3. KOMPOSISI TRANSFORMASI

WAHYUDI 2008184202B0047

SAHROWI 2008184202B0001

ABDUL GHOFAR 2008184202B022

DEFINISI 3.1.1

Misalkan T dan S adalah suatu transformasi pada bidang v dari T

dan S, yang ditulis sebagai S. T ditentukan dengan (S. T) (P) =

S(T(P)), untuk sebarang P Є V

DALIL 3.1.1

komposisi dua transformasi adalah transformasi

bukti:

misalkan T1 dan T2 transformasi-transformasi dan T = T2T1.

harus dibultikan bahwa T bersifat surjektif dan injektif

Oleh karena T1 adalah transformasi, mka daerah hasil T1 adalah V; dan daerah asal

T2 juga V, sebab T2 juga transformasi. Ambil Y Є V. apakah ada X Є V sehingga T

(X) = Y? krena T2 transformasi maka untuk setiap Y Є V ada Z Є V sehingga T2

(Z) = Y. karena T1 juga sebuah transformasi, maka untuk Z ini ada X Є V sehingga

Z =T1 (X). Jadi Y = T2 (Z) = T2(T1(X)) = (T2T1)(X). Ini berarti Y= T(X). Jadi T

bersifat surjektif.

Ambil P, Q Є V, P ≠ Q dengan P’ = T(P) dan Q’ = T (Q). Andaikan T(P) = T(Q),

maka T2T1(P) = T2T1(Q) atau T2(T1(P)) = T2(T1(Q)). Oleh karena T2 injektif,

mka T1 (P) = T1(Q). Karena T1 juga injektif menyebabkan P=Q. hal ini

bertentangan dengan yang diketahui bahwa P≠Q sehingga pengandaian bahwa

T(P)=T(Q) salah. Haruslah T(P) ≠ T(Q). Jadi jika P ≠Q, maka T(P) ≠T(Q) yang ini

berati T bersifat injektif.

Karena T bersifat surjektif dan injektif, maka T bersifat bijektif, sehingga T sebuah

transformasi (terbukti).

DALIL 3.1.2

Jika R, S dan T masing-masing adalah transformasi-transformasi, maka berlaku sifat assosiatif T(SR) =

(TS)R = TSR

BUKTI :

misalkan P’ =R(P), P’’ = S(P’) dan P’’’ = T(P’’) maka

(T(SR))(P) = T(SR(P))

= T(S(R(P)))

=T(S(P’))

= T(P’’)

= P’’’

((TS)(R)(P) = (TS)(R(P))

= (TS)(P’)

= T(S(P’))

= T(P’’)

=P’’’

Jadi terbukti bahwa T(SR) = (TS)R = TSR.

Contoh:

diketahui S dan T adalah transformasi-transformasi sehingga untuk setia titik (x,y), S((x,y)) =(x -2,-y) dan T((x,y)) = (2x,y).

a. Tulislah rumus TS

b. Tentukan peta

Penyelesaiana. Rumus S: (x,y) (x’,y’) dapat ditulis 

dan rumus T: (x,y (x’,y’) dapat ditulis

Sehingga apabila TS: (x,y) (x’,y’), maka rumus TS dapat dicari sebagai berikut: