, b)}.
2.8. Folytonossg
2.8.1. Definci. Azf : R R fggvnytfolytonosnakmondjuk azaD(f)helyen, halimxa
f(x) =f(a).
Azf : R R fggvnyjobbrl (balrl) folytonos azaD(f)helyen, halimxa+
f(x) =f(a)
limxa
f(x) =f(a)
.
Nyilvnval, hogy azf : R R fggvny pontosan akkor folytonos azahelyen, ha ittjobbrl s balrl is folytonos.
Ha figyelembe vesszk, hogy a hatrrtk defincja tfogalmazhat krnyezetek segts-gvel, akkor a folytonossg kvetkezo ekvivalens megfogalmazst kapjuk.
2.8.2. Ttel. Azf : R Rfggvny pontosan akkor folytonos az a D(f)helyen, ha frtelmezve vana valamely krnyezetben s brmely > 0esetn ltezik > 0gy, hogy
mindenxD(f), |x a|< esetn |f(x) f(a)|< .Hafnem folytonos azahelyen, azt is mondjuk, hogyf-nek ittszakadsa van.A defincibl s a hatrrtkszmts szablyaibl kvetkeznek az albbi tulajdonsgok.
2.8.3. Ttel(Muveletek folytonos fggvnyekkel). Hafsgfolytonosak azahelyen, akkor(i) ugyanilyenf+ gis,(ii) ugyanilyenf gis,
(iii)g(a)= 0tovbbi felttel mellett ugyanilyen fg
is.
Hagfolytonos azahelyen sffolytonos ag(a)helyen, akkorf gfolytonos azahelyen.Most egy fggvny intervallumon val folytonossgt definiljuk.
2.8.4. Definci. LegyenI R intervallumasbvgpontokkal, ahol a < b+.
Azffggvnytfolytonosnaknevezzk azIintervallumon, haffolytonos mindenc(a, b)pontban, tovbb a I esetn a-ban jobbrl folytonos, b Iesetn pedig b-ben balrlfolytonos.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
21/62
2.8. FOLYTONOSSG 21
2.8.5. Ttel(M uveletek intervallumon folytonos fggvnyekkel). Haf sg folytonosak azI R intervallumon, akkor
(i) ugyanilyenf+ gis,(ii) ugyanilyenf gis,
(iii) hagsehol sem tunik elI-ben, akkor ugyanilyenf
g is.
Most a korltos, zrt intervallumon folytonos fggvnyek fontosabb tulajdonsgait ismer-tetjk.
2.8.6. Ttel(Weierstrass ttele). Ha az ffggvny folytonos az [a, b] Rintervallumon,akkor az[a, b]-hez tartoz fggvnyrtkek kztt mindig van legnagyobb s legkisebb is.
A felttelek fontossgt illusztrlja a kvetkezo kt plda.
2.8.7. Plda. Az
f(x) = 1
x, x(0, 1]
fggvny folytonos a(0, 1]intervallumon. Ugyanakkor
limx0+
f(x) =,
ezrt a(0, 1]intervallumhoz tartoz fggvnyrtkek kztt nincs legnagyobb. Teht Weier-strass ttelben lnyeges, hogy zrt intervallumrl van sz.
2.8.8. Plda. Legyen
f(x) =
1
x, hax(0, 1]
0, hax = 0.
Annak ellenre, hogyfcsak0-ban nem folytonos (jobbrl), a fggvnyrtkek kztt nincs
legnagyobb.2.8.9. Ttel(Bolzano-fle kzblsortk-ttel). Haffolytonos az[a, b]R intervallumon,akkor brmelyf(a)sf(b)kz esodszm esetn van olyanc[a, b], amelyref(c) =d.
Bolzano ttelnek kt fontos kvetkezmnye:
2.8.10. Ttel. Ha ffolytonos az [a, b] R intervallumon s f(a)f(b) < 0, akkor ltezikc(a, b)gy, hogyf(c) = 0.2.8.11. Ttel. Ha az ffggvny folytonos s nem lland az I R intervallumon, akkorf(I)intervallum.
A kvetkezo kt llts az sszetett s inverz fggvny folytonossgrl szl.
2.8.12. Ttel(Az sszetett fggvny folytonossga). Ha gfolytonos s nem lland az I Rintervallumon sffolytonos aJ= g(I)intervallumon, akkorf gfolytonos azIinterval-lumon.
2.8.13. Ttel(Az inverz fggvny folytonossga). Hafszigoran monoton s folytonos azI R intervallumon, akkorfinvertlhat azIintervallumon sf1folytonos aJ = f(I)intervallumon.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
22/62
22 2. HATRRTK, FOLYTONOSSG
2.9. Az elemi alapfggvnyek
Az albbiakban felsorolunk nhny elemi alapfggvnyt s azok fontosabb tulajdonsgait.
Identikus fggvny (id). Az
id(x) =x, x R,kplettel definilt identikus fggvny folytonos s szigoran monoton nvekedoa(, )-n.
Pozitv kitevoj u hatvnyfggvnyek (idn,n N+). Brmelyn N+ esetn azidn(x) =xn, x R,
kplettel definilt n-edik hatvnyfggvny folytonos a (, )-n; pratlan n esetna (, )-n szigoran monoton nvekedo, ha pedig n pros, akkor a (, 0]-n szigo-ran monoton cskkeno s a[0,
)-n szigoran monoton nvekedo. Han pros (pratlan),
akkor azidn fggvny is pros (pratlan).Negatv kitevoj u hatvnyfggvnyek ((idn,n N+). Brmelyn N+ esetn az
idn(x) =xn = 1
xn, x R \ {0}
kplettel definilt idn : R\ {0} : R hatvnyfggvny folytonos a (, 0)s (0, )intervallumon; a (0, )-n szigoran monoton cskkeno, tovbb pros vagy pratlan attlfggoen, hogynpros vagy pratlan.
Gykfggvnyek (id1
n ,n N+). Brmelyn N+ esetn azn-edik gykfggvnyt, jeleid
1
n , az
id1
n =
idn1 hanpratlan
idn|[0,)
1
hanpros
kplettel definiljuk. Jells:
id1
n (x) = n
x, x
(, ) hanpratlan[0, ) hanpros
Azid1
n fggvny folytonos s szigoran monoton nvekedo a[0,
)-n, illetve a(
,
)-n
attl fggoen, hogynpros vagy pratlan.
Polinomok. Legyenn N sa0, a1, . . . , an R adottak. Ap(x) =a0x
n + a1xn1 + + an, x R,
kplettel definilt p : R Rfggvnyt n-edfok polinomnaknevezzk; az a0 szm a ppolinomf oegytthatja . Appolinom folytonos a(, )-n.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
23/62
2.9. AZ ELEMI ALAPFGGVNYEK 23
Termszetes logaritmusfggvny (ln). Meg lehet mutatni, hogy ltezik egy vals fgg-vny, jeleln, a kvetkezo tulajdonsgokkal:
D(ln) = (0, ),ln(xy) = ln x + ln y, hax,y(0, ),
limx0ln(1 + x)
x = 1.
Ezek a tulajdonsgok azlnfggvnyt egyrtelmuen meghatrozzk. Azlnfggvnytterm-szetes logaritmusfggvnynek nevezzk. Azln fggvny szigoran monoton nvekedo sfolytonos a(0, )-n, tovbb
ln1 = 0, ln e= 1,
ln xn =n ln x, hax(0, )sn N,limx0+
ln x=, limx
ln x=.
Exponenclis fggvny (exp). Azexponencilis fggvnyt, jeleexp, az
exp = (ln)1
kplettel definiljuk. Azexp : (, ) (0, )fggvny pozitv, szigoran monotonnvekedo s folytonos a(, )-n. Tovbbi fontosabb tulajdonsgai:
exp 0 = 1, exp 1 =e,
exp(x + y) = exp x exp y, hax,y R,limx
exp x= 0, limx
exp x=,
limn
1 + xn
n= exp x,
limx0
exp x 1x
= 1.
Azexps lnfggvnyek segtsgvel definilhatjuk egy pozitv szm tetszoleges hatv-nyt.
2.9.1. Definci. Brmelya(0, )sb R esetnab = exp(b ln a).
Mivelln e= 1, ezrt a definci szerint
ex = exp x, x R.
ltalnos alap exponencilis fggvny (expa,a > 0,a= 1). Brmelya (0, 1) (1, )esetn az
expa x= ax = exp(x ln a), x R,
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
24/62
24 2. HATRRTK, FOLYTONOSSG
kplettel definiltexpa : (, )(0, )fggvnytaalap exponencilis fggvnyneknevezzk. Azexpafggvny pozitv, folytonos, a(0, 1)esetn szigoran monoton cskke-no,a(1, )esetn pedig szigoran monoton nvekedo. Tovbbi fontosabb tulajdonsgai:
a0 = 1,
ax+y =axay, hax,y
R,axy
=axy, hax,y R,haa(0, 1), akkor lim
xax = s lim
xax = 0.
haa(1, ), akkor limx
ax = 0s limx
ax =.
ltalnos alap logaritmusfggvny (loga,a >0,a= 1). Brmelya(0, 1) (1, )esetn aloga-val jelltaalap logaritmusfggvny defincija:
loga= expa1.Aloga : (0, ) Rfggvny folytonos, a (0, 1)esetn szigoran monoton cskkeno,a(1, )esetn pedig szigoran monoton nvekedo. Fontosabb tulajdonsgai:
loga1 = 0,
loga(ax) =x, hax R,
alogax =x, hax(0, ),
loga(xy) = loga x + loga y, hax,y(0, ),loga(xy) =y loga x, hax
(0,
)sy
R;
loga x=ln xln a
, hax(0, ),
haa(0, 1), akkor limx0+
loga x= s limx
loga x=,haa(1, ), akkor lim
x0+loga x= s lim
xloga x=.
ltalnos kitevoj u hatvnyfggvny (idb,b R). Brmelyb R esetn az
idb(x) =xb = exp(b ln x), x(0, ),
kplettel definiltidb : (0, )fggvny folytonos a(0, )-n. Hab(0, ), akkor szigor-an monoton nvekedo, ha pedigb(, 0), akkor szigoran monoton cskkeno. Tovbbitulajdonsgok:
xb = 1
xb, hax(0, )sb R,
xb+c =xbxc, hax(0, )sb,c R,(xb)c =xbc, hax(0, )sb,c R,
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
25/62
2.9. AZ ELEMI ALAPFGGVNYEK 25
hab(0, ), akkor limx0+
xb = 0 s limx
xb =.hab(, 0), akkor lim
x0+xb = s lim
xxb = 0.
A harmadik tulajdonsg szerint hax(0, )sn N+, akkor
x 1nn =x.Teht
x1
n = n
x, hax(0, )sn N+.
Trigonometrikus fggvnyek (sin, cos, tg, ctg). Az x, y-sk 1 sugar krvonalnakmindenP pontja azonosthat azzal a radinban mrt x [0, 2)szggel, amelyet az OPszakasz (O = (0, 0)) bezr azx-tengely pozitv irnyval. A[0, 2)-n gy definiljuk asinscos(szinusz s koszinusz ) fggvnyeket, hogy azx [0, 2)szggel azonostott Ppontkoordinti:P= (cos x, sin x). Ezutn mindkt fggvnyt kiterjesztjk a(, )-re a
sin(x + 2k) = sin x, cos(x + 2k) = cos x, x
[0, 2), k
Z,
kplettel. EkkorD(sin) = D(cos) = (, ), R(sin) = R(cos) = [1, 1]. Mindktfggvny periodikus2peridussal s folytonos a(, )-n. Asin fggvny szigoranmonoton nvekedo a [/2, /2]-n s szigoran monoton cskkeno a [/2, 3/2]-n. Acosfggvny szigoran monoton cskkeno a[0, ]-n s szigoran monoton nvekedo a[, 2]-n.Tovbbi fontosabb tulajdonsgok:
sin 0 = 0, sin
6 =
1
2, sin
4 =
2
2 , sin
3 =
3
2 , sin
2 = 1, sin = 0,
cos 0 = 1, cos
6 =
3
2 , cos
4 =
2
2 , cos
3 =
1
2, cos
2 = 0, cos =1,
sin(x) = sin x, cos(x) = cos x, x R,sin2 x + cos2 x= 1, x R,
sin(x + y) = sin x cos y+ cos x sin y, x, y R,cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, x, y R,
sin(2x) = 2 sin x cos x, cos(2x) = cos2 x sin2 x, x R,sin2 x=
1 cos(2x)2
, cos2 x=1 + cos(2x)
2 , x R,
sin x sin y= 2 sinx y2
cosx + y
2 , x, y R,
cos x cos y=2sinx + y2
sinx y2
, x, y R,
limx0
sin x
x = 1.
Atg(tangens ) sctg(kotangens ) fggvnyeket a
tg x= sin x
cos x, hax R \ {/2 + k|k Z},
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
26/62
26 2. HATRRTK, FOLYTONOSSG
illetvectg x=
cos x
sin x, hax R \ {k|k Z},
kpletekkel rtelmezzk. Teht
D(tg) = R \ {/2 + k|k Z}, D(ctg) = R \ {k|k Z}.
Megjegyezzk, hogy az angol nyelvu irodalomban atanscotjells hasznlatostgsctghelyett. Mindkt fggvny periodikusperidussal, tovbb mindkt fggvny folytonos azrtelmezsi tartomnynak rszintervallumain. Atgfggvny szigoran monoton nvekedoa(/2, /2)intervallumon,tg 0 = 0, s
limx
2+
tg x=, limx
2
tg x= +.
Actgfggvny szigoran monoton cskkeno a(0, )-n,ctg 2 = 0, s
limx0+
ctg x= +, limx
ctg x=.
Arkuszfggvnyek (arcsin,arccos,arctg,arcctg). Az arkusz sz latin eredetu, jelent-se: v. Azarkuszszinusz-, arkuszkoszinusz-, arkusztangens-, s arkuszkotangens-fggvnye-keta kvetkezokppen definiljuk:
arcsin =
sin |[/2,/2]1
arccos =
cos |[0,]1
arctg =
tg |(/2,/2)1
arcctg =
ctg |(0,)
1
Az arcsin : [1, 1] [/2, /2] pratlan, folytonos s szigoran monoton nvekedoa[1, 1]-n, tovbb
arcsin(1) =2
, arcsin 0 = 0, arcsin 1 =
2.
Azarccos : [1, 1][0, ]folytonos s szigoran monoton cskkeno a[1, 1]-n, tovbb
arccos(1) =, arccos 0 = 2
, arccos 1 = 0.
Azarctg : (, ) (/2, /2)pratlan, folytonos s szigoran monoton nvekedoa(, )-n,arctg 0 = 0, valamint
limx
arctg x=2
, limx
arctg x= 2
.
Az arcctg : (, ) (0, ) folytonos s szigoran monoton cskkeno a (, )intervallumon,arcctg 0 =/2, tovbb
limx
arcctg x= , limx
arcctg x= 0.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
27/62
2.9. AZ ELEMI ALAPFGGVNYEK 27
Az arkuszfggvnyek grafikonjai:
2.1. bra.
2.2. bra.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
28/62
28 2. HATRRTK, FOLYTONOSSG
2.3. bra.
2.4. bra.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
29/62
3. fejezetEgyvltozs vals fggvnyekdifferencilszmtsa
3.1. A differencilhatsg fogalma
3.1.1. Definci. Legyenf : RR rtelmezve azaD(f)pont valamely krnyezetben,s legyenxD(f) \ {a}. Az
f(x) f(a)x a
hnyadost azffggvnyasxhelyekhez tartozklnbsgi hnyadosnaknevezzk.
Az a s x helyekhez tartoz klnbsgi hnyados az fgrafikonjnak (a, f(a)) s (x, f(x))pontjait sszekto egyenes (szelo ) meredeksge (az brn lthatszg tangense).
3.1. bra.
3.1.2. Definci. Ha a
limxa
f(x) f(a)x a
hatrrtk ltezik s vges, akkor az ffggvnytdifferencilhatnakmondjuk azahelyen,a hatrrtket pedig azffggvnyapontbelidifferencilhnyadosnaknevezzk.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
30/62
30 3. DIFFERENCILSZMTS
3.1.3. Definci. Azf : R R fggvnyderivltfggvnye rvidenderivltja,jelefvagydf
dx, az a fggvny, amelynek rtelmezsi tartomnya D(f)azon x pontjaibl ll, amelyekben
fdifferencilhat, s minden ilyen x-hez azf fggvnyx pontbeli differencilhnyadostrendeli hozz.
Teht D(f) ={aD(f)|fdifferencilhat azahelyen }s
f(a) = limxa
f(x) f(a)x a , haaD(f
).
3.1.4. Definci. Haf : R R differencilhat azahelyen, akkor az
y= f(a)(x a) + f(a)
egyenest azffggvnyahelyhez tartozrintojneknevezzk.
Teht azf(a)differencilhnyados azffggvnyahelyhez tartoz rintojnek a mere-deksge (az brn lthatszg tangense).
3.2. bra.
Az f : R R fggvny a pontbelijobb oldali(bal oldali)differencilhnyadosnak(de-rivltjnak) defincijt gy kapjuk, hogy az a ponbeli differencilhnyados defincijbanszereplo hatrrtket jobb oldali (bal oldali) hatrrtkkel helyettestjk. Jele:f+(a)(f
(a)).
