1

KOMPLEKSNA ANALIZA

Sažetak predavanja do 23.4.2020.

1. Holomorfne funkcije

Skup kompleksnih brojeva

C = z = x + yi∣∣ x, y ∈ R

možemo identificirati s R2, uz identifikaciju a+ bi = (a, b). Na taj na-cin na C imamo pojmove norme (koja je ista kao apsolutna vrijednostkompleksnog broja), metrike, otvorenih i zatvorenih kugala, otvo-renih, zatvorenih, kompaktnih i povezanih skupova, konvergencijenizova, neprekidnosti funkcija, itd. Takoder imamo pojmove puta ipovezanosti putevima.

Nas ce prvenstveno zanimati otvoreni skupovi koje cemo oznaca-vati s Ω. Sjetimo se da je otvoren skup povezan ako i samo ako jepovezan putevima; otvoren i povezan skup Ω nazivat cemo podru-cjem.

Neka je Ω ⊂ C otvoren skup, f : Ω → C funkcija i z0 ∈ Ω.Funkcija f je derivabilna u tocki z0 ako postoji

limz→z0

f (z)− f (z0)

z− z0. (1)

Ukoliko taj limes postoji, oznacavamo ga s f ′(z0) i nazivamo deriva-cija funkcije f u tocki z0.

Funkcija f je derivabilna na Ω ako je derivabilna u svakoj tockiskupa Ω. Još kažemo da je f holomorfna na Ω.

Primijetimo da je formalno definicija ista kao za realnu funkcijurealne varijable, modutim znacenje je kao što cemo vidjeti drukcije.

Sljedece tvrdnje se lako provjere, na isti nacin kao i kod realnihfunkcija realne varijable.

Neka su f , g : Ω→ C funkcije i z0 ∈ Ω. Tada vrijedi:

(i) Ako je f derivabilna u z0, onda je f neprekidna u z0. Posebno,ako je f derivabilna na Ω onda je i neprekidna na Ω.

(ii) Ako su f i g derivabilne u z0 tada:

1. Za sve λ, µ ∈ C je funkcija λ f + µg derivabilna u z0 i

(λ f + µg)′ (z0) = λ f ′(z0) + µg′(z0).

2. f g je derivabilna u z0 i

( f g)′(z0) = f ′(z0)g(z0) + f (z0)g′(z0).

3. Ako g(z0) 6= 0, onda jefg

derivabilna u z0 i vrijedi

(fg

)′(z0) =

f ′(z0)g(z0)− f (z0)g′(z0)

(g(z0))2 .

2

(iii) Neka je h : Ω1 → C, gdje je Ω1 otvoren skup koji sadrži f (Ω).Ako je f derivabilna u tocki z0 i h derivabilna u f (z0), tada je h fderivabilna u z0 i vrijedi

(h f )′(z0) = h′( f (z0)) f ′(z0).

Iz gornjih formula odmah slijedi da su polinomi derivabilne funk-cije. Preciznije, ako je

f (z) = anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0,

gdje su a0, a1, . . . , an ∈ C, tada je

f ′(z) = nanzn−1 + (n− 1)an−1zn−2 + · · ·+ a1.

Racionalne funkcije su takoder derivabilne na svojoj domeni.

Za funkciju f : Ω → C možemo pisati f (z) = u(z) + iv(z) gdjeje u(z) = Re f (z) i v(z) = Im f (z). Identifikacijom C i R2, f postajefunkcija sa Ω ⊆ R2 u R2 dana sa f (x, y) = (u(x, y), v(x, y)).

Sada cemo proucavati vezu derivabilnosti kompleksne funkcije fi diferencijabilnosti realnih funkcija u i v dviju realnih varijabli.

Teorem (Cauchy–Riemannovi uvjeti) Neka je f = u + iv : Ω →C funkcija, i neka je z0 ∈ Ω. Tada je f derivabilna u tocki z0 (tj.postoji limes (1)) ako i samo ako je funkcija f : Ω ⊆ R2 → R2

diferencijabilna u tocki (x0, y0) i vrijede Cauchy–Riemannovi uvjeti:

ux(x0, y0) = vy(x0, y0),

uy(x0, y0) = −vx(x0, y0).

Ideja dokaza. Derivabilnost f u z0 je ekvivalentna postojanju kom-pleksnog broja f ′(z0) = a + bi takvog da je

limz→z0

| f (z)− f (z0)− f ′(z0)(z− z0)||z− z0|

= 0,

gdje f ′(z0)(z − z0) oznacava produkt kompleksnih brojeva f ′(z0) i(z− z0).

S druge strane, iz Diferencijalnog racuna funkcija više varijabliznamo da je diferencijabilnost funkcije f = (u, v) u z0 = (x0, y0)

ekvivalentna postojanju parcijalnih derivacija ux, uy, vx, vy u (x0, y0)

i cinjenici

lim(x,y)→(x0,y0)

‖ f (x, y)− f (x0, y0)−[

ux uyvx vy

](x− x0, y− y0)‖

‖(x, y)− (x0, y0)‖= 0.

Tvrdimo da množenje kompleksnim brojem a + bi shvaceno kaolinearan operator s R2 u R2 ima matricu

[ a −bb a

]u standardnoj bazi

e1, e2 od R2. Doista, množenje s a + bi preslikava e1 = 1 u a + bi =(a, b) i e2 = i u ai− b = (−b, a), dakle stupci matrice tog operatorasu [ a

b ] i[ −b

a].

3

Iz gornje diskusije vidimo da je kompleksna derivabilnost ekviva-lentna realnoj diferencijabilnosti i uvjetu[

ux uyvx vy

]=[ a −b

b a

],

gdje su a i b odredeni sa f ′(z0) = a + bi. To povlaci tvrdnju.

Sljedeci korolar odmah slijedi iz dokaza Teorema.

Korolar. Neka je f = u + iv : Ω → C funkcija i z0 ∈ Ω. Ako je fderivabilna u z0, onda vrijedi

f ′(z0) = ux(x0, y0) + ivx(x0, y0) = vy(x0, y0)− iuy(x0, y0).

Primjeri. Funkcija

exp(z) = ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y), z ∈ C

je derivabilna na C i vrijedi (ez)′ = ez, ∀z ∈ C. (Slijedi iz provjereCR uvjeta).

Sada slijedi i da su funkcije

sin z =eiz − e−iz

2i, cos z =

eiz + e−iz

2

derivabilne na C i vrijedi

(sin z)′ = cos z, (cos z)′ = − sin z, z ∈ C.

Ocito je eksponencijalna funkcija periodicna s periodom 2πi, aslika joj je C \ 0. Štoviše, njezina restrikcija

exp : x + iy∣∣ y ∈ (−π, π) → C \ (−∞, 0]

je bijekcija s neprekidnim inverzom

ln z = ln r + i arg(z),

gdje je z = rei arg z polarni zapis kompleksnog broja z, sa arg z ∈(−π, π).

Pokazatuje se da je ln derivabilna na C \ 〈−∞, 0] te da vrijedi (oce-kivana) formula (ln z)′ = 1

z . (Provjerite to.) Dokaz ove formule cemodati kasnije na drugi nacin, koristeci integrale.

Teorem. Neka je Ω podrucje i f : Ω→ C derivabilna funkcija takvada je f ′(z) = 0 za sve z ∈ Ω. Tada je f konstantna funkcija.

