11111

KOMBINATORIKAVojislav Petrović

Departman za matematiku i informatiku Novi Sad

vojpet@dmi.uns.ac.rs

22

1. Šta je to kombinatorika?

2. Prebrajanja

4. Formula uključenja-isključenja

3. Binomna i polinomna formula

33333

1. ŠTA JE TO KOMBINATORIKA?

matematička disciplina

proučava diskretne strukture

(razmeštaji, šeme, konfiguracije i sl.)

44444

ŠTA IZUČAVA U DISKRETNIM STRUKTURAMA?

karakteristični problemi

egzistencija struktura

prebrajanja struktura

osobine struktura i njihova primena

optimizacije struktura

55555

prebrajanja struktura

Koliko ima permutacija skupa {1, ... , n} u kojima su 1 i 2 susedni ?

Koliko ima permutacija a1 ... an skupa {1, ... , n} u kojima je ai i za svako i = 1, ... , n ?

U ravni je dato n pravih u "opštem položaju" (nikoje dve paralelne i nikoje tri ne prolaze kroz istu tačku).

(a) Koliko ima tačaka preseka?

(b) Na koliko delova je podeljena ravan?

Koliko rešenja ima jednačina x + y + z = 100 u skupu nenegativnih celih brojeva?

66666

egzistencija struktura

Da li za svaki prirodan broj n postoji magičan kvadrat reda n ?

Da li iz svake familije skupova A1, ... , An može da se izabere n različitih elemenata x1, ... , xn , tako da xiAi ?

Da li postoji permutacija a1 ... an brojeva 1, ... , n, takva da za svako ai i aj njihova aritmetička sredina ne stoji između njih ?

Da li se iz svakog niza a1 ... a2n + 1 čiji su elementi 0 i 1 može izbaciti jedna cifra, tako da u dobijenom nizu dužine 2n broj nula na neparnim mestima bude jednak broju nula na parnim mestima?

77777

osobine struktura i primena

Permutacije u linearnoj algebri, teoriji grupa, kristalografiji itd.

Fibonačijevi brojevi u teoriji brojeva, geometriji, optimizaciji.

Blok-šeme i latinski kvadrati u statistici, planiranju eksperimenta, teoriji kodiranja i sl.

88888

4. optimizacije struktura

različiti ekstremalni problemi

Maksimalna kolekcija podskupova datog skupa, takva da nijedan podskup nije sadržan u nekom drugom podskupu kolekcije.

Minimalan broj dama koje se mogu postaviti na šahovsku tablu, tako da sva polja budu tučena.

Minimalan broj trougaonih oblasti na koje n pravih u "opštem položaju" dele ravan.

99999

2. PREBRAJANJA

2.1. OSNOVNI PRINCIPI PREBRAJANJA

princip zbira

S = S1 ... Sn Si ∩ Sj = i ≠ j

|S| = |S1| + ... + |Sn|

S1 S2 Sn

. . .

1010101010

Primer 2.1. Koliko rešenja ima jednačina |x y| = 5 u skupu {1, ... , 50}?

Rešenje. Si = {(i, y) : |i y| = 5, i = 1, ... , 50}

S = S1 ... S50 Si ∩ Sj = i ≠ j

S1 = {(1,6)} S2 = {(2,7)} S5 = {(5,10)}. . .

S6 = {(6,1), (6,11)} . . . S45 = {(45,40), (45,50)}

S46 = {(46,41)} S50 = {(50,45)}. . .

|S| = |S1| + ... + |S50| = 5 · 1 + 40 · 2 + 5 · 1 = 90

1111111111

Primer 2.2. Ako C(n, k) označava broj k-članih podskupova skupa od n elemenata, dokazati da je

C(n, k) = C(n 1, k) + C(n 1, k 1).

Rešenje. |S| = n xS

M = { A S : |A| = k }

P = { B S : |B| = k, xB }

Q = { C S : |C| = k, xC }

B C

M = P U Q P ∩ Q = |M| = |P| + |Q|

()

|M| = C(n, k)

|P| = C(n 1, k) |Q| = C(n 1, k 1) ()

x

S

1212121212

princip proizvoda

S = S1 ... Sn = {(a1, ... , an) : aiSi }

|S| = |S1| · ... · |Sn|

ekvivaletna verzija

Ako se za uređenu n-torku (a1, a2, ... , an) element a1 može izabrati na k1 načina, element a2 na k2 načina, ... , element an na kn načina, tada je broj uređenih n-torki (a1, a2, ... , an) jednak k1 k2 ... kn .

1313131313

Primer 2.3. Školska kreda se proizvodi u 3 različite dužine, 8 različitih boja i 4 različita prečnika. Koliko različitih vrsta krede se proizvodi ?

Rešenje. vrsta krede (d, b, p)

d = dužina , b = boja , p = prečnik(d, b, p)

3 8 4

3 · 8 · 4 = 96 vrsta krede

1414141414

Primer 2.4. Koliko ima četvorocifrenih brojeva

(a) čije su sve cifre različite;

(b) čije su svake dve susedne cifre različite ?

Rešenje. a3 a2 a1 a0 , ai cifre , a3 ≠ 0

(a) a3 a2 a1 a0

9 9 8 7

9 · 9 · 8 · 7 = 4536

(b) a3 a2 a1 a0

9 9 9 9

9 · 9 · 9 · 9 = 6561

1515151515

princip jednakosti (bijekcije)

f : A B , f bijekcija

|A| = |B|

1616161616

Primer 2.5. Dokazati da među brojevima manjim od 106 onih čiji je zbir cifara jednak 20 ima isto toliko koliko i onih čiji je zbir cifara jednak 34.

Rešenje. a5a4a3a2a1a0 , ai cifre

003208, 000001, 238412

a5a4a3a2a1a0 , a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0 = 20

f : a5a4a3a2a1a0 b5b4b3b2b1b0 bi = 9 ai

003208 996791

b5 + b4 + b3 + b2 + b1 + b0

= 54 20

= 34

f bijekcija

000001 999998

= 6 9 (a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0)

1717171717

Primer 2.6. Koliko podskupova ima skup od n elemenata?

Rešenje. S = {a1, ... , an}

A S A (x1, ... , xn) xi =1 aiA

0 aiA

S = {1, 2, 3, 4, 5}

{2, 4, 5} (0, 1, 0, 1, 1)

B = {(x1, ... , xn) : xi{0, 1}}

f : P(A) B bijekcija |P(A)| = |B|

(x1, ... , xn)

2 2

|B| = 2 · ... · 2 = 2n

n

= |P(A)|

1818181818

Primer 2.7. Dokazati da je u svakom skupu broj podskupova s parnim brojem elemenata jednak broju podskupova s neparnim brojem elemenata.

Rešenje. S proizvoljan skup , xS

A = {A S : |A| 0 (mod 2)}B = {B S : |B| 1 (mod 2)}

A A

x

S

f : A B

xA

xA

f bijekcija |A| = |B|

f (A) = A {x}B

f (A) = A \ {x}B

1919191919

2.2. IZBORI

izbor k elemenata iz skupa od n elemenata

1. permutacije bitan redosled izabranih elemenata

2. kombinacije nebitan redosled izabranih elemenata

(a) bez ponavljanja

svi izabrani elementi različiti

(b) s ponavljanjem

među izabranim elementima može biti jednakih

20202020

2.2.1. Permutacije

S = {a1, ... , an}

(x1, ... , xk) xiS

permutacija k-te klase na skupu S

k-permutacija

x1 ... xk umesto (x1, ... , xk)

S = {1, 2, 3, 4 , 5}

3154 4-permutacija

231155 6-permutacija

21534 5-permutacija

111 3-permutacija

2121212121

(a) permutacije bez ponavljanja

S = {a1, ... , an}

(x1, ... , xk) xiS xi ≠ xj i ≠ j

P(n, k) broj k-permutacija na skupu od n elemenata

TEOREMA 2.1. P(n, k) = n (n 1) ... (n k + 1) .Dokaz. (x1, x2, ... , xk)

n n 1 n k + 1

P(n, k) = n (n 1) ... (n k + 1)

2222222222

P(n, k) = n (n 1) ... (n k + 1)

k > n P(n, k) = 0

k = n P(n, n) = n!

(x1, x2, ... , xn) n-permutacija na S

permutacija skupa S

=n (n 1) ... (n k + 1)

(n k) (n k 1) ... 1

=n!

(n k)!

(n k) (n k 1) ... 1

2323232323

Primer 1. U koliko permutacija skupa {1, ... , n} je 2 iza 1 (ne mora neposredno)?

Rešenje. (I) a1a2 ... an permutacija

1 = a1 2{a2, ... , an}

1 = a2 2{a3, ... , an}

1 = an 1 2{an}

n 1 mogućnosti

n 2 mogućnosti

1 mogućnost

(n 2)! ((n 1) + (n 2) + ... + 1) = (n 2)! n (n 1)

2n!2

=

. . . . . .

2424242424

(II)

A = skup perm. S u kojima je 2 iza 1

B = skup perm. S u kojima je 1 iza 2

S = {1, ... , n}

C = skup svih perm. S

α = ... 1 ... 2 ... β = ... 2 ... 1 ...

bijekcija |A| = |B|

C = A B , A B = |C| = |A| + |B|

|C| = n!

|A| = |B| n!2

=

2525252525

Primer 2. Na koliko načina se na polja šahovske table može postaviti 8 žetona, tako nikoja dva nisu ni u istoj vrsti, ni u istoj koloni?

Rešenje.

a

1

b c d e f g h

2345678

rasp. žetona x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

xi horizontala u kojoj se nalazi žeton iz i-te kolone

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

perm. skupa {1, ... , 8}

38457261

br. rasp. žetona = P(8,8) = 8!

(I)

2626262626

a

1

b c d e f g h

2345678

(II)

1. žeton 88 = 64 izbora

2. žeton 77 = 49 izbora

3. žeton 66 = 36 izbora. . .

8. žeton 11 = 1 izbor

br. rasp. žetona

: 8!

= (8!)2 : 8!

= 8!

= (82 72 62 ... 12)

2727272727

(b) permutacije s ponavljanjanjem

S = {a1, ... , an}

(x1, ... , xk) xiS

M = {a1, ... , a1, a2, ... , a2, ... , an, ... , an}

k1k2 kn

ki višestrukost (multiplicitet) ai

{a, a, a, b, b, c, c, c, c, d} = {3·a, 2·b, 4·c, 1·d}

= {k1a1, k2·a2, ... , kn·an}def.

2828282828

M = { · a1, · a2, ... , · an}

(x1, ... , xk) xiM

permutacija k-te klase s ponavljanjem na M

ili k-permutacija s ponavljanjem na M

(x1, ... , xk) x1 ... xk

P(n, k) broj k-perm. s ponavljanjem na M

TEOREMA 2.2. P(n, k) = nk.

Dokaz. M = { · a1, · a2, ... , · an}

(x1, x2, ... , xk ) , xiM

n n n

P(n, k) = n · n · ... · n = nk

k

2929292929

Primer 3. Na koliko načina se može obojiti četvorospratna kuća sa 6 boja, ako se svaki sprat boji jednom bojom?

Rešenje.

{b1, b2, b3, b4, b5, b6} boje

(s1, s2, s3, s4) spratovi

6 6 6 6

broj bojenja = 6 · 6 · 6 · 6 = 64 = 1296

3030303030

Primer 4. Koliko ima preslikavanja m-članog skupa A u n-člani skup B?

Rešenje.

A = {a1, ... , am} B = {b1, ... , bn}

f : A B ( f (a1), ... , f (am)) f (ai)B

f bijekcija

F = { f : A B}

|F| = |{( f (a1), ... , f (am)) : f (ai)B }|

n n

= nm

3131313131

M = { · a1, · a2, ... , · an}

(x1, x2, ... , xk) xiM

P(n, k) = nk

M = {k1·a1 , k2·a2 , ... , kn·an}

ki k i

i ki < k

M = {3·a, 2·b, 1·c}

(x, y, z) n = k = 3

broj 3-perm. s ponavljanjem = 19 < 33 = 27

bbb, ccc, acc, cac, cca, bcc, cbc, ccb zabranjene

P(n, k) = nk P(n, k) < nk

3232323232

M = {k1·a1 , k2·a2 , ... , kn·an}

(x1, x2, ... , xk) xiM

k = k1 + k2 + ... + kn permutacija M

P(k1, ... , kn) broj permutacija M

Dokaz.

S = {a11, ... , a1k , a21, ... , a2k , ... , an1, ... , ank }1 2 n

(k1 + k2 + ... + kn)! permutacija S

1 permutacija M k1! · k2! · ... · kn! permutacija S

()

()

TEOREMA 2.3. (k1 + ... + kn)!

k1! · ... · kn!P(k1, ... , kn) =

.

3333333333

Primer 5. Koliko ima nizova dužine 10 koji se sastoje od 2 nule, 3 jedinice i 5 dvojki?

Rešenje.

M = {0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2} = {2·0, 3·1, 5·2}

broj nizova =(2 + 3 + 5)!

2! · 3! · 5!

10!

2! · 3! · 5!= = 2520

3434343434

Primer 6. Koliko ima najkraćih putanja na šahovskoj tabli od polja a1 do polja h8, ako se kretanje vrši isključivo nadesno ili naviše?

