Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.

Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Kombinatorická pravidlaI. část9. října. 2012 VY_32_INOVACE_110201_Kombinatoricka_ pravidla - I.cast_DUM

obr. 1

Úvod do kombinatorikyKombinatorika jako matematická problematika byla řešena už v 17. a 18. století a souvisela s určováním možností výhry v hazardních hrách s kartami a s kostkami.obr. 2 obr. 3

Úvod do kombinatorikySoučasná kombinatorika se uplatňuje v řadě vědeckých odvětví, v oblasti techniky i ekonomie.Vychází přitom z několika jednoduchých pravidel, o kterých bude pojednávat tato prezentace.

obr. 4

Kombinatorické pravidlo součtuJeden ze způsobů určení počtu prvků konečné množiny je založen na tom, že ji rozložíme do několika disjunktních podmnožin (jejich průnikem je prázdná množina).Počet prvků původní množiny dostaneme zřejmě tak, že sečteme počty prvků všech těchto podmnožin. obr. 5

Kombinatorické pravidlo součtuJsou-li , …, konečné množiny s , , prvky a jsou-li každé dvě disjunktní, pak množina má + + … + prvků.

obr. 5

Kombinatorické pravidlo součinuPočet uspořádaných k-tic, jejichž první členlze vybrat způsoby a každý další člen lzepo výběru všech předcházejících vybrat postupně , , …, způsoby, je roven …

obr. 5

Kombinatorická pravidla – praktická částK názornějšímu pochopení oboukombinatorických pravidel součtu a součinu slouží následující čtyři matematické úlohy, které jsou uvedenéspolečně s řešením.obr. 4

Úloha 1 Na obr. je dána čtvercová síť . Určete počet všech čtverců, jejichž strany leží na přímkách této sítě.

A B C

D E F

G H J

Řešení úlohy 1Množinu všech čtverců se stranami na přímkách dané sítě označme Následně utvořme její podmnožiny tak, že:v jsou všechny čtverce o straně délky 1, v jsou všechny čtverce o straně délky 2,v jsou všechny čtverce o straně délky 3,v jsou všechny čtverce o straně délky 4. Množiny jsou vzájemně disjunktní (průnikem jeprázdná množina) a jejich sjednocením je celá množina .Označme počet prvků množiny .Dále označme počty prvků všech čtyř podmnožin. Podle kombinatorického pravidla součtu platí:dále

Řešení úlohy 1Jednoduše určíme: .Počet čtverců o straně délky 2 určíme tak, že si povšimneme, že každýz bodů A, B, C, D, E, F, G, H, J je středem právě jednoho takového čtverce:tj. počet čtverců o straně délky 2 je roven počtu těchto bodů: .Počet , že své středy mohou mít pouze ve 4 různých vnitřních čtvercích s délkou 1:tj. počet čtverců o straně délky 3 je roven počtu těchto vnitřních středů: .Pro počet čtverců, jejichž strany leží na přímkách sítě jsme vyvodili:.Počet čtverců je 30.

obr. 5

Úloha 2 Určete počet všech devítimístných telefonních čísel. Kolik těchto čísel začíná nulou ?

obr. 6

Řešení úlohy 2Každé telefonní číslo, které splňuje dané podmínky je určeno uspořádanou devítičlennou skupinou, přičemž číslice se mohou opakovat. Celkový počet číslic (0, 1, …, 9) je 10.Pro 1. člen uspořádané „devítice“ máme 10 možností výběru, pro 2. člen taky 10 možností výběru, …, pro poslední 9. člen taky 10 možností výběru.tj. Celkový počet telefonních čísel podle kombinatorického pravidla součinu je: … Existuje telefonních čísel.

pokračování

obr. 6

Řešení úlohy 2Zbývá určit, kolik těchto čísel začíná nulou ():Nula je jednou z deseti číslic, tzn. čísla začínající na nulu představují 10 % z celkového počtu telefonních číslic.Stačí tedy celkový počet číslic násobit : Devítimístných telefonních čísel začínajících na nulu je .

obr. 5

Úloha 3V překladatelské kanceláři potřebují po jednom slovníku pro překlad z češtiny, angličtiny, italštiny, španělštiny, ruštiny, němčiny a francouzštiny do každého z těchto jazyků. Určete počet slovníků, které si musí opatřit.

