17

>KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

� ��������� � � � ����� � ��� ������������ �

� ���������� ��� �

!#"%$'&)(+*�,-$-,/.10 "%2435(+67.�,8(9$;:<,'=�>?6@>?A#.7,8(+$CBED#F�(G.�,'"�A�H*I0 J >KH7L�$8>?H7HNMO>K6@A�>K$CJ >P.7L�"RQ�H

SUTWVXTZY�[]\_^`\badcI[fe�gihkj#l1mon�^peb^`mkq

3 6�>Kr�6@,-AI.Nst6Puwv+xyxXzK{7|~}

�����'�p�������������8�����~�p�8����p������������������p���������'������� �p�)�p�p�¢¡P�p£¤�/¥§¦o�p�����9¨©¦o���p�8��¦o����ª

«�¬­��®8�'�����'¯±°³²´� °-µ¶4�¸·�¹oº¤µ¤·%»��¬o�������p£¤�'�

Page 2: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

����������� ������� ����������������������! "�# "$��%� ���'&)(+*��,���-��$/.0� 1 2.�34�5 2.6.879 "�:$; "�<1 =��3;�+>/.

?<@BAC@�D4EGF%H�IJF�K�L�EJM=NPORQ�SUTWV%I�MXI�TZY\[]G^�_a`)b�c\deb�fGf:g

h�iJj-k�l�monRkp%qortsXuwvxuzy-{X|w{�s~}Xuo{����Wrt��y5sXv���������������{�vR��y-�\�R{������R{=uPvx{�}�rtvR���wr���y-{�y5��}�rtvR��y5���wvx}�r�����uo{��R���

�ty5��sXrt�0�z�R}�q0s~}~{����o��vR�o�0�Uy5vx�����R{�������{�y-�X{�r�}�rt����}�qoy5� vRs=�Ry5��y-{�vR�trt¡-y5�¢rt��}~y-{�uz���tvx}�r�����uo{��R����ty5��s-£"p%qoy5��r�}er¤s2uo{����Ry5�+}�qwvx}¥vR���¢�Uy5�t��¦�u���s�y5���¤rt��y5vx{2uo{��R�w�ty5� rt�+s~}~{��������R{§�Uy5vx�����R{��¨�-vR��zy¥s~���t�Ry5��������y-{�}�vRrt�¢��y5s�qo�ty5s�s©�Ry-{���y5�ª��y-}�q��Z�ws©}~�vR����uo{�y5s���{�r��zy5��vR�-�-��{�vR���R£«e¬�­�­ ���W®~y5��}=¯©�tvRs�s�r�|P�-vx}�r����ª°#±R² «2³ ²Z´¶µR²x·e±R²¸ y-���\�R{��os-° ­ ������vx�Prt�tr�}¹�R´ ¸ y-{���y5�º´ ¬ y5s�qo��y5s�s5´o»Jvx{�}�rtvR��¼2r��zy-{�y5��}�rtvR�¶½6�Z�ovx}�r����os

p%q�y6�BvRr�{��t�=�Ry5��y-{�vR��s~}�vx}~y5��y5��}G��vR��y\rt�§}�q�y\vx�ws~}~{�vR��}G��y-y5�os�s~����y©s~uzy5�-r�|P�-vx}�r����¶£�¾�y\vRs�s��o��yv�uo{��R�w��y5��}~���y§uz��s~y5��}�qovx}Xrts%s������Ry5���Z��v����o�w��}�r�����¿�r¤��s~����y"Àert���zy-{�}�s~uwvR��y�Á'�Xr�}�q0rt�o��y-{uw{��Z�w�o��}¢ÂÄÃ�Å-ÃÇÆ~È\£É·=�R}~y+}�qovx}�}�qwrtsrts�s�vx}�rtsÊ|Py5�Ë���R{�vR�t�Xuo{��R�w�ty5��s�}�qovx}��-vR�Ì�zy¢�Í�R{��Î�o�tvx}~y5�!rt�­ �R�����ty-��s~uPvR��y5s-´o���R{=rt�os�}�vR�o��yR´o�w��}��\y"vR�ts��vR�t��� �Éuo{��R�w�ty5��s©�Xr�}�q�s~}~{������s~���t�o}�r����os%rt��Àert���zy-{�}s����ws~uwvR��y5s©�R�J�or��zy-{�y5��}�rtvx�w��ye�R{XÀ,Ï���t��y-{%������}�rt���o���os©���w�o��}�r����os-£#p%qoyey5�ty5��y5��}�s©�R�UÁ�vx{�ye�Wr�y-�\y5�vRsX�Ð�o�t}�r���vx{�rtvx}~y=�B�o�o��}�rt���os-´WvR�o��}�q�y§y5��y5��y5��}�sXÑ0Ò�Á2Ó=vx{�y¥������}�rt�Z�����os��trt�oy5vx{\�B�o�o��}�rt���ovR�tsU}�qovx}�\y%�os~y©}~�¥��y5s���{�r��zy\�wvx}�v"Ñ�Â�¿¶Æ��R�w¿�´�yR£Ô��£#y-��vR�t�wvx}�r����osJ¿�ÕÖØ×ÚÙ�Â�¿¶Æ\°ÇÛÜ¿GÂ�ÝzÆ��R{:¿�ÕÖ�º×ÚÙ¶ÞPßÆ�Â�¿¶Æ:Ûºß�¿zÆ�Â�ÝzÆ�£p%q�yXuw{��R�w��y5��s6s�q����o�t����yX�Í�R{��Î�o�tvx}~y5�����{�y5���ort{�rt���2}�qovx}©v�ÂB�os��ovR�t���,�o�o�����o��}�vx�w��y Æ:s~y-}Uà��R�

�B�o�o��}�rt���ovR�ts-´��=q�y5�vxuouP�tr�y5�,}~�"}�qoy=s~���t�o}�r�����¿�´Wvx}~}�vRrt�os\��y-{�}�vRrt�uo{�y5s���{�r��zy5�,��vR�t�oy5s-£#p%qorts:��y5vR�os}�qwvx}%¿¢s~���t�Ry5s

Ñ�Â�¿¶Æ6Ûâá©ÂãÑ�Æ©���R{XvR�t��Ñ0Ò0à ÂÊä�Æ�=q�y-{�yÐáå°�àÌÖçæÇèér¤s%v���r��Ry5�¢�B�o�o��}�r����¶£\¾�yÐ�o�����R}X�-vx{�yÎvx�z����}XvRs�s��o��uo}�rt���os����¢áU´��w��}%�\yvRs�s��o��y§}�qovx}�}�qoy§���o�w��}�r����ovR�tsXÑ�Ò0àÜvx{�y¥������}�r¤�������ws����+Áдorã£ÔyR£#}�q�y-���Î�os~}��zy§rt��}�q�y¥�w�ovR�JÁ Ó�R�UÁУ6¾�y"�-vR�t�¶}�q�y5�ëêaìÚíÚêPîÚïZð�ñ5êBòºóxðPôxõÇí�´o�zy5�-vR�os�y¥}�q�y-����y�|P��y§}�q�y§}~y5s�}X��{�r�}~y-{�r¤v,�Í�R{Xv,�B�o�o��}�rt����¿}~���zy2v,s~���t��}�r������R������{©uo{��R�w��y5��£JöÄ}�rts©s�q�� �X��rt�}�qoy2�oy�÷Z}�s~y5��}�r�����}�qwvx}�uw��y5��}a��R�Js~}~{��������t���R{�\y5vx�W���¢���R{��Î�o�tvx}~y5�+�trt�oy5vx{euw{��R�w��y5��se�R� « uouP�tr�y5� « �ovR�t�Zs�r¤seqwv5�Ry�}�qor¤s=���R{���´¶�zy5�-vR�os�y�}�q�y,}~y5s~}�B�o�o��}�rt���ovR�tsÐÑ4�-vR�¶´G���R{Ðrt�os�}�vR�o��yR´J�oy5s���{�r��zy�uz��rt��}§y-��vR�t�wvx}�r����os¥�R�©¿�´Grt}�s"��y-{�rt��vx}�r��Ry5s5´��R{,s~����y�wr���y-{�y5��}�rtvR�z�R{=rt��}~y-�R{�vR�ª�Ruzy-{�vx}~�R{XvxuouP�tr�y5��}~��¿�£:¾�y"s�qovR�¤�¶�-vR�t�ªv�uo{��R�w��y5�øÂÊä�Ƨô�ùRúÎòÍí�íÚòºû-õ�ì-´Pr��Jr�}r¤s�uz��s~y5���Xr�}�q0àâÒ/Á2Ó Å©áü°,àÌÖüæýèþvR�o�0s~���t��vx�w�ty§����s~����y"���o�w��}�r�����¿+Ò/ÁΣ « �0vR�o��r¤s�s�r��w�tyuw{��R�w��y5�ÿ�Xrt�¤��qov��Ryv�ïWðoò��5ïwì2s~���t��}�rt����r¤�;Áδ�r��:�\y��W�����é}�qwvx}§}�q�y��-����s~y5���tr¤��y5vx{§s����ws~uPvR��yÎ�R�qo�����R�Ry5��y-���os�s~���¤��}�r����os©�����os�r¤s~}�s\�R��}�q�ye¡-y-{����B�o�o��}�r��������o���R´W�w��}\�\y2�oy-y5�����R}\vRs�s��o��y§�o�or¤����ys�������vx�Prt�tr�}¹�vx}X}�qor¤s©u���r¤��}-£

���������� ����������� �������������� �����"!$#%!��� &�#'�(!$#' )� ��#'*�*�+,��-�!�!��' ������.�/+.#10' 2#%�3�(45 ���687����9+/:<;>=? �%@9���A�"B"�DC�EGF'F$H�I'J�I�KL2M ������#' �2�.���ON"����0�P����0Q��!��'�$���' ���.�/+,RTSVUW#'�$�XN"����0�P����0Y7����9+.:Z����[��� 2�)���9+

\

Page 3: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

� ��������� � ��� � ��� � ������������ ����! #"�$&%('*),+-$/.� 102)3 /�4�65302 /)3)879$/.;:=<?>A@CBEDGFIH�+-$/.J"#KL)M CNA'*%POL.4$/Q,)8'*"SRT0U$GV,�653%('2.WN6X('�YZ$G53�4�A$GVPO,.6$/Q,)8'*"

[9\ ] ^_$GV`\ ] ab$GV_cd`fe gihGj /�6kl53VLmS+-$/.� S+nK,VL0UN658$GVo\p$GVq r%($G"P /53Vq`tsvuxwzy9{|XL530JX}53�zN~{|530U'P0U$GVEN653VlK($GKL�6)87�%L5���'2.6'*VEN653 CQ,)8'$GV�`� /V,%�0U$GVTN65MVEK($GK,�P$GV `f���|'2.6'/R�N6XL'�A'2Nb��$/+fNA'*�AN�+?KLVL0UN658$GVL /)M��0U$GVL�653�6N6��$/+fN�{!$pOd C.6N6�2RV, /"�'*)87N6XL'�+nKLV,0UN658$GVL /)3�z�=�f��[�+n$/.1 /)3)�����`� /VL%}�=��+n$/.1 /)3)Z�}��cd`z�9�|X('9�� /)3KL'*�1� g \ j C.6'O,.6'*�60U.458Q�'*%��&53 +nK,VL0UN658$GVo�C /)3K('*�z$/+�^�53Vq`v /VL%�a_$GVqN6X('�Q�$GKLVL%, C.67_c�`fR�.6'*�6O�'*0UN653�/'*)87/�b�;$/NA'N6X, CN�$GV('�0U$GKL)3%�N6 Ck/'�$/N6X('2.W)M53V('* C.�O, C.4N653 /)L%L5���'2.6'*VEN653 /)($/O�'2.4 CNA$/.4�W /VL%�$/N6XL'2.�N�7lO�'*��$/+�Q�$GKLVL%, C.670U$GV,%L58N658$GVL�*Rd%('U dV,53V(m�¡lKL58NA'#VL$GVL�AN6 /VL%L C.J%"�5�¢&'*%l£TN~7EO�'1O,.6$/Q,)8'*"��*����VE7�;5M)8Q�'2.6N��AO, /0U'b¤�{|58N6X\��¥¤¦ /VL%o�§�¥¤z¨©{;53)3)Z%($(Rª�653VL0U'9{!'��6XL /)3)� /)8{� *7&�z /�6�6KL"�'�N6X, CNzN6X('2.6'�53�f �A$G)3K(N653$GV_\��¥¤NA$_$GK(.©OL.4$/Q,)8'*"SRª�A$N6XL CN�^¥«I]�[9\�$GVq`� /VL%}a}«I]¦\p$GV�cd`�02 /VqQ�'��l58'2{!'*%q /��¬T­?®�BL¯n<?¯i@CB(:=R /)M)8$°{|5MV(m�KL��V($/N�NA$P02 C.6'© CQ�$GK(N�O,.6$/O�'2.6N658'*�!$/+�^� /VL%Sa,���;$/NA'©N6XL CN�N6XL53�� /)M)8$°{|�� P)3 C.6m/'z�C C.458'2N�7$/+±�AOd /0U'*�2R,58+²N6X('1�A$G)3KLN658$GV�\�53���4K&³b0258'*VEN6)87P.4'2mGKL)3 C.*��´�653"�O,)3' %,53�60U.6'2N658µ* CN653$GV�$/+ gihGj OL.4$l0U'2'*%L�P�l5M }0U$G)3)8$&02 CN658$GV¶�¸·¹+;{!'N6 Ck/'� q0U$GKLVEN6 CQ,)8'_�A'2N$/+�%('*VL�A' O�$G53VEN6�bº*�l»C¼J»os�`� /VL%½º*�G¾G¼°¾ps�cd`� /V,%p$GV,)87qKL�A'S �NA$/N6 /)�$/+;¿�NA'*�6N�+nKLV,0UN658$GVL /)3�� » g \ j ]À� �4Á [�\� /VL%½Âª¾ g \ j ]À� �4à g \ j R�.6'*�6O�'*0UN653�/'*)87/R�NA$pO,.6$l%,KL0U' p+nKLV,0UN658$GV�\dÄ��4KL04X¥N6XL CN� g \ Ä j ]�� g \ j +n$/.�N6X,53�#�4K(Q,�A'2N#$/+|¿¥NA'*�6N�+?KLVL0UN653$GVL /)3�2RZ{W'SXL °�/'S �02 /V,%L53%L CNA'b+-$/.� ��A'*¡lK('*VL0U'º*\ Ä ¼ ÄEÅ�Æ Ç s�¤½N6XL CN�X($/O�'2+?KL)3)87©0U$GVE�/'2.6m/'*�WNA$1 z�A$G)3K(N653$GV�È\�o¤¸58+L¿SNA'*VL%L��NA$#53V& dVL53N�7/��·¹N±{|53)M)EQ�'N6XL'�O,K(.6O�$G�A'�$/+�N6X('�+n$G)3)8$É{|53V(mz�A'*0UN658$GV,�±NA$#�6XL$°{�N6XL CN�N6XL53��{!$/.6kl�W58+,{!'|KL�6'�.6'2OL.6$&%LKL0253VLm�k/'2.JV('*)3�$/+�0U'2.6N6 /53VS��53)8Q�'2.6N��AO, /0U'*��NA$Pm/'*V('2.4 CNA'©N6X('z0U$G)3)3$l02 CN658$GVr+nKLV,0UN658$GVL�2�±�;$/NA'zN6XL CN�0U$G)3)8$&02 CN658$GV�Ê6KL�AN.4'2O,)3 /0U'*� gÌË°j QE7 9 dVL53NA'�O,.6$/Q,)8'*"�$/+ZN6X('1�6 /"�'©+-$/.J"S�·¹VPN6X(';"�$&%('*)L�458N6KL CN658$GV�$/+ª�6$G)8�l5MV(m© 1YZ$G53�6�6$GV�OL.6$/Qd)8'*" gihGj�Í ­4Î�ÏÉFxHCR&{W'�"�$°�/';N6X('|Q�$GKLVL%, C.67%, CN6 �OL.6'*�60U.J58Q�'*%bQl7ba�53VENA$P 9+?KLVL0UN658$GV \�Ðf��ÑvÒÓ g ` j /VL%S0U$GVL�65M%('2.�N6X('z�C C.453 CN658$GV, /)�'*¡EKL CN653$GV

g \²eAÔ j ÒAÕ Ö «I]Ø× Ö giÙ�Ú \ jUg � jUgiÙ Ô jUg � j¹Û � ] g ^�eAÔ j¹Ü&Ý=Þ Ö,ß +-$/.; /)3)�Ôb��à Ð s�Ñ ÒÓ g ` j\bá}\ Ð � à Ð giâGj{;X('2.6'�\��6X($GKL)3%qQ�'b53V�ãl$/Q�$G)8'2�}�AO, /0U'ÑvÒÓ g ` j �o��X(' �AO, /0U'ràLÐ�0U$GVEN6 /53VL� <�­=:U<�äJå&Bdæ°<?¯?@CBL:# /VL%K,�6KL /)3)87�53�±N6X('��6K(Q,�6O, /0U'�$/+�Ñ ÒÓ g ` j 0U$GVL�653�6N653V(m©$/+�N6X('�Ñ ÒÓ £E02)8$G�6KL.6'|$/+�ç©è§+?KLVL0UN653$GVL�±{|58N6XP0U$G"9éOd /0UN;�6K(O,O�$/.4N�53VL�653%L'zN6X('#%($G"P /53V`f��·ÌV0U$G"�Od C.453�A$GVNA$PN6X('#OL.6'2�&58$GKL��02 /�A'/R�N6X('#0U.4KL0253 /)�O�$G5MVTNXL'2.6'©53��N6XL CN�N6XL'©�AO, /0U'�Ñ ÒÓ g ` j %($l'*��V($/N| /)M)8$°{ê0U$GVEN653VlK($GKL��O�$G53VEN�'2�� /)3K, CN658$GVL��+n$/.|%L53"�'*VL�658$GVL�ÛbëØË �!�;VL%ªRL%LK('zNA$P)8$É{ê.6'2mGKL)M C.458N�7�$/+Za� /VL%¥ìA53VL0U$G"�53VLm90U$/.JV('2.4�6í�$/+�N6X('©%L$G"� /53V¶R(N6X('# /0UN6KL /)�6$G)3K(N658$GV \�%($E'*�|53V m/'*V('2.4 /)²V($/N�)358'©53VS ��6O, /0U'©{|58N6X +?KLVL0UN653$GVL��$/+±XL58mGX('2.�.6'2mGK,)3 C.458N~7/�·¹VbOL.453V,0258O,)8'/RG58N!"� Ck/'*�� CQ�$G)3K(NA'*)87�V($��A'*VL�A'�NA$9KL�A';VlKL"�'2.J5302 /),�A$G)MK(N658$GVL��$/+ªN6X('f CQ�$É�/'fOL.6$/Q(é)3'*"îN6XL CN© C.6'P53V�N6X('��6O, /0U'bÑvÒÓ g ` j /VL%oXL *�/'bV($rXL58mGX('2.f.6'2mGK,)3 C.458N~7/����XL$G�A'�+nK,VL0UN658$GVL��{!$GKL)3%X, *�/'rKLVL%L'U dV('*%p+nKLV,0UN658$GVq�C /)3K('*�*R� /VL%�$GV('r0U$GKL)3%p$GVL)87}'2�C /)3KL CNA'r)3$l02 /)�"�'* /VL�*R�+-$/.�53V,�AN6 /VL0U'/��|X(';�AN6 /V,%L C.4%�NA'*0JXLVL53¡lK(';+-$/.��A$G)8�&53V(m©{!'* Ck�OL.4$/Q,)8'*"��2REN6X(';"�'2N6X($l%b$/+¶ dV,58NA'�'*)8'*"�'*VEN6�2R&KL�6KL /)M)87{!$/.6k&�±{|58N6X�0U$GVEN653VlK($GKL�±Od58'*0U'2{|53�A'�)M53V('* C.±+?KLVL0UN658$GVL�*R/{|XL530JX� /)3�A$©XL °�/'; ©XL53mGX('2.±.6'2mGKL)3 C.J58N�7#N6XL /VN6XL'�+nK,VL0UN658$GVL�±53VPÑvÒÓ g ` j �±��X('2.4'2+-$/.6'|{W'�+n'2'*)(+n.6'2'�NA$©.4'*0U$GVL�ANA.4KL0UN�+nKLV,0UN658$GVL��\�$/+�)8$É{¥.6'2mGK,)3 C.458N~7�6$G)8�l5MV(m9{W'* Ck OL.6$/Qd)8'*"���Ql7�VlKL"�'2.45M02 /)¶ COLOL.6$°¢&53"P CN658$GVL��$/+±XL58mGX('2.�.4'2mGKL)3 C.458N~7/���$�Q,.453V(m giâGj 53VS)M53V('f{|58N6X gÌË°j Rd{W'z d.4�AN�.6'2{�.453NA' giâGj 53VSN6X('©"�$l%L58 ,'*%�+-$/.4"

gnï eAÔ j ÒAÕ Ö ] g ^�eAÔ j ÜlÝJÞ Ö,ß á g \ Ð eAÔ j ÒAÕ Ö +n$/.| /)3)ªÔP��à Ð s�Ñ ÒÓ g ` jï � à Ð gnðEj+n$/. ï «I]ñ\ áp\�Ð���à,ÐC�©��XL53��53�f �m/'*V('2.4 /)353µ2'*%o53VTNA'2.4O�$G)M CN658$GVO,.6$/Q,)8'*"ò$/+�N6X('9+n$/.4" gÌË°j R�58+�{!'%L'U dV('� �<�­=:=<TäJå&Bdæ°<?¯?@/BdÎCFG�(ó gnïzj «I] gnï eAÔ j ÒAÕ Ö +n$/.±'* /04X<�­=:=<TäJå&Bdæ°<?¯?@/B©Ô1 /VL%9.6'*¡lKL58.4' ï �o¤ô«I]ôà Ð

õ

Page 4: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

������������� ��������� ���������������� �"!$#&%('*),+-��.�/��� 0�21�3 ' �54768�9� �:�8; �<=�>?> �@BA*/:C

D ���E���*���F�HG �G I���J=�LKM�HNOG�PI��<0QE�SR7TU�NOG��V7W��>?NX�YR����ZP[�HG�PI>OW�����������\ �"]X�I]^�21�3 ' NOJ_�G`NOG*G I<_T�<��0��W�P[�8�HG A*/\ ��������J�� ; W�G�P[��NX�HG*�>OJ � � ��<2EP[�HG���N?G7W �HW*J_�HG A*/ W�G�� I<_����N?J_NOG�G I<_T�<2�$��W*P[�

�JE<��V$W�NX<��� ; �< �bac�&dfe >X���<&>XRgh��� ZG����NX�HGi� ;�jYkml[jonmp0qsr�jut�v�qswxyl�z �G I<2�>?NX{I�J���� �G ���NX�HGi� ;�jYk[lmjnmp0qsr�jut�v�q l NOG|J�W*P2�`�~}8��R��������=��� EJ���<��HG z �G��|}������T*<���*>X��LJ8�U�����<���*W�P[���� �bac�&d

K�<���*>O��LJ�NOG�}����� ; �<2��PI�G��>OJ����U�T��HJ��� x(v�r&w�x�x^� �$R-J�Ts>ONX����NOG z ��� iNOG7�� z <2����NX�HG�NOG7���N?G��� z <2�>?J5�c�I<�J2W �,� �H�L�NOG�J�P[�HG7���NOG�NOG z ��� `J2W T�TU�<���J�� ; ��� |���J�� ; W�G*P[��NX�HG�J d�� W <���� I<&�~�<�g����f�U�HW�G�����<2R����>OW �JZPI�G-�UfJ�TU�PIN(�*���NOG�}����� ; �<2� d�� ��NOJL�>O>=��~�HW�G7��JZ����W�J�NOG z >ONOG ���<; W�G�P[��NO�HG��>OJ_NOG���� ; �<2��� ;F�bac� �G*�`NOJ_P[�HG7���NOG ��fN?G���� EJ�P[�TU�� ; ����NOJ8T*��TUI< d

� � |J����G�����<&�����P2��G�N?V7W ; �<LJ��H>X�0NOG z }������T�<���s>X��LJ�T�<��0P[I���J5�$N?�f��G�NX����>X��~�G7�LJ�W � �J�T*�P[�J��,��� ;�A�/ J�T*�G*G ����7R����J�� ; W�G*P[��NX�HG�J $1I�ICICICc�� ���G*�|TU�HJ�NOG z ��� ��sG*NX���T�<���*>O��

��� � �� ����21�3 ' � ������ I��� !$#&%('*) +-��.�/��� ����21�3 ' ��4�68�9���9 :�&�=a�¡�¢L¡�£ ��¤H�; �<�J��H�~ � � @ �,� d D �������*���Ig�V$W�NX��E�J���� �P[�H>O>X�0PI����NX�HG¥���P2��G�N?V7W ; �<�¦�J���<��HG zH§ T�<���s>X��LJIg����¥��G�NX��f�>O��~�G��|�~I�����$� ; �<|}�����-T�<���*>X��ZJ�¨�W�J���<�IT*>O�P[�J �bac� �$R��©�sG�NX��BT�<���s>X��ª� ;����ZJ���~ ; �<2� d�e �HG*J��V7W��G���>XRg«��� I<�LNOJ�G��fG I��¬���f�*NOJ���NOG z W*NOJ��`�UI�S}�I�G©J���<��HG z �G��i}�����; �<2��W�>O����NX�HG*J ; �<_��� �G [­0�_J��P[��NX�HG�J d�® �J����>O> ; �0PIW�J8�HG|��N?J�P[<�I��NX{�����NX�HG*J�� ;8�bac� �������_<�IT*>?�P[�¯�$R��5�sG�NX���J�W��*J�I�F¯8� 4^�±°:�,1��ICICICc�&� ��²�³�¯�³�´�µ d

¶ W������*NOJ����7�J5G ��5�~��G���������¦�J���<��HG zH§ �G*�±¦b}����� §�; �<2��W�>O����NX�HG*J�P[�HNOG*PINO� d¬� ������HN?��ZNOJ�W�G���I<2J����G���N?G z JIg0��� 5J�NO�LNO>?��<2NX��NX�J_�G��¥��N(·UI<��G�P[�J¸�UI�Y}�I�G�¦�J���<��HG zH§ �G��-¦b}����� §�; �<2��W0�>?����NX�HG�JFJ����HW�>O���U�T��HN?G�������HW �¸�~�<��PI>X���<2>OR 4\ � � IR�J2����<����� �T�<2��*>X�� ; �<2� �bac� NOG|J��H�~E¹�NO>X�UI<��_J�T*�P[ d\ ¶ W �MW�J�W��>?>XR¸����IR�T*NOP�����NX·�I<��G7�«¹�NO>X�UI<��hJ�T*�P[�J dM® ���� ; �<2��W*>O����NX�HG�J«W�J���HG�>OR����> ; � ; ��� J2�~�7����*G �J�J�� ; J���<��HG z�; �<2��W�>O����NX�HG*JIg$�G*�����$W�J���� �¹�NO>X�UI<���J�Ts�P[�� ; }����� ; �<&��W�>?����NX�HG�JN?J_>O��< z I<F�����G`�������F� ; J���<��HG z~; �<2��W�>O����NX�HG*J d

\ � � IRB�*�����`��N(·UI<��G7�EJ���<2���� z R ; �<�J�T��PIN ; R0NOG z ��� ZJ�I��¯º� ; ���J�� ; W�G�P[��NO�HG��>OJ d�» ��<��HG z; �<2��W�>O����NX�HG*J�������TU�HNOG���I�:�>?W�����NX�HG�J�� ; ��� �J��H>OW ��NO�HG��G���NX��J�� I<2NX������NX��J dB® ���� ; �<����W�>O����NO�HG�J_�����5���J�� ; W�G*P[��NX�HG��>OJF��[�sG ��`�$R|NOG�G I<=T�<��0��W�P[��J d_� � IR|� ; ���G¥<��V7W*NX<�E>X�0PI�>N?G��� z <2����NO�HG,g }=��NOP&�|J���<��HG zZ; �<2��W�>O����NO�HG�J_PI�Gf�c��HNO� d

¼ ½¿¾~ÀFÁ�¾~Â�Ã

Ä ; }�5}��G7��������T*T*>XRf�~�J2��>X�J�J¸�I<2G �>Å�~I��� �0��J���� z �G I<2�>Å����LN?J�J�NX�*>O�T�<���*>O��LJIg*}�~G I��¬�J2W�NX�����*>XR z �G I<2�>Å� [��G�NX��NX�HG|� ; �fÆ kIÇ&qUk[xÈd¸� � �J����G�����<2�¥}8��R`�0NO�L<2IT�<��0��W�PINOG z �I<&G �>«¹�NO>X�UI<��J�T*�P[�JE�<�TU�HJ�NX��NX�Z��[�sG�NX�� ; W�G�P[��NX�HG*J�NOJ�NOG*J�W0É�PINX�G7��� I<�gM�U�PI�W�J�L}�Z}8�G7�E���¥�>?>X�c}Ê}�����T*<���*>X��LJZ�G�� » ��U�H>XI��J�T*�P[�J�>ONX�¥Ë 1

Ì }=� I<2`TU�HNOG��~I���>OW�����NO�HG ; W�G�P[��NX�HG��>?J~��<�¥G ���P[�HG0���N?G7W �HW*J d�® �¨�W�J��E�����|��� |PI�G �HG�N?PI�>�͸NX�J�{��L��T�Î 4 ´ µ�Ï ´Ð� ; ��� |¹�NO>X�UI<��EJ�T*�P[B´}¸NX���

�«��.U���Ñ��.o� Î �9������Ò¬��� Î�Ó 1 .o�&����Ò,Ô�; �<=�>O> .B@ ´ ���`@ ´ µ ��ÕH��G*��W�J�=NX���J8�E�I<2G �>�g$�U�PI�W�J�¸NO���L��T*J ; W*G�P[��NX�HG��>OJ���� ; W�G�P[��NO�HG�J d Ä ;«Ö���׫��Ø � NOJ��B¦�J����G��*��<2� §�I<&G �>sN?G���<�IT�<��0��W�PIN?G z �I<2G �>U¹�NO>X�UI<���J�T*�P[LÙ a g a�Ú:Û g0��� �<��>O����NX�HG�� ; ��� ��I<2G �>s���������͸NX�J�{�Z��T�Î�NOJ�Î �9�����Ü��Ý�Ö���×o�I]^� }¸� I<� ��Ý J����G���J ; �<���� ~I���>OW�����NX�HGi� ;_� }=NX����<2�J�TU�P[�����`���

Þ

Page 5: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

������������� ���������������������� �!���"�#�������$%���&���!�%'(���&)���!�"�&���*$+�!$%'#�!�,�.-/����� ��&��'0�����1���2��$%�%���&���!�%'3�!�&4+'&�&���%5%����576���8�+3�95+�:�;���&���!�<��'

=?> ��@0A%BDCFE >HGJI @ GJK B0L2M���;57�&4+N$%'&$;��� �&��%�&��5%$%���&���!�<�;�&��� ��&�PO,��'

Q > � B#E G I Q E > Q @ =?> �R@�SFB0B L �T���1����� QVUXWY)���&47���&' Z�3�+��8������[�357�T����\

] > Q B#E > Q @ ] I =?> �R@�SFB0B0LXE > Q @&^ > ] B0B0L_�T���1����� QVUXW @ ] U`W?acb >ed Bf 4%��' '&4+�gY1' �&4%���)^ > ] B�E ] I =?> ��@�SFBh��'i�&4+.���!�;�+3���&���!�7� ��PYD�3�j^k���;5 = �

l ��T���&mYD<�%�&�����352�(YD7�+�35n�0�o��'&'0���������0j������&�����p'&$+�;'&�;����3'q��� W ���;5 W a Y1���&4n�`'0��rts W a ���u�03'&�h�T$;�%���&���!�%����'3C

W av CFE �����!'w'0���� r s W aW�x2y v%z CFE �����!'w'0����7^ > r B s W{b

| }$%'035V�����!'h�0�<'0�&���%5j�~����-/����� ��&� '0�;����q�����!'&$+�&�� �����%������O��%Y1���&4j��'&����Z!4��h���$%'0.�����+���&���&���!�2�YD.5+�:��+

W?�v CFE��3� UXW C ] > ��B(E��}�~���/����� ] U rh� E W��x9y v%z >H� B'�$%��47�&4;���1$%�%���*$+?'0�!�������;�������PO���� >�� B ��'i3�"$%���c����3�"� �0� W �v E���� � �

� �`��� � �q�i�h��� � ���D�p�c���i�¡ ¢���h£n���k� �q� �n¤o¥p�

f �,�¦*�;�������m�!$+�/�;��'&���§�*$%\�����������9�03��4;�%���*$+��YDq�&��6�}��:�;���0.'0�� rD¨ CFE©� ] ª @ b�b�b @ ] ¨?��« W a���§���!���&���*$+�!$%'<�����+3���¬��$%�%���&���!�;����'����;5­:%¦®����$%�%���&���!� Q¯U°W � f 4%3�±YDX5+�:�+`² > ]"³ BXCFE]"³ > Q B8@ �?´¶µ¬´±· ��� >�� Bi���%5j���!�%'0�0��$%���)�m¸�¹8ºH»�¼!½J¾�¿À3¸�ºHÁ�¿

ÂQ ¨ E¨ÃÄ�Å ª�Æ

Ä ^ > ] Ä B >HÇ B

���<�&4+.'0�;���� W x9y v%ÈRz �"O,�&4+.�����0��&� �!�����&���!�<���1���!�����������&���!�7�&3�*$%����3\�3���]"³ > ÂQ ¨ B#Eɲ > ]"³ BiCFE ]�³ > Q B8@ ��´_µ�´±·

��3��5%���+Z}�0���&4+§'0O*'&�03\¨ÃÄ�Å ª�Æ

Ä > ]�³ @ ] Ä B0L2M E ]"³ > Q B8@ �?´¶µ¬´±· b >�� ��B

Ê ���0D�&4%���RYD{���%'&��'0�2�!�q�/�����!'0{�����+6/����ËY{�3�§�&4+D�03'0�u�T$%�;���&���!�%����' ] Ä ���%5§�&4+(�0�������!��$%�%���&���!�%'9� Ä������� Ä CFEÌ^ > ] Ä Bu$%'&���+Z)�&4%hÍ1��3'0[h\¬���¬^}� f 4+h'0O�'0�03\Î4%��'��?� �!'&���&���� '03\���5+�:��%���0i'0O*\¬\���0�����Ï ����\������m���*�Ð�����3�"�1\����0�8�Ѧ��(�Ë�h��'1�+�!�%'&���%Z!$%�����i���%57� �!'&���&����N5%�:�%���0��+���u�&4+?�03'0�)�T$%�;���&���!�%����'����§�����%3������O<���%5+�� 3�%5+3�"���(�Ò���+�������&4+§'0O�'0�03\Ó��'1'&�&�����2'0�!�������;����� 3����$%'0N�&4+§����Z!4"�ÒÔ"4%���%5V'&��5+��' ���7�&4+?�����%Z�N���R�&4%.\����

Q7ÕÖ > ] ª > Q B8@ b�b�b @ ] ¨ > Q B0B Uj× ^ ¨ �T���1����� QØU`W @���;5<�&4%��'D�����+Z�?4%��'i�&4+?'&��\�N5%��\�3�%'����!�¬��' �&4%�'&�;���� W�x9y v%È�z �+� 3����$%'0��&4+?Í1��3'0[?\����m��'i�����'0�!\���0�&O��NÙi��3������O���&4+q�&3'&$;���&���+Z���$%�%���&���!� ÂQ ¨ ��')$;�%���*$+3��O<5+�:�+35V��')�&4%}��\���Z�§��� Q $%�%5+��

Ú

Page 6: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

����������� ����������������������������������� �"!$#&%�')(*��+",-���.���/���0�1���������23��0���4�5�760�����������8,)!$#&%�'9(�:9��;�����<�=�������>����*�������7�������?���4������=;@��8ACB�DE�����F�0���G6����HG60�I���G��J��������.����KEL�60�����0���NMO������:����P���4����RQ����F���0����7���0��S����������UTV�����4���������

AXW1Y[ZW]\�^�_`Aba?c�D�D�dfe[a?c?AXW�YgZW \PDheji@^lk"m3nomqp ARk�krD�<MO���T@��0S

W1Y[ZW]\tsf,"u!$#&% ' ( ^Iv�Wwv7xd eyv�W�YtZW]\zv7xdV{ v.ZW \Ov7xd}| ARk�~�D� ����6��5�����ZW]\y���0�fA���T@M`MO�����7��rD������R���7�����C�4���������������X�`��������� ��+*W��F����� ������� �����5�������0�12��4���a���AXW DN^ |�|�| ^Na�\�AXW DI���5���0�1�����>��\�e���a���^ |�|�| ^Na�\��8�-,I�z��+E�������>+X6�����������������KV�P�����������4�>�.TARk�~�DE���0��+�6�������������ZW \ ����;����*���0��M`�<���M`�� ��4������������������M

M`��]�0v�¡lv x d£¢ ¡1sf,}^}a c AX¡0Dhe[a c AXW DN^PkIm3nomqp¤�� ������6����I��+EARk�krDNKL0�������������0S¥�����������M`��:������<����I�¥;4�4�7��4�������¤��+}���0�=¦N§4�z�`�����N�C�¥�7��¨©¨����7�������4�ª�����N�����HG60�`��+*«9K

¬ 6®­¯~�°�±²6�����2/+X�����������4��������³0�M`�4�����������r;����7T8��+hWf+X����M������P2��4���¥a.c�AXW�DNK"´F����FM`�����0�G2������"������2V���0�����������<�������������F�����6�2���0S>�����.;�����S��������>���720���7�>­¯B@:$k�i4±bKL0�����µ���4¶�����������M`��:w���`Mo��T�� �=��60�����N�����0S/�����4�`���0�=·P��T@�����S��G¸.·P���� =�����N�����HG60��:�����2®��

���4�������6��4�5���0�`Q��������`�����MO���.�>M`�����0�G23�4�7����I��6����5���>���]�����<��w���������>��+*��T@M`MO�����7��`�������������������M`�����0�G2���K²¹º�=+X������:�+X���>AC»�DE�}�����G��¶V�������*+�6������������������F�����

a�¼b½?AX¾"D}e¿AX¾5^�¡�c4D7��À Áª+©���P���¾Âs/Ã�Ä���7���G���<�4����23������������+X6��������������5¡�c�K/Å�60����������¥Ã�Ä���5���P�<�� ���������������V6���20���VAºÆ�^�Æ&D7��À Áh:)�µ�1���r;��_`Aba�¼b½�Dhej¡�c�����2¥�����IQ��������I����MO���?�P����60�������¥�����<�����20���E�P�����V���0�����7���R�����������/�4�������r³@�<M`�4��������KÇ 60�5���

Aba�¼b½�^Na�¼�È4D�d�ÉEeÊAX¡�c�^�¡�Ë4D�dfe¿AX¡�c�^�¡4Ë�D7��À Á�����5��T@������MÌARk�i?DE�����E���0�5��������2��4�72¥�����ÎÍ��0�����FM`�4���7�γ K´*�0��60S��¥����������4� ���E�F�]+X�G��6��E���=��T@M`MO�����7�<�"����������������������:0�µ�5���0��6�21�]���<�?�E��60�E�����4�Ï 6�����T@M`MO�����7���������@���4�������=�<�V���0�5���������I��+)Ð5�������=­Îk�»�±l+X���F�����7���0S`�����������M`������2Ï 6�����T@M`MO�����7���Ñ9�������r;?¸@Ò"������7¶G������N�0��MO���*+X���*�µ���4¶V�����������Mo�

+X���7M`��<�T������<�����20��:.���.�0KhÓ�����¶��5ACB�DN:@�F����7�`���������Tz�����4�����}���7���0+�6�������������²¡�Ë����>�������}+X6������������@Ô��<�²a�ËE;@��P¡4Ë ¢ ej_`Aba�Ë�DN:?���0�����EMO�����0�@2��)20��Q��0�����0���Õ���������FÖf\×��+9���N�C�4¨�Ø�ÙG�]�����C�4�0¦l¾"��^ |�|�| ^�¾F\���f�4��������³0�M`�4�������0�1����60��������K�´*����>���������V���6��0�����4����23�������0����������+�6����������������:9�F����`���0���TGM`M`�����7��O������60�36������I���0��MÌ2������������T/���820�������7Mo��0�O���0�`����<60�������f���������o;G��V�����o·F������ `M`�4�$K´F�0��6�����T@M`MO�����N��"�������5�����������N6������

ZW]\�e\ÚË�Û �?Ü

Ë�¾*Ë ARk�Ý�D

�<�V���0�5���������zÖf\j�GT������5��.������� ���4�������V���F�����G���4�������=����H.6�������MO���.�a.c�A�ZW \�Dhe[ÞµAba.c�D ¢ e[a?c?AXW DN^Pk"m×n`mqp

����2���0Sz���`���0�>��TG������M \ÚË�Û �?Ü

Ë�a.c?AX¾*Ë�Dhe[a.c�AXW DN^�k"m3n`mßp | ARk�à.D

´F�0���4�7����<�0SOM`�4���7�γV�����*���G��J��������.���a c AX¾*Ë�D²e¿A�_`Aba c DN^�¾*Ë�D d e¿Aba c ^�_�á � AX¾*Ë�D�D d É

â

Page 7: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

������������� ��������� ��������������������� ��!"�$#%���&���'��()�*� ���,+"�-����.#/��0)� 1,�2� �.� �304����5� ��!"����-��6$7�8�9�9�9'8:6<;=��� ���!��*-����,�.���:-�����������>?�.���,�.�/�3!'@����BA ; �

C ����� ��DE�F�5!"-�-�!G����� ��!"�H����� 1,!��JILK.M�NO04!��*� � � !"��+�>�� !�(�-��.���� ��P��.�*Q&RTSVU=W�XZY\[�]_^`UbaTX4c�R�8�dV^304!���e� ���B!�0f>)!"���%� �Tc 7 8�9�9�9g8 c ; ���h� 1,���5!"�/� �5i��j!�0F�5!"�%� ���G,!"��kP������,�.-������l�m� 1,��no��� � !g@"p�qr��-���� PG���� �.�:1�����sG,�j0t!��vu�.��Pw>�� !�(�-��.���.#�� 1,�x� �.� �20y����5� ��!"����-��26%Rk1��.@��z� 1,�k04!����{6/RBU|Wx} 7 X4~.Rg^:#�u21,��� �� 1��f~ R ��� �F����-�-��.�w���5�\�"�\���<�.�y�Z���,�\#%�����z� 1��F� �G� � �.��� 1,�.��1������ 1,�f0y������-������o�5!G�5�������.�%� �*X4~ R 8 QF��^ ��

� ����-��G� ���z!�0r���� ��������� ������>���!�(�-��.��������1������$#3()�.������ �H��@��.��� 1,��� !"-�@���(���-������=ILK.�_N*!�0r� 1,�� ����� �T� ,(�>�� !�(�-��.�������f��!��F��@G���,�.�/���

� ,� � 1,���:��!�� ��#$���.����������� 1,!G���f�����H��-�� !�()�T�����5!�� >)!������ �.�O#�����><��� � �����-������ 1,!"� �Tu*1,!�-�!�����-��������u3�.��P�� ��� � ���,+,�x�3��vu3���������,!��T+�!H���/� !w�,��� ����-��v1���� ���z��������������� �.�v04!��T04,��� 1,���T������-���� ���r��� �� 1��wu�.��P����.� 1�-��.� ��-�!�����-fno��� � !'@/p�qr��-���� P���������� 1,!G�|Xy�e �n3qx#*I¢¡�#&�,#¤£�N4^x!���� 1,�w+��.�,������-������.�� ����� �x�.-��.���.�%�r����� 1,!G��IE¥'N¤(���� �.�¦!"��� �.�:1�����sG,�.�r�� ����+�>���� � ��� ��!"���2!�0��������mILK'¥�#$§_N¨�j��1������5�.�������+�!G!G�m� 1����k� ��:1m����� 1�!G���k��-�� !Hu3!�� PJ�����5�.-��e04!��k���.� 1�-��.� �TP��������.-`� �.��1�����sG,�.��#��������5��� 1,�����,� �.-���u3!�� Pw0t!��v���%� ��� >)!"-���� ��!"�mI¢��M�No�����e�5��� � �����¦� ����>�-��T>�� !�(�-��.���F���Hu3�.��Pw04!����©I¢�_£"N¨� � �,��u������>�� !"���������,+��,��@��.-�!�>����.�%�T� 1����B�����5!�� >)!������ �.�r�x�-�� ��-���@��.-�� �.�:1�����sG,�.�r���%� !w���.� 1�-��.���2P����:�,�.-����� 1,!G���F���%� � !G����5�.�f�j�-�� ��� ����-��rP��������.-��kI¢��ª�N¨�

« �.�5�.�%���,��@��.-�!�><���.�/� �¬!�0,���.� 1�-��.���$�5!"��>�,� ��� ��!"����-"����� 1,!����$04!��¬� !"-�@����,+�� �.��-/>�1%�G� ������-�>�� !�(,­-��.����������-���,�&� 1,�3�� �&!�0�� 1��0y����������.�/� ��-G� !"-�,� ��!"�k���o(���� ����0y����5� ��!"��Xy� � � !"�,+v04!�����^O0t!���� !"-�@����,+���/@������ �x()!"�������� ���,��� ���:��������� ��!"�������h���/@������ �z1��.���B�5!"������5� ��!"��>�� !�(�-��.����ILK5£�#`K.¡gN¨� � +�!%!������@G����u�!"�¦� 1,�z����� 1,!��¦!�0`04����������.�%� ��-�� !"-�,� ��!"���zXy� �¤® ^*�����¦()�x0t!"�����04� !"�¯ILK�K5N¨�T°F1,�z����­@����%� ��+��.�k!�0f���.� 1�-��.� �T�5!"��>��� ��� ��!"����-`����� 1�!G���.#¬����>���� � �����-����T� 1,��u3�.��P�0t!����H#�1��'@���04�� � 1,���()���.��@������ � �.��(%��� 1,�Tu3!�� PG�F!"�H� !"-�@����,+z-���� +��B�,��04!�������� ��!"��>�� !�(�-��.���3��,�r� !��,!"��-������.����� � ����\­� �� �jI¢±�#%¡�ª�N?����������0t!�������� ��!"��()�.1��'@G��!��!�0$� ����� �&����� ��������-������1����� 1���>?�F���.��!�� ����-�-�!g�G�vILK.§�N¨�n-��.��� �H����0t����� !m� 1,�¦� ,� @����²>���>)���eI¢M_N2!"��� 1,�¦�5!"��>�������� !"��()����u3���.�³���.��1�-��.� ������� 1,!G�³������ �:������� ��!"����- � ����� �k�.-��.���.�%�T�����¦()!"�������� �w�.-��.���.�/�T����� 1�!G���.�r°�!�� ��� P�-��z� 1,����-�-L­��5!"������� ��!"�����,+!�0�0y�-�-��5!G�5�������.�%�j����� ����ie� 1����x���.�h������� ��0t� !"�´� 1,�.� ������� 1�!G���k� ��@�������-`� �.�:1�����sG,�.��#o� ��:1J�����!"�������¦�,�.�5!"��>)!"� ��� ��!"�O#<������>�� ��@��j+�� ���.����#O������>�� �.�5!"������� ��!"�����,+�1��'@��z(?���.�e>�� !�>)!"� �.�O�2�e!�� ��5µ)!�� �f����� 1������������.�5� ��!"������,���.���.��� !z�.��1������5�r� 1,�r>?����0t!����������5�2������������+��v!�0o��>�>�-�������(���-����¶�j!�0���.� 1�-��.� �f����� 1,!G�����

· ¸`¹»º�¹�¼g½3¾ ¿ÁÀfÂ�Ã�Ä_¾�Å Æ

°*1,�j>�� ��@G��!"��2� �.�5� ��!"�h�,� � �,�.�e!",�T� � �����������e�G������:������-������ 1,!G�¦04!��r� 1,�z� �.�5!'@���� �¦!�0��0y����\­� ��!"�mÇ�04� !"� � ����� �.-��������/�J����� �J6 7 X4Ç)^:8�9�9�9_8:6 ; X4Ç)^B@G���H� 1,��������+��²ÈÇ ; UÊÉrË$ÌÎÍ,Ï�Ð X4Ç$^k!�0F� 1,�>�� !_Ñ��.�5� ��!"��!"�%� !�� 1,�r� ,(�� >����5�kÒ Ë$ÌÎÍ Ï Ð � ® �����5�v>�� !�(�-��.������ � >�>�-����.� � ����-���� ���&����� 1,�r04!����ÓX�K'^u2��-�-��� ���-�-���1��'@��T���w����5!"��%� ��(�-��v�%��j()���!�0�>�� �.� �5�:��()�.������� ��#,������� �����5�v� �.sG,�.���5�.��!�0 � ����� �>�� !�(�-��.���&�,�.��-�u2��� 1��5!"��%� ��(�-��������/������� ��#�u3�21��'@��r� !k+�!x!'@����f� !x� 1,�2����� �v!�0O�5!"��%� ��(�-��r���������5!"��%� ��(�-��B����� ���

