FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

ZAVOD ZA ELEKTROSTROJARSTVOI AUTOMATIZACIJU

Karakteristike i dinamički modeli sinkronih strojeva

Prof. dr. sc. Zlatko Maljković

DINAMIKA INDUSTRIJSKIH SUSTAVADINAMIKA INDUSTRIJSKIH SUSTAVA

DIS.2. Prijelazne pojave u generatorima

Ak. god. 2013/2014

23.3.2014.

Djelatna i jalova snaga turbogeneratora

Snage P i Q su u p.u. ako su sve veličine izražene u relativnim vrijednostima.

Ako su sve veličine u apsolutnim vrijednostima i odnose se na jednu fazu treba izraze pomnožiti s brojem faza da bi se dobile snage u W odnosno var.

2

0 0sin cosd d d

UE UE UP Q

X X Xδ δ= = −

33.3.2014.

Djelatna i jalova snaga hidrogeneratora

( )

( )

2

0

2 2

0

1 1sin sin 2

2

1 1 1 1cos cos 2

2 2

d q d

d q d q d

UE UP

X X X

UE U UQ

X X X X X

δ δ

δ δ

= + −

= + − − +

P

Q

43.3.2014.

Reluktantna i jalova snaga hidrogeneratora pri uzbudi If = 0Ako ne teče uzbudna struja razvijao bi se reluktantni (reakcijski) moment (snaga), ali bi zbog velike jalove snage armaturni namot mogao biti strujno preopterećen. Dakle, generator s istaknutim polovima može davati radnu snagu i kad nestane uzbude, ali je to mali iznos, tako da se u pravilu isključuje generator kad nestane uzbude. Kod starijih (analognih) izvedbi regulatora uzbude - napona generatora nije se dopuštalo smanjenje uzbude ispod oko 0,1 Ifn limitom minimalne uzbude.Radna i jalova snaga u ovisnosti o kutu opterećenja ovisi o razlici sinkronih reaktancija u d i q-osi:

( ) ( )2 2 21 1 1 1 1 1

sin 2 cos 22 2 2

q d q d q d

U U UP Q

X X X X X Xδ δ

= − = − − +

P

Q

Q2

Q1

53.3.2014.

Pogonska karta hidroagregata i korisnost generatora

Generator poduzbuđen Generator naduzbuđen

P

0 QindQkap

If = 0

η1 > η2 > η3 > η4 > η5

η2

η3

η4

η5

η1

. Sn

63.3.2014.

Rad sinkronog generatora na vlastitu mrežu

� Na veličinu frekvencije i napona utječe i trošilo.

� Regulacijom uzbude regulira se napon, a regulacijom brzine

vrtnje pomoću regulatora na pogonskom stroju regulira se

frekvencija.

� Da bi dobili željenu frekvenciju napona pogonski stroj treba davati onoliku snagu kolika se troši na radnoj komponenti trošila. Ta snaga ovisi o naponu. Da bi dobili željeni napon treba regulirati uzbudnu struju.

� Za razliku od rada na krutoj mreži kad mreža guta sve što joj agregat može dati, u radu na vlastitoj mreži trošilo diktira zahtijevanu djelatnu i jalovu snagu. Trošilo diktira faktor snage.

73.3.2014.

Vanjske karakteristike SG u radu na vlastitu mrežu

φ I

δ

jIXq

ψ

jIXv

jIXd

E0

U

Un

U cos φ = 0 kap.cos φ = 0,2 kap.

cos φ = 0,8 kap.

cos φ = 1

cos φ = 0,8 ind.

cos φ = 0 ind.

IIk0 Teret Zv=Rv+jXv

(n = konst. If = konst.)

83.3.2014.

Fazorski dijagram naduzbuđenog generatora pri opterećenju I = 0,7In (r ≈ 0) u generatorskom sustavu

φ

E0

I

U

φI

Uδ

jIxq

E0

jIXd

ψ

jIxd

ψ

TGxd=xq=200%

HGxd=120%

xq=60%

jIqxq

jIdxd

IdIq

jIdxd

jIqxq

IdIq

δ

Ixd=0,84U

Ixq=0,42U

Ixd=1,4U

0d d q qU rI jx I jx I E= − − − +

d

d

q

q

93.3.2014.

Generatorski i motorski sustavi prikazivanja

U

I

II

Iφ

Područja rada u generatorskom sustavu prikazivanja

Naduzbuđeni generatorP > 0, Q > 0

Poduzbuđeni motorP < 0, Q < 0

Poduzbuđeni generatorP > 0, Q < 0

Naduzbuđeni motorP < 0, Q > 0

103.3.2014.

Ulančani tokovi osnovnog modela sinkronog stroja

d-os

q-os

� Ulančani tokovi za d-q sustav:

� Uz prikaz u relativnim vrijednostima (p.u.) vrijedi:

� Ulančani tokovi:

� pa se umjesto s induktivitetima može računati s reaktancijama

( )( )( )( )( )

σ

σ

σ

σ

σ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

′ ′= + + +

′= + +

′ ′ ′ ′ ′= + + +

′ ′ ′ ′ ′= + + +

′ ′ ′ ′= + +

r r r

ds s ds md ds f D

r r r

qs s qs mq qs Q

r

f f f md f D ds

r

D D D md D f ds

r

Q Q Q mq Q ds

L i L i i i

L i L i i

L i L i i i

L i L i i i

L i L i i

dqfDQ dqfDQ dqfDQ = L iψ ⋅

dqfDQ dqfDQL = x

113.3.2014.

Veličine u relativnim vrijednostima

� Matrica reaktancija p.u.

0 0

0 0 0

0 0

0 0

0 0 0

d fd dD

q qQ

fd f fDdqfDQ

fD fd D

qQ Q

x x x

x x

x x xx =

x x x

x x

mq mq qQ aqL x x x= = =

U pojednostavljenom modelu vrijedi da su glavne reaktancije (induktiviteti) :za d-os međusobno jednake (oznaka xad):

i za q-os međusobno jednake (oznaka xaq):md md fd fD ad

L x x x x= = = =

mq mq qQ aqL x x x= = =

U pojednostavljenom modelu vrijedi da su glavne reaktancije (induktiviteti) :za d-os međusobno jednake (oznaka xad):

i za q-os međusobno jednake (oznaka xaq):md md fd fD ad

L x x x x= = = =

123.3.2014.

r

qsir

qsu

sR sLσ

mqL

QLσ QRQi

Qu

ω ψ r

r ds

r

dsir

dsu

sR sLσ

mdL

fLσ fRfi

fuω ψ r

r qsDLσ DR

Di′

Du

Naponske jednadžbe i nadomjesna shema sinkronog stroja u rotirajućem d, q koordinatnom sustavu

d

d

d0

d

r

qsr r r

qs s qs r ds

Q

Q Q Q

u R it

u R it

ψω ψ

ψ

= + +

= = +

d

d

d

d

d0

d

rr r rdsds s ds r qs

f

f f f

DD D D

u R it

u R it

u R it

ψω ψ

ψ

ψ

= + −

= +

= = +

133.3.2014.

Ulančeni magnetski tokovi

Ulančeni tokovi u uzdužnoj i poprečnoj osi (sve veličine u p.u.):

� Statorski u d osi:

� Uzbudni u d osi:

� Prigušni u d osi:

� Statorski u q osi:

� Prigušni u q osi:

LINEARIZACIJA OKO RADNE TOČKE

� Umjesto (i,ψ) u naponskim jednadžbama se uvrsti (i0+∆i, ψ0 +∆ψ), te se eliminiranjem stacionarnih veličina dobiva:

d d f ad D add

f f d ad D adf

D D d ad f adD

q q Q aqq

Q Q q aqQ

= + + i x i x i x

= + + i x i x i x

= + + i x i x i x

= + i x i x

= + i x i x

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

d d f ad D add

f f d ad D adf

D D d ad f adD

q q Q aqq

Q Q q aqQ

= + + i x i x i x

= + + i x i x i x

= + + i x i x i x

= + i x i x

= + i x i x

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

143.3.2014.

Nadomjesna shema u uzdužnoj osi i sinkrona reaktancija u uzdužnoj osi

� Za stacionarno stanje stroja u uzdužnoj osi kad nema utjecaja prigušnog namota ∆iD = 0 i namota uzbude ∆if = 0 vrijedi:

� Reaktancija xd sastoji se od rasipnog dijela xaσ i dijela koji predstavlja tok koji prolazi kroz zračni raspor xad:

i

= x

d

dd

∆

∆ψ

x +x = x adad σ

d d f fd D dDd = + + i x i x i xψ∆ ∆ ∆ ∆

0 0

dx

153.3.2014.

� U prijelaznom stanju, kad se pretpostavlja da nema utjecaja prigušnog namota na pojavu, vrijedit će:

� U prvom trenutku ovakve prijelazne pojave nema promjene ulančanog toka uzbude

� Tada vrijedi:

� Omjer ∆ψd/∆id u prijelaznom stanju predstavlja prijelaznu (tranzijentnu) reaktanciju sinkronog stroja

x i + x i =

x i + x i =

addfff

adfddd

∆∆∆

∆∆∆

ψ

ψ

0 = x i + x i = addfff∆∆∆ψ

x

x i = i

f

addf ∆−∆

Prijelazna (tranzijentna) reaktancija u uzdužnoj osi

x x

x i x i = ad

f

addddd

∆−∆∆ψ

)x - x( + x

)x - x( x + x =

x + x - x

x - x + x =

i = x

adfad

adfad

a

adadf

2ad

ada

d

d,d σσ

ψ

∆

∆

,

dx

163.3.2014.

Nadomjesna shema za prijelazna stanja u uzdužnoj osi

x - x = x adffσ

� Prijelazna (tranzijentna) reaktancija sinkronog stroja:

� rasipna reaktancija uzbude:

x + x

x x + x = x

fad

fad

a,d

σ

σσ

173.3.2014.

Početno stanje prijelazne pojave i početna (subtranzijentna) reaktancija u uzdužnoj osi

� U početnom trenutku prijelazne pojave, postoji i utjecaj prigušnog namota.Promjene ulančanog toka uzbude i prigušnog namota u prvom trenutku nema:

� jednadžbe ulančanih tokova:

� Dalje se dobiva:

0 = = Df

ψψ ∆∆

x i + x i + x i = 0

x i + x i + x i = 0

x i + x i + x i =

adfaddDD

adDaddff

adDadfddd

∆∆∆

∆∆∆

∆∆∆∆ψ

x x-x

x-x x x i +

x x-x

x-x x x i + x i =

x x-x

x-x x i = i

x x-x

x-x x i = i

fD2ad

2adadf

add

fD2ad

2adadD

addddd

fD2ad

2adadD

df

fD2ad

2adadf

dD

∆∆∆∆

∆∆

∆∆

ψ

,,

dx

183.3.2014.

Nadomjesna shema za početna stanja kratkog spoja u uzdužnoj osi

� Omjer ulančanog toka u uzdužnoj osi i pripadajuće struje ∆ψd/∆idpredstavlja početnu (subtranzijentnu) reaktanciju sinkronog stroja:

)x-x( )x-x( + )x-x( x + )x-x( x

)x-x( )x-x( x +x =

x +x -x x+x x -x x +x x -x x -x

)x -x x +x -x x( x + x + x =

i = x

adfadDadfadadDad

adfadDad

a

2ad

2adDadDadfadfadfD

2ad

2adadf

2adadDad

ada

d

d,,d

σ

σ

ψ

∆

∆

x x + x x + x x

x x x +x = x

fDfadDad

fDad

a,,d

σσσσ

σσσ

d a ad D fx = x + x x xσ σ σ′′ II II

193.3.2014.

Nadomjesna shema u poprečnoj osi i sinkrona reaktancija u poprečnoj osi xq

� Sinkrona reaktancija u poprečnoj osi sastoji se od rasipnog dijela, koji je jednak onome u uzdužnoj osi, i dijela koji odgovara toku u glavnom krugu u q-osi:

x +x = x aqaq σ

Često se rasipna reaktancija armature u literaturi označava i sa sljedećim oznakama: a lx x xσ σ= =

203.3.2014.

Nadomjesna shema za početna stanja kratkog spoja u poprečnojosi i početna (subtranzijentna) reaktancija u poprečnoj osi

� Početna reaktancija u poprečnoj osi

� rasipna reaktancija prigušnog namota u q-osi

x + x

x x +x = x

Qaq

Qaq

a,,q

σ

σσ

x - x = x aqQQσ

,,

qx

213.3.2014.

Sinkrona, prijelazna i početna reaktancija

q qx x′ =

aq Q,,q a

aq Q

x x x x

+ x x

σσ

σ

= +

x +x = x aqaq σ

x x + x x + x x

x x x +x = x

fDfadDad

fDad

a,,d

σσσσ

σσσ

x + x

x x + x = x

fad

fad

a,d

σ

σσ

x +x = x adad σ

Uzdužna d-os Poprečna q-os

223.3.2014.

Početne impedancije u uzdužnoj i poprečnoj osi

� U prijelaznim pojavama omske otpore ne smijemo zanemarivati iako su velikih strojeva malih iznosa u odnosu na reaktancije

� Uključivanjem otpora armaturnog namota (po fazi) ra, uzbudnog namota rf i nadomjesnog prigušnog namota u uzdužnoj osi rD dobiva se početna impedancija u uzdužnoj osi, dok u poprečnoj osi postoje otpor armatunog namota ra i nadomjesnogprigušnog namota u poprečnoj osi rD.

� Valja uočiti da se paralelnim dodavanjem rasipnih reaktancija uzbudnog namota i prigušnog namota u uzdužnoj osi, odnosno samo prigušnog namota u poprečnoj osi početne reaktancije smanjuju u odnosu na sinkrone reaktancija.

233.3.2014.

Magnetsko polje TG u praznom hodu

243.3.2014.

Magnetsko polje TG pri nazivnom opterećenju

253.3.2014.

Magnetska slika neopterećenog HG

263.3.2014.

Raspodjela magnetske indukcije za nazivnu radnu točku HG

273.3.2014.

