Upload
deeare23
View
158
Download
30
Embed Size (px)
DESCRIPTION
difraksi
Citation preview
MAKALAH OPTIK MODERN
DIFRAKSI FRAUNHOFER
Disusun Oleh :
Debi Rianto (1301683)
Desi Anriani (13016610)
Elfi Susilawati (1301672)
Wela Yulianda (1301669)
Dosen Pembimbing :
Hidayati, M.Si
Rio Anshari, S.Pd, M.Si
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI PADANG
2015
i
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah tidak lupa Penulis ucapkan kehadirat Allah Yang
Maha Esa atas segala limpahan Rahmat dan Karunia-Nyalah sehingga Penulis
dapat menyelesaikan makalah ini sesuai dengan jangka waktu yang telah
ditentukan.
Dalam makalah ini diangkat judul “Difraksi Fraunhofer”. Untuk memenuhi
predikatnya sebagai makalah, tentu saja penyajian teori dipaparkan lebih detail
serta tetap memperhatikan bahan pustaka yang diambil sebagai sumber landasan
teori, sehingga makalah ini dapat dijadikan sebagai bahan referensi untuk
masyarakat luas.
Penulis sadari sepenuhnya dalam penyusunan makalah ini masih terdapat
kekurangan karena keterbatasan pengetahuan yang Penulis miliki. Oleh karena
itu, Penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun bagi
kesempurnaan makalah ini.
Akhir kata Penulis ucapkan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita
semua. Amin.
Padang, November 2015
Penulis
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ....................................................................................... i
DAFTAR ISI ...................................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................ 1
A. Latar Belakang ....................................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................... 1
C. Tujuan Penulisan .............................................................................. ...... 2
BAB II PEMBAHASAN ............................................................................... 3
A. Difraksi Fraunhofer ................................................................................ 3
B. Transformasi Fourier Melalui Sebuah Lensa ......................................... 8
C. Gambaran Tentang Gelombang Datang ................................................. 12
D. Difraksi Pada Celah Segiempat .............................................................. 13
E. Difraksi Pada Celah Lingkaran .............................................................. 16
F. Teorema Array ....................................................................................... 20
BAB III PENUTUP .......................................................................................... 24
A. Kesimpulan ............................................................................................ 24
B. Saran ...................................................................................................... 24
DAFTAR PUSTAKA
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Difraksi merupakan salah satu ciri khas dari gerak gelombang. Pada
umumnya, gelombang merambat lurus pada medium homogen (serba sama),
jika terhalang oleh sesuatu, gelombang akan mengalami pembelokan.
Pembelokan seperti itu disebut lenturan gelombang atau difraksi. Difraksi bisa
diamati apabila gelombang terdistorsi oleh perintang yang mempunyai
dimensi sebanding dengan panjang gelombang tersebut. Perintang itu bisa
berupa sebuah layar dengan celah kecil. Difraksi dapat juga disebut sebagai
proses interferensi gelombang tertentu dengan dirinya sendiri.
Berdasarkan jumlah celah, difraksi terbagi dua yaitu difraksi pada celah
tunggal dan difraksi pada celah ganda. Difraksi ditentukan oleh panjang
gelombang dan besarnya penghalang atau lebar celah. Gelombang yang
frekuensinya kecil dan panjang gelombangnya besar lebih mudah terdifraksi
daripada gelombang dengan panjang gelombang pendek. Jika gelombang
mengenai penghalang kecil, efek peristiwa difraksi tidak begitu tampak, akan
tetapi jika mengenai penghalang besar, efek difraksi akan lebih tampak. Hal
sebaliknya berlaku jika suatu celah dilewati oleh gelombang, jika celah lebar
dilewati oleh gelombang, efek difraksi tidak tampak, jika celah sempit oleh
gelombang, efek difraksi akan tampak jelas.
Berdasarkan jarak pengamatan, difraksi dibagi dua jenis, difraksi
Fraunhofer dan difraksi Fresnel. Difraksi yang dihasilkan dari celah tertentu
dan layar dengan geometri sederhana dalam keadaan khusus dinamakan
dengan difraksi Fraunhofer. Pada difraksi ini, sinar datang dianggap sejajar,
dan pola difraksi diamati pada jarak cukup jauh, sehingga sinar yang diterima
secara efektif sinar terdifraksi sejajar. Dengan menggunakan sebuah lensa
yang sinar terdifraksinya difokuskan dalam arah sama ke posisi sama pada
layar, kondisi ini dapat disempurnakan. Pada difraksi Fresnel, sinar datang
berasal dari sebuah sumber titik, atau sinar terdifraksi diamati di sebuah titik
ruang tertentu. Perhitungan matematika untuk difraksi Fresnel lebih rumit
daripada perhitungan untuk difraksi Fraunhofer, tetapi ide fisisnya tetap sama.
