KELOMPOK 3:

MUBARIK (147785006)

ROBITH MAULANA (147785024)

MAYANG SARI (147785025)

FAHRUH JUHAEVAH (147785034)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA

2015

PENDAHULUAN

A. SEJARAH DAN PERKEMBANGAN GEOMETRI AFFINE

Tokoh pertama memperkenalkan Geometri Affine adalah Leonhard Euler.

Pada tahun 1748, dalam bukunya yang berjudul Introduction in Analysin

Infinitorium (volume 2, chapter XVIII) Euler memperkenalkan kata affine yang

dalam bahasa latin adalah affinis.

Definisi dari Affine sendiri adalah sesuatu yang berhubungan dengan

transformasi atau menjadi transformasi (seperti translasi, rotasi, atau dilatasi)

yang membawa garis lurus menjadi garis lurus dan garis paralel ke garis paralel

tetapi dapat mengubah jarak antara titik dan sudut antara garis.

1. Leonhard Euler (1707-1783)

Leonhard Euler adalah ahli matematika

Swiss. Ia adalah ahli matematika terbesar di dunia,

bapak analisis matematika modern, mengarang

866 buku dan artikel, penemu banyak konsep,

teknik dan notasi matematika.

Antara lain ia menemukan lambang-

lambang ini; f(x) untuk fungsi x, e untuk bilangan dasar logaritma

naturalis, I untuk satuan bilangan khayal, untuk jumlah, a b c untuk

segitiga, s untuk setengah keliling segitiga. Pada tahun 1747 Euler

menemukan 30 pasang bilangan bersahabat yang kemudian diperluas jadi

60 pasang.

Leonhard Euler lahir tahun 1707 di Basel, Swiss. Ayahnya adalah

Paul Euler, seorang pastur Calvinisme. Ibunya adalah Marguerite Brucker,

anak dari seorang pastur. Euler memiliki dua adik perempuan Anna Maria

dan Maria Magdalena. Paul Euler mengharapkan anaknya menjadi pendeta

juga. Oleh karena itu pada tahun 1720, ketika usianya baru mencapai tiga

belas tahun, Leonhard Euler disuruh kuliah di Universitas Basel supaya

menjadi pendeta. Tetapi ia tidak suka belajar teologi dan Alkitab, ia lebih

menyukai mata kuliah geometri. Dan dengan dukungan Jean Bernoulli ia

pindah ke jurusan matematika.

Pada tahun 1723, dia menerima gelar ‘’Master of Philosophy’’

dengan disertasi yang membandingkan filsafat dari Descartes dan Newton.

Euler memperoleh gelar sarjana dari Universitas Basel pada umur tujuh

belas tahun. Pada umur 20 tahun ia diundang oleh Catherine I (seorang

donatur wanita dari akademi St. Petersburg) untuk pindah ke Akademi

Ilmu Pengetahuan di St, Petersburg, Rusia. Pada umur 23 tahun ia di

angkat jadi guru besar fisika, dan pada umur 26 tahun ia jadi guru besar

matematika menggantikan kursi ketua matematika yang tadinya diduduki

oleh seorang matematikawan masyhur Daniel Bernoulli.

Tahun 1735 mata kanannya buta. Tahun 1767 dia menyadari bahwa

mata kirinya juga hampir buta. Operasi katarak pada mata kirinya berhasil,

tetapi kemudian terkena infeksi, sehingga ia sangat menderita kesakitan

dan secara perlahan-lahan menjadi buta. Euler tidak membiarkan tragedi

besar itu mengalahkan dirinya. Dia tetap berusaha dan mampu membuat

banyak kalkulasi rumit dalam benaknya, tidak di atas kertas, dia

menuliskan rumusnya dengan kapur di atas batu tulis besar, dan

mendiktekan penjelasannya kepada salah seorang putranya. Dengan teknik

demikian, hasil kerjanya makin bertambah. (Kalkulasi yang dia lakukan

dalam benak pada masa kebutaannya antara lain kalkulasi tentang

matahari/bulan/bumi versi kedua yang lebih baik. Dalam benaknya dia

mampu memecahkan masalah rumit yang membingungkan teman-

temannya dan pakar-pakar besar pendahulunya, seperti Newton).

Euler kehilangan rumah dan semua harta bendanya ketika terjadi

kebakaran tahun 1771. Dia luput dari malapetaka itu karena diselamatkan

oleh pelayannya. Untunglah, sebagian besar tulisannya bisa diselamatkan.

Dia menderita kehilangan yang jauh lebih besar tahun 1776, tatkala istri

yang sangat dicintainya meninggal dunia.

