KÜMELERLE YENİ KURULUMLAR ÜZERİNE

DOÇ. DR. ERDAL EKİCİ

1

• TOPOLOJİK UZAYLARIN NE OLDUĞUNU HEMEN HEPİMİZ BİLMEKTEYİZ.

• TOPOLOJİK UZAYLARLA İLGİLİ TEMEL BİLGİLER [KUR, ENG, NAG] KAYNAKLARINDAN BAKILABİLİR.

2

• TOPOLOJİNİN ANALİZ ÜZERİNDEKİ DEĞERİ TARTIŞILMAZDIR.

• TOPOLOJİNİN UYGULAMAYA YÖNELİK ÇALIŞMALARI MEVCUTTUR.

3

• SON YILLARDA BİR KÜME ÜZERİNDE YENİ YAPILAR ÜZERİNE ÇALIŞMALAR LİTERATÜRDE YER ALMAKTADIR.

• ÖTE YANDAN TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNDE ÇEŞİTLİ YAPILAR VE ÇALIŞMALARI DEVAM ETMEKTEDİR.

4

• BU YAPILARDAN BİRİ İDEAL YAPISIDIR.

• BÖYLECE KARŞIMIZA “İDEAL UZAYLAR” KAVRAMI ÇIKMAKTADIR.

5

• (X,τ) BİR TOPOLOJİK UZAY OLMAK ÜZERE;

X’in alt kümelerinden oluşan boş olmayan bir “I” ailesi aşağıdaki koşulları sağlaması durumunda I ailesine X üzerinde bir ideal denir [KUR]:

1) G∈I ve H⊂G olduğunda H∈I

ve

2) G∈I ve H∈I olduğunda G∪H∈I [KUR].

6

[JAN] da sunulan aşağıdaki örneklere bakalım:

• X boş kümeden farklı olmak üzere sayılabilir alt kümelerinin ailesi X üzerinde bir idealdir.

• X boş kümeden farklı olmak üzere sonlu alt kümelerinin ailesi X üzerinde bir idealdir.

• P(X) bir idealdir.

• {} bir idealdir.

7

• X üzerinde bir I ideali için, (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay yada kısaca ideal uzay olarak adlandırılmaktadır.

8

• X üzerinde bir I ideali ile birlikte bir (X,τ) topolojik uzayı için P(X), X’in kuvvet kümesi olmak üzere ve τ(x)={H∈τ:x∈H} olmak üzere G⊂X için

G∗(I,τ)={x∈X: H∈τ(x) için H∩G∉I}

ile tanımlı (.)∗:P(X)→P(X) dönüşümü yerel

fonksiyon olarak adlandırılmaktadır [KUR].

9

• Yerel fonksiyonun çeşitli özelliklerine bakalım:

A ve B, bir (X,τ,I) ideal topolojik uzayının alt kümeleri olmak üzere [KUR, JAN, VAID]

(1) *=

(2) A*Cl(A)

(3) A**A*

(4) (AB)*= A* B*

(5) AB ise A*B*

10

• ÇEŞİTLİ İLİŞKİLERİNE BAKALIM:

A bir (X,τ,I) ideal topolojik uzayının alt kümesi olmak üzere [KUR, JAN, VAID]

(1) I={} ise A*=Cl(A)

(2) I=P(X) ise A*=

11

• Bir Kuratowski kapanış operatörü Cl∗(.),

Cl∗(G)=G∪G∗(I,τ)

ile tanımlıdır [JAN].

12

• IDEAL UZAYLARIN ÖZELLİKLERİ VE YAPISI BİR ÇOK YAZAR TARAFINDAN ÇALIŞILMIŞTIR.

• DONTCHEV [DONT] İDEAL UZAYLARDA BU ÇALIŞMALARI YAPANLARDANDIR.

13

• (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere I-açık küme kavramını Jankovic ve Hamlett [JAN2] sundular.

14

• (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere AX olsun. AInt(A*) oluyorsa A kümesine I-açık küme denir [JAN2].

• (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere AX olsun. AInt(Cl*(A)) oluyorsa A kümesine ön-I-açık küme denir [DONT].

15

• TEOREM: [DONT] Her açık ve her I-açık küme ön-I-açık kümedir.

16

• ÖRNEK: [DONT, ABD] X={a,b,c,d}, ={X, , {a,c}, {d}, {a,c,d}} ve I={, {c}, {d}, {c,d}} olmak üzere {a,c,d} kümesi açık ve ön-I-açıktır ancak I-açık değildir.

17

• TEOREM : [DONT] (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere AX olsun.

(1) I={} ise “A ön-I-açıktır A önaçıktır”.

(2) I=P(X) ise “A ön-I-açıktır A açıktır”.

18

• (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere AX olsun. A A* ise A kümesi kendi içinde ⋆-yoğun olarak adlandırılır [HAY].

19

• Kendi içinde ⋆-yoğun kümelerin çeşitli ilişkileri tartışılmıştır:

20

• TEOREM: [DEV] A bir (X,τ,I) bir ideal topolojik uzayında I-açık bir küme ise A, kendi içinde ⋆-yoğundur.

21

• TEOREM: [DEV] (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun. A, I-açık ve B, yarı-açık bir küme ise

(1) BA, kendi içinde ⋆-yoğundur.

(2) cl(B)A, kendi içinde ⋆-yoğundur.

22

• ÖTE YANDAN AYRIŞIMLAR ÜZERİNDE DURULMUŞTUR.

23

• TEOREM : [DONT] (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere AX olsun.

Aşağıdakiler denktir:

(1) A, I-açıktır,

(2) A, ön-I-açık ve kendi içinde ⋆-yoğundur.

24

• TEOREM: [DONT] f:(X,τ,I)(Y,) bir fonksiyon olmak üzere aşağıdakiler denktir:

(1) f, I-süreklidir,

(2) f, ön-I-sürekli ve ⋆-I-süreklidir.

25

• ÇEŞİTLİ İDEAL UZAY YAPILARININ ÖZELLİKLERİ ARAŞTIRILMIŞTIR.

26

• (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun. I={} ise I, sınır ideal olarak adlandırılmaktadır [NEW].

27

• TEOREM: [JAN] (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun. Aşağıdakiler denktir:

(1) I sınır idealdir,

(2) X=X*,

(3) Her A açık kümesi için AA*,

(4) Her JI için Int(J)= ,

(5) *I={}.

28

• ÖTE YANDAN KOMPAKTLILIK KAVRAMLARI ÜZERİNDEDE DURULMUŞTUR.

29

• (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun. X in her {U:} açık örtüsü için

X- {Ui:i=1,2,3,…,n}I

olacak biçimde sonlu bir {Ui:i=1,2,3,…,n} alt ailesi var ise (X,τ,I), I-kompakt olarak adlandırılmaktadır [NEW], [RAN].

30

• BENZER OLARAK SAYILABİLİR KOMPAKTLILIK KAVRAMI ÜZERİNDEDE DURULMUŞTUR.

31

• (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun.

X in her sayılabilir {Un:nN} açık örtüsü için

X- {Uni:i=1,2,3,…,m}I

olacak biçimde sonlu bir {Uni:i=1,2,3,…,m} alt ailesi var ise (X,τ,I), sayılabilir I-kompakt olarak adlandırılmaktadır [NEW].

32

• ÖTE YANDAN İDEAL UZAYLARIN BİR ÇOK TEMEL ÖZELLİKLERİNE YÖNELİK ARAŞTIRMALAR

VE

YENİ YAPILAR GÖZÖNÜNE ALINARAK YAPILAN ARAŞTIRMALAR MEVCUTTUR.

33

• TEŞEKKÜR EDERİM

34

KAYNAKLAR

• [ABD] M. E. Abd El-Monsef, E. F. Lashien and A. A. Nasef, On I-open sets and I-continuous functions, Kyungpook Math. J., 32 (1) (1992), 21-30.

• [DEV] V. R. Devi, D. Sivaraj and T. T. Chelvam, Properties of some ⋆-dense in itself subsets, IJMMS, 2004: 72, 3989-3999.

• [DONT] J. Dontchev, Idealization of Ganster-Reilly decomposition theorems, arXiv:math.GN/9901017 v1 (1999).

• [ENG] R. Engelking, Outline of General Topology, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1968.

35

• [HAY] E. Hayashi, Topologies defined by local properties, Math. Ann., 156 (1964), 205-215.

• [JAN] D. Janković and T. R. Hamlett, New topologies from old via ideals, Amer. Math. Monthly, 97 (1990), 295-310.

• [JAN2] D. Janković and T. R. Hamlett, Compatible extensions of ideals, Boll. Un. Mat. It., 7 (1992), 453-465.

• [KUR] K. Kuratowski, Topology, Vol. I, Academic Press , NewYork, 1966.

36

• [NAG] J. Nagata, Modern General Topology, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1974.

• [NEW] R. L. Newcomb, Topologies which are compact modulo an ideal, Ph.D. Dissertation, Univ. Of Cal. at Santa Barbara, 1967.

• [RAN] D. V. Rancin, Compactness modulo an ideal, Soviet Math. Dokl., 13 (1972), No. 1.

• [VAID] R. Vaidyanathaswamy, Set topology, Chelsea Publishing Company, New York, 1946.

37