Kidolgozott minta feladatok optikából

1. Egy asztalon elhelyezünk két síktükröt egymásra és az asztalra is merőleges

helyzetben. Az egyik tükörre az asztal lapjával párhuzamosan lézerfényt bocsátunk

úgy, hogy mindkét tükröt csak egyszer érintse a fénysugár. Hogyan kell elhelyezni az

asztalon egy harmadik síktükröt, hogy az arról visszavert fény a lézerceruza beeső

fényével:

a. párhuzamosan haladjon,

b. 90o-os szöget zárjon be,

c. 60o-os szöget zárjon be,

d. 45o-os szöget zárjon be,

e. 30o-os szöget zárjon be?

f. Adjuk meg minden esetben, hogy a beeső fénysugarat fogadó tükörhöz képest

milyen szögben álljon a harmadik tükör, hogy az egyes feltételek teljesüljenek.

I. A feladat szemmel láthatóan geometriai szerkesztésekre vezethető vissza,

figyelembe véve a síktükrök fényvisszaverését és a fénysugarak

megfordíthatóságát.

a. Azonnal szerkesztéssel kezdjük a feladat kiírása szerint úgy, mintha az

asztal lapjára felülről tekintenénk. Így egyszerűen síkban ábrázolható a

feladat. Az 1-es, 2-es, 3-as számok a tükröket jelölik. A nyilakat

tartalmazó vonalak a fénysugarakat jelölik. A legegyszerűbb

szerkesztés, ha a beeső fénysugarat 45o-ban rajzoljuk meg. Más beesési

szög is alkalmazható, amire a feladat megoldása után még mutatok két

példát. Most viszont egymás után a., b., c., ábrákkal jelölöm egymás

után a megoldásokat.

a. ábra c. ábra b. ábra

Ha a szerkesztéseket az ábrákon

látható módon végezzük, akkor

azok önmagukért beszélnek.

Megjegyzem, hogy a geometriai

szerkesztések csak megfelelő

eszközök (körző, vonalzó,

szögmérő, tökéletes ceruzák,

radír) segítségével, továbbá

tiszta kézzel és sok türelemmel

végezhetők el jó minőségben.

Végül nézzünk még meg két szerkesztést. Az első esetben a beeső fénysugár 60o, és a

visszavert a beesőhöz képest szintén 60o.

A második példaszerkesztésnél a beeső fénysugár 30o. A visszavert fénysugár a beesőhöz

képest 60o.

==================================================================

d. ábra e. ábra

2. Egy szabályos háromszög alapú üvegprizma egyik oldallapján úgy lép be egy

fénysugár, hogy az üvegben a másik oldallappal párhuzamosan halad, majd a

harmadik oldallapon lép ki. Az üveg törésmutatója 1,4.

a. Mekkora belépéskor az α beesési, illetve kilépéskor a β törési szög?

b. Mekkora δ szöggel térül el a fénysugár?

I. Első lépésként elkészítjük a feladat leírása szerinti rajzot. Továbbá felírjuk a

prizma alapegyenleteit (legalább kettőt).

( )

Máris látható a második egyenletből, hogy a törési

szög, valamint a beesési szög egyenlő, azaz

Az és az szögeket a Snellius - Descartes törvény alapján határozhatjuk meg.

Ebből könnyedén kiszámítható az szög.

(

)

Az hasonló módon adódik, ügyelve arra, hogy most a fény optikailag sűrűbb

közegből lép optikailag ritkább közegbe.

Számoljuk ki az szöget.

. Ez ugyanaz az egyenlet, mint az előző, tehát a β szögek

egyenlősége alapján az α szögek is egyenlők. .

Most már az eltérítés szöge is könnyedén meghatározható.

( )

==================================================================

3. Végezzünk el egy kísérletet, a homorú és domború tükrök képalkotására. A kísérlet

eszközei: 1 db 1000 ml-es lombik, 1db gyertya, gyufa, rajzlap. A lombikot és a

gyertyát rajzlapra helyezzük. A kísérletben az égő gyertyát az optikai tengelyen

helyezzük el, és megfigyeljük a lombik domború és homorú felületén keletkezett

képeket. Ezt az 1. ábrán lehet látni. Végezzük el a szerkesztést. Ezt a 2. ábra mutatja.

A szerkesztést a nevezetes sugármenetekkel végezzük. Ebben az elrendezésben a szerkesztés

egyszerű, mert csak a tárgy csúcspontjának a képbeli megfelelőjét kell meghatározni. Az ábra

színesben elkészítve jól áttekinthető. A tárgy a domború felület optikai középpontjától 40 mm

távolságban van, a tárgyméret 50 mm.

==================================================================

Egyenes

állású kép

Fordított

állású kép

Tárgy

1. ábra

2. ábra

4. A 3-as feladatot alakítsuk át úgy, hogy a tárgy nem az optikai tengelyen, hanem a

lombik felfekvési síkjában helyezkedik el, ezt mutatja az 1. ábra. A szerkesztés a 2.

ábrán látható.

Ebben az esetben a szerkesztés bonyolultabb, mert a tárgynak a képbeli talppontját, és a

csúcspontját is meg kell szerkeszteni. Az alapadatok megegyeznek a 3. feladatban leírtakkal,

kivéve a tárgytávolságot, ami most a domború felület optikai középpontjától 50 mm. Ezzel a

szerkesztés zsúfolt lett (szándékosan!), és odafigyelést igényel a nevezetes sugármenetek

követése. Ha a tárgytávolság kisebb, a szerkesztés szellősebb, átláthatóbb. Javasolom a

szerkesztést elvégezni 40 mm, és 30 mm tárgytávolsággal is. Szerencsés a szerkesztés során a

színes vonalak használata az átláthatóság érdekében.

==================================================================

Tárgy

Fordított

állású kép

Egyenes

állású kép

1. ábra

2. ábra

5. Egy - a mélységéhez képest nagy felületű - és 2,5 m mély, vízzel telt medence aljáról

egy búvár kémleli a vízfelszín feletti területet. A víz törésmutatója:

Milyen térszögben lát a víz alól a búvár az adott helyzetéből?

I. Először tisztázni kell a térszög fogalmát, mert a középiskolai tanulmányok során

ritkán kerül előtérbe. A térszög az SI rendszer második kiegészítő egysége.

Definíciója: a térszög a sugár négyzetével egyenlő felületű gömbsüveghez tartozó

középponti szög. Jele: Ω, mértékegysége: (sr) szteradián. A térszög a sugárzástan,

a fénytan és a világítástechnika egyik legfontosabb fizikai fogalma. A térszög egy

viszonyszám, ami a gömbsüveg felületének és a gömb teljes felületének a

hányadosával arányos.

II. Vázlatot készítünk.

Az első ábrán a feladatot

axonometrikusan

ábrázoltam. Így a térszög

fogalom is érthetőbb. Az

„Ω” maga a térszög.

A második ábrán síkban látható a

feladat. Ez segít a feladat első

felének a megoldásában.

III. A megoldási terv viszonylag egyszerű.

a. meg kell határozni a β szöget, ami a határszögtől éppen, hogy csak kisebb. A

határszöget most β’-vel jelöljük.

b. a β szög segítségével kiszámítható az R, majd pedig az m értéke.

c. kiszámítjuk a

szöget (csak gyakorlásból), aminek a kétszerese a kúp

nyílásszöge.

d. ezekből az adatokból meghatározható a gömbsüveg és a gömb felszíne,

amiknek a hányadosa maga az Ω térszög.

IV. Megoldás.

a.

(

) most már a β szög a β’- től alig

valamivel kisebb. Tekintsük ezt 48,5o-nak.

b.

(ennek csak síkgeometriai szempontból van

jelentősége, a továbbiakban nem használjuk)

c.

d. A gömbsüveg felszínét jelöljük AS-el, a gömb felszínét AG-vel.

Ha az axonometrikus ábrát megnézzük, azt látjuk, hogy ha a gömbsüveg

felülete határesetben addig növekszik, mígnem átmegy az egész gömb

felszínébe, akkor az

. Azaz a térszög, éppen szteradián.

Most már felírhatunk egy aránypárt a felszínek és a térszögek esetére.

Tehát a medence

aljáról a megadott adatokkal a szemlélő térszögben látja a felszín

feletti területet.

==================================================================

6. Egy 50 cm sugarú homorú tükröt tartunk magunk előtt 10 cm-re.

a. Szerkesszük meg a képalkotást, és írjuk le a keletkezett kép tulajdonságait.

b. Számoljuk ki, hogy mekkora távolságra keletkezik a kép.

c. Határozzuk meg a nagyítás számszerű értékét.

I. Azonnal a szerkesztéssel kezdjük, ami az ábrán látható.

a. Ezzel semmi gond nem lehet.

b. A leképezési törvényt alkalmazzuk. Ne felejtsük el, hogy a képtávolságnak az

eredményben negatív előjelűnek kell lenni.

Adatok:

( )

A nagyítás az adatok alapján a képtávolság és a tárgytávolság hányadosa adja.

Megjegyzendő, hogy a nagyítás akkor negatív, ha a kép-, vagy a

tárgy-távolság negatív.

==================================================================

F

k

K T

o

t

f

Képjellemzők:

- virtuális

- nagyított

- egyenes állású

7. Egy üvegkádba alkoholt öntünk. A folyadék felszínére 60o-os beesési szöggel fehér

fényt bocsátunk. Az alkoholban szétvált vörös,- és ibolya-színű fénysugarak,

egymással 6o-os szöget zárnak be. A vörös színre az alkohol törésmutatója

. Mekkera az alkohol törésmutatója az ibolyaszínre, ha azt látjuk, hogy az

alkoholban az ibolyaszínű fény kevésbé tört meg, mint a vörös?

I. Saját szavainkkal megfogalmazva a feladatot: azt kell felismerni, hogy az új közeg

határfelületre érkező fehér (összetett) fény a beeséséi pontban az új közegbe

lépéskor az alkotók hullámhosszától függően törik meg. A legnagyobb

hullámhosszúságú fény törik meg a legjobban, a legkisebb hullámhosszúságú a

legkevésbé.

II. Az ismert és ismeretlen mennyiségek meghatározása:

a. ismert mennyiségek:

i.

ii.

iii.

b. ismeretlen mennyiségek:

i.

ii.

iii.

III. Megoldási terv készítése:

Célszerű ábrát készíteni. Ha az ábra jól sikerül, akkor abból látható lesz, hogy

először a vörös komponens törési szöge határozható meg. Ezt követően azt is

észrevesszük, hogy az ibolyaszín törési szöge, éppen 6o-al kevesebb a vörös szín

törési szögétől. Az ibolyaszín törési szögének meghatározása után kiszámítható az

alkoholnak az ibolyaszínre vonatkozó törésmutatója.

IV. Megoldás végrehajtása:

a. ábra készítése:

Egy szép és arányos ábra nagyban

megkönnyíti a további munkát. A b.

pontban kiszámítjuk az ismeretlen

mennyiségeket, és azzal a feladatot meg

is oldottuk. Az ábrán követhető a

számítás menete.

b. Haladjunk a megoldási terv alapján.

(

) (

)

============================

8. Egy prizma törőszöge 50o, törésmutatója 1,56. Mekkora beesési szöggel érkezhet a

fény a prizma egyik lapjára, hogy a másik lapon ne lépjen ki.

I. Hogyan is fogalmazzuk meg a feladatot? Mindenekelőtt az biztos, hogy „visszafelé”

kell megoldani. A feladat szerint a prizmából nem léphet ki a fény. Tehát keressük

azt a határszöget a prizmában, amihez 90o-os visszaverődési szög tartozik. Ez azt

jelenti, hogy a belépő lappal átellenes lapra eső fény a kilépő lap belső oldalán

halad végig teljesen a prizma alapéléig. Teljesen akkor érthető a feladat, ha majd

rajzot készítünk.

II. Az ismert és ismeretlen mennyiségek kigyűjtése:

a. ismert mennyiségek:

i.

ii.

b. ismeretlen mennyiségek:

i. (beesési szög)

ii. (törési szög a belépő oldalon)

iii. (beesési szög a prizmán belül, ez egyben a határszög is)

iv. („kilépő” törési szög)

III. Megoldási terv készítése:

Ismét a jól megrajzolt ábra segít a megoldásban. Az ábra elkészítése után az első

feladat meghatározni a szöget, ami egyben a határszög is. Ismerve a prizma φ

törőszögét, meghatározható az beesési szöghöz tartozó törési szög. A

törési szög ismeretében kiszámítjuk az beesési szöget.

IV. Megoldás végrehajtása:

Az láthatóan 90o.

Így írható, hogy:

(

) (

)

( )

( )

Tehát ha a beeső fénysugár 15,93o beesési szögben érkezik, akkor a fény a

túloldalon nem lép ki a prizmából.

Megjegyzem, hogy a rajz a szögek tekintetében nem léptékhelyes, de a megoldás

menete jól követhető rajta.

==========================================================

9. Két homorú tükör áll egymás felé fordítva, egymástól való távolságuk 3 m.

Fókusztávolságuk 75 cm és 2/3 m. Optikai tengelyük közös. Az első tükör előtt áll egy

tárgy 125 cm-re. A tárgynak az első tükör által adott képéről a második tükör is ad

képet. Mekkora távolságra van ez utóbbi kép a második tükörtől? Mennyi a második

kép és az eredeti tárgy közötti távolság? Mekkora a keletkezett két kép esetén a

nagyítás?

I. Saját szavainkkal megfogalmazva ez egy egyszerű feladat. Gondolatban elképzelhető

az elrendezés, de rajzot is célszerű készíteni. A fő feladat, hogy egy homorú tükör

által előállított valódi, fordított állású nagyított képről egy vele közös optikai

tengelyen lévő másik homorú tükör ismét egy valódi, fordított állású és nagyított

képet alkot, amelynek a második tükörtől való távolságát kell meghatározni. Az

eredeti tárgy és a második kép távolságának, illetve a nagyításoknak a

meghatározása, már csak kézügyesség kérdése.

II. Az ismert és ismeretlen mennyiségek kigyűjtése:

a. ismert mennyiségek:

i.

ii.

iii.

iv. a két tükör optikai középpontja közötti távolság

b. ismeretlen mennyiségek:

i.

ii.

iii.

iv. az eredeti tárgy és a végső kép közötti távolság

v.

vi.

III. Megoldási terv készítése:

Rajzkészítéssel kezdjük, majd az ismeretlen mennyiségeket a felírt sorrendben

meghatározzuk. A munka során a leképezési törvényt alkalmazzuk. A feladatot a

gyakorlás kedvéért végig valódi törtekkel oldjuk meg.

IV. Megoldás végrehajtása:

a. Elkészítjük a

méretarányos

rajzot, ami

végigvezet a

feladatmegoldás

további lépésein.

b. Az első kép távolságának meghatározása.

c. A második kép távolságának meghatározása.

A rajzról látható, hogy a K1-es kép egyben a második tükör számára a tárgy. A

t2-es tárgytávolság:

Ismét alkalmazzuk a leképezési törvényt a második tükörre.

d. Az eredeti tárgy és a K2-es kép közötti távolság kiszámítása.

e. A nagyítások meghatározása.

V. Érdemes elemezni a megoldást és a rajzot. A rajz vezeti a diákot a megoldásban,

ugyanakkor a megoldásból egyértelműen rekonstruálható a szerkesztés. Az is tény,

hogy az eredmények tükrében azonnal átlátható az egész képalkotás. Sőt! Mint azt

az elején említettem ez egy egyszerűen átlátható feladat.

==================================================================

10. Egy optikai rács állandója 0,025 mm. Az 1,5 m messze lévő ernyőn az első erősítés a

középponttól 4,2 cm-re mutatkozott. Mennyi a fény hullámhossza? Milyen színű a

fény? Mennyi a fényhullámok rezgésszáma?

I. A fényhullámok útjába elhelyezett rés elemi hullámok kiinduló pontja. A réstől

indulva a fényhullámok elhajlanak. Az elhajlás a haladó hullámoknál

útkülönbséget hoz létre. A különböző utat megtevő hullámok adott pontokban

erősítik egymást, ha a

erősítési feltétel teljesül. A réstől L távolságban

elhelyezett ernyőn felfoghatóak az erősítési pontok. A megadott adatokból

meghatározható a fény hullámhossza, színe, frekvenciája.

II. Az ismert és ismeretlen mennyiségek meghatározása.

a. ismert mennyiségek:

i.

ii.

iii.

iv.

b. ismeretlen mennyiségek:

i.

ii.

iii.

III. A megoldási tervhez nem föltétlenül szükséges rajz, de a teljesség kedvéért készítünk.

Az ábra önmagáért beszél, és a megoldás azonnal adódik. Megjegyzendő, hogy az

α szög kicsi, tehát a szinusza helyettesíthető az

hányadossal. Ezt egyébként

célszerű leellenőrizni, mert tanulságos.

IV. Rajzot készítünk.

Az ábrára felírhatóak azok az összefüggések, amiket az optikai rácsnál

megismertünk.

A a fényhullámok útkülönbsége.

A két egyenletből:

Ez a hullámhossz megfelel a vörös színnek.

A frekvencia:

==================================================================

11. Mennyi a felbontóképessége annak a 3 cm széles optikai rácsnak, amely a

merőlegesen ráeső hullámhosszúságú fényt első rendben 30o-al téríti el

eredeti irányától?

I. Most nem fogalmazzuk meg a feladatot saját szavainkkal, hanem azonnal az adatokat

vesszük fel.

a. Ismert mennyiségek:

i.

ii.

iii.

iv.

b. Keresett mennyiségek:

i.

ii.

II. Megoldás:

(az optikai rácson való elhajlás alapegyenlete)

(ténymegállapítás a feladat szövegéből)

(egy elemi rés-karcolat szélességének

meghatározása)

, (az 1 cm-ben található karcolatok száma, ezt kerestük)

12. Egy keskeny fehér fénysugár 45o-os beesési szöggel lép be a 60

o-os törőszögű

üvegprizma egyik felületén. Mekkora szöget zárnak be egymással a prizma másik

lapján kilépő vörös és kék fénysugarak? Az üveg törésmutatója vörös fényre 1,5; kék

fényre 1,53. Mekkora a két fénysugár által bezárt szög az első határfelület után, a

prizma belsejében? Mekkora az eltérítés szöge a fehér fény vörös és kék

komponensére?

I. Ennél a feladatnál sem aprózzuk a megoldást. Tesszük mindezt azért, mert az

eddigiek alapján a gyakorló diákok „kezét elengedjük”. Állandóan nem lehet a

„szájába rágni” senkinek a megoldás részletes menetét.

II. Adatfelvétel:

a. Ismert mennyiségek:

i.

ii.

iii.

iv.

b. Ismeretlen mennyiségek:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii.

viii.

ix.

x.

III. Megoldás:

a. Rajzot

készítünk!

b. Az ábra alapján kiszámítjuk az ismeretlen mennyiségeket:

(

) (

)

(

) (

)

( ) ( )

( ) ( )

Általánosságban az eltérítés szöge: ( )

( ) ( )

( ) ( )

=================================================================

13. Egy vékony lencsétől 10 cm távolságra lévő tárgy képe egyenes állású és kétszeres

nagyítású. Mekkora a lencse fókusztávolsága?

I. Adatok felvétele:

a. Ismert adatok:

i.

ii.

b. Ismeretlen mennyiségek:

i.

II. Megoldás: