TUGAS AKHIR - SM0141501

KONSTRUKSI FUNGSI LYAPUNOV UNTUKMENENTUKAN KESTABILAN SISTEM LORENZ

RENI SUNDARINRP 1213 100 098

Dosen Pembimbing:Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si

JURUSAN MATEMATIKAFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamInstitut Teknologi Sepuluh NopemberSurabaya 2017

Halaman ini sengaja dikosongkan.

FINAL PROJECT - SM141501

A CONSTRUCTION OF LYAPUNOV FUNCTIONFOR DETERMINING STABILITY LORENZSYSTEM

RENI SUNDARINRP 1213 100 098

Supervisors:Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si

DEPARTMENT OF MATHEMATICSFaculty of Mathematics and Natural SciencesSepuluh Nopember Institute of TechnologySurabaya 2017

Halaman ini sengaja dikosongkan.

LEMBAR PENGESAHAN

KONSTRUKSI FUNGSI LYAPUNOV UNTUKMENENTUKAN KESTABILAN SISTEM

LORENZ

A CONSTRUCTION OF LYAPUNOVFUNCTION FOR DETERMINING

STABILITY LORENZ SYSTEM

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu SyaratUntuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

padaBidang Studi Matematika Terapan

Program Studi S-1 Jurusan MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Oleh:RENI SUNDARI

NRP. 1213 100 098

Menyetujui,Dosen Pembimbing II, Dosen Pembimbing I,

Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si

NIP. NIP. 19660414 199102 2 001

Mengetahui,Ketua Jurusan Matematika

FMIPA ITS

Prof. Dr. Erna Apriliani, M.SiNIP. 19660414 199102 2 001

Surabaya, Desember 2017

Halaman ini sengaja dikosongkan.

KONSTRUKSI FUNGSI LYAPUNOV UNTUKMENENTUKAN KESTABILAN SISTEM

LORENZ

Nama Mahasiswa : RENI SUNDARINRP : 1213 100 098Jurusan : Matematika FMIPA-ITSPembimbing : Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si

AbstrakFungsi Lyapunov adalah salah satu fungsi yang

dikonstruksi untuk memeriksa kestabilan global darisuatu sistem non linier. Pada penelitian ini digunakanmetode Variabel Gradien, Kravoskii dan EnergiCasimir dalam mengkonstruksi fungsi Lyapunov.Berdasarkan hasil perhitungan dn simulasi yang dilakukanmenggunakan metode variabel gradien dan metodeEnergi Casimir diperoleh fungsi Lyapunov untuk sistemLorenz pada semua titik kesetimbangan.Sedangkanmetode Kravoskii belum menghasilkan fungsi Lyapunountuk sistem Lorenz pada semua titik kesetimbangan.Kata-kunci: Fungsi Lyapunov,Metode Variabel

Gradien,Metode Krasovkii, Metode Energi-Casimir, Sistem Lorenz

.

vii

Halaman ini sengaja dikosongkan.

A CONSTRUCTION OF LYAPUNOVFUNCTION FOR DETERMINING STABILITY

LORENZ SYSTEM

Name : RENI SUNDARINRP : 1213 100 098Department : Mathematics FMIPA-ITSSupervisor : Prof.Dr.Erna Apriliani,M.Si

AbstractLyapunov function is a function that is constructed to

examine the global stability of a system of non linear. Researchon Variable Gradient method is used, Kravoskii and energyCasimir in constructing Lyapunov function. Based on theresults of the calculations are performed using simulated dnmethod of variable gradient method and Casimir Energyretrieved Lyapunov function for a system of Lorenz on allpoint of equilibrium. While the Kravoskii method is not yetgenerating function Lyapunov for all points on the Lorenzsystem equilibrium.

Keywords: Lyapunov Function,Variabel Gradienmethod,Krasovkii Method, Energy-CasimirMethod, Lorenz System

ix

Halaman ini sengaja dikosongkan.

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.Alhamdulillaahirobbil’aalamiin, segala puji dan syukur

penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telahmemberikan limpahan rahmat, taufik serta hidayah-Nya,sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yangberjudul

”KONSTRUKSI FUNGSI LYAPUNOV UNTUKMENENTUKAN KESTABILAN PADA SISTEM

LORENZ”

sebagai salah satu syarat kelulusan Program Sarjana JurusanMatematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember(ITS) Surabaya.

Tugas Akhir ini dapat terselesaikan dengan baik berkatbantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu,penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaankepada:

1. Bapak Dr. Imam Mukhlash, S.Si, MT selakuKetua Jurusan Matematika ITS yang telah memberikandukungan dan motivasi selama perkuliahan hinggaterselesaikannya Tugas Akhir ini.

2. Ibu Prof.Erna Apriliani,M.Si selaku dosen pembimbingatas segala bimbingan dan motivasinya kepada penulissehingga dapat terselesaikan dengan baik.

3. Bapak dan Ibu dosen penguji atas semua saran danmasukan yang telah diberikan.

4. Bapak Drs. Iis Herisman, M.Si selaku koordinator TugasAkhir.

xi

5. Ibu Dian Winda selaku dosen wali yang telahmemberikan arahan akademik selama penulismenempuh pendidikan di Jurusan Matematika FMIPAITS.

6. Bapak dan Ibu dosen serta para staf JurusanMatematika ITS yang tidak dapat penulis sebutkansatu-persatu.

Penulis juga menyadari bahwa dalam pengerjaan inimasih terdapat kekurangan. Oleh sebab itu, kritik dan saranyang bersifat membangun sangat penulis harapkan demikesempurnaan Tugas Akhir ini. Akhirnya, penulis berharapsemoga penulisan ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak.

Surabaya, 05 Januari 2017

Penulis

xii

DAFTAR ISI

xiii

Halaman ini sengaja dikosongkan.

DAFTAR GAMBAR

xv

Halaman ini sengaja dikosongkan.

DAFTAR TABEL

xvii

Halaman ini sengaja dikosongkan.

DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN A Listing Program ........................... 41LAMPIRAN B Biodata Penulis ........................... 41

xix

Halaman ini sengaja dikosongkan.

BAB IPENDAHULUAN

Pada bab ini diuraikan tentang latar belakang yangmendasari penulisan tugas akhir. Di dalamnya mencakupidentifikasi permasalahan, beberapa informasi tentangpenelitian terdahulu yang berhubungan dengan topik tugasakhir. Uraian ini bersifat umum yang menjelaskan secararingkas hal-hal yang akan dilakukan pada penyelesaiantugas akhir. Dari informasi tersebut kemudian dirumuskanpermasalahan yang akan dibahas, tujuan, batasan masalah,manfaat, dan kontribusi penelitian dari tugas akhir ini.

1.1 Latar Belakang

Matematika merupakan disiplin ilmu yang dapatditerapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan dapatmemberikan interpretasi solusi analitis yang lebih rinci.Permasalahan-permasalahan nyata dapat diselesaikan denganmetode teoritis dan matematis setelah melalui tahap-tahappemodelan matematika. Suatu model matematika dikatakanbaik apabila mampu memberikan gambaran objeknya dengancukup jelas atau secara luas mampu menggambarkan keadaanyang sesungguhnya, sehingga tujuan dari penyusunan modeltercapai.

Permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari-harikebanyakan merupakan sistem dinamik. Sistem dinamikyaitu suatu sistem persamaan yang dipengaruhi olehperubahan gerak dan waktu. Salah satu kajian pentingdalam permasalahan sistem dinamik yakni bagaimanakeadaan sistem, apakah sistem tersebut merupakan sistem

1

2

yang stabil atau tak stabil.Aleksander Mikhailovich Lyapunov dalam tesisnya

yang berjudul A general task about the stability of motionmengembangkan dua metode untuk menganalisis kestabilandari suatu kesetimbangan, yang dikenal dengan metodeLyapunov langsung (The Second Method of Lyapunov)dan metode Lyapunov tak langsung (First Method). Halyang unik dari metode Lyapunov langsung bahwa untukmenyelesaikan permasalahan kestabilan sistem, yang perludiketahui adalah bentuk persamaan diferensial sistemnyaatau bentuk fisisnya bukan solusinya [1].

Metode Lyapunov pertama hanya digunakanmendapatkan kestabilan lokal (hanya disekitar titik yangdiselidiki) tidak mendapatkan kestabilan global dari sistemdinamik nonlinier. Sedangkan untuk mendapatkan kestabilanglobal digunakan metode Lyapunov langsung. Penyelesiankestabilan sistem dinamik dengan metode Lyapunov langsungmensyaratkan suatu fungsi, yang disebut sebagai fungsiLyapunov. Yaitu fungsi skalar yang memenuhi beberapasyarat diantaranya jika ada sebuah fungsi definit positifsedemikian sehingga turunan dari yaitu semidefinit negatif[1]. Metode Lyapunov langsung banyak diterapkan untukmenganalisis kestabilan baik sistem linier maupun sistemnonlinier, sistem time-invariant dan juga sistem time-varrying.

Pada penelitian untuk tugas akhir ini dibahas mengenaimengkonstruksi fungsi Lyapunov untuk menganalisiskestabilan pada sistem nonlinier dengan menggunakanmetode variabel gradien, metode Krasovkii, dan metodeEnergi-Casimir dan hasil konstruksi fungsi Lyapunov akanditerapkan pada contoh-contoh sistem dinamik nonlinieryaitu sistem Lorenz.

3

1.2 Rumusan MasalahBerdasarkan uraian di atas, permasalahan yang

diselesaikan dalam Tugas Akhir ini adalah:

a. Bagaimana pembentukan fungsi Lyapunov denganmenggunakan metode variabel gradien, metodeKrasovskii dan metode Energi-Casimir pada sistemLorenz?

b. Bagaimana analisa kestabilan dari masing-masing fungsiLyapunov yang dihasilkan dari metode variabel gradien,metode Krasovskii dan metode Energi-Casimir padasistem Lorenz?

1.3 Batasan MasalahPenelitian ini menjelaskan tentang penentuan kestabilan

dari sistem Lorenz menggunakan metode variabel gradien,metode Krasovskii dan metode Energi-Casimir yangmerupakan pengembangan dari analisis kestabilan denganmenggunakan fungsi Lyapunov pada sistem persamaandiferensial tak linier. Selanjutnya dilakukan simulasi denganMatlab 2010. Berdasarkan rumusan masalah di atas, batasanmasalah dari Tugas Akhir ini adalah: sigma (rasio viskositasterhadap konduktivitas termal) sama dengan 10, beta(perbandingan luas dan ketebalan lapisan) sama dengan 8

3 .

1.4 TujuanBerdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari

penelitian yang diusulkan ini adalah

a. Mendapatkan fungsi Lyapunov dengan menggunakanmetode variabel gradien, metode Krasovskii dan metodeEnergi-Casimir pada sistem Lorenz.

b. Menguraikan hasil analisa kestabilan dari masing-masing fungsi Lyapunov yang dihasilkan dari metode

4

variabel gradien, metode Krasovskii dan metode Energi-Casimir pada sistem Lorenz.

