kuantum mekaniği gasiorowicz

7/27/2019 kuantum mekaniği gasiorowicz

http://slidepdf.com/reader/full/kuantum-mekanigi-gasiorowicz 1/262

kuantum

fiziğ i

StephenGasiorowicz

A .Ü .F.F. D öner Sermayei ş letm esi Y ay ı nlar ı No:1



Stephen Gasiorowicz

M itinesota U niversitesi

ku an tum fiziğ i

Çeviri: Prof. Dr. . Ayla Çelikel

Redak siyon: Yrd. Doç. Dr . Hau ash G ür

Ankara Üniv. Fen Fakültesi, Firk Müh. Bölümü



Çevirenin Önsözü

1970 lerin ilk y ı llar ı nda Ank ara Üniversi tesi Fizik Bölüm ü ö ğ rencileri, Berk eleyÜniversitesi'nde haz ı rlanm ı ş be ş ciltlik diziyi, o zaman ki tüm ö gretim üye leri veyard ı m c ı la r ı n ı n büyü k bir özveri i le t ı pk ı bas ı m ı n ı Türkçe'ye kazand ı rmalar ı sonucunda,bölük pörçük ders notlanndan kurtulup düzeyli ve ken di içinde tutarl ı ders kitaplannakavu ş m u ş lard ı . S. Gasiorow icz'in 1974 y ı l ı nda John Wiley & Sons yay ı nlar ı aras ı ndaç ı kan 2 ~ v e ,. ~ P4oie4 kitab ı , elden geldiğ ince basit tutulmu ş matem atiksel yap ı s ı ilelisans düzeyindeki bo ş luğu doldurmak ü zere, o y ı llar ı n heyacam ile Türkçe'yeçevrilmi ş , ancak telif ücreti ödenemediğ inden uzun y ı llar teksir halinde kullan ı lm ı ş t ı r.İ lk bask ı s ı Ank ara Üniversitesi Fen Fakültesi Döne r Sermaye Yay ı rı lan aras ı nda 1991y ı l ı nda yap ı lan kitap , ögrenciyi ileri düzeydek i konular ı i ş lemeye haz ı rlama ö zelliğ i ilediğ er ünive rsitelerde de kullan ı lmaya ba ş lay ı nca 1995 y ı l ı nda ikinci ve ş imdi 2000y ı l ı nda üçüncü bask ı ya gereksinim do ğmustur.Soyut kavramlann en kolay ki ş inin ana dilinde özümsen diğ i gerçeğ i, geride kalan

çeyrek yüzy ı lda yay ı nlanan pek çok de ğ erli kitab ı n da Türkçe'ye kazand ı nlmasm ı nönem ini or taya koymaktad ı r . Fizik ögrenciler inin uzak olmayan bir gelecekte dünyadaya y ı nlanan k itaplar ı Türkçe okuma olana ğ ı na kavu ş malar ı dileğ iyle...

Ocak, 2000Ankara



: Ç.F >1" L

Bölüm 1: Klasik Fii. ğ in Sı n ı rlar ı Si yah oi ı . 51 mas ı :Wien ve Rayl ei dh eans yasal ar ; P1 arick

ornUlU. Fotoel ek trik ol ay. Compt on olay ı . El ek t r on k 1 r na rraBort:- atomu; postül at 1 ar denel sonuçlar ; Kar şı 1 ı ğı bul unma II -

ket Dal ga -Parç ac ı k pr °bi ft!ri .

2733ö1 bn 2: Dal da paketleri ve Kesinsizi. i k Ba ğ ı . nt ı l ar ı

Gaussi yen dalga pak et,i ; pak.et e'r in yayı lmas ı . ; oruç, n ı . z ı ;De

Brodl le bağı nt.1 s ı Kesi rsizl i k bağı nt 1. ar ; r elek tr onun

konumunun ;31 çUl mesi ; çif t yar ı k deneyi Bohr at. ornundak i yör tingel er i ri gerçek 1 1 ğ i ' ; ener i -zaman k esi nr. , 1 21 i k bağı nt ı s ı

Sayı sal kesti rirkler için ba ğ ı rit..1 lar ı n k ul laru 1 mas ı

45Ekini»: 3: Schrödinger Dalga Denk lerni : •Özgur parçac ı k denk 1 emi Olas ı l ı k yorumu, Ak ı k or unumu. Bek -

1 enen değ er ler Momentum i ş lemcisi Beklenen değeri ri gerçek

I 1 ğ i . Bir potansi yel içindeki parçac ı ğ r denklemi.

BölU 4. Dzforiksiyortlar ve Dzde ğerler7Enerji bzdeğ er denk 1 e ı ni . Kutu içinde parçacı k. özde ğ e r

ve özronksiye.mlar;bzfonksi. yoniar ı n (Ii k .1 ğ i ; aç ı I ı nt pos

',tü atları ve a.ç. ı ll nı katsayı ı ar ı n ı n yorumu. Parite. Momen-tum özfonksi yonlar ı ; boyl and' r 3. 1 amaz durumlar ; katmerl ilikve eş- zarnanl ı l ı k özfonksiyonlar ı .

75Miltim 54 Bir Boyutlu Potansiyeller

Potansiyel basamağ ı ;yans ı ma ve geçi ş katsayı lar ı . Potansiyel

k uyusu ve bağ . 1 ı dur un ı l ar Potansi yel engel i sizi p geçme ; Soğ uk

yayı n:: nce tabak al a.rdan s ı z ı p geçme; alfa bozunumu. Mol ekili 1 er i n

bi r boyutlu modeli ve deita fonksiyonu potansiyeli Kroni g

Penney modeli. Har moni k sal ı ngan.

Bölüm Be. Dalga Mekani ğ inin Genel Yapı s ı11 .

özfonksiyonlar ve aç ı i ı m teoremi;vektör uzaylar ı le

benzeriik.Çizgisel i ş l emc 1 er ; her Itti t i 1.. ş l emci 1 er ; tamil ı k

k atmer 1 il 1 k cieğis edebilen cözlenebilirlerin tam k times' .

Kes ı nsizli k ha ı r,t ı 1ar.Kuantumkuramı n ı n klasik sı n ı r ı

M I kim: 7: Kuant ı un M ekani. ğ ind.e :t ş lentri Yöntemleri27

Harrnonik sal ı ngan problemi ; ar tt r ma ve eksi 1 t meI ş lemci-

leri ; bzdurum ve özdeğer.ler . Dalga fonksiyonunun ol as ı k

genli§i olarak yorumu. içlernciler cinsinden bir sisteminzaman içindeki gel iş imi ;Schrödi nger ve Hei senber d g6rUntil eri.

Pk.' 1"Marçac ı k S i s t e f f l ı e r l41



„`; • N „ ,,ger-m ı Y!YiOri

k ,: : i r ı numu;kUtie merkezi hareketinin ayr ı lmas ı ;indirgenmisnarçac ı klar;yer değ isti.rme alt ı nda baki ş ı m,

i:`z 3.s ı . •-,fh ide

Fe:rr £311 : ; 1 Jç 3o) ,11.3.z ı SchrLdinger Denklemt55

merke7i 1 - 1 , ,ı r ek e ı nin ayr ı lmas ı ;dYlnmeler alt ı ndade ı smezlikac ı sal momentumun ayT ı liria.s ı .Radyal denklem.Uç

‘ .. ı tu için Fermi enerjisi.

1 f57lCu Ac151 310mentum

;vez.di3ğer prbiemı n ı nç inab ı seI yür,tem..41tt ı rma ve eksiltme i ş lemcileri;

L.egend: -.e fenks ı yonlar ı .

dyal Derklem79davran ı ş ;btlytik r'ler için davranış zgUr

parçac ı k ; küt esel Bessel fonksiyonlar ı ; gelen v e g i den küresel

dalgalar ; evre kaymal a r ı . Kare k u y u : b a ğ l durumlar . derin

kuyular;ka buk yap ı s ı ; s t i r e k l i ç ö z l i m ı er

BölUmidr ojen Atom95Radyal denklemı n basitlestirilmesi.Kuantum say ı la r ı ;katmer

iiiik,Dalga fonksiyonlar ı e "y6rUngelerle” ba ğ int ı lar ı .

IMIUm 13: Elektronalrı

n Elektrik Alanda Etkileş

mesi09

Maxwell denklemierl.Elektronlar ı n vektör potansiyel ba ğ -

las ı m ı .Biteviye bir m a ğ netik alan i çin deki elektronla r ı n

d e n l e m ı .Normal Zeeman olay ı .Biteviye bir ma ğ netik alanda

el ektron hareketi.Kars ı l ı ğ ı bulunma ilkesinin a ç ı klanmas ı .

A k ı kuantumianmasi.Bohm-Abara nov olay ı .

Böltim 14: Isle m ıciler,Matrisler ve Spin27Harmonik sal ı ngan islemcilerinin matris gbster ı m i i . 1 a ç ı sal

momentum i ş lemci s ı nin matris gösterim ı .Spin 1/2 matrisleri;

s p i n r l e r . B i r a ğ netik al an içindeki spinin prese syonu.P a r a m a ğ netik rezonans.

B o l t i m 15: Aç ı sal Momentumlar ı n Toplanmas ı43

iki spin 1/2 nin toplamı ;tekli ve üçlü fonksiyonlar ı .Spin

ybrUnge aç ı sal momentum toplamı .Dış arlama ilkesi ve aç ı salmomentum durumla r ı .

Ekler A: Fourier Tümlemi ve Dei ta Fonksyoniar ı

B: islemeiler

Not:Kitabı n kalan bölümleri ikinci cilt olara k basilacaktir,



Bölüm 1

KLASIK FfZI Ğ I N SINIRLARI

Ondokuzuncn yüzy ı l ı n sonlar ı ve yirminci yüzy ı l ı n baş lar ı fizikte bir

bunal ı ma tan ı k oldu.Bir dizi deneysel sonuç klasik fizik ile ba ğ da ş mas ı ta-

mam ı yla olanaks ı z kavramlar gerektiriyordu.Sonunda,köklü varsay ı mlar ve par-

lak deneyierin biiyilleyici etkile ş imiyle bu kavramlar ı !' geli ş mesi Kuantum

kuram ı na yol açt ı l .Bu bölümdeki amac ı m ı z,sözünü etti ğ imiz bunal ı m ı n nedenle-

rini anlatmak ve sonradan anla şı lan önemlerin.i gözönünde tutarak,bu yeni kav-

ramlar ı sergilemektir.Tarihsel s ı ra bak ı m ı ndan doğ ru olmamakla birlikte,ser-

gilememiz kuantum knramı na geçi ş ikur için daha az gisemli yapacak-

tir.lanimin parçac ı k özelikleri,maddenin dalga özelikleri ve fiziksel nicelik-

lerin kuantumlanmas ı gibi yeni kavramlar inceleyece ğ imiz aş ağ ı daki olaylar-

dan çakacakt ı r.

A. Siyah Cisim Işı mas ı

Sir cismin, ı s ı t ı ld ı gı nda ışı ma yapt ığı görülür.Denge halinde,yay ı nla-

nan ışı k il frekanslar ı n ı n bütün spektrumunu kaplar; spektrumsal da ğı l ı m hem

frekansa ya da eadeger olarak ı ş ı ğ ı nalgaboyuna,hem de s ı cakl ığ a bağ l ı dı r.

Birim zamanda birim yüzeyden yay ı nlanan . 2 ı dalgaboyundaki enerji olarakl ya-

yı nlama gücü denen bir E( ık,T) niceli ğ i tan ı mlanabilir. > ' dalgaboyundaki ge-

len ı §ln ı mdaa ciamin soğ urduğ u kesir de,A maiiiyrganl ığı larak tanı s lanı r.Is ı l. ışı ma

alan ı ndaki kuramsal ara ş t ı rma 1859'da Kirehhoff'un çal ı ş mas ı yla ba ş lad ı .Kirch-

hoff verilen bir 7 1 için,E yay ı nlama gücünün A sogurganl ı gı na oranı n ı n tüm

cisimler için ayn ı olduğunu gösterdi.K ı rchhoff yay ı nlayac ı ve soğurucu olarak

paralel iki levha gözönüne ald ı ;ve denge ko ş ulundan,yay ı nlanan enerjinin so-

kurulan enerjiye e ş it olduğ unu (her 7 1 için),dolay ı sxyla da E/A oranlar ı n ı n

her iki levha için a y n ı olmas ı gerekti ğ ini gösterdi.Bundan k ı sa bir süre

, Kuantum kuram ı n ı n geli ş iminin ilginç bir öyküsü,M.Jammer,TheConce tual Development of Quantum M e c h a n i c s , McGraw-Hill, New York,19 'da bulunabilir.



2u a n t u m F i z i k is o n r a d a , b i r s i y a h c i s i m i c i n , B ( ->t, T) fonks iyonunun ev r e ns e l bir fonks iyon

oldu ğ u n u gö z l e d i ; s i y a h c i s i m , üs t ü n e d ü ş e n tüm ışı n ı m ı t a m a m e n s o ğu r a n ( y a -

n i A = 1) bi r yüzey ola r ak t an ı m l a n ı r .

B u fon k s i yon u i n c e l e y e b i l m e k i ç i n o l a b i l e c e k e n i y i s i y a h c i s i m ışı nım

ı

k a y n a ğı n ı e l d e e t m e k zo r u n l u du r . B u sor u n u n k ı lg ı n b i r ç ö z ü m ü b i r T s ı c a k l ığı na

k a d a r ı s ı t ı lm ış k a p a l ı b i r h a c i m d a k i k ü ç ü k b i r d e l i k te n ç ı ka n ışı n ı m ı d i k k a t e

a l m a k t ı r . Ko vn ku n i ç yü z e y i n i n pü r ü z l e r i gü n ü n üz e a l ı n d ığı n d a , d e l i ğ e d ü ş e n h e r -

h a n g i b i r ışı n im ı n y e n i d e n o r t a y a ç ı kma ş a ns ı OlMa d ığı n ç ı kt ı r . B ü yl e c e d e l i k -

l e g ö s t e r i m l e n e n yü z e y h e m e n h e m e n b i r "t a m sogu r u c u " du r v e so n uç o l a r a k bu

d e l i k t e n g e l e n ışı n ı n g e r ç e k t e n " s i y a h c i s i m ışı n ı m ı "d ı r .Deli ğ i n y e t e r i n c e

küçük olmas ı ko ş uluyla,bu ışı n ı n kovu ğ u n d u v a r l a r ı n a d ü ş e n ışı n ı n k a d a r o la -

c a k t i r . B u n d a n do l a y ı , ö n c e d u v a r l a r ı T s ı c a k l ığı nd a ol a n bir kovu ğ u n i ç i n d e k i

I ş i n i n d a ğı l ı m ı n ı a n l a m a m ı z zor unludur .

Ki r c hhoff te r modin a mi ğ i n i k i n c i y a s a s ı u y a r ı n c a ko v uk i ç i n d e k i ışı n ı m ı n,

ak ı n ı n g ü n e b a ğ l ı .o lm ay s c a ğı n ı g ö s t e r d i . A y r ı ca ışı n ı m ı n

t e k d i a z e y a n i h e r nokt a d a ay n ı n l a c a ğı n ı ;v e b un l a r ı n tümü nü n, a yn ı s ı c a k l ı ktaki

k ovu k l a r d a h e r d a I g a bo yu i ç i n a y n ı o l a c a ğı n ı g ö s t e r d i .2

Ya y ı n l a m a gü c ü n ü n k o -

vuk içindeki ta( , N , T ) e n e r j i yo ğ un lu ğ u n a b a ğ l ı ol d u ğu, b a s i t g e om e t r i k d ü ş ün -

c e l e r k u ll a n ı l a r a k g ö s t e r i l e b i l i r . B u b a g ı nt ı ,

t t ( >_ ,T)

E(,T)C

d i r . E n e r j i yo ğ unlu ğ u k ur a m s a l i l g i y e k o n u ol a n b i r n i c e l i k t i r v e d a h a i y i a n l a -

şı l a bilmes i,1$9 4 ş d e g e n e l d ü ş ü n c e le r d e n h a r e k e t e d e r e k 3 , e n e rj i yo ğ unlu ğ unun

t ı (? , T) = ?t -5f ►) (1-2)

b i ç i m i n d e o l a c a ğ ı n ı g ö s t e r e n k i e n ' n i n ç a l ış m a l a r ı ile mümkün olmu ş tur.Buradaf

holâ bir tek d egi ş k e n i n b i l i n m e y e n b i r f on k s i yon u d u r , D a h a e l v e r i ş li oldu ğu n d a n ,

y e r i n e f e k a n s ı n fonksiyonu olan 14( ı ),T) en e rji yo ğ unlu ğ u kull a n ı l ı rs a,

,T) = uP,T

ek)

) 2 -

B u ko nu l a r a b i r ç o k m od e r n f i z i k v e i s t a t i s t i k fi z i k d e r s k i t a b ı n-

d a y e r v e r i l mi ş ti r .Kny n alq_ a r b u b ö lümün sonun d a b ulunm akt a d ı r .

3 w .ı e n a d y a b a t i k ol a r a k bü z ü l e n k us u r s u z y a n s ı t ı c ı k ü r e s e l b i r k a v u ğ u

g ö z ö n ü n e a l d ı .on ks i yon u o l a r a k , e n e r j i n i n y e n i d e n d a ğı l ı m ı y a n s ı ma -

d a k i Doppl e r k a ym a s ı n ı n so nu cu n lm al ı yd ı . B a k . F . K . H i c h tmy e r , E . H . K e n n a r d a n dJ.N. Coope r ,Introduc tion to Mod e r n Physice, McGraw-Bill,New York,1969, Bö -lüm V .

v . ( ıN , T )1-3)



• T= 1449 ° K

x T= 16/prK

o 2 . T 425 9 ° K

Klasik Fizi ğ in S ı n ı rlar ı 3

XTt

Ş ek.1-1. Denk.l-2'nin denel dokrulamas ı ' . • ' 1 . 1 ( a , T ) / T 5

bir fonksiyonu olarak verir.

7ı T 'nin evrensel

olmas ı gerçe ğ inden,Wien yasas ı

' U ( 1 ) . 1 1 ) = 9 34)1-4)

biçimini al ı r.Deneyle do ğ rulanan bu yasan ı n ( Ş ek.1-1) sonuçlar ı iki tanedir:

1. Siyah eisimu ı ş ı n ı m ı n ı nherhangi bir s ı cakl ı ktaki ş pektrumsal dakil ı mi

verilirse,ba ş ka herhangi bir s ı cakl ı ktaki da ğı l ı m yukardaki ifade yard ı m ı yla

bulunabilir.

2. f (x) — ya de e ş de ğ er alarak g(z) --fon ksiyonunun herhangi bir x > 0

de ğ e ri için bir maksimumu varsa,enerji yo ğ unlu ğ u ve dolay ı s ı yla yay ı nlama gii-

efinün maksimum oldukuman dalgaboym

; 1 / 4mak - T

1 75)

biçimindedir,burada b evrensel bir sabittir.

Wien, g(N)/T) 'nin biçimini üngürmek için,art ı k tarihçilerden ba ş kas ı -

n ı ilgilendirmeyen bir model kulland ı .Buldn ğ u biçim

g( 1)/T) = Ce-0/T(1-6)

idi,ve çok dikkate de ğ er elarak.iki ayarla abilir parametresi olan bu biçim

yüksek frekans(alçak dalgaboyu) verilerine çok iyi uyuyordu.Ancak bn for mül



4 Knantum Fizigi

m Am 7g000 30,000 sopio sa000

arii^dee

•.e)

$ ..r.ZA'rt4enbol.

(b)

Jr.PlanCl<

Ra s§1ei ıiiiı -Jearı S

Ş ek.1-2. (a) Çe ş itli scakl ı klardaki bir siyah cismin ı s ı d ı g ı gficün diag ı l ı m ı .

(b) 16000K 'deki verilerin,Planek ve Rayleigh-Jeans formiilleri ile kAr şı laş -

t ı r ı lmas ı .

klasik fiziğ in baz ı çok genel kavramlar ı ile uysmuyordn.1900 yı l ı nda Rayleigh,

871 „s>2

a . k ( )),T) -T1-7)C

3

sonucunu ç ı kard ı .Burada k = 1,38 x 10-16

erg/derece Boltzmann sabiti ve

c= 3.00 x 100

cm/sn ışı k h ı z ı d ı r.Formillün ç ı karı lmas ı nda kullan ı lan doya-

naklar ş unlard ı : (I) Enerji e lı filüSfimünün klasik yasas ı ; buna göre, dengede

bulunan sözkonusu dinamik sistem için serbestlik derecesi ba şı na ortalama ener-

ji kT dir4 , ve (2) Bir kovuga hapsedilmi ş N), - ı ) +eh) ) frekans aral ı g ı ndaki

elektromagnetikışı

n. mtn kip sayı

sı

nın (yani serbestlik dereceeri say s

ı

nı

n)hesaplanmas ı

' E ş bölüş üm yasas ı serbestlik derecesi baş ı na enerjinin kT/2 olacagial öngörür.Bir sal ı ngan için-ki elektromagnetik alan ı n le'ipleri. basit harmonik sal ı nganlar-d ı r-kinetik enerjiden gelen kT/2 katk ı s ı na,ayn ı büyüklükte bir potansiyel ener-ji katk s ı elik eder ve sonuç kT olur.

5 .12. • Bu sonuç bize yine gerekecek ve Bol. 23'te çlkaracag ı z.Kip say ı s ı

dür,ve enine elektronagnetik dalgalar ı n iki boyutlu harmonik sal ı ngana karşı l ı k

gelmesi nedeni ile,hu sayıfazladan bir 2 çarpan

ile çarp lir.



Klasi k Fi z i ğ i n . S ı n ı r l a r ı

(1 7) Ra yl e i gh- J e a n s y a s a s ı (yasan ı n ç l k a r ı lmas ı n d a, J e a n s'i n k atk ı s ı a z -

d ı r ) yü k s e k fr e k a n s l a r d a d e n e y e uy m a z , fa k a t a l ç a k f r e k a n s l a r d a k i d e n e l e ğ r il e r

( Ş ek.1-2) ile uyu ş u r; W i e n fo rmülü i s e y ük s e k f r e k a n S l a r d a i y i ç a l ı ş m akt a d ı r .

Ra y l e i g h -J e a n s y a s a s ı ,öngordü ğ ü top lam e n e rj i yo ğ unlu ğ unun(tüm f r ek a ns Ia r üze-

rinden tümlenen ı ) sonsuz olmas ı n d a n do l ay ı , g e ne l a n l a m d a d o ğ ru d e ğ ildir.

I900' d e M a x P l a n ek,yüks ek f r ek a ns Wien formü lü il e a l ç a k f r ek a ns

R a y le i g h -J e a n s y a s a s ı n ı n a r a s ı n ı z e ki c e dol dn r a r a k,bir formü l bul du.Du formü l

ı),T) -n3h)3

Ğ

e

k , )/kT

lt(),T)-nh, ) 3

h.)/Vr( 1 —-I

c 3

8ıe-~

C 3

b i ç i mi n e i n d i r g e n ir . P l a n c k ' ı n (1-8) formülünü,kip say ı s ı bunu (1- 7)' d e n , e n e r -

ji yo ğ unlu ğ u n u kT 'y e b ö l e r e k e l d e e d e r i z ] i l e , s e r b e s t l i k d e r e c e s i b a şı n a o rt a-

l am a e n e rj i ola r a k yo ruml an ab i l e n b a ş k a b i r ç a r p a n ı n ç a r p ı m ı b i ç imi n d e ,

V11)

h s . ,/kT--

/C

o8 TINiZ

kT44!"kT

),) kT1-lo)Ğ 3—

ol a r a k y e n i d e n y a z a l ı m . B b y l e c e , f r e k a n s l a r ı n kT/h ife ka r ş ı la ş t ı r ı l d ığı n d a k ü ç ü k c

ma d ı klar ı z am a n k l asi k e ş b ö I d a d m y a s a s ı n ı n d e ğ i ş ti ğ i n i g ö r ü r ü z . E ş bülü ş üm y as a s ı n . -

d a k i b u d e ğ i ş im, k ip le r i n f r e k a n si a r ı n a b a ğ l ı b i r o r t a l a m a e n e r j i s i ol d u ğ unu,ve

yüks ek f r ek a ns kipl e r inin orta l a ma e n e rjis inin çok kü ç ü k ol du ğunu gösterir.%

e tk i n k e si li r R ay l e i g h-J e a n s yo ğ unluk formü lü nd eki gü ç l ü ğ ü o r ta d a n k a l d ı r ım: bi-

rim bac ı ml ı h i r .kov ı ı kt ak i top lam e n e r j i a rt ı k sonsuz d e ğ i l d i r, v e

eU ( T ) ı , )1k."1"

--

4 —8 h(kT)r < T )

c3 /Jo 4

Sirk T4 (Jr 1-11)

o x — 1

(1-8)

d i r , b u r a d a h P l a n c k s a b i t i a y a r l a n a b i l i r b i r p a r a m e t r e d i r , s a y ı sal d e ğ e r i .

h = 6.63 x 10 -27 erg-n olarak bulunmu ş tur .% y a s a , -)oldu ğ un d a R ay l e i g h

-Jeans y a s a s ı y l a yakla ş ı r ; v e f r e k a n s b ü y ü k i ke n , y a d a d a h a d o ğ rusu, h ı) »kT

oldu ğ u z am a n

(1-9)

3



3 _x ec e -e Z

M 1—I

6uantum Fizi ğ i

buluruz.Bu tümlev hesaplanabil ı r,6

ve sonuç olarak birim hacim ba şı na. toplam

ışı n ı n enerjisinin,Stafan-Boltzmann ifadesi olan

U(T) =4

( 1 - 1 2 )

:edeedilir;burada a =. 7,56 10-15 erğ /cm3 derece ' dir.Bu sonuç,ba ş taki sa-•

yı sal sabit d ş ı nda termodinamik usiamlama ile çok önceden d e ç ı kart ı lmı ş t r

As ı l ebölüşüm yasas ı ndan uzakla ş ma hiç beklenmedik birş ey de ğ ildi.Bunun bir

sonucu öz ı s ı lar n Dülung-Petit ya saslyd ı .Tüm katilar içia,atom(ya da molekül)-

ağ ı rlı kları ile öz ı s ı lar n çarpı m ı n ın sabit oldu ğ unu deyimleyen bu yasa ile

uyu ş mazl ı kları n gözlenhiesi 1872 y ı l ı na kadar uzan ı yordu.?

Bu uyu ş mazl ı klar öz

ı s ı n ı n alçak s ı c akl ı k l a r d a a z a l d ığı n ı gösteriyordu.8

Formülünün bu kesin ba ş ar ı s ı Planekt ı ,onun 'kaynağı n ı aratı rmaya yöneli-

ti;. ve iki ay içinde,elektromagnetik alan ı n her bikipinekarg l ı k gelen e-

nerjinin(kT ortalama de ğeri ile) sürekli olarak de il,bunun yerine bir E en

küçük enerji kuantumunnn tam katlar ı olaraludeigtiğ i ı ı i varsayaraa,formBlül-

çı karabilece ğ ini buldu.Bu koşullar altı nda,T s ı c a kl ığı n d a d e n g e d e olan bir

-sistem için,

E

Boltzmann olas ı l ı k dağ ı l ı m ı kullanlarak,her bir kipekarşı l ı k gelen ortalama

enerjinin hesab ı .,

E = Z E (E)EnE./kT

nE., e

e-rteikT

O

n1.0l Y 7 --T 4

= n5E ş bölü ş üm yasas ı naöre Nsalıngan1 1 , b i r topluluğun (a:ralar ı nda esnekkuv-vetler olan atomla ı n olu etu r du k Ubi ş r g i i bu ş iekilde düa'*iniilliir) enerjisi 3NkTdir; katı igindeki:.sal ı rganlar,kaPall bir ortaudaki ı şı n ıwgibi iki boyutlu de-

ğ il üç boyutlu oldu ğ undan 3 çarpanı vard ı r.Bir molün öz ı s ı s ı se,T'ye göre tü-rev al ı n ı p N = N Avagadro say ı s ı n ı n konulmas ı yla elde edilir.BbyleceC , „ =3N o k = 3R o?ur,burada R = 8,28 x 107 er derece dir,

8Ö z ı s ı lar,Bölüm 20'de k ı saca tartışı lacakt ı r

-

F

İ kT

P(E) -1 -13)e- E/kT



-xC

6.63 x 10 -27x 3.00 x 1010

3.3 x 10-12

erg6 x lo -5

tumlar ı n ı n s a y ı s ıIDO x 10

7

x 1020

k n a n tum/sn-12

=3.3 x 10

Kl a s i k F i z i g i n S ı n ı r l a r ı ,

le—nx

d X. fl O

C r

e - 1 1 'x

T

so nucunu v e r i .Bu sonu ç,

( 1-1 4 )

E = ha

1-15)

ö z d e ş l e m e s i n i y a p m a k v e k i p s a y ı s ı n ı d e ğ i ş tirmemek ko ş uluyla (1-10) ile nyn ş ur .

P l a n c k k a v u k d u v a r l a r ı n d a k i atomlarin.bilinmeyen bir nedenle', (11 = 1,2,3,...)

e n e rj i li " ku antuml a r" h ali n d e ışı m a y a p t ığı s a v ı n ı ö n e s ü r d ü . B i r k a ç y ı l sonra

Einstein •amanetilgsjn ı m ı n J l Eçilieneriiektt (u"t"n"r""bir"-

luluğu g i b i d a v r a n d ığı n ı orta y a koydu.9

Planck' ı n say ı n ı n tutarill g ı da böyle-

c e s a ğ l a n d ı .

Ku antum b as ı n a t a şı n a n e n e r j i s o n d e r e c e k ü ç ü k tü r . Op t i k b ö l ge d e k i l ı f ı k,

ö r e e g ı1= 6000 A ° i ç i n ,

in) = h

d i r .Buna g ö r e,100 w a tt'llk bir k a yn a g ı n y a y ı n l a d ığı b u d a l g a b oy u n d a k i ışı k kuan-,

d ı r.Bu kadar çok say ı d a kua ntum bulundu ğ und an, ışığı n p a r ç a c ı k do ğ as ı n ı o ğ r u d a n

do ğ r u y a g ö r e m e y i ş imizin ş a ş ı l a c a k b i r y a n ı olma s a g e r e ki r ; ma k roskopik boyut-

l a r d a k l a s i k o pt i k te n b i r s a p m a n ı n b e k l e n e m i y e c e ğ ini g ö r e c c ğ i s.Yi n e d e , P l a n ck' ı n

k e n d i fo rmülün e v e r d i ğ i a n l am, b i z im ışı n ı m konusun d ak i g ö r ü ş l e r i mi z i k ö k ün d e n

de ğ i ş tiriyor.

B. F a toel ektr ik Ol a y

P l a n c k f o r m ül ü n e k a d a r b a ş ar ı l ı ol duys a ,bunun sonuc u ol a n ışı n ı m ı n ku an-

tumlu do ğ a s ı n ı a n l a m a k d a o ka d a r z o r o l d u . % k a v r a m ı n b e n i m s e n m e s i n e ö n e m l i b i r

katk ı Al b e r t E i n s t e i n' ı n ç a l ı ş ma s ı nd a n g el d i ; Einstein 1905' d e,g ö r ü nü r ve ı ı ;or.-

V e r i l e n bir r e k a n s ı n d e i s t e n e n h e r t a m s a y ı k a d a r k u a n tum b u l u n a b i l i r , d o -la y ı s ı yl a n = 0,1,2,3,. . . . . olma k üzere e n e rj i nb ı )e ğerlerini alabilir.



Snantum Fizigi

ötesi ı ş ı k ile ayd ı nlat ı lan metallerde gözlenen baz ı dei ş ik özeikieri aç k-

lamak için, ışığın kuantumln doğ as ı kavramı n ı kulland ı .

Fotoelektrik olay ı n ı ,1887'de Ilertz bulgulad ı .liertz,elektromagnetik dal-

galar konusundaki ünlü deneyleri ile u ğ raşı rken,ikincil devredeki k ı v ı lc ı m ara-

liginin uçlar birincil devedeki kv ı leimdan gelen morötesi I ş ı kla perdelen-

diğ i zaman,ikincil devredeki indiiklenmi ş kv ı le ı min uzunluğunun k ı sald ığı n ı

buldu.11ertzlin güzlemleri büyük ilgi çekti ve yap ı lan ba ş ka deneyler ile

gı daki gerçekler ortaya ç ı karı ld ı :

1. Parlatilmı s metal levhalar ış ı nland ı gı nda elektron yayinlarlar10

;

pozitif iyon yay ı nlamazlar.

2. Levhaları rı elektron Yay ı nlayip yay ı nlamamalar ı ş ı ğ ı n dalgaboyuna

bağ lidr.Genel olarak metalden Metale de ğ i şen bir eik de ğ eri vard ı r: Yaln ı z,

frekans ı verilen eik frekansindatibüyük olan ı ş ık bir fotoeektrik ak mıdo-

ğ urur.

3 . A k ı m olu ş uyorsa,onun büyüklüğ ü ı şı k kaynağı n ı n yeğ inliğ i ileoranti.-

l ı dı r.

4. Fotoelektronlar ı rı enerjileri ı ş ı k kaynağı n ı n yeğ inliğ inden bağı ms ı z-

d ı r,fakat geen ı ş ı ğ ı n frekans ı na çizgisel olarak ba ğ l ı d ı r.

Fotoelektrik olay klasik elektromagnetik kuram çerçevesinde anla şı labil-

mel ı dir: çünkü metallerde elektronlar ı n bulunduğu nilinir,vebunlar n ışı n ı n

sogurnrak ivmeleneceğ

i diisündlebilir.Bununla birlikte,olayı

n frekans bağ ı

mlı

lı

-ğ ı bu çerçeve içinde anlas ı lamaz.Bir elektromagnetik dalgan ı n taı dığ ı enerji,

kaynağ ı !) ye ğ inliğ i ileorant l ı dı r ve frekans ın enerji ilehiçbir ilgisi yok-

tur.Bundan ba ş ka,olay ı n klasik bir aç klamas ı ,tek tek fotoelektronlarda topla-

nan enerji yoğ unla ş malar ı n ı kapsamal ı dı r.Ayrı ca da bu aç ı klamada,hu yoğ unlasma-

lar nedeni ileyeginlik azaldkça gecikme artmak üzere, ışı n ı w ın gei i ile

elektronun ayr ı l ış l arasnda bir zaman gecikmesi bulunmal ı d ı r.Gerçekte ise böy-

le bir gecikme,gelen I ş inin) çok düş ük yeğ inlikteyken bile gözlenmemistir: böyle-o

bir gecikme varsa da,10u'den daha büyük de ğ ildir.

Einstein, ıj ı ş ı ğ ı n frekans ı olmak üzere, ış inı m ı hnerjisi kuantumlar-

dan olu ş an bir topluluk olarak dil ş iindü.liir tek kuantum bir elektron taraf ı ndan

yutulursa-yuk a r da sözünü etti ğ imiz 10-9saniyeik üst sn ı rdan daha k ı sa zaman

alan bir sfireçle-,elektronun enerjisi bir 111) miktar ı kadar artar.13u enerjinin

bir k smi elektronn metaiden ay ı rmaya harcanacakt ı r.W 12 fonksiyonu denen bu

enerji miktar ı n ı n metallen metale de ğ i ş mesi beklenebilir,ancak elektron ener-

jisinden bağ ı ms ı z olmal ı dı r.Geri kalan enerji eektronun kineik enerjisini

saglar.Olay böyle betimlendiginde,elektronun v h ı za ileışığınrekans ı

,Bdyle olduğ u e/m blçümii ile saptanmi ş tl.



Kla..ik Fizi ğ in S ı n ı r l a r ı 40 50 60 70 80 90 100 110 120

43)c 90 sn-

Ş e k . 1 -3 M et a l d e n ( l i tyu m) ç ı k a n e l e k t r o n a k ı m ı n ı d u r d u r m a k i ç i n g e r e k l i g e c i k t i -

r i c i po t a n s i y e l i n ,ya d a e ş d e ğ e r o l a r a k , e l e k t r o n k i n e t i k ' e n e r j i s i n i n ,g e l e n ışığı n

f r e k a n s ı n a g ö r e d e ğ i ş i m i n i g ö s t e r e n fotoe l e k t r i k o l a y v e r i l e r i . Do ğ runun e ğ imi

h/ e ' di r .

a r a s ı nd a1 . . . .

n"" ba ğı nt ı s ı n ı n olmas ı b e k l e n i r . Bu formül , e ş ik etkis ini v e - el ektronun kinetik en e r -

j is i i l e , f r e k a n s a r a s ı n d a k i ç i z g i s e l b a g ı ntly ı k a p s a r . A k ı n a i l e k ay n ak y e g i n li ğ i

a r a s ı n d a k i o r a n t ı d a , foton d e n i l e g e l e n ışı k k u a n t a m l a r ı n a d a y a n a r a k a n l a ş ı labilir:



10uantum Fizi ğ i

Daha yedin bir ışı k kayna ğı daha çok foton yay ı nlar ve bunlar da daha çok elekt

ron aç ığ a ç ı kar ı rlar.

Kapsaml ı deneyler yapan Hillikan,Einstein'in formülönün do ğ rulu ğuna kana .

(Şek.1-3).Hillikan deneyleri ve daha önceki deneyler

şu gerçe

ği gösterdi:

I şı k bazen bir parçaelklar toplulu ğ u gibi davran ı r ve bu "parçae ı klar" bireysel

olarak davran ış gösterebilirler.Bilyie olunca,tek bir fotnnun varl ığı n ı dü ş fine-

bilme ve özeliklerini ara ş t ı rma olana ğı do ğmaktad ı r,Ba deneylerin bir yan ü-

rünü ise metaller konusunda elde edilen bilgiler oldu.k.nin birkaç elektron

volt(1 eV = ı ,6 x 10 -12 erg) basama ğı nda olduğ u ve bunun metallerin öteki öze-

likleri ile uygunluk sağ lad ığı bulundu.

C. Compton Olayı

I şı n ı m ı n parçac ı k do ğ a s ı : konusunda en dolays ı z kan ı t ı veren deney Compton

olay ı denilen deneydir.Compton verilen bir dalgaboyundaki ışı n ı m ı n(X- ışı nlarl

bölgesinde),hir metal yapraktangeçirildi ğ inde,klasik ışı n ı n kuram ı yla ba ğ da ş mayan

bir ş ekilde saç ı ld ığı ni bulgulad ı .Klasik kurama göre olay ı n i ş leyi ş i,gelen ış ı -

n ı mla zorunlu sal ı n ı ma geçen elektronun yeniden I ş inin yapmasidir ; ve bu

yi ş ,bir Fl aç ı s ı nda,gelen ışı n ı m ı n dalgaboyuna ba ğ l ı olmayan ve (1 + CO22o) gi-

bi de ğ i ş en bir ye ğ inlik gözlenmesini iingörür.Compton verilen bir aç ı dan saç ı lan

ı ş ı n ı m ı n iki bile ş eni oldu ğ unu buldu: Bunlardan birinin dalgaboyu gelen i ş ini-

m ı nki ile avn ı ,öbürünü n dalgaboyu gelen ışı n ı m ı n dalgaboyuna göre aç ı ya ba ğ l ı

bir miktar kadar kaym ış t ı r ( Ş ek.1.4).Compton,gelen ışı nim ı 1 1 - . )nerjili foton-lar ı n bir demeti olarak ald ı ; ve saç ı lan ışı n ı m ı n "de ğ i ş mi ş " bile ş enini,tek

tek fetonlar ı n tek tek elektronlarla esnek saç ı lma yapt ığı n ı dü ş ünerek aç ı kla-

yabildi.Eenek bir çarp ış mada enerji gibi momentum da korunmal ı d ı r ve dolay ı s ı y-

la önce foton için bir momentum tan ı mlanmal ı d ı r.Cöreli parçac ı k kinemati ğ ine

benzeterek,

= h/ c1-1 7)

oldu ğ unu kan ı tlayal ı m.Bu de ğ er,enerji ve momentum aras ı ndaki göreli ba ğı ntidan

ç ı kar:

E<,„ 2 ) 1 4- (T

1-18)

Burada rn. parçac ığ ı n durgun kütlesidir.Bu momentumdaki h ı z

pc ag2 C1-19)v = dp - - ( n , , , , ; c 4 + ?ı c al1/

j l ı r.Fotonun h ı z ı her zaman G oldu ğ una göre e fotonun durgun kütlesi' s ı f ı r olma -

11d ı r. Böylece (1.18) ha ğı nt ı s ı

= l ı e



1, K l a s i k F i z i g i n S ı n ı r l a r ı 11

oŞ e k . 1 -4 . K a r b on d a n s e ç i l e n ışı n ı m ı n spektrumu.Solda 0,7078 A 'de

d e ğ i ş memi ş ç i z g i v e s a ğ d a 0,7314 0 'd e k a y m ış ç i z g i g ö r ü l ü vo r . i l -

ki l i lk g e l e n ışı n ı m ı n d a l g a boyudur .

v e r i r , v e b u r a d a E = honuldu ğ un d a ,(1-17) e l d e e d i l i r . (12 0) b a ğı ntis ı ,bir

e l e k t r o m a g n e t i k d a l g a n ı n e n e r j i v e mom e n t u mu n u n i n c e l e n m e s i n d e n d e ç ı ka r ı l a b i-

l i r , a n e a k b u r a d a k i b e n z e ş i n t a rt ış ma s ı d a h a b a s i tt i r .

Ş i m d i i l k mom e n tumu ; ol a n b i r f oton u n , d u r g u n b i r e l e k t r o n ü z e r i n e g e l d i -- ►

g i n i d ü ş b n e l i m . Ç a r p ış ma da n son r a,Potonun momentumul ektron P momentu-mu ile geri teper .Momentumun ko runumu( ş ek.1-5),

p =

v e r i r , b ur a d a n d a

- .P 2 = (P - P')22

+. 2

- 2P • P

ç ı k a r . E n e r j i kor u n a mu i s e ,

+ n N C " , = ‘NN)'Fl N N 2 P 2 21412

oldu ğ u n u g ö s t e r i r , b u r a d a m e l e k t M o n u n d u r g u n k ü t l e s i d i r . B ö y l e c e ,

v . , + c k +kN Yy,c 2 - Y r

1 , ) - ) 1n.kc2 (kN)—h,) + nı Ic 4

olur .üte y a n d a n (1-22),

1 ,2 = 1 2+ır t• os (, )

c e

b i ç i mi n d e y e n i d e n y a z ı l a b i l i r . B u i s e ,

(1-21)

(1-22)

(1-2 3 )

2 .



12uantum Fiziki S aç tan

fo'E on

G a tenerike>en

f o k o r ,

Ş ek.1-5 Compton olay ı n ı n kinemati ğ i .

p2 c 2 = ( i n ) - h ) > ' ) 2 + 2(h ı ))(b4 ' )(1-cos 0 )1-24)d emektir ;bur a d a 0,fotonun s a ç ı l ma a ç ı s ı d ı r.BOylece

( ı -coso) = rn c'

N)')

v ey a e ş de ğ e r ol a r a k,

- (1- cos 0)1-25)c

e l d e e d i l i r . D e ğ i ş mi ş bil e ş e n i n ö l ç ü m l e r i y u ka r d a k i ö n g ö r ü , ile ç ok iyi uyu ş ur .

De ğ i ş memi ş çizginin atomun bütiinünden saç ı larak olu ş tuğu sanı l ı r.Çünkü bir a-

tom e l e k t r o n d a n b i n l e r c e k e z d a h a k ü t l e l i ol d u ğ u n d a n , m yerine atom kütlesinikoyacak olursak dalgaboyundaki kayma çok kfigük olocakt ı r.Uzunluk boyutunda olar

k/ f r a c ni c e l i ğ ine e l ektronun Compton d a l g a boyu d e n i r v e büyüklü ğ ü

h2.4 x 10

-10e m

m c(1-26)

d i r 4 l e k t r o n u n g e r i t e p m e s i d e ö l ç ü l m ii ş v e k a r a r a il e uy ı t u k u g ö r ü l m ü ş tür.Bun-

d a n b a ş k a, ç ı k a n foton v e g e r i t e p e n e l e k t ro nun e ş z a m a nl ı olarak ortaya ç ı ktığ ı

da,yüksek z a m a n ç ö z m e g üç l üü ş i j a d e ş d e n e y l e r l e - b e li r l e n mi ş t i r . b yl e y s e ç a r -

p ışma n ı n b ay a ğı " b i l a r d o top u" t i pi n d e b i r ç a r p ış ma olarak yo ruml anm as ı n d a , y a -

ni f otonun parçac ı k g i b i d a v r a n ışı ko n us u n d a h e r h a n g i b i r ş üphe yoktur .Anc a k

ışı n ı n d a l g a ö z e l i k l e r i d e g ö s t e r d i ğ i n d e n , v e k ı r ı n ı m v e g i r i ş im olu ş turdu ğ un-

d a n b a z ı k a v r a m s a l g ü ç l ü k l e r i n ç ı kmas ı n ı b e k l e m e l i yi z . G e r ç e k t e n v a r o la n b u

g ü çlük l e r i b ö lümün so nun d a t a rt ı ş e c a ğı s .



K l a s i k F i z i ğ in S ı n ı r l a r ı 13

D. El ektron K ı r ı n ı m ı

Opt i k te k i F e r M a t i l k e s i i l e m e k a n i k t e k i e n a z . e y l e m i l ke s i a r a s ı n d a k i b e n -

ze ş imd e n yol a ç ı ka n D e Brogl ie,1923' d e ş u s a y ı ö n e sü r d ü : , I ş ı n ı m ı n d a l g a - p a r ç a c ı k

i k i li do ğ as ı n ı n k a r ş ı l ığı ol a r a k m a d d e n i n d e b i r p a r ç a c ı k - d a l g a ikil i do ğ a s ı bu-

lunmal ı d ı r . B u n a g ö r e b e l l i ko ş ul l a r a l t ı n d a p a r ç a c ı kl a r d a l g a ö z e l l i ğ i ta şı ma l ı d ı r .

D e B r o gl i e p a r ç a e l g a b a ğ l a n a n d a l g a h o yu i ç i n ş u ifadeyi öne siirdii: 1 1

h

'PB ur a d a h B l a n c k s a h i t i, v e ? p a r ç a c ı g ı n mom e n tumu d n r . D e B r o gl i e ' n i n ç a l ı ş ma s ı bü-

yü k i l g i g ö r d ü ,v e b i r ç o k k i ms e e l e k t r o n k ı r ı n ı m ı n ı g ö z l e y e r e k ,fo r m ü l ü n do ğ r u l a-

n a b i l e c e ğ i n i ö n e s ü r d ü . Bu ol a y ı n d e n e l g ö z l e m i ,Do vi s son v e Ge r m e r ' i n d e n e y l e r i y-

l e o i d u . D a v i s son v e G e r m e r e l e k t r o n l a r ı n b i r k r i s t a l y ü z e y i nd e n a a ç ı lmas ı n d a , b e l -

l i d o gr u l t a l a r d a k i s a ç ı lm al a r ı n y e g l e n d i g i n i b u l d u l a r .

Ş e kil 1-6,ne olup bitti ğ i n i n b asitl e ş tirilmi ş bi r g ö r ü n t ü s ü d ü r . D ö n e m s e l b i r

ya p ı d a n d a l g a l a r ı n s a ç ı lmas ı n d a kom ş u s a ç ı l m a "d ü z l e m le r i " n d e n g e l e n d a l g a l a r a r a -

s ı n d a ,bü yü k l ü gü (21 1 / ;\) 2 a s i n 0 o l a r a k v e r i l e n b i r e v r e f a r k ı b u l un u r . B u e v r e

f a r k ı , n bir ta ms a y ı olmak üzere, 21 .1 n 'e e ş it ol dugund a ,y a ni

2 C ı sin 01-28)n

i ç i n , y a p ı c ı gi r i ş im olu ş a c a k t ı r .(1-27) ba gl a ntl e ı n ı n k u r u l m a s ı ko ş uluyln,Davisson

v e Ge r m e r 'i n g ö z l e d i k l e r i g i r i ş i m d e s e n i y u k a r d a k i fo r m ül i l e uy g u n l u k s a g l a y a h i -

l i r . B u d o gr u l a m a d a l g a m e k a n i ğ i n i n g e li ş m e s i n d e ö n e m l i b i r a d ı m olu ş turmu ş tur.

P a r ç a c ı k k ı r ı n ı m d e n e y l e r i o z a m a n d a n b e r i h i d r o je n v e h e l yu m mol e k ü l d e -

m e t le r i v e y a v a ş n ö t r o n la r l a y a p ı lm akt a d ı r . N d t r o n k ı r ı n ı m ı ö z e lli k l e k r i st al y ap ı -

s ı n ı n i n c e l e n m e s i n d e y a r a r l ı d ı r . K ı r ı n ı m d e n e y l e r i i ç i n g e r e k l i e n e r j i kon u s u n d a

k a b a c a b i r b i l g i e d i n m e k i ç i n , kr i s t a l a r a l ı k l a r ı n ı n A n g s t r ö m b a s a m a ğı n d a o l d u ğun u o

b e l i r t e l i m . N i k e l k u l l a n a r a k y a p ı l a n D a v i s so n -G e r m e r d e n e y i n d e a ğ s a biti a = 2 .15 A

` i d i . B u n d a n d o l a y ı 3t, 10-8

c m b a s a m a ğ ı n d a v e b unun so nucu f›, .. h L/2 s 6 .6 x 10-19

g r . c m / s n ' d i r . B ö y l e c e e l e k t r o n l a r i ç i n k i n e t i k e n e r j i f / 2 n ae

= (6.6 x 10 -19 ) 2/

11De Brogl ie h a ğı nt ı a ı , B ö l ü m 2'd e k i d a l g a t a r t ı ş ma s ı n d a n a k l a ç o k y a tk ı n

b i r s o n uç o l a r a k ç ı k a r .

12 D e Br ogl ie n e r i s i n i n d o ğ rul a n m as ı n ı n t a r i h ç e s i J a mm e r , T h e

C o n c e pt u a l D e v e lo pm e n t of Qua n t u m M e c h a n i c s a d l ı k i t a pt a bu l u n a b i l i r .

( 1 - " 7 )



14 Ku antum Fi z i ğ i

fek.1-6. El ektron s e ç ilmes i g eometr is inin şe m a t i k ç i z i m i .

(2 x 0.9 x 10-27 ) 25 2.5 x 10 -r g , v e n ö t r on l a r i ç i n p 2 /2 r r ı n =(nrke /r o y , )x(elekt

ron enerjisi) :r2g (1/1840) x 2.5 x 10 -10 e r g 55 1.3 x 10 -13 a r g olur .Bu en e rjil e r ,

d a h a uygun ol a n el ektron volt c ins ind e n y a kl a şı k o la r a k s ı r a s ı yl a 1 6 0 eV ve 0,08

e V

Ma k roa kobik bl ç ekte,p a r ç a c ı k l a r ı n d a l g a g ö r ü nümü bizim onl a r ı g ö z l e m e y e t e -

n e k l e r i m i z i n d ış iude d ı r . 1 0 c m / s h ı z l a g i d e n , 0,1 mm b üy ük lü ğ iind e bir d amlan ı n De

B rogli e d a lg a boyu , k = 6.6 x 10 -27A x 10-5°-:= 1.6 x 10 -22 e m i dir„P rotonin ı "bü-

yüklü ğ ü" 10 -14 e m k a d a r o l d u ğ un a g ö r e , boyutla r ı 10 -4 c m' d en ö n eml i öl ç ü d e büyük

Ol a n b i r n e s n e n i n , d a l g a ö z e l i k l e r i n i g ö z l e y e b i l m e n i n b i r y o l u ol m a d ığı a ç ı kt ı r . I -

şı n i m i n p a r ç a c ı k ü z e l i k l e r i n d e o l d u ğ u gibi t i k i li g ö rün üm•y aln ı z e a,momentum ve bo-

y utu n ç a r p ı m ı h b a s e m a ğ ı n d a o ld u ğ u z a m a n o r t a y a ç ı k a r . B u a n l a m d a , k l a s i k ö z e l i k l e r i

b e l i r l e y e nü çük lü ğ ü d ü r .Kn a n tom m e k a n i ğ i n i n y a p ı s ı n ı n, bu d u rumu çok iy i b e - ,

timle d i ğ i n i g ö r e c e ğ i z .

E. Bohr Atomu

n4 . pe rça ciklar ı n ı n i n c e l e v h a l a r d a n s e ç i l m e s i ko n ns u n d a , 1 908 'd e G e i ge r v e

M a r s d e n ' i n y a p t ığı d e n e y l e r b ü y ü k a çı

s a çılmas

ın

ın ö n e m i n i g ö s t e r d i . B ü yü k a ç

ısa-

s ı lma s i, a tomon Thomson mod el ind e n b ekl eue nl e r l e hi ç uyo ş muyor d u .Bu mo d e l e g ö r e

e l e k t r on l a r , s ü r e k l i b i r a r t ı yük d a ğı l ı m ı n ı n i ç in e g ömü lmü ş l e r d i .R u th e r f or d v e r i -

l e r i a ç ı k l a y a n y e n i b i r mod e l ö n e r d i : A r t ı yükü n tümü ve a tomun h emen h e men tüm



Kl a s i k F i z i ğ i n S ı n ı r l a r ı3tomun boyutIar ı n a g ö r e k ü ç ü k o l a n b i r b ö l g e d e ,y a n i a to m u n c e k i r d e g i n d e

oplan ı yor d u . b i r 1 / r2

k uv v e t i i l e ç e k i r d e ğ e d o g r u ç e k i l e n . e l e k t r o n la r , ç e k i r d e k

s i n d e g e z e g e n s e l y ür ü n g e l e r d e d o l a n l y or d u . N o d e l h e r n e k a d a r o C pa r ç a cıg

ı

ı l m a s i n t n i c e l o l a r a k a ç ı kl a d ı y a a d a i k i a ş ı l m a z g ü ç l ü k l e k a r şı k a r ş ı y a i d i .

d e l e l e k t r u n l a r için periyodik bir h a r e k e t ö n g ö r d llg ün d e n l atsralari rün ışı n ı n

sp ektr uml a r ı n i n n e d e n i n i a ç ı kl ı ya m ı yor d u . Sp e k t r u m l a r b e k l e n e n h a r mo n ik y a p l y ı

(titre ş e n bi r y a y gibi) ta şı m ı yor d u , b u n u n y e r i n e

ı/ t.1-29)1a p ı s ı n ı g ö s t e r i y o r d u , b u r a d aı i ve ni tam sayı l a r d ı r .Ay r ı c a a to mla r a d a y a -

ı k l ıyap ı

k a z a n d ı r a c a k b ir i ş leyi ş t e n d e yo k s u n d u : Da i r e s e l y a d a e l i pt i k b i r

ı r , v e e l e k t r o m a g n e t i k k u r a m a g ö r e , 1 ş ı ma

ı d ı r . B ö y l e c e d o ğ a n s a bit en e rji Yiti ğ i yü zü nd e n, çok k ı s a b i r z a m a n d a

(10-"e n b a s a m a g ı n d a ) , e l e k t r o n l a r ı n ç e k i r d e g e g ö m ü l m e s i y le a tom ç ö k m e l i d i r .

Bu mod el in önerilmesinden ta m iki y ı l somra,1913'cle N iel s Bohr bir d i z i

ost ü l a t i l e r i s ü r d ü . B u po stü l a t l a r k l a s i k f i n i ğ e : k e s i n o l a r a k uy m a m a k l a b i r l i k t e ,

s p e k t r um y a p ı s ı n ı a ç ı klad ı v e a to m u n d a y a n ı k l ı l ığı k on u s u n d a k i p r o bl em i o r t a d a n

ı r d ı . Bob r i u n ö n e r i l e r i ş u n l a r d ı :

1. E le kt ro n-l a r y al r r i z c a, b e lli yo-rü z rg r l~ e -do lmn nb i l r r± e r r - b n - y ö r ü n g e l e r -e a ç ı sal momentum, l ı /2 T1 'ni n t am k at ı olmal ı d ı r , Y a n i , r y a r l ç a p l ı d a i r e s e l y ö -

r ü n g e l e r i ç i n e l e k t r o n h ı z ı

nhr r ı r =1-30)2 . T l

ile k ı s ı ll a n m ı ş t ı r , v e ay r ı c a b u y ö r i i n g e l e r d e k i e l e k t r on l a r i v m e l e r i n e k a r ş ı n

ş ı m a y a pm a z l a r . B u e l e k t r o n l a r ı n k a r a r l ı d u r u m l a r d a o l du k l a r ı s ö y l e n i r .

2 . E l e k tr o nl a r i z i n v e r i l e n y ö r ü n g e l e r i n b i r i n d e n ö b ü r ün e k e s i kl i g e ç i ş -

l e r y a p a b i l ir l e r v e e n e r j id e k i E - E ' d e g işimi,

= E - E(1-31)

f r e k a n s l ı ışı n ı n o l a r a k o r t a y a ç ı k a r . A y r ı c a b i r a to m,e l e k t r o n l a r ı n ı d a h a y ü k s e k

ışı n ı m aogu r ab i li r .

D a i r e s e l y ö r ü n g e l e r l e i l g i l e n i yo r s a k ,h i d r o j e n ,b i r d e f a i yo n l a ş m ı ş h e l yu m

e bu n u n g i b i b i r e l e k t r on l u a to ml a r i ç i u ,bu post ü l a t l a r ı n s o n u ç l a r ı çok kolay-

c a ç ı karilabilirNekirde ğ i n y ü k ü Z e , e l e k t r o n u n ki - e v e y ö r ü n g e n i n y a r ı ç a p ı r

13El i pt ik y ö r ü n g e l e r i ç i n ç o k d a h a z e n g i n b i r y a p ı o r t a y a ç ı kar.Bölfim

2 'd e b u n u n ü s tü n d e d u r u l a c a k t ı r .



16u a n i um F i z i ğ i

i s e , ç e k i r d e ğ i n k ü t l e s i n i so n s uz a l a r a k , C ou lom b k u vv et i n i m e r k e z k a ç k u vvet l e

2Zev (1-32)

r ş e k l i n d e d e n g e l e r i z . b u,(1. . 30) i l e b i r l e a t i r i l i n c e

2 TT ez

ZV = (1-33)

hn

2 T r e 4 Z-rn

h2

n2

ve1

r - 24 n

v e r i r . E n e r j i i s e ,

9 9n h-

z e 2 rn(1-34)

( 1 -35 ) ez

E =v — r

d i r ; v e 2. postli l at i l e b e m e n ,(1.29) g e n e l b i ç i mi n e g ö tü rf i r( Ş e k .l . 7) .

B u n i c c l i k l e r i n bü yü k l ü k l e r i h a k k ı n d a b i l g i e d i n m e k i ç i n bu n l a r ı n h e s a-

b ı n a g i r m e d e n ö n c e , y a r a r l ı o l a c a k b a z ı y a z ı m b i ç i m l e r i i l e r i s ü r o c e g i z . K u a n t um

mek a nigind eki bir çok formiil d e h' d en çok h/2 ng;iıi i k i i r . l b

ınno için

h:- 1.0545 x 10 -27 e r g - s n1 - 3 6 )

2IT

ta n ı ml a r ı z . E n e r j i i f a d e l e r i n d e b a s i t ol s u n d i y e ,erine v.› aç ı sal frekans ı n

k u l l a n a c a ğı z . b u r a d a

CA.) = 2 riN)

dür-Böylece (1.31)9

E - E

ol ur . B e n z e r o l a r a k , l a ı n ı m kuantumu

=*ı ı i . 4

e n e r j i s i n i ta ş ı r . A y r ı c a " i n d i r g e n mi ş d a l g a b o y u" i ç i n ,

c(1-0)

211

ba g ı nt ı s ın i n t an

ı

ml a n m a sıuygundur;böylece De broglie bag

ı

ntı s ı

l

(1-41)

oldu ğ u n u g ö s t e r i r .



1.0

Klasik Fizigin Sı n ı rlar ı7

Ş ek.1-7. Bidroden atomunun Bohr atom modelinden ç ı kar ı lan spektrumo•

kuantum say ı lar ı n ı n varl ı ğ ı eliptik yörüngelarin incelenmesinden ç ı -

kor.Bnerji ditzeylerini birle ş tiren çizgiler ba ş et atomik geçi ş leri

gösterimler.

Bohr'un aç ı sal momentum kuantumlama ko ş ulu,

r n ‘yr=nt (n=

oC _ 137.0388

N

verir.Ayr ı ca,

(1-42)

(1-43)

boyuteuz"ince yapı sabitinin" ortaya atı lmas ı a çok uygundur,ve bunu yakla şı k



18uantumı gi

olarak,1/17 alaeni;Az.13-.1 nicel;kler türfinden,sok d a h a b a s i t if a d e l e r e l d e e d e r i z ,

bunlar:

(1-44)

(J-45)

v e

c Z knc

1 . (Zd Ş ' - ı C

n2

Dikkat edikirne,uzanink boyntanda olan yar ı çap,elektronan indirgenmit;, e m

dalgaboya; ve enerji, nNC.z türünden ya?. ı lmı str.TilmatöMik hesnpla r d=a enerji,

uzunlalzamnu ve momentumm s ı rayla mC 2'. 4i /r n c- t/rnc: 1 .:xe nxc tUriinden

yazaag ı z . n e ls a l mom e ntum h e r z a m a n'nin k a t ı ola f a k or t a y a ç ı k a e a k t ı r .

Dimili 6ohr kuran ı ndan ç ı kan baz ı i n e l i ki e r i b e a a p l ay n I ı m :

p n c 2 . 7 . = (l.51 x 106

eV

-"-=== 0.51eV

3.9 x 10-11 em

i ‘ ıLo

-21 5"

1-3/46)

ve l ı c y l e a e ş u sonuçlar bninnur

(a ) n d ü ş ük) lohr ybrüngesi np ı ,

o3 7 4 , ,.53I –47)Z rn C

(b) Sn dtigiih llobr ydr üugesindeki ele ktronun baglanma erler

ele ktronn E . O (na r ş ı l ı k) dü z ey i n e kor k a k i ç i n g e r e k li enerji,

23.6z

dar .klüyleee,iirnegin hidrojenrie1) , n=2 diiZeyind en n. 1 düz eyine ge ç i

ş

) eV = 10.2 ed 'luk enerji degi ş imine ka r ş ı l ı k g e l i r . B ur a e r g 'e ç 4 .

v i r e r e k , y a y ı n l a n u n ı ş inim ı n frokan z ı b e a a p l a n a b i l i r ,l a k a t b a n a

radien1.3 x 10

-21

1.5 z 1016 rad/an

nde kullanmak daha uygundnr.Eş deger olarak,

mc 2 * * ( 1 -11— -L)e c



Kla sik F i z i ğ in S ı n ı r l a r ı916 ı r

2 - n u r3«.

2Me

0

2 g . 1200 A

e l d e e d i l i r v e b u m or ö t e s i b ö l g e y e d ü ş m e kt e d i r .

Boh r ku r a m a n ı n hidrojen gibi atomlardaki ba ş a r ı s ı ,"Bohr atomu" üze rin d eki

ba ş k a a r a ş t ı r m a l a r a h ı z k a z a n d ı r d ı .BohrişVe ba ş k a l a r ı n ı n ola ğ anüstü baz ı ba ş a r ı la-

r a n o k a r g ı n, ku r a m ı n e ğ r e t i o l d u ğ u a ç ı kt ı .Elektronlar ı n n e z a m a n sula m a y a p a c a ğı

konusund a bi r' ş e y s ö y l e m e d i ğ i gibi,kuantumlama kural ı d a d ö n e m s e l s i s te m l e r e k ı -

sıtlanm

ışt

ı.Sommerfeld ve Wilsoniun d aha gen el olan,

(1-49)

kap al ı

y ö r ü n g e

i f a d e si e b i d r ojen a tosunun dü z e y le r i i le i lg ili ola n l a r d ışı n d a k i p rob lemle r i n

ç ö z ü m ü nd e y a r a r e ı s c l ı .Burad a I r, 9 koor d inat ı n a k a r şı l ı k gelen momentumdur. Bohr

ku r a m a n d a n ş u sonuç l a r ç ı kt ı :

1. Kar şı l ığ ı bulunma i lk e si . Bu ilk e b a ş l ı c a ş unu söy le r : Kla sik f i z i ğ in

sonuç l a r a , k n a ntum m ek a n i ğ i aonuçlar ı n ı n s ı n ı r h a li ola r a k k aosa nm a l ı d ı r .Bu s ı n ı -

r a , " k a a ntum sa y ı la r ı " büyük oldu ğu n d a, ö r n e ğ in Be h r atomu nd a büyük n iç in,u l a ş ı -

l ı r.Bir kez ku~ı -Olaylar_ını ı ı . tatnrIL bir kur am ı ku r uldu mu, bu ku r s a k e n d i li-

ğ i n d e n k la sik f i z i k i b i r s ı n ı r ola r a k k a p a ı yor du .Gon e d e i lk e, ku r a msa l s a n ı l a r a

k ı la v u z lukta çok y a r a r l ı oldu; v e He i se nb e r g ku a ntum m ek a n i ğ i n e d e v s ı ç r a m a s ı n ı

bu ilk e d e n y a p t ı .Bohr atom modelind e kar şı l ığı b u l un m a i l k e s i n i n n a s ı l sa ğ lan d ı -

ğı n ı g ö r m e k i ç i n , n ç o k b ü y ü k o l d u ğ u nd a,bir e l e kt ronu n 1 N 4-1 ku ant um S ay ı l ı

b i r y ö r ü n g e d e n n k u a n t u m s a y ı l ı b i r y ö r üng ey e " a tla d ığı " z a m a n y a y ı n l a d ığı a ş ı -

a lm a n f r e k a n s ı n ı d ü ş ünellm. rik a ç ı a lQ momentumu 4i'den çok büyük oldu ğund an,bu

f r e k a n s b ö lg e si k la sik s ı n ı r ı a r a m a k i ç i n i y i b i r b ö l g e d i r . K l a s i k ol a r a k , ır h ı z ı

i l e b i r d a i r e s e l y ö r ü n ge y e d o l a n a n e l e k t r on u n ,k e n d i h a r e k e t i n i n f r e k a n s ı i l e a -

ş a m a s ı b ek le n i r ; b u f r e k a n s,

-2 -nr

Z etc Z «d. n ı c 2m c2

2 1 1 1 -‘4 :214,3 ( 1 - 5 0 )

olmal ı d ı r .tite yandan geçi ş e e ş lik eden ı ş a n ı m ı n f r e k a n a ı ,(1-31)'e göre

4 =

2 1 114 , 2

MC (Z0) 2

2 1( 1 - 5 1 )

n + 1)2

14Bak S.Roze ntal(basa n),Niels Bohr, North Holand Publishing,

Amstard am,1967.



20uantum Fizi ğ i

olur ve n ii1 için iki yeyaklasr.Dunun anlaml ı bir sonuç oldu ğuna dikkat

ediniz.çünkii yaln ı z,bir n+1geçi ş ine e ş lik eden frekans temel frekansa

karşı l ı k gelir. n büyük de olsa,n+2atlamas ı na e ş lik eden ışı n ı m ı n klasik

karş ı l ığı yoktur.kuantum mekani ğ inde."dairesel yöröngeler" için n+2geçi-

ş inin bulunmad ığı n ı Bn,Iiim 22'de göree ğ iz. 15

2. Aç ı sal momentumun kuantumlanmas ı öteki•darnalarda.dö•geçarlidir.Bunnn

eliptik yörfingelere uygulanmas ı ,hidrojen gibi atomlar ı n spektrumunun daha tam

bir anlat ı m ı ni verir.Aç ı sal momentummn kuantumlu olu ş u,1922'de Stern ve Gerlach i6L

indeneylerinde doğ rudan gözlenmi ş tir.

F. Dalga-Parçac ı k Problemi

I şı n ı m ı nAalga ve parçac ı k özeliklerinden ikisini de , sergilemesi gerçe ği,

a ş a ğı daki düş üncelerden görülecnği gibi,derin bir kavramsal güçlükdoğ urur:

1. Fotoelektrik olay üzerindeki incelememiz,rizellikle yay ı nlanan elektron

say ı s ı ileışı n ı m ye ğ inliğ i aras ı ndaki ili ş ki,elektromagnetik ışı n ı m ı n yeğ inliğ i-

nin kaynağ ın ya~ladğı foton say ı s ı ileorant l ı olduğ unu kuvvetle öngörür. ş im-,

di bir D ü ş ünce Deneyi lizerindd diı relı m.Ru deneyde ışı n ı m,bir çift yarı k sisteMin-

de k ı rı n ı ma uğ raaı n.Kaynağı n Ye ğinliğ inin,ekrana ortalamo, olorak,saat ba şına bir

foton ula ş acak biçimde azalt ıld ı -gın ı varsayallw.hülönmemi ş fotonlarle u ğ raş mam ı z

ğerekti ğ ini , belirtelim: Compion'olay ı da,fotoelektrik olay gibi hir fotonu, r ı ı

frekansl ı fakat enerjisiw i dan küçük olan parçalara ay ı rman ı n olanaksı z ol-

duğunu gösterir.üelen ışı n ı m ı n yeğ inli ğ ini azaltmak,klasik kı rı n ı m desenini at-

kilernomelidir,Çünkil asl ı nda,kaynaktan foto ğ raf levhas ı na çok büyük say ı da foton

gelecek biçimde,yaln ı zca zaman ülçe ğ ini uzatmış oluyoruz.Levhaya bir saat ara ile

gelen fotonlar aras ı nda bir ili ş ki olamaz,onun için bu süreçte,herhangi b i r anda

bir foton bulundu ğ unu dü ş tinebiliriz.Bir fotonun,bir parçac ı k olarak,yar ı kları n

birinden ya da öbüriinden geçeceğ

i sanı

lı

r.Düş

iince Deneyi aygı

timı

za fotonan

15 El ptik yörüngeler için böyle geçi ş ler oluabilir(burada gözönüne a-l ı nmad ı ); ve bu,karşı l ığ r bulunma ilkesi ile uyu ş ur.

16Bu konular,her modern fizik ders kitabı nda tart ışı l ı r(buu-

nundaki kaynaklara bak ı n ı s).17

Bir Dü ş ünce Deneyi,tasarlanabilen bir deneydiraoknik yönden yap ı lama-sa da,bilinen fizik yasalar ı ile uyuş ur.iihylece,güne ş yüzeyindeki çekim ivmesi-nin dlçülmesi bir Düş ünce Deneyidir; oysa, ışı k h ı z ı n ı n iki kat ı hzla giden biruzay gemisinden görünen,güne ş şığı n ı n Doppler kaymas ı nin ölçülmesi saçmad ı r.Bö-lüm 2'de bir Düş ünce Deneyi kurarken,bunun fizik yasalar ı yla tutarl ı olması na ne

kadar ozan göstermemiz gerekti ğ ini görecegiz.



Klasik Fizi ğ in Sı nı rlar ı1yar ı k"1" *den mi yoksa "2" 'den mi geçti ğ ini söyleyen küçük bir izleyici eklersek,

fotonlar ı geçti ğ i yarığ a bağ l ı olarak iki s ı n ı fa aylrabiliriz.Birinci s ı -

nı

f için 2. yar ı ğ ı kmpatabiliriz,çünkü foton bundan geçmez.ikinci sı

nı

f için de1. yarı ğ ı kapatabiliriz.Böylece,zaman ı n bir yar ı s ı için bir yar ı k,öteki yar ı sı

için öbür yar ı k kapal ı olarak deneyi yinelersek foto ğ raf levhaa ı ndaki desenin ay-

n ı kalacağı n ı bekleyebiliriz.Bununla birlikte ikinci deney bir giri ş im deseni vera

mediğ inden desen ayn ı kalamaz.Dyleyse,fotonun hangi yar ı ktan geçti ğ ini bildiren

izleyicinin varl ığı n ı n deneyi etkilemiyece ğ i yar ı:ayin:1 ile bir tutars ı zl ı k vard ı r.

Heisenberg belirsizlik ilkesini incelerken görece ğ iz ki,izleyicinin etkisi giri-

ş im deaenini y ı kay,sonuç olarak da bir tutars ı zl ı k yoktur.Bu a ş amada,bir izleyici

yokken her fotonun bir dalga gibi davranaca ğ ı n ı ,ve fotonun hangi yar ı ktan geçti-

ğ ini aorman ı n anlams ı z olduğunu.belirtmek yeterlidir.Gene de her yar ı k için, ı ş ı -

n ı m ı n bir ortalama yeğ inli ğ inden söz edebilirizt Bu durum tek tek fotonlar için,

sadece bir yar ı ktan ya da öbüriinden geçme olas ı l ığ ı ndan söz edebileceğ lmiz anla-

m ı na gelmelidir.

2 . lentuplemmi ş şı n ı m ı n bir çöziheleyieiden geçi ş ini anlamada,yine olas ı l ı k

kavramı na ba ş vurmak gerekir.Bilindi ğ i gibi I. ye inli ğ indeki bir ı ş ı nx ı ı ,I0cos2o (

ye ğ inli ğ ine düş ecektir; burada c‹, kutuilayini ile çözdmleyicinin eksenleri ara-

s ı ndaki aç ı d ı r.Tek tak fotonlar ı n bölünemez olduğunu kullanarak,bbyle bir zay ı f-

lama yalnı zca ş öyle aç ı klanabilir: Bir fotou,ayg ı tı n yaplaı na„yaniç ı s ı na

bağ l ı bir geçme olas ı l ı ğ ı ile ya geçer ya da sistem taraf ı ndan engellenir.

3. A yn ı ekilde,uzak bir yı ldı zdan gelen ışı n ı m ı gözönüne al ı n ı z.f ı ldı z,c

h ı z ı ile yay lan,uyar ı lm ış bir elektromagnetik alan küresel dalgas ı n ı n kaynağı d ı r.

Bireysel fotonlar thründen,fotonun

burada

otonun yay ı nlanmas ı ndan beri

geçen süredir) yar ı çapl ı bir klire üzerinde ince bir tabaka olarak yay ı ldığ ı n ı dü-

ş ünmek akla uygun de ğ ildir; çünkü "gerçekten" böyle olsayd ı ,fotonun fotoğraf lev-

bas ı nda ya da gözün ağ tabakas ı nda bir tek noktaya düş mesi sağ duyuya ayk ı r ı olurdu.

Bununla birlikte küresel da ğı l ı m ı ,bir fotonun verilen bir kat ı aç ı dd bulunma ola-

s ı l ı ğ ı olarak yorumlayabiliriz.

4 . Bazen verilen bir deneyi hem parçac ı k hem de dalga dilinde yorumlamak

olağ and ı r,fakat gene de klasik olmayan bir görünüm i ş e karışı r.Dicke ve Wittke"

aa ğı daki Düş ünce Deneyini önerdiler( Ş ek.1-8).Telleri düzgün aral ı klerla dizilmi ş ,

ailindirik bir kuş kafesini gözönüne alal ı m ve aral ı k

d. = 2 ITN

18R.B.Dicke ve J.P.Wittke,Introduction to Quantum Mechanics,

Addisan-Wegley,Reading,Mass., 1960.





Klasik i'izi ğ in S ı n ı r l a r ı3Kuantum Ile kaui ğ i n i n m od e r n k u r a m ı 1 9 2 5' d e B e i s e n b e r g , Bor n , S c h r b d i n g e r v e

D ı r a c ' i n ç a l ı ş m a l a r ı i l e b a ş l a d i . B n k u r a m , k l a s ı k d ü ş f i n ü ş ü n b i r k ı sm ı n ı b i r y a n a

b ı r a k m a k k a r ş ı l ığı n d a , ç e k i ş m e l i k a v r a m l a r ı n tümünü u z l a ş ti r m a n i n b i r yolunu b ulu r .

i fizik ü ğ r e n c i s i o l ma n ı n s e v i n i l e c e k y a n l a r ı n d o n b i r i , b n g ü z e l k u r a m ı v e o n u n a r a -

c ı l ığı i l e m a d d e n i n ö z e l i k l e r i n i a n l a m a d a k i Or k e m l i i l e r l e m e l e r i d e ğ e r l e n d i r e b i l -

m e kt i r .

P r ob lemle r

1. Bir koukdaki enerji yo ğ unlu ğ u i l e y a y ı n i a m a g ü c ü a r a s ı n d a ki (i - 1) ba ğı n-

ti ai n i ta n ı tlay ı n ı z . [Y a r d ı m.A ş a ğı d a k i ş e k l e b a k ı n ı z . G ü l ge l i h a c i m e l e m a n ı n ı n bü-

d A

yüklü ğ il r 2 d r c i n A c 1 9 (10 = d V 'd i r ; b u r a d a r , d A a l a n ı aç ı kli ğ ı n i n b a ş l a n g i c a

uz akl ı l d i r ; A d i 4 e y l e y a p ı la n a ç ı v e 5 6ç ı kl ı k b oy u n c a d i k e k s e n i l e y a p ı la n

ba ş ucu aç ı sid ı r .11a cim eleman ı u d a k i e n e r j i ,d V i l e e n e r j i y o ğ unlu ğ u n u n ç a r p ı m ı d ı r .

I ş ı n ı m e ş y ö n s e l d i r , bOy l e c e ç ı ka n ışı n ı m, d A cos A / 4 nr/ :: ka t ı a ç ı s ı n ı n e n e r ji

i l e ç a r p ı m ı o l a r a k v e r i l i r . 4 Bu nicelik G ve 0 ap.ları üzerinden tümlenecektir.

E ğ e r , M a m a n a r n l ığı n d a k i ışı n ı m a k ı s ı aran ı yo r s a , d r ü z e r i n d e n de O'dan

c Q 1 'y e k a d a r tümlenecektir, b u r a d a c6k , verilen zaman a r a l ığı nd a ışı n ı m ı n

g i d e c e ğ i uzaklikttr.)

2. ( 1 - 1) v e ( 1 -1 2 )'yi k u l l a n a r a k , b i r s i y a h c i s m i n b i r i m alan ı ba şı na top-

l a m ışı ma h ı z ı i ç i n b i r f o r m ü l b u l u n uz . G ü n e ş i n b i r siy a h c i c im g ib i ışı d ığ ı a l



24uautam

vavsoylnAz.~h ”r çup ı .1te, ,,, 7 x 10"ew,günein dünyaya ortal~ nznkh ğ l

dü r 1,5 c :10 13 e m , v e g i l n e ş hiti ywai giine4 tepede iken d üny a iize r in e dii1 eu

enerji 1,4 x 106 erg/em2a n o l a r a k v e r i l m i ş o l a u n . Bo b i l g i l e r i k u l l a n a r a k g ü n e ş in

y ü z e y s l e a k l ı .ğ 3n ı k e e t i r i n i z .

3. (1-9) verildi ğ . i n d e bir A Â d a lg eboyu a r a l ı g i n d a k i e n e r j i y o ğ unlu ğ unu

hesaplayiniz.Buldugunuz i f a d e y i k u l l a n a r a k e n e r j i y o ğ unlu ğ u nu e n büyük y ap a n

;k . Aeerini bulun -4 2 z . )1 1 1 1ak

'unİT biçiminde oldugunu 4bk3teriniZ,ma.r

b a yi hesaplyı n ı z v e gU n e .5 i n y ü z e y e x e a kl ı g ı i ç i n k e e t i r d i ğ i n i s d e ğ e r i k u l l a n a r a k

güne ş 1 ,,J111M1 â in ; k l e a k ' n bulunnz.[Y4rdı m, b'yi hesaplarken (5-x) e 5e n k -

leminde x'i çüzmeniz ge .rekeeektir.liunu ç i z g e l olarak ya d a a r d ış t k y akl a şı m l a r

yüntfdmi ile çziintiz; ardı

”k yaklaşı

mlar yünteminde,ünee Ei çin xk ı l ı n ı z.)

L ` 4 . i i n e ş e n e r j i e i n i n n e kadarı 4000 Â000 A - dalgabuyları r a s ı nd a 1 •

ş ı nm ış t ı r ? P r o b l e m l 'd e k e s t i r i l e n T'yı kullanı n ı s.gay ı eal s o n uç l a r e l d e e t me k

i ç i n e n e r ji y tigonlug a nu ç i zg e k a ğ ı d ı nu

5. Evrende,3°K d e n g e s l e a k l ığı n a k a r ş ı l ı k g e l e n k ur a c i c i m ışı n im ı n ı n v a r -

l ı gin ı Osteren-baz ı . . d e n s l k s o s ı ti~ardir:N?ss1.4k11111 ı ¥sresl ı kgelloS ,

Isfato ı s l ı n , ı ı ner»si,besaplar ı m ı z.

6 . 3500 X d a lg aboyu nd aki mo rOt e s i ışı k bir potasyum yüzeyine d d i ş üyor.fo-

toe l e kt ronl a r ı n e n b ü y ü k e n e r j i s i 1 . 6 e V I d u r . P o t a s y u mu n i ş fon k s i y o nu n e d i r ?o

7 . Aliiminyumun fotoelektronlar ı n ı n e n büyük e ne r jisi,2000 A 'l ı k is ı n imo

2 . 3 e V v e 5 13 0 A i ç i n 0 . 9 0 e V ' d u r . 8 1 1 v e r i l e s i k u l l a n a r a k P l a n e k s a b i t i n i

v e a lüm inyumu n i ş t e n k s i y o nu n u h e s a p l a y ı n ı z?

8 . 1 0 0 Me V ' l l k b i r f o t on d u r a n b i r p r o t on l a ç a r p i şı y a r . Foton i ç i n ola b i- ,

l e r e kn büyük e ne rji yit i ğ i n e d i r ?

9 . 1 0 0 k e V ' l i k b i r f ot on d u r a n b i r e l e k t r u n l a ç a r p ışı yor . 90 ° 'l i k a ç x y l a

shçxl ı yor. -Potor ı u n ç a r p ış m a d a n s o n r a k i e n e r j i s i n e d i r ? E l e k t r o n u n ç a r p ış m a d a n

Zonraki kinetik e n e r j i s i e V ol a r a k n e d i r v e h a n g i d o ğ r u l t ud a g e r i t e p e r ?

10. 100 Me V e ne rjili bir e l e kt ron,3 ı 10 7 . Z d a lg ahoylu bir foton (ka r a

cicim i şı nimı nin e v r e n se l 4oa stl. , f tmun e k a r ş ı l ı kt ı r)a r p i ç ı yor .El e kt ronu n

yl*Lrdi ğiAzial~lie ,tynerjl ı dı kadardS24' ,

II. Bir X ışı nlar ı demeti duran elektronlardan sas ı llyor.Demet ekaenineo

göre 60° aç ı yla seçilen X ışı nlar ı n ı n dulgaboru 0.035 A ise,X ışı nlar ı n ı n ener-

jisi nedir?

12. Azot çekirdegi(kiitiesi:4 14<pr oton kütlesi) 6.2 MeV enerjili bir fo-

ton yay ı nliyor.Çeklrdek ba ş lang ı çta durgunaa,çekirde ğ in geri topmv enerjisi eV

olarak nedir?

13. (a) 1 eV'luk bir elektronun (b) 10 MeV'Iuk bir protauun (e) 100 NeV'Iuk



Fizi ğ in Sinirleri5bir elektronun (Uyarı Gareeel enerji formülünü knllan ı n),(d) 'as ı l bir nBtronnn

(kinetik enerliai,T = 30(1° K için,3 kT/2 olan bir nötron olarak tan ı mlan ı r) De

Broglie dalgaboyu nedir? o14. Düzlemsel aral ığ i 3,2 A olan bir kristoli gözönüne al ı n.3 gtriaim

makaim lmu gürebilmek ere ğ iyle (a) elektronlar,(b) helymm çek.irdekleri (kütlesi

244 x proton kütlegi) için gerekli enerjinin büyüklük bosama ğ ı nedir?

-15. Bir mikroskobun çbzetileee ğ i en küçük aral ı k kullan ı lan dalgaboyununo bbviiklük basamag ı nded ı r.(a) 150 A 'l ı k,(b) 5 Alik areiklar bir elektron mik-

roskobunda ey ı rmek için hangi enerjili elektronlar gereklidir?

1 4 . Hidrojen ntomnnun durakta bir durnmunda,elektronun tam say ı da dalga-

boyuna karşı l ı k gelen dairesel bir yörüngeye oturdu ğ u varsay ı l ı rsa,Bohr kuramı -

nın annaçlar

ıyeniden elde edilebilir.ln

ınu göster

ıniz.

17 . Bir kristalde komş u diizlemler arnal uzakl ı k ülçülecektir. 5 ° 'lik bir

a ç ı da 0,5 1 dalgaboyandaki X ışı nlar ı güzlenmi ş se,aral ı k ne kadard ı r? Hangi

aç ı da ikinci. Maksimum ortaya ç ı kar?

18 . Bohr kuantumlama kurallar ı n ı kullanarak,bir harmonik sal ı ngan ı n ener-

ji ddseylerini hesaplay ı n ı z; harmoiiik sal ı ngan için enerji p2/2m t ranu 2 r2/2 dir;

yani kuvvet m 0 . 4 ) 2 r 'dir.Kendinizi dairesel yörüngelere kle ı tlay ı n ı z.Rydberg for-

mülünnenzeri nedir? Aç ı sal momentuman knantumlanmas ı nda kullan ı lan n knantum

aayin ı n ı n bütün de ğ erleri için kara ı liğ i bulunma likeainin sağ land ığı n ı gbateri-

niz.19 . Çok büyük k iç i(r ) n Vo (--F)leverilen bir potansiyel için

Bohr kuantumiama kuralları n ı kullanarak enerji durumlar ı n ı heaaplay ı niz.Potenai-

yelin biçimini çiziniz ve enerji de ğerlerinin E e r : en 2 'ye yakl a ş t ı ğ ı n ı gdateri-

niz.

20. ivmeli bir e yükünün yay ı nlad ığ ı enerji demek olan güç.klasik olarak

22 a erğ/sn

e

ile verilir,burada Il ivmedir.Dairesel bir yörüngede ak.= ı ır/r 'dir.n kunnium sa-

y ı s ı ile belirtilen bir Bohr yörüngesindeki bir elektronun yay ı nladığı gücü bulu-

nuz.Bulunan sonnç,karş ilığ ı bulunma ilkesine gore,n çok büyük oldu ğunda dz kaaı ı -

tum sonuçla nyınlikal ı d ı r.

21 . Bir yörBilgedeki bir elektronun b zunnm h ı zi,p ışı n ı m gününün boannum-

da yay ı nlanan enerjiye bölümü. ile ton ı mianabilir.4 ı n ı m enerjisi için Bohr kura-

m ı ndnki ifadeyi ve P için problem 20'deki ifadeyi kullanerak,elektran n yörünge-

ainden ı ı -1 yöriingesine bir gegi ş yapt ı ğ ı zaman.bozunum h ı z ı n ı n "karşı l ı k gelen"

de ğ erini hesaplay ı n ı z. Bn hoz ın ı um h ı z ı n ı n de ğ eri n = 2 iken nedir?Nuantum say ı -

ları n ı n böyle küçük de ğerleri için karşı l ığ ı bulunma ilkesi geçerli oimAyara ğı ndan



26u antumbu deer,gerçvk kulnitam mekaniksel sonuçla ayumaz.)Geçie,n ydrunesinden n-m

y d r ü n g si n e old ğ zaman bh zunm ı z ı ndir?fimr = (b z nu nmz ı ) -I n e k a d a r d ı r?

22. D ü z l e m se l b i r d d n e r i n k l a s i k e n e r j i s i ,

E = L 2/2 I

i l e v e r i l i r , b u r a ı t a L a ç ı s a l m o m e n t um v e 1 e y l e m s i z l i k m a m e n t ı d i r . D li n e r i n e n e r ji

d d z e y l e r i n i e l d e e t me k i ç i n L o hr k u a n t a m l a ma k u r a l l a r ı n ı uygulay ı n i z„ n l , i l e ,zds-

t e r i l e n d u r n m l a r d a nl e g ö s t e r i l e n d u r u m l a r a g e ç i e l e r d e k i 1 % . ı n ı m i ç i n Bolr

f r e k a n s k o ş ulu v a r s a y ; l ı r s a ,(a) k a r ş ı l ı g ı b u l un m a i l k e s i n i n g e ç e r l i o ld u ğ unu ve

(u) bunun i yanl ı z e a 61I = 7 1 geçislerinin alaca ğı n ı b i l d i r d i ğ i n i g üst e r i n ı z .o

23. B a z e n m ol e k ü l l e r , d d n e r l e r g i b i d a v r a nır.Diinme spektrumu 10' A basa-

m a 4 : ı n d a k ie ln imla b e li r t i li r s e , v e b u 11 2 gibi bir mol e kü l d e ki atowl a r e

a r a s ı u z a k i ı i t ı k e s t i r me d e k ö l l a n ı l ı r e a , n e ç e ş i t ay r ı l m a l a r ( ol a r a k ) e l d e e d i l i r ?

K a y n a k l a r

F.K.fl ı cht mye r,E.1 1 .K e nu a r d v e J .. Coope r,int ro d u ct ion to Mod e r n Physics,

M cGr a w-Hill,N e w York,1 969 .

Roh e r t M a r t i n l U s b e r g , F u n d a m e n t a l s o f M od e r n P h y s i c s , W i l e y , N e w Yor k , 1 9 6 1 .

A r t h u r B e i s e r , P e r s p e c t i v e s o f M o d e r n P b y s i c s , Re G r a w - H i l l , Ne w Yo r k , 1 96 9 .

J o h n D . M e G e r v e y , I n t r o d uc t io n t o Mod e r n P h y s i c s , A c a d e m i c P r e s s , N e w Yor k , 1 9 7 1 .

Rob e r t B . L e i h t o n , P r i n c i p l e s o f M od e r n P h y s i c s , M c G r a w - H i l l , N e w Yo r k , 1 9 5 9 .

M a r t i n Il a r p lus v e R i c h a r d N . P or t e r , Atoms a n d Mole c ule s,W .A .B e nja mi n,

New York,1970.

Eyv ı nd 1 1 .Wichm an n,Qu antum Physic s,M cGr a w-Hill,N e w York,1 969?

R i c h a r d B . F e y n m a n , Rob e r t B . L e i g h t on v e M a t t h e w b a n d s , T h e F e y n m a n L e c t u r e s o n

Physics,Addisou-Wesley,Readingss.,1963.

L i s t e d e k i i l k b e ş k i t a p m od e r n s t a n d a r ti z i k d e r s i n i n ko n ul a r ı n ı k a p s a r ,

y a l n ı z d ü z e y l e r i v e ö n e m v e r d i k l e r i k or l a r f a r k l ı d ı r . O n u n i ç i n b un l a r a f a z l a

k u r a m s a l olmayan b i r i n c e l e m e i ç i n b a ş v u r u l a b i l i r . W i c h k a n n ' ı n k it a b ı ,kuantum

k u r a m i n a a l ışı lmam ı ş b i r g i r i ş v e r i r . T ü m ö n e m l i n o k ta l a r ı vu rgu l a r,u it e l u ygu-

l a m a l a r ı n g e n i ş b i r a l a n ı n ı k a p s a r v e k on u y u bi r a z b i l e nkura • y e n i b i r b a -

k ış a ç ı s ı sa ğ l a r . T h e l ' e y n m a n L e c t u r e s ko l a y c a n i t e l e n d i r i l e m e z . P ı r l a n t a g i b i d i r

v e l i s a n s v e l i s a n s ü s t ü n d e k i h e r ö ğ r e n c i t a r a f ı n d a n o k n nM a l ı d ı r . b ğ r e t m e n l e r d u -

r umu b ild i ğ i n d e n, h ep si n i bol bol oku r l a r .

B e r k e l e y F i z i k P r o g r a m ı C i l t 4 .



bölüm 2

Dalga Paketleri v e B e l i r s i z l i k B a ğ i n t i l a r ı

Ku a ntum m ek a n i ğ i,Bölöm i'de tartışı lan timi olaylar: anlamnmı z ı saglar.bun-

dan baş ka atomlar,moleköller,atom çckirdekleri ve bunlar ı n kömelerinin anla ş ı lmas ı

zaraniuder.Kuaatum mckanigini incelemeye Schrödinger d e n k l e m i v e o n u n ç ö z ö m -

leriuiu uyu.un yorinia ile ba ş layscag ı z. 1 ha denklenizigin alani dJ ş ı nda

kaldig ı ndan,onu klasik fizikten elde etmenin bir yolu yoktur.Bn denklem ancak,

S c h r ö d i n g e r ' i n ya p t ı :ik i g ib i, D e B rog li e le ı d a h a ö n c e k i k e v r a y ış yolunu izllyerek

kestirilebilir.Biz bu kestirimi,elektronlar ı n dalga yu p a r ç a c ı k ö z e l i k l e r i n i n n e -

silörerek,bıraz de

ğişik bir yoldan yörötece

ğiz.

Devran ış larx her ',asaleti dalga gibi olan parv ı cı klar ı n ş e k i lle n imle r i n a

dö ş ünmek z o r d u r . D u n e d e n l e Freenel ve Yourg' ı u kı r ı nim deneyleri,le ı gı n dalga ku r . -

m ı nin tam olarak b e n imse nm e si ile sonnçlanmi ş t r.Öte yandan,çok iyi yerelle ş m i ş

olan dalgalar ı n ş e k i l l e n i m l e r i , d ü ş ö n ö l eb i li r .(Bi r g ö k g li r i em e si, d a lg a lor ı n östüs-

te gelmesiyle zaman i ç i n d e y e r e l l e ş mi ş bir olay olu ş ı kas ı na bir örnektin) Böyle ye-

relle ş mi ş "dalga paketleri", farkl ı frekanal ı dalgalara verilen bir u z a y b ö lg e si n i n

d ı ş ı nda birbirini hemen hemen tam olarak eöndürecek biglmde,östüste getirerek yap ı -

labilir,Bunun yapilmusi Fourier tümlevlerani gerektirir,ve bunlar Ek A'da Fourier

serilerini bilen veiş

in matematiği özerinde durmuyançin ösetlenmi-

tir.

n k ola r a k ,

-o°

Y(x) =dk (k) e

00

D e ğ i ik bir yakla şı m ll.P.FeyamAn, li.D.Leighton,ve M.Sand Feynman

ctures on Phyeics,Cilt I IU, Aill4i son-W e e ley ,R e e d i ng , M a ss. 196 4' de bulunabilir,

2 7





Dolra Paketleri9olur.ayise sabitin gerçek deeri önemli de

ğildir; önemi olan otdan ba k

ım-

s i z o l m a s ı d ı r.Dn,birbirlerinin rourier döiW ş m ösö olan fonksiyonlarin genel bir

teli idir(brl. 2.1).nunn

Ax :)(1)2-7)

formiiHi ile gösteririz,bura•u Ax ve Ak. iki dağı l ı mn "geniali "leridii; ve

bu çarp ı alln,ilgilendi ğ isiz fonksiyonlara Iniglilabilen bir say olduğ unu ve

i'den çok küçük otmadi ğ inı )(1) ileanlat yoruz. Ax ve lk nn ikisini

b i r d e n k i i ç i i k y a p m a k o l a n a k s ı z d ı r. n r , dala pakelerinin gene bir özeiğ idir,

fakat hemen gbreeeğ imi -4 gibi kuantum mekan , ı nde bez) çok derin ieermeleri ı ar-

d ı r.i. kvc-Denk .2-1 ' de, asit dal; alarInı n s .örekli bir iistdSte ğelmoin-

d en ol n5anm, kir f(x) fonksiyonnnu gözönfire a l d i k .BO yl e b i ra paketi zaman

içinde nas ı l yay ı lir?t u ru n

4;7

ek.2-1. Kare biçrtilf bir dalga p a k e t i i s i n , d a l ğ a p a k e t i ile onun l'ourier

dönlis:mikoras ı ndâk



30nantum

yan ıt tek tek dalgalar n nas ı l yay ı ldı k ı na bağ l ı d ı r.Gen41 olarak basit bir döz-

lem dalga (yalnzca x doğ rultusunda bir uzaysal de ğ i ş imi bulundukundan,fakat y

ve z do ğ rultusunda bulunmad ığ ı ndan böyle adland ı rı l ı r),

e..kx

(2-8)

biçiminde yaz ı labilir.Burada t). 2 Ir)çmsal frekanst ı r. k niceliki dalgahoyuna

k = 2 XI ,ı ) , ile bağ l ı olduğ undan,bu basit dalga ba ş ka bir biçimde yaz ı labilir:

eni £(X•İ)--Nk(29e

B o ş luktaki bir ışı k dalgas ı n ı n yay ı lmas ı n ı düş finüyorsak,o zaman - 1 1 ) [le s k r ara-;

alt da/Xasit bak ı nt ı s ı bulunnr.Böylece basit dalga

e2-ITA:(X —C1) t>,

(x - clt)

= e

olur. Ş imdi bu basit dalgalar ı n g(k) genli ğ i ileüstüsegemesini alı rsak,t an ı nda

e.

f(x,t)_Ik g(k) e.£14,(74—c0

f(x+:t)2-10)

elde eder ı z.Bu,ba ş lad ı kı m ı z biçimin ayn ı s ı dmr.Yaln ı zca0 da yeralleme yeri-

nex - e = 0 da yerelemi ş tir.Öyleyse ı şı k dalgalar ı nan bir dalga paketi,bozulk,

uadan c- ı ş ık hzı iley*FI lı t m b t --Fakat biz,parçaelklar ı betimlemesi dü ş ünülen dalgalarla ilgibmiyoruz,ve

bu yüzden ı ı.). keolmasna gerek duymayakiliriz.Genel olarak c ı ,ı , knn bir

fonksiyonu olacakt ı r,böylece

coMif(x,t)k g (k) ee-11)

olur. ş imdilikıu(k)nn biçimini bilmiyoruz ; fakat onn,f(x,t) . nim özgürce ha-

reket eden klasik bir parçac ı ka benzemesi gerekindea belirlemeye çal ı sacakı z.

k-uzay ı nda bir ko değ eri dolay ı nda iyiceyerlleımi ş bir dalga pakeini

gözönüne alelım.Bup ot büyük olmak üzere (2-2) gibi bir seçime kar şı l

ı

ktır.Bunun

x-uzay ı nda keskince yerelle ş mi ş bir f(x) fonksiyonunn gbaterimlemeye•ce ğ i doğ rudur,

fakat bu biçim heseplar ı m ı z ı kolayla ş tı rı r,ve k ı sacas ı mene zekice k,tstirimler

yapmay ı deneyebi/iriz.(2-11)Ideki tiimlev k=k0 'da merkerlendikinden ,w(k) . y ı k

kom ş ulu ğ unda serlya açarı z ve crı (k)'yı 'n2n çok h ı zl ı dei şmeyen bir fonksiyonu

.e2srak dü ş tinbrüm.Böylece

( i < )u( k.) + (- •u% )

k„'L (k

i ka

. .

yazabiliriz.Kesin olsun diye(2-2) biçim kullantl ı r ve k-ko rk' yamı l ı rsa,

(2-12)

e- " ' ( L ) tf

£ 1 1 %,u/dk”],1

2-13 )



r a l g a P a k e t l e r iielde ederiz.OLeick: evre v.rpani hir yana b ı rak ı l ı r a,: e t koo r d i n a t l a r ı n I n b i -

çimi eeketin yuyilms b ı z ı uln,yaci grup hizina,n

cl ı x)' ‘.1" =

/k o

u l . l u ğ unn l euvv etl a öne sU r e 3 B ö y l e c e ,

ta n ı m ı n ı y u p a r a l ,

a z

„L C 1 ,(„x.-w(k,,»Jj ew f 4,t) = e

bu l u r n z .Bu g e n e . ,(`?-4)'e Aötfirer thmlevdir;filiyle ki,x-y ni.'

ve rX -4- .4: , p ' /enurSd,e . : C 1 . . „ - x - - ‘ . . › N o W )(4 4 --rix—u

%k i t / 4 ( - , , + •13c)]

e l d e e d i li r v e bo fonk siy e nun mutla k lc a r e si r

f(x,

t ) I 24/2-

e: - 1 . 4 2/2(4 2 +,3% i a ) ]

,

.bu,tepesi

i z ı i le g i d e n'hi r dalga p a k e t i n i g s t e r i r , f a k a t o n u n belirli

b i r g e n i g l i k i y o k t u r : t = 0 *d a O f ol a n t , e l i k rIsinı di13 2 t2 olur,

demek ki puket ajwirsaktad ı . r . GeniS1 il<

g4T V r " ;, 1 4 2 " s . " 24 +

ile orantIll oldu ğ u n d a n , o( bi yi i ks e y a n i n r a y s a l o l a r a k g e n ile ba-

Ignirsa,"alma o r a n ı kiiçilk ol a c a kt ı r .

En önemli aennu4U. 1i (2^Lmomene A c i n et ik b i r - , Fa~ew < p t i i s t e r a y ıyorse,

— +Y e

(2-l5)

(2-16)

v e C < y e r i -

dIAJ

. 1 k a l m s a i g e r a k i r . Ay n i c a :1lraannuM (2-18j

i n t ia l u e a d n e r i l e at ,

3 Zu,I ş i ğ ı n ya y ı lm as ı özel halinde buldu ğ umuz W = lie ile kesinlikle uyu-

a n r . D a h e g e n e l ola r a k , k nllonila n usla ı rlam; ı b i r p a k e t i n t e p e s i e i n n e r e d e e l n e e a 0

o lg n a n n a bagltdir; tepe,kx - c,ut evresinin:k'nin foni;siyouU <;lar ak minienno olcr ugU,

yani x--(-4-) =7. O oldu ğ u y e r d e oln a m n e ğ illmind e di r.



32u a n t u m Fiziki

E .¥ ( . . 4

ba ğ ı ntis ı kurulursa, öyle ki

2 M i

(2-19)

(2-20)

o l sun; Tuta ı ll olmak ipin

2 -f r (2-21)

ba ğı n Li s ı n ıazm amla ~Els. la ba ğı : 1 , 4 1 .e n z e r b i r y u l d a n , i l k ö n c e

De broglie taraf ı n d a n ç ı ka r ı lm ış t ı r .

(2-1/) ı i a d e a l p oiluvı tken4?) (p+),4,

y(x,t)=;2-22)214

biçiminde yaz ı l a b i l i r . Y u k a r ı d a yapt ığı m ı z gibi, E = p 2 / 2 m o l d u ğ u ,p n t a n s i y e l d e n

ba ğ ı ms ı z bölgede hiZ•i n p a . 2 9 a 4 i k " i h a r e k e t i n i b e t i m l i y or s a k , - . 4 4 (x,t) dalg a paketi

..(Xı k) /J? 46 to E eL (r. — E k)/ 4,,

= \(2:7-A ,= .g fit--E”AhrL. ( 4 0 ) s 1 : _ ._ e

r 2 . - ; rn

4 1 2(2-23)

parçal diferansiyel d e n k le mi n i n b i r g e n e l ç ö z ümü dü r . Bu d e n k le m v e onun b i r pot a n-

s i y e l i ç i n d e h a r e k e t e d e n , bi r p a r ç a c ı k h a li n e g e n e lle nm e si, y uk a r ı d m a n a ç i z g i l e -

r i v e r i l e n t a r t ış m a l a r d a n a n e m l i ö l ç ü d e so yu t l a n m a g ö s terir.Denklemlin bir sanly:2

g öst e r imle d i ğ i ü z e r i n d e d u ru lm a l ı d ı r : K l a s i k fi z i k d i fm ryi n d e n e 4J0 yerine

n e d e k d a l g a s a y ı s ı yerine p4 koymay ı h a k l ı ç ı ka r a c ak bir neden, yoktur.

G e n e d a l g a p a k e t l e r i n i n a t ı lmas ı g ü ç l ü ğ ü i l e k a r şı k a r şı ya y ı z .Bi r (2-17]

G a u s s p a k e t i n i g ü z ü n ü n e a l ı rsa k, ot 'n ı n ne kad a r büyfik oldu ğ u n a b a km a d a n , , . w -

'alman ı n g ö z e ç a r p ı c ı b i r ö l ç ü y e u l a ş a c a ğı b i r a n b ol u n a c a k t ı r .Bu d e n e y i m l e ç e -

l i ş i r ; ç ünk ü d e n ey imle r ö r n e ğ i n çok kü ç ük ç e k i r d e k le r i n 3 x 10 9 y ı l l ı k (10 20 8n )

b i r d ö n e m s ü r e s i n c e d e ğ i ş medi ğ i n i a ç ı k ç a g ö s t e r i r . B ö l ü m l'd e b i r a z ç ı tlat ı lan

olas ı l ı k kavramlarl,Bölüm 3'de gfire ce ğ imi z g ib i, bu r a d a ö n emli b i r r ol oyn a r ; v e

g e r ç e k t e I s t ı lm a,p a r ç a a i ğı a t= 0 'd a y e r e lle ş t i ğ i y e r d e n u z a k t a bulunması

olası lı gına n bi J ytk1114 i i a n la m ına gelir.

D a lg a p a k et i t a r tış

ma mız d a n ç l k a r d ığı m

ız e n ö n emli n it e l g ö z l emle r i n b i r i,

ıc v e k u z a y l a r ı n d a k ı geni ş l i kl e r aras ı ngalbulunan



Belirsizlik Bağ ı nt ı ları3A k ı6 ;> 4

2-24)

ters karşı l ı kl ı l ı k bağ ı ntis ı dir.Bunule çarpar ve la.k = p kullan ı rsak

(2-25)

Heisenberg belirsizlik bağintilarin elde ederiz.Geni ş likler x-uzay ı veya momen-

tum uzayinda parçac ığ ı n bulunabilece ğ i bölgeyi gösterimledi ğ inden,x-uzayı nda i-

yice yerelle ş mi ş bir dalga paketi Aearmw stenirse,o zaman (2-25)'e göre,kla-

sik fizikte benimsenenle çeli ş ik olarak,pakete iyi tan ı mlanmış bir momentum

bağ lamak olanaks ı zd ı r.Ayn ı nedenle,dar , s ı n ı rlar içinde tan ı mlanmış bir momentum-

la belirlenen bir dalga paketi uzaysal olarak çok geni ş olmak zorundad ı r.Bu,mo-

mentum ve yerin ikisinin birden belirlenebilece ğ ini vurgulayan k l a s i k betimleme

üzerine konulan s ı n ı rlamalardan biridir.Huantum fizi ğ inde bir sistemin parçac ı k

davranı ş ı ve dalga görünümü gibi,momentum ve yer de sistemin tamamlay ı el özelik-

leridir; ve kuramda bunlar ı n ikisinin birden e ş zamanl ı olarak saptanabilece ğ i bir

deney olanaksı zd ır. . 'nin kfiçüklüğ ii,klesik fizi ğ in al ışı lmı ş kavramları n ı n yal-

n ı zca mikroskoliik aistemler için ba ş arı s ı z olacağı n ı güvenceler.Örnekin 10- 4 gr

kütleli bir toz parças ı 104 cm/sn h ı zla hareket ediyor olsun; çarp ı mdaki belir-

sizliklerin biri milyonda bir ise, o zamanp ~10-6olması , Ax '0-21

cin olmas ı demektir; bu bir protonun yarlçap ı ndan 10-7kez daha küçüktüriClaski bir

l k i h r »rfleepoindeki elektron 19111 durum' bOylelLo ğildlr.cit/n alı r-

sek, o zamanı xh n / m o o t büyüklUğ ü yöröngelerin yarı çapları basamağı n-

da olur.

A ş ağı da,birkaç Dü ş ünce Demeyi üzerinde duraca ğ ı z; bu deneylerde parçac ı k-

dalga ikiliğ inin,(2-25) bağ ı nt ı s ı ndaki bir bozulmay ı önlemek için nas ı l iş ledi-

ğ ini ayrı nt ı l ı olarak gösterece ğ iz.

(a) bir elektronun yerini biçme: Bir elektronun yerini ölçmeyi amaçlayan

Ş ek.2-2'deki denel düzene ğ i düş ünelim.Elektronlar,iyi belirlenmi ş px momentumu

ileartı x doğ rultusunda giden bir demet olu ş tursunlar.Elektronilan.:aaç ı lan ışı -

ğı gözleyerek elektronun nerede yerelle ştiğ ini görmek için mikroskop(mercektek-

ran) kullan ı l ı r.Işığı eksi x doğ rultusunda göndeririz; belli bir elektron belli

bir fotonu saçacak ve foton mikroskoptan geçecek biçimde geri tepecektir.Optik-

ten bilindiğ i gibi mikroskobun glizmesi ş elektronun yerelle ş ebilmesindeki kesin-

liktir.Bu,

(2-26)sin

d ı r ve burada i1 ı ş ı ğ ı n dalgaboyudur.

yeteri kadar küçültülür ve sin q iı e büyfitüliirse, Ax'in istenildi ğ i kadar

küçük yapı labilece ğ i görülebilir.Hu ise ş imdi görece ğ imiz gibi,elektron



Ekran

r s "\vrcek

E \ ekkro re

:ek. 2-2. E1 ,2kironnn yilgeeek heisenberg mikroskobanmn. ş eMatik çizimi.

sin Q3• • • - • ı s ' I r t k

ein2

h ı >

namenutlu x-l ile ı eni ile ilgili bitarillğı bc!a yapilabilir.Kmaf,-

tum kuram ı bize,meree ğ in a r k a s ı n d a k i ekran üzerine yaz ı lanlarin aslxxida,eletron-

lardou saçilarak oraya vuran bireysel fotonlar olda't±unn syler,Fotonon saç ı lmadan

sonraki doraltmsu,açlkliin saptadll açlnin s n ı rlar ı Olç+is;i ı ide belirsizdfr.hu

nedenle elektronun geri tepme momentumnnun - ,

6 Ckadar belirsizdi

g4Uikten kurtulabilir miyiz? N ı saeasl,fotonun doğ rnitusm onun momontumm

ile iiirtil li.r,Fei tepmeaini tilçebi I ı.ek,fo -lonun(ve

dolay ı siyla elektronun) memeiro;;ra ı dur;Jaket

miroskohm 1.>ii ş defa "g'6zlenen" sistemin bir parças ı olarak un m

mu belirlendigindenefa ‹daeri için t a ssla nm a lly x z . i nkti M ik roskl. p d a

belirsizlik ba4 ı ntzsarza mymalid ı x; ve momentumm belirlenmi ş ise,yeri dahaesin-

likle ,"klülk" Aizlem aygitlarx dalmakesinsizlikla kar

siya kulaea,Atir.

(ii) (.,;ft-yerik d e n z L L bir elekt onunl i iki y vil, L f i 7 geçerek er-

lx ıa i T e desoninin.elektronun euftii delikt.en tieçtiini bilmekmi re

ada fr'tvnlar için t,fakatı rinı m e klr..,r iç



1 . 4 !Y ar ı kulutae k r a nk r a nKatLnak

Ş e k . 2- . İ z l e y i c i s i b u l u n a n ç i f t y a r ı k d e n ey i .

Belirsizlik Bahnt ı la r ı5m a nt ı k b a k ı m ı n d a n u y m a d ığı n ı o r t a y a k a y m u ş t u k. B b y le b i r b i l g i d e s e n i n , y a r ı kl a r ı n

b i r i n d e n v e y a ö b ü r ü n d e n g e l e n e l e k t r on l a r ı n bir ü st ü st e g e lm e s iyl e olu ş a c a g ı n ı

s ö y l ü y o r d u a a k a t b u b i r g i r i ş i m d e s e n i v e r m e z . B l e k t r on l a r ı n h a n g i y a r ı kt a n g e ç t i ğ i-

n i b e l i r l e y e n b i r " i z l e y i c i " n i n , g i r i ş i m d e s e n i n i y ı kt ığı n i g ö s t e r m e k i ç i n L ı e l i r s i z -

lik b a g ı nt ı s ı n ı k u l l a n a b i l i r i z . Y a r ı k l a r a r a s ı u z a k l ı k ot ve yar ı kl a r ı n ekran a il-

z a k l ı g ı d o l s u n . Y a p ı c i g i r i ş im ko ş ulu

sin 0 = n"›.

( 2-9)

d ı r , b ö y l e c e e k r a n d a b i t i ş i k m a k s i m um l a r a r a s ı n d a k i u z a k l ı k d s i n A n+1 - d s i n O n =

d ; k j a d i r . Ş i m d i b i r e l e k t r o n u n y e r i n i , e k r a n ı n h e m e n a r k a s ı n d a , b i r Ay < : a / 2 k e s i n -

li ğ i y l e b e l i r l e y e n b i r i z l e y i c i n i n b u l u n d u ğu n u d ü ş tin e lim; b u b i z e e l e kt ronun h a ng i

ya r ı k t a n g e ç t i ğ i n i söy le r ( Ş e k.2-3). Bu d u ru m , e l e kt ronu n y do ğ r u ltusun d a k i mom e n-

tumuna

py> 2h_-_-

a

büyüklü ğf i n d e b i r b e l i r s i z l i k v e r m e l i d i r . B ö y l e c e

Qph

Y > — - ,1

Pp (2-30)

(t-31)

o l u r . B ö y l e b i r b e l i r s i z l i k e l e k t r o n u n e k r a n d a k i y e r i n d e , e n a z ı ndan 2',Xd/a bu-

y ö k l ü ğ ü n d e b i r b e l i r l e n e m e z l i k v e r i r . V e b u , m a k si m um l a r a r a s ı uzakl ı kt a n d a h a



36u a ntum F i z i ğ i

b ü yü k t ür ; b ö y l e c e ç a l ış a n b i r i z l e y i c i n i n g i r i ş i m d e s e n i n i s i l e c e ğ i v e h i ç b i r

m a n t ı k ç e l i ş kis i olm a d ığı s o n u c u n a v a r ı r ı z .K u ş k u s uz , t a m t e r s i n e m a n t ı k sa l tut a r -

l ı l ığı n

A ; : ı> b2-32)olmas ı n ı z o r l a d ığı n ı t a r t ış a b i l i r i z .

(c) Boh r a t o mu n d a k i y ö r ü n g e l e r i n " g e r s e k l i g i " . B ö l ü m l ' d e b e l i r t i l d i ğ i gibi

Bohr a tom mod e l i y a r ı ç a p l a r ı Rnı n 2 / o( ın e i l e v e r i l e n y ö r ü n g e l e r l e i l ğ ilidir.

Öyley se v e r i le n b i r y ö r i i ng e t a sl a ğı n ı n ö l ç ü l e r i n i b e l i r l e y e c e k b i r d e n e y ş öyle ol-

ma lı

dır : A t om d a k i e l e k t r o n un y e r i ,

Ax <.‘.. Rn— R

n- ıe ( 2- 33)o d ;

kesinliiyle Olçülmelidir.Bm,elektrona Ap» mc ot/2n büyfiklüğ ü n d e d e n e t l e n e m e z

b i r mom e ntum a kt a r ı lmas ı d e m e k t i r . B u i s e , e l e k t r o n u n e n e r j i s i n d e

6) i ı MC ° It Cc 26 4

2

m 2n ı ı

2(2-34)

buyakid ğ ü n d e b i r b e l i r s i z l i k o l ma s ı d e m e k t i r ; v e b u , y ö r ü n g e d e k i e l e k t r o n u n ba ğ lan-

m a e n e r jisi n d e n ç ok b f iy üktü r . üy ley se b öy le b i r ö l ç üm, e le kt ronu y ö r f i ng e si n d e n d ı ş a-

r ı a t a c a k v e s o n u ç t a y ö r ü n g e n i n t a s l a ğ ı n ı ç i z m e k o l a n a ğı k a l m a y a c a k t ı r .

(d) E n e r j i - z a m a n b e l i r s i z l i k b a ğı n t ı s ı . (2-25) ba ğı n t ı s ı n ı a l ı r ve onu,

P &P . k xmZ o

P

b i ç i m i n d e y a z a r s a k , i l k ç a r p a n ı s i s t e m i n e n e r j i s i n d e k i b e l i r s i z l i ğ i n b i r ö l ç ümü

olarak; ve kı x/NY ikinci çarpan ı n ı , s i s te m i n z a m a n i ç i n d e y e r e l l e ş e b i l m e s i n i n

At b eli r s' zli ğ i o l a r a k y or u m l a y a b i l i r i z . B u ,e n e r j i - z a m a n b e l i r s i z l i k b a g i n t ı s ı -

n ı n

A E A t :;?,2-35)oldu ğ u nu sOyl e r .Bö yl e bir b a ğı nt ı , d a l g a p a k e t i n i n ( 2 - 22 ) b i ç i i n d e n d e ç ı ka r ı la -

b ili r ; ç ünk ü E v e t, p ve X gibi,ayn ı terskar şı l ı klil ı k bag ı nt ı s ı i l e o r t a y a ç l -

k a r l a r . B u ba ğı nt ı g ö r e l i l i k k u r a m ı i l e d e ö n e s ü r ü l m ü ş tü r; çü nkü mom e ntum ve e ne r-

j i g i bi , u z a y v e z a m a n d a b i r b i r i n e ç o k s ı k ı b a g l ı d ı r l: G e r ç e k t e g b r e s i z k u a n t um m e k a -

n i g i n d e u z a y v e z a m a n b i r a z f a r k l ı bir rol oyna r; v e biz im (2-25)'i ku ant um m e ka-

ni ğ i n i n a n l a t ı m ı n d a n ç ı ka r ahilm e m iz in t e r s ine ,bu d u ru m (2-35) iç in do ğ r u d e ğ ildi r.

G e n e d e e n e r j i -z a m a n b e l i r s i z l i k b a ğ : A l t ı s ı (2-25) gibi,kna nt um m e ka ni ğ inin nitel

ya pı

sın

ın b i r p a r ç a s

ıd

ır .

5 (ct,7') ve (E/c: 14; ) ' : 1 4. n ik i si d e , Lor e n i z d ö n üsf imle r i a lt ı n d a k e n d i i ç l e r i n -

d e d ö n ü ş e n d ö r t l ü v e k tö r l e r d i r .



Belirsizlik Ba ğı ut ı lar ı 7

Einstein,kuantum mekanig ı niu geligmesindeki temel katk ı lar ı na karşı n e onan

sonuçlarıiçin her zaman endi

şe duymu

ştur; ve 1930'daki Solvay Kongresi'nde 6 ,

(2-35)'in ortaya att ı ğ ı sn ı rlamalmrdan görünü ş te kaç ı nan bir Düş ünce Deneyi öne

sürmü ş tür. Einatein içinde ı ş ı n ı m bulunan bir kutu ve kutu içinde bulunan bir saat-

le denetbenen bir kapak önermi ş tir.Kapak mekanizmas ı bir deiğ i,iatenildiğ i kadar

k ı sa bir dt zaman için aç k tutacak biçimde düzenlenmi ş tir.Kutudan ç ı kan fotonun

enerjisi,&utuyu kapağı n aç ı lışı ndan önce ve sonra tartarak tam do ğ rulukla belirle-

nebilir.

Bu uslamiaman ı t Bohr taraf ımdan çüriitülmesi,bir Düş ünce Deneyinin fizik yasa-

ları na uyması gereğ inin güzel bir aç ı klaması dı r.Bobr, Ş ek.2-4'de gösterilen ayg ı t ı

gözönüne •alarakş

u nok taları

vurguladı

:1. B i r tarta,bir ölçek göstergesinin bir d x do ğ ruluğu ile okunmas ı demek-

tir.Bu ism,kutunun momentumunda dp% /Sx ileverilen bir beirsizlik olma-

s ı demektir.

2. Birm kütle de ğ izimi bulgulanacaksa,tart ı bir T zaman ı almalı dı r.Bu

süre,kiitledeki de ğ i ş imden gelen gl Am itmesinin(g = çekim ivmesi), ,dp 'den çokça

büyük olması n ı salayncakkadar uzun olmal ı dı r; yani

g T dm > >A x2-36)

3 . Geçerliliğ i iyi bilinen eadegerlik ilkesine göre,bir çekim alan ı nda dü-

zey konusdaki bir Al rı z ı nda

â x

T2ileverilen bir deiş km gerektirir.Bu

AT

TT Amverir,bu da

n ı c 2 dT = dE d T

(2-37)

(2-38)

demektir, Bu enerji-zaman belirsizlik na ğ ı nt ı sinı n geçerlili ğ ini gösterir.

belirsizlik ba ı nt ı ları -.J.k . roskobik fizikte kaba say ı sal keatirimlerde kul-

lanı labilir.Bunu birliRç örre7;.cle aelklayalim,bnnlar ı n ilki hidrojen atomudur. Atom

6 - B k . *':ela Bobreun güzel denemesi : Einatein ile Atom Fizi ğ indeki Bilgi-

kuramsal :roblemler Konusunda Tart ışmalar° , Atomic Physics and Human Knowledge,

John R k t Sona C1958)'de basilmış t ı r.

E ş de ğ erlik Alkesi,bu kitab ı n sonundaki Özel Konular kesim 2'de tart ışı l-

m ı ş t r.Ayrı ca da,i1kemin Einatein taraf ı ndan biçimlendirilmi ş olmas ı hogtur!



38u a ntum F i z i k iŞ e k .2- 4 . AE At > h ba ğı nt ı s ı n ı n bozulusunu gö st e r m e k i ç i n df i z e n le nmis

E i n s t e i n d e n e y i n i n y a r ı -ge r ç e k c i ç i;iMi.No rt h Holl and Pu blishing CompanY,

Amst e r d a m' ı n iz n i il e ,N ie l s Bohr,Atomic Pbvsies a nd Hum an K nowledge,John

W iley (1958)' d e n a l ı n a r a k b u r a d a y e n i d e n b a s ı lm ış t ı r .

_iç ind e ki e l e kt ronu n konumu nu n bilinm e d i ğ ini ve Imbewoja koor d i n a t ı n ı n r o l d u -

ğ unu dfisfiniirsek,o zaman

(2-39)r

r pinsindan itad~t ı mala ı l ı A v e r i r :

2Es --2--

2me2

r



e2

B e l i r s i z l i k B a g ı nt ı la r ı9(2-40)

=

(2-41)

(2-42)

bir d ü z e nd ir, çü nkü (2-3 9) ye -

2mr2

E n e r jin i n mi n imum d e ğ e r i ,

) E ------ )1 -r 32&bn e l d e e d i l i r , b u d e n k l e m

2r =

2mec O f

v e r i r , v e k a r şı l ı k g e l e n E e n e r j i d e ğ e r i

2

E =ca(2

d i r . E n e r j i n i u g e r ç e k d e ğ e r i n i e l d e e t m e mi z o l g us u

r i n e r a h a t l ı k la p rya ı a b i l i r d i k v e o z a m a n d e ğ i ş i k b i r s on u ç e l d e e d e r d i k .

G e n e d e E , d o ğ r u d e ğ e r i n d e n y a l n ı z c a b i r s a y ı l a l s a b i t k a d a r a y r ı l ı r d ı v e g e n e l b ü -

yüklü k b as am a ğı y i n e a y n ı o l ur d u . Ö n e m l i o l a n k l a s i k k u r a m ı n t e r s i n e , b e l i r a i z l i k

i l k e s i n e d e n i y l e e n e r j i n i n a ş a ğı d a n s ı n ı r l a n m ış olmas ı d ı r: -r'yi küçülte rek,yani

e l e k t r o n u ç e k i r d e ğ i n d a h a y a k ı n ı n a ko y a r a i g e k s i) p o ta n s i y e l e n e r j i d e b i r a r t m a

e l d e e d i l i r ; f a k a t b u , k e n d i s i y l e b i r l i k t e k i n e t i k e n e r j i n i n a r t m a s ı z o ru nlu lu ğ unu

d a t a şı r.

Ba ş k a b i r ö r n e k o l a r a k ç e k i r d e k k u v v e tl e r i p r o b l e mi n i g ö z ö n ü n e a l a l ı m.Bun-

la r ı n e r i m l e r i b i r f e r m i , y a n i 1 0 -13 e m b a s a m a ğ i n d a d ı r .Bu *ı /Ir ~10 1 4 gi em/e

olmas ı d e m e k t i r . B u m o m e n t um a k a r şı l ı k o l a n k i n e t i k e n e r j i ,

2P0 -28

d i r . Bu r a d a M nf ik leon(p roton y a d a n öt ron) kütle si 1, 6 X 10 -24 gr'd ı r . Pot a n s i y e l

bunu k a r şı la d ığı g i b i b a ğ l a n m a y ı d a s a g l a m a l ı d ı r , b u y üz d e n

Ni "J 3 X 10 -5 erg "ı 20 MeV2-44)olmal ı d ı r . G e n e b u , k a b a c a b i r b ü y ü k l ü k b a s a m a ğ ı d ı r ; f a k a t p o ta n s i y e l e n e r j i n i n a -

t om l a r d a k i g i b i e V i l e d e ğ i l , M e V i l e ö l ç ü l e c e ğ i n i g ö s t e r i r .

Bi r b a ş k a a ç ı k l a m a d a ç e k i r d e k k u v v e t l e r i n i n Y u k a w a m e z o n u k u r a m ı n d a n g e -

l i r . 1 9 3 5' d e Y uk a w a ç e k i r d e k k u v v e tl e r i n i n , n ü k l e o n l a r d a n b i r i n i n y e n i b i r k u a n t u m

ya y ı n l a m a s ı ve ö bü rü nü n bu nu so ğ u r m a s ı i l e d o ğ a c a ğı n ı ö n e sü r d ü; b u y e n i ku a ntur n,

p i-m e zonu(p ion d a d e n i le n)du r . 8 Bu k u a n t u m u n k ü t l e s i o . i l e g ö s t e r i l i r e e , o z a m a n

8Bu k ı s a c a , Oz e l K onu l a r ' d a k i Y u k a w a k u r a m ı i l e i l g i l i o l a n kesim 5'de

t a rt ışı lm ış tir.

J 3 X 10-5 erg2-43)2M. 2 X 1 0 -2 4



40uantum Fizi ğ i

onun yay ı nl anm as ı bi r 6E JtAc an e r j i d e n g e s i z l i ğ i ortaya ç ı ka r ı r ve bu

yaln ı z c a b i ri tt/tke i . .aman ı i ç i n d e o l u r . P a r ç a c ığı n bu

sür e d e g i d e c e ğ i uzakl ı k e . M ıv 'h/ttea sa m ğ ı n d a d ı r.Uzakl ı k için- 1 5

ro

= 1.4 X 10m a l ı rsak,

X1 ml ıse

r

0-2 7

X 3 X 1010

erg ".. ! 130 MeV2-45)1.4 X 1013

buluruz.En sonunda pidnun bulunmas ı ile,bu kestirimin çok do ğ ru oldu ğu anl a ş ı ld ı ;

çünkü pion içinAc 2 (2'.!.. 140 MeV 'dir.

Özet ola r ak,pa r ç a cık v e d a l g a ö z e l i k l e r i n i b i r l e

ş

tirm ek için dene m e tü rü n-deki e n çocuklu giri ş im imiz bil e deneyl e tut a rl ı d ı r ve bizi atomik görü ngül erin

k l a s i k d ü z e y d e k i b e t im l e n m e s i n d e b i r b e l i r s i z l i ğ e götürmü ş tü r.Bu belirsizlik hem

Dü ş ünc e Deneyl erinin tut a rl ı t i r b e t i ml e n m e s i i ç i n g e r e k l i d i r , h e m d e g ö z l e n e n l e r -

le uyum sa ğ lar.

P robl em l er

1. (2-1) ile tan ı mlanan bir dalga paketini gözönüne 'al ı n ı z,burada g(k)

k < -K

= NK < k < K= 0 . ,< kolarak v e rilmi ş olsun.

(a ) f(x)'in biçimini bulunuz.

(b) ,/ ' 1 dx lf(x) 1 2 = 1

olmas ı n ı sa ğ layan N de ğ erini bulunuz.2

(c ) Bu de ğ er,N'nin dk s ( k ) 1

2 1 1 , ,

olmas ı n ı sa ğ la y a n se ç imin e n a s ı l ba ğ l ı d ı r?

(d ) (a)'daki yan ı t ı n ı z i ç inx'in a k l a y a tk ı n b i r t a n ı m ı n ı n,11'nin de -

ğ e r i n d e n b a ğ ı ms ı z olarak

Ak Ax >v e r d i ğ ini gösteriniz.

2 .

/ (k) Nk + ot

2

w I •



Belirsizlik Bağı nt ı lar ı1olarak verildiginde f(x)'in biçimini bulunuz.Gene iki fonksiyonu çiziniz ve

k A:: > 1nin sizin o( seçiminizden bağ ı m s ı z olduğunu gösteriniz.

3.

ik2

2m

bakı nt ı s ı n ı n geçerli elduğu,özgür bir parçac ığ ı n Gauss dalga paketinin yay ı lma

problemi ıriigözönünenl ı n ı z.

(a) Dalga paketinin büyüklüğü 10-4

cm ve 10-8 cm olmak üzere,paket bir

bnü gösteriyorse,

(b ) Paket 1 gr kütleli bir +cismi d gösteriyor ve büyüklüğ ü 1 cm ise,(2-17'Yi

kullanarak,dalga paketinin bilyüklüğünde'lSn'de oluş an kesirsel de ğ i ş imi hesaple-

y ı n ı z.

Geni ş liğ i 'Irt/nc birimi ile anlatmak uygundur,burada m paketin gösterd

par acı g ı n

4. B ir elektro demeti 1041km. uzağ a gidecek biçimde püskürtülmüş tfir.ilk pa-

ketin büyUklüğ ü 1 mm ve kin:etik enerjisi (a) 13.6 eV,(b)100 MeV isepard ı ğ ı yerdeki

büyüklüğ ü ne olacaktı r?

("yar ı . Kinetik enerji ve momentumras ı ndaki bag ı ntı her zaman K.E. =

p2 /2m degüldir!)

5. Bir dalga k ı lavuzunda daigaboyu ile frekans aras ı ndaki bag ı nt ı ,

••s•••••s•••••••+p'•

,> 2) 2ile veribiyor.Böyie bir dalgan ı n grup hı z ı nedir?

6. s ığ andaki yüzey gerilim dalgalar ı için,frekans ve dalgaboyu aras ı ndaki

bağ ı nt ı/2

2 71 T

ile veriUyor.Burada T yüzey gerilimi ve y yoğunluktur.Dalgalar ı n grup hı z ı ve

bu hı zla, s „ /r = : A J olaraktan ımlanun evre hı z ı aras ı ndaki bağ ı ı nt ı nedir?

Yerçekimi dalgalar ı (derin su) için,ba ğı nt ı

1/2

" Ş) =2 7t

ile verilhyor.Grup ve evre h ı zlar ı nedir?





Belirsizlik Ba ı nt ı la r ı3J. 4. P owe11 v e B. Cr asema nn,Quantum Be ch ani cs,Ad dison—Wesley,Re ading,M ass.,

1961.

D.Bohm,Quantum Theory, Pr e nti ce—Ball,Englewood Cliffs,N. J.,1951.

Ku antum mekan i ğ i ders kit apl a r ı n ı n h apsind e b eli rsi zlik ilk esine y e r v e rilmi ş tir.

Oldukç a ayr ı nt ı l ı t a r t ı ş malar,Bohm'un yukar ı d a a d ı g e ç e n k i t a b ı n d a v e

W.Heisenberg,The P h y a i c a l P r i n c i p l e s o f t h e Qu a n t u m Th e o r y , Boyar Publications,

Inc.,1930 'da bulunabilir.

Belirsizlik ba ğı nt ı la r ı n ı n t a r t ı ş m a l a r ı ,bu kitab ı n sonund a listelenmi ş ol a n d a -

h a i l e r i d ü z e y d e k i k it a pl a r d a d a b u l u n a b il i r .



1 3 .1 . : ) 1 ( . 2 , 1 3

Schrödinger Dalga Denklemi

Bölüm 2'de, özRiirce hareket eden bir pnrçaell belli yaklae ı mlar içinde be-

timleyen bir dalg ıipaketinin sagbı d ığ ı bir parça' diferansiyel denklem elde etmi ş -

tik.Bu bak ı mdan,

4 2 .

2 r n

(3-1)

denklemini,bir özgür marçac ı g ı n bel ı mlenmesi için uygun denklem olarak alaca ğı z.

(2-23)';In çikar ı lmas ı ndaki s ı ray ı te'rgine çevirerek,ba denklemin en genel ı -.özömü•

ni:n

)( fp(f)3-2)

oldeğ lı nn görürfiz.Uümftevin ; .in s ;t ı deivi boyland ı rma,çarpan ı n ı n nedeni Denk.(3-26)'da

denkftemin ' ı l ı (x,r) çiizii ı aiiniin yorumlanmas ı «.enn alici bir nokt a--

d ı r; bu yoruma geçme , bm önce,den!, lemin zaman türev ı bak ı m ı ndan birinci busamaktan

olmas ı gerçe ğ ine ılikkt edeimu,bir kez ynin,(x,0) ba!lang ı ç deeri ve-

rildiyse ütoki biitnn amanlardaki de ğ erlerinin bulunabilece ğ ini belirtir.Dunun

böyle olduğu denlemin ya da en genel çözümün hiçiminden bellidir; say ı sa l bir

bilgisayur ı n i gördüğü gibi

(Xt)(Xşt +A,t) —2m olmaktad ı r. -4 ( x,0) werildi2inde p'(p) fonksiyon]: (3-2)'den bularabilir,t

için..

1f(x,0)rd l ı (4(p) e13'c t>,h

Vr2 T T )f

denklemi tersine 5.evrill):Ur ye bir kez 0(p) b ı lirireçzöMtümt deerleri,

ıAyp leı k bir at kiiçiik fakat s ı f ı r olaak özzere,, i)1/(x,t)/ ?

yeriney(x,t5 -0y(xtq /mAt al ı nmal ı d ı r.

(3:3)

(3-4)







48nantum

V(x)'in serçe' olmas ı koeuluyla,(3-1) denklemi,

i t ,, ) ," , , ,t) /(x,t) + V(x)^4 , ( x,t)3-14)

atm') x2

olarak de ğ istirilirseP(x,t)nin tanm ı ,x,t) ve koranum yasas ı yine geçerli-

dir.ku dnemlidir;çfinkö ilerde tart ı saca ğ ı m ı z gibi (3-14),hir V(x) potansiyelinde-

ki bir parçac ı k için Schrödinger denklemidir.Üç boyuta genellestirme kolayca ya-

p ı l ı r ve Denk.(3-14)

1 - e > s ii(x,y,z,t). _f N 2 ( ";) 2â2i -,1--7-.. ı +,-" ) Y ( x ş Y , z , t. .

."tmx-y'z- t - V(x,y,z) - 1((x,y,z,t)

olur,hu k ı saca

4 2 --V s V ( ' Z . , t ) 4-/(1 . ',t)tmolarak yaz ı l ı r.Denk.(3-11)'in genellestirilmesi,

-*( 7 % t ) ±(1.-",t) . o

t ,

(3-15)

(3-16)

verir, burada

ve

dir.

1 - 4 , 0 % t > 13-17)

(r,#) L'fi( ı ,t) kŞiı (7,t)-9 - eyri,thf/(;•,t)13-18)2im

P(x,t) olas ı l ı k yo ğ unlu ğ u verildi ğ inde,x'ir fonksiyonlar ı n ı n beklenen de-

ğerleri hesaplanabilir.Genel olarak,

< f(x)> = j(dx f (x) P(z,t) dxx)y(x,t)3-1 9)

olur 3,Bunun yaln ı zea,tilmlev yak ı nsaksa anlamı vard ı r.Momentumu x cinsinden nas ı l

yazaeağ ı miz ı bilmediğ imizden,momentumun beklenen de ğ erini hesaplamak istersek bu

denklem bize yard ı m c ı olmaz. Ş öyle yapmaya çal ış al ı m; Klasik olarak,

olduğundan,

dxp = mv = m

dt (3-20 )

3 Soniu,ayr ı k,pi olasllki ı bir "örnek uzay" için 1 : p i = l'd:ir; herhangi

bir de ğ i ş keniu bu uzay fizerinden ortalama de ğeri ise <f>: r .p. olur.



S c b r ü d i n g e r D a l g a D e n k l e m i9.y a z a c a ğ ı z,bu

 = m <:„>= t t t x(x,t)

dt

y

d t

- / p4 *

 mz (3-21)

verir.Tlimlev i ş a r e t i a l t ı n d a h i ç b i r d x / d t o l ma d ığı n a d i k k a t e d i n i z . Z a m a n l a d e -

ğ ien tek nicelik( x ,t )i d i r , v e x ' i n z a m a n a g i i r e d e ğ i ş m e s i n i b u d e ğ i ş im sa ğ -

la r . D e n k .(3-1) 1 i v e k a r m a l e ş leni ğ i n i k u l l a n a r a k ,0 0

4 1 I ( -?2N

x

},)x 22

2i

e l d e e d e r i z . D u r a d a

a . . ,v)_ - ?-1,4 - 1 „aNI:` - x ?y,?T XLİ ? - \ • I ' " '1? , ! ) ) ÷ . , , ,'t

dx ( ax x1 •‘},t-•-,

-----7 . 0x ---- ) + - ,, x - t' " oldu ğ u n d a n , t ü m l e n e n

(,x,t)+2

x

b i ç imi n i a l ı r , v e b unun sonu c i rola r a k :

 = I dxx,t)x-2 2 )

olur ; ç ö n k ü k a r e si tlimle n eb i le u f d k siyonla r d a t ö r e v i n ti imlev i s ı f ır d

ı r .

hu,momentumun

(3-23)

i ş l e m c i s i i l e g h s te r i l e c e ğ i n i v e d a h a g e n e l o l a r a k ,

<f(p)>= fdx y(x,t) f,t)3-24)olaca ğı n ı s ö y l e r .

?* Y 4

X



5 n Knantum Fizigi

Bu gosterimle donanmış olarak simdi,Denk.(3-2) 1 de ortaya ç ı kan 0(p)'nin

fiziksel anlamı n ı eartış abiliriz.fineelikle,0(p) zamana ba ğ l ı olmad ı gı ndan,bu

denklemi t.Odainoelemek yeterlidir.

x ) =-2141 f dp gs(p)eV

dk 0(17 k) e

oldugnnu ve b r Pourier tömlev ı için tersine çevirme formölfinb kullanarak,

0( .. , k ) 2Bt ı dx

bulurnz.Bunu

Idx y(x)e —L "'L"

V. 2141

( 3 - 2 5 )

olarak da yazabiliriz.Böyleee

fP 9 >* ( P) 95 (P) =fP 1>"(P)2;T;- f x ı v(x)e"-- ;

- - - J dxd cp/ p )es ; 1 0 X . A . ,

• J( dx y(x) \ l / 4 (x) = 13-26)

buluruz.Bu sonuç matematikselaZiada Paraeval teoremi olarak bilinir.Bu teorem,

bir fonksiyon l'e boyland ı rı ld ı ysa onun Fourier dönüsmü§iiniin de l'e boyland ı rı ldığ ı -

n ı söyler.

Bundan sonra

. dx rJ (.) d(x)

dx

d

▪ Jx " \ t , * ( x ) fdP c f r (P) e .

dx2Turs

= fdpp) p

x‘ x, e

N I 2 7 1 % . %

▪ f dp s6(p) P S t ) * ( P) (3-27)

yi göz önüne alal ı m.Bu sonuç,Denk.(3-26) ile birlikte,0(p).nin momentum usay ı ndaki

dalga fonksiyonu olarak yorumlanabilece ğ ini kuvvetle cliisündörür.Böyleee 1 0 ( p ) 1 2 ,

parçac ığ ı p momentumunda bulman ı n olas ı l ı k yoğ unluğunu verir. -4 , ( x,t) Denk.(3-14)?..

bn bir çözümü oldugundan,0(1),t)1Yi



S c h r ö d i n g e r D a l g a D e n k l e m i1y(x,t)= . dp0(p,t)C 4:rx3-28)

l li

ilea n ı m l a y a b i l i r i z . G e r ç e k t e n , g e n e l o l a r a k % (p , t )' n i n ( 3 - 2 6)'y ı ,(3-27)'yi ya

d a o n l a r ı n yo rumu nu d e ğ i ş t i r m e y e n b i r z a m a n b a g ı ml ı l ığı vard ı r .Oku r , x- v e p -u z a y ı

a r a s ı n d a k i b u b a k ışı m a k a r şı n,p = ( .K/i)( )'in bir i ş lem c i oldu ğ unu,oysa

x'in i ş l e m c i o l m a d ığı n ı dü ş i i nm e si n d iy e, x'in d e g e r ç e k t e n b i r i ş lem c i oldu ğunu

s ö v l e y e l i k . x - n z a y ı n d a ö z e l l i k l e b a s i t b i r b i ç i m or t a y a ç ı kar,fakat «(x) ,),o-m e ntum uz a y ı n d a h e s a p l a m a k i s t e r s e k , y u k a r d a k u l l a n ı l a n l a r a ç o k b e n z e r y ö n t e m l e r l e

<f (x)> --fdp0 * ( p, t) f ( 14,21-) 0pt)

ap

(3-29)

oldu ğ u n u g ö s te r e b i l i r i z . D a ş k a b i r d e y i ş le,x i ş l e m c is inin mom e ntum u z ay ı n d a k i g ö s -

terimi

x =3-30)ap

olur.

i ş l e m e i l e r i n , k u a n t um m e k a n i ğ i n d e t e m e l b i r r o l oy n a d ı k la r ı n ı b u l a c a ğı i,ve

yava ş y a v a ş o n la r l a i l g i l i b i r ç o k ş e y ö ğ r e n e c e ğ iz.11u noktad a,ya ln ı z c a ş u n l a r ı b e -

l i rt e c e ğ iz:

1. Al ışı lm ış sayı la r ı ') tera ine,i ş lemciler her zaman s ı r a d e ğ i ş t i rm e z l e r .

1A,B) = AB — BA3 - 3 1 )

'y ı ta n ı m l a r s a k , o z a m a n

olu r , y a n i

[p,x1y(x,t ) .y x,t> xP(x,t)) l ,d

(

,t) (3-32)

(3-33)

d e ğ i ş m e b a ğı nt ı sin ı e l d e e d e r i z . B u , k l a s i k b i r f ( x , p) fo n k s i y onu n u i ş lem c i b i ç imi n-

d e y a z a r k e n b i r b e l i r s i z l i k v e r i r . 1 1 i z , f (x , p)i y i x v e p ' y e g ö r e b a k ışı mla ş t ı r m a ku-

r a l ı n ı b e n i m s e y e c e ğ iz.Bilylece,

xp(xp+px)2/ 2 ,\

x+ -e x p x r p x (3-34)

ve , b e n z e r l e r i , b u l u n u r .D a h a s on r a g ö r e c e ğ i m i z g i b i , x v e p d e ğ i ş k e n l e r i n i b a ğ l a y a n b e l i r s i z l i k b a ğı nt ı sln ı n

a r k a s ı n d a d a , b u i k i d e ğ i ş kenin sirsde ğ i ş ti r em ey i ş l e r i v a r d ı r .



52 Yilantum rizi ğ i

2. p islemesininbaı ndahi ş ileortaya çlksi,pnin beklenendeerinin

gerçeliğ i konnsunda can ı m ı z ı skabilir.Bnnunia birliktepnin gerçeldliğn ol-

gusuno 44yulayabiliriz.Dalga fonksiyonunun sonsuzda s ı f ı r olmas ı koul ırja,ki ka-

resi töm/enebilen fonksiyonlar için bu böyledir,

r — ‹ P> =j x \ t ' ( x )'4'

1dx Y(2)1xd xr1 Yx

- 42L f Chr\-(Y)X

(3-35)

elde ederiz.Arasira kareyi tiimlenemeyen,fakat bellilieriyo ı liklik ko ş ul' r bulunan

Conksiyonlari kullanmak gerekir,örne ğ in:

(3-36)} , ( x )x+L)Kendimizi O < xbölgesinde çal ı çmaya s ı n ı rinrsak, ¥ı j i ( ık4^ ) • gene hermitien

bir islemeidir,çünkii Denk.(3-35)'te,

( 1 / 'tx.)(x))" xC >I t

I 4 ' ( L ) 1 2 — 32 - I ' y ( 0 ) 1 = O ( 3 - 37)

olnr.Akla yatk ı n film dalga fonksiyonlar ı içinbeklenen deeri gerçe o4an bir iş -

lemciye hermitien işlemci denir,ve dolay ı s ı yla p dex gibi hermtien loir isleme-

dir4

.

Bn bölömö s m noktay ı beirterek bi t i r e l i m : ( A N / i , r ) x) = 1> 0 1 ,zdesle şme-

si iley 4 1 (x,t)_r(x,t)i ıitm? 2 2

denklemini

? . ` i r ( x , t )o rY(2,t)3 - 3 8 )

? tmbiçiminde yazabiliriz.Sag yandaki islemei tam olarak,özgiir bir parçne ığ ı enerjisi-

dir.runu,bir potansiye içindekiparçac ığ.a genelle ştirirsek,

(x,t)on '_ v(,)]x e t)3-39)tm

4Islemelerlo ilgili baz mat-ematiksel geritemeller Ek-11'de tar .silmi ş t ı r,



SchrOdinger T)alga Denlemi 53

ya da dalı n ar; ı kça,

i t ,(x,t1 =H. 1 ( x , t )341)a t

biçiminde 3e yaz ı labilir,burada H enerji i ş lemeisidir.1d'ye ,çogu zaman Damiltonien

denir,çünk[i o,klasik mekaniksel Hamilton fonksiyonununHi ş leffici dilindeki anlat ı m ı d ı r.

V(x) ğerçel bir potansiyel ise,p ve dolay ı s ı yla p2 birer hermitien i,ş lemci oldngon-

dani2

U4 V(x)5-42)2m

de bermitiandir.

Özeb olarak: -

1. Dalga fonksiyonları n ı n zaman bag ı ml ı l ığ ı ,birinci basamaktan olan

iri a(x t)=l? (x,t)?t

parça! diferansiyel denklemi ile verilir; burada 11,p 2/2m + V ( x ) i ş lemcisidir.

2. Dalga fonksiyonları,karesi tümlenebilen fonksiyonlar olarak ala

ırlanmış -

t r.

3 . Parçac ı g ı n x noktas ı nda bulunmas ı n ı n olas ı l ı k yoğunluğ u

P(x,t) = I s Kx,t)1 2

dir.

4.

-ıt/(x,t)= fdp -0?(p,t)e4 / 2

2 nt\

iletanmlanan 0(p,t) fonksiyonu nu ı mentum uzay ı ndaki dalga fonksiyonudur,ve parça-

Çı ğ

la] p monentumunda Indutması

nı

n okası

llk yoğ

unluğ

u 1 , 1 , ( ( p,t)1 2 "!dir.5. It momcntumu vm x konumus ı ra deistirme üzelikleri bu-

lunmadığ ı iginsaylar(bı n ayrı lan niceliklerdir.x-uzay ı nda,monentum i ş lemcisi

p

X

- i l i; h 1 , ( x,t). 4 , ( , r 1 t ) . 4 _ v ( x ) , y (x,t)3-40)

.> tmx,1

yazar ı z.(3.-1) . i genellu ş tiren bu denklem,g4resiz kuantum mekani ğ inin temel denklemi-

dir,ve ilk olarak Schriidinger taraf ı ndan sinerilmi ş tir'.Ynkarda elde edilen Schriidin-

ger denklemi,

5 Art ı k p(;ideki op indisini brak ı yoruz.Onu yaln ı zca,p harfi ile betimlenen

bir say ı ile karış t rma tehlikesi oldu ğu zaman kullanacağı z.



b4- . u a n i u m

b i ç imi n i a l ı r ; v e p u z a y ı n d a , x ı ş lemeisi

x

.ap

a l ı r ; ı kis ı d e , x v e p a r a s ı n d a k i

[rşx3 =1t e m e l d e ğ i ş me liag ı nt ı si i le tut a r l ı d ı r .

Ş i m d i a rt ı k ku a ntum m ek a n i ğ inin nicel bi tart ış ma s ı i ç i n b u ı ı r ı z .D a l g a

p u l . e t i n in b i r p a r ç a c ı g ı go s t e r i m l e m e s i k a v r a m ı n d a n d a y a z ğ e g i i k . B u k a v r a m

S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i n i n a k l a y a t k ı n olm a s ı n ı : s a ğ l a m a k i ç i n y a r a r l ı yd ı ;f a k a t k im-

d i , p a r ç a e ığı " d a l ga l a r d a n y a p ı lm ış " g ib i dü ş iinmed en,biz e parçac ığı n n e r e d e o l d u -

ğ unn söyleyen, y(x,t) ve onun olas ı l ı k la i lg ili yor nmu du r .

P r o b l e m l e r

I . D e n k . ( 3 -2 ) v e ( 3- 4 )'ü k ul l a n a r a k ö z g ü r p a r ç a c ı k S c h r ü d i n g e r d e n k l e m i n i n

y(x, t)(dx'K(x,x ; t) •f(x . , 0 )

b i ç i m i n d e y a z ı n ı z . l ı ( x ,x' ;t ) i ç i n , b i r t h m l e v b i ç i m i n d e b i r g ö s t e r i m elde e d i n i z , ı e

tümlev i d e ğ e r l e n d i r i n i z .

li(x,x' ;O) = (x-x'

oldu ğ unu g ö st e r i n i n .

2. Bir V(x) potansiyel i. l ı n l u n a n , ( 3- 1 4 ) S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i n i d ü ş ü n ö n ö z .

gerçel. olmas ı ko ş u l u y l a , y ( x , t) b u d e n k l e m i n b i r ç ö z ü m ü i s e , ( 3 - 11 ) kor u -

num y a s a s ı n ı n gene geçerli oldu ğ unu gösteriniz.

3 . V(x)'in k a r m e l o l d u ğ u n u v a r s a y ı n ı z.??,(x,t)/ .2>t ve d/dt j(dxD(x, t)

i ç i n b i r e r i f a d e e l d e e d i n i z . S o ğ u r m a d u r umun d a sonun c usu 'n eg a tif olm a li d ı r . a u ,

Y(x) için ne söyler?

4 .

ı2 , t )( x, )14") et 2 2

K l e i n - Go r d a n d e n k l e m i n i göz ö n ü n e a l i n ı z .x,t)'llin biçimi,-* 2Y )

2 o l a r a k v e r i l d i ğ ine göre,(3-11) b i ç imi n d e bi r kor u n m a y a s a s ı b u lu n d u ğ una









58 Kuentum Fizi ğ i

geli ş imini betimler; Denk.(4-6) ise bir özdeğ er denklemidir.Bunun ne denek iste-

di ğ ini açı klamak için,geçen bölümde k ı saca değ indiğ iniz fakat tan ı m l a m o a d ı g ı m ı z

iglemci kavramına dönmeliyiz.

En genel olarak,bir /*aksiyon üzerine etkiyen bir iglenci,ean ba ş ka bir

fetakeiyona dönügtüriir.Birkaç örnek üzerinde dü ş ünelin ı

Of(x) = f(x) + x2

Of(x) = [f(x)] 2

Of(z) = /(3x2 + 1)

Of(x) = [olf(x)/dx]3

Of(x) s df(x)/dx-2f(x)

Of(x) = 7 f(x)

4-7)

Bu örneklerin tümünün ortak özeli ğ i ş udur: Bir f(z) fonksiyonu verildigil ı de,

Of(x)'i belirleyen bir kural vard ı r.Bir de,çizgisel i ş lenciler denilen özel bir

iglemeiler s ı nı f ı bulnaleaktadı r(genel 0 i ş lemeilerinden ayı rmak için bu igleaci-

leri L ile gösterece ğ iş ).Bualar,

L [fı (x)+1. 2(x))ooLf (x)+Lf 2 (x)4-8)

özeli ğ ini taşı rlar ve e iatekael bir karmel say ı olmak üzere,

Lcf(x) = cLf(x)4-9)

.

dar .Böylece,listemizdeki yalnız son iki iglemei çizgisel iglemcidir.

Örnekte olduğu gibi,gizgisal bir i ş leaci bir fenksiyeau ba ş ka bir fonk-

siyon* dönüş türeeektir;

Lf(x) -f(x)f(x)dx

Fonksiyonları üç-boyutlu uzaydaki vektörlere benzer olarak düş ünmek

Bi! iglemeinin i ş i bir vektörü banka vektöre döniigtürmaktir.flin vektörleria birim

uzunlukta *imanı özel halinde,bir i ş lenci birim kör* üzerindeki bir nektay ı bir

begkaa ı na dönügtürecektir.Bu özel (fakat çok uygun) örnekte,bir i ş lemi bir eksen

çevreeinde bir dönme elabilir(gek.4-1).iglemei,x ekseni çevresinde örneğ

in 30°lem altı nda çe ş itli vektöriere ne olacağı n ı gözümüzde

canland ı rmak kolayd ı r.0zel bir özeli ğ i olan iki !rektör bulunacakt ı r: Kuzey ve gii-

lı ttykutuplar ı gösteren birim vektörler,döame alt ı nda yine kendilerine dönüşecek-

lerdir.Bu,(4-6) gibi bir iglemei denklemine özel bir örnektir;(4-6) denklemi,

f l u E (x)= EuE (x)4-10)

1Bir de, , karettçizgisel iglemeiler vard ı r; bunlar için (4-9) denklemi

Lcf(x) = ca Lf(x) biçimini al ı r.



Ü z l on k s i y on l a r v e ü z d e k e r l e r 5 9

Ş e k . 4 - 1 . T ü m v e k t ö r l e r i , b i r i m k ü r e ü z e r i n d e b u l u n a n v e k t ö r l e r y a r d ı m ı i l e , 3 0 ° d ö n -

d ü r e n i g l e m c i n i n b i r g i z i m l e b e t i m l e n m e s i : E k v a t o r ü s t ü n d e k i v e k t ö r l e r'),b i r o r t a a n l a m ü s tü n d e k i l e r i ç i n ( B - e , B'),ve birkutuptakibir rektör için

(C'= C)'dir.o l a r a k y a z ı l a b i l i r . B u d e n k l e m , ö z e l b i r f on k s i y on l a r s a n ı f ı n a etk iy e n H B a miltoni e n

i g l e m c i a i n i n , e t k i d i ğ i fonksiyonu bir s abit l e ç a rp ı lm ı g ol a r a k g e r i v e r e c e ğ i n i a ö y-

l e r . B u s a b i t e ö z d e ğ e r d e n i r . D e n k l e m i n ç ö z ü m ü E' y e b a ğ l ı d ı r , v e b u n d a n d o l a y ı ç ö z ü m ü

b i r E i l e e t i k e t l i y o r u z . H i gl e m c i a i n i n E ö z d e ğ e r i n e k a r şı l ı k g e l e n u B (x) çö zümüne

ezionksâyon d e n i r . ö z d e ğ e r l e r i n s ü r e k l i v e y a k e s i k l i ol a b i l d i k l e r i n i g ö r e c e ğ iz.

(4-2) çö zümü il B x)e biçimindedir.(4-1) çizgisel bir denklem oldu-

ğ u n d a n , Ei n i n i z i n v e r i l e n d e ğ e r l e r i i ç i n b u b i ç i m d e k i ç ö z ü m l e r i n b i r t o pl a m ı d a b i r

O z iim d ü r .Bö yl e c e (4-1)'in e n g e ne l ç ö z ü m ü,

(x,t) =- ( ZE) c(E) u E (x)e (4-11)

olu r .Bu r a d a, C(E) ö z d e ğ e r l e r in ist e ks e l bir fonkaiyonu d u r v e topl am E'nin ke s ikl i

d e ğ e r l e r i ü z e r i n d e n , t ü ml e v i s e s ü r e k l i ö z f t e ğ e r l e r i ü z e r i n d e n a l ı n ı r.H i ş l e m c i s i n i n







62 Knantum Fiziki

iki tane tek fonksiyonunun bir çar p ı m ı n ı kapsar.Böylece toplam tümlenen,x'ia bir /

şı ml ı bir aral ı k üzerindenümlendi ğ iadetümleviade ğ eri s ı f ı r olmal ı d ı r .

.e ş itli çözümler için 'yi besaplayabilirizAutunun içinde p 2m 2mE

oldu ğ undan,P2> = 2mg! i)4-28)buluruz.Burada,

20. J <p2 > ı s . , 2n 741 )›. il4-29)ba ğı nt

ıs ı

nın belirsizlik bak

ınt

ı sıile tutarl

ıoldu

ğuna dikkat ediniz 2 .Ayr

ıca,bir

gözümdeki dü ğün say ı s ı ne kadar çoksa,enerjiainin de o kadar yüksek olaca ğ ı nı be.=

lirtehim(4ek.4-2).Böyle oldu ğ u,bir çözümün d 2u/dx 2 ile ölçülen e ğ rili ğ i büyükse,=

kinetik enerjieinin de bü yük olaca ğı ndan anla şı labilir:Özel olarak,fonksiyondakii

de ğ i ş im büyükse,2

4ı2 r , 2 i eu* du= 2 rd2uu2mru 'x'

dx2m" x dx dx w" 2m J - x f dx

nin de ğ eri de büyük olur.

R. Aç ı r ı m Postülatlar ı

=r0 s ı n ı r ko ş ullar ı n ı sa ğ layan,isteksel bir y(x) fonk-

siyonu bizim çözümlerimizden kurulebilir.Bu,tüm çözümlerin

r1) (I ) = 2- LA

E+)u

(+ ) (x) + Au-)u,(,-)(x)]4 -3 0 )

biçiminde bir ü stüstegelmesi olacakt ı r.A (t) katsayı lar ı n ı belirlemek için dikey-

boyluluk ba ğı nt ı lar ı kullan ı labilir.örnekin,(4425 Pten yararlanarak

Jdx ı ı ( a +)* (x)y(x)

A ( + ) f u (+)* (x)u (+) (x)dx+ A(-)fu (+)* (x)u (-) (x) dx]m 1 1

= A(+)

oldu ğ unu hesaplayabiliriz;böylece

A(k)un1.) ,(x ) (4-1)

2

Daha üst özfonksiyonlar için, Az Ap 'nin özdeğerle birlikte büyümesi .

genel bir özeliktir.



d z fonk a iy - o n l a r v e d z d e ğ e r l e r3Ş e k . 4 - 2 B i r k u tu i ç i n d e k i p a r ç a c ığı n ö z ç ö z ü m l e r i . .

b u l u r u z . O z g ü r d a l g a p a k e t i t a r t ış ma m ı z d a k i g i b i , bu i s t e k s e l b a ş la ng ı ç p a k et i n i n z a -WIAa n g e li ş i m i n i h e s a p l a y a b i l i r i z . 0 (±)

( ı ) ç b zümle r i n i n h e r b i r i'Pr z a m a nb ığı ml ı l ığı n ı k o z a n d ığı n d a n [Bk z . 1( 1 4 -11)] , ge ne l ol a r a k

(-)4- A(-) (x) e 4 - 3 2 )(x, t = ( ) u ( + )4E(+4A

rı =4 ‘r".e l d e e d e r i z . A (±) k a t s a y ı la r ı n ı n f i z i k s e l a n l a m ı ko nu s u n d a b i r d ü ş ü n c e k a z a n m a k i ç i n ,

e n e r j i n i n b i r i s t e k e e l d u r u m d a k i b e k l e n e n d e ğ e r i n i Imasplayı llam.Kıtıms igiadı rIffia olduhadsm,sı , klı ts-dı iı sdalwAl4bir~Mnı -4.1~14tindsa vs

Bux). 2(* t) (;) (. u,)oldu ğ u nd a n,(4-25) d ike yboylu lu k b a ğı nt ı la r ı n ı k u l l a n a r a k

(4-33)



64 Kuantum Fizi ğ i

< H> = f dx " ı f , " " ( z )N I J ( x )

.j r dz( 4 ) . ° u(+) (xi* A-)"u(-) (z)1:Fn11lI

x(+)A (+) u(+) (x)+E (D 1-)A (-)u (-)(x)]}

. M ımED1 3

(E(+)1A(1 1 0

+ ) 1 2(''') 1 A(-) 1 2 )1 3 13D

elde ederiz.Tam olarak ayn ı yoldan,

j -y*(x) i (x) =

olduğu da gösterilebilir,ve bu

o ot i A ( + ) 1 2 ,IA (-)12) = İ

• I 1 (4-34)

( 4-3 5 )

olmas ı n ı içerir.(4-34) denklemi (4-35) boyland ı rma koşulu ile birlikeş u sonucu dü-4 - 1

ş ündürdr: I A ( ± ) 1 2 , isteksel bir durum için enerji kilçiimüniin E('- ' vermesi olas ı lığı

nolarak yorumlanabilir.Enerjiniu olabilen de ğerlerinin yaln ı zcanE(1- de ğerleri olduğu-

nu belirtelim,bu yüzden belli bir ölçüm yaln ı zca E(t) de ğerlerinden birini verebilir.

() ndlçüm,hangi paket için her zaman bir E knerjisi (bir özde ğ er) verecektir?

A ç ı kta görüldüğ ü gibi,ancak

I o A() ; 2.g , k4-36)

ise böyle olacakt ı r;bu \p(ı ) = 1 4 7 ) ( z) olmas ı demektir;burada 1 4 , 4( x ) , 4 7 ) özde ğ e-

rine karşı l ı k gelen Szfonksiyondur.Bu,bizi çok önemli bir sonuca götürür:

y(z) ile betimlenen genel bir paketimiz olsun.Dir enerji ölçümü yap ı l ı rsapsonuçta

yaln ı zca H Hamiltonien illemeisinin bir özde ğeri ç kabilir;bu özde ğerin ç ı kma olas ı -

l ığ ı

(4-37)

d ı r(burada genel olmas ı için (t) iş aretlerini b ı rakt ı k).Ayrı ca,En hzdeğ erini veren

;_i_isümden sonra sistemin durumu u n(x) özfonkaiyonu ile betimlenir;çünkü böyle olmaz-

sa,ölçümün yinelenntesinin ayn ı sonucu vermesi g e r e k m e y e c e k t i r , o y s a ölçümün bir anla-

m ı olmas ı için,verilem bir sistemin bir ölçüsünün yeniden elde edilebilir olmas ı te-

meldir.Burada shylenenler,bir kutu içindeki parçac ı k problemine özgü degi ğ dir.Tekrar

tekrar görülece ğ i gibi,daha genel sigı temler [bir V(x) bulunan] için,ve Hamiltonien-

ler dı ş ı ndaki baş ka hermitien i ş lemciler için de geçerlidir; ve bu söylenenler kuma-

tum mekani ğ inin dzünde yatar.

P( ign )=J fdxu: (z) Ny (z ) 1 2





6 6 Kuaatum Fiziki

X-

Ş ek,4-3. Yans ı malar alt ı nda biç bir bak ışı m ı olmayan kutu.

Kutuytt z =Oda merkezledi ğ iniz için,teklik v ıe çiftlik •ç ı kea ortaya ç ı km ış -

t ı r.Kutuyu 0 ile 21a aras ı na koyaayd ı k r yine bir ş ey de ğ i ş neyeeekti; ve bu kez ise

z = oya güre yans ı malar için,bak ışı n bulunaeakt ı .Ancak böyle bir bak ışı m çok aç ı k 1

dekildir.Buradan al ı nacak dera,bir kuantum mekaaiki problemini çözerkenpher zaman

Hamiltonieu'daki bak ışı nlara dikkat etmek ve bak ışı mlar ı ea aç ı k biçimde aergile-

yecek koordinatlar ı aeçmektir.Kutu düzgü n de ğ ilse ( Ş ek.4-3),koordinatlarl ne ka-

dar deki ş tirirsek deki ş tir ı ı lim ortaya bir bak ışı m ç ı knaz.Bamiltonien i de bak ı c ı m

bulunmas ı önemli bir olgudur 3 .Bir çift fonksiyoleun hangi ko şullar alt ı nda her za-

man çift kalaca ğ ı ara ş tir ı l ı rsa,bak ışı n belki deha aç ı kta görülebilir.

y(..0),N 1 ) ( + ) (k)4-44)olsun aman içindeki : ge 1 i ş i =

" - t ,1 ( ( 3 t , t )4-45)ile ♦ erilir.Bu denkleme P'yi uygularaak,

P -y(x, )= Pll 1)(z,t)4-46)elde aderiz.Ancak'özel ko ş ullar alt ı nda,

P K y(x,t). HP y(z,t)4-47)3 Kutu problemini Ozerken,duvarlar ı potanaiyelin,dolay ı s ı yla Hamiltoniea'in

bi r parças ı olarak dü ş ünürüz.Bamiltonien yerine s ı n ı r ko ş ullar ı ndan söz etmenizin

nedeni budur.





68 Kuantum Fiziki

sürekli bir spektrumu vard ı r deriz.(4-25)'e benzer olerak,özfonkStyonlar ı n dikey-

boyluluk konollar ı na uymas ı n ı bekleyebiliriz.

fx u;ı (x) u p (x) = IC12 r dz eLtr_r")..h

= 271 I C 1 2 . kp-p')4-56)oldu ğunu göz önüne alal ı m.

1 İ^u P ( I ) ‘f2-r4ı

e4 - 5 7 )

seçimiyle,(4-56) denklemi

ron

dx uP, (x) u

P (x) = d (P — P') (4-58)

'verir.Bu denklemin (4 -25)'ten tek de ğ i ş ikli ğ i,kesikli indisler için uygun olan S mnKroenecker deltas ı yerine,sürekli indisler içinp-p') Dirac delta fonksiyo-nunun gelmesidir.

Herhangi bir -y(x) dalga paketinin,özfonksiyonlar ı n bir tam kümesi türün den

aç ı labilmesi burada da geçerlidir.Burada (4 -30) denkleminin benzeri,sürekli bir p

indisi üzerinden toplam yapt ığı m ı z ı yans ı tmal ı d ı r,böyleceIfx/IN

(x) = j dP (P)6 - 1 ; W4 - 5 9 )yazar ı z.(4-5 7).deki kapal ı yoruma göre0(p)1 2 ,isteksel bir y(x) paketi için

bir ~atom ölçümünün p özde ğ erini vermesi olas ı ll ğı d ı r,burada

l"4\'*(p)x ( z) (4-60)

dir.Böylece,Bölüm 3'de,6(p) için yap ı lan vareay ı mı do ğ rulam ış oluruz(Bkz.Denk.

3-30).

Ş imdi özgür parçac ı k Bamiltonien'ine dönelim.V(x) her yerde a ı f ı r'olunca,e-

nerji özde ğ er de ı klemi

d2u(x)

- I - k2u(x) = 04-61)dx

2kx.ikaverir,burada k 2=2mE/AN 2 dir.Çözümler e e veya bunlar ı n çizgisel

birle ş tirimidir,örne ğ in cos kx ve sin kx biçimindmair.Bu çözümlerin tümünü n güçlü-

= 1ü ş udur: Bunlar ı n kareleri tümlenemez;çünkü jr dx A eika

+B e;kx

, A ve

B'nia tüm de ğ erleri için ı raksar.






la,örmstim bir alsktram taham ıma ı m ı a at ı l ı ş iammost,kii bir saman mysmiamada tam bir

momamtam.idaturnme yaratamas.

(c) ez k a

gibi bir dalga fonksiyonu için,parçaelk uzay ı n herhangi bir böl-

gesine kapat ı lmamış t ı r,bu yüzden parçac ığ ı herhangi bir yerde bulma olas ı l ığ ı a -

f ı rd ı r; güçlük bu olgudan gelir.Parçac ığ ı uzay ı n herhangi bir »nin bölgesinde bul-

ma olas ı l ı ğ ı n ı kapsayan sorular sormazsak,ortaya hiç bir sorun çakmaa.Boyland ı rma

güçlü ğünden kaçanman ı n bir yolu,olaw ı l ı k ak ı m ı ya da ak ı ile çal ışmakt ı r; Bölüm

3'ün ba şı nda tart ışı lma ş olan ak ı ,

j ( x))d 1/ izi y- U „f(x) ] (4-67)2imxx

dir.0 e c e 'içimindeki bir dalga fonksiyonu için ak ı C 1 2 p/m ; C e

biçimindeki dalga fonksiyonu için ise ak ı --tC1 2 p/m'dir,Bir-boyutlu bir problem

için v p/m h ı z ı ile giden parçac ı klar ı n,1 parçaclk/em jo ğunlu ğundaki *kasan ı n

tam olarak v olduğunu belirtelim-bu bir x = x o noktas ı ndan saniye baş ı na geçen

parçac ı k aayis ı d ı r-; böylece I C 1 2 'nin,em ba şı na dü ş en parçac ı k yoğunlu ğunu göste-

rimledi ğ ini anlaraz.byleyse (4-57),em başı na 1/2114 o ğ nalu ğ undaki parçac ı klar ı

gösterimler.

Uç boyutta,

Ce4-68)

olmak üzere aklICl 2lacakt ı r ve bu,parçeelklaran -7 4r = 117m h ı z ı yla giderken,

P'ye dik bir birim yüzeyden cm3 ba şı na' ACl 2 yoğunluğ uyla geçen parçac ı klaran bir

ak ı ş ı na karşı l ı k gelir( Ş ek.4-4).

(4-61) enerji özde ğer denkleminin 2e içiminde iki ba ğ ı m-

siz çözümü vard ı r; e ş de ğ er olarak,coa kx ve Bin kx gerçek çözümleri çifti de be-

ğ ı msazd ı r.11angi çifti seçersek aeçelim,bir kutu içindeki bir parçac ı k probleminin

tersine,enerjileri ayn ı olan iki çözüm bulunduğ unu belirtelim.Bn,alk s ı k ortaya

ç ı kan bir duruma örnektir: Hermitien bir i ş lomeinin ayn ı özde ğ erine kar şı l ı k gelen

birden fazla bağ ı m sız özfonksiyon bulunabilir.Böyle oldn

ğunda,bir katmerlilik

v a r dr.

Yukardaki iki halde,iki çözüm diktir: kiçin„,dBo-14xcx/ 1 . t x

jr dx(e eJ dx eodx s i t % kx cos kx = O4-69)-

dir.Her zaman,buradaki gibi,do ğ ru olan çizgiael birle ş tirimler yapma olana ğı vard ı r .

Ku ş kusuz,böyle çizgiael birle ş tirimler,özdeğ erin(örne ğ in enerji) farkl ı de ğ erlerine

kar şı l ı k gelen özfonksiyonlara diktir6

.

Katmerli iki özfonkaiyonu ay ı rt eden nedir? ( kümesi için6Bak. Ek B.



0.W

hzfoaksiyonlar ve Özde ğerler 71

h ı z ı ve ak ı a r a s ı n d a k i b e ğı nt ı ;a k ı ,h ı z a d i k bir b i r im

y ü z ey d e z ı b i r i m z a ma n d a g e ç e n p a r ç a c ı k s a y ı s ı d ı r.

Taci ı zneale

teçmeen

1 4 z r 4 a x I k k a r

Ş e k i l 4 -4 . P a r ç a c ı kl a r ı n

İ nd sanede

?Esen perçae ı k İ ar)

a yr ı m ş hyl e d ir : Bu nl a r mom e ntum i ş l e m e i s i n i n ö z f o n k a i y on l a r ı d ı r ,v e

p .€ ± j'/"'4‘keN

op x47o)

olduğundan farkl ı m om e n t u a ö z d e ğ e r l e r i n e k a r şı l ı k g e l i r l e r . B e n z e r o la r a k , (c o e k z ,

s i n k z ) ç i f t i i s e , p e r i t e i ş l e m c i s i n i n f a r k l ı ö z d e ğ e r l e r i n e k a r şı l ı k g e l e n ö z i o n ks i -

yonl a r ı d ı r :

P c os kz = cos kx

P s i n kx = - cin kx4-71)Her iki halteddel,katmerli ü z fonke iyonl a r ı e y l r a n , o n l a r ı n a y n ı z a m a n d a b a ş k a b i r h e r -

m it ie n i ş l e a c i n i n d e d e f on k s i y on l a r i o lm a l a r ı d ı r . İ > op v e P i ş l e m c i l e r i n i n i k i s i n i nı

d e ,bu p robl e m d e kiı, / 2 m H a m i l ton i e n ' i i l e d e ğ i ş a e ö z e l i ğ i v a r d ı r . i l e r d e b u nu n ,

ortakAZtonksiyonları n v a r l ığı i ç i n g e r e k l i b i r k o ş ul oldu ğ u n u gö r e c e ğ iz.5rn e ğ in,fa r

i ş m e ö z e l i ğ i yoktu r ç ü nkü (4 i/ i)(d / d x),zx alt ı n d a i ş aret d e ğ i ş t i r i r

v e b u y ü z d e n b h'i ş l e m c i l e r d e n b i r i n i n ö z f on k s i y on l a r ı h i ç b i r z a m e n , ö b ü r ü n ü nz -fonksiyonl a r ı o l a m a z .

İ n c e l e d i ğ i m i z b u i k i b a s i t p r o bl e m d e n k n a n t u a a e k a n i ğ i konusun d a p e k çok ş e y

ö ğ r e n m i ş ol d u k.Bu konulara i l e r d e ki b ö l ü m l e r d e . d ö n e h e ğ l i v e b u n l a r ı g e n e l l e ş t i r e c e -

ğ i z . B ö l ü m 5'te g e n e b a z ı ç o k b a s i t p r ob l e m l e r i g ö z ö n ü n e alacağ ı z,faket bu k e z m a t e -

m a t i k e e l ö z e l i k l e r d e n ç o k f i z i k s e l s i s t e m l e r üzerinde d u r a c e ğı z ; öy le ki,bu p rob lem-

l e r i b u f i z i k s e l s i s t e m l e r i n b a s i t m o d e l l e r i o l a r a k i m e e l e y a c e ğ iz.



72 Kuantum Fiziki

P r o b l e m l e r

1. A ş a ğı d a k i i ş l e m c i l e r v e r i l i y o r :

(a) O ı y(x) = x3 "y(x)

(e) 0 3 y(x) =17(x)(e) 0

5.y(x)-4/(x) 4- a

dx

(b) 8 2 - 1/(x) - xd x y(x)

(d) 0 4 1) (x)

06 -\/(x).

Bu n l a r d a n h a n g i l e r i ç i z g i s e l i ş l e m c i d i r ?

2.0 6 sf(x) =>k 1p(x)ö z d e ğ e r p r o bl e m i n iö z ü n ü z . i l ö z d e ğ e r i n i n h a n g i d e ğ e r l e r i i k a r e s i t ü m l e n e b i l e n ö z -

fonk siyonla r a g öt ö r u r ?( İ p u e u: D e n k l e m i n i k i y a n ı n ı n x ' e g ö r e t h r e v i n i a l l n ı z)

3. A ş a ğı d a k i d e ğ i ş me ba ğ ı n t ı la r ı n ı h e s a p l a y ı n ı z :

(a)

(b)

[A, B l e y i h a s a p l a m a n ı n yolu,A(B'y )-B(ANy ) . yi C•f bi ş i m i n d e y a z m a k t ı r.

4. (4-21 J v e (4-2 4) d a nkl e m l e r iyl e v e r il e n u (i)' ( x ) - için,

=< 2x

y i b e s a p l a y l n i z . ( 4 - 28 )'d e v e r i l e n < p 2 Y y i k u l l a n a r a k ,

Ap Axi hesaplay ı n ı z.Bu,daha ü s t d ur u m l a r i ç i n b e l i r s i z l i ğ i n n i l e a r t t ığı n ı b e l i r t e n ö z e -

liktir.

5. K e n a r l a r ı x = 0 v e r = L' d e ola n b i r k ntu d a k i b i r , p a r ç a c ı k i ç i n S c h r ö d i n - _

g e r d e n k l e m i n i

N(o) a r

( L )s ı n ı r ko ş ulu ile çözünhz.Üzde ğ e r l e r v e b oy l a n d i r ı lm ış ö z f o n k s i y o n l a r n e l e r d i r ?

b . B i r pa r ç a c ı k , k e n a r l a r ı x = ± o . 'd a ol a* bir kutu d a t ab a n d u ru mu nd a bu lu-

n u yor . K u t u n un k e n a r l a r ı birden bire z = ± b 'ye (b a ) gidiyor.Yeni potansiyel

i ç i n , p a r ç a c ığ ıs t a b a n d u r u m un d a b u l ma o l a s ı l ığı n e d i r ? İ lk uy a r ı lm ış d u ru m d a bu lm a

olas ı l ı ğ ı n e d i r ? I k i n c i d u r u m d a k i b a s i t y a n ı t ı n b a s i t b i r a ç ı k l a m a s ı vard ı r . Bu n e d i r ? . _. A ,

7. B i r n a r ç a c ığ ı n , k e n a r l a r ı z = ± c i ' d a o l a n k ıltunun sol yar ı s ı n d a y e r e l l e ş -

mis oldu ğ u biliniyo r .E ğ e r s o l y a r ı d a k i tüm x d e ğ e r l e r i e ş it olas ı l l ki lys a,






14 .

P l' (x) = )P (-x)

i l e t a n ı m l a n a n p a r i t e i ş l e m e i s i n i n h e r m i t i e n b i r ı g l e m e i o l d u ğ unu 'bn ı t l a y ı n ı z . Ay r ı -

e a P ' ni n +1 v e -1 h z d e ğ e r l e r i n e k a r şı l ı k g e l e n d z f o n k s i y on l a r ı n ı n d i k oldu ğunu d a

i t a n ı t l ay ı n ı z .

Kaynaklar

İ k i n c i b a s a m a k t a n diferansiyel d e n k l e m l e r i n hzeliklarinin kuantuM m e k a n ığ i n e b a ğ l ı

ola r a k a y r ı nt ı l ı b i r t a r t ı gmas ı , J . L . P o w e l l v e B . C r a s e m a o n ,Qu a n t um M e e h a n ı e s , A d d i s o n -

We sl e y,I ne .,Re a d ing M as s .,1 961,ve D.S. S axon,El e m e nt a ry Qu ant nm Me e h a nie s,Hol d e n-D ay,

S a n F r a n e i seo (196 8)' d e b ulun a b i li r .

Ayr ı c a , k it a b ı n a r k a s ı n d a l i s t e l e n m i ş ol an daha i l e r i d e r s k i t a p l a r ı n d a n h e r h a n g i b i -

r i n e b a k ı n ı z .



BbLitid. 5

B İ R-BOYUTLU POTANS İ Y E L L E R

Bu r a da t ek boyutlu ha r e ket in ba z ı b a s it p r ob l eml e r i n i O z e c e ğ iz.Bunlar,baz ı

kl asik olm ayan etkil eri a ç ı kl a d ığı ndan ilginçt ir; ayr ı ca da,biz üç-boyutlu bir d ün-

yada ya ş ı yors ak bil e bir çok fiziks el durum etkin olarak bir-boyutludur.

A. Potansiyel Basamağ ı

Bu problem için V(x)'in biç imini,

V ( X ) = - - . O

olarak allyoruz( Ş ek.5-1).

z .< O

O ( 5- )

4 ; 22u(x)(x) n(z)= Eu(.)2mz2

YO

Schrödinger denkieikinis•

V(z )

(5-W

tT

tVe

zX.=0

Ş ekil 5-. T.otansiyel basama ğı .

7 5



76 Kuantu s F i z i k i

d2u(x)m

+ E - V(x) u(x) = 0

da-' ı

o la r a k y a z a l ı n .A l l şı ld ığ ı gibi,

2mE- k

2

" k 2

dlyel ı m,ve

2ra (E - V o )2

ı 2(5-5)n i c e l i ğ i n i d e t a n ı m l ay a l ı m .V(x)= 0 ol ch a lt ı .X.(0 için,(5I-3)'ün en genel çözümü

u(x) eikx

Re56

b i ç i m i n d e d i r . B u , a r t ı x d o ğ r u ltusun d a giden b i r a k ı y a k a r şı l ı k g e l i r , v e b u a k ı n ı n

b üy ük lü ğ ü

- r ,.kxx . Litz( eR e(ik e -ikR e) - karmel eglenigij

Y , ki1 2 )5-7)

d i r . ei,•kı s ı NI r /M ola n b i r g e le n d a lg a ola r a k g ö r e b i li r i z .R i ç b i r po a n si-l km

y el olm a s a y d ı , ei b ü t ü n x 'l e r i ç i n ç ö z ü m o l a r a k s e ç e b i l i r d i k , b u yü z d e n R'yipota n siy e li n v a r l ığı n a b a ğ la r ı z .Bu pot ans iy e l,R e - 1 . 1 " ' y a n s ı y a n d a l g a s ı n ı a d o ğma s ı -

n a n e d e n o l ur ; y a n s ı y a n a k ı i s es kIR1 2 /m'di r.

x >O için,çözümü

u(x) = T e.41>45-8)Ll ı c .

o la r a k y a z a l ı m . * >0 i ç i n e a g e n e l ç ö z ü m , e,e e 1i n b i r ç i z g i s e l b i r l e ş -

tirimidir;fakat .. £ 1 1 ' <" 'in bulundu ğu bir terimi+ 0 0 'd a n e k s i y ö n d e g e l e n b i r dal-

ga y ı b e t i m l e y e e e k t i r . O y s a , k u r d u g u m u z " d e n e y " d e , s a g y a n d a k i d a l g a y a l n ı z c a g e ç e n d a l -

g a ola b ili r .(5-8)' e k a r şı l ı k o l a n a k ı ,

J -+IQ

1 25 - 9 )

d i r . P r o b l e m d e z a m a n a b a ğ l ı l ı k olm a d ığı nd a n,(3-11) koru nu r y as a s ı j(X)'in x'd e n b a -

ğı ms ı z olmas ı n ı i ç e r i r . D u y ü z d e n s ol d a k i a k ı s a k d a k i a k ı ya e ş it olmal ı d ı r , b ö y l e c e

4Sk(1- I R 1 2 )=T 1 25-10)

e l m a sı

a l b e k l e r i z .

(5-3)

(5-4)



Bir-Boyutlu Potansiyeller7Dalga fonksiyonunun süreklili ğ i ,

1 +R= T5-11)olmas ı n ı içerir;bu be ğ in t ı z = O'da iki çözümün egitlenmesiyle elde edilir.Potansi-

yelin eüreksiz olmas ı na karg ı n,dalga fonksiyonunun e ğ imi de süreklidir; böyle oldu-

ğu,(5_3).a,.... 'dan İLE 'a kadar ( E istendi ğ i kadar küçü k ve pozitif) tümleyerek

ve dalga fonksiyonunun süreklili ğ ini kullanarak görülebilir:

Ed u

(: )/ x dx

dz

--eofx h2 [.V(z) — E] u(x) = 05-12)— e .

ilerde dönece ğ imiz bir durumu da belirtelim: E ğ er potansiyelde V o S(x-4) gibi bir

terim bulunursa,o zaman denklemin ct-- E. 'dan Q + E. 'a kadarümlenmesia.+E.

/ du ) .._ ( d

x du ) =2m f

k dx dx V o cS(x --ek) u(x)4 : ,

c ı . - 1 , e- - — '

2 n t=— V u(Ct)2 verir.

Bizim potansiyelimiz iç ı n tür eyin süreklili ğ i ,

ik.(1 — R) = iqT

olmas ı n ı içerir.Böylece R ve T'yi çözebiliriz ve

k- qkR=k + q=k + q

4 ‘ki l i1kn ı

4Nkk4niT,lak + q) 2

elde edebiliriz.Buradan da yans ı yan ve geçen ak ı lar hesaplanabilir:

2

(5-13)

(5-1 4)

(5-15)

(5-16)

Bir de,gunlar ı belirtelim :

1. Klasik mekani ğ e göre,bir potansiyelbasamag ı na gelen bir parçac ı k yava ş -

lar(enerjiyi korumak igin),fakat hiçbir zaman yans ı maz.Burada ise,bu durumun ter-

sine, gelen parçacı

kları

n belli bir kesri yansı

r.Kuskusuz bu,parçacı

kları

n dalga



78 Ku a ntom F i z i k ç i

ö z e l i k l e r i n i n b i r s o n uc u d u r ; ı ş ı ğ ı n i k i o r t a m ı n a r a y ü z e y i n d e n p a r ç a l y a n s ı ma s ı bi -

l i n e n bir olayd ı r .

2. (5-16) yard ı m ı yl a,(5-10) koru num y as a s ı n ı n g e r ç e k t e n s a ğ l a n d ığı n ı ko l a y c a

dog r ula y - a b i l i r i z .

3. E >> V o için,q -* k'd ı r v e y a n s ı y a n a k ı n ı n g e l e n a k ı y a o r a n ı olan 1111 2

f ı r a y a k l a ş ı r.Bu durum, ş u s e z gi il e u y a ş u r : Ç ok y ü k s e k e n e r j i l e r d e , b a s a m a g ı ı ı v a r -

l ığı d a l g a n ı n y a y i lm a s ı n d a k ü ç ü k b i r t e d i r g e m e o l u ş turur.

4. E e n e r j i s i Vo'd a n k ü ç ük se,o z a m a n q sa n a l olu r . Ş i m d i , x > 0 i ç i n ç ö z ü m ü n ,

mo ' d a p a tla m a s ı n diye,

-1</lxu(x) = T e

b i ç i m i n d e o l m a s ı g e r e k t i ğ i n e b a k a r s a k ,

k — i ql

k +ilgi+i ( 5-1 7 )

(5-18)

olduğunu g ö r ü r ü z . B ö y l e c e k l a s i k m e k a n i k t e k i gibi,ba durum igia'taa yanl ı z» vard ı r.

Alac ak

T2k« w

k + i ( q İ(5-19 )

man s ı f ı r o lm a d ı g ı n ı ,v e d a l g a n ı n b i r pa r ç a s ı n ı n y a s a k b ö l g e y e s ı zd ığı n ı b e l i r t e l i m .

Bu s ı z m a ola y ı , y in e d a lg a l a r ı n b e l i r t g e n i d i r ; v e b i r a z i l e r d e g ö r e c e ğ imi z g ib i b u

o l a y ,k l a s i k b i r b e t i m l e m e d e p a r ç a c ı k la r ı t a m o l a r a k d u r d u r a n e n g e l l e r i n , b i r

y ol u i l e g e ç i l m e s i n e " i z i n v e r i r . Ö n ü n d e k i k a t s a y ı k a r m a l a l ı n s a b i l e , g e r g e l b i r ç ö -

z üm i ç i n j(z) s ı f ı r o l d u gu n d a n , s a g y a n d a h i ç b i r a k ı bulunmaz.

B . P ot a n siy e l Kuyusa

Ş imdi d e,

V(x)= 0 .(= -Voo < x < o..

s 0l < x5-2 0)

p ot a n s i y e l i n i g ö z ö n ü n e a l a l ı m( Ş e k . 5-2).Yin e,

ve

k2mEsi2

q =2

m(E + V n )

4 1 2

(5-2 0• 5

(5-22)











Bir-Boyut lu Pot ans iy e l l e r3O

lz

1,/2 2ı i114 3ı t 71112

Ş e k . 5 - 5 . K a r e k u y u d a t e k ç ö z ü m l e r i n k e s i k l i ö z d e ğ e r l e r i n i n y e r l e ş i m i .A rta n e ğ r i-

l e r - c o t y' yi ; a z a l a n e ğ r i l e r , 21'n ı n f a r k l ı d e ğ erleri için 151:7/y 'yi

g ö s t e r i r l e r .T1/2) 2 i ç i n h i ç b i r ö z d e ğ e r b ulunm a d ığ ı n a d i k k a t e d i n i z .

gelir.Çift çözümlerin tersine,burada ancak Nh — 11 214 > 0 iee,yani

2ı

t l ö r o 0,

2

> 42 (5-4 1 )

. # .% 2

i se, b i r k e si ş im v a r d ı r .

Bütü n t e k ç ö z ü m l e r x = O'd a, a ı f ı r o l u r ; v e b u yü z d e n t e k ç ö z ü m l e r i ç i n b a ğ -

l ı d u ru m p robl e m i, Ş e k . 5 - 6'd a g ö s t e r i l e n p o t a n s i y e l k u y us u n d a k i i l e a y n ı o l a c a k t ı r ,

ç ü n kü Ş e k.5 -6'd aki pot ans iy e l ku yu su iç in d e ,u(0) = 0 ko ş u lu konu l a c a kt ı r.üç-boyut-

l u e v r e n d e k i d a l g a f on k s i y on l a r ı i ç i n d e , b ö y l e k o ş u ll a r konu l d u ğ unu gö r e c e ğ iz.

V ( %)

Ş e k.5 -6. K a r e ku yu b a ğ l ı d u r u m p r ob l e m i n i n t e k ç ö z ü m l e r i i ç i n e ş de ğ e r pot a n siy e l.



84 , Ku a ntum F i z i ğ i

C . P o ta n s i y e l E n g e l i

Ş imdi,

V(x) = 0

= Vo

0 (5-42 )

p ot a n s i y e l i n i g ö z ö n ü n e a l a l l ıa . T e r t ı smmm ı z ı ,E < V o o n e r ji l e r i n e s ı n ı r l a y a l ı m ı k l a s i k

f i z i k t e , bu e n e r j i l e r i ç i n engelden hiç b i r s ı z m a olm a z( Ş e k.5 -7).Eng e l in içinde,

d 2u(x )2 ı ı ı

2+ o ) U(X A 0

4 1 2

d e a k l e m i n i b u l u r u z , ve b u n u

d 2 u ( x )u(x)= O

o l a r a k y a z a b i l i r i z . B u d e n k l e m i n ,

(5-43)

u(x)— Aeı t.

x <

x < — o.

>

(5-4 4 )

g e n e l ç ö z ümü,Lkx.

u(x) = eR e

; . k x .= T e (5-45 )

ç ö z ü m l e r i n e u y d ur u l m a l ı d ı r . F a k a t b i z i m , bu p r o bl e m i ç ö z m e s ı k ı nt ı s ı n a g i r m e m i z g e -

r e k m e z ; ç ünk ü sonug la r ,(5-26)' d a n

, 1 t2 0 / + 1 2 ) (V,5-46

konula r e k elde e d i l e b i l i r . B ö y l e c e , ö r n e ğ in

-2;.kc k 8 ,Ta-- e2k!k cosh 2 ı (c inh 2111a.

(5-47)

V(z)

e

d x

E

-a . c ı

Şe k . 5 - 7 . P o ta n s i y e l e n g e l i . E n e r j i , b i r k l a s i k p a r ç a c ığı n e n g e l d e n t a m o la r a k y a n -

s ı y a c a ğı b üy ük lükt e d i r .



Bir-Boyutlu Potansiyeller 85

bu lu nu r,v e bu

1112=2k 25-48)( k 2. ‘ ı )2 sinh22k1j. ) 2

v e r i r . E n e r j i ,e n g e l i n t e p e s i n d e n a ş a ğı d a b i l e b u l u n sa g e ç i r i m v a r d ı r .Bu bi r dalga ola-

ya d ı r , v e k u a n t u m m e k a n i g î n d e p a r ç a c ı k l a r d a b u o l a y ı g ö s te r i r i e r . B i r p a r ç a c ığı n bir

e n g e l i , t ü n e l oluı i l e g e ç m e s i n e s ı k s ı k r a s t l a n ı r ; b u y ü z d e n b i z , ba z ı u y g u l a m a l a r ı

t a r t ış a c a ğı z .A y r ı ca tta büyük iken,geçen ak ı n ı n g e l e n a k ı y a o r a n ı n ı n ,

1 T 1 2 1°')2 _ 45-49)

k' 4-K -

oldu ğu n u d a b e l i r t e l i m .

2/22 mtrka, [ —4‘ 2v)5-50)oldu ğu n d a n 1 T1 2 ç o k d u y a r l ı o l a r a k , e n g e l i n g e n i ş li ğ i n e v e e n g e l i n g e l i r i e n e rj i s i n d e n

n e k a d a r b ü y ü k ol d u ğ un a b a ğ l ı b i r f on k s i y o n d u r .

G e n e l o la r a k , f i z i k s e l o la y l a r d a k i e n g e l l e r k e r e s e l d e ğ i l d i r ; b ö y l e c e b a z ı uy-

gula m a l a r ı tart ış m a k i ç i n , ö n c e b i ç i m i d ü z g ü n ol m a y a n b i r e n g e l i ç i n 1 1 1 2 g e ç i r i m k a t -

sa y ı s ı n ı n y a k l a ş ı k b i r i f a d e s i n i e l d e e t m e l i y iz . Ç e g u p ot a n s i y e l i ç i n t a m ç ö z ü m l e r o l

am/a ğı n a g ö r e , g e ç i r i m k a t s a y ı s ı n a h e s a p l a m a n ı n yolu,Want z e l-K r a m e r s-Brill ouin(WKB)

y akl a şı m t e kni ğ i n i kulla nm a kt ı r l .T a rt ış ma m ı z çok m at e m at iks e l olm ay a ckkt ı r .

(5-4 9)'u n iki g a r p a nd a n olu ş tu ğ u n u ve b u n l a r d a n i k i n c i s i n i n ç o k d a h a ö n e m l i

oldu ğ unu gözliiyoruz.E ğ e r

log111 2 ", 2 il, (2 a ) + 2 log(kC ı )(Ket)

(km.) 2+ ( › t a ,_ ) 2

y a z a r ı ak, K . c ı e n ı n a k l a y a t k ı n d e ğ e r l e r i i ç i n , b i r ç o k d u r u md a i l k t e r i m i» i k i n c i d e n

bask ı n oldu ğu nu gö r ü yo ru z .Yumu ş a k b i r e ğ r i e n g e l i ,k a r e , J a i ç i e l i e n g e l l e r i y a n y a n a

koy a r a k olu ş tu r m a y ı ye ğ liyoruz.e ç i r i m k a t w a y l l a t ı küçük olduğu zaman,bun-

l a r b i r b i r i n i' ç a r p ı mı olu rl a r 2 (g e r ç e k t e n , a k ı a ı n ç o ğ u y a n s ı d ı g ı n d a n , h e r b i r d i l i m d e k i

g e ç i r i m b a ğı ms ı z v e o l a s ı l ığı ç o k ç o k k ü ç ü k b i r o l a y d ı r ) „ Bö y l e c e y a k l a ş ı k ola r a k ,

12log 1Ti

2ogT r v ç ap ı rçeariterars:etler

-2 L li =<K>

1WKB yakla şı m ı i ç i n , b k z . ö z e l K on u l a r k e s i m 3 .

2

Bu s ö y l e n e n l e r , y a l nız c a e n ö n e m l i o l a n ü s te l k

ıs

ım i ç i n d o

ğr u du r . Bh y le ol-

dug u, e ng e l g e n i ş li ğ i ik i k a t y a p ı ld ığı nda,1112 g e ç i r i m k a t s a y ı s ı n ı n k a r e s i n i n e l d e

e d i l m e s i n d e n a n l a şı l ab i l i r .




ş e k.5-8. Yumu ş ak bir engeli yanyana konulmu ş karevpotanaiyel engellerle olu ş turma

;yakIn şı kl ı t ı .

- - ıj d' \/ ( 2 1 0/4i2 )[v(x) — E]

engel5aaabiliriz.Parçal eagellerdegeni ş lik ve .(P<> bu engeldeki ortalama K,

die.;S ıonra,engel geni ş liginin en dar olakilece ğ i limite geçilmi ş tir M .Bu deyimden,

enerji ile potan ı iyelin hemen hemen e ş it oldugu"dönüm noktalar ı " yak ı n ı nda,yakla ş ı -

m ı n çok do ğ ru almad ığı görülebilir; çünkü burada,(5-4 9) denklemi (5-4 8) için iyi bir

yakla şı m de ğ ildir.Ayr ı ca da V(x),x'in yava ş de ğ i ş en bir fonksiyonu olmal ı d ı r,yokaa

e ğ ri bir engel ancak dar dikdörtge ı lerin bir y ığ ı n ı olarak dü ş iiaülebilir.Burada yine, 1

(5 -49 ) kötü bir yakla ş ı md ı r.WKB yakla şı m ı n ı kullanan özel bir inceleme,dönüm nokta-

lar ı yak ı n ı ndaki davran ışı n bir tart ış mas ı n ı da kapsar.Ço ğ n amaç için,

2f l -ı . V ( 2 - ,c.) — E . 1I T 1 25-52)

yazmak,gene uygun bir yakla ş ı md ı r; burada tümlev,kare kökün gerçel oldu ğu bölge üze-

rindendir.

D. Tünel Olay ı

Atom ve çekirdek fizi ğ inde parçac ığı n tü nel yolu ile geçmesi olay ı oldukça

yayg ı nd ı r; ve biz bunu,iki örnek üzerinde tart ış aca ğı z .

(a) Bir metaldeki elektronlar ı dü ş ünfinüz.Bölüm l'deki fotoelektrik olay tar-

t ış mam ı zda belirtildi ğ i gibi,elektronlar metal içinde bir potansiyel ile tutulurlar;

bu potansiyel, Ş ek.5-9a'da gösterilen sonlu derinlikte bir kutu ile betimlenebilir.

Gerçekte elektronlar,kutunun çok geni ş olmas ı yfizünden,çok yo ğ un olan enerji düzey-

lerinde kümelenmi ş lerdir.Verilen herhangi bir enerji dü zeyinde ikiden fazla elektron

yer alamaz;bu,elektronlar ı n bir özeli ğ idir 3 .Böylece metalin en küçük enerjisi durumu

için,Fermi enerjisi denilen(bu özgür elektron say ı s ı na ba ğ l ı d ı r)belli bir enerjiye

3 Elektronlar ı n bu zeli ğ i Pauli d ış arlama ilkesi ile betimlenir.Bu ilke Bö-

lüm 8'de tart ışı lacakt ı r .







Bir-Boyutlu Potanaiyeller 89

Tünel

'ak ı m ı

e-,eV

2 L s i . E ti eri

a r a b S

Ş ek.5-11. Metal ile iiatüniletken aras ı ndaki tünel olay ı için enerji diyagraml.

Şek.5-10'da gösterilen metalden metele tünel olay ı n ı n tersine,buredaki enerji ara-

laga için tünel olay ı na izin verilmemi ş tir.Bu durum,ak ı m-g e rilim belirtgenini,gös-

terildiği biçimde değ i ş tirir.

düzey yoğunluğunda bir aral ı k. bulunur:hunui anlaml,EF — 6 v e Ep b nerjileri

aras ı nda hiçbir izinli durum olmamas ı demektkr; burada h , 10-3eV basamağ anda-

d ı r ve bu 10 eV basama ğ ı ndaki BF Fermi enerjisi ile kar ş ilatar ı lmal ı dar.Bu düzey-

ler ortadan kalkmemış lardar,fakat a ş a ğı ya ve yukar ı ya alkış m ış lard ı r:bu yüzden,ara-

ligin hemen üstünde ve alt ı nda düzey yoğunlukları çok bflyiiktür.Elektrik alan ı . yete-

rince küçükse,yani 2k/e ise,elektronların gidece

ği bir yer bulunmad ığ ı ndan

hiçbir tünel olay ı olumaz.Ak ı m-gerilim bağ ı nt ı s ı n ı n nite özeikleri veenerji di-

yagramı ek.5-11'de gösterilmi ş tir.Bu özelikler deneyle iyi upu ş ur.

(b) Tünel olay ı çekirdek fizi ğ inde de önemlidir.Çekirdekler çok karma şı k

nesnelerdir,fakat belirli durumlarda onlar ı bir potansiyel kuyusunun düzeylerini

dolduran bağ ı ms ı z parçacaklar olarak görmek uygun olur.Bu görünüm ak ı lda tUtula-

rak,bir çekirde ğ in bir ot-parçac gx (Z .=2'li bir Helyum çekirde ğ i) ve bir yavru

çekirdeğ e bozunmas ı öyle betimlenebilir: 1-parçac ığ l,yavru çekirdek ile ot-par-

ç ac ı k' aras ı ndaki Coulomb potansiyelanden doğan engeli,tünel olaya ile geçer. ot-

parçacı ğ ı

bir ba lı

durumdaymaş

gibi düş

dnülMez: Böyle olsaydı

,çekirdek bozunamaz-dı .Daha doğ rusu ck:parçac ı g ı pozitif enerjili olarak alı nm ış ve bozunumu yalnı zca

engelin varl ı ğ ı yla yasaklanmış t r4 .

4 -Itici bir kuvvetin,iki neanenin ayr ı lmas ı na nas ı l önlendiğ ini kavramak

güç geliyorsa,bu sürecin tersi olan ok yakalanmas ı na düş ününüz.Engelin, ok-parça-

e ığ ı n ı dş arı çkarmaya yönelik oldu ğu aç ı kt ı r.



9 0 Ku a ntum F i z i k i

V ( r )

Ş ek.5-12.kozunum a iç in pot ansiyel engeli.‘TI 2 = e -G5-57)

y a z a r s a k , o z a m a n

d r (Z 1

Z21/2G = 2

( 22 ) /2 rE5-58)olu r; bu r a da,R ç ekir de ğ in yar ı ç a p ı 5 ve b dönüb ı noktas ı d ı r ; b inin d e ğ exi,tümlenen

s ı f ı r a e ş itlen e r e k bula nu r( Ş ek.5-12).Z 1 y av ru ç e k i r d e ğ in ve Z 2 (burad a 2'ye e ş it)

ya yı

n l a n a n p a r ç a cığı

n yükü dü r .Tümlev,tam ola r a k bulunabilir :

1/=

/2

( 5 - 5 9 ) İT 2 .—\ 1 1/ 2 --( R - r d r ( --r//biR Dü ş ük ene rjil er d e(Coulomb enge linin,r=R'deki yüks ekli ğ ine t i ö ı e ı )b )› R olur,ve

sonu ç ola r a k

/ 2mZ1Z2

e b1/2

[ . 7

G 5-60)21/2 15 Ge r ç e kten, ç ek i r d e k y a r lç a i ı ı n ı n i l k k e s t i r i m l e r i O k -b oz u n a m t m a g ö r e y a -

p ı lm ı ş t ı r . Ş im di is e,ç ekir dek ya rl ç apl a r ı n ı bulm ak için yük da ğı l ı m ı n ı n büyüklü ğ ü

kullan ı l ı yor; bu büyüklük,elektronlar ı n ç e k i r d e k l e r d e n s a ç ı lmas ı ile cilçülüyor.



Bir-Boyutlu Potansiyeller1elde edilir,burada b . Z 1 Z 2e 2/E'dir.gr son h ı z ı olmak üzere, d-parçac ı ğ ı n ı n enerji-

si için E = me2/2 yaz ı ı l ı rsa,o zaman

211Z1

Z2

eG ii 0( Z2 2( -L-

e (5-61)

olur.

Bir d-parçaeL ğ ı n ı nçekirdekten d ı ş arı. ç ı kmas ı için geçen zaman ş öyle he-

saplanabilir: Bir tek kar şı laş mada engelden geçme olas ı l ı ğ ı eG klir.hyleyse geçi ş

için gerekli karşı laşna say ı s ı n ! e G idir.Karşı laş malar aras ı ndaki zaman 2R/le ba-

samağ ı ndad ı r,burada R yine çekirde ğ in yarı çapı ,u, isec-parçacı ğ ı n ı n çekirdek için-

deki h ı z ı dı r.Böylece yarı ömür,

2ŞGe5-62)

olur. d-parçaeğı n ı n 'çekirdek içindeki h ı z ı oldukça belirsiz bir kavramd ı r,ve bu

bütünüyle çok klasik kir hetimlemedir;bu Yüzden e G inin önündeki çarpan,daba elve-

riş li bir kurum olmadskestirilemez.Buradaki dü ş ünceler bize,onun büyüklük basa-

m a ğ ı konusunda bilgi yurmek içindi ı0.1 MeV'llk bir d-parçac ı ğ ı için,

„ tv = V 2EIE2XX 101i,

940X 1010 cm/anm c

dir.Ayrı ca R

R.5 X10-15

Al/3 em5-63)

al ı rsak,A . 216 olduğunda öndeki çarpan ı n değ erini,2.6 X 10-21olarak buluruz.Ayr ı -

ca Gyi,El

G n « ! 4

\r n i r c i ; ; ; Tbiçiminde yenidenrYaariz.Böylece alçak enerjililar için,

Z lIgg

104 ; . s a b i t — 1 . 7 3- V E(MeV)

(5-63)

(5-64)

düz-çizgi grafi ğ i öngörülür.Burada, r saniye yerine y ı l olarak ölçüldüğünde,öndeki

sabitin bflyüklük basama ğ ı 27-28 dir.Şek.5-13,çok say ı da o4 yay ı c ı s ı n ı n yarı ömür

verileri ile iyi bir uyumun elde edildi ğ ini gösterir.Bu uyum,

z

2—C

1 Cogio 1 :Bformülü ile sailanmış t4r,burada C1 = 1.61 ve C2 = 2 8 . 9 + 1 . 6 7 . , 2 / 3 'dir.Böylece,çok

basit düşünceler,verilerle oldukça çarp

ıc

ıbir uyum Ba

ğlar.



N 'si ı i s krı ;

say s tarlian ui e ı k olan

...reillte1. için

zZ/3)

Id a 1 4 414 174/ o

01 .i Zei Isı

e 5

e 9örc yar ı i;M:0• s • n4 1 0 0 41,

(Tl olarak) Les 'Mls„ s ı

1 04 = Z. —Z 1°i.fr th 2 31

U 23V.7 1.1236

5rn 146 4'İ,/ U 236

İ,/.Gd IS<>/1<°+' U 234dd°

1 .

, U 133

ol 62

e ı ı3İ

1 4 7İ/ 8o , : 1 4 1

d 1•1› 1510 İ/ "4 nd

cd 147°

1, 85

t ) y6I —

d 1 4 8 / 4 ' t/ 231 -f1ar ı, 153/ , U 232t6oo4

Dy 15 1 A t5ra 2 2 6. 116

/r7F.. , 253 .20 U 230a II

/ lPo 2164 A t 2 1 7

fr 2164 Pa 115

Al 2 1 4

• 2t3

tti 2 1 5

" "4/ rthi£4 im 25044:5,

/ Fm56 11 74 2O y '66/ ,rt u as e Pa los

/ ı..11:711Ply-Trr,71 0,, 184 İ, 2 2 7

Ac0Th0IN I1U1Am 55Fm 100

o Z . .s s 82 'nin aaintia olan

+ Si 82'nin 4—St mda odana3tc s tart

10X

Ş ek.5-13. 1og10 2

1k 'nun,C2 — C I N/ Nri 'ye göre çizimi; burada C, 2 = 1.61 ve

28.9+1.6 Z ı - /3 'dür,C2 'nin yavaş

bir değ

iş

imi vardı

r.4E .K. Hyde,I.Perlman ve2 —-

G.T.Seaborg,The Nuelear Properties of the Heavy Blements,Cilt 1,Prentiee-Halt,

Inc. (1964)'den al ı narak,izinle bas ı lm ış t ı r.)

92



Bir-Boyutlu Potanaiyeller .93

Enerjisi daha çok olan. . 0 ( 'lar n yayı nlanması nda,G çarpan ı R'ye bağ l ı dı r;

ve R = ro A1/3 iser' ı n bir sabit oldu ğ u bulunur.Böylece çekirdek yarlçap ı n ı n

dışı nda,potansiyelin yerine bir Coulomb engelinin gelmesi geçerli bir kavramd ı r.Yi-

ne,basit nitel dü ş ünceker verileri aç ı klamış tır.

Çekirdekler araul bir tepkimenin(örne ğ in yakalanma) olas ı l ı ğ ı ,

e-2(z, z.AFE- )

5-65)

çarpanı ileazalı r.Bu ulgu,düş ük emerjilerde ve/veya yüksek Z'ler için böyle tep-

kimelerin seyrek oldu ğunu göeterir.Bu nedenle, ı s ı lçekirdek reaktörlerinin yap ı m ı nda

tüm giri ş imler,hidrojeuin(ael ı nda ağ ı r hidrojen-Döteryum) yanmas ı na dayanı r:

H

2

+ tB

HHe

3

+ n

3.27 MeV)

H2+ R

--d>' 4.03 MeV)

H2

+1

B3- - ; P- ; P

21 1 e

4 17.6 M e V )

Çünkü Z'si..daha büyük mlementleri kapsayan tepkimeler,gok daha ytikaek enerjiler

yani çok taha yüksek sı cakl ı klar gerektirir; buna kar şı l ı k olarak da,daha büyük

kapatma problemleri doğar.Aynı neden1M,çekirdek reaktörlerinde ağır, mlementleri

ikiye bblı ıek için,nötronlar kullan2l. ı r.Düş ük enerjilerde,protonlar da kullan ı labi-

lir; çünkü bu enerjile:rdeki protonlar,çekirde ğ e tepkime verecek kadar yakla ş amazlar.

E. Bir-Boyutlu Halekül Modeli

Bir çift potansiyel kuyusundaki bir parçac ı k örne ğ i,moleküllerin nas ı l oluş -

tuğn.rkonnaunda baz ı görüş ler ortaya koyar.Vo a . sabit kalmak üzere büyük derinlik

ve s ı f ı r, geni ş likle simı rlanmış bir kare kuyuyu ineelersek,cebirsel i ş imiz çok ko-

laylaşı r.dn durumda,bir delta-fonksiyonu kuyusu elde ederiz; bu potansiyel kuynsu

ile iş lem yapmak kolayd ı r.Böyle oldu ğunu göstermek için önce tek bir çekici potan-

siyel 1c:quer:na gözönüne alal ı m:

(2.R 2 ) v( x)

(x)-66)E < 0 ikmn,çözülecek olan denklem,

d2ux). 1 u(x)=.(2) u(x)5-67)dx

2dir,bnradak = 2m I Edir.

2x = O ı n dı ş ı ndaki her yerde,çözüm d2n/dx2 —= 0

bu çözüm,mn da sf ı ra g:idecekse,

u(2)= e

Kxe

x > 0

x <,

denklendni sağ lamal ı dı r;ve

(5 -6&)





B i r - Boy u t l u P o t a n s i y e l l e r 95

1 . Ç i ft ç ö z ü m l e r i ç i n ,

u(x) = e> ct

2=A cosh t kx >= e< (5'.-72)

y a z a r ı z ,v e d a lg a fonksiyonu nu n sürekliliğ i

- b i cıec o e h K a ı5-73)v e r i r . B a k ışı m n e d e n i y l e ,t hr e v I e r i n s i i r e k a i z l i k k o ş u l u n n y a l n ı z c a x = ı l l d a u g a l a m a k

yeterlidir.x =—cx 'da uygulanmas ı n d a n y e n i b i r ş e y g e l m a y e c e k t i r . B h y l e c e ,

- tc.cx —?ter(A sinhe5-74)c ı

e l d e e d e r i z ; v e h z d e ğ e r k o ş ulu,

t a n k K,a= ı5-75)

olur . Bu ko ş u l ç i z g e l o la r a k Ş e k.5 -15't e g ö st e r ilm i ş tir.ta nh y ve ( 21 /y)-1 e ğ r i l e r i -

nin y a l n ı z c a b i r k e e i ş im nokt a s ı vard ı r . y = îh oldu ğ u z a m a n s a ğ ya n ı n s ı f ı r oldu ğ u

a ç ı kt ı r,oysa tanh y > O'd ı r .11öylec e kesi ş im noktas ı için y < i1 'biu ı yr ı c a

tanh y < 1 oldu ğu n d a n k e s i ş im noktas ı nda (÷) < 2 olmel ı d ı r , b u ise

>5-76)2 c ı

d e m e k t i r . B u n u ( 5 -7 0 ) i l e k a r şı la ş t ı r ı r s a k , ç i f t k uy u i ç i n e n e r j i n i n d a h a b ü y ü k b i r

n e g y t i f s a y ı oldu ğ unu görürtiz;'bbylece ç i f t p o t a n s i y e l i ç i n e n e r j i d a h a a ş a ğı d a d ı r.

Bi r pot a n siy e l ç if ti n i n y e ğ inli ğ i n i n b i r t e k p ot a n s i y e l i n k i n d e n b ü y ü k ol m a s ı b u r a d a n

g e lm e z .I ki p rotona b a ğ l ı b i r e l e k t r o n i l e b i r p r o t on a b a ğ l ı b i r e l e k t r o n u n k a r şı la ş t ı -

Ş e k . 5 - 1 5. t a n h yYz d e g e r k o ş u l u n un ç ö z ü m ü .




rı lmas ı durumunda da böyledir.Çift potansiyel için bağ lan kan ı n daha sı k ı olmas ı n ı n

nedeni Şek.5-16'da gösterilmi ş tir: Hzla azalan bir üstefl fonksiyonu,luik ı l ı ml ı bir

fonksiyon(burada cosh x) ile uzla ş t rmak daha kolayd ı r;çifiı kü eğ imdeki s ü r e k s i z l i k

ş ekilde görüldüğü gibi az olur.Oysa aynı fonisiyonu,potadsiyelin öbür yan ı nda da

e ş it bir eimle azalan bir üstel fonksiyonla uzla ş t ı rmak zordur'aGerçek dfinyada,

araları nda küçük bir uzakl ı k bulunan iki protona bağ l ı biîr elektronun enerjisi,bir

proton ve çok uzaktaki bir hidrojen atomuna ba ğ l ı elektrenun enerjisiaden daha a-

ş a ğ ı dadı r; üstelik.de ilk durumda,protonlar aras ı ndaki itme daha etkiadir.Burada da

gene,dalga fonksiyonu kendisini,ba ş at etki olan geometrik durumla uzliatt ı rmaktail ı ".

2. Tek çözümlerin bi ç i m i ,

u(x) m. e

• A sinh

• — e

> OL

a > z > — 0.

< — c (5-77)

olacakt ı r.Bu kez de,karşı bakış ı m nedeniyle,koşullar örne ğ in xda uygulamak

yeterlidir.Dalga fonksiyonunun süreklili ğ i

A sinh 5..78)

verir.Sfireksizlik denklemi ise,

-.1te7 K 4 a .

İ-(A cosh e- '“t5-79) .

Şek.5-16. Tek ve çift delta fonksiyonu çekici potansiyeljeri i ç i n bağ l ı durum

dalga fonksiyonları .



Bir-Boyut lu Pot ane iy e l l e r7‘‘"

Ş ek. 5-17. tanh y = ( il /y — 1) -1 d z d e ğ e r k o ş ulunun ç ö z ümü.

o l u r . I k i s i n i n birle ş tirilmesi,

coth r t a 4 r ~ .-- 5 -8 0)c 1 / 4 -

ozde ğ e r k o ş ulunu ve r i r . Ş e k . 5 - 17 ' d e b u d e n k l e m i n t e r s i n i n e ğ r i s i ç i z i l m i ş tir,bu

tanh y'nin ( 5 N / y 7 1 ) - 1 ' e g ö r e gizimidir.Bu fou k s i y on l a r d a n b i r i n c i s i n i n b a ş lang ı ç

noktas ı n d a k i e ğ imi 1k4l ı c i d e n b ü yü k e e , y a l n ı z c a b i r k e s i ş im noktas ı b u l u n a c a k t ı r; bunun

i ç i n d e ,

:k > i5- 8 1 )

olmal ı d ı r. y = 21/4/2 iç in ( 22/y-1) -1 t e r i m i 1 v e r d i ğ i n d e n, k e si şme y < 9/ 4 / 2 i ç i n

ol u ş ma l ı d ı r ; b u d a ,

, •Na5-82)

d e m e k t i r . B ö g l e c e , e ğ e r b i r b a ğ l ı d u r u m v a r s a tek ç ö z ü m , ç i f t ç ö z ü m d e n d a b a z a y ı f ba ğ -

l a n m ış t ı r .S ı f ı r d a n g e ç m e s i g e r e k e n d a l g a f o n k s i y onu k u yu l a r a r a s ı n d a d i k olm a y a zor -

ta n ı r ; v e b u y ü z d e n a n c a k , d a h a y a v a ş a z a l a n b i r ü s t e l f on k s i y o n l i uz l a şabilinn

b üy ük lü ğ ün e b a ğ l ı o l a r a k uyar ı lm ış bir durum bulun a b i li r v ey a b ulunm a y a b i li r .

Şi m d i d e , e n e r j i si

l a n u ç (x) t ab a n d u ru mu il e , e ne rjisi E t ola n u t (x) uyari l-m ı ş d u r u m u n un b i r ü s t üs t e g e l M e s i n i 4 d ü ş ö n e l i m ( ç v e t , ç i f t v e t e k d e m e k t i r ) ;

1 1 . , (x).= u ç (x)( U t (X)5-83)

ı - °Bu r a d ak'n ı n s e ç i m i , J d x14 , (x)1

1 2'yi ol abil d i ğ i n c e k ü ç ü k y a p a c a k b i ç i m d e -

-4 od ir; bu is e ," e l e kt ron"u n ol abil d i ğ i n c e s a ğ y a n d a y e r e l l e ş m e s i d e m e k t i r . B i r t z a m a n ı





Bir-Boyutlu Potansiyeller9olur,yerdeğ i;itirme ise,

(x+ a.a.

'40 ( + 0. ) =- C

4.0(x)

5 - 89)

verir. Byleen ilk çözüm,bir evre çarp ı m ı ileçarp lm ış olur;ve bu yüzden,

(5-0)

diz...Öyleyse gözlenebilirler,xide ve x + 0. 'da ayni olacaklard ı r; ve biz x`de mi,yokea

x + 0. 'da m:31. olduğumuzu söyleyemeyiz..0rne ğ imizde ayrı ca, "y(x) ve -ı .1 , (x +O. )'yi•ka

ayı ran evre 5 .yarl an ı n ı n, içiminde olmas ı gerekmedi ğ ini de vurgulayacağ ı z.

Cebiri basitlestirmek için a itici delta fonksiyonu potansiyellerinin şu serisini

alacağı z :

V(x)--12 a )5-91)2mrk=-=x = n a noktalar dşı ndaki çözüm özgür parçac ı k denkleminin çözümü olacakt ı r,yani

sin kx ve nos kx 'in bir çizgise birletirimidir(basit olmas ı için gerçel fOnksi-

yoularla çala şı yoruz).(n - 1)a < ı c < na ile tanmlanan lin bölgesinde,

Ni(x) = An sin k. (x n eus k (x (5-92)

olduğunu,vena < x < (:a 1)0. ila tanmlanan Rn+i bölgesinde,

An+1sin [x —(n + 1)0,113 n+1 cos-(n)5 - 93)olduğunu vı ı n3ayal ı m.Dalga fonksiyonunun aüreia ili ğ i (x = na. ),

-A11+1

sin ka A- Bn+1

cos \<.m..= Bn5-94)

verir;ve (5-3) süreksizlik koş ulu burada,

k An+1

cos ko Bn+lsin km - k An —Bekl

olur.Biraz diizenleme ile,

An+1ncos ka + (g cos kain ica ) B n

B n+ig nin ka +can ka.) Bn -I- An nin ka

elde edilir,burada g =

a.

(5-2 ; 9 ve (5-3) dalga fonksiyonlar ı arasnda,

(Rn+ ı )- e'(1.)

bağ ı nt ı s ı bul.utintal ı d ı r;bu bağı ntin ı n sağ lanmas ı için de

.4>E ' A

nB

n+1+ -- Bn

(5-95)

(5-96)

(5-97Y

(5-98)



100infintum Fii ğ i

olmalld ı r.hu sonuçlar (5-96)'da yerine konuldu ğu zaman,

< I S( e- nakay (e -- g sinka -co.3 k c k )in k (g cosin k a )

bag ı nt ı s ı n ı vı eren b ı r tutarl ı l ı k koş ulu buloruz;ve bu,

2.100e- e (2 cosko.,F g sink m . ) 4-1= 0

olmas ı demektir..le çarpı m,

cos = coskot++ g sin k o.

verir.

"WrialLalitaiz için,

Y(Rn)5-UM)

biçimindekiperiyodik a ı n ı r ko ş ulları n ı al rsak,o zaman (5-98)'6en esonucu

ç ı kar,buradan da

o— , ' 1, * 2,...5_Illol)

b ı llunur.Oyi qa ile gösterelim,burada q periyed4ks ı n ı r ko ş ulları taı yan we hiçbir

potansiyelin yani hiçbir iyonun bulunnad ığ ı ,Na uzunlu ğunda bir kutu içi ı nhAi elekt-

ronun dalga Ney ı s ı d ı r.11öylece (5-99),

cus qa = cos kak "nka " (5-K02)k o .

biçiminde yeniden yaz ı labilmelidir.Bm çok ilginç bir sonuçtur,çünkü sol yan her za-

man 1 ile aln ı rlanmış tı ruani E . 4 ı 2 k 2 /2m enerjisinin alabilece ğ i de ğ erler üze-

rinde,"kristal"imizin parametrelerine ba ğ l ı olan k ı s ı tlamalar vard ı r.Ş ek.5-kWde,

= ha 'nı n lonksiyonu o l a r a k cos sin x/2xin çizim gösterilmş treYatay

çizgi cos qa nn s ı n ı rlar ı n ı göstertr,veerinin ş erit dş ı nda kald ığ ı x bölgele-

ri yasak bölgelerdir.Böylece yasak 'bölgelerle ayr ı lm ış olan izinlienerji kuaklar

vard ı r.Yaaak bir ku ş a ğ ı n baş lamas ı ,

k o = nrt nI, ± 2,± 3 , . . .

(5-1.03)

ko ş uluna karplik gelir.Ve bm,dik geli. ş için tam olarak Bragg yans ı mas ı ko ş miudur.

Elekt:-onlar ı n • .doldurduitu enerji düzeylerinin daha fazla elektron alamaya-

cağı olgusu(bu,ilerde inceleneeektir) gözönüne al ı n ı rea,Kronig-Penney modelinin me-

tal,yal ı tkan ve yar ı iletAen kuramlarlyla ilgisi oldu ğu görülür.11öylece bir metalde

k ı smen dolmup olan bir enerji ku ş a ğı bulunabilir.Bir dışelektrik alan ı uygodanı rsa,

elektronlar lvmelenirler,ve kendileriu,e uygun gelen momentum durumlar ı varsa.,elektron-

lar d ış alan ı n etkisi ile bu momentum durumlar ı n ı doldururlar.Yalltkanlarda tam ola-

rak dolmu ş ku ş aklar bulunur;ve yak ı nlarda hiçbir bo ş durum olmnd ı g ı ndan,bir elektrik

alanıelektromlar

ı

ivmelemdiremez.Elektrik alanı

yeterince kuvvetli ise,elekitronlaryasak bir enerji aralig ı m ı n üstünden 'atlayabilirler" ve bo ş bir izinli. enerji





Yı

)y(r)1 1

10 2u a n t u m F i z i ğ i

Ş e k . 5 - 19 . E n a l t d ö r t ö z d e g e r i ç i n h a r m on i k s a l ı ng a n ı ft özfonksiyonlar t ve olas ı -

l ı k yogu nlu kl a rt .Üz fonksiyonl a r ı n ç i f t l i k v e t e k l i k ö z e l i ğ i n e d i k k a t e d i n i ı .

Kla sik Ha miltoni e n,

2lI 21- —2—

2m

biçimindedir,bundan dola y ı ö z d e g e r d e n k l e m i ,

k22 u ( x ) 4_

2

kx2u(x)u(x)n

2mx (5-1 04)

(5- 05 )

olur. Ş imdi s a l ı ng a n ı n,

=K / n ı

f r e k a n s ı n ı tan ı m l ay a l ı m ve

EE+ı l " )

(5-106)

(5-107)

y a z a l ı m.Ve,

Y\/(5-108)

d e ğ i ş k e n d e ğ iq ti n k e s i n i y e p a r s a k , s on o l a r a k d e n k l e m i n ş u basit biçimini elde

n =3

n=.2

rt=1

n=0





ve

0..24.+4 = 1....2)k (N + 1)(N 7- 1)....(N— 2k 4-3)(11 --2k

k

(2k +1M(5-122)


biçimini alacağ ı kolayca görüliir.Bu büyük bir basitle ş me gibi gözükmez,fakat sonsuz-

daki davranışı açklamış oluruz,ve ş imdi y = Oyekı n ı ndakidavranı ş a bakabiliziz.Bunun

için, C O P

21

h(y) == 5-117)rü=0

kuvvet serisi aç ı liminı deneyelim.Bu,denklemde yerine konursapy" 2 **im 1atem ş1 1 . 1 . 1 c . $ 1 1 1 m

1 ) ( ; h 1 4 . - 2 ) c ı m+2.2 2 1 —E+1)0: (5-118)

indirgeme bağ ı nt ı s ı n ı salamas ı gerekir.Böylece, a o ve e l i ve ırildiğ inde,tek ve çiftseriler ayr ı ayrı türeilebilir.Bunlar n karış mamas ı ,Hamiltonien'in yans ı malar alt ı n-

daki değ i ş mezliğ inin bir aonucudur.iateksel E için,m'Jitbüyük de ğ erlerinde(örnetin

m > fl"),

Q (5-119)

buluruz.Böylece çözüm yakLa şı k olarak,

(INN+22h(y)=(y'ye göre bir çokterim101-N+ 4

N(N +2)

2 3 +6y N(N + 2)(N + 4)

dı radmrada,basit olsun diye yaln ı z çift çözümleri ald ı k.Buradakk seri,

a052" N)1Y2)N/2-1 4- %3

,2,N/2--L (N/2 -I)!N / 2 ) !N/ 2) !biçiminde yez ı labilir;bu,bir çokteriali4- bir sabit X y' e yiçimindedir.Bu,

(5-115)'de yerine konursa,sonauzda s ı f ı r olmayan bir çözüm elde ederiz.indirgerne

bağ ı nt ı s ı bir yerde son bulunsa,yani

E : . - - - 2 N 4 . 1 (5-20 )

olursa geçerli bir çözüm bulunabilir. e 'nun bu özel de ğ eri için indirgeme %a ğ ı n -tas,

21c. = (-2)k1 4 . (N).... (N -72k + 4) (N — 2k + 2)t o5-121)

( 2 k ) !

verir.Böylece,şu sonuçlara ula şı r

ız:

1. Kesikli,e ş it aralı kl ı özdeterler vard ı r.Denk.(5-120),

E = (5-123)




o la r a k ç e v r i l e b i l i r . B u a l ı ş ı lm ış b i r b i ç i m d i r ; ç ü n k ü e n e r j i ve f r e k a n s a r a s ı n d a k i b u

ba ğı nt ı , P l a n c k e ı n ışı n ı m a l a n ı k i p l e r i i ç i n b u l d u ğu bağı nt ı i l e a y n ı d ı r . B ö y l e o l m a s ı

r a s t l a n t ı d e ğ i l d i r ; ç ü n k ü e l e k t r o m a g n e t i k a l a n ı n 414 ıb ı a k i p le r e a y r i l m a s ı ,asl ı n d a

ç i f t l e n i m s i z h a r m o n i k s a l ı n g a n l a r a a y r ı lm a s i d i r .

2 . h( y) ç o k t e r i m l i l e r i b oy l a n d ı r m a s a b i t l e r i d ışı nda 11 1 1 (y) Be rm it e çokt e r im li-

l e r i d i r , v e b u n l a r ı n ö z e l i k l e r i b i r ç o k d e r s k i t a b ı n d a b u l u n a b i l i r . A s l ı n d a b i z b u a y r ı n -

t ı l a r l a i l g i l e n m i yo r u z ,v e h a r m on i k s a l ı ng a n p rob lemit ı i y i n e ç ö z e c e ğ i z ; b u y ü z d e n ş im-

d i l i k b u ko nu l a r ı k e s i y or u z . A y r i c a , h a r m o n i k s a l i n g a n ı n k l a s i k m e k e n d k t e o l d u ğ u gibi

k u a n t u m m e k a n i ğ i n d e d e ö n e m l i o l ma s ı n ı n n e d e n i n i b e l i r t m e ğ e d e ğ e r i . B i r si st emi n d e ng e

d u r u m u n d a n h e r h a n g i k ü ç ü k b i r t e d i r g e n m e s i k ü ç ü k s a l ı n ı m l a r d o ğ u r u r , b un l a r d a h e r z a - ,

ma n 41400aa k i p l e r e , b a ş k a d e y i ş le ba ğı ms ı z s a l i n g e n l a r a a y r ı la b i li r .

3. (5-1 25)'d e n g ö rü l d ü ğ ü g i b i e n a l t d u r u m u n b i l e b i t e n e r j i s i v a r d ı r.Buna

s ı f ı r - no kt a e n e r j i si d e n i r . B u e n e r j i n i n v a r l ığı b ü t ü n ü y l e k u a n t u m m e k a n i k s e l b i r e t -

k i d i r v e b e l i r s i z l i k i l k e s i n e d a y a n a r a k y or u m l a n a b i l i r . l i e l y u mu n a şı r ı a l ç a k s ı c a k l ı k-

l a r d a " donm am as1 ",f akat ol a ğ an baainçlarda 103 K e l v i n d e r e c e s i b a s a m a ğ a n a k a d a r s ı v ı

k a l m a s ı olg u su n d a n d ' a s ı f ı r -nokt a ' e n e r jisi aor umlu du r . B a f if a tomla r d a uj f r e k a n s ı bü -

y ü k t ü r , b u n e d e n l e ö r n e ğ i n a z o tt a b u e t k i g ö r ü l m e z . B u e a e r j i , a y r ı c a d a a t Om la r a r e a l

k u v ve t l e r i n m y r i n t ı l l ö z e l i k l e r i n e b a ğ l ı d ı r , v e » a v ı h i d r oje n i n d o n ma e l b u y i i ; d e n d i r .

P r o b l e m l e r

1. x-eksenininsonln bir bölgesinde yerene ş mi ş i s t e k s e l b i r p o t a n s i y e l i g ö z ö n ü n e

el ı n ı z . P o t a n s i y e l b ö l g e s i n i n s o l u n d a k i v e s a h i l d e k i ç ö z ü m l e r a ı r a y l a ,

zk x .4.kxAe + B e+De.

i l e v e r i l m i ş o l s u n l a r .

C = S11

A +12

D

B= S21

A + S2 2

D y a z a r s a k , y a d a b a ş k a d e y i ş l e , " g i d e n " d a l g a l a r ı " g e l e n " d a l g a l a r a

CBD

8 1 112) (D

)

82122o l a r a k b a ğ l a r s a k,



106 l(uantum F i z i ğ i

i s 2 4 . i s 12=

I 11 112'i s 12 + 1 s2 = 1 .

' 21 12'4ı ı •

S S + SS = 011 121 22ba ğı nt ı lar ı n ı n geçerli oldu ğ unu gösteriniz.Bu beg ı nt ı lar,

(

Sl 5 12 )

S21

S22

matrisinin ün iter oldugunu silylemeye gelir.

( İ puc ıl! Ak ı korunum unu,ve A ve D'nin isteksel karmel sayular olabilece ğ ini kul-

lanın

ı

z.)2.

V ( ) = 0<= Voa < x <

.= O< o.

potansiyeli için,saç ı lma matrisinin

_ .11

S12'

s21 e S

22 öğ elerini heseplay ı n ı z,ve

Problem l'de kan ı tlanan genel ko ş ullar ı n gerçekten sa ğ lamd ığ ı n ı gösteriniz.

3 . S 11

22 ö ğ eleri k'n ı n fonkaitonudur.•

s

1 1

(-k) = S1 1

(k)

S22

(-k) = S22(k)22

8 12 ( "k)= S21 (k)

oldu ğunu,ya da ba ş ka deyi ş le,bu matrisin

S(-k) = S +(k)

özeli ğ ini ta şı d ığ ı n ı gösteriniz.

4 . Potansiyel kuyusu için tek çözümleri gözönüne al ı n ı z(örne ğ An Denk.5-39),

bu çözümler s ı f ı r aç ı sal momentumlu üç-boyutlu potansiyel kuyusn içim bir model

olarak kullan ı labilir.Potansiyelin aral ı k' 1.4z10 -13 cm ve sistemin ba ğ lanma ener-

jisi -2.2 MeV olarak verilirse ve kullan ı lan kütle 0.8z10' 24 gr ise,motansiyelin

derinligini MeV olarak bulunuz.

[Yard ı m; (1) Önce,uzunluk ve kütleleri öyle kütle birimierine çevirimiz ki,aral ı k

d(K ) ve balanma enerjisi E ( /4 cl ) biçiminde olsunlar.Vmrilen kütle

uygun olabilir.(2) Baglanma enerjisi çok küçfiktür,byle Ici hemen hemem s ı f ı rd ı r.S1-

f ı r olsa idi,(5-4 1) ko ş ulu Vo ' ı verirdi.Bu de ğ er yak ı nler ı nda seriye aç ı n ı z .

5. S e k r b d i n g e r d e n k l e m i n i g e r ç e k t e n 4 ç ö z m e d e n , ç ö z U m l e r i ö y l e k u r ı ı nnz.ki,



Bir-Boyutlu Pntansiyeller 107

a ş a ğı d a k i d u r u m l a r i ç i n y a l n ı zca dzonksiyonlar ı n v e t fi r e y i e r i n i n e ş itlenmesi'1;a1-

s ı n :

V

„TXc a t

v ,c ı

Bu p r ob l e m i ç ö z e r k e n , ş u ko ş u l l a r ı griZönünd e tntunuz: (a) Potans i y e l-olm as ay d ı , sold a n

g e l e n a k ı - . N . ı k / m ol a c a k t ı ; E -< V o al ı n ı z .

X=0'X

(b) Pot ans iy e l olm as ay d ı ,s a ğ d a n g e l e n a k ı m ı n büyüklü ğ üN k / M o la c a k t ı ; E 1: Vo

al ı n ı z .

6 . (5-35)*(lek i bir ba ğ l ı d u r u m u n ko ş u l l a r ı n ı n,(5-25)'in p ay d a s ı n ı n k = j4.K. "d a

s ı f ı r o l m a s a g e r e ğ i n d e n e l d e e d i l e b i l e c i *I n ı - g ö st e r i n i z . B un a n n e d e n b i r r a s t la n t ı ol -

ma d ı ğ ı n ı tart ış a b i l i r m i s i n i z ?

7.

V(z) s( x --b)cı

p ot a n s i y e l i i ç i n s a ç ı l m a m a t r i s i n i g ü z ö n ü n e a l ın ı z v e b un a n,

b i ç i m i n d e o l a c a ğı n ı g ö s t e r i n i z . B u m a t r i s i n s iiniter oldu ğu nu,ve m at r is in ü ğ e l e r i



108 Kuantum Fiziki

s ama olduğ u amma bağ l ı ~ar toguıaa verdiğ ini kaalliklayı n ı ..(au durum,-

Valwiaca ı1<'° ı gia eı lagacaktı r.)

8. Parçac ı k olabildiğ ince ba§lang ı cin :tak yanı nda yrerekle ş tirecek olan,

Denk.-83'deki C›< 'yi hesaplay ı n ı z.

9. Ilarmonik sal ı ngan ı n en alt üç özfonk;siyonn için ı ialga fonksiyonları n ı

ayrı nt ı l ı olarak hesaplay ı n ı z.

10 . Rarmonik sal ı ngan potansiyelinin küçük bir ktibil terim ile terdirgen-

di ğ ini dusunUnüz,oyle ki,

V(X).-72BALAJ (3 )c ip

olsun. Q büyükse l( 1 /mua ) 1/2 belirtgen boyatu ile kar§Alat ı rı nca], taban du-rumdaki bir parçac ı gı n en sakdaki bölgeye "s ı zmas ı "n ı n ne l adar zaman ald ı ğ ı n ı kes-

tiriniz.Yaln ı z bu tedirgenme varken,hiçbir en dü ş ük enerji durumu bulunmad ığ ı na dik-

kat ediniz; çünkü yeterince büyük x için,potansiyel istendi ğ i kadar derin olur.

11 . A ş a ğı da gösterilen,

V(x) — 4,2 2mx2> R

o

potansiyelini. gözönüne al ı n ı z

\ -leav

E enerjili bir parçaclk ı n bu potansiyeldeki yar ı ömrünü ke ı tiriniz(d ı staki potansi-

yel üç boyutlu bir dünyadaki aerkezkag bir engeli göaterirl.Sonuçlar ı n ı z ı kRboyntsnz oran ı cinsinden ifade ediniz,burada E .41i2k2/2m 'cli: ıs. I » alivz.

12 .

3n

olan Kronig-Penney potansiyelini gözönüne al ı n ı z.

(a) xo. nn fonksiyonu olarak,

9 1 / 4 cos xn x

egrisini ayrı

ntı

lıolarak çiziniz.

X

2




(b) Ya sa k e n e r ji ku ş aklarinlnklTn i n h e m e n ü s t ü n d e n b a ş la d ığı n ı

g ö s t e r i n i z .

( e ) ? k a r t a r k e n i z i n l i e n e r j i k u ş a k l a r ı n ı n d a r a l d ığı n ı g ö s t e r i n i z .

(d) + 2 k 2 / 2 m e n e r j i s i n i , o' nun f o n k s i y onu o l a r a k ç i z i n i z .

1 3 . Bir mol e kü lü n (5-71) il e t an ı m l a n a n m o d e l i n i g ö z ö n ü n e a l ı n ı z . A bü-

yük ol d u ğ u z am a n ,A z

2 m i z t 2

oldu ğ u n u g ö s t e r i n i z .

K a y n a k l a r

K ronig- P e nne y mod e l i ş u r a d a d a a y r ı nt ı l ı o la r a k i n e e l e n m i ş tir:

E . M e r z b a c h e r , Q u a n t u m M e c h a n i c a ( 2 . n c i b a s ı m),John Wil e y a nd Sons,N e w York,1 970 .

"Ku ş a k k u r a m ı "n ı n d a h a a y r ı nt ı l ı b i r t a r t ış ma s ı i ç i n b k z .

C . K i t t e l , I n t r o d uc t io n t o Sol i d S t a t e P h s i e s ( 4 . ü n e ü b a s ı m),John Wil e y a nd Sona,

I nc .,N e w York,1 971 ,Bö lüm 9 .

E n g e l d e n s ı zm an ı n,WKB y akl a ş ı m ı n ı k u l la n a n d a h a t a m b i r t a r t ı ş ma s ı i ç i n k i t a b ı n

a o n un d a k i l i s t e d e v e r i l e n d a h a i l e r i d e r s k i t a p la r ı n d a n b i r i m e b a k ı n ı z .

a e






v a r d ı r : i s t e k s e l b i rV(x) fonksiyonu,H'nin ö z fonksiyonls r inın bir t am küm e s i t ü-

r ü n d e n a ç ı l a b i l i r ; y a d a b a ş k a d e y i ş le,

11, (x) = Z C-l (x)E E6-6)

o l a r a k y a z ı l abil ir .Eg e r HWin ö z fonksiyonl a r ı n ı bo v l a n d ı r ı lm ı ş o l a r a k s e ç e r v e E ' n i n

f a r kl ı de ğ e r l e r i n e k a r ş ı l ı k gelen ö zfonksiyonlai r ı n d i k o l d u ğ u n u gö z ö n ü n e a l ı r s a k,o za -

man

Jr l Et (x) uz„.(x) Slx = SEev,6-7)

olur; bu sonu ç Ek B'd e ka n ı t l a n m ış t ı r . B ur a d a n d a a ç ı lm a k a tsa y ı la r ı ,

dx nE ,(x) y(x) mmCEE ,(x) E (x) dx

C EE'= C E'6-)

o l a r a k b e l i r l e n i r . ş i m d i , h e r b i r e n e r j i ö z io n ks i y on n i ç i n z a m a n b a ğ l ı l ı k:1min,

u E (x,t)= nE (x)6-9)

b i ç i m i n d e o l d u ğ u n u gö z ö n ü n e a l a l ı m . B ö y l e o l d u ğ u,(6-9).u n (6-5)'t e y e r ine konm as ı yla

kol a y c a g ö r ü l e b i l i r ; v e b ur a d a n ,

y(x,t) mmE eE (x)Eı E 4 c / 4 : ,6-18)

olu r .Çok s a y ı d a ö r n e ğ i n i n c e l e n m e s i n d e n ö ğ r e n d i ğ i m i z g i b i , e n e r j i ö z d e g e v l e r i k e s i k l i

v e / V e y a s ü r e k l i d e ğ e r l e r lik a b i li r . Bu y ü z d e n, ö z d e ğ e r l e r i n şpektrumunun k e s i k l i v e / v e y s

s ü r e k l i o l d uğu nu s ö yl e r iz .hyl e ys e (6-6) as l

ın d a , b u i k i d u r u m a k a r

şıl

ı

k g e l m e k ü z e r e ,

e n u ED 00 -4- f am(E)y,6-1)

olmal ı d ı r ; v e (6-7),k e sik li d e ğ e r l e r i ç i n

Jr uZ(x) nEn (x) dx =m6-12)

v e s ü r e k l i d e ğ e r l e r i ç i n ,

jr u:(x) m E ,(x) dx = cS . (E — E')

6-13)

v e r i r . O l a b i l e n t e k s e ç i m b n d e ğ i l d i r . P o t a n s i y e l k u r u s u v e y a e n g e l i p r o U e ml e r i n i n

ç ö z ü m le r i n d e g ö r d ü ğ ü m ü z g i bi , e n e r j i ö z d e g e r d e n k l e m i n i n ç ö z ü m l e r i ö y l e f lo n ks i y on l a r d e n



Dalga Mekani ğ inin Genel Yapı s ı13

kurulabilir ki,hu fonksiyonlar potansiyelden uzaklarda,momentum özfonkeiyonlar ı olur-

lar.lfurada,enerji ve momemtum aras ı nda bir ba ğ ı nt ı vard ı r(potansiyelden uzakta,E=p2/2m);

böylece çözümler öyle boyland ı rı labilir ki,(6-13) ün sağ yanı yerine(p-p'),veya

üç boyutta(7- l ı' ' ) gelir.

Ayr ı ca aç ı l ı m katsayı ları için,postfilat olarak bir yorum önermi ş tik: I C E İ 2 , Y(x)

ile betimlenen durumun bir enerji ölçümünfin,belli E özde ğ erini vermesi olas ı l ığı d ı r.d-

zel herhangi bir ölçiim yaln ı zca bir özde ğer verebilir; fakat klasik fiziğ in tersine,blı-

nun hangi özde ğ er olacağ ı n ı öngöremeyiz: Yaln ı zca,bu ölgümün belli bir E de ğ eri vermesi-

nin olas ı lığ ı n ı biliriz.Klasik kuramda oldu ğ u gibi kuantum mekani ğ inde de, bir anlamı

olmas ı için,herhangi bir ölçiim : yinelenebilir olmalid ı r.Beylece,bir gözlemci bir sistem-

üzerinde tek bir ölçiim yaparak,enerjinin örne ğ in bir E/ değerini bulnrsa,bu sistem için

sonraki bir enerji blçömö gene E l vermelidir.Bu nedenle,ilk ölçiimden sonra sistemirı dn-

rumu yeni bir dalga fonksiyonuyla betimlenir,bu ise uE (x) özfonksiyonndur; ancak o za-

man yinelenen bir ölgiim,1 olas ı l ığ ı ileE verir.Ve bal n,"bir ölçiim bir durumu gözlene-

bilirim bir özdurumuna izdü ş ürür" deyimi kullan ı l ı r.

Aç ı l ı m teoremi,bir A vektörünön N-boyutlu vektör uzay ı ndaki dikeyboylu birim'

vektörler türünden açxl ı m ı n ı n bir genelle ş tirilmesi olarak görülebilir;

A -1-0.0 , . 4 .

N6-14)=s sA . birim vektörleri,

(6-15)

bağ ı nt ı s ı n ı slklarlar,ve bunlar nE(x)lerinbenzerleridir. C t k katsayları ,

et.k"-

k*A6-16)

ile verilir,bunlar da CE 'lerin benzerleridir.Kuantum mekani ğ inde vektör uzay ı dilini

s ı k s ı k kullanacağ ı z.Böylece C E katsay ı ları n ı ,çoku kez y(x)in u (x) "boyunca izdü-

ş ümleri" olarak görece ğ iz,ve

C E(x) 1/(x) dx6-17)J

niteiğ ine bir skaler çarp ı m diyece ğ iz.Dirac' ı n yapt ığ ı na uygun,nlarak,skaler çarp ı m

için ş u uygun yaz ı m ı kullanacağ ı z;

( x) Ni/ ( x) dx9 3 1 \ p >6-18)

Uygun dalga fonksiyonlar ı ile tüm N-boyntl ı ı .vektörler toplulu ğu aras ı ndaki ben-

zerlik gerçekten çok derindir.Herhangi iki vektörün toplam ı ,

- -ı

.A + B = C6-19)



114 Ruantum Fiziki

o l a r a k y e n i . b i r v e k t ö r v e r i r , v e b i r v e k t ö r l e b i r s a y ı n ı n ç a r p ı m ı g e n e b i r v e k t ö r d ü r ;

bu d u ru mu n t am b e nz e r i ol a r a k,ka r e s i t üm l e ne bil ir h e rh a ngi iki fonksiyonu n topl am ı ,

v e k a r e s i t ü m l e n e b i l i r b i r f on k s i y onu n u n i s t e k s e l b i r s a y ı (k a r m a l ) i l e ç a r p ı m ı d a g e -

n e k a r e s i t ü m le n e b i l i r b i r f on k s i y on d u r . S k a l e r g a r p ı m k a v r a m ı n ı , b i r du r um i ç i n

- a<: A i B „) = A.B6-20)o l a r a k , v e ö b ü r d u r u m i ç i n

<ıy>a fdx % * . (x) yx)6-21)ola r a k t a n ı m l a r s a k , h e r i k i d u r u m d a d a ç i z g i s e l b i r v e k t ö r u z a y ı m ı z olu r .Tek f a r k , ku-

antum mekani ğ i n d e k i v e k t ö r u z a y ı n ı n sonsuz boyutlu olmas ı d ı r .(6-21)'d e ki sü r e k li x

etiketi,N

Â.â = Z X. 6 -6-22)1 . = . 1

d e k i i i n d i s i n i n r o l ü n ü o yn a d ığı i ç i n , g e r ç e k t e n b u u z a y s ü r e k l i b i r b i ç i m d e s o n s u z -

d u r . B u d u r u m ,h ö y l e b i r v e k t ö r u z a y ı n ı n g e r ç e k b i r m a t e m a ti k s e l i n c e l e n m e s i n i n ç o k d a -

- 1 F a - k a r m a şı k olmas ı d e m e k t i r . Ç ün k ü ( 6 - 2 1) g i b i t ü m l e v l e r i n y a k ı n s a kl ı k sorunu ç ı k a r ,v e

sonlu boyutlu b i r u z a y ı n t e r s i n e t a m l ığ ı ka n ı t l a m a k ç o k d a h a z o r d u r . M a t e m a t i ks e l s ö y -

leyi ş l e , k a r e s i t ü ml e n e b i l e n f on k s i y on l a r b i r H i l be r t u z a y ı k u r a r l a r , v e e n e r j i ö z f o n k -

siyonları

t e m e l v e k t ö r l e r i n i n b i r t a m k ü m e s i n i ol uşt u ru r l a r .

Sonlu boyut lu ve y a d ah a g e ne l v e kt ö r u z ayl a r ı n d a b i r i ş l e m c i , b i r v e k t ö r ü b a ş -

k a b i r v e k t ö r e , v e y a b u r a d a k i d u r u m d a k a r e s i t ü ml e n e b i l i r b i r f on k s i y onu k a r e s i t ü ml e -

n e b i l i r b i r b a ş k a fonk siyon a d ö n ü ş t ü r e n b i r ş e y o l a r a k t a n ı m l a u ı r . B i z a sl ı n d a ,

c<f 1 +P7 2) =o" V 26-23 )

ö z e l i ğ ini ta şı y a n ç i z g i s e l i s l e m c i l e r l e i l g i l e n i y or u z . B ö l ü m 4 't e t a r t ışı la n b a sit

örnek,R'nin

<J ^ (x)Hdx6-24)ile tan ı m l a n a n b e k l e n e n d e ğ e r i n i n g e r ç e l o l d u ğ unu g ö st e r m i ş t i . F i z i k s e l ol a r a k ö l ç ü -

leb i le n b i r n it e lik ig i n, b öy le olm a s ı b e k l e n i r , v e b u ş ö y l e g e n e l l e ş t i r i l i r : G ö z l e n e -

b ili r b i r n it e li ğ i g ö s t e r i m l e y e n b i r i ş lem e i n i n, tüm Ny -Weler için beklenen emteri

g e r ç e l o lma l ı d ı r . Bu ö z e li ğ i ta ş ı y a n i ş l e m c i l e r ö h e r m i t i e n d e n i r .

İ s t e k s e i b i r ç i z g i s e l A i ş lem c i si i ç i n,

< A>j^lf(x) A 1/(x) d x6-25)" N V

ve

(6-26)A > f (x) dx, e



Dalga MekanUinin Genel Yap ı s ı15ol~,unu biliyoroz.At iş lemeisikunur),

t. / [A -Nr(x),.14/(x) dx •=1-1 7 ( x ) Ay(xba g ı nt ı s lyl a t a n ı mla n ı r , v e h e r m i t i e n e ş l e n i k i ş l e m c i a d ı n ı a l ı r . b r n e ğ in,

(6-27)

ba ğı nt ı s ı ,

f dx 1 Y*Y) —fd,c.\/at.Ox

( dt—xoldu ğ unu ğ ö s t e r i r . B e n z e r o l a r a k ,

(2d x2

Lx

— O. fiy(x)]*

y<x)

=Nıx )Ht

y(x) dx

. . . . . . j r s ii(x) H y(x) dx

olu r ;v e b n, tüm(x)iler için doğ r u oldu ğ u n d a n ,

H t = H

(6-2s)

(6-29)

oldu ğ unu s ıö y l e r i z . i a l e a c i l e r i d e k a p s a y a n s ka l e r ç a r p ı m ı n D i r a c y a z ı m ı ,

(x) A

x) dx < N I / > 6-30)

olur.Bliylece l ,% I A I y> * .j- [ A - N 4 , (x ) 3 *(x) d.

ıA.'in (6 -27)'deki ta n ı m ı ,yeln ı z A'n ı n beklenen de ğerini kapsar. A isteksel

bir karmel sa y ı olm ak üzere lf(x)=.- u(x) -4- ı1 ‘Y(x) yaza r ak (6-27)enin,(6-31) 1 d e k i

b i r i n c i v e i k i n c i sai ı raras ı nda bir basamak gerektirdi ğ i k ol a y c a g ö r ü l ü r .



1 1 6 K ua n t n m F i z i ğ i

. . . / ^ ıx) A T 0(x) dx

° < -1 / At 1 f 2 ( >6-30

olur.

Ge n e l l i ğ e y ö n e l m e m i z i n n e d e n i ş udur: Ş i m d i y e d e k g ö r d ü ğ ümüz g ib i, ilg i n ç ola n

i ş l e m c i y a l n ı z c a R d e ğ i ld i r . 10,4 omentum i ş l e m e i s i , p a r i t e , ye r v . b . g i b i ö b ü r

f i z i k s e l g ü z l e n e b i l i r l e r d e h e r m i t i e n i ş l e m c i l e r l e g ö s t e r i m l e n i r . i ş lemc ı l e r i ç i n

B , C , . . . . b a r f l e r i n i k u l l a a s c a g ı z .Y a l n ı z e a , g ö z l e n e b i l i r l e r i g ö s t e r e n i ş l e m c i l e r l e i l -

gilen diğimi z d e n, b unla r

ın t ü m ü h e r m i t i e n o l a c a k t

ı r :

A = Af

B = B t6-32)

v e öb ü r le r i .

B ütün h e r m iti e n i ş l e m c i l e r i n h z f on k s i y on l a r ı vard ı r . Y a d a b a ş k a d e y i ş le,üyle

b i r v e k t e r l e r k ü m e s i v a r d ı r k i , b n v e k t or l e r e e t k i y e n i ş l e m c i , b i r o r a n t ı a a b i t i d ı -

şı n d a g e n e a y n ı v e k t ö r l e r i v e r i r ; b u r a d a k i o r a n t ı s a b i t i ö z d e ğ e r d i r ;

Au (x) = e l u o , (x)

6-33)

Özde ğ e r l e r in sp e kt ru mu,Ham iltonie n iç in ol d u ğu g i b i , k e s i k l i v e / v e y a s ü r e k l i o la b i l i r .

M om e n t u m ö z d e g e r l e r i s p e k t r u m n n u n s ür e k l i , p a r i t e ö z d e e r l e r i s p e k t r u m u n un i s e ± 1

de ğ e r l e r i y l e k e s i k l i ol d u ğ u bulunmu ş tu .Ene rji ö z lonksiyonl a r ı n d a k i g ib i, a .' n ı n f a r k -

l ı d e ğ e r l e r i n e k a r ş ı l ı k g e l e n ö z f o n k si y on l e r d i k t i r , v e b u n l a r b oy l a n d ı r ı lm ı ş o l a r a k

s e ç i l e b i l i r l e r . B ö y l e c e ,

ju*(x) le .t.) Jx..6-34)

v e y a y e n i y a z ı m ı m ı zl a,

I A d a !s ( 0., 016-35)olu r ,Bu r a d a g (, h z d e g e r i e r k e s i k l i y s e b ir Q â Kr o e n e c k e r d e l t a s ı ,sürek-

liyse bi r( o.-- cı ') Dir a c d e lt a fonksiyone d u r .(6-33) ve (6-3 4) d e nkl e m l e r ind e n,

yani,

O L . , - - - .x ) A t i « (x) dx (6-36)

(6-37)

so n uc u ç a k a r . B ö y l e c e , b e r m i t i e n b i r işl e m e i n i n ö z d e g e r l e r i g e r ç e l o l m a l

ıd

ır .A y r

ıc a „ A

ile b etimle n e n g i i z l e n eb i li r i n b i r t e k ö l ç i imünüp sonuc u ö z d e g e r l e r d e n b i r i olm a l ı d ı r ,

b u yü z d e n d e h z d e ğ e r l e r i n g e r ç e l o l m a s ı g e r e k i r ,



Dalga Mekani ğ inin Genel Yapı s ı 117

Bölüm 4 1 te,Hamiltonien için oldu ğu gibi,Hermitien i ş lemcilerin Uzfonksiyonla-

rı n ı n da bir tam küme olu ş turduğ unu bulmu ş tuk.Bunun sonucu olarak,

=e ug (x)6-3B)

açal ı m teoremi geçerlidir; burada,

Ca =1 x) y(x) dx = < 1 , 2 1 y>6-39)2

dir.Gene C„ 'r ı n yorumu,bir olas ı l ı k genliğ idir; ş öyle ki N./(x) ile be-

timlenen sistem için A'n ı n bir ölçümii yapald ı gı ndazde ğerini bulma olas ı lığ ı dı r.

Gene,yeniden yapı labilirlik bir liçilated,sonra,sistemin ı ı „ (x) özdurumunda bulunma-

s ı n ı gerektirir.

Bölüm 4'te tart ış ı lan kutu içindeki parçac ı k ve özgür parçac ı k problemlerinin

ikisinde de özfonksiyonlar ı n,hem Hnin h e m de başka bir iş lemcinin ortak özfonksiyon-

lar ı olduğunu bulmu ş tuk.Du baş ka iş lemei,kutu içindeki parçac ı k için parite,ve özgür

parçac ı k için momentum i ş lemcisiy.i.11er iki durumda da,hu ek i ş lemcilerin H ile s ı ra-

de ğ i ş tirdiğ ini görmüş tük. Ş imdi hangi genel koşullar altı nda böyle olduğunu araş t ra-

l ı m.

A islemeisinin ı ı ı özdeğ erine karşı l ı k gelen,

Au (x) = O u (x)

6-4o)

u„zfonkaiyonları n ı düsfinelim;bir B i ş lemcisi için,

Bu„ (x) = bu„ (x)6-41)

oluyorsa,u„ özfonksiyonlar ı aynı zamanda B i ş lemeisinin de özfonksiyonlar ı olacakt ı r.

Bu durum,.Bu„ (x) = Ahu (x) = bAna (x) = abla. (x)

veBAu„ (x) = Bo ı ı „ (x) = o. Bu °, (x) = t bu,„ (x)

olmas ı n ı ,yani

(AB — BA) u a (x) = o6-42)

olmas ı n ı içerir.Bu,e ğer bir tek . 1 „çin geçerli olsayd ı çok ilginçolmayacakt ı ; : ._-

fakat u„ nn tam kümesi için geçerliyse,karesi tümlenebilen bütün ıg(x)=2: C u( k

(x),fonksiyonları için

Z C, (AB — BA) u (x) = (AB— BA) Z Q u (x)et

= (AB — BA)-1, (A) = 06-43)

olur,bu iseiş lemcilerin s ı radeğ iptirmesi demektir:

[A,B]— 06-44)



1 1 8 K u a n t u m F i z i ğ i

Ka r ş ı t o l a r a k , s ı r a d e g i ş t i r e n A v e B gibi iki Hermitien i ş lemoimiz varsa,ve

b ö y l e c e ( 6- 4 4 ) g e ç e r l i y s e , o z a m a n

ABux) = BAux)aBua (x)6-45)

yani,

A Ç _ B ı l a (x)] =41 3 u a (x)]6-46)

ol a c a kt ı r.l ı d y l e c e B ı l a ( x) fo n k s i y onu d a A ' n i n c A ö z d e ğ e r l i b1r ö z fonksiyonu d m r .B ğ e r

A'n ı n aı özdegerine kar şı l ı k g e l e n y a l n ı z b i r ö z fonk siyonu v a r s a bu,Bua (x)in

u (x) ile orant ı l ı olm as ı n ı z o r u n l u k ı l a r :

Bu a (x) = bu a (x)6-47)Öyleyse ux),A ve B'nin o rt ak bir ö z fonksiyonu d u r .A'n ı n d z fonksiyonl a r ı n ı n k a t m e r -

li olmad ığı b u d u r u mu , k ut u i ç i n d e k i p a r ç a c ı kt a g ö r m ö ş tük. Ş imdi,A'n ı n c ı ö z d e g e r i n e

ka r şı l ı k g e le n ik i ö z fonk siyonu b ulun du ğ u n a d ö ş iinelim:

(1) „ı l Aux) =a (x)

,. 2 )Au

( ı ı(x) x,6 - 4 8)

Ö z gü r p a r ç a c ı k ö r n e ğ i n d e a ç ı k la n d ığı g i b i , b u d ur u m d a i k i . k a t l ı b i r k a t m e r l i l i k v a r -

d ı r ; v e b i z y a l n ı z c a ş u nu s ö yl e y e bil ir iz : Bu")a (x) ve Bu0 .( 2 ' ) x), u ") (x) ve u (f(x)ein

ç i z g i se l b i r l e ş tiri ı kle ri olmal ı d ı r :

( f )1 )Z >Bu °, (x) = bl n.x) -I- b i2 ua (x)

MU ( 2 3 (X ) =batu ") ( x ) - i r b1 ( 2 ) (x )a

Ayr ı c a d a , b u d e n k l e m l e r i n ç i z g i s e l b i r l e g ti r i m l e r i n i a l a r a k ,

B y ") (x) = b+ y ") (x)

( ı ) 2)(i)yx) = b

-yao,

b i ç i mi n d e d e n k l e m l e r e l d e e d e b ıiR e e itimi z a ç ı kt ı r,brn e ğ in,

(6-49)

(6-54))

(I))B ( u <a l ) =(bt+.7‘ bZl )ua+(b2 . +1b2, ) va

bı ı ("(2) )+ıye z ı la b i li r ; y a ln ı zoa bukun i çin,

- L2 bz22

11

s e ç m e k g e r e k i r . B u i k i n c i d e r e c e d e n b i r d e n k l e m d i r , v e b+ hzdegerierine kar şı l ı k ola-

r a kkinin iki d e ğ e r i v a r d ı r . A v e B'nin (6-50)'deki ortak özfonksiyonlarin ı ,u , (x)



Dalga Mekani ğ inin Genel Yapı s ı19

tl)o.,e,(x) olarak göstermek daha uygun olacakt ı r.Bunlar B i ş lemcisinin farkl ı öz-

de ğerlerine karşı l ı k geldi ğ inden birbirlerine dik olacaklard ı r.Uygulamada iki katl ı

katmerlilik için,A'n ı n katmerli özfonksiyonları birbirine dik olarak al ı n ı rsa(örne ğ in,

özgiir2,k x

r parçac ı k için olan e eibi),bunlar kendili ğ inden B'niiksde

özfonksiyonlar ı olacakt ı r.

Anı n özfonksiyonları n ı bulduktan,ve sonra s ı radeğ i ş tiren bir B iş lemeisinin

lizfonksiyonlarl olacak biçimde çizgisel birle ş tirimerial yaptı ktoı onra bile,gene de

katmerlilik bulunabilir; yani ayn ı , ve b için,A ve B'nin birkaç ortak özfonksiyonu

olabilir.Öyleyse,A ve B'nin ikisiyle de s ı rade ğ i ş tiren üçüncü bir C i ş lemcisi bulun-

mal ı dı r; ve fonksiyonlar A,B ve C'nin ortak özfonksiyonlar ı n ı vermek üzere yeniden

birle ş tirilebilmelidir,burada A ve B'nin katmerli özfonksiyonlar ı n ı .Cylin 5zdeğerleri

ay ı rdeder.Bu i ş lem hiç katmerlilik kalmayana kadar sürecektir.Fonksiyonlar

karşı l ı kl ı olarak s ı radeğ i ş tiren A,B,C,M i ş lemciler kömeainin ortak özfonksiyon-

ları n ı n bir kümesidir.Bu i ş lemcilerin kümesine s ı radeğ i ş tiren gözlenebilirlerin bir

tam kümesi ad ı verilir.De ğ i ş me bağı nt ı ları ,

[A,B1=[A,C3 =[1343 =[11,D] =

vb. dir.

= A,m = o

-3,m = 0

A u eı b...n, (x) =x)

(x) =x)

(x ) = mu.L.-- ne,x )

(6-51)

(6-52)

(x) ile betimlenen durumun A,B,C,M gözlenebilirleri için belli de ğer-

leri vard ı r.Bir sistem için bir anda elde edebilece ğ imiz,olabilen en fazla bilgi budur.

Çünkö,A B M i ş lemcilerinin fonksiyonu olmayan ba şka bir iş lemeiyi dözönüne al ı r-

sak(bunlar s ı radeğ i ş tirdiğ inden,bunları n fonksiyonu olan bir i ş lemei kesin olarak

tanı mlanmış tı r),o zaman bu i ş lemcinin bir ölçümü (x) durumu için keskin

bir de ğer vermeyeeektir.Genel olarak iki i ş lemoi s ı radeğ i ş tirmiyorsa bu iki gözlem,-

bilirin belirlenebilmesindeki k esinlik bir çe ş it beirsizlik baı nt ı slyla verilir.

Bunu göstermek için,önce belirsizli ğ in bir tan ı m ı üzerinde anla ş mallyı z.Do ğ al

bir tanı m olan,( A ) 2 < 2 > _ < A > 26-53)

be ğ ı nt ı s ı na dağı lma da denir.Bunun üstünlüğ ü <A> = 0 bile olsa dağı lmom ıas ı f ı r olmama-

s ı ,fakat beklenen de ğer A'nı n bir özdurumu için al ı n ı rsa s ı f ı r olmas ı d ı r.Bu bağ ı ntly ı ,

( A) 2 <(A <A» 2 >

6-54 )

olarak da yazabiliriz; çünkü,

< A2 2A <A>+ <A>2 >=< A2> — <A> <A>



120uantual'Fizigid

ır . h y ley se ( Q A ) 2 , or t a l a m a y a k

ın

ın d a k i d a l g a l a n wa l a r

ın b ü y ü k l ü

ğü ile i lg ili d i r .

Ve

() 2 ( zs } 3 ) 2 — ı < 6 - 5 5 )

oldu ğ u nu gö st e rm e k kol ay d ı r(Bkz . Ek B).Bö yl e c e x v e p iç inx , p ] , . . . . ı 4 1ld u ğ u n d a n

( d x) 2 ( L S p ) 2 ;>6-56)

sonucu ç ı kar.Bunun ç ı ka r ı lmas ı n d a d a l g a ü z e l i k l e r i n i n , x - u z a y ı v e y a p - u ı a y ı fonksi-

yonlar ı nin,veya p a r ç a c ı k •d a l g a i k i l i ğ i n i a kulla n ı lmad ığı n a d i k k a t e d i n l ı .Sonucumn ı

bfitünflyle,A ve B ga ı l e n e b i l i r l e r i n i n i ş l e m c i ü z e l i k l e r i n e b a ğ l ı d ı r .

Ş imdi knantum kuram ı /3ln klasik s ı n ı r ı yla ilgili olan önemli soruna

Bunun içia,dnee i ş lemeilerinibeklenen de ğ erlerinin zaman içindeki geli ş imini i n

relemeliyis.Genel olarak,bir.i ş lemcinin beklenen de ğ eri zamanla de ğ i ş ir.Zamanla

d e ğ ismenin nedeni,i ş lemcinin aç ı k olarak zamana bağ l ı lmas ı d ı r,brne ğ in z+pt/m

i ş lemeisit ba ş ka bir nedeni de,beklenen de ğ eri' zamanla değ i ş en bir dalga feakai-

yonun a g ö r e a l ı nmas ı d ı r .

<A> J Nr' -\i/(x,t) dx6 -57)ya ı a r s a k ,

--A <A> =1,(,,t)y/(x,t) dxdt +f*(xet)y(x,t) dx"a t

1-fsf(x,t) Ax i t )x?)t

<.>t +/-(t" H • +'(xet)) A y(x,1)

+sr'''(x,t) A ( j ,÷R y(x,t))

. m (xMlIA 1. , (x,t) dx

x . F . ) AH(x,t) dx



D a l g a M e k a n i S i n i n G e n e l Y a p x s ı21n lu r , v e b u

d tı ,A< (6-58)

d e m e k t i r . B u n u ç ı ka r ı r k e n H`nin h e r m it e n bi r i ş lem c i oldu ğ u n u k u l l a n d ı k . A a ç ı k ç a z a -

m a n a b a ğ l ı d e ğ i l s e , h e r h a n j ğ i bir du rum i çin Atn ı n b e k l e n e n d e ğ e r i n d e k i d e ğ i ş menin,

d t<A> =--<tli ,A1>6-59)

oldu ğ unu ğ b r k y or u z . i g l e m e i H i l e s l r a d e ğ i s t i r i y or s a , b e k l e n e n d e ğ e r i h e r Z a m a n s a b i t -

t i r , b u d ur u m d a g ö z l e n e b i l i r i n b i r h a r e k e t s a b i t i o l d u ğ u n u s h y l e y e b i l i r i z . H a m i l ton i e n ,

s ı r a d e ğ i s t i r e n g ö z l e n e b i l i r l e r i n tam kiimesinin bir ii ğ esi iseibiirlerinin tiiı ı ii h a r e k e t

sa b iti d i r .

S ı r a y l a A = x a e A = p g i i z l e n e b i l i r l e r i n i i n e e l e y e l i m . Ön e e ,

(1<x>=i< "'x j>

([22m V(x),xi>

oldu ğ u nu bu lu ru z .x i ş l e m e is i,x*in h e rh a ngi bir fonksiyonu il e s ı r a d e ğ i ş t i r d i ğ in d en,

[ v(x) r x 3 = . O

olur; bn yüzden b i z im, y a ln ı z e a ş u ba ğı ntly ı h e s a p l a m a m ı Z g e r e k i r :

[p 2 ,x1= p [p,xj +.[Ptx] p

2'k

Bk;ylece,

d<x > =< ÷)dt

e l d e e d e r i z . P , u n d a n s on r a p i s l e m e i s i i ç i n , p 2 ve p s ı r a d e ğ i ş t i r d i ğ i n d e n ,

2

d tk 2m

<[p,V(x)]>

bulu r u z . Son d e ğ i ş t ı r i e i y i h e s a p l a m a k i ç i n ,

( 6 - 6 e )

( 6 - 6 1 )

(6-62)

( 6 - 6 3 )



122Enantum Fizikçioldu ğ una dikkat

ve böyl ec e,

bulnruz.

(6-62)

pV(x) Ny(x)(x) ply(x)=•

edelim.Bunnn sonucu olarak,

i,V(x)1/(x)j---- V(x) Y(x)dx

4Vd! x ) (6-4)

(6-65)

(6-66)

(6-67)

d l i ! x )p,V(x)]—

dat P> —

ve ( 6 - 6 6 ) a y ı birle ş tirebilir,ve

d2

dV(x)dx /

dV(x)m

2

dtdx

t

e l d e eder iz.Bu,bir V(x) pot ansiyeli içindeki nokt as al bir kl asik pa r ç a c ığ ı n h a r e k e t

denkl em ine çok benzer :

d 2 x

V(x41)

2 6- 6s)dt dx11

Bizim,

x l . i =<x :›6-69)ö z d e ş l em esini yapm am ı z: engell eyen t ek ş ey,

< (/ 4

d x

dx<x> v(<x>)olmas ı d ı r .Yuka r d a k i e ş itsizli ğ in yakla ş ı k bir e ş itli ğ e d ö n ö ş t f i ğ n d u r u m la r d a h a r e k e t

t am ola r ak kl asik s ay ı la b ili r ,böy le oldu ğ unu ilk ola r a k Ebr enfest belirtmi ş ti r . ( 6 -70 "_

in e ş itli ğ e d ö n ö ş m esi için,pot ansiyelin kendi de ğ i ş k e n i n e g ö r e y a v a ş * e ğ i g e n bir fonk-

siyon olmas ı g e r e k i r . Eğ e r ,

(6-70)

F(x)V(x)

d x

y a z a r s a k ,o z a m a n

ı „2P(x) = F ( < t >x>)F'( <t>xx > )

2!

(6-71)



Dalga ! , ! e k a n ig n i n G e n e l Y a p ı s ı1 2 3

o1 ı ı .(.6x) 2 = <(xx> ) 2 > b e l i r s i z l i ğ i küçükse ve aç;Il ı m d a k i d a h a y ü k s e k t e r i m l e r

ö n e m s i z s a y l L a b i l i r s e ,

<F(X)> Z" F(<x>) + <x - < X > >< x> )

-'4F(<x>)6-72)elde ederiz.r,6-72)'nin geçerlili ğ i elektronlar ve öbür •tomalt ı parçac ı klar için bile

gerçekten do ğ rudur.Makroakopik alanlar için (6-72) iyi bir yakla şı md ı r ; s e bir h ı z-

land ı r ı c ı daki elektron ya da proton yirü ugelerini,klasik hareket denklemleri ile be-

timlememize izin verir.

Problemler

1. E ğ er A ve B herMitien i§lem c i le r s e,(1) AB i ş lemeisin4h;yalnizca A ve B s ı ra-

de ğ ı ş t i r i y o r s a , y a n i A BA ise,hermitien oldu ğ unu,ve (2) (A+13) 1 1 i 4 l e M e i s i n i n h e r m i t i e r

oldu ğ u nu ka n ı ltlay ı n ı z .

2 . Herhangi bir i“emai için A+A t ve i(A-A t ) 1 1n, t - 'gibi hermitien olduklar ı n ı

kan ı tlay ı n ı z » P Q

3 . il hermitien bir i ş lemeiyse, eş lemcisi ( in ) 3 '1 /n! olarak tan ı m-

lanm ış t ı r) nin bermitien e ş leni ğ inin, e"ş lemcisi oldu ğ u nu h an ı tla y ı n ı z .

4 .

Schwartz e ş itsizli ğ ini kan ı tlay ı n ı z.Bunun,fig boyutlu vektürler için cos 2 g < 1 'e

e ş de ğ er oldu ğ una dikkat ediniz.

(ipucu:-4 4 -7 s› 0 '1 g ö z ö n ün e a l ı n i z v e s o l y a n ı m i n i m u m y a p a n

de ğ e r i n i h e s a p l a y ı n ı z .)

5 . (6-38) ve (6-39) denklemierini g ö z ö n ü n e al ı n ı z.isteksel bir B ' için,<01 sY> ' l >üründen hesaplay ı n ı z,ve

<01 \V> — Z

u. 1 -y>yaz ı labilecegini ğ i;steriniz.Buna göre,bir tam kü me üzerinden,

tl toplam ı birim i ş lemeiye e ş de ğ erdir.

7 . A hermitiense, <A2 > > 0 oldu ğ unu gösteriniz.

8.

R4= 1

i t a t e l i ğ ini ta ş ı yan 11 hermitien i ş leme s ni gözönüne al ı n ı z.H islemeisinin ü zde ğ erleri

< ,4 1 - 4 , > <0 I O> )._> .1<Y10> l z



124 Kuantum Fizigi

n e d i r ? E ğ e r B h e r m i t i e n ol m a k l a s ı n ı r l a n m a m ış s a ö z d e ğ e r l e r n e o l ur ?

9 . E ğ e r b i r i ş lemci,

UU t =UtU= 1

özeligini ta ş ı yor sa , b nn i t e riglemciyee n i r . <sy1 - 1 . ' > = - - 1 i s e ,

ola c a ğı n ı ğ ost e r i n i z .

10. E ğ e r A h e r m i ti e n s e , n ı nl d u ğ unu g dot e r i n i z .

11. E ğ er 11J.,„1

<no 1 ul:>= aab

b i ç i m i n d e d i k e y b oy l u b i r t a m küme kur ıvor sa , 11 b i r imse l olm a k ü z e r e

v c,.> = U [u o . >

k ü m e s i n i n d e d i k e y b o y l u ol d u ğ unu güste r ini z:(11unlar ı n a n l a m ı , "t em e l" du r umla r ı n ı n

b i r k ü m e s i n e e t k i ye n b i r i m a e l b i r i g l e M c i n l i t , "t e m e l " d u r u m l a r ı n ı n b i r b a ş k a k ü m e s i n i

v e r m e s i d i r . )

12. Sonsu z bir kutu iç ind e ki,n ku ant um s ay ı s ı ile belirtilen bir parçac ı k

için (6-54) 1 t e v e r i l e nve 4p tan ı m l a r ı n ' k u l l a n a r a k ,

A p 6 x, noldu ğunu ğ ö s t e r i n i z .

13. A t hermitien e ş le n ik i ş lem c i si (6-27) ile t a n ı m l a n m ış fı ,

fa [A 56 (.2* 1)(x)dx 95*(x) At -Ny(x)

ol a c a ğı n ı g ö s t e r i n i z . ( İ pucu :Bkz. sayfa 115'deki dipnot 1.)

14.

1 2 —1– in <-0 4 x F toz x

m 4.) X —2 2

2m P 2

I l am i lton i e n l e r i v e r i l d i ğ i n e g ö r e , < x > ve 'nin zaman ba ğ l ı l ığı n ı b e t i m l e y e n

d e n k l e m l e r i e l d e e t m e k i ç i n , p m om e n t u m ı ı v e x ko nu mu a r a s ı n d a k i d e ğ i ş m e b a g ı nt ı la -

r ı n ı k u l l a n ı n ı z . i l k d e n k l e m l e r k ü m e s i n i çözünüz [(a) hamiltonierh için] .

2

(i)

- -

2m

2

(b)

t =



Dalga Mekani - inin qenel Yap ı s ı25

liaynaklar

Dalga mekaniginingenel yap ı s ı kuanbum mekanigi kitaplar ı n ı n tümünde tart ı § ı lmilt ı r.

Daha çok girip mteideki kitaplar aras nda,Urneğ in suniara bak ı n ı z:

D.Dohm,Quantum Theory, Wentiee Hall,Inc., 1951.

R.H.Dicke tnd J.P.Wittk,Introduction to Quantum Mechanics,Addison—Wesley

Publishing Co.,Inc.,1960.

J.L.Powell and B.Crasew nn,Quantom Mechanies, Addison—Wesley Publishing Co.,

Inc., 1961.

E.Merzbachar,Quantum Met3hanics, John Wiley and Sons,lnc.(1970),deha'ileri ders

kitapları arashdad ı r.



Bö lüm 7

X u a n t u m M e k a n i k i n d e i ş l e m c i

Yö nt e m l e r i

D a l g a m e k a n i ğ i n i n g e n e l y a p ı s ı n ı n t a r t ışı lmas ı n d a , g ö z l e n e b i l ir l e r i g ö s te r e n

i ş l e m c i l e r e v e o n l a r ı n ö z fonk a iyonla r ı n a e ş it a ğı r l ı k v e r i lmi ş t i.Öz fonksiyonl a r bir

ba k ı m a N boyut lu ve kt ö r u z ay ı n d a k i b i r i m v e k t ö r l e r i n d i k e y b o y l u b i r t e m e l i n e b e n z e r

ol a r a k b e t im l e nm i ş ti,--ku ş ku su z bu d u ru m onl a r ı n ön emini, az alt ı r.--% yüzden Bölüm

5 'd e k i f i z i k s e l p r o b l e m le r l e i l g i l i t a r t ı ş ma m ı z d a , ö z f o n k s i y on l a r i ş l e m e i le r d e n d a h a

ö ne m l i bir r ol oynuyormu ş g i bi g ö r ü n ü y o r d u . % b ö l üm d e , b a s i t b i r ö r n e k ü z e r i n d e ş un-

la r ı g ö s t e r e c e ğ i z : (a) Ya ln ı z c a i ş l e m c i l e r i k u l l a n a r a k ö z d e ğ e r s p e k t r u m u n u bu l a c a k

k a d a r i l e r i g i d e b i l i r i z , v e ( b) Öz f o n k s i y on l a r ı n b i r t e m e l o l a r a k b e t i m i e n m e s i n i b i r a z

d a h a soyutla ş t ı r a b i l i r i z . B u n l a r d a n i k i n c i s i , ş i m d i y e k a d a r y a l n ı z c a x v e y a L p'ye ba ğ l i

ol an fonksiyonl a r ı i n c e l e d i ğ i m i z i ç i n ö n e m l i d i r . t l e r d e , x - ı ı z a y ı ile doğ r u d a n h i ç b i r

ba g ı nt ı s ı o l m a y a n g ö z l e n e b i l i r l e r i n b u l u n d u ğu n u ,v e b u n l a r i ç i n ç o k d a h a , so y ut b i r ö z -

d u r u m k a v r a m ı n ı n g e l i ş t i r i l m e s i n i n g e r e k t i ğ i n i g ö r e c e ğ i z . B u s b y l e d i k l e r i m i z , ö r n e k o -

l a r a k s e ç t i ğ i m i z h a r m o n i k s a l ı n g a n p r o bl e m i n i n ç ö z ü m ü n ü y a p a r k e n bi r a z d a h a a ç ı kl ı k

k a z a n a c a k t ı r1

.

H a r m o n i k s a k ı ng a n ı n

2P12-4-- si . o . ) x2

2m

b i ç i m i n d e d i r , b u r a d a x v e p i ş l e m c i l e r d i r . p ' ni n (i) (d / d x ) •i i e g ö s t e r i l m e s i ü z e r i n -d e ç ok du r muyor u z .B ö li im 3'd e e l d e etti ğ imiz a ç ı k g ö s t e r i m i n t e k y a r a r ı ,

P /7-2)

1 İ s t e r d i f e r e n s i y e l d e n k l e m l e r i s t e r i ş l e m c i b i ç i m i n d e o ls u n , ta m o l a r a k ç ö -

z ö l e b i l e n p r o b l e ml e r i n s a y ı s ı a z d ı r . B u ö r n e k e n b a s i ti d i r , v e b ö y l e c e b i z i m amac ı n ı z

i ç i n e n uy gun ola n ı d ı r .

(7-1)

127




t e m e l d e ğ i ş me ba ğı nt ı s ı d ı r .K l a s i k ol a r a k fl am i lton ie n ,

H = c . k . > P — x— i m )'07 -L o

o la r a k ç a r p a n l a r a a y r ı l a h i l i r , f a k a t p v e x a ı r a d e ğ i ş t i rm e d i ğ in d en,

(

v f m . ? " x — i"""-"" a >2mtı ı2 x 2

Pu . . )2

2a ı+ ,l )P )2m 2

( 7-3)

bulu r u z . Ş imdi,

A=

At2,,

r ) +2mu ı

P

2 r o u 3

(7-4)2

ya z ı m ı n l g e t i r e l i m . x v e p h e r m i t i e n i ş l e m c i l e r o l d u ğ u n d a n , i k i n e i i ş l e m e i n i n h a ç i l e

gö st e r ilm e s i u ygu nd u r .Bu iki i ş l e m e i s ı r a d e ğ i ş tirmez;

ra

-P2mu.11-512) xi[AAT. =4,7-5)

oldu ğ u n u h e s a p l a y a b i l i r i z ; v e I l a m i l t on i e n ' i y e n i i ş l e m c i l e r t ü r ü n d e n ,

AtA7-6)o l a r a k y e n i d e n y a a a b i l i r i z .

H am iltonie n'in h as it li ğ i ,A ve A t 'In R i l e d e ğ i ş m e b a ğı nt ı la r ı n ı n b a sitli ğ in-

d e d e k e n d i n i g ö s t e r i r . B u ha ğı nt ı lar 'için 2 ,

[13,A]= [wAtA ,A]=W[At ,A] A

=iuu A7-7)ve

[11,A1= [wAt4,A 1]AtA t . ]

= wAt (7-8)

2S ı r a d e ğ i ş t i r i c i l e r i ç i n , E k B' d e v e r i l e n k u r a l l a r ı a ı k s ı k k u l l a m a e a ğ ı z :

[A+B,C]=4A,CHB,C) ve [AB,C]= A [B,C]A,C] BRu ş ku su z ,i ş l e m e i l e r i n s ı r a l a r ı n ı n k a r ı ş tir ı lmamns ı ç o k ö n e m l i d i r .



Kuantum Mekani ğ inde I ş lemei Yöntemleri 129

elde ederiz.Hermitien i ş lemcilerin bulundağu değ i ş me bag ı ntilar n ı türeirken

[A,Bif AB —BA)t= BtAttBt=[Bt, At.]7-9)

olduğunu an ı msamak yararl ı bir teknik oyundur.bzel olarak,

r(B.A. İ =LA ,t H!R,A t i

(--4ku ı A) t7-10)d ı r,ve (7-8) buradan da ç ı kar.

Ş imdi,

H sıE = Su E7-11)

özde ğ er denklemini yazal ı m.Geçen böliimlerde böyle bir denklem yazmam ı z ş u anlama ge-

liyordu: H'de d/dx gibi diferansiyel i ş lemciler bulunuyordu. ve DE xin bir fonksi-

yonuydu. Ş imdi x'in töm karesi tiimlenebilen fonksiyonlar ı ile tanmlanan uzay ı dfişüne-

lim; iş lemcilerimiz özel olarak bu uzaya ba ğ l ı olamnlar.(7-11)'in içermeleri bu uzay

ve bu i ş leeciber için uygundur,fakat ş imdiki yapt ı kları m ı za uygun de ğ ildir; çünkü ş im-

di iş lemcilerin neye etki etti ğ ine pek bakmı yoruz.Art ık iş lemcilerin soyut,bir vektör

uzayı nda tanı mlandı kların ı varsayacag ı z,ve bu soyut vektör uza• ı n ı daha sonra x'in

fonksiyonları n ı n uzayı na bağ layacağ ı z.Bu soyutlamay ı özdeğ er denklemlerinin betimlen-

mesinde kul,landığ ı mlz dile çevirmek için,özfonksiyonlar yerine özdurumlardan söz ede-

cağ iz,ve dalga Jonkalyanler ı veya.dolge peketleri dedi ğ imiz ş eylere durum vektörleri

diyeceğiz.fflylece,gözlenebilirlerin a

ırade

ği

ştiren en büyük kilisesinin uab...m(x) öz-

fonksiyonu yerine,bu a ı rmde ğ i ş tiren enAüyük kümenin Dab...mözvektörü veya özdurumu

al ınabilir; a,b , mindisleri AB...,Mgözlenebilirlerinin özdegerlerini verir,ve

açı kca görüldüğü gibi,bu betimleme en fazla bilgiyi kapaar.

Ş imdi (7-7)'yi alal ı m,ve DE yeeki etireim

y u kuz

ABUK=

(7-I1)'in yard ı mlyla,buredan

I rAuE = (E — 4 z ‘ u ) A u E

7-12)

bulunt r.Bu dankleme göre,11E ,Wnin E özde ğerli bir özdurumuysa,AuE deRnin bir özdu-

rumudur,fakat özde ğer E --*dı r; burada enerji,bir

ı ı ı .>7-13)

birimi kadar azalmış tir.Bu yüzden,

Ac ım = c(E) 1 [ 3 _ 67-14)

fazabiliriş .ffinradaki e(E) sabiti gereklidir,çünkil ni l'e boyland ı rı lmı ş olsa bile



130 Kuantum Fizigi

Au E 'nin l'e boyland ı r ı lm ı ş olmas ı g e r e k m e z . x b a g l ı l ı g ı n d a n k u r t u l ma y a ö n e m v e r d i ğ i -

miz d en,boylan dır m a ko

ş

ulunu her za m an,

f uE (x) VJ) dx = 1

olarak yaz:yorduk; ş imdi,(6-18)'de tan ı m l a n a n y a z ı mla,bu konulu

< :u E 1 1 1 E » 17-15)

ola r a k y a z a c a g ı z.Tüm hzdu rnm l a r ı h e r z a man l'e boylan d ı r a c agl e,ve sü r ekli Wfskt rumun

ö z du r umla r ı i ç i n ,

S ( E -<11E 1 uz ,j

veya S (p —P')

7-16)

y a z a c a g ı z .

Ş imdi (7-7)'yi t ı E . . . € durumuna uygularsa k,tam olar ak ayn ı yol d a n,AgE_ L 'un veya

e ş de ğ e r ol a r a k A2

u E 'nin B-2 £ e n e r j il i b i r d u r um v e r d i ğ ini buluruz.Böyllece,A i ş lem-

c i s i n i h e r h a n g i b i r u E 'ye a r da r da uygul aya r ak,enerjil eri gitgide a zal an du ruml a r el de

edebiliriz.Buna uygun ola r ak,A'ya a zaltm a i ş lem eisi d e ni r .A'n ı n k a ç k e z uygula n a b ile•

c eginin bir s ı n ı r ı v a r d ı r; ç ü nkü (7-1)'in bir sonu cu ola r ak,R'nin bekl e nen de ğ e r i h e r

zaman pozitif olmal ı d ı r .ist eks el bir dalga fonksiyonu için,

<YIP2 F4 4 , > = -1g(x} P> 1 / (x) da = J [P i y(a)] (PY) dx

ftP. (x)r [P Y(x)1 dx

= tı 2d N i / ( x ) / d x 2 ' dx > ü7-17)olur,bunu koordinat l a r da n ba ğı ms ı z ola n y a z ı mla,

I P 2 kV> = <:Pt 4 1PY>

= <P•Ii 1 > Ni> 7-1 8)

ola r a k y e n i d e n y a z a b i l i r i z . x d e h e r m it ie n b i r i ş lem c i oldu ğ u n d a n , he n z e r ola r a k

<.v I x 2. . , < x t, y I .,>

.4,>>. o7-19)

y a z a b i l i r i z ; v e t ü m ve k t ö r l e r i n k e n d i l e r i y l e s k a l e r ç a r p l ınl a r a ,bu vekt örl er in u zu n-

luklar ı n ı n k ar esini v e ri r ,v e bu pozitif bir say ı d i r . B ö g l e c e b i z i m a z a l t m a i ş lemimiz

bir yer d e son bulm al ı d ı r , v e b u r a d a b i r t a b a n d u ru m u b ı llunur.Azaltman ı n son a e r d ig i

bu durumu no

il e göst er ec e giz.Bu du rum için,

(7-20)



Kuantum Mekani ğ indeiş lemci Yöntemleri 131

olwal ı d ı r.Taban durumunun enerjisi,

H u o( w A ! A - 4 - 4 2--4"L ) 41 ""vo

dir.

(7%.-21)

(7-8)'i taban durumuna uy ğulayal ı m :

HAt

tH u o = 4iwAt uo

olduğundan,Atu=4- 4- LA.> ) o7-22)

edeedilir.Enerji bir ' k u > birimi kadar artmış t ı r ; ve At, yerinde bii" deyi ş lebir

rma i ş lemeisi olarak betimlenir.Yaz ı m ı m ı z ı i r a z de ğ i ş tireee ğ iz; ve bir durumu,ta-

ban durumu enerjisi olan 2N1A> 'ya eklenen E =tvw enerji birimlerinin say ı s ı ile ei-

ketleyeee ğ iz.Bbyleee,

Atu—

(7-23)yazarı z.(7-12) denklemi,

olduğunu I iiyibr,.Yani A+ uygulandığ ı durumlar ı birer yukar ı A ise birer a ş a ğ ı kayd ı _

rı r.urumlar lAt 'ı n to 'Adardarda uygulanmas ı yla elde edilebilir. Şunun bir

sonucu olarak,enerji epektrumuE (n 7-25)bağı nt ı s ı yla verilir.gnerji spektrumunun elde edilmesini,higbir diferansiyel denklem

çözmeden-be ş ard ı k.•yr ı ca özvzktörler için de,n

tU

n=

,rç

7-26)'

genel gilaterimi vardı r,burada doğru boyland ı rma sabitini kullandı k 3 . Bu gösterin yar-

d ı nlyla,farkl ı enerjilere kar ş ı l ı k gelen özdurumlar ı n dikliğ ini kanı tlayabiliriz.Bunun

için,

uo 1 An i (At )n I 1 1 .>

biçimindeki bir deyimin bir değerlendirilmesi yapı lmal ı d ı r; bunun için A'lar ı n sı raları

At 'lar' ı dtill ş tirilerek,Agar sağa geçirilir; *onunda'ym- etkinesi ile s ı f ı r

3 Cebirsol i ş lemler. al ış k ı n okur için bunun ttiretili ş yolunu kı saca betimleye-

lim.(A to z a e n u n denirae,

n

i 2 <un

In)ec < (A t ) 1 1 1 u o 4 (At ) n n o >

<uol A (At )n no > buluruz.

Ş imdi (7-5)'i kullanarak,Au(At )u = Au-1 [n+i(At )u-1 + (At )11 Al bağ ı nt ı s ı n ı törete-

biliriz.Bnnu <uo l....111,› arası na koyduğumuz saman,sak yandaki ikinci terim sı f ı r

verir v e 1 0 1 3 1 2 2 5 3 " ' S N 1% 1 _ 1 1 2 indirgeme ba ğ ı nt ı s ı n ı elde ederiz.

1%1 2 = n! (+)" 1. 0 1 2 = n! (-)u .Genelliki hoznadan,en'yi gerçel seçebiliriz.

Au l = e' uo7-24)



= Z C un O

olur; ve Cum I un> =n olduğundan,

Cm= <ı

(7-29 )

4-7-30) 132 Kuantum Fiziki

sonucu elde edilir.hrna ğ in,(7-5)'i kullanarak,

A 2 (At ) 3 ..A(At A +M(At ) 2 a z A(At)2

+A A t (At A +h ) At= 3fA(At ) 2 + A(At)3 A

olduğunu göröruz.Ano = 0 olduğundan uo 'lar aras ı na al ı n m ış olan son terim s ı f ı r ve-

rir; ve ilk terim ayn ı yola iş lenebilir,ve sonunda 6 ' k 2 At verir.Böylece,

A u o I 13.> - 7-27)

buluruz ve <u2 I n 3 > = 0 oduunu kan ı tlamış oluruz.%i ş lem genel durum için de

yapı l ı rsa,' u n j u n > = 0 mn

7 - 2 8 )oldu ğunu da kanı tlayabiliriz.

istekeel bir durum vektörünün Wadnı öidurumlar ı na aç ı labileceğ ini söyleyen de-

yim, ş imdi koordinattan bağı m s ı z anlatı m da

00

elde ederiz.

Bu böl iimün konusundan biraz ayr ı larak,artı rma vi azaltma i ş lemcilerinin karmonik

sal ı ngan denklemini Ozmede nas ı l yararl ı olduğ unu gösterece ğ iz.z-uzayı nda,(7-20) 'dinkl ı e m i

( 7-31)

verir.p ialemciainin z gösterimi olan p = WİO(d/dx) kullan ı larak,

( mcuı

t +

n (z) = 0dz

bulunur.Bu basit bir diferansiyel denklemdfr, ve çözümü

u(z)= Ce

dir.uo (x)'in bire boyland ı r ı lmas ı gerekir,ve C sabiti buradan belirlenir:

(7-3 2)

(7-33)

c2x e

- n ı c *A,OC>



ı .

Kuantum Mekani ğ inde İş lemci Yöntemleri 133

1/4

C —rg-rf ff

7-34)

bulunur.Ayr ı nt ı ll hesabı yapaak,uyar ı lm ış durumlar ı da elde edebiliriz:

1/4 İ rk v 2mc.› d -zb (735

Gerçekten,diferansiyel denklemin genel çözümünün yaz ı lmas ı nda en kı sa yol budur.

Yalnı zca iglemci yöntemlerini kullanarak.harmonik sal ı nganı n ı n özdeğarlerini

çözebilmayi ba ş ard ı k.% problemde,hzdurnmlar ı belirlemek için yaln ı zca amarjinini'yaat

Sa(n4- . 4 1 ( 4 )

''bağ ı ntle ı nda görülen n,1,2,,.. tam say ı lar ı n ı n bilinmesi yeter.Bhylece s ı radeğ ig-

tiren gözlenebilirlerin tem kümesi yaln ı z Iliden olugu'i-4 ,ve un hzdurumundaki n in di s i

özdurumun tüm içeri ğ ini betimler.Bunun için z-uzay ı ndaki un(*) özfonksiyonunun ayr ı ca-

l ı kl ı rolünden vazgeçmek istiyorum.Yaln ı z, ş u durum bunun d ı ş ı nda kal ı r: Bu da,un (z) 1 in

ek bir bilgi olarak,parçac ı ğ ı xide bulman ı n olas ı l ı k yoğunlu ğ unu(.'un (x)1 2 olarak)verme-

sidir.Acaba bu ek iserik,x-uzay ı dalga fonkaiyonunu ayı r ı r mı ? brneğ in,Bölüm 3'teki

0 (p) momentum uzay ı dalga fonksiyonunun rolünü anı msayal ı m.z-uznyı nı n Fourier dönös-

mügü olarak bu fonksiyonun ayrı cal ı kl ı bir rolü var gibiydi; fakat daha sonra,örne ğ in

(4-59)Ida,0(p)tnin "yaln ı zca" bir aç ı l ı m katsayı s ı olduğunu aç ı klamı gtı k: 0(p),istek-

sel bir Al(z)iin momentum iglemeisinin özdurnmlar ı na aç ı l ı m ı ndaki katsay ı yd ı ; bu ne-

denle de,mutlak karesi,o durum için p momentumumn balinan ı n slas ı lğı al veriyordu.ine-

n ı ı r-slarak,*«n)12 nistemin yerini x'de bulman ı n olas ı l ı k yoğunluğudur.Bunu da ş öyle

yorumlayabiliriz: y(x),isteksel bir soyut durumun xnp yer iglemcisinin özdurumlar ı na

aç ı l ı m ı ndaki katsayı d ı r.Özde ğer denklemini soyut olarak,

zor> 7-36)

biçiminde yazarı z.un 'deki n gibi,burada da x'i bir ingis olarak al ı yoruz ve böylece

özdurumu etiketlemig oluyoruz.11ermitien bir i ş lemci olan xnp 'nin spektrumu sürekli-

dir,ve bunun sonucu olarak aç ı l ı m teoremi,(7-29)'daki aç ı l ı m ı n yerine

4n indisi. pariteyi de kapsar.n'si çift olan duruilar pozitif pariteli ve tek

olanlar negatif pariteli durnalard ı r.161,yens ı malar altı nda A ve At'ı n tek olmaları n ı n

sonucudur.

u n (x) (At) uo (k)

i

1 {71T Sun İ



134 Kuantum Fiziki

dx C(x)7-37)verir.(7-36) . da tan ı mlanan hzdurumlar dikeyboylu bir küme olu ş turdukundan,

- ' )7-38)d ı r , bur a d a n d a

C ( x )0 , , I -tK>7-59)sonucunu ç ı karabilirlz.Bu nicelik bir parçac ığ ı x'te bulman ı n olas ı l ı k genli ğ idir

—daha kesin bir degigle,x gözlenebilirinin ölçümü , 1C(x)1 2 olas ı l ığı ile z önde ğ er*ni

verecektir.x-uzaya dalga fonksiyonunun hiçbir ayr ı cal ı kl ı rolü olmad ığ ı n ı göstermek

için yapmam ı z gereken,yaz ı m de ğ i ş tirerek,(7-37)'yi

y= dz y(x) 1 6 ,7- 4 0)biçiminde yeniden yazmakt ı r.Bu yaz ı m ı yaln ı sca,uygun oldu ğ u için kullan ı r ı zaemel il-

keler,soyut bir uzaydaki i ş lemcilerle,onlar ı a özyektörler ılyle ve özde ğ erleriyle

ilgilidir,ye geriye kalan bir gösterin sorunudur.Ku ş kusuz,gösterim konusu bütün bw m-

lar ı n fizi ğ i olan say ı lar ı elde etmek için çok önnzlidir.Bu nedeni. biz kuram ı n biçim-

sel yap ı s ı üzerinde fazlaca durmay ı p,dalga fonksiyonlar ı n ı kullanaakilerleyece ğ iz.

ilerde,elektronlar ı n ve öbür parçac ı klar ı n iç spini gibi klasik benzeri olmayan i ş -

lemcilerle çal ış aca ğı z ve ba ş ka gbaterimler kullanma özgürlü ğünü deneyece ğ iz.

_Bn bölümü „zösterimden ba ğ ı msı

z olan yöntemimizle,bir sistemin zaman içindekigeli ş imini tart ış arak bitirelim,Art ı k,zamana bağ l ı

i i \ d -Ny(t)= H y(t)7-41)dt

Schrödinger denklemi,soyut bir uzaydaki bir i ş lemci denklemi olur. Y(t) bir ~tür-

dür ve zamana ba ğ l ı olan bir yönü gösterir.Denklem kolayca çözülebilir.Çözün,

j(t) =e

H 1 4 ,y ( o )7-42)

olnr,bnrada(0), t . 0 an ı ndaki yektördür ve e j i . 4 . 4ş lemcisi,e : - £ 1 « n h 'ft= ol

ile tan ı mInnm ış t ı r.(7-42) çözünü,zamana aç ı k olarak ba ğ l ı nlmayan bir A i ş lyncisinin

beklenen de ğ erinin zamanla nas ı l de ğ i ş ti ğ ini betimlamemize izin verir:

<A>t = <V(t) I At)>

4«



Bu i ş lemler sı ras ı nda,

Kuantum Mekani ğ iade lelmoci Yöntemleri3 5

ı -il-Ii/4,..., (e,(0) I A e(o)>

R: v4,...ziltA,

<y(0)1 e e/ ( 0 ) , ›

= <y(o)tA(t) - r(o)>< A ( t ) , ) .

7 - 4 4 )

t_LHV't,. 4 1 - I t ı t . ,w E A ,( eee7-45)

bağ ıatı s ı n ı kullandı k ra144 A,

Ali(i) = e

C

7-46)

tanı m ı n ı apt ı k.(7-44)te göre,zamandau bağı m s ı z bir A i ş lemcisinin (7 -42)'deki gibi

samanla değ i ş en bir durma:dahi beklenen değ eri,zamanla değ i ş en bir A(t) illeueisinin

[(7-46)edserilen j sammallmi bağ ı mala y(0) durnminadıki beklenen değeri olarak yaz ı -

lebi/4r.Bn,,k•antuMm kankğ iain biçimeel< tartış m a s ı açı :na:len çok yerarl ı d ı r4linkli en-

yut ♦ektör mmayı nda dikeyboylu ösvektörlerin bir temelini bir kez kurup,tmeel Yektör-

lerinin zmammle nas ı l deij;i ş tiğ ine bakmamak uygundemalöyle yapt ı ğ ı m ı z zaman Beisenberg

görönüstinde tlal ış m ış oluy-orus.A:'Y ı zamandan bağı m s ı z almak Bebrödiager göribalishade

çal ışmak demnktir.11aragi uörünii ş ii kanal: ı rmak kullanal ı m sonuç aynı d ı r: Bu,sabit ek-

senlere göre dönen bir eismi betialemmk,ye da dönen bir koordinat sisteminde duran

eimai batt:dam:k arası nda bir seçim papmak ' gibidir.Uygun olan eeçilir.lieisenberg gö-

rünüş ü:iade çai lt ı l ı yormak,durum vektörleri » sabit olur ve bunlara bakmam ı z gerekamz.Bir

gözlenebilirkn zamanla nesil de ğ i ş tiğ$r(7-46) ile belirlenir,e'e bu

INVei4 1 / - %- A(t) a --IL- e A edt

=A ( t ) . _ _ 1 _ A ( t ) H

(11,7;(t)]

7...47)

41

werir ve bu biçim (6-59)in çok benzer.(6-59),beklenea de ğerler için bir denklemdi,fa-

kat biçimi bklenen de ğerkn al ı nd ığı durumdan bağı m s ı zd ı ; bu yüzden ielemei özelikle-

rini yansı tmel ı ydı . ş imdi Lse,(7-47) böyle olduğunu aç ı kça göstermektedir.

iermonik aal ı ngen

B = E c ı > A t A -1- 2



136 Kuantua Fiziki

dir ve H bir hareket aabiti oldu ğundan,

H = uu At (t) A(t) +7-48)yazabiliriz.(7-46) 1 y ı kullanarak,

[ A ( t ) , A t (t)i=7-49)oldu ğ unu gösterabiliriz.Bu nedenlo,(7-7) ve (7 -8)'in biçialori gene ayn ı d ı r,ve

AW= - i w (t)dt

dtAt(t)= ituA (t)7-50)elde ederiz.Böylece,(7-5 0) denklemini çözerek A.(t) ve A t (t)'ain mana bağ l ı l ığı için

--Luı tA(t)(o)-44 .4A A kt)=(0)7-51)

sonuçlar ı n ı boluruz.(7-4) bak ı nt ı sin ı kullanarak, '

p(t)= p(0) eSz ı cutU> x(0) aincob,x(t) = x(0) coa uı tin Ut. ı t7-52)muı

oldu ğunu göstermek kolayd ı r; bu ba ğ ı nt ı lar x(1) ve p(t) i ş leneilerini x(0) ve p(0)

i ş lemcileri türü nden verir.

Problemler

I. (7-5) de ğ i ş me ba ğı nt ı zin ı ve un durumunun (7 -26)'da verilen ton ı nı al kulla-

narak,

An ne= N[aSı

1-1

oldu ğ unu kaa ı tlay ı n ı z .

(Ipueut Tümevar ı n yöatemini kullan ı n ı z.Yani,bu ba ğı nt ı a ı n, ı için do ğ ruyoa s+l için de

do ğ ru oldu ğunu gösteriaiz e ve be ğı atly ı do ğ rudan do ğ ruya a = 1 için kurumun.)

2. Yukardaki ba ğı ntly ı kedlanarak,f(At), At 'la herhangi bir pakterialiai ise,

Af ( At) ulf(At )

oAt



Kuamtun Makaaigiade t ş lenei boatinaleri 117

oldu ğunu gösteriniz,A'yi,

d At

biçiminide yasman ı n (7-5) de ğ i ş me bağı atı slyla.tutarl ı olduğ una,v, bunun

d

P— izgözteriminin tam benzeri olduğuma dikkat ediniz.

3. <ua izina) 'yi hoseplay ı n ı z,ve bunu. a = s ± 1 dı şı eda k ı filr olacağı al

göstertaiz.

(ipucu:na(Ala;) 'yi beaaplanak yeterlid:tr,çilekü <ua !A t fua), 'A n a l na >

rn a lAiica) 'cl r.Ve Problem l'deki 'manen kullan ı n ı n.)

4 . Problem 2'nia eoançlar ı al kullanarak,

Ae

Af(At)u o = I(At -4-"») n o

olduguam ghateriniz.

(ipucu: Ba problemi çözmek içim detel fonksiyonu ileriye aw ı n ı z,ve

:1(x +0.) (r) (z)u!

f fr) (z) f(x)dx

olduğuna kul:Tatil'in.)

5. Problem 4'ün eounçlar ı al kullemarak,

A Af(At ) e.

At(At4 -1)

i ş lemei bağı atı s ı n ı kurunuz.Bir illenci ba ğı nt ı al,iateksol bir deirmna etkidigiade

geçerli olnal ı d ı r,baaa dikkat ı rdinizAstoksel bir durnm,g(At) ua .biçiadade olana.

Öyleyse,t

f(A(Af(At+(A r ) uo

olduguas kaaı

tlamak gerekir.Bu,2 , , A t -,A i ie A et + [Ad&J + Ti LA,

gazel bag ı atı s ı n d a s 1 da,kaa ı tlanabilir.

6 . Yukar ı dak:i bağ intlyı kullaaarak,

o.A+1>Atı A 6.4 . —( 1 /2)0.E_eeeolduğumu kanı tlay ı nzn.iş lem ş öyledirt

A(o..A4-1,4t

)1c,Ae . ( )

olana. 7%5-a göre tiirey,

t(„A4-1 , A t)°L

` AFc • bA )e cA e (2‘) d?

A





Kuantum %kemi ğ inde İş lemci Yöntemleri 139

lduğ unu gineteriniz.p(t) nro x(t)'yi x(0) ve p(0) türünden ı çösünfix.

[x ı :ti),.(t2)33- 012çin

r . ı ldu ğunu gösterinis.%ayn ı anda aı rade ğ i ş tiron i ş lemcilerin,farkl ı anlardaı ra-

'oieğ iatirmeainin gerekme ı li4tini gösterir.

12. ( 7 - 3 5 ) donklemiiini kullanarak n = 1,2,3 için ii:fonksiyonlar ı elde ediniz.

Net: Binom serisi aç ı l ı m ı nda x vs d/Win s ı ralar ı n ı ayn ı tutmaya dikkat ediniz.

Kaynaklar

MU bölümde tart ı ş ı lan konnlar,kitab ı n sonunda verilen kaynak listesindeki kitaplar ı n

bense hemen tümünde i ş lanni ş tir.5ğ rencilerin bu kitaplardan bitki/MO.1m bakmalar ı öüt-

lenir,çünkü ayn ı temel konular ı n değ i ş ik görüş aç ı lar ı ndan sunulu ş unu görmek her zaman

:yararl ı d ı r.



B Ö L Ü M 8

N - P a r ç a c ı k Sist eml eri

Tek pa r ç a c ı kl a ilgili t a rt ı ş m am iz,bir N-P a r ç a c ı k sist em ine de kol ayc a ge-

n elle ş tiril ebilir .Bu N pa r ç a c ı k bir y(x1 , x 2 , dalga fonksiyonu ile

b etimleni r ; v e bu d alg a fonksiyonu,

2•idz i d ı c 2ı N y(x ) . , x 2 ,N ) I 8-1)

,olarak boyland ı r ı l ı r .2 9 ' ı i a „ ! , yorumu, 1 - 4/(x)1 2'nin yoru-

munun bir genell egt irilm esidir; ve bu, 1 . pa r ç a c i ğ ı z i 'de,2. pdrça c ığı x 2 ` d e ,

N parçacığı rwide bulman ı n olas ı l ı k yo ğunlu ğ unu verir .Böyl e bir dalga fonk-

siyonunun zam an içind eki geli ş imi,

v(x, ,,,,, x N; t)8-2)d i f e r a n s i y e l d e n k l e m i n in ç ö z ö m b y l e v e r i l i r . Bu r a d a B a m i lt on i e n y i n e ,

N

a. Zi- v(xl , xV

1f f l i

k l a s i k b i ç i m i n e k a r şı l ı k olarak,

( 2m

1

" 4 -

-6 22 )

•••2 1 a N oxN

- 4 - 9(X1,4.lrld

8-4)

biçim inde ku ru lmu ş tnr .Tek pa r ç a c ı k gözl enebilirl er ini bet imleyen i ş kemciler,

[Pi,xj) ij8-5)

ba ğı nt ı a ı ndaki gibi,fa rkl ı p a r ç a c ı kla r ı g ö s t e r d i k l e r i z a m a n s ı r a d e ğ igtiriyorlarsa,

ku antum m ekani ğ inin geli ş tirilmi ş olan önc eki tüm anl at ı n' kolayca genellegtiri-

lebilir.

J

(8-3)

14 1





. .-= 41 (5- HU N (x l ,...,xN ) (8-15)

£=; "C ) x i

- 1 4

C t ( r Eu E (x 1N )£= 1› . i .

N - P a r ç a c ı k S is t eml e r i 14 3

Kuantum liskani ğ inde de, ayni sonuç geçarlidir.Bunu,Ilamiltonien'in (8-7) dö-

n i işi i m i i a l t

ın d a k i d e

ğiş

me zliğini kull ana r ak göst er ec e

ğiz.De

ği

şm ezlik,hem

HuE(x x

2N )8-13)be ğ ı nt ı s ı n ı n,hem de

Hu E ( x 1 4-c ı ,x 2+o,= EUN (x 14 . 8-14)ba ğ ı nt ı s ı n ı n geç er li olm as ı demektir. & I yi sonsuz küçük alal ı m,böylece 0( C1 2 )

t erim l eri önem siz s ay ı la b ili r .0 z a m a n,

, • • • • , x N t - a )(xı , • • • , N), N )

C L(x l ,...,x N ) - f -c r x 2

u(i19.-.1xN)tolur; ve böylec e (8-13),(8-14) 1 d e n ç ı ka r ı lar ak,

N (

C H z•: = 1u

E(xx

N ) E (x 1" . "xN )))

bulunur.Omll 'de ,

(8-16)

ta n ı m ı n ı yapa rs ak,

(RP — P H) ı l E (X 1 ,...,x 1 4 ) =:08-17)oldu ğ unu göstermi ş oluruz.x 1 , x 2 ,, x N "nin her hangi bir fonksiyonunun bütün

uN ( x l , . . . , x N )'le r tür ün d e n a ç ı labilmesi ı ı nl am ı n d a , N-p a r ç a c ığı n ene rji özdurvallar ı -

n ı n da bir t am küm e olu ş turaca ğ ı öngörü l ebilir .Bu yü zden,yuka r ı d a k i d e nklem tüm

N4/(x 1 ,...,xN )'le r i ç in g e ç e r li ola n,

(8-18)

denkl em ine ç evril ebilir;ve bu r a da n,

[1413 3=0

8-19)

i ş lemci ba ğı nt ı si bulunur.% ba ğı nt ı ,sistemin toplam momentumu P'nin b i r h a r e k e t

sabiti olmas ı n ı i s e r i r . h u , g e r ç e k t e n , u s a y ı n do ğ as ı i ç i n s ö y l e n e n l e r i n ç o k d e r i n



144 Ku a ntum F i z i k i

b i r s o n u c u d u r . Hi ç b i r b a ş l a n g ı c ı n bu lu nm a d ığı n ı , y a d a b a ş k a d e y i ş le, b e lli b i r u-

zakl ı k k a d a r y e r d e ğ i ş t i r m e a l t ı n d a f i z i k y a s a l a r ı n ı n , de ğ i ş mez oldu ğu n u s ö y l e m e k ,

b i r kor unum y a s a sın a g ö t ür ü r . P a r ç a c

ı

k f i z iği n d e b u r a d a i n c e l e d i

ğ

imi z b i ç im d e po-t a n s i y e l l e r y ok t ur ; b u n un l a b i r l i k t e , yu k a r d a s ö y l e n d i ğ i g ib i, d e ğ i ş m e z l i k i l k e s i

ge ne ko ru na n bir topl am mom e ntum ve r ir .

Ba ş l ı c a a m a c ı m ı z , h e m e n i n c e l e y e c e ğ imiz iki-p a r ç a c ı k sistemi o l a c a k t ı r .Et -

ki l e ş m e y e n i k i pa r ç a c ı g ı n b as it bir H am iltonie n'i v a r d ı r :

2 P ı2 (8-20)Fl= 2m ı 4- 2m

2

İ k i p a r ç a c ı k a r a s ı n d a h i ç b i r i l i ş k i olm a d ı g ı n d a n , b i r i n i a l : d e v e ö b ü r ü n ü x 2 ' ı l e

b a l m a o l a s ı l ığı n ı n,iki ba ğı ms ı z ola s ı l ığı n ç a r p ı m ı o l a c a ğı n ı b e k l e y e b i l i r i z :

P( xl , x 2)= P ( x l ) P(z 2 )

8-21)

B ö y le c e d e ,

4 27 6 . 2

2 ı ıx 2a 22(I İ :I2 ) = Eu(x l ,z 2 )8-22)1 d e n k l e m i n i n ç ö z ü m ü n ün ,

11(x l ' x 2 ) = P 1 ( x l ) %2(x2)8-23)o l a r a k a y r ı l abilm e s ini b e kl e r iz .Bu nu (A-22)I d e y e r ine koya r,v e u(x i ,x 2 ) i l e b ö -

l e r s e k,

-( 412/ 1 9 1 1)(d 2 01(xi)/ax1 2 )( s , 2 / 2 . 2 ) ( d 2 o 2 ( . 2 ) / d . 2 2 )E8 _ 2 4 )o l ( c i )2 ( = 2 )

e l d e e d e r i z . D e n k l e m d e k i i k i t e r i m f a r k l ı d e ğ i ş k e n l e r e b a ğ l ı d ı r , v e b n n e d e n l e i k i -

s i n i d e s ı r a y l a E l ve E2 s a b i t l e r i n e e ş itleriz:

E El

E2

t . , 22 1 (

x1 21 0 1

(xl

)

2m ıx 1

e l d e e d e r i z . B ur a d a2

2m1E

1 m E2k

i 22m(8-27)

d 2 02x 2 )

2'2 'tx 2 '275,2 (8-25)

(8-6)

B u i k i d e n k l e m k o l a y c a ç b z ü l ü r , v e "(xı ,z2)=i, e

d i r .



N-Parçac ı k Sistemleri 14 5

Ş imdi,

x xı2x

1'1+ m2x28-28)m14-m

2

koordinatlar ı n ı kullanarak,çözümü yeniden yazal ı m; bunlar,parçac ı klar aras ı ndaki

aral ı k ve kütle merkezi koordinat ı d ı r .

a l1

ı c14-*

' 2x2

k 1 z 1 + k2ı 2 avo((x i2 ) ' 4 . 1 3

yazareak,

fi = k ı 2 Km2k

1— m

1k2

o( skm ı +buluruz; bu yüzden çözümün biçimi,

£KX ı kX" (x ı ' x 2 ).' (8-9)

olur.Burada K m:k i 4 k 2 , toplam momentuma kar şı l ı k alan dalgâ saYs ı ve k ba ğ l ı ma-

mentuma kar şı l ı k olan dalga say ı s ı d ı r.ilk çarpan kütle merkezinin hareketini gös-

terimler,ve ikinci çarpan "iç" dalga fonksiyonudur.Enerji

4,2K2It2 1 )8-30)m4 - k .1 - t -ı 2(m i + m2 )-olarak yaz ı labilir. İ lk terim i toplam mnmentumla ve al l 4 • 2 kütlesi ile özgürce ha-

reket•eden iki parçac ı k sisteminin enerjisi,ve ikinci terim iç enerjidir.

= 1 8-31)t 'ı1 1 2

ile tan ı mlanan to. indirgenmi ş kiitlesini getirirsek,o zaman 4 ı 2k 2/2/Aerimietkin olarakütleli ve 'tak momentumln özgür par çac ığı n enerjisidir.

(8-20)Ideki Bamiltonien,yaln ı zea x,-- ı r ,eye ba ğ l ı olan bir potansiyel e k-

lenerek de ğ i ş tirildi ğ inde,

k 1 2 ‘ 22(x ı ,x 2 )4V(x 1 -x 2 )u( ı 1 ,x 2 )=Eu( ı 1 ,x 2 )

"i l ıb ı i 21 i 2. 2 )elde ederiz.

X=-1 m

1x

2x2. 44

X =I+mi2mf4-m2 2 2

koordinatlar ı n ı kullanarak,

( S - 3 2 )

(8-33)

11 1 t la 2



146 Km a ntnm F i z i ğ i

s l

g l

t 4 -a 2- (8-34)

m2

b u l n r u z . B i r a z c e b i n e (8 -3 2) d e n k l e m i ,

. ) 2, 2 +V ( 1 ))11(x,X ) = En(x,X)

2(m i + l e 2 )X2f r►

b i ç i m i n i a l ı r .KX

u(s,X) ( x )

(8-35)

(8-36)

yazarsak,000 için

d 2d( x ‘4- V(a) 0(x) sm £. 0(x)8- 37)

2tead e n k l e m i n i b u l u r u z ; b u , b i r b i r - p a r ç a c ı k 8 c h r ö d i n g e r d e n k l e m i d i r . H u d r m k l e m d e k ü t -

l e , i n d i r g e n m i ç k ü t l e d i r , v e e n e r j i

.h2 1 £ 2

C -.E2(m ı 4- 4 2 1

d i r . Hö lüm 9'd a b n a y r ı lm ay ı b i r a z d a h a k a r ışı k b i r y o l d a n

ö z d e ş parçaseı p r o b l e m i n e dijnAji ı ı ı -

E l e k t r o n l a r ı n a y i e d e d i l m m e z o l d u ğ u nu gö st e r e n gü ç

olm a s a y d ı ,bir atomun,örne ğ in h e lyumu n sp e kt ru mu,d e ne y d e

n ı n bu lu nd u ğ u n a b a ğ l ı o l a r a k d e n e y d e n d e n e y e d e ğ içirdi.13

z a m a n g ö z l e n m e m i ş t i r . B e n z e r o la r a k , ç e k i r d e k s p e k tr u m la r ı

d a p roton ve nö t ronl a r ı n a y ı r d e d i l e m e z o l d u ğ u nu gö st e r ir

n e y l e r i n in b e n z e r k a n ı tla r ıl a r a k ö b ü r p a rm e z o n l a r i ny ı r d e d i l e m e z o l d u ğ u n u g ö s te r m e k t e d i r . B n t a

ae bir özeliktir : K l a s i k m e k a n i k t e ( ilke oI

naern:::: ı is a r

l e n e b i l i r ; b u y üz d e n , g e r ç e k t e n o n la r h e r z a m a n a y ı r d e d i l

E l e k t r o n l a r a n , s p i n d e n i l e n b i r i ç k

r e n e c e ğ i z ; v e b ö y l e c e e l e k t r on l a r ı n b e t i ml e m m e s i n d e , d u r u

k a p sa m a l ı d ı r . Bunun a y ı r d e d i l e m e z l i ğ i n sonu ç l a r ı ü z e r i n d e

d ı r , b u n u d a h a s o n r a i n c e l e y e c e ğ iz.

Ay ı r d e d i l e m e z p a r ç a c a k l a r i ç i n , H a m i l t o n i e n p a r ç a c

g ö r e t a m o l a r a k b a k ışı ml ı olm e l ı d ı r . i k i - p a r ç a c ı k si st emi

ba ğ l ı l ı k yoks e ,H am iltonie n

(8-38)

elde edecek . ş imdi

l ü k a n ı t la r v a r d l ıe .Bbyle

" h a ng i ç e ş i t " e l e k t r o n l a -

ö y l e b i r d e ğ : : i ş im h i ç b i r

da her zamm ı a yn ı d ı r ;hu

. Y ü k s e k e n e r j i f i z i k i d e -

ç a c ı k l a r ı n d m , ö r n e ğ in pi.

n o l a r a k k u a m t um m e k a n i k

ç a c ı k la r ı n y;4 r ü n g e l e r i iz-

e b i l i r l e r .

i l e b e l i r l e n d i k l e r i n i ö ğ -

e l e r s p i n e t A k e t i n i d e

d a h a ö t e b i ı e e t k i s i v a r -

ı k la r ı n k oo r d i n a t l a r ı na

i ç i n sp i n e ı liketle rin e

2 P l22m» - - - - -271r ( x l . ' x 2 ) (8-39)



N - P a r ç a c ı k S i s t e m l e r i 14 7

olu r,bu ru d a

V(z 3 , x 2 ) ş = V(x2 ,x 1 )8-40)di r.Bu br ı k ışı m ı s i m g e s e l o l a r a k ,

H(1,2)= U(2,1)8-41)b i ç i m i n d e y a z a b i l i r i z . H a mi l t on i e n p a r ç a e l k l a r ı n s p i n i n e b a ğ l ı ise,o zaman "1",'Y2"

e t i k e tl e r i s p i n l e r i d e k a p s a m a l ı d ı r . T ö m p a r ç a e l k l a r ı n ö z d e ş olduğ u b i r N - P a r ç a c ı k

s i s t e m i n ö n b i r d a l g a f o n k s i y onu ı 4J(1,2) i l e g ö s t e r i l e c e k t i r v e b u , o' i e l e r

a p i n d u r u m l a r ı n ı b e t i ml e m e k ü z e r e , d a h a a ç ı k olan y(x l , c ? 1 ;x 2, 0

2 ;. . .;x 1 4 1 , Or N).nin

y e r i n i t u ta c a k t ı r.

B i r i k i - p a r ç a c ı k s i s t e mi i ç i n e n e r j i ö z d e ğ e r d e n k l e m i ,

I I ( 1 , 2 ) / 1 E (i1,2) = Eu E (1,2)8-42)o l ur . E t i h e t l e m e d e ğ i ş iklik'yapmadl ığ ı n d a n , b u n a

11(2,1) n E (2.1)= EuE (2,1)8-4 3)

o l a r a k d m y a z a b i l i r i z . A y r ı c a d a , C 8 - 4 1 )' i k u l l a n a r a k

11(1,2) ı ı i 5 (2,,1)=Eus (2,1)8-44)b u l u r u z . P a r i t e t a r t ışu n a m ı Z d a ki b i ç i m s e l y'akl a ş i m l i z l e y e r e k , P 12 d e f i ş i o l e a ş iş lem -

cisini i:an ı ta l ı m; bu i ş l e m e i b i r d u r u m a e t k e y i n c e , 1 ve 2 p a r ç a c ı k l a r ı n ı n bütün

ko o r d i n a t l a r ı n ı (uz a y v e sp i n) - d e g ö ş toku ş eder.81 2 i n iu ta n ı m ı ,

P 12 Y (L ' 2)= V2 ' 1)8-45)d e m e kti r , D e n k .(8-44) ; ş ö y le y a z ı la b i li r ;

HP12 1 1 1 1 (14)= E u E (2 ,1)

V e bu , al ışı ld ığı gibi"

= "12ur(1-2)

= P12Efiz(l. 2)

= PuhE (1,2)

{n , P12 (8-46)

( 8 . - 4 7 )

i ş l e m e i b a g ı nt ı s ı n ı o n r i r . B b yl e c e p a r i t e g i b i , P 12 de b i r h a r e k e t s a b i t i d i r . A yr ı ca,

p a r i t e g i b i ,

(P12 ) 2 at/(14).= Y(1/ 2 )8-48)d i r ; b u y ü z d e n , P 12 'nin de dzdeerlerii d i r . 0 z d u r n m l a r , b a k ı ı ş ı m ll v e ka r şı ba k ı -

şı ml ı birle ş t i r i m l e r d i r ;

1 S } ,

(1,2)v(1,2) + y(2,014 2



1 48 Ku ant um Fiz iki

(A)(1,2). --L--[y(1,2)--l ı ( 2 , 1 ) . 1

8-49)

P 12 1 n i n b i r h a r e k e t s a b i t i o l m a s ı o ig n s u , bi r b a ş l a n g ı ç a n ı n d a b a k ışı ml ı o l a n b i r

d u r u m u n h e r z a m a n b a k ışı ml ı ve kar ş ı ba k ı şı ml ı o la n b i r d u r u mu n d a h e r z a m a n k a r şı ba -

k ışı ml ı o l a c a ğı n ı s ö y l e r .

i k i p a r ç a c ığı n d e ğ i ş toku ş u a lt ı n d a k i b a k ışı m v e y a k a r şı ba k ışı m b u pa r ç a c ı k-

la r ı n b i r b e l i r t g e n i d i r , b u ö n e m l i b i r d o ğ a y a a s s ı d ı r ;v e bu ,b a ş l a n g ı ç du r umunun h a -

z ı r l a n m a s ı n d a d ö z e n l e n e b i l e n b i r ş e y d e k i l d i r . P a u l i ş n i n b u l gu l a d ı k l b u y a s a ş unla -

r ı s ö y l e r :

1. S p i n i y a r ı m-t e k-t am s ay ı o la n ö z d e ş p a r ç a c ı k l a r d a n( ö r n e ğ in,spin 1/2,

3 /2,...) olu ş a n s i s t e m l e r k a r ş ı ba k ışı ml ı d a l g a f o n k s i y o n l a r ı i l e b e t i m l e n i r . B ö y l e

p a r ç a c ı k l a r a f e r m i yo n la r d e n i r , v e b u n l a r ı n F e r m i - D i r a c i s t a t i s t i ğ i n e uy duk la r ı söy-

l e n i r .

2 . T a m s a y ı s p i n l i - p a r ç a c ı k l a r d a n ( ö r n e ğ in,spin 0 ,1,2,... ) olu ş ı n s ist e m l e r

ba k ışı ml ı d a l g a f o n k s i y o n l a r ı i l e b e t i ml e n i r . B ö y l e p a r ç a c ı k l a r a b oz o n d e n i r , v e b u n -

la r ı n Bo s e - E i n s ta i n i a t a t i s t i ğ i n e u y d uk l a r ı s ö y l e n i r .

Y a s a , N - p a r ç a e l k d u r u m l a r ı n a g e n i a l e t i l e b i l i r . N ö z d e ş f e r m i y o nun b i r s i s t e m i

i ç i n , d a l g a f o n k s i y o nu h e r h a n g i b i r p a r ç a c ı k ç i f t i n i n d e ğ i ş toku ş u alt ı n d a k a r şı ba k ı -

a ı ml ı d ı rArnekin,nygun biçimde kar şı ba k ı g ı a l ı la ş t ı r ı lmi ş ü ç p a r ç a c ı k d a lg a fonk si-

yonu nu n biç im i,

Y( A ) ( 1 . 2 15)-=a r ( r , 2 - ; 5 f . . - 1 1 ,124, 3 ) - - + NKt2,3,1)V6

—V(3, 2 4) + "+) (3,1,2) --y(1,3,2)]8- 5 0 )

d i r ; o y sa ü ç ö z d e ş bozonu n d a lg a fonksiyonu nu n biç im i,

y5) (1,2,3) [1,1,4(1,2,3) + \y(2,1,3) 4-V(2,3,1)

-4 (3,2,1) -6-y(3.1.2) A-Ni(1,3.2))8-51)

dir.

Ş i m d i ç o k i l g i n ç o l a n ö z e l b i r d u r u m u g ö z ö n ü n e a l a l ı m ; N f e rm iyon birbir-

l e r i y l e e t k i l e ş m e s i n l e r , f a k a t g e n e l b i r p o t a n s i y e l l e e t k i l e ş s i n l e r . B n d u r u m i ç i n ,

NH = Z H,0-52)

; . » . 1

ya z ı l a b i l i r ; b u r a d a P •1 1 .A —(z z )8-53)2m

d i r . T e k pa r ç a c ı k p o t a n s i y e l i n i n d z d u r u m l a r l U E (m) ile gösterilir,burada

k

H k uE k (x k ) = E k uE k (8-54)



N —Parçac ı k Sistemleri 149

d ı r.

HuE(1,2,...,N= EuE (1,2,...,N

8-55)

denklemi:nin bir çözünü,

u olur, bur ada

(x 2 ) '''U R (xN )N

(8-56)

t + E2 +E8-57)dir.(8-36)•da,x£ lerlebirliktegörülen o 5 . eikelerini aç kça yazmad ı k. ş imdiki

karı llbakışı ml ı yapmakt ı r.Yalnın iki parçac ı k varsa,

tA ) (1,2) = ---- x 1 2 .El ( 1) E2

(x2 "E s

(X 2 ) uE

2(X 1 ) ]8-58)

olacağ ı .aç ı ltt ı r.Üç pnrçac ı k varsa,karşı bakış xml ı dalga fonksiyonunun biçimi,

(A)u1,2,3) —t x ) u (X ) u (x )) ı _ (x

\nrl 2 2E 3 x2 "E xl- ı N3- 3 )

(x2 ) uE2

( x3

) uE3

( x1 )Bi (x

3)

( x 3 )uE (x

l ) uE (x 2 ) — uE ( x l ) olur.N-Osrçac ı k için yanı t,bir determinantt ı r; buna

ulk/(1,2,...,N—

Nt

uE(x

1)

,4 (X 1 )

u E (x 2 ) u E (x )2 uE (x3 ) uE (x2)]8°59)3

Slater determinanti denir l :

uE ' (x2)

„, (x,). aı i

uE (x2) ... u (2E )

2

U E (X 2 )E ( x N )

+uE

l

u (xi)

(8-60)

Açı kça Obrüldüğü gibi,iki parçac ığ ı n değ i ş tokuş u,determinanttaki iki sütunun de-

ğ istokasw demektir; k ı ı .da i ş areti de ğ istiriM. İ ki elektron'aynl enerji özdurumnn-

dayaa,önme ğ in E1ve ikiei de ayn ı spin durumundaysa spin etiketleri de

ayn ı olateağ ından, c r ı = C f ' 2 , x ı = x2 iken determinant s ı f ı r olur.6yleyse bu elekt-

ronlar aynı yerde bulanamaz.Bbyletee,kars ı bakı ş ı m gereksiniminden,iki fermiyon ara-

s ı nda etkin bir etkile ş me ortaya ç ı kar: Nitel olarak,ayn ı durumdaki iki parçac ı k

birbirleminden uzakta durmaya çal ı s ı rlar,çünkü aralar ı ndaki uzakl ı k s ı f ı ra gittiğ i

zaman ilkZili dalga fonksiyonu s ı fı r olur.Böglece etkile ş tneyen parçac ı klar hile

aralar ı nda bir itici etkilesme varm ı ş gibi davran ı rlarAllektronlar için,alaad.111-

1N-ozde ş bozan için,dalga fonksiyonu tam olarak bak ı ş ı ml ı dı r ve genel

biçimi (3-60) determinantın

ın aç

ıl

ı

mı

ndaki bütün iş

aretleri pozitif yaparak eldeedilir.



150 Ku antum Fi•i ğ i

t i r e n g ö z l e n e b i l i r l e r i n b i r t a m k ö m e a i n d e , e k o l a r a k s p i n e b e l l i i k i -e ğ e r l i b i r

g ö z l e n e b i l i r b u l u n d u ğ u n u gö r e c e ğ i z . B ö y l e c e e n e r j i s i , a ç ı sa l mom e ntumu,p a r it e si,

TC ba ş k a n i c e l i k l e r i b e l l i o l a n b i r d u r u m d a i k i e l e k t r o n( z ı t s p i n d e ğ i ş k e n li l

b u l u n a b i l i r , f a k a t i k i d e n f a z l a e l e k t r o n b u l u n a m a z . B u , P a u l i d ı ş a r l am a ilkesini»

e ı n ı r l a n d ı r ı lm ış b i r g ö r ü n ü mü d ü r .

" İ k i e l e k t r o n a y n ı k u a n t u m d u r u m u n d a o l a m a z " d e m e k , e l e k t r o n u n , bütünsel

ya p ı s ı ile i l g i l i d i r . Y e r y ü z ü n d e t a b a n d u r u m u n d a b u l un a n b i r h i d r o j e n a t om u mu z ,

v e b i r d e a y d a k e n d i t a b a n d u r u m u n d a b u l u n a n b a ş ka bir hid r oje n a tomumuz olsu n.

A c a b a b u d u r u m ,b u i k i e l e k t r o n u n z ı t a p i n d u r u ml a r ı n d a o lm a s ı n ı g e r e k t i r i r m i ?

Bunu y a n ı t l a m a k i ç i n , e l e k t r o n l a r ı n s p i n l e r i n i n " y u k a r ı " v ey a " a ş a ğ ı " oldu ğunu,

v e b u e l e k t r o n l a r ı n k e n d i a t om l a r ı n ı n t a b a n d u r u m l a r ı n d a o l d u k l a r ı n ı b i l m e k

y e t m e z ; a y r ı c a a t a n l a r ı n e n e r ji l e r i n i n d e b e l i r l e n n e s i g e r e k i r . B u b e l i r l e me d e k i

d u y a r l ı k n e d i r ? G e n i ş l i ğ i L ol an bir kutu d ü ş ü n e l i m , v e a t o ml a r s ı rayla 04x <L/4

v e 3 L / 4 < z < L a r a l i k l a r ı n d e y e r l e ş mi ş o la u n l a r . 0 z a m a n a t a n l a r ı n aom e ntumla -

r ı n ı n b e l i r i e n e b i l me s i n d e k i i n c e l i k , b e li r s i z l i k ilkesiyle s ı n ı r l a n m ış t ı r . E n e r -

j i n i n ol a b i l e n d e ğ e r l e r i ,

ş.12n 2

(8-61)n-

ML2

o l a r a k v e r i l i r ; m om e n t u mu n o l a b i l e n d e ğ e r l e r i d e bu r a d a n . . .

WP —

L

o l a r a k ç ı ka r ı l abil ir .A tom l a r ı n mom e ntum l a r ı n ı n ö l ç ü m l e r i b e l i r s i z l i k b a ğı nt ı s ı

i l e s ı n ı r l a n m ış tir:

Z ı p4iııA ı v e b u y ü z d e n e n e r j i l e r i , a n c e k

AltAp1 2 71n 2

ML 2i n c e l i ğ i i l e b e l i r l e n e b i l i r . F a k a t b u,k2 2

En—MI 2

(8-62) (8-63)

(8-64)

de ğ e r i n d e » d a h a b ü yü k tü r . G e r ç e k t e n ,a r a l a r ı n d a 1 m e t r e u z a k l ı k b u l u n a n a t om l a r

i ç i n , ö r n e ğ in 10 6 c m / s h ı z la hareket l a d i yo rl a r s a , n e v 1 0 11 ' d i r ; b u n a g ö r e m a k r o s -

ko pi k b i r d u r u m d a k l a s i k a e z g i y l e b i r u y u ş m a z l ı k s ö z konu su d e ğ i l d i r . G e r ç e k t e n

d e , b al ı c a s o r u n ş udur: İ ki atom A ve B i l e g ö s t e r i l i r a e , a c a b a i k i e l e k t r on d u -

rumunu betimlemede, lel t(Zdy n (z 2 ) dalga fonksiyonu ile,

YA( .1) ) r i l ( = 2 ) -- YA(-2? ,KB(.1)

V 2



N - P a r ç a c ı k Sistemleri 151

d a l g a f e s k a i y o n u a r a s ı n d a f a r k v a r m ı d ı r ? M ol e k ü l l e r i t a r t ışı r k e n , d a l g a f on k s i y on -

la r ı arus ı n d a h i ö r t ü ş m e n i n a ta r l a r a r a s ı u z a k l ı k l a l i s t e l o la r a k a z a l d ığı n ı görece-

g i z . A tou l a r b i r b i r l e r i n d e n ç o k ua a k i s e l e r , b a n g i d a l g a f e n k s i y d n u n un k u l l a nıld ığ ı

somucu de ğ i ş tirmez.R9 m a le k i i lün d e oldu ğ u g ib i a tomla r y a k ı n s a . v e ö r n e ğ i n n , 1 b a s a -

magiuda ise dalga foakiyonlar ı b i r b i r i n i ö r t e r v e k a r şı l ı kl ı i l i ş k i s i b u l u n m a y a n

d a l g a fnnkaiyouları nin mı ,yokaa karşı bakı 4xml ı dalga fonksiyonla r ı n ı n m ı k u l l a n ı l-

d xg ı ö n emli e lu r . 11 em a y , bu du r um f t ç i n k a r s ı ba k ışı ml ı di alga'foRk ı ı iy e nu num ku llo all a-

c a g ı n ı

P a u l i d ış a r l a m a i l k e s i n i n i l g i n ç b i r soa u c u P l u d u r x N'alektronun h e r h a n g i

bir potu nsiy e l d e ki t a b a n d u ru mu,}/ bozonu n v e y a N a y ı r d e d i l e b i l i r p a r ç a c ığ ı n t a b a n

d u ru mu nd a n çok d e gi ş ikti r .Ö r n eg iu,

V(x) ooG O

= O< x < b= on< z8-65)sonsuz pota nsiy el kutusunu dü ş ü n e l i m . S c h r d d i n g e r d e n k l e m i n i n x = O v e x = b 'd e

s ı f ı r o k a n ç ö z ü m ü,

on (z)= ain n lY X/b8-66)i l e v e r k l i r ; v e e n e r j i h z d e ğ e r l e r i ,

tn 2 n 2 n 2

r s n —

8-67)2mb

olur ,bur a d a n = 1,2,3, . .•'di r . Etkile ş m e y e n N b oz a n i ç i n , t a b a n d u r u m d a bütün p a r -

ç a e l k l a r n = 1 d ur u m u n d a d ı r ; v e b ö y l e c e e n e r j i ,

E= N W 1128-68)2mb

ol a r a k v e r i l i r ; b u n a g ö r e , p a r ç a e x k b a şı n a d ü ş e n e n e r j i ,

E,21r1.2(8-69)

N2m b

2

olu r .Et kil e ş m e y e n H l e r m i y on i ç i n d u r u m ç ok d e g i ş ikti r . au r u m l a r ı -

n ı n h e r b i r i n e y a l n ı z c a i k i e l e k t r o n g i r e b i l i r , b un a g ö r e N / 2 d u r u m d ol a r , D d y l e c e .

top la m e n e r ji,il 7,21,2i 11 2 • N E = 28-70)2mb

22mb

24i l e v e r h l i r . S on so n u c u e l d e e d e r k e n , N e y i ç o k b ü y ü k va r s a y d ı k ; b u yü z d e n so n d ü z e -

- y in b i r e l e kt ronla mi y ok s a i k i e l e k t r o n l a m ı d o l d u r u l d u ğu önem“ olmad ığı n d a n ,

N/2/2E21

r n2

d n -3- (

ts'





N - P a r ç a c ı k Sistemleri 153

[ipucu: Denklemi,8-37)'ye götürecek biçimde ay ı r ı n ı z v e P a u l i i l k e s i n i u y g ul a y ı -

n ı z.]

5. H e r b i r i n i n s p i n i 0 o l a n , v e

V(x l ' x 2 ) =( xle ) — ( x2 . 4 - xo ) ] 2

pot a n s i y e l e n e r j i s i i l e e t k i l e ş e n i k i ö z d e ş p a r ç a c ı k d ü ş f i n ü n d z , b ur a d a x o ve

- - x o p a r ç a c ı k l a r ı n d e ng e konum l a r ı d ı r .

İ k i - p a r ç a c ı k s i s t e m i n i n s p e k t r u mu n e d i r ? h z d e ş p a r ç a c ı k l a r ı npinleri1/2 oldu ğ u z am a n,sp e kt ru m ne olu r?

6 .

2= 2(1'11°1)(p2,x2)

e n e r j i i s l e m e i s i i l e b e t i ml e n e n , i k i ö z d e s p a r ç a c ığı g ö z ö n ü n e a l ı n ı z , b u r a d a

2, I

R(P,x)ır --- tk) x2

2m

d i r . K i i t l e m e r k e z i h a r e k e t i n i a y ı r ı n ı z v e s i s t e m i n e n e r j i e p e k t r u m un u e l d e e d i n i z .

Bunun,

2Y(xl'x2)= E Y(xl,x2)

d e n k l e m i n i n O z i l m ü n d e n e l d e e d i l e n l e u y u s t u ğunu göstriniz,burada

Vx l ' x 2 ). ( x ı ) "2( z2)

d i r . E n e r j i e p e k t r u m un u n k a t m e r l i l i ğ i n i t a r t ı s ı n ı z .

K a y n a k l a r

Bö lüm 6 ' n ı n sonun d a k i s ı r a l a n m ış k a y n a k l a r d a n h e r h a n g i b i r i n e v e a y r ı c a a s a ğı d a -

k i l e r e b a k ı n ı z :

D. S. S axon,El e m e nt a ry Qu antum Me ch a nic s, Hol d e n-D ay,I nc ., 1 9 6 8 .

D, P a r k, I nt ro d u e t ton to the Qu antum Theo ry, M eGr aw-Hill Co., 1 964 .



B ölüm 9

U ç Boy u tl u S c h r ö d i n g e r

D e nk lemi

Ü ç - boy u tl u u z a y d a h a r e k e t e d e n b i r t ek-p a r ç oc i ı n Ha miltoni e n' i,2 P + P +rx

H -+ V(x,y,z)2m

olu r,ve bu nu4.2

H = —2--- -} Ver.)2m

b i ç i m i nd e y a z a r ı z.Üç-boyutlu ğ mome n t u m i s l e m c i s i ,

,4>p =

ola r ak gast erilir, İ4 bo yu t ta k i i k i p a r ç a c ı k iç in H am iltonie n'in g e ne l biçimi,-+ 2.. 2P12H .-- 4- 1T(i, i t > )9-4)

I .2m1m 2

i l e v e r i l i r „ E ğ e r p ot a n s i y e l ,

v(-1 ,i2 )- 9-5)

ş eklinde yalnı zca parçac ı klar aras ı ndaki t zakl ığa baV ı ysa,o zaman Ilamiltonien,

tüm sistemin 7-0. 2 4- -a" yerdeğ istirmeleri alt ında dei ş itez'-

dir.Dıl,Bölüm 8 'd e g ö r d ü ğ ümüz gibi,toplam momentumun korunumunu ve dekikenle-

rin a yr ı lmas ı na i ç e r i r . A a a ğı d a b u a y ı r m a y l , s ı r a d e ğ istiren H veP.=;,. + 7; 2

i ş lemcilerinin o r t a k h z f on k s i y o n l a r ı n ı b ul a r a k y a p a c ğı z .Mom e ntum ö z d e ğ e r d e n k -

lemi,

P ,3pf(7

1 '72) r f( rl , r'2 )

(9-1 )

(9-2)

,(9-3)

(9-6)

155



156 Kn a ntum F i z i ğ i

v e r i r , v e b n

"4"I "( 5712f( r 12 )

(r

1, r

2)

d e m e k t i r . E ğ e r ,,o , or=4 1 k 1 — r 2 , )1

yazarsak, R .--. ot rl + fa ,„oldu ğ u nd a n (9-7) d e nkl e m i,

(9-7)

(9-8)

(9-9)

b i ç imi n i a l ı r ; v e b u d e n k l e m d e k i i s l e m l e r bak ı m ı ndan -7= rl — 72 de ğ i sk e n i b i r

s a b i t p a r a m e t r e d i r . B b yl e c e b u d e n k l e m i n ç ö z ü m ü ,iP.RA(o< /3)

, R ) = u( -;» )9-10)olur. Ş imdi, ot, ve fi 'n ı n s e ç i m i n i,

4,2-s 2,2- 1 5 .7q41(ot+p)

9'1 ——1 3 20

2 2 ± V( 17) E topi u( r)e O (9-11)2

e n e r j i b z d e ğ e r d e n k l e m i n i b a s i t l e a t i r e c e k b i ç i m d e y a p a c a ğı z .

.ot '"Ğ7iR2 oldu ğ u n d a n b u d e n k l e m ,

4, 2 ,2 i>21 ot

—ir)( 21 1 ıca+p 2 i2

(9-12)

—( - e)i 3 S . < 7• r u ( -r* )3 ,f) a (. ]

2m2 °‘- • - )3)ot 4. )24 „ 2

+ v( r;1 ) u(=.Etop u( 9-13)biçimini al ı r; bunu bulmak için,denklemdeye göre türev al ı nd ı ktan sonra,

denklem ;Intel çarpana bölünmü ş tür.S ğ er,

n 4 .

P = 1

s e ç i m i y le ç a p r a z • t e r i m l e r d ü s ü r ü l ür s e , d e n k l e m

(9-14)

2 I >.. 1.2 ( r )( 1;1 ) o(1 .) - - ( E t o p 2 ( . 1 + . 2 ) ) u( 7 ) (9-15)

o l a r a k b a s i t l e e i r . B u r a d a ,



tt ç Boyutlu S c h r ö d i ng e r D e n k lemi 157

1

9-

6)mI2i l e t a n ı m l a n a n ı i n d i r g e n m i ş k ü t l e s i n i k u l l a n d ı k.(9-15) d e nkl e m i a s l ı n d a,

/5 ^ aE E, —9-17)"P 2

m + m2)

11e n e r j i l i b i r t e k -p a r ç a c ı k S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i d i r . B ö y l e c e e t k i n t e k - p a r ç a c ı k

d e n k l e m i n e g i r e n e n e r j i , t op l a m e n e r j i d e n i k i - p a r ç a c ı k s i s t e m i n i n k i n e t i k e n e r j i s i

k a d a r k ö ç ü k t ü r . t k i p a r ç a c ı k s i s t e m i n i n k ü t l e m e r k e z i - T" momentumu ile gider ve

topl am küt l e s i m ı 4-m2 'dir.

(9-18)

arbb. olmas ı n ı i s t e r s e k ,

1Plx P2x' x l±` - I p =9-19)

bulu r u z .Bu ise,

ot + 1 3 = 1

9 -20

)

olmas ı ,yani

t 9-21)m1+ m

2

olmas ı d e m e k t i r . A s l ı n d a ç o k ba s i t o la n b u r a d a k i d e ğ i ş k e n t e r e a y ı r m a y ı b ö y l e k a r -

ma şı k b i r y o l d a n y ö r ö t m e m i z i n n e d e n i , b u i ş l e m i n b i r - pa r ç a c ı k S c h r ö d i n g e r d e n k l e -

m i n i n b a ş k a a y r ı lm a l a r ı n d a n a s ı l b i r y o l i z l e y e c e ğ i m i z i g ö s t e r e n b i r ö r n e k o l ma -

s ı d ı r . B ö y t e b i r a y ı rm a,pot ans iy e l y al n ı z p a r ç a c ı k l a r a r a s ı ndaki 1;1 uzakl ığı na

bağllysa olabilir. I r dersek,+2

H =(r )9-22)R a m i l to n i e n' i d ö n m e l e r a l t ı nda de ğ i ş m e z d i r .; kuş kusuz V(r) y a l n ı z ba ş langı ç

nokt a s ı n d a n u z a k l ığı n b i r f on k a i y o nu d u r , v e 7 y e k t ö r ü n ü n d o ğ r u ltusunu v e r e n a ç ı -

s at d e ğ i ş k e n l e r e b a ğ l ı de ğ ildir; ii 2 de akaler bir ni celiktir, 'Prvektö rünün

u zunlu ğ u d u r v e P . 'nin yönetiminden ba ğı ms ı zd ı r . E ş de ğ e r o l a r a k

~ler altı n d a d i e ğ i ş mezdir .. •Ku ş k u l a n a n o k ur , ö z e l b i r h a l o l a n z - e k s e n i e t r a -

f ı n d a 8 a ç ı s ı k a d a r b i r d ö n m e y i i n c e l e y e r e k b u n u d o ğ r u l a y a b i li r :

Yukardaki denklem y n i c e l i ğ i n i b e l i r l e m e z . A n c a k , R d e ğ i ş k e n i n i n P top la m

mom e ntumuyl a ka nonik e ş le n ik olm a s ı n ı i s t e r s e k , y a n i

[Px ,Rx j=



158 Ku a ntnm F i z i ğ i

z' = z cos O - y sin O

y ' = x sin O + y cos O

oldu ğ un d a n

t ,x,2'2,2)1/2x 2 + y 2 4 r 2)1/2_4 r

(9-3)

oldu ğ u,ve2

4.<-2—)2 (cosin + (sin + cos

y '

oldu ğu k o l a yc a g ö r ü l ü r .

P a r i t e d u r u mu n d a v e y e r d e ğ i s t i r me l e r a l t ı n d a k i d e ğ i a m e z l i k t e g ö r d ü ğ ümüz

g i b i , bu r a d a d a H a m i l to n i e n'i n b i r d e ğ i s me z l i k ö z e l i ğ i oldu ğundan genalı i r ko ru -

num y a s a s ı b e kl e r i z .1 1 i l e s ı r a d e ğ i ş t i r e n i g l e m c i l e r i b u l m a k i ç i n z - e k s e n i e t r a -

f ı n d a s on s u z k ü ç ü k b i r d ö n m e y i i n c e l e y e l i m .Ya l n ı z O b a a a m a ğ ı n d a k i t e r i m l e r i a -

li r s a k ,

x' = z - Oy

y'= y + Ox

buluruz,veBus (x - 0y,y + Oz,z) = Eu E (x - Oy fy + On,z)

olmas ı g e r e k i r . B u n u O 'y a g ö r e b i r i n c i b a s a m a ğ a k a d e r a ç a r , v e a ç ı l ı m d a n

I l u E (x,y,z) = Bu E ( x , y - , ; . z )

ba ğı nt ı s ı n ı ç ı k a r ı r e a k ,

(9 -24)

(9-25)

(9-26)

rf x ) ukx,y i z) = E ( x ay x uxx ,y , ı ) (9-27)

a y

e l d e e d e r i z . B u n u n s a ğ ya n ı ,

( Y

(Z V Z)

) E "

o l a r a k y a z ı l ab i l d i ğ i n d e n ,v e ı l E (; ) bir t am küm e olugtu r d u ğ un d a n, g u d e ğ i ş m e b a -

ğı nt ı s ı n ı n g e ç e r l i o l d u ğ unu b ulu r u z :

L = xar N1

Zy, xy z rx

olm ak ü z e r e ,

t RI L z J = 09-29) !

(9...28)



d ı r . L z ,

4. L=rXp

üç Boyutlu S ch re ding e r D e akleni 159

(9-30)

aç ı sal momentum i ş lemcisinin z-bile ş e n i d i r . x - v e y - e k s e n l e r i e t r a f ı n d a k i d ö nm ele-

r i elsa y d ı k,ek ola r a k

[ 1 1 , 1 , x ] =O

[H,LY= 09-31)

bulur duk.Böyl ec e a ç ı sal momentum i ş l em cisinin ü ç bil e ş eni de H ile s ı r a de ğ i ş tirlr,

yani, aç ı s al momentum bir ha r eke t s abit idir . Böyl e olmas ı , ş u kl a s ik so nu c a ko ş uttur:

M e r k e z c i l k u v v e tl e r a ç ı sal momentum korunumunu gerektirir.

M, L , L v e L'nin o r t a k ö z fo nks iyonl a r ı n ı bulmak isteyebiliriz.Falcat bunlar,x y s ı r a d e ğ i ş t i r e n d e ğ i ş kenl er in bir t am küm esini olu ş tu rm a zl a r .Örne ğ i u ,

[Lx , L y j= [yp z - zpy ,z p x - xp z ]

• LYP z' z P x . ) - r z Py' z i 3 x1 - [Y P z ' x r z iz P y' x P z ]

= Y [ P z ' z ] P x[ z ' P z i P Y

t f ı• "r" (Y1', - xP y )

i 1 1 L z9-32)v e b e n z e r o l a r a k

[L ,L J= i411,Y z

[L z , L x ] = i4NLy (9-33)

d i r .B öy le c e,11 ile b i r likte,g ö z le n eb ili r le r i n si r a d e ğ i ş ti r e n kümesini kur m a k üz e r e,

L 'nin yaln ı z b i r b ile ş e n i s e ç i l e b i l i r . B e l k i d a h a i y i b i r s e ç i m y a p a b i l i r i z ; ç ü n-

kü,£9-32) ve (9-33)'e g ö r e L 2 , L 'nin üç bile ş e n i y le d e s ı r a d e ğ i ş tirir:

L4 L - IL L )+-L 2 1._ri, ,L 2 14,,Zz xJ L 'cfLa C L z

, L a^ + f ı ,zx

1 , x + L I Lz, L ) 4 4 L

z,L L

yyy1 4 1 ı Lx L y

4- i4lLyLx' t ' ► t

yLLL

Z y

= O9-34)

v.b. Böylec e a ı r a d e ğ i ş tir en gözl enebilirl er in t am küm esi ol a r ak B,L z (bütünüyle

a n la ş m aya day anan bir s eç im) ve t, 2 i s l e m c i l e r i n i s e ç e b i l i r i z . 4 1 k ç a g ö r ü l d ü ğ ü gibi

Eam iltonien x x, yy ve z -z alt ı nda ie ğ i ş ime z oldu ğ undan,pa rit e-

y i d e b u k ü me y e ko ya b i l i r d i k ; f a k a t i l e r d e g ö r e c e ğ imiz gibi, L 'nin bilinmesi p e r i-

tey i d e b eli r le r .

2 J



160 Xnantum Fi zi ğ i

Bölüm IOda Lz

ve L2'nin özdeerlerini ve hzfonksiyonlar ı n ı belirleyece-

ğ iz; burada yaln ı zca,bunlar ı n kullanı lmas ı n ı n Schrödinger denkleminin çözünninil

büyük ölçüde basitle ştirdiğ ini belirtelim.B1Syle olmas ı ,aş ai; ı da ç ı karı lan bağı nt ı -

n ı n sonueudur.Diraz cebir,x2={( rtx -1; )x1 2 4 . ; ) ) 3 2 4 . 32

z )( y :z < 2 ( -ı-x- -1-"J

-412(x :7 ax=.. ...2[2 ( a y2- 2 )4r Y2 ()224 d .22

-.2.2+z (-J--'-) 2xy2yz?x2 + aax 2 • yy az

- -.62

2x ---- y ' a

xz ]

2zx2 zaz ay

olduğ unu gösterir.Benzer olarak,

(9-35)

0?". ) 2 y 2x__L_?x

4. yz -2L) (x -21-)ay

....k,2 ( x 22+ 2? ) 2 ) 2,- 2'2=+z ---- ;cxy+ 2yz

x2 22, -,„o x a y Yaz

2 a a + 2zx. x - _ — _ . 1. y ...............s.. 1. z9-36)

?Z ?XXYzbulunur.Bu ikisinin toplamı ,

_.,k2(x24.72.1.z2)( b24. -2 b2 )2 () . ?" " x2y2 +, z2 4-11 x ----F y ---- +z -) t9-37)

azy verir.Böyiece,22 L+ kr . pr224- 141 r . p (9-38)

özde ş liğ ini elde ederiz.i ş lemcilerle çal ış tı ğ ı m ı zdan,terimlerin s ı ras ı n ı bozmamak

çok önemlidir.Du özde ş likten,

tP 2 ; 2 4. ( it

, 2



Üç Boyutlu S ch rö ding e r D enklemi 161

Ş ek.9-1 . Konuda kull an ı la n kür e se l koor din a tla r ı n t an ı m ı ,ve (x,y,z) kartezien

koordinatlar ı ile (r,O,kür e se l koor din a tla r ı a r a s ı n d a k i b a ğ ı nt ı .

, 1t 2. İ 2 r d )W 1

rr sonucu ç ı k a r .B öy le c e S c h r d d i ng e r d e nklemi,

f 1 2 { 12 (

r

r + r4 rr 2g (i ) 2 1 , A . +V(r) u E (i ) = Eu B (1 )

(9-39)

(9-40)

b i ç imini a l ı r . B u r a d a d o ğ a l ola r a k y a p ı l a c ak § ey,kdr es el koordinat l a r da ç al ı ş mak-

t ı r . 0 z a m a n , O ve 4 6 aç ı lar ı n ı n bulundu ğ u t e k i d e m e i 1; 2 olur.Bu yü zde n,özfonk-

siyonlar ı

u ji : (" ) = Y7 (9 , o) REr)

9 4 , 4 1 )

ol a r a k s e ç e r s e k , L - 'nin özd e ğ er denklemi



162 Kuantum Fi

‹ 4 4 .

(9,9 ,<P)

olur; ve (9-40) denklemi,lienk.(9-42)'ye ve bir de tam olarak i şı nsal olan bir

denkleme hyrı l ı r.İ zleyeeeçimiz yol al ış ı lmı ş degiş itenitere ayerma yolundan de ğ i ş ik

Aegildir.Asçak,i ş lemeilerin s ı vadegi ş tiren tam kUmsinin belirlenmesinde bak ış im ı n

rolUne.onem vermemiz,bn ay ı rmay ı ekileyebilir.

İ iç-boyatil. enerji Ozdeger denklemini,kiiresel k oo r d i n a t i a r d a indirgemeye ga-

la ; çünkü en ilginç potauoiyellel,V=V(r) biçimindeki merkezeil potansiyel-ler-

inç olan basku bir durum ise,potansiyelin

- - - - -) +y ) + v5 ( 2 )

bid

ı

srum icin

2) +[v i (x ),(y) - t- v 3

d e n k lemi

ya z ı l a r a kola

ı l E(x,yz) =,(x)x . ,y

Uliir.Borada,as(, yandaki

d 2 v i ( x )

2mx' ; " "

2

V

Eu (x v z).9

(y), . . 1 €2 )

3

fonkslyonlar

t a kx) . )(y) =y)(2) _.3 uu,E ( 2)

(9-43)

(9-44)

(9-45 )

- - - - --,-)2 2my'

k 2l 2---, - , — ± V

2mz -

denklemlerinin çrizilMleridir; ve

E - E tx -ike . .3

bag ı nt ı s ı vard ı r.

Özellikle ilginç olan bir örnek,sonsuz d'evarl ı potansiyel çukurunun

Uç-boyutlu genelle ş tiriimesidir.Öç-boyotln kutu kenarlar ı L olan küp biçimindeyse,

o zaman

x 0<x < L

(9-46

v.b.dir.11öyleee bir boylandirma çarp n ı dşı nda genel çözüm,



T J ç Boyutlu S eh r f i d i ng e r D e n k lemi 161

n,1Tx i l y, 2u (x)' n

'insin9-47)

L b i ç i m i n d e o l ur , v e b u r a d a n2,r t 2

2 E—kil + n + n 2 )

2mL2 / (9-48)

bulunu r . P r ob lem d e pek çok kat m e r l il ik bu lu nd u ğ u n a d i k k a t e d i n i z : V e r i l e n b i r E

için,(9-48)'i sa ğ layan ne kadar { n i , n 2 ,n 3 } tamsay ı k ü m e s i va r s a o k a d a r ç o k

ç ö z ü m v a r d ı r .Al ışı ld ığı g i b i , ka t m e r l i l i k k a r şı l ı kl ı o la r a k s ı r a d e ğ i s t i r e n i ş lem-

e l l e r i n varl ığ ı na ba ğ l ı d ı r , b u ö r n e k a y r ı k b i r d u r u m d e ğ i l d i r . D u r a d a , b n i ş l e m e i l e r

Hx

, H

yve

z'd i r .lo n l a r

p 2Hx =V i (x)

2mWy

oH —V 2

(Y)Ym 2

P zH =V 3

( z )

2m

o l a r a k t a n ı m l a n m ı ş l a r d ı r,ve

(9-49)

b 1 . ı nt ı s ı n ı s a k l a r l a r .

1 .1 t a n e e t ki l e m e y e n ö z d e ş f e r m i y o n n n t a b a n d u r u m u enerjisini a r a ş t ı r m a k

i l g i nç t i r ; ö r n e ğ in,L 3 ha e ı ml ı b i r kutu i ç i n d e k i e l e kt ronla r'wTa msa y ı la r ı n h e r b i r

(1,1,1),(2,1,1),(1,2,1),... Uçlüsfi için i k i e l e k t r o n y e r l e ş t i r i l e b i l i r . S o r n y u b a ş -

k a b i r b i ç i m d e s or m a k d a h a ko l a y d ı r : (9-4 8) il e v e r il e n E'nin,E 7 F e r m i e n e r j i s in -

d e n küçük ol a c a ğı kaç tane {n i ,n 2 , n 3 j tamsay ı fiçllisfi v a r d ı r? Her figlü,üç-boyutlu

b i r u z a y ö r g ü s ün d e b i r n o kt a v e r i r ; b n no k t a l a r z n s a y ı s ı ç o k s a , o z a m a n b u n l a r R

ya r ı ç a p l ı b i r kf i r e n i n i ç i n d e b ulunm a l ı d ı r , R i n i n d e ğ e r i (9-48)' e g ö r e

2mE

n 1

2

+ n 2 2 + n 3

2

= R

2

— 2

F

2 L

2

(9-51)4111

o l a r a k v e r i l i r . % d a , ç o k i y i b i r y a k l a ş ı kl ı kt ı r . Bunla r ı n s ay ı s ı ,tüm n i s le r i n po-

zitif oldu ğ u, kfi r e n i n se k i z d e b i r h e em ı y l a v e r i l i r . B ö y l e e e ö r g ü n o kt a l a r z n ı n s a y ı s ı ,

•

4 ir 7T3

R =

8 i n E r

4 a 2 ı ı 2L 2) 3/ 2

(9-52)

o l ur , v e b u y ü z d e n e n e r j i s i Ep F e r m i e n e r j i s i n d e n k ü ç ü k o l a n e l e k t r o n l a r i n s a y ı s ı

bunun ik i k a t ı d ı r,y ani

(9-53)

x

+ H

y

+H

z

=H (9-5o )





lig Boyutlu Schröd ı nger Denklemi ;65

5-10 eV basamağ indad ı r.Böylece,bayag ı scakl ı klarda çok az say ı da elektron xs ı l

olarak uyar ı labilir; çünkü elektrunlar ı n pek çoğu ancak,önceden doldurulmu ş olan

durumlara uyar ı labilir.Bunun sonucu alarek,atı m ı başı

na bir ya da iki duglir elektr•nuolan iyonları n bir kristal örgüsü olarak oldukça iyi betimlenen bir metalde s öz-

gül ı s ı ya yalnı zca iyonlar ı n katkı ları vard ı r.Metale bir elektrik alan uygulan ı r-

sa,yaln ı z "Fermi denizi"uin yüzüne yak ı n olan elektronlar ivmelenebilir,çönkii da-

ha derinde yerle ş mi ş olan elektronlar uygun enerji durumlar ı bulamaziar. İvmelen-

dirilenlerin uzun bir ortalama özgür yollar ı vardir.tyonlarla çarpışmada,elekt-

ronları n enerjisi EF nin altı na dı i ş iiyorsa,bbyle çarpış malar yasakt ı r;çünkü uygun

hiçbir boş durum yoktur,Bu konular, leat ı hal fiziğ i kitalar nda çok ayrı nt ı l ı :

olarak ineeleneeektir.

Problemler

1. 3 22 4-y2olmak üzere,silindirsel bak ışı ml ı bir V( , g ) potansiyeli

içinde hareket eden bir parçacığ ı öz önüne al ı n ı z.Sistemin durumlar ı n ı belirlemek

için kullanacağı n ı z,stradeğ istiren gözlenehilirlerin tam kümesi nedir?

2. Problem l'deki sonuçlar ı n ı z ı kullanarak,Schrödinger denklemini Bilin-

dirsel koordinatlarda ay ı rı n ı z.

3 . Bak ı r içindeki özgür elektron say ı s ı n ı n yoğunluğu 8.5x1022 em-3 olarak

verildi ğ ine göre,(1) elektron volt olarak Fermi enerjisini; (2) Fermi enerjisine

e ş it kinetik enerjiyle hareket eden bir elektronun h ı z ı n ı hesaplay ı n ı z.

4. Bir çekirdek N tane nötron ve Z tane protondan olu ş ur,ve N+ Z = A'dı r.

ro

= 1.1 fm (1 fm = 10 13 em) olmak üzere;çekirde ğ in yariçapı R= ro

A 1/3 bağı nt ı -

s ı yla veriliyorsa ve nötronla protonun kütleleri çok yak ı n olarak 1.6x10-24 gr

ise, proton ve nötronlar ı n özgürce hareket etti ğ ini varsayarak,proton "gaz" ı ve

nötron "gaz" ı n ı n Fermi enerjisi için bir deyim yazin ı zal =126 ve Z = 82 ise

Fermi enerjisi ne kadard ı r?

5 . 5 kütle yoğ unluğ u 1011 'den 1016 gr cm-3 'e kadar de ğ i ş en,taban durumun-

da bir nötron gaz ı n ı agöz önüne alln ı z.Permi enerjisini 5 , 'nun bir fonksiyonu ola-

rak hesanlay ı n ı z.Baz ı enerjilerde,nötron gaz ı n ı n göreli olduğuna,yani enerji ve

momentum aras ı ndaki bağı nt ı n ı n göreli oldu ğuna dikkat ediniz.Yoğ uniuk hangi de ğ ere

ulaş tı ğ ı nda,göreli fordrilb kullanmaya baş lamak gerekir?

6 . Yozla ş m ı şlektron gaz ı nda göreli olmayan elektronlar ı n ortalama

enerjisi, f8n e



166 E;antum Fiziei

e verilir,ve daha genel olarnk

8224I/2'

(p e - -I - ın e ) d• n

F 1

yaz ı l ı r.Ortal , ı ma enerjinin bu genel deyimiqi,pr e, c 'nin fonksiyonu

olarak h es a p loy ı n ı z . B u n a ko l l a n a r a k , g 6 r e s i z f o r m ü l d e v e 3 ) › I o l a n g ö r e l i l i k - -

ötesi bi*!:ede,-1)<E>

( İ /n)

termodiaamik formüln ile ta n ı m l a n a n b a s ı nc ı hasaplay ı n ı t z .

Kaynaklar

Aç ı s al mom e ntumu n bu r a d a ku ll a n ı la n serçevedeki iyi bir tart ışmas ı

J . L . P n w e l l a n d B . C r a s e m a n n , Qu a n t n m Meellanies,Addiaon-Wesley,Ine.,191 i 1 .

Bn k it a p t a , h e r -giri ş kitab ı n d a oldu ğ u gib ı ,dç:boyutln Snhr; , ; dinğ er,dvnklemı nin

ayrı lmas ı i lenmi ştir.



Bölüm 10

Açı sel Momentum

-•Bu bblinndeki i ş imiz,L7 ve L

2islemcilerinin özde ğerlerini ve özfonksiyonla-

rı n ı bulmakt ı r.Aç ı sal momentum 4 boyutunda olduğundan özdeğ er denklemini,

L zY= n ı 'K Y ,t n i

LL Y tm = kt-i- 1) 11`-

oY i ) ( ı n - 1 )

biçiminde yazabiliriz,burada in ve L () gerçel say ı lard ı r.1: 2 'nin üzde ğ erinin

bn garip yazil ışı n ı n uygunluku ilerde kan ı tlanacaktir.islerain çesitli yollar ı var-

d ı r.Geleneksel yol I islemcilerini küresel koordinutlarda yozmakt ı r.

=. r sin 0 cos tli

ysin R sin

z = r cos O

oldnğundan,

dx = sin 9 cos Ob drcos A cos 4, <IQ — r cin 9 sin 0 , d 4,

dy = sin 9 sin ¢ dr + r cos 9 sin 4 , c10 r cine cos 4, d

dzos O dr--'r sin 0 dO

bulunur.Bunlar çözülebili r , ve

dr = sin 9 cos 4, dx +cin O sinyos O dz

1dO--- (cos Ocos ft dxos A sin 4, dy — sin O dz)

(10-2)

( 10 -3)

d0= sinx ı cos C/s dy )10-4)r sin 9

16 7



168 Kuantum

verir.% demklemlerin yard ı mlyia,

a± ---

xrx:34

_ , . .a?)İ D_i_ L) ,,..., sin •? voscp—+-j-- cos Ocog .'•

—ar 9sin O

—siflO Cin ------osin6_ _y93in Q,in 9• — en,3

r

e l d e e d e b i l i r i z , v e s o n un d a

+ )aL = ?yy (10-5)

(10-6)

buluruzAçlsal mnmentumun öbür iki bile§eni ise,doha knpall bir biçimde yazilir:

L + = LLx tan ı m ı yomilirsa,o zaman

4_

9 e -

-.—Z—+3

y

—

X

3.(X

÷—r

4 - i C

«

a

n in1

.

eoa 9e

ii

z

r(? s ---7--r ao sin9

r nin o et . 4

cos 0ail' G

olu r , b u d a

L + = 4 (±co.

demektirjalemeisi,ahyle kmrmlabilir:

L LLL( ıL )+ - x L [1, ,Lx yoldop:m gözlener e k,

( ı o—o)

(10-10)

= Lz -4- L L+ i [ L ,L_ f f l a LL+ 124) L

+( l o - 1 1 )



Açisal Momestum69

bul~r.Son sairds (9-32) , • knlland ı k.Wöyteee W ve 9f'ye göre itiin=ri bassmaktan bir

diferansiye/ islemb ı elde etmi ş olsyeroz,ve*geriy ı r , (10-1 1 in gösterdiii“ diferanSiy41 ,-,-

denklenieri Ozme* kellyor.Bm.konm pek çok ~tura mekan4*i ya da klasik elektrodima-

mik dere'kitabinffisitaceleamistir.i ş imizi eebirsel i ş lemlerle sürdbreesiz,fokat

1 , zYi ui = m tl Y J 110-12)

üzdeger denklemiRi T C baz ı uygulamalar ı tartiş mak için kenudan biraz ayr ı lsen z (10-6)

kullan ı .larak,bu denklem(0,0)= ima 1 m (9,41)ı o - 13)m

verir,lum yüzden çüzdm,Yt9 (0) C m (¥14.) biçimindedir.Burada, t f s m (95)

d ıf i

)e n 4 , , r (10-14)

denklemini sağ lar.An donklemin,2ı r

f (414),J 2o

olacak biçimde boylAnd ı rı lmış çözümleri,4r.ı 0

v277

dir.Araeira qhyle b:ir tart ışma yapı l ı r: 3 6 0 ° ' lik bir dönme yani bir

i l ö n n a l i m ü altı nda siatem dkti şmez olduğundan,ırtZm

e .= 1

(10-15)

olmas ı gerekir; bu yüzden de, m bir tamsay ı d ı r.Bu asl ı nda doğ ru de ğ ildir.Çünkii fizik-

oel gözlenebilirleru giren nicelikler, _f 0 V(0) A 1 ,2 (0 ) tipindedir;ve

buradaki(lb) dalga fonksiyonlar ı ,

oo.rnOP( O ) = E 'C in .

10-18)

f ' ,Nmr—d* 21 1

biçiminaedir.Eğ er bu isteksel dalga paketlerinin c k -e2/1 dönö ş ümü alt ı nda.de ğ i ş -

memesini (ortak bir evre çarpan ı dşı nda) iatersek, ş u sonuca ula şı rı z: m'nin izin ve-

rilen em genel ılsğ erleri,c bir sabit olmak üzere,m= 4tausay ı olar.Yaln ı zea,Lz i lem-

c i s i n i 4 1 , ,Lyz

) toplam kümesinin bir parças ı olarak görüreek,e Sabiti için bir ş ey-

ler sbyleyebiliriz.Agag ı da,özdegerlerin s ı f ı ra göre bak ış uml ı olarak dag ı ldı g ı n ı ter-

t ış acaguz,hyle ki,c = 0 ya da c= 1/2 olacalitir,Bu bölümde inceleyece ğ imiz i ş lemciler

için,kendimzi degerine k s ı tlayacal; 1 z ; bu ko ş ul m'nin bir tamsay ı olmas ı demek-

tir.



1 7 0 K u a n t u m F i z i ğ i

Lz'nin ö z d e ğ e r d e n k l e m i b a ş k a b i r i li ş k i y l e d e o r t a y a ç ı k a r . z - y d ü z l e m i n d e

d ö n e n k l a s i k b i r d ö n e r i g ö z ö n ü n e a l i n ı z . E y l e m s i z l i k m om e n t i I i s e , e n e r j i s i2

21

olu r , v e b öy le c e B a miltoni e n2

Lz

21

i l e v e r i l i r .l i am i lton i e n 'in ö z d e ğ e r l e r i n i n ,

'Wm 2

E —m 21

(10-20)

(10-21)

tInNO

oldu ğ u he m e n g ö rü lm e kt e d ir,v e ö z fonksiyonl a r lerdir.11,L zile s ı r a d e g i ş -

t i r d i g i n d e n , b i r k a t m e r l i l i k v a r d ı r , v e v e r i l e n E m i ç i n i k i ö z f o n k s i y on d ö n m e n i n i k i

y ö n ü n e k a r şı l ı k g e l i r . E ğ e r b i r ç e m b e r ü z e r i n d e , a r a l a r ı n d a b i r b i r i n e e ş it 2 i r / k

a ç ı s ı ol an,s ı k ı c a tuttu r ulmu ş N ta n e p a r ç a c ı g ı m ı z v a r a a , v e bu parça c ı k l a r ö z d e ş s e ,

o z am a n

1 1 Ş ( 0 ) = E E (9 5 )(10-22)

ti.)%0e n e r j i ö z d e ğ e r d e n k l e m i n i n ç ö z ü m ü y i n e el a c a k t ı r•Fiz iks e l s ist e m ,2 11 /N

r a d y a n l ı k(ya d a b u a ç ı n ı n b i r t a m k a t ı k a d a r ) b i r d ö n m e a l t ı n d a d e ğ i ş m e z , v e ç ö z ü m -

le r d e b unu y a n s ı tmal ı d ı r . m ' yi b i r t a m s a y ı o l m a y a z o r l a y a n t ü r d e k i t a r t ış m a l a r , ş im-

d i d e ÂZi N X(bir t a m shyl) ol d u ğ u n u s h yl e 4 B ö y l e c e e n e r j i ,

4 1 2 (Nm) 2

21olur.

Ş im d i (10-1) d e nkl e m ine d ö ne l im ; v e Bö lüma r monik sa l ı n g a n i n c e l e m e -

m i z i a n ı m s a t a n b i r y ol l a , ö z d e g e r l e r i e l d e e t m e y e ç a l ı ş al ı m. L z ve T . , 2 h e r m i t i e n i ş -

l e m c i l e r i n i n h z f on k s i y on l a r ı d i k o la c a k t ı r ; ö z d e ğ e r l e r f a r k l l y s a , n y g un b i r b oy l a n -

d ı rm ayla,

< Y t ° m ' I Y La> = ı L / S mm'

y a z a c a ğı z •

< yLx2+Ly2+ L z 2 ) y >

< L x Yx Y m> <LyY / 4 m LyY m > 4. m 2 4 % 2

> O

(10-24)

(10-25)

LEz—

E- (10-23)

Oku r B ö lüm 1'd e t a r t ışı la n D c k e-k ittk e' ni n D ü ş ü n c e D e n e y i 'n e b a k a b i l i r .



Aç ı sal Mementum 171 -

olduğ undan,

, e ( 4 _ 1 ) 10-26)sonucu ç ı kar.

(10-7)'de tan ı mlanan Lit islemeileri,aş ağ ı doki yapacaklar ı m ı z için çok yarar-

•.11u i ş lemcilerin art ı rrr a ve lezaltmel islemeilerinin rolfin0 oynad ı klaV ı n ı gdrece-

ğ iz.önce,

" = L4 - L-

+L --1 0-2 7)

olduğunu görmiist0k.Ayn ı yolla,

2 = L.1 - 2 + + 1 ,

z10728)

olduğ unm da glirurüz.Doğ rudan doğ ruya (9-32)'den bulunabilece ğ i gibi,(10-27) ve (10-28) r.

den de,

[ 2 4 L z10-29)

buluruz.Geriye kalan de ğ i ş me bağı nt ı lori,

[L+ ,L=[L + iLy ,Lz ]=11 ,x

—41L +ı 0~30)

ve

L z ]:= 1 N 1 , _10-31)

L ]s ı e 0 oldnundan,ayr ı ca da

[1: 2 4,41 = 0J

iry! 2, z] o

sonuçları elde edilir.Bu,

21 1 .): 0 ms 14 Ğ 'y4( e+ 1) 4 ' . ;10-33)

.4 2oldu4un ı l söyler; böylece 1 4 .1 ( t m :ler ile Lnin ,e d z d e ğ er 'ile belirlene n Sztonk..siyonlarld ı r.Ayrı ca,

= (L+ L z -I- 't" 1.+ ) Y ıt a

= in •fsLY

~ft(rn + 1) 1. 4 . Y .eı o-34)

olduğ undan L + Ye L z 'nin bir üzfonksiyonudur,fakat m-de ğeri bir birim artml§t ı r.

