TEMAT:TEMAT:

Rzut równoległy na płaszczyznę.Rzut równoległy na płaszczyznę.

Rzut prostokątny na płaszczyznę.Rzut prostokątny na płaszczyznę.

Kąt między prostą a płaszczyzną.Kąt między prostą a płaszczyzną.

Klasa III P 15.02.2008 r.

Prowadzący: Przemysław Piórkowski

Rzut równoległy na płaszczyznęRzut równoległy na płaszczyznę(układ rzutowania)(układ rzutowania)

k

π

π - płaszczyzna rzutu (rzutnia)

k - prosta przebijająca płaszczyznę, wyznaczająca kierunek rzutu

(π,k) - układ rzutowania

Rzut równoległy na płaszczyznęRzut równoległy na płaszczyznę(układ rzutowania)(układ rzutowania)

k

π

A

A - punkt leżący poza płaszczyzną

A’

Rzut równoległy punktu A na płaszczyznę π w Rzut równoległy punktu A na płaszczyznę π w kierunku prostej kierunku prostej kk

l k

π

A

l - prosta równoległa do k przechodząca przez punkt A (prosta rzutująca)

A’- rzut równoległy punktu A na płaszczyznę π w kierunku prostej k

Wyznaczanie rzutu punkt A nazywamy rzutowaniem punktu A

A co jeśli ...?A co jeśli ...?

k

π

l

AB

A’=B’

Wniosek:

Jeśli punkty A i B leżą na prostej równoległej do kierunku rzutu, to A’=B’

Uwaga. Uwaga.

Rzut równoległy jest przekształceniem jednoznacznym, co oznacza, że każdy punkt ma w danym układzie rzutowania jeden rzut, ale ...

...nie jest przekształceniem wzajemnie jednoznacznym, to znaczy każdy punkt rzutni jest rzutem nieskończenie wielu punktów.

Zadanie 1.Zadanie 1.

k

π

A

?'

A

A

Rzut równoległy figuryRzut równoległy figury

π

k

Twierdzenia (własności rzutu równoległego)Twierdzenia (własności rzutu równoległego)

π

kl

l’

Twierdzenie 1.

Rzutem równoległym prostej (l) nierównoległej do kierunku rzutu jest prosta (l’).

k

π

Twierdzenie 2.

Rzutem równoległym odcinka jest odcinek do niego równoległy.

A B

B’A’

Twierdzenia (własności rzutu równoległegoTwierdzenia (własności rzutu równoległego))

Twierdzenia (własności rzutu równoległego)Twierdzenia (własności rzutu równoległego)

Twierdzenie 3.

Rzutem równoległym środka odcinka (nierównoległego do kierunku rzutu) jest środek odcinka będącego rzutem.

k

π

AO

B

O’A’

B’

C DA B

B’A’D’C’

k

Twierdzenie 4.

Stosunek długości odcinków równoległych (ale nierównoległych do kierunku rzutu) jest równy stosunkowi długości ich rzutów.

Twierdzenia (własności rzutu równoległego)Twierdzenia (własności rzutu równoległego)

π

k

Zadanie 2.Zadanie 2.

Narysuj rzuty równoległe dwóch odcinków w danym układzie rzutowania, tak aby uzasadnić, iż przekształcenie to nie jest wzajemnie jednoznaczne.

Rozwiązanie:Rozwiązanie:

π

kA B

B’=D’A’=C’

C D

Rzut prostopadły na płaszczyznęRzut prostopadły na płaszczyznę(prosta wyznaczająca kierunek rzutu)(prosta wyznaczająca kierunek rzutu)

π

A

l

k - prosta prostopadła do rzutni

l - prosta rzutująca

A’ - rzut prostokątny punktu A na płaszczyznę π

A’

k

Odległość punktu od płaszczyznyOdległość punktu od płaszczyzny

π

A

A’

d(A,π)

Odległością punktu A od płaszczyzny π nazywamy długość odcinka AA’, gdzie A’ jest rzutem punktu A na płaszczyznę π.

π

A

A’

d(l,π)

l

Odległością prostej l od płaszczyzny π nazywamy długość odcinka AA’,przy czym A jest dowolnym punktem na prostej l, A’ jest rzutem punktu A na płaszczyznę π.

Odległość prostej od płaszczyznyOdległość prostej od płaszczyzny

Zadanie 3.Zadanie 3.

Zdefiniować odległość między dwiema płaszczyznami równoległych

Kąt między prostą i płaszczyznąKąt między prostą i płaszczyzną

π

A

A’ B’

B

α

α - kąt między prostą l a płaszczyzną π

l

l’

l - prosta przebijająca płaszczyznę (nie jest prostopadła do rzutni)

l’- rzut prostej prostokątny prostej l na płaszczyznę π

Zadanie 4.Zadanie 4.

Zdefiniować kąt między prostą a płaszczyzną.

Kątem między prostą l a płaszczyzną π nazywamy

kąt pomiędzy prostą l a jej rzutem prostokątnym l’ na płaszczyznę π

Przykłady.Przykłady.

3*. Odległość punktu A od płaszczyzny π wynosi 6 cm. Z tego punktu poprowadzono do płaszczyzny proste AB i AC (punkty B,C są punktami przebicia z płaszczyzną). Każda z tych prostych tworzy z płaszczyzną kąt 30o. Rzuty tych prostych na płaszczyznę π zawierają między sobą kąt 120o. Oblicz długość odcinka BC

2. Odcinek AB długości 12 cm, którego jeden koniec leży na płaszczyźnie, tworzy z nią kąt 30. Oblicz długość rzutu prostokątnego odcinka na daną płaszczyznę.

1. Przez punkt A poprowadzono prostą przebijającą płaszczyznę π w punkcie B i tworzącą z nią kąt 60o . Wyznacz odległość punkt A o płaszczyzny π, jeśli wiadomo, że |AB|=6 cm.

Pytania podsumowujące.Pytania podsumowujące.

1. Jak definiujemy rzut równoległy na płaszczyznę?

2. Jak definiujemy rzut prostopadły na płaszczyznę?

3. Jak definiujemy kąt między prostą a płaszczyznę?

LiteraturaLiteratura

[1] A. Gliniecka, M. Lewandowska

„Jak rozwiązywać zadania o bryłach - część I”

- Oficyna Wydawniczo - Reklamowa, Bydgoszcz 1995;

[2] K.Kłaczkow, M. Kurczab, E.Świda

„ Matematyka ” - podręcznik dla liceów i techników klasa III.

- Oficyna Edukacyjna, Warszawa 2004;

[3] R. Leitner, W. Żakowski

„ Matematyka dla kandydatów na wyższe uczelnie ”

- Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1976;