2
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut maka dapat dirumuskan rumusan
masalah sebagai berikut :
1. Bagaimana bentuk difraksi fraunhofer pada celah tunggal?
2. Bagaimana tranformasi fourier melalui suatu lensa?
3. Bagaimana gambaran gelombang bidang?
4. Bagaimana difraksi oleh suatu rectangular aperture?
5. Bagaimana difraksi dari suatu circular aperture?
6. Bagaimana bentuk teorema array?
C. Tujuan Penulisan
Adapun tujuan penulisan dari makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui bentuk difraksi fraunhofer pada celah tunggal.
2. Mengetahui tranformasi fourier melalui suatu lensa.
3. Mengetahui gambaran gelombang bidang.
4. Mengetahui difraksi oleh suatu rectangular aperture.
5. Mengetahui difraksi dari suatu circular aperture.
6. Mengetahui bentuk teorema array.
3
BAB II
PEMBAHASAN
A. Difraksi Fraunhofer
Difraksi adalah penyebaran arah gelombang karena melewati celah sempit
dimana intensitas cahaya dari difraksi akan semakin berkurang disetiap titiknya.
Terdapat beberapa macam difraksi salah satu diantaranya yaitu difraksi
Fraunhofer.
Difraksi Fraunhofer adalah difraksi yang terjadi apabila pola dari sebuah
gelombang cahaya berubah atau berbeda dengan pola asalnya setelah menabrak
sebuah hambatan. Difraksi Fraunhofer terjadi apabila jarak penangkap pola
interferens jauh lebih panjang daripada ukuran celah, maka sinar-sinar
membentuk pola interferens itu boleh dipandang sejajar sehingga analisisnya lebih
sederhana.
Untuk memperoleh persamaan yang menjelaskan diffraksi Fraunhofer, Kita
asumsikan bahwa sumber berupa cahaya tak terbatas, 1z pada gambar 1, jadi
bahwa celah disinari oleh penjalaran paralel sebuah gelombang cahaya pada
sumbu z. Kita akan dapat memperkirakan pernyataan, dapat pada (1) dari posisi
vektor R pada gambar 10-2. Kita menghasilkan sebuah perkiraan pernyataan dari
posisi vektor pada pengamatan titik Po, relativ terhadap lubang, dengan asumsi
bahwa lubang berukuran kecil, relatif terhadap jarak pada titik pengamatan.
Menggunakan pernyataan dan perkiraan paraxial, kita bisa merumuskan integral
Huygens-Fresnel pada 2 dimensi Transformasi Fourier.
Gambar 1. Lubang satu dimensi dengan lebar yang digunakan untuk membuat
bentuk Fraunhofer dan Fresnel.
4
Pada difraksi Fraunhofer, kita memerlukan sumber cahaya dan
pengamatan titik Po menjauh dari celah, jadi peristiwa dan difraksi gelombang
dapat diperkirakan pada gelombang cahaya. Syarat konsekuensinya untuk
mengamati difraksi adalah segala bentuk gelombang yang melewati celah. Celah
sempit dipandang sebagai medan gelombang cahaya sehingga setiap bagiannya
adalah sumber gelombang yang koheren. Gambar 3 memperlihatkan sebuah
gelombang datar jatuh tegak lurus pada sebuah celah sempit panjang yang
lebarnya 𝑎. Perhatikan titik sentral 𝑃0 pada layar 𝐶. Semua sinar sejajar dari celah
ke 𝑃0 memiliki panjang lintasan optik yang sama. Karena pada bidang celah
semua sinar sefase, maka ketika tiba di 𝑃0 tetap sefase dan titik sentral pola
difraksi yang tiba pada layar 𝐶 memiliki intensitas cahaya maksimum.
Gambar 2. Difraksi Fraunhofer
Gambar 3. Geometri untuk Difraksi Fraunhofer
5
Jarak dari suatu titik 𝑃 pada celah untuk pengamatan titik 𝑃0 pada Gambar 3
adalah
2222 ZyxR (1)
Dari Gambar 3, kita lihat 𝑅0 adalah jarak dari pusat layar sampai titik pengamatan
𝑃0
2222 ZR o (2)
Perbedaan antara kedua vektor adalah
2222222222 22 ZyyxxZRR o
222 yxyx (3)
Kita dapat menulis perbedaan kedua vektor adalah
RRRRRR ooo 22 (4)
Menggunakan persamaan (4), kita dapat menulis perhitungan dari posisi titik 𝑃
pada celah pada persamaan (5)
RR
RRRRr
o
o
0
22
RRo
yxyx
1
2 22
Perbandingan (Ro + R) dapat ditulis sebagai
RoRRoRRo
2
11
1
21
2
1
Ro
RoR
Ro (5)
Sekarang gunakan persamaan (5) hasilnya
122
21
2
Ro
RRo
Ro
yx
Ro
yxRRo
Jika integral difraksi memiliki nilai terbatas (tidak nol), kemudian
kRoRRok
6
Persyaratan ini menyatakan bahwa seluruh gelombang Huygens, dihasilkan
melebihi setengah celah dari pusat luar posisi r memiliki tingkat yang sama dan
akan menghasilkan amplitudo )0( A pada 𝑃𝑜. Persyaratan itu menghasilkan
perubahan celah yang bentuknya kecil dapat ditulis sebagai berikut :
1
21
1
21
1
Ro
rRo
RRo
Dengan membuat perkiraan, kita mendapakan integral difraksi
dxdyRo
yx
Ro
yxikyxf
Ro
iAe oRik
p
2exp,
22
(6)
Dimana 𝐴 adalah amplitudo gelombang cahaya yang menerangi celah.
Perubahan amplitudo pada gelombang karena perubahan 𝑅 sebagai perpindahan
gelombang silang pada celah diabaikan, lambang 𝑅 pada integral Huygens-
Fresnel digantikan menjadi 𝑅𝑜 dan dipindahkan keluar dari integral.
Argumen tentang eksponen pada (6) adalah
Ro
yx
Ro
yxi
Ro
yx
Ro
yxik
22
2
2222
(7)
Jika pengamatan, titik 𝑃𝑜 jauh dari layar, kita dapat mengabaikan rentang
waktu kedua dan menampilkan tingkat variasi bentuk jarak lintas pada celah
adalah sebuah fungsi posisi linier. Persamaan ini diasumsikan bahwa difraksi
gelombang adalah sebuah pengumpulan gelombang cahaya. Secara matematika,
rentang waktu kedua pada persamaan (7) dapat diabaikan jika
22
22
Ro
yx (8)
Ini disebut perkiraan medan-jauh.
7
Rentang waktu pertama pada persamaan (7) berisi aturan cosinus :
Ro
L
, Ro
M
(9)
Cosinus ini dapat membatasi medan jauh. Sebagai bagian ukuran dari celah
layar, kita menggunakan perkiraan panjang gelombang bahwa koordinat celah
dapat didefinisikan menjadi
xX ,
yY (10)
Kita dapat menulis kembali (6) dengan menggunakan perkiraan pada (8) dan
didefinisikan sebagai (9) dan (10)
dXdYMYLXiyxfRo
iAeML
Roik
p
2exp,, (11)
Dari bentuk di atas, frekuensi ruang pada x dan y didefinisikan sebagai :
Ro
kLx
2 ,
RokMy
2 (12)
Dengan variabel didefinisikan pada (12), integral menjadi
dxdyyxiyxfRo
iAeyx
Roik
yxp
exp,, (13)
Medan difraksi Fraunhofer p sama dengan bentuk transformasi Fourier 2
dimensi pada fungsi transmisi celah. Untuk penyimpulan, dengan asumsi
perkiraan bahwa gelombang cahaya dan pengamatan posisi pada medan yang
jauh, difraksi pada celah ditemukan pada transformasi Fourier yang fungsinya
melukiskan transmisi amplitudo pada celah. Akibatnya spektrum difraksi
Fraunhofer terdistribusi anguler.
MLp ,
Bahwa sama dengan spektrum frekuensi ruang pada layar difraksi. Amplitudo
transmisi pada celah f(x,y) boleh jadi diterjemahkan sebagai superposisi dari
8
saling koherennya gelombang cahaya.yang meninggalkan layar difraksi pada
aturan diberikan oelh (L,M).
