Upload
lamduong
View
241
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
KKAATTAA PPEENNGGAANNTTAARR
Dengan mengucap syukur alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang
telah melimpahkan rahmatNya, sehingga dapat terselesaikan
pembuatan diktat kuliah Metode Elemen Hingga ini.
Diktat ini disusun dimaksudkan untuk membantu serta menunjang
matakuliah Metoda Elemen Hingga sebagai pegangan dasar. Buku ini
disusun berdasarkan beberapa buku acuan serta pengalaman penulis
selama mengajar matakuliah ini. Dalam kesempatan ini penulis
mengucapkan pada semua fihak yang telah membantu hingga
tersusunnya diktat kuliah ini.
Akhirnya penulis menyadari bahwa diktat ini masih banyak
kekurangan, untuk itu adanya kritik dan saran yang membangun sangat
diharapkan agar karya-karya selanjutnya lebih sempurna lagi.
Malang, September 2003
Penulis
DDAAFFTTAARR IISSIIPPEENNDDAAHHUULLUUAANN II
DDAAFFTTAARR IISSII IIII
BBAABB II :: DDAASSAARR--DDAASSAARR MMEETTOODDEE EELLEEMMEENN HHIINNGGGGAA 111.1 Pendahuluan 1
1.2 Sistem Koordinat 2
1.1 Sistem koordinat 2-D/Sistem Koordinat Luasan 3
1.2 Sistem Koordinat 3-D (Elemen Tetrahedral) 4
1.3 Transformasi Koordinat 4
1.4 Hubungan Tegangan-Regangan 6
1.5 Konsep Dasar Analisis MEH 7
1.6 Metoda Untuk Formulasi Integral 8
1.7 Analisis Prinsip Energi Potensial Minimum 10
1.8 Konsep Elemen Hingga 2-Dimensi 18
1.9 Elemen Segitiga Isoparametrik 26
1.10 Elemen Segiempat 29
BBAABB IIII :: AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAA SSTTRRUUKKTTUURR 33112.1 T R U S S 31
2.2 B E A M 41
2.3 F R A M E 47
BBAABB IIIIII :: IINNTTEERRPPOOLLAASSII DDAANN IINNTTEEGGRRAASSII NNUUMMEERRIIKK 5511
BBAABB IIVV :: AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAA PPEERRPPIINNDDAAHHAANN PPAANNAASS 55444.1 Steady State Uniaxial Heat Flow 54
4.2 Model Elemen Hingga Aliran Panas 1-Dimensi 56
4.3 One Dimensional Heat Flow With Convection 58
4.4 Perpindahan Panas dan Aliran Fluida 2-Dimensi 62
BBAABB VV :: AANNAALLIISSAA TTEEGGAANNGGAANN AAXXIISSYYMMMMEETTRRIICC 66445.1 Persamaan Dasar untuk Elemen 66
5.2 Persamaan Elastisitas Axisymmetric 67
DDAAFFTTAARR PPUUSSTTAAKKAA 7711
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 1Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
BAB I
DASAR-DASARMETODE ELEMEN HINGGA
1.1 Pendahuluan
Perkembangan dunia komputer telah begitu cepatnya
mempengaruhi bidang-bidang penelitian dan industri, sehingga impian
para ahli dalam mengembangkan ilmu pengetahuan dan industri telah
menjadi kenyataan. Pada trend sekarang ini, metoda dan analisa desain
telah banyak menggunakan perhitungan metematis yang rumit dalam
penggunaan sehari-hari. Metode elemen hingga (finite element method)
banyak memberikan andil dalam melahirkan penemuan-penemuan
bidang riset dan industri, hal ini dikarenakan dapat berperan sebagai
research tool pada eksperimen numerik. Aplikasi banyak dilakukan pada
problem kompleks diselesaikan dengan metode elemen hingga seperti
rekayasa struktur, steady state dan time dependent heat transfer, fluid
flow, dan electrical potential problem, aplikasi bidang medikal.
Gambaran dasar sebagai berikut.
Pada bab ini dibahas mengenai dasar-dasar analisa elemen
hingga, yang didalamnya meliputi sistem koordinat, transformasi
koordinat, hubungan tegangan-regangan, prinsip energi potensial
minimum, dan juga konsep model untuk elemen 2 dimensi.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 2Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.2 SISTEM KOORDINAT
- Sistem koordinat global
→ koordinat struktur untuk sebuah titik pada continum
- Ref untuk seluruh continum
- Ref untuk seluruh struktur
- Sistem koordinat lokal
→ Sistem koordinat yang dipasang pada elemen (acuan pada
elemen yang bersangkutan)
Physical problem Change ofphysicalproblem
Mathematic model Governed bydifferential equations Assumptions on
• Geometry• Kinematics• Material law• Loading• Boundary conditions, etc.
Improvemathematicalmodel
Finite element solutionChoice of
• Finite elements• Mesh density• Solution parameters
Representation of• Loading• Boundary conditions, etc.
Refine mesh, solutionparameter etc.
Assessment of accuracy of finite elementsolution of mathematical model
Interpretation result Refine analysis
Design improvements Structural optimization
Finite elementsolution ofmathematicalmodel
Proses Analisa M E H
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 3Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
- dipasang elemen
- Ref untuk titik-titik yang ada di elemen
- Sistem koordinat natural
→ Terdiri atas koordinat tanpa dimensi untuk identifikasi posisi, dengan
tanpa terpengaruh oleh keluaran elemen.
→ Merupakan nisbah koordinat tersebut terhadap ukuran elemen
Sistem koordinat Natural 1-D (elemen garis)
LSL −=11 ;
LSL =2
1.2.1 Sistem Koordinat 2-D / Sistem Koordinat Luasan
(elemen segitiga)
P (L1, L2, L3) Dimana
Koordinat global P(xp)
Koordinat lokal P (xs)
Koordinat natural P(L1,L2)
L1 + L2 + L3 = 1
1
11 321
32tS
LuasPLuasL =
−−∆−−∆=
2
22 321
31tS
LuasPLuasL =
−−∆−−∆=
3
33 321
31tS
LuasPLuasL =
−−∆−−∆=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 4Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.2.2 Sistem koordinat 3-D (elemen tetrahedral)
P (L1, L2, L3, L4)
Dimana
4321432
1 −−−∆−−−∆=
VolPVolL
4321431
2 −−−∆−−−∆=
VolPVolL
4321421
3 −−−∆−−−∆=
VolPVolL
4321321
1 −−−∆−−−∆=
VolPVolL
L1 + L2 + L3 + L4 = 1
1.3 TRANSFORMASI KOORDINAT
Koordinat yang banyak digunakan dalam metode elemen hingga
adalah koordinat kartesian, dan koordinat sering dinyatakan dalam
bentuk vektor yang dijabarkan sebagai berikut :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 5Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
=p
p
YX
P
=p
p
YX
p
θθ SinYCosXX ppp +=
θθ CosYSinXY ppp +−=
−−
=
YX
CosSinSinCos
YX
.θθθθ
Matrik transformasi [T]
θθ−θθ−
=CosSinSinCos
−=
YX
CosSinSinCos
YX
.θθθθ
[T]-1 = [T]T → orthogonality
Koordinat dinyatakan dalam 3 Dimensi
Orientasi X (l1, m1, n1)
Orientasi Y (l2, m2, n2)
Orientasi Y (l3, m3, n3)
=
ZYX
nmlnmlnml
ZYX
333
222
111
[T]
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 6Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.4 HUBUNGAN TEGANGAN – REGANGAN
Evv zyx
x
σσσε
.. −−=
Evv zxy
y
σσσε
.. −−=
Evv yxz
z
σσσε
.. −−=
Gxy
xy
τγ = ;
Gyz
yz
τγ = ;
Gzx
zxτγ =
dimana : )1(2 v
EG+
=
E = Modulus Elastisitas
ν = poisson ratio
].[ σε C= zxyzxyzyxT εεεεεεε =
++
+−−
−−−
=
)v1.(20
0)v1.(2
00
00
00
00
00)v1.(20000001vv00001v000vv1
.E1c
Selanjutnya :
[ ] εσ .E=
Dimana ;
[ ]
+=
cc
cabbbabbba
VEE
000000000000000000000000
1
V21V1a
−−= ;
VVb21−
= ; 21=c
1][][ −= CE
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 7Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.5 KONSEP DASAR ANALISIS MEH.
Dua kategori model matematik :
- lumped-parameter models (“discrete-system”)
- continuum-mechanics-based models (“continuous-ystem”).
Kondisi Problem :
1. Steady -State Problems.
K . U = R
2. Propagation Problems/Dynamic Problem.
M . Ü + K . U = R(t)
3. Eigenvalue Problems.
Konsep Dasar Metode Elemen Hingga
1. Menjadikan elemen-elemen diskrit untuk memperoleh simpangan-
simpangan dan gaya-gaya anggota dari suatu struktur.
2. Menggunakan elemen-elemen kontinum untuk memperoleh solusi
pendekatan terhadap permasalahan-permasalahan
perpindahan panas, mekanika fluida dan mekanika solid.
Dua karakteristik yang membedakan metoda elemen hingga dengan
metoda numeric yang lain yaitu :
-. Metoda ini menggunakan formulasi integral untuk menghasilkan
sistem persamaan aljabar.
-. Metoda ini menggunakan fungs-fungsi kontinyu untuk pendekatan
parameter-parameter yang belum diketahui.
Lima langkah untuk menyelesaikan permasalahan fisik dengan metoda
elemen hingga yaitu :
1. Permasalahan fisik dibuat elemen-elemen kecil. Elemen-elemen
tersebut ditandai dengan nomor elemen dan nomor titik nodal,
termasuk juga harga-harga koordinat.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 8Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
2. Tentukan persamaan pendekatannya, linear atau kuadratik.
Persamaan-permsamaan tersebut harus ditulis dalam bentuk
harga-harga nodal yang belum diketahui. Ini berlaku untuk setiap
elemen, artinya setiap elemen harus didefinisikan sifatnya dalam
bentuk persamaan diatas.
3. Bentuklah sistem persamaan diatas dengan metoda Galerkin,
Varisional, Formulasi energi potensial, Collocation, Subdomain, dll.
Khusus untuk formulasi energi potensial, energi potensial dari sistem
ditulis dalam bentuk simpangan nodal dan kemudian
diminimalkan. Dimana akan diberikan satu persamaan setiap
simpangan yang belum diketahui.
4. Selesaikan sistem persamaan diatas.
5. Hitung besaran yang dicari. Besaran bisa berupa komponen-
komponen tegangan, aliran panas atau kecepatan fluida.
1.6 METODA UNTUK FORMULASI INTEGRAL
Metoda Varisional
dxQydxdyDH
∫
−
=Π
0
2
2(1)
Harga numeric Π dapat dikalkulasi dengan memberikan persamaan
coba-coba y=f(x). Misal persamaan coba-coba yang memberikan harga
terkecil Π adalah y=g(x), maka persamaan ini merupakan jawab dari
persamaan diferensial berikut :
02
2=+ Q
dxydD (2)
dengan kondisi batas y(0)=y0 dan y(H)=yH harga Π minimum adalah
merupakan jawab pendekatan.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 9Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Weighted Residual Method; Ritz Method
Andaikan bahwa y=h(x) adalah merupakan jawab pendekatan
terhadap persamaan (2), dengan subsitusi akan memberikan :
0)()(2
2≠=+ xRQ
dxxhdD
karena y=h(x) tidak memenuhi persyaratan persamaan, WRM
mengharuskan :
∫ =H
i dxxRxW0
0)()(fungsi residual R(x) ;fungsi pemberat (weighting) Wi(x), Beberapa pilihan
fungsi pemberat dengan beberapa metoda yang popular :
1. Metoda Collocation
2. Metoda Subdomain
3. Metoda Galerkin
4. Metoda Least Squares
Formulasi Energi Potensial
Integral volume dengan hasil kali komponen tegangan & regangan.
dVv
xxxx∫=Λ2.εσ
.
Prinsip energi potensial minimum dan energi regangan banyak
digunakan untuk menganalisis masalah-masalah struktur dan mekanika
solid.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 10Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.7 ANALISIS PRINSIP ENERGI POTENSIAL MINIMUM
Variabel tak bebas → dof
Variabel bebas → koordinat
Ada syarat kontinuitas → bentuk persamaan tidak ada gabungan
Kompatibilitas → berkaitan dengan dof
Elemen linear → node diujung, sebagai contoh seperti pada elemen ∆
linear sederhana
Dalam domain mekanika solid → harus ada boundary condition (BC’s)
yaitu dof yang direstrin/ diberikan kendala.
Domain yang terbagi sumbu domain merupakan :
- Kasus per elemen dengan f interpolasi
- Keseimbangan statis pada elemen dengan kaidah struktur yang
dikenai beban akan terdeferensi (prinsip energi potensial minimum)
Keseimbangan terjadi kalau energi potensial minimum dalam suatu
sistem.
Dalam MEH merupakan suatu teknik numerik dari model matematis suatu
sistem yang digambarkan dari suatu fenomena problem. Sebagai
gambaran dapat diterapkan pada elemen garis, dan dengan konsep
energi potensial minimum (pada solid mekanik) kemudian dilakukan
dengan teknik numerik murni sehingga membentuk persamaan diskrit
sebagai berikut: [ ] φ = f, yaitu suatu matrik dikalikan dengan
vektor dof sama dengan vektor beban.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 11Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Energi potential total = Kerja gaya luar + Energi regangan
- Beban terpusat
- Beban traksi (bekerja pada permukaan)
- Body force (centrifugal, gaya magnit gravitasi, gaya
elektromaknetik) (Beban/Variabel)
Prinsip Energi Potensial Minimum
Analisa tegangan (prob elastisitas benda padat) dengan FEM
didasarkan pada prinsip Energi potensial minimum yang
menyatakan :
Dari sekian persamaan perpindahan yang memenuhi
kompatibilitas interval dan memenuhi syarat batas, maka
persamaan perpindahan yang juga memenuhi kondisi
keseimbangan stabil adalah persamaan perpindahan yang
memberikan / menghasilkan energi potensial yang terkecil
(minimum).
Prinsip tersebut mengimplikasikan hal-hal sebagai berikut :
- Perlunya pendefinisian persamaan perpindahan untuk setiap
elemen yang memenuhi syarat kompabilitas antar elemen.
- Persamaan perpindahan tersebut diatas harus memenuhi semua
syarat batas
- Penjabaran persamaan energi potensial yang dianalisa.
Persamaan diumpamakan sebagai fungsi persamaan (dalam hal
ini persamaan node) yang akan dicari nilainya (yang tidak
diketahui)
- Minimalisasi energi potensial terhadap persamaan yang tidak
diketahui tersebut.
Energi Potensial
Energi regangan – kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya eksternal
yang bekerja pada sistem.
Energi Potensial
Energi regangan – kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya eksternal
yang bekerja pada sistem.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 12Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Energi regangan
∫ γτ+γτ+γτ+εσ+εσ+εσ=V
zxzxyzyzxyxyzzyyxx)e( dv).....(2
1U
dv]B][E[]B[d21dv2
1V
TT
V
T∫ ∫=εσ=
Kerja yang dilakukan body force
∫ ++=V
zyxbf dVbwbvbuW )...(
Kerja yang dilakukan oleh beban traksi (beban terdistribusi)
∫ ++=V
zyxt dApwpvpuW )...(
Kerja yang dilakukan oleh beban terpusat
zzyyxxf PdPdPdW ... ++=
Energi potensial total :
∑=
−=n
e
Te Pd1
.ππ
Dimana : tbfee WWu −−=π
Minimalisasi energi potensial, 0=∂∂dx
, maka
[ ] ∑ ∑= −
+=n
e
n
e
ee PfdK1 1
.
Merupakan rumus umum.
Dimana :
et
ebf
e fff +=
Contoh penyelesaian MEH dari persamaan diferensial :
Persamaan deferensial :
12
2=+ u
dxud
Kondisi batas : u(0)= 0 ; u(2π)=0
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 13Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
xi
Solusi eksak : u = 1 – cos x.
Prosedur Penyelesaian :
1. Diskrititasi region.Dalam region dibagi dalam 4 elemen dan elemen dan nodaldiberi nomor.
u~
1 2 3 4 1 2 3 4 5
0 π/2 π 3π/2 2π
2. Buat trial function.
u~
Fungsi asumsi :
xaau 21~ +=
ii xaauu 21~ +==
ij
jiij
xxuxux
a−−
=1
jj xaauu 21~ +==
ij
ji
xxuu
a−+−
=2
ije
L
x
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 14Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
[ ] qNNuu
xxxx
xxxx
uj
i
ij
i
ij
j21
~ =
−−
−−
=
3. Substitusi trial functions kedalam governing equation.
∑∫∑∫∑∫===
=−+−4
1
4
1
4
1
21 0..~.
~
eX
eX
eX
XX dxWdxuWdx
dxud
dxdW
dxduW
eee
Weighting function untuk metode Galerkin :
ii a
uW∂∂=
~
untuk masing-masing konstanta a1 dan a2 :
11
~N
auW
i=
∂∂= 22
~N
auW
j=
∂∂=
ij
j
xxxx
NW−−
== 11ij
i
xxxx
NW−−
== 22
dan :
ij xxdxdN
dxdW
−−== 111
ij xxdxdN
dxdW
−== 122
governing equation dalam bentuk matrik :
[ ]∫ ∫
∫
=
−
+
−
j
i
j
i
j
i
j
i
x
x
x
xj
i
x
x j
ix
x
dxNN
dxuu
NNNN
dxuu
dxdN
dxdN
dxdNdx
dN
dxdu
NN
0
..