1.5 ManfaatAdapun manfaat Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut :

a. Sebagai salah satu referensi bagi peneliti selanjutnyayang berkaitan dengan analisis kestabilan sistem Lorenz.

b. Memberikan gambaran tahap pengkonstruksi fungsiLyapunov pada sistem nonlinier sebagai contoh sistemLorenz.

c. Sebagai salah satu kontribusi untuk pengembanganilmu pengetahuan pada Matematika Terapan di bidangsistem dinamik.

1.6 Sistematika PenulisanPenulisan disusun dalam lima bab, yaitu:

1. BAB I PENDAHULUANBab ini berisi tentang gambaran umum dari penulisanyang meliputi latar belakang, rumusan masalah, batasanmasalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan.

2. BAB II TINJAUAN PUSTAKABab ini membahas landasan teori yang mendasaripenulisan Tugas Akhir. Didalamnya mencakuppenelitian terdahulu, sistem Lorenz, metode VariabelGradien, metode Kravoskii, dan metode Energi Casimir.

3. BAB III METODE PENELITIANBab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakandalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir.Disamping itu, dijelaskan pula prosedur dan prosespelaksanaan tiap-tiap langkah yang dilakukan dalammenyelesaikan Tugas Akhir.

5

4. BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASANPada bab ini akan dijelaskan secara detail mengenaipembentukan fungsi Lyapunov dengan menggunakantiga metode yaitu metode Variabel gradien, metodeKravoskii, dan metode Energi Casimir beserta analisiskestabilan dari masing-masing metode.

5. BAB V PENUTUPBab ini berisi kesimpulan akhir yang diperoleh darianalisis dan pembahasan pada bab sebelumnya sertasaran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.

Halaman ini sengaja dikosongkan.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Bab ini membahas landasan teori yang mendasaripenulisan Tugas Akhir. Didalamnya mencakup penelitianterdahulu, pembentukan fungsi Lyapunov menggunakanmetode Variabel gradien, metode Krasovkii, dan metodeEnergi Casimir beserta analisis kestabilan pada masing-masing metode.

2.1 Penelitian Terdahulu

Penelitian yang berkaitan dengan fungsi Lyapunov dansistem Lorenz banyak dilakukan oleh peneliti. Pada tahun2012, Aldila Sakinah Putri melakukan penelitian yangberjudul Metode Lyapunov untuk menentukan kestabilansystem persamaan Lorenz. Dalam penelitiannya untukmenentukan kestabilan digunakan dua macam metodeLyapunov yaitu metode Lyapunov pertama dan metodeLyapunov kedua. Hasil dari penelitian tersebut yaitu denganmenggunakan metode Lyapunov pertama didapatkan tigatitik kesetimbangan. Dan analisa kestabilan pada titikkesetimbangan, untuk 0 < r < 1 merupakan stabil asimtotikdengan titik kesetimbangan yang berbentuk node. Untukr = 1 merupakan stabil dengan titik kesetimbangan yangberbentuk spiral node. Untuk r > 470/19 merupakan tidakstabil dengan titik kesetimbangan yang berbentuk spiralsaddle point dengan index 2 sedangkan untuk r = 470/19belum dapat ditentukan kestabilannya. Sedangkan metodeLyapunov kedua dihasilkan turunan parsial fungsi Lyapunovyang bernilai definit negatif[2].

7

8

Sedangkan penelitian tentang menentukan fungsiLyapunov dengan menggunakan metode yang berbedadengan metode yang digunakan oleh Aldila Sakinah. DalamTesis yang berjudul Konstruksi Fungsi Lyapunov pada ModelEpidemi SIRS oleh Bulqis Nebulla (2016) menghasilkanbahwa metode variabel gradien dan metode Energi-Casimirdapat digunakan untuk mengkonstruksi fungsi Lyapunov padatitik kesetimbangan bebas dan kesetimbangan endemi dansystem yang dihasilkan stabil sedangkan metode Krasovskiibelum dapat dikonstruksi fungsi Lyapunov[3].

Pada Tugas Akhir ini akan dibahas tentang konstruksifungsi Lyapunov untuk menentukan kestabilan sistem Lorenz.

2.2 Sistem LorenzSistem Lorenz dikembangkan pada tahun 1963 oleh

Edward Lorenz sebagai model matematika sederhana untukkonveksi atmosfer, persamaan Lorenz merupakan persamaannonlinier tiga dimensi yang terdiri dari sistem deterministik.Pada awalnya sebagai pendekatan persamaan tertentu yangmencirikan aliran subjek cair dangkal untuk pendinginan danpemanasan secara universal dari atas dan bawah.Model inikemudian membentuk system persamaan differensial biasasesuai dinamika fluida: sebagai berikut:[4]

dx

dt= σ(y − x)

dy

dt= rx− y − xz

dz

dt= xy − βz

(2.1)

Keadaan atmosfer dalam model ini dapat digambarkansecara utuh dengan tiga buah variabel bergantung waktuyaitu: laju konveksi x, distribusi temperature horizontal y,dan distribusi temperature vertikal z, dengan tiga parameteryang menjelaskan karakter dari model tersebut yaitu: σ

9

(rasio viskositas tehadap konduktivitas termal), r (perbedaantemperature antara bagian atas dan bagian bawah lapisan),dan β (perbandingan luas dan ketebalan lapisan).

Mengingat nilai parameter tertentu, persamaan Lorenzjuga dikenal menghasilkan solusi kacau. Kekacauan digunakanuntuk mendefinisikan suatu sistem dimana perubahanparameter kecil pada kondisi awal menghasilkan pengaruhbesar dalam hasil, atau dikenal sebagai efek kupu-kupu.Solusi kacau membentuk strange attractor (penarik Lorenz).Sebuah partikel dengan kondisi awal dalam penarik tersebutbergerak di dalamnya. Namun gerakan yang sebenarnya daripartikel tampaknya acak. Oleh karena itu, sistem Lorenzadalah sistem deterministik tetapi tidak dapat diprediksi.Sebenarnya sistem yang dimodelkan oleh persamaan Lorenzdapat juga menghasilkan solusi yang tidak kacau. Denganmemberikan kombinasi parameter yang tepat, sejumlah orbitstabil menuju titik tetap tertentu, berhingga maupun takhingga.

2.3 Kestabilan dan Titik Kesetimbangan

Setiap sistem memiliki keadaan setimbang yang berbeda-beda. Keadaan setimbang suatu sistem dapat terjadipada suatu titik yang disebut titik kesetimbangan. Titikkesetimbangan adalah suatu titik saat sistem tidak mengalamiperubahan sepanjang waktu. Sebuah titik xe ∈ Rn adalahsebuah titik kesetimbangan dari sistem persamaan diferensialx = f(x) jika memenuhi f(xe) = 0 .[5]

Kestabilan disekitar titik setimbang xe dapat ditentukandengan memperhatikan nilai-nilai eigen yang diperolehpersamaan karakteristik. Secara umum, kestabilan titikkesetimbangan mempunyai sifat sebagai berikut:

• Stabil, jika semua nilai-nilai eigen yang didapatkan

10

adalah bagian realnya negatif.

• Tidak stabil, jika paling sedikit terdapat satu nilai eigenyang didapatkan berupa bagian realnya positif.

Fungsi LyapunovFungsi Lyapunov adalah suatu fungsi yang memenuhi tiga

pernyataan berikut ini.Definisi 2.1[6] Diberikan fungsi V : D → R danxe ∈ D,titik kesetimbangan sistem persamaan diferensialnonlinier.Fungsi V disebut fungsi Lyapunov jika memenuhipernyataan berikut:

• 1. Fungsi V kontinu dan mempunyai turunan parsialpertama yang kontinu pada D.

• 2. Fungsi V (x)>0 untuk x ∈ D dengan x 6= xe danV (xe) = 0 dengan x = xe (dengan titik kesetimbanganxe merupakan titik minimum global).

• 3. Fungsi ˙V (x) ≤ 0 untuk setiap x ∈ D

Terdapat beberapa tipe kestabilan yang sesuai dengan solusinol x(t) ≡ 0 dari sistem nonlinear yang bergantung padawaktu.Definisi 2.2[6]

a. Solusi nol x(t) ≡ 0 pada sistem nonlinear yangbergantung pada waktu adalah stabil Lyapunov jikasebarang ε > 0, terdapat δ = δε > 0 sedemikiansehingga jika‖x(0)‖ = δ, maka ‖x(t)‖ < ε, t ≥ 0.

b. Solusi nol x(t) ≡ 0 pada sistem nonlinear yangbergantung pada waktu adalah stabil asymptotis lokaljika solusi nol stabil Lyapunov dan terdapat δ1 >0 sedemikan sehingga jika ‖x(0)‖ < δ1, makalimt→∞ x(t) = 0.

11

c. Solusi nol x(t) ≡ 0 pada sistem nonlinear yangbergantung pada waktu adalah stabil asymptotis globaljika solusi nol stabil Lyapunov dan untuk semua x(0) ∈Rn maka limt→∞ x(t) = 0.

d. Solusi nol x(t) ≡ 0 pada sistem nonlinear yangbergantung pada waktu adalah tidak stabil jika solusinol bukan stabil Lyapunov.

Teorema 2.1 [6]Diberikan sistem x = f(x) dan xe adalah titik kesetimbangandari sistem tersebut yang memenuhi f(xe) = 0. Jika terdapatfungsi kontinu dimana fungsi V : Rn → R sedemikian sehingga

a. V (xe) = 0

b. V (x) > 0 untuk semua x 6= xe

c. V (x) < 0 untuk semua x 6= xe

d. jika ‖x‖ → ∞ maka V (x)→∞

Maka xe adalah stabil asymptotis global.

2.3.1 Konstruksi Fungsi Lyapunov

Konstruksi fungsi Lyapunov dapat dilakukan dengansecara langsung yaitu dengan menggunakan beberapametode. Berikut metode-metode untuk mengkonstruksifungsi Lyapunov, yaitu [6]:

2.3.2 Metode Variabel Gradien

Diberikan V : D → R adalah fungsi diferensial kontinu

dan g(x) = ∂V∂x

T. Derivatif dari V (x) sepanjang trayektori

12

diberikan oleh

V (x) =

n∑i=1

∂V

∂xixi

=

n∑i=1

∂V

∂xifi(x)

=[∂V∂x1

∂V∂x2

... ∂V∂xn

]f1(x)f2(x)

...fn(x)

=

∫ 1

0

n∑j=1

∂gi∂x

(γx)xjγdγ

= gi(x)

(2.2)

Yang mengimplikasikan bahwa gT (x) = ∂V∂x .