B. Transformasi Fourier Melalui Sebuah Lensa
Jika kita meletakkan sumber cahaya pada titik fokus lensa positif, maka
jumlah bayangan dari sumber akan tak berhingga. bayangan tersebut berada pada
titik fokus lensa. Untuk mendukung asumsi yang digunkan bahwa lensa akan
menimbulkan pola difraksi Fraunhofer pada titik fokus lensa , kita akan menguji
bagaimana lensa transformasi gelombang cahaya. Kita akan menjelaskan
bagaimana lensa men-transformasi sebuah gelombang datang. Kita akan
menunjukkan bahwa bentuk transformasi tersebut ekuivalen dengan transformasi
fourier.
Gambar 4. Difraksi fraounhofer menggunakan dua lensa.
Untuk menyatakan bahwa sudut datang dari gelombang cahaya adalah
pemetaan dari posisi spasial dibelakang titik fokus lensa. Pernyataan tersebut
dapat disempurnakan dengan menggunakan optik geometri. Kita akan mampu
menunjukkan bahwa sebuah lensa dengan sumber berada di depan titik fokus akan
menghasilkan gelombang yang merambat dan membentuk sudu dengan sumbu
optik lensa.
Pada lampiran 5-A, kita akan mendefinisikan titik fokus depan dan titik fokus
belakang dari lensa (5A-4) dan gambar (5A-2) sebagai bayangan dari objek yang
tek berhingga. Maksudnya bahwa lensa akan menghasilkan gelombang cahaya
jika sebuah sumber berada pada salah satu titik fokus lensa. Matrik ABCD dapat
digunakan untuk membuktikan pernyataan ini. Kita menggunakan gambar 5A-4
9
untuk menentukan matrix ABCD jika sinar merambat dari depan ke belakang
fokus lensa
oxf
f
fx
10
1
01
01
10
11
1
Dari sini, kita dapat menemukan
f
xo1
lalu, sebuah sumber diletakkan di depan titik fokus lensa, pada posisi xo diatas
sumbu optikal, akan menghasilkan gelombang datang , dimana membuat sebuah
sudut
f
xo1
dengan sumbu optik pada bagian belakang titik fokus lensa. Pada gambar 5, kita
memperlihatkan bahwa gelombang cahaya akan menjalar kebawah dengan sudut
1 disimbolkan dengan tanda negatif.
Akibat dari satu titik sumber, ditunjukkan pada gambar 5, sesuai dengan
perhitungan transformasi Fourier pada Bab 6 (6-24) untuk sebuah fungsi delta.
Transformasi Fourier dari fungsi delta pada daerah asal )(x adalah konstan. Pada
optik analog, fungsi delta mewakili titik sumber, yang terletak pada sumbu optik.
Akibat transformasi Fourier yang dihasilkan oleh lensa, ini berhubungan dengan
gelombang datang yang merambat secara paralel dengan sumbu optik. Ketika
fungsi delta dipindahkan menjauhi sumbu, pergeseran transformasi Fourier (6A-5)
dapat berlaku untuk hasil yang konstan dengan variasi phase xi xe . Pergeseran
dari fungsi delta )( oxx berhubungan dengan letak titik sumber pad sumbu pad
posisi x0, gambar 5 , dan konstanta dari perubahan linier dari phase berhubungan
dengan gelombang datang yang merambat dengan sudut x 1 terhadap sumbu
optik.
10
Gambar 5. Hubungan antara petunjuk dari gelombang datang dan posisi pada
letak fokus cahaya.
Jika sebuah lensa ditambahkan pada dua celah percobaan Young’s untuk
mengumpulkan cahaya dari dua celah, kemudian kita akan menemukan distribusi
dari cahaya dibelakang titik fokus lensa yang merupakan transformasi Fourier dari
distribusi cahaya pada bagian depan titik fokus lensa.
Dua celah yang terletak dibagian depan titik fokus cahaya pada lensa.