Vremenske konstante� Uzbudnog namota

� Uzbudnog namota uz kratkospojeniarmaturni namot (prijelazna)

� Početne uz otvoreni armaturni namot u d-osi odnosno q-osi

� Početne uz kratkospojeni armaturni namot u d-osi odnosno q-osi

� Prigušnog namota uz otvorene stezaljke armaturnog i uzbudnog namota

� Prigušnog namota uz otvorene stezaljke uzbudnog namota i kratko spojenu armaturu

� Aperiodska vremenska konstanta

gdje su:� induktiviteti prigušnog namota u d i q osi:

� induktivitet uzbudnog namota: Lf = Lmd + Lσs� djelatni otpori armaturnog faznog namota Ra , uzbudnog namota Rf i prigušnih namota u d i q osi: RD i RQ

'

0

f

d

f

LT =

R

d

ddd

x

x T = T

,'

0

'

Dd

D

LT

R

′′′′= Q

q

Q

LT

R

′′′′=

1

2

d q

a

s

L + LT =

R

′′ ′′⋅

iD Q

L L′′ ′′

0

Df

d

D

LT

R

′′′ =

'

0

D

D

D

LT =

R

' Dd

Dd

D

LT =

R

′

0

Q

q

Q

LT

R′′ =

283.3.2014.

Inverzna i nulta reaktancija sinkronog stroja

� Sve do sada navedene veličine vrijede za direktni simetrični sustav.

� U elektroenergetici se trofazni sustavi prikazuju s tzv. simetričnim komponentama u kojima se veličine trofaznog sustava (jedne frekvencije) prikazuju s tri komponente: direktne, inverzne i nulte.

� Za inverzni sustav u sinkronom stroju mjerodavna je inverzna reaktancija(oznaka xi ili x2) koja odgovara inverznom okretnom polju koje se doživljava kao brza prijelazna pojava, pa vrijedi:

� Za neke pojave u proračunu inverzne reaktancije mjerenjima više odgovara aritmetička, a za neke geometrijska sredina početnih reaktancija u d i q osi. Ako je prigušni namot kompletan onda se malo razlikuju početne sinkrone reaktancije u d i q osi.

� Za nulti sustav mjerodavna je nulta reaktancija x0 koja je po iznosu (ako postoji uzemljeno zvjezdište) relativno malih iznosa kao i inverzna.

2 2ili2

d q

i i d q

x xx x x x x x

′′ ′′+′′ ′′= = = =

293.3.2014.

Udarni kratki spoj generatora (1)

Komponente armaturne struje udarnog tropolnog kratkog spoja: a) trajna,

b) prijelazna,

c) početna,

d) istosmjerna,

e) ukupna struja.

2

4

a

c

b

-2

6

8

d

e

00,1 s

t

Ik

303.3.2014.

Udarni kratki spoj generatora (2)

Komponente uzbudne struje udarnog tropolnog kratkog spoja:

a) trajna,

b) prijelazna,

c) početna,

d) izmjenična,

e) ukupna struja.

313.3.2014.

Udarni kratki spoj generatora (3)

R

X =

R

L = T

f

f

f

f

dω

'

0

X

XT = T

d

ddd

''

0

'

R

1

2

X+X=T

qd

aω

''''

I’uk

I˝uk

i

t

'

dT

''

dT

323.3.2014.

Udarni kratki spoj generatora (4)

� Tri karakteristična stanja kojima se opisuje prijelazna pojava udarnog kratkog spoja generatora s prigušnim kavezom:

a) početno,

b) prijelazno i

c) stacionarno.

333.3.2014.

Struja tropolnog udarnog kratkog spoja u relativnim vrijednostima

2

4

-2

6

8Istosmjerna

komponenta

00,1 t, s

Ik

p.u.

00

0 0

2

1 1cos cos cos

1 1 1 1cos cos sin sin

1 1cos

2

d

qd

a

t

T

d d d

tt

TT

d d q q

t

T

d q

Ei = U e

x xx

U e U e +x x x x

U + e

x x

τ δ τ

δ τ δ τ

τ

−′

−−′′′′

−

− − − −

′

− − − − ′′ ′ ′′

− ′′ ′′

( )0

1 1cos

2a

t

T

0

d q

U+ + e

x xδβ

− − ′′ ′′

s 0 = t + τ ω β

2 02

s 0 = t + + τ ω δβ

2

3

2

3

0 0

0 0

0 0

faza a =

faza b = -

faza c = +

β γ

πβ γ

πβ γ

Sve veličine su u relativnim vrijednostima osim vremena i vremenskih konstanti

E0, U - fazni naponi

343.3.2014.

Struja tropolnog udarnog kratkog spoja u amperima

� Efektivna vrijednost struje izmjenične komponente za udarni kratki spoj iz praznog hoda može se računati kao suma trajne, prijelazne (tranzijentne) i početne (subtranzijentne) komponente struja (sve su veličine fazne u apsolutnim vrijednostima):

� Trenutna maksimalna vrijednost istosmjerne komponente ovisi o trenutku kratkog spoja i iznosi:

� Uzimajući u obzir izmjeničnu i istosmjernu komponentu struje, maksimalna efektivnastruja udarnog kratkog spoja:

~

1 1 1 1d d

t t

T T

d d d d d

UI = U e U e

x x x xx

− −′ ′′

+ − + − ′ ′′ ′

02 cosa

t

T

d

Ui = e

x

γ −

= ′′

22

max

23

a

d d d

U U UI =

x x x

+ = ′′ ′′ ′′

i

Fazna struja udarnog KS bez istosmjerne komponente

Fazna struja udarnog KS s istosmjernom komponentom

t, s

i

0

0

0,2

t, s

0,1

0,5

353.3.2014.

Nesimetrični udarni kratki spojevi

� Izrazi za osnovnu izmjeničnu komponentu struje kratkog spoja (U – fazni napon)

JEDNOPOLNI

DVOPOLNI

TROPOLNI

TRAJNI KS

, p.u.

UDARNI KS

, A

UDARNI KS

, p.u.Vrsta KS

d

U

x′′2

d

U

x′′

2

3

d

U

x x′′ +

2 0

3

d

U

x x x′′ + +

2

6d

U

x x′′ +

2 0

3 2d

U

x x x′′ + +

d

U

x

2

3

d

U

x x+

2 0

3

d

U

x x x+ +

~kI ′′ max~kI ′′

~kI

363.3.2014.

Uzbudna struja tropolnog udarnog kratkog spoja u relativnim vrijednostima

e )+t(u x

A

e x x

x

x

A u + e

x

u

x

x + i = i

T

t

0s

d

f

T

t

df

fd

d

f

0T

t

d

0

f

fd

ff

a

dd

−

−−

−

−

δω

δδ

cos

coscos

,,

,,,,0'''

x - xx

xx - xx = A

2fDDf

fDdDfdD

f

373.3.2014.

Idealni jednopolni udarni kratki spoj

� Napon i struja kratkospojene faze i struja uzbude u trenutku kad se osi uzbudnog namota i faze

t

t

ia

if

t

uaua

ia

if

t

t

t

POKLAPAJU OKOMITE

383.3.2014.

