Upload
sevgieda
View
1.165
Download
27
Embed Size (px)
Citation preview
T.C ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ
SOSYAL BĐLĐMLER ENSTĐTÜSÜ ĐŞLETME ANABĐLĐM DALI
DOKTORA PROGRAMI
KARESEL PROGRAMLAMA
(Finansal Optimizasyon Dersi kapsamında Yrd.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ’e sunulmuştur)
Sevgi Eda TUZCU
Ankara, 2010
2
Đçindekiler
Đçindekiler_____________________________________________________________ 2
Giriş _________________________________________________________________ 3
1. Doğrusal Olmayan Programlama ______________________________________ 4
2. Optimizasyon Teknikleri _____________________________________________ 6
3. Karesel Programlama _______________________________________________ 7
3.1. Karesel Form________________________________________________________ 7
3.2. Karesel Programlama_________________________________________________ 8 3.2.1. Karush – Kuhn – Tucker Koşulları ____________________________________________ 9 3.2.2. Optimal Çözümü Bulmak __________________________________________________ 10
4. Markowitz’in Portföy Seçimi Kuramı_____________________________________ 12 4.1.1. Markowitz’ in (1952) Portföy Seçimi Makalesi _________________________________ 13 4.1.2. Karesel Programlama Yardımı ile Portföy Seçimi _______________________________ 15 4.1.3. Markowitz’in Portföy Seçimi Modeli’nin ĐMKB 30 üzerindeki Örnek bir Uygulaması___ 18
Sonuç _______________________________________________________________ 21
Kaynakça ____________________________________________________________ 23
3
Giriş
Doğrusal programlama, tüm sektörlerde ve her düzeyde, karar vericinin amacının
ve kısıtlarının doğrusal olduğu her noktada başarıyla uygulanabilmektedir olan görece
basit bir yöntemdir. Öte yandan, ekonomi ve mühendislik alanlarında ortaya çıkan
problemlerin her zaman doğrusal şekilde ifade edilme şansı olamayabilir. Amaç veya
kısıt fonksiyonlarının birinin ya da birden fazlasının doğrusal olmadığı noktada, doğrusal
olmayan programlamadan yararlanılır.
Karesel programlama, aslında doğrusal olmayan programlamanın bir alt dalı gibi
düşünülebilir. Burada amaç fonksiyonu doğrusal olmayan özel bir formdayken, kısıt
fonksiyonları her zaman doğrusaldır. Ancak, pek çok alandaki önemli uygulamaları ve
doğrusal olmayan programlamanın temellerini oluşturması nedeniyle, karesel
programlama kendi başına bir disiplin olarak ele alınmaktadır.
Bu amaçla, bu çalışmada, öncelikle kısaca doğrusal olmayan formlara örnekler
verilmiş ve doğrusal olmayan programlama tanımlanmıştır. Değişik doğrusal olmayan
programlama modelleri için optimizasyon tekniklerine değinilmiştir. Daha sonraki
bölümde ise, karesel formdaki fonksiyonların genel tanımı ve önemli özellikleri
gösterilmiştir. Çalışma, karesel programlamanın genel matris gösterimi ve optimal çözüm
için geliştirilen tekniklerle devam etmektedir.
Karesel programlamanın, günümüzdeki en önemli uygulamalarından biri finans
alanındadır. Markowitz (1952) tarafından ilk olarak portföy seçimi için ortaya konan
karesel programlama modeli, analistler tarafından geliştirilerek uygulanmaya devam
etmektedir. Bu amaçla, çalışmanın dördüncü bölümünde, Markowitz’in çalışması, ortaya
koyduğu model ve literatürdeki diğer gelişmeler özetlenmiştir. Çalışmaya, ĐMKB 30
endeksinde yer alan işletmeler arasından portföy seçiminin ve bu portföylerin
oluşturduğu etkin sınırın gösterildiği örnek bir uygulama ile son verilmiştir.
4
1. Doğrusal Olmayan Programlama
Doğrusal programlamanın tersine, bu programlama yöntemi, doğrusal olmayan
amaç ve/veya kısıtları ele almaktadır. Bir başka deyişle, doğrusal olmayan bir amaç
fonksiyonunun maksimize veya minimize edildiği yöntemler, doğrusal olmayan
programlamanın konusudur. Bu maksimizasyon ya da minimizasyon, reel sayılar
kümesinde tanımlanmış bir dizi doğrusal olmayan eşitlik veya eşitsizlik altında
gerçekleştirilir (Ravindran, 2008: 2-1). Bu problem tiplerine, mühendislik, fen ve
ekonomi alanlarında sıklıkla rastlanmaktadır.
Aşağıda, doğrusal olmayan kısıtlar ve amaç fonksiyonları izlenebilir.
Şekil 1: Doğrusal olmayan amaç ve kısıt fonksiyonları örneği
Kaynak: Aydın Ulucan, Yöneylem Araştırması, Đşletmecilik Uygulamalı, Bilgisayar Destekli
Modelleme, Siyasal Kitabevi, Ankara: 2007, s.265
Öte yandan, DOP problemlerinin çözümünde genellikle Generalized Reduced
Gradient (GRG) algoritması kullanılır. Ne var ki bu algoritma, global optimal çözümden
farklı olan lokal maksimum veya lokal minimum noktaları, optimal çözüm olarak
gösterebilir (Ulucan, 2007: 266). Bu durumun maksimizasyon için örneği aşağıda
gösterilmektedir.
