Kazan University

# 1Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6

Kazan University1804-2004

Ю.Н. Прошинкафедра теоретической физики

Казанского федерального университета

[email protected]

2004-2013, Казань

ФИЗИКА

# 2Ю.Н. Прошин и С.К. Сайкин ЧМММ. Лекция 6ВычФиз

Решениедифференциальных

уравнений


Основные определения

0 0( , ) (1) ( ) (2)dy

f y x y x ydx

где

y – зависимая переменная,

x – независимая переменная,

f(y,x ) – функция производной = правая часть,

x0 - начальное значение независимой переменной,

y0 - начальное значение зависимой переменной.


Метод Эйлера• Пусть задано уравнение

Решение будет искаться в виде

где h – шаг сетки, f (tk, yk) = tg αk

и h*tg αk = Δyk

• Ошибка дискретизации δ ~ h

000 )(,),,( ytytttytfdt

dyn

),,()(1 kkkk ytfhtyy yk

tk tk+1

h

αk

δk


Δyk

yk+1



0 0(3) ( ) (4)tdye y y t y

dt

Уравнение (3) – дифференциальное уравнение

•первого порядка

•линейное

•в обыкновенных производных

•с зависящими от нез. переменной коэффициентами



0 0(3) ( ) (4)tdye y y t y

dt

Метод численного решения – замена производных разностями

Простейший метод – метод Эйлера –> погрешность ~Δt = h

11 1

1

0 0 1

( ) ( ) (5)

( ) , (6)

k kk k k k k k

k k

k k

y yf t y y t t f t

t t

y t y t t t h

1 0 0exp( ) , ( ) (7)k k k ky y t y h y t y


Решения

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6

Euler RK4

y

t


Решения

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.60.81.01.21.41.61.82.02.22.42.6

Euler RK4 Точное решение

y

t


Дифференциальные уравнения.

• Общий случай

•Роль дифф. уравнений в физике (рост, убывание, стремление к равновесию,…, механика, молекулярная физика, квантовая механика, электродинамика, …. ).

•Примеры

0 0

( , , , , ,..., , , ,...)

( )

da b c

d

yF y x

x

y x y

BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB


Танцы звезд

• Задача многих тел.

Уравнения Ньютона или Гамильтона.

, 1, ,

jj

jj

Hp

qj n

Hq

p

2

2 3

1 1

, 1, ,

rr F r

N N

i jii i i ij ij

ijj j

m mdm m i Ndt r

2 2 2

1 , 12

N Nix iy iz i k

i iki i k

i k

p p p m mH

m r



• Задача многих тел. (3 тела).

Уравнения Ньютона или Гамильтона



• Задача многих тел. (3 тела и чуть больше).











Сеточные функции

• Пусть задана непрерывная функция g(x) на участке [a,b].

• Введем дискретный набор точек xi, сетку.

• Точки {x0,x1,x2,…xn} – узлы сетки

• Сетка с одинаковым расстоянием между произвольной парой соседних точек – равномерная сетка.

• yi=g(xi) – сеточная функция, задаваемая в виде таблицы.

g(x)

x

y

a b

...

y0 y1 y2yn

x1 x2


Разности

• Можно ввести аналог производной для сеточной функции

• Также задается

• В общем случае

1

i

i i ix

dfdx y y y

dx - правая разность

1i i iy y y - левая разность

1 1

1 1( ) ( )

2 2i i i i iy y y y y - центральная разность

1( )m mi iy y


• Производные второго порядка

• Дифференцирование произведения

• Суммирование по частям

Разности

Полезные выражения

22 12i i i iy y y y 1 12i i i iy y y y 2

1i iy y

1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y

1 1( )i i i i i i i i i iy v y v v y y v v y

1 1

1 0 1 0 00 1 0

N N N

i i i i N N i i N Ni i i

y v v y y v y v v y y v y v


Разностные уравнения

• Линейное разностное уравнение m-го порядка

или

• Например

)()(...)()()( 22110 ifyiayiayiayia mimiii

)()(...)()()( 2210 ifyiyiyiyi m

imiii

)()()( 110 ifyiayia ii - уравнение первого порядка

ii yiiy )()(1 Решение

Если задано граничное условие y0=const, все остальные значения находятся последовательно


Разностные уравнения

Граничные условия• Аналогично дифференциальным уравнениям чтобы найти частное решение требуется задать граничные условия.

- уравнение первого порядка – один параметр

- уравнение второго порядка – два параметра и т.д.

• Согласно заданным условиям уравнения второго порядка можно классифицировать как

- Задача Коши. Заданы граничные условия в двух соседних

точках.

- Краевая задача. Заданные точки не являются соседними.

• Граничные условия могут быть первого, второго и третьего рода.


Уравнения первого порядка

Метод Эйлера• Пусть задана система уравнений

(здесь yi – разные функции)

• Решение будет искаться в виде

где h – шаг сетки

• Ошибка дискретизации ~h

)),(),...(),(,()()( 211 knkkkikiki xyxyxyxfhxyxy

iinii aybxanixyxyxyxf

dx

dy )(,,,...,1)),(),...(),(,( 21


Методы Рунге-Кутта

q

iiikk hkpxyxy

11 )()()( - общая формула, где

;;)(1 yxfhhk

;;)( 12122 kyhxfhhk

;;)( 23213133 kkyhxfhhk

..........................................................