Kemudian, mengkonstruksi g(x) sedemikian sehingga g(x)adalah gradien dari fungsi definit positif dan V (x) =gT (x)f(x) < 0, x ∈ D, x 6= 0. Fungsi V (x) bisa dihitungdengan integral

V (x) =

∫ 1

0gT (γx)xdγ =

∫ 1

0

n∑j=1

gj(γx)xjdγ (2.3)

Proposisi 2.1Fungsi g : Rn → Rn adalah vektor gradien nilai skalar fungsiV : Rn → Rn jika hanya jika

∂gi∂xj

=∂gj∂xi

, i, j = 1, ..., n (2.4)

2.3.3 Metode KrasovkiiPertama-pertama harus memenuhi sebagai berikut:

Proposisi 2.1 Fungsi f, g : Rn → Rn adalah fungsi

13

differensial sedemikian sehinggaf(0) = 0. Maka untuksetiap x ∈ Rn terdapat α ∈ [0, 1] sedemikian sehinggagT (x)f(x) = gT (x)∂f∂x (αx)xTeorema 2.2 Teorema Krasovkii Diberikan x(t) = 0adalah titik kesetimbangan untuk sistem dinamika non linier

x(t) = f(x(t)), x(0) = x0, t ≥ 0 (2.5)

Dimana f : D → Rn adalah diferensial kontinu dan D adalahhimpunan buka dengan 0 ∈ D. Diasumsikan terdapat matrikdefinit positif P ∈ Rnxn dan R ∈ Rnxn sedemikian sehingga

[∂f

∂x(x)]TP + P [

∂f

∂x(x)] ≥ −R, x ∈ D, x 6= 0 (2.6)

Maka solusi nol x(t) = 0 pada persamaan adalahkesetimbangan tunggal stabil asymptotis dengan fungsilyapunov V (x) = fT (x)Pf(x). Jika D ≡ Rn, maka solusi nolx(t) = 0 pada persamaan adalah ketimbangan tunggal stabilasymptotis global.

2.3.4 Metode Energi-CasimirPada metode ini memanfaatkan keberadaan invarian

dinamika atau pergerakan integral yang disebut fungsiCasimir dari sistem dinamika nonlinier. Diberikan fungsiC : D → R dan didefinisikan

E(x) ,r∑i=1

µiCi(x) (2.7)

untuk µi ∈ r, i = 1, ..., r.Teorema 2.3 (Teorema Energi-Casimir) dengan menganggapsistem dinamika nonlinier dimana f : D → Rn adalah lipschitzkontinu pada D. Diberikan xe ∈ D adalah titik kesetimbangandari suatu sistem dan diberikan Ci : D → R, i = 1, , r menjadi

14

fungsi Casimir. Diasumsikan bahwa vektor C′i(xe), i = 2, , radalah bebas linier dan andaikan terdapat µ = [µ1, , µr]

T ∈ Rrsedemikan sehingga µ1 6= 0, E

′(xe) = 0 dan xTE”(xe)x >

0, x ∈ M, dimana M , x ∈ D : C′i(xe)x = 0, i = 2, , r. Makaterdapat α ≥ 0 sedemikian sehingga

E′′(xe) + α

r∑i=2

(∂Ci∂x

(xe))T (∂Ci∂x

(xe)) > 0 (2.8)

Kemudian, solusi kesetimbangan x(t) ≡ xe dari sistemdinamika nonlinier adalah stabil lyapunov dengan fungsilyapunov

V (x) = E(x)− E(xe) +α

2

r∑i=2

[Ci(x)− Ci(xe)]2 (2.9)

Khususnya andaikan dapat dikonstruksi suatu fungsi H :D → R sedemikian sehingga H(x) = 0 sepanjang lintasandari sistem dinamika nonlinier. Jika C1, . . . , Cr adalah fungiCasimir maka

∂

∂t[H + E(C1, . . . , Cr)]x(t) = 0 (2.10)

Untuk setiap fungsi E : Rr → R . Oleh karena itu, walaupunjika H tidak definit positif saat titik kesetimbangan xe ∈ Dfungsi V (x) = H(x) + E(C1(x), .., Cr(x)) dapat dibuat definitpositif pada saat xe ∈ D dengan memiliki E sehingga V (x)adalah fungsi lyapunov.

2.3.5 Bebas LinierJika S = v1, v2, . . . , vr adalah suatu himpunan vektor-

vektor tak kosong, maka persamaan vektor k1v1 +k2v2 + . . .+krvr = 0 mempunyai paling tidak satu penyelesaian, yaituk1 = 0, k2 = 0, . . . , kr = 0. Jika ini adalah satu-satunyapenyelesaian, maka S disebut suatu himpunan yang bebassecara linear. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya,maka S disebut himpunan yang tak bebas secara linear. [7]

15

2.3.6 Definit Positif dan NegatifSifat definit positif dan negatif sebuah fungsi maupun

matriks sangatlah penting saat mengkonstruksi fungsiLyapunov. Sebuah fungsi V : D → R dan x ∈ D dikatakan[8]:

1. Positif jika V (x) > 0 untuk semua x 6= 0 dan V (0) = 0

2. Semi positif jika V (x) ≥ 0 untuk semua x

3. Negatif jika V (x) < 0 untuk semua x0 dan V (x) = 0

4. Semidefinit negatif jika V (x) ≥ 0 untuk semua x

Dan sebuah matrik P ∈ Rnxn dikatakan:

1. Definit positif (P > 0) jika x′Px > 0 untuk semua x 6= 0

2. Semidefinit positif (P ≥ 0) jika x′Px ≥ 0 untuk semua

x

3. Definit negatif (P < 0) jika x′Px < 0 untuk semua x 6= 0

4. Semidefinit negatif jika (P 6= 0) jika x′Px ≥ 0 untuk

semua x

Halaman ini sengaja dikosongkan.

BAB IIIMETODE PENELITIAN

Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakandalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Disampingitu, dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiaplangkah yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir.

3.1 Tahapan Penelitian

a. Studi LiteraturTahap ini dikaji teori-teori yang berkaitan denganpenelitian tentang mengkonstruksi fungsi Lyapunovpada sistem nonlinier dengan menggunakan beberapametode. Diantaranya metode variabel gradien, metodeKrasovskii, dan Energi-Casimir.

b. Mencari kestabilan lokalPada tahap ini dianalisis kestabilan lokal denganpelinieran dan analisis kestabilan berdasarkan nilai-nilai eigen. Metode yang digunakan untuk mengubahsystem nonlinier ke sistem linier adalah metodeJacobian dan dihasilkan matrik Jacobi. Selanjutnyatitik kesetimbangan yang telah didapatkan dimasukkankedalam matrik Jacobi dan dihasilkan nilai eigen-nilaieigen yang selanjutnya dianalisis kestabilannya.

c. Mengkonstruksi fungsi LyapunovTahap ini dilakukan konstruksi fungsi Lyapunov denganbeberapa metode. Metode yang digunakan sebagaiberikut:1. Metode variabel gradien Pada tahap ini yang

17

18

dilakukan adalah membangun gradien fungsi Lyapunovyang ingin dicari. Selanjutnya dicari nilai aij yangmemenuhi proposisi 2.1. kemudian dimasukkan nilai aijyang diperoleh kedalam gradient fungsi Lyapunov tadi.Kemudian mencari fungsi Lyapunov dan diuji kevalidanfungsi Lyapunov.2. Metode Krasovkii Pada tahap ini yang dilakukanadalah mencari matriks Jacobi system. Kemudianmemasukkan nilai titik kesetimbangan dan parameter.Lalu mencari nilai dari matrik P dan matrik R harusdefinit negatif. Kemudian menghitung fungsi Lyapunov.Setelah didapatkanfungsi Lyapunov, kemudian diujikevalidan fungsi Lyapunov.3. Metode Energi-Casimir Pada tahap ini yangdilakukan adalah memisalkan fungsi energi casimiryang memenuhi asumsi, kemudian mencari nilai matrikE. Kemudian menghitung fungsi Lyapunov dan diujikevalidan fungsi Lyapunov.

d. Menganalisis kestabilan globalSetelah didapatkan fungsi Lyapunov dari masing-masing metode selanjutnya hasilnya diuji kestabilandengan dilihat kedefinitan dan turunannya dilihatkedefinitannya.

e. Membuat simulasiFungsi Lyapunov yang telah didapatkan selanjutnyadilakukan simulasi dengan menggunakan Matlab.

f. Analisis Hasil dan KesimpulanPada tahap ini, berdasarkan hasil yang didapatkan padatahap sebelumnya, akan ditarik kesimpulan.

BAB IVANALISIS DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dijelaskan tentang titik kesetimbangan,analisis kestabilan sistem, menganalisis kestabilanmenggunakan metode dan membandingkan fungsi Lyapunovmenggunakan metode variabel gradien, metode Kravoskii danmetode Energi-Casimir.

4.1 Sistem Non Linier

Sistem non linier yang digunakan pada pembahasan iniadalah sistem Lorenz. Pada sistem Lorenz seperti padaPersamaan (2.1) akan dilakukan konstruksi fungsi Lyapunovdengan menggunakan metode Variabel Gradien, metodeKrasovkii, dan metode Energi-Casimir.

4.2 Titik Kesetimbangan

Untuk mendapatkan titik kesetimbangan dari sistem(2.1)yaitu f1(x, y, z) = dx

dt , f2(x, y, z) = dydt , dan f3(x, y, z) =

dzdt dengan (x, y, z) ∈ R3 merupakan titik kesetimbangan darisistem (2.1), dapat diperoleh jikadxdt = 0, dy

dt = 0, dzdt = 0

sehingga sistem persamaan (2.1) menjadi

σ(y − x) = 0 (4.1)

x(r − z)− y) = 0 (4.2)

xy − βz = 0 (4.3)

Dari persamaan (4.1) didapatkan y = x, dengan σ adalahkonstanta. Jika y = x = 0, maka didapatkan z = 0 ,dengan mengsubstitusikannya pada persamaan (4.3), dengan

19

20

β adalah konstanta. Jika y = x 6= 0, maka persamaan (4.2)diperoleh

x = x(r − z) (4.4)

Jika x 6= 0, maka pandang persamaan (4.4) dibagikan xsehingga diperoleh 1 = 1(r − z)z = r − 1 Substitusikan z = r − 1 pada persamaan(4.3), diperoleh x2 = bz = b(r − 1) Sehingga diperolehx = ±

√(b(r − 1)) . Jika b diambil bilangan positif, maka

diperoleh r − 1 > 0 atau r > 1.Jika r > 1 maka terdapat duatitik kesetimbangan yaitu (

√(b(r − 1)),

√(b(r − 1)), r − 1)

dan (−√

(b(r − 1)),−√

(b(r − 1)), r − 1), sedangkan r < 1terdapat satu titik kesetimbangan yaitu pada titik (0, 0, 0).

4.3 Kestabilan Lokal

Sistem persamaan (2.1) merupakan sistem nonlinier.Kestabilan dari sistem persaman nonlinier sulit dianalisis,sehingga untuk memudahkan menganalisis, sistem tersebutdiubah menjadi sistem linier. Metode yang digunakan untukmengubah sistem nonlinier menjadi sistem linier adalahmetode matrik Jacobi. Diketahui bahwaf1(x, y, z) = σ(y − x)f2(x, y, z) = x(r − z)− yf3(x, y, z) = xy − βzMatrik Jacobi yang dibentuk dari sistem diatas adalah

J =

f1x

f1y

f1z

f2x

f2y

f2z

f3x

f3y

f3z

=

σ σ 0r − z −1 −xy x −β

(4.5)

Titik kesetimbangan nol T1 = (X0, Y 0, Z0) = (0, 0, 0)disubstitusikan ke dalam persamaaan (4.5), diperoleh matriks

21

J (T1) =

−σ σ 0r −1 00 0 −β

Nilai eigen matriks diperoleh dari det(λI − J ) = 0, maka

det

λ+σ −σ0−r λ+1 00 0 λ+β

| = 0

(λ+σ)(λ+1)(λ+β) + σ(λ+b)(−r) = 0

(λ+b)((λ+σ)(λ+1)− σr) = 0

(λ+β)(λ2 + (σ+1)λ+ σ(1− r)) = 0

Karena β, σ dan r adalah konstanta positif, makaakar-akar persamaan karakteristik yang diperoleh adalahλ1 = −β,λ2,3 = −1

2(σ+1)± 12

√(σ2 − (2 + 4r)σ+1).

Untuk r < 1, kondisi didalam akar kuadrat kurang dari(σ − 1)2, menjadikan λ < 0 sehingga nilai eigen bernilainegatif dan riil. Oleh karena itu, titik kesetimbangan padatitik (0, 0, 0) bersifat stabil.

Kemudian titik kesetimbangan T2 = (X∗, Y ∗, Z∗) =(√β(r − 1),

√β(r − 1), r − 1) disubstitusikan ke dalam

persamaan (4.3.1), sehingga diperoleh matriks

J (T2) =

−σ σ 0

1 −1 −√β(r − 1)√

β(r − 1)√β(r − 1) −β

22

Tabel 4.1: Tabel Routh-Hurwitz

λ3 a1 a3λ2 a2 a4λ a5 0

λ0 a6 0

Nilai eigen matriks diperoleh dari det(λI − J ) = 0, maka

det

λ+σ −σ0

−1 λ+1√β(r − 1)

−√β(r − 1) −

√β(r − 1) λ+β

= 0

(λ+σ)((λ+1)(λ+β) + β(r − 1)) + σ(λ(β(r − 1))− (λ+ β) = 0

(λ3) + (β + σ + 1)λ2 + (σβ + βr)λ+ 2βσ(r − 1) = 0

Selanjutnya, analisis kestabilan pada persamaan diatasdapat diperoleh dengan menggunakan tabel 4.1 Routh-Hurwitz. Misalkan a1λ

3 + a2λ2 + a3λ+ a4 = 0 maka

a1 = 1; a2 = (β + σ + 1); a3 = (σβ + βr); a4 = 2βσ(r − 1);

Agar sistem stabil, maka semua suku kolom pertama padatabel haruslah bertanda sama maka a2, a5, a6 haruslahbernilai positif. Selanjutnya dihitung nilai a5 dengan rumusa5 = a2a3−a1a4

a2, a6 = a4

a5 =(β + σ + 1)(σβ + βr)− 2βσ(r − 1)

(β + σ + 1)

=β2(σ + r) + βσ2 + βr + βσ(3− r)

(β + σ + 1)

23

Nilai a5 bernilai positif jika r < σ(σ+β+3)σ−β−1 dengan r bernilai

positif ketika σ > β + 1. Selanjutnya dicari nilai a6, yaitu

a6 = a4 = 2βσ(r − 1)

Untuk a6 akan bernilai positif jika r > 1. Sehinggauntuk mendapatkan semua nilai bernilai positif jika 1 <r < σ(σ+bβ+3)

σ−β−1 , maka dua titik kesetimbangan T2,3 =

(X∗, Y ∗, Z∗) = (±√

(β(r − 1)),±√

(β(r − 1)), r − 1) bersifatstabil.

4.4 Konstruksi Fungsi Lyapunov

Selanjutnya akan dicari kestabilan global titik setimbangdari sistem Lorenz. Metode yang digunakan untukmenganalisis kestabilan global yaitu metode Lyapunov.Metode ini mengsyaratkan untuk mengkonstruksi sebuahfungsi yang dapat menganalisis sifat sistem, yang disebutfungsi Lyapunov.

4.4.1 Metode Variabel Gradien

Metode variabel gradien adalah salah satu metodeyang digunakan untuk membentuk fungsi Lyapunov.Metodeini membantu pengkonstruksian fungsi Lyapunov secarasistematis dan terstruktur tetapi terdapat kesulitan dalammengevaluasi fungsi Lyapunov. Langkah-langkah untukmendapatkan fungsi fungsi Lyapunov dari sistem sebagaiberikut:

1. Asumsi suatu gradien dari fungsi Lyapunov V (x)sebagai parameter.

∇V (x) =[∇V1 . . . ∇Vn

]T=[dVdx1

. . . dVdxn

]T

24

Dengan ∇Vi =∑n

j=1 hijxj , i = 1, . . . , n, hij adalahsebuah konstanta dan xj dalah variabel suatu sistem,

yang memenuhi kondisi curl yaitu ∂2V∂xi∂xj

= ∇Vi∂xj

=∇Vj∂xi

2. Variabel gradien fungsi Lyapunov ∇V digunakan untukmencari V , dimana V = (∇V )T X.

3. Fungsi Lyapunov dapat dihitung dengan integral

V (x) =

∫ x

0∇V (x)dx

Dengan menggunakan metode variabel gradien.

Diberikan sistem persamaan (2.1) sehingga dimisalkan

∇V (x) =

h11x+ h12y + h13zh21x+ h22y + h23zh31x+ h32y + h33z

Selanjutnya mencari nilai hij yang memenuhi kondisi curl danturunan dari fungsi Lyapunov bernilai negatif. Maka turunandari fungsi Lyapunov adalah

V = ∇V T f

=

h11x+ h12y + h13zh21x+ h22y + h23zh31x+ h32y + h33z

T σ(y − x)x(r − z)− yxy − βz

= (h11x+ h12y + h13z)(σ(y − x)) + (h21x+ h22y + h23z)

(x(r − z)− y) + (h31x+ h32y + h33z)(xy − βz)= h11σxy − h11σx2 + h12σy

2 − h12σxy + h13σyz − h13σxz+ h21rx

2 − h21x2z − h21xy + h22rxy − h22xyz − h22y2

+ h23rxz − h23xz2 − h23yz + h31x2y − h31βxz + h32xy

2

− h32βyz + h33xyz − h33βz2

(4.6)

25

Agar memenuhi kondisi curl yaitu ∂2V∂xi∂xj

= ∇Vi∂xj

=∇Vj∂xi

, untuk

i, j = 1, 2, 3 dengan i 6= j.

∂∇V2∂x1

=∂

∂x(h21x+ h22y + h23z) = h21

∂∇V1∂x2

=∂

∂y(h11x+ h12y + h13z) = h12

∂∇V3∂x1

=∂

∂x(h31x+ h32y + h33z) = h31

∂∇V1∂x3

=∂

∂y(h11x+ h12y + h13z) = h13

∂∇V3∂x2

=∂

∂y(h31x+ h32y + h33z) = h32

∂∇V2∂x3

=∂

∂z(h21x+ h22y + h23z) = h23

Berdasarkan hasil diatas, maka pemilihan hij yang memenuhikondisi curl yaitu hij = hji. Sehingga persamaan menjadi

V = h11σxy − h11σx2 + h12σy2 − h12σxy + h13σyz − h13σxz

+ h12rx2 − h12x2z − h12xy + h22rxy − h22xyz − h22y2

+ h23rxz − h23xz2 − h23yz + h13x2y − h13βxz + h23xy

2

− h23βyz + h33xyz − h33βz2

= −x2(h11σ − h12(r − z)− h13y)− y2(−h12σ + h22 − h23x)

− z2(h23x+ h33β)− xy(−h11σ + h12(σ + 1)− h22(r − z)− yz(−h13σ + h23(1 + β)− xz(h13(σ + β)− h23r − h33y)

(4.7)

Agar V adalah fungsi negatif, maka dipilih semua didalamkurung pada persamaan (4.7) adalah positif, adalah

• h11σ − h12r + h12z − h13y > 0

• −h12σ + h22 − h23x > 0

26

• h23x+ h33β > 0

• −h11σ + h12σ + h12 − h22r + h22z > 0

• −h13σ + h23 + h23β > 0

• h13σ − h23r + h13β − h33y > 0

Jika dipilih h12 = 0 dan h13 = 0, maka

• h11 > 0 dipilih h11 = 1.

• h22(z − r) > 0 dipilh h22 = 1

• h23(1 + β) < 0 dipilh h23 = 0.5

• h33 < h23 dipilih h33 = −0.3

sehingga diperoleh

∇V (x) =

h11x+ h12y + h13zh21x+ h22y + h23zh31x+ h32y + h33z

=

xy + 0.5z

0.5y − 0.3z

=

v1v2v3

Fungsi Lyapunov diperoleh dengan

V =

∫ 1

0(v1(γx, γy, γz)x+ v2(γx, γy, γz)y + +v3(γx, γy, γz)z)dσ

=

∫ 1

0(x2 + (y + 0.5z)y + (0.5y − 0.3z)z)dγ

=

∫ 1

0γ(x2 + y2 + 0.5yz + 0.5yz − 0.3z2)dγ

=1

2((x2 + y2 + yz − 0.3z2)

(4.8)

27

Dari persamaan (4.8) diperoleh V (X0, Y 0, Z0) = 0. Turunanuntuk fungsi Lyapunov (4.8) pada titik kesetimbangan titiknol adalah

V =∂V

∂x

dx

dt+∂V

∂y

dy

dt+∂V

∂z

dz

dt

= 2x(σ(y − x)) + (y + z)(x(r − z)− y)

+ (y − 0.3z)(xy − βz)

(4.9)

Selanjutnya untuk mengecek turunan V diatas adalah negatif,maka dimasukkan ke dalam program.

Titik kesetimbangan pada dua titik yang lain

Fungsi Lyapunov dengan menggunakan metode VariabelGradien telah diperoleh pada persamaan (4.8). FungsiLyapunov (4.9) dapat dimodifikasi dengan memasukkan titikkesetimbangan yanga lain yaitu T2,3 = (X∗, Y ∗, Z∗) =

(±√β(r − 1),±

√β(r − 1), r − 1) dengan 1 < r < σ(σ+β+3)

σ−β−1sehingga diperoleh fungsi Lyapunov , yaitu

V =1

2(((x− x∗)2 + (y − y∗)2 + (y − y∗)(z − z∗)

− 0.3(z − z∗)2)(4.10)

Dimana persamaan diatas didapatkan V > 0 untuk x = x∗,y = y∗, dan z = z∗ serta V (T2) = 0 dan V (T3) = 0. Turunanfungsi Lyapunov pada titik kesetimbangan ini adalah

V =∂V

∂x

dx

dt+∂V

∂y

dy

dt+∂V

∂z

dz

dt

= (x− x∗)(σ(y − x)) + ((y − y∗) +1

2(z − z∗))

(x(r − z)− y) + (1

2(y − y∗)− 0.3(z − z∗))

(xy − βz)

(4.11)

28

Maka diperoleh V (T2,3) = 0,karena persamaan (4.11) tidakterlihat bahwa V < 0 untuk semua X,Y , dan Z. Selanjutnya,untuk mengecek turunan dari adalah negatif, maka dicekdengan memasukkan ke program.

4.4.2 Metode Krasovkii

Berdasarkan teorema 2.2, maka langkah pertama untukmengkonstruksi fungsi Lyapunov adalah mendapatkan matrikJacobi dari sistem (2.1), yaitu

J =

−σ σ 0r − z −1 −xy x −β

(4.12)

Titik kesetimbangan pada titik asal yaitu T1 =(X0, Y 0, Z0) = (0, 0, 0) disubstitusikan pada matriks J,sehingga diperoleh matriks

J (T1) =

−σ σ 0r −1 00 0 −β

(4.13)

Langkah yang kedua yaitu mendapatkan matrik Pmemenuhi persamaan (2.6). Misalkan R = JTP + PJ

29

diperoleh

R =

−σ r 0σ −1 00 0 −β

P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33

+

P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33

−σ σ 0r −1 00 0 −β

=

−σP11 + rP21 −σP12 + rP22 −σP13 + rP23

σP11 − P21 σP12 − P22 σP13 − P23−βP31 −βP32 −βP33

+

−σP11 + rP12 σP11 − P12 −βP13

−σP21 + rP22 σP21 − P22 −βP23

−σP31 + rP32 σP31 − P32 −βP33

=

R11 R12 R13

R21 R22 R23

R31 R32 R33

dengan

R11 = −2σP11 + rP21 + rP12

R12 = σP11 − (1 + σ)P12 + rP22

R13 = −(σ + β)P13 + rP23

R21 = σP11 − (1 + σ)P21 + rP22

R22 = 2σP21 − 2P22

R23 = σP13 − (1 + β)P23

R31 = −(β + σ)P31 + rP32

R32 = −(1 + β)P32 + σP31

R33 = −2βP33

Berdasarkan metode Krasovkii, kondisi titikkesetimbangan menjadi stabil asymptotis pada F (x) =J TP + PJ + R = 0 atau J TP + PJ = −R , dengan Radalah matriks identitas. Nilai Pij dapat diperoleh denganmemasukkan nilai parameter yang diperoleh dari O.Knill

30

(tanpa tahun) adalah sebagai berikut σ = 10 , β = 83 . Dengan

bantuan program Matlab maka diperoleh

P =

P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33

=

10r−11−r2220(r−1)

−(r+1)22(r−1) 0

−(r+1)22(r−1)

r−122(r−1) 0

0 0 316

Yang memenuhi persyaratan matrik definit positif. Jadi

fungsi Lyapunov adalah:

V (x) = fT (x)Pf(x)

=

f1f2f3

T

10r−11−r2220(r−1)

−(r+1)22(r−1) 0

−(r+1)22(r−1)

r−122(r−1) 0

0 0 316

f1f2f3

=

10r−11−r2220(r−1) f1 + −(r+1)

22(r−1)f2−(r+1)22(r−1)f1 + r−1

22(r−1)f2316f3

T f1f2

f3

=

10r − 11− r2

220(r − 1)f21 +

−2(r + 1)

22(r − 1)f1f2 +

r − 1

22(r − 1)f22 +

3

16f23

=10r − 11− r2

220(r − 1)(σ(y − x))2 +

−2(r + 1)

22(r − 1)σ(y − x)(x(r − z)− y)

+r − 1

22(r − 1)(x(r − z)− y)2 +

3

16(xy − βz)2

(4.14)

maka diperoleh

V (T1) =10r − 11− r2

220(r − 1)(σ(y0 − x0))2 +

−2(r + 1)

22(r − 1)σ(y0 − x0)

(x(r − z0)− y0) +r − 1

22(r − 1)(x0(r − z0)− y0)2

+3

16(x0y0 − βz0)2 = 0

31

Selanjutnya turunan V adalah

V =∂V

∂x

∂x

∂t+∂V

∂y

∂y

∂t+∂V

∂z

∂z

∂t

= (−10r − 11− r2

110(r − 1)σ2(y − x) +

−2(r + 1)

22(r − 1)(−σ(x(r − z)− y)

+ σ(y − x)(r − z)) +r − 1

11(r − 1)(r − z)(x(r − z)− y)+

3

8(xy − βz)y)(σ(y − x)) + (

10r − 11− r2

110(r − 1)σ2(y − x)

+−2(r + 1)

22(r − 1)(σ(x(r − z)− y)− σ(y − x)

− r − 1

11(r − 1)(x(r − z)− y) +

3

8(xy − βz)x)(x(r − z)− y)

+ (−−2(r + 1)

22(r − 1)σx(y − x)− r − 1

11(r − 1)x(x(r − z)− y)

− 3

8β(xy − βz))(xy − βz)

(4.15)

dengan memasukkan T1 pada persaman(4.15) diperolehV (T1) = 0. Selanjutnya untuk mengecek turunan V diatasadalah negatif, maka dimasukkan ke dalam program.

Titik kesetimbangan pada dua titik yang lainDua titik kesetimbangan yaitu T2 = (X∗, Y ∗, Z∗) =

(±√β(r − 1),±

√β(r − 1), r − 1) dengan 1 < r < σ(σ+β+3)

σ−β−1disubstitusikan pada matriks J , sehingga diperoleh matriks

J (T2) =

−σ σ 0

1 −1 −√β(r − 1)√

β(r − 1)√β(r − 1) −β

(4.16)

Langkah yang kedua yaitu mendapatkan matrik Pmemenuhi persamaan (2.6). Misalkan R = JTP + PJ

32

diperoleh

R =

−σ 1√β(r − 1)

σ −1√β(r − 1)

0 −√β(r − 1) −β

P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33

+

P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33

−σ σ 0

1 −1 −√β(r − 1)√

β(r − 1)√β(r − 1) −β

=

−σP11 + P21 + cP31 −σP12 + P22 + cP32 −σP13 + P23 + cP33

P11 − P21 + cP31 P12 − P22 + cP32 P13 − P23 + cP33

−cP21 − βP31 −cP22 − βP32 −cP23 − βP33

+

−σP11 + P12 + cP13 σP11 − P12 + cP13 −cP12 − βP13

−σP21 + P22 + cP23 σP21 − P22 + cP23 −cP22 − βP23

−σP31 + P32 + cP33 σP31 − P32 + cP33 −cP32 − βP33

=

R11 R12 R13

R21 R22 R23

R31 R32 R33

dengan

R11 = −2σP11 + P21 + P12 + c(P31 + P13)

R12 = −σP12 + P22 + cP32 + σP11 − P12 + cP13

R13 = −σP13 + P23 + cP33 − cP12 − βP13

R21 = P11 − (1 + σ)P21 + (P31 + P23) + P22

R22 = P12 − P22 + cP32 + σP21 − P22 + cP23

R23 = P13 − P23 + cP33 +−cP22 − βP23

R31 = −2cP21 − (σ + β)P31 + P32 + cP33

R32 = −cP22 − βP32 + σP31 − P32 + cP33

R33 = −cP23 − βP33 − cP32 − βP33

dimana c =√β(r − 1).

33

Kondisi titik kesetimbangan menjadi stabil asymptotispada F (x) = J TP + PJ + R = 0 atau J TP + PJ = −R ,dengan R adalah matriks identitas, maka

R11 = −2σP11 + P21 + P12 + c(P31 + P13) = −1

R12 = −σP12 + P22 + cP32 + σP11 − P12 + cP13 = 0

R13 = −σP13 + P23 + cP33 − cP12 − βP13 = 0

R21 = P11 − (1 + σ)P21 + (P31 + P23) + P22 = 0

R22 = P12 − P22 + cP32 + σP21 − P22 + cP23 = −1

R23 = P13 − P23 + cP33 +−cP22 − βP23 = 0

R31 = −2cP21 − (σ + β)P31 + P32 + cP33 = 0

R32 = −cP22 − βP32 + σP31 − P32 + cP33 = 0

R33 = −cP23 − βP33 − cP32 − βP33 = −1

Nilai Pij dapat diperoleh dengan memasukkan nilaiparameter yang diperoleh dari O.Knill adalah sebagai berikutσ = 10 , β = 8/3 dan 1 < r < σ(σ+β+3

σ−β−1 = 24.7. Diambilr = 24 dan dengan program Matlab maka diperoleh

P =

P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33

=

0, 1346 0, 2943 0.00500.0448 0.4694 −0.27920.1676 0.1766 0, 3381

yang memenuhi persyaratan matriks definit positif.Jadi fungsi Lyapunov adalah

34

V (x) = fT (x)Pf(x)

=

f1f2f3

T 0, 1346 0, 2943 0.00500.0448 0.4694 −0.27920.1676 0.1766 0, 3381

f1f2f3

=

f1f2f3

T f10, 1346 + 0, 2943f2 + 0.0050f30.0448f1 + 0.4694f2 − 0.2792f30.1676f1 + 0.1766f2 + 0, 3381f3

= f21 0, 1346 + 0, 3391f1f2 + 0, 1726f1f3

+ 0.4694f22 − 0.1026f2f3 + 0, 3381f23

= (σ(y − x))20, 1346 + 0.3391(σ(y − x))

(x(r − z)− y) + 0.1726(σ(y − x))(xy − βz)+ 0.4694(x(r − z)− y)2 − 0.1026(x(r − z)− y)

(xy − βz) + 0, 3381(xy − βz)2

(4.17)

dengan memasukkan T2 = (X∗, Y ∗, Z∗) maka diperoleh:

V (T2) = (σ(y∗ − x∗))20, 1346 + 0.3391(σ(y∗ − x∗))(x∗(r − z∗)− y∗) + 0.1726(σ(y∗ − x∗))(x∗y∗ − βz) + 0.4694(x∗(r − z∗)− y∗)2

− 0.1026(x∗(r − z∗)− y∗)(x∗y∗ − βz∗)+ 0, 3381(x∗y∗ − βz∗)2

= 0

Selanjutnya, turunan V adalah

35

V =∂V

∂x

dx

dt+∂V

∂y

dy

dt+∂V

∂z

dz

dt

= {−0.2692σ2(y − x) + 0.3391(−σ2(x(r − z)− y)

+ σ(y − x)(r − z)) + 0.1726(−σ(xy − βz) + σ(y − x)y)

+ 0.4694(2(x(r − z)− y)(r − z))− 0.1026((r − z)(xy − βz)+ (x(r − z)− y)y) + 0.3381(xy − βz)2y}(σ(y − x))

+ {0.2692σ2(y − x) + 0.3391(σ2(x(r − z)− y))

− 0.3391σ(y − x) + 0.1726(σ(xy − βz) + σ(y − x)x)

− 0.9388y(x(r − z)− y) + 0.1026((xy − βz)− (x(r − z)− y)x)

+ 0.3381x(xy − βz)2}(x(r − z)− y) + {0.3391(σ(y − x)(−x))

+ 0.1726(σ(y − x)(−β)) + 0.4694(x(r − z)− y)(−2x)

+ 0.1026((x(r − z)− y)β + x(xy − βz))+ 0.3381(xy − βz)(−2β)}(xy − βz)

(4.18)

Karena hasil yang terlihat belum terlihat bahwa V adalahnegatif. Selanjutnya untuk mengecek turunan diatas adalahnegatif, maka dimasukkan ke dalam program.

