Kuliah 3: Keterbagian

Y. Hartono

FKIP Unsri

25 September 2011

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Definisi dan Notasi

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Definisi dan Notasi

Jika a, b Z, maka a dikatakan membagi b jika ada c Zsedemikian hingga b = ac .

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Definisi dan Notasi

Jika a, b Z, maka a dikatakan membagi b jika ada c Zsedemikian hingga b = ac .

Jika a membagi b, maka a disebut pembagi atau faktor dari b.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Definisi dan Notasi

Jika a, b Z, maka a dikatakan membagi b jika ada c Zsedemikian hingga b = ac .

Jika a membagi b, maka a disebut pembagi atau faktor dari b.

Kita menggunakan notasi a | b bila a membagi b, dan a 6 | bbila a tidak membagi b.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Contoh

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Contoh

12 | 48, 5 | 80, 6 6 | 44, dan 17 | 0.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Contoh

12 | 48, 5 | 80, 6 6 | 44, dan 17 | 0.

Pembagi 6 adalah 1, 2, 3, dan 6, sedangkan faktor dari17 adalah 1 dan 17.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Sifat-sifat Keterbagian

Theorem (sifat transitif)

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a | b dan b | c, makaa | c.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Sifat-sifat Keterbagian

Theorem (sifat transitif)

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a | b dan b | c, makaa | c.

Bukti. Karena a | b dan b | c , ada bilangan bulat k dan sedemikian hingga ak = b dan b = c . Jadi,c = b = (ak) = a(k) yang berarti a | c .

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Sifat lain . . .

Theorem (sifat linieritas)

Untuk a, b, c ,m, n Z, jika a | b dan a | c, maka a |mb + nc.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Sifat lain . . .

Theorem (sifat linieritas)

Untuk a, b, c ,m, n Z, jika a | b dan a | c, maka a |mb + nc.

Bukti. Karena a | b dan a | c , ada bilangan bulat k dan sedemikian hingga ak = b dan a = c . Karena itu,mb + nc = mak + na = a(mk + n). Jadi, a |mb + nc .

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Algoritma Pembagian

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Algoritma Pembagian

Theorem (algoritma pembagian)

Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan b > 0, maka adabilangan bulat q dan r yang unik sedemikian hingga a = bq + rdengan 0 r < b.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Algoritma Pembagian

Theorem (algoritma pembagian)

Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan b > 0, maka adabilangan bulat q dan r yang unik sedemikian hingga a = bq + rdengan 0 r < b.

Perhatikan bahwa b | a jika r = 0.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Bukti Algoritma Pembagian

Misalkan S = {a bk | k Z sehingga a > bk}. Dengandemikian, S adalah himpunan bilangan bulat positif dan takkosong karena a (|a|)b = a + |a|b a + |a| 0. Sifatketerurutan bilangan bulat positif mengatakan bahwa S pastimemiliki elemen terkecil, sebut saja r , sehingga ada q sedemikianhingga r = a bq 0. Jadi, a = bq + r dan r < b sebab kalautidak, r > r b = a bq b = a b(q + 1) 0, yangbertentangan dengan anggapan bahwa r adalah elemen terkecil.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian

Bukti Algoritma Pembagian (lanjutan)

Selanjutnya untuk melihat bahwa q dan r adalah unik, misalkana = bq1 + r1 dan a = bq2 + r2 dengan 0 r1, r2 < b, sehingga

0 = a a = (bq2 + r2) (bq1 + r1) = b(q2 q1) + (r2 r1).

Ini berarti b | (r2 r1). Tetapi, |r2 r1| < b karena 0 r1, r2 < bdan akibatnya

b < r1 < r1 + r2 < r2 < b.

Satu-satunya kemungkinan adalah r2 r1 = 0 atau r1 = r2, dan,karenanya, q1 = q2.

Y. Hartono FKIP Unsri

Kuliah 3: Keterbagian