Euler wafat di St. Petersburg tanggal 18 September 1783. Sesudah ia

meninggal hasil karyanya bertumpuk-tumpuk dan di muat di majalah

ilmiah secara bersambung selama 50 tahun. Selama hidupnya, Euler telah

menulis 32 buku lengkap, banyak diantaranya terdiri dari dua jilid,

beratus-ratus artikel tentang matematika dan ilmu pengetahuan. Kumpulan

tulisan-tulisan ilmiahnya lebih dari 70 jilid.

2. August Möbius (1790-1868)

August Ferdinand Möbius (November 17,

1790 – September 26, 1868) adalah seorang

matematikawan Jerman dan penemu teori

astronomy.

Möbius belajar di Universitas Leipzig, di

mana ia beralih dari hukum untuk matematika,

fisika, dan astronomi. Dia bergabung Gauss di

observatorium di Göttingen, dan kemudian Pfaff di Halle. Sepanjang karir

akademisnya, ia menghasilkan judul astronom dan mekanik diajarkan. Ia

juga menulis Textbook of Statistika (1837) dan sistem belajar lensa.

Kontribusi paling terkenal, bagaimanapun, adalah di bidang matematika

murni. Sementara Möbius tidak penemu satu sisi disebut Möbius strip,

yang sebenarnya merupakan penemuan Johann Daftar Benediktus, dia

memperkenalkan gagasan orientability, yang memungkinkan dia untuk

menempatkan tanda minus di depan panjang, daerah, dan volume.

Selanjutnya, strip terkenal yang membawa namanya bukan satu-satunya

permukaan satu sisi bahwa ia menganggap; ia menggambarkan seluruh

kelas polyhedra dengan properti ini, yang ia sebut luar biasa. Mereka

semua memiliki volume nol, dan melanggar rumus polyhedral Euler.

Terkecil memiliki 10 wajah segitiga, 15 tepi, dan 6 simpul. Gagasan dari

polyhedron ganda juga karena Möbius.

Agustus Mobius (1827) menulis affine geometri dalam bukunya

Der BarycentrischeCalcul (bab 3). Alat aljabar dikembangkan oleh

Agustus Mobius dalam bukunya termasuk rumus untuk cross-rasio, solusi

umum untuk berbagai masalah mendasar seperti menentukan bagian

kerucut melewati diberikan titik, dan perumusan abstrak prinsip dualitas

dan karakterisasi aljabar dari transformasi affine.

Möbius adalah orang pertama yang memperkenalkan koordinat

homogen dalam geometri proyektif. Koordinat homogen memiliki

berbagai aplikasi, termasuk grafis komputer dan visi komputer 3D, di

mana mereka memungkinkan transformasi affine.

3. Felix Klein (1849 – 1925)

Klein lahir di Düsseldorf, ayahnya adalah

seorang sekretaris pejabat pemerintah Prusia yang

ditempatkan di Provinsi Rhine. Dia hadir di

Lapangan Tenis di Düsseldorf, kemudian belajar

matematika dan fisika di Universitas Bonn, 1865-

1866, berniat untuk menjadi seorang fisikawan.

Pada saat itu, Julius Plücker diadakan kursi Bonn matematika dan fisika

eksperimental, tetapi pada saat Klein menjadi asistennya, pada tahun 1866,

bunga Plücker adalah geometri. Klein menerima doktor, diawasi oleh

Plücker, dari University of Bonn pada 1868.

Pada tahun 1871, sementara di Göttingen, Klein membuat

penemuan besar dalam geometri. Ia menerbitkan dua makalah yang

disebut Non-Euclidean Geometri menunjukkan bahwa Euclidean dan

geometri non-Euclidean bisa dianggap kasus khusus dari permukaan

proyektif dengan bagian kerucut tertentu disatukan.

Berikutnya, Felix Klein juga memberikan definisi tentang geometri

sebagai berikut: geometri didefinisikan oleh sekelompok transformasi,

jika definisi dan teorema berlaku untuk properti dari bentuknya

"invarian" (tidak berubah) dengan transformasi mereka dari G, tetapi

tidak "invarian" oleh transformasi kelompok lain yang mengandung G.

Pada tahun 1872, ia memperkenalkan Program Erlangen. Program

ini diatur dalam kuliah perdana Klein sebagai profesor di Erlangen,

meskipun itu bukan pidato yang sebenarnya dia berikan pada kesempatan

tersebut. Program yang diusulkan pendekatan terpadu untuk geometri

yang menjadi pandangan yang diterima. Klein menunjukkan bagaimana

sifat penting dari geometri yang diberikan dapat diwakili oleh kelompok

transformasi yang melestarikan properti-properti

4. Janos Bolyai (1802 –1860)

Janos Bolyai dilahirkan pada tanggal 15 Desember 1802 di

Kolosvar, sekarang Cluj, bagian dari Romania Transylvania. Orang tua

dari Janos Bolyai adalah Zsuzsanna Benkö, dari Kolozsvár, dan Farkas

Bolyai, dari Bolya (dekat Nagyszeben). Ayahnya Farkas mempunyai

pekerjaan di Calvinist College mengajar

matematika, fisika dan kimia. Farkas Bolyai

selalu ingin anaknya menjadi matematikawan.