Titik kesetimbangan T3 = (−√β(r − 1),−

√β(r − 1), r −

1) dengan 1 < r < σ(σ+β+3)σ−β−1 disubstitusikan pada matrik J ,

sehingga diperoleh

J (T3) =

−σ σ 0

1 −1√β(r − 1)

−√β(r − 1) −

√β(r − 1) −β

(4.19)

Langkah yang kedua yaitu mendapatkan matrik Pmemenuhi persamaan (2.6). Misalkan R = JTP + PJdiperoleh

36

R =

−σ σ 0

1 −1√β(r − 1)

−√β(r − 1) −

√β(r − 1) −β

T P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33

+

P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33

−σ σ 0

1 −1√β(r − 1)

−√β(r − 1) −

√β(r − 1) −β

=

−σP11 + P21 + cP31 −σP12 + P22 + cP32 −σP13 + P23 + cP33

σP11 − P21 + cP31 σP12 − P22 + cP32 σP13 − P23 + cP33

−cP21 − βP31 −cP22 − βP32 −cP23 − βP33

+

−σP11 + P12 + cP13 σP11 − P12 + cP13 −cP12 − βP13

−σP21 + P22 + cP23 σP21 − P22 + cP23 −cP22 − βP23

−σP31 + P32 + cP33 σP31 − P32 + cP33 −cP32 − βP33

=

R11 R12 R13

R21 R22 R23

R31 R32 R33

dengan

R11 = −2σP11 + P21 + P12 + c(P31 + P13)

R12 = −σP12 + P22 + cP32 + σP11 − P12 + cP13

R13 = −σP13 + P23 + cP33 − cP12 − βP13

R21 = σP11 − (1 + σ)P21 + (P31 + P23) + P22

R22 = σP12 − P22 + cP32 + σP21 − P22 + cP23

R23 = σP13 − P23 + cP33 +−cP22 − βP23

R31 = −2cP21 − (σ + β)P31 + P32 + cP33

R32 = −cP22 − βP32 + σP31 − P32 + cP33

R33 = −cP23 − βP33 − cP32 − βP33

Kondisi titik kesetimbangan menjadi stabil asymptotispada F (x) = J TP + PJ + R = 0 atau J TP + PJ = −R ,

37

dengan R adalah matriks identitas, maka

R11 = −2σP11 + P21 + P12 + c(P31 + P13) = −1

R12 = −σP12 + P22 + cP32 + σP11 − P12 + cP13 = 0

R13 = −σP13 + P23 + cP33 − cP12 − βP13 = 0

R21 = σP11 − (1 + σ)P21 + (P31 + P23) + P22 = 0

R22 = σP12 − P22 + cP32 + σP21 − P22 + cP23 = −1

R23 = σP13 − P23 + cP33 +−cP22 − βP23 = 0

R31 = −2cP21 − (σ + β)P31 + P32 + cP33 = 0

R32 = −cP22 − βP32 + σP31 − P32 + cP33 = 0

R33 = −cP23 − βP33 − cP32 − βP33 = −1

dimana c = −√β(r − 1).

Nilai Pijdapat diperoleh dengan memasukkan nilaiparameter yang diperoleh dari O.Knill adalah sebagai berikutσ = 10 , β = 8/3 dan 1 < r < σ(σ+β+3

σ−β−1 = 24.7.Diambil r = 24dan dengan program Matlab maka diperoleh

P =

P11 P12 P13

P21 P22 P23

P31 P32 P33

=

−5, 6421 −15, 1891 −0, 65840, 3580 −27, 2288 −23, 167911, 9840 11, 3115 −17, 2225

yang memenuhi persyaratan matriks definit positif.Jadifungsi Lyapunov adalah

38

V (x) = fT (x)Pf(x)

=

f1f2f3

T −5, 6421 −15, 1891 −0, 65840, 3580 −27, 2288 −23, 167911, 9840 11, 3115 −17, 2225

f1f2f3

=

f1f2f3

T −5, 6421f1 + 0, 3580f2 + 11, 9840f3−15, 1891f1 − 27, 2288f2 + 11, 3115f3−0, 6584f1 − 23, 1679f2 − 17, 2225f3

= −5, 6421f21 − 14, 8311f1f2 + 11, 3256f1f3

− 27, 2288f22 − 11, 8564f2f3 − 17, 2225f23

= −5, 6421(σ(y − x))2 − 14, 8311(σ(y − x))(x(r − z)− y)

+ 11, 3256(σ(y − x))(xy − βz)− 27, 2288(x(r − z)− y)2

− 11, 8564(x(r − z)− y)(xy − βz)− 17, 2225(xy − βz)2

(4.20)

dengan memasukkan T3 = (X∗, Y ∗, Z∗) maka diperoleh:

V (T3) = −5, 6421(σ(y∗ − x∗))2 − 14, 8311(σ(y∗ − x∗))(x∗(r − z∗)− y∗) + 11, 3256(σ(y∗ − x∗))(x∗y∗ − βz∗)− 27, 2288(x∗(r − z∗)− y∗)2 − 11, 8564(x∗(r − z∗)− y∗)(x∗y∗ − βz∗)− 17, 2225(x∗y∗ − βz∗)2

= 0

Selanjutnya, turunan V adalah

39

V =∂V

∂x

dx

dt+∂V

∂y

dy

dt+∂V

∂z

dz

dt

= {11, 2842σ2(y − x)− 14, 8311(−σ(x(r − z)− y)

+ σ(y − x)(r − z)) + 11, 3256(−σ(xy − βz)+ σ(y − x)y)− 27, 2288(2(x(r − z)− y)(r − z))− 11, 8564((r − z)(xy − βz) + (x(r − z)− y)y)

− 17, 2225(xy − βz)2y}(σ(y − x)) + {−11, 2842

σ2(y − x) + 14, 8311σ(x(r − z)− y) + 11, 3256

(σ(xy − βz) + σ(y − x)x) + 27, 2288(x(r − z)− y)

− 11, 8564((−xy + βz) + (x(r − z)− y)x)

− 17, 2225(xy − βz)2x}(x(r − z)− y)

+ {−14, 8311(σ(y − x)(−x)) + 11, 3256(σβ(x− y))

− 27, 2288(x(r − z)− y)(−2x) + 11, 8564β(x(r − z)− y)

+ (xy − βz)− 17, 2225(xy − βz)(−2β)}(xy − βz)(4.21)

Karena hasil yang terlihat belum terlihat bahwa V adalahnegatif. Selanjutnya untuk mengecek turunan dari diatasadalah negatif dengan dimasukkan ke dalam program.

4.4.3 Metode Energi-Casimir

Pada metode Energi-Casimir, langkah yang digunakanuntuk mengkonstruksi fungsi Lyapunov pada sistem (2.1)adalah sebagai berikut: Terdapat konstanta Lipschitz k(t)yang memenuhi ‖f(x1(t), t) − f(x2(t), t)‖ ≤ k(t)‖x1 − x2‖sehingga sistem berlaku untuk setiap t ∈ R. Sistem (2.1)dapat dinyatakan dalam bentuk

40

dx

dt= f(x(t), t)

dy

dt= f(y(t), t)

dz

dt= f(z(t), t)

Misalkan terdapat vektor x = (x1, x2), y = (y1, y2),dan z = (z1, z2). Selanjutnya akan dicari nilai k(t) yangmerupakan konstanta Lipschitz yang memenuhi

‖f(x1(t), t)− f(x2(t), t)‖ ≤ k(t)‖x1 − x2‖

dengan

‖f(x1(t), t)− f(x2(t), t‖ = ‖

a11a21a31

‖Berdasarkan sistem persamaan (2.1) dapat dibentuk

sebagai berikut

• a11 = σ(y1 − x1)− σ(y2 − x2) = σ(y1 − y2)− σ(x1 − x2)Misalkan σ(y1−y2) = δ1(t)(x1−x2) maka a11 = (δ1(t)−σ)(x1 − x2) Maka didapatkan

|a11| = |(δ1(t)− σ)(x1 − x2)| ≤ |(δ1(t)− σ)||(x1 − x2)|(4.22)

• a21 = rx1−y1−x1z1−(rx2−y2−x2z2) = r(x1−x2)−(y1−y2)− (x1z1− x2z2) Misalkan r(x1− x2) = δ2(t)(y1− y2)dan (x1z1 − x2z2) = δ3(t)(y1 − y2) Maka

a21 = (δ2(t)− 1− δ3(t))(y1 − y2)

Sehingga didapatkan

|a21| = |(δ2(t)−1−δ3(t))(y1−y2)| ≤ |(δ2(t)−1−δ3(t))||(y1−y2)|(4.23)

41

• a31 = x1y1−βz1−(x2y2−βz2) = (x1y1−x2y2)−β(z1−z2)Misalkan (x1y1 − x2y2) = δ1(t)((z1 − z2)) maka a31 =(δ1(t)− β)((z1 − z2)) Sehingga didapatkan

|a31| = |(δ1(t)− β)(z1 − z2)| ≤ |(δ1(t)− β)||(z1 − z2)|(4.24)

Selanjutnya persamaan (4.22), (4.23) dan (4.24) dapatdituliskan sebagai berikut

‖

f(x1(t), t)− f(x2(t), t)f(y1(t), t)− f(y2(t), t)f(z1(t), t)− f(z2(t), t)

‖ ≤ max‖ δ1(t)− σδ2(t)− 1− δ3(t)

δ1(t)− β

‖‖

x1 − x2y1 − y2z1 − z2

‖atau dapat dituliskan

‖

f(x1(t), t)− f(x2(t), t)f(y1(t), t)− f(y2(t), t)f(z1(t), t)− f(z2(t), t)

‖ ≤ k(t)

x1 − x2y1 − y2z1 − z2

‖Maka sistem memenuhi kondisi Lipschitz.

Misalkan fungsi casimir dengan syarat C′i(xe) adalah bebas

linier. Pada sistem (2.1) dengan titik kesetimbangan memilikivariabel berjumlah 3, maka n = 3. Karena itu, fungsi Casimir

yang dimisalkan ada dua. Misalkan C1 = (x)2

2 , C2 = (y)2

2

, maka diperoleh C′1 = (x, 0, 0), C

′2 = (0, y, 0). Karena

C′1, C

′2 merupakan basis baku di R3maka dijamin bahwa C

′1, C

′2

bebas linier. Langkah selanjutnya adalah menghitung E(x) ,∑ri=1 µiCi(x), yaitu

E(x, y, z) = µ1C1 + µ2C2 + µ3C3 =µ12

(x)2 +µ22

(y)2

42

Yang memenuhi syarat E′(xe) = 0 dan xTE

′′(xe)x > 0,

dengan x ∈M.