Rešenje.

a b c d e f g h

12345678

L

a b

Lbijekcija

perm. multi skupa {7·a, 7·b}

broj putanja = broj perm. {7·a, 7·b}

= 14!

7! · 7!

aaaabbabbbaabb

(7 + 7)!

7! · 7!=

35353535

2.2.2. Kombinacije

S = {a1, ... , an}

{x1, ... , xk} xiS

kombinacija k-te klase na skupu S

k-kombinacija

S = {1, 2, 3, 4 , 5}

{1, 5, 4} 3-kombinacija

{5, 5} 2-kombinacija

{2, 3, 4, 5} 4-kombinacija

{1, 1, 2} 3-kombinacija

3636363636

(a) kombinacije bez ponavljanja

S = {a1, ... , an}

{x1, ... , xk } xiS xi xj i j

C(n, k) broj k-kombinacija bez ponavljanjana skupu od n elemenata

Dokaz. {x1, ... , xk }

C(n, k) · k! = P(n, k) =n!

(n k)!

k! perm. bez ponavljanja

()

()

TEOREMA 2.4. C(n, k) =

n!

k!·(n k)!.

3737373737

n!

k!·(n k)!=

nk

binomni koeficijent

Primer 2.1. Na turniru je učestvovalo n igrača i svaki sa svakim je odigrao po jednu partiju. Koliko je partija odigrano na turniru?

Rešenje. S = {a1, ... , an } skup igrača

partija između ai i aj {ai , aj }

broj partija = broj 2-kombinacija na S

= C(n, 2)

n

2=

bijekcija

3838383838

Primer 2.2. Koliko dijagonala ima n-ugao?

Rešenje. A1A2 ... An n-ugao

{Ai, Aj } dijagonala ili stranica

dn broj dijagonala n-ugla

dn = C(n, 2) n

n

2= n

= n (n 1)

2 n

=n (n 3)

2

3939393939

Primer 2.3. Na kružnici je uočeno n tačaka i svake dve spojene tetivom. Ako se nikoje tri tetive ne seku u jednoj tački unutar kružnice, koliko ima tačaka preseka unutar kružnice?

Rešenje.

M

Ak

Ai

Aj

Al

M

bijekcija

broj presečnih tačaka = C(n, 4)

{ Ai , Aj , Ak , Al }

n

4=

4040404040

(b) kombinacije s ponavljanjem

M = { · a1, · a2, ... , · an}

{x1, ... , xk } xiM multi podskup od M

kombinacija k-te klase s ponavljanjem na M

ili k-kombinacija s ponavljanjem na M

M = {a, a, a, b, b, c}

{a, a} 2-komb. {a, b, b} 3-komb.

{a, b, c} 3-komb. {a, a, b, b} 4-komb.

4141414141

C(n, k) broj k-komb. s ponavljanjem na M

Dokaz. (I) M = { · a1, · a2, ... , · an }

{x1, ... , xk } = {a1, ... , a1, a2, ... , a2, ... , an, ... ,an }

k1knk2

k1 + k2 + ... + kn = k ki 0

TEOREMA 2.5. C(n, k) =

n + k 1

k.

k

o ... o

4242424242

{a1, ... , a1, a2, ... , a2, ... , an, ... ,an }

o ... o

k1k2 kn

bijekcija

M = {a, a, a, b, b, c}

{a, a, b, c}

{a, a, a, c}

{a, a, b, b}

o o | o | o

o o o | | o

o o | o o |

n + k 1

k C(n, k) =

k1knk2

| | . . . o ... o|

4343434343

(II) M = { · 1, · 2, ... , · n }

{x1, x2, ... , xk } 1 x1 x2 ... xk n

{x1, x2 + 1, ... , xk + k 1}

bijekcija

1 x1 < x2+1 < ... < xk + k 1 n + k 1

{x1, x2 + 1, ... , xk + k 1}

C(n, k) = C(n + k 1, k)

na {1, 2, ... , n + k 1}

k-kombinacija bez ponavljanja

n + k 1

k=

4444444444

Primer 2.4. Koliko rešenja ima jednačina x + y + z = 10 u skupu

Rešenje.

(a) nenegativnih celih brojeva;

(b) pozitivnih celih brojeva?

(a)

x = 3, y = 5, z = 2 {x, x, x, y, y, y, y, y, z, z}

M = { · x, · y, · z}

10-komb. s ponavljanjem na M

n = 3 k = 10

=13

10=

13

3= 286

(b) (x 1) + (y 1) + (z 1) = 7

x 1, y 1, z 1 0

C(3, 10)3 + 10 1

10=

45454545

3. BINOMNA I POLINOMNA FORMULA

3.1. Binomni koeficijenti i binomna formula

n

k =def. n (n 1) ... (n k + 1)

k!=

(n)k

k!=

n!

k! (n k)!

n

0 = 1def.

n, k N

αR , kNα

k =def. α (α 1) ... (α k + 1)

k!

n < kn

k = 0def.

46464646

TEOREMA 3.1. (a)

n

k

n

n k=

n 1k 1

n 1

k+ =

n

k(b)

Dokaz. Algebarski i kombinatorni.

k

x

S

|S| = n

(a)(b)

k

A

n k

A

k

.

;

S

n 1k 1

n 1

k

kombinatorni

47474747

(x + y)n = xn

TEOREMA 3.2. (binomna formula)

Dokaz. (I) Indukcijom po n.

(II) Kombinatorno.

(x + y)n = (x + y)(x + y) ... (x + y)

= ... + Cxn i yi + ... i = 0, 1, ... , n

C

.

+ ... + ynxn 1 y+n1

xn 2 y2+n2

i = 0

n

Σ ni xn i yi=

n

nn i=

ni=

484848

Primer 3.1. Dokazati identitete:

(a) = 2n ;

(b)

Rešenje. (a) (I) binomna formula

(1 + 1)n

2n

+++ . . .n0

n1

nn

n2 ++ . . . = 0 .

n0

n1

nn

n3 + (1)n

i = 0

n

Σ ni= 1n i 1i

i = 0

n

Σ ni=

+++ . . .n0

n1

nn=

494949

(II) kombinatorno

|S| = n

. . .

= broj svih podskupova skupa S = 2n

= broj praznih podskupova (sa 0 elemenata)

= broj jednočlanih podskupova

n0

= broj k-članih podskupova skupa Snk

n1

= broj n-članih podskupovann

= broj dvočlanih podskupovan2

+++ . . .n0

n1

nn

505050

(b) (I) binomna formula

0

(II) kombinatorno

(1 1)n

i = 0

n

Σ ni= 1n i (1)i

n2+

n0

n1 . . . +

nn

(1)n

n2 ++ . . . = 0 .

n0

n1

nn

n3 + (1)n

++ . . .n0

n2

n4 + = ++ . . .

n1

n3

n5 +

=

515151

|S| = n

= broj parnih podskupova S

= broj neparnih podskupova S

x

A

BS

f (A)

f (B)

f

f bijekcija

X S

f (X) =X \ {x} xX

X {x} xX

xS fiksiran

++ . . .n0

n2

n4 +

++ . . .n1

n3

n5 +

paran podskup neparan podskup

x

S

f

(b)

525252

3.2. Polinomni koeficijenti i polinomna formula

i1, i2, ... , ik 0n = i1 + i2 + ... + ik

n!

i1! i2! ... ik!= polinomni (multinomni)

koeficijent

ni1 i2

i1 + i2 = n i1, i2 0

n

i1 i2 ... ik

=n

i1

=n

i2

53535353

TEOREMA 3.3. (polinomna formula)

(x1 + x2 + ... + xk )n = i1+ i2+ ... + ik = n

i1, i2, ... , ik 0

ni1 i2 ... ik

x1 x2 ... xk

i1 i2 ik

Dokaz.

(x1 + x2 + ... + xk )n =

(x1 + x2 + ... + xk ) (x1 + x2 + ... + xk ) ... (x1 + x2 + ... + xk ) =

... + C x1 x2 ... xk + ...i1 i2 ik

C = ?

.

n zagrada

545454

C = . . .

n!

i1! (n i1)!=

(n i1 i2 ... ik1)!

ik! (n i1 i2 ... ik)!.(n i1)!

i2! (n i1 i2)!. . . ..

(n i1 i2 ... ik)! = 0! = 1

n!

i1! i2! ... ik!=

x1

n

i1

n i1

i2

x2

n i1 i2

i3

x3

n i1 i2 ... ik 1

ik

n

i1 i2 ... ik =

xk

555555

Primer 3.2. Napisati u razvijenom obliku

(x + y + z)3.

Rešenje. (x + y + z)3

33 0 0 x3y0z0

32 1 0 x2y1z0

31 0 2 x1y0z2

31 1 1 x1y1z1

=3

0 3 0 x0y3z0+

+3

0 2 1 x0y2z1+3

1 2 0 x1y2z0+3

2 0 1 x2y0z1+

+3

0 0 3 x0y0z3+

+3

0 1 2 x0y1z2+

= x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3y2z + 3xz2 + 3yz2 + 6xyz

Σi + j + k = 3i, j, k 0

xi yj zk=3

i j k

565656

TEOREMA 3.4. U razvijenom obliku izraza

(x1 + x2 + ... + xk )n

ima

Dokaz. (x1 + x2 + ... + xk )n

broj sabiraka i1+ i2+ ... + ik = ni1, i2, ... , ik 0

= broj celobrojnih rešenja

=n

i1 i2 ... ik

x1 x2 ... xk

i1 i2 iki1+ i2+ ... + ik = n

i1, i2, ... , ik 0

n + k 1

k 1

n + k 1

n= sabiraka.

=(primer 4) n + k 1

k 1

n + k 1

n=

575757

TEOREMA 3.6.

i1+ i2+ ... + ik = n

i1, i2, ... , ik 0

ni1 i2 ... ik

= k n

Dokaz.

(1 + 1 + ... + 1)n =

i1+ i2+ ... + ik = n

i1, i2, ... , ik 0

ni1 i2 ... ik

1 1 ... 1i1 i2 ik

k n

x1 = x2 = ... = xk = 1

.

k

i1+ i2+ ... + ik = n

i1, i2, ... , ik 0

ni1 i2 ... ik

=

585858

4. FORMULA UKLJUČENJA ISKLJUČENJA

|A B| = |A| + |B|

princip zbira

|A B| |A| + |B|

|A B| = |A| + |B| |A B|

A B

A B

595959

|A B C| =

|A| + |B| + |C|

princip zbira

|A B C| =

|A| + |B| + |C| |A B| |B C|

A B C

A B C

A B C

|A B C| =

|A| + |B| + |C| |A B|

606060

A

C

B|A B C| =

|A| + |B| + |C|

|A B| |B C| |A C|

|A B C| =

|A| + |B| + |C|

|A B| |B C| |A C|

|A B C|

+

A

C

B

61616161

TEOREMA 4.1. |A1 A2 ... An| =

|Ai |1

1 i1 n

| Ai Ai |1 2 + | Ai Ai Ai |1 2 3

... + 1 i1 < ... < i n n

| Ai ... Ai |1 n( 1)n 1 .

Dokaz. (I) indukcijom po n

n = 1 |A1| =

= |A1| trivijalno

n = 2 |A1 A2| =

= |A1| + |A2| |A1 A2|

1 i1 < i 2 n

1 i1 < i 2 < i3 n

|Ai |1

1 i1 1

|Ai |1

1 i1 2

| Ai Ai |1 2

1 i1 < i 2 2

| A1 A2 ... An| =

+ ... + | Ai |1

1 i1 n

| Ai Ai |1 21 i1 < i 2 n

| Ai ... Ai |1 n ( 1)n 1

1 i1 < ... < i n n

indukcijska hipoteza

626262

|A1 A2 ... An An + 1| =

|(A1 A2 ... An) An + 1|

|A1 A2 ... An|

|A1 A2 ... An| + |An + 1| |(A1 An + 1) ... (An An + 1)|

(n = 2)

=

+ |An + 1| |(A1 ... An) An + 1| =(ind. hip.)

=

|Ai |1

1 i1 n

... +

| Ai Ai |1 2

1 i1 < i 2 n

+ | Ai Ai Ai |1 2 31 i1 < i 2 < i3 n

| Ai ... Ai |1 n

( 1)n 1

1 i1 < ... < i n n

| Ai An + 1|11 i1 n

+ | Ai Ai An + 1|1 21 i1 < i 2 n

... +

+ ( 1)n

1 i1 < ... < i n n

| Ai ... Ai An + 1|1 n

+ |An + 1|

=

|Ai |1

1 i1 n + 1

... +

| Ai Ai |1 21 i1 < i 2 n + 1

+ | Ai Ai Ai |1 2 31 i1 < i 2 < i3 n + 1

( 1)n | Ai ... Ai |1 n + 1

1 i1 < ... < i n + 1 n + 1

(II) kombinatorno

|Ai |1

|A1 A2 ... An| = 1 i1 n

| Ai Ai |1 2 ... +

| Ai ... Ai |1 n+ ( 1)n 1

1 i1 < i 2 n

1 i1 < ... < i n n

leva strana (LS)

desna strana (DS)

A = A1 A2 ... An

LS DS

xA

xA 00

1 ?

{i1, ... , ik} {1, ... , n}

646464

x A

{i1, ... , ik}

x A1 A2 ... Ak

DS |Ai |1

1 i1 n

k

|Ai Ai |1

1 i1 < i2 n

2

1 i1 < ... < ik n

|Ai ... Ai |1 k

( 1)k 1

1 i1 < ... < ik + 1 n

|Ai ... Ai |1 k + 1

( 1)k

. . .

k2

kk

( 1)k 1

0

. . .. . . . . .

x Ai Ai ... Ai1 2 k

A1

A2

An A3

x

6565

DS

k ... + =

1 1 =

1

=

1 (1 1)k = 1

( 1)k 1 kk

k2

k3+

... + ( 1)k 1 kk

k2

k3++

k1

k0

+ ... + ( 1)k kk

k2

+k3

k1

6666

4.1. Sirjektivna preslikavanja.

Stirlingovi brojevi 2. vrste

f

f sirjektivno ("na") f (A) = B

bB , aA , f (a) = b

PITANJE. Koliko ima sirjektivnih preslikavanja skupa A na skup B ako je |A| = m i |B| = n ?

A B

ba

6767

TEOREMA 4.2. Ako je |A| = m i |B| = n, tada je broj sirjektivnih preslikavanja f : A B jednak

nm n (n 1)m ( 1)n 1 1m(n 2)m+ ... + .

Dokaz.

P' = { f | f : A B, f "na"} skup sirjektivnih preslikavanja

P = { f | f : A B } skup svih preslikavanja

Pi = { f | f : A B, i f (A), 1 i n}

A = {1, 2, ... , m} , B = {1, 2, ... , n}

n2

n

n 1

P' = P1 P2 ... Pn

= P1 P2 ... Pn

6868

= |P| |P1 P2 ... Pn|

= |P|

|P| = nm

|Pi | = (n 1)m1

|Pi ... Pi | = (n k)m1 k

. . .

|P' | = |P1 P2 ... Pn |

... + + | Pi Pi |1 21 i1 < i 2 n

+ ( 1)n | Pi ... Pi |1 n1 i1 < ... < i n n

|Pi |1

1 i1 n

6969

|P'| = nm n(n 1)m ... +

= nm n(n 1)m ... +

... +

(n 2)m+n2

+ ( 1)n (n n)mnn+ ( 1)n 1 (n (n 1))m

n

n 1

(n 2)m+n2

( 1)n 1 1mn

n 1

= (n 0)mn0

(n 1)mn1 + (n 2)m

n2

+ ( 1)n 1 (n (n 1))mn

n 1 + ( 1)n (n n)mnn

= ( 1)i (n i)mΣi = 0

n ni

7070

m < n

P' = |P'| = 0

m = n

P' skup bijekcija A na B

|P'| = n!

|A| = m |B| = n

= 0( 1)i (n i)mΣi = 0

n ni

= n!( 1)i (n i)nΣi = 0

n ni

7171

. . .

A1

A2

An

f

Ai = f 1 (i)

i = 1, 2, ... , n

1 sirjekcija

1 razbijanje A na n nepraznih podskupova

1 razbijanje A na n nepraznih podskupova

n! sirjekcija

f sirjekcija

A

PITANJE. Koliko ima razbijanja skupa A, |A| = m, na n nepraznih podskupova ?

()

B

. . .

1

2

n

|A| = m |B| = n

7272

S (m, n) broj razbijanja skupa od m elemenata na n nepraznih poskupova

S (m, n) Stirlingov broj 2. vrste

Dokaz. Iz ().

m < n S (m, n) = 0

m = n S (n, n) = 1

TEOREMA 4.3. S (m, n) =1n! .( 1)i (n i)mΣ

i = 0

n ni

73

S

A1

A3

A2

|S| = n

P1, P2, P3 osobine elemenata iz S

Ai = {xS | x ima osobinu Pi }

(0)

(2)

(1)

(1)(1)(2)

(2)(3)

P1, P2, ... , Pq osobine

A1, A2, ... , Aq S

PITANJE. Koliko ima elemenata u S sa tačno m, m = 0, 1, ... , q, osobina ?

4.2. Uopštena formula uključenja isključenja

74

|S| = n P1, P2, ... , Pq osobine elemenata S , q 1

A1, A2, ... , Aq S

Ai = {x S | x ima osobinu Pi }

E(m) = broj el. iz S sa tačno m osobina

ω(Pi , Pi , ... , Pi ) = broj el. iz S sa osobinama Pi , Pi , ... , Pi1 2 m 1 2 m

(eventualno još nekim)

ω(m) ={i1, ... , im} {1, ... , q}

Σ ω(Pi , ... , Pi )1 m

ω(0) = |S| = ndef.

75

TEOREMA 4.4. Neka je S skup od n elemenata i {P1, P2, ... , Pq} skup od q osobina elemenata iz S. Tada je za svako m = 0, 1, ... , q

E(m) = ω(m) ω(m + 1) ω(m + 2)+

+ (1)q m ω(q)

= Σi = m

q

(1)i m ω(i)

m + 1m

m + 2m . . . +

qm

im .

76

Dokaz.

xS jednako doprinosi levoj i desnoj strani ()

DSLS

x ima tačno t osobina: P1, P2, ... , Pt

10 t < m

t < m 0 020 t = m

t = m 1 1

30 t > m t > m 0 ?

E(m) = ω(m) ω(m + 1) ω(m + 2)+

+ (1)q m ω(q)

m + 1m

m + 2m . . . +

qm

()LSDS

LS 0

DS 1LS 1

DS 0

samo za ω(P1, P2, ... , Pt) u ω(t) = ω(m)

LS 0 DS ?

77

t > m

LS 0

ω(m)

ω(m + 1)

. . .

. . .

ω(t)

ω(t + 1) 0

. . .

. . .

E(m) = ω(m) ω(m + 1) ω(m + 2)+

. . . + (1)q m ω(q)

m + 1m

m + 2m

qm

tm

tm + 1

tt

po 1 za svakih mod t osobina

DS

78

DS

... + =

... + =

1 ... + =

0

0=

nk

kr =

n rk r

nr

tm m + 1

mt

m + 1 +m + 2

mt

m + 2 (1)t m tm

tt

tm

tm

t m1 +

tm

t m2 (1)t m t

mt mt m

tm t m

1+ t m

2(1)t m t m

t m

tm

79

POSLEDICA 4.1.

E(0) = ω(0) ω(1) + ω(2) ... + (1)q ω(q)

Σi = 0

q

= (1)i ω(i) .

Dokaz. Iz posledice 4.1, ω(0) = |S| i

ω( j) = | Ai ... Ai |1 jΣ1 i1 < ... < ij q

.

POSLEDICA 4.2. Neka je S skup od n elemenata i {P1, P2, ... , Pq} skup od q osobina elemenata iz S. Ako je

| A1 A2 ... Aq | = E(0) .

Ai = {x S | x ima osobinu Pi }

tada je

80

Primer 4.1. S = {1, 2, ... , 14} P1, P2, P3, P4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 141311

P1

P2

P3

P4

S

ω(P1) = 5 ω(P2) = 9 ω(P3) = 5 ω(P4) = 7

ω(P1 P2) = 4 ω(P1 P3) = 2 ω(P1 P4) = 2

ω(P2 P3) = 4 ω(P2 P4) = 5 ω(P3 P4) = 5

ω(P1 P2 P3) = 2 ω(P1 P2 P4) = 2 ω(P1 P3 P4) = 2 ω(P2 P3 P4) = 4

ω(P1 P2 P3 P4) = 2

81

ω(P1) = 5 ω(P2) = 9 ω(P3) = 5 ω(P4) = 7

ω(P1 P2) = 4 ω(P1 P3) = 2 ω(P1 P4) = 2

ω(P2 P3) = 4 ω(P2 P4) = 5 ω(P3 P4) = 5

ω(P1 P2 P3) = 2 ω(P1 P2 P4) = 2 ω(P1 P3 P4) = 2 ω(P2 P3 P4) = 4

ω(P1 P2 P3 P4) = 2

ω(0) = |S| = 14

ω(1) = 5 + 9 + 5 + 7 = 26

ω(2) = 4 + 2 + 2 + 4 + 5 + 5 = 22

ω(3) = 2 + 2 + 2 + 4 = 10

ω(4) = ω(P1 P2 P3 P4) = 2

Σ1 i 4

ω(Pi )=

Σ1 i < j < k 4

ω(Pi Pj Pk )=

Σ1 i < j 4

ω(Pi Pj )=

82

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 141311

P1

P2

P3

P4

S

ω(0) = |S| = 14 ω(1) = 26 ω(2) = 22 ω(3) = 10 ω(4) = 2

E(0) = ω(0) ω(1) + ω(2) ω(3) + ω(4) = 14 26 + 22 10 + 2 = 2

E(2) = ω(2)

32

ω(3) 42

ω(4)+ = 22 310 + 62

= 4

= 26 222 + 310 42

= 4E(1) = ω(1)

21

ω(2) 31

ω(3)+ 41

ω(4)+

E(3) = ω(3)

43

ω(4) = 10 42

= 2

E(4) = ω(4)

= 2