Janos meninggalkan sekolahnya pada

saat kelas 4, yaitu ketika usianya mencapai

sembilan tahun. Ia masuk di Perguruan Tinggi

Calvanist di Marosvaserhely pada umur dua

belas tahun. Saat umur tiga belas tahun Bolyai

telah menguasai kalkulus, analitis, mekanika, dan yang lain. Pada umur

lima belas tahun, Bolyai telah menemukan solusi dalam menggunakan

salah satu cabang dari hiperbola xy=c. Bolyai juga menguasai sembilan

bahasa asing termasuk Cina dan Tibet.

Pada tanggal 30 Juni 1817, Janos Bolyai lulus dari Marosvasarhely

College. Dari tahun 1818 hingga tahun 1822, Bolyai melanjutkan

pendidikannya di Akademi Rancang-Bangun di kerajaan Vienna. Bolyai

mampu menyelesaikan pendidikan tujuh tahun hanya dalam empat tahun.

Bolyai lulus dari Akademi Rancang-Bangun di kerajaan Vienna pada

tanggal 6 September 1822.

Pada bulan September 1823, Bolyai masuk angkatan darat sebagai

letnan muda dan dikirim bekerja di Temesvar. Bolyai menghabiskan 11

tahun di militer. Kemudian pada tahun 1833 Bolyai dipensiunkan dari

rangking Kapten karena sering terkena penyakit. Kemudian ia tinggal di

pengasingan dengan keluarganya di Marosvasarhely tanpa memperoleh

informasi tentang peristiwa ilmiah. Meskipun demikian ia mencapai hasil

penting di dalam matematika.

Antara tahun 1820 dan 1824, ia mengembangkan ilmu ukur non-

Euclide-nya yang baru yang berasal dari solusi permasalahan dalam

parallel. Pada saat berusia 21 tahun, ia melaporkan temuannya pada

ayahnya:

I have discovered such wonderful things that I was

amazed ...

Out of nothing I have created a strange new universe.

~ Janos Bolyai (1802-1860), from a letter to his father,

1823. (Hvidsten, M, 2005, h. 263)

Suatu catatan tersebut adalah gambaran ilmu ukur kemutlakan yang

disebut ilmu ukur hyperbolic, dan diterbitkan sebagai catatan tambahan

pada buku teks ayahnya yang berjudul Tentamen pada tahun 1832.

Judulnya adalah catatan tambahan, Scientiam Spatii Veram Absolut

Exhibens …, yaitu Ilmu Pengetahuan Riil yang Absolut …. Melalui

ayahnya, ia menerima suatu catatan oleh Lobachevski berjudul

Geometriche Untersuchungen Zur Theorie der Parallellinien

(Penyelidikan Geometris mengenai Teori Garis Sejajar), yang mana

catatan tersebut hampir sama dengan catatan tambahan dan di mana orang

Rusia Ahli Matematika menguraikan Ilmu Ukur non-Euclide hyperbolic.

Pada tahun 1850, Bolyai mulai menyiapkan suatu naskah yang diberi

hak Jerman yang berjudul Raumlehre (Ilmu Pengetahuan Ruang). Ia

mencoba untuk mengembangkan suatu system Geometris lengkap berdasar

pada aksioma, tetapi pekerjaan ini tidak diselesaikan. Bolyai juga

mengembangkan suatu konsep Geometris kaku tentang angka-angka

kompleks sebagai penghembus dari angka-angka riil. Walaupun ia tidak

pernah menerbitkan lebih dari 26 halaman catatan tambahan, namun

pemikirannya telah dibukukan lebih dari 14.000 halaman naskah

mathematical. Dan pada saat itulah ia meninggal.

C. PERKEMBANGAN GEOMETRI AFFINE

Pada 1748 Euler memperkenalkan istilah Affine pada bukunya

Introduction in Analysin Infinitorum (bab XVII), yang berarti terkait. Pada

1827 Möbius menuliskan geometri affine pada bukunya, Der Barycentrische

Calculnya (bab III).

Geometri Affine merupakan perluasan dari geometri Euclidean.

Geometri Affine merupakan bentuk geometri yang menampilkan sifat garis

paralel tunggal sesuai Postulat Playfair, “Melalui satu titik yang diketahui,

tidak pada suatu garis yang diketahui, hanya dapat dibuat satu garis yang

paralel dengan garis itu”. Dalam geometri ini lingkaran tidak disebut-sebut

dan sudut-sudut tidak pernah diukur, maka dapat dikatakan, bahwa geometri

ini mempunyai dasar aksioma I dan II, dari aksioma Euclides. Aksioma III

dan IV tidak berarti sama sekali.

Latar belakang yang mendasari lahirnya Geometri Affine adalah

geometri terurut. Bidang Affine dipandang sebagai keadaan khusus dari

bidang terurut. Awalnya Euler mengidentifikasi bahwa banyak sifat-sifat

Affine yang sudah dikenal dari geometri Euclid. Sifat-sifat geometri Euclid

ini dikembangkan dengan proyeksi paralel dari satu bidang ke bidang lainnya

yang disebut dengan Affine. Akibatnya, geometri Affine merupakan

perluasan dari geometri Euclidean yang bercirikan kemiringan dan skala

distorsi. Dalam bahasa program Erlangen Klein, yang mendasari simetri

dalam geometri Affine adalah grup afinitas, yaitu grup transformasi yang

dihasilkan oleh transformasi linear dari ruang vektor dan translasi vektor.

Nama geometri Affine berasal dari program Erlangen dari Felix Klein.

Geometri Affine merupakan bentuk geometri yang menampilkan sifat garis

paralel tunggal di mana dugaan dari sudut tidak terdefinisi dan panjang tidak

dapat dibandingkan dalam arah yang berbeda dengan mengabaikan Euclid

ketiga dan dalil keempat.

PEMBAHASAN

Ordered Geometry (geometri terurut) merupakan dasar dari Affine

Geometry. Bidang dalam geometri Affine dianggap sebagai keadaan khusus dari

bidang dalam Ordered Geometry. Dalam geometri Affine terdapat pengertian

pangkal yang sama dengan yang terdapat pada Ordered Geometry , yaitu titik dan

keantaraan (intermediacy).

AFFINE GEOMETRY

Beberapa aksioma dalam geometri terurut yang berlaku pada geometri

Affine, yaitu:

- Aksioma 1 :

Ada paling sedikit dua titik

- Aksioma 2 :

Jika ABC adalah segitiga dan [BCD] dan [CEA], maka terdapat F titik

pada garis DE yang memenuhi [AFB].

- Aksioma 3 :

Semua titik ada dalam satu bidang

- Aksioma 4 :

Untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan

yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing

himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada

satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan

itu dan setiap titik dari himpunan lainnya ( Aksioma Dedekind )

Aksioma 3 menyatakan bahwa geometri Affine yang dipelajari ini adalah

geometri bidang, sedangkan aksioma 4 menyatakan bahwa suatu garis itu kontinu.

Geometri Affine diperoleh dari Geometri Terurut dengan menambahkan

dua aksioma berikut:

- Aksioma 5 (kesejajaran) :

Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang tidak melalui A, terdapat

paling banyak satu garis yang melalui A pada bidang Ar yang tidak

memotong r.

- Aksioma 6 :

Jika A, A`, B, B`, C, C`, O adalah titik yang berbeda, sedemikian hingga

AA`, BB` dan CC` adalah 3 garis berbeda yang melalui O, dan jika AB

sejajar dengan A`B`, BC sejajar dengan B`C`, maka CA juga sejajar

dengan C`A`

Berdasarkan aksioma kesejajaran affine, untuk setiap titik A dan ada garis

r, terdapat tepat satu garis yang melalui A pada bidang Ar, yang tidak akan

bertemu dengan garis r.

Kedua sinar dari A yang sejajar r selalu segaris. Dua garis sebarang yang tidak

berpotongan dan terletak dalam satu bidang adalah sejajar. Kejadian ini sama

dengan keadaan dalam Geometri Euclid.

Kesejajaran dalam geometri Affine adalah suatu relasi ekuivalensi,

sehingga haruslah memenuhi sifat-sifat :

- Refleksif, yaitu setiap garis k sejajar dengan k sendiri

- Simetris, yaitu jika garis k sejajar dengan garis l, maka garis l juga sejajar

dengan garis k

- Transitif, yaitu jika garis k sejajar dengan garis l dan garis l sejajar dengan

garis m, maka garis k sejajar dengan garis m.

Gambar 1

A

r

Aksioma 6 (gambar 2) dikenal sebagai sebagai sebuah bentuk Affine dari

teorema Desargues.

Aksioma 6 di atas merupakan kebalikan dari teorema berikut:

Teorema 1

Jika ABC dan A’B’C’ adalah 2 segitiga dengan titik-titik sudut yang

berlainan, diletakkan sedemikian, hingga BC//B’C’, CA/C’A’ dan AB//A’B’,

maka ketiga garis AA’, BB’ dan CC’ adalah berpotongan pada satu titik

(konkuren) atau sejajar.