Uygun Çözüm Bölgesi
Uygun Çözüm Bölgesi
Uygun Çözüm Bölgesi
Amaç Fonksiyonu Optimal Çözüm
Amaç Fonksiyonu Optimal Çözüm
Amaç Fonksiyonu Optimal Çözüm
5
Şekil 2: Lokal ve global optimal çözüm örnekleri
Kaynak: Aydın Ulucan, Yöneylem Araştırması, Đşletmecilik Uygulamalı, Bilgisayar Destekli
Modelleme, Siyasal Kitabevi, Ankara: 2007, s.266
Buna benzer örnekler için, konveks (içbükey) ve konkav (dışbükey)
fonksiyonların tanımlanması, global optimal çözümlerin bulunması açısından önem
taşımaktadır. Fonksiyonların ikinci türevinin alınması ve optimal noktaların birbirileri ile
karşılaştırılarak global noktanın bulunması gerekmektedir.
Optimizasyon problemine genel bir örnek vermek gerekirse;
X ⊆ nℜ ve n Ν∈ olduğuna göre, eşitlik ve eşitsizlik kısıtlarına sahip bir
optimizasyon problemi şu şekilde yazılabilir (Ravindran, 2008: 2-1)
Min f(x) x∈X
s.t. g(x) ≤ 0
h(x) = 0
Burada f: X→ mℜ , g→ pℜ , h: → qℜ ve (m,p,q) ∈N3
Problemde, f fonksiyonu amaç fonksiyonu, g fonksiyonu eşitsizlik şeklindeki kısıt
ve h fonksiyonu eşitlik şeklindeki kısıttır. x∈X optimizasyon değişkeni olarak
adlandırılmaktadır. Eğer x, kısıtları sağlayacak şekilde bir değer alırsa, bu durumda,
uygun çözüm (feasible solution) olarak adlandırılır. Eğer f, g ve h rastsal vektörler ise, bu
Lokal Çözüm
Global Optimal Çözüm
Uygun Çözüm Bölgesi
6
durumda stokastik optimizasyon problemi elde edilir. Rastsal olmadığı durumlarda ise
deterministik optimizasyon problemleri söz konusu olmaktadır (Ravindran, 2008: 2-1).
g ve h fonksiyonlarının tanımlı bulunduğu alanda; p = q = 0 ise kısıtlanmamış
optimizasyon problemi (unconstrained optimization problem) elde edilir. Öte yandan, p
ya da q dan herhangi birinin sıfırdan farklı olması, problemi kısıtlanmış optimizasyon
haline getirir (constrained optimization problem).
Problem tipleri, f fonksiyonun tanımlı lduğu alana göre de farklılık
göstermektedir. Buna göre (Ravindran, 2008: 2-1);
• m = 0 ise problem, fizibilite problemidir.
• m = 1 ise, klasik bir optimizasyon problemi ortaya çıkar. Uygun çözümlerin
bulunduğu alan, uygun çözüm alanı olarak adlandırılır. Eğer bir x vektörü, x*∈X, uygun
çözümü sağlıyorsa, bu durumda optimal çözüm olarak adlandırılır ve f(x*) ise optimal
değer adını alır. X sürekli bir fonksiyon ve amaç fonksiyonu konveks (dışbükey) ise, bu
durumda konveks optimizasyon söz konusu olur.
• m ≥ 2 olduğunda ise çok amaçlı bir optimizasyon problemi (multiobjective
optimization problem) ortaya çıkar. Bu durumda, karar noktaları değil, karar alanı söz
konusu olur ve pareto optimallik aranır.
Literatürde en çok karşılaşılan problem tipleri ise şu şekilde özetlenebilir:
• Amaç fonksiyonu f ve kısıtlar g ve h fonksiyonları doğrusal olabilir. Bu
durumda doğrusal optimizasyon problemleri çözülür.
• Amaç fonksiyonu f karesel (quadratic) ve kısıtlar g ve h doğrusal olabilir. Bu tip
problemler, karesel optimizasyon problemlerine örnektir.
• Amaç fonksiyonu f ile beraber, kısıtlar da karesel olabilir. Söz konusu durum,
karesel olarak sınırlandırılmış karesel optimizasyon problemi olarak isimlendirilir.
2. Optimizasyon Teknikleri
Doğrusal olmayan optimizasyon için kullanılan belli başlı teknikler, 3 başlık
altında sıralanabilir (Ravindran, 2008: 2-3)
7
1. Deterministik Yöntem: Ağırlıklı olarak konveks optimizasyon için kullanılır.
2. Stokastik Yöntem: Bu yöntem temel olarak olasılıklar üzerine kuruludur.
3. Heuristic Yöntem: Karmaşık optimizasyon problemlerinde kullanılan bu
yöntem, her durumda iyi sonuç vermeyebilir. Genellikle diğer 2 yöntem,
uygun çözüm noktasını bulmakta başarılı olamadığında uygulanmaktadır.
3. Karesel Programlama
3.1. Karesel Form
Karesel programlama, doğrusal olmayan programlamanın özel bir dalı olarak
düşünülebilir. Bu yapıda, amaç fonksiyonu f(x), karesel; kısıtlar ise doğrusaldır. Bu
amaçla ilk önce, karesel fonksiyon yapısı tanımlanacaktır.
Karesel n değişkenli bir fonksiyon aşağıdaki gibi ifade edilebilir (Jensen ve Bard,
2003: 332):
f(x) = a + cTx + ½xTQx
Burada, a bir sabit, c ℜ∈ n bir doğrusal terimlerden oluşan katsayı vektördür. Q
ise karesel terimlerden oluşan katsayıları içeren simetrik bir nxn matrisidir. f(x)
fonksiyonunun tüm x değişkenlerine türevi alındığında, gradyan f1 ve Hessian2 matrisine
ulaşılır. Bir başka deyişle;
∇ f(x) = c + Qx ve Q = H
Bir örnek ile açıklamak gerekirse;
f (x) = 3x1x2 + 21x +3 2
2x
∇ f(x) = (3x2 + 2x1, 3x1 + 6x2)T ve Q = H =
63
32
n = 2 olan f (x) kuadratik fonksiyonu matris gösterimi ile şu şekilde gösterilebilir
(Doğan, 1995: 207):
1 Skalar bir alanın gradyanı; skalar alandaki en yüksek artış hızının yönünü gösterir ve fonksiyonun x değişkenlerine göre kısmi türevinin alınması ile elde edilir. 2 Hessain matrisi, bir fonksiyonun 2. Dereceden kısmi türevlerini gösteren kare bir matristir. Bu şekilde, pek çok değişkeni olan bir fonksiyonun yerel kavislerini gösterir.
8
f (x) = a1121x + a12
112x x1
12 + a21221x + a22
22x
A =
2221
1211
aa
aa ve X =
2
1
X
X olarak gösterilebilir. Bu durumda,
f (x) = [ ]21 XX
2221
1211
aa
aa
2
1
X
X = XTAX şeklini alır.
Karesel formla ilgili bazı önemli tanımlamalar şu şekildedir (Doğan, 1995: 210):
• Bütün X ≠ 0 ve XTAX > 0 koşullarını sağlayan karesel forma pozitif
belirli (positive definite) denir.
• Bütün X’ler için XTAX ≥ 0 ise ve sıfırdan farklı en az bir X için XTAX =
0 ise, bu karesel form positive yarı – belirli (positive semi - definite)
olarak adlandırılır.
• Sıfırdan farklı tüm X’ler için (X ≠ 0), XTAX < 0 ise, karesel form, negatif
belirli (negative definit) formdadır.
• Bütün X’ler için XTAX ≤ 0 ve sıfırdan farklı en az bir X için XTAX = 0
ise, karesel fonksiyon, negatif yarı belirlidir (negative semi-definite).
• Karesel form için yukarıdaki durumların hiç biri geçerli değilse, bu
durumda karesel fonksiyon belirli değildir (non – definite).
3.2. Karesel Programlama
Karesel programlama, daha önce de belirtildiği gibi, kısıtlıkları doğrusal, amaç
fonksiyonu ise karesel olan programlama türüdür. Doğrusal olmayan programlamanın
altında yer almasına karşın, pek çok uygulamaya sahip olması nedeniyle, ayrı bir disiplin
olarak değerlendirilmektedir (Jensen ve Bard, 2003: 385). Benzer bir başka tanımla,
karesel programlama; doğrusal eşitsizlik halindeki kısıtlara konu olan ve karesel bir
fonksiyonun uç noktalarında yer alan pek çok gerçek değişkenin sonucunu
belirlemektedir (Wolfe, 1959: 382).
Genel bir karesel programlama örneği şu şekilde gösterilebilir (Sun ve Yuan,
2006: 411) :
9
min Q(x) = ½ xTGx + gTx
s.t. a iT x = bi, i∈E,
a iT x ≥ bi, i∈I, E ve I, E = {1,…,me} ve I = { me+1,…,m} olarak
gösterilen sonlu birer kümedir.
Eğer Hessian matrisini gösteren G matrisi; pozitif yarı belirli ise, bu durumda
karesel programlama, konveks karesel programlama problemine dönüşür ve lokal çözüm
x* aynı zamanda global çözüm olur. G fonksiyonu pozitif belirli ise, bu durumda katı
konveks karesel programlama problemi söz konusudur ve x* tek global çözümdür. G
matrisi tanımsız olduğunda ise, konveks olmayan karesel programlama meydana gelir
(Sun ve Yuan, 2006: 411).
3.2.1. Karush – Kuhn – Tucker Koşulları
Karesel programlamada, Karush – Kuhn – Tucker (KKT) koşulları, G matrisi
pozitif belirli olduğunda global minimum için yeterlidir. Aksi halde ise ancak gerek
koşulları göstermektedir (Jensen ve Bard, 2003: 386).
Min f (x) = cx + ½ xTQx
s.t. Ax ≤ b ve x ≥ 0 karesel programlama modeli için, negatif olmama kısıtı ihmal
edilerek, Lagrange fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir (Jensen ve Bard, 2003: 386).
L (X, µ) = cx + ½ xTQx + µ ( Ax - b)
µ’ in bir m boyutlu sıra vektörü olduğu düşünülürse, lokal minimum için KKT
koşulları şu şekilde olacaktır:
0Xj
L≥
∂∂
, j = 1,...,n c + xTQ + µA ≥ 0
0≤∂∂
i
L
µ, i =1,...,m Ax – b ≤ 0
xji
L
µ∂∂
= 0, j = 1,...,n xT (cT + Qx + ATµ) = 0
µi gi (x) = 0, i=1,...,m µ(Ax – b) = 0
10
xj ≥ 0 j = 1,...,n x ≥ 0
µi ≥ 0 i =1,...,m µ ≥ 0
Yukarıdaki bu fonksiyonların çözüm için kullanması istendiğinde, negatif
olmayan boş değişkenlerin kullanılması gerekmektedir. Bu değişkenler, eşitsizlikleri
eşitlik haline getirmekte kullanılır ve kısıtlardaki kullanılmayan kısmı (fazlalığı) ifade
eder. y nℜ∈ ve v mℜ∈ artık değişkeni, programa eklendiğinde, yukarıdaki denklemler
aşağıdaki gibi gösterilebilir (Jensen ve Bard, 2003: 386).
Tc + Qx + 0=− yA TTµ ve Ax – b + v = 0
Sabit sayılar, sağ tarafa aktarıldığında, KKT koşulları şu hale gelir:
Qx + TTT cyA −=−µ
Ax + v = b
x ≥ 0, µ ≥ 0, y ≥ 0, v ≥ 0
0,0 == vxyT µ
3.2.2. Optimal Çözümü Bulmak
Optimal çözümü bulmada, doğrusal programlamada olduğu gibi simpleks
algoritmasından yararlanılır. Bunun için gerekli adımlar aşağıda sayılmıştır (Jensen ve
Bard, 2003: 387):
• Kısıtlar, KKT koşullarını sağlayacak şekilde yazılır ve eşitlik haline getirilir.
• Sağ taraf değerlerinin (RHS values) negatif olması durumunda, eşitlik -1 ile
çarpılır.
• Minimizasyon problemlerinde yapay değişkenler kullanılır.
• Bu yapay değişkenler, amaç fonksiyonuna da eklenir.
• Sonuçlar, simpleks tablosu ile gösterilir.
Bu yöntem, amaç fonksiyonu pozitif belirli olduğunda oldukça iyi sonuç
vermektedir. Öte yandan, pozitif yarı belirli amaç fonksiyonlarında hesaplamalar da
güçlükler görülebilmektedir (Jensen ve Bard, 2003: 387).
11
Buna ilişkin bir örnek şu şekilde çözülebilir:
Min f(x) = 22
2121 4168 xxxx ++−−
s.t. 521 ≤+ xx ,
31 ≤x ,
01 ≥x , 02 ≥x
KKT koşulları;
Qx + TTT cyA −=−µ
Ax + v = b
x ≥ 0, µ ≥ 0, y ≥ 0, v ≥ 0
0,0 == vxyT µ
=
16
8Tc
=
80
02Q
=
01
11A
=
3
5b
( )21, xxxT = ( )21, yyyT = ( )21, µµµ = ( )21, vvvT =
=
−
+
16
8
01
11
80
02
2
1
2
1
2
1
y
y
x
x
µµ
2x1+ µ1 + µ2 – y1 = 8
8x2 + µ1 –y2 = 16
Ax + v = b
=
+
3
5
01
11
2
1
2
1
v
v
x
x
x1+ x2 + v1 = 5
x1+ v1 = 3
Minimizasyon problemi olduğundan, doğrusal bir şekilde yazabilmek için yapay
değişkenlere de ihtiyacımız vardır.
12
Min a1 + a2 + a3 + a4
s.t. 2x1+ µ1 + µ2 – y1 + a1 = 8
8x2 + µ1 –y2 + a2 = 16
x1+ x2 + v1 + a3 = 5
x1+ v1 + a4 = 3 Bütün değişkenler ≥ 0
Buna göre, simpleks tablosu iterasyonları ile birlikte aşağıdaki sonucu verir.
Đterasyon Temel
Değişkenler
Çözüm Amaç
Fonksiyonu
Çözüme
Giren
Değişken
Çözümden
Çıkan
Değişken
1 (a1, a2, a3, a4) (8, 16, 5, 3) 32 x2 a2
2 (a1, x2, a3, a4) (8, 2, 3, 3) 14 x1 a3
3 (a1, x2, x1, a4) (2, 2, 3, 0) 2 µ1−a4
4 (a1, x2, x1, µ1) (2, 2, 3, 0) 2 µ1−a1
5 (µ2, x2, x1, µ1) (2, 2, 3, 0) 0 –– ––
Tablo 1. Simpleks Çözüm Tablosu
Kaynak: Paul A. Jensen ve Jonathan F. Bard, Operattions Research, Models and Methods, John
Wiley & Sons, Inc., NJ, 2003, s. 388
Buna göre optimal çözüm, ( ) ( ) ( ) ( )2,0,,2,3, *2
*1
*2
*1 == µµxx ve diğer tüm
değişkenlerin 0 olduğu noktadır.
4. Markowitz’in Portföy Seçimi Kuramı
Karesel programlamanın kullanım alanı çok çeşitlidir. Bu alanlara örnekler şu
şekilde sayılabilir (Wolfe, 1959: 382):
• Regresyon: Negatif olmama gibi kısıtlar sağlandığında, eldeki veriye en
uygun küçük kareler yönteminin belirlenmesinde karesel programlama kullanılabilir.
13
• Etkin Üretim: Doğrusal üretim fonksiyonları ve marjinal maliyetler koşulu
altında, kar maksimizasyonu fonksiyonu karesel formda olabilir.
• Konveks Programlama: Karesel bir yaklaşım kullanılarak, doğrusal kısıtlar
altındaki genel konveks fonksiyonun minimumu bulunabilir.
• Portföy Seçimi: Markowitz’in 1952 yılındaki makalesini takip ederek,
maksimum beklenen getiri ve minimum risk kombinasyonları, karesel programlama
yöntemiyle belirlenebilir.
Bu çalışmanın amacı doğrultusunda, Markowitz’in (1952) Portföy Seçimi
makalesi, ayrıntılı olarak ele alınmıştır.
4.1.1. Markowitz’ in (1952) Portföy Seçimi Makalesi
Markowtiz’ e (1952: 77) göre, portföy oluşturma süreci, 2 temel seçime dayanır.
Bunlardan ilki, piyasadaki menkul kıymetlerin gelecek performanslarının tahmin
edilmesi ve istenen menkul kıymetlerin belirlenmesine dayanır. Đkinci seçim ise, bu
menkul kıymetlerin oluşturduğu portföyü belirlemektir. Markowitz (1952), Nobel ödülü
kazanan bu çalışmasında ikinci seçim kriterini ele almıştır.