Teht
f+(a) = limxa+
f(x) f(a)x a
s
f(a) = limxa
f(x) f(a)x a ,
feltve, hogy a jobb oldali, illetve bal oldali hatrrtk ltezik s vges. A kvetkezo ssze-fggs nyilvnval.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
31/62
3.2. DIFFERENCILSI SZABLYOK 31
3.1.5. Ttel. f(a)ppen akkor ltezik, haf+(a)sf(a)is ltezik, s
f+(a) =f(a).
3.1.6. Plda. Azf(x) =|x|,x R, fggvny nem differencilhat0-ban, mert
f+(0) = limx0+
|x| 0x 0 = limx0+
xx
= 1,
s
f(0) = limx0
|x| 0x 0 = limx0+
xx
=1.
A kvetkezo ttel a differencilhatsg s folytonossg kztti kapcsolatrl szl.
3.1.7. Ttel. Haf : R R differencilhat azahelyen, akkor itt folytonos is.
A ttel megfordtsa nem igaz, mert pldul az f(x) =|
x|,x
R, fggvny folytonos
0-ban, de itt nem differencilhat.
3.2. Differencilsi szablyok
A kvetkezo ttelek a fontosabb differencilsi szablyokat rjk le.
3.2.1. Ttel(Differencilsi szablyok). Haf : R Rs g : R Rdifferencilhat azahelyen, akkor ugyanilyen azf g,f g, s ag(a)= 0felttel mellett az f
g fggvny is,
mgpedig
(f g)(a) =f(a) g(a),(f g)(a) =f(a)g(a) + f(a)g(a),
f
g
(a) =
f(a)g(a) f(a)g(a)g2(a)
.
3.2.2. Ttel (Az sszetett fggvny differencilsa). Hag : R Rdifferencilhat az ahelyen s f : R Rdifferencilhat a g(a)helyen, akkorf g is differencilhat az ahelyen, mgpedig
(f
g)(a) =f(g(a))
g(a).
3.2.3. Ttel (Az inverz fggvny differencilsa). Ha f : R Rfolytonos s szigoranmonoton azapont valamely krnyezetben, differencilhat azahelyen sf(a)= 0, akkorf1is differencilhat ab= f(a)helyen, mgpedig
f1
(b) =
1
f(a)=
1
f(f1(b)).
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
32/62
32 3. DIFFERENCILSZMTS
3.3. Az elemi alapfggvnyek derivltjai
Az elemi alapfggvnyek derivltfggvnyeit tblzatban foglaltuk ssze.
f(x) f(x)
c 0
xb bxb1
ex ex
ax ax ln a
ln x 1
x
loga x 1
x ln a
sin x cos xcos x sin x
tg x 1
cos2 x
ctg x 1sin2 x
arcsin x 1
1 x2arccos x
1
1 x2
arctg x 1
1 + x2
arcctg x 11 + x2
(c R, b R, a(0, ) \ {1})A tblzat gy rtendo, hogyfdifferencilhat minden olyanx helyen, ahol frtelmezvevan s azf(x)kifejezs rtelmes.
Elofordul, hogy egy fggvny az rtelmezsi tartomnynak feltntetse nlkl, csak a
kpletvel van megadva. Ilyenkor a fggvny rtelmezsi tartomnyn minden olyanxRszmnak a halmazt rtjk, amelyekre a kifejezs rtelmes. Kivtelt csak a
h(x) =f(x)g(x)
alak fggvnyek kpeznek, amelyek rtelmezsi tartomnyn a
D(h) ={ xD(f) D(g)|f(x)> 0 }
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
33/62
3.4. MAGASABB RENDU DERIVLTAK 33
halmazt rtjk. Az ilyen esetekben a derivltfggvny jellsref(x)helyett a knyelme-sebb(f(x))szimblum hasznlatos. Eszerint azln(x 2)fggvny rtelmezsi tartom-nya a(2, )intervallum, s itt
ln(x 2)
=
1
x 2 .
3.3.1. Plda. Azxx fggvny rtelmezsi tartomnya a(0, )intervallum, s itt(xx)=
ex ln x
= ex lnx(x ln x)= ex lnx
1 ln x + x
1
x
= xx(ln x + 1).
3.4. Magasabb rendu derivltak
3.4.1. Definci. Azf : R Rfggvnyelso derivltjn az f derivltfggvnyt rtjk.Brmelyn N+ esetnf (n+ 1)-edik derivltjnakaz n-edik derivlt derivltfggvnytmondjuk. Az f n-edik derivltjt f(n)-nel jelljk. Ha a D(f(n)), akkor f-et n-szerdifferencilhatnakmondjuk azahelyen.
Magtf-etfnulladik derivltjnakis szoktk nevezni, s f(0)-val jellik. Azn = 2, 3esetben inkbb az
f(2) =f, f(3) =f
jells hasznlatos. Tallkozhatunk azn-edik derivlt
f(n) =dnf
dxn
trt alak jellsvel is.
3.5. Intervallumon val differencilhatsg3.5.1. Definci. LegyenI R intervallumasbvgpontokkal, ahol
a < b .Azt mondjuk, hogy azf :I R fggvnydifferencilhat azIintervallumon , ha fdiffe-rencilhat mindenx(a, b)helyen, tovbb haaI, akkorf a-ban jobbrl differencil-hat, ha pedigbI, akkorf b-ben balrl differencilhat. Ekkor az
fI(x) =
=f(x), hax(a, b)=f+(a), hax= asaI=f(b), hax= bsbI
kplettel definiltfI :I R fggvnyt azffggvnyIintervallumon vett derivltfggv-nyneknevezzk.
A tovbbiakban szksgnk lesz a kvetkezo fogalomra is.
3.5.2. Definci. Azffggvnytfolytonosan differencilhatnaknevezzk azI R inter-vallumon, hafdifferencilhatI-n s azfIderivltfggvny folytonosI-n.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
34/62
34 3. DIFFERENCILSZMTS
3.6. Kzprtkttelek
Ismertetjk a differencilszmts hrom fontos kzprtkttelt.
