Kinematika fluidaKinematika fluida

Podsjetnik iz kinematike materijalne Podsjetnik iz kinematike materijalne točketočke

Ako dimenzije tijela nisu bitne za analizu Ako dimenzije tijela nisu bitne za analizu njegovog kretanja, onda se može njegovog kretanja, onda se može promatrati samo kretanje težišta tijela. promatrati samo kretanje težišta tijela. Težištu tijela pridružujemo ukupnu masu Težištu tijela pridružujemo ukupnu masu tijela i govorimo o materijalnoj tački.tijela i govorimo o materijalnoj tački.

Opis kretanja materijalne točke u prostoruOpis kretanja materijalne točke u prostoru

- put koji prevali materijalna tačka u vremenu dt

Jednačine kretanjaJednačine kretanja

Jednačine kretanja označavaju parametarski oblik jednačine trajektorije (vrijeme t je parametar).

brzina materijalne tačke (= brzina promjene brzina materijalne tačke (= brzina promjene položaja)položaja)

Iz definicije brzine je jasno da za prevaljeni put dr u vremenu dt vrijedi

Prevaljeni put i vektor brzine su kolinearni vektori, što Prevaljeni put i vektor brzine su kolinearni vektori, što znači da je vektor brzine uvijek tangencijalan na putanju.znači da je vektor brzine uvijek tangencijalan na putanju.

- ubrzanje materijalne tačke (= brzina promjene brzine)

Kinematika fluidaKinematika fluida Kinematika fluida dio je kinematike koji se bavi

kretanjima fluida. Kinematika pri tome samo proučava kretanje, a ne ulazi u njegove uzroke, i bavi se zakonitostima tog kretanja.

Fluid smatramo kontinuumom i koristimo pojam čestice fluida, koja je definisana kao maleni volumen fluida konstantne mase.

Postoje dva pristupa opisivanju kretanja fluida: Lagrangeov (ili supstancijalni) pristup i Eulerov (ili lokalni) pristup.

Kod Lagrangeovog pristupa kretanje se proučava vežući se za ·česticu fluida, a kod Eulerovoga pristupa kretanje je promatrano iz neke fiksne tačke u prostoru.

Za pokretni fluid potrebno je odrediti

Tpvvvv zyx ,,),,,(

Sveukupnost ovih veličina u posmatranom prostoru i vremenu opisuje strujno polje.

Strujno polje je stacionarno, ako su sve gore navedene veličine samo funkcije položaja.

Kada su ove veličine promjenjive funkcije i vremena, polje je nestacionarno.

Lagrangeov metodLagrangeov metod

Kod Lagrangeovoga pristupa problemima kretanja fluida vežemo se za neku proizvoljnu česticu fluida i s njom "putujemo" kroz prostor.

Posmatra se određeni fluidni djelićPosmatra se određeni fluidni djelić Položaj djelića je funkcija njegovog početnog položaja Položaj djelića je funkcija njegovog početnog položaja

i vremena t i vremena t Brzina i ubrzanje se zato piše u obliku:Brzina i ubrzanje se zato piše u obliku:

),,(0 cbar

),( 0 trrr

t

r

t

r

t

trttr

t

rv

cbatt d

d)()(limlim

),,(00

2

2

),,(

2

2

0 d

dlim

t

r

t

r

t

va

cbat

Kako vrijeme prolazi, pratimo promjene fizikalnih veličina na mjestu na kojem se u tom trenutku naša čestica nalazi. Drugim riječima, putujemo kroz prostor nošeni tom česticom fluida.

Svaka fizikalna veličina vezana uz tečenje onda je neka funkcija trenutnog položaja te čestice i vremena.

Kompleksni izraz za brzinu ukazuje na veliki nedostatak Lagrangeovoga pristupa: veliku matematičku kompleksnost formulacije problema; v je funkcija 4 varijable (3 položajne i vremena).

Eulerov metod

Kod Eulerovoga pristupa problemima kretanja fluida vežemo se za neku proizvoljnu tačku prostora i promatramo kako se fluid kroz nju kreće.

Razmatra se promjena strujnih veličina u jednom Razmatra se promjena strujnih veličina u jednom stalnom mjestu prostora, dok djelići prolaze kroz ovo stalnom mjestu prostora, dok djelići prolaze kroz ovo mjesto.mjesto.

Strujne veličine mogu da se mjere nepokretnim mjernim Strujne veličine mogu da se mjere nepokretnim mjernim uređajima.uređajima.

Matematički je problem sad znatno jednostavniji jer je položaj te tačke konstanta (doduše vektorska):

Kako vrijeme prolazi, pratimo promjene fizikalnih veličina na mjestu tačke M.

Drugim riječima, smjestili smo se u neku nepomičnu tačku u prostoru i promatramo kako fluid struji kroz nju.

Svaka fizikalna veličina vezana uz tečenje u ovom je slučaju je neka funkcija radijus-vektora te tačke i vremena.

Npr. brzinu se može izraziti kao vektorsku funkciju oblika:

Kako je RM konstantan u vremenu, ovo je u stvari eksplicitna funkcija vremena, s kojom je matematički mnogo lakše raditi nego sa implicitnim funkcijama karakterističnim za Lagrange-ov pristup.

Ako dozvolimo da je položaj tačke RM u prostoru proizvoljan, i radi preglednosti ga opišemo radijus-vektorom R, fizikalne varijable postaju funkcije 3 koordinate i vremena, npr:

Trenutni iznos brzine i njezin smjer:

Ako je moguće, koordinatni sistem bira se tako da je u njemu problem stacionaran.

Stacionarnost/nestacionarnost nekoga problema nije apsolutno, nego može ovisiti o izboru koordinatnoga sistema u kojem se dati problem proučava.

Za posmatrača na obali optjecanje vode oko trupa broda je nestacionarno jer se slika koju vidi s vremenom mijenja (brod mijenja svoj položaj u prostoru).

Za posmatrača na pramcu broda optjecanje vode oko trupa broda je stacionarno jer se slika koju vidi s vremenom ne mijenja (slika strujanja oko pramca broda uvijek je ista).

Skalarno poljeSkalarno polje Prostor u kome je definisana skalarna funkcija položajaProstor u kome je definisana skalarna funkcija položaja U=U(x,y,z)U=U(x,y,z) koja koja

može da opisuje prostormože da opisuje prostor,,površinu ili liniju. Linije ili površine na kojima površinu ili liniju. Linije ili površine na kojima skalarna funkcija zadržava istu vrijednost su ekviskalarne.skalarna funkcija zadržava istu vrijednost su ekviskalarne.

Gradijent skalarne funkcije

Radi opisivanja pravca promjene skalarne veličine, svojstva opšteg za sve vrste skalarnih polja, uvodi se diferencijalno-vektorski operator nabla

kz

jy

ix

koji se primjenjuje na skalarnu funkciju U=U(x,y,z) i određuje gradijent skalarne funkcije U (gradU):

kz

Uj

y

Ui

x

UU

grad

gradU (vektor) ima pravac i smjer normale u proizvoljnoj tački površine U=U(x,y,z), а pošto је normala najkraće rastojanje između dvije vrijednosti skalara U1 i U2 tо gradU predstavlja pravac najjače promjene skalara U. Smijer gradU је smijer porasta promjene skalara.

Vektorsko poljeVektorsko polje

Skalarna polja pritiska, gustine i vektorska polja brzine i Skalarna polja pritiska, gustine i vektorska polja brzine i ubrzanja, daju prirodan izgled strujnom polju ubrzanja, daju prirodan izgled strujnom polju stacionarnog, idealnog, savršenog i viskozno-laminarnog stacionarnog, idealnog, savršenog i viskozno-laminarnog fluidafluida

Polje brzine je od najvećeg uticaja na formiranje strujnog Polje brzine je od najvećeg uticaja na formiranje strujnog polja, pa su sve karakteristike vezane za vektorska polja polja, pa su sve karakteristike vezane za vektorska polja definisane u polju brzinedefinisane u polju brzine

StrujnicaStrujnica

Za vektorsko polje brzine vezuje se pojam strujnice Za vektorsko polje brzine vezuje se pojam strujnice (strujne linije) i pojam putanje (trajektorije) fluidnog (strujne linije) i pojam putanje (trajektorije) fluidnog djelića.djelića.

Strujnice su zamišljene krivulje kojima se u svakoj tački smijer tangente poklapa sa smijerom vektora brzine. Slika strujnica se odnosi na jedan odabrani Slika strujnica se odnosi na jedan odabrani vremenski trenutak vremenski trenutak tt00 . .

Ako se u jednom trenutku obilježi položaje mnogo čestica fluida, a pri tom je svaka slijedeća čestica u smjeru vektora brzine one prethodne, dobit će se glatka kriva koju nazivamo strujnica.

Ako se pravac vektora brzine poklapa s tangentom na strujnicu, Ako se pravac vektora brzine poklapa s tangentom na strujnicu, tada je usmjereni element luka strujnice tada je usmjereni element luka strujnice ds ds paralelan vektoru paralelan vektoru brzine , te je njihov vektorski produkt jednak nuli, brzine , te je njihov vektorski produkt jednak nuli,

Razvijanjem vektorskog proizvoda dobija seRazvijanjem vektorskog proizvoda dobija se::

Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to značilo da u tački presjeka vektor brzine ima dva različita bi to značilo da u tački presjeka vektor brzine ima dva različita smijera, što je nefizikalno. Izuzetak čine tačke zastoja u kojima smijera, što je nefizikalno. Izuzetak čine tačke zastoja u kojima je brzina jednaka nuli. je brzina jednaka nuli.

0d, sv

),,(

d

),,(

d

),,(

d

zyxv

z

zyxv

y

zyxv

x

zyx

TrajektorijaTrajektorija Zamislimo si da smo na neki način obilježili jednu Zamislimo si da smo na neki način obilježili jednu

odabranu česticu fluida. Ako bilježimo njen položaj kao odabranu česticu fluida. Ako bilježimo njen položaj kao funkciju vremena, dobit ćemo prostornu krivu koja se funkciju vremena, dobit ćemo prostornu krivu koja se naziva trajektorija (putanja) čestice u prostoru.naziva trajektorija (putanja) čestice u prostoru.

Trajektorija je prostorna kriva koju svojim kretanjem Trajektorija je prostorna kriva koju svojim kretanjem opisuje čestica fluida. opisuje čestica fluida.

Jednačine kretanja čestice fluida zapisane u Jednačine kretanja čestice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama označavaju parametarski Lagrangeovim koordinatama označavaju parametarski zapis jednačine trajektorije. zapis jednačine trajektorije.

U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi od polja U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi od polja brzine, do jednačine trajektorija se dolazi, polazeći od brzine, do jednačine trajektorija se dolazi, polazeći od definicije brzine čestice kontinuuma. definicije brzine čestice kontinuuma.

Ako je Ako je dr dr usmjereni infinitezimalni element puta kojeg usmjereni infinitezimalni element puta kojeg prevali čestica kontinuuma krećući se po svojoj prevali čestica kontinuuma krećući se po svojoj trajektoriji za infinitezimalno vrijeme dtrajektoriji za infinitezimalno vrijeme dt, t, tada za taj usmjereni element luka trajektorije, iz same definicije brzine slijedi:

Što se može napisati u obliku sistema diferencijalnih Što se može napisati u obliku sistema diferencijalnih jednačina: jednačina:

čijim se rješavanjem uz početne uslove za čijim se rješavanjem uz početne uslove za t=tt=t00, r(t, r(t00)=r)=r00 , ,

dolazi do jednačina trajektorija.dolazi do jednačina trajektorija.

Strujna površina i strujna cijevStrujna površina i strujna cijev

U teoretskim računima se koristi i koncept U teoretskim računima se koristi i koncept strujnoga strujnoga vlaknavlakna. Radi se o strujnoj cijevi kod koje je površina . Radi se o strujnoj cijevi kod koje je površina A A infinitezimalno mala, pa ju se zbog razlikovanja od velike infinitezimalno mala, pa ju se zbog razlikovanja od velike površinepovršine A, A, obično i označava sa obično i označava sa dA. dA.

Prednost je strujnoga vlakna da su vrijednosti fizikalnih Prednost je strujnoga vlakna da su vrijednosti fizikalnih veličina kojima se dati tok opisuje na infinitezimalno veličina kojima se dati tok opisuje na infinitezimalno maloj površini maloj površini dA dA konstantne, što omogućava izvođenje konstantne, što omogućava izvođenje teorijskih proračuna.teorijskih proračuna.