Markowitz (1952), makalesi boyunca genel olarak, riskten kaçınan bir
yatırımcının aynı getiri düzeyindeki portföylerden, riski düşük olanı seçmesi gerektiğini
vurgulamıştır. Bu amaçla, ortalama – varyans etkin sınırını geliştirmiştir. Bu sınır
aşağıdaki şekilde izlenebilir:
14
Şekil 3: Ulaşılabilir tüm ortalama – varyans kombinasyonları ve etkin sınır
Kaynak: H. Markowitz, “Portfolio Selection”, The Journal of Finance, Vol. 7, No.1, March 1952,
s. 82
Şekil 3’ten de anlaşılabileceği gibi, beklenen getiri ve risk birlikte
değerlendirildiğinde, ulaşılabilecek tüm ortalama – varyans kombinasyonlarından sadece
bir kısmı etkin sınır üzerindedir. Bu sınır üzerinde, veri beklenen getiriye en düşük risk
ile veya veri risk düzeyine en yüksek getiri ile ulaşılabilir. Riskten kaçınan bir
yatırımcının, bu set üzerinde nerede dengeye geleceği ise, yatırımcının risk ve getiri
tercihlerini belirleyen fayda fonksiyonuna bağlıdır (Ravindran, 2008: 21 – 10).
Markowitz’in çalışmasına kadar, portföy oluşturma sürecinde karar değişkeni
olarak, gelecekteki beklenen getirilerin bugüne indirgenmiş değeri kullanılıyordu.
Markowitz ise (1952: 77), yatırımcının sadece beklenene getirisi en yüksek portföyü
seçmesinin doğru olmadığını; portföy çeşitlendirmesi ile çeşitlendirilmemiş portföylere
göre çok daha az risk üstlenildiğini göstermiştir.
Aslında çeşitlendirmeden daha önce, Bernoulli’nin 1738’deki makalesinde de
bahsedilmiştir.3 Bernoulli (1954: 30) makalesinde sahip olunan malların ya da menkul
3 Bernoulli’nin makalesi 1954 yılında Latince’den Đngilizce’ye çevirilerek, Econometrica dergisinde yayınlanmıştır.
15
kıymetlerin hepsinin aynı riske maruz kalmasındansa, pek çok küçük parçaya bölünerek,
risk düzeyinin azaltımasını önermektedir.
Rubinstein’in 50 yıl sonraki değerlendirmesine göre (2002: 1042), Markowitz’in
literatüre en büyük katkısı, yatırımcı için önemli olanın menkul kıymetin bireysel
riskinden çok, tüm portföy varyansına katkısı olduğunu göstermesidir. Bu durumda,
menkul kıymetler arası kovaryanslar da dikkate alınmaktadır. Menkul kıymetler arası
ilişki dikkate alındığında, portföyün sistematik olmayan riski azaltılabilmekte veya
sıfırlanabilmektedir (Markowitz, 1952: 89). Varyansları birbirine eşit iki portföyün
bileşiminden oluşturulan yeni portföyün varyansı daha düşük olmaktadır. Bu nedenle
riskten kaçınan yatırımcı, elimine edilebilen bu riski üstlenmemelidir. Markowitz ayrıca,
çalışmasında portföy seçiminde çeşitlendirme yapılırken; önemli olanın çok miktarda
menkul kıymetin portföye dahil edilmesinden çok, getirileri birbirine zıt yönlü olarak
olarak değişen menkul kıymetlerden yararlanılması olduğunu belirtmektedir (1952: 89).
Gökçe ve Cura’nın (2003: 80), ĐMKB 30 endeksi üzerinde yaptıkları çalışma, iyi
çeşitlendirilmiş bir portföyün 12 ila 14 menkul kıymet içermesi gerektiğini
göstermektedir. Çalışmalarına göre, bu noktadan sonra portföye eklenen menkul
kıymetler, sistematik riski %1’den daha az azaltmaktadır.
Markowitz’in portföy seçimi makalesini geliştiren bir diğer çalışma ise, Chen, Jen
ve Zionts’e (1971) aittir. Söz konusu çalışmada, öncelikle Markowitz’in 2 kısıtlı karesel
programlama modelinden yararlanılarak, işlem maliyetlerini de dikkate alan tek dönemli
bir portföy gözden geçirme modeli kurulmuştur. Bu model, yatırımcının elinde
bulundurduğu portföyü hemen değiştirmesi gerektiğinde, yeni optimal portföyünü karesel
programlama yöntemiyle hesaplamaktadır. Model, öncelikle 2 varlık için, sonrasında ise
n tane varlık için türetilmiştir. Çalışmanın diğer kısmında ise, dinamik programlamadan
yaralanılarak 2 varlıklı bir portföyün 2’den fazla dönemde yeniden yapılandırılması
sağlanmıştır.
4.1.2. Karesel Programlama Yardımı ile Portföy Seçimi
Markowitz’in (1952) çalışmasında gösterdiği etkin sınır (her beklenen getiri
düzeyindeki minimum risk), karesel programlama yardımıyla elde edilebilmektedir.
16
Burada amaç, portföy varyansının minimize edilmesidir. Dolayısıyla amaç fonksiyonu
(Ulucan, 2007: 274),
Min ∑∑= =
N
i
N
jijşi xx
1 1
σ
N = mevcut varlık sayısı
ijσ = i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değerini (i, j = 1,...,N)
xi = karar değişkenleri (menkul kıymetler)
Markowitz (1952) modeli, 2 kısıtı içermektedir. Đlk kısıt, hedeflenen getiri
düzeyine ulaşılması ile ilgilidir:
∑=
=N
iii Rx
1
µ iµ = i varlığının getirisi (i =1,...,N)
R = hedeflenen getiri düzeyi
Đkinci kısıt ise, portföydeki varlıkların ağırlıklarının toplamının 1 olmasını sağlar:
∑=
=N
iix
1
1
Açığa satışın olmadığı varsayıldığından, karar değişkenleri 0 ile 1 arasında
değişecektir. Buna göre model genel olarak aşağıdaki gösterilebilir.
