İŞ : Şekilde yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine

etkiyen kuvveti görülmektedir. Parçacık A noktasından

geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden

ölçülmektedir ve A’dan A ’ne diferansiyel yer değiştirmedir.

Bu yer değiştirme boyunca kuvvetin yaptığı iş yörünge

rdFdU

F

rd

r

olarak tanımlanır.

Skaler (nokta) çarpımın şiddeti dU=Fdscosa olup

burada ds ‘nin şiddetidir. Bu ifade yer değiştirme doğrultusundaki Ft=Fcos a kuvvet bileşeni ile yer değiştirmenin çarpımı şeklinde de yorumlanabilir.

rd

İşin bu tanımı ile, yer değiştirmeye dik olan Fn=Fsina normal kuvvet bileşeninin iş yapmadığı görülmektedir.

SI birim sisteminde işin birimleri kuvvetin birimi (N) ile yer değiştirmenin biriminin (m) çarpımı olan N.m’dir. Bu birim joule (J) olarak verilmektedir.

İşin Hesaplanması

Bir kuvvetin uygulama noktasının sonlu bir hareketi süresince, kuvvetin yaptığı iş

Bu integrasyonu belirlemek için, kuvvet bileşenleri ile ilgili koordinatların veya Ft ve s arasındaki bağıntının bilinmesi gereklidir.

dzFdyFdxFrdFU zyx

veya

dsFU t

Bir Yayın İşi Bir cisim üzerine uygulanan değişken kuvvetin yaptığı işe örnek olarak hareket edebilen bloğa bağlı doğrusal bir yayın etkisi gösterilebilir.

Bloğun P kuvvetiyle çekilip yayın x kadar uzaması (a) veya yine P ile sıkıştırılıp x kadar kısalması (b) halinde yayın cisme uyguladığı kuvvet cismin yer değiştirmesi ile ters yönlü olduğu için yayın yaptığı iş negatif (-) olur.

Genel olarak x1 ’den x2 ’ye kadar gerilmesi sonucunda yayın yaptığı iş :

21

2221

2

1.

2

1

xxkdxkxFdxU

x

x

Buna karşılık önceden gerilmiş veya basılmış bir yayın serbest hale geçmesi esnasında kendisine bağlı olan cisme uyguladığı kuvvet yer değiştirme ile aynı yönde olduğu için yayın yaptığı iş pozitif (+) olur.

F kuvvetinin etkisi altında eğrisel bir yörünge izleyen m kütleli parçacık üzerine yapılan işi inceleyelim. Burada F parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesidir. Parçacığın 1’den 2’ye sonlu bir hareketi için F kuvvetinin işi

2

1

2

1

21 dsFrdFU t

Newton’un ikinci yasası yerine yazılırsa,

2

1

2

1

21 rdamrdFU

burada at ivmenin teğetsel bileşenidir. Hız cinsinden atds=vdv olur. Böylece iş

ifadesi aşağıdaki gibi olmaktadır.

dsarda t

2

1

21

22

2

1

212

1v

v

vvmmvdvrdFU

Kinetik enerji T aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır:

2

2

1mvT

Hareketsiz parçacığı v hızına getirmek için yapılması gereken iş olarak tanımlanabilir. Kinetik enerji skaler bir büyüklük olup SI birim sisteminde birimi Nm veya Joule (J)’dir. Kinetik enerji, hızın yönüne bakılmaksızın her zaman pozitiftir.

İş ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir:

TTTU 1221

Bu ifade iş-enerji eşitliği olarak adlandırılır. 1’den 2’ye hareket ederken tüm kuvvetlerin bir parçacık üzerine yaptığı toplam iş, parçacığın kinetik enerjisindeki değişime eşittir. T her zaman pozitif olmasına karşın T değişimi negatif, pozitif veya sıfır olabilir.

İlk olarak, dünya yüzeyine yakın bir bölgede bulunan m kütleli bir parçacığın hareketini, yerçekimi ivmesinin sabit olduğu durum için göz önüne alalım. Parçacığın yer çekimi potansiyel enerjisi Vg aşağıdaki gibi tanımlanır:

mghVg

hmghhmgVg 12

Potansiyel enerjideki değişim

Bu esnada yer çekim kuvvetinin parçacık üzerine yaptığı iş mgh’ dır. Diğer bir deyişle yer çekim kuvvetinin yaptığı iş, potansiyel enerjideki değişiminin negatif değerine eşittir.

Potansiyel enerjini ikinci örneği, yay gibi elastik bir cismin deformasyonu ile oluşur. Bu durumda potansiyel enerji

2

02

1kxkxdxV

x

e

21

22

2

1xxkVe

Potansiyel enerjideki değişim

Elastik eleman içeren bir sistemin iş-enerji denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir:

22221111 egeg VVTUVVT

veya

eg VVTU 21

U1-2 , incelenen problemdeki yer çekimi kuvvetleri ve yay kuvvetleri dışında kalan

tüm dış kuvvetlerin yaptığı işi göstermek üzere iş-enerji bağıntısı;

U1-2 +(Vg)+(Ve)=T

Alternatif olarak,

eg VVTU 21

Bir problemde iş yapan kuvvetler sadece yay ve gravitasyon kuvvetlerinden ibaret olup bunların dışındaki kuvvetler iş yapmayan bağ kuvvetleri ise, bu durumda : U1-2 teriminin sıfır olduğu problemler için enerji denklemi

0E veya E=sabit

olur. Bu ifade “dinamik enerjinin korunumu yasası” nı ifade eder.

Burada E=T+Vg+Ve parçacığın toplam mekanik enerjisidir. Bir sistem üzerine yay ve gravitasyon kuvvetleri dışındaki tüm kuvvetlerin yaptığı iş, sistemin toplam mekanik enerjisindeki değişime eşittir.

T+Vg+Ve=sabit T1+Vg1+Ve1= T2+Vg2+Ve2

Bir makinanın kapasitesi, iş görme hızı veya enerji iletme

hızı ile ölçülür. Sadece toplam iş veya enerji çıktısı

kapasite ölçüsü için yeterli değildir. Çünkü, örneğin bir

motor küçük de olsa yeterince uzun süre çalıştırılırsa

büyük miktarda enerji üretebilir. Bu nedenle; güç, iş

yapma hızı olarak adlandırılır.

GÜÇ (Power)

Eğer U, ‘in yaptığı işi simgelerse, bu kuvvet tarafından

geliştirilen güç P,

Güç skaler bir büyüklüktür.

SI birim sisteminde birimi N∙m/s=Joule/s=Watt (W).

MP

vFP

vdt

rd

dt

rdF

dt

dUP

F

veya

1. 7 kg kütleli A bileziği sürtünmesiz sabit düşey şaft üzerinde kaymaktadır.

Şekilde görülen en alt konumda hareketsiz iken, kabloya uygulanan sabit

F=200 N değerindeki kuvvet etkisi altında şaft üzerinde yukarı doğru hareket

etmektedir. Yayın maksimum sıkışma miktarı 75 mm ile sınırlandırılmış ise yay

sabiti k’yı hesaplayınız. B’deki küçük makaranın yeri sabittir.

2. 2 kg bilezik A’dan serbest bırakılmakta ve düşey düzlemde eğimli sabit

çubuk üzerinde aşağı doğru kaymaktadır. Kinetik sürtünme katsayısı 0.4’tür.

(a) Yaya tam çarptığı anda bileziğin v hızını ve (b) yayın maksimum kısalması x’i

hesaplayınız.

3. Küçük metal bloklar üstteki konveyör bandı ile 0.45 m/s hızla rampaya

aktarılmaktadır. Bloklar ve rampa arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.3 ise

0.15 m/s hızla hareket eden alttaki banda kaymadan aktarılmaları için

rampanın yatayla yapması gereken q açısı ne olmalıdır?

4. 1.2 kg kayar eleman A konumunda hareketsizdir ve düşey düzlemdeki

sürtünmesiz kılavuz boyunca kaymaktadır. (a) B noktasından geçerken vB hıznı

ve (b) yayın maksimum d deformasyonunu hesaplayınız.

5. Hafif çubuk O noktası etrafında dönmekte ve 2 kg ve 4 kg’lık kütleleri

taşımaktadır. q=60o iken serbest bırakılıyor ve düşey düzlemde salınım

hareketi yapıyorlarsa (a) 2 kg kütleli parçacığın kesikli çizgi ile gösterilen

konumda yaya çarpmadan hemen önceki hızını ve (b) yayın maksimum

kısalmasını hesaplayınız. Yay kısaldığında çubuğun konumunun yatay kalacak

kadar x deformasyon miktarının küçük olduğunu kabul ediniz.

6. Mekanizma, 4 kg kütleli burcun alt kısmı yay sabiti k=900 N/m ve serbest

konumda olan yaya değmekte olduğu q=180o iken serbest bırakılmaktadır.

Yayın maksimum kısalmasına karşılık gelen q açısını belirleyiniz. Hareket düşey

düzlemde yer almakta ve bağlantı elemanlarının (link) kütlesi ihmal

edilmektedir.

7. 0.6-kg kayar eleman A noktasından serbest bırakılmakta ve düşey

düzlemde yer alan sürtünmesiz parabolik kılavuz üzerinde kendi ağırlığı ve 120

N/m sabitli yayın etkisi ile aşağı doğru kaymaktadır. B’den geçerken hızını ve

kılavuzdan etkiyen normal kuvveti hesaplayınız. Yayın serbest boyu 200

mm’dir.

8. Şekildeki sistem f=0 iken dengededir. Başlangıçta f=90o konumunda

durmakta iken C bloğu hafifçe itiliyor. f=37o konumundan geçerken C bloğunun

hızını hesaplayınız. Çubuğun kütlesini ihmal ediniz.

9. İnce dairesel bir çubuk düşey düzlemde A noktasından mesnetlenmiştir.

Mesnete bağlanmış ve çubuğa gevşek biçinde sarılmış olan k=45 N/m yay sabitine

sahip yayın uzamamış boyu AB dairesel yayına eşittir. Yaya bağlı olmayan 220

gram’lık C bileziği çubuk üzerinde sürtünmesiz kayabilmektedir. Bileziğin,

q=30o’de duruştan harekete bırakıldığı bilindiğine göre (a) bileziğin B noktasının

yukarısında erişebileceği maksimum yüksekliği, (b) bileziğin maksimum hızını

belirleyiniz.

10. 25 kg’lık kayar blok görülen konumda eğimli ray üzerinde 0.6 m/s’lik

başlangıç hızına sahip olup yer çekimi ve sürtünmenin etkisi altında

kaymaktadır. Blok ile ray arasındaki kinetik sürtünme katsayısı 0.5’dir. yayın

x=100 mm sıkışmasına karşılık gelen konumu geçerken bloğun hızını

hesaplayınız.