BAB 1. PERPANGKATAN DAN BENTUK AKAR

A. PANGKAT BULAT POSITIF

a. Pengertian Pangkat Bulat Positif

Pengertian berganda dengan faktor-faktor yang sama. Operasinya disebut perpangkatan,

notasinya disebut notasi eksponen. Bilangan 75 merupakan bilangan berpangkat, dengan

7 merupakan bilangan pokok dan 5 merupakan pangkat.

Jika a adalah bilangan riil dan n bilangan bulat positif maka an (dibaca "a pangkat n")

adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Jadi, pangkat

bulat positif secara umum dinyatakan dalam bentuk

dengan: a = bilangan pokok (basis);

n = pangkat atau eksponen;

an = bilangan berpangkat.

b. Sifat-sifat bilangan dengan Pangkat Bulat Positif

Jika m,n ∈ R dan a,b ∈ R, maka berlaku sifat-sifat berikut :

Sifat Perkalian am.an = am+n

Sifat Pembagian am

an = am-n

Sifat Pemangkatan (am)n = am.n

Sifat Perkalian dan pemangkatan (a.b)m = am.bm

Sifat Pembagian dan pemangkatan (a

b)

m

= am

bm , dengan b≠0

B. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

a. Pengertian Pangkat Bulat Negatif

Untuk memahami dan mengerti apa definisi pangkat bulat negative, perhatikan contoh

dibawah ini :

a. Perhatikan bahwa a4 : a6 = a4-6 = a-2 atau a4

a6=a×a×a×a

a×a×a×a×a×a =

1

a×a =

1

a2.

Jadi, a-2= 1

a2.

Dari contoh diatas, dapat didefinisikan bilangan berpangkat bulat negative sebagai

berikut :

Contoh Soal :

b. Pengertian Pangkat Nol

Jika m,n bilangan bulat positif dan m=n, maka am-n = a0. Untuk menentukan nilai dari

bilangan pangkat nol, perhatikan uraian berikut :

Sehingga dapat kita definisikan sebagai berikut :

C. BILANGAN RASIONAL, IRASIONAL, DAN BENTUK AKAR

a. Bilangan Rasional

Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan decimal, baik berupa

bilangan decimal berulang atau bilangan decimal tidak berulang. Sebagai contoh :

3 = 3,0000… → bilangan bulat atau berulang 0

1

4 = 0,25 → tidak berulang tapi terbatas

1

6 = 0,1666… → berulang 6

3

11 = 0,2727 → berulang 27

Penulisan bilangan desimal berulang dapat disingkat dengan membubuhkan tanda

garis diatas angka yang berulang tersebut. Sebagai contoh 0,2727 = 0,27̅̅ ̅̅ ̅̅ .

Dapat disimpulakan bahwa bilangan rasional meliputi bilangan bulat dan bilangan

pecahan.

b. Bilangan Irasional

Bilangan irasional dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan desimal tak berulang tak

terbatas. Perhatikan bilangan berikut ini!

√2 = 1,414213…

−√5 = -2,236067…

𝜋 = 3,1415…

𝑒 = 2,1782…

Bilangan-bilangan diatas merupakan bilangan irasional karena bila dinyatakan dalam

bilangan desimal, bentuknya bilangan desimal tak berulang tak terbatas. Dengan kata

lain, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎

𝑏 dengan a,b

bilangan bulat dan b≠0. Dan tidak selamanya bilangan berakar termasuk bilangan

irasional, yang dinyatakan sebagai bilangan irasional adalah hasil akar yang tidak

bilangan bulat.

c. Bentuk Akar

Bentuk akar adalah akar bilangan rasional yag hasilnya merupakan bilangan irasional.