Gelombang yang menyinari celah di polarisasi sepanjang sumbu y dan mermbat
pada bidang x-z. Cahaya dari dua celah menutupi sebagian bagian belakang titik
fokus lensa yang akan menghasilkan interferensi. Distribusi cahaya yang
diberikan oleh (4-12) dengan bentuk sudut diberikan oleh (4-16). Untuk melihat
hal tersebut, pertimbangan bahwa dua celah akan dibuat, pada satu dimensi,
sebagai dua titik sumber. Transformasi cahaya lensa dari dua celah menjadi dua
gelombang cahaya yang menyebar pada sudut 1 dan
2 dengan tanggap ke
sumbu z. Kita dapat bentuk perbedaan antara dua gelombang cahaya sebagai
212122 sinsincoscos kxkzhg
Dari gambar 4-6, kita mendapatkan
f
h
21
f
h
22
jadi bahwa
f
kxh
f
hkxhg
2sin222 (14)
dimana sesuai dengan (4-16) jika kita menggantikan jarak antara celah dan
pengamatan cahaya D dengan titik fokus cahaya suatu lensa. Kesimpulan yang
11
kita dapat lukiskan dari analisa ini adalah bahwa intensitas penyebaran di bagian
belakang titik fokus cahaya pada lensa, dengan dua jarak celah yang sama untuk
f
kxh
2cos 2
Dua celah dapat dipandang sebagai gambaran dua fungsi delta
2
hx dan
2
hx
Pada bab 6, transformasi Fourier N fungsi delta dihitung pada (6-26) dan
ditunjukkan sama dengan fungsi kosinus dari N = 2. Untuk dua celah ,
pengamatan percobaan adalah equivalen untuk laporan matematika. Kita telah
mempertunjukkan bahwa sebuah transformasi Fourier memiliki hubungan antara
penyebaran amplitudo pada bagian depan titik fokus cahaya dan penyebaran
amplitudo pada bagian belakang titik fokus cahaya pada lensa. Kelihatannya
sesuai untuk memberikan akhir dari dua titik sumber sampai N sumber. Sebuah
langkah yang lebih luas dalam alasan yang diperlukan untuk menyampaikan
akibat dari penyebaran secara terus-menerus, tapi hal itu kelihatannya menjadi
sebuah perluasan yagn sesuai dan pada lampiran 10-A itu akan menjadi
pernyataan yang formal.
Oleh karena itu kita menyimpulkan bahwa sebuah lensa akan menghasilkan,
pada bagian titik fokus cahaya, bentuk difraksi Fraunhofer dari penyebaran
amplitudo di bagian depan titik fokus cahaya. (Perlu menjadi catatan bahwa lensa
kedua akan menghasilkan gambar positif pada frekuensi tempat pada posisi
koordinat pada bagian titik fokus cahaya dan mengubahnya menjadi negatif yang
dilanjutkan dengan gelombang cahaya. Oleh karena itu, dua buah lensa
melakukan dua transformasi Fourier, menghasilkan fungis asli. Perbaikan fungsi,
bagaimanapun, ditampilkan pada sistem koordinat bahwa sisitem koordinat asli
adalah negatif, contoh yydanxx ).
12
C. Gambaran Tentang Gelombang Datang
Kita telah menjelaskan bahwa bentuk difraksi Fraunhofer dari sebuah celah
adalah dihitung dengan menampilkan sebuah transformasi Fourier ruang pada
celah fungsi penyebaran amplitudo. Kita menunjukkan bahwa titik pada Xo, di
depan titik fokus datang pada lensa dalam gambar 10-3, menghasilkan sebuah
gelombang datang yang menyebar pada sudut ' ke sumbu optik. Kita telah
memberikan konsep ke sejumlah titik yang lebih luas, membolehkan kita untuk
menyimpulkan bahwa bentuk difraksi Fraunhofer sama dengan bentuk interferensi
yang dihasilkan oleh sekumpulan gelombang datang.
Karena hubungan timbal balik antara sebuah fungsi dan transformasi
Fourier, kita harus mampu menampilkan gelombang datang dari bentuk difraksi
seperti sebuah gambaran khusus dari sebuah celah . Dari pengamatan ini sama
dengan untuk mengambil satu dari sejumlah kecil paket gelombang seperti
pendistribusian frekuensi dari fungsi sinus dan cosinus (gambar 6-6 dan 6-7).
Kita dapat menegaskan bahwa celah seperti sekumpulan gelombang datang
yang disalurkan melalui kelompok dari penyebaran. Pada bagian ini, kita akan
menjelaskan bahwa gambaran ini mungkin untuk menampilkan pendistribusian
ruang yang diperoleh dengan menggabungkan sebuah penyaluran gelombang
datang. Integral akan mempunyai bentuk dari invers transformasi Fourier.