Proračun raspodjele polja TG 500 MVA

Raspodjela polja tijekom kratkog spojat = 0 ms t = 2 ms

393.3.2014.

Proračun raspodjele polja TG 500 MVA

Raspodjela polja tijekom kratkog spojat = 4 ms t = 8 ms

403.3.2014.

Proračun raspodjele polja TG 500 MVA

Raspodjela polja tijekom kratkog spoja (demagnetizacija armature)t = 0,002 s t = 4,002 s t = 15,002 s

413.3.2014.

Nadomjesne sheme za prijelazne pojave u sinkronim strojevima

L" R

C/2

Lk

Lb

Lb

Rk

Rb

Rb

Ck

Cb

Ca

Rd

Cs

L Z

( ) kaiCL

ffZZ

ii

i...

2

1 ===

π

Cs2

Generatori

Skupina I

0,1 Hz – 3 kHz

Skupina II

50/60 Hz – 20 kHz

Skupina III

10 kHz – 3 MHz

Skupina IV

100 kHz –50 MHz

Nadomjesna shema

Generatorske jednadžbe

u uzdužnoj (d) i poprečnoj (q)

osi

Prijelaz s početne na prijelaznu i sinkronu

impedanciju

vrlo važanvažan samo pri

proračunu struje kratkog spoja

zanemarivzanemariv

Regulacija napona

vrlo važna zanemariva zanemariva zanemariva

Regulacija brzine

važna zanemariva zanemariva zanemariva

Frekvencijski ovisni

parametrivrlo važni važni zanemarivi zanemarivi

Kapaciteti zanemarivi važni vrlo važni vrlo važni

423.3.2014.

Njihanje stroja

� Rad stroja kad bilo koja pogonska veličina kontinuirano oscilira (specijalno pogonsko stanje kad određene veličine osciliraju konačnom stalnom amplitudom).

� Po definiciji to je statičko pogonsko stanje (ωsr=konst). Da li je stabilno ili nestabilno ovisi o definiciji stabilnosti.

� Postoji prisilno i slobodno njihanje stroja.

ASINKRONIRAD

NJIHANJE

433.3.2014.

Poremećaj (smetnja) u EES

� Nagla promjena jednog ili više parametara ili pogonskih veličina EES

� Mali poremećaj u EES – dinamika se može opisati lineariziranimjednadžbama

� Veliki poremećaj u EES – dinamika se ne može opisati lineariziranimsustavom

� Statička stabilnost – EES je statički stabilan ako pod utjecajem male smetnje dosegne pogonsko stanje koje je jednako ili približno jednako početnom stanju (prije smetnje)

� Tranzijentna stabilnost – EES je tranzijentno stabilan ako iz određene radne točke nakon određene smetnje dosegne prihvatljivo statičko stanje

443.3.2014.

Granica stabilnosti

� Često se poistovjećuje s pojmom “stabilnost u malom” ili “stabilnost na mali poremećaj”. Statička stabilnost ili stabilnost u malom podrazumijeva da je EES, opisan diferencijalnim jednadžbama lineariziranim oko radne točke stabilan.

� Granica statičke stabilnosti – pogonsko stanje za koje je EES statički stabilan, a utjecaj male promjene na neku veličinu u negativnom smislu uzrokuje gubitak stabilnosti

� Granica tranzijentne stabilnosti za neku smetnju -pogonsko stanje za koje je EES tranzijentno stabilan, a utjecaj male promjene na neku veličinu u negativnom smislu uzrokuje gubitak stabilnosti za tu smetnju

453.3.2014.

Elektromagnetski moment

� Statički maksimalni moment

� Dinamički (tranzijentni) maksimalni moment (umjesto eq treba uvrstiti prijelazni inducirani napon u poprečnoj osi eq’, a umjesto xd treba uvrstiti prijelaznu reaktanciju xd’)

− )2sin(

11

2sinmax δδ

ωpr

dq

2

pr

d

q

m

n X

X

U +

X

UE

S = M

M + M = X

X

2

U +

X

U E

S = M elmDelmD

dq

2

d

q

m

nelmD 21)2sin(

11sin

′−

′

′δδ

ω

463.3.2014.

Fazorski dijagram HG

a) stacionalno stanje b) tranzijentno stanje

Ixq

Ixd’

Ir xd’

IxdIxd

Ixq

473.3.2014.

Statički stabilno područje rada

a) TG b) HG

483.3.2014.

Statičke i tranzijentne momentne karakteristike

493.3.2014.

Tipovi nestabilnosti

� Kritično vrijeme isključenja: maksimalno vrijeme trajanja kratkog spoja, takvo da EES ostane tranzijentno stabilan

� Monotona nestabilnost – nestabilnost EES za određeno pogonsko stanje ako je, uz određenu smetnju, nestabilnost sustava uzrokovana nedovoljnim sinkronizacijskim momentom

� Oscilatorna nestabilnost - nestabilnost EES za određeno pogonsko stanje ako je, uz određenu smetnju, nestabilnost sustava uzrokovana nedovoljnim prigušnim momentom

� Naponska nestabilnost - nestabilnost uzrokovana nedostatkom jalove snage u EES, dovodi do pada napona i u slučaju kad postoji dovoljni sinkronizacijski moment i dovoljni prigušni moment.

503.3.2014.

Fizikalna slika elektromehaničkog njihanja

• Sinkroni stroj priključen na mrežu ima svojstva titrajnog sustava, u kojem energija oscilira između dva skladišta različitih vrsta energije. Skladište električne energije čini kruta mreža, a mehaničke rotor agregata.

• Jednadžba titrajnog gibanja:

• Uz zanemarenje prigušnog momenta i uz ravnotežu pogonskog momenta i elektromagnetskog momenta dobiva se jednadžba slobodnog njihanja:

• Po analogiji s električnim LC krugom:

• dobije se vlastita frekvencija njihanja za električna i elektromehanička njihanja:

TsMDelm Mkt

ktp

JM =++⋅+ α

αω

d

d

d

d

0d

d

d

d2

2

=+⋅=+⋅ αα

αω

sMsM ktp

Jk

tp

J

01

d

di0d

1

d

d2

2

=+=+ ∫ iCt

iLi

Ct

iL

J

p k =

LC = sMvl

ωω1

0

513.3.2014.

Fizikalna slika elektromehaničkog njihanja

� Ako u stabilnoj točki 1 dođe doporemećaja (npr. poveća se MT s M0na M1), rotor će se ubrzati do novog stanja (točka 1), no kako je brzina veća od sinkrone, i dalje rastu kut δ i Melm, a kako je Melm veći od MTpočinje se usporavati rotor.

� U stanju 2 su kut δ i Melm maksimalni uz sinkronu brzinu, a kako je Melm > MT , i dalje pada brzina i ispod sinkrone; zbog toga opada δ na δ1, ali i dalje opada jer je brzina ispod sinkrone, sve do točke 1. Iako su momenti u ravnoteži brzina je manja od sinkrone pa opada kut δ do iznosa δ0 kad je i brzina minimalna, i dalje se sve opet ponavlja (uz zanemareno prigušenje).