2
121
2
1
21
2
1
2
1
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 15Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Pengembangan suku 1 :
−=
−
=
−
j
i
i
j
i
i
ji
j
x
xx
xx
x
x
x
dxdudxdu
dxdu
dxdu
dxduN
dxduN
dxduN
dxduN
0
0
2
1
2
`
Suku 2 :
−
−=
∫j
i
ej
ix
x uu
Lidx
uu
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
dxdN
j
i 1111
2212
2111
dimana : Le = xj - xi
Suku 3 :
[ ]
−−=
=
∫∫
j
i
e
ejiij
j
ix
xj
ix
x
uu
LLxxxx
dxuu
NNNNNNNN
dxuu
NNNN j
i
j
i
2112
.632
33
2212
211121
2
1
Suku 4 :
−+
=
∫ 11
.2..222
2
1
e
ijijx
x Lxxxx
dxNNj
i
Secara keseluruhan :
=
−+
−
−−+
−
−−
−
00
11
.2.2
2112
.6...3
11111
)(
)(
22
2
33
e
ijij
j
i
e
ejiij
j
i
ej
i
Lxxxx
uu
LLxxxx
uu
Lxdxdu
xdxdu
Aplikasi untuk setiap elemen, dengan asumsi Le = L
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 16Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Elemen 1 : i = 1, j = 2, x1 = 0 , dan x2 = L
=
−
+
−
−−
−
=
=
00
11
22112
611111
2
1
2
10 LuuL
uu
Ldxdudxdu
Lx
x
Elemen 1 : i = 2, j = 3, x2 = L , dan x3 = 2L
=
−
+
−
−−
−
=
=
00
11
22112
611111
3
2
3
2
2
LuuL
uu
Ldxdu
dxdu
Lx
Lx dst.
Diasumsikan du/dxIx=L pada elemen 1 sama dengan du/dxIx=L padaelemen 2 maka :
Asembly persamaan :
=
−
+
−−−
−−−−
−
−
−
=
=
00000
12221
2
2100014100014100014100012
6
1100012100
012100012100011
1
000
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
4
0
L
uuuuu
L
uuuuu
L
dxdu
dxdu
Lx
x
dengan kondisi batas essential : u1 = 0 ; u5 = 0 maka :
=
−
+
−−−
−−
000
222
24101410`4
6210121
0121
4
3
2
4
3
2 L
uuu
L
uuu
L
disederhanakan dan dengan L = π/2 didapat :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 17Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
=
=
−−
−
130.1033.2130.1
111
804.141304.2
4674.81304.204674.81304.2
4
3
2
4
3
2
uuu
uuu
X Exact 4 Elemen 8 Elemenπ/4 0.293 - 0.3322π/4 1.000 1.130 1.0383π/4 1.707 - 1.7224π/4 2.000 2.033 2.0035π/4 1.707 - 1.7226π/4 1.000 1.130 1.0387π/4 0.293 - 0.332
Gambar hasil yang yang dibandingkan dengan solusi eksak dan MEHdengan beda jumlah elemen sebagai berikut :
u
X(rad)
π0
2
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 18Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
1
1.8 KONSEP MODEL ELEMEN HINGGA 2 – DIMENSI
ELEMEN LUASAN (SEGITIGA , SEGIEMPAT).
• Sistem koordinat.
! Global Coordinate
Fungsi asumsi :
U(X,Y) = α1 + α2 X + α3 YV(X,Y)= β1 + β2X + β3 Y
=
3
2
1
33
22
11
3
2
1
111
ααα
YXYXYX
uuu
q1= [A1] . α
X
Y
2
3
1U1
V1
X
Y
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 19Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
=
3
2
1
33
22
11
3
2
1
111
βββ
YXYXYX
vvv
q2= [A1] . β
[ ]
==
=
−
−
321
321
32
1
1
1
33
22
111
1
1
det1
][mindet][int
111
cccbbbaaa
AofanterAofadjo
YXYXYX
A
α = [A1] -1 . q1
β = [A1] -1. q2
u = [1 X Y.[A1] -1 . q1
v = [1 X Y. [A1] -1. q2
=
3
2
1
1
uuu
q
=
3
2
1
2
vvv
q
Ekspansi : [1 X Y.[A1] -1 .
[1 X Y.[A1] -1 .
[ ] [ ] [ ][ ]333222111det1 YcXbaYcXbaYcXba ++++++=
= [N1 N2 N3]
sehingga :
u = [N1 N2 N3] .
3
2
1
uuu
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 20Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
v = [N1 N2 N3] .
3
2
1
vvv
dalam bentuk matrik
=
3
3
2
2
1
1
321
321
00000
vuvuvu
NNNNONN
vu
atau bentuk symbol : u = [N] . q
Koordinat local :
u(X,Y) = α1 + α2 x + α3 yv(X,Y)= β1 + β2x + β3 y
=
3
2
1
33
2
3
2
1
101001
ααα
yxx
uuu
q1= [A1] . α
2
3
1X
Y
xy
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 21Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
[ ]
==−
321
321
32
1
111
1
det1
][mindet][int
cccbbbaaa
AofanterAofadjoA
α = [A1] -1 . q1
β = [A1] -1. q2
u = [1 x y.[A1] -1 . q1
v = [1 x y. [A1] -1. q2
=
3
3
2
2
1
1
321
321
00000
vuvuvu
NNNNONN
vu
atau bentuk symbol : u = [N] . q dimana :
32
23231 .
)()(yx
xxyxxyN−+−
= ;32
332 .
.yx
yxyxN−
=
32
23 .yx
yxN =
Koordinat Natural
2
3
1X
Y
xL3
L2
L1
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 22Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Fungsi asumsi :
u = L1 u1 + L2 u2 + L3 u3
Hubungan koordinat natural : L1 + L2 + L3 = 1
u = L1 u1 + L2 u2 + (1 – L1 – L2) u3
v = L1 v1 + L2 v2 + (1 – L1 – L2) v3
Untuk elemen isoparametrik :
X = L1 X1 + L2 X2 + (1 – L1 – L2) X3
Y = L1 Y1 + L2 Y2 + (1 – L1 – L2) Y3
Aplikasi solid (mekanik) : -plane stress
- plane strain
"""" Elemen segitiga linear
(elemen regangan konstan)
Ciri : - 3 node per elemen
- 2 dof per node
u : displacement arah x
v : displacement arah y
Q variasinya diasumsikan fungsi linear (pada sub domain
bervariasi linear)
Pada solid mekanik, konsekuensi linear → regangan konstan di
titik manapun di elemen sehingga tegangan juga konstan.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 23Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Step 1
* membuat fungsi linear
Fungsi interpolasi (asumsi) displacement
yxyxu ..),( 321 ααα ++=
yxyxv ..),( 321 βββ ++=
2),( αε =∂∂=xuyxx
3),( βε =∂∂=yvyxy
23),( βαγ +=∂∂+
∂∂=
xv
yuyxxy
u dan v → titik sebarang pada elemen (boleh node/tidak)
Shape function ;
Step 2
Menyatakan hubungan ∈ dengan displacement node
∈ = [B] d
Step 3
∫=V
Te dvBEBK ]].[.[][][ )(
Untuk tebal elemen konstan = h
∫=A
Te dAhBEBK .].].[.[][][ )(
AhBEBK Te .].].[.[][][ )( = → Untuk : plane stress
Plane strain → untuk h = 1 unit yang membedakan [E]
"""" Beban node ekuivalen akibat body force
[ ]∫
=V y
xTbf dV
bb
Nf
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 24Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
- body force → jadi 2 komponen dalam fungsi x dan y
- batas integral untuk elemen
"""" Beban node ekuivalen akibat traksi
[ ]∫
=A y
xTbf dA
pp
Nf
"""" Beban node ekuivalen akibat beban thermal (beban mula)
[ ]0.. TTTth ∆∆=∈ αα
[ ] [ ] [ ] dVEBf thV
Tth ∈= ∫ .
Untuk setiap elemen perlu dianalisa
[ ])(eK
ebf
e ff =)(
Untuk struktur
[ ] ∑=
=n
e
eKK1
)( ][
∑=
+=n
e
e PfF1
)( ← Beban terpusat
[ ] FDK =
Solusi kasus 2-D
Fungsi interpolasi
yxyxu ..),( 321 ααα ++=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 25Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
131211 .. yxU ααα ++=
232212 .. yxU ααα ++=
333213 .. yxU ααα ++=
=
3
2
1
33
22
11
3
2
1
.111
ααα
YXYXYX
UUU
=
−
3
2
11
33
22
11
3
2
1
.111
UUU
YXYXYX
ααα
=
3
2
1
321
321
321
3
2
1
.1
UUU
cccbbbaaa
Jααα
)..( 32321 xyyxa −= ; )..( 31312 yxxya −= ; )..( 21213 xyyxa −=
321 yyb −= ; 132 yyb −= ; 213 yyb −=
231 xxc −= ; 312 xxc −= ; 123 xxc −=
)()()..( 2313213232 xxyyyxxyyxJ −+−+−=
[ ] α.1 yxU =
[ ]
=
3
2
1
.1ααα
yxU
[ ].1 yxU =
3
2
1
321
321
321
.UUU
cccbbbaaa
++++++=
3
2
1
333222111 )].()()[(1
UUU
ycxbaycxbaycxbaJ
U
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 26Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
[ ]
=
3
2
1
321 .UUU
NNNU
)(11111 ycxba
JN ++=
)(12222 ycxba
JN ++=
)(13333 ycxba
JN ++=
1.9 ELEMEN SEGITIGA ISOPARAMETRIK
Elemen isoparametrik yaitu fungsi interpolasi untuk koordinat
geometri-identik dengan fungsi interpolasi untuk perpindahan. Pada
Elemen segitiga digambarkan sebagai berikut
[ ]
=
3
3
2
2
1
1
.
