MTODOS NUMRICOS

MTODOS NUMRICOS

EQUIPO 3:KARLA ITZEL BALANZAR ASCENCIO ANDRS CHULA GARCAJAZMN PAOLA CORTAZAR RAMREZINSTITUTO TECNOLGICO DE ACAPULCOSALN: 711 HORA: 11:00-12:00UNIDAD IINTRODUCCIN A LOS MTODOS NUMRICOS1.1 IMPORTANCIA DE LOS MTODOS NUMRICOS Un mtodo numrico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solucin de ciertos problemas realizando clculos puramente aritmticos y lgicos (operaciones aritmticas elementales, clculo de funciones, consulta de una tabla de valores, clculo preposicional, etc.). En si los mtodos numricos son procedimientos lgicos que se realizan a partir de los problemas planteados matemticamente y de manera aritmtica.Son herramientas poderosas que se usan en la formulacin de problemas complejos que requieren un conocimiento bsico en matemticas e ingeniera.La importancia de los mtodos numricos no radica en buscar la solucin exacta de un problema, sino la aproximada pero con la precisin requerida, o sea, con un error lo suficientemente pequeo y prximo a cero, de ah la utilidad de los mtodos numricos. Importa tambin el tiempo empleado en obtener la solucin y en esto ha jugado un papel importante el enorme desarrollo de la tecnologa computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cmputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtencin de la solucin, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptacin que hoy tienen los mtodos numricos. Summosle a ello que las computadoras son capaces de dar solucin con la precisin requerida.

Aqu es bueno aclarar que no es correcto pensar que el desarrollo tecnolgico computarizado es quien ha creado los mtodos numricos ya que los orgenes de la matemtica numrica son muy antiguos, datan de miles de aos atrs, cuando los babilonios construyeron tablas matemticas y elaboraron efemrides astronmicas. Lo que sucede es que la mayora de los mtodos numricos requieren de un enorme volumen de clculo que los hacan engorrosos de utilizar y esta dificultad vino a eliminarse con el desarrollo de la computacin, pero los mtodos numricos existen mucho antes de ella.

1.2 CONCEPTOS BSICOS: CIFRA SIGNIFICATIVA, PRECISIN, EXACTITUD, INCERTIDUMBRE Y SESGO.

Cifra significativa:El concepto de cifra significativa lo podemos definir como aquella que aporta informacin no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida experimental, son cifras significativas de un numero vienen determinadas por su error. Son cifras que ocupan una posicin igual o superior al orden o posicin de error.Cuando se emplea un nmero en un clculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los mtodos numricos.1.- Los mtodos numricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.2.- Aunque ciertos nmeros representan nmero especficos, no se pueden expresar exactamente con un nmero finito de cifras.Reglas de operaciones con cifras significativas.Regla 1: los resultados experimentales se expresan con una sola cifra dudosa, e indicando con + - la incertidumbre en la medida.Regla 2: las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primerdgitodiferente de cero y hasta el digito dudoso.Regla 3: al sumar o restar dos nmeros decimales, el numero de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor nmero de ellas.Regla 4: al multiplicar o dividir dos nmeros, el numero de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.

Precisin y exactitud:Eningeniera,ciencia,industria,estadstica,exactitud yprecisinno son equivalentes. Es importante resaltar que la automatizacin de diferentes pruebas o tcnicas puede producir un aumento de la precisin. Esto se debe a que con dicha automatizacin, lo que logramos es una disminucin de los errores manuales o su correccin inmediata.

Precisin:se refiere a la dispersin del conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto menor es la dispersin mayor la precisin. Una medida comn de la variabilidad es ladesviacin estndarde las mediciones y la precisin se puede estimar como una funcin de ella.Exactitud:se refiere a cun cerca del valor real se encuentra el valor medido. En trminos estadsticos, la exactitud est relacionada con elsesgode una estimacin. Cuanto menor es el sesgo ms exacto es una estimacin.Tambin se refiere a la aproximacin de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa.Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor experimental y el valor verdadero.Tambin es la mnima variacin de magnitud que puede apreciar un instrumento.

Incertidumbre:Incertidumbre tambin se le conoce como Imprecisin. Se refiere al grado de alejamiento entre s, a las diversas aproximaciones a un valor verdadero.Situacin bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentesresultadosde un determinado evento.

Sesgo:Existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hechoaleatorio(al azar) advirtindose que este ocurre en forma sistemticaEs un alejamiento sistemtico del valor verdadero a calcular.

1.3 TIPOS DE ERRORES.Todos los resultados de la aplicacin de mtodos numricos van acompaados de un error que es conveniente estimar.En muchas ocasiones esto no es posible hacerlo de un modo cuantitativo, en otras, en cambio, pueden llevarse a cabo anlisis de errores que pueden ser: a priori, cuando no se utilizan los resultados en el anlisis, que puede llegar a ser muy complejo (recordar, p. ej., las expresiones del error de una simple divisin basadas en las del clculo diferencial), ya posteriori, cuando se utilizan los propios resultados en el anlisis de los errores.Es conveniente tener presente en todo momento cules son las fuentes de los errores, lo que puede ser una ayuda definitiva a la hora de resolver eventuales problemas prcticos, si bien es cierto que stas actan siempre juntas, haciendo muy difcil el conocimiento detallado de la contribucin de cada una en cada caso.