Min ∑∑= =
N
i
N
jijşi xx
1 1
σ
s.t. ∑=
≥N
iii Rx
1
µ , ∑=
=N
iix
1
1, 10 ≤≤ ix , i =1,..,N
Markowitz’in karesel programlama modelini, Yalçıner, Atan ve Boztosun (2005),
ĐMKB 100 endeksi üzerine uygulamışlardır. Yalçıner ve diğerleri (2005), ĐMKB 100
endeksinin getirisine eşit ancak daha düşük riskli bir portföy oluşturmayı hedeflemiştir.
N. varlığı, endeksin getirisi olarak alan çalışma, kalan N-1 varlığın getirisi üzerinde bir
kısıt oluşturmuştur (Yalçıner ve diğerleri, 2005: 73 - 74). Bu durumda, karesel
programlama modeli aşağıdaki halini almıştır:
17
Min ∑∑= =
N
i
N
jijşi xx
1 1
σ
s.t. ∑−
=
=1
1
N
iNiix µµ , ∑
−
=
=1
1
1N
iix , 1−=Nx , Nx sınırsız,
10 ≤≤ ix , i =1,..,(n-1)
Amaç fonksiyonu, N tane varlığın riskini edecek şekilde, Markowitz modelinin
aynıdır. Đlk kısıt, endeks dışında kalan N-1 varlığın getirisinin, endeks getirisine eşit
olmasını ifade eder. Portföy içerisindeki N-1 varlığın toplam ağırlığı 1’e eşit olmalıdır.
Öte yandan, amaç fonksiyonu içerisinde N tane varlık bulunduğundan, N. varlık olarak
tanımlanan endeksin, N-1 varlığa karşılık gelmesi için ağırlığı -1 olarak belirlenmiştir.
Model, ĐMKB 100 endeksi içinde yer alan 97 şirket üzerine Ocak 2003 - Temmuz
2004 dönemleri arasında uygulanmıştır. Ortalama getiriler, 15 günlük, aylık ve üçer aylık
dönemler halinde hesaplanmıştır. Bu sayede ĐMKB 100 endeksine eşit getiri sağlayan
portföylerin oluşturduğu etkin sınırlar, değişik dönemler itibariyle karşılaştırılabilmiştir.
Yalçıner ve diğerlerinin (2005: 77 - 81) elde ettiği sonuçlar şu şekilde
özetlenebilir:
• Onbeş günlük periyotlar halinde hesaplanan etkin sınır, aylık periyotlarla
hesaplanana göre, daha diktir. Yatırımcının getirisini %100 arttırmak için katlanması
gereken risk düzeyi %19 oranında artmaktadır. Bir başka deyişle, yatırımcının riskindeki
artış, getirisindeki artışın çok altında kalmaktadır.
• Aylık periyotlarla hesaplanan etkin sınıra göre, yatırımcı, getirisini %100
arttırabilmek için % 585’lik bir risk artışına katlanmak zorunda kalmaktadır. Buna göre,
aylık dönemler halinde portföy oluşturan yatırımcılara, minimum risk düzeyinde
kalmaları önerilebilir.
• Üçer aylık yatırım dönemlerini kapsayan portföyler, iki bölüme ayrılıp
incelenebilir. Buna göre, ilk bölümde yatırımcı hedeflenen getirisini %35 arttırdığı halde,
katlandığı risk %30 oranında azalmaktadır. Yalçıner ve diğerleri (2005: 79), riskteki bu
azalmayı, portföy bileşimindeki hisse senetlerinin endeksle korelasyonunun çok küçük ve
18
negatif olması ile açıklamaktadır. Öte yandan, yatırımcı, hedeflenen getirisini %40’tan,
%100’e kadar arttırdığında, katlandığı riskin % 439 arttığı görülmektedir. Bu durumda,
rasyonel bir yatırımcı, hedeflenen getiriyi % 35’ten daha fazla arttırmayacaktır.
Yalçıner ve diğerlerinin (2005) çalışması sonucunda, yatırımcıların endekse eşit
bir getiriyi daha düşük risk düzeyinde elde etmesi için, yatırım dönemlerini onbeş günlük
ve üç aylık olarak belirlemeleri önerilebilir.
4.1.3. Markowitz’in Portföy Seçimi Modeli’nin ĐMKB 30 üzerindeki
Örnek bir Uygulaması
Çalışmanın bu bölümünde, Markowitz’in oluşturduğu karesel programlama
modelinin ĐMKB 30 üzerindeki örnek bir uygulaması gösterilmek istenmiştir. Bu amaçla,
ĐMKB 30’u oluşturan şirketlerin 2009 yılına ait aylık hisse senedi getirileri elde
edilmiştir. Şirketler belirlenirken, 2009 yılını oluşturan dört çeyrek boyunca, endekste
kalmayı başaran işletmeler çalışmaya dahil edilmiş; dört çeyreğin herhangi birinde ĐMKB
30 endeksinde yer almayan işletmeler analizden çıkarılmıştır. Bu nedenle, toplam 27
şirket verisi, portföy seçim probleminde kullanılmıştır.