Dari definisi diatas, apabila 𝑛 bilangan genap, maka berlaku :

an = ↔ √𝑏𝑛 = a, dengan a,b ≥ 0.

d. Menyederhanakan Bentuk Akar

Bentuk-bentuk akar dapat disederhanakan dengan menggunakan sifat-sifat akar berikut

ini :

e. Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar

1. Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila bentuk akar pada bilangan-bilangan yang dijumlahkan atau dikurangkan itu sama.dengan

demikian, jika a, c ∈ R dan b ≥ 0, berlaku :

𝒂√𝒃 + 𝒄√𝒅 = (𝒂 + 𝒃)√𝒃

Jika a dan b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka :

an = ↔ √𝑏𝑛 = a

√𝑏𝑛 disebut akar (radikal)

𝑏 disebut radikan (bilangan pokok yang ditarik akarnya) 𝑛 disebut indeks (pangkat akar)

Jika a dan b bilangan real,serta n bilangan bulat positif, maka :

1. √𝑎ⁿ𝑛

= ( √𝑎ⁿ𝑛

) = a

2. √𝑎𝑛 . √𝑏𝑛 = √𝑎𝑏𝑛

3. √𝑎ᵐᵐⁿ = √𝑎𝑛

𝒂√𝒃 − 𝒄√𝒅 = (𝒂 − 𝒃)√𝒃

Conto Soal : 1. Hitung dan sederhanakan bentuk akar berikut ini:

a. √2 + 3√2 + 5√2

b. 8√3 + 6 √2 + 12√3 − 4√2

Pembahasan

a. √2 + 3√2 + 5√2 = (1 + 3 + 5)√2= = 9√2

b. 8√3 + 6 √2 + 12√3 − 4√2 = 8√3 + 12√3 + 6√2 − 4√2 = (8 + 12)√3 + (4 − 2)√2 = 20√3 + 2√2

2. Perkalian Bentuk Akar Bentuk-bentuk akar yang pangkat akarnya (indeksnya) sama, dapat langsung dikalikan dengan menggunakan rumus berikut :

Jika didalam tanda akar terdapat bentuk akar, maka cara menyederhanakannya

dapat berupa rumus berikut :

Contoh Soal : Sederhanakan bentuk-bentuk berikut. a. √3 × √2 b. 2√19 × 10√5

Penyelesaian:

a. √3 × √2 = √(3 × 2) = √6

b. 2√19 × 10√5 = (2 × 10)√(19 × 5) = 20√95

3. Pembagian Bentuk Akar Bentuk-bentuk akar yang indeksnya sama dapat dibagi secara langsung dengan

menggunakan rumus berikut :

a √𝑥 𝑛 . b √𝑦𝑛 = ab √𝑥𝑦𝑛

√(𝑎 + 𝑏) + 2√𝑎√𝑏 = √𝑎 + √𝑏

√(𝑎 + 𝑏) − 2√𝑎√𝑏 = √𝑎 - √𝑏, a > b

Contoh soal :

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.

a. √6

√2

b. 6√10

3√5

Penyelesaian:

a. √6

√2 = √(

6

2) = √3

b. 6√10

3√5 = (

6

3) √(

10

5) = 2√2

4. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar

Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar artinya mengubah penyebut pecahan

yang berbentuk akar menjadi bilangan rasional.

Cara merasionalkan setiap penyebut berlainan. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama,

yaitu mengalikan penyebut-penyebut tersebut dengan pasangan bentuk akar sekawannya sehingga diperoleh penyebut bilangan rasional.

Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

a. Merasionalkan Bentuk 𝒂

√𝒃

Cara merasionalkan bentuk 𝒂

√𝒃 adalah dengan mengalikan pembilang dan

penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebutnya, yaitu:

𝑎 √𝑥 𝑛

𝑏 √𝑦 𝑛 = 𝑎

𝑏 √

𝑥

𝑦

𝑛

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara merasionalkan bentuk 𝒂

√𝒃,

silahkan simak contoh soal 1 di bawah ini.

Contoh Soal 1

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakanlah

a. 6

√2

b. 21

√3

Penyelesaian:

a. 6

√2 = (

6

√2) .

√2

√2

= 6√2

√2.√2

= 6√2

2

= 3√2

b. 21

√3 = (

21

√3) .

√3

√3

= 21 √3

√3.√3

= 21√3

3

= 7√3

b. Merasionalkan Bentuk 𝒂

(𝒃±√𝒄)

Cara merasionalkan bentuk 𝒂

(𝒃±√𝒄)adalah dengan mengalikan pembilang dan

penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebut b±√c. Bentuk

sekawan dari b + √c adalah b – √c , sedangkan bentuk sekawan dari b – √c adalah

b + √c. Berikut penjelasanya masing-masing. Untuk merasionalkan bentuk 𝐚

(𝐛±√𝐜),

yakni:

Untuk merasionalkan bentuk 𝐚

(𝐛±√𝐜)yakni:

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara merasionalkan bentuk 𝐚

(𝐛±√𝐜), silahkan simak contoh soal 2 di bawah ini.

Contoh Soal 2

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakanlah

a. 4

2+√2

b. 4

4+√3

Penyelesaian:

a. 4

2+√2 = {(

4

2+√2)} . {(

2−√2

2−√2)}

= {(4(2−√2)

(2+√2)(2−√2))}

= (8−4√2)

(4−2)

=(8−4√2)

2

= 4 – 2√2

b. 4

2+√5 = {(

4

2+√5)} . {(

2−√5

2−√5)}

= {(4(2−√5)

(2+√5)(2−√5))}

= (8−4√5)

(4−5)

= (8−4√5)

(−1)

= 4√5-8

c. Merasionalkan Bentuk 𝐚

(√𝐛±√𝐜)

Cara merasionalkan bentuk 𝐚

(√𝐛±√𝐜) adalah dengan mengalikan pembilang dan

penyebut pecahan tersebut dengan bentuk sekawan dari penyebut √𝐛 ± √𝐜.

Bentuk sekawan dari √𝐛 + √𝐜 adalah √𝐛 − √𝐜, sedangkan bentuk sekawan dari

√𝐛 − √𝐜 adalah √𝐛 + √𝐜. Berikut penjelasanya masing-masing. Untuk

merasionalkan bentuk 𝐚

(√𝐛±√𝐜)yakni:

Untuk merasionalkan bentuk 𝐚

(√𝐛±√𝐜), yakni:

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara merasionalkan bentuk a

(√b±√c), silahkan simak contoh soal 3 di bawah ini.

Contoh Soal 3

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut, kemudian sederhanakanlah

a. 2

(√3+√2)

b. 3

(√6−√5)

Penyelesaian:

a. 2

(√3+√2) = {

2

√3+√2}. {√3−√2

√3−√2}

= {2(√3−√2)

(√3+√2)(√3−√2)}

= (2√3−2√3

3−2)

= 2(√6 − √5)

b. 3

(√6−√5) = {

3

(√6−√5)}. {

√6+√5

√6+√5}

= {3(√6+√5)

(√6−√5)(√6+√5)}

= (3√6+√5

6−5)

= 3(√6 + √5)

5. Pangkat Pecahan Bilangan pangkat pecahan dapat dinotasikan sebagai berikut :

contoh :

1.

2. dibaca : akar pangkat 5 dari 7

3. √43

= √223

=22

3

untuk sifat-sifatnya operasinya sama dengan bentuk pangkat biasa dapat dilihat kembali di materi Bilangan Pangkat tinggal kita operasikan bentuk pangkatnya dalam operasi bentuk pecahan.

Seperti :

1.

sehingga :

2.

sehingga :

contoh :

1. sederhanakan !

jawab :

2. nyatakan dalam bentuk pangkat ! jawab :

3. nyatakan dalam bentuk akar ! jawab :

6. Persamaan Pangkat

Persamaan pangkat atau disebut juga persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya memuat variable (peubah). Suatu persamaan pangkat akan dapat diselesaikan apabila persamaan pangkat tersebut memiliki bilangan pokok yang sama, dan dapat menggunakan Sifat berikut :

Jika ɑ bilangan real tak nol, maka berlaku :

1. 𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑝 jika dan hanya jika f(x) = p

2. 𝑎𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑔 (𝑥) jika dan hanya jika f(x) = g(x)