KESTABILAN MODEL MANGSA PEMANGSA DENGAN FUNGSI RESPON TIPE HOLLING II DAN WAKTU TUNDA

STABILITY OF PREDATOR PREY MODEL WITH

HOLLING TYPE II FUNCTIONAL RESPONSE AND TIME DELAY

Budyanita Asrun, Syamsuddin Toaha, Moh. Ivan Azis

Bagian Matematika Terapan, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

Alamat Koresponden: Budyanita Asrun Program Pascasarjana Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar, 90245 HP: 087841913120 Email: itha.asrun@gmail.com

ABSTRAK Dalam tulisan ini, dibahas model mangsa pemangsa yang telah dimodifikasi dari model dasar Lotka

Volterra dengan penambahan fungsi respon Tipe Holling II pada interaksi antara populasi mangsa dan pemangsa, serta pemberian waktu tunda pada laju pertumbuhan pemangsa. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh waktu tunda pada kestabilan titik keseimbangan model mangsa pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling II. Hasil penelitian menunjukkan bahwa dari model mangsa pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling II diperoleh tiga titik keseimbangan, yaitu 퐸 = (0,0), 퐸 = ( , 0) dan

퐸 = , ( )( )

. Dari hasil analisis diperoleh dua titik keseimbangan yang dapat stabil pada kondisi

syarat tertentu, yaitu titik keseimbangan 퐸 = ( , 0) stabil jika 푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐 < 0 dan titik keseimbangan

퐸 = , ( )( )

stabil jika 휀푑 − 훼푎푑 + 훼휀푐 + 훼 푎푐 > 0. Waktu tunda dapat mempengaruhi kestabilan titik keseimbangan 퐸 dari stabil menjadi tidak stabil. Kata Kunci : Mangsa Pemangsa, Lotka Volterra , Fungsi Respon Tipe Holling II, Waktu Tunda ABSTRACT

In this paper, we discussed of the predator prey models that have been modified from the base model of Lotka Volterra with the addition Holling type II response function in the interaction between prey and predator populations, as well as giving the time delay in the growth rate of the predator. The research aimed to investigate the effect time delay on the stability of an equilibrium point in the predator prey model with Holling type II functional response. The research result indicates that the predator prey model with Holling type II functional response is obtained three equilibrium points, i.e. 퐸 = (0,0), 퐸 = ( , 0) and

퐸 = , ( )( )

. The stability analysis is obtained two equilibrium points which can be stable on the

certain condition, i.e. the equilibrium point 퐸 = ( , 0) is stable if 푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐 < 0 and the equilibrium

point 퐸 = , ( )( )

is stable if 휀푑 − 훼푎푑 + 훼휀푐 + 훼 푎푐 > 0. The delay time can affect the stability on the equilibrium point 퐸 from stable to unstable.

Key Word : Predator Prey, Lotka Volterra, Holling Type II Functional Response, Time Delay

PENDAHULUAN

Model mangsa pemangsa yang paling terkenal dinamai setelah dua ilmuwan, Alfred

Lotka dan Vito Volterra memperkenalkannya pada tahun 1926. Asumsi dasar dari model

mangsa pemangsa Lotka Volterra klasik adalah bahwa setiap populasi mengalami

pertumbuhan atau peluruhan eksponensial dalam ketiadaan yang lain. Kemudian model

mangsa pemangsa Lotka Volterra dimodifikasi dengan menambahkan asumsi bahwa jumlah

populasi juga dipengaruhi oleh adanya tingkat kompetisi didalam populasi tersebut (Olinick,

2006).

Salah satu pengembangan lain dari model Lotka Volterra adalah model yang

dilakukan oleh Ruan dkk (2001), Liu dkk (2002), serta Tian dkk (2011), dimana dalam

model Lotka Voltera diberikan penambahan fungsi respon tipe Holling II pada interaksi

antara mangsa dan pemangsa. Kemudian untuk membangun model yang lebih realistis Beretta

dkk (1996) dan Ruan (2009) mempertimbangkan waktu tunda (delays) untuk jangka respon

pemangsa terhadap mangsa. Penambahan jumlah populasi pemangsa diperlukan adanya

waktu tunda, hal ini diasumsikan bahwa penggunaan waktu tunda pada sistem tersebut

disebabkan karena adanya waktu yang diperlukan populasi pemangsa dalam memangsa

mangsanya. Kemudian Teng dkk (2011) juga melakukan hal yang sama memberikan waktu

tunda pada fungsi respon tipe Holling II pada kompartemen yang sama. Tujuan penelitian ini

adalah untuk mengetahui pengaruh waktu tunda pada kestabilan titik keseimbangan model

mangsa pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling II.

BAHAN DAN METODE

Secara umum desain penelitian yang dilakukan adalah menentukan titik keseimbangan

model, melinearisasi model, menganalisis kestabilan dari titik keseimbangan, kemudian

melakukan simulasi numerik. Adapun variabel penelitian adalah sejauh mana pengaruh waktu

tunda terhadap kestabilan dari suatu titik keseimbangan baik secara analitik maupun numerik.

Kemudian software komputasi yang digunakan pada penelitian ini adalah dengan

menggunakan Maple dan Matlab.

HASIL

Model mangsa pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling II dan waktu tunda yang

telah linearisasi disekitar titik keseimbangan 퐸∗

X(푡) = 푎 − 2휀푥∗ −푏푦∗

(1 + 훼푥∗) X(t)−푏푥∗

(1 + 훼푥∗) Y(t),

Y(푡) =푑푦∗

(1 + 훼푥∗) X(t− τ) + −푐 +푑푥∗

(1 + 훼푥∗) Y(t),

Dari model mangsa pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling II diperoleh tiga titik

keseimbangan, yaitu 퐸 = (0,0), 퐸 = ( , 0) dan 퐸 = , ( )( )

. Dari hasil

analisis diperoleh dua titik keseimbangan yang dapat stabil pada kondisi syarat tertentu, yaitu

titik keseimbangan 퐸 = ( , 0) stabil jika 푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐 < 0 dan titik keseimbangan

퐸 = , ( )( )

stabil jika 휀푑 − 훼푎푑 + 훼휀푐 + 훼 푎푐 > 0. Dengan pemberian

waktu tunda diperoleh nilai 휏 > 0 yang dapat mengubah kestabilan dari titik keseimbangan

퐸 , ( )( )

dari stabil menjadi tidak stabil.

Analisis pada titik keseimbangan 퐸 . Untuk 휏 = 0, dengan mensubstitusi titik

keseimbangan 퐸 , maka diperoleh persamaan karakteristik

휆 +(휀푑 − 훼푎푑 + 훼휀푐 + 훼 푎푐)푐

푑(푑 − 훼푐) 휆 +(푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐)푐

푑 = 0,

dimana bagian real dari nilai eigen akan bernilai negatif dan disimpulkan stabil jika dan hanya

jika

휀푑 − 훼푎푑 + 훼휀푐 + 훼 푎푐 > 0.

Untuk 휏 ≠ 0, misalkan 휆 = 푖푤, 푤 > 0 adalah akar-akar persamaan karakteristik,

maka diperoleh persamaan karakteristik

푤 +(휀푑 − 훼푎푑 + 훼휀푐 + 훼 푎푐)푐

푑(푑 − 훼푐) 푤 −(푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐)푐

푑 = 0,

Hasil analisis menunjukkan bahwa dengan menggunakan aturan tanda Descartes

persamaan polinomial 푤 diatas akan menghasilkan satu akar real positif. Selanjutnya dapat

diperoleh nilai 휏 > 0 yang dapat mempengaruhi kestabilan dari titik kesetimbangan tersebut.

Simulasi dilakukan menggunakan nilai parameter yang diberikan oleh Xio dkk (2011),

yaitu 푎 = 1.2,푏 = 0.1, 푐 = 0.2,푑 = 0.4, 휀 = 0.6 dan 훼 = 0.1. Gambar 1,2,3,4,dan 5

memperlihatkan pengaruh waktu tunda terhadap kestabilan titik keseimbangan 퐸 dari kondisi

stabil menjadi tidak stabil.

PEMBAHASAN

Penelitian menunjukkan bahwa kestabilan dari model ditentukan dari beberapa syarat

kondisi. Sementara pemberian waktu tunda karena mempertimbangkan adanya waktu yang

diperlukan populasi pemangsa dalam memangsa mangsanya membuat penambahan jumlah

populasi pemangsa akibat proses predasi mengalami penundaan waktu dapat memberikan

pengaruh terhadap kestabilan dari suatu titik keseimbangan.

Misal 푥 = 푥(푡) dan 푦 = 푦(푡) menyatakan jumlah populasi mangsa dan pemangsa

pada waktu t, model mangsa pemangsa Lotka Volterra klasik sebagai berikut

푥 = 푎푥 − 푏푥푦,

푦 = 푑푥푦 − 푐푦,(1)

dimana 푎 adalah laju kelahiran mangsa, 푏 laju kematian mangsa akibat predasi, 푑 laju

pertumbuhan pemangsa akibat predasi,푐 adalah laju kematian alami pemangsa.

Dengan menambahkan asumsi adanya kompetisi dalam populasi mangsa yang dapat

mempengaruhi laju perubahan jumlah populasi mangsa, maka model (1) menjadi

푥 = 푥(푎 − 휀푥 − 푏푦),

푦 = 푑푥푦 − 푐푦,(2)

kemudian pemberian fungsi respon tipe Holling II pada interaksi populasi, selanjutnya model

(2) menjadi

푥 = 푥 푎 − 휀푥 −푏푦

1 + 훼푥 ,

푦 = 푦 −푐 +푑푥

1 + 훼푥 .(3) Sekarang dengan mempertimbangkan waktu tunda maka model (3) , dapat ditulis

푥(푡) = 푥(푡) 푎 − 휀푥(푡) −푏푦(푡)

1 + 훼푥(푡) ,

푦(푡) = 푦(푡) −푐 +푑푥(푡 − 휏)

1 + 훼푥(푡 − 휏) .(4)

Dengan melinearisasi model (4) disekitar titik keseimbangan 퐸∗, misalkan

X(t) = 푥(푡)− 푥∗ danY(t) = 푦(푡)− 푦∗. Maka diperoleh model linarisasi

X(푡) = 푎 − 2휀푥∗ −푏푦∗

(1 + 훼푥∗) X(t) −푏푥∗

(1 + 훼푥∗) Y(t),

Y(푡) =푑푦∗

(1 + 훼푥∗) X(t− τ) + −푐 +푑푥∗

(1 + 훼푥∗) Y(t).(5)

Dari model yang telah dilenearisasi diperoleh persamaan karakteristik

Δ(휆, 휏) = 휆 + 푎1휆 + 퐞 푎2 + 푎3 = 0, (7)

dimana

푎1 = −푑푥∗

(1 + 훼푥∗) + 푐 − 푎 + 2휀푥∗ +푏푦∗

(1 + 훼푥∗) ,

푎2 =푏푑푥∗푦∗

(1 + 훼푥∗) ,

푎3 =푎푑푥∗

(1 + 훼푥∗)− 푎푐 −2휀푑푥∗

(1 + 훼푥∗) + 2휀푐푥∗ −푏푑푥∗푦∗

(1 + 훼푥∗)

+푏푐푦∗

(1 + 훼푥∗) .

Untuk 휏 = 0, maka persamaan karakteristik (7) menjadi 휆 + 푎1휆 + (푎2 + 푎3) = 0,

Menurut Routh-Hurwitz nilai eigen dari persamaan karakteristik akan bernilai real dan

negatif atau kompleks dengan bagian real negatif jika dan hanya jika

푎1 > 0 dan (푎2 + 푎3) > 0. (8)

Selanjutnya untuk 휏 ≠ 0, misalkan 휆 = 푖푤, 푤 > 0 adalah akar-akar persamaan

karakteristik persamaan (7) , maka diperoleh

−푤 + 푎1푖푤 + 푎3 + 푎2푐표푠(푤휏)− 푎2푖푠푖푛(푤휏) = 0,

memisahkan bagian real dengan bagian imajiner, maka diperoleh

−푤 + 푎3 + 푎2푐표푠(푤휏) = 0, 푎1푤 − 푎2푠푖푛(푤휏) = 0,

atau

−푤 + 푎3 = −푎2푐표푠(푤휏),

푎1푤 = 푎2푠푖푛(푤휏).(9)

Dengan mengkuadratkan masing-masing ruas, sehingga persamaan (9) menjadi

푤 − 2푤 푎3 + 푎3 = 푎2 푐표푠 (푤휏),

푎1 푤 = 푎2 푠푖푛 (푤휏),

serta menggabungkan persamaan tersebut, maka diperoleh polinomial derajat empat

푤 + (푎1 − 2푎3)푤 + (푎3 − 푎2 ) = 0,(10)

sehingga diperoleh,

푤± =12 {−(푎1 − 2푎3) ± (푎1 − 2푎3) − 4(푎3 − 푎2 )}.(11)

Teorema 1 (Kar,2003).

Syarat kondisi perlu dan cukup untuk titik keseimbangan (푥∗,푦∗) menjadi stabil asimptotik

untuk semua 휏 ≥ 0 adalah sebagai berikut.

(1) Bagian real untuk setiap akar-akar dari Δ(휆, 0) = 0adalah negatif.

(2) Untuk setiap real 푤 dan 휏 ≥ 0 , Δ(푖푤, 휏) ≠ 0 , dimana 푖 = √−1.

Teorema 2 (Kar,2003).

Jika kondisi (8) dan teorema 1 terpenuhi lalu persamaan (10) tidak mempunyai akar real

positif, maka titik keseimbangan (푥∗,푦∗) adalah stabil asimptotik untuk 휏 ≥ 0.

Untuk mengetahui kemungkinan adanya akar real positif dari (10), digunakan aturan

tanda Descartes yang dinyatakan sebagai berikut:

Misalkan 푝(푚) = 푎 푚 + 푎 푚 + 푎 푚 + ⋯+ 푎 푚 merupakan polinomial derajat n

dengan koefisien real 푎 , dan 푏 adalah bilangan bulat yang memenuhi

0 ≤ 푏 < 푏 < ⋯ < 푏 . Maka banyaknya akar real positif dari 푝(푚) sama dengan

banyaknya variasi tanda dari koefisien polinomialnya 푎 , 푎 , … ,푎 ( Wang, 2004 ).

Selanjutnya dengan mensubstitusi persamaan 푤± ke persamaan (9), maka diperoleh

nilai 휏

휏 =1푤±

arctan푎1푤±

푤± − 푎3+

2푘휋푤±

,푘 = 0,1,2, . … (12)

Dibawah ini akan dianalisis titik keseimbangan yang dapat stabil pada saat 휏 = 0 atau

memenuhi persamaan (8), dan akan dianalisis adakah nilai 휏 > 0 yang dapat mengubah

kestabilan dari titik keseimbangan tersebut.

Analisis Kestabilan Pada Titik Keseimbangan 푬ퟏ 풂휺

,ퟎ

Untuk 휏 = 0, dari persamaan karakteristik (7) dengan mensubstitusi titik

keseimbangan 퐸 , maka diperoleh persamaan karakteristik

휆 + 푎 − 휆 + −푎 = 0, dimana Menurut kriteria Routh-

Hurwitz bagian real dari nilai eigen akan bernilai negatif dan disimpulkan stabil jika dan

hanya jika 푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐 < 0.

Selanjutnya untuk 휏 ≠ 0, misalkan 휆 = 푖푤, 푤 > 0 adalah akar-akar persamaan

karakteristik persamaan (7) , dengan menggunakan persamaan (10) , maka diperoleh

푤 + (푎1 − 2푎3)푤 + (푎3 − 푎2 ) = 0,

dimana

(푎1 − 2푎3) = 푎 −푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐

휀 + 훼푎 − 2 −푎푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐

휀 + 훼푎

=(푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐) + 푎 휀 + 훼 푎 + 2훼푎 휀

(휀 + 훼푎) > 0,

(푎3 − 푎2 ) = −푎푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐

휀 + 훼푎 − 0 = −푎푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐

휀 + 훼푎 > 0,

karena (푎1 − 2푎3) > 0 dan (푎3 − 푎2 ) > 0.(13)