Ideja dokaza. Korolar CR teorema daje ux = vx = uy = vy = 0 naΩ. Sada tvrdnja slijedi iz analognog teorema za realne funkcije.

Svako neprekidno preslikavanje γ : [a, b] → Ω naziva se put (ilikrivulja) u Ω. Tocke γ(a) i γ(b) su pocetak i kraj puta γ. Put jezatvoren ako je γ(a) = γ(b).

Na primjer, kružnica radijusa r sa središtem u z0 ∈ C parametri-zirana je sa

γ : [0, 2π]→ C, γ(t) = z0 + reit.

4

Segment [z1, z2] oznacavat ce nam dužinu u C koja spaja z1 i z2.Jedna parametrizacija segmenta [z1, z2] je

γ : [0, 1]→ C, γ(t) = z1 + t(z2 − z1).

Put γ = α+ iβ je gladak (ili klase C1) ako je funkcija γ derivabilnai derivacija γ′ je neprekidna. Znamo da je to ekvivalentno s tim dasu realne funkcije realne varijable α i β glatke.

Put γ = α + iβ je po dijelovima gladak (ili po dijelovima klaseC1) ako je gladak osim u konacno mnogo tocaka, to jest, ako postojetocke

a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = b

tako da su restrikcije

γ|[tk ,tk+1], k = 0, . . . , n− 1,

glatke funkcije.

Za zadani put γ : [a, b]→ Ω, put

γ− : [a, b]→ Ω, γ−(t) = γ−(a + b− t)

nazivamo suprotnim putom od γ. Ocito je γ([a, b]) = γ−([a, b]), apocetak i kraj puta γ su upravo kraj i pocetak od γ−.

Neka je f : Ω → C neprekidna funkcija, te γ : [a, b] → Ω gladakput. Integral funkcije f duž puta γ definiramo kao kompleksni broj∫

γf =

∫γ

f (z)dzde f=∫ b

af (γ(t))γ′(t)dt.

Ako je γ po dijelovima gladak put, te a = t0 < t1 < t2 < . . . <tn = b tocke takve da su γ|[tk ,tk+1]

, k = 0, . . . , n − 1, glatke funkcije,onda se integral funkcije f duž puta γ definira kao

∫γ

fde f=

n−1

∑k=0

∫ tk+1

tk

f (γ(t))γ′(t)dt.

Mi cemo cesto u iskazima pretpostavljati da je γ po dijelovimaglatka krivulja, a ipak u dokazima koristiti prvu formulu iz pret-hodne definicije. To cemo raditi zato jer ce nam zapis biti jednostav-niji i dokaz razumljiviji, a bit ce ocito da bi se dokazi na isti nacinmogli provesti i uz drugu formulu.

Duljina puta γ : [a, b]→ C definira se kao

`(γ) =∫ b

a|γ′(t)|dt.

Sljedece tvrdnje se lako dokazuju (dokažite ih!)

1. Ako je γ po dijelovima gladak put, onda je i γ− po dijelovimagladak put.

5

2. Za svaku neprekidnu funkciju f : Ω → C i γ : [a, b] → Ω vrijedi∫γ− f = −

∫γ f .

3. Neka su γ : [a, b]→ Ω i δ : [c, d]→ Ω po dijelovima glatki putovi,pri cemu je γ(b) = δ(c). Definiramo put η : [a, d − c + b] → Ωformulom

η(t) =

γ(t), a ≤ t ≤ b;δ(t + c− b), b ≤ t ≤ d− c + b.

Tada je η po dijelovima gladak put i vrijedi∫η

f =∫

γf +

∫δ

f .

Lema (Fundamentalna ocjena) Neka je f : Ω→ C neprekidna funk-cije i γ : [a, b]→ Ω po dijelovima gladak put. Tada je∣∣∣∣∫

γf∣∣∣∣ ≤ M · `(γ),

pri cemu je `(γ) duljina puta γ, te M = maxz∈γ([a,b]) | f (z)|.

Dokaz. M postoji: to je maksimum neprekidne funkcije | f | na kom-paktnom skupu γ([a, b]).

Uvedimo oznaku I :=∫

γ f . Za I = 0 tvrdnja je ocita pa pretposta-

vimo I 6= 0. Kompleksni broj I zapišimo u polarnoj formi I = |I|eiϕ,gdje je ϕ = arg I. Tada je

|I| = e−iϕ I = e−iϕ∫ b

af (γ(t))γ′(t)dt =

∫ b

ae−iϕ f (γ(t))γ′(t)dt

=∫ b

aRe(e−iϕ f (γ(t))γ′(t))dt + i

∫ b

aIm(e−iϕ f (γ(t))γ′(t))dt

= (jer je |I| ∈ R) =∫ b

aRe(e−iϕ f (γ(t))γ′(t))dt

≤ (jer je Re(z) ≤ |z|) ≤∫ b

a

∣∣∣e−iϕ f (γ(t))γ′(t)∣∣∣ dt

=∫ b

a

∣∣ f (γ(t))| |γ′(t)∣∣ dt ≤ M∫ b

a|γ′(t)|dt = M`(γ).

Funkciju F : Ω→ C zovemo primitivnom funkcijom za f : Ω→ C

ako je F′ = f .

Propozicija (Newton-Leibnizova formula). Ako f : Ω → C imaprimitivnu funkciju F : Ω → C, onda za svaki po dijelovima gladakput γ : [a, b]→ Ω vrijedi∫

γf = F(γ(b))− F(γ(a)).

Dokaz.∫γ

f =∫ b

af (γ(t))γ′(t)dt =

∫ b

aF′(γ(t))γ′(t)dt

=∫ b

a(F γ)′(t)dt = (F γ)(t)|ba = F(γ(b))− F(γ(a)).

6

Korolar. Ako su γ1 i γ2 dva puta u Ω s istim pocetkom z1 i krajemz2, tada ∫

γ1

f = F(z2)− F(z1) =∫

γ2

f ,

što znaci da integral funcije f ne ovisi o putu koji spaja tocke z1 i z2.

Posebno, ako je γ PDG zatvoren put u Ω, onda gornja formulapovlaci da je

∫γ f = 0.

Primjer. Neka je f : C \ 0 → C zadana sa f (z) = 1z . Neka je

γ(t) = eit, t ∈ [0, 2π] jedinicna kružnica. Tada je∫γ

f =∫ 2π

0

ieit

eit dt = i∫ 2π

0dt = 2πi 6= 0.

Slijedi da f nema primitivnu funkciju na C \ 0. (Primitivna funk-cija postoji - to je ln z - ako smanjimo domenu na C bez negativnogdijela realne osi, tj. na Ω = C \ (−∞, 0].)

Cauchyjev teorem za derivaciju. Neka je f : Ω → C neprekidnafunkcija. Tada vrijedi: f ima primitivnu funkciju na Ω ako i samo je∫

γ f = 0 za svaki PDG zatvoren put γ u Ω.

Dokaz. Vec smo vidjeli (NL formula) da postojanje primitivne funk-cije povlaci išcezavanje integrala po PDG zatvorenim putevima.