� � ������ � �:� �f� 1����2Ô3Õ ; SVU×Ö_6/R�Ø:R�Ù�Õ ; ���F���5!"��%� ��(�-��j� ���*!�0�� �.� �204����5� ��!"����-����Úh�j������� 1,�.�04!����Û� 1��k� �.sG,�.���5�zÖ�ÈÇ?;BØg; Ù_Õ ;Ü�����H�� ��X�K�K'^�� !�+����

ÈÇ?ÝßÞÜÈÇ ;Üà ÒráËOÌVÍ Ï Ð 8râ%ÈÇ)Ýãâ�ä� Ußâ/ÈÇ?ÝßÞ|ÈÇ ; â�ä �wå â%ÈÇ ; â�ä �mæ â Ç&â�ä� X�K.M"^

04!��w��-�-vç è©éã�×°F1%���� 1,��� �.sG,�.���5�»Ö,â/ÈÇ ; â ä � Ø ; ����u3�.��PG-��³��!"�,!�� !"�����������ê�5!"�%@���� +��.�/���� ,� � 1,������!�� ��#¬� 1,����(?!g@�������� >�-��.�¦����>�-����.�*� 1�����Ö�ÈÇ ; Ø ; Ù�Õ ; ���T�e�������1%��� �.s%,�.���5�����»Òj#o������ 1���� ��0t!����k�5!"�/@�����+��.�/�v� !�� !"���k04����5� ��!"�²ÈÇ<Õ ;=à Ò�ËOÌVÍ,ë ϤР�&��,�f� 1,�.�wu3�k1��'@��

6/R/X5ÈÇ<Õ ; ^`Ub6%R"Xr-����;3ìBí ÈÇ ; ^`U -����;3ìBí 6%R/X5ÈÇ ; ^`Ub6%R/X4Ç$^

04!��*��-�-�î à�ï ém#,>�� !'@����,+

ð

Page 8: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

����������� �� �������������������� �!�#"%$'&)(��*�+",$-&,�/.1032546�87:9<;=��>��?7@�+"%$A�B�C�����D�+�E7@�GF!>���;H78�#������$A� IG��%��$J>�78�#���LKM�N O ;=���P"=&�; �E�Q�!78�!>�;H7R&S��T3�#���U�H&SV%>?&%��;=&W�*FYXZ�?�:7R&[(\�1�1]H&S;378�8�E�^�=(+(��1�3_E�:�`��78�8�����,acb!7�%��$JT�&!�d7:9Q&Y���:���:���'e3�E78�8�E�)(��*�+",$-&,�

fCgih\jQkSlmk noqp�r�s . l 2ut r�s . M 2=vw0yx{z[|~}�����

�W� hQ�3���E�����ChQ��h����,��h��*�*� ���,�Sg-� � � � �S���'���,��h?� � � h�g-hQ��� � h � �=�E��� � �S���E��� � �*���:��h?�,�Sg'��h��E�-�%������������/����&%7������E�%"%�:78�*���!�W�����\&%��(�78���%&%7�� �¢¡y£¤�1F¥$A�:�\&S�E�¥7R&,�!7¦F=>���;378�8�E����$A�§F!�1���¨7:9Q&�E>Q�E$m¡y£©�1F��`ª«��$-" &%�!7u�@(Q��;=&Y¡¬"=&y­E�:T�&%�QI®�����wX¦_G���¯&,$-&,�[&,�?7 M¤° ¡�a©±�9�&,��7:9�&%�*&Y���Y�¥>����#V%>?&&%$'&%�[&,�?7wKM²° ¡c46�87:9�7:9�&�(��*�=(Q&%�!78�@&!�

KM ° ¡6³µ´J¶�·r .%KM 2¸t r . M 2ZF%���Y��$:$ r�° �

M[¹ KM º ¡6³µ´J¶�·k KMuk o t f[g-h�jQkSlmk o p�l¥° ¡®v r . l 2ut r . M 2ZF,�E�Y��$:$ rG° ���+�

.10H»�2

¼ ��µ��½ p5¾�¿ � �*À?�E� � ¡ ³µ´J¶Q· g-�`���%�-��� � ���S�QÁ��*À?�E� � �E� ¡Y �Eh���g'�S�`�E� �S¿Q�E�E��h��E���,��f`À�� � f � h��[g-�¡�ö �:�S��f .#Ä�2 ��¾�¿��?�[MÅ¿��E�¥�Æ��h�g-ÇÈ� � � � �,��f`À����Sg'�Sg'��hDM tÉKM5Ê KM à �§g'�S¿ KML° ¡6³µ´J¶�· �Eh��KM à ° ¡ ö tË¡ óµ´J¶�· �y¾�¿�g-�§g-f`À?�-g � �Ì�S¿ �YÍ � �*���S¿�� �%� À?�S�EÀ � �S�Sg � ���E� .10H»�2 �wÎÏ�Zl�° ¡ g-�w�E��fCgi�S�Sg'Á?� ��:�E�®�S¿ � g-h Í fY�?fÐg-hC�S¿ � �S¿�g'� �CÀ��S�EÀ � �S�RÑ Â � � �%�Eh[��� g'� � l t l̹ KM§Ê KM)�Eh?�[��� � �S¿����Òl̹ KM5° ¡ ögi���E�S�S¿Q�E�E��h?�E���*� KM���¾�¿ � h�kSlmk n o t kSl�¹ KMuk n o ÊPk KMÒk n o À��S�� � ���S¿ � �E�S� � � �Sg'��hµ�̾�¿ � �?h�g-ÇÈ� � h � �S��E� KM���g'�S¿¥� � �SÀ � �,���*���S¿ � À��S�EÀ � �S�Sg � �®gih .10H»�2 �:���-�'����®��� ��fÓ�S¿ � �:�E�,���S¿����Ì�S¿ � ��g'Ô � � � h?� � �E���R�®�� ��� ¿G�8��h��,�Sg-��h��ÌfY�?�*�ÌÁ � g-h)Á��E�S¿ ¡Õ³m´A¶�· �Eh�� ¡yö � �Ö �?�×��Ø8Ø:Ù��3ÚÅ�Pb=�U7:9�&C�H&,�Q�H&[�1FC7:9Q&©��"S��TE&[7:9Q&S���S&,��Iy�E$�$u���E����� �!�#"%$'&©$J�:�\&S���w(\�1�+"%$'&%����(��×�H&S�W",��%���[&6���Û¡y£y���\�w9È��T����­Y�w�,�E$A>Q78�#��� M²° ¡Å9È��TE&��y>����#V%>?&m(��*�1]H&S;H78�#���G�=(�(��*�H_����C�E78�#���¥�,��$J>Q78�8�E�KM a�±�9�&yF=>���;378�8����� M �����ÆKM ;=���:��;%�#�+&!Iy� F[7:9�&,�S&)���C���¤���E�?78�=�:T3�#��$Ò9È���C�S­È&,�\& ��>È�©�%��$A>Q78�#���QI��#a:&3a¡ ö F!�1�E�Ü.#Ä�2«�i�d7:9Q&Y��>�$�$��R(���;=&3a¼ ��µ��½ pÒ¾�¿ � �E�S� � �S�Sg-��h�g-�Ì�Eh�g-f[f � ��g-��� � �,��h�� � Ç�� � h?� � �E���S¿ � À�� � ��g'�������S¿ � �E� � fG� �

Ý Þàß�áBâ�ãäÕå

Î1h)�E� � � ���*�CÁ�� g-��� � �S¿ � ����À5Á � �R� �%� h�¾�¿ � �E� � f[� 0 �Eh��²æ  � � hQ��ç�,��h��Sg-� � ���,��h���g'�Sg'��h?�Ì��h�� � ��§¿�g-� ¿¯� � �%�Eh{� � À?�-�E� � �EhÆ��h��,����h��S��Á?� � � � � � �E�������S�¤� � �*���:��h?�,�Sg'��h��E�-�dÁ�ѯ�¤�,����h��S��Á?� � � � �K� �E�Yè*� � h�� �Hé � � �*�y�8��h��,�Sg'��h?�E�-���S¿?���w�%�Eh�Á � ¿?�Eh���� � �²�Èg-�¥�)� � ÇÈ� � h�� � �E� Í h�g'� � À��S�EÁ?� � fC�%�yêÒÑ�S¿ � �*�S�Eh?����� �¤� �,Í h�g'�Sg-��h  �¥�S�QÁ?� � � K�ç�Å�ç�^¡ £ g-� �+&%�Q�%& g-h �� g'�Z�E�i� � � � f � h+�S�w�E� � �%�Eh�Á ���� g'�*� � h¯�E���-g-f[g'�S�«g-h ¡ £ �E� � � � f � h��S���E� K� ��¾�¿ � h��S¿ � � � ��� � �*��f �[� �E�SÑ��EÁ?� � �S�����Sg'��h��d�*�5Á �f[�E� � p�����������àëì±�9Q&ÒF,��$:$'��46���È­¥�!7@�E7R&%�[&,�?7:���E�*&`& V%>���T���$-&,�?7@í

î�a K���D���Û¡y£C�i�ï�+&,���%&c���)�ð�a�¡�£ñ¶ �i�Y��&,�Q�H&Y���5¡y£¶ò+a«óC. K�Ì2Ò�DóC.8�Ì2®�Û¡c��� �+&%�Q�%&ï���GóC.8�Ì2ô?a�¡ ³µ´ ñ¶?· �i�d�+&%�Q�%&Y�:�¤¡Õ³m´A¶�·õ�aY ����Y��$:$ M¤° ¡

r . M 2Zt<öYF,�E�Y��$:$ rG° K�Ð���§(�$J�@&!� r . M 2Zt<öYF%���Y��$:$ r�° �

÷

Page 9: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

��������� ���� � ��������������������! #"�$&%'%'$)(+*-,.*/$0�1,2�#3541376!(8*9,8":4�6;%<,= >(8?@%86#"A,CBEDF��GIH2�#�J(',K%+6#*/L#,2 >(+?M�H'6#�NL�,+3PO�,+��QR%8,2S8TU,+�1H',V6XWY413767Z<,=H[Q\$\6��]�^4_4�3X6<`�$a"b��Q\$\6��c%2de$ WeBfH26#��Q)�#$0�N%V�g !,+�N%8,hH26#T��UQ)�!(8*9,�%'TU(+%8,8Q)�� ������������jik���.�_ �"�$0%2%^$P(8*9,5*l$a�1,2�#3m4�3X6!(8*9,8"k4�6#%8,= n(+?b%86#"A,�BoDp��G�qr�;%��sTr�U$\S<TN,V%86#*lTcQ\$P6#�cd$ WtBf$0%h !,+�N%8,u$0�v� G � �wYx=y[z�{-|c}�~c�<|U�={9���K��{-�-���=�cx2|vy_�c���XyC����~N�8�1�<|U~c�<|!��y��Y�=�N���������5y����a�N|U�+�={9y_|N���-�8���]�5�=�r�N���N�[z���XyA�1�V�#���9���XyA�X�U�&{9���=�8�=�ty����X�<�X�t�\�N|N�+�={9y_|U���-�8� �����������������,8QRB p���a�;  B � (',b�g%^T[4N,+3�4�6;%'$\Q\$P6#�¡6XWh��6_Qe�1,=H^,^%2%8�#3^$0*/?K #$0%0Z86#$0��Q�%8,8Qa%�B � �V¢0W���*0*B � qr��L#,��C !,+�N%8,u%'TU(+%8,8QadR%86Aqr�;%£B�� �

¤ ¥E¦K§]¨e©#§«ªM©�¨�¬�]�e|cy��@�ayr�8�N��y_|V�X�<�X���a�U|N�+�={9y_|N���-���#x2{-�={-|N}e{&|V�X�Xx=y_|c}£�Nx=y��U�-�<­b�8®�{&|��U�#x=�={-�8�U�-�#x¯��y_{-|!���8z;���-�U�#�={9y_|N�y����\�N|N�+�={9y_|U�hy�xs~c�8x2{9z#�#�={9z��<���=�c�8x2�8y����±°7|±�=�U�2�±�8���X�<�g~c�<|N�={-���Iy����X�8�=�Ay��£�\�N|N�+�={-y_|N���-�5�8��|±���y��U�=��{-|c�<~M�ax=y_­²~N�<|N�={9���³y����=�c�´x2�<�-�#�X�<~±�8z#���-�N�#�={9y_|>��y_{-|!�=�b�Xy�}��8�=�c�8xg�£{9�=�±�+y_|��={-|��U{9���¡y����=�c��8z#���-�N�#�X�<~��\�N|N�+�={9y_|U��y�xR~c�8x2{-z;�#�={9z��<�<��µt�c�e�={-­b�U�9�<�X���8���=�e{&���8z#���-�N�#�={9y_|hy��N�U�&��{-|V�\�N|N�+�={9y_|uz;���&�c�<�8� ������������·¶¸��,8Q1BJH'6#�c%'$0%^QR67W��#*0*_4�6#$a�UQ¹,+L#�#*lTN��Q\$P6#�c%�6#�s%+6#"A,£%<,8Q�º�d�$P�\,<��B J»�¼^½f¾u¿KÀ º�Á�d���� n*9,<Qt�EH26��c%'$0%^Q�67WgH'6#�UQ\$a�NTN6#Tr%tW'T���H[Q\$\6#�N%+�MÂ�q�,+�±�K%'TU(+%8,8Q�67WbQ�,^%+Q�W^T���H<Q\$P6#����*Ã%]ÄB Å»�¼^½²¾¿nÀ ĺ�ÁVD>B�H26#3^3X,+%)4�6��� #$a��OKQ)6C�A%'TU(+%8,8Q ĺÆD>º�$0%V �,+�c%<,h$0��B¸$ W ĺk$0%u !,+�N%8,h$a��ºu� �Ç {-|N�+�u{-|´�=�N{-���=�<�+�={9y_|K���h�+y_|cÈ�|c�uy_�Nx2�X�<�9z��<���Xys�X�Xx2y_|c}_�9�C�0y�x'­h�N�&�#�X�<~K�Nx2y��U�9�<­b�8®c���h���2�=�N­5� ��Xy������ 3X,É4�376[ #TNH8$a��OnÊ�,83'�1,8*�Ë�$a*9(',+3+Qe%)4c�_H', y��Y�\�N|N�+�={9y_|N��y_|]�Xy_­b���=�8� ºkDJÌ/Í�Î ��{9�=�v�gÏ��8x'|c�<��\�N|N�+�={-y_|]ÐÑ��|U~v�+y_|��={-|r�cy_�N����y_{-|��£�8z#���-�N�#�={-y_|N�8�hµ��c�<|v�=�c�5�X�=��|N~N�#x2~vx=�8�Ux=yr~U�N�+�={9y_|v�Nx=y����8x=���Ò)Ó�Ô {-­5�U�&{9�<�Y�=�U�#���+y_|!�={&|��N{-���sy������&���a�N|U�+�={9y_|N�m{-| � �0y_�-�-y[���m�ax=y_­Õ�+y_|��={-|r�N{9���gy����=�c��Ï��8x2|N�<� ¾ �������������Ö�¢0WsQaq�,sÊ_,+3^�1,+* Ð 67Wb%86#"A,C3=,�4�3X6< #TNH<$0��O@Ê_,+3^�1,+*RË�$a*9(',+3+Q£%)4��_H^,C�×$&%sH'6#�UQ\$a�NTN6#Tr%2dQaqc,+�v�ØH26#�N%'$0%^Qa%�67WuH'6#�UQ\$a�NTN6#Tr%YW^Tr�1H<Q\$P6#�c%+�Ù ���¯��Ú ¾�Û �8� ¿�ÜXÝsÀ º ��|U~�Þ À � ����}_{9z��<|¯®N��|N~´�U�X� Ò)Ó�Ô ��|N~ ÒPß_Ô �0y�x

Ò Þ Ò ¿ Ô�à Þ Ò Ý ÔXÔÉá Ò Þ Ü Ð Ò ¿�Ü8â ÔRà Ð Ò Ý1Ü8â ÔXÔÉá ãä å Þ å á ã å Ð Ò ¿�Ü8â ÔRà Ð Ò Ý1Ü8â Ô å á ãä å Þ å á ãCÒ Ð Ò ¿�ÜX¿ Ô�à Ð Ò ¿�ÜXÝ Ô�à Ð Ò Ý�ÜX¿ Ôçæ Ð Ò Ý1ÜXÝ ÔXÔXÔ1è�

µt�c��|c�+é��t�X�X�8�´�+y_|N�+�8x2|N���X�Xx=y_|c}_�9�g�0y�x'­h�N�&�#�X�<~g�Ux=y��U�9�<­b�����N�8x=��~N�#�=���U�#x=�={-���&�9�b~c�8���<|N~sy_|�n~N{ëê��8x=�<|��={-���Ry����8x2�#�Xy�x<®����ì}c�´�Kw�y_{-�=�=y_|«�Nx=y����9�<­ ÒPí_Ô ��°É�����A�=�#Ï��C�K�+y_�U|!�=�#�U�-�g�X�8�hy��e~N�<|N�X���y_{-|��=� »<¿rî Á î«ï º y_| º ��|N~ »<Ý_ð Á ðIïòñ º ��|N~M�U�X���X�<�X�b�\�N|N�+�={9y_|U���-�bó î Ò Þ Ô E¼^½2ô[õ Þo��|N~ö ð Ò Þ Ô �¼^÷2ø Ò Þ Ô ®Nx=�<�X���<�+�={9z��<�-��®N���u����|����XyA{&|c�0�8xm�=�U�#���5�\�N|N�+�={9y_|�Þ À � ��{9�=�Cù8�8x=ys~N�#�=�b­��N�X����s{-~c�<|��={-�8���-�9�vù8�8x=yc�K°É�m�=�c�s�Nx=y��U�-�<­ú�N���h�<|cy_�c}_�Ix=�8}_�N�-�#x'{9���]�=�N�'�@�=�U�#�h�=�c�s�Xy_�-�c�={-y_|@�-{9�<�h{-|�=y_­5��x=�8�Nx=y�~N�N�8{-|N}bÏ��8x2|c�<��û�{-�9���8x=���X�����+���+y_|U�={-�X�={-|N}Ay��Y�\�N|N�+�={-y_|N���=�U�#���#x2���+y_|��={-|r�cy_�N��y_| º ®�=�N�<|sµ��c�8y�x=�<­ Ó {-­b­5�<~N{&�#�X�<�9�5�r{-�<�-~N�¹Þ Æü y_| ñ º ®r���c�Y�����X�={-�-��|c�8�<~C�Xy_­5�8�=�N{-|N}h�ay�xm�=�c���X�<�X��\�N|N�+�={-y_|N���-�ey����=�c�V�ay�x2­Øó î Ò Þ Ô p¼^½2ô[õ Þn�0y�x ¿�î�À º �

ý

Page 10: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

����������� �������������������������! #"%$�&('�)+*,���-'.�0/213&(/4�-�0�0��56�7�8$-�:9;&(�(<+*,���-'=��/?>@ A�CBD'.�E F�#'G50�,H:�5!���.IKJL�#'= �/4�!��MONP�RQTSU�-�V��/W&('=�E�,�X�-�7���Y�,�6�,�;Z-���#H[�\�,']�6�^�_56���A$-�`SbacMXde�3fK�YZgZ-"�'�$h�C&C�#'%5�,'iIkj`lm�;5�<��#"�/n o<p�,q#���(<��r�=�Y�-�%�0�0�C&s�05Mutv >3dswAx�yWf z �{Z��#�P�#/|/]}~z+IdCMD�?f0d(}.f a d(�gxEM tv >3dswAx�yWf�f��bZ0�#���#/|/]�~zG��xD}~z+IMutv MD��,>3dswAx���f�a�N@>���d(}�x��7f�&�5_$-�#']�C&('%"%�#"p5�&|'�}�x��oz+I dY�h�,f9�<7�0�E��MD�v d(��d(��f�fDa\dCMD�.f0d(}?fXH��E�#'75��0q#�#/W"%�,�C&s�#'~�YZ�Mc9;&C�(<:���056�7��$!�;�6�^�(<��Vq��#�m&C���0/����X�,�;�(<��u���#&(']�}�j��g<7�0'�S�$��,'75-&|5m�(5��YZ�$-�#']�C&('%"%�#"p5XZm"�'�$!�C&s�#'75�jFl-'F���,�m�C&s$�"�/4�#��JuZ0�#���#/(/� A��'75���$��#"�']�6�A��/4��5��!�(5� }��#�-�o&('�I��#'� XZ��#�_�#/(/8Zm"p'=$!�C&s�#'75��~zG��9;&C�(<+dCMD�?f0d(}p�f�a{��Z��#�_�#/(/����#'=�k<���5rMD�ia{�F�,'iIkj� ��?���EN� G¡k¢E¡�£.¡!¤#¥`¥E¦7¡3£%¢E§p§,¨L§,¨L©`¦%¡�§,¢E¡!ª¬«�­r®�¥E¦i¤:¯E°�®4±8¦�¥�²#¤#¢�®�¤#¥E®4§8³?Nd�dCMD�?f0d(}.fL´UdCM��.f0d(�%f�f�µ a d(��xEMutv >3dswAx�yWf�´¶M�t� >3dswAx�yWf�f�µ �· ¸ � ¸ µ � ¸ Mutv >3dswAx�yWfL´¶M�t��>3dswAx�yWf ¸ µ �· ¸ � ¸ µ �G¹ M tv M �v >3dswAx���f�´bM tv M ��,>3dsw8x��Ef�´¶M t�hM �v >3dswAx���f?º»M t�hM ��#>3dswAx���f�¼· ¸ � ¸ µ � d6>���d(}�x�}.fL´½>���d(}�x��7fL´½>���d(�=x�}.f2º¾>���d(�=x��7f�f­X¦7¡�¢E¡3­�¡k¿%¯�¡!À�¥E¦%¤#¥�dY�h�,f�®�ª^£�°�®4¡!¯dCM tv >3dsw8x�yWf-xEM t� >3dswAx�yWf�f��Ga{M tv M �� >3dswAx���f�aR>���d(}�x��7f�¨|§,¢r¤,°�°.}gx���z~IVÁ Âà Ä�Å�Æ`Ç~È½É ÊËÆ`Ç~Ì»Í�ÎPÏ ÐÑ ¯E¯E¿]ª^¡:³7§h­[¥E¦%¤#¥�­�¡�¦%¤h²,¡o¤i±,¡!³7¡�¢-¤,°�¯�¥�¢E§8³%±8°4Ò+¨(§,¢�ª�¿%°�¤#¥�¡!ÀG£]¢E§,Ó]°4¡!ªÔ­r®�¥E¦GÕ0§8¿%³A¥E¤#Ó�°4ÒGª:¤,³AÒ°�®�³7¡!¤#¢�§,£.¡�¢�¤#¥�§,¢�¯_MDÖ�§8³¶À%§8ª:¤,®�³%¯kI�ÖX×[I�¯E¿%Õ-¦b¥E¦%¤#¥_­u¡�¦]¤!²,¡�¥�§~¢E¡!Õ0§²,¡�¢P¤�¨(¿%³]Õ0¥E®4§8³G�¾zR�¨(¢E§8ª@®�¥E¯�²�¤,°�¿%¡!¯�MDÖ�d(�.f�§8³i¡!¤,Õ-¦+I�Ö�Ø�ÙX§,¥�¡k¦7§­R¥E¦7¡�ÚL§8®�¯E¯�§8³�£%¢E§,Ó]°4¡!ª[Û]¥E¯r®�³A¥�§^¥E¦]®�¯�Ø�Üe¨L­�¡3¥E¤#Ý,¡Õ0§8¿]³A¥E¤#Ó]°�¡�À7¡!³%¯�¡u¯E¿7Ó]¯�¡�¥E¯2§,¨7¥E¦7¡uI�Ö7¤,³%À�¿]¯�¡D¥�¡!¯�¥�¨(¿%³]Õ0¥E®4§8³%¤,°�¯.§,¨�¥E¦7¡D¨(§,¢�ªßÞ v�à dCMDÖ(�.f?¥E¦7¡�¢E¡,á�­u¡u¯�¡�¡¥E¦]¤#¥`¿%³%À7¡�¢�¥E¦7¡3¦�Ò�£.§,¥E¦7¡!¯E¡!¯�§,¨L©r¦7¡�§,¢E¡!ª@â�­�¡�Õ�¤,³�¤,°4­�¤!Ò�¯�Û�³%À�¤^¯�§8°�¿7¥E®4§8³�¥�§:¥E¦7¡V±,¡!³7¡�¢�¤,°�®4ã�¡!À®�³A¥�¡�¢E£.§8°�¤#¥E®�§8³ä£]¢E§,Ó]°4¡!ªå¥E¦%¤#¥:®�¯PÓ]¤,¯�¡!À½§8³æ¤GÕ0§8¿%³�¥E¤#Ó]°4¡+¯E¿7Ó]¯�¡�¥P§,¨K¥E¦7¡�À%¤#¥E¤�¨C¿%³%Õ0¥E®4§8³]¤,°�¯^¤,³%À§,Ó]¥E¤,®�³%¤#Ó]°4¡�¤,¯�¥E¦7¡�°�®�ª:®4¥3§,¨r¤FÕ0§8³�²,¡�¢E±,¡!³A¥:¯E¡!ç�¿7¡!³]Õ0¡o§,¨r¤#£]£%¢E§!è7®�ª:¤,³�¥E¯�ØFÜ�³�¤,À%À%®�¥E®4§8³?áL­u¡�Õ�¤,³¢�¡!Õ0§8³%¯�¥�¢�¿%Õ0¥�¥E¦7¡V¥�¢�¿%¡V¯E§8°�¿7¥E®4§8³o��¨(¢E§8ªéÕ0§8¿%³A¥E¤#Ó�°4Òoª:¤,³�ÒoÀ]¤#¥E¤�¿]³%®�çp¿7¡!°4Ò^®4¨2¥E¦7¡�¢�¡V®�¯�³%§P³%§8³7ã�¡�¢E§¨C¿%³%Õ0¥E®�§8³�ê�zG�R¥E¦%¤#¥�¯E®�ª�¿%°4¥E¤,³%¡�§8¿%¯E°4Ò^¯E¤#¥E®�¯�Û]¡!¯�¤,°�°.¦7§8ª^§,±,¡!³7¡�§8¿%¯�¡!çp¿%¤#¥E®4§8³]¯�M�Ö|ê:a{��§8³iI�Ö2¨(§,¢¤,°�°]ëEØD©r¦%®�¯D¢�¡!À%¿%Õ0¡!¯�¥E¦7¡K£%¢E§,Ó]°4¡!ª[§,¨g¿%³]®�ç�¿%¡r³�¿]ª^¡�¢�®�Õ�¤,°�¢E¡!Õ0§8³%¯�¥�¢-¿%Õ0¥E®4§8³o§,¨2�i¥�§P¥E¦7¡K¿]³%®�çp¿7¡!³7¡!¯E¯§,¨=¥E¦7¡r¤,³]¤,°4Ò�¥E®�Õ�¤,°�£%¢E§,Ó]°4¡!ªì®�¥E¯�¡!°4¨�Ø�ÜY³P¥E¦7¡`¯�£.¡!Õ�®�¤,°7Õ�¤,¯�¡r§,¨=¥E¦%¡`Ú�§8®�¯E¯�§8³^£%¢�§,Ó]°4¡!ªiá,¥E¦7¡`¿]³%®�çp¿7¡!³7¡!¯E¯§,¨�¥E¦7¡�¤,³]¤,°4Ò�¥E®�Õ�¤,°?£%¢E§,Ó]°�¡!ªé¨|§8°�°�§h­r¯�¨(¢E§8ª�¥E¦7¡_ª:¤�è�®�ª_¿%ªé£]¢�®�³%Õ�®4£�°4¡,ØÜ�³»±,¡!³%¡�¢�¤,°sá�­u¡+Õ�¤,³¾¯E¿%ª�ª:¤#¢�®4ã�¡i§8¿7¢�¢E¡!¯E¿%°4¥E¯�¯�§b¨C¤#¢:¢E§8¿7±8¦%°�Ò¶ÓpÒ½¯�¤!Ò�®�³7±b¥E¦%¤#¥o¿%³%®�çp¿7¡�¢E¡0íÕ0§8³]¯�¥�¢�¿%Õ0¥E®4§8³¶§,¨`¤~¯�§8°�¿7¥E®4§8³G§,¨�¤~¯E¥�¢E§8³7±8°4Ò�¨(§,¢�ª_¿]°�¤#¥�¡!Àb±,¡!³7¡�¢-¤,°�®4ã�¡!À¶®�³A¥�¡�¢E£.§8°�¤#¥E®�§8³G£%¢E§,Ó]°�¡!ª�®�¯£.§8¯E¯�®4Ó]°4¡,á�®4¨�#Ø3¥E¦%¡3Ý,¡�¢�³7¡!°�>{¤,³]Ài¥E¦7¡�°�®�³%¡!¤#¢�§,£=¡�¢-¤#¥�§,¢�¯rM�ÖL¯E¤#¥E®�¯�¨|ÒGdY�h�,f�§8³~À7§8ª:¤,®�³%¯`I�Ö�×UI3áîpØ3¥E¦%¡�¢E¡�®�¯`¤P¨C¿%³%Õ0¥E®4§8³��FzG�ߥE¦%¤#¥r¯�§8°4²,¡!¯`¥E¦7¡�£%¢E§,Ó�°4¡!ª�À7¡0Û�³7¡!À�ÓpÒ�À%¤#¥E¤:M Ö d(�.f-áïpØ3¥E¦%¡�À%®�¯EÕ0¢E¡�¥E®�ã!¤#¥E®4§8³%¯�§,¨�¥E¦7¡_I Ö ¤#¢E¡�À7¡!³]¯�¡,áð Ø3¥E¦%¡�¢E¡�®�¯`³7§:³%§8³7ã�¡�¢E§�¯�§8°�¿7¥E®4§8³�§,¨L¥E¦7¡k¦7§8ª^§,±,¡!³%¡�§8¿%¯`£%¢�§,Ó]°4¡!ªé®�³���Ø G¡�³%§h­@¯E¦7§­@¦7§h­�¥�§bÕ-¦7¡!ÕEݽ¥E¦7¡iÕ0§8³%À]®4¥E®4§8³%¯�dY�h�,f�¨(§,¢:°�®�³7¡!¤#¢�§,£.¡�¢�¤#¥�§,¢�¯^M\®�³�¥E¦7¡i¯�¥E¤,³]À%¤#¢�ÀÕ�¤,¯E¡_§,¨DñK®�°4Ó.¡�¢E¥`¯�£�¤,Õ0¡!¯r§8³FòWó3ô�­r®4¥E¦~¯�ª^§�§,¥E¦+¯�Ò�ª:ª^¡�¥�¢�®�Õ�¥�¢�¤,³%¯E°�¤#¥E®�§8³põ�®�³�²�¤#¢�®�¤,³A¥r¤,³]À~ö7§8¿7¢-®4¡�¢Yõ¥�¢-¤,³%¯�¨(§,¢�ª:¤#Ó]°4¡VÝ,¡�¢�³%¡!°�¯�ØD©`¦7¡!³~À%®n÷.¡�¢E¡!³A¥E®�¤,°.§,£=¡�¢-¤#¥�§,¢�¯`M¾¤#¢�¡kÀ7¡0Û�³%¤#Ó�°4¡V²p®�¤^ö%§8¿7¢�®4¡�¢`¥�¢-¤,³%¯�¨(§,¢�ª:¯¤,¯ dCMD�?f0d(}.fuaìdsî#øgf�ù ô�ú µ�û#ü ý%þVÿ�Ld���f ÿMXd���f�� Ö v����� �æ¨(§,¢r¤,°�°?}+z~òWó ô Á

Page 11: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

��������������� �������������������� ���� ���������� ���"!��#���$ �!&%'�(�)��������*,+.-0/&12����34�� ���� ��5!7608:90;=<�>&8?���#!@�@ ������*A608:9CB@<�>�D����� E�@���@����#!���������(�F���HG���������$ I>J�$�(��!���!@�K��*L��3� M*?�����$�����(��!7NO1P����38:NCB@N >@QSRUTV8XWYZ>�[ /�\^]L_�` a#bdcfeNL8hgJ> c ]e608hgJ>ji glknm

123� �� 0��3� po��(����� �K�@����#!@*h���qr��*A6s��!7� �(!�������G� �t"u2�v1w��3� Ex#�!��K������ ���zy)��*K8^{v|�>Kq4 �����!_ ` a�b e608hgJ>}] c e~ 8hgJ> c ]e6M8hgJ> i g�T _ ` a#b e608hgJ> c e~ 8hgJ> c ] i g�knmn�

� * e6E8hgJ>��� ����vy�!K��K����x������zy4��K�� ���!@�K������ ��@g0� [��] �����=��* ~ �5!�������� �� ��H������������ ����@��J��*C����� �7��q��(!@�&��D���3� p�� �IG� p���H�@ �������,��!K� �(���#�� ��=��*����W���� i � 8^{��(>

� 3� M!@ ��$�(���F�#���� ���zy)��3� ��F*:�(�����I1P!K*:��(q~��� 6M8X�(B@��>�T 8XWYZ> [ /�\^] _ ` a#b 608}��;���>^�,8hgJ> e~ 8hgJ>^��� �� �¡ i gT 8XWYZ> [ /�\^] _ ` a#b e6E8hgJ> e~ 8hgJ>^� �:¢ � [�£5¤   ¡ i g8 ~��� 6M8X�K;��U>@> � 8hgJ>�T e608};&gJ> e~ 8};KgJ>^� [ � �   ¡8:NZB ~��� 608X�P;��U>@>@Q T 8XWYZ> [ /�\^] _ ` a#b eNL8hgJ> 8 ~ �� 608X�P;¥�U>@> � 8hgJ>

e608hgJ> i gT 8XWYZ> [ /�\^] _ ` a#b)eNL8hgJ> e~ 8hgJ> e608hgJ>^� � �   ¡e608hgJ> i gT 8 ~ N >$8:<�>��

� 3� ¦�$�(�H�����������§y¨��* ~J�© ~ £� 608X�ªB@��>KT¦R�67«L8:9F;S<�>K12�����Z�#!���������yF*:�(�����I1¬*h��(q­�=����� ��$�����������#��������(���*7��3��5!M�� �1®� �(!�������G� �!� �q����� $x��#���@ ��� ���� ��XDL��*���3� �������(���#���¯�� ���� ���6¬�5!M!�q4������3� ����(���(3,t±°7���!������$ ���3� �o��(����� �J�@�����!@*:���q���*L67«F�5! e6 c e~ c ]DH��3� E�$�(�H�����������§y���*L67«=*:�(�����I1P!������ �����y�*:��(q­8^{��(>��y¨����� �(�� �GF!@�#���$ d �qp� ������5�������(��q4 ��H��!�tK²����@���� ���3� ��D³8^{��(>&�5q4�#���� �!M8^{v|�>�D´�����O��!&!�����5!^x# ��¨��*��3� M�� ���� ��C6'��!K!���µ±���� ��ª����y)!�q4������3F*:��&��3� M������#�� �q¶�@��� M!@�(��G� ��,t· ¸ ¹¦º=» ¼¾½K¿¨À¥Á�¹4 Ã� �¦� ������$ ������$�(���H����#�� �!@ ���!A��*Z�@ �!@��*?�����$�����(������!"*:���Ä�Å�Æ�Ç&������#�� �q�!³�@���$�(���H����#�� E!����#!� ���!�DH1J x��!@�¯���#!@ ��G� K��3#��"��3� 7�@ �!@�"*?�����$�����(�#����!L*h��³1J ����������#�� �q�!L3#��G� &��3� 7*:���qÉÈ�Ê�Ts- [´Ë 8:Ì�>C123� �� ��3� K*:���#�$�����(��!¯ÌpG��y4���¦��3� P!����#!@�#���$ PͬTs-�8?ÎK>C��*L%���3���"���5!@ �!"������3� KG����������(������ �ÏH�#������(��@�4� E!@�(��G� ��´t�°�y±������ ���§y�Ð���* � 3� ���� �qÒÑ�D���3� 0*?�����#!� ��&Î���*¯!�����3)�@ �!@�K*?�����$�����(������!7�$�(�ª�����5��!�4�$�(�#�ª����#�� p�� ���!@ 0!����#!@ ���D�����Í®�$�(�H��������!2�4�� ���!@ M!����#!@�#���$ E1P����3F�4�$�(�#�ª����#�� 0�#��!���!�t � 3���!7��!��3� d!@�������#���F�#�����H����(�#���j*:��P����vG��������$�(�HG� ���� ����$ ���*¯��3� dÓ2��y��� ����(3�ÔHÓ2���@Õp�����O���F�#���������������3� 0x������@ E ��� �q� ��ª�Pq� ���3����,t°J���M��3� �*:���q4 �1J����Ö1� ��� �G� ������ ���3� �� ��������v1P!0����3� �d!�����!@�#���$ �!E��*PÍ×TÉ-�8?ÎK>�t � �Ø�#�@Ù���5��������D�1� ¨��������!@ jq4 �!�3��� �!�!4�� ���� ��&q4 ���3�����!4�@�Ú�� ��� ����@ O���l $Û��@� �q4 ���y������� jG���� ��§yÜ��*�� ���!@ �!�����!@�#���$ �!E1P����3��$�(�#�ª����#��yÖq����HyÖ�� ��� ����@���!�t � 3� ¦x#�!@�0�@ ���3�����Ï��� 4��!E�@�¨�#!@ 4� �(!�������G� �� $x������@ ±*:���#�$�����(��!M12����3S�$�(q��#���$�4�����S���#���@����5��yÖ!�q������A!������ ����p��3#��¦�� =�$�(�H�������� ������l%dt������3S*:�#���$�����(��!d�� =����vG����� ��Ú�HyÚÝ��sÞßW(|�à7�����SÝ� ������5������ÞßW�Ñ�àftÖá������������Ö!�����3S*?�����$�����(��!d���������(�����P�$ ��H�@ ��!)�����l�#!��������������(�����&!����#������4��������71P�5���7y��� ������� ���!� ¨!����#!��#���$ �!4��*�%­1P����3�$�(�#�ª����#�� �����!@ �!�t"²�������3� �7�@ ���3��#��ÏH�� �q��vy������ M!�3#��*h��!���*,��3� �8:� �(!�!����#��y�!������(���5�â>¯�� ���� �����*"%

ã�ä

Page 12: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

�������������� ���������������������������������������! ��"�����#���$�%��� ��&'�!��(�()��*������+��������������������+� �(�*��,��-�� ��.�����$/�������0�����1*��� ��,��2��� ��3���4�5*!���������%6879����� *!�:5�5*!� �5��� ��;�%���<�5(�(���&:���%��� ���#(=�5*�������������>���?�������@&:�������*A�5�����%*'�5*�B=����*!�5*�&C���.�%���D��(��������2���0�E��������������%FG��6H3�6:��������:3������%*A�5�����IB.&J ��K$� ��3L���������'��M"���5*���������A����� M.�����%6N7O� �����P����������5�5*!� �5��������Q��� �4�$3������%*!�5���R����B���(=�������Q�������#������"���5B�����B=�������%F$�����������%&�S� � �T&.� ��� �1�������%*�3����"�R����3���*!������ :�UB"&;�����V�����%��*!&1���%�������()���L���%*���6

7W���%�����4�����X��������&$��� �8���=��(=�������N�Y��*Q ��������������8Z��%*!������ ��%�����$���������$� ��3O�[���5Z+(�*���B�� �� ���� ������� � ����1B)�'�������6�\]�C(��5*���� �%���4�5*�F�������%���C�Y��4���K�^�����+(�*��.���N�����!�����4M"���'�Y��*O_=�������2������ ����"�V ��%�����$�����(`���J�����`� ���%� ����� ��3La0���$bc�+� �� � ��$F������`�������`����;�����'���d(�*!�K��1�5(�(�*��Ke$� :�5������I��*!���%*!�2����*Z��%*A�����gf�B��������h����B���(=�������U���Ni$��BT�� �%;��(=�������%6

j kmlhn�o-prqhs t5uwv xyq�z {|nXvh}�~��;o�tK���

� ���2(�*��%$������S��������������S��3����*����h�����'�����#�%������&;�5*A� ��� ��3:�������<�����+���� ����� ��L�J�;�����N�����'3��������������&"���4�'(�*���B����� ��]�K�S()������J� �J�;����*! ����J� � �����5*V��(=�����R�����"���V�����V���K����������3�J*��%3��� �5*!����&����B)�d� �W���!�������5B����d�S� � BT�%*!�:��(������������������������%�����-(T��!��������d����_=�������L*!�%(�*��$�����%� ��3�Z��%*A������ 6I�D�����"�@&����S����������*A�'*!�%(T��*!�'3��.�.�w����"��%*�3��������L���O �������� �����' ��%�����.���+�4���!���!�w�%�������%F>����������R�����������5*!�#��e$�� �(������0�5*��V�"�� ��%*!� �%���=�����!����� M"�����>����� ��3+ '��� ��� M"������*!� �%�%F������%*��'���������� �����[�����������&"���4�V����������������%6 � ��� �-� �S�:���%*!� ����-(�*!��B����� �����*�(�*!�K$� ��3:����"��%*�3���������FP�%*�*!��*�B)���������F����������"��%*�3�����������*A���%*!�%FP�����C���R��&.������ ��5��� �%��� ��&L�5*A� �����O�������d�����X�����%*O�>���"���R���1�[��*�Zh�������C��� ��� ��� ������Z��%*!����� � F�B����-��3����*!���U�����5�U�����r���� ��������1���8�����V3������L����*����3��&;��*-�>���5Z.��&1����*! +��� �5�����(�*���B����� ����"���S�����S���K��+�!�$�#�%�����"�-*��%3���4�5*!���@&1���1� ���2� �L����� � ���5��� ����#�O� ��B)�%*��-��(=���������Y��*O������A��������hZ��%*!������6

���,�[�%��%*�FN���4���������5������:��(��������V���0()����������������_=�������XZ��%*!����� �2��������� ��&d�5*��:����������� �J��5*A�������������%*�F '���!�+� �5*�3��%*���(��������%F��E��������������G����*�� ���������[��(=�������8�%���+B)�[�5(�(�*���e�� ��5�����'B.&V������������������*��  ���5������:��(��������r���h�5*�B�� ��*!�5*�&d���%�%��*!����&�6 � �.���V�����%*����%���IB)���5(�(�*!��e�� ����"���VB"&J ��������������Z��%*A�����Q ��%�����$���R�����5�2����������� ��&J�������%*�3��#���K�0�5*!���r�?FGB����R�����2� �J����������()�����3�&C���>���������5��������(������h�+F�B����r�����&�� �I�����#����()�����3�&I���U�����1� �5*�3��%*X��(������X��6L\¡�'� �+�L(�*���B����� ¢���-£S�� ��%*!� �%���7O������&$��� �-���#�����,�������5�O���%*������ �d����3���*!������ :�-����������� ��&1(�*!�.�������2�����!�d�5(�(�*��Ke$�4 ���������6Ui.���������5*!���e��� �(�� ���L�5*��`� �¥¤H¦$�F2��§$FS¦�¨$F�¦�§�©ª6«���%*���FR�>�`�5*��`�!�5��� �]_����¬��� ���¬(T��4����� ��3�����<�����5�h�����A��5(�(�*���e�� ����"���U��e�� ���-�������%*U��%*�&1�[���5Z<�����������������%6­+®°¯"±=²,¯$³ ´.µ·¶R¸A¸A¹$º:»>¼�½.¾�¼P¼�½$»Q¿"»�À)»�Á�¾5ÂÄà ÅK»!ÆRÃ�À�¼@»�Á@Ç$È5Â�¾�¼EÃ�È5ÀVÇ=Á�È�É%Â�»%º �]�K� Ç$È5¸%»�Æ2ÃYÀ+¸%È5º:»>À=È5Áʺ:»�ÆÂgÃ�ÀT»�¾5Á+¸@Ç$¾ËA» � È]Ì>Ìʹ.ÀTË�¼EÃ�È5À�¸XÈ�À�¾LÆÈ�º�¾�ÃYÀJÍ�Î9ÏÑÐVÒ;½.¾5¸X¾1¸%È5Âg¹$¼EÃ�È5À �I�L�:Ó ¶V¸!¸Ê¹$º�»0ÌA¹$Á�¼�½$»�Á¼�½$¾�¼X¼�½$»�Á�»CÃY¸L¾wËAÈ5¹$À�¼ª¾�É� »d¸Ê¹�É�¸%»�¼'È]Ìh¼@»�¸Ê¼[ÌA¹$À=ËK¼EÃEÈ�À=¾5Âĸ1Ô�Õ �×ÖSØ�Ù¬� ÏÑÚ ¸Ê¹�Ë%½Û¼�½.¾�¼+¼�½$»�Á�»CÃY¸ÀTÈIÀ=È�À�¼EÁAÃ�ÜKÃ�¾5ÂGÌʹ$À=Ë�¼EÃ�È5À�Ý �W�|Þ Ã�¼�½`Ô"Õ � Ý �;ß�à Ì%È5Á'¾5Â� Ù�� ÏÄÚIá+Ã Ó » Ó ¼�½$»�Ç=Á�È�É� »�ºâÃ4¸ Þ »�Â�Â�ãÇ�È�¸%»!ÆLÃ�À � »%Ü5»�À�Ì%È5Á�¾LÆ�»%À�¸%»:Ë!È5¹$À�¼ª¾"É� »X¸Ê¹�É�¸%»�¼-È]Ì[Ìʹ$À=Ë�¼EÃ�È5À=¾�ÂѸ Ó+ä »%¼-¾1¸�»�å�¹�»%À=ËA»�È]Ì0ÌA¹$À=ËK¼EÃEÈ5À�¸�Tær�#��ØDç1� ÏÄÚèÉ!»XË!È�À�¸Ê¼EÁʹ�Ë�¼@»�Æ1¼ªÈ:¸%¾�¼EÃ4¸�ÌAé

Ô�Õ ���)�Qß Ô"Õ ���Tæ5�AØS�Rê�Ù�ê�çÉ%éC¾5À�éCº:»�¼�½.È�Æ Þ ½.¾¼�¸�ÈK»%Ü5»�Á Ó9ë ½$»%ÀÛ¼�½$»SÌA¹$À=ËK¼EÃEÈ�À�¸ �=æ Ë!È5À�Ü�»�Á�¿"»L¼ªÈ Þ ¾5Á�Æ�¸ � Ã�Àì¾CÀ=È5ÁʺmÈ5À �¼�½$¾�¼>Ã4¸+É!È5¹$À=Æ�»�Æ<¾"É�È5Ü�»�É�é<í�îEí�ï Óð ²,±P±=ñ�òU� �5Z��X���"&1����M"���������r���N()�����������V*!�����?�.�� rB)�%*!�-ó Õ �����!�h�����5�Rô Õ ó Õ.íÊÔ"Õ$í!õï?ö �������%*�3�����6� �����

���°Ø Ý ��÷ ò ßèøùÕAú°û ó ÕKÔ�Õ ���)� Ô"Õ � Ý �ÊØQ�?Ø Ý �:� �]��§�

�4�U���h� �����%*>(�*��.�������0��:��F������L�����r����*�*�����(T������ ��3X����*! ������U�����VB)������

í � í õ÷ ßüøùÕAú°û ó ÕKÔõÕ ���)�>ê í � í õï øùÕÊú°û ó Õ$íÊÔ"Õ$í

õï ö î

ý$ý

Page 13: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

������������� ���������������������������������� !�#"$�%�&��'(�� ���)+*,�-".�#��/#�� ,�0������� �/1�&23��'0���#465728*���23���&�9�#�0�� ���4��0:�#�-*8�&��;��� =<?>#>@:A>BCED�FG�IHJ ���KILNMPORQ�S!TUSVL�QXWY�# �;Z�#[8���0���#�%������-���,�%'0�#4�'0*�4\������� ]�&�&�#28�-�".�&�0��!HJ ����&�% +*���[3�0�^�#"_�&�&�028����"`�� ���#"_���,�KILa��# ������,���0D%bc����*��%� ,�edf��������#4�4gKIL ����23�����������#�#D���h����'0*,�������#��4�ij;��IHJ ,���k�&��)+*,�� �'I�l�#"m23�����������#�� +*���[V�0�(�on�LU��*�'��p������q>KIrL n�L0sutUvwKxrL0sut n�L����4�;��%".�#�a�#4�4Gyk�# �;z���,�qn�LZ'I�� {�#�0��/#�]�&�}|0�0���,Dp~��,�� kd���2J��'������,�Z {*���[3�0���%�+LZ��*�'��z������>K rL �{L0sut�Qx��L0sut#Q rW�� vYn�Lm�,��4�;��_".�#�9�#4�4Ay!�# 8;!���,�^�".�#�����%�� {������ ,��;���*���'I�� 7�#�0��/#���0D�9�ed�[+i 'I�� 8�&�&��*�'I������ Q�S T�SJL8Q�r� O ���x� L0sut � � �

r� �.S1TlSVL�v Q�SaTlSJL8Q rW ���x� LIsut � � Qx� � Q

rW �v K rL ���(� L0sut

�> n �0�t

KIr�0� tv �> K rL n�LK rL �����

�> � �� �Y�0�0�6�O n�L�� ��9�0��������� ,�� @5{'I�� ��&�&��*�'I�����#�-����4���&��;o������*�4��0M

�m�u�{�J�e�@� �J�����(�( @¡1¢�£.¤+¥#£¦£.¤@¢¨§{¢I©3¢Iª&¥«P¬�­®¢�¯�¬.©8£°¢Iª°±@²«�¥#£³¬´²©-±Jª&²7µ0«�¢0¡ ���®� ±@²�0¢�¯^¬¶©m�0²¡1¢�©J²ªx¡1¢�¯«6¬.©V¢�¥ªm�°±@¥�·(¢9¸¹²�º�ºx +©V·�£³¬´²©,��²#©U¥o¯�²#¡%¥#¬¶©]»½¼p¾À¿-Á ¤+¥��¥N�0²«6 @£³¬´²© Sl ¸1Ã��-���x @¡¢_º( @ªI£.¤@¢Iª£.¤@¥#£�ÄŬ\�l¥zª&¢Æ±Jª�²®¯ �·0¬.©{§Y�(Ç¡�¡1¢0£³ªx¬³·o±@²�(¬³£³¬¶È#¢h¯{¢³É¨©�¬³£°¢lÊ#¢0ª(©V¢0«�²©Ë¾À¿ Á º0²ª}¥�Ì-¬.«�µ(¢IªI£%�°±@¥�·(¢Í £.¤+¥#£�¬¶�Z·�²©J£³¬¶©� �² +�x«PÇj¢0¡µ(¢�¯�¯{¢�¯=¬.©l¸1ÃÏÎ`¬¶©V¥«¶«6Ç�Ða£.¤@¢0ª&¢]��¤+² @«�¯zµ�¢l¥k·�² @©8£E¥{µI«�¢Z�( 8µI�0¢0£%²�º£°¢I�x£�º( @©J·®£³¬³²#©J¥«P� � � ½Ñ9Ò%ÓË ¾ÀÔ �( �·0¤�£.¤+¥�£m£.¤,¢Iª�¢q¬\�!©J²h©J²©J£³ª(¬.È®¬´¥«Aºx @©J·�£³¬´²©�Õ Â ¸wÖg¬³£.¤� � � Õ �¨OËB ºI²#ª�¥«.« Ó ¾ÀÔ�Ã�×�¤,¢I©]£.¤@¢Iª�¢�¬\�G���0¢�Ø0 8¢I©J·x¢�Ù�Õ L7Ú®L ²�ºgºx +©V·�£³¬´²©,��¬¶© Í £.¤@¥#£�·(²©�È#¢Iª´§{¢x�£E² S ¬¶©�¸1Ã%×�¤7¬¶���0¢�Ø� 8¢I©J·x¢�·(²©,�x¬\�I£.��²�º��I²«6 ,£³¬³²#©,��²�ºgɨ©�¬³£°¢^�( 8µX±Vª�²7µ0«�¢0¡m�^Ög¬.£.¤�¯�¥#£E¥N·�«Û²���¢�£E²a£.¤,¢¯7¥#£E¥!²�º S ÃÜ �e�¦�JÝ Mc�c�#�&��H8�����c������G"³*� �'I������ ��#4\�c�� ¸�Þ ������� lÍ Þ D����m���+*���'0�# ]".�#����*84���&�������m28���#[84�����\ YÍ�:�[8*,�������#�1 ,�l�&��4�*,������ ����,�0���#Dzß�*������,�0���%�#���#:�d���'0�# k�Ià@�&���#'I�1HJ ����&�!��*,[J�&�0���%�#"G�&���&�"³*� �'I������ ��#4��`�# 8;1d��#���1�� HJ ����&�x5{;8���%�� ������� ��#4,��*,[8��28�#'I���`�#"¨Í�á ¸ �&�m/#�� ,�0����&�-'0�# �;���;8��&���`".�#�'I�� {�#�0��/#�� �'I�m�&�®d_���;��9S�D�9�edz�#����*�������8��¨�#4�4+�&���&�¨"³*� �'I������ ��#4\�u����� ��#����#4���|0��;m�&�^���®�#�� ,�#���â�ã�� aÍ�Dg~������&��4\*,������ S} ¸ �&�����®��'0�# Z[3���282�����à,�����&��;q[+io".*8 �'I������ ��9SJL%Â�Íäá ¸ �&� �# {io2�������'I����[3��;o�#'0'0*,�(�#'Ii#:�# 8;ld�� �#����*��%�������m���,� �&��){*��� �'I�lQ�SqT=SJL8QxåY�&�� �;����&��|0�0���Z".�#��y}æ çYDoF�*,�1�&�]*� ��\){*,�����4����[J��4����Xiq�#"ã���,�N'I��*� {���[84�� ��*,[�2����#[84����è�� kÍâd��N'0�# }28�\'���".�#�����#'(��y}�# h�\ �;,�Ià�éAL� ¾6Ô��*�'��!���8������,���&��4\*,������ Õ L�Â]ͽ�#"ê���,�^2����#[J4����

� � �.SVL�`Op� � � Õ L�(Ò9��vUÓvkéAL���������H8���oQ�SJL^T Õ L8QxåëvèQ�S�T=SVL,QXW_:u[V��'0�#*8�&�1".�#��4����/#�éAL ���,�14��0".�Æ5{���# �;l����;,�1'0�# }[V�a��#;,����[8���&������\4�i1����#4\4´D$���^���,�� ��8���#�

Q�SaT Õ L�QXW v Q�SaTlSVL,QXW��ìQ�SJLcT Õ L�QXWv Q�SaTlSVL,QXW��zí Q�SJL9T Õ L�Qxåv Q�SaTlSVL,Q W �zí Q�S1T}SJL,Q åv �����kí��®Q�SaTlSJL8Qxå�# 8;/#�0�_'I�� 7�#�0��/#�� 8'I� Õ L-æîS!�� ¸ D¨~��,�9;�������#"¦���,�c".*� 8'I������ �� Õ L-����G'04����&�G�&�����,���&�G�#"¦S!;�*,��&� ï � � � Õ L#�uTU� � �.S¦� ï O ï � � �.SJL#�êTU� � �.S¦� ïv �ãð,Q�SVL9T}S¨Qxå`� �

ñ�ò

Page 14: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

��� ������� ����� �������

��������� �!�"��#%$&�('��&)*',+.-%�0/"�1#%$2/"-3'!4�',�5)76849-:�; #<+'2)*+>=?/"@&�A4B�2C2/ ���D@E=F/"�56G+9�H-<#<)%+.C&I.�"JK+9)L6M�D4�N?�OJP�Q+9)*RH�2�"4�#<�D@S'�)%+9T��O�DR�-U/"CWV7'�'��"/O�D@

VXC249�OJ?-%/"-DYZF; #<+[@&�\�!C&�]4^I9�DC&�5)_49�1R^�D-%$��O�D-%-3N9�5)*C&�D�`#<�Da*$2C2/cbd�&�]��+9)�#%$&�D/")�-<+.�"�&#%/O+.CL49C�@eF; #<+f'2)%+>=9�g#%$24�#(#%$2/"-(#<�Da*$2C2/cbd�&��/c-]-%�2a5a\�D-%-<�h�2�i��C2@&�5)06M�D4�Nj49-*-%�2R^'2#%/"+.C2-0+.C�#%$&��'�)%+9T��O�DR

T!49a%NFI9)%+.�2C2@ ;VXR^+.C&I[R�49CkJU+9#%$&�5)l+9',�DCm'2)%+9T��O�DRg-5Yd68�n-%�2I9I9�D-<#�#<+[@2�5=9+9#<�(���2#%�&)%�])%�D-<�D4�)_a*$m#<+

:�; )*�5'��"49a\�0#%$&�(@&�DC2-*/O#oJ�4�)%I.�2R^�DCd#%-p+9�q#%$2/"-8'�4�'r�5)pTFJ[�5)%)*+9)pT,+.��C2@2-349C2@La\+.Cd=9�5)%I9�DC2a\�n)_4�#<�D-5YZF; �,C2@U�\s[a5/O�DCd#�=t4�)_/"4�#%/O+.C2-p+9�q#%$&�n49�"I9+9)*/O#%$2Ru@&�D-*a\)*/OTr�D@L$&�5)%�9YeF; �\v?#<�DC2@f#%$&�(��)*49R^�568+9)%N�#<+[C&+.C2-%JFR�R��5#<)*/"aX#<�Da*$2C�/"bd�2�D-7�"/ON9�(wn49C2-%4?xy-7a\+.�c�O+Fa54�#%/"+.CfR^�5#%$&+?@

z :D{�| +9)7#%$&�(}~�D-%$2�O�D-*-��`+?a549�`�q�5#<)%+>=k�?�049�O�5)*NF/"Cf#<�Da*$2C�/"bd�2�(+9�qV3#%�c�&)*/r�5# ; 49� ; z e Y Z Y2� |�;

�����?�^�p�^�B�(�^�

z :�|^��; V7)%+.C�-<�D4��<C ;�� $&�5+9)*J^+9�`)%�5'2)%+?@2�2a5/cC&I]N9�5)*C&�D�"- ;X�&�<���&�5�`�X�g�\�5�,���9���F�`�,�D��� Y2�9�F  e9e.¡ �k�.¢��&Y:D£9{ ¢ ;

z Z�|g¤r;���; V3#%�"�&)*/¥Y9¦ ; § � ; w(/"RmY�49C�@�¨ ;>©�;kª $&+ ; VEa\)_/O#%/"a549�?49-%-<�D-%-*R^�DCk#«+9�!#%$&�M#<)_�2�OJnR^�D-*$2�O�D-%-q�O+ §a549�r�¬�5#<)%+>= § �049�O�5)%N?/"CA­h}~���8�(®M49C2@U�O+?a549��Tr+.�2C�@24�)%J�/"Ck#<�5I9)_49���DbF�24�#%/O+.CA­h�1¯8°²±8®¬R^�5#%$&+?@2- ;³ �9�7´,µ?���.�h¶h���,��·1���%�5�F���2¶¥�\� Y Z �&  e �k�>� e.¡�Z Y :D£9£9£F;

z e�|g¤r;k�n; V3#%�"�&)*/&49C2@ �]; � ;?¸ $d� ; VSC&�56ER^�D-*$2�O�D-%-i�"+Fa549�2�¬�5#<)%+>= § �049�O�5)*NF/"C¹­h}~���8�(®i4�'2'2)%+.49a_$/cCLa\+.R^'��&#%4�#%/O+.C�49�`R^�Da*$�49C2/"a5- ; ³ �9�7´,µ?���.�h¶h���,��·1���%�5�F���2¶¥�\� Y Z9Z   :9:>¡ � :DZ.¡ Y :D£9£ � ;

z � |g¤r;,��; V3#%�c�&)*/q49C2@ �(; � ;º¸ $F� ;X� $&��R^�D-%$2�O�D-*-7�O+?a549�«�i�5#<)%+�= § �049�"�5)%NF/cC­h}¹�1�3�(®l4�'2'2)%+.49a_$��+9)7-<+.�"=F/"C2IH'�)%+9T��O�DR�-p/cC��D�"49-<#<+ § -<#%4�#%/"a5- ; ³ ���l´!µ&���9�h¶¥���!��·1�»�%�\�?���2¶¥�\� Y Z9{   : � £ � :>¡�£ Y Z ¢9¢9¢ ;

z {�|g¤r;y�n; V3#%�"�&)*/`49C�@ ¤,;º¤ $&�DC ;3� $&�nR��D-%$2�O�D-%-l�O+?a549�`'r�5#<)%+>= § I.49�O�5)%N?/"C¼­hR��O'2Id®3R��5#%$&+F@` 84[-%/"R §'!�O��½G�O�D-*- § a\+.-<#%�OJ�49�"#<�5)*C24�#%/O=9��#<+A#%$&�[�!C2/O#<�U�D�O�DR^�DCd#^49C2@�Tr+.�2C�@24�)%J��D�O�DR^�DCd#�R^�5#%$&+?@2- ;³ �9�7´,µ?���q�j�D¾d�\·O�1¿3�dÀd���,�5¶¥� Y e   :9: � {?: Y Z ¢9¢ ZF;

z � | ° ; ¯34�T��!Á-<N�4^49C2@m¨ ; } ; }~�D�O�DC&N ;i� $&�0'�4�)%#%/O#%/"+.C[+9�«�2C2/"#oJgR^�5#%$2+F@ ;¬Â_�����qÃ&�ºÄ]µ?�g�\�5�`���D���.�\�¿p�dÀk� Y&�.¢?  ¡�Z.¡ � ¡�{ �FY :D£9£.¡d;

z ¡>| ° ; ¯34�T��!Á-<N�4?Y�¯349C&�5)h�<�5�^Å ; Y149C�@A¨ ; ± ;1Æ -<Tr+9)*C ; }f�D-%$��O�D-%-]49C2@¹I9�DC&�5)*49�c/O�5�D@¹�!C2/O#<�H�D�O�DR^�DCd#R��5#%$&+F@�-5 ÇVÈ-%�&)%=9�5Jg+9�1-<+.R^�]R�4��<+9)3)%�D-%�2�O#%- ; °ÉC ���\�*�*Ê��%�*�X���5���?�D¾t�ÇÊ\�9��Ë7���\�h¶h��·!Ìn¶ ÍX�\�%�\��Î�h¶¥��·q¿7Ï5µ2�9�h¶¥���&�_Ð�Ñ��%�D�hµ?�%�^Än�.�o����¶�� ³ ���l´!µ&���9�h¶¥���!�9·¬�,�D¶¥�5�!�_���9�!¾L¿3�dÀ.¶Q�,�_�\��¶Q�FÀfÒ?Ó Y�'!4�I9�D-: � Z ¢ ;`¤ '2)_/"C&I9�5)DY Z ¢9¢ ZF;

z � | ¨ ;Ô¤,;iª $&�DCºY ªX; �q49C`Yi49C2@ ªX;��]; �j� ;AÕ �5'2)*+F@2��a5/"C&ImN9�5)*C2�D�¬'�4�)*#%/"a5�O�[R��5#%$&+F@�-n��+9)^�"4�)%I9�@2�5�Q+9)*Rg4�#%/O+.Cm49C249�OJ?-%/"-3+9�«C&+.C2�c/"C&�D4�)�-<#<)*��a\#%�&)%�D- ; ³ ���l´!µ&���1�»�5���F�>¾t�0�3´.´!·O�1���*�\�F�1¿p�dÀ9�¥Àk� Y:De9£   :D£9{ � Z9Z.¡ Y :D£9£ � ;

z £�|gª0;iÖ )*49C&N9�¹49C2@ Õ(;M¤ a*$24�T�49a*N ;ת +.Cd=9�5)%I9�DC2a\�f+9)_@&�5)��D-<#%/"Rg4�#<�D-�+9�0R^�D-%$2�O�D-*-^a\+.�"�O+?a54�#%/O+.CR��5#%$&+F@�-~�2-*/"C&IE)_49@2/"49�(T!49-%/"-~���2C�a\#%/O+.C2- ;Ø�l¾�Ù����!�_�\�»¶�� ³ ���l´!µ&���9�h¶¥���!��·n�j�.���?�\���9�h¶¥�\� Y�F  e � : � e9£9£ Y :D£9£ � ;

z : ¢ |Uª0;�Ö )*49C&N9�p49C2@ Õ(;k¤ a_$24�T�49a%N ;!¤ +.�O=?/"C&Il'�4�)%#%/"49�F@2/ Úr�5)%�DCd#%/"49�d�Dbd�24�#%/"+.C2-qTdJna\+.�c�O+Fa54�#%/"+.CH��-%/"C&I)_49@2/"49�rT�49-%/c-3���2C�a\#%/O+.C2- ;¬�3´.´!·O���j�.���F� ³ ���l´r� Y £9e   ¡�e �F� Z Y :D£9£ � ;

z :9:�| } ; V ; �0+.�OTr�5)%I~49C2@ ªX;Ô¤,;iª $&�DC ;W�1�?���g�D���F�D¾��<ÊlÊ�µ?�!¾.���g�\�!����·8�\��·Ûµ&�h¶h���2�XÊ5���n´?�9�o�\�!�h¶h��·ÔÐÜ �\·Û�H�F��· �cÝ^���!¾L¾9¶ Í�µF��¶h���[´!�<�kÞ5·O�5����;3ª +.R�'��&#%4�#%/O+.C249�1}f�Da_$249C2/"a5-l�¬�&T��c/"a54�#%/O+.C2-5Y :D£9£ � ;

ß9à

Page 15: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

����������� ������������������� ���"!����$#% & ��'���(*)�+,+�-/.*0 12�3�4��5657���/�".$17���8!9):0 ����16��5;!<��($16(>=?'��<�4.$17����(/@BA;CED�D�F7AHGJI�K?L9ANMPO"Q�D�A2R ����S9T6�VU�U�W���X�Y R �"Z�ZB�"

����[������ ��>���������]\3B^_-�1`bac=d'�������+�-��e.$��5;(*��52'B.$17���:+�-/.$�B���8=?��0>16�ef�-/0 (*-g�B-��".��4�����<'��4.$17���h 0$��!<57-�+:jilkem�n?k%o o/pqn?kem C k I"Fsrut n t3v n K?Lxw�O�y k%z I p r i F o Q o/k KdR ��X9T|{}X�SVW}{}S�~ R �"Z�Z"{B

���4{"������}�����x���<�x��e^J'�;a��e'<+�-/0 16�/��5��4��+ h 'B.$�".$17����=?��0�16�ef�-/0 (*-�!%��'<�����"0$)�B-/.*-/0 +,12���".$17���h 0$��!<57-�+,(��ilkem�n?k%oqo4p�n�kem C k I"Fsrut n t�v n K?Lxw�O"y k�z I p r i F o Q o4k KdR �u{BT�~�S�SVW9Y"Z�Y R �"Z�Z�Z�

����~����>H�B;������($��,a h�h 5616�/�".$16������=b���"0 �B)%��(�+�'�57.$16�9'����B0q16��16�e.*-/0 h ��56�".$17����.*���})��B0$���B)�����+,16�/(/� ���lp O���A������9��� n Q�y�F7AlMPO k�� A7���O"F7A��BR h �"��-�(g�����qW����VU R ��S�X�Y9

����Y����,� ¡�¢£16-/¤ R \3 ��"¥�� R �����g��s��u^J'�B �-�($�B=?0$-/-b+,-/.$�B�9�g=?��0¦52�"0$��-b��-/=���0 +��".$17���������57)�($16(¨§©�0 - h 0$����'��4.$16�B�#�-/0 ��-�5 h �"0$.$16�/56- � h<h 0$����� �;biEkem�n�k�o o4p�n?kem ��K p y��VKdy p$o t�R �u{BT�~u{}[VW9~�~�� R �"Z�Z��9

���VUV����� ¡� ]-�56-��B#_����� � HªE�"!<'�«(*#"��:\N�B- h �"0$.$17.$17���_��=N'<��17.©)�¬���16.*-,-�57-�+�-��e.�+�-/.$�B����TªE��($16�.$��-/��0$):�����8� h�h 5216�/�".$17����(/ MPO"Q�D�yBK`AHG o K?L�t/A£CED�D�F7A£G o �4L9A ilkem�p­m A2R ��[�S9T���X�SVW9[��4{ R ��S�S�Y9

����X����g< �-�($� ��#��V¤>(*#�1­l®3n F7¯ o4p K?t4�/L o3°_±I"y�Q o Q n KP² o4p�k�� y k�³ K n O k�b� h 0 16�B��-/0 R ªb-/0 5616� R ��S�Y��9����S���´b����¥��"0 �4�V¤�16� � R �B�µ�H^J�"0q� R �����¶���^_-�����52������·�9��!���57-/f_!���'��<��(3���¶=?'<���4.$17����(�¤>17.$�

( �/�".*.*-/0$-��¸/-/0$��( R ¤>16.$��� h�h 5216�/�".$17����(�.*��0 ����12��5�!<��($12(;=d'����4.$17���g($'B0$=d���4-�¬<.*.$12�B�B G¡I�K?L o Q,I�K n �4tO � MPO"Q�D�yBK`I�K n O k R .*��� h�h -��"0�

�|�"Zu����%& h =?-/0�P ·'�57.$16($�/��56-3#�-/0 �B-�56(/�( 'B!<+,17.*.*-�� R �"Z�Z�[9�|��������j��� ���"!����$#%Ja h�h 0$��¹B16+,�".$17���º!9)J0 ����16��5j!<��($16(g=d'����4.$17����(g¤>17.$�¡¬���16.*-�57)_+,���})¶�4-��}.*-/0q(/

MPO k t�K p y���K n?»"o CED�D p O�¼ n Q,I�K n O k R ���9T�[�[��qW9[u{�Z R ��S�S�Y9�|������������ �<�"!<���$#½�����¾�gP^_-�����56�����;½�E���"0q���4.*-/0 17¸��".$17���¿���<�¶�4���<(*.*0 '��4.$17���¿��=>0 ����12��5�!���($16(

=d'����4.$16����(/ � ��¥��µ�)�� R µ�}¢£-/f916�".$��� R µ�������,¢£-/f916� R ������a�eÀj16�B#�'�( R -���16.*��0 ( ReG�y�F�K n�» I p�n I�K oCED�D p O�¼ n Q,I�K n O k I k�z CbD}D�F n � I�K n O k tqR h �"��-�(��qW9�u{B;�E��+�!<0 16�B��-3Á���17f�-/0 ($16.©)ÂÀ�0$-�($( R �"Z�ZB�"

�|��[����gu^_-�����56�����;�Àj17-��4-/¤>12(*- h ��57)��B��+,16��5 R h ��($17.$17f�-j��-4¬���17.*-j���<���4��+ h ���4.$56)�($' h�h ��0$.*-���0 ����16��5=d'����4.$16����(���=>+�16��16+,��5j�B-/��0$-/-� C z"» I k � o t n?k MPO"Q�D�yBK`I�K n O k I"F�G¡I�K?L o Q�I�K n �/tqR {BT�[�X�SVW9[�S�Y R��S�S�~9

�|�u{"���g�^_-�����56���<��H �-�($��57-�( (lÃ3��57-/0$#�16�Â+�-/.$�B����(�'<($16�B��0 ����16��5�!<��($12(j=d'����4.$17���<(/ G¡I�K?L o Q,I�K n �4tO � MPO"Q�D�yBK`I�K n O k R Y�XBÄ­����X�ÅqT6��~����qW���~�[�� R ��S�S�S9

�|��~����g�^_-����<56������P´���(*.�-/fu��52'��".$17���:��=¦0 ����12��5�!���($16(l=d'����4.$17���<(/TP ]-/.$�B����(l!���(*-��:��� h �"0 .$17.$17�����=l'��<17.©)� � �º� £����E�9'�1 R ¢�£¢j���� �9'�+,�"#�-/0 R �����º�B��9.VÆ��� #956-/0 R -��<17.*��0 ( RPCbD�D p O�¼ n Q,I�K n O kÇ L o O p r�È�ÉbÊ]I »"o F o K?t �;��D�F n?k%o t �¦I k�z CED�D�F n � I�K n O k t�R h �"��-�(¦{eU"[VW}{}X�[9eË������B-/0$!�1657.¦Á���16f�-/0 ($17.Ì)Àj0$-�($( R �"Z�Z��9

�|��Y��x�¦;^J'�:�>-/0q+,17.*-�WeªE170$#��B�"Í¿16�e.*-/0 h ��56�".$17������=N($�/�".*.*-/0$-��¶���".$�]!e)�0 ����12��5P!<��($16(�=?'��<�4.$17����(/CED�D p O�¼ n Q,I�K n O k Ç L o O p rÂI k�zxn K?t�CED�D�F n �qI�K n O k tqR X�Î"�9T6�qW��/Z R ��S�S��9

�|��UV�x�¦u^J';� ·'�57.$16fu�"0 12�".*-b�4��+ h ���4.$57)g($' h�h ��0$.*-�� h ��($16.$17f�-b��-4¬���17.*-�0 ����16��5e=?'<���4.$17����(/ C z"» I k � o tn?k MPO"Q�D�yBK`I�K n O k I"F;GJI�K?L o Q,I�K n �4tqR {BT���X�[VW9��S�� R ��S�S�~9

�|��X���������e���;b� h -��4.*0 ��5�� h�h 0$�V¹�12+,�".$17���Â��0 �B-/0q(l��=H0q����16��5%!<��($16(E=d'����4.$16���:16�}.*-/0 h ��52�".$17���x���:.$�B-����!%��56-/fx( h ���4-� ��Ï*C�GÐ@BA;Ñ�y9Q o/p A;C k I"F�A2R [�[9T�Su{}YVW9S�~�X R �"Z�ZB�"

�|��S�����;���9����:��0$0 ��0�-�(*.$16+,�".*-�(g=?��0g($��16=�.*-��J( 'B0$=d���4-�( h 5216�B-�16�e.*-/0 h ��56�".$17�������¾�9��!���57-/f·( h ���4-�G¡I�K?L o Q�I�K n �/t�O � MPO"Q�D�yBK`I�K n O k R U"�9T6��[u{}SVW���[�Y�U R �"Z�Z�[9

�|["Zu�x��}���9���:�����:�B��%��E�B-���£a��/�4-�57-/0 �".*-��]+�-�($�B=?0$-/-�+,-/.$�B�9�x=?��0l+�-/.$��5�=���0q+,16�B��($16+�'�56�".$17����Ò n?k�n K o3i F o Q o4k K?t n?k C k I"FÓrut n tgI k�z,Ôo t n�m�k R [�X9T�S�[�U�W9Su{}X R �"Z�Z��9

Õ"Ö

Page 16: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

������������ ��������� � ��� ��� ������������ �"!���#��%$

����&�������(')�*������+,�*��-/.� !0-1�3254�$6-17��� �-1�829��(#��%$�:<;=�%$�:> �*��!?�����@�A7��$B���;C�EDAF1�B�%$HG�#��%$�:<;=�%$�:�JI3+<�-KFL�NMPO%QSRET6UV�W�RYX*ZBQ%[�\�]Y^%[0\_TB`T�ZBZ%a�bdcBceYeBe?\�RBXfZBQ%[�\d]g^%[0\_Th`�ciM6Ohc�jiZhOYkBkBc%Q6RiT�UV0\LThZMml� �����������n@�Soh.����*pS�.�q

r $� ���-K�����?�ts���u���+,���-K �.t���=��$��v��$�:��Dw�$6�����@')�*������+,�*��-1q4�$�-17��t �-1�Es�*��xys�����-K$�:��$z ���{��� �����*|�5}�~E�S}���A�B�%�EI8��5xys�����-K$�:��$�JI3+<�-KFL�0jYRET6O*�6O�Ri`�WiMPOgZ%T�\L[BVmX%�g�BUB]gZYZSXEV��B]V?\�^h]T�ZBZ%a�bdcBceYeBe?\_VB[%M�\�MPOgZ%T�\L[BVmX%�g�YUB]%ZYZ6XiV��Y]V0\�^Y]hc�jgRET6O��O�Ri`

�%�

Page 17: >KH7L $8>?H7HNMO>K6@A >K$CJ - num.math.uni-goettingen.denum.math.uni-goettingen.de/schaback/research/papers/SoPDEbMKE.pdf0 1 2. 345 2.6.879 " :$; "/.?

���������������� �������������������������� �!"��#%$"����&�(')$*����+�,$*����-.�����/"���������0 $*��1� 2 �&���3�!"�+�4 2 �&5��+�&�&�+6 7+8:9�7+;<=9?>A@CBA;">D1� 2 �&���3�!"�+�E �+F���� 2 �HG BAI"IJ70K*>"LCMNIJ7+OE �+F����P$CQRG BAI"IJ70K*>"L">"LCM"MST�,$"��FUGV�&��$*W�WYXZ�,$*���[6\����]9U! 2 ���&�����!"�+�H6\��� . ^_4TG��N�&�&W`GaK"K:#�#�#b6\�c���6\�,$*���[6\����]9U! 2 ���&�����!"�+�H6\���

dfehgHijelk�m`n�o�k�prq�ehgseTgHptm`n�k�eToueToueTowvfgHeTxug[k�o yYp{zO*B"BAI:9|B7 �}6Y~J���` 2"� �+F���~Y6t~J��� 2 F�F�G 4`�3����TF�$"�������!�#_������')�������,$"F E ��$+/"�+F3���! E �3���O*B"BAI:9|BAO �}6Y~J���` 2"� �+F ���N�&��!"���?W�� 2 !"��$"���,���!($*W�W�� 2 $"�����+�T� 2 �l� 2 F�/c����!�������+F�$0����$"��$*!"�+���+���_W�� 2"� F��+�O*B"BAI:9|BA> �}6Y~J���` 2"� �+F ~c���f� 2 /"�������!�W�� 2"� F��+�,��#_������� 2 �����+������/"� 2 ���+�W�� 2 WR�������O*B"BAI:9|B*M ~R6�'��+��-"�"�H�(6H~J���` 2"� �+F���<�6t��$*!*9����� ~c��$*��� 2 ��F 2 ��$*��� 2 ��9%� 2 ��WtF���Q��������+�O*B"BAI:9|BAI ^(6t~J����$ � $"��- � 2 ��/"����!"�+������� ��$"F��J����� 2 �D'������ 2 ����� 2 ��~ 2 F�/J���!1 �+�����$"F[ST�c�$*��� 2 ���O*B"BAI:9|BA8 '�6T� 2 5�5+�����U�?4T6T4[�+��$*����5�5+���?^b6~����$ � $"��- � �������+FH�b�J~JW�F�����+�%$"���������&����W 2 F�$*��� 2 �O*B"BAI:9|BN@ ^(6t~J����$ � $"��- � 2 ��/"����!"�+����� 2 ��.������c�,�,���&����� � �������+F����%$"�&�+�'��+����F��+��� � 2 F�F 2 ��$*��� 2 ��'������ 2 ���O*B"BAI:9|BA; E 6�� 2 ��$*!"�"�Y�?6¡ 6Y~J$0�A$"� � �����������$"FT� 2 F���� 2 � 2 ��$���+$*�����]¢H���� 2 �£W�� 2"� F��+�� � �Y2 �����$*���Z�+F��+���+���{������� 2 ���¤������!������l4`$*WtF�$"����&��$"����� 2 ���O*B"BAI:9|BAL E 6�� 2 ��$*!"� � �����&����$*����/"��������� 2 �u� 2 �h���N/"�����&�����+������¥����$*�&�&����9���!¦W�� 2"� F��+�,� � $"�&�+� 2 ���P$"��� 2 ����5+$*��� 2 � 2 �Z����§�P$*�¨ �+F�� 2 WR����$*� 2 �O*B"BAI:9�7�B �?6��%$"���0� E 6�� 2 ��$*!"� � 4[��W��&-J� ©�9U�|�cWR�=�&� 2 W�W����!ª���F��r� 2 �«����!A�F3$*����5��+�����#�� 2 ��������� 2 ���O*B"BAI:9�7"7 ¬�6�< 2 F��+$"�H�t�l6t��$*��$*���Y1�6�^�$*W���� ����# � 2 ���&�&�������� 2 ��� 2 �f� 2 �,$"���­��+� 2 �,W 2 ������� 2 �������� 2 ���%� 2 ���&�J�&�&�+�,� 2 �{�l<ZST�� 2 /"�+F�F��+� � 2 ���&�&�������� 2 ��� ��� �¯®����� 2 ��+� ���?®�+� 2 ��W 2 ������� 2 �r���� 2 �,$"�3���W 2 �)��+�����c�&��°�+���+��H±�®�+�c�$*��� 2 ����$"JQ��?®������/h®���+��W�$*�������+F3F��+�O*B"BAI:9�7+O �?6�� $*��$*���Y1�6�^�$*W���� � 2 �����&�������� 2 � 2 ��$��_��#ª< 2 �,$"����< �+� 2 ��W 2 ������� 2 �'������ 2 �§� 2 ��������~c� 2 -"�+�_Sl���$*��� 2 ���O*B"BAI:9�7+> � 2 �H�²u6a� 6��t~J����$ � $"��-t�Y^b6 ~ 2 F�/*$ � ��F3���|� 2 �_�{$*������$"F%<Z�]¢R�����+������$"FlSl���$*��� 2 ��� � �'��+����F��+��� � ������+FH'������ 2 ���

³"´