109

8. TRANSFORMCIA SRADNC

V geodetickej praxi je astou lohou zmeni sradnice bodov bez toho, aby sa zmenila ich poloha na zemskom povrchu. Zmenu sradnc oznaujeme pojmom transformcia. Transformcia sa me dotka jednotlivch bodov, skupiny bodov, ale aj bodov pre cel svisl zemie.

Poda zkona o geodzii a kartografii vyjadrujeme vsledky geodetickch meran v S-JTSK a Bpv. Do praxe oraz viac prenik metda globlneho urenia priestorovej polohy bodov (GPS). Vsledky druicovch meran s v systme WGS-84. Zjednotenie oboch sradnicovch systmov umouje transformcia sradnc. Transformcia sradnc je tie prostriedkom na zjednocovanie nrodnch systmov so spolonm medzinrodnm systmom vytvorenm metdami kozmickej geodzie.

Rozoznvame transformciu rovnorodch sradnc a nerovnorodch sradnc.

Pri transformcii rovnorodch sradnc sa nemenia uhly. Medzi obidvoma sradnicovmi systmami platia matematick vzahy

( )xyfY ,= , ( )xygX ,= , (8.1) kde (y, x) s sradnice prvho systmu, ktor transformujeme do druhho systmu (Y, X).

V transformcii rovnorodch sradnc ide o posun, pootoenie a pravu mierky celej siete bodov. Je to naprklad pri spresnen mierky, zmene orientcie alebo e sa sie bodov prispsobuje okolitej sieti.

Pri transformcii nerovnorodch sradnc neplatia vzahy (8.1) a sa nhodne menia hodnoty uhlov a dok.

K transformcii rovnorodch sradnc zaraujeme zhodnostn transformciu a podobnostn transformciu. Nerovnorod sradnice transformujeme projektvnymi transformciami. K nm patr kolinerna transformcia a afinn transformcia. Rovinn i priestorov kolinerna transformcia je uveden v uebnom texte: http://svf.utc.sk Bitterer, L.: Zklady forogrametrie 3. vydanie.

Podobnostn transformciu v ktorej stotoujeme aiska oboch identickch systmov bodov, transformovan systm pootome a mierkovo upravme, nazvame Helmertova transformcia.

Vo vetkch druhoch transformci plat, e transformovan body maj lea vo vntri poa, ktor je ohranien identickmi bodmi v oboch systmoch sradnc.

8.1 Podobnostn transformcia

Transformujeme sradnice (y, x) do sradnicovho systmu (Y, X) obr. (8.1). Uhol w je uhol rotcie (pootoenia). Na obr. 8.1 m zporn hodnotu.

Sie identickch bodov v systme y, x pootome o uhol w a posunieme do systmu Y, X o hodnoty Y0, X0. Sradnice yi, xi zmenme na sradnice Yi, Xi poda transformanch rovnc:

ww sincos0 xyYY -+= , (8.2)

ww cossin0 xyXX ++= .

Poznmka. Pre kladn hodnotu uhla +w rovnice (8.2) bud ma tvar

ww sincos0 xyYY ++= ,

ww cossin0 xyXX +-= .

Ozname maticu rotcie R a vektor translcie (posunu) t pre rovnice (8.2)

110

P(2,1) =

XY

, R (2,2) =

=

-

2221

1211

aaaa

cossinsincos

wwww

, z(2,1) =

xy

, t(2,1) =

0

0

XY

, (8.3)

Obr. 8.1. Podobnostn transformcia

V matici rotcie R vetky koeficienty vynsobme mierkovou slicou q a dostaneme rovnicu podobnostnej transformcie P

P =

XY

= q R z+ t =

+

-

0

0

XY

xy

cossinsincos

wwww

. (8.4)

Ak q = 1 sa jedn o rozmerov zhodnos siete bodov v oboch systmoch, transformcia je zhodnostn.

Ak q 1 spravidla q 1 ide o podobnos, transformcia je podobnostn.

K aplikcii podobnostnej transformcie, ak pouijeme rovnak mierku q pre obidve sradnice, potrebujeme pozna sradnice najmenej dvoch bodov. V prpade, e mierka ( )xy qq=Tq bude predstavova vektor o mierkovch zmench v smere osi Y a X potrebujeme pozna sradnice troch bodov. Vtedy ide o afinn transformciu.

Uhol pootoenia w a mierkov slo q vypotame z rovnc

aaw -= , kde 12

12arctgXXYY

--

=a a 12

12yarctgxxy

--

=a , (8.5)

( ) ( )( ) ( )212212

212

212

2

22

xxyyXXYY

sSq

-+-

-+-== .

8.2 Helmertov transformcia

Na vpoet koeficientov zhodnosti (q, w, Y0, X0) potrebujeme pozna sradnice identickch bodov v oboch sradnicovch systmoch.

Nadbyton poet bodov pre podobnostn transformciu (n >2) dovouje aplikova transformciu s vyrovnanm metdou najmench tvorcov (MN).