Kita lihat dalam pembahasan transformasi Fourier, gambar 6-7, bahwa
sebuah gelombang terbatas dangan sementara lamanya tidak dapat
menggambarkan dengan frekuensi tunggal tapi sementara diperlukan sebuah
pendistribusian frekuensi. Kita sekarang menyimpulkan bahwa sebuah sinar
datang yang memiliki lebar yang terbatas tidak dapat digambarkan dengan sebuah
gelombang datang tunggal tapi memerlukan pendistribusian gelombang datang,
disebarkan melalui arah penyebaran. Misalkan pendekatan penjalaran gelombang
datang pada x,z dengan
zkxkrk zx
Pendistribusian gelombang dengan sebuah vektor gelombang antara
22
x
xx
x
x
dkkk
dkk
adalah xx dkrktikAd exp (15)
13
Amplitudo A boleh menjadi fungsi , dimana berubah menjadi nol untk xk
Penjumlahan gelombang (Jika kita menggunakan prinsip superposisi dan
menampilkan gelombang datang seperti gelombang yang koheren) adalah
diberikan oleh integral dari (10-16). Maksud petunjuk dari penjumlahan
gelombang adalah sepanjang arah z, tapi ditampilkan melalui sudut-sudut yang
mewakili jarak dari vektor-vektor gelombang yang ditemukan dengan
ketidaksamaan
xk
Kita akan menganggap gelombang pada t=0 untuk berpindah lamanya tergantung
pada gelombang
x
xik
x dkekAx x
Ketika 0xkA untuk nilai kx di luar jarak , kita dapat memperluas limit
untuk x . Jika kita menggalikan integral dengan 2
1 kita telah invers
transformasi Fourier (6-14) dengan x mewakili t dan xk mewakili . Kita telah
menjelaskan bahwa pendistribusian gelombang datang menghasilkan resultan
gelombang dengan diperluasnya tempat batas yang diberikan dengan invers
transformasi Fourier (10-16). Akibat mendukung alasan bahwa celah dapat
dilukiskan dalam jangka waktu penyaluran gelombang datang.
D. Difraksi Pada Celah Segiempat
Kita sekarang akan menggunakan teori transformasi untuk menghitung
bentuk difraksi Fraunhofer dari celah segiempat dan akan keluar titik yang
mempunyai hubungan timbal-balik antara ukuran bentuk difraksi dan ukuran
celah.
14
Gambar 6. Difraksi fraunhofer dengan delah segiempat
Misalkan sebuah celah yang berbentuk segiempat dengan fungsi transmisi
diberikan dengan
f (x,y) =
ydanxselainseluruhnya
yyxx oo
,0
,,1
Karena celah adalah dua dimensi, kita perlu untuk mepergunakan transformasi
Fourier dua dimensi (6-41). Fungsi transformasi amplitudo terpisah pada, x dan y,
jadi kita bisa menggunakan (6-42) dan menulis pendistribusian difraksi amplitudo
dari celah segiempat seperti
dyeyxfdxeyxfeR
iA yi
y
y
xi
x
x
Rik
o
py
o
x
o
o
o
,, (17)
Ketika keduanya f(x) dan f(y) ditemukan sebagai fungsi simetris, kita hanya
memerlukan perhitungan transformasi cosinus (6-15a)
oy
oy
ox
oxoRik
o
oo
py
y
x
xe
R
Ayxi o
sinsin4 (18)
Intensitas pendistribusian dari Difraksi Fraunhofer dihasilkan dari celah segiempat
adalah
2
2
2
2 sinsin
oy
oy
ox
ox
opy
y
x
xII
(19)
15
Gambar 7. Difraksi dari celah yang tidak terbatas. Fungsi sinus menjelaskan
gelombang datang amplitudo yang akan ada pada arah x.
Dimana frekuensi ruang ditemukan seperti :
o
x
xR
2sin2
o
y
yR
2sin2
Intensitas maksimum pada arah x dan y ditemukan pada 0 oyox yx
mengingat bahwa daerah dari celah segiempat ditemukan sebagai oo yx4 , kita
bisa menulis intensitas maksimum sebagai
o
oR
AI
22
22
Fungsi terendah ditemukan ketika nxox atau myoy . Lokasi bernilai
nol dapat ditetapkan sebagai suatu dimensi pada pengamatan datang atau, jika kita
menggunakan perkiraan paraxial, dalam jangka waktu dari sebuah sudut
oo
yyy
m
R 2sin
Dimensi dari bentuk difraksi adalah karakteristik dari daerah nol pertama, contoh
n=m=1 dan diberikan dengan Pengamatan koordinat – koordinat datang dan .
Dimensi dari bentuk difraksi merupakan kebalikan dari perbandingan dimensi-
dimensi celah . Seperti celah dimensi perluasan, lebar bentuk difraksi berkurang
16
menjadi, dalam jumlah tidak terbatas lebar celah , bentuk difraksi menjadi fungsi
delta.