Menurut aturan tanda Descartes, persamaan (10) akan memiliki paling tidak satu akar

real positif jika variasi perubahan tanda koefisien polinomnya lebih dari satu atau sama

dengan satu. Dalam hal ini akan ditinjau bahwa (푎1 − 2푎3) dan (푎3 − 푎2 ) memiliki

tanda yang berbeda. Karena dari persamaan (13) diperoleh (푎1 − 2푎3) > 0 dan

(푎3 − 푎2 ) > 0menyebabkan persamaan polinomial (10) tidak memiliki variasi perubahan

tanda koefisien, sehingga persamaan (10) tidak memiliki akar real positif. Dengan demikian

tidak diperoleh nilai 휏 > 0 yang dapat mengubah kestabilan titik keseimbangan 퐸 atau

dengan kata lain titik keseimbangan 퐸 stabil untuk ≥ 0 .

Analisis Kestabilan Pada Titik Keseimbangan 푬ퟐ 풄

풅 휶풄, (풂풅 휺풄 휶풂풄)풅

풃(풅 휶풄)ퟐ

Titik keseimbangan 퐸 akan berada pada kuadran pertama, jika 푑 − 훼푐 > 0 dan

(푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐) > 0. Untuk 휏 = 0, dari persamaan karakteristik (7) dengan mensubstitusi

titik keseimbangan 퐸 , maka diperoleh persamaan karakteristik

휆 + ( )( )

휆 + ( ) = 0, dimana bagian real dari nilai eigen akan

bernilai negatif dan disimpulkan stabil jika dan hanya jika 휀푑 − 훼푎푑 + 훼휀푐 + 훼 푎푐 > 0.

Selanjutnya untuk 휏 ≠ 0, misalkan 휆 = 푖푤, 푤 > 0 adalah akar-akar persamaan

karakteristik persamaan (7) , dengan menggunakan persamaan (10) , maka diperoleh

푤 + (푎1 − 2푎3)푤 + (푎3 − 푎2 ) = 0,

dimana

(푎1 − 2푎3) =(휀푑 − 훼푎푑 + 훼휀푐 + 훼 푎푐)푐

푑(푑 − 훼푐) > 0,

(푎3 − 푎2 ) = −(푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐)푐

푑 < 0. karena

(푎1 − 2푎3) > 0 dan (푎3 − 푎2 ) < 0.(14)

Menurut aturan tanda Descartes, persamaan (10) akan memiliki paling tidak satu akar

real positif jika variasi perubahan tanda koefisien polinomnya lebih dari satu. Dalam hal ini

akan ditinjau bahwa (푎1 − 2푎3) dan (푎3 − 푎2 ) memiliki tanda yang berbeda. Karena dari

(14) diperoleh (푎1 − 2푎3) > 0 dan (푎3 − 푎2 ) < 0 sehingga persamaan karakteristik 푤

diatas memiliki 푤 satu akar real positif atau solusi unik positif. Sehingga dengan

mensubstitusi 푤 ke persamaan (12) untuk mendapatkan 휏, maka diperoleh

휏 =1푤 푎푟푐푡푎푛

푎1푤푤 − 푎3

+2푛휋푤 , 푛 = 0,1,2,3, …

selanjutnya mendifferensialkan persamaan (7) terhadap 휏, diiperoleh

2휆 + 푎1 − 휏푎2푒 푑휆푑휏 = 휆푎2푒 ,(15)

sehingga

푑휆푑휏 =

2휆 + 푎1휆푎2푒 −

휏휆,

dari persamaan (7), diketahui 푒 = − ,maka diperoleh

푑휆푑휏 =

2휆 + 푎1−휆(휆 + 푎1휆 + 푎3) −

휏휆 ,(16)

sehingga,

푠푖푔푛푑(푅푒휆)푑휏 = 푠푖푔푛 푅푒

푑휆푑휏

= 푠푖푔푛푎1 + 2푤 − 2푎3

푎1 푤 + (푤 − 2푎3푤 + 푎3 )) ,

dari persamaan (10), telah diketahui bahwa

푤 − 2푎3푤 + 푎3 = −푎1 푤 + 푎2

maka diperoleh

푠푖푔푛푑(푅푒휆)푑휏 = 푠푖푔푛

2푤 + 푎1 − 2푎3푎2 .(17)

Teorema 3 (Kar,2003).

Jika persamaan (8) dan (14) terpenuhi, maka titik ekuilibrium (푥∗,푦∗) adalah stabil

asimptotik untuk 휏 < 휏 dan tidak stabil untuk 휏 > 휏 , dan di titik (푥∗,푦∗) akan terjadi

bifurkasi ( solusi periodik amplitudo kecil ), pada saat 휏 = 휏 dimana 푛 = 0.

Bukti :

Untuk 휏 = 0, (푥∗,푦∗) adalah stabil asimptotik jika kondisi (4.6) terpenuhi. Karena

(푥∗,푦∗) akan stabil untuk 휏 < 휏 . Maka akan ditunjukkan bahwa

푑(푅푒휆)푑휏 ,

> 0,(18)

Ini akan menunjukkan bahwa terdapat setidaknya satu nilai eigen dengan bagian real

positif untuk 휏 > 휏 . Dari persamaan (17) dan (11) dapat dituliskan

푠푖푔푛푑(푅푒휆)푑휏 = 푠푖푔푛

2푤 + 푎1 − 2푎3푎2

= 푠푖푔푛(푎1 − 2푎3) − 4(푎3 − 푎2 )

푎2 ,

sehingga 푑(푅푒휆)푑휏 ,

> 0.

Oleh karena itu, kondisi transversability terpenuhi dan karenanya terjadi bifurkasi di

휏 = 휏 ,푤 = 푤 .

Simulasi Numerik

Simulasi dilakukan menggunakan nilai parameter yang diberikan oleh Xio dkk (2011),

yaitu 푎 = 1.2,푏 = 0.1, 푐 = 0.2,푑 = 0.4, 휀 = 0.6 dan 훼 = 0.1 serta dengan menggunakan

syarat awal, yaitu

푥(0) = 0.55 dan 푦(0) = 10

Pada saat 휏 = 0 diperoleh bahwa sistem akan stabil asimptotik pada titik

keseimbangan 퐸 = (0.5263157894, 9.307479224), dengan 푤 = 0.3675898607dan

휏 = 1.731007353. Dimana titik 퐸 akan stabil asimptotik di 휏 < 휏 dan tidak stabil pada

saat 휏 > 휏 , dan mengalami solusi periodik bifurkasi di 휏 = 휏 .

Hasil simulasi pada gambar 1 memperlihatkan bahwa pada saat 휏 < 휏 , yaitu

휏 = 1.65, maka populasi akan stabil dan menuju ke titik

keseimbangan퐸 = (0.5263157894, 9.307479224), kemudian gambar 2, 3, dan 4

memperlihatkan bahwa pada saat 휏 = 휏 , yaitu 휏 = 휏 = 1.731007353, maka terjadi

bifurkasi solusi periodik disekitar titik keseimbangan퐸 = (0.5263157894, 9.307479224).

Sedangkan pada gambar 5 terlihat bahwa pada saat 휏 > 휏 , yaitu 휏 = 1.8, maka populasi

tidak stabil dan menjahui titik keseimbangan 퐸 = (0.5263157894, 9.307479224).