;...;)( 3322113 kkkyhxfhhk nnnn

qijpp ijqq 0...... 12 - константы


Методы Рунге-Кутта

Выбор параметров

Введем функцию погрешности метода

);(...)()()()()( 2211 hkphkphkpxyhxyh iii

Будем искать коэффициенты из условия чтобы

0)0(,0)0(...)0()0( )1()( ss

тогда

1)1(

1)1(

1

)(

)!1(

)(

)!1(

)(

!

)0()(

s

ss

ss

i

ss

hs

hh

s

hh

sh


Уравнения первого порядка

Методы Рунге-Кутта• Метод Рунге-Кутта второго порядка (Метод Хьюна) ε ~ h2

• Метод Рунге-Кутта-Фельберга ε ~ h5

,))(,()(,))(,(2

)()( 11 kkkkkkkk xyxfhxyxfxyxfh

xyxy

43201 12

1

45

16

20

9

9

1)()( kkkkxyxy ii ;;0 ii yxfhk

;9

2;

9

201

kyhxfhk ii ;

4

1

12

1;

3

1102

kkyhxfhk ii

;64

135

128

143

128

69;

4

32103

kkkyhxfhk ii

;15

16

5

27

4

27

12

17; 32104

kkkkyhxfhk ii


• Например уравнение дрифт-диффузии

это уравнение в частных производных. Можно решать стационарное уравнение, приравняв нулю производную по времени.

Линейные уравнения второго порядка

0

n n B

n J

t xn

J q nE k Tx

2

20n n

n n n ED q E q n

t x x x

2

20

n nA Bn

x x

1 1 1 1

2

( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0

2i i i i i

i i i

n x n x n x n x n xA B n x

h h


2D уравнение Пуассона

),( 2122

2

21

2

xxfx

u

x

u

- уравнение в частных производных

Функция u определена на всей границе – задача Дирихле ),(| 21 xxu B


),()1,(),(2)1,(),1(),(2),1(

2122

2121212

1

212121 iifh

iiyiiyiiy

h

iiyiiyiiy

Разностное уравнение


• Разностное уравнение

с граничными условиями

можно представить в виде матричного уравнения

iiiiiii fybycya 11

Метод прогонки


2121110 , NN yyyy

2

1

2

2

1

1

1

2

2

1

0

2

111

22

22

111

1

......

10...000

...000

0...000

.....................

000...0

000...

000...01

N

N

N

N

N

NNN

NN

f

f

f

f

y

y

y

y

y

y

bca

bc

ca

bca



Алгоритм

• Выберем соотношение

где коэффициенты определены как

с граничными условиями

• За один проход -> можно расcчитать все коэффициенты αi βi.

111 iiii yy

;; 11iii

iiii

iii

ii ac

fa

ac

b

;; 1111



Алгоритм

• Теперь идем <- и считаем

где yN находится из граничных условий

111 iiii yy

2

22

1

N

NNy


Buffer Layer AlxGax-1As n-

Schottky Layer AlxGax-1As n

Doping Layer AlxGax-1As n+

Channel Layer GaAs n-

Substrate Layer AlxGax-1As n-

Source

(~50nm)

(~20nm)

(~20nm)

(~8nm)

(~6nm)

Drain

Gate Metal

Пример

Структура


Пример

Задача

Рассчитать константы спин-орбитального взаимодействия в полупроводниковой гетероструктуре с металлическим затвором, как функции напряжения на затворе.


Спин-орбитальное взаимодействие

SO 20

ˆ( )(2 )

ˆH Vm c

pσ

D ( )iz y y x xH k k k

2

( )i iz zk k

- общий вид

- формула специфичная для III-Vполупроводниковых гетероструктур

- константа спин-орбитального взаимодействия

Параметр β определяется зонной структурой полупроводника

Задача сводится к нахождению волновых функций электронов локализованных в квантовой яме


X

m

Xs

o

Xs

o X

s

E

f

E

0

E

c

E

v

METAL Semiconductor

Φb

Vb

i

Металл/полупроводник Полупроводник/полупроводник

Band structure


n n n BJ q nE k T n

0B B

qE qEn n n

k T k T

,

Уравнение дрифт-диффузии:

Уравнение Пуассона: 0 ( )r d ae p n N N

Уравнение Шрёдингера:2 1

( ) 02 * k k kV E

m

Уравнения


Initialize dopingconcentration

Poisson Equation

Schrödinger Equation

Continuity andTransport Equations

Efn calculation

Does electrondensity converge

End

Does electrondensity converge

Yes

Yes

No

No

Calculate Spin Orbit terms

Алгоритм

Микроскопическая Микроскопическая

модельмодель

МакроскопическаяМакроскопическая

модельмодель


0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

x (nm)

En

erg

y (e

V)

psi_sch

ef

Esub#1

Esub#2

Esub#3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

x (nm)

En

erg

y (e

V)

psi_sch

ef

Esub#1

Esub#2

Esub#3

Результаты

Vg = 0 V

Vg = 0.5 V


Результаты

Константы С-О взаимодействия


Литература

Д. Поттер, Вычислительные методы в физике.

Н. Н. Калиткин, Численные методы.

Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Численные методы.

Р.П. Федоренко, Введение в вычислительную физику.

Самарский А.А., Введение в численные методы.

Ортега Дж., Пул У., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений.


The End

Documents

Kazan University