Gambar 7 adalah teoritis bentuk difraksi dari celah segiempat. Gambar 8
adalah percobaan yang menghasilkan bentuk difraksi Fraunhofer.
Gambar 8. Percobaan bentuk difraksi Fraunhofer dari celah segiempat.
E. Difraksi Pada Celah Lingkaran
Dari pembahasan transformasi dua dimensi pada bab 6, kita dapat secara
langsung , menghasilkan bentuk difraksi dari celah yang berbentuk lingkaran
diameter menggunakan transformasi (6-44). Cara kedua yang akan digunakan di
sini untuk menghasilkan bentuk difraksi. Geometri silinder ditunjukkan dalam
gambar 10-5 yang menggunakan Perubahan integral Huygens-Fresnel dari
Gambar 8. Difraksi pada celah lingkaran.
17
Gambar 9. Geometri untuk difraksi dari lubang yang berbentuk lingkaran.
Koordinat silinder. Untuk perubahan ke system koordinat baru, kita menggunakn
persamaan. Pada lubang cahaya,
cos sx sin sy
f(x,y) = f(s, ), dxdy = s ds d (20)
Pada pengamatan cahaya,
cos , sin (21)
Yang baru, system koordinat silinder pada pengamatn cahaya, frekuensi ruang
dapat ditulis sebagai berikut
cosoo
xR
k
R
k
sinoo
yR
k
R
k (22)
Menggunakan (10-20) dan (10-22), kita dapat menulis
sinsincoscos o
yxR
ksyx
cosoR
ks
(23)
Integral Huygens-fresnel dapat sekarang ditulis pada rentang waktu pada
koordinat silinder yaitu
sdsdR
siksfe
R
iA
o
a
Rik
o
po
cosexp,
2
0
2
0
(24)
18
Kita dapat menjelaskan (24) dengan menggunakannya untuk menghitung
amplitudo disfraksi dari celah terang yang berdiameter a, ditemukan pada
persamaan
2,0
,2
,1,
as
seluruha
ssf
Gambar 10. Difraksi amplitudo dari lubang lingkaran.
Pengamatan pendistribusian cahaya yang dirancang dengan perputaran rotasi dari
fungsi Bessel disekitar sumbu optik.
Permasalahan dari simetri ini adalah sfsf , , dimana membuat (10-24)
identik dengan (6-44). Oleh karena itu kita dapat menggunakan (6-45) untuk
menulis bentuk difraksi amplitudo
o
Rik
pR
kaJ
k
ae
iAo
21
(10-25)
Memplot fungsi dalam tanda kurung diberikan pada gambar 10-6a.
Jika kita temukan
oR
kau
2
19
kemudian intensitas dari pendistribusian ruangan pada bentuk difraksi dapat
ditulis dalam bentuk yang dikenal dalam formula Airy
2
12
u
uJII o (26)
dimana kita telah menemukan
2
o
oR
AI
A adalah daerah lubang
2
2
aA
Bentuk intensitas ditunjukkan dengan (26) dan dijelaskan pada gambar 10-6b
yang disebut bentuk Airy. Intensitas pada u = 0 dalan (26) sama seperti yang
dihasilkan dari lubang yang berbentuk segiempat pada daerah yang sama (19)
karena dalam limit
12
lim 1
u
uJ
Gambar 11. Percobaan yang menghasilkan bentuk difraksi Fraunhofer dari lubang
lingkaran.
20
Gambar 11. Perbandingan penyaluran amplitudo pada bentuk difraksi dari lubang
segiempat dan lubang lingkaran.
Gambar 12. Distribusi intensitas dan distribusi medan pada difraksi fraunhofer
dengan celah benebentuk lingkaran.
F. Teorema Array
Teorema array adalah teknik matematika yang bagus untuk penyampaian
celah yang lebih dari satu disebut teorema array. Teorema ini adala dasar dalam
integral yang sulit yang dibahas dalam bab 6 (6-35) dan kenyataannya dibuat
dengan menggunakan transformasi Fourier yang sulit untuk dua fungsi yang
merupakan hasil dari transformaasi Fourier fungsi tunggal. (6-38). Kita akan
21
membuktikan teorema untuk satu dimensi dimana fungsi-fungsi mewakili celah-
celah lensa. Hasil dapat diberikan untuk dua dimensi padalam gelombang
Diasumsikan bahwa kita memiliki kumpulan celah-celah yang sama,
ditunjukkan padala gambar 10-8 bagian kanan. Jika satu celah berletak pada asal
celah cahaya, itu merupakan fungsi transmisi yaitu x . Fungsi transmisi suatu
celah terletak pada titik Xo dapat ditulis dalam jangka waktu yang sama rata
fungsi celah x dengan menggunakan pemilihan fungsi delta
(x - x n ) = x( dx)() (10-28)
Integral yang sulit akan dibolehkan aplikasi dari teorema yang sulit untuk derivasi
yang lengkap dari teorema array.