KESIMPULAN

Dari model mangsa pemangsa dengan fungsi respon tipe Holling II diperoleh tiga titik

keseimbangan, yaitu 퐸 = (0,0), 퐸 = ( , 0) dan 퐸 = , ( )( )

. Dari hasil

analisis diperoleh dua titik keseimbangan yang dapat stabil pada kondisi syarat tertentu,

yaitu titik keseimbangan 퐸 = ( , 0) stabil jika 푎푑 − 휀푐 − 훼푎푐 < 0 dan titik keseimbangan

퐸 = , ( )( )

stabil jika 휀푑 − 훼푎푑 + 훼휀푐 + 훼 푎푐 > 0. Sedangkan dengan

pemberian waktu tunda diperoleh nilai 휏 > 0 yang dapat mengubah kestabilan dari titik

keseimbangan 퐸 , ( )( )

dari stabil menjadi tidak stabil. Diharapkan pada

penelitian berikutnya model yang ditinjau lebih dikembangkan dengan menambah berbagai

macam pertimbangan asumsi agar mendekati fenomena realistis kehidupan, serta model yang

melibatkan fungsi respon, yang saat ini berkembang dengan model tipe Holling III dan IV.

DAFTAR PUSTAKA

Beretta, E., dan Kuang, Y. 1996. Convergence Results in a Well-Known Delayed Predator-Prey System. J. Math. Anal. 204: 840-853.

Kar,T.K. 2003. Selective Harvesting in a Prey Predator Fishery With Time Delay. Mathematical And Computer Modelling.38:449-458.

Liu, X., dan Chen, L. 2003. Complex Dynamics of Holling Type II Lotka-Volterra Predator-Prey System with Impulsive Perturbations on the Predator. Chaos, Solutions and Fractals. 16: 311-320.

Olinick, M. 2006. Modeling the Predator-Prey Relationship. MAA Session on Environmental Mathematics.

Ruan, S. 2009. On Nonlinear Dynamics of Predator-Prey Models with Discrete Delay. Math. Model. Nat. Phenom. 4:140-188.

Ruan, S., dan Xiao, D. 2001. Global Analysis in a Predator-Prey System with Nonmonotonic Functional Response. SIAM J. Appl. Math. Vol. 61, No. 4, pp:1445–1472.

Teng,Y., Li, S., Shi, J., Li, D., dan Zhang, X. 2011. Bifurcation in a Predator-prey Model with Time Delay and Stocking Rate. Chinese Control and Decision Conference.

Tian, X., dan Xu, R. 2011. Global Dynamics Of A Predator Prey System with Holling Type II Functional Response. Modelling and Control. 16 : 242–253.

Wang, X. 2004. A Simple Proof of Descartes's Rule of Signs. JSTOR. 111: 525-526.

Zhang, X., Xu, R., dan Gan, Q. 2011.Periodic Solution in a Delayed Predator Prey Model with Holling Type III Functional Response and Harvesting Term. World Journal of Modelling and Simulation. 7: 70-80

LAMPIRAN

Gambar 1. Trayektori dari 풙(풕),풚(풕) dengan 풙(ퟎ) = ퟎ.ퟓퟓ, 풚(ퟎ) = ퟏퟎ, 풄 = ퟎ.ퟐ휶 = ퟎ.ퟏdan 흉 = ퟏ.ퟔퟓ

Gambar 2. Populasi mangsa terhadap waktu 풙(풕) dengan 풙(ퟎ) = ퟎ.ퟓퟓ, 풄 = ퟎ.ퟐ, 휶 = ퟎ.ퟏdan 흉 = ퟏ.ퟕퟑퟏퟎퟎퟕퟑퟓퟑ

Gambar 3. Populasi pemangsa terhadap waktu 풚(풕) dengan 풚(ퟎ) = ퟏퟎ, 풄 = ퟎ.ퟐ,휶 = ퟎ.ퟏ dan 흉 = ퟏ.ퟕퟑퟏퟎퟎퟕퟑퟓퟑ

Gambar 4. Trayektori dari 풙(풕),풚(풕) dengan 풙(ퟎ) = ퟎ.ퟓퟓ,풚(ퟎ) = ퟏퟎ, 풄 = ퟎ.ퟐ, 휶 = ퟎ.ퟏ dan 흉 = ퟏ.ퟕퟑퟏퟎퟎퟕퟑퟓퟑ

Gambar 5. Trayektori dari 풙(풕),풚(풕) dengan 풙(ퟎ) = ퟎ.ퟓퟓ, 풚(ퟎ) = ퟏퟎ, 풄 = ퟎ.ퟐ,휶 = ퟎ.ퟏ,dan 흉 = ퟏ.ퟖ