Kombinatorik Universität Kassel Wintersemester 2008/2009 Prof. Dr. Werner Bley Arithmetik als Prozess Referenten: Nicole Glanz, Katja Wilhelm Datum: 12.01.2009

Kombinatorik

Universität Kassel

Wintersemester 2008/2009

Prof. Dr. Werner Bley

Arithmetik als Prozess

Referenten: Nicole Glanz, Katja Wilhelm

Datum: 12.01.2009

Gliederung

1. Kombinatorik – Definition, kombinatorische Werkzeuge, Situationstypen,

Zählprinzipien2. Warm-up – Speiseplanaufgabe3. Produktregel4. Additionsregel5. Variation mit Widerholung6. Variation ohne Wiederholung7. Permutation ohne Wiederholung

Gliederung

8. Binomialkoeffizienten8.1 Allgemein8.2 Berechnung8.3 0-1-Folgen8.4 Pascal-Dreieck8.5 Binomischer Leitsatz9. Kombination ohne Wiederholung10. Permutation mit Wiederholung11. Kombination mit Wiederholung

1. Kombinatorik

- Definition:

„Zweig der Mathematik, in dem man sich mit Fragestellungen über endliche Mengen beschäftigt beispielsweise mit der Abzählung der verschiedenen Möglichkeiten der Auswahl und Anordnung von Elementen einer endlichen Menge.“

- Kombinatorische Werkzeuge: Baumdiagramm

0-1-Folgen

Gitterdiagramm

1. Kombinatorik

- Kombinatorische Zählprinzipien: Produktregel

Additionsregel

- Situationstypen der Kombinatorik:

Variation: Reihenfolge ist relevant (Bsp. Würfelaufgabe: relevant, ob man zuerst die 1 und dann die 5 oder erst die 5 und dann die 1 würfelt)

Kombination: Reihenfolge ist nicht relevant (Reihenfolge der Würfelergebnisse ist nicht relevant)

2. Warm-up-Aufgabe:

Speiseplanaufgabe Schaut Euch den Speiseplan eines Restaurants an.

Ist das eine Kombination oder eine Variation? Begründet Eure Entscheidung!

3. Produktregel

Allgemeine Formulierung:

Durchläuft man einen k-stufigen Entscheidungsprozess, in dem man auf der 1. Stufe n1, auf der 2. Stufe n2, und auf der dritten Stufe n3 Möglichkeiten und schließlichauf der k-ten Stufe nk Möglichkeiten hat, so ergeben sich n1 · n2 · n3… ·nkMöglichkeiten, den gesamten Entscheidungsprozess zu durchlaufen.

Speisekartenaufgabe: 3-stufiger Entscheidungsprozess 1. Stufe: Vorspeise 2 Möglichkeiten (Fruchtkaltschlale, Minestrone)2. Stufe: Hauptspeise 3 Möglichkeiten3. Stufe: Nachtisch 3 Möglichkeiten

Insgesamt ergeben sich: 2*3*3 Möglichkeiten, den gesamten Entscheidungsprozess zudurchlaufen.

4. Additionsregel

- „Die Additionsregel besagt, dass man die Anzahl sämtlicher abzuzählender Möglichkeiten bestimmen kann, indem man diese systematisch in leichter überschaubare Gruppen einteilt und dann die getrennt bestimmten Anzahlen addiert.“

5. Variation mit Wiederholung

- Reihenfolge ist relevant- ein Objekt darf mehrfach vorkommen

- Beispiel: Ziffernkärtchen 1,2,3,4 Aus vier Kärtchen, auf denen die Ziffern von 1 bis 4 stehen ,die auch mehrfach verwendet werden dürfen, sollen dreistellige Zahlen gebildet werden (121, 112, 344… ). Wie viele verschiedene Zahlen gibt es?

- Auf jeder der 3 Stufen ergeben sich 4 EntscheidungsmöglichkeitenInsgesamt findet man 4*4*4= mögliche Zahlen

- Auf der 1./2./3 Stufe habe ich jeweils 4 Möglichkeiten

6443


- Wie viele der 64 Zahlen sind gerade?

- Die Lösung kann man mindestens auf zwei verschiedene Arten erhalten:

Beide Baumdiagramme führen zur Anzahl 32.

Abb.1:Die Hunderterstelle als erste und die Einerstelle als letzte Entscheidungsstufe

Abb.2:Die Einerstelle als erste und die Hunderterstelle als letzte Entscheidungsstufe


- Ein zweites Beispiel: Gesucht ist die Anzahl aller Teilmengen der Menge (a,b,c).- Die Erzeugung jeder einzelnen Teilmenge als eine Art dreistufiger Entscheidungs-

prozess vorstellbar:

- 1. Stufe: Gehört das Element a zur Teilmenge? 2 Stufe: Gehört b zur Teilmenge?3. Stufe: Ist c Element der Teilmenge?

- Wir erhalten: drei 1-elementige Mengen (a), (b), (c), drei 2-elementige Mengen (a,b), (a,c), (b,c), eine 3-elementige Menge (a,b,c)und eine leere Menge ( ).


- auf jeder Stufe bestehen 2 Wahlmöglichkeiten: entweder das Element gehört dazu oder nicht (Ja oder Nein)

- bei einer 3-elementigen Menge (a,b,c) ergeben sich Möglichkeiten, verschiedene Teilmengen zu bilden

- bei einer k-elementigen Menge existieren Möglichkeiten

32

k2


0-1-Folgen

- die Entscheidung auf jeder Stufe können wir nicht nur durch Ja oder Nein

kodieren, sondern auch durch 0 oder 1 1= Das Element gehört zur Teilmenge (Ja)

0= Das Element gehört nicht zur Teilmenge (Nein)

- Teilmenge (a,b,c): 111; ( ): 000 (a,c): 101

- jeder 0-1-Folge lässt sich eindeutig einer Teilmenge zuordnen

- für jede Teilmenge existiert genau eine 0-1 Folge als Codierung


Aufgabe:

- Wir haben eine 5-elementige Teilmenge (a,b,c,d,e). Wie lauten die Codierungen für folgende Teilmengen:

Beispiel: (a,b,e): 11001

(a,d,e):(e):

Welche Teilmengen verbergen sich hinter folgenden Codierungen?Beispiel: 10001: (a,e)

01010:10101:


Allgemeine Formulierung:

- Es handelt sich um einen k-stufigen Entscheidungsprozess.Auf jeder der k Entscheidungsstufen gibt es n Entscheidungsmöglichkeiten, insgesamt also: n * n * n ... * n = Möglichkeiten.

Beispiel 1:Regine möchte mit ihrer EC-Karte am Geldautomaten 30 Euro abheben. Beim Eingeben ihrervierstelligen PIN überlegt sie sich, wie viele verschiedene PIN`s es wohl geben mag! Wie viele sind es?

kn

kn 410

Ergebnis: n=10 (mögliche Zahlen 0-9)

k= 4

= =10000 mögliche PIN`s


Aufgabe: Herr Vergissmeinnicht vergisst immer schnell die vierstellige Geheimzahl seiner Scheckkarte (er beantragt dann immer eine

neue), aber er hat sich jedes Mal bestimmte Einzelheiten gemerkt. Ermittelt die Anzahl der Versuche, die er maximal benötigen würde, um an sein Geld zu kommen!

a) Er weiß, dass seine Geheimzahl aus den Ziffern 1,3,5,7 besteht.

b) Er weiß, dass alle Ziffern gerade sind und keine 0 dabei ist.