0

12

523.3.2014.

Prigušni i sinkronizacijski moment

� Prigušni moment je pri malim odstupanjima od sinkrone brzine razmjeran klizanju:

� Sinkronizacijski moment:

gdje su:

- koeficijent sinkronizacijskogmomenta:E0 , U, Xd, Xq u p.u.

- Tm (s) - mehanička vremenska konstanta agregata Tm = 2H:

- p - broj pari polova;

- J (kg m2 ) - moment tromosti agregata;

- fn (Hz) - frekvencija mreže.

( )t

k = sk = M DDprd

d α∆

ααδ δ

∆∆⋅

∆ k =

M = M sM

0d

d

20

Nm/rad

cos cos(2 ) p.u.

nsM s

m

d q

s

d d q

Sk k

X XE Uk U

X X X

ω

δ δ

=

−= +

( )22

2

2 s

nmm

n n

f = J J T

S p S

πω=

533.3.2014.

Vlastita frekvencija

� Vlastita frekvencija neprigušenih elektromehaničkih oscilacija:

� Za frekvenciju mreže 50 Hz dobije se:(ks u p.u., Tm u s)

� Vlastita neprigušena frekvencijau serijskom električnim RLC krugu:

� Vlastita frekvencija prigušenih elektromehaničkih oscilacija:

� Tipične vrijednosti fvl jednog agregata koji radi na krutoj mreži su oko 1 Hz, općenito u granicama 0,5 - 2 Hz.

Hz22

1

T

kf =

J

p k = f

m

snsMvl ππ

−=

L

R

LCf prigvl

2

1

2

12

π

Hz2

2

12

⋅−⋅=

J

pk

J

pkf D

sMprigvlπ

2,82 HzSvl

m

kf

T=

543.3.2014.

Prisilno njihanje

� Njihanje sinkronog stroja pod utjecajem stalnih periodičnih poremećaja, npr. impulsima pogonskog stroja određene frekvencije fps.

� Svaki cilindar eksplozionog motora 4-taktne izvedbe daje impuls momenta na svaka dva okretaja. Nastat će njihanje oko neke srednje vrijednosti kuta opterećenja δ1, s kutom njihanja ±α.

� Ako generator radi na vlastitoj mreži nema sinkronizirajućegmomenta, nego postoji samo moment tromosti.

� Amplituda kuta njihanja je:

p

J

M =

ps

1

ωα ≈

553.3.2014.

Prisilno njihanje pri radu na krutu mrežu

� Kad generator radi na krutoj mreži, pojavljuje se i sinkronizirajući moment, pa je amplituda titraja:

� Omjer amplituda njihanja kuteva α2/α1 nazivamo faktor pojačanja ili modul rezonancije:

ωω

α

ps

sMps

2k

p

J

M =

−

≈

−−

−

≈

≈

ω

ωωω

ωω

α

αξα

ps

vl

2sM

2ps

ps

ps

sMps

1

2

1

1 =

J

p k

1 1

1 =

p

J

M

k

p

J

M

= =

563.3.2014.

Faktor pojačanja njihanja kuta opterećenja

� Ako se kružna frekvencija prisilnih oscilacija ωps nadomjesti frekvencijom fps dobije se faktor pojačanja:

� Da njihanja ne bi postala opasna treba paziti da udaljenost od rezonancije bude što veća, odnosno treba izbjegavati područje:

� Njihanjem rotora njiše i električna snaga u omjeru prema njihanju okretnog momenta pogonskog stroja s faktorom pojačanja:

−

f

f

=

ps

vl

2

1

1ξα

1,25 0,8 ≤≤f

f

ps

vl

−

f

f

=

vl

ps

2p

1

1ξ

573.3.2014.

Prisilno njihanje pri radu na vlastitu mrežu

� Kad generator radi na vlastitu mrežu nema opasnosti od rezonancije niti ispada iz sinkronizma.

� Njihanje rotora ovisi o promjeni momenta pogonskog stroja i o zamašnim masama rotora.

� Ne govori se o promjeni kuta δ+α, već o promjeni brzine vrtnje, odnosno faktoru neravnomjernosti:

n

n - n = k

sred

nminmax

583.3.2014.

Elektroagregati pri radu na vlastitu mrežu

� U praksi agregati ne rade s faktorom neravnomjernosti iznad 1:80 zbog titranja koje se već osjeća i zamjećuje, kao niti ispod 1:200 zbog cijene agregata koja raste s padom faktora neravnomjernosti zbog porasta momenta tromosti rotora.

� Ovakvim odabirom je određena zamašna masa rotora. Ovi generatori su praktički uvijek opremljeni dodatnim zamašnjakom.

� Najneugodnija frekvencija njihanja svjetla za ljudsko oko je 7 Hz pa tu frekvenciju treba izbjegavati.

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

ZAVOD ZA ELEKTROSTROJARSTVOI AUTOMATIZACIJU

Dodatna pojašnjenja

ZA ONE KOJI ŽELE ZNATI VIŠE

603.3.2014.

Osnovni model sinkronog strojaNamoti sinkronog stroja i ucrtane rotirajuće d i q osi (prema IEC 60034-10)

Uzdužna d-os prethodi poprečnoj q-osi

Namoti sinkronog stroja i ucrtane d i q osi (prema Općoj teoriji električnih strojeva)

Uzdužna d-os zaostaje za poprečnom q-osi

613.3.2014.

Naponske jednadžbe

� Naponske jednadžbe u matričnom obliku:

� Razdvajanjem napona transformacije i napona rotacije dobiva se:

� Električna kutna brzina rotora:

� Naponske jednadžbe napisane u originalnim statorskim koordinatama a, b, c i rotorskim f, D, Q sadrže fazne napone sve tri faze armature ua, ub, uc, napon uzbude uf, te struje sve tri faze armature ia, ib, ic, uzbudnu struju if i struje nadomjesnih prigušnih krugova u d i q osi prigušnog namota iD, iQ.

� Matrica ulančanih tokova:

� Većina međuinduktiviteta i induktiviteta u matrici [L] su ovisni o položaju rotora prema statoru.

[ ] [ ] [ ][ ]d

du = R i +

t

ψ

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ]d d

d d

i Lu = R i + L + i

tω

γd

dm

= = p t

γω ω

abcfDQ abcfDQabcfDQ = iLψ ⋅

623.3.2014.

Matrice napona, struje, otpora i induktiviteta

L00)(M)(M)(M

0LM)(M)(M)(M

0ML)(M)(M)(M

)(M)(M)(M)(L)(M)(M

)(M(c)M)(M)(M)(L)(M

)(M)(M)(M)(M)(M)(L

=] L [

QcQbQaQ

DD fcDbDaD

D fff cf bf a

cQcDf ccbcac

bQbDf bbcbab

aQaDf aacaba

γγγ

γγγ

γγγ

γγγγγγ

γγγγγ

γγγγγγ

[ ] [ ]

i

i

i

i

i

i

= i

0

0

u

u-

u-

u-

= u

Q

D

f

c

b

a

f

c

b

a

[ ]

R00000

0R0000

00R000

000R00

0000R0

00000R

= R

Q

D

f

633.3.2014.

