8/16/2019 Kastiljanova Teorema

http://slidepdf.com/reader/full/kastiljanova-teorema 1/8

Kastiljanova teorema

8/16/2019 Kastiljanova Teorema

http://slidepdf.com/reader/full/kastiljanova-teorema 2/8

Prema zakonu o oržanju energije ra spoljašnjih sila koje jeluju na

tijelo jenak je promjeni toplotne, kinetičke i potencijalne energije

deformacije (deformacioni rad) u tijelu.

Kinetička energija tijela može se zanemariti u slučaju statičkog

opteredenja tijela gje se sile povedaju postupno tako a se inercijskiefekti mogu zanemariti.

U slučaju statičkog opteredenja i eformacije gje se toplotna enegija ne

mijenja, rau spoljašnjih sila jenak je potencijalnoj energiji eformacije

ili deformacionom radu.

8/16/2019 Kastiljanova Teorema

http://slidepdf.com/reader/full/kastiljanova-teorema 3/8

Na slici 2.1 prikazana je opruga koja se nalazi u ravnoteži pod dejstvom sile

intenziteta F . Usljed dejstva sile opruga je oživjela  istezanje tako da se

napadna tačka sile pomjerila u pravcu sile za vrijednost u.

F  

u 

Slika 2.1 Linearna opruga napregnuta na istezanje

(a) i dijagram sile u funkciji izuženja opruge (b) 

F  

(a) (b) 

F  

F+F  

 A3 

 A2 

 A1 

Na slici 2.1(b) prikazan je ijagram izuženja opruge u funkciji intenziteta sile koja

jeluje na oprugu. Veza između izuženja opruge i intenziteta sile koja jeluje na

opruzi zavisi o materijala i geometrije opruge i karakteristika je opruge. Za slučaj

linearne veze između izuženja opruge i intenziteta sile vrijei jenakost F=ku, gdje

 je k  krutost opruge.

8/16/2019 Kastiljanova Teorema

http://slidepdf.com/reader/full/kastiljanova-teorema 4/8

F  

u 

Slika 2.1 Linearna opruga napregnuta na istezanje

(a) i dijagram sile u funkciji izuženja opruge (b) 

F  

(a) (b) 

F  

F+F  

 A3 

 A2 

 A1 

U slučaju  „statičkog“  opteredenja  opruge intenzitet sile raste od nule do

konačne  vrijednosti , kojoj odgovara pomjeranje napadne tačke  sile za

konačnu vrijednost . Sila vrši rad tokom opteredivanja opruge

 =

   =

1

2

0

 

koji može biti prestavljen površinom (trougla) na slici 2.1(b).

8/16/2019 Kastiljanova Teorema

http://slidepdf.com/reader/full/kastiljanova-teorema 5/8

Ako povedamo intezitet sile (nakon što je opruga pod dejstvom ove sile bila u

ravnotežnom  stanju) za vrijednost F   eside  se dodatno ukupno izuženje 

opruge za vrijednost u. Usljed pomjeranja napadne tačke  sile za u  sila F  

inteziteta izvršit de dodatni rad koji se može predstaviti površinom  A2 na slici2.1(b). Rad također  vrši  i sila intenziteta F na pomjeranju u, rad koji se

može  predstaviti površinom   A3  na slici 2.1(b). Dakle ukupan rad usljed

povedanja intenziteta sile F  za vrijednost F   iznosi

F  

u 

Slika 2.1 Linearna opruga napregnuta na istezanje(a) i dijagram sile u funkciji izuženja opruge (b) 

F  

(a) (b) 

F  

F+F  

 A3 

 A2 

 A1 

∆ = ∆ +

1

2∆∆ 

8/16/2019 Kastiljanova Teorema

http://slidepdf.com/reader/full/kastiljanova-teorema 6/8

Neka se elastično  tijelo prikazano na slici 2.2 nalazi u stanju ravnoteže  pod

dejstvom proizvoljnog broja sila F1, F2,  ..., Fn  nalazi u ravnoteži. Neka su

veličine pomjeranja napadnih tačaka  sila u pravcu ogovarajudih  sila jednakau1,  u2,...,  un. Rad spoljašnjih  sila koje djeluju na tijelo pretvoren je u

potencijalna energija deformacije u tijelu, to jest, Ue=W  . Iz posljednjeg izraza

slijedi da se potencijalna energija deformacije može  izraziti kao funkcija

spoljašnjih sila, Ue=f(u1, u2,..., un ).

Slika 2.2  Elastično  tijelo u

ravnoteži 

F1 

F2 

Fi  

Fn 

8/16/2019 Kastiljanova Teorema

http://slidepdf.com/reader/full/kastiljanova-teorema 7/8

Pretpostavimo a tačka napane silu  oživi malo pomjeranja ∆  u pravcu

ove sile uslje malog povedanja sile ∆ , ok su napane tačke ostalih sila koje

jeluju na tijelo zaržane nepokretnim. Uslje ejstva sile

∆  povedat de se

potencijalna energija deformacije u tijelu za ∆   koja de biti jenaka rau

spoljašnjih sila uslje ejstva sile ∆ . Obzirom a su napane tačke ostalih sila

zaržane nepokretnim spoljašnji, ra spoljašnjih sila de bit jenak rau zbiru

radova sile   na pomjeranju ∆ , ∆  = ∆ , i radu sile ∆  na pomjeranju

∆ , ∆∆  =  12 ∆∆:

∆  = ∆ +1

2∆∆  

8/16/2019 Kastiljanova Teorema

http://slidepdf.com/reader/full/kastiljanova-teorema 8/8

Za slučaj  jenoznačne  veze između  opteredenja  i deformacija, potencijalna

energija deformacije može  se izraziti i kao funkcija deformacija, odnosno

pomjeranja.

Djeljenjem prethodne  jenačine sa pomjeranjem ∆   , granična vrijenost

veličine ∆/∆   za slučaj kaa ∆ → 0  predstavlja parcijalni izvod

potencijalne energije deformacije po pomjeranju, ok rugi član u jenačini teži

nuli tako da slijedi:

  =   

Prethodni izraz prestavlja prvu Castiglianovu teoremu prema kojoj u elastično

eformisanom tijelu ili konstrukciji u stanju ravnoteže parcijalni izvopotencijalne energije eformacije u elastičnom tijelu ili konstrukciji u tački po

pomjeranju te tačke jenak intezitetu sile u tački u pravcu pomjeranja. Treba

primijetiti a jenačina u stvari prestavlja sistem o   jenačina obzirom a je

 = 1,… ,. Da bi jenačina bila primjenjiva potrebno je a potencijalna

energija eformacije bue izražena u funkciji pomjeranja    = 1, . . , .