Lösung:Zu a)

44

n= 4 (mögliche Zahlen 1,3,5,7)k= 4 (4-stelliger PIN)

Er braucht maximal 256 Versuche, um an das Geld zu kommen.

kn

Zu b)n= 4 (mögliche Zahlen: 2,4,6,8)k= 4

=

Er braucht maximal 256 Versuche, um an das Geld zu kommen

kn 44

Variation ohne Wiederholung

- Definition: Die Auswahl der k-stelligen Sequenzen der Grundgesamtheit

, in denen das Element genau einmal vorkommt und die Reihenfolge relevant ist, heißt Variation ohne Wiederholung von der Länge k .

- Reihenfolge von Bedeutung

- ein Objekt darf nicht mehrfach auftreten

- Beispiel: Zahlenkarten

Aus vier Kärtchen, auf denen die Ziffern von 1 bis 4 stehen, sollen dreistellige Zahlen gebildet werden, z.B. 123, 412 oder 314.

Wie viele verschiedene Zahlen gibt es?

nAA ,...1 jA

Variationen ohne Wiederholung

Lösungsansatz: - 1. Stufe Wahl zwischen 4 Ziffern, - 2. Stufe Wahl zwischen 3 Ziffern, - 3. Stufe Wahl zwischen 2 Ziffern 4*3*2 = 24, insgesamt ergeben sich 24 verschiedene Zahlenkombinationen (Produktregel)


- Baumdiagramm:

Möglichkeiten

2446


- allgemeine Formel: - es gibt k Plätze, die von n Objekten besetzt werden- jedes Objekt kann höchstens einen Platz einnehmen- es gilt: - analog zum Beispiel: k=3; n=4 24 Möglichkeiten

)!(

!

kn

nn k

nk

241

4321

)!34(

!44 3


- Beispiel 2:Bei einem Wettlauf treten 5 Kinder gegeneinander an: Leonie,

Patricia, Franziska, Anna und Sabrina. Wie viele

Möglichkeiten existieren, die ersten drei Plätze zu vergeben?

- allgemeine Formel: )!(

!

kn

nn k


- Ergebnis Beispiel 2:

Es gibt genau 60 verschiedene Möglichkeiten.

)!(

!

kn

nn k

6012

12345

)!35(

!55 3

Permutation ohne Wiederholung

- Name aus dem lat. permutare (vertauschen)

- jede Anordnung kann sich durch Vertauschen aus jeder anderen Anordnung erzeugen lassen

- Beispiel: Wettkampf der 5 Kinder

Die 5 Kinder sollen nun jeder einen Platz von 1-5 bekommen. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

es gibt genau so viele Plätze wie Personen oder allgemeiner, es gibt genau so viele Stufen im Entscheidungsprozess wie Objekte

Permutation ohne Wiederholung

- wir rechnen:

- typisch ist, dass die Faktoren bis zur 1 schreiten- da die Form

häufiger vorkommt schreibt man vereinfacht:

n! (Beispiel: 5!)

12012345

12...)2()1( nnn

BinomialkoeffizientenAllgemein

- ein wichtiges Werkzeug der Kombinatorik

- besondere Schreibweise bzw. eigenes Symbol:

bezeichnet die Anzahl aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Mengen

- Beispiel: Lotto „6 aus 49“

Schreibweise:

(bezeichnet die Anzahl der 6-elementigen Teilmenge einer aus 49 Elementen bestehenden Menge)

k

n

6

49

BinomialkoeffizientenBerechnung

Formel:

- Beispiel: n=6, k=3

!

)1(...)2()1(

)!(!

!

k

knnnn

knk

n

k

n

203

6

123

456

)123()123(

123456

3

6

!3

)136()16(6

)!36(!3

!6

3

6

Beweis - Binomialkoeffizient

)!(!

1)...1)()(1)...(1(

knk

knknknnn

1)...1(

)1(...)2()1(

kk

knnnn

k

n Mit (n-k)! erweitern (n-k)!= (n-k) (n-k-1)…1

)!(!

!

knk

n

(oder k!)