Za dokaz obrata, pretpostavimo da je Ω povezan (ili prijedimo nakomponente povezanosti). Fiksirajmo z0 ∈ Ω. Definiramo F : Ω →C sa

F : Ω→ C, F(z) =∫

γzf , z ∈ Ω,

gdje je γz neki po dijelovima gladak put u Ω od z0 do z. Definicijane ovisi o izboru puta γz, jer iz pretpostavke slijedi da je integral pobilo koja dva puta od z0 do z isti. Pokazat cemo da je F′ = f na Ω.

Neka je z ∈ Ω. Zbog otvorenosti Ω postoji r > 0 takav da jeK(z, r) ⊆ Ω. Tada za sve h ∈ C, |h| < r vrijedi z + h ∈ K(z, r). Ako jeγz put od z0 do z, tada cemo za γz+h uzeti put koji se sastoji od γz isegmenta [z, z + h]. Imamo da je

F′(z) = limh→0

F(z + h)− F(z)h

= limh→0

1h

(∫γz+h

f −∫

γzf)

= limh→0

1h

∫[z,z+h]

f = limh→0

1h

∫ 1

0f (z + th)(z + th)′dt

= limh→0

∫ 1

0f (z + th)dt = ( f je neprekidna )

=∫ 1

0limh→0

f (z + th)dt =∫ 1

0f (z)dt = f (z)

∫ 1

0dt = f (z).

Goursat-Pringsheimov teorem. Ako je f derivabilna funkcija na Ω,tada za svaki trokut ∆ ⊆ Ω vrijedi

∫∂∆ f = 0.

Dokaz. Induktivno konstruiramo niz trokuta

∆ = ∆0 ⊇ . . . ⊇ ∆n ⊇ ∆n+1 ⊇ . . .

sa svojstvima:

7

(a)∣∣∣∫∂∆n

f∣∣∣ ≤ 4

∣∣∣∫∂∆n+1f∣∣∣ ;

(b) Za opsege trokutova ∆n vrijedi O(∆n) = 2 ·O(∆n+1).

∆n+1 dobijemo iz ∆n tako da ∆n razdijelimo njegovim srednjicamana trokute ∆(1)

n , ∆(2)n , ∆(3)

n , ∆(4)n , i uzmemo za ∆n+1 onaj od njih koji

ima najvecu apsolutnu vrijednost integrala od f po svom rubu.

(∆n) je niz zatvorenih padajucih (s obzirom na inkluziju) skupovaciji dijametar teži u 0, pa po Cantorovom teoremu o presjeku slijedida postoji w ∈ Ω tako da je⋂

n≥0∆n = w.

f je derivabilna u w, pa za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da jeK(w, δ) ⊆ Ω i

(z ∈ K(w, δ), z 6= w)⇒∣∣∣∣ f (z)− f (w)

z− w− f ′(w)

∣∣∣∣ < ε. (2)

Uz oznaku r(z) := f (z)− f (w)− f ′(w)(z− w)), (2) daje

|r(z)| < ε|z− w|, ∀z ∈ K(w, δ). (3)

Prema Cauchyjevom teoremu za derivaciju, za svaki po dijelovimazatvoren put γ u Ω vrijedi∫

γ( f (w) + f ′(w)(z− w))dz = 0

(jer podintegralna funkcija ima primitivnu funkciju). To posebnovrijedi za γ = ∂∆n, što povlaci da je∫

∂∆nf (z)dz =

∫∂∆n

r(z)dz, ∀n ∈N. (4)

Odaberimo n0 ∈ N takav da je ∆n ⊆ K(w, δ) za sve n ≥ n0. Nekaje O opseg trokuta ∆ i On opseg trokuta ∆n za n ∈ N. Uocimo davrijedi

|z− w| ≤ On, z ∈ ∂∆n, (5)

pa iz (3) imamo

maxz∈∂∆n

|r(z)| ≤ ε

2n O.

(Naime, (b) povlaci On = O2n .) Sada Lema o fundamentalnoj ocjeni

integrala daje ∣∣∣∣∫∂∆n

r∣∣∣∣ ≤ ε

4n ·O2. (6)

Iz (a), (4) i 6) slijedi ∣∣∣∣∫∂∆

f∣∣∣∣ ≤ ε ·O2,

pa zbog proizvoljnosti ε slijedi∫

∂∆ f = 0.

Ω ⊆ C je zvjezdast ako postoji z0 ∈ Ω sa svojstvom da je [z0, z] ⊆Ω za sve z ∈ Ω. Svaku takvu tocku z0 nazivamo centrom ili središtemzvjezdastog skupa Ω.

8

Cauchyjev teorem za zvjezdasti skup. Neka je Ω zvjezdast skup if : Ω → C derivabilna funkcija. Tada f ima primitivnu funkciju naΩ.

Ideja dokazaNeka je z0 ∈ Ω centar zvjezdastog skupa Ω. Tada je [z0, z] ⊂ Ω za

sve z ∈ Ω, pa možemo definirati funkciju

F : Ω→ C, F(z) =∫[z0,z]

f .

Sada se dokazuje da je F′(z) = f (z), z ∈ Ω.

Kombinacijom Cauchyjevog teorema za zvjezdasti skup i Cuac-hyjevog teorema za derivaciju dobivamo

Korolar. Neka je Ω zvjezdast skup i f : Ω→ C derivabilna funkcija.Tada je ∫

γf = 0

za svaki po dijelovima gladak zatvoren put γ u Ω.

Korolar (Tehnicka napomena). Neka je f : K(z0, r)→ C neprekidnafunkcija. Pretpostavimo da je f derivabilna na K(z0, r) \ w, gdje jew neka tocka u K(z0, r). Tada f ima primitivnu funkciju na K(z0, r).

Ideja dokaza. Neka je F : K(z0, r)→ C definirana s

F(z) =∫[w,z]

f .

Tada vrijedi F′(z) = f (z), z ∈ K(z0, r).Za to je dovoljno dokazati da je

∫∂∆ f = 0 za svaki trokut

∆ = 〈w, z, z′〉 ⊆ K(z0, r),

jer nakon toga možemo nastaviti kao u dokazu Cauchyjevog teoremaza zvjezdasti skup.

Biramo tocke z1 ∈ [w, z] i z2 ∈ [w, z′] i vidimo da je∫∂〈w,z,z′〉

f =∫

∂〈w,z1,z2〉f .

Za z1 → w, z2 → w zadnji integral teži u 0 što povlaci tvrdnju.

Lema. Neka je γ : [0, 2π]→ C, γ(t) = z0 + reit. Tada je

∫γ

dzz− w

= 2πi, ∀w ∈ K(z0, r).

Ideja dokaza. Ako je w = z0 onda se integral direktno izracuna. Zadruge w argument se bazira na sljedecoj slici.

9

Teorem (Cauchyjeva integralna formula za krug). Neka je f : Ω →C derivabilna funkcija i K(z0, r) ⊂ K(z0, R) ⊆ Ω. Tada je

f (z) =1

2πi

∫γ

f (w)

w− zdw, ∀z ∈ K(z0, r),

gdje je γ : [0, 2π]→ C, γ(t) = z0 + reit.

Ideja dokaza. Fiksirajmo z ∈ K(z0, r). Definiramo funkciju g : K(z0, R)→C kao

g(w) =

f (w)− f (z)

w−z , w 6= z;f ′(z), w = z.