Transformacija koordinata

� Transformacijom koordinata statorskih veličina a, b, c (Park-ove transformacije) u rotorski rotirajući koordinatni sustav d-q dobivaju se naponske jednadžbe u kojima naponi i struje poprimaju konstantne (istosmjerne) vrijednosti u stacionarnom stanju sinkronog stroja, a svi međuinduktiviteti i induktiviteti su također konstantni, neovisni o položaju rotora prema statoru.

prema IEC 60034-10 prema Općoj teoriji električnih strojeva

0

cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

dq = ( - ) ( - )C

( + ) ( + )

γ γ

γ β γ β

γ β γ β

[ ] [ ][ ]00 dqdqabc u C = u

[ ] [ ][ ]00 dqdqabc i C = i

0

cos sin 1

cos sin 1

cos sin 1

dq = ( - ) ( - )C

( + ) ( + )

γ γ

γ β γ β

γ β γ β

− − −

q

d q

d

643.3.2014.

Konačni oblik sustava naponskih jednadžbi sinkronog stroja u rotirajućim d-qkoordinatama, s veličinama u relativnim jedinicama (uključivo i vrijeme)

prema IEC 60034-10 (q-d) prema Općoj teoriji električnih strojeva (d-q)

d0

d

DD Dr i +

ψ

τ=

d

d

dd d q

- = R + + u iψ

ωψτ

d

d

q

q q d- = R + u i

ψωψ

τ−

d

d

fd f

q q

f

xE = e +

r

ψ

τ

d0

d

Q

Q Qr i + ψ

τ=

Naponske jednadžbe u d,q koordinatnom sustavu

q

qd

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

rr r rdsds s ds r qs

r

qsr r r

qs s qs r ds

f

f f f

DD D D

Q

Q Q Q

u R it

u R it

u R it

u R it

u R it

ψω ψ

ψω ψ

ψ

ψ

ψ

= + −

= + +

′′ ′ ′= +

′′ ′ ′= +

′′ ′ ′= +

653.3.2014.

Generator u radu na krutu mrežu

� Napon krute mreže definiran je s u(p.u.), pa su komponente statorskog napona u uzdužnoj i poprečnoj osi u relativnim vrijednostima za:

q-d sustav: d-q sustav:

sin

cos

d

q

u u

u u

δ

δ

= −

=

sin

cos

d

q

u u

u u

δ

δ

=

=

q

d q

d

663.3.2014.

r

qsir

qsu

sR sLσ

mqL

QLσ QRQi

Qu

ω ψ r

r ds

r

dsir

dsu

sR sLσ

mdL

fLσ fRfi

fuω ψ r

r qsDLσ DR

Di′

Du

Nadomjesna shema sinkronog stroja u d, qkoordinatnom sustavu

d

d

d0

d

r

qsr r r

qs s qs r ds

Q

Q Q Q

u R it

u R it

ψω ψ

ψ

= + +

= = +

d

d

d

d

d0

d

rr r rdsds s ds r qs

f

f f f

DD D D

u R it

u R it

u R it

ψω ψ

ψ

ψ

= + −

= +

= = +

673.3.2014.

Glavni induktivitet (reaktancija) u d-osi:

Glavni induktivitet (reaktancija) u q-osi:

Ulančani tokovi u rotirajućim koordinatama

� Ulančani tokovi slično se računaju za oba sustava q-d i d-q:

� Uz prikaz u relativnim vrijednostima (p.u.) vrijedi:

( )( )( )( )( )

σ

σ

σ

σ

σ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

′ ′= + + +

′= + +

′ ′ ′ ′ ′= + + +

′ ′ ′ ′ ′= + + +

′ ′ ′ ′= + +

r r r

ds s ds md ds f D

r r r

qs s qs mq qs Q

r

f f f md f D ds

r

D D D md D f ds

r

Q Q Q mq Q ds

L i L i i i

L i L i i

L i L i i i

L i L i i i

L i L i i

dqfDQ dqfDQ dqfDQ = L iψ ⋅

0 0

0 0 0

0 0

0 0

0 0 0

d fd dD

q qQ

fd f fDdqfDQ

fD fd D

qQ Q

x x x

x x

x x xx =

x x x

x x

dqfDQ dqfDQL = x

md md fd fD adL x x x x= = = =

mq mq qQ aqL x x x= = =

683.3.2014.

dfL′

sLσ

mdL fLσ

DfL′D

Lσ

dDL′

sLσ

mdL fLσ

fDL′

DLσ

DdL′

sLσ

mdL fLσ

fdL′

DLσ

Prijelazni induktiviteti u uzdužnoj osiarmaturnog namota u d-osi uz kratkospojenu uzbudu

armaturnog namota u d-osi uz kratkospojeni prigušni namot

prigušnog namota u d-osi uz kratkospojeni armaturni namot

693.3.2014.

Početni induktiviteti namota u uzdužnoj osi

sLσ

mdL

fLσ

fL′′

DLσ

sLσ

mdLf

LσDL′′

DLσ

sLσ

mdL

fLσ

dL′′

DLσ

prigušnog namota u d-osi uzbudnog namota u d-osi

armaturnog namota u d-osi

703.3.2014.

Početni induktiviteti namota u poprečnoj osi

prigušnog namota u q-osi armaturnog namota u q-osi

sLσ

mqL

qL′′

QLσ

sLσ

mqL

QL′′

QLσ

713.3.2014.

Mehanička vremenska konstanta (u radijanima):

u sekundama:

Jednadžba gibanja

U apsolutnim i relativnim vrijednostima (p.u.):

J (kgm2) - polarni moment inercije rotora agregataMt (Nm) - zakretni moment turbine (pogonskog stroja)Mem (Nm) - elektromagnetski moment sinkronog strojaωm (rad/s) - kutna brzina rotora agregata

q-d – sustav: d-q – sustav:Elektromagnetski moment:

Elektromagnetski moment (p.u.):

Električka kutna pozicija rotora δ u odnosu na sinkrono rotirajuću referentnu os:

d

d

m

t emJ = M + M

t

ω

3

2em d qq d

p ( )i iM ψ ψ= −

t - p = t - = sms ωγωγδ

d

dt elmm

T m mω

τ= +

em d qq d m i iψ ψ= −

2mB

Bm

n

JTS

ω ω=

2 (s)2mB

m

n

T = H = J S

ω

( )3

2

r r r r

em ds qs qs dsM p i iψ ψ= −

r r r r

em ds qs qs dsm i iψ ψ= −

723.3.2014.

Linearne transformacije koordinate

� Postupak linearne transformacije koordinate je raširena matematička metoda, poznata davno prije nego što je postala aktualna za teoriju električnih strojeva.

� Uvedena je uglavnom zbog prirodne nelinearnosti matematičkog modela električnog stroja.

� Pokušalo se uvođenjem prikladnih novih koordinata pojednostavniti i po mogućnosti linearizirati matematički model električnog stroja. To je samo djelomično uspjelo, kao što će se pokazati u daljnjem tekstu.

� Linearnu transformaciju koordinata sreli smo u općoj elektrotehnici i izvan teorije električnih strojeva. To je, na primjer, poznata metoda simetričnih komponenata.

� Primjenjujemo je u simboličkom računu, za stacionarna stanja višefaznih izmjeničnih struja jednake frekvencije.

� Trofazni sustav napona ili struja, izraženi fazorima (a, b, c) zamjenjujemo novim sustavom simetričnih komponenata (direktna, inverzna, nulta: d,i, 0 odnosno 1, 2, 0).

733.3.2014.

Originalni abc sustav i simetrične komponente 1,2,0

� Fazori originalnog sustava povezani s novim transformiranim sustavom:

gdje je matrica transformacije:

[ ]c a a

a a

=

1 1 1

1

1

2

2

23 2 2

3 3cos( ) jsin( )

0,5 j0,866

ja e

ππ π= = +

= − +

3 1a =

1

22

2

0

1 1 1

1

1

a

b

c

I I

I a a I

a aI I

= ⋅

1

22

2

0

1 1 1

1

1

a

b

c

U U

U a a U

a aU U

= ⋅

Ia

Ib

Ic

Ia0

Ic0

Ib0

Ia2

Ia1

Ib2

Ib1

Ic1

Ic2

Ia0 = Ib0= Ic0

Ib1

Ia1

Ic1

Ic2

Ib2

Ia20

0

0

Ia1=I1

Ia0=I0

Ia2=I2

432 j

a eπ

= 4a a=

743.3.2014.

Inverzna matrica transformacije sustava simetričnih komponenata

� Simetrične su komponente rezultat transformacije, a dobit ćemo ih eksplicitno inverzijom matrice transformacije.

� Inverziju izvodimo poznatim postupkom:� zamjena elemenata matrice njihovim minorima� primjena izmjenične sheme predznaka� transpozicija dobivene matrice� dijeljenje s determinantom (koja mora biti ≠ 0).

� Determinanta iznosi:

� Inverzna matrica za sustav simetričnih komponenata: [ ]C

a a

a a−

=

1

2

21

3

1

1

1 1 1

( )23 3 3D a a j= − =

753.3.2014.

Simetrične komponente 1,2,0 i originalni abc sustav

� Na taj se način mogu izraziti simetrične komponente

� Na jednak se način transformiraju i ulančeni tokovi. Račun simetričnih komponenata, prema tome, nije nikakva posebna, samosvojno izvedena metoda, već je to jedna od niza mogućih primjena linearne transformacije koordinata.

� Zapamtit ćemo da se on primjenjuje samo u stacionarnim stanjima izmjeničnih struja konstantne i međusobno jednake frekvencije, za koja vrijedi simbolički račun.

21

22

0

11

13

1 1 1

a

b

c

I Ia a

I a a I

I I

= ⋅

21

22

0

11

13

1 1 1

a

b

c

U Ua a

U a a U

U U

= ⋅

763.3.2014.

Primjer trofaznog kolutnog stroja uz otvoren rotor

� Koji je zapravo dobitak od računa simetričnih komponenata? Pokazat ćemo to na primjeru koji je blizak električnim strojevima.

� Pretpostavit ćemo da trofaznu reaktanciju napaja sustav nesimetričnih sinusnih napona. Reaktanciju neka čini namot statora trofaznog kolutnog asinkronog motora, kojemu je namot rotora otvoren (podignute četkice na kliznim kolutima), tako da rotorom ne teku struje.

� Svaka faza stroja promatrana za sebe ima glavni induktivitet Lm i rasipni induktivitet Ll. Zbog simetričnog su namota u svakoj fazi te veličine jednake. Osim toga, između sve tri faze postoje međuinduktiviteti jednakog iznosa. Budući da su namoti raspoređeni pod kutom od 120°, a promatramo samo osnovni harmonik, bit će međuinduktiviteti jednaki .

ŪA

ŪB

ŪC

Lm+Ll

Lm+Ll

Lm+Ll

-Lm/2

-Lm/2 -Lm/2

ĪAĪB ĪC

~ ~

~

773.3.2014.

Primjer trofaznog kolutnog stroja uz otvoren rotor Matrica induktiviteta

� Prikaz trofaznog namota napajanog općim sustavom napona

� Zbog simetrije bit će samoinduktiviteti sve tri faze, koji se javljaju u glavnoj dijagonali matrice induktiviteta, jednaki:

� Oko glavne dijagonale bit će međuinduktiviteti:

� Matrica induktiviteta jest:

, ,A B C

U U U

L L L L LA B C m l= = = +

L L L L L L LAB BA AC CA BC CB m= = = = = = − ⋅1

2

[ ]L

L L L

L L L

L L L

L L L L

L L L L

L L L L

ABC

A AB AC

BA B BC

CA CB C

m l m m

m m l m

m m m l

=

=

+ − −

− + −

− − +

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

783.3.2014.

Primjer trofaznog kolutnog stroja uz otvoren rotor Naponska jednadžba

� U promatranom ćemo namotu zanemariti radne otpore. Na namotu spojenom u zvijezdu djeluju naponi prema slici. Zbog potpunosti, da se omogući put nultoj komponenti, zvijezde induktiviteta i narinutih napona spojene su nulvodičem bez otpora.

� Naponska jednadžba glasi:

� Ulančeni tok iznosi:

� Elementi matrice induktiviteta su konstante, pa će biti

[ ] [ ]U jABC ABC= ω ψ

[ ] [ ][ ]ψ ABC ABC ABCL I=

[ ] [ ][ ]U j L IABC ABC ABC= ω

793.3.2014.

Primjer trofaznog kolutnog stroja uz otvoren rotor Transformacija koordinata

� Uvodimo transformaciju u sustav simetričnih komponenata, pa će biti:

� Naponska jednadžba tada glasi:

� Opažamo da je dobivena nova matrica induktiviteta:

[ ] [ ] [ ]U C UABC = 120 [ ] [ ][ ]I C IABC = 120

[ ] [ ] [ ][ ][ ]C U j L C IABC120 120= ω

[ ] [ ] [ ][ ][ ]U j C L C IABC120

1

120=−

ω

[ ] [ ][ ]U j L I120 120 120= ω

[ ] [ ] [ ][ ]L C L CABC120

1=

−

803.3.2014.

Primjer trofaznog kolutnog stroja uz otvoren rotor Transformacija koordinata

� Proračun te matrice daje:

� Množenjem sa [C]-1 dobije se:

[ ][ ]L C

L L L L

L L L L

L L L L

a a

a a

ABC

m l m m

m m l m

m m m l

=

+ − −

− + −

− − +

=

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1

1

1

2

2

=

+ +

+ +

+ +

L L L L L

L a L a L a L a L

L a L a L a L a L

l m l m l

l m l m l

l m l m l

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2 2

2 2

[ ] [ ][ ]C L C

a a

a a

L L L L L

L a L a L a L a L

L a L a L a L a L

ABC

l m l m l

l m l m l

l m l m l

−=

+ +

+ +

+ +

=1

2

2 2 2

2 2

1

3

1

1

1 1 1

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

=

+

+

1

3

39

20 0

0 39

20

0 0 3

L L

L L

L

l m

l m

l

813.3.2014.

Primjer trofaznog kolutnog stroja uz otvoren rotor Naponske jednadžbe u sustavu simetričnih komponenata

� Dobiva se matrica induktiviteta usustavu simetričnih komponenata:

� Dobitak je ove transformacije u tome što je matrica induktiviteta dijagonalizirana.

[ ]L

L L

L L

L

l m

l m

l

120

3

20 0

03

20

0 0

=

+

+

� Fizikalno značenje da matrica induktiviteta sadrži samo elemente u glavnoj dijagonali jest da će se u naponskoj jednadžbi svake komponente javljati samo struja te komponente, a izostat će struje ostalih komponenata.

� Nema djelovanja struje jedne komponente u naponskoj jednadžbi druge, dakle nama međuinduktivnog djelovanja između krugova pojedinih komponenata.

� Svaku komponentu možemo, dakle, rješavati zasebno, što je osnovna prednost simetričnih komponenata. U originalnim je koordinatama drugačije: u krugu svake faze induciraju napone i ostale dvije faze, zbog odgovarajućeg međuinduktivnog djelovanja.

823.3.2014.

Primjer trofaznog kolutnog stroja uz otvoren rotor Naponske jednadžbe u sustavu simetričnih komponenata

� Naponska jednadžba glasi:

U

U

U

j

L L

L L

L

I

I

I

l m

l m

l

1

2

0

1

2

0

3

20 0

03

20

0 0

=

+

+

ω

� U jednadžbama primjećujemo da se za direktnu i inverznu komponentu javlja ista reaktancija, u kojoj je dio glavnog induktiviteta 3/2 puta veći od glavnog induktiviteta svake faze pojedinačno.

� U računu s originalnim veličinama napon u namotu induciraju ne samo struje promatrane faze, već i struje ostale dvije faze. U simetričnim se komponentama napon inducira samo uslijed struje promatrane komponente, pa je za očekivati da će zbog jednakog fizikalnog rezultata reaktancija glavnog induktiviteta biti za 3/2 veća.

833.3.2014.

Primjer trofaznog kolutnog stroja uz otvoren rotor Naponske jednadžbe u sustavu simetričnih komponenata

� Jednadžbe pojedinih komponenata:

� Reaktancija inverzne komponente jednaka je direktnoj samo zbog toga što je namot rotora otvoren.

� Zanimljiv je rezultat za nultu komponentu. Budući da je ona u sva tri namota istofazna, rezultirajuće protjecanje namota u zračnom rasporu bit će jednako nuli, pa nulta komponenta ne stvara tok kroz zračni raspor, većsamo odvojene rasipne tokove pojedinih faza.

U j L L I

U j L L I

U j L I

l m

l m

l

1 1

2 2

0 0

3

2

3

2

= +

= +

=

ω

ω

ω

843.3.2014.

Rezultirajući vektor

� Rezultirajući vektor:

� Ako se os faze A postavi u realnu os kompleksne ravnine dobiva se:

B

C

Ai�

Ai�

Ci�

Bi�

i�

23

Ai�

Ci�

Bi�

i�

( )CBA iiii����

++=32

AA ii =�

BB iai ⋅=�

CC iai ⋅= 2�

A

Re

Im

23

23

32 2 13 3 2 2

2 312 2

cos( ) jsin( ) j

j

j

j

a e

a e

π

π

π π

−

= = + = − +

= = − −

� Fizikalno tumačenje najlakše je prihvatiti preko protjecanja, jer taj vektor ima u prostoru električnog stroja definiran smjer i veličinu.

� Rezultirajući vektor i prikaz pomoću njegovih komponenata vrijedi za trenutne vrijednosti, tj. nije ograničen kao kod simetričnih komponenata na sinusne veličine definirane frekvencije.

� U regulaciji električnih strojeva koristi se tzv. rezultirajući vektor (struje, napona, ulančanog toka).

853.3.2014.

Rezultirajući vektor

� Trofazni sustav ima općenito koordinate A, B, C. Ukoliko su one međusobno nezavisne, možemo ih nadomjestiti s tri nove transformirane koordinate, koje označimo s (a, b, 0).

� Na primjer, za slučaj struja, transformacija glasi:

� Ako upotrijebimo matricu transformacije:

� Dobiva se veza originalnih i transformiranih struja:

[ ] [ ][ ]0

0

ab

ab

ABC iKi =

[ ]

−−

−=

1

1

101

2

3

21

2

3

210ab

K

i i iA a= + 0

02

3

2

1iiii baB ++−=

i i i iC a b= − − +1

2

3

20

863.3.2014.

Rezultirajući vektor

� Obratna transformacija:

� Inverzna matrica transformacije:

� Transformirane struje:

� Struju i0 ne smijemo povezivati s nultom komponentom iz simboličkog računa metodom simetričnih komponenata. Čitav se ovaj postupak transformacije provodi sasvim općenito, tako da su to odnosi između bilo kakvih trenutnih vrijednosti struja.

[ ]

−

−−

=

111

330

112

3

1ABCK

( )i i i ia A B C= − +2

3

1

3( )i i ib B C= −

1

3( )CBA iiii ++=

3

10

[ ] [ ][ ]ABC

ABC

ab iKi =0

873.3.2014.

Rezultirajući vektor

� U slučaju kad je zbroj tri fazne struje jednak nuli, neće postojati komponenta i0, već se struje iA, iB i iC transformiraju u dvije nove struje ia, ib .

� Tada je moguća i geometrijska interpretacija ove transformacije u ravnini, kao što je prikazano na slici.

� Struje iA, iB i iC su koordinate u sustavu od tri osi (A, B, C), raspoređene pod kutem od 120°. Te su koordinate komponente vektora struje:

a

b

B

C

Ai�

Ai�

Ci�

Bi�

bi�

ai�

i�

23

bi�

ai�

Ai�

Ci�

Bi�

i�

i i iA B C+ + = 0

[ ]ii

i

i

A

B

C

=

� Vektor je [i] određen već s dvije komponente trofaznog sustava, što je jedino i moguće kod prikaza u ravnini. Ovakav vektor određuje čitav trofazni sustav struja, koji ispunjava uvjet:

883.3.2014.

Rezultirajući vektor

� Ukoliko, na primjer, namotima teku istosmjerne struje, rezultirajući je vektor konstantnog iznosa i miruje u ravnini.

� Za trofazni simetrični sustav struja konstantne amplitude i frekvencije, on se vrti konstantnom kutnom brzinom koja je jednaka kružnoj frekvenciji struja, a iznos mu je konstantan, tako da mu vrh opisuje kružnicu.

� U slučaju da se radi o trofaznim sinusnim strujama koje se ekponencijalno prigušuju, vektor će se gibati jednolikom kutnom brzinom, no tako da mu vrh opisuje spiralu koja završava u ishodištu.

� Rezultirajući je vektor, prema tome, vrlo dobar sintetički pokazatelj određene pojave, pa se njegov hodograf često primjenjuje u analizi pojava u električnim strojevima.