Diketahui : BC//B’C’, CA/C’A’, AB//A’B’

Dibuktikan : AA’, BB’ dan CC’ berpotongan pada satu titik atau sejajar.

Bukti:

Ada 2 kondisi yang harus kita buktikan, yaitu :

1. AA’, BB’ dan CC’ berpotongan pada satu titik

2. AA’, BB’ dan CC’ sejajar

Kondisi 1 : AA’, BB’ dan CC’ berpotongan pada satu titik

Misalkan ketiga garis AA’, BB’ dan CC’ tidak semuanya sejajar, dua

diantaranya tentu berpotongan

Gambar 2

O

C

C’

B B’

A A’

No Pernyataan Keterangan

1 ABC &A’B’C’

BC//B’C’, CA//C’A’, AB//A’B’

Premis

2 A,B,C sudut sudut ABC Premis

3 A’, B’, C’ sudut-sudut A’B’C’ Premis

4 AA’ dan BB’ berpotongan di O Pemisalan

5 Konstruksi garis OC, perpanjang hingga memotong B’C’ di C’’

6 Karena C’’ pada B’C’ maka AC//A’C” (Aksioma 6)

7 Karena AC//A’C’ dan AC//A’C”, maka

C”pada A’C’,

C”jugapada B’C’.

Akibat 5

8 A’B’C’ suatusegitigamakaharuslah C”berimpitdengan C’. Premis

9 Jadi AA’, BB’ dan CC’ berpotongan di satu titik Akibat 8

Kondisi 2 : AA’, BB’ dan CC’ sejajar

No Pernyataan Ket

1 ABC &A’B’C’

BC//B’C’, CA//C’A’, AB//A’B’

Premis

2 A,B,C sudut sudut ABC

A’, B’, C’ sudut-sudut A’B’C’

Premis

3 Buat segmen AA’,BB’ dan CC’ Konstruksi

4 Buat sinar A/A’ sehingga memenuhi [PAA’] Konstruksi

5 Buat sinar B/B’ sehingga memenuhi [QBB’] Konstruksi

6 Buat sinar C/C’ sehingga memenuhi [RCC’] Konstruksi

7 Buat A’/A sehingga memenuhi [SA’A] Konstruksi

8 Buat B’/B sehingga memenuhi [TB’B] Konstruksi

9 Buat C’/C sehingga memenuhi [UC’C] Konstruksi

10 Jadi Garis AA’//BB’//CC’ Akibat 4-9

Teorema 2

Jika A, A’, B, B’, C,C’ adalah 6 titik berlainan pada 3 garis sejajar berlainan

AA’,BB’,CC’, diletakan sedemikian hingga garis AB sejajar dengan A’B’ .

BC sejajar dengan B’C’ , maka CA juga sejajar dengan C’A’.

Diketahui : A, A’, B, B’, C, C’ (6 titik berlainan)

AA’//BB’//CC’

AB//A’B’

BC//B’C’

Akan dibuktikan : CA//C’A’

Bukti :

(1) Ambil sebarang titik C” di segmen B’C’ sedemikian hingga AC//A’C”

(2) AB//A’B’ (diketahui)

(3) BC//B’C’ (diketahui)

(4) AA’//BB’//CC” (teorema 1)

(5) BB’//CC” (4)

(6) BB’//CC’ (diketahui)

(7) Melalui titik C di luar garis BB’ ada paling banyak satu garis sejajar BB’

(aksioma 5). Padahal ada dua garis sejajar BB’ yaitu CC’ dan CC”, jadi

haruslah C” berhimpit dengan C’.

(8) C” berada pada garis CC’

(9) C” berada ada garis B’C’ (1)

(10) AC// A’C’’.

Definisi 1

Empat titik A, B, C dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu

jajargenjang ABCD jika AD sejajar BC dan AC sejajar dengan DB. A, B, C

dan D adalah titik-titik sudutnya. Ruas garis AD, DB, BC dan CA adalah sisi-

sisinya. Sedangkan ruas garis AB dan CD adalah diagonal-diagonalnya.

Karena B dan D pada pihak yang berlainan dari AC, maka diagonal-

diagonalnya berpotongan di suatu yang disebut pusat jajargenjang.

Dari definisi jajargenjang di atas, maka dapat didefinisikan beberapa

transformasi dalam geometri Affine.

Definisi 2

Suatu dilatasi adalah suatu transformasi yang mentransformasikan setiap

garis ke garis yang sejajar.

Teorema 3

Dua segmen yang diketahui AB dan A’B’ pada garis-garis sejajar

menentukan dengan tunggal suatu dilatasi AB A’B’

Bukti :

Misal P sebarang titik pada bidang.

Untuk melukis bayangan titik P (P’), berdasarkan aksioma 5 dapat dibuat

garis melalui A’ yang sejajar AP dan garis melalui B’ yang sejajar BP.

Titik potong kedua garis tersebut adalah P’, bayangan dari P.

Garis-garis yang melalui A’ dan B’ tidak mungkin sejajar, karena AP dan

BP tidak sejajar.

B’

C’

P’

P

C

B

Dengan cara yang sama, jika C diketahui, maka dapat dilukis C’.

Dari teorema 1 diperoleh AA’, BB’ dan CC’ melalui satu titik atau

sejajar. Begitu juga dengan AA’, BB’ dan PP’.

Jadi jika garis-garis sejajar AB dan A’B’ tidak berimpit, maka garis-garis

AA’, BB’, CC’ dan PP’ adalah konkuren atau sejajar, sehingga C’P’//CP.

Jika garis-garis AB dan A’B’ berimpit, maka transformasi dapat

dipandang sebagai AC dan A’C’. Sehingga dua ruas garis sejajar

menentukan dengan tunggal suatu dilatasi.

Definisi 3

Invers dari dilatasi AB→ A`B` adalah A`B`→AB.

Definisi 4

Hasil kali dua dilatasi adalah suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan

dilatasi yang lain.

Sehingga hasil kali dua dilatasi AB→A`B` dan A`B`→A``B`` adalah dilatasi

AB→A``B``.

A’

B’

C’

P’

A

P

C

B

A B

A’’ B’’

A’ B’

Hasil kali suatu dilatasi dengan inversnya merupakan suatu identitas AB →

AB.

Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dengan bayangannya adalah

garis-garis invarian. Di mana garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik

atau sejajar.

Apabila garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik, maka dilatasi itu

dinamakan dilatasi sentral.Titik potong dari garis-garis itu disebut titik pusat

dilatasi yang tunggal.

Apabila garis-garis yang menghubungkan suatu titik dengan bayangannya

merupakan garis yang sejajar, maka dilatasi itu merupakan suatu translasi.

Teorema 4

O

B’

B

C’

C

A’ A

B B’

C’

A’

C

A

Dua titik sebarang A dan A’ menentukan translasi tunggal A→ A’

Bukti :

Dari teorema di atas dapat disimpulkan bahwa suatu dilatasi adalah suatu

translasi jika dan hanya jika tidak mempunyai titik invarian. Jika translasi

A → A’ sama dengan B → B’, maka AA’B’B merupakan suatu

jajargenjang. atau jika, untuk sembarang parallelogram AA’C’C

berdasarkan AA’. Ada jajargenjang lain C’CBB’

Teorema 5

Dilatasi AB→A`B` mentransformasikan setiap titik antara A dan B’

menjadi titik diantara A’ dan B’

Bukti :

Salah satu teorema dalam Geometri Terurut mengatakan bahwa jika ABC

dan A`B`C` merupakan dua pasangan 3 titik yang segaris sedemikian

hingga garis-garis AA`, BB` dan CC` tidak mempunyai titik potong dan

[ACB], maka [A`C`B`].

A

C

C’

A’

B B’

a c b

A’

A B

C

A’

B’

C’

Misalkan garis AA` dinamakan a, garis BB` dinamakan b dan garis CC`

dinamakan c, maka dapat diperoleh [ACB]. Maka untuk setiap titik C

yang merupakan titik potong garis c dengan suatu ruas garis AB dengan

A pada a dan B pada b, berlakulah [ACB]. Maka teorema di atas terbukti.

Jika ABC dan A`B`C` merupakan 2 pasangan 3 titik yang segaris pada

garis-garis yang berbeda sedemikian hingga ketiga garis AA`, BB` dan

CC` mempunyai titik persekutuan O yang tidak terletak diantara A dan

A`, tidak terletak antara B dan B`, juga tidak terletak antara C dan C`,

dan [ACB], maka berlaku [A`C`B`].

Hal itu dapat dibuktikan dengan menggunakan sinar OC yang terletak di

dalam AOB sehingga untuk setiap titik C`, titik potong OC dengan

suatu ruas garis A`B` dengan A` pada sinar OA dan B` pada sinar OB

memenuhi [A`C`B`]

Untuk titik-titik A, B dan C yang terletak pada garis invarian digunakan

garis-garis sejajar sebagai pertolongan untuk menunjukkan kebenaran

Teorema 5 ini.

[ACB] → [A’C’B’]

O

C’

C

A’

A

B’

B

Teorema 6

Hasil kali 2 translasi A→B dan B→C adalah translasi A→C

Bukti:

Andaikan hasil kali 2 buah translasi bukan merupakan suatu translasi,

tentu ada titik invarian, misal O. Dengan translasi pertama ( A→ B ), titik

O dibawa ke O`.

Karena O adalah titik invarian, dengan translasi kedua ( B→ C ), titik O`

dibawa ke O. Padahal O`→O adalah invers dari O→O`. Artinya hasil kali

2 translasi mempunyai titik invarian jika yang satu merupakan invers dari

yang lain, dan hasil kali ini merupakan identitas. Jadi hasil kali 2 translasi

adalah suatu translasi, yaitu dilatasi yang tidak ada titik invariannya.

Hasil kali dua translasi ini memenuhi sifat komutatif. Hal ini

dapat dibuktikan dengan cara sebagai berikut :

B

C

D A

Andaikan kedua translasi tidak menurut dua garis sejajar. Dengan

melukis jajargenjang ABCD akan terlihat bahwa A→ B sama dengan

D→ C dan B→C sama dengan A→ D, sehingga :

A → C = (A → B) (B → C) = (A → D) (D → C) = (B → C) (A → B)

(terbukti)

Jika kedua translasi menurut garis yang sama, misalkan X dan Y,

dan andaikan ada translasi T yaitu suatu translasi yang tidak menurut

garis yang sejajar dengan translasi X dan Y. Maka Y dan T komutatif,

demikian pula dengan Y dan XT.

Jadi X (Y T) = X (T Y) = (X T) Y = Y (X T). Karena (X Y)T = (Y X)T

sehingga terbukti bahwa X Y = Y X.

Definisi 5

Jika 2 titik berbeda A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB→BA

atau A↔B, maka transformasi itu merupakan setengah putaran.

Jika C adalah sebarang titik di luar garis AB, maka untuk

memperoleh bayangannya, titik C dapat dihubungkan dengan A dan B.

Titik potong garis yang melalui B akan sejajar dengan AC, sedangkan

yang melalui A akan sejajar dengan BC. Jika titik potong tersebut

dinamakan D, maka D adalah bayangan dari C. Sehingga ACBD adalah

suatu jajargenjang.

Setengah putaran itu dapat dinyatakan dengan C↔D. Garis-garis

invarian AB dan CD, yang merupakan diagonal-diagonal jajargenjang,

berpotongan di titik O, yang menjadi titik invarian dari setengah putaran.

Titik O ini merupakan titik pusat jajargenjang. Sedangkan pada setengah

putaran A ↔B, titik O merupakan titik tengah ruas garis AB.

A

B

O

T

C

D

T1

Jika terdapat titik T pada garis AB, maka untuk melukis bayangan

titik pada garis AB, hubungkan titik T dengan C (atau D). Kemudian

lukis garis melalui D (atau C) yang sejajar dengan TC ( atau TD)

sehingga terdapat titik T` pada garis AB.

Hasil kali dua setengah putaran dapat dinyatakan sebagai

(A↔B)(B↔C). Andaikan hasil kali ini mempunyai suatu titik invarian O,

maka dengan setengah putaran A↔ B, titik O akan dibawa ke O`.

Sehingga A↔B sama dengan O↔O`. Dengan setengah putaran B↔C,

titik O` akan dibawa ke O. Sehingga B↔C sama dengan O`↔O. Jadi ada

titik invarian jika A↔B = B↔C. Dalam keadaan yang tidak demikian,

maka tidak terdapat titik invarian.

Teorema 7

Hasil kali 2 setengah putaran A↔B dan B↔C akan menghasilkan

translasi A↔C

Bukti: Karena A↔ B dan B↔C adalah dua setengah putaran yang maka

tidak mempunyai titik invariant, sehingga akan menghasilkan suatu

translasi.

Pada jajargenjang ACBD, diperoleh A↔ B = C↔ D, dan A →D sama

dengan C→B.

Hubungan tersebut tetap berlaku jika jajargenjang berubah

menjadi ruas garis dengan 4 titik yang letaknya teratur simetris.

B

O

C

D A

A C D B

Teorema 8

Setengah putaran A↔ B dan C↔D adalah sama, jika dan hanya jika

translasi A→D dan C→B adalah sama.

Bukti teorema 8

( ) Diketahui : A↔B = C↔D

Akan ditunjukkan : A→D = C→ B

Bukti : A→D = (A↔B) (B↔D)

= (C↔D) (B↔D)

= (C↔D) (D↔B)

= C→B

( ) Diketahui : A→ D = C→ B

Akan ditunjukkan : A ↔B = C↔ D

Bukti : A ↔ B = (A→ D) (D↔B)

= (C→B) (D↔ B)

= (C→ B) (B ↔D)

= C ↔ D

Pada keadaan tertentu dimana C dan D berimpit, disebut C`, maka C`

adalah titik tengah AB jika dan hanya jika A→ C` dan C`→ B adalah dua

translasi yang sama.