YXYXYX
NYX
Misal
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 27Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Sehingga yang dibicarakan adalah koodinat natural, tidak hanya :
332211 ... ULULULU ++=
332211 ... VLVLVLV ++=
Tetapi
332211 ... XLXLXLX ++= X1, Y1 → koordinat node
332211 ... YLYLYLY ++=
L1, L2, L3 = koordinat natural (luasan)
L1, L2, L3 = 1
Interpolasi Formula
44332211 ....),( XNXNXNXNtsX +++=
44332211 ....),( YNYNYNYNtsY +++=
),( tsNi
Dengan formula interpolasi lagrange
Dalam arah x dalam arah y
Untuk n = 2
21
211 )(
xxxxxl
−−
= 41
411 )(
yyyyyl
−−
=
Elemen shape function N1e
41
4
21
211
111 .)().(),(
yyyy
xxxxylxlyxN e
−−
−−
==
Untuk :
41
4
21
21 .),(
tttt
sssstsN
−−
−−
=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 28Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Node 1 : s1 = -1 ; t1 = -1 Node 3 : s3 = 1 ; t3 = 1
Node 2 : s2 = 1 ; t2 = -1 Node 4 : s4 = -1 ; t4 = 1
2)1(.
2)1(
11)1(.
11)1(),(1
tststsN −−=−−
−−−
−=
4)1).(1(),(1
tstsN −−=
32
3
12
12 .),(
tttt
sssstsN
−−
−−=
2)1(.
2)1(
11)1(.
11)1( tsts −+=
−−−
++=
4)1).(1(),(2
tstsN −+=
23
2
43
43 .),(
tttt
sssstsN
−−
−−
=4
)1).(1(11)1(.
11)1( tsts ++=
++
++=
14
1
34
34 .),(
tttt
ssss
tsN−−
−−
=4
)1).(1(11)1(.
11)1( tsts +−=
++
−−−=
Kelemahan elemen linear
- Berawal dari asumsi yaxaaU .321 ++=
→ regangan konstan maka kalau membahas defleksi tegangan baik
hanya ditengah
perbaikan dengan membentuk elemen nonlinear
untuk
332211 ... UNUNUNU ++= N1=Li i = 1, 2, 3
4332211 ... VNVNVNV ++=
dengan asumsi :
yaxaaU .321 ++=
ybxbbV .321 ++=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 29Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
1.10 ELEMEN SEGI EMPAT
Keuntungan : pada FEM yang didapat → distribusi
Pada konvensional → yang didapat pada titik tertentu
"""" Elemen Isoparametrik
∑=
=n
iii UNU
1. ∑
=
=n
iii XNX
1
1.
∑=
=n
iii VNV
1. ∑
=
=n
iii YNY
1
1.
Ni = Ni1 → isoparametrik
"""" Elemen Isoparametrik
Linear → hanya mempunyai node diujung-ujungnya
Penomoran : sebarang, tapi analisanya dimulai dengan CCW
Dimapping ke koordinat s. t → ke koordinat natural
Isoparametrik
44332211 ....),( UNUNUNUNtsU +++=
44332211 ....),( VNVNVNVNtsV +++=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 30Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
44332211 ....),( XNXNXNXNtsX +++=
44332211 ....),( YNYNYNYNtsY +++=
4)1)(1(
1tsN −−=
4)1)(1(
3tsN ++=
4)1)(1(
2tsN −+=
4)1)(1(
4tsN +−=
Asumsi fungsi Interpolasi untuk perpindahan
332211 ... ULULULU ++=
332211 ... VLVLVLV ++=
=
3
3
2
2
1
1
321
321 .000
000
VUVUVU
LLLLLL
VU
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 31Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
BAB II
AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAA SSTTRRUUKKTTUURR
2.1 T R U S S
Adalah struktur yang istimewa, dimana joint yang dirancang tidak
untuk mendukung momen, dan dapat dikatakan merupakan elemen 2 –
Force member yang seolah-olah merupakan sambungan pin.
Konsekuensi
Karena tidak mendukung momen dalam keseimbangannya →
batang sebagai 2- force member sehingga beban selalu dikerjakan di
joint. Sehingga gaya-gaya berimpit dengan sumbu aksial batang.
Dalam MEH → diskritisasi dengan setiap batang sebagai elemen dengan
membuat node-node, dengan berat sendiri diabaikan. Struktur yang dilas
bisa didekati dengan truss asal fabrikasinya baik yaitu sumbu aksial
bertemu di satu titik. Elemen garis dapat berupa truss, beam, frame.
Metoda langsung → Hubungan displacement dan kekakuan
P
Aplikasi elemen hingga untuk analisa struktur, yaitu untuk strukturtruss, beam, dan frame. Juga dijelaskan mengenai ciri-ciri masing-masing stuktur tersebut, kelebihan dan kekurangannya masing-masing
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 32Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
KP
LAE
PAEPL ===∆
Derajat kebebasan (dof) → displacement (dalam struktur)
→ variable analisa
Per node → memiliki 1 dof
Elemen truss yang terletak pada sumbu x
Hubungan → gaya, displacement, stifness
Bagaimana dengan display yang ditengah → Fungsi interpolasi
(pendekatan) untuk displacement : dipilih polynomial (karena mudah
didefferensialkan / diintegrasikan)
Syarat : - Kontinuitas
- Kompabilitas
xaaxU .)( 21 += (asumsi)
2)()( a
dxxduxE == (konstanta)
2.)()( aExExT == ε (konstanta)
pada x = 0
U1 = a1 a1 = ui
pada x = L
U2 = a1 + a2 L L
uua 122
−=
2112
1 1)( ULXU
LxX
LUUUxU +
−=
−+=
2211 )()()( UxfUxfxU +=
21
211
1 )()()( UxfUxfxE +=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 33Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
LxxfxN −== 1)()( 11
LxxfxN == )()( 22 Shape Function
(Sebagai pola umum perpindahan sebagai fungsi dari Shape function
dengan dof)
20
12
111
0
12
111 .... udxffEAudxffEAX
LL
+
= ∫∫
ditulis dalam bentuk vektor
[k] d = f
↓ ↓ ↓
Stiffness vektor vektor
matrix disp. node load node
[k] = matrik kekakuan elemen
∫=L
jiij dxxfxfEAk0
11 )().(
[ ]
−
−=
1111
LEAk
[ ]
−
−=
1111
kk
Persamaan kekakuan dengan Metode Energi :
axial force :
xuEAxAExATS
∂∂=== )(.)(. ε
])()()[(. 21
211
1 UxfUxfxAE +=
[ ] dTd =
dengan cara sama :
[ ] fTf =
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 34Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
[ ] fTdK =][
[ ] fTdTK =].].[[
fdTKT T =].].[.[][
].[ fdK =
dimana
−−−−
−−−−
=
θθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθ
22
22
22
222
....
....
][
SinCosSinSinCosSinCosSinCosCosSinCos
SinCosSinSinCosSinCosSinCosCosSinCos
LAEK
model matematis
=
2
2
1
1
2
2
1
1
][
yxyx
vuvu
K
Elemen truss dengan orientasi sembarang
Model matematis
(Persamaan keseimbangan node)
=
−
−
2
1
2
1
1111
XX
uu
LAE
[K] d = f
Spesifikasi elemen :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 35Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
- 2 node pe elemen
- 2 dof per node (u dan v)
Data teknis yang diperlukan :
E, A, L, θ
2 node per elemen dengan asumsi perpindahan yang terjadi sepanjang
→ merupakan variasi linear
VYUX ,,, → Koordinat lokal
Dalam sistem sumbu lokal
=
−
−
2
1
2
1.1111
XX
UU
LAE
Dikembangkan dengan 2 persamaan : nol = nol
=
−
−
2
2
1
1
2
2
1
1
0000010100000101
YXYX
vuvu
LAE
Atau
[ ] . fdK =
Dimana
−
−=
2
2
1
1
2
2
1
1
.