E′(x, y, z) =

[∂E∂x

∂E∂y

∂E∂z

]=[µ1x µ2y0

]E

′(T1) =

[0 0 0

]sehingga didapatkan

E′′(x, y, z) =

[∂E

′

∂x∂E

′

∂y∂E

′

∂z

]T=

µ1 0 00 µ2 00 0 0

E

′′(T1) =

µ1 0 00 µ2 00 0 0

Selanjutnya dengan memilih sebarang µ1 dan µ2 adalah

bilangan riil. Msalkan dipilih µ1 = 1, dan µ2 = 1 serta x =x1x2x3

dengan x1, x2, x3 6= 0 dan akan diperlihatkan bahwa

x ∈ M dengan M , x ∈ D : C′i(xe)x = 0, i = i, , r. Karena

C′1 = (x, 0, 0) maka C

′(T1) = (0, 0, 0) sehingga diperoleh

C′1(T1)x =

(0 0 0

)x1x2x3

= 0

Karena C′2 = (0, y, 0) maka C

′(T1) = (0, 0, 0) sehingga

diperoleh

C′2(T1)x =

(0 0 0

)x1x2x3

= 0

sehingga xTE′′(xe)x > 0

(x1 x2 x3

)1 0 00 1 00 0 0

x1x2x3

= x21 + x22 > 0

43

Karena telah memenuhi asumsi pada langkah selanjutnyaakan dibuktikan bahwaE

′′(xe) + α

∑ri=2(

∂Ci∂x (xe))

T (∂Ci∂x (xe)) > 0 Dipilih α > 0

sehingga

E′′(xe) + α

r∑i=2

(∂Ci∂x

(xe))T (∂Ci∂x

(xe))

=

1 0 00 1 00 0 0

+ α((∂C2

∂x(xe))

T (∂C2

∂x(xe)))

=

1 0 00 1 00 0 0

+ α

(00

)(0 0 0

)

=

1 0 00 1 00 0 0

> 0

(4.25)

Maka fungsi Lyapunov pada titik kesetimbangan T1 = (0, 0, 0)adalah

V (x) = E(x)− E(xe) +α

2

r∑i=2

(Ci(x)− Ci(xe))2

= E(x, y, z)− E(x0, y0, z0) +α

2

r∑i=2

[Ci(x, y, z)

− Ci(x0, y0, z0)]2

=µ12

(x)2 +µ22

(y)2 − (µ12

(x0)2 +µ22

(y0)2)

+α

4(((y)2 − (y0)2)2

=1

2((x)2 + (y)2) +

α

4y4

(4.26)

44

Fungsi Lyapunov (4.25) adalah definit positif, karena V (x) >0 untuk semua x, y, z serta V (T1) = 0. Turunan daripersamaan (4.25) adalah

V =∂V

∂x

dx

dt+∂V

∂y

dy

dt+∂V

∂z

dz

dt

= x(σy − x)) + (y + αy3)(x(r − z)− y)

(4.27)

Maka diperoleh V (T1) = 0. Pada persamaan (4.27) telihatbahwa V < 0 untuk semua x, y dan z.

Titik kesetimbangan pada dua titik yang lain

Berdasarkan langkah yang telah dijabarkan padasebelumnya. Selanjutnya dicari fungsi Lyapunov untuk duatitik kesetimbangan yang lain yaitu T2,3 = (X∗, Y ∗, Z∗) =

(±√β(r − 1),±

√β(r − 1), r − 1) dengan 1 < r < σ(σ+β+3)

σ−β−1Pada sistem (2.1) dengan titik kesetimbangan T2,3 memilikivariabel berjumlah 3, maka n = 3. Karena itu, fungsi

Casimir yang dimisalkan ada dua. Misalkan C1 = b(y)2

2 − y, C2 = d(z)2

2 − z dengan b = 1

±√β(r−1)

,dan d = 1r−1

maka diperoleh C′1 = (by − 1, 0, 0), C

′2 = (0, dz − 1, 0).

untuk menguji bahwa vektor C′1 danC

′2 adalah bebas linier.

Misalkan S = C′1, C

′2 adalah bebas linier jika k1C

′1+k2C

′2 = 0.

k1

0by − 1

0

+ k2

00

dz − 1

=

000

Didapatkan k1 = k2 = 0 yang merupakan satu-satunya

penyelesaian, sehingga S bebas linier. Langkah selanjutnyaadalah menghitung E(x) ,

∑ri=1 µiCi(x), yaitu

E(x, y, z) = µ1C1 + µ2C2 = µ1(by2

2− y) + µ2(

dz2

2− z)

45

Yang memenuhi syarat E′(xe) = 0 dan xTE

′′(xe)x > 0,

dengan x ∈M.

E′(x, y, z) =

[∂E∂x

∂E∂y

∂E∂z

]=[0 bµ1y − µ1 dµ2z − µ2

]E

′(T2) =

[0 0 0

]sehingga didapatkan

E′′(x, y, z) =

[∂E

′

∂x∂E

′

∂y∂E

′

∂z

]T=

0 0 00 bµ1 00 0 dµ2

E

′′(T2) =

0 0 00 bµ1 dµ20 0 0

Selanjutnya dengan memilih sebarang µ1 dan µ2 adalah

bilangan riil. Msalkan dipilih µ1 = 1, dan µ2 = 1 serta x =x1x2x3

dengan x1, x2, x3 6= 0 dan akan diperlihatkan bahwa

x ∈ M dengan M , x ∈ D : C′i(xe)x = 0, i = i, , r. Karena

C′1 = (0, by − 1, 0) maka C

′(T2) = (0, 0, 0) sehingga diperoleh

C′1(T2)x =

(0 0 0

)x1x2x3

= 0

Karena C′2 = (0, 0, dz − 1) maka C

′(T2) = (0, 0, 0) sehingga

diperoleh

C′2(T2)x =

(0 0 0

)x1x2x3

= 0

46

sehingga xTE′′(xe)x > 0

(x1 x2 x3

)0 0 00 b 00 0 d

x1x2x3

= bx22 + dx23 > 0

Karena telah memenuhi asumsi pada langkah selanjutnyaakan dibuktikan bahwa

E′′(xe) + α

r∑i=2

(∂Ci∂x

(xe))T (∂Ci∂x

(xe)) > 0

Dipilih α = 1 sehingga

E′′(xe) + α

r∑i=2

(∂Ci∂x

(xe))T (∂Ci∂x

(xe))

=

0 0 00 b 00 0 d

+ ((∂C2

∂x(xe))

T (∂C2

∂x(xe)))

=

0 0 00 b 00 0 d

+

00

dZ∗ − 1

(0 0 dZ∗ − 1)

=

0 0 00 b 00 0 d

> 0

(4.28)

Maka fungsi Lyapunov pada titik kesetimbanganT2 = (

√β(r − 1),

√β(r − 1), r − 1) dan T3 =

(−√β(r − 1),−

√β(r − 1), r − 1) adalah

47

V (x) = E(x)− E(xe) +α

2

r∑i=2

(Ci(x)− Ci(xe))2

= E(x, y, z)− E(x∗, y∗, z∗) +α

2

r∑i=2

[Ci(x, y, z)

− Ci(x∗, y∗, z∗)]2

= µ1(by2

2− y) + µ2(

dz2

2− z)− µ1(

b(y∗)2

2− y∗)

− µ2(d(z∗)2

2− z∗) +

a

2(d

2(z2 − (z∗)2)− (z − z∗))2

=b

2(y2 − y∗2) +

d

2(z2 − z∗2)− (y − y∗)− (z − z∗)

+1

2(d

2(z2 − (z∗)2)− (z − z∗))2

(4.29)

Fungsi Lyapunov (4.28) adalah definit positif, karenaV (x) > 0 untuk semua x, y, z serta V (T2) = 0 dan V (T3) = 0. Turunan dari persamaan (4.28) adalah

V =∂V

∂x

dx

dt+∂V

∂y

dy

dt+∂V

∂z

dz

dt

= (by − 1)(σ(y − x)) + (dz − 1 + (d

2(z2 − z∗2)− (z − z∗))

(dz − 1))(x(r − z)− y)

(4.30)

Pada persamaan (4.29) terlihat bahwa V < 0 untuksemua x,y dan z. Selanjutnya , untuk menganalisis fungsiLyapunov yang diperoleh dengan memasukkan pada program.

48

4.5 Simulasi

Pada Subbab ini akan dibahas cara mendapatkansousi numerik dari sistem persamaan Lorenz dan hasilsimulasi numerik. Hal ini bertujuan untuk memudahkandalam menganalisis sistem dan mengetahui perilaku sistem.Penyelesaian numerik yang digunakan adalah metode Runge-kutta orde 4 dan 5 dalam Software Matlab(R2010a).

4.5.1 Pada titik kesetimbangan nol

Nilai parameter yang digunakan dalam simulasi diperolehdari O.knill(tanpa tahun) adalah σ = 10, β = 8

3 dengankondisi awal (X,Y, Z) = (1, 1, 1). Hasil simulasi yangdiperoleh adalah sebagai berikut

Gambar 4.1: Grafik sistem Lorenz dengan r=0.5

Berdasarkan gambar 4.1 terlihat bahwa dengan mengambiltitik awal di sekitar titik kesetimbangan (0,0,0) dan r = 0.5.Pergerakan garis menuju titik kesetimbangan nol dan sistembersifat stabil.

49

Gambar 4.2: Grafik sistem Lorenz dengan r=24

Berdasarkan gambar 4.2 terlihat bahwa titik awal di sekitartitik kesetimbangan (0,0,0) dan r = 24. Pergerakan garismembentuk angka delapan yang dikenal ”Lorenzt Attractor”dan sistem bersifat tidak stabil.

Gambar 4.3: Grafik sistem Lorenz dengan r=28

Berdasarkan gambar 4.3 terlihat bahwa titik awal di sekitartitik kesetimbangan (0,0,0) dan r = 28. Pergerakan garis

50

membentuk angka delapan yang dikenal ”Lorenzt Attractor”dan sistem bersifat tidak stabil.

Hasil penyelesaian dari fungsi Lyapunov yang dikontruksimenggunakan variabel gradien beserta turunannya.

Gambar 4.4: Grafik Fungsi Lyapunov

Gambar 4.5: Grafik Turunan Fungsi Lyapunov

51

Berdasarkan gambar 4.4 dan 4.5, terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.8) semua berada pada nilai positif dan bergerakmenuju nol. Dan turunan dari persamaan(4.9) dimana semuanilai berada pada bagian negatif dan bergerak menuju titiknol.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapatdikonstruksi dengan metode Variabel gradien untuk sistemLorenz pada titik kesetimbangan nol dengan parameterr = 0.5 < 1. Sistem Lorenz pada titik kesetimbangan nolbersifat stabil jika r ≤ 1.

Gambar 4.6: Grafik Fungsi Lyapunov

Berdasarkan gambar 4.6 dan 4.7, terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.8) semua berada pada nilai positif dan bergerakmenuju nol. Dan turunan dari persamaan(4.9) dimana semuanilai berada pada bagian negatif dan bergerak menuju titiknol.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapatdikonstruksi dengan metode Variabel gradien untuk sistemLorenz pada titik kesetimbangan nol dengan r = 0.8.

52

Gambar 4.7: Grafik Turunan Fungsi Lyapunov

Gambar 4.8: Grafik Fungsi Lyapunov

Berdasarkan gambar 4.8, terlihat bahwa pada r=1.5 tidakberlaku fungsi Lyapunov yang dikonstruksi karena nilai tidakbergerak menuju titik nol.

Berikut hasil penyelesaian dari fungsi Lyapunov denganmetode Kravoskii beserta turunannya.

53

Gambar 4.9: Grafik Fungsi Lyapunov

Gambar 4.10: Grafik Turunan Fungsi Lyapunov

Berdasarkan gambar 4.9 dan 4.10 terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.14) semua berada pada nilai positif dan bergerakmenuju nol. Dan turunan dari persamaan(4.15) dimanasebagian nilai berada pada bagian positif dan sebagiannilai berada pada bagian negatif bergerak menuju titik nol

54

juga.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov tidakdapat dikonstruksi dengan metode Kravoskii untuk sistemLorenz pada titik kesetimbangan nol dengan parameter r =0.5 < 1.