3.6.1. Ttel(Rolle ttele). Legyen[a, b]R. Haf : RRfolytonos[a, b]-n, differencil-hat(a, b)-n sf(a) =f(b), akkor ltezikc(a, b)gy, hogy
f(c) = 0.
A ttel felttelei mellett az ffggvnynek van olyan rintoje, amelyik prhuzamos azx-tengellyel.
3.6.2. Ttel (Lagrange ttele). Legyen [a, b] R. Ha f : R R folytonos [a, b]-n sdifferencilhat(a, b)-n, akkor ltezikc(a, b)gy, hogy
f(c) =f(b) f(a)
b a .
A ttel felttelei mellett az ffggvnynek van olyan rintoje, amelyik prhuzamos aza
sbhelyekhez tartoz szelovel.Azf(b) =f(a)esetben Lagrange ttele Rolle ttelbe megy t.
3.6.3. Ttel(Cauchy ttele). Legyen[a, b] R. Haf : R Rs g : R Rfolytonosak[a, b]-n, differencilhatk(a, b)-n s gsehol sem tunik el(a, b)-n, akkor ltezikc(a, b)gy,hogy
f(c)
g(c) =
f(b) f(a)g(b) g(a) .
Ag(x) =xesetben Cauchy ttele Lagrange ttelbe megy t.
3.7. Monotonitsi kritriumok3.7.1. Definci. LegyenI R intervallumasbvgpontokkal, ahol
a < b .AzIintervallum belsejn az(a, b)intervallumot rtjk. Jele: int I
A kvetkezo fontos ttel Lagrange ttelnek kvetkezmnye.
3.7.2. Ttel (Monotonitsi kritriumok). Legyen I R intervallum. Ha az f : R Rfggvny folytonos I-n, differencilhat Ibelsejben, s f
0 (f
0) I belsejben,
akkorf az Iintervallumon monoton nvekedo (monoton cskkeno), ha pedig az f 0(f0) felttelt az f> 0(f< 0) felttelre cserljk, akkorfszigoran monoton nvekedo(szigoran monoton cskkeno)I-n.
Az elozo ttel specilis esete a kvetkezo:
3.7.3. Ttel. LegyenI R intervallum. Haf : R RfolytonosI-n sf= 0Ibelsejben,akkorflland.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
35/62
3.8. A LHOSPITAL-SZABLY 35
3.8. A LHospital-szably
A Cauchy-fle kzprtkttel segtsgvel lehet bizonytani a kvetkezo lltst.
3.8.1. Ttel(LHospital-szably). Legyena R. Tegyk fel, hogy vagy
limxa f(x) = limxa g(x) = 0,
vagy pediglimxa
|g(x)|=.
Ha valamelyb R esetnlimxa
f(x)
g(x) =b,
akkor
limx
a
f(x)
g(x) =b.
Hasonl lltsok igazak jobb oldali s bal oldali hatrrtkek esetn is.
3.8.2. Plda. A LHospital-szably ismtelt alkalmazsval kapjuk, hogy
limx0
ex sin x 1x2
= limx0
ex cos x2x
= limx0
ex + sin x
2 =
1
2.
3.8.3. Plda. A LHospital-szably szerint
limx
ln(1 + 3x)7
ln(2 + 5x)4 = limx
7 ln(1 + 3x)
4 ln(1 + 5x)
=7
4
limx
3
1 + 3x
52 + 5x
=21
20
limx
2 + 5x
1 + 3x
=7
4
.
3.9. Abszolt s loklis szlsortkek
3.9.1. Definci. Legyen adva egyf : R Rfggvny. Aza D(f)szmotfabszoltmaximumhelynek (abszolt minimumhelynek) mondjuk, ha mindenx D(f)-ref(x)f(a)(f(x)f(a)).
Az abszolt maximumhely s abszolt minimumhely kzs neve abszolt szlsortk-hely.Az abszolt szlsortkhely helyett agloblis szlsortkhely elnevezs is hasznlatos.
3.9.2. Definci. Az a D(f)szmf loklis maximumhelye (loklis minimumhelye) , hafdefinilva van avalamely -sugar krnyezetben ( > 0), tovbb minden x (a, a) (a, a + )esetnf(x)f(a)(f(x)f(a)). Ha () egyenlotlensget-ra)cserljk, akkor aszigor loklis maximumhely (szigor loklis minimumhely) defincijtkapjuk.
A (szigor) loklis maximumhelyek s loklis minimuhelyek kzs neve(szigor) loklisszlsortkhely.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
36/62
36 3. DIFFERENCILSZMTS
A kvetkezo ttelben loklis szlsortkhely ltezsnek szksges felttelt adjuk meg.
3.9.3. Ttel. Haaazf : R Rfggvny loklis szls ortkhelye sfdifferencilhat azahelyen, akkorf(a) = 0.
3.9.4. Definci. Azokat az a pontokat, amelyekre f(a) = 0az f : R R fggvnykritikus(stacionrius) pontjainak nevezzk.
3.9.5. Plda. Knnyu ellenorizni, hogy 0 az f(x) = x3, x R, fggvny kritikus pontja,ugyanakkorfszigoran monoton nvekedo a(, )-n. Teht egy kritikus pont ltalbannem loklis szlsortkhely.
A monotonitsi kritriumokbl kvetkezik, hogy ha a az f : R Rfggvny kritikuspontja, s azfderivltfggvny elojelet vlt az a pontban, akkora f-nek loklis szlsor-tkhelye.
Weierstrass ttelbol tudjuk, hogy brmely korltos zrt intervallumon folytonos fgg-vnynek van abszolt maximumhelye s abszolt minimumhelye. Ezeket a kvetkezokppenhatrozhatjuk meg:
3.9.6. Ttel. Legyen[a, b] R. Haffolytonos[a, b]-n, akkor legnagyobb (legkisebb) rtktvagy az intervallum valamelyik vgpontjban, vagy pedig olyanc(a, b)pontban veszi fel,aholf(c) = 0vagyf(c)nem ltezik.
3.9.7. Plda. Keressk meg az
f(x) = 3x4 20x3 + 48x2 48x + 1, x[0, 3],fggvny (abszolt) maximumt s minimumt. Mivelffolytonos s
f(x) = 12(x3 5x2 + 8x 4) = 12(x 1)(x 2)2, x(0, 3),ezrt az elozo ttel szerintfmaximumhelye s minimuhelye az
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3
pontok valamelyike. sszehasonltva az
f(0) = 1, f(1) =16, f(2) =15, f(3) =8fggvnyrtkeket azt kapjuk, hogy a legnagyobb fggvnyrtk1, a legkisebb pedig 16.
3.10. Konvexsg, konkvsg
Emlkeztetol: egyf : R
R fggvny x1, x2
D(f), x1 < x2, helyekhez tartozszelojnek meredeksge
f(x2) f(x1)x2 x1 ,
a szelo egyenlete pedig
y=f(x2) f(x1)
x2 x1 (x x1) + f(x1).
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
37/62
3.10. KONVEXSG, KONKVSG 37
3.10.1. Definci. Legyen I R intervallum s f :I R. Az ffggvnyt az I-nkonvexnek(konkvnak) mondjuk, ha brmelyx1,x,x2I,x1 < x < x2, esetn
f(x) f(x2) f(x1)x2 x1 (x x1) + f(x1),
f(x) f(x2) f(x1)
x2 x1 (x x1) + f(x1)
.
Ha () egyenlotlensget-ra) cserljk, akkor azI-nszigoran konvex (szigorankonkv) fggvny defincijt kapjuk.
Azffggvny akkor konvex (konkv) azIintervallumon, ha brmelyx1,x2I,x1 -re ( 0a(, 13
),( 13
, )intervallumokon,ezrt a( 1
3, 1
3)-nfszigoran konkv, a(, 1
3)-n s az( 1
3, )-n pedig szigoran
konvex.
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
38/62
4. fejezetEgyvltozs vals fggvnyekintegrlszmtsa
4.1. Primitv fggvny s hatrozatlan integrl
4.1.1. Definci. Legyen I R intervallum s f egy I-n definilt vals fggvny. AzF : I Rfggvnyt fprimitv fggvnynekmondjuk az I intervallumon, ha Fdiffe-rencilhatI-n s ittFI=f.
Emlkeztetol:FIaz FfggvnyI-n vett derivltjt jelli (lsd3.5.1Definci).A kvetkezo tulajdonsg Lagrange ttelnek kvetkezmnye.
4.1.2. Ttel.Ha Faz ffggvny primitv fggvnye az Iintervallumon, akkor minden c Resetn F+c is primitv fggvnye f-nekI-n, s fbrmely primitv fggvnye I-n F+c alak,aholc R.
4.1.3. Definci. Egyfvals fggvnyhatrozatlan integrljn azI R intervallumonfI-n vett primitv fggvnyeinek halmazt rtjk (ha nem res). Jells:
fvagy
f(x) dx.
Azffggvnytintegrandusnaknevezzk.
HaFprimitv fggvnyef-nekI-n, akkor f={ F+ c|c R } I-n.
Ezt a kvetkezo pontatlan, de rvidsge miatt knyelmes s ezrt ltalnosan hasznlt alakbanszoks rni:
f=F+ c, (azIintervallumon),vagy
f(x) dx= F(x) + c, (xI).Mivel
x2
2
=x, x(, ),
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
39/62
4.2. ALAPINTEGRLOK 39
ezrt x dx=
x2
2 + c, x(, ).
4.2. Alapintegrlok
A differencilsi szablyok megfordtsval kapjuk a kvetkezo integrlokat.
f(x) dx F(x) + c
xb dx xb+1
b + 1+ c
1
xdx ln |x| + c
ex dx ex + c ax dx
ax
ln a+ c
sin x dx cos x + c cos x dx sin x + c 1
cos2 xdx tg x + c
1sin2 xdx ctg x + c
11 x2 dx arcsin x + c
1
1 + x2dx arctg x + c
(b R \ {1}, a(0, ) \ {1})
A tblzatban szereplo integrlformulk rvnyesek minden olyan nylt intervallumon, ahol
fs a jobb oldalon szereplo fggvny rtelmezve van.
4.3. Integrls elemi talaktsokkal
4.3.1. Ttel(Linearits). Haf-nek sg-nek primitv fggvnye az (a, b)R intervallumonF, illetveG, tovbbk R, akkor(kf)-nek primitv fggvnye (a, b)-n kF, (f+g)-nek
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
40/62
40 4. INTEGRLSZMTS
pedigF+ G. Eszerint (kf) =k
f,
(f+ g) = f+ g.Az elso kpletet gy kell rteni, hogy az
(kf)fggvnyhalmaz elemei az
ffggvny-
halmaz elemeinekk-szorosai, a msodik kpletet pedig gy, hogy az
(f+ g)fggvnyhal-maz elemei az
fs
gfggvnyhalmaz elemeinek sszeadsval llnak elo. Hasonlkp-
pen rtendok a tovbbi hatrozatlan integrlokkal kapcsolatos kpletek is.
4.3.2. Ttel (Lineris helyettests). Legyen f-nek az (, ) R intervallumon primitvfggvnyeF, tovbbg(x) = ax+ b lineris fggvny, a, b R, a= 0, s (, )olyanintervallum, hogyg((, ))(, ). Ekkor azf gfggvnynek(, )-n primitv fggvnye1
a(F g), azaz
f(ax + b) dx=
1
aF(ax + b) + c, x(, ).