111

Po transformcii identickch bodov z prvho systmu (y, x) do druhho systmu, nedostaneme sradnice (Y, X), ale sradnice (Y, X).

Rozdiely sradnc predstavuj opravy po transformcii

YYv y -= , XXv x -= , (8.6)

ktor vo vyrovnan MN vyjadrme funknm vzahom

=+ .min22 xy vv Postup vpotu transformanch koeficientov s vyrovnanm MN je uveden v uebnom texte

http:///Bitterer, L.: Geodzia III Geodetick bodov polia, 2. vydanie, kap. 10.

Helmertov transformcia je linerna podobnostn transformcia s vyrovnanm transformanch koeficientov poda MN.

8.3 Jungova transformcia

Majme skupinu identickch bodov v oboch systmoch Pi (yi, xi) (obr. 8.2) a skupinu bodov Pj (yj, xj) prvho systmu (y, x), ktor transformujeme do systmu (Y, X).

Obr. 8.2. Jungova transformcia

Vypotame opravy po transformcii na identickch bodoch poda rovnc (8.6) s vyrovnanm MN

iiyi YYv -= , iixi XXv -= . (8.7)

Sradnice transformovanch bodov Pj(Yj, Xj) dostaneme tak, e k sradniciam po transformci Pi( jj X,Y ) pripotame korekcie dyj dxj, ktor vypotame z rovnc

112

=

== n

iij

n

iyiij

yj

p

vp

1

1d ,

=

== n

iij

n

ixiij

xj

p

vp

1

1d , (8.8)

kde 21

ijij s

p = , sij je vzdialenos transformovanho bodu Pj od identickch bodov oboch systmov a

n je poet identickch bodov.

V Jungovej transformcii sa pripja podmienka, do akej vzdialenosti sij sa ber do vahy identick body.

Jungova transformcia predstavuje nsledn krok po Helmertovej transformcii. Opravy na identickch bodoch sa rozdelia transformovanm bodom poda rovnc (8.8). Korekcie sa potaj venm aritmetickm priemerom.

8.4 Afinn transformcia

Afinita je tvarov podobnos, ak koeficient podobnosti q 1. Afinita sa zmen na zhodnos, ak koeficient podobnosti q = 1. Aplikcia afinnej transformcie sa aplikuje v prpadoch, ak sa mierkov koeficient v smere osi Y a X li, t. j. ak qy qx.

Rovnice (8.2) bud ma tvar

ww sincos0 iyiyi xqyqYY -+= , (8.9)

ww cossin0 ixixi xqyqXX ++= .

Ke ozname cosw = a11 = a22, sinw = a12 = a21, Y0 = C1 a X0 = C2, leny matice rotcie bud

( )

=

-=

22

11

2221

121122 BA

BAqaqaqaqa

xx

yy,R . (8.10)

Rovnica afinnej transformcie bude ma tvar

( ) ( ) ( ) ( )1,22,21,21,2 zRtP += . (8.11)

Poet neznmych parametrov transformcie je 6 (a11 = a22, a12 = a21, qy, qx , Y0 a X0). Ak mme poet identickch bodov n > 3. Aplikujeme urenie transformanch parametrov s vyrovnanm MN.

Rovnice oprv bud

iiiyi YCxByAv -++= 111 , (8.12)

iiixi XCxByAv -++= 222 .

Funkcia vyrovnania MN, napr. pre nsledovn spsob vyjadrenia koeficientov normlnych rovnc, m tvar

( ) +-++=+ 211122 iiixy YCxByAvv ( ) =-++ .min2222 iii XCxByA (8.13) Funkcia MN po derivcii poda parametrov A1 a C2 m tvar

( ) ( ) ( ) 01,61,66,6 =- EzD , (8.14)

kde

113

( ) ( )

=

=

2

2

2

2

1

1

16

2

2

2

2

66

000000000

000000000

CBACBA

,

nxyxxyxyyxy

nxyxxyxyyxy

,, zD , ( )

=

XxXyX

YxYyY

,16E . (8.15)

Parametre A1 a C2 vypotame rieenm rovnice (8.14)

( ) ( ) ( )1,61

6,61,6 EDz-= . (8.16)

Sradnice bodov Pj (yj, xj) transformujeme s vyuitm rovnice (8.11).

Mierkov koeficienty qy a qx meme vypota porovnanm parametrov A1 a B2 s lenmi rotanej matice R .

,cos1 wyqA = ,sin1 wyqB -= (8.17)

,sin2 wxqA = .cos2 wxqB =

Najprv vypotame uhol rotcie w a potom mierkov koeficienty qy a qx

1

1

2

2

AB

arctgBA

arctg-

==w , ww sincos11 BAq y

-== ,

ww cossin22 BAq x == . (8.18)

Afinn transformciu pouvame napr. pri vektorizci analgovch mp, ke zrka fotografickho mapy v pozdnom a prienom smere mohla ovplyvni mierku mapy v smere os X a Y. Na pouitie afinnej transformcie vo vpotoch v triangulanej sieti nie s dvody.