Fuentes de errorSon tres que dan lugar a una clasificacin de los errores de acuerdo con ellas:Inherentes.Asociado a la precisin de los datos deimputa. (P. Ej. El uso de 0.333333en lugar de 1/3.) Su caracterstica principal es que se propaga aloutput. Esta propagacin puede estudiarse medianteanlisis de sensibilidad, que permiten detectar hipersensibilidades de los resultados hacia variables especficas en rangos particulares, de modo que puedan tomarse precauciones especiales en esos casos.Cuando existe una magnificacin inaceptable del error se dice que el problema est mal condicionado. Los errores de input son causantes de imprecisin en los resultados.Truncamiento.Asociado a la substitucin de procesos infinitos por procesos finitos, tales como el truncamiento de series, el uso se sumas limitadas para el clculo de integrales o el uso de diferencias finitas para el clculo de derivadas. Los errores de truncamiento causan inexactitud de los resultados.

Redondeo.Asociado a la precisin limitada con la que se realizan las operaciones (cifras significativas). Su mayor peligro radica en su tendencia a acumularse.CLASIFICACINDE LOS ERRORESERRORES INHERENTES.Son aquellos errores cometidos por la persona al tomar los datos de lecturas de instrumentos de medicin, al pasar stos datos a la computadora o bien por verdaderas equivocaciones por el manejo de los datos.ERRORES POR REDONDEO.Es aquel tipo de error en donde el nmero significativo de dgitos despus del punto decimal se ajusta a un nmero especfico provocando con ello un ajuste en el ltimo dgito que se toma en cuenta.ERRORES POR TRUNCAMIENTO.Para llevar a cabo operaciones de algunas funciones matemticas los compiladores ejecutan estas funciones utilizando series infinitas de trminos, pero es difcil llevar a cabo estos clculos hasta el infinito, por lo tanto la serie tendr que ser truncada.

X=X+ExDondeX=cantidad verdaderaX=cantidad aproximadaEx =error absolutoEx =|X X |El error absolutode una cantidad es igual al valor absoluto de la diferencia entre la cantidad absoluta y su aproximacin incluye sus unidades fsicas.

ROPAGACINDEL ERROR.Se dice que existe una propagacin en los errores cuando al realizar operaciones con nmeros que ya tienen errores y que por su naturalezay las operaciones generannuevos errores.Normalmente se efectan en las operaciones aritmticas, (no importa cual sea su origen).

1.4 SOFTWARE DE CMPUTO NUMRICO.Paquetes de sofware comercial para cmputonumricogeneral.NAGEl Grupo de Algoritmos numricos (Numerical Algorithms Group) (NAG) ha desarrollado unabiblioteca de Fortranconteniendo alrededor de 1000 subrutinas accesibles al usuario para resolver problemas generales de matemticas aplicadas, incluyendo: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, transformada rpida de Fourier, cuadratura, lgebra lineal, ecuaciones no lineales, ecuaciones integrales, y ms.IMSLLabiblioteca numrica de Fortran IMSLhecha porVisual Numerics, Inc.cubre muchas de las reas contenidas en la biblioteca NAG. Tambin tiene soporte para analizar y presentar datos estadsticos en aplicaciones cientficas y de negociosNumerical rcipes: Los libros deNumerical Recipes in C/Fortranson muy populares entre los ingenieros porque pueden ser usados como libro de cocina donde se puede encontrar una "receta (recipe)" para resolver algn problema a mano. Sin embargo, el software correspondiente deNumerical Recipesno es comparable en alcance o calidad al dado por NAG o IMSL.Matlab(MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es un software matemtico que ofrece unentorno de desarrollo integrado(IDE) con un lenguaje de programacin propio (lenguaje M). Est disponible para las plataformasUnix,Windowsy AppleMac OS X.Entre sus prestaciones bsicas se hallan: la manipulacin dematrices, la representacin de datos y funciones, la implementacin dealgoritmos, la creacin de interfaces de usuario (GUI) y la comunicacin con programas en otroslenguajesy con otros dispositivoshardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulacin multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). Adems, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con lascajas de herramientas(toolboxes); y las de Simulink con lospaquetes de bloques(blocksets).

Estos mtodos incluyen formulas que tienen las propiedades de producir un resultado mas cercana a la respuesta a partir de un valor estimado previo. El resultado obtenido se puede usar nuevamente como valor previo y continuar mejorando la respuesta. Los mtodos iterativos se acercan a la respuesta mediante aproximaciones sucesivas.Para usar estos mtodos deben considerarse algunos aspectos tales como la eleccin del valor inicial, la propiedad de convergencia de la formula y el criterio para terminar las iteraciones. Estos mtodos son auto-correctivos. La precisin de la respuesta esta dada por la distancia entre el ultimo valor calculado y la respuesta esperada.1.5 MTODOS ITERATIVOS.Trata de resolver un problema (como una ecuacin o un sistema de ecuaciones) mediante aproximacionessucesivas a la solucin, empezando desde una estimacin inicial.El siguiente grfico describe la estructura de un mtodo iterativo.

Cada ciclo se denomina iteracin. Si la formula convergente, en cada iteracin la respuesta estar mas cerca del resultado buscado. Aunque en general no es posible llegar a la respuesta exacta, se puede acercar a ella tanto como lo permita la aritmtica computacional del dispositivo de calculo.