0000
0000
vuvu
CosSinSinCos
CosSinSinCos
vuvu
θθθθ
θθθθ
Resume
Truss → digunakan tidak untuk mendukung momen
* Steps :
1. Diskritisasi dengan setiap batang sebagai elemen dengan
membuat node-node dan diberi nomor.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 36Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
2. Membuat tabel, data yang diketahui dan Cos dan Sin arah setiap
elemen
3. Buat model matematis elemen / K elemen
4. Beri notasi pada K elemen sesuai dengan dof
5. Susun nomor notasi dari K elemen pada susunan K total / assembly
6. Identifikasi B . C
7. Temukan dof aktifnya
8. Temukan problem yang ditanyakan (reaksi pada tumpuan,
tegangan pada batang, dsb)
* Ciri [K] struktur / assemble
- Elemen matriknya : 2 x joint
- Simetris matrik
- Singular matrik
- Tidak semua persamaan independent (hanya 2 persamaan
independent)
* Konsep K Struktur / Assemble
Gaya node di tiap-tiap node pada struktur merupakan sigma gaya
node elemen yang dikontribusikan masing-masing nodenya.
* Konsep keseimbangan truss
Gaya node pada setiap node sama dengan gaya luar (beban /
reaksi tumpuan) dalam arah yang sama.
Contoh
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 37Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Tabel
i j E A L θ Cos θ Sin θ
1 2 E A L 0o
1 3 E A L 60o
2 3 E A L 120o
* K elemen / model matematis elemen
−−−−
−−−−
=
θθθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθθθ
22
22
22
222
....
....
][
SinCosSinSinCosSinCosSinCosCosSinCos
SinCosSinSinCosSinCosSinCosCosSinCos
LAEK
( 1 – 2 ) :
−
−
=
0000010100000101
][L
AEK
=
−
−
2
2
1
1
2
2
1
1
.
0000010100000101
yxyx
vuvu
LAE
( 1 – 3 ) :
=
−−−−
−−−−
3
3
1
1
3
3
1
1
.
4/3434/343434/1434/14/3434/34343414341
yxyx
vuvu
LAE
( 2 – 3 ) :
=
−−−−−−
−−
3
3
2
2
3
3
2
2
.
4/3434/343434/1434/14/3434/34343414341
yxyx
vuvu
LAE
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 38Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
* K struktur
].0.1.0.1[)21( 22111 vuvuL
AEX +−+=−
−−+=− 33111 .
41.
41.3
41
41)31( vuvu
LAEX
+
−−+−+= 3322111 .
43
41.0.1.
43
45 vuvuvu
LAEX
].0.0.0.0[)21( 22111 vuvuL
AEY +++=−
−−+=− 33111 .
43.
43.
43.
43)31( vuvu
LAEY
+
−−+++= 3322111 4
3.43.0.0.
43.
43 vuvuvu
LAEY
].0.1.0.1[)21( 22112 vuvuL
AEX +++−=−
+−−=− 33222 .
43.
41.
43
41)32( vuvu
LAEX
+
+−−++−= 3322112 .
43
41.
43.
45.0.1 vuvuvu
LAEX
].0.0.0.0[)21( 22112 vuvuL
AEY +++=−
−++−=− 33222 .
43.
43.
43.
43)32( vuvu
LAEY
+
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 39Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
−++−+= 3322112 4
3.43.
43..
43.0.0 vuvuvu
LAEY
++−−=− 33113 .
43.
41.
43.
41)31( vuvu
LAEX
−++−=− 33223 .
43.
41.
43.
41)32( vuvu
LAEX
+
+++−−−= 3322113 .0
21.
43.
41.
43.
41 vuvuvu
LAEX
].43.
43.
43.
43[)31( 33113 vuvu
LAEY ++−−=−
+−−=− 33223 .
43.
43.
43.
43)32( vuvu
LAEY
+
++−+−−= 3322112 4
6.0.43..
43.
43.
43 vuvuvu
LAEY
* Model matematis struktur
===
===
=
===
=
−−−
−−−
−−
−−−
−−
−−−
33
33
22
2
1
11
3
3
2
2
1
1
0
000
??
0
.
4/604/3434/34
3
02/1434/14
34/1
4/3434/34
3004
34/1434/501
4/343004/34
3
434/101434/5
y
x
y
x
RYRXRY
PXY
RX
VUVUV
U
[K] . D = f
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 40Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
* Identifikasi B.C
U1 = V2 = U3 = V3 = 0 (kondisi tumpuan pada joint)
* Dof aktif
=
PU
VL
AE 0.
4/5004/3
2
1
V1 = 0 ; EAPLU
54
2 = →
=
10.
54
2
1
EALP
UV
* Gaya reaksi
−−
−
−
=
2
1
3
3
2
1
.
434/3
4/143
430
143
UV
LEA
RRRR
y
x
y
x
.
434/3
4/143
430
143
3
3
2
1
−−
−
−
=
LEA
RRRR
y
x
y
x
10.
54
EALP
=
−−
−
434/143
1
54 P
* Gaya Aksial
θθ SinYCosXS .. 22 +=
[ ]
−−
=12
12.VVUU
SinCosEAS θθ
( )222
112
2 SCVUCSCVUCL
EAX ++−−=
)]()([( 12122 VVSCUUC
LEA −+−=
( )22
212
12 ( VSUSVSSCUL
EAY ++−−=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 41Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
)]()([ 122
12 VVSUUSCL
EA −+−=
)]()()()([ 122
1212122 VVSUUSCSVVSCUUCC
LEAS −+−+−+−=
)]()()()([ 12122
12122 VVSUUCSVVSUUCC
LEA −+−+−+−=
)]()()[( 121222 VVSUUCSC
LEA −+−+=
[ ])()( 1212 VVSUUCL
EAS −+−=
[ ]
−−
=−12
1221 .
VVUU
SCL
EAS θθ
* Gaya batang / axial
[ ]
−−
= −−−12
122121)21( .
VVUU
SinCosL
EAS θθ
[ ] PEALP
LEA .
54
0
..54
.01 =
= (tension)
[ ]
−−
= −−−13
133131)31( .
VVUU
SinCosL
EAS θθ
[ ] 000
.2/32/1 =
=L
EA
[ ]
−−
= −−−23
233232)32( .
VVUU
SinCosL
EAS θθ [ ] PEALP
LEA .
52
0
..54
.2/32/1 =
−=
(tension)
2.2 B E A M
Struktur yang dirancang untuk mendukung beban lateral.
Sehinngga utamanya dapat meneruskan bending, meskipun ada shear
(sebagai konsekuensi logis)
Tegangan Bending → Tegangan normal
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 42Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Data teknis :
E, I, L
Pola model matematis
→ titik diluar node bagaimana defleksi (asumsi dengan interpolasi)
Pada elemen ada 4 yang tidak diketahui → 4 suku
Fisik
Justifikasi : truss → dapat menurunkan ∈ yang konstan → sehingga T yang
konstan.
Beam
Fungsi interpolasi (asumsi) : → Upaya untuk mendukung yang sebenarnya
(yang didekati bukan fungsinya tetapi nilai numeriknya)3
42
321)( xaxaxaaxV +++=
Justifikasi : di Beam
)()(2
2
2
2
xMdx
vdEIEI
xMdx
vd =→=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 43Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Keseimbangan Keseimbangan
dxWdV .= dxVMdMM .)( =−+
dxdVW = dxVdM .=
4
4
dxVdEIW =
dxdMV =
3
3
dxVdEIV =
Pemisalan harus bisa memodelkan daerah beam tidak ada beban
merata sehingga fungsi interpolasi turunan ke IV nya = nol
Model umum ;
Displacement = ∑ di)..x(fi
Dimana fi(x) merupakan fungsi bentuk dan di merupakan Displacement
dari node.
Fungsi Interpolasi (asumsi)3
42
321)( xaxaxaaxV +++=
↓
24231211 )()()()()( θθ xfVxfxfVxfxV +++=
==dx
xdVx )()(θ 21
421
311
211
1 )()()()( θθ xfVxfxfVxf +++
Gambaran penyelesaian pada aplikasi Beam digambarkan sebagai
berikut :
Suatu struktur Beam dengan berbagai beban .
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 44Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Langkah yang dilakukan sebagai berikut :
1. Diskrititasi (minimal) dengan cara sebagai berikut :
- Pada ujung-ujung beam diberi nodal
- Pada setiap tumpuan diberi nodal
- Pada diskontinuitas geometri diberi nodal
- Pada beban terpusat diberi nodal
- Pada diskontinuitas beban merata diberi nodal
2. Memberikan nomor nodal dan elemen dilakukan dari kiri ke kanan
3. Membuat tabel spesifikasi dari model yang dianalisa
4. Membuat model matematik atau persamaan kekakuan per
elemen
Dengan memberikan penomoran dof :
Elemen K : elemen nomor dof
1 2 1 2 3 4
2 3 3 4 5 6
dan seterusnya.
5. Membuat matrik kekakuan total dengan mengasembly masing
elemen
FW1(x)
W2(x)
M
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 45Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
6. Dengan adanya beban merata, maka harus dibuat dulu beban
ekivalensinya dengan cara sebagai berikut :
Bentuk beban ekivalen :
∫=
=L
0i
2
2
1
1
i dx).x(f).x(P
MYMY
F
7. Indentifikasi kondisi batas menjadi dof aktif dan dof non aktif
1 2M1
M2
Y1 Y2
Y,V
X,U
P(x)
L
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 46Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
8. Dengan persamaan kesimbangan total , tentukan dof aktif
dengan metoda gauss eliminasi.
9. Menjawab pertanyaan dari problem.
Prosedur yang dilakukan dalam struktur beam sebagai berikut :
"""" Elemen Beam
Spesifikasi
- 2 node/elemen
- 2 dof / node
"""" Fungsi Interpolasi
24231211 )()()()()( θθ xfVxfxfVxfxV +++=
==dx
xdVx )()(θ 21
421
311
211
1 )()()()( θθ xfVxfxfVxf +++
Shape Function
32
1 LX2
LX31)x(f
+
−=
2
322
LX
LX2X)x(f +
−=
32
3 LX2
LX3)x(f
−
=
2
324
LX
LX)x(f +−=
Persamaan keseimbangan struktur :
f = [K] d
dengan Elemen stiffness : dx).x(f).x(fEIk "j
L
0
"iij ∫=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 47Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
2.3 F R A M E
→ masing-masing elemen bisa menerima gaya kearah x dan y dan
mampu mendukung momen sehingga dof = 3
mampu menerima :
- Beban lateral (bending)
- Beban aksial
- Beban terpusat/merata
- Beban momen
Data teknis
E, A, I, L, φ
2 node per elemen
3 dof pernode (u, v, θ)
Konsep
Seperti beam yang berorientasi φ terhadap x
Dalam pemodelan matematis → kombinasi elemen truss dan beam
I. Analisa → elemen tersebut terletak pada sumbu x (tapi bukan beam)
(merupakan ide frame = truss + beam)
θ lokal = θ global
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 48Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
(karena diputar pada sumbu yang sama)
- Diskritisasi
- K (6 x 6) elemen
- Assemble
- Beban node ekivalen (karena ada beban merata)
- B.C
- Dof aktif
- Jawab pertanyaan
• Tidak ada tumpuan (dari soal terlihat kesetimbangan statis)
• Tidak ada rigid body motion
• Tumpuan → jadi B.C
• Simetri
• Sumbu simetri
BC dengan kesimetriannya (dari bentuk defleksi)
V1 = θ1 = U3 = θ3 = 0
U2 = 0 V2 = ? (tidak nol/hampir nol)
Penentuan BC
- BC yang lebih / kelewatan bisa membuat K tetap singular
- Atau kalau tidak singular → maka proses kalkulasinya lebih
panjang
Bidang simetri tengah
Dua buah titik yang berjarak sama terhadap bidang simetri
Pada bidang simetri → syarat :
- Struktur simetri
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 49Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
- Beban simetri
BC’s
u = 0
θy = 0
θz = 0
contoh soal
Analisa
Diskritisasi node 1 anggota frame aslinya (v, u, θ) sebagai truss hanya
punya (u, v) dof aktif
[ ]
−−−
−
=
3
2
2
2
1
2
2
.
/12/60/68/6
0/6/12
v
vuu
LLxxLxxL
xxxxxxxxxx
LxxL
LEAK frame
θ
Dof aktif
[ ]
−
−=
2/12/12/12/1
2LEAKtruss
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 50Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
+−−
−−
−−+
=
LLLEAEIxxEA
LLxx
xxxxxxxxxxLLLLEAxxEAEI
K struktur
441260
686
440612
][
3
3
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 51Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
BAB III
IINNTTEERRPPOOLLAASSIIDDAANN IINNTTEEGGRRAASSII NNUUMMEERRIIKK
Shape function → hubungan matematik dari fungsi interpolasi2
210 θθφ CCC ++=
[ ]
=
2
1
02 .1
CCC
θθφ
Tiga titik di
11 φφθθ =→=
22 φφθθ =→=
33 φφθθ =→=
[ ]
=
2
1
02
111 .1CCC
θθφ
[ ]
=
2
1
02
222 .1CCC
θθφ →
=
2
1
0
233
222
211
3
2
1
.111
CCC
θθθθθθ
φφφ
[ ]
=
2
1
02
333 .1CCC
θθφ
=
−
3
2
1
1
233
222
211
2
1
0
.111
φφφ
θθθθθθ
CCC
Interpolasi Lagrange merupakan pendekatan fungsi polynomial.
Sedangkan Integrasi Gauss Quadrature merupakan suatu proses
integrasi numerik dimana batas integral harus sudah dilihat melalui
analisa numerik.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 52Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
332211 )()()( φθφθφθφ NNN ++=
Curve fitting → suatu pendekatan Lagrange’s interpolation →
pendekatan f polynomial
FEM→ yang didekati bukan fungsinya karena kompleksnya tapi nilainya
"""" 2 independent variables
φ1, φ2 . . . . . . φ9 → diketahui
3322111 ).().().(),( φφφφ xNxNxNyxI ++=
)).(()).((
3121
321 xxxx
xxxxN
−−−−
=
)).(()).((
3212
312 xxxx
xxxxN
−−−−
=
)).(()).((
2313
213 xxxx
xxxxN−−
−−=
6655442 ).().().(),( φφφφ xNxNxNyxII ++=
)).(()).((
6454
651 xxxx
xxxxN
−−−−
=
9988773 ).().().(),( φφφφ xNxNxNyxIII ++=
)(7 xN =
Shape kurva :
),()(),()(),()(),( 332211 yxyNyxyNyxyNyx IIIIII φφφφ ++=
)).(()).((
)(3121
321 yyyy
yyyyyN
−−−−
= ; )).((
)).(()(
3212
312 yyyy
yyyyyN
−−−−
=
=)(3 yN
"""" Integrasi numerik
Pada software → yang dipakai integrasi Gauss
* GAUSS QUADRATURE
Batas integrasi :harus sudah lihat : Analisa Numerik
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 53Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
"""" Mapping → merubah batas integral dengan menggunakan
determinan Jacobi
titik gauss → dinyatakan dengan koordinat natural
Koordinat natural faktor bobot
( 1/3, 1/3, 1/3 ) -27/48 A
( 3/5, 1/5, 1/5 )
( 1/5, 3/5, 1/5 ) 25/48 A
4
titik
( 1/5, 1/5, 3/5 )
Hubungan antara x dan interpolasi dalam natural :
X = L1 X1 + L2 X2 + L3 X3
Kalau ada y
Y = L1 Y1 + L2 Y2 + L3 Y3
Shape function pada elemen segitiga = koordinat natural Ni = Li
Dalam pengertian koordinat natural sebagai interpolasi.
koordinat natural faktor bobot
(½, ½, 0) 1/3 A
(0, ½, ½) 1/3 A
3 tit
ik
(½, 0, ½) 1/3 A
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 54Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
x
X2
X1
Q2Q1
H(x)
AA+(dA/dx).dx
qq+(dq/dx).dx
BBAABB IIVV
AAPPLLIIKKAASSII PPAADDAAPPEERRPPIINNDDAAHHAANN PPAANNAASS
4.1 Steady State Uniaxial Heat Flow.
Suatu daerah dengan luas penampang variable A(x) dengan aliran
panas Q (energy/time) pada ujung dan sumber fluks panas, H(x)
(energy/time-length), didistribusikan sepanjang arah x.
Kesetimbangan energi dari differential element :
0)(. =− xHqAdxd
H(x)
dx
Disamping aplikasi untuk struktur, metode elemen hingga dapat jugaditerapkan untuk perpindahan panas. Disini akan dibahas mengenaiperpindahan aliran panas untuk 1-Dimensi dan juga untuk 2-Dimensi.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 55Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Fourier’s Law :
dxdTkq .−= k: thermal conductivity. ; T : Temperature
Substitusi Fourier Law ke differential equation :
0)(. =+ xHdxdTkA
dxd
Bentuk varisional ekivalen dari persamaan diferensial :
dxTxHdxdTkA
dxdx
x..)(.0 2
1δδ ∫
+==Π
dxTxHdxTdxdTkA
dxd x
x
x
x.).(.. 2
1
2
1δδ ∫∫ +
=
Integrasi suku pertama dan dikalikan dengan –1 didapat :
dxTxHdxTdxd
dxdTkAT
dxdTAk
x
x
x
x
x
x.).(.. 2
1
2
1
2
1
δδδδ ∫∫ −+−=Π
dengan
T : essential boundary condition (Dirichlet Boundary Condition)
dT/dx: natural boundary value (Neumann Boundary Condition)
untuk : Q =-A.k.dT/dx, maka
( ) dxTxHdxTdxd
dxdTkATQTQ
x
x
x
x.).(.... 2
1
2
11122 δδδδ ∫∫ −+−=Π
Functional untuk 1 dimensi problem perpindahan panas adalah :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 56Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
( ) dxxTxHdxdxdTkATQTQ
x
x
x
x).().(.... 2
1
2
1
2
1122 ∫∫ −
+−=Π
Newton’s Law of cooling, aliran panas konveksi pada batas 1 dan 2:
Q1 = Q1c = h.A.(T∝ - T1) dan Q2 = Q2c = h.A.(T2 - T∝ )
T∝ : temperatur ambient ;h : koefisien perpindahan panas konveksi.