4.3.3. Plda.3x + 5 dx=
(3x + 5)
1
2 dx=1
3
(3x + 5)3
2
32
+ c=2
9
(3x + 5)3 + c,
aholx(53
, ).4.3.4. Plda.
cos2 x dx=
1 + cos 2x
2 dx=
1
2+
cos 2x
2
dx
=1
2
1 dx +
1
2
cos2x dx=
1
2x +
1
2
sin2x
2 + c=
x
2+
sin 2x
4 + c,
aholx(, ).
4.4. Parcilis integrls
A szorzat derivltjbl knnyen levezetheto a kvetkezo ttel.4.4.1. Ttel(Parcilis integrls). Legyen(a, b) R. Hafsgdifferencilhatk(a, b)-n sazf gfggvnynek van primitv fggvnye(a, b)-n, akkor azfgfggvnynek is van primitvfggvnye(a, b)-n, s
f(x)g(x) dx= f(x)g(x)
f(x)g(x) dx, x(a, b).
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
41/62
4.5. INTEGRLS HELYETTESTSSEL 41
4.4.2. Plda. (cos x)x dx=
(sin x)x dx= (sin x)x
(sin x)1 dx= (sin x)x + cos x + c,
aholx
(
,
).
4.5. Integrls helyettestssel
Az albbi ttel az sszetett fggvny differencilsi szablybl kvetkezik.
4.5.1. Ttel(1. tpus helyettests). Legyengdifferencilhat s nem lland az(a, b) Rintervallumon. Ha Fprimitv fggvnye f-nek a g((a, b))intervallumon, akkorFgprimitvfggvnyef-nek(a, b)-n, azaz
(f(g(x))g(x) dx= F(g(x)) + c, x(a, b),
avagy (f(g(x))g(x) dx=
f(u) du
u=g(x)
.
Ez utbbi kplethez formlisan gy is eljuthatunk, hogy a bal oldali integrlban bevezet-
jk azu = g(x)helyettestst, majd a du
dx = g(x)kpletbol ag (x) dx = dusszefggst
szrmaztatjuk, s gy jutunk a jobb oldalon lthat integrlhoz.
4.5.2. Plda. Az
(sin2 x)cos x dx
integrlbl azu= sin xhelyettestssel, amikordu
dx= cos x, s gycos x dx= du, az
u2 du
u=sinx
integrlt kapjuk. Mivel u2 du=
u3
3 + c,
ezrt
(sin2 x)cos x dx= sin3 x
3 + c, x
(
,
).
4.5.3. Ttel (2. tpus helyettests). Tegyk fel, hogy g differencilhat az (, ) Rintervallumon s g sehol sem tunik el (, )-n. Ha H primitv fggvnye (f g)g-nek(, )-n, akkorH g1primitv fggvnyef-nek ag((, ))intervallumon, azaz
f(x) dx=
(f(g(u)))g(u) du
u=g
1(x)
, xg((, )).
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
42/62
42 4. INTEGRLSZMTS
A kplethez formlisan gy juthatunk el, hogy a bal oldali integrlban elvgezzk az
x = g(u) helyettestst, majd a dx
du = g(u) sszefggsbol a dx = g(u) du kifejezst
szrmaztatjuk, vgl megkapjuk a jobb oldali integrlt. Ennek kiszmtsa utn u helybeg1(x)-et kell runk.
4.5.4. Plda. Az x 3x 1 dx
integrlbl azx= u3 + 1helyettestssel adx
du= 3u2 sdx= 3u2dukifejezseket hasznlva
az (u3 + 1)u 3u2 du= 3
(u6 + u3) du
integrlt kapjuk. Ezt mr ki tudjuk szmtani:
3
(u6 + u3) du= 3
u7
7 +
u4
4
+ c=
3
7u7 +
3
4u4 + c.
Vgl azx= u3
+ 1sszefggsbol nyertu= 3
x 1felhaszlsval kapjuk, hogy x 3
x 1 dx= 3
7
3
x 17 +34
3
x 14 + c, x(, ).4.6. A Riemann-integrl defincija
Adott egy nemnegatv folytonosfaz[a, b]R intervallumon. Kiszmtand annak a gr-bevonal trapznak aTterlete, amelyet fellrol azy = f(x)grbe, oldalrl azx = asx = begyenesek, alulrl pedig az x-tengely hatrol. Az albbiakban definilt fogalmak se-gtsgvel als s felso becslst adhatunkT-re. A konstrukci abban az ltalnosabb esetben
is hasznlhat, amikorfcsupn korltos[a, b]-n.4.6.1. Definci. Az[a, b] Rintervallumfelosztsn olyan vges{x0, . . . , xk}sorozatotrtnk, amelyre
a= x0 < x1
7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
43/62
4.6. A RIEMANN-INTEGRL DEFINCIJA 43
4.1. bra.
Hafkorltos[a, b]-n, akkor[a, b]brmelyfelosztsra
inff([a, b])
(b
a)
s
S
sup f(([a, b])
(b
a).
4.6.3. Definci. Brmely[a, b]-n korltosfesetn legyen
IA= sup{ s|az[a, b]felosztsa },s
IF= inf{ S|az[a, b]felosztsa }.AzIAszmot azffggvny(Darboux-fle) als integrljnak, azIFszmot pedigf(Dar-boux-fle) felso integrljnaknevezzk.
Nyilvnval, hogy ha fnemnegatv s folytonos[a, b]-n, akkor az[a, b]brmely felosz-
tsra sT S,s ezrt
IATIFis teljesl, aholTa kiszmtand terlet.
4.6.4. Definci. Azf fggvnytintegrlhatnakmondjuk az[a, b] Rintervallumon, hafkorltos[a, b]-n sIA = IF. Ekkor azI = IA = IFkzs rtket az f fggvny[a, b]-nvettRiemann-fle hatrozott integrljnak, vagy rvidenRiemann-integrljnaknevezzk.Jele:
ba f vagy
ba f(x) dx.
Szksgnk lesz a kvetkezo fogalomra.