Dari bentuk tersebut dapat dibuat jajargenjang AC`A`B` dan

BC`B`A`. Selain itu juga terdapat ABC dengan A`, B` dan C` sebagai

titik-titik tengah sisi-sisinya.

Teorema 9

Garis yang ditarik dari titik tengah dua sisi sebuah segitiga adalah sejajar

dengan sisi yang ketiga, dan garis yang melalui titik tengah sebuah sisi

sejajar dengan yang dilewatinya melalui titik tengah sisi yang ketiga.

Bukti:

Dua gambar disebut homothetic jika mereka berhubungan dengan sebuah

kongruen dilatasi jika mereka berhubungan dengan sebuah translasi atau

half-turn. Terutama sebuah arah segmen AB kongruen dengan

“kebalikannya” segment BA dengan half-turn 𝐴 ↔ 𝐵. Pada gambar

13.2f. empat segitiga kecil AC’B’, C’BA’, B’A’C, A’B’C’ semuanya

kongruen dan semunya homothetic dengan segitiga yang besar ABC.

APLIKASI

1. Aplikasi Geometri Affine pada Proses Penggambaran

Inkscape adalah cross-

platform dan beroperasi pada

berbagai sistem operasi seperti

Windows, Mac dan semua varian

dari Linux. Inkscape impor format

seperti PNG, JPEG, TIFF dan PNG

ekspor serta format berbasis vektor

ganda. Bentuk, teks, spidol,

mengubah, pola, klon, jalan, gradien, alpha blending, dan pengelompokan

mendukung fitur yang disertakan dalam program ini.

Dengan Inscape kita dapat membuat dan memodifikasi objek seperti

peta, logo, dan ikon serupa dengan Illustrator. Beberapa alat-alat umum

dalam Inkscape adalah alat pensil, persegi panjang alat kaligrafi, teks tool,

pen tool, elips, bintang / poligon, spiral, bitmap tertanam, dll klon Semua

benda yang diciptakan oleh file SVG Inkscape dan lainnya mudah untuk

memodifikasi dan mengedit dengan menggunakan program vektor editing.

Transformasi affine, objek pengelompokan, Z-order operasi, menyalin dan

menyisipkan objek, keselarasan dan perintah distribusi.

2. Aplikasi Transformasi Affine dalam Citra Satelit

Citra ALOS

AVNIR-2 merupakan data

penginderaan jauh yang

dapat dimanfaatkan untuk

menduga atau

mengestimasi kemampuan

daya serap CO2. Citra

yang akan digunakan

sebelumnya harus melalui

pra pemrosesan citra

digital. Tahap pra pemrosesan digital yang dimaksud yaitu koreksi

radiometrik dan koreksi geometrik agar dalam proses pengolahan citra digital

dapat diperoleh hasil yang optimal.

Citra ALOS AVNIR-2 yang diperoleh belum memiliki informasi

georeferensi sehingga sebelum pemrosesan lebih lanjut maka perlu

dilakukan koreksi geometrik agar mempunyai kesesuaian antara posisi

nilai piksel dengan posisi yang sebenarnya di lapangan. Koreksi geometrik

yang digunakan yaitu metode image to map registration dengan

menggunakan titik ikat atau Ground Control Point (GCPs). Sebagai sumber

data yang telah mempunyai koordinat geografi maka peta RBI skala

1:25.000 digunakan sebagai acuan referensi untuk melakukan koreksi

terhadap Citra ALOS AVNIR-2. Melihat bahwa Citra yang akan digunakan

mempunyai topografi yang bervariasi maka jenis transformasi yang dipilih

adalah affine dimana hanya memerlukan empat buah titik ikat. Adanya

koreksi citra baik radiometrik dan geometrik tersebut dimaksudkan agar citra

yang digunakan dapat diolah secara optimal sehingga dapat diekstraksi

menjadi citra baru dengan informasi spektral yang lebih baik serta

mempunyai posisi koordinat geografi yang sesuai dengan kondisi sebenarnya

di lapangan.

DAFTAR PUSTAKA

Artin, E. Geometric Algebra. (1957). New York: Interscience.

Coxeter, F. R. S. H. M. (1969). Introduction to Geometry, second Edition. New

York: John Wiley & Sons, Inc.

http://en.wikipedia.org/wiki/august_ferdinand_M%C3%B6bius

http://en.wikipedia.org/wiki/felix_klein

http://en.wikipedia.org/wiki/leonhard_euler

https://hayh.wordpress.com/category/scholar/

http://eprints.ums.ac.id/29006/2/04._BAB___I_E100120006.pdf