Königs uendelighedslemma

Satz 6. Lad Π1, Π2, Π3, … være en tællelig uendelig følge af ikke-tomme, endelige, indbyrdes disjunkte punktmængder, og lad G være en graf med deres foreningsmængde som punktmængde.

Hvis hvert punkt i Πn+1 har en nabo i Πn for alle n, så har G en en-vejs uendelig vej

P1P2P3… , hvor Pn ligger i Πn for alle n.

Satz 1, 2 & 3

• Både punkt- og kantmængden i en sammenhængende, lokalt endelig graf er endelig eller tælleligt uendelig

• En lokalt endelig graf består af sammenhængskomponenter, der hver har endeligt eller tælleligt uendeligt mange punkter og kanter

• En sammenhængende, uendelig og lokalt endelig graf har en uendelig vej begyndende i et vilkårligt punkt

Anvendelser 1: stamtræer

• Hvis menneskeheden ikke uddør, vil der være et nulevende menneske, der får en uendelig følge af efterkommere

• Hvis menneskeheden ikke uddør, vil der være en nuværende kvinde, der får en uendelige følge af kvindelige efterkommere

Anvendelser 2: Heine-Borel

• En delmængde af Rn er kompakt, hvis og kun hvis den er lukket og begrænset

• Det lukkede interval [0,1] er kompakt• Flere beviser, der bruger lemmaet• König viser: Givet lukket delmængde E af

[0,1] og overdækning I af E bestående af åbne intervaller. Så findes et n, så når [0,1] deles i 2n lige lange intervaller, vil ethvert af disse, der indeholder et punkt fra E, være indeholdt i et interval fra I

Anvendelser 3: van der Waerden

• König viser, at følgende er ækvivalente:

1)Givet naturlige tal l og k. Så findes et N, så hvis {1, 2, … , N} deles i k dele, vil én af disse indeholde en aritmetisk progression af længde l

2)Givet naturlige tal l og k. Hvis de naturlige tal deles i k mængder, vil én af disse indeholde en aritmetisk progression af længde l

Ramsey’s Sætning for uendelige grafer

• Givet en tælleligt uendelig komplet graf, hvis kanter er farvet med to farver. Så findes en uendelig komplet delgraf, hvis kanter alle har samme farve

• Kan generaliseres til flere farver, og til farvning af delmængder af anden størrelse end 2

Stilen i endelig Ramsey-teori

• Givet k og l, så findes et tal n, så enhver komplet graf Kn hvis kanter er farvet med to farver, rød og blå, enten indeholder en rød Kk eller en blå Kl

• Diverse generalisationer

Checkliste fra Bondy & Murty 1

• Graf

• Komplet graf Kn

• Todelt graf, komplet todelt graf Km,n

• Vej, kreds, længde af disse

• Sammenhængende graf

Checkliste fortsat

• Planar graf, plan graf

• Summen af valenserne i en graf er …?

• Isomorfi, automorfi

• Kantgraf

• Digraf