Im Zähler durchlaufen die Faktoren die Werte n bis 1, also steht dort gerade n!= n (n-1)…1

BinomialkoeffizientenBerechnung

- Regeln für die schnelle Berechnung von

Binomialkoeffizienten:

Binomialkoeffizienten0-1-Folgen

0-1-Folgen:- es gilt, dass es 0-1-Folgen der Länge n mit genau k

Einsen existieren - Beispiel: 5-elementige Menge: {1,2,3,4,5} deren 3-elementige Teilmenge:{1,3,4}, {1,4,5}, {2,3,4},

{3,4,5}

entsprechenden 0-1-Folgen: 10110, 10011, 01110, 00111 gibt genauso viele 0-1-Folgen der Länge 5 mit genau drei

Einsen wie 3-elementige Teilmengen einer Menge mit 5 Elementen:

k

n

3

5

BinomialkoeffizientenPascal-Dreieck

Das Pascal-Dreieck:- das pascalsche Dreieck ist eine geometrische Darstellung der Binomialkoeffizienten - die Koeffizienten entstehen durch Addition

darüberliegender Koeffizienten. - n steht für Anzahl der Elemente der

Ausgangsmenge- k steht für Anzahl der Elemente der Teilmenge

Binomialkoeffizienten Pascal-Dreieck

k


- Summe der Einträge einer Zeile wird als Zeilensumme bezeichnet

- die Zeilensumme der ersten Zeile ist 2, daher ist die Zeilensumme der n-ten Zeile

- Beispiel: Tabellenzeile Nummer 5 dort sind alle Teilmengen einer 5-elementigen Menge abgezählt alle Zahlen zusammen (1,5,10,10,5,1) ergeben die Anzahl aller

Teilmengen einer 5-elementigen Menge: (=32)

- an dieser Stelle kommt die Additionsregel zu Einsatz

n2

52


- dies entspricht dem Gesetz der Binomialkoeffizienten:

- Beispiel: Zeile 5 n=5,

322

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5 5

32215101051 5


k


- die n-te Zeile dieses Zahlenschemas enthält genau die Koeffizienten, die beim Ausmultiplizieren von (a + b)n auftreten, wobei mit n = 0 zu zählen begonnen wird:

Die nullte Zeile entspricht der Identität (a + b)0 = 1 Die erste Zeile entspricht der Identität (a + b)1 = a + b Die zweite Zeile entspricht der Identität

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b²

Die dritte Zeile entspricht der Identität (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3


Die nullte Zeile entspricht der Identität (a + b)0 = 1Die erste Zeile entspricht der Identität (a + b)1 = 1 a + 1 bDie zweite Zeile entspricht der Identität (a + b)2 = 1 a2 + 2 a b + 1 b2

Die dritte Zeile entspricht der Identität (a + b)3 = 1 a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + 1 b3 usw.- die fettgedruckten Zahlen sind die Binomialkoeffizienten- diese sind genau die Zahlen des Pascal-Dreiecks

BinomialkoeffizientBinomischer Leitsatz

- der Name „Binomialkoeffizienten“ leitet sich davon ab, dass die Zahlen im binomischen Lehrsatz auftreten:

Herleitung zu der Formel durch ausmultiplizieren der Terme:

(a + b)1=1a+1b=

(a + b)2=1a2+2ab+1b2=

(a + b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3=

nnnnnnn bn

ban

ban

ban

nba

n

na

n

nba

012......

2111222211

1111

11

1

1

1baa

2221122

22

2

12

2

2

2babaa

32231133

33

3

23

3

13

3

3

3bbabaa

Kombination ohne Wiederholung

- Definition: Die Auswahl der k-stelligen Sequenz der Grundgesamtheit , in denen das Element genau einmal vorkommt, heißt

Kombination ohne Wiederholung von der Länge k.- Reihenfolge nicht von Bedeutung - Wenn aus n Objekten k ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der

Reihenfolge ausgewählt werden sollen, so gibt es jeweils die Klasse der k ausgewählten Objekte und die Klasse der (n-k) nicht ausgewählten Objekte

- dabei sind k und n-k in der Formel austauschbar, da man die n Objekte in zwei Teilmengen teilt

- es gilt: !

)1)...(2)(1(

)!(!

!

k

knnnn

knk

n

kn

n

k

n

nAA ,...1 jA


- Beispiel: Lotto „6 aus 49“

Wenn aus 49 Objekten nun 6 ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt werden sollen, so gibt es:

Möglichkeiten816.983.13)!649(!6

!49

649

49

6

49


- Beispiel 2:Herr Bauer hat seinen vierstelligen Zahlencode vergessen. Er

weiß noch, dass es sich bei seinem Code um vier verschiedene

Ziffern gehandelt hat. Die 0 war nicht dabei.

Wie viele Kombinationsmöglichkeiten müsste Herr Bauer

höchstens ausprobieren?

Berechnungsformel:

!

)1(...)2()1(

)!(!

!

k

knnnn

knk

n

k

n


- Lösung Beispiel 2: n=9, k=4

Herr Bauer müsste höchstens 630

Kombinationsmöglichkeiten ausprobieren.

6301234

56789

4

9

Permutation mit Wiederholung

Holger möchte für die Party eine Lichterkette aufhängen. Er hat 5 rote Lampen, 4 grüne

Lampen und 3 gelbe Lampen. Wie viele verschiedene Lichterketten sind möglich?

Lösungsansatz: Binomialkoeffizient und Produktregel

Lösung: 1.Schritt: Entscheiden, auf welche 5 von den 12 Plätzen die roten aufgehängt werden: Möglichkeiten

2. Schritt: Festlegen, auf welche 4 der verbleibenden 7 Plätze die grünen Lampen gehängt werden: Möglichkeiten

3. Schritt: Die verbleibenden 3 Plätze auf die gelben Lampen verteilen:

Produktregel: x x Möglichkeiten

4

7

3

3

5

12

5

12

4

7

3

3

5

12

4

7

x Möglichkeiten


5

12

4

7

)!(!

!

knk

n

k

n

x = 27720!5!4!3

!12

!3!4

!7

!7!5

!12

Binomialkoeffizient

792)!512(!5

!12

5

12

35)!47(!4

!7

4

7

Es gibt 27720 Möglichkeiten die Lichterketten aufzuhängen.


Allgemeine Formel:

Hat man n Objekte sowie s verschiedene Sorten von Objekten mit den

Vielfachheiten k1, k2, k3, … , dann können diese auf

.!*!......3!*2!*1

!

kskkk

nArten angeordnet werden.


Beispielaufgabe: Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, alle Buchstaben des Wortes „ANAGRAMM“ in einer unterschiedlichen Reihenfolge anzuordnen?

Lösung: n= Objektek= Sorten von Objekten!*!......3!*2!*1

!

kskkk

n

336012

40320

!2!*3

!8

!1!*2!*1!*1!*3

!8

n = 8 (Anzahl aller Buchstaben)k1= A = 3k2= G = 1k3= N = 1k4= M = 2k5= R = 1 Es gibt 3360 Möglichkeiten.

Kombination mit Wiederholung

Ein Händler hat 5 verschiedene Sorten Äpfel. Er verkauft Tüten beliebiger

Zusammensetzungen mit jeweils 10 Äpfeln. Wie viele verschiedene

Zusammensetzungen sind denkbar?

Bildliche Darstellung:

Auf die 5 Schachteln werden 10 Äpfel verteilt.


Summendarstellung: 1+3+0+2+4

Summendarstellung: 0+3+3+3+1

Jeder Apfel wird durch eine 0 und jede Trennwand durch eine 1 ersetzt.

