kithuatchondiemroibdtcosi_3125

8/17/2019 kithuatchondiemroibdtcosi_3125

1/5

Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thứ c Cô-Si

Trong khi học Bàn về kiến thứ c về mảngbất đẳng thứ c th ì bất đẳng thứ c Cô-Si là một trong nhữ ngbất đẳnghứ c cơ bản nhất .Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng đư ợcbất đẳng thứ c này một cách linh hoạt hơn th

phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thứ c Cô-Si.

Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực tr ị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan tr ọnvà khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giớ i hạn bở i một điều kiện nào đó thì khi áp dụng tr ực tẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn cóìm đượ c tham số phù hợ p.

Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá tr ị nhỏ nhất:

.

b.

.

d.

Giải:.Bài này khá đơn giản chắc bạn nào cũng đều biết nó. Tuy nhiên dùng bài này minh họa cho việc lựa chọn tham sốheo mình là phù hợ p nhất.

Vì vai trò các biến x,y,z là như nhau nên ta có thể dự đoán đượ c dấu = xảy ra tại x=y=z=1/3. Nên ta có như sau:

(dấu = xảy ra khi )

Như vậy ta áp dụng như sau:

cộng dồn lại r ồi suy ra.

b. Như bài trên mình đã nói lên một ý tưở ng là thêm vào các biệt số phụ như chẳng hạn. Và phương pháp thêm nànói chung r ất hiệu quả và triệt để cho các bài toán dạng này.

Ta thấy vai tr ò của x,y là như nhau nên ta có thể dự đoán đượ c dấu = xảy ra x=y. Ta cần chọn các biệt số phụ sao:




Và mục đích của các biệt số phụ sao cho khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z. Nên ta có

suy ra: (*)

Đồng thờ i vớ i các điều kiện dấu bằng và (*) các bạn sẽ tìm đượ c các biệt số phụ như ý muốn.

http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26


2/5

.Để thấy thêm sự hiệu quả thì câu c điều kiện các tham số đó kô r àng buộc. Ta chọn các biệt số phụ sao cho:

(dấu = xảy ra tại )

(dấu = xảy ra tại )

(dấu = xảy ra tại )Và mục đích của các biệt số phụ khi ta cộng dồn lại chỉ xuất hiện x+y+z

Vậy ta suy ra dễ dàng: (*)

Đồng thờ i vớ i dấu = xảy ra và đk (*) bạn có thể tìm đượ c biệt số.

d.Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này. Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bướ c trên thì thật là khhụi và mất thờ i gian nhiều. Nay mình xin nói thêm đây là một cách r ất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phiền. Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi.

như vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo r ồi thế vào điều kiện là có thể ra đượ c điểm rơi.

Ngoài ra vớ i bài toán trên nó kô chỉ giớ i hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k của x,y,z bất k

ộng vớ i điều kiện có thể tổng quát hơn: . Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy nhiên đềố nguyên)

Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1. Tìm giá tr ị lớ n nhất:

.

b.

.

d.

Giải:

Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương đi giải quyết đó:.1=a+b, 1=c+d, 2=e+f (trong đó a,b,c,d,e,f có là các số sẽ tìm đượ c)

Ta có:

dấu = xảy ra khi:

Suy ra:

Và mục đích của các biệt số này là có thể đưa về dạng xy+yz+zx. Nên khi đó:

Như vậy ta đượ c hệ phương tr ình sau:

bd=cef

+b=1+d=1

+f=2

http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=14http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=14http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=14http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=392http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22


3/5

Hệ trên 6 phương tr ình tương ứng vớ i 6 ẩn số các bạn hoàn toàn có thể giải đượ c có điều hơi dài. Tuy nhiên trongrườ ng hợ p bài toán a,b,c chúng ta thấy r ằng các biến x,y có tính đối xứng nay nên việc phân tích sẽ đơn giản hơn th

này a=c, b=d, e=f. Như vậy thì đơn giản hơn đúng không?

Còn tr ườ ng hợ p ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn đôi chút. Nhưng có một phương pháp r ấthay và mớ i:

Xét biểu thức:

Vớ i

Như vậy ta đượ c hệ phương tr ình bậc 3 theo trong đó là nghiệm dương nhỏ nhất. Từ đây bạn có thể tính rauy ra giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f.

Bài toán 3: Cho x,y,z là các số dương, thõa: x+y+z=1. Tìm giá tr ị lớ n nhất của:

Vớ i các dạng bài này thì phương pháp cũng tương tự nhau nên dành cho các bạn vậy! Xem như đây là một bài luyệnậ p

Ngoài ra đôi lúc trong việc tìm cực tr ị của bài toán không phải là ta nhìn đã thấy đượ c đó là điểm rơi trong côsi mà nòn k ết hợ p vớ i phương pháp khác như đồng nhất thức, đạo hàm, v.v... Và chính điều này nó làm tăng thêm phần ha

và đẹ p của điểm rơi trong Cô-Si.Qua bài viết này mong các bạn sẽ hiểu r õ hơn về bất đẳng thức Cô-Si.

K ỹ thuật chọn điểm rơi trong các bài toán BĐT và cự c trị

Thờ i gian qua mình đã nhận đượ c nhiều yêu cầu của các bạn hướ ng dẫn cách làm bài tậ p về BĐT và cực tr ị.Đây cũnà mảng kiến thức sâu r ộng và tương đối khó.Bài viết này sẽ hướ ng dẫn các bạn những hướ ng suy ngh ĩ và giải quyếác bài tậ p dạng này thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức là những điểm ta dự đoán đượ c để từ đó có hướ ng giải quyết

phù hợ p nhất.

K ý hiệu sqrt là căn bậc 2 và cbb là căn bậc 3

Ta hãy bắt đầu từ 1 bài toán đơn giản:

Bài 1: Cho .Tìm Min của:

Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi ngay để vì dấu = xảy ra khi a=1, mâu thuẫn vớ i đk

Ta dự đoán từ đề bài r ằng P sẽ nhỏ nhất khi a=3 và đây chính là "điểm r ơi" của bài toán.Khi a=3 thì và

http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=26http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=24http://www.onthi.com/?a=OT&ot=LT&hdn_lt_id=22


4/5

Ta áp dụng Cosi như sau: ta có

Khi đó k ết hợ p vớ i đk ta có

Dễ thấy khi a=3 thì .Vậy khi a=3

Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR:

Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi như sau:

Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có .Tiế p tục áp dụng Co

ho 3 số ta có .Thay vào ta có

Bài 3:

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR:

P= + + >=

Giải:

Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên ngh ĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng

Ở đây dễ thấy .Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm r ơi".

Ta hãy cứ viết và dấu "=" đạt đượ c khi .Ta chú ý tiế p đk x+y+z=1 và "dự

đoán" dấu = xảy ra ở bài toán khi .Khi đó ta có 9a=b.Cho a=1 và b=9 ta đượ c ngay:

Tương tự cho y và z.Cuối cùng ta sẽ có 1 bài toán đơn giản hơn r ất nhiều và chỉ là TH đặc biệt của bài toán 1.

Cuối cùng là 1 bài toán mình xin dành lờ i giải cho các bạn:

Bài 4: Cho a,b,c dương và a+b+c=3.Tìm Min:

P= + +


5/5

Documents

kithuatchondiemroibdtcosi_3125