Ispitni zadaci iz predmeta

KLASIČNA MEHANIKA I

27. kolovoza 2012.

Benjamin FetićPrirodno-matematički fakultet, Sarajevo

Odsjek za fiziku

Prvi parcijalni ispit iz predmeta Klasična mehanika I

(24.11.2011. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Top se nalazi na vrhu brda visine h. Ako je brzina granate pri ispaljivanju v0, aotpor vazduha zanemarljivo mali, izvesti jednačinu trajektorije granate. Pokazati dase maksimalan domet granate postiže za ugao elevacije α0 koji je određen formulom(pogledati sliku 4):

sinα0 =v0√

2(v20 + gh).

y

xD

a

v0

h

v0x

v0y

Slika 1: Domet granate.

2. Čestica se kreće brzinom konstantnog intenziteta v duž kardioide čija je jednačina upolarnim koordinatima data sa r(ϕ) = k(1 + cosϕ).

(a) Izraziti ϕ̇ preko intenziteta brzine.(b) Izraziti radijalnu komponentu ubrzanja preko intenziteta brzine.(c) Odrediti intenzitet ubrzanja.

2

3. Kometa se kreće po paraboličnoj putanji u gravitacionom polju Sunca tako da se njenaorbitalna ravan poklapa sa orbitalnom ravan Zemlje. Perihel komete iznosi trećinu po-luprečnika Zemljine orbite (smatrati da je putanja Zemlje oko Sunca kružnica). Izvestiizraz koji određuje vrijeme kretanja komete unutar Zemljine orbite (pogledati sliku 4).

4. Pomoću grafika efektivnog potencijala kvalitativno ispitati kretanje čestice u polju sile

~F = − kr5~r (k > 0).

RZ

SunceRmin

Kometa

Slika 2: Parabolična putanja komete.

3

Drugi parcijalni ispit iz predmeta Klasična mehanika I

(29.12.2011. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

1. U famoznom eksperimentu iz 1911. godine Ernest Ruhterford1 iznosi eksperimen-talna opažanja rasijanja pozitivnih α čestica na tankom metalnom listu debljine reda10−4 cm.

(a) Ako pretpostavimo da se α čestica kreće u Coulombovom polju jezgre atoma

~F =k

r3~r , k > 0 ,

zaključi koji su integrali kretanja i oblik putanje čestice. Skiciraj ovo rasijanje ioznači ključne veličine.

(b) Izvesti izraz za polarni ugao ϕ i odredi rastojanje do kojeg se može približiti αčestica energija E jezgri atoma.

(c) Naći vezu između ugla rasijanja θ i parametra sudara b.

(d) Odredi diferencijalni presjek rasijanja.

(e) Objasni značaj diferencijalnog presjeka rasijanja.

2. Čestica masem kreće se po glatkoj sferi čija je jednačina x2+y2+z2 = a2 pod uticajemsile Zemljine teže.

(a) Odrediti integrale kretanja.

(b) Odrediti silu reakcije podloge kao funkciju položaja čestice.

1E. Rutherford, The scattering of alpha and beta particles by matter and the structure of the atom,Philosophical Magazine, 669-688, 21 (1911).

4

Završni ispit iz predmeta Klasična mehanika I(za studente koji polažu prvi parcijalni ispit)

(11.01.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Tačka se kreće po kardioidi čija je jednačina r(ϕ) = 2R(1 − cosϕ), konstantnom sek-torskom brzinom. Odrediti brzinu i ubrzanje u zavisnosti od polarnog ugla ϕ.

2. Materijalna tačka mase m koja ima početnu brzinu ~v0 = v0~i kreće se pravolinijski. Natačku djeluje samo sila otpora u smjeru suprotnom od smjera brzine čiji je intenzitetje dat izrazom:

F = k 3√v ,

gdje je k konstantna veličina, a v intenzitet brzine.

(a) Odrediti vrijeme zaustavljanja tz.

(b) Odrediti zavisnost intenziteta brzine v(x) od trenutnog položaja tačke. Uzeti daje početni položaj tačke u ishodištu koordinatne ose.

(c) Odrediti pređeni put sz do zaustavljanja.

3. Čestica mase m se kreće u polju sile sa potencijalom

V (r) = −αr− β

r2,

gdje su α i β pozitivne realne konstante.

(a) Pomoću efektivnog potencijala kvalitativno ispitati kretanje čestice u datom polju.

(b) Da li je moguće da se čestica kreće po kružnici? Pod kojim uslovima je takvokretanje moguće?

(c) Odredite period kretanja čestice po kružnici.

5

Završni ispit iz predmeta Klasična mehanika I(za studente koji polažu ispit integralno)

(11.01.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Materijalna tačka mase m koja ima početnu brzinu ~v0 = v0~i kreće se pravolinijski. Natačku djeluje samo sila otpora u smjeru suprotnom od smjera brzine čiji je intenzitetdat izrazom:

F = k 3√v ,

gdje je k konstantna veličina, a v intenzitet brzine.

(a) Odrediti vrijeme zaustavljanja tz.(b) Odrediti zavisnost intenziteta brzine v(x) od trenutnog položaja tačke. Uzeti da

je početni položaj tačke u ishodištu koordinatne ose.(c) Odrediti pređeni put sz do zaustavljanja.

2. Čestica mase m se kreće u polju sile sa potencijalom

V (r) = −αr− β

r2,

gdje su α i β pozitivne realne konstante.

(a) Pomoću efektivnog potencijala kvalitativno ispitati kretanje čestice u datom polju.(b) Da li je moguće da se čestica kreće po kružnici? Pod kojim uslovima je takvo

kretanje moguće?(c) Odredite period kretanja čestice po kružnici.

3. Naći diferencijalni i totalni presjek rasijanja čestice energije E u polju sile sa potenci-jalom

V (r) =

{V0 r < a0 r > a

Razmotriti slučaj kada je E < V0.

4. Materijalna tačka mase m nalazi se na unutrašnjoj strani rotacionog paraboloida čijaje jednačina x2+y2 = 2az, gdje je a konstanta. Ispitati kretanje ove tačke ako je ona upočetnom trenutku bila u položaju sa datim koordinatama (x0, 0, z0) i imala početnubrzinu (0, v0, 0). Naći integrale kretanja i silu reakcije podloge.

6

Popravni ispit iz predmeta Klasična mehanika I(za studente koji polažu prvi parcijalni ispit)

(26.01.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Materijalnoj tački mase m koja se nalazi u homogenom polju sile teže, saopštena jehorizontalna početna brzina ~v0 = v0~i (pogledati sliku 4). Odrediti jednačinu kretanjatačke ako na nju djeluje i sila otpora vazduha ~Fot = −k~v, gdje je k pozitivna konstanta.

x

y

0 v0

mg

vFot

Slika 3: Kretanje materijalne tačke pod uticajem sile teže i sile otpora vazduha.

2. Naći putanju čestice u polju sile

~F = − kr3~r , k > 0 ,

pomoću integrala kretanja. Diskutovati moguća rješenja.

7

Popravni ispit iz predmeta Klasična mehanika I(za studente koji polažu ispit integralno)

(26.01.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Materijalnoj tački mase m koja se nalazi u homogenom polju sile teže, saopštena jehorizontalna početna brzina ~v0 = v0~i (pogledati sliku 4). Odrediti jednačinu kretanjatačke ako na nju djeluje i sila otpora vazduha ~Fot = −k~v, gdje je k pozitivna konstanta.

x

y

0 v0

mg

vFot

Slika 4: Kretanje materijalne tačke pod uticajem sile teže i sile otpora vazduha.

2. Naći putanju čestice u polju sile

~F = − kr3~r , k > 0 ,

pomoću integrala kretanja. Diskutovati moguća rješenja.

3. Dvije čestice masa m1 i m2 međudjeluju preko potencijala

V (~r1, ~r2) = −k

|~r1 − ~r2|3, k > 0 .

8

(a) Naći silu međudjelovanja i napisati diferencijalne jednačine kretanja.

(b) Pokazati da je referentni sistem vezan za centar masa inercijalan.

(c) Kolika mora biti energija relativnog kretanja Er u sistemu centra masa da bi došlodo sudara čestica.

4. Čestica mase m kreće se po glatkom konusu čija je jednačina x2 + y2 = a2z2 poduticajem sile teže.

(a) Napisati jednačine kretanja.

(b) Naći integrale kretanja.

(c) Naći silu reakcije podloge kao funkciju položaja čestice.

9

Popravni ispit iz predmeta Klasična mehanika I(za studente koji polažu ispit integralno)

(30.08.2012. godine)

STUDENT:(PREZIME I IME)

ZADACI

1. Tijelo mase m izbačeno je pod uglom α u odnosu na horizont početnom brzinom v0kao što je prikazano na slici. Pod pretpostavkom da se tijelo kreće pod uticajem sileZemljine teže i sile otpora zraka čiji je intenzitet proporcionalan intenzitetu brzinetijela, odrediti:

(a) koordinate položaja tijela u zavisnosti od vremena, x(t) i y(t).

(b) maksimalnu visinu koju tijelo može dosegnuti. (40%)

y

x

Hv0

v

v0x

v0y

α

mg

Fot

Slika 5: Kosi hitac.

2. Pomoću grafika efektivnog potencijala kvalitativno ispitati kretanje čestice u polju sile

~F = − kr5~r (k > 0).

(30%)

10

3. Dvije čestice masa m1 i m2 međudjeluju preko sile koja je opisana potencijalom

V (~r1, ~r2) =1

2k |~r1 − ~r2|2 .

(a) Napisati diferencijalne jednačine kretanja.

(b) Naći integrale kretanja.

(c) Izvesti Newtonovu jednačinu relativnog kretanja. (30%)

11