obr. 7

Řešení úlohy 3Úloha opět vede k využití kombinatorického pravidla součtu:Množina představuje všechny slovníky, je jejich počet.Množina označuje slovníky pro překlad z češtiny do ostatních jazyků , tj. do 6 jazyků. Počet prvků je proto: .Množina označuje slovníky pro překlad z angličtiny, .Množina označuje slovníky pro překlad z italštiny, .Množina označuje slovníky pro překlad ze španělštiny, .Množina označuje slovníky pro překlad z ruštiny, .Množina označuje slovníky pro překlad z němčiny, .Množina označuje slovníky pro překlad z francouzštiny, .Protože platí: , pro počet prvků sjednocení množin platí: ….V překladatelské kanceláři potřebují 42 slovníků.

obr. 7

Úloha 4Určete, kolik lze vytvořit značek Morseovy abecedy skládajících se nejvýše z pěti teček nebo vodorovných čárek, přičemž záleží v těchto skupinách na pořadí.

Samuel F. Morse (1791 –1872)obr. 8

chci se dozvědět více

Řešení úlohy 4Určujeme počet všech uspořádaných k-tic, kde k=1, 2, 3, 4, 5 sestavených ze dvou prvků. Tečky i čárky se mohou v této k-tici opakovat, není výběr pro žádné místo ovlivněn výběrem pro předcházející místo. Pro každý člen této k-tice máme 2 možnosti výběru: tečku nebo čárku. Počet těchto k-tic pro k=1, 2, 3, 4, 5 podle kombinatorického pravidla součinu je : . Pro celkový počet p nejvýše pětičlenných značek Morseovy abecedy tak dostáváme podle kombinatorického pravidla součtu:.Lze vytvořit 62 značek Morseovy abecedy .

obr. 8

dále

Samuel F. Morse (1791-1872) V roce 1844 postavil mezi městy Washington a Baltimore telegrafní linku, která byla v té době nejdelší na světě (délka 64 km). Pro telegrafický provoz vytvořil značkovou abecedu skládající se z teček a čárek, tzv. Morseovu abecedu. Známý je jeho telegrafický signál SOS vysílaný v případě ohrožení a potřeby okamžité pomoci. Udává se, že jde o zkratku anglické věty „Save our souls“ (Zachraňte naše duše). V Morseově abecedě je tento signál zakódován třemi tečkami (písmeno S), třemi čárkami (písmeno O) a třemi tečkami:

obr. 8

zpět k řešení úlohy

ZávěremVe čtyřech kombinatorických úloháchjsme se seznámili s dvěma základnímikombinatorickými pravidly.Další využití obou pravidel přinášívýukový materiál: Kombinatorická pravidla – 2.část.

obr. 1

POUŽITÁ LITERATURA1) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 168-172. ISBN 80-7196-109-4.

CITACE ZDROJŮPoužité obrázky:1) GLIVICKÝ, Petr. File:Mathematicsgeneral.jpg – Wikimedia Commons [online]. 6 September 2006 [cit. 2012-10-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mathematicsgeneral.jpg?uselang=cs#filehistory 2) ZÁKUPÁK. File:Německé karty.jpg - Wikimedia Commons [online]. 20 November 2011 [cit. 2012-10-09]. Dostupné pod licencí Public domain z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:N%C4%9Bmeck%C3%A9_karty.jpg 3) BAŤHA, Matěj. File:DiceD6.jpg - Wikimedia Commons [online]. 8 August 2006 [cit. 2012-10-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:DiceD6.jpg 4) BAŤHA, Matěj. File:D6 smajlik.jpg - Wikimedia Commons [online]. 24 April 2008 [cit. 2012-10-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:D6_smajlik.jpg 5) File:Usmievajuci sa smajlik.tif - Wikimedia Commons [online]. 9 March 2011 [cit. 2012-10-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Usmievajuci_sa_smajlik.tif&page=1

CITACE ZDROJŮPoužité obrázky:6) NIGHTFLYER. File:WTel 01 LX.jpg - Wikimedia Commons [online]. 16 March 2007 [cit. 2012-10-09]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:WTel_01_LX.jpg 7) VOZENILEK, Pavel. File:Prirucni slovnik naucny, encyclopedia in Czech language.jpg - Wikimedia Commons [online]. 14 August 2006 [cit. 2012-10-09]. Dostupné z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Prirucni_slovnik_naucny,_encyclopedia_in_Czech_language.jpg?uselang=cs#filehistory 8) BRADY, Mathew. File:Samuel Morse.jpg - Wikimedia Commons [online]. 27 December 2004 [cit. 2012-10-09]. Dostupné pod licencí public domain z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Samuel_Morse.jpg Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.

Konec prezentace.Děkuji Vám za pozornost.Mgr. Daniel Hanzlík