Berikut hasil penyelesaian dari fungsi Lyapunov denganmetode Energi-Casimir beserta turunannya.

Gambar 4.11: Grafik Fungsi Lyapunov

Gambar 4.12: Grafik Turunan Fungsi Lyapunov

55

Berdasarkan gambar 4.11 dan 4.12 terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.26) semua berada pada nilai positif danbergerak menuju nol. Dan turunan dari persamaan(4.27)dimana semua nilai berada pada bagian negatif dan bergerakmenuju titik nol.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunovdapat dikonstruksi dengan metode Energi-Casimir untuksistem Lorenz pada titik kesetimbangan nol dengan parameterr = 0.5 > 1. Sistem Lorenz pada titik kesetimbangan nolbersifat stabil jika r ≤ 1.

Gambar 4.13: Grafik Fungsi Lyapunov

Berdasarkan gambar 4.13, terlihat bahwa pada r=1.5 tidakberlaku fungsi Lyapunov yang dikonstruksi karena nilai tidakbergerak menuju titik nol.

4.5.2 Pada Dua Titik Kesetimbangan yang LainNilai parameter yang digunakan dalam simulasi diperoleh

dari O.knill(tanpa tahun) adalah σ = 10, β = 83 dengan

kondisi awal (X,Y, Z) = (±16.2899,±0.0601, 42.1214). Hasilsimlasi yang diperoleh adalah sebagai berikut

56

Gambar 4.14: Grafik menuju titik kesetimbangan T2

Berdasarkan gambar 4.14 dengan mengambil titik awaldisekitar titik kesetimbangan T2. Pergerakan titik menujutitik kesetimbangan T3.

Gambar 4.15: Grafik menuju titik kesetimbangan T3

Berdasarkan gambar 4.15 dengan mengambil titik awaldisekitar titik kesetimbangan T3. Pergerakan titik menuju

57

titik kesetimbangan T2.Berikut hasil penyelesaian dari fungsi Lyapunov dengan

metode Variabel-Gradien beserta turunannya.

Gambar 4.16: Grafik Fungsi Lyapunov

Gambar 4.17: Grafik Turunannya

Berdasarkan gambar 4.16 dan 4.17 terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.10) semua berada pada nilai positif dan bergerak

58

menuju titik nol. Dan turunan dari persamaan(4.11) dimanasemua nilai berada pada bagian negatif dan bergerakmenuju titik nol.Hal ini menunjukkan bahwa FungsiLyapunov dapat dikonstruksi dengan metode variabel-gradien untuk sistem Lorenz pada titik kesetimbanganT2 = (

√β(r − 1),

√β(r − 1), r − 1).Sistem lorenz pada titik

kesetimbangan T2 bersifat stabil untuk r = 24.

Gambar 4.18: Grafik Fungsi Lyapunov

Berdasarkan gambar 4.18 dan 4.19 terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.10) semua berada pada nilai positif dan bergerakmenuju titik nol. Dan turunan dari persamaan(4.11) dimanasemua nilai berada pada bagian negatif dan bergerakmenuju titik nol.Hal ini menunjukkan bahwa FungsiLyapunov dapat dikonstruksi dengan metode variabel-gradien untuk sistem Lorenz pada titik kesetimbanganT3 = (−

√β(r − 1),−

√β(r − 1), r − 1).Sistem Lorenz pada

titik kesetimbangan T3 bersifat stabil jika r=24.

59

Gambar 4.19: Grafik Turunannya

Hasil penyelesaian dari dengan metode Kravoskii besertaturunannya.

Gambar 4.20: Grafik Fungsi Lyapunov

Berdasarkan gambar 4.20 dan 4.21 terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.17) semua berada pada nilai positif dan bergerakmenuju titik nol. Dan turunan dari persamaan (4.18)

60

dimana nilai berada pada bagian positif dan bergerakmenuju bagian negatif selanjutnya menuju titik nol. Halini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov belum dapatdikonstruksi dengan metode Kravoskii untuk sistem Lorenzpada titik kesetimbangan T2.

Gambar 4.21: Grafik Turunannya

Gambar 4.22: Grafik Fungsi Lyapunov

61

Gambar 4.23: Grafik Turunannya

Berdasarkan gambar 4.22 dan 4.23 terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.20) semua berada pada nilai negatif dan bergerakmenuju titik nol. Dan turunan dari persamaan(4.21) dimananilai berada pada bagian positif dan bergerak menuju titik nol.Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov belum dapatdikonstruksi dengan metode Kravoskii untuk sistem Lorenzpada titik kesetimbangan T3.

Berikut hasil penyelesaian dari fungsi Lyapunov denganmetode Energi-Casimir beserta turunannya.

62

Gambar 4.24: Grafik Fungsi Lyapunov

Gambar 4.25: Grafik Turunannya

Berdasarkan gambar 4.24 dan 4.25 terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.29) semua berada pada nilai positif dan bergerakmenuju titik nol. Dan turunan dari persamaan(4.30) dimanasemua nilai berada pada bagian negatif dan bergerak menujutitik nol. Hal ini menunjukkan bahwa Fungsi Lyapunov dapat

63

dikonstruksi dengan metode Energi-Casimir untuk sistemLorenz pada titik kesetimbangan T2.Sistem Lorenz pada titikkesetimbangan T2 bersifat stabil untuk r=24.

Gambar 4.26: Grafik Fungsi Lyapunov

Gambar 4.27: Grafik Turunannya

64

Berdasarkan gambar 4.26 dan 4.27 terlihat bahwa fungsiLyapunov (4.4.27) semua berada pada nilai positifdan bergerak menuju titik nol. Dan turunan daripersamaan(4.4.28) dimana semua nilai berada pada bagiannegatif dan bergerak menuju titik nol. Hal ini menunjukkanbahwa Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi dengan metodeEnergi-Casimir. Sistem (2.2.1) pada titik kesetimbangan T3bersifat stabil untuk r=24.

Gambar 4.28: Perbandingan Grafik Fungsi Lyapunov

65

Gambar 4.29: Perbandingan Grafik Turunan FungsiLyapunov

Berdasarkan gambar 4.29 dan 4.30, pembentukan fungsiLyapunov dengan metode Energi-Casimir memperlihatkanpergerakan titik lebih cepat menuju titik nol pada titikkesetimbangan T1.

Halaman ini sengaja dikosongkan.

BAB VPENUTUP

Pada bab ini, diberikan kesimpulan yang diperoleh dariTugas Akhir serta saran untuk penelitian selanjutnya.

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikanpada bab sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa halsebagai berikut :

1. Sistem Persamaan Lorenz memiliki tidak titikkesetimbangan, yaitu titik kesetimbangan nolT1 = (0, 0, 0),T2 = (

√β(r − 1),

√β(r − 1), r − 1),

dan T3 = (−√β(r − 1),−

√β(r − 1), r − 1).

2. Sistem pada titik kesetimbangan pada titik (0, 0, 0)bersifat stabil lokal jika r < 1 dan pada dua titikkesetimbangan yang lain bersifat stabil jika 1 < r <σ(σ+β+3)σ−β−1

3. Sistem Lorenz pada titik kesetimbangan (0, 0, 0)diperoleh:

a. Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi denganmenggunakan metode variabel gradien yaitu

V =1

2((x2 + y2 + yz − 0.3z2)

Sistem bersifat stabil jika r < 1

b. Fungsi Lyapunov belum dapat dikonstruksi denganmenggunakan metode Kravoskii.

67

68

c. Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi denganmenggunakan metode Energi-Casimir yaitu

V =1

2((x)2 + (y)2) +

1

4y4

Sistem bersifat stabil jika r < 1

3. Sistem Lorenz pada dua titik kesetimbangan yang lainyaitu T2,3 = (±

√β(r − 1),±

√β(r − 1), r−1) diperoleh:

a. Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi denganmenggunakan metode Varibel Gradien yaitu

V =1

2(((x−x∗)2+(y−y∗)2+(y−y∗)(z−z∗)−0.3(z−z∗)2)

Sistem bersifat stabil jika 1 < r < σ(σ+β+3)σ−β−1 .

b. Fungsi Lyapunov belum dapat dikonstruksi denganmenggunakan metode Kravoskii.

c. Fungsi Lyapunov dapat dikonstruksi denganmenggunakan metode Energi-Casimir yaitu

V =b

2(y2 − y∗2) +

d

2(z2 − z∗2)− (y − y∗)− (z − z∗)

+1

2(d

2(z2 − (z∗)2)− (z − z∗))2

Sistem bersifat stabil jika 1 < r < σ(σ+β+3)σ−β−1 .

5.2 Saran

Pada Tugas Akhir ini dibahas mengenai mengkonstruksifungsi Lyapunov dengan menggunakan tiga metode yaituvariabel-gradien, Kravoskii dan Energi-Casimir.Olehsebab itu, penulis menyarankan untuk meneliti denganmenggunakan metode lain.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Riyanto, Andi (2015).Analisis Kestabilan SistemSuspensi Mobil Seperempat Kendaraan Dengan MetodeLyapunov Langsung. Skripsi S1, Universitas IslamNegeri Sunan Kalijaga Yogyakarta.

[2] Syechah, Bulqis Nebulla. (2016). Konstruksi FungsiLyapunov Pada Model Epidemi SIRS. InstitutTeknologi Sepuluh Nopember, Tesis S2 JurusanMatematika.

[3] Putri, Aldila Sakinah. (2012).Metode Lyapunovuntuk Menentukan Kestabilan Sistem PersamaanLorenz.Abstrak Skripsi Jurusan Matematika,Universitas Negeri Malang.

[4] Dwi, D.Trendi, Prihantoso, Kus. (2012).AnalisisKeadaan Dinamik Sistem Lorenz. Seminar NasionalPenelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA,Universitas Negeri Yogyakarta.

[5] Robinson, R. C. (2004).An Introduction to DynamicalSystem 1st Edition.New Jersey: Pearson Prentice Hall.

[6] Khalil, H. (2002).Nonlinear System Third Edition. NewJersey: Pearson Prentice Hall.

[7] Haddad, W.H. dan Chelllaboina, V. (2008), NonlinearDynamical System and Control. Princeton UniversityPress, New Jersey.

69

70

[8] Anton, H. (2002). Dasar-dasar Aljabar Linier Jilid 1.Binarupa Aksara Publisher, Tangerang

LAMPIRAN ABiodata Penulis

Penulis bernama Reni Sundari.Penulis dilahirkan di Sukoharjo, 01Oktober 1994. Penulis merupakanputri dari pasangan Surayadan Ngesti. Penulis menempuhpendidikan formal dimulai dariTK Aisyah (1999-2000), MIN 1Grogol,Weru (2000-2006), SMPN1 Cawas,Klaten(2006-2009), danSMAN 1 Cawas Klaten(2009-2012).Kemudian penulis melanjutkanstudi ke jenjang S1 di JurusanMatematika ITS Surabaya pada

tahun 2013 dengan NRP 1213 100 098. Di JurusanMatematika, penulis mengambil Bidang Minat MatematikaTerapan.

Informasi lebih lanjut mengenai Tugas Akhirini dapat ditujukan ke penulis melalui email:alilaazzahra621@gmail.com

Halaman ini sengaja dikosongkan.

LAMPIRAN AListing Program

73