Örnek uygulama, Ulucan’ın (2007) çalışması temel alınmıştır. Analiz, Microsoft
Excel programının Solver eklentisi yardımıyla gerçekleştirilmiştir. Đlk analizde,
hedeflenen getiri olarak ĐMKB 30’un 2009 yılı ortalama getirisi (%12) belirlenmiştir.
ĐMKB 30 hisse senetlerinin varyans ve kovaryanslarına göre, portföyde olması gereken
menkul kıymetler ve ağırlıkları hesaplanmıştır. Daha sonra ise analiz, değişik hedeflenen
getiri seviyeleri için tekrarlanmış ve her seviye için varyansı minimize edecek portföy
bileşimleri elde edilmiştir. Sonuçlar, aşağıdaki tablodan izlenebilir:
19
Hisse Senetlerinin Portföy Đçerisindeki Ağırlığı Hedeflenen
Getiri Portföy
Varyansı AKBNK AKGRT AEFES ASYAB BIMAS DOHOL ENKAĐ EREGL GARAN ISCTR KRDMD KCHOL PETKIM SAHOL 10.00% 0.00377 0.00 0.00 0.30 0.00 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
10.50% 0.00414 0.00 0.00 0.26 0.00 0.00 0.00 0.21 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
11.00% 0.00457 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
11.50% 0.00505 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 0.00 0.19 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
12.00% 0.00558 0.00 0.00 0.13 0.00 0.00 0.00 0.18 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
12.50% 0.00615 0.00 0.00 0.08 0.00 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
13.00% 0.00677 0.00 0.00 0.04 0.00 0.00 0.00 0.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
13.50% 0.00743 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
14.00% 0.00817 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
14.50% 0.00900 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
15.00% 0.01041 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Hisse Senetlerinin Portföy Đçerisindeki Ağırlığı
Hedeflenen Getiri
Portföy Varyansı SKBNK SISE HALKB TEBNK TAVHL TKFEN TOASO TCELL TUPRS THYAO TTKOM VAKBN YKBNK
Toplam Ağırlık
10.00% 0.00377 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.08 0.00 0.00 0.40 0.00 0.00 0.00 1.00
10.50% 0.00414 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.11 0.00 0.00 0.42 0.00 0.00 0.00 1.00
11.00% 0.00457 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.14 0.00 0.00 0.45 0.00 0.00 0.00 1.00
11.50% 0.00505 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.15 0.00 0.00 0.48 0.00 0.01 0.00 1.00
12.00% 0.00558 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.16 0.00 0.00 0.50 0.00 0.03 0.00 1.00
12.50% 0.00615 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 0.53 0.00 0.05 0.00 1.00
13.00% 0.00677 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.18 0.00 0.00 0.55 0.00 0.06 0.00 1.00
13.50% 0.00743 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.19 0.00 0.00 0.58 0.00 0.08 0.00 1.00
14.00% 0.00817 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.23 0.00 0.00 0.60 0.00 0.08 0.00 1.00
14.50% 0.00900 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.27 0.00 0.00 0.63 0.00 0.09 0.00 1.00
15.00% 0.01041 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 0.79 0.00 0.04 0.00 1.00
Tablo 2. Değişik Hedeflenen Getiri Düzeyleri için Portföy Bileşimleri ve Risk Düzeyleri
20
Değişik beklenen getiri ve risk düzeylerinin grafik ile gösterimi sayesinde,
Markowitz modelinin etkin sınırı elde edilmiştir. Etkin sınır, şekil 4’te izlenebilmektedir.
Etkin Sınır
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012
Portföy Varyansı
Be
klen
en
Get
iri
Şekil 4: ĐMKB 30 Şirketlerinin % 10 - % 15 beklenen getiri seviyesi için
oluşturduğu etkin sınır.
Etkin sınır grafiğine göre, yatırımcı, başlangıçta %10 olan getiri beklentisini,
ĐMKB 30 endeksinin yıllık ortalama getirisi olan %12 düzeyine getirmek isterse,
üstlendiği risk, % 48.22 artacaktır. ĐMKB 30 endeksinin 100 baz puan üzerinde getiri
sağlamak istediğinde, katlanması gereken fazladan risk, % 8.33 olacaktır. Öte yandan,
portföyün beklenen getirisini % 50 arttırmak için, portföy riskindeki genel artış % 176.48
olarak hesaplanmıştır.
Rasyonel yatırımcı, ĐMKB 30 endeksine bağlı bir portföy oluşturuken, mutlaka bu
etkin sınır üzerinde kalmaya dikkat edecektir. Çünkü bu sınırın altında seçtiği noktalarda,
veri getiri düzeyinde daha fazla riske katlanmak zorunda kalacaktır. Bir başka deyişle,
etkin sınırın altındaki noktalarda katlandığı fazladan riski telafi edecek getiriyi
sağlayamayacaktır. Etkin sınır üzerinde hangi noktada yatırım yapılacağı ise, rasyonel
yatırımcının fayda fonksiyonu, bir başka deyişle, risk algısı tarafından belirlenecektir.
21
Sonuç
Karesel programlama, alanındaki önemli uygulamaları nedeniyle, uzun süredir
kendi başına bir disiplin olarak kabul edilmektedir. Bu uygulamalardan finans alanındaki
en belirgin olanlarından biri Markowitz’in 1952 yılında geliştirdiği modeldir.