4.6.5. Definci. Azt mondjuk, hogy azffggvnyszakaszosan folytonos (szakaszosan mo-noton) az[a, b] Rintervallumon, ha[a, b]-nek ltezik{x0, . . . , xk}felosztsa (a = x0 0.
Ekkorx,x, . . . , x(n) .
5.5. A soros RLC ramkr vizsglata
Most trjnk vissza a bevezetoben trgyalt soros RLC ramkr kapcsn felmerlt
LQ(t) + RQ(t) + 1
CQ(t) =E(t),
Q(0) =Q0, Q(0) =I(0) =I0
kezdetirtk-feladat vizsglathoz.Az elso egyenlet mindkt oldalnak Laplace transzformltjt vve kapjuk
Ls2L{Q}(s) LsQ(0) LQ(0) + RsL{Q}(s) RQ(0) + 1C
L{Q}(s) =L{E}(s).
InnenL{Q}(s) = (s) + (s),
ahol
(s) =(Ls + R)Q0+ LI0Ls2 + Rs + 1
C
, (s) = L{E}(s)Ls2 + Rs + 1
C
.
Vegyk szre, hogy ha az
Ly(t) + Ry(t) + 1
Cy(t) = 0, y(0) =Q0, y
(0) =I0
feladat megoldsa,pedig az
Ly(t) + Ry(t) + 1
Cy(t) =E(t), y(0) = 0, y(0) = 0
feladat megoldsa, akkor
L{(t)}(s) = (s) s L{(t)}(s) = (s),
azazQ= + .
Most tekintsk a kezdetirtk-feladat 4 specilis esett.
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
59/62
5.5. A SOROS RLC RAMKR VIZSGLATA 59
L
C
5.2. bra.
1. eset:Tegyk fel, hogy ramkrben levo elemek ellenllsa 0 (n. LC kr), azazR= 0, snincs klso feszltsg a rendszeren (E(t) = 0), azaz feltltjk egy teleppel a kondenztort,majd a telepet lekapcsoljuk az ramkrrol:
Ekkor a differencilegyenlet alakja:
LQ(t) +
1
CQ(t) = 0.
Amint azt mr belttuk,
L{Q}(s) = (s) = L(sQ0+ I0)Ls2 + 1C
.
Vezessk be az
0= 1
LC
jellst. Ekkor
L{Q}(s) =Q0 ss2 + 20
+ I00
0s2 + 20
,
s ezrt
Q(t) =(t) =Q0cos 0t +I00
sin 0t.
Teht a rendszer egy 0frekvencij szabadrezgst vgez. (Az0szmot a rendszersajt-frekvencijnaknevezzk.)
2. eset:Tegyk fel, hogyR = 0,Q0 = 0,I0 = 0, sE(t) =E0cos tklso feszltsg hat arendszerre, ahol=0,E0 R. Ekkor
L{Q}(s) = (s) = E0L0
0s2 + 20
s
s2 + 2,
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
60/62
60 5. VILLAMOSSGTANI PROBLMA
s ezrt a konvolcis s unicits ttel szerint
Q(t) = (t)
= E0
L0
t0
sin(0(t u))cos udu
= E02L0
t0
sin(0(t u) + u) + sin(0(t u) u)
du
= E02L0
cos t cos 0t
0 +cos t cos 0t
0+
= E0
L(20 2)(cos t cos 0t)
= 2E0
L(20 2)sin
(0 )t2
sin(0+ )t
2 .
Ha|0 | kicsi, akkor 0 + > |0 |, s gy a megolds utbbi kplett gy istekinthetjk, hogy az egy gyorsan oszcilll fggvny,sin
(0+)t2 , amelynek az amplitdja,
2E0L(20 2)
sin(0 )t
2
lassan oszcilll. Ezt a jelensgetlebegsnekhvjk, amely teht akkor figyelheto meg, ha aklso ero frekvencija kzel megegyezik a rendszer sajtfrekvencijval. Egy ilyen megoldsgrafikonja lthat a kvetkezo brn:
L= 2,C= 1/8,E0= 1,0= 2, = 2.1.
5.3. bra.
3. eset: Tegyk fel, hogy R = 0, Q0 = 0, I0 = 0, sE(t) = E0cos 0t, azaz a rendszersajtfrekvencijval megegyezo frekvencij klso ero hat a rezgokrre. Ekkor
L{Q}(s) = (s) = E0L0
0s2 + 20
s
s2 + 20,
c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
61/62
5.5. A SOROS RLC RAMKR VIZSGLATA 61
s ezrt a konvolcis ttel szerint
Q(t) = (t)
= E0
L0
t0
sin(0(t u))cos 0u du
= E02L0
t0
sin(0(t u) + 0u) + sin(0(t u) 0u)du
= E02L0
t sin 0t.
Egy olyan oszcilll megoldst kaptunk, amelynek amplitdja tart vgtelenbe, hat .Ezt a jelensgetrezonancinakhvjk.
L= 1,C= 1/25,E0= 1,0 = 5.
5.4. bra.
4. eset:Tegyk fel, hogy R = 0,Q0 R,I0 R, s E(t) =E0cos tklso feszltsg hata rendszerre, ahol = 0, E0 R. Ekkor a megolds az 1. s 2. esetben kiszmtott ktfggvny sszege lesz:
Q(t) =Q0cos 0t + I00
sin 0t + E0
L(20 2)(cos t cos 0t).
c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv
62/62
Irodalomjegyzk[1] Borrelli, R. L.Coleman, C. S.: Differential Equations. A Modeling Perspective. John
Wiley & Sons, New York, 1996
[2] Csszr kos:Vals analzis I.Tanknyvkiad, Budapest, 1988
[3] Hatvani Lszl:Kalkulus kzgazdszoknak.Polygon, Szeged, 2006
[4] Koltay Lszl s Szalkai Istvn:Analzis I. feladatgyujtemny.Pannon Egyetemi Kiad,
2009
[5] Laczkovich MiklsT. Ss Vera: Analzis I.Nemzeti Tanknykiad, Budapest, 2005