0-1-Folge

01000110010000

10001000100010


- Wenn man umgekehrt von einer 0-1-Folge ausgeht, kann man die

entsprechende Sortenzusammenstellung rekonstruieren

- Es gibt genauso viele Sortenzusammenstellungen wie 0-1-Folgen aus 4

Einsen und 10 Nullen, nämlich =

4

14

10

14

Ergebnis: 1001)!414(!4

!14

4

14

1001)!1014(!10

!14

10

14

Binomialkoeffizient:

)!(!

!

knk

n

k

n


Antwort: Es sind 1001 verschiedene Zusammensetzungen möglich, wenn ich 5 verschiedene Sorten Äpfel habe und Tüten beliebiger Zusammenstellung mit jeweils 10 Äpfeln verkaufe.

Darstellung im Gitternetz:

Sorte 1: 1 ApfelSorte 2: 3 ÄpfelSorte 3: keinen ApfelSorte 4: 2 ÄpfelSorte 5: 4 Äpfel

0-1-Folge: 01000110010000


- Der Gitterweg entspricht der 0-1-Folge 01000110010000- 14 Wegstücke, von denen 4 ausgewählt werden, die nach rechts gehen und 10, die nach oben gehen


Weiteres Beispiel: Du sollst 3 Zigarettenpäckchen aus einem Zigarettenautomaten mit 15 verschiedenen Zigarettensorten holen. Wie viele unterschiedliche

Zusammensetzungen von unterschiedlichen 3 Zigaretten-

sorten gibt es?

Bildliche Darstellung

3 Zigarettenpäckchen auf 15 Schachteln verteilen

0-1-Folge:10111110111111011


3

17

14

17

Es gibt 14 Einsen und 3 Nullen:

0-1-Folge:10111110111111011

680)!317(!3

!17

3

17

=

)!(!

!

knk

n

k

n

Binomialkoeffiezient:

680)!1417(!14

!17

14

17


Antwort: Wenn man 3 Zigarettenpäckchen aus einem Zigarettenautomaten mit 15 verschiedenen Zigarettensorten holen soll, dann gibt es 680 mögliche unterschiedliche Zusammensetzungen von unterschiedlichen 3 Zigarettensorten.

Allgemeine Formel:

680!3)!14(

)!17(

!3)!115(

)!1315(

!)!1(

)!1(

kn

kn

Zusammenfassung Kombinatorik

Auswahl von k Elementen aus n Elementen

mit Reihenfolge bzw. mit Berücksichtigung der Anordnung

ohne Reihenfolge bzw. ohne Berücksichtigung der Anordnung

Variationen Kombinationen

mit Wiederholung ohne Wiederholung mit Wiederholung ohne Wiederholung

nk

ZusammenfassungKombinatorik

- Abschlussaufgabe:Wir möchten 2 Elemente (z.B. {1,3};{2,3}...) aus 4Elementen {1,2,3,4} auswählen. Wie vieleMöglichkeiten gibt es? Bestimme die Möglichkeiten für alle viel Fälle:

a) Variation mit Wiederholungb) Variation ohne Wiederholungc) Kombination mit Wiederholung

d) Kombination ohne Wiederholung

ZusammenfassungKombinatorik

Auswahl von 2 aus 4 möglichen Elementen

mit Reihenfolge bzw. mit Berücksichtigung der Anordnungohne Reihenfolge bzw. ohne Berücksichtigung

der Anordnung

Variationen Kombinationen

mit Wiederholungohne

Wiederholungmit Wiederholung ohne

Wiederholung

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44

12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43

11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34, 44

12, 13, 14, 23, 24, 34

16 Möglichkeiten 12 Möglichkeiten 10 Möglichkeiten6

Möglichkeiten

Hier gilt 21=12, da die Reihenfolge keine

Rolle spielt

ENDE

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

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Kombinatorik Universität Kassel Wintersemester 2008/2009 Prof. Dr. Werner Bley Arithmetik als Prozess Referenten: Nicole Glanz, Katja Wilhelm Datum: 12.01.2009