Funkcija g je derivabilna na K(z0, R) \ z, te neprekidna na cijelomK(z0, R). Prema Tehnickoj napomeni funkcija g ima primitivnu funk-ciju na K(z0, R) i zato je

∫γ g = 0. Sada imamo

0 =∫

γg =

∫γ

f (w)− f (z)w− z

dw

=∫

γ

f (w)

w− zdw− f (z)

∫γ

1w− z

dw

= (po prethodnoj Lemi) =∫

γ

f (w)

w− zdw− f (z) · 2πi,

odakle slijedi tvrdnja.

Teorem (generalizirana CIF za krug). Neka je f : Ω→ C derivabilnafunkcija i K(z0, r) ⊂ K(z0, R) ⊆ Ω. Tada za sve n ≥ 1 vrijedi

f (n)(z) =n!

2πi

∫γ

f (w)

(w− z)n+1 dw, ∀z ∈ K(z0, r),

gdje jeγ : [0, 2π]→ C, γ(t) = z0 + reit.

Posebno, f ima derivaciju svakog reda.

10

Ideja dokaza. Deriviramo CIF. Derivirati možemo pod znakom inte-grala zbog sljedece leme.

Lema. Neka je Ω otvoren skup u C. Neka je f : [a, b] × Ω → C

neprekidna funkcija. Pretpostavimo da je f diferencijabilna po z, teda je parcijalna derivacija ∂ f

∂z (t, z) neprekidna. Tada je funkcija

g : Ω→ C, g(z) =∫ b

af (t, z)dt

diferencijabilna na Ω i vrijedi

g′(z) =∫ b

a

∂ f∂z

(t, z)dt.

Ideja dokaza. Koristi se analogna tvrdnja za realne funkcije poznataiz kolegija Integrali funkcija više varijabli, te Cauchy-Riemannoviuvjeti.

Korolar. Neka je f : Ω → C neprekidna na Ω i derivabilna na Ωosim možda u konacno mnogo tocaka w1, . . . , wn ∈ Ω. Onda je fderivabilna i u tockama w1, . . . , wn, dakle na cijelom skupu Ω.

Ideja dokaza. Dovoljno je dokazati tvrdnju za jednu tocku, w1. Nekaje r1 > 0 takav da je K(w1, r) ⊆ Ω.

Restrikcija funkcije f na K(w1, r1) je neprekidna na K(w1, r1) i de-rivabilna na K(w1, r1) \ w1. Prema Tehnickoj napomeni, f ima pri-mitivnu funkciju F na K(w1, r1). Iz F′(z) = f (z), ∀z ∈ K(w1, r1)

slijedi da je F derivabilna na K(w1, r1). Prema prethodnom teoremu,F ima derivaciju svakog reda, pa je posebno i F′ = f derivabilna naK(w1, r1), dakle i u w1.

Cijela funkcija je funkcija cija je domena cijeli C i koja je deriva-bilna (na C).

Liouvilleov teorem Svaka cijela ogranicena funkcija je konstantna.

Ideja dokaza. Dokazujemo da je f ′(z0) = 0 za svaki z0 ∈ C. Za tokoristimo generaliziranu CIF za f ′ i fundamentalnu ocjenu integralapo kružnici oko z0 radijusa r. Pokazuje se da vrijedi | f ′(z0)| ≤ M

r ,gdje je M > 0 takav da je | f (z)| ≤ M za sve z ∈ C. Sada limr→∞

Mr =

0 povlaci f ′(z0) = 0.

Teorem (Cauchyjeva integralna formula za kružni vijenac) Neka jeV = V(z0; r, R) = z ∈ C : r < |z − z0| < R kružni vijenac sasredištem u z0 radijusa r i R, te f derivabilna funkcija na V. Tadavrijedi

f (z) =1

2πi

∫γ2

f (w)

w− zdw− 1

2πi

∫γ1

f (w)

w− zdw,

gdje su γ1 i γ2 kružnice sa središtem u z0 radijusa ρ1 i ρ2, redom,tako da je r < ρ1 < |z− z0| < ρ2 < R.

11

Ideja dokaza. Slicno kao u dokazu CIF za krug, za fiksirani z ∈ Vdefiniramo funkciju

g : V → C, g(w) =

f (w)− f (z)

w−z , w 6= z;f ′(z), w = z.

i zakljucimo da je derivabilna na V.∫γ2

g−∫

γ1g može se izraziti kao suma integrala po PDG zatvore-

nim krivuljama kao na sljedecoj slici (jedna od tih krivulja je izdvo-jena na slici desno).

Pri tome možemo postici da se svaka od "manjih" krivulja možesmjestiti u zvjezdast podskup od V, pa je svaki od integrala po ma-njim krivuljama jednak nuli po Cauchyjevom teoremu za zvjezdastiskup. Slijedi da je∫

γ2

f (w)− f (z)w− z

dw =∫

γ1

f (w)− f (z)w− z

dw,

odnosno∫γ2

f (w)

w− zdw− f (z)

∫γ2

dww− z

=∫

γ1

f (w)

w− zdw− f (z)

∫γ1

dww− z

.

Drugi integral s lijeve strane je jednak f (z) · 2πi (Lema prije CIF), adrugi integral na desnoj strani je jednak nuli (Cauchyjev teorem zazvjezdasti skup). Slijedi∫

γ2

f (w)

w− zdw− 2πi f (z) =

∫γ1

f (w)

w− zdw,

odakle tvrdnja odmah slijedi izražavanjem f (z).

2. Lokalno uniformna konvergencija

Neka je S ⊆ C, fn : S→ C, n ∈N niz funkcija i f : S→ C.Niz fn konvergira prema funkciji f lokalno uniformno na S ako

za svaki z ∈ S postoji rz > 0 takav da je K(z, rz) ⊆ S i da niz funkcija

( fn|K(z,rz))n uniformno konvergira funkciji f |K(z,rz). Pišemo fnL.U.−→ f .

12

Teorem (karakterizacija lokalno uniformne konvergencije) Neka jefn : Ω → C, n ∈ N niz funkcija i f : Ω → C. Sljedece tvrdnje suekvivalentne:

1. fnL.U.−→ f ;

2. za svaki kompaktan podskup K od Ω vrijedi fn|K ⇒ f |K;

3. za svaki K(z, r) ⊆ Ω vrijedi fn|K(z,r) ⇒ f |K(z,r).

Ideja dokaza. (2)⇒(3)⇒(1) je ocito.(1)⇒(2) Po (1), za svaki z ∈ Ω postoji rz > 0 tako da ( fn|K(z,rz))n

uniformno konvergira funkciji f |K(z,rz). Sada svi K(z, rz), z ∈ K, cineotvoreni pokrivac kompaktnog skupa K, pa postoje z1, . . . , zk ∈ Ktako da je K ⊆ ⋃k

i=1 K(zi, rzi ).Zato za zadani ε > 0 postoje n1, . . . , nk ∈N takvi da

n ≥ ni ⇒ (| fn(z)− f (z)| < ε, ∀z ∈ K(zi, rzi )).

Za n0 = maxn1, . . . , nk, vidimo da

n ≥ n0 ⇒ (| fn(z)− f (z)| < ε, ∀z ∈k⋃

i=1

K(zi, rzi )),

odakle slijedi (2).

Teorem (o neprekidnosti lokalno uniformnog limesa) Neka je fn :Ω → C, n ∈ N niz neprekidnih funkcija i f : Ω → C funkcija takva

da fnL.U.−→ f . Tada je f neprekidna funkcija.

Ideja dokaza. Uzmimo z0 ∈ Ω i pokažimo da je f neprekidna u z0.Koristimo nejednakost

| f (z)− f (z0)| ≤| f (z)− fn0(z)|+ | fn0(z)− fn0(z0)|+ | fn0(z)− f (z0)| < ε.

Zbog lokalno uniformne konvergencije, za z dovoljno blizu z0 i zadovoljno veliki n0, vrijedi

| f (z)− fn0(z)| <ε

3, | f (z0)− fn0(z0)| <

ε

3.

Zbog neprekidnosti fn0 u z0, za z dovoljno blizu z0 vrijedi

| fn0(z)− fn0(z0)| <ε

3.

Slijedi da je za z dovoljno blizu z0

| f (z)− f (z0)| < ε

Lema (o zamjeni limesa i integrala). Neka je fn : Ω→ C, n ∈N niz

neprekidnih funkcija i f : Ω→ C funkcija takva da fnL.U.−→ f . Tada

limn→∞

∫γ

fn =∫

γf

13

za svaki po dijelovima gladak put γ u Ω.

Ideja dokaza. Neka je γ : [a, b] → Ω po dijelovima gladak put u Ω.Oznacimo K := γ([a, b]). Neka je ε > 0.

Prema prethodnom teoremu, f je neprekidna funkcija, pa je izraz∫γ f dobro definiran.

K je kompaktan skup, pa fn|K ⇒ f |K Zato postoji n0 ∈ N takavda za sve n ≥ n0 vrijedi

| fn(z)− f (z)| < ε, ∀z ∈ K. (7)

Sada tvrdnja slijedi iz Leme o fundamentalnoj ocjeni integrala:∣∣∣∣∫γ

fn −∫

γf∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫

γ( fn − f )

∣∣∣∣ ≤max|( fn − f )(z)| : z ∈ K · `(γ) ≤ ε`(γ).

Sljedeca cinjenica koju želimo dokazati je holomorfnost lokalnouniformnog limesa niza holomorfnih funkcija (Weierstrassov teorem,niže dolje). Za to nam treba

Morerin teorem. Neka je f : Ω → C neprekidna funkcija takva daza svaki trokut ∆ ⊆ Ω vrijedi

∫∂∆ f = 0. Tada je f holomorfna na Ω.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je za svaki krug K(z0, r) ⊆ Ω, funk-cija g = f

∣∣K(z0, r) holomorfna. Po pretpostavci,

∫∂∆ g = 0 za sve

∆ ⊆ K(z0, r). Odatle, na isti nacin kao u dokazu Cauchyjevog te-orema za zvjezdast skup, slijedi da g ima primitivnu funkciju G naK(z0, r). Ocito je G holomorfna, pa je po generaliziranoj CIF i g = G′

holomorfna.

Weierstrassov teorem (o limesu niza holomorfnih funkcija) Nekaje fn : Ω → C, n ∈ N niz holomorfnih funkcija i f : Ω → C funkcija

takva da fnL.U.−→ f . Tada je f ∈ H(Ω) i

f (k)nL.U.−→ f (k), k ∈N.

Dokaz. f je neprekidna prema Teoremu o neprekidnosti lokalno uni-formnog limesa. Sve fn su holomorfne, pa Goursat–Pringsheimovomteoremu povlaci ∫

∂∆fn = 0, ∀∆ ⊆ Ω, ∀n ∈N.

Sada Lema o zamjeni limesa i integrala povlaci da je∫∂∆

f = 0, ∀∆ ⊆ Ω,

pa je f holomorfna po Morerinom teoremu.

Sada iskoristimo generaliziranu CIF za f (k)n i za f (k). Na razlikuta dva izraza primijenimo fundamentalnu ocjenu i iz toga izvedemoocjenu koja vrijedi uniformno za z iz K(z0, ρ), pri cemu je 0 < ρ < r.

Zakljucak je da f (k)nL.U.−→ f (k).

14

Neka je ( fn) niz funkcija definiranih na Ω. Red ∑n fn konvergiralokalno uniformno na Ω ako niz parcijalnih suma sn = f1 + f2 +

· · ·+ fn konvergira lokalno uniformno na Ω.

Teorem (Weierstrassov M-test) Neka je fn : Ω → C, n ∈ N nizfunkcija. Neka je (Mn)n, Mn ≥ 0, niz brojeva takav da je ∑∞

n=1 Mn <

∞. Ako vrijedi

| fn(z)| ≤ Mn, ∀n ∈N, ∀z ∈ Ω,

tada red funkcija ∑ fn konvergira apsolutno i uniformno na Ω.

Ideja dokaza. Po kriteriju usporedivanja slijedi da red ∑∞n=1 fn(z)

apsolutno konvergira za svaki z ∈ Ω, pa možemo definirati funkciju

f : Ω→ C, f (z) =∞

∑n=1

fn(z).

Uniformna konvergencija reda slijedi iz konvergencije reda ∑n Mn

i iz nejednakosti∣∣∣∣∣ f (z)− n

∑k=1

fk(z)

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣ ∞

∑k=n+1

fk(z)

∣∣∣∣∣ ≤ ∞

∑k=n+1

| fk(z)| ≤∞

∑k=n+1

Mk.

Red potencija je red oblika

∞

∑n=0

an(z− z0)n, (8)

gdje su (an), n ∈ N, z i z0 kompleksni brojevi. Pri tome z smatramovarijabilnim, a z0 fiksiranim. Brojeve an zovemo koeficijentima reda(8).

Pokazat cemo da je maksimalan otvoren skup na kome red ko-nvergira krug K(z0, r), r ∈ [0,+∞] s tim da definiramo K(z0, 0) = ∅i K(z0,+∞) = C. Takoder cemo vidjeti da je konvergencija lokalnouniformna, odakle ce slijediti da je limes holomorfna funkcija. Vidjetcemo i kako se "radijus konvergencije" r izražava pomocu koeficije-nata an.

Abelova lemaNeka je z′ 6= z0. Ako red brojeva ∑∞

n=0 an(z′ − z0)n konvergira,

tada red potencija ∑∞n=0 an(z − z0)

n konvergira apsolutno i lokalnounifromno na K(z0, r), gdje je r = |z′ − z0|.

Ideja dokaza. Konvergencija reda ∑∞n=0 an(z′ − z0)

n povlaci da pos-toji M > 0 tako da je |an(z′ − z0)

n| < M za sve n ≥ 0.Neka je ρ ∈ (0, r) proizvoljan. Tada za sve z ∈ K(z0, ρ) i za sve

n ≥ 0 vrijedi

|an(z− z0)n| = |an(z′ − z0)

n|(|z− z0||z′ − z0|

)n< M

(ρ

r

)n.

Geometrijski red ∑n M( ρ

r)n konvergira, pa Weierstrassov M-test pov-

laci da red ∑∞n=0 |an(z− z0)

n| konvergira uniformno na K(z0, ρ).

15

Odavde slijedi tvrdnja, jer za svaki z ∈ K(z0, r) postoje ρ ∈ (0, r) ir′ > 0 takvi da je K(z, r′) ⊂ K(z0, ρ).

Limes superior niza nenegativnih realnih brojeva ρn ≥ 0, lim supn ρn,je najvece gomilište tog niza u [0,+∞] (dokažite da najvece gomilišteuvijek postoji).

lim supn ρn = +∞ ako i samo ako je niz (ρn) neogranicen. Ako je(ρn) konvergentan, onda je lim supn ρn = lim ρn.

Neka su (αn) i (βn) dva niza nenegativnih brojeva. Pretpostavimoda je (βn) konvergentan. Tada vrijedi

lim supn

(αnβn) = lim supn

αn limn

βn;

lim supn

(αβnn ) = (lim sup

nαn)

limn βn .

Cauchyjev kriterij

Neka je ∑n an red kompleksnih brojeva. Tada:

1. Ako postoji pozitivan realan broj A < 1 takav da je n√|an| ≤ A

za sve n ∈ N pocevši od nekog n0, onda red ∑n an apsolutnokonvergira.

2. Ako je n√|an| > 1 za beskonacno mnogo n ∈ N, onda red ∑n an

divergira.

Ideja dokaza. (1) slijedi iz usporedbe reda ∑n |an| s geometrijskimredom ∑n An. (2) slijedi iz nužnog uvjeta konvergencije.

Korolar. Red kompleksnih brojeva ∑n an apsolutno konvergira akoje lim supn

n√|an| < 1, a divergira ako je lim supn

n√|an| > 1.

Ideja dokaza.(1) Neka je q < A < 1. Tada za sve n pocevši od nekog n0 vri-

jedi n√|an| ≤ A, pa red ∑n an apsolutno konvergira po Cauchyjevom

kriteriju.

(2) Neka je ε takav da je q− ε > 1. Tada je za beskonacno mnogon-ova n

√|an| > q − ε > 1, pa red ∑n an divergira po Cauchyjevom

kriteriju.

Teorem (Cauchy-Hadamard)Neka je zadan red potencija ∑∞

n=0 an(z− z0)n. Neka je

r =1

lim sup n√|an|∈ [0,+∞].

Promatramo krug K(z0, r), pri cemu definiramo K(z0, 0) = ∅,K(z0,+∞) = C.

(1) Red potencija ∑∞n=0 an(z − z0)

n konvergira apsolutno i lokalnouniformno na K(z0, r).

(Tvrdnja je prazna za r = 0.)

16

(2) Red ∑∞n=0 an(z− z0)

n divergira za svaki z ∈ C \ K(z0, r).

(Tvrdnja je prazna za r = +∞.)

Ideja dokaza.(1) Neka je z′ ∈ K(z0, r); oznacimo ρ = |z′ − z0|, dakle ρ < r. Vrijedi

lim sup n√|an(z′ − z0)n| = |z′ − z0| lim sup n

√|an| =

ρ

r< 1,

pa red brojeva ∑n an(z′ − z0)n konvergira apsolutno prema korolaru

Cauchyjevog kriterija.

Prema Abelovoj lemi, red potencija ∑∞n=0 an(z − z0)

n konvergiraapsolutno i lokalno uniformno na K(z0, ρ). Odatle slijedi tvrdnja, jerje ρ ∈ (0, r) proizvoljan.

(2) Ako je |z− z0| > r, tada je

lim sup n√|an(z− z0)n| = |z− z0| lim sup n

√|an| =

|z− z0|r

> 1,

pa red ∑∞n=0 an(z− z0)

n divergira prema korolaru Cauchyjevog kri-terija.

Broj r iz Cauchy-Hadamardovog teorema nazivamo radijus ko-nvergencije, a krug K(z0, r) krug konvergencije reda potencija. Te-orem kaže da na K(z0, r) red potencija konvergira apsolutno i lokalnouniformno, a divergira izvan K(z0, r). Za tocke s kružnice nemamonikakav zakljucak.

Teorem (Holomorfnost reda potencija)Neka je r > 0 radijus konvergencije reda potencija ∑∞

n=0 an(z −z0)

n. Tada je funkcija f : K(z0, r) → C zadana sa f (z) = ∑∞n=0 an(z−

z0)n holomorfna na K(z0, r). Njezina se derivacija dobiva derivira-

njem reda clan po clan, tj. vrijedi

f (m)(z) =∞

∑n=m

n(n− 1) · · · (n−m + 1)an(z− z0)n−m (9)

za svaki m ≥ 0 i za sve z ∈ K(z0, r).

Nadalje, red (9) ima radijus konvergencije r, za svaki m ≥ 0.

Ideja dokaza.Znamo da red potencija konvergira lokalno uniformno na K(z0, r),

pa Weierstrassov teorem o nizu holomorfnih povlaci da je funkcija fholomorfna, i da su njezine derivacije dane s s (9).

Da je radijus konvergencije reda za f ′ jednak r slijedi direktnimracunom uz korištenje svojstava limes superiora. Sada isto slijedi iza više derivacije.

Uocimo da, uz pretpostavke kao u prethodnom teoremu, uvršta-vanjem z = z0 u (9) slijedi da je

am =f (m)(z0)

m!, ∀m ≥ 0.

17

Dakle pocetni red potencija, odnosno funkcija f koju on definira, imaoblik

f (z) =∞

∑n=0

f (n)(z0)

n!(z− z0)

n, ∀z ∈ K(z0, r).

Sljedeci teorem govori o razvoju holomorfne funkcije u red poten-cija.

Teorem (o Taylorovom razvoju holomorfne funkcije)Neka je f ∈ H(Ω), z0 ∈ Ω te r > 0 takav da je K(z0, r) ⊆ Ω.

Tada je

f (z) =∞

∑n=0

f (n)(z0)

n!(z− z0)

n, ∀z ∈ K(z0, r), (10)

pri cemu gornji red konvergira lokalno uniformno na K(z0, r).

Ideja dokaza.Neka je ρ ∈ (0, r) i neka je γ kružnica s centrom u z0 radijusa ρ.

Prema CIF, za svaki z ∈ K(z0, ρ) vrijedi

f (z) =1

2πi

∫γ

f (w)

w− zdw =

12πi

∫γ

f (w)

w− z0· 1

1− z−z0w−z0

dw. (11)

Za fiksirani z ∈ K(z0, ρ) i za bilo koji w na kružnici γ vrijedi

M :=∣∣∣∣ z− z0

w− z0

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ z− z0

ρ

∣∣∣∣ < 1,

pa geometrijski red ∑n Mn konvergira.

Zato Weierstrassov M-test povlaci da red ∑∞n=0

(z−z0w−z0

)nkonver-

gira uniformno po w ∈ γ, i vrijedi

∞

∑n=0

(z− z0

w− z0

)n=

11− z−z0

w−z0

.

Sada iz (11), koristeci Lemu o zamjeni limesa i integrala te gene-raliziranu CIF, zakljucujemo da je

f (z) =1

2πi

∫γ

f (w)

w− z0

∞

∑n=0

(z− z0

w− z0

)ndw

=∞

∑n=0

(z− z0)n 1

2πi

∫γ

f (w)

(w− z0)n+1 dw

=∞

∑n=0

(z− z0)n 1

n!f (n)(z0)

=∞

∑n=0

f (n)(z0)

n!(z− z0)

n.

18

Primjeri. Za svaki z ∈ C vrijedi

ez =∞

∑n=0

zn

n!;

sin z =∞

∑n=0

(−1)nz2n+1

(2n + 1)!;

cos z =∞

∑n=0

(−1)nz2n

(2n)!.

Nultocke konacnog reda

Neka je f ∈ H(Ω) i z0 ∈ Ω.

(a) z0 je nultocka od f konacnog reda m ∈N0 ako je

f (z0) = f ′(z0) = . . . = f (m−1)(z0) = 0 i f (m)(z0) 6= 0.

Posebno, ako je f (z0) 6= 0, z0 je nultocka reda 0.

(b) z0 je nultocka od f beskonacnog reda ako je

f (k)(z0) = 0, ∀k ≥ 0.

Teorem (o izoliranosti nultocke konacnog reda)Neka je f ∈ H(Ω) i z0 ∈ Ω nultocka od f konacnog reda m ≥ 0.

Tada postoji r > 0 takav da je K(z0, r) ⊆ Ω i postoji g ∈ H(K(z0, r))tako da je

(1) g(z) 6= 0 za sve z ∈ K(z0, r),

(2) f (z) = (z− z0)mg(z) za sve z ∈ K(z0, r).

Posebno, f (z) 6= 0 za sve z ∈ K(z0, r) \ z0, pa je z0 izolirananultocka od f .

Ideja dokaza.Neka je ρ > 0 takav da K(z0, ρ) ⊆ Ω.

Prema Teoremu o Taylorovom razvoju holomorfne funkcije, f mo-žemo razviti u Taylorov red koji konvergira lokalno uniformno naK(z0, ρ).

Kako je z0 nultocka reda m imamo

f (z) =∞

∑n=m

f (n)(z0)

n!(z− z0)

n = (z− z0)m

∞

∑n=0

f (m+n)(z0)

(m + n)!(z− z0)

n,

za sve z ∈ K(z0, ρ).Neka je

g(z) =∞

∑n=0

f (m+n)(z0)

(m + n)!(z− z0)

n, ∀z ∈ K(z0, ρ).

19

Radijus konvergencije tog reda potencija je barem ρ, pa je premateoremu o holomorfnosti reda potencija g holomorfna funkcija na

K(z0, ρ). Nadalje, g(z0) = f (m)(z0)m! 6= 0, pa za neki r < ρ vrijedi

g(z) 6= 0 za sve z ∈ K(z0, r).

Teorem (Princip jedinstvenosti holomorfne funkcije)Neka je Ω podrucje i f ∈ H(Ω). Ako skup N = z ∈ Ω : f (z) = 0

ima gomilište u Ω, tada je f (z) = 0 za sve z ∈ Ω.

Ideja dokaza.Neka je w ∈ Ω gomilište skupa N. Tada postoji niz (wn) u N

takav da je wn 6= w za sve n ∈N i w = limn wn.

Slijedi da w nije izolirana nultocka od f , pa po Teoremu o izoli-ranosti nultocke konacnog reda, w mora biti nultocka beskonacnogreda.

Uvedimo sada skupove

U = z ∈ Ω : z je nultocka od f beskonacnog reda,

V = z ∈ Ω : z je nultocka od f konacnog reda m, m ≥ 0.

Ocito je U ∩V = ∅, U ∪V = Ω. Zbog w ∈ U, U 6= ∅.

Pokazuje se da su U i V otvoreni skupovi. Zbog povezanosti odΩ slijedi da je V = ∅, dakle Ω = U, pa je f (z) = 0 za sve z ∈ Ω.

KorolarNeka je Ω podrucje i f , g ∈ H(Ω). Ako skup z ∈ Ω : f (z) =

g(z) ima gomilište u Ω, tada je f = g.

Dokaz. Primijenimo Princip jedinstvenosti na funkciju f − g.

Teorem (Cauchyjeve ocjene koeficijenata Taylorovog reda) Neka jef ∈ H(Ω), te z0 ∈ Ω i R > 0 takvi da je K(z0, R) ⊆ Ω.

Tada za svaki r < R vrijedi∣∣∣∣∣ f (n)(z0)

n!

∣∣∣∣∣ ≤ M(r)rn , (12)

pri cemu je M(r) = max| f (w)| : w ∈ ∂K(z0, r).

Dokaz. Prema generaliziranoj Cauchyjevoj integralnoj formuli je

f (n)(z0) =n!

2πi

∫γ

f (w)

(w− z0)n+1 dw,

gdje je γ : [0, 2π]→ C, γ(t) = z0 + reit.

Primjenom leme o fundamentalnoj ocjeni integrala slijedi∣∣∣∣∣ f (n)(z0)

n!

∣∣∣∣∣ =1

2πmaxw∈γ

| f (w)|

|w− z0|n+1

`(γ)

=2rπ

2πmaxw∈γ

| f (w)|rn+1

=

M(r)rn .

20

Pomocu generalizirane CIF dokazali smo Liouvilleov teorem: svakacijela ogranicena funkcija je konstantna. Taj teorem slijedi i iz Ca-uchyjevih ocjena. Štoviše, iz njih se može dobiti sljedeci opcenitijiteorem:

Teorem Neka je f cijela funkcija takva da postoji m ∈ N ∪ 0 sasvojstvom da je

| f (z)| ≤ |z|m, ∀z ∈ C.

Tada je f polinom stupnja manjeg ili jednakog od m.

Dokaz. Neka je r > 0. Uz oznake kao u prethodnom teoremu i izborz0 = 0, iz pretpostavke slijedi

M(r) = max| f (w)| : w ∈ ∂K(z0, r) ≤ rm.

Cauchyjeve ocjene daju∣∣∣∣∣ f (n)(0)n!

∣∣∣∣∣ ≤ rm

rn = rm−n, ∀n ≥ 0.

Za n > m, limr→∞ rm−n = 0 pa slijedi f (n)(0) = 0.

Sada iz Teorema o Taylorovom razvoju holomorfne funkcije slijedida za svaki z ∈ C vrijedi

f (z) =∞

∑n=0

f (n)(0)n!

zn =m

∑n=0

f (n)(0)n!

zn.

Korolar (Liouvilleov teorem). Neka je f ogranicena cijela funkcija.Tada je f konstanta.

Dokaz. Ako je | f (z)| ≤ M za svaki z ∈ C, onda primjenom pret-hodnog teorema na funkciju g(z) = f (z)/M i m = 0 slijedi da je gkonstanta pa je i f konstanta.

Liouvilleov teorem povlaci osnovni teorem algebre:

Osnovni teorem algebre. Neka je

p(z) = zn + an−1zn−1 + . . . + a1z + a0

polinom stupnja n ≥ 1. Tada p ima bar jednu nultocku u C, tj. postojiz0 ∈ C takav da je p(z0) = 0.

Ideja dokaza. Pretpostavimo suprotno, tj. da je p(z) 6= 0 za svez ∈ C.

Tada je dobro definirana cijela funkcija

f : C→ C, f (z) =1

p(z).

Pokazuje se da je lim|z|→∞ f (z) = 0, a odatle slijedi da je f ograni-cena.

Prema Liouvilleovom teoremu je tada f konstantna funkcija, paje i p konstantna funkcija. To ne može biti jer je p polinom stupnjan ≥ 1.

21

Znamo da se funkcija f koja je holomorfna na krugu K(z0, r) možena tom krugu razviti u Taylorov red. Ako je funkcija holomorfna nakružnom vijencu oko z0 (a ne nužno na citavom krugu), ona se možerazviti u opcenitiji red, tzv. Laurentov red, koji ukljucuje pozitivne inegativne potencije od (z− z0).

Kažemo da red kompleksnih brojeva ∑∞n=−∞ cn konvergira ako ko-

nvergiraju redovi ∑∞n=0 cn i ∑−1

n=−∞ cn = ∑∞n=1 c−n. U tom slucaju je

suma tog reda∞

∑n=−∞

cn =∞

∑n=0

cn +−1

∑n=−∞

cn.

Teorem (o Laurentovom razvoju)Neka je V = z ∈ C : r < |z− z0| < R kružni vijenac i f ∈ H(V).

Tada je

f (z) =∞

∑n=−∞

an(z− z0)n, ∀z ∈ V.

Pri tome su koeficijenti an odredeni sa

an =1

2πi

∫γ

f (w)

(w− z0)n+1 dw,

gje je γ bilo koja pozitivno orijentirana kružnica sa središtem u z0

radijusa ρ ∈ (r, R).

Dokaz. Neka je z ∈ V. Prema Cauchyjevoj integralnoj formuli zakružni vijenac imamo

f (z) =1

2πi

∫γ2

f (w)

w− zdw− 1

2πi

∫γ1

f (w)

w− zdw (13)

pri cemu su γ1 i γ2 kružnice sa središtem u z0 radijusa ρ1 i ρ2, redom,tako da je r < ρ1 < |z− z0| < ρ2 < R.

Iz dokaza CIF za kružni vijenac slijedi da je integral koji definiraan isti za sve γ; posebno, za γ = γ1 i γ = γ2.

Na isti nacin kao u dokazu Teorema o Taylorovom razvoju holo-morfne funkcije, dokazuje se da je

12πi

∫γ2

f (w)

w− zdw =

∞

∑n=0

(1

2πi

∫γ2

f (w)dw(w− z0)n+1

)(z− z0)

n =∞

∑n=0

an(z− z0)n. (14)

Za w ∈ γ1 koristimo analognu ali malo drukciju manipulaciju:sada vrijedi ∣∣∣∣w− z0

z− z0

∣∣∣∣ < 1,

odakle slijedi

1w− z

=−1

z− z0

11− w−z0

z−z0

=

−∞

∑n=0

(w− z0)n

(z− z0)n+1 = −−1

∑k=−∞

(z− z0)k

(w− z0)k+1 .

22

i napokon

− 12πi

∫γ1

f (w)

w− zdw =

−1

∑n=−∞

(1

2πi

∫γ1

f (w)dw(w− z0)n+1

)(z− z0)

n =

−1

∑n=−∞

an(z− z0)n. (15)

Tvrdnja slijedi uvrštavanjem (14) i (15) u (13).

Za f ∈ H(V) oznacimo

f1(z) =−1

∑n=−∞

an(z− z0)n, ∀z ∈ V,

f2(z) =∞

∑n=0

an(z− z0)n, ∀z ∈ V.

f1 nazivamo singularni dio Laurentovog razvoja funkcije f , a f2

regularni dio Laurentovog razvoja funkcije f . Jasno je da vrijedif1, f2 ∈ H(V).

Teorem (o karakterizaciji Laurentovog razvoja I)Neka je V = z ∈ C : r < |z− z0| < R kružni vijenac i f ∈ H(V).

Tada vrijedi

1. Red ∑∞n=0 an(z− z0)

n konvergira lokalno uniformno na K(z0, R) if2 ∈ H(K(z0, R)).

2. Red ∑−1n=−∞ an(z− z0)

n konvergira lokalno uniformno na C\K(z0, r)i f1 ∈ H(C \ K(z0, r)).

3. f (z) = f1(z) + f2(z) za sve z ∈ V.

4. lim|z|→∞ f1(z) = 0.

Dokaz.(1) Neka je z′ ∈ V. Prema Teoremu o Laurentovom razvoju, red

brojeva ∑∞n=0 an(z′− z0)

n konvergira, pa prema Abelovoj lemi red po-tencija ∑∞

n=0 an(z− z0)n konvergira lokalno uniformno na K(z0, |z′ −

z0|).Kako je z′ ∈ V proizvoljan, slijedi tvrdnja. Prema Teoremu o ho-

lomorfnosti reda potencija slijedi da je f2 ∈ H(K(z0, R)).

(2) Uvedimo supstituciju w = 1z−z0

. Tada se red funkcija

∑−1n=−∞ an(z− z0)

n pretvara u red potencija ∑∞n=1 a−nwn koji konver-

gira na kružnom vijencu V(0; 1R , 1

r ).

Kao u (1) dokažemo da red potencija ∑∞n=1 a−nwn konvergira lo-

kalno uniformno na krugu K(0, 1r ), što znaci da red funkcija

∑−1n=−∞ an(z− z0)

n konvergira lokalno uniformno na C \ K(0, r).

Prema Teoremu o holomorfnosti reda potencija slijedi da je f1 ∈H(C \ K(z0, r)).

Treca i cetvrta tvrdnja su ocite.

23

Teorem (o karakterizaciji Laurentovog razvoja II)Neka je V = z ∈ C : r < |z− z0| < R kružni vijenac i f ∈ H(V).

Neka su g1 i g2 funkcije za koje vrijedi

1. g2 ∈ H(K(z0, R)).

2. g1 ∈ H(C \ K(z0, r)).

3. f (z) = g1(z) + g2(z) za sve z ∈ V.

4. lim|z|→∞ g1(z) = 0.

Tada je f1 = g1 i f2 = g2.

Dokaz. Definiramo funkciju

F : C→ C, F(z) =

g2(z)− f2(z), |z− z0| < R;f1(z)− g1(z), |z− z0| > r.

Zbog prethodnog teorema i (3) slijedi da je F dobro definirana.Takoder, F je cijela funkcija.

Iz lim|z|→∞ F(z) = 0 slijedi da je F ogranicena funkcija. Zato jeprema Liouvilleovom teoremu F konstantna funkcija, a kako je njenlimes u beskonacnosti jednak 0, to je F = 0. Slijedi tvrdnja.

Odavde slijedi jedinstvenost koeficijenata Laurentovog razvoja.

Naime, neka je

f (z) =∞

∑n=−∞

an(z− z0)n =

∞

∑n=−∞

bn(z− z0)n, ∀z ∈ V.

Tada prema prethodnom teoremu imamo

∞

∑n=0

an(z− z0)n =

∞

∑n=0

bn(z− z0)n = f2(z), ∀z ∈ K(z0, R)

−∞

∑n=−1

an(z− z0)n =

−∞

∑n=−1

bn(z− z0)n = f1(z), ∀z ∈ C \ K(z0, r).

Sada za n ≥ 0 vrijedi an =f (n)2 (z0)

n! = bn.

Za n = −k, k ≥ 1, uz supstituciju w = 1z−z0

imamo

∞

∑k=1

a−kwk =∞

∑k=1

b−kwk = f1(w), ∀w ∈ K(0,1r),

pa je a−k =f (k)1 (0)

k! = b−k. Dakle je an = bn ∀n ∈ Z.