KÜLÖNLENYOMAT

MATEMATIKAI

LAPOK

V11. ÉVFOLYAM 1-2. SZÁMÁBÓL

BOLYAI IÁNOS MATEMATIKAI TÁRSULATBUDAPEST, 1956

MATEMATIKAI LAPOKA Bolyai János Matematikai Társulat lapja. Megjelenik évenkint négyszer .Budapest, 1956. május, VII . évfolyam 1-2. szám.Felelős szerkesztő : Turán Pál .Szerkesztők : Aczél János, Hajós György, Kalmár László, Rényi Alfréd .Szerkesztőség : Budapest V., Reáltanoda-utca 13-15. Telefon : 187-330.Kiadóhivatal : Akadémiai Kiadó, Budapest, V., Alkotmány-utca 21 . III .

Telefon : 111-010.A kiadásért felel : a7, Akadémiai Kiadó igazgatója .Terjeszti a Posta Központi Hírlap Iroda Vállalat Budapest, V ., József

nádor-tér 1 . Telefon : 180-850 . Csekkszámlaszám : 61257.Előfizetés, személyes ügyfélszolgálat József nádor-tér 1 . Üzlethelyiség

Telefon : 183-022.Előfizetés egy évre 20,- Ft.

TARTALOMJEGYZÉK

Riesz Frigyes -j- 1Érdős Pál : Megjegyzések a Matematikai Lapok két feladatához 10Miron Nicolescu : A Román Tudományos Akadémia Matematikai Intézeté-

nek és a Bukaresti Egyetem Analízis Tanszékének matematikaimunkásságáról 18

Hajnal András és Kalmár László : Megjegyzés a halmazelmélet Gödel-féleaxiómarendszeréhez I 26

Bihari Imre : A Bessel-függvények egy monotonitási tulajdonságáról . . . 43Fried Ervin : Algebrailag zárt testek mint véges bővítések47Obláth Richárd : Vályi Gyula (1855 január 25-1913 október 13) . . . . 61Turán Pál : „Faktoriálisos" számrendszerbeli „számjegyek" eloszlásáról" 71Rényi Alfréd : A számjegyek eloszlása valós számok Cantor-féle előállí-

tásaiban . .

.

77Aczél János : A természetes logaritmus és az exponenciális függvény be-

vezetéséről . . . 101Kővári Tamás : Egy Turán-féle problémáról 106Heppes Aladár és Révész Pál : ' A Borsuk-féle feldarabolási problémához 108Máté János : A kínai matematika történetének egy problémájáról . . . . 112Feladatrovat 114Példarovat

. .

. 156Jelentés a Beke Manó emlékdíj ötödik kiosztásáról167Hírek 171Társulati élet 177Könyvismertetés 201Hibaigazítás 205

Erdős igyál

Megjegyzések a Matematikai Lapok két feladatához

hegjegyzések a Matematikai Lapokkét feladatához

ERDŐS PÁL

A Matematikai Lapokban megjelent a következő feladat'Bebizonyítandó, hogy minden F-hoz megadható oly a, amelyre.cy (a) + cp (a+ 1) < Fa, (cp(a) az Euler-féle cp függvényt jelenti .)

Talán nem lesz érdektelen megvizsgálni, vajon mennyireélesíthető a feladat állítása annál is inkább, mert elemi anali-tikus számelméleti módszerekkel kérdésünkre válaszolni tudunks az érdeklődő olvasó e módszerekkel aránylag könnyen megis-merkedhetik. Az is jól látható lesz, hogy hogyan jönnek létre azoka tételek, melyekben többszörösen iterált logaritmusok szerepelnek,melyek az analítikus számelmélettől távolesőket sokszor furcsahangzásuknál fogva mulattatják .

E cikkben c1 , c 2 , . . . pozitív konstansokat fognak jelölni, log,.n,az r-szer iterált logaritmust jelöli, L,, = [log 3n/log4n] .

1 . TÉTEL . Minden F > 0-hoz létezik oly n, == n,(F), hogy min-den n > n,,-hoz van oly a < n, melyre

<p(a) +cp(a+ 1) -}- . . . +T(a+L„) <,m.

II . TÉTEL . Minden pozitív n-ra fennáll, hogyfim inf [cp (a)-}-cp(a-}-1)-E- . . . +cp(a+(1 +,i,)L„)]'a= x .

A II . tétel nyilván azt jelenti, hogy az első tételben foglaltállítás tovább nem élesíthető .

Első pillanatban talán azt gondolhatnánk, hogy az I. és 11 .tételek problémánk teljes megoldását tartalmazzák . E tételek azon-ban még a következő módon élesíthetők .

1 MEDGYESSY PÁL, II . (1951), 145 . o . 40-ik feladat, LIPTÁK JÓZSEF ésTAKÁCS LAJOS megjegyzik, hagy minden k-hoz és E-hoz van oly a, melyreT (a) + T(a + 1) -}- . . . + T(a k) < -- a . IV. (1953), 38-39.

111 . TÉTEL :

lim inf T(a) +cp(a+1)+ . . .

log,a

1 c log,, a`p a+ l0g 4a-log,,a + log4a 2

'a = e /a,(

4 )

1 ,ahol a =1I ( 1- -~

(a szorzat nyilván konvergens) .11

pA 111. tételt nem fogjuk bebizonyítani, ugyanis a bizonyítás

azonos, csak kissé komplikáltabb, mint az I . és II. tételek bizo-nyításai. Tudtommal itt fordul elő először egy tételben ötszöröseniterált logaritmus .

LANDAUtól2 származik a következő tétel :lim inf T(n) log 2 nin =e - ',',

ahol C az Euler konstanst jelöli . Legyen g(n) n-nek nem csök-kenő függvénye, (g(n) állandó is lehet). Fennáll

IV. TÉTEL .

lim inf max (cp(n), cp(n+ 1), . . ., q(n+[g(n)]) (e','log2n)1'1`'(")+'1 a-1 .72- W

Amennyiben g(n) -

az (ec') 1y01 + 1 faktor természetesen 1-gyelhelyettesítendő .

A IV. tételből következik, hogyha g(n) log3n akkorfim inf max (d,(n), cp(n± 1), . . ., cp(n±[g(n)])/n

1 .í~ = d

Ennél azonban lényegesen élesebb tételt mondottam ki egy régebbi .dolgozatomban." A 1V. tételt se fogjuk bebizonyítani, mert a bizo-nyítás hasonló az 1. és II. tételek bizonyításához .

Egy a számot akkor nevezünk abundánsnak, ha 6(n) ~ 2n,ahol 6(n) n osztóinak összegét jelenti . Egy régebbi dolgozatom-ban ] bebizonyítottam, hogy létezik két konstans c 1 és c2 úgy, hogyvan cl Jog-n n-nél kisebb konzekutív abundáns szám, de nincsc2 log 3 n n-nél kisebb konzekutív abundáns szám . A következő éle-sebb tételt tudom bebizonyítani

V. TÉTEL . Létezik két folytonos függvény f(x) és g(x), f(x)az (1, c>--) intervallumban van definiálva, f(l) ==c-, f(c) = 0,

2 Arch. Math. und Phys. (1903), 86-91-3 Note on consecutive abundant numbers, Journal London Math . Soc .10 (1935), 128-131 .

12

f(x) szigorúan monoton csökkenő, g(x) a (4,1) intervallumban vandefiniálva s ott szigorúan monoton növekvő, g(O)=O, g(1)= Q,

úgyhogy azon n alatti leghosszabb konzekutív egész- számok-ból álló sorozat hossza, melyekre vagy o(a) > a x, vagy cp (a) < a x,(1 +o(1))f(x) log 3 n, vagy (1 +o(1))g(x) log 3 n alakú .

Az V. tétel bizonyítását szintén nem közöljük, mert hasonlítaz I. és 11. tételek bebizonyításához s egy régebbi dolgozatombanlevő bizonyításhoz .;

TURÁNtóI4 származik a következő feladat : Jelölje d(n) n osz-tóinak számát . Létezik-e tetszőleges nagy pozitív k-hoz oly n, hogy

d(n) < d(n+ 1)-k és d(n) < d(n-1)-k.

(1)

ismeretes, hogy d(n) maximuma 2 10 g'1ib0gLa 1 rendű (e tétel WiGERT-től való) ;`' ez pontosan azt jelenti, hogyha ,,, >0 tetszés szerintipozitív szám, akkor minden =n > no(E)-ra d(n) < 2(1+-)Iogflh1og,% viszontvégtelen sok n-re d(n) .> 2(1-£)log fz!log2~z. (1) már, most következőkép-pen élesíthető : Minden s > O-hoz található oly 1=1(s), hogy vég-telen sok n-re fennáll, hogy

d (n) < 1, d (n + 1) > 2( 11,—) 109 n :1og-'+ , d (n -1) > 2i'!2-s)1og nz. 1og,n

(2)

(2) valószínűleg tovább nem élesíthető, azaz2

-t nem helyette-

síthető2

(~-+F -nal . (2) bizonyítását nem . részletezzük, elég egysze-

rűen következik BRUN módszerének alkalmazásával, (1) és (2)-hözhasonlóan vizsgálhatjuk, milyen éles lokális maximuma lehet d(n)-nek. Itt a következő bizonyítható : minden F > 0-hoz létezik vég-telen sok n, melyre

d (n) > 2(1-£) log ra/log2f [max (d (n -{-1), d (n =- 1»J .

(3)-

(3) bizonyítását szintén nem részletezzük, BRUN módszerével itt iskönnyen célt érünk, itt azonban Brun módszere valószínűlegelkerülhető lesz (lásd a Mat . Lapok-ban rövidesen megjelenendőfeladatom megoldását) .

Valószínűnek látszik különben, hogy n > ti~(E) esetén

d(n(n-(-1))=d(n)d(n-}- 1) < 2(1+E)1og 1''og2', .

(4) `

4 Mat. Lapok V . (1954), 48 . 71 . feladat .s Lásd pl. E. Trost Primzahlen, vagy pedig Hardy-Wright Number

Theory third edition. Lásd még Kalmár László, Középiskola) Mat . Lapok II .(1950), 91 .

Azonban (4) bebizonyítása igen nehéznek látszik. A főnehézség akövetkező : . Ha (A, B)=--- 1, akkor mindig van oly 0 < x ~ AB,melyre x = 0 (mod A), x _= 1 (mod Ij) . A ,baj" mármost az, hogynem ismeretes oly használható feltétel, mely x > (A B)'- --t tudnabiztosítani .

Felvethető még a következő kérdés : Melyik a leghosszabbn alatti sorozat, melyre o (a) < a(a -{ -1) < • • < a(n + k) ?

VI . TÉTEL . -

Legyen T,,_ [log a/logcn],

1,, 12i . . ., l Tn az1, 2, . . ., T,, számok egy tetszésszerinti permutációja . Akkor han > n,(,-), létezik oly a < n, melyre a(a + i,) < a(a ± i2)< . . . < a(a + i,„) .Ezzel szemben, ha n > n,(.), nincs oly a < n, melyre a(a) << 0(a +,I) < . . . < a(a+[(1 +F)Tj), vagy a(a) > a(a± 1) > . . .•

> a(a ± [(1 -}- -,~) T„]) . Ugyanily tétel érvényes a cp függvényre

VII . TÉTEL . Legyen k= (log n)''2_E i1 , i2 , . . ., ik. az 1, 2, . . ., kszámok egy tetszésszerinti permutációja . Akkor ha n > n,,(F) létezikoly a < n, melyre d (a -{- i,) < d(a + i2) < . . . < d (a + ik).

A VI. és VII. tételekre még más helyen vissza fogok . térni,valószínűnek látszik, hogy a VII . tétel nem marad igaz, ha (log n)'t2

- F-t(log n)'/2+E-nal helyettesítjük .

Az I . TÉTEL bizonyítása. LegyenA,z = .j7 p.

p-~2log n

Ismeretes, hogy IT p < 4'r j s ezért A,, < n~'2 . MERTENS' ismerttétele szerint

1 = (1 + o(1))e -cjlog_n .

(5)p< toglZ

p

Létezik mármost oly a,, a,, . . ., aj „ sorozat, melyre (a1 . a2 . . . ar .) j Anés

cp (ai)/ai = (1 ± o(l» (log2 n)

+ o (1))/Iog n,

(6) bizonyítása igen egyszerű . LegyenS2 .`

ia, - 2 .3 . . . p,,,, a2=17pj, . . ., a i = II pj . . . ,

Hardy-Wright (second edition) 349 .

1 3

s,+1s;-1+1

(6)

14

ahol ps,, 1

i a következő módon van definiálvas,+1

1

1

" . :

s:

1H 1-- << I

s,_,+i

p

log3n ' - 1+1

p

(5)-ből és,(7)-böl nyilván következik; -hogy

cp(aQ)/a t -_= (I+ 0(1).)hog3 n és

>lol~n

,J=

azaz (6) fennáll és (5) miatt p,L <2log n s ezzel állításunk iga-zolva van.

Legyen mármost

x + i =_-0(mod a i+1), 0n

i :-5 L;a -1, < x < n

(8)

X, (mod a1 . a, . . . . a.n) egyértelműen meg van határozva s ezért

-a1. • aa . .' . aLn :-:5- A„ <:2 miatt (8) megoldható. Mármost L.< Iog8nés (6) és (8) miatt

cp(x+ í')/x < (1-+o(I))99(x+ i)l(x+i) 9p(a+1)lat+1=(9)(I +0(1:))Jldg3,n .

Tehát (9) miatt«p(x)+9 (x .± 1)+ . . . +q(x+Ln))/x < (1 +o(1))L-,,/log3n < e

n > n0-ras ezzel az I. tétel be van bizonyítva .

A 1,1 . TÉTEL bebizonyítósa, LegyenIq~' (a)=11 ~ I --p

,

ahol` R' azt jelenti, hogy pia, p < 2 log a. Könnyű belátni,; hogy.a < Z n, akkor

cp'(a)={l +o(1))!p(a). (10),Ugyanis a nyilván legfeljebb log a/log2a 2 log a-ná nagyobbprímszámmal tehet osztható, ezért

- -lóg-a/logia9, (a) c `p'(a) < `p (a) (1- Zlo a

= (I + 0(1 )) 9'{a),gezzel tehát (10) be van bizonyítva . (10). miatt nyilván elég lesz

bebizonyítani, hogy minden i > O-ra

--fim inf (rp' (,a)+ fp'(a+ 1)+ . . . ±rP'(a+[(1--{-n)La]-)la=

(11)

Legyenq~' (a + i)/(a+

(:11) helyett. nyilván elég lesz bebizonyítani, hogy2 a~ --r

0 C i C [(1 ± n) La] .

(12)-

l Q+) L,tilp+t

p g1 p

(l+,])LLa/p,1

1< a

a

logga'

a

.P

Minthogy azonban a számtani közép nagyobb, mint,, a mértani,nyerjük, hogy

1/(l+?»L a1

c,has

{(1 + n)L a]( 1+r~)La log log á

>c2La/(logsa)t/(1+n) ._ .*

ha a--• oo,amivel (12) s ezért a 11 . tétel be Van bizonyítva .

A legutóbbi időben SCHINZEL bebizonyította a következő tételt:Legyenek, aa > 0, 1-- i:-5k, akkor létezik egészszámok olyvég-

telen sorozata, melyre

(nl -}- r 'l m i'1) = aL, 1

Ezzel szemben lim max (n+ 1)--9,(n

){ + ~) log~n

log asUgyanilyen tétel érvényes u(n)-re is .

Ugyanilyen tétel érvényes a(n)-re is. Ezzel kapcsolatban a követ-kező tételt bizonyítottam be

Létezik oly végtelen sorozat nl,, melyre -maxcp(na± 4)

í4gs n4, 4, < (

E) -,1 ;:= o min T(ni +. i2)

-

loge'n

ci

15

lim min 9 R+r+1) =0,gv (n -~- i)

16

O JI,BYX 3ARAHAX, QíIYCJIhIKOBAHHbIX B SifYPHAJIE„MATEMATIKAI LAPOK"

II . EpA~IU .

(Pe3IOMe)

IIyCTb 6yAeT L,z = [log3 a/log4 n] . [logr n = npOAyx i . norapH4MHpOBaHHA,

IIOBTOpeHHOTO B r pás.) B 3TOM Cny`-Iae JIJISi KaSxj orO E H n > n0 CyiL~eCTByeT.dt < n, AnR KOTopOTO

T (a) -f- qo (a -f-1) +{._ 9,(a + Ln) < e a .

C ApyroH CTOpOHbI AJISI xaxcAoro i > 0

lim inf `p(a) -{- cp(a -f-1) -{- . . . `~. ~P [a ~}- (1-f,- ~) L n] - ~ .p

a

Ranee yTBepsxAaeTCR (óeá AoxaaaTenbcTBa), tíTo

9o(a) -} cp (a-j- 1) -{- -f- ~a -f-lag3 alog4 a-log- a

l m infa~> m

a =

' 1- -llp

AaIoTCR Aanee Heexonbxo ApyrHx pe3ynbTaTOB 6e3 Aoxa3aTenbcTBa ; 113ItOTOpbIX 3AeCb npHBOASITCSI TOnbKO :

F

I7yCTb -k„ =lgQa

H nyCTb 11, 12, . . ., 1k n 6YAeT nI06aSi nepeCTaHOBxá

cenblx 1 2,

ki . Torna AnR n > no cyu. ecTByeT . a < n,- npH ieM

9,(a + i1) > go-<a + i2) > . . > 9~ (a+ i k.) .

C ApyroIi czopoHbi Ami n > no (E)9,(n) >- 9p (n + 1) > . . . > 9' [n + (1 + E) kn]

He MOlxeT 6bITb CnpaBeAnHBbiM. í3TH xce caMbIe pe3ynbTaTbI CnpaBeAn , HBbí0 (n) BMeCTO p (n).

c log3 a(log4 a)2 )

e'-'

REMARKS ON TWO PROBLEMS OF THE MATEMATIKAI LAPOKr

Let Ln= [log 3 n/log4 n] . [log,, n denotes the r times iterated logarithmThen for every e and n > no there exists an a <•n for which

9 (a) + <p (a+ 1) +

+ - p (a + L,,) E a .

Ön the other hand for every w > 0

lim inf 9,(a) + T (a + 1) + ... + <p (a -i-- (1 -}- ~) L77)

a --~- m

a

--

Ansl

Further- it is stated without giving the proof that

9, (a) + p (a + 1 ) + . . . + 9 a +' log3a,c log3 alog- a-log5 a

(log a}=

eclim inf-tlt0

~- a =11 1

Several other results are stated without proof, , here we mention only 'one

Put k72=,1°g3

and let iI , i,~>, . . ., ikr a be any permutation of the integerslog6n1 1 2,

k-n . Then for n > no there exists an a <- n so that

T (a -t- i)) 9,(a + iQ) >

> q, (a+Ön the other hand-for n > no (E)

T(n) > 9)(n-}-,1)> • >T(n+(1 +e)k,)can not -hold. The same results hold for a(n) instead of p(n).

17 ,

COjIEP) (AHMEfipHAbeuI PHC

13pAéul I. : O Asyx 3aAaIax, ony6JixOSaHtx s sxypHane „MaTeMaTHxaH

JIanoK"

10HHKoJIecxy, M.: O MaTeIVIaTHtIeCKOH AeRTenbxOcTH hIaTeMaTHHecKOro HHCTH-

TyTaPp yyMTbIHel~al AKaueMHI1 .HayK H KaI~eApbl aHaJIxaa YH.HBépcHTeTa, 18

BXaAHan, -A. .H KaJIMap, JI . : `3aMexaHHe K cHCTeMe axcHoM I'eAena TeopHH

.

MH(iSKeCT81 26BHXapH, W: ; 06 opHOM - CBOi CTBe MOHOTU:IHOCTH (DyHKuHH BeCCenR .

43paJ B. : Arlre6paHtiecxR aaMKxyTbie Tena xaK KoxeRHble coxpaugeHHR 47

06JIaT, P. ; O Abxoaa BanbH (25 RHS. 1855 r.-13, oKT . 1913 r .) .61~T~ypall, ~. : O paCnpeAeJIeHHH 414P ,4JaKTOpHaIibHOk" CHCTeMbI iiHCeJI 71i'eHbR A • O paenpEAeJteHI1H uH4)p B pRAax KaHTOpa 77Agenb,. W. : 'O BBeAeHHH ecTeCTSeHHOro norapH4)Ma H axcnoHeHgHanbxoH .

cDYHKQHH 101KéBapH, .T. : 06~ ORHOi aaAaMe 11 . TypaHa 106Xelinem, A. H Peaec,-1I . : K npo6ne1J e Bopulyxa ó pa3Apo6JIeHHH . . . 108MaTe, 5I . : 06 'OAHOH aaAaiie HcTOpHH KHTáNCKOi J aTeMaTHKN112TIpo6JIeMbI 114IIpHMepli 156IIpeMxR Maxo BeKe 167MaTeMaTHiIeCKHe 'H JIHLIHbIe H3BeCTHA 171Ha_ SKHaxH o6uLecTSa 177O63op. KHHrH 201OneqaTKH 205

A Bolyai János Matematikai Társulatba belépni szándékozókforduljanak a Társulat elnökségéhez (Budapest, V .,Reáltanoda-utca13-15. Telefon 187_330) . Közlésre szánt dolgozatok (lehetőleggépírással s a lap egyik oldalát használva) a lap szerkesztőségéhezugyanoda küldendők

Kérjük cikkíróinkat, hogy amennyiben különlenyomatra tartanakigényt, cikkük kefelevonatának visszérküldésekor ezirányú kívánsá-Bukat a kért különlenyomatok számának megjelölésével feltétlenüljelentsék be.

CONTENTFrédéric Riesz : t 1P. Erdős ; Remarks on two problems of the Mathematikai Lapok . . 10M. Nicolescu : Ön the mathematical activity of the Mathematical Institut

of the Rumanian Academy and of the Chair ot the Analysis at theUniversity of Bucarest 18

A. Hajnal and L . Kalmár: Remark on the Gödelian axiom system ofthe set theory I 26

I. Bihari : Ön a monotonicity-property of the Bessel functions43E. Fried : Algebraically closed fields as finite extensions47R. Obláth : Life and works of J. Vályi 61P. Turán : On the distribution of the digits in Cantor-systems71A. Rényi : On the distribution of the digits in Cantor' s series . . . 77J. Aczél : On the introduction of the exponential and logaritmic function 101T. Kővári : On a problem of Turán 106A. Heppes and P. Révész : On the splitting problem of Borsuk . . . .108J. Máté: On problem in the history of Chinese mathematics112Problems 114Examples . 156Report on the Beke-prize 167News 174Society life 177Book review 201Errata 205

Különböző külföldi természettudományos, műszaki, orvosi stbszakfolyóiratok 1953-1954. évi vegyes számai a Posta KözpontiHírlap Iroda V., József Attila u . 3. sz. alatti lapüzletében példá-nyonként megvásárolhatók.

Felhívjak olvasóink figyelmét, hogy lapunk régebbi számaikaphatók a Posta Központi Hírlap Iroda V., József Attila-u . 3szám alatti újságboltjában.

A kiadásért felelős : az Akadémiai Kiadó igazgatója

Műszaki felelős : Szőllőssy Károly

Szegedi Nyomda Vállalat 55 6394

Felelős vezető : Vincze György