Markowitz makalesinde, çeşitlendirmenin riskten kaçınan bir yatırımcı için
önemini vurgulamıştır. Ancak çalışmanın literatüre asıl katkısı, sadece portföy
çeşitlendirilmesini ortaya koyması değildir. Nitekim, Bernoulli (1954), kendisinden çok
önce bu konuya değinmiştir. Markowitz’in asıl katkısı, önemli olanın menkul kıymetlerin
bireysel riskinden çok, portföyün toplam riskine etkisi olduğunu göstermesi ve bunu
menkul kıymetlerin arasındaki kovaryansı dikkate alan karesel bir programlama yöntemi
ile ortaya koymasıdır. Bu şekilde sağlanan ortalama- varyans etkin sınırı ileride CAPM’in
temeli olacaktır. Makalede ayrıca, çeşitlendirmede önemli olanın, portföye eklenen
menkul kıymet sayısından çok, aralarında pozitiften başka ilişki bulunan menkul
kıymetlerin seçilmesi olduğu da vurgulanmaktadır. Çalışmada bu durum şu şekilde
belirtilmektedir (Markowitz, 1952: 89): “Önemli olan “doğru şekilde”çeşitlendirmenin
“doğru nedenle” yapılmasıdır. Altmış değişik demir yolu menkul kıymetinden oluşan bir
portföy; demir yolları, kamu hizmetleri, madencilik vb menkul kıymetlerden oluşan bir
diğer portföy kadar iyi çeşitlendirilmiş olmayacaktır. Bunun nedeni, aynı endüstride
birbirine çok benzeyen firmaların, farklı endüstride olanlara göre aynı anda kötü
performans göstermelerinin daha olası olmasıdır. ” Nitekim, Gökçe ve Cura’nın (2003:
80), ĐMKB 30 endeksi üzerinde yaptıkları çalışma da, Türkiye’de iyi çeşitlendirilmiş bir
portföyün 12 ila 14 menkul kıymet içermesi gerektiğini ortaya koymuştur.
Markowitz’in bu önemli çalışması, daha sonra işlem maliyetlerini dikkate alacak
ve portföyün yeniden yapılandırılmasına imkan sağlayack şekilde tekrar düzenlenmiştir
(Chen, Jen ve Zionts, 1971).
Yalçıner ve diğerleri (2005) çalışmalarında, Markowitz modelini kullanarak
ĐMKB 100 endeksinin getirisine eşit ancak daha düşük riskli bir portföy oluşturmayı
hedeflemiştir. Bu amaçla modifiye ettikleri modeli, 15 günlük, aylık ve 3 aylık periyotlar
için uygulamışlardır. Çıkan sonuçlar, yatırımcıların endekse eşit bir getiriyi daha düşük
22
risk düzeyinde elde etmesi için, yatırım dönemlerini onbeş günlük ve üç aylık olarak
belirlemeleri yönündedir.
Çalışmamızda ise, Markowitz modelinin bir örneği, ĐMKB 30 endeksinde yer alan
işletmeler arasından oluşturulacak bir portföy için 2009 yılı aylık verilerinden
yaralanılarak gerçekleştirilmiştir. Değişik beklenen getiri düzeylerinde, katlanılacak risk
düzeyleri, söz konusu işletmelerden oluşan portföyler için bir etkin sınır halinde
gösterilmiştir. Elde edilen sonuçlar, rasyonel yatırımcının beklenen getiri düzeyini,
ĐMKB 30 endeksinin ortalama yıllık getirisinin 100 baz puan üzerine çıkarması için,
riskini % 21.29 arttırması gerektiğini işaret etmektedir. Getiri düzeyini %50 arttırmak
isteyen yatırımcı ise (% 10’dan % 15’e), % 176.48’lik bir risk artışına maruz kalmaktadır.
23
Kaynakça
Bernoulli, D., “Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk”, Econometrica,
Vol.22, No.1, 1954 s. 23 – 36
Chen, A., F. C. Jen ve S. Zionts, “The Optimal Portfolio Revision Policy”, The Journal of
Business, Vol. 44, No.1, Ocak 1971, s. 51- 61
Doğani Đ., Yöneylem Araştırması Teknikleri ve Đşletme Uygulamaları, Bilim ve Teknik
Yayınevi, Đstanbul, 1995
Gökçe, A. ve T. Cura, “ĐMKB Hisse Senedi Piyasalarında Đyi Çeşitlendirilmiş Portföy
Büyüklüğünün Araştırılması”, Đstanbul Üniversitesi Đşletme Fakültesi, Đşletme
Đktisadı Enstitüsü Dergisi Yönetim, Yıl: 14, Sayı: 44, Şubat 2003 s. 63 - 81
Jensen P. Ve J. Bard, Operations Research Models and Methods, John Wiley and Sons,
Inc, NJ, 2003
Markowitz, H., “Portfolio Selection”, The Journal of Finance, Vol. 7, No:1, Mart 1952,
s. 77 - 91
Ravindran, R., Operations Research and Management Science Handbook, CRC Press
Taylor and Francis Group, Boca Raton, 2008
Rubinstein, M., “Markowitz’s “Portfolio Selection”: A Fifty – Year Retroperspective”,
The Journal of Finance, Vol. 57, No. 3, s. 1041 - 1045
Sun W. ve Y. Yuan, Optimization Theory and Methods, Nonlinear Programming,
Springer, New York, 2006
Ulucan, A., Yöneylem Araştırması, Đşletmecilik Uygulamalı, Bilgisayar Destekli
Modelleme, Siyasal Kitabevi, Ankara, 2007
Wolfe, P., “The Simplex Method for Quadratic Programming”, Econometrica, Vol. 27,
No: 3, July 1959, s.382 – 398
Yalçıner, K., M. Atan ve D. Boztosun, “Karesel Programlama Yönteminin ĐMKB 100
Endeksine Uygulanması ve Portföy Optimizasyonu”, Đktisat Đşletme ve Finans
Dergisi, Sayı: 232, Yıl: 20, Temmuz 2005, s. 70 - 82