Energi yang ditambahkan dengan konveksi pada daerah panjang dx :
H(x).dx = h.(P.dx)(T∝ - T(x))
H(x) = h.P.(T∝ - T(x))
4.2 MODEL ELEMEN HINGGA UNTUK ALIRAN PANAS 1-DIMENSI.
Functional :
( ) dxxTxHdxdxdTkATQTQ
x
x
x
x).().(.... 2
1
2
1
2
1122 ∫∫ −
+−=Π
model elemen : dua nodal heat flow element.
1. Asumsi fungsi yang menyatakan variable dependen melalui
elemen.
Variasi linear temperatur :
T = [N] . qt
[N] = [N1 N2] =
−−
−−
..ij
i
ij
j
XXXX
XXXX
L
Xj Q2iQ1
21
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 57Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Xj – Xi = L ; qt = [Ti Tj]T
[ ] tqLdx
dT .111 −= atau [ ] tqBdxdT .=
Substitusi :
[ ] [ ] [ ] [ ] dxqNxHdxqBBqkAqQQ tx
xtTx
xT
ttjij
i
j
i.).(..
2.. ∫∫ −+−−=Π
atau :
[ ] [ ] dxqNxHqqLkAqQQ t
x
xtT
ttjij
i.).(.
1111
.2
.. ∫−
−
−+−−=Π
Dengan Ritz procedure dΠ/dqt = 0, maka governing equation for the
single element :
[ ] dxNxHQ
LkA j
i
x
xj
it .).(.
1111
..
∫+
−
=
−
−
atau : [ kcd ] . qt = Qt N + QtH.dimana :
[ kcd ] = element conduction matrix ; qt = nodal temperature vector
Qt N = nodal heat flow vector;
Qt H = nodal heat flow vector equivalent to the distributed flux.
Assembly elemen, dgn Rayleigh-Ritz Procedure thd functional seluruh
region :
[ Kcd ] . rt = Rt N + RtH.
dimana : [ Kcd ] = assembled conduction matrix;
rt = assembled nodal temperature vector
Rt N = nodal heat flow at boundary and node sources
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 58Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Rt H = distributed heat flux vector.
4.3 ONE-DIMENSIONAL HEAT FLOW WITH CONVECTION
Persamaan kesetimbangan :
[ kcd ] . qt = Qt N + QtH.
asumsi konveksi terjadi hanya pada nodal local 1.
−
−∞
=
−−∞
=0....)(. 1
22
1 TAhQTAh
QTTAh
Q LLNt
−
−∞
=2
1
2 0001
....
TT
AhQTAh L
atau : Qt N = QcvL.- [ kcv ]L .qt
Jika ujung kanan mempunyai konveksi., kemudian dengan subtitusi
Q2 = h.A. (T2 - T∝ R) didapat :
−
∞=
2
11
1000
.... T
TAh
TAhQ
QR
Nt
atau :Qt N = QcvR.- [ kcv ]R .qt
dimana : Qcv : Vektor aliran panas konveksi; [Kcv] : Matrik konveksi
x
L
T∝ H , hH
T∝ RT∝ L
hRhL
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 59Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Fluks panas terdistribusi :
∫∫ −== ∞L T
HL T
Ht dxNxTTPhdxNxHQ00
.])).[(.(..])[( atau :
∫∫ −= ∞L
tTL T
HHt qdxNNPhdxNTPhQ00
.]..[][..][..
Matrik fungsi bentuk dalam koordinat local :
−=
Lx
LxN 1][
Fluks terdistribusi :
−
= ∞
2
1
2112
6..
11
2...
TTLPhTLPhQ
HHt
atau : QtH = QcvH – [kcv]H .qt.
Asumsi single elemen dengan konveksi pada sisi batas kiri dan sepanjang
elemen dan aliran panas Q2 pada batas kanan.
[ kcd ] . qt = Qt N + QtH.
= QcvL.- [ kcv ]L .qt + QcvH – [kcv]H .qt.
[ ]
−
+
−
−=
∞∞
2
1
2
1
22
1
2112
6..
11
2...
0001
...
TTLPhTLPh
TT
AhQTAh
TT
k HLcd
direorganisir : (konveksi pada sisi kiri)
[ ] [ ] [ ][ ] HcvLcvtHcvLcvcd QQqkkk +=++
(Konveksi pada sisi kanan ) :
[ ] [ ] [ ][ ] HcvRcvtHcvRcvcd QQqkkk +=++
Contoh :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 60Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Aliran panas dalam sirip segiempat seperti pada gambar dimodelkan
sebagai problem 1 dimensi. Sisi kiri sirip dipertahankan pada temperatur
2000C dan semua permukaan diekspos pada temperatur ambien 500C.
Koefisien konveksi untuk semua permukaan 0.02 W/cm2.0C. konduktifitas
termal bahan 4 W/cm.0C. Pertama menggunakan model elemen tunggal
dan kemudian model dua-elemen , estimasikan temperatur pada ujung
sirip dan panas yang hilang.
Penyelesaian :
Model satu-elemen
Matrik konduksi :
[ ]
−
−=
−
−=
−
−=
20202020
1111
204.100
1111
LAkkcd
Elemen dengan konveksi pada sisi kanan. Matrik konveksi untuk aliran
panas dari sisi kanan adalah :
20 cm
20 cm
5 cm
X2000C
T∞=50 0C
1Q1
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 61Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
[ ]
=
=
=
2000
1000
)100(02.01000
A.hk Rcv
Matrik konveksi untuk aliran panas dari semua sisi :
[ ]
=
=
=
7.63.33.37.6
2112
6)20)(50(02.0
2112
6hPLk Hcv
Vektor konveksi untuk konveksi sisi kanan :
=
=
=∞ 100
Q)50)(100(02.0
QT.A.h
QQ 11
R
1Rcv
Matrik konveksi untuk sisa sisi bebas :
=
=
= ∞500500
11
2)50)(20)(50(02.0
11
2T.L.P.hQ H
Hcv
Asembly persamaan matrik aliran panas komplit :
[ ] [ ] [ ][ ]
+
=
−
−
+=++
600500Q
TT
7.287.167.167.26
QQqkkk
1
2
1
HcvRcvtHcvRcvcd
kondisi batas esensial, T1 =200
=
− 600
200TT
7.287.1601
2
1
solusi untuk T2 :
-16.7 (200) + 28.7 T2 = 600 T2 = 137.3 0C.
Aliran panas Q1 dalam sisi kiri didapatkan :
26.7T1 - - 16.7T2 = Q1 + 500
26.7(200) – 16.7(137.3) = Q1 + 500 Q1 = 2547 W.
Aliran panas rata-rata dalam elemen :
Q1 = -k dT/dx = - k[B] qt = [ ]
−−2
1TT
11Lk
[ ] 2cm/W3.263.137
20011
204 =
−−=
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 62Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
S
4.4 PERPINDAHAN PANAS DAN ALIRAN FLUIDA 2-DIMENSI
• Governing equation.
Laplace eq. : 02 =∇ T
Fourier eq. : xTkq
Xcd ∂∂−=
yTkqcdy ∂
∂−=
atau : nTkqn ∂
∂−=
Newton’s Law of cooling : qCV = h.A (T - T∞ )
Galerkin Approximation :
∫ =∇A i dydxtTW 0.... 2
dalam bentuk lain : TWTWTW ii2.. ∇+∇∇=∇∇
sehingga disubsitusi menjadi :
∫ ∫ =∇∇−∇∇A A ii dydxTWtdydxTWt 0......
Dengan Gauss Theorem : ∫ ∫ ∇=∇∇A S ii dsnTWtdydxTWt !.....
, maka
∫ ∫ =∇∇−∇S A ii dydxTWtdsnTWt 0..... !
atau :
∫ ∫ =
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
S Aii
i dydxyT
yW
xT
xWtds
nTWt 0...
Interpolation formula :
T = [N] . qi dan Wi = Ni
Sehingga :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ∫ ∫ =
∂
∂∂
∂+∂
∂∂
∂−∂∂
Se Ae i
TTT qdydx
yN
yN
xN
xNtds
nTN 0....
T(x,y)
X
Y n
T∞
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 63Fakultas Teknik—Jurusan mesinUniversitas Brawijaya
Se’’Se’
∂T/∂n=0
qb
qcv
T∞
qcdn
Persamaan Elemen :
Keseimbangan energi : qcdn = qcv
( ) cvcdcd qnjqiqyx
=+ ˆ.ˆ.ˆ.
dan ).(..... ∞−=∂∂− TTdsthds
nTkt
dsTTkhds
nT ).(. ∞−=
∂∂−
untuk : T = [N] . qt
[ ] dsTkhdsqN
khds
nT
t .... ∞−=∂∂−
subsitusi :
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] 0......
.........' '''
=
∂
∂∂
∂+∂
∂∂
∂−
∂∂++−
∫
∫ ∫∫ ∞
tAe
TT
Se
T
Se
T
SetT
qdydxyN
yN
xN
xNk
dsnTNkdsTNhqdsNNh
dalam bentuk persamaan elemen :
[KT] . qt = Qcv + Qb
“Thermal stiffness” matrix :[KT] = [kcdx] + [kcdy] + [kcv].
[ ] [ ] [ ] dydxxN
xNkk
Ae
T
cdx ....∫
∂
∂∂
∂=
[ ] [ ] [ ] dydxyN
yNkk
Ae
T
cdy ....∫
∂
∂∂
∂=
[ ] [ ] [ ] dsNNhkSe
Tcv ...
'∫=
Convection boundary vector Se’ : [ ] [ ] dsTNhQSe
Tcv ...
'∫ ∞=
Applied heat boundary vector, Se’’ : [ ] [ ] dsnTNkQ
SeT
b ...''∫ ∂
∂=
Y
X
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 64Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
BBAABB VV
AANNAALLIISSAATTEEGGAANNGGAANN AAXXIISSYYMMMMEETTRRIICC
Suatu hal yang penting untuk merealisasikan pada axisymmetric
problems, perpindahan dalam kontinum dapat terjadi hanya dalam arah
radial dan aksial; perpindahan tidak dapat terjadi dalam arah
sirkumferensial, sebagai akibat hal tersebut, menjadi biasa menggunakan
sistem koordinat silinder dalam mengembangkan persamaan elemen
umum, seperti pada gambar berikut.
Sumbu putaran
Sekelompok problem yang ada pada kenyataannya meliptui gaya
dan domainnya dalam tiga dimensi, tetapi akan diupayakan
mereduksi secara matematik menjadi dua dimensi. Problem-problem
tersebut disebut dengan axisymmetric problems, dan dikarakteristikan
dengan putran solid dan sifat-sifat material dan beban yang tak
berubah sepanjang sekeliling putaran.Gambar berikut adalah putaran
solid, dengan elemen yang akan digunakan pada diskrititasi dari
kontinum yaitu toroid dengan penampang segitiga.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 65Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Putaran benda dari elemen toroidal.
Sistem Koordinat
Komponen tegangan koordinat silinder untuk keadaan axisymmetric.
r
z
θ
1
2
3
r11 e.uu =
k.ww 11 =
reθe
k
zθ
r
σz
σθ
σr
τrzdz
dθ
dr
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 66Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
5.1 Persamaan dasar untuk elemen
Persamaan elemen secara umum untuk analisa tegangan
kontinum tiga dimensi identik dengan bentuk :
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] BFTNFTTT QQQd..C.Bq.d.B.C.B +++Ωε=Ω ∫∫ Ω
Ω
walaupun aplikasi persamaan ini untuk elemen tiga dimensi adalah
identik dengan konsep elemen dua dimensi, upaya lebih besar karena
perpindahan tambahan pada setiap nodal dan dimensi dalam tiga
variabel. Integral garis dan luasan dari elemen problem bidang sekarang
menjadi integral permukaan dan volume.
Dalam persamaan diatas, jika diaplikasikan ke kontinum tiga
dimensi didefinisikan kembali sebagai berikut :
Matrik kekakuan
[ ] [ ] [ ][ ]∫Ω Ω= d.B.C.Bk T
Vektor beban nodal temperatur :
[ ] [ ] [ ] ∫Ω Ωε= d..C.BQ TT
temp
Vektor gaya nodal
QNF = gaya-gaya aplikasi pada nodal
Vektor traksi permukaan
[ ] [ ] ∫ Ω=A
TT d.T.NQ
Vektor Gaya bodi
[ ] [ ] ∫Ω Ω= d.Bf..NQ TBF
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 67Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
5.2 Persamaan Elastisitas Axisymmetric
Pada Axisymmetric, semua persamaan harus menjadi bebas dari θ
dan semua perpindahan harus berada dalam bidang rz. Hubungan
perpindahan regangan dalam koordinat silinder pada problem khusus
sebagai berikut.
ru
r ∂∂=ε ;
zw
z ∂∂=ε ;
ru=εθ ; r
wrw
rz ∂∂+
∂∂=γ
dalam bentuk matrik :
[ ]
℘=
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
γεεε
=εθ w
u.
wu
.
rz
0r1
z0
0r
rz
z
r
Hubungan untuk material isotropik :
∆α−
γεεε
ν−ν−νν
νν−νννν−
ν−ν+=
τσσσ
θθ0111
T.x
221000
010101
)21)(1(E
rz
z
r
rz
z
r
atau σ = [C] . (ε - εT)
Vektor regangan termal didefinisikan sebagai
∆α=
γεεε
=εθ
0111
T
rz
z
r
T
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 68Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Fungsi perpindahan elemen
Nodal dari elemen toroidal sebenarnya adalah lingkaran konsentrik yang
lewat melalui puncak penampang segitiga. Koordinatnya adalah r dan z.
Spesifikasi perpindahan radial , u, perpindahan aksial, w, posisi radial, r,
dan posisi aksial, z dari suatu toroidal yang akan didefinisikan dengan
formulasi interpolasi linear dalam koordinat natural dan sifat-sifat nodal.
u = L1u1 + L2u2 + L3u3
w = L1w1 + L2w2 + L3w3
r = L1r1 + L2r2 + L3r3
z = L1z1 + L2z2 + L3z3
dimana : L1+ L2 + L3 = 1
dalam bentuk matrik
=
3
2
1
321
321LLL
zzzrrr111
zr1
invers matrik :
=
zr1
cbacbacba
det1
LLL
333
222
111
3
2
1
dimana :
a1 = r2z3 – r3z2 ; a2 = r3z1 – r1z3 ; a1 = r1z2 – r1z2 ;
b1 = z2 – z3 ; b2 = z3 – z1 ; b3 = z1 – z2 ;
c1 = r3 – r2 ; c2 = r1 – r3 ; c3 = r2 – r1 ;
dan
det = (r1 – r3)( z2 – z3) - (r2 – r3)( z1 – z3) = 2 x luas segitiga.
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 69Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
Vektor fungsi perpindahan :
[ ] q.N
wuwuwu
.L0L0L00L0L0L
wu
3
3
2
2
1
1
321
321 =
=
Hubungan regangan dengan vektor dof :
[ ][ ] [ ] q.Bq.N =℘=ε
derivatif koordinat natural :
detb
detc.zb.ra
rrL 11111 =
++
∂∂=
∂∂
dan seterusnya.
Selanjutnya matrik [B] menjadi :
[ ]
=
332211
*3
*2
*1
321
321
bcbcbc
0r
L0r
L0r
Lc0c0c00b0b0b
det1B
dimana :
L1* = a1 + r.b1 + z.c1 ; L2* = a2 + r.b2 + z.c2 ; L3* = a3 + r.b3 + z.c3
Matrik kekakuan
[ ] [ ] [ ][ ]∫Ω Ω= d.B.C.Bk T
Metode pendekatan yang sederhana [Zienkiewics] dinyatakan sebagai
berrikut :
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 70Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
[ ] ( )[ ]z,rBB =
dimana ; 3
rrrr 321 ++= ; 3
zzzz 321 ++=
volume : A.r..2V π=
Matrik kekakuan elemen :
[ ] [ ] [ ] [ ]B.C.BA.r..2k Tπ=
Vektor beban nodal temperatur :
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]
∆απ=Ωε= ∫Ω0111
C.B.T..A.r..2d..C.BQ TT
temp
Vektor gaya nodal
QNF = gaya-gaya aplikasi pada nodal
QNF = [F1r F1z F2r F2z F3r F3z]T
Vektor traksi permukaan
[ ] [ ] [ ] ds.TT
.N.r..2d.T.NQz
rTSA
TT
π=Ω= ∫∫
[ ] ds.TT
.
rL00rL
rL00rL
rL00rL
..2Qz
rS
3
3
2
2
1
1
T
π= ∫
r dalam istilah koordinat natural :
r = L1r1+ L2r2+ L3r3
Vektor Gaya bodi
[ ] [ ] [ ] dA.BB
.N.r..2d.BB
..NQz
rTAz
rTBF
π=Ω
= ∫∫Ω
DIKTAT METODE ELEMEN HINGGAOleh : Ir. A. As’ad Sonief, MT.
Program Semi-Que IV 71Fakultas Teknik Jurusan MesinUniversitas Brawijaya
RREEFFEERREENNSSII1. Grandin Hartley, Jr.,1986, “ Fundamentals of the Finite Element
Method”, Macmillan Publishing Company, New York.2. Yang, T.Y., 1986,”Finite Element Structural Analysis”, Prentice-
Hall,Inc,Englewood Cliffs.3. Buchanan, George R.,1995, “Finite Element Analysis, Schaum’sOutline
Series, McGraw-Hill International Editions4. Bathe Klaus-Jurgen, 1996, “Finite Element Procedures”, Prentice Hall
International Editions, Inc, USA.5. Hughes Thomas J.R.,1987, “ The Finite Element Method”, Prentice-Hall
Inc, New Jersey6. Segerlind L., J., “Applied Finite Element Analysis”, John Willey & Son,Inc.