KINETISK TEORIoch

Boltzmannekvationen

En gasbestårav myriader avmolekyler ...

En gasbestårav molekyler, och det somskiljer engasfrånenvätskaeller frånenfastkropp,ärattmo-lekylernaför detmestarör sigoberoendeav varand-ra. Ute i rymden,där det är nästanvakuum,kol-liderar molekylernamycket sällan,men i en tätaregashänderdetganskaofta. Hur gasenbetersig be-ror förståspå hur ofta molekylernakolliderar. Gas-kinetik handlarmycketom just detta.Om vi vill beskriva engasfullständigtmåstevi ve-ta bådehastighetochpositionhosvarjepartikel. Ja,egentligenräcker inte ensdet, för riktiga moleky-ler kan roteraoch vibreraockså,menhär tänker vioss att molekylerna är klotformadeoch då spelarrotation och liknande ingen roll (det är ingen då-lig approximationför en ädelgas).Om en behålla-re innehåller

�st molekyler så behövsalltså � �

variablerför att beskriva systemet:��� , och ��� , där����� �. Om allt dettavore känt skulle mani

princip kunnaräknaut precishur gasenutvecklasitiden,ochhur denpåverkarbehållarensväggarochliknande.Problemetärbaraatt

�äralldelesför stort

för attdettaskall varamöjligt.

... mendet märker man inte alltid.

Ochdessutomär det inte nödvändigt.I denvanligaluften kännermanaldrig av enskildamolekyler, ut-anmankännerettmedelvärdeav allamolekylersomkolliderarmedhuden.Ochdessutomkolliderarmo-lekylernamedvarandramycketofta,ochvilket i sintur gör att det baraär egentligentre olika storhetervi märker:

�� ��������� ����������� � �!�#"$% ��������� ����&���'� � �!�(" )*,+.-0/213*54 � �6 �������7� �8:9 ���������;� �!�#" )*,+#-0/<13*54>= � �@? $ = ASummornabetyderatt manbildar medelvärdeöveralla molekyler som finns i ett litet klot � �!� somhar somhar sitt centrumi � 1. Den förstasumman,�� ������� ger”antal partiklarpervolymsenhetB mas-sanperpartikel”, d.v.sgasensdensitet.Debådaand-rasummornagerpåsammasättgasensmedelhastig-hetochtemperatur.

1Med CED�F,GEH�I%JKF>LNM menasantalpartiklari klotet IEJKF>L ; O ärBoltzmannskonstant

Vilka medelvärdenär viktiga ...

Förattdettaskall varameningsfulltatt bildamedel-värdenpå dettasättmåsteklotet varalitet i förhål-landetill det föremål som påverkasav gasen(enshand,entermometer, eller till exempelett flygplan,beroendepåvilkensituationmanär intresseradav),mendetmåstevarasåstortatt manharmångapar-tiklar attbildamedelvärdenav, ochsåstortattdessatroligenhinnerkolliderainnandelämnarklotet.

Men om föremåletär litet (till exempelett pollen-korn, eller en av dessamikromotorermanförsökeratt konstrueranu), eller om gasenär mycket tunn,går inte dessavillk or att kombinerariktigt, och dåbeskrivs inte heller gasenväl av sin densitet,tem-peraturoch hastighet.Men under vissa förhållan-denkanmanfå engodbeskrivningmedenfunktionP �����2����� , en“täthetsfunktion”sominte barahållerredapåhur mångapartiklarsomfinnsi ett litet klot(som �� ������� ) , utanocksåpå hur dessapartiklar ärfördeladepåolika hastighetsintervall.

... ochhur räknar man ut dem?

EnekvationsombeskriverhurP �����2����� förändrasi

tidenärdensåkalladeBoltzmannekvationen:

QQ � P �����2�����!RS� T&U * P �����2�����V�XW P � P � �����<�����Till vänsterom likhetstecknetfinns de termersombehövsför att beskriva vad som skulle händaommolekylernaaldrig kolliderade,och termentill hö-ger är den så kalladekollisionsoperatorn,som be-skriveralla möjligakollisioner.

För att beskriva vadsomhändermåstemanförståsocksåangerandvillkor (d.v.s vad som händernärmolekyler kolliderarmedväggarna),ochbegynnel-sevillk or (hur fördelningenär vid tiden �2�ZY ).Närmanväl harräknatut vad

P �����2����� ärgårdetattberäknadensitet,tryck ochhastighetsomintegraler:

10-7

m

Mikromotor

0 m.ö.h.

Fri medelväglängd

Rymdfärja

100 km.ö.h.

Fri medelväglängd

10 m-1

10 m

Fri medelväglängd = sträckan en molekyl flyttar sig innan den kolliderar

10 m-4

�� �������[� \>]2^ P �����2������_0�$% �������[� ��� ������� \ ] ^ P �����2�����`�!_a�6 ��������� �8:9 �� ������� \ ] ^ P �����2����� = � ? $% ������� = A _a�

Kollisionerna i engaskan beräknas...

Vadär då W ? Jo, funktionenP �����2����� beskriver ju

sannolikhetenatt det finns en partikel i punkten �och medhastigheten� . Om två partiklar skall kol-lideramåstedetfinnastvå partiklar påsammastäl-le. NärmanhärlederBoltzmannekvationengörmanett kontroversielltantagande,nämligenattpartiklar-na är oberoendeav varandra.Dettaantagandekal-lasiblandför molekylärt kaos, ochledertill att san-nolikhetenatt det finnsenpartikel medhastighet�ochenannanmedhastigheten�cb i punkten� gesavP �����2����� P ����� b ����� . Då måstekollisionsoperatornW varaettmedelvärdeav

P �����2����� P ����� b ����� , d.v.s.en integral över alla hastigheter� b . Men det räckerinte: om molekylernaträffar varandrai en frontal-kollision studsardebaratillbaka,ochom deknapptsnuddarvarandragör kollisionenknapptnågonin-verkanpåresultatet.Ochsåfinnsalla varianterdär-emellan.

... somett medelvärde

Kollisionsoperatornmåstebildaettmedelvärdeöveralla dessamöjligheterockså.Till slut kommermanfram till att kollisionsoperatornharföljandeutseen-de(fastdåharmanegentligenfuskatlite, genomattantaattdetaldrig,ellernästanaldrigförekommeratttreeller flerapartiklarkolliderarsamtidigt):

W P � P � �����2�����[� \ ] ^!\>d:e@f P �����!gh����� P �����!gb ����� ? P �����2����� P ����� b ������i = � ? � b =�j.k:l nm �o_0p<_0� b

Än vet vi inte allt vi vill veta,(omnågontroddedet)

Det finns en rad frågor en matematiker skulle vil-ja kunna svara på i sambandmed Boltzmann-ekvationen.En del av dessafrågor vet vi mer ellermindreredansvaretpå, medanandraskulle bringaevig äraoch berömmelseåt densomlyckadeshit-tasvaret(åtminstonestorberömmelseblandallaosssompysslarmedBoltzmannekvationenoch liknan-de).

det finns rent matematiskafrågor,q Kan man lösa ekvationenför alla realistiskabegynnelsedataoch randvärden?Med realis-tiska begynnelsedatamenarmanen funktionP5r �����c� somär ickenegativ (denskall ju be-skrivaensannolikhet),ochsådanatt

\tsvu ] ^ P5r �����c� � R = � = A �>_a��_0� w xzyDen fysikaliska innebördenav detta är attmassanoch energin är begränsad.Lösning-en skall uppfylla sammavillk or för alla ti-der � , och därför vill manhelst räknai klas-sen { b , d.v.s. klassenav funktioner vars in-tegral är ändlig. Men det visar sig att det ärmycket svårt,eftersomhögerledeti ekvatio-nen är kvadratiskt,och det går inte så braattmultiplicera { b -funktioner. Detdröjdemerän 100 år innan man fann en tillfredställan-de lösningtill ekvationen,mendå visadedet

sig att enförvånandeenkel medelvärdesegen-skaphoslösningartill transportekvationervarnyckelntill problemet.Transportekvationerärekvationersomhar sammatyp av vänsterledsomBoltzmannekvationen.Beroendepå hurlösningarnakonstruerasbrukarde ofta kallasför renormaliseradelösningar, mendetfinnsfleraekvivalentaformer.q Kan detfinnasflera lösningar?Dettaär enavdet storaobesvaradefrågorna,och ingenharnågotsvar, utomi vissaspecialfall, dådetgåratt visa att det barafinns en lösningsombe-vararenergin,mendetfinnsandradärenerginväxer i tiden.

... och fysikaliska ...q Bevarasenergin och massanhos lösningar-na?Detta är det fysikaliskt rimliga antagan-det, men för de så kallade renormaliseradelösningarnaär detintekänt.q En riktig gasnärmarsig ett jämviktstillståndom den lämnasi fred. Uttryckt i våramate-matiskatermerblir det

P �����2�����[| � N}5~ 6 �o�(� A��a�v� �������e � A��

då tiden ökar. Detta kan man faktiskt visa!Att gasennärmarsig jämvikt harattgöramedattentropinminskar(jo, faktiskt,vi brukarhamotsatttecken på entropin jämfört med vadsomärvanligt inom fysiken),d.v.satt

\ svu ]2^ P �����2�����t��� P �����2�������>_a�avtar. Men vi vet inte hur fort dettagår, ochdet finns mycket annatocksåatt funderapåkring entropin.

q Omgasenblir tätarebordedenförstabeskriv-ningenstämmaallt bättre,d.v.s.detbordetillslut räckaatt användadensitet,medelhastig-hetochtryck (temperatur)för att beskrivaga-sen.Dessastorheterkanmanräknaut genomatt lösaantingenNavier Stokesekvationerel-ler Eulersekvationer, beroendepå om gasenmåstebetraktassomvisköseller inte.Dåupp-stårfrågan:kanmanvisaattdetfinnsettsläkt-skapmellanBoltzmannekvationenoch Navi-erStokesekvation?Jodå,åtminstonekanmangöradet underförutsättningatt det finns lös-ningarsomär tillräckligt ”snälla”, menåand-rasidanharingenlyckatsvisaattdeti allmän-hetfinnssåsnällalösningar. Dettaärocksåettstortochsvårtproblematt gesig i kastmed.

och nästanfilosofiskaproblem,

q Detta att entropinminskarvar en av Boltz-mannsstoraupptäckter, mendet är ocksåensaksom har satt myror i huvudetpå fysikerochmatematikerändasedandess(1872).Pro-blemetär att sålängemanharändligtmångapartiklar(precissomi beskrivningeni början)är hela dynamiken reversibel,d.v.s. egentli-genkanmanlika gärnastuderahurpartiklarnarör sig bakåti tiden somframåti tiden.Menför Boltzmannekvationenenslösningarmins-karju entropin,ochlösningarnagåremotjäm-vikt dåtidenökar, såhärverkardetfinnasenmotsägelse.I börjanhävdademångatill ochmedatt dettavar ett bevis för att Boltzman-nekvationenvarfel. Detfinnsolikasättattför-klara dettapå, men inget som alla är riktigtöverensom. Ur matematisksynvinkel liggerproblemetdelvis i att mani härledningenavBoltzmannekvationenbörjar med ett systemav ändligtmångapartiklar, ochsedanlåteran-talet partiklar gå mot oändligheten.Man fårenföljd av lösningarochdetgälleratt visaattdennaföljd konvergerar, och att gränsvärdetuppfyllerettantalvillk or.

ochsåpraktiska problemockså.q För att kunnaanvändaBoltzmannekvationenpraktisktmåstedenlösasnumerisktmedhjälpav datorer, och även dettaär besvärligt.Demetoder som oftast används är så kalladeMonteCarlo-metoder, somgårut påatt manlåter ett relativt litet antalpartiklar represen-teragasen.Men för att dettaskall ge en braapproximationtill denriktiga lösningenmås-te dettaantaländåvaraganskastort,och detmedföratt beräkningarnablir mycket tidskrä-vande.Såmycket forskningär ämnadatt gemer effektiva metoder, och även till verifieraattdenuvarandemetodernaverkligenapprox-imerarBoltzmannekvationen.

Uppräkningenskullekunnafortsättaslänge:randvärdesproblem,inverkanav fält påladdadepartiklar, mo-delleringav gasermedinre frihetsgraderochmycketannatskaparmatematiskaproblemsomännuinteharlösts.Egentligenärdetinte rätt attdelain problemeni kategoriersomhärovan:detfinnsmycketmatema-tik i allihop. Vissaav problemenär säkert oerhörtsvåraatt lösa,medandet i andrafall kanske ligger ettganskaenkelt resultatbaraochväntarpåatt bli framskrapad,somvar fallet medmedelvärdesegenskapenför transportekvationer, sombehövdesför att visaatt detfinnslösningar.

Det här gör vi i Göteborg

Vi är ett tiotal personervid matematiskainstitutioneni Göteborg sompå ett eller annatsättägnarossåtkinetisk teori. Vi är ganskateoretisktinriktade,ochharhuvudsakligenstuderatproblemsomharatt göramedexistensoch entydighetav lösningartill olika kinetiskaekvationer. Men på senaretid har vi ocksåbörjatintresseraossför deolikanumeriskametodersomfinns.Vi deltarocksåi ettstorteuropeiskt,såkallatTMR-nätverk,somägnarsig åtkinetiskteori tillämpadpåtill exempelhalvledareochrymdtillämpningar.

BerntWennberg

Titta gärnaocksåpåvårhemsida:http://www.md.chalmers.se/Math/Research/Kinetics/

eller kontaktaProfessorLeif Arkerydtel: 031-7723541

arkeryd@math.chalmers.se