Celah menstransmisi fungsi diwakili celah array akan menjumlahkan
pendistribusian celah individual, mewakili grafik pada gambar 10-8 dan
matematika dengan disajikan
dxexxi
x
x
xx
Dari (6A-3), kita dapat menulis
xiN
n
oxxexx
1
Kita sekarang menggunakan kenyataan bahwa oxx dapat dinyatakan dalam
jangka waktu dari integral yang sulit. Transformasi Fourier dari oxx adalah
bentuk teorema yang sulit (6A-8) hasil transformasi Fourier dari fungsi tunggal
yang merupakan tersulit.
Gambar 13. Convolution sebuah celah dengan fungsi delta akan menghasilkan
celah identik,, setiap lokasi pada posisi dari satu fungsi delta.
22
o
N
n
x xxfxf
1
o
N
n
xxfxf
1
kemudian menggunakan (6A-3) menghasilkan
N
n
ox xxfxf1
(28)
Transformasi pertama pada (28) adalah bentuk fungsi pada celah tunggal
dan transformasi kedua adalah bentuk difraksi yang dihasilkan oleh satu set titik
sumber dengan persamaan pendistribusian ruang sebagai array dari celah-celah
identik. Kita akan menyebutkan transformasi kedua dari fungsi array. Pada satu
dimensi, fungsi array adalah fungsi yang dicari dengan teliti dari transformasi
fourier yang telah dihitung. (6-28).
Disimpulkan, bahwa keadaan teorema array bentuk difraksi array serupa
dengan celah , diberikan oleh hasil dari bentuk difraksi.dari celah tunggal dan
bentuk difraksi (atau interferensi) dari penyaluran yang identik dengan array pada
titik sumber.
Gambar 14 adalah realisasi fisika dari teorema array. Penyaluran dalam
gambar 14a adalah bentuk difraksi yang secraa acak pada celah lingkaran yang
ditunjuukan pada gambar 14b. Keseluruhan dari bentuk difraksi adalah bentuk
Airy yang sama dengan difraksi dari celah lingkaran yang identik. Intensitas
pendistribusian dalam disk Airy adalah pendistribusian secara acak yang memilki
intensitas maksimal dan minimal. Pendistribusian bintik disebut gangguan bintik
dan sama untuk interfernsi antara gelombang dari array secara acak pada celah
lingkaran. Kita akan menyebutkan kembali gangguan bintik pada lampiran 10-C.
23
Gambar 14. Secara acak dari celah yang berbentuk lingkaran, seperti ditunjukkan
dalam (a) hasil dari bentuk difraksi Fraunhofer, (b) sebagai hasil dari teorema
array., bentuk keseluruhan difraksi adalah bentuk dari Airy dari celah lingkaran,
sedangkan intensitas distribusi dalam disk airy adalah sama untuk interfernsi
antara gelombang dari array secara acak dari celah. Bentuk intensitas bintik yang
dihasilkan oleh interfernsi yang disebut gangguan bintik.
24
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
1. Dua dimensi transformasi Fourier dari fungsi transmisi celah f(x,y) dengan
frekuensi ruang
2. Intensitas dari difraksi cahaya pada celah persegi
3. Intensitas dari gelombang difraksi pada celah bundar
2
1
2
2
u
uJ
R
AI
o
p
4. Teorema array digunakan untuk menemukan pola difraksi dari sebuah
array dari celah yang sama yaitu N. Distribusi intensitas dari pola difraksi
menjadi
Dimana variabel α didefinisikan sebagai
Dan a adalah dimensi x dari sebuh celah tunggal. Varibel β didefinisikan
sebagai
Dimana d adalah pemisah dalam direksi x dari celah
individual.
B. Saran
Melalui makalah ini penulis berharap agar tulisan ini dapat menjadi
referensi bagi masyarakat dan sumber ilmu baru yang perlu dikaji lebih jauh.
0
0
2
2
R
R
y
x
20
0
2
2
0
0
2
0
sinsin
y
y
x
xII
y
y
x
x
P
2
2
2
2
0sin
sinsin NII
x
ka sin
2
x
kd sin
2