Konverzija između geodetskih i kartezijanskih koordinata

Posmatramo transformaciju koordinata tačke P iz ECEF koordinatnog sistema (x,y,z) u

elipsoidalne koordinate (, , h) i obratno. Centar elipsoida odgovara koordinatnom početku

ECEF koordinatnog sistema, i mala poluosa (osa rotacije) se poklapa sa z-osom. (slika)

Transformacije je moguće lakše izvršiti definisanjem rastojanja N duž normale od tačke P do

elipse meridijana, između P’ i z-ose. Važi da je

2

1/2 1/22 2 2 2 2 2cos sin 1 sin

a aN

a b e

(1)

N nazivamo radijusom zakrivljenosti osnovne vertikale.

2

2 1b

ea

Elipsoidalne u kartezijanske

Sa slike 1, kartezijanske koordinate (x,y,z) tačke sa elipsoidalnim koordinatama (, , h) su date

kao

2

cos cos

cos sin

1 sin

x N h

y N h

z N e h

(2)

Kartezijanske u elipsoidalne

Prikazaćemo iterativnu proceduru za dobijanje elipsoidalnih koordinata od iz kartezijanskih

koordinata. Longitudu dobijamo kao

tan .y

x (3)

Nešto je teže izračunati geodetsku latitudu i geodetsku visinu. Definišimo

2 2 cosp x y N h

iz (2). Dakle,

cos

ph N

. (4)

Takođe iz (2),

21 sinz e N h

i

21 tanz N

ep N h

Dakle,

2

tan

1

z

Np e

N h

. (5)

1. Primer Paolo Alto Aerodrom ima jednu pistu. Lokacije koje određuju početak i kraj piste broj

30 (rwy30) su merene GPS-om. Merene WGS84 XYZ koordinate (u metrima) su

2694685.473

rwy30Start 4293642.366

3857878.924

2694892.460

rwy30End 4293083.225

3858353.437

Smatra se da su ove koordinate preciznosti 1 cm.

Utvrditi geodetsku latitudu, longitudu i visinu iznad WGS 84 elipsoida pozicije rwy30Start.

Latitudu i longitudu prikazati u stepenima i visinu u metrima. Poziciju izračunati u četiri iteracije.

1 1 4293642.366tan tan -122.112339

2694685.473

y

x

6378137.0a m

2 22 0.006694е f f

1/ 298,257223563=0.003353f

2 2 5069190.720963p x y

1tan 37.272743z

p

1. iteracija

1/2

2 2 6385981.419142m

1 sin

aN

e

-15744.032847mcos

ph N

1

2

tan 37.458836

1

z

Np e

N h

2. iteracija

1/2

2 2 6386048.559181m

1 sin

aN

e

7.645659mcos

ph N

1

2

tan 37.458375

1

z

Np e

N h

treća iteracija

1/2

2 2 6386048.392720m

1 sin

aN

e

-31.552767 mcos

ph N

1

2

tan 37.458376

1

z

Np e

N h

četvrta iteracija

1/2

2 2 6386048.393133m

1 sin

aN

e

-31.455464mcos

ph N

1

2

tan 37.458376

1

z

Np e

N h

Transformacije između kartezijanskih koordinatnih sistema

Često je potrebno izraziti koordinate satelita u različitim kartezijanskih koordinatnih sistema:

inercijalnog, orbitalnog i ECEF. Dva kartezijanska koordinatna sistema sa zajedničkim

koordinatnim početkom mogu se međusobno preklopiti sa sa tri rotacije oko svake od osa bilog

kog od koordinatnih sistema.

Neka T

P p p px y z x predstavlja vektor pozicije izražen u kartezijanskom koordinatnom

sistemu (slika). Razmotrimo drugi kartezijanski koordinatni sistem dobijen rotiranjem

rotiranjem ovog koordinatnog sistema oko z ose (3. osa) za ugao . Vektor pozicije Px je

prikazan u novom koordinatnom sistemu kao T

P P P Px y z x

3

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

P P P

x x R x

3 R je matrica rotacije. Dobili bi smo sličan izraz ukoliko bi smo rotirali originalni koordinatni

sistem oko x ose (1. osa) ili y ose (2. osa). Odgovarajuće matrice rotacije su

1

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

R i 2

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

R .

y

y’

x’

x

z

y’p

yp xp

x’p

P

zp = z’p

Svaka od ovih elementarnih matrica rotacije je ortogonalna matrica: vektori kolone (i vektori

vrste) su jedinične dužine i međusobno su ortogonalni (skalarni proizvod svake dve kolone u

matrici je 0). Primetimo da važi

1 , 1, 2,3T

i i i i R R R .

Ukoliko je koordinatni sistem rotiran dva ili više puta, odgovarajuća matrica rotacije se dobija

kao proizvod elementarnih matrica rotacije. Primetimo da važi

, 1, 2,3i i i i i i R R R R R

Posmatrajmo sekvencu rotacija. Vektor pozicije x je dobijen kao x nakon prve rotacije, x

nakon druge rotacije i x nakon treće rotacije. Ose koordinatnih sistema su na sličan način

označene. Rotacija oko z ose za ugao , praćena rotacijom oko y’ ose za ugao , praćena

rotacijom oko x’’ ose za ugao će rezultovati sledećom matricom rotacije

cos cos cos sin sin

sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin cos

cos sin cos sin sin cos sin sin cos cos cos

R

i

1 2 3P P P x Rx R R R x .

ECEF u ENU koordinatni sistem

Definisaćemo ENU (East, North, Up) koordinatni sistem na poziciji prijemnika. Ose ENU

koordinatnog sistema su usmerene tako da jedna osa je usmerena prema istoku, druga osa

prema severu, dok je treća osa umerena na gore (slika). pretpostavimo da je pozicija prijemnika

u ECEF XYZ koordinatnom sistemu data vektorom 0x , elipsoidne koordinate prijemnika su

(,,h). Neka je pozicija satelita u ECEF kordinatnom sistemu data sa .sx Vektor prijemnik-

satelit u ECEF koordinatnom sistemu će biti 0s x x . Cilj nam je da ovaj vektor prikažemo u ENU

koordinatnom sistemu da bismo odredili azimut i zentini ugao satelita.

Da bi smo utvrdili transformaciju iz ECEF u ENU, treba da utvrdimo rotacije osa ECEF

koordinatnog sistema kojm će se ta dva sistema poklopiti (slika). Prva rotacija je oko z ose za

ugao +90. Druga rotacija je oko x ose (koja je sada paralelna sa E-osom nakon prve rotacije)

za ugao 90-. Odgovarajuća transformacija vektora pozicije (0s x x ) iz ECEF u ENU je dobijena

elementarnom rotacijom matrica na sledeći način. Koristimo indeks L (lokalni) unesto ENU.

1 2

sin cos 0

90 90 sin cos sin sin cos

cos cos cos cos sin

L

R R R

Neka je T

L L L Lx y zx prikaz vektora 0s x x u ENU koordinatnom sistemu, tada važi

0L L s x R x x

z

x

P

E

U N

P

East North

Up

az

Matrica transformacije LR je ortogonalna. Svaki vektor vrsta je jedinični vektor ose ENU

koordinatnog sistema izražen u ECEF koordinatnom sistemu. Jedinični vektori duž east, north i

up ose (e, n i u respektivno) glase

sin sin cos cos cos

cos , sin sin i cos cos

0 cos sin

e n u .

Sad možemo da odredimo azimut (az) i zenitni ugao () satelita definisan u ENU koordinatnom

sistemu. Azimut se meri od severa i pozitivan u smeru kazaljke na satu (0-360). Zenitni ugao

se meri od lokalnoe vertikale (0-90). Elevacija (el) se meri odlokalne horizontale (pozitivna na

gore), 90el .

2 2 2

tan

sin cos

E

N

U

E N U

xaz

x

xel

x x x

pozicija satelita u odnosu na korisnika je određena azimutom i elevacijom.

Izračunavanje položaja na osnovu almanaha satelita

319488 soat Referenta epoha almanaha

-20.6223201752 10e Ekscentricitet orbitalne ravni 0.9755183041 radi Inklinacija orbitalne ravni

-80.7886042771 10 rad/s Intenzitet promene longitude rastućeg čvora 1/25153.650879 ma Koren velike poluose orbitalne ravni

0 2.447403804 rad Longituda rastućeg čvora na početku GPS nedelje

2.935032179 rad Argument perigeja

0 1.099870217 radM Srednja anomalija satelita

2

26560117.382617 ma a Izračunavanje velike poluose

14 3 24

0 33

3.986005 10 m /s 1.458559 10 rad/s

26560117.382617 mn

a

Broj obrtaja satelita

356340s 319488s 36852 sk oat t t Vreme koje je proteklo od referentnog vremena

0 0

41.099870217 rad 1.458559 10 rad/s 36852 s 6.475069rad

k kM M n t

Srednja anomalija

sink k kM E e E Keplerova jednačina za ekscentričnu anomaliju (rešava se iterativno)

==============================================================================

Njutnova metoda, poznata i kao Njutn-Rapsonova metoda, je metoda za nalaženje korena

(odnosno nula) realne funkcije 0f x .

Njutn-Rapsonova metoda jedne nezavisne promenljive se realzuje na sledeći način:

Neka je data realna funkcija f i njen izvod f’ i početno rešenje x0 nule funkcije f. Bolja

aproksimacija korena x1 se nalazi kao

0

1 0

0'

f xx x

f x

Geometrijski (x1,0) je presek tangente na funkciju f u tački (x0,f(x0)) sa x-osom.

Proces se ponavlja

1'

n

n n

n

f xx x

f x

sve dok se ne dobije dovoljno tačna vrednost.

==============================================================================

sink k k kf E E e E M , 1 cosk k kf E e E , 0

k kE M

1. iteracija

0

1 0

0

-0.0011868165574206.475069 6.476263111366706 rad

0.993891

k k

k k

k k

f EE E

f E

2. iteracija

1

2 1

1

8.478755475493927e-010 6.476263111366706 6.476263110513620rad

0.993892435828015

k k

k k

k k

f EE E

f E

3. iteracija

2

3 2

2

0.06.476263110513620 6.476263110513620 rad

0.993892435826996

k k

k k

k k

f EE E

f E

2

5 -2

atan2 1 sin ,cos

atan2 1 3.872824 10 sin 6.476263110513620,cos 6.476263110513620 0.622320 10

atan2 0.191876695964767,0.993757434190472 0.190734896236734 rad

k k ke E E e

Stvarna anomalija

-2.935032179 0.190734896236734 2.744297282763266radk k Argument latitude

Radijus satelita

-2 7

1 cos 26560117.382617

1 0.6223201752 10 cos6.476263110513620 2.671253213535881 10 m

k kr a e E m

Položaj satelita u orbitalnoj ravni

7 7

7 7

cos 2.671253213535881 10 m cos 2.744297282763266 2.463191587702551 10 m

sin 2.671253213535881 10 m sin 2.744297282763266 1.033576766910498 10 m

k k k

k k k

x r

y r

Korigovana longituda uzlaznog čvora

0

-8 5

5

2.447403804 rad 0.7886042771 10 rad/s 7.2921151467 10 rad/s

36852 s 7.2921151467 10 rad/s 319488 s 23.537609926198975rad

k e k e oat t

ECEF koordinate satelita

7

7 6

cos cos sin

2.463191587702551 10 m cos 23.537609926198975

1.033576766910498 10 m cos0.9755183041 sin 23.537609926198975 6.393309716861754 10 m

k k k k kx x y i

7

7 7

sin cos cos

2.463191587702551 10 m sin 23.537609926198975

1.033576766910498 10 m cos0.9755183041 cos 23.537609926198975 2.476564635212350 10 m

k k k k ky x y i

7 6sin 1.033576766910498 10 m sin 0.9755183041 8.557939483117463 10 mk kz y i

Izračunavanje položaja satelita na osnovu efemerisa

oet Referenta epoha efemerisa

e Ekscentricitet orbitalne ravni

0i Inklinacija orbitalne ravni

Intenzitet promene longitude rastućeg čvora i Intenzitet promene inklinacije u vremenu

a Koren velike poluose orbitalne ravni

0 Longituda rastućeg čvora na početku GPS nedelje

n Korekcija srednjeg broja obrtaja Argument perigeja

0M Srednja anomalija satelita

,uc usC C Amplitude članova hamonijske korekcije argumenta latitude

,rc rsC C Amplitude članova hamonijske korekcije radijusa

,ic isC C Amplitude članova hamonijske korekcije inklinacije

2

a a Izračunavanje velike poluose

0 3n

a

Broj obrtaja satelita

k oet t t Vreme koje je proteklo od referentnog vremena

0n n n Korigovani broj obrtaja satelita

0k kM M n t Srednja anomalija

sink k kM E e E Keplerova jednačina za ekscentričnu

anomaliju (rešava se iterativno)

2atan2 1 sin ,cosk k ke E E e Stvarna anomalija

k k Argument latitude

Poremećaji drugog harmonika

sin 2 cos2k us k uc ku C C Korekcija argumenta latitude

cos2 sin 2k rc k rs kr C C Korekcija radijusa

cos2 sin 2k ic k is ki C C Korekcija inklinacije

k k ku u Korigovani argument latitude

1 cosk k kr a e E r Korigovani radijus

0k k ki i i it Korigovana inklinacija

Položaj satelita u orbitalnoj ravni

cos

sin

k k k

k k k

x r u

y r u

ECEF koordinate satelita

cos cos sink k k k k kx x y i

sin cos cosk k k k k ky x y i

sink k kz y i