Benzer biçimde,

=- 1) Ly10- 35)

olduğ unu ğlisterebiliriz; bu yüzdene Lz 'nin bir idzronksiyonudur,buradn ise

m-de ğeri b i r b i r i m a z a l m ı ş t ı r . B ö yl e e e L+ 'ye s ı rayla art ı ran v e azaltma islemcile ı H

adıverilir. L + Y .t = 32 )

y a z a b i l i r i z .



172 Kuantum Fizigi

Lx

ve Lnin bermitienlig ı n ı n sonucu olarak,Y t

( L xL v )L x " 4 " . : i L y =

elde edilir.Bu yüzden,

< L± Y . e m i Lt .£ 1 , 1 > bağı nt ı s ı n ı n bir sonucu,

<Y 1.1L.,. ı . , ± Y olur;ve böylece10-27) ve (10-28) bağı nt ı ları ,

Lx( 1 : ›2x 2L

x ) Y L a ,

olmas ı n ı ,yani

( ,e+ 1) 2 1-m

( f -4- I) 2 -- m

> 0

(10-37)

(10-38)

(10-39)

(10-40)

(10-41)

olmas ı n ı gerektirir. Q ( f ? + 1) > 0 olduğunden,genelli ğ i yitirmeden,O alabiliriz2

.

0 zaman,(10-41)

< m <

10-42)

olduğunu gösterir.

B ğ er m'nin bir enkilçük de ğeri (m =arsa,buna karşı l ı k gelen özdurum için,

L...Y p 010-43)

olur.(10-27) 1 yi kullanarak ve bunu Y ,m- 'ye uygulayarak m_ 'yi hesaplayabiliriz:

-W+ 4N2k 2(10-44)

elde ederiz.Benzer olarak,m'nin bir enbüyük de ğ eri (m = m+ ) varsa,

k y '010-45)

olur; ve (10-28) 1 in enbüyiik özduruma uygulanmas ı ,

= m 2, mi:k210-4 6)

verir.Bu yüzden,

m

= -m =10-47)

bulanur.Enküçfik de ğ erden birim ad ı n ı larla(L+ en ı n ardarda uygulanmas ı yla) enbüyiik de ğ e-

re ula ş abildi ğ imizden, ş u sonuçlar ı buluruz( Ş ek.10.1); (a) ( 2 1 + 1) tane durum vard ı r,

yani 2t 4- 1 bir tamsay ı d ı r; (b) m'nin alabildigi de ğerler,

m= £ + 1,29,dir. nin,1/2,3/2,... gibi yari-tek tamsay ı değ erler alabilece ğ ini,

1 Eker Q G -1 bulmu ş olsayd ı k,yalnı zca L =-1i t a n ı m l a y a c a k t ı k , v e eski

yerine yeni pozitif L'yi alacakt ı k.L(141) =>,( 4-1)lacağı ndan birş ey de ğ i ş meye-

cekti.



cot 6

Lt

cot ie (e) e

LU+1)4)( o ) = o 1 0 - 5 0 )

Aç ı se l Mome ntum

(1 2 — 2 ) 4 , sf)S

Ş e k . 10 .1 .n i n v e r i le n b i rd e ğ e r i i ç i n , L , i ş lem c i si n i n

*pektrumu-

e p i n i i n ç e l e y e c e ğ im iz Bö lüm 1 4't e t a rt ı ş a c a ğı z .Bu bö lüm d e ke nd im iz in i n t a msa y ı

ola n d e ğ e r l e r i n e k ı s ı t l a y a c e 4 ı z .

(10-36)'da tan ı m l ana n (4( /,m) kat s ay ı le r ı n ı d a h e s a p l a Y e b i l i r i z .

c+(1,n) I 2lt,. L^YYI; r e ± 1>i±Y emm>=<e >

(i — ı 7 , 2 -kL ) y t.>

— m(m ± 1 )]

oldn ğ u n d a n , m y g u n b i r e v r e s e ç e r e k ,

c+ (k+ 1) — m(m)j 1 /

10-48)

e l d e e d e r i z . İ ş l e m e i y ö n t e m l e r i y l e b u r a y a k a d a r g e l e b i l i r i z . ş im d i, ö z fonksiyonl a r iç in

0vv 6 küresel aç ı la r ı c i a s i n d e m u yg u n (i f a d e l e r e l d e e t m e k i s i n , 1 . v e L i ş l e m c i l e r i -

n i n a ç ı k b i ç i m l e r i n i k u l l a n a e a ğ l z . Y a p a c a k l a r ı m ı z ,(7-31)'d e n (7-35)'e ka d a r ki y apt ı k-

la r ı m ı z a k o ş ut ola c a k t ı r . Ö n e r i l d i ğ i gibi,i n N 9 5

Y I m ( 0 , S t )(0)e10-49)y n z a l ı . o ş ulu,



Olur.

-) N Kr ontuw Fizii

verir .Bn denklemin çözümüniin,

. (q (0) = (sin 0)10-51)oldu ğu kolay ca bulunur,Çarp a n olara k g ele ce k uygun bir sabit d a h a sonra boylan d

ırma

k o ş u l un d a n e l d e e d i l e c e k t i r . i s t e k se l herhangi bir durum,azaltma i ş lemiyle

( 4 ,9 ) =sin 0) eİ 4

ola r ak el d e edilirobnee,.i-e0

L_ Yit( 1 4 , 9 ! > ) = 71 eot(sin 0 ) ek

Ae- aot 0 , )s i n ( 4 )

olduğunu gözönü ne a l al

ım.isteksel bir f(0) fonksiyonu için,

( ih cot(0)- sin 0)L f(0)10-53)d0sin A Y '0oldu ğ u göst eril ebilir; böyl ec e,

ı e1(sin 0) 1 ]10-54). ,, c 2--) ( sin O), t , . t . . . . 1 = C

(sin Or- (0e l d e e d e r i z . Bun d a n sonraki ad ı m da, L > y e rin e 4 ?-1 g elmesi d ışı n d a a y n ı d ı r; ve (10-53) '

;M-2)0

Y,.. ı ı"*.?2' sin 0) 1 Z - 1 # <- -L I )(sin0) 21, k sin 0) 1-1 9sin 0)4.9.i .(.? —2 ) 9 ‘

= c" (-1) 2 e 1 . (sin 0)2 !) (10-55)(sin g) e -19in QObulunur.0os 0, -1/(sin 0) (d/d0)/ du de ğ i ş keni türünden,(10-54) ve ( 1 0-55),

(10-52)

s ı rayla

verir,ve genel biçim

ZU -1»

Y i lı (sin

4)Z..4Ldu{(1. - u ) 1 ]

e'4-2»

_ 2 .PCC(si

IP2 [O- u2 )_]r! A) L-2u( j 6

Y4 . . ı s = C (sin 0) 1 1 1

d

du[(l—. 2 )•i (10-57)



a ı r ( Y r t(3120. /O1oldoundau,

u

Apxsnl Momentum75Bo Oz fonksiyonie r in boyl anfb r

ıl m s l a r i g e r e k i r . T ü m l e v a r a l i k l a r i O < < H < ir olan küresel aç ı lar ile ugrat ı g ı mi z d a n(Bk z, Ş e k . 9. 1); v e k ü r e y n z e y i

jizerinden(r =

dS1 d J r 53.n 0 ( 1 0

O

( ı o-58)

yazalam ı z gerekir.poradaki tnmlevin usandiric ı d ı r . Bo y ü z d e n uy gun b i ç im d e

boyland ı r : i l m ı l olan Y .e m ( 4 ,1 5 ) ' l e r i , g e l e n e k s e l e v r e l e r i i l e y a z m a k l a y e t i n e c e ğ i z :

1/2

r n 10-59)P , „ ( 0 , ^)- 1 - ) 1 1 iliri+ ra)fe c e.

Bunla r,

Y Q ı_m

= (-) Y L e o10-60)

ö z e l i ğ ini ta şı ula r „B a g'll L eg e n d r e ç okt e r imlile r i,

1 ) , ,t m (u) = (-1) Z+m)11 2 1 r . !a1 2 )10-61)

o la r a k v e r i l i r ; b u ç o k t e r i m l i l e r i n n e g a t i f m i ç i n d e ğ e r l e r i ,

-)! m (+.)!

( 10-62 )

ba g ı nt ı s ı n e l a n e l d e e d i l i r A z f o n k s i y o n l a r d a n b i r k a ç l n ı s i r a l a m a k , b i z i m a m a c ı m ı z i ç i n

y e t e r l i o l a c a k tı r :

Y° '°- 2 * ? S

c i n 08T(

Y1,0

:=os 0

2,2-

3 5.i ık ein32-n

sinos2,1 8 7 (

4 ı r



176 Kuantum Fiz ı gi

V 2 ,0i - 3 cos16Tr1)10-63)

(9-40)'da oldu ğ u gibi,r. 2 'nin bir özfonksiyona etkimesiyle £(£44)1N 2 e l d e

e d i l d i ğ ini bildi ğ imiz d en, ş i m d i ,e n e rj i fi z d e g e r l e r ı ni ve fizfonksiyonlar ı n ı b e l i r l e y e n

ışı n s a l d i f e r a n s i y e l d e n k l e m i ya z ı ı h ili r i z .Çe ş i t l i p ot a n s i y e l l e r i ç i n , ç o k a y r ı nt ı l ı

o l a r a k t a r t ı s a c a g ı m ı z d e n kl e m ,

[ 1( 1 ,) 1 1")Rr)rrrr. t ,

V(r) Itr t m(r)s BRE i m (r )10-64)d i r . B n d e n k l e m i n m 'y e h i ç b a

ğl

ıolm a d ığı n

ıb e l i r t e l i m . Bö y l e c e v e r i l e n b i r I i ç i n ,

her zaman 4- 1) katl ı b i r k a t m e r l i l i k o l a c a k t ı r ; çü nkü ol abil e n t üm m- d e ğ e r l e r i

i ç i n e n e r j i a y n ı o l a c a k t ı r .

P r ob lemle r

1. Bir mol e kü l iki ö z d e 1 atom d a n olu ş uyor; bu atom l a r t ab a n d u ru m d a d ı r ve

spi n l e r i s ı f ı rd ı r . Molek ülün ola b ile n uy a r ı lm a l a r ı a r a s ı n d a d ö n e l n y a r ı lmalar da~-

d ı r .Y a l n ı z z - e k s e n i e t r a f ı n d a k i d ö n m e l e r g ö z ö n ü n e a l ı n ı rsa,H= L z 2 /21 olu r;v e atom-

l a r a r a s ı n d a k i u z a k l ı k sa b it a l ı n ı r s a, d ö nm e sp e kt ru mu ne olu r? Atom ia r ı n spini 1 /2

i s e , ve h e r i k i s i d e a y n ı s p i n d u r u m u n d a y s a s p e k t r u m n e d i r ?

2. (10-63)'te s ı ralanan kiiresel harmonikleri x= r sin 0 cosCp ,

y = r 8in H sine z = r c o s H c i n s i n d e nf a d e e d i n i z .3. P z (u)u) L eg e n d r e ç okt e r imlile r i,(10-61)if a d e si c i n si n d e n t a n ı m l a-

n a b i li r . Bu t a n ı m ı k u l l a n a r a k , P „t (n)'nun

(1 - u 2 ) PÇ (u) 24() +N+ 1) P .e (n) mm 0

d e n k l e m i n i s a ğ la d ığı n ı g ö s t e r i n i z .

4 . P , ( u ) L e g e n d r e ç o kt e r i m l i l e r i n i n ,

u . h > ı - u 2 )

4 + 1)! + . 1 )1 - u 2

G e+,.//ptOi n d i rg e m e b a ğ ı nt ı la r ı n ı s a ğ la d ığı n ı g ö s t e r i n i z .

5. (10-61) e i ku l l a n a r a k,a o

z )ı P (u) = (1 - 2uz + z2)-1/2

oldu ğ u n u g ö s t e r i n i z .



A ç ı sal Momentum 177

6. Dört boyuttaki dönmeleri tart ışmak için bu bölümde özetlenen i ş lemi kolla-

n ı n ı z.Unin bu duruma genellestirilmi ş i,

L . a . —1(x. ı j)(i,j .. 1,2,34) olarak yaz lahilen islemciler kiimesidir.

(JI ,J2 ,J3 )= (L3 ,L31 ,L12 )

ve

(K 1' 1 £ 2' Ir 3 )= (L4' L 24' L 34 )

tanı mlayal ı m .

(a) Bu altı ilemeinin tümünün kendi aralar ı ndaki değ i ş me bağ ı ntı lar ı nı bulunuz.

(b) 3(+)..:1"-1 )

iilemcilerinden her birinin açxual momentum de ğ i şme bağ ı nt ı ları na uydu ğ unu ve birbir-

leriyle aarade ğ i ş tirdiğ ini ghsteriniz.Bulduğunuz sonucu kullanarak,karşı l ı kl ı olarak

s ı radeğ i ş tiren i ş lemeilerin mailhelOMM kümesini,ve bir özfonksiyonu etiketlemek için

kullanı labilecek kuantum say ı lar ı n ı belirleyiniz.

7. tateksel bir V(r) potansiyeli içinde ve bir / aç ı sal momentum durumunda

olan bir elektronu gözönüne al ı nı z.Rlektronu 1 .4 noktas ı nda bulma olas ı l ığ ı n ı n yal-

n ı zca Iri( ' nin bir fonksiyonu olduğunu gösteriniz.

[Yol Gösterme:

t- 1) tane m değ eri için çözümlerin katmerli olduğuna ve özel bir

s ı ralama yapı l m a m ış sa,tüm m değerlerinin e ş it oas l ı kla olduğuna dikkat ediniz.

2 , ,+1I Y L , e ( g /4 )41'1

formiilünü kullanan ı z.]

8. Küresel bakışı mil bir potansiyel içindeki bir parçac ı k,

-öcrz14/(x,y,z)= C(xy yzx)e

dalga paketiyle betimlenen bir durnmdadı

r.Açı

sal momentumun karesinin ölçhmünün 0vermesi okas ı l ı ğ ı nedir? ~ma 6 t 2 vermemi olas ı /IL& nedir?

eğeri . 2-'ele-

rant bmImadmysı o. =

çim battal milos ı liklar ığ l ıordir?

9. Kusursuz diizgün bir silindir için ş u modeli gözönüne alanaz.Bu e ş i t ara-

l ı kla yerleş mi ş M/N kütleli özdeş parçac ı klardan oluş an R yarı çapla bir halkadir.

Böylece halkanı n kütlesi M ve eylemsizlik momenti MR2 Pdir.Aç ı sal momentumun olabilen

değ erlerini hesaplay ı n ı z.Bnerji özde ğ erlerini hesaplayı naz.Sı f ı r aç ı sal momentumlu

taban durumu ile itk dönel durum aras ı ndaki enerji fark ı ne kadardı r? N,rmo iken

bu fark ı n sonsuza yakla ş acağ ı nı göeteriniz.Bunınala,2 .7f fi radyanl ı k dönme altı nda

bakışı mla olmayan"çentilmi ş " bir silindirin kar şı l ı k gelen enerjisi aras ı ndaki far-

k ı gösteriniz.Bu örne ğe göre,kusurenz düzgün bir silindirin döndiiriilmesi olanaks ı zdı r,



1 1 - 8 Kunotura

v e h t i v t e o l m a n ı ş u alr;nya tutarl ı r l ı r: Çok' c i y g e bir

meelidir ,

- 4' 210. Lyi/l e y ; : e ı leyioien',(.(10-4 , )j'4a

tou ı mianan)nin naglad ığ ı d fernnsiyel danklemi ye l.

[Yol gösterme: 7.ONep;iskeain ı kulla, ı ı n ı zj(sn 40n ı n,bu deuklemin ı çin olan çdzumil oldoguna beteriniz.

Kaynaklar

(unlar,sayfa 501'de s ı r a l a n a n k i ı .aplar ı n her birinde bulunan temel kry ı u)ardir.Wro-

me alt ı ndaki de ğı mezl ı in sonuçlar ı n ı daha iyi anlamak için 11zellikleAu kitaplara

baktnı z:

K.Gottfried,guantum M e c h a n i c s , V o 1 .1,V.A.Benjamin,Inc"

M.E.11~,Elementary Theory of Angnlar Momentum, John krile ı y and Sons,Lı c.,1957.,



Bölüm 11

I Ş INSAL ~KUM

(10-64) ış insal Schrödinger donklemi,

R a (r) aa

olarak yaz ı labilir; burada R nz -fonksiyonunun indie/erinde,X ı ı tiketi yerine n

kulland ı k4e ş itli potansiyeller için bu denkl ı min çlaxiimleriat ara ş t ı racaglz.incele-

yeregimit potensfyeller1 , önemli bir örelibal olan Coulomb potansiyeli di şı nda,son-

suzda lirlden daha h ı zl ı s ı f ı ra gitmek ko ş ulu ile kı a ı tlanaış tı r.Ayrica potansiyel-

'erin ba ş lang ı ç noktas ı ndaki itekilli ğ inin ı fr 2 Fclen dahe az oldu ğ unu da var sayaca-

ğı z,öyle ki

Lim r2

V(r)au 0

11-)

olann.Bazen,

un tn(r) = rR11-3)fonksiyonu:in tan ı mlamak uygun olur.

ı .2_ 2 (r ) 2 u n tm (r)11-k)

dr2 '

rr f rolduğundan,

, \(L ÷ 1)2 unsalr) 2t,V(r),2 lu+ ı 2 a (dr 2 tur

(11-5)

sonucu ç ı kar.Bu desklem a ş a ğı daki de ğ i ş iklikler d ış ı nda bir-boyutlu denklems pek

çok benzer:

(e) V(r ) potan siyeli,itici bir markı /acil engelin •klenmesiyle,

w+I)IN2V(r) -o V(r) -4-

olarak de ğ i ş mi ş tir.

2 d

2))-fm(r)U1-1)K2 12udr rrV(r) 2tAr

t z a (r)

2 t a R

2 , ,u.r.2

11-6)

179



V (r)

180ılamtum ?IzittV(r)1,

Ş ek.11-1. Asil potansiyelin bir kara kuyu olmas ı durumund8(r)1 , 1 nin ışı n•al

denaklamindak ı etkin potansiyel.

(b) anta(r) I nin tan ımı ve dalga fon ksiyonunun baglaag ı ç noktaveladaki son1u-

u a ta (0)= 011-7)olmas ı n ı garektirir.Bu da problemi daha çok,sol yanda V ,lan bir-boyutlu

probleme benzetir( Ş ak.11.1).

Önceeaklemi baş langı ç noktas ı ak ı n ı nda ı nceleyve kolayl ı k

bakı m ı ndan tüm indisleri düş hrel ı m.r

ldtığunda,denkikaimizdeki bulet terim/er

d2

u?( + 1)

u ( ı ı - s )dr

2r2

çünkü (11-2) sakland ı g ı nda,yeterince küiçtik r'ler için potarn iyeinkatk ı s ı yok-

.Deaklamdep

u(r) ni r •11-9)

deneme çözılmümli yerine-koyaraak,

() — 4- 1) --. O 11-1o)

olmas ı ko ş ulu ile deaklemin •atlanacait ı nx belluruz; bu ko ş ul, 01 ya da- 1 varir.n(0) w 0 koş ulnau satlayan,yami r . 1 1 4 . 1 gibi davranan çünüme düzenli

çözüm, ribi davranan çoInime de düzensir çözüm denir.



Ig ı nsal Denkle s81'Büyük r'ler igia potansiyel terimini dli ş iirebiliriz,ve denklem

d2ut . , K

u

2

biçimini al ı r.Kareleria tiimlenebilmesi ko ş ulu,

GO

1 2d 3 r j2dr f dçllRaiso

no

2mdr,Ra f m (r)1 2

o

olmas ı n ı gerektirir,bu da

) irt.( 0, o ) 1 2

(3.1-12)

fdr ka t ı l ı

(r)2

odemektir.Buaua 110AUCG olarak dalga fol ı keiyonu soneusda mif ı r olmal ı d ı r.lf < O ise,

2 t a l g

2 7 " '1 % ı

olur,ve asimptotik çözüm

u(r) -oc r

biçimiadedir.lier 3 >O ise,naeak bir kutu içinde boyland ı r ı labilen Oisümler elde

ederil(lidlüm betekitartışmaya bak ı m ı s).

2 ı ı , .- k"211-16)olmak iisere,Osiim e ikr ve e-ikr

'ula bir çisgisel birle ş tirimi olecakt ı r,uygua birle ş -

tir ı m , ş öyle belirlenir; Asimptotik Osilmtin,be ş leaglç nektasinds ~eni' olan gUsUme

baglan ışı aUrekli olmal ı d ı r. ş imdi birkaç örmegi ineelayelim.

A . ü gtir Parça k

braekte V(r)dir,takat gene de merose ıardir.(11-1) lexa-

anl dexiklemJ,

r) 4- k R( ı -

or degigkeeissz tanimlareak,

1 )O

2



41) ( 3 ) =Q(S) + i n a t . i )

ra

42) ( ) = 1 . 4 (3)1 *

Ş imdi de,ilk bi kaç %lkel fonksiyonumu verelim:

_ _ _ 2 L .gÖzellikle qu durumlar ilginçtir:

(a)l aglang ı ç 'soktu' yak ı n ı ndaki davran ı q ı «

1.3.5.. ..(2t + 1)

111) ( S') --L--y, 1 ,

(3)

ia ' (

, .

ı e " . :

S

182 Kus ♦ tu m Fiziki

od ıeria.Gerçı ektom da bu deı klem bas ı t funk ı ı iyealer türüı deı çdzülebilir.ÇdzÜm-

ler küresel Bemsel feakei s ıelara,mlarak bilinmektedir.Düs ı tıll çözüm,

, t ( S ' )-O t

diri ve düzen:de çdzüa,

d3n i g

.t( s t- 1 ( 1 1 - 2 0 )

dir.ilk birkaç foakeiyea açak ı de e ı relanniqt ı r t

t o (= . . .C010

0 ; 3 '

1()aitLos3l(g ) 5 mi_i s . 3 ._

S2()i n s i2 " ' S 'S

İ 1— non°11-21)\ 3 3)"1ftilyük'lar için ilginç olan birleltirimler küresel liar ı kel feakeiyott ları d ı rY

i

_ , . / _ _ _

(11-22)

(11 -23)

(11-24)

(11 -25)

V 2

t için,



1-33)

olur.

',Imsel Deaklea83

ve

(11-26)

olur.(b) s >>1. ı çin ii.,

( 5 )iL

11-27)

ve

at( .E ).. . -J— cop (3 o11-28)

asimptotik ifedeleriai elde aderis.Baylece de,

14 1 ) (

L'-'•---e'/2)

11-29)

olur.Baslaag ı ç mokta ı liı ı da düsenli olan çözüm,

Rt(r)t ( k r )11-30)

dir.(11-27j'ain kullan ı lması ile,bnana asimptotik biçimi için,z(kr_A -R/2) 1

R (r)44 11-31)2ikr

bnlunur.Bmsu bir "gelen" ve bir "gide*" küresel dalganin toplam ı olarak botimleriz.

Bu terimUmfteye Oyla vzrı l ı r.Bir-boiutlu ak ı n ı ' geaelle ş tirilm.yi,

,*(;) © ly(7 )Z ı(;)11-32)

dir.8üyük ı •r'ler için yzln ı sca lgı asel dogrultudrki skı n ı n ilgiaç olduanu dörecetiz.

116ylece,~ aç ı ler ilım ı xiadenümlenni,lan ı gineal eki,

)1)

i. 5 ?

N 1 )(;) Ge

YL,(0,r.

(11-34)

biçiaiudcid bir çözüm için,

(1 5ı .o1235)

diduguadan





d 21 1

a()ER +

dr2

r + ı 2

= o ` 5 , (11-44)

ck

işı nsal Dmklem85

teriminin bulunduğuna dikkat ad:link; bu yüzdenr 2dft alan çarpan ı le çarpı ldı gı sa-

man.bbyle bir ak ı i ş izaal akidaki bagat terim* göre 1/r gibi s ı f ı r* gidar.Ba özelik,

büyük uzakl ı klarda yaln ı zca ı g ı naal .kı yı Üm*mli saymamı zi dogrular.

B. liare,linyu,Bagl ı Durumlar

V( r) =a11-43)

potansiyelini gözönüne alal ı m.Bu durum için ışı naal deaklei.

d 2Rdl4drr(-:.21)

4 , 2 -+E) R = O r < abiçimindedir.E < 0 olan ba ğ l ı durum çözümlarini •ratal ı m.

2 4.30

2

t, 2

yazariz.Ba ş langı ç noktas ı nda düzenli olmas ı gereken ı r

çözümü,

R(r) =

(11-46)

dir.r > e çözümü rn için s ı f ı r olmal ı d ı r.(11-44) denklemlerinden ikincisi küre-

sel Bessel fonksiyonu denkleminin tam ayn ı a ı d ı r,yaln ı zea burada k yerine o< gelmig-

tir.e gibi davranan çözba, ş imdi üstal olarak azalan bir fonksiyon olur; böylece

r > a için

R(r)) (i ok r)11-47)

buluruz.Bu iki çözüm ve türevleri r = a'ds birbirlerine egitlenaelidir.Böylece,

(9)/dY11-48)

)

ko ş ulu bulunur.V0 ve E'yi kapsayan bu denklem çok ka rmagik traasandant bir deuk-

lemdir. e = 0 için,u(r) = rR(r) fonksiyonu kullsuil ı rsa bu dcaklem oldukça basitlagir.- r

dzdagerler, r= a'da A cin Kr ve Dayı e itleyerek elde edilir.Ayr ı nt ı lar,bir

d iz(y)İdg 1ı c <

L (



186onutu!, Fiziki

s s n Kr

rt

Ş ok. 11-2. Çokici bir kar, kuyu için,bagl ı ir durum olduğ unda ( - f m . O),

u(r)R(r) dalga fonkoiyoannun biçimi.

a1l9t ı rma olsrak,okura b ı rak ı lm ış t ı r; birinci ye ikinci ba ğ li durumlarla n(r) ı çin-

sel dalga fomkolyoaunun biçimi. Ş ok.11-2 ve 11-3'te görterilmigtir.

Ke )) .t oldu ğ u çok derin bir potansiyel hali içim,Duak.(11-48)'e dönelim.%

halde danklemia sol yani bai ı itleeir; böyle oldu ğ un uf) 'num s aimptotik biçi-

mimi kullanarak do ğ rulayabiliri2.11esaplame,(1J-48)'in

-4 - t ç c o t

k

*at yan)

11-49)2

biçimini 41114WRA1111 göt terir.8ag yanda,V e bulunmas,vo 1E <( V e ise, t(a . nlis büyük

ton Kr

Şek. 11-3. Çekici bir kare kuyu için hakl ı iki durum olduğunda (-ev. o),

u(r) .24 rR(r) dalga l'onkeirovunun biçimi.% 5 ekilde,yeinx ısca ikinci ba ğ l ı . durumun

dalge fonksiyonu çiuilmiltir.



I şı usal Dazklen87olaae ı ,kotaı jeı t ı fr s ı f ı ra yaxı n olmam:al içarir.Böyleee yakla ş ı k olarak,

)

2

elde

u

(11-50)

olur,burada2 p . V o

211-52)dir; biiyleos ı Bank.(11-50),

[ 3 1 1)/2—1 +(11-53)2 V Ot o c..

verir.Bu yüzden,tün1 1 1 1ar iç/n a l:uyum:un dibinden uzaktaki duzeyler yakla şı k

olarak e ş it •ral ı kl ı d ı r,ve aral ı k

ABp,j2 VG

dir.

Bu konuyla ilgili bir problem üç boyutlu sonsuz kutudur.Buradi

V(r) =0

sa 00

diri ve

2 p.

dersek,r = O'da düzenli olan çdsüm,

R(r)= A i(kr)

olur.Üzdegerler,rida ç ümün s ı f ı r olnas ı ,ko ş uluyl* belirlenir:

(ke) v. O

Birkaç f de ğeri için kükbor ~g ı d ı. siralansa ış tir.

(n-4)

( 1 1 - 5 6 )

(11-57)

2 3.14

.49

.76

.99

.1 8.366•28

.73

.100.429. 42



188 Iaantum Fiziki

Verilen bir L için birinci kökün = 1 ileikinci kökü b = 2 ile,v.b. olarak etiket-

lereek,vee ğerleri için benimeenal ş olan,

S : = O

P ı =1

• : £ F : Z = 3

G : Q = 4

spektroskopik ymaxaxox kullsnı rseki ,düzeyierin ortaya ç ı ktı ğ ı sra,

IS; IY; 1D; 2S; 1P; 2P; 1G; 2D; IR; 3S;...

olur.

Böyle bir sonsuz kutuçinde bulunan nötron ve protonlardan olu ş m u ş bir çe-

kirdek modelini gözönüne alal ı m.Nötronler ve protonler 1/2 spinli pergse ı kler,yani

fermionlar oldul--1ar ı ndan,verilen bir durumda ikiden fazla ubtron ya da proton bulu-

nam ez. P rotouls r ı clii ş liniiyorzak,18 durumunda yaln ı zca iki pruton bulunabilece ğ ini göz-

leriz.Bundan aonraki düzeyde Q = 1 olduğundan üç durum verd ı r,ve bu düzeyi elti

proton doldurur,10 düzeyi için minin olabilen be ş değeri vard ı r( £ = 2 olduğ undan),

böylece bu "kabuğ u" doldurmak için on proton gerekir:Böylece,proton sa y ı la r ı

2,8(= 2+6), 18(= 2+6+10),20(= 18+2). 34( zz 20+14),40,58,68,90,92,106,..., olduğunda,

düzeyler dolmuş olacakt ı r,ve benzer durum nötronlar için de gegerlidir.Çekirdeklerin

gerçek bir incelemesi,proton ve nötronlar ı n maibirli" say ı ları n ı n 2,8,20,26,50,82,

olduğunn;yani gekirdeklerin,kapale kabuklar veren dolmu ş düzeylere 194:141 özel,

nitelikler sergilediklerini giaarrir.Gerçak meibirli" eayllarla bizim ilkel modeli-

=iltica elde edilenler aras ı ndaki fark,spfne ba ğ l ı olan ve düzeyleri bir p a r ç a k a y d ı -

rarak say ı larl yeniden m ı relayan bir ek potansiyel bulunmas ı ndan gelir.Kebuk modeli

tava anlamı yla kuruluree,gekirde ğ in pek çok özeli ğ ini eg ı klar.Aç ı k olmayan ş ey,

de ğ in neden bir kutu içindeki perçaelkler toplulu ğu gibi devrencli ğı d ı r.

C. Fare 1€uyax,Siirekli Çözümler

E > 0 olduğunda,

2- k -59)

1Bn yaz ı m ı n tar ı bsel kökeni.spektrum çizgilerini Sekin),prineipal

(be ı ş ,beş l ı ca) Diffuae (yeygin),.... olarak nitelonselesine ve btxnleran sonradan be-enmeeine dayan ı r.Dn yaz ı n ı n çok anlamı yoktur,faket yerie ş mietir.Buradaki yazma

atom fisi ğ in d a k in d e n degig ı ktir,Atom fisi ğ inin gole eksel yez ı m ı nde . e - de ğeri indim-lere eklendi ğ inden,s ı ralanış

I8,2P,3D,GS,4F,3P,56,4D,611,3S

olarak yezil ı r.



Irs a l D e n k l e m89y a z a z l z . rçözüm o l4n bui .u r uoyon d e uk r ei : f z e n l i v e ı lizengiz 5,9.iimlerinin bir

blrlegtirimi oteck&ktir;

R , , ( r )j (kr) -4- Cri„(kr) W-60)

Oysa r < • ç z i i m i i , d ü z e n l i o l a n

nl(r)=Ait

(Kr)

çözii ı rii olmaildr.brı ceki gibi,rade d.

, / 1 . 4 ( Eo )

2

(11-2)

dR t

r = e'da,

fonksiyonları

nı

n eş

itlenmesiRtrr d4 ( j ) % a g=

k r Bdjt /d sdnt , / e 1 . 5 >( 1 1 - 63)

Le . _ K 0 . r ı 4 3 ) . k o ,

verir,ve buradan C/B oran ı beseplanabilir.Bu oran,(11-42)'de görülen evre koymas ı na

begl ı mabilir.Bunu, ş öyle yapar ı z: (11-60)' ı n,büyük r için

( kr —4

2 eos (kr — B

t

( r ) kr

( ı ı -64)

olan asimptatik biç ı miu.,(11-42) ile kar şı la ş t ı rmak gerekir.(11-42),

co. S ı ı i ı ı Sitkr 2

olarmk yeniden yaz ı k ı raa,

B- d ten o t k k „ , (11-65)

bağı nt ı s ı n ı n aağ landiğ ı örülür>

C/13'nin (11-63)'ten gerçek hesabı , t a o d ışı nda ueend ı r ı cad ı r.Ba ğ l ı durum

probIeminde oldu ğ u gibi,u(r) s rR(r)inin kullan ı lmas ı hesab ı büyük ölçüde kolayla ş -

t ı r ı r.tau So için bir ifade elde etmek,yein ı zca A sin Krenin r >a a'da b san kr

coz kr'ye e ş itlenmesine gerektir ı r.Bu halin sonuçlar ı Ş ek.11.4 ve 11.5'te ş ema ola-

rak izilmi ş tir.Bu ş ekiller,çekici potaneiyelin dalga fonkeiyonunu içe çekme a ğ ilimin-

de,itici petanaiyelin i ı e d ış a itme e ğ iliminde oldu ğ unu gösterir.Bölüm 24 'te çarp ışma

kuram ı n], tart ış ı rken bu konulara dönece ğ iz.

Bu bölümü bitirmeden önee,özgür parçac ı k deuklemini iki yoldan çözerek elde

edeb4lece ğ imiz önemli bir bag ı nti üzerinde duraca ğı z.Çözümlerin biri iç ı n,ayr ı lm ış



190 lı nentum Fizi ğ l

Şok. 11-4. Çekici potaneiyel içiu,u(rli(r) atirekli çözümü (O).

elen (11-30) Oiiimlerinin uygun Y , t a (0, 95) küresel bermoniklari ile çarp ı mlar ı nin

bir üstüste gelmesi olarak,

t

o Z. a (kr) Y k t t (0,11-66)

bulunur.

( + k2)1 1-67 )

biçimindeki jizglir parçac ı k denklemiuin iSbür Ozilmünde eç ı eal ve ı sinaal kis ı mler ey-

rilmemı qtı r; bu ozfia

sf•

ic•re

şok. 11-3. itici Twf~y-4t/ iç1n,u(r)v, rk(r) ei1rekli çöziimb ( k



Nies*: Bonklaw91diielr deigesid ı r.Bu yüzden, d asyi (13-66)°da, ! } (7) g aaearak bul bi-

..(0, (p) kürestal aç ı lar ı , c voktorunül latokeel oloxnk seçi/wi ş bir a ekaenine

gör. koerdis atla ı d ı r(»kt. Ş ek. 9.1). a ekaeoinia cla ğ rnitusuou,k'no dagraltuau ola-

rak tanimlaroae ( ş imdiye kadar iatekael bir degrultuydu),

e Jcru,s11-69)

alur.Baylece,(11-66) 1 nin sol yan ı ) 2 1 ( ba ş ucu aç ı a ı na ba ğı lmaz,ve bu yüzden ea ğ yan-

da yaln ı z al s. 0 olan tar iteler görünabilir.Bbylece,P , e (ona Q)"lar Legendro çokterinli-

leri olmak üzere,

2t + ı )1 /2

oldu ğ unu kullan ı raak,

10 (

0 ,95) —4 1 4

( coe 0)

£kr c4rye

2 t +

411(kr) /:t(caz 0)11-71)

ba ğ zat ı o ı n ı elde ederio.Ylerin_dikeyboyluluk ba ğı nt ı s ı n ı n ve (11-70) t in doğ rudan

bir sonucu olan,

-----(coe, 0) P (cam 0) P

2

4

05 0) 5 E

21+ 1

(11-72)

bagintla ı n ı kullanarak,

it(kr)*° 2 t.41( (2 t-1-1) . 1 1/2/ePt (z) eikrz11-73)

—4

bu urnz.Tü mlev için,bir çizolgeye bak ı labilir; ya da tümlov,kr -> 0 limitinde iki ya-

n ı karşı la ş t ı rarak bezeplanabiliralar iki durum da,00nuç olarak

Lkr (4%9(2t + 1) i S. (kr) P. (elko 0)11-74)

t=C,

•açxl ı m ı n ı verir; bu sçxl ı m,çarp ış ma kuram ı n ı n tart ı g ı lmaa ı nda çok yararl ı olacakt ı r.

Problemler

1. Çekici bir kare kuyu için,ba ğ l ı durumlar ı n ı gözönüne altntz.Bagl ı

bir durum için hzdeger ko ş uluna bnluauz.Ancak bakla olan bir durun için potansiyelin

derinli ğ i ne kadard ı r?

2 . Döteromun (e ş it kütleli bir nötron ve bir protondan elu ş lan),bir t= 0

bağ l ı durumu eldugunn,ve potaasiyelin kare biçimli olduğunu ~Beyiniz; poteasiyelin



192uentum Fiti ğ i

eri ş iair s 2.3 z 10-13 en elsua.Baglanma enerjisi —2.8 MeV olarak veriliyor,potansi-

yelim deriali ğ iai bulunur.

( 1 p u e u : Problem l'de tart ışı lan sifır ba

ğlaama anejisi durumu çevresinde açil

ım yap

ı

-

3. Nötron-peotea waç ı lmae ı nı gösöaih e

ötron protoa etkile ş m o ı dain,eri-

ş iai 2.8 x 10-13 em vo derinli ğ i 20 Mal( olan bir kere kuyu poteasiyali arac ı l ığı il. o-i

duguau versayı nı s. t = 0 için çok düş ük •nerjilerdeki evre kaymasla ı enerjinin bir

foaksiyoau olarak hesaplay ı nı z.

4. Bir karo kuyu potansiyeli için 1arra kayma ılial hool playı n ı z.Deak.

(11-65)'toı n sonra üzetlenai ş olma i ş lemi kullanarak,çokici ve itici p ısteasiyel

sinir ikisi için de besaplay ı alb.15'nia büyük ve küçük,Ve ' ı n büyük ve küçük elaaml gibi:

çeşitli limtleri tart

ışı

als.5. isteksaleri ş iadeva • deriali ğ indeki bir kare kuyu için t -= 0 saç ı lmas ı nda

evre kaymas ı nin her zaman,

k cot k , = —# 4 ret k2/2 4-0(k4 )

gibi bir acı l ı » olarak yaz ı labilece ğ ini glisterinir.a vo r•tiçin knyuaua parametrele-

ri türünden bir ifadei elde ediniz.

6 r > a'da s f ı r olan istekeel biçimli bir potansiyeli göz önüne al ı niz.Pa-

taasiyel içindeki i şı asal foaksiyoaun

R

R(r)

= f

dr

R)

1

r ı z ı n logaritaik türevi, ımerjinin yavaş değ i ş en bir feaksiyoau

= 0 olduğunu düş ti-

»ürün.

(a ) Petaasiyf liaaerjili bir ba ğ l ı durumu varsa,f0 (1 3,)'ais dağ oMi nedir? (b ) fo (R),Wden bağı ms ı saa,ffimerjiain bir feaksiyaau olarak euro kaymas ı me elimi

(e) Zğer fo(15)= fo (1 1 1 3 ) k (B.1B )fc: fas,f; *yr* !cayman'''s nas ı l girer?

iare kayma.' yerine,(b) ve (c)'yi k cot 6 0 (k) türünden hesaplamak daha basittir,va

aoauçlar ı n ı n ı göstermek bak ı m ı ndan yeğ lonabilir bir yoldur.

7. yklaı ı ,aeden k'a ı n bir tek fanksiy ı sau alacağ i ksausunda genel bir us-

lamlama voriaiz.Kare kuyu için de böyle .1(14~ de ğ rulaylaı s [örne ğ in (11-65) 1 i

kullaaaraki .8, (k), (11-41)'do tan ı alandığ la ı gör*,

St

(—k) a ı St

( k )

olduguau gösterinin.

8. S., (k) faakaiyaauau,

r < a(r) = oo

V(r) = 0> a

biçimindeki bir potansiyel için hesaplayin ı z. t = 0 ser* kaymaala ı gösöaüne alimin.

Bu emri kapsaml ı çak küçük ka için aedirnek büyük ka için nedirUlu potanaiyolin,için

alzı lamayas bir küre için bir model elduguaa dikkat ediniz.



I ş aaal Denklem93

9. (11-63) çözümü ile birlikte,küreoal Bessel fankaiyealar ı m ı n (11-25) ve

(11-26)'da vorilea,ba ş lang ı ç noktası yakiaı ndaki değerlerini kullanarak,k -e 0 için

ten 54‹(k) -- .1 › 0 olacağ ı nı österiaiz.Verilen bir ' t içia,bu hangi hı zla s ı f ı r* yakla-

'exr?

10.

r* 2

- )/a ...2 e

-(r-ra),İc V(r)o i , L

patasolyeli içi* (Mors• potaaaiyeli alarak bilinen) - e = 0 ı s ı noal deaklemiai gözönüne

allaix.Diferansiyel denklemi basitlestirerek,onerji hzde ğ erlerini bulunuz,Bunu yapmak

içix,yen bir x Ca-rıc 4 de

ği

şkeni tan

ımlayarak,buradaki Cevi denklemi olabildi

ğiace

kolaylaş tı racak biçimde seçinix; sonra da danklemi,Böldm 5rde incelenen basit harmanik

sallağ an plenblemiadeki yolla i ş leyiaı z.

Potansiyeli giziniz.Derin ve geni ş bir potansiyel için,potaneiyelia dibinde asa-

nam bağ l ı durumlar ı n bir harmonik sal ı nganı n bağ l ı durumlar ı na yaklaş tığ ı nı gösteriniz

ve bukuwinedenini aç ı klayı alz.

Kaynaklar.

Kuantum meksai ğ ı çarçevasindeki ikinci basamaktan diferansiyel deaklemleria genel öze-

likleri ş u kitapta tartışı lm ı stı rs

j.L.Pawell sad B.Craaemaaft,Slu ntum Machaaies,Addison-Weslay ,Inc.,1961.

Böyle deaklemleria daba geni ş bir tart ış mas ı ise ş u kitapta bulunabilir:

P.M.Morae and H.Peabbach,Notbods ef Thearetical pl ı yaice,McGraw-Hill Benk Co.,

h c"1953.



Bölüm 12

llidrojen •tonu

fildrojen atmeu en basit stondur,çünkü yaln ı zca bir elektronu ♦ ard ı r.BOylece

Schrödinger denkleni,kütle merkezi hareketi ayr ı ld ı ktan sonra bir bir-parçac ı k denk-

lemi olur.Burada yaln ı zca bir elektronu bulunan hidrojenimei atmalar ı inceleyece ğ iz,

fakat çekirde ğ in bir tek protonden daha karma şı k olmas ı na izin verece ğ iz.Böylece po-

tansiyel,

Ze2

V(r)=

r

olur; ve ışı nsal Schrödinger denklemi,

d 2 2 f t ı. 2(t+ 1 412( 2— -O- — --) R + ------ t . R +

, , ı dr rl. ı ı r

verir.Ba ğ l ı durnnler,yeni E <0 çözümleri üzerinde duraca ğı z.Bir

ı s i r2814 I,2

de ğ i ş ken de ğ i ş tirnesi yapmak uygundur.° zaman denklem,

d 21 1 RI / + 1) -----7- +- ----2R 4- (--- --)R ma 0d gI l i ;

Y verir; burada

Ze2/2 1/2( N 2o(E1011 (12-1)

(12-2)

(12-3)

(12-4)

(12-5)

boyntauk parametresini tan ı nlad ı k.Denklemin ikinci biçimi hesab ı koleylo ş t ı r ı r; çün-

kü ak= 1/137'dir,ve enerji durgun kütle birinlericinsinden

birlikte,birinci biçim,c ışı k h ı z ı n ı n gerçekten denkleade görünnedi ğ ini,yani bu denk-

lemin tam olarak göresiz bir denklen oldu ğunu aç ı kça gösterir.

19 5



7 % -- 1 -- PH= O

dil

-1)

K eantum Fiai ğ i

(12-4) d e u kl e m ini, a rt ı k a l i a t ı g . ı miz b2:r yolla çtll , ı , y e çalzaliciAuee bnynk

5 d a v r a e l : , , l ui ç i k a r n l i m . B ü y n k 5 i ç i n d e n k l e m d e k a l a n t e r i m i e r ,

d S0 (12-6)

d 5 . -AZ( ) I r ; ve aennuzdaki davrani ş i uygun uyan ç d z n ı l R edi Alarmonik salingan ince-

lememizdeki gibi,

R ( 9 ) = 2 -

( y)12-7)

yazalira; bnnu (12-4)'te yerine "yarek,(;(y ) için bir denklem elde adoriz.Burada

y e n i d e n v e r m e y e e eği m i z b i r a z e e b i r l e ,

r . e ( e . 4 . 1 )o1 2 _ 8 )!?denklemi bulunnr,§1mdi G(9 için,

G (1 Z Cin S > r'12-9)

ı ta.0

biçimli%kn e serisi aç i ı m ı n ı yapal ı m.11(y )'nun,ve dolay ı altla li(9)nun ba-

langiç noktas ı ndagibi davrand ığ ı ,Bel ı im 11'in başı nda (11-2)'yi sağ layan tUm

pot ansiyell er için giiaterilmi ş ti•(12-9),diferansiyel denialeade yerine konures,çe ş it-

l i c i L ; katsay ı lerı arasnda bir beğ int ı bulu ı ruz.indirgeme bağ ı ntis ı n d if e r snsiy el

denklemden elde edilir: (12-8)'de,G(y ) = "t11(g) yamı l ı rsa,

me

1 1 (Y) L,,S nn=o

a ç ı l ı mi

d2

H2 +2

± kd 5

diferansiyel denklemiui sa ğ ler.Buradan

d G

d y 2—sı

nctogn_i) +

k' O (12-12)

ya da

a o

n+1) [n- ( 2 . , + 2 ) 0 . , , , ÷ 1 1 4- (A v ı ,so

buluruz.Bu bagxnt ı n ı a Izer teriminin s ı f ı r olması gerektiinden



Ridrojen Atomu97

(12-13)Cı.,r. 41)(n -4-• 2 ,/÷2)

indirgenme bag ı nt ı arn ı elde ederiz.Buyük n için bu Oran,

.n+1(12-14)

olur,ve harmonik er:ling:nı probleminde oldu ğ u gibi,(12-9) serisi sonlu olmed ı kça,son-

euzda iyi davranan bir R(y) çözümü bulamayız.Buna göreverilen bir / içinbir n = ur

erinde,

nr1elmal ı dı r.ş i ındi,n baş kuantum sayı s ı n ı

ns nrL1

olarak tan ı telayal ı m.n zatean,nr > 4 oldu ğ undan ş u sonuçlar ç ı kar:

1. n >} I dir.

2. n bir tamsay ı d ı r.

3 . n beğı nt ı s ı ,1Z«)

2

E i m. e 222 (12-15)

(12-16)

(12-17)

olmas ı n ı içerir; Bl,eski Bobr modelinin al ı ş ı lmış bir aonnendur.Bu ifadede indirgen-

mi ş kütlenin bulunduğuna dikkat ediniz; ku ş kusuz,diferenaiyel denklem yakla şı m ı nda

böyle olması garip de ğ ildir.Eaki Bobr kuramı nda,klasik yerüngelerin uygun bir ineele-

mesi,sonradan açlsal momentumun kuentumlanma koş uluyla kı n ı tlanffil ş t r; bu incelemede

de,enerji formülünde indirgenmi ş kütlenin kullan ı lmael gerekmi ş tir.m elektron kütlesi

ve M çekirde ğ in kütlesi olmak üzere,

m M

(12-18)

es + M

indirgenmi ş kütlesinin varl ı ğ ı u anlama gelir:

E. — B.e 2 /2411

= ( Z e<i

İ + m/M

)12-19 )

J

2

frekensler ı ,çe ş itli bidrojenimei atomlarda atomdan atoma biraz de ğ i ş ik olur.Ozellik-

le,bidrojen ve döteryum-edöter"mde,M• çekirdek. kütlesi proton kütbeainin iki •katı na



198 kuant,n't Yi

Ş ek. 12-1. Tam olarak l/r biçiminde olmayan bir potansiyel için,yörüngeler birbiri

üzerine kapanmaz ve burada gösterildi ğ i gibi egirilir.Potansiyel la ı nsal oldukça,

yörüngeler dözlemsel kal ı r.

çok yak ı nd ı r--apakt ı romları •reeı n da ı ki fark, 1932 'de Urey ve çal ışma arkadaalar ı n ı n

döteryumu bulmalar ı na yol açmış t ı '.

Enerji t 'ye bağ l ı değ ildir,yeni verilen bir n için /4-1 Ç n olan tüm

durumlar ı n enerjileri katmerlid-ir.I şı nsa-1 denklem m'ye ba ğ l ı olmailıgı ndan,verilen

bir . t için enerji durumlar ı nda (2 , t 4- 1) katl ı bir katmerlilik olmas ı n ı bekliyor-

duk; burada ise, ı ş ı nsal denklemin ,t'ye bağ l ı olmas ı na karşı n ek bir katmerlilik

bulduk.Biçbir aç ı k nedeni olmad ı gı ndan,böyle bir katmerlilige önceleri nraslant ı -

sel" denmi ş tir.Fakait bu,"aç ı kl ı k'tan ne •nlaşı ldığ ı na bagl ı dı r.Z ı ten l/r potansi-

yelinin baz ı özel yanlar ı olduğu klasik mekamikten bilinir: Yörüngeler,e ğ irilen yö-

rüngeler biçiminde ( Şek.12-1) olmak yebine,uzaydaki yönelimini koruyan elipalerden

oluş ur.Potansiyeldeki utak bir de ğ i ş iklik bir eğ irilmeye neden olur.flöyle de ğ i ş ik-

likler çe ş itli kaynaklardan gelebilir,örnlığ in,Kepler probleminde ba ş ka gezegenler-

den ileri gelen tedirgenmeler.Herkür'iin gezegensel yörüngesi incelenirken,öbür ge-

zegenlerin etkilerinin göz önüne al ı nmaelyla,Merkür'ün yörüngesinin güne ş e en ya-

k ı n noktas ı nı n yüzyı l başı na 42" 'lik bir e ğ irilmesinin hesaba kat ı bmad ı gı bulun-

mustu.Ve bu,sonunda Einsteinin ı n genel görelik kuramı ile açklanmış tı ; bu kursa,

l/r Nevton patenziyeline 1/r 2 potansiyelinin tem katk ı s ı nı n eklenece ğ ini öngörür.

guantum mekani ğ inde de tedirgenmeler vard ı r; bu yüzden - tatmerlili ğ i

1K u ş kusuz,spektrnm çiegilerinde göreli olaylardan ve elektron spininin var-

l ığ ı ndan doğan ba ş ka kaymalar da vard ı r.Bunlar daha sonra tart ışı lacakt ı r.



k«k + 1) (k + 21 + 2)a2 .(12-21)

mieeli ğ i kı illanilm ı ş tirt

Z3/2 ...

H 1D (r ) Z. 2 a t a j

llidr ojen Atomu 1 9 9

asl ı nda 1071endigi gibi degildir.Gene de,ilk yakla şı kl ı kta v e r i l e n b i r n i ç i n . t 'nin

olabilen de ğerleri= olur,ve bunl a r ı n herbiri için (2 .Q 4. 1) -katl ı

katmerlilLk vardır.Böylece toplam katmerlilik say

ıs

ı,

I2i+ 1) = n212-20)

twO

d i r . D a b a kesin konngu r esk,apini nedeniyl e el ekt ron için ol abil en iki du rum oldu ğ un-

dan,do ğ ru katm erlilik s ay ı s ı a sl ı n d a 2 n 2 'dir.

Ş i m d i d i f e r a n s i y e l d e n k l e m e d ö n e l i m : 0 2-13) i n d i r g e m e b a ğı nt ı s ı nda, a l ı n ı r sa

k 4.../4-1—n

olur,ve

kata k

n—k + . . Q 4 - 1 )

(k + 1)(k 4- 2.t -I- 2

-Ş - 1)

n - (k 4..e )

k(k+ 2t+ 1)(12-22)

1 .(21+ 2)

oldu ğ unu bulyru z.Bu denkl e m ya r d ı m ı yla,H( g ) i ç i n k u v v e t s e r i s i e ç ı l ı m ı n ı e l d e e d e -

biliriz.B ş d e ğ er olarak da,a(ii )'nun d e n k l e m i n i n ba ğl ı Leguerre ç o k t e r i m l i l e r i n i n

denkl em i oldu ğ unu' gözlerizt

(2( ÷i)) x Ln _ t _ 4 (12-23)

M a t em etiko e l Y a z I n d a , bu gokte r iml il e r i n ç i z e l g e s i v e çeQitli ö z e l i k l e r i b u lu n a -

bilir2

.

Ye n i d e n r ışı ns al koordina t ı n a d ö n ölür v e boy an d ı rm a yap ı ll r ee,ilk birka ç

zeins al fonksiyon hes apl anabilir .hu nl er a ş a ğ ı d a s ı r e l a u m ı ş t ı r . R n i(r)'lerin A ş a ğı -

daki ç i z e lg esin d e,

c l o =12-24)ti.0o f .

(r) z

2 ok c ,

3/2 Zr — Z ı-/2

20,0

2 Sen d e r e c e y a r a r l ı bir kit ap: M-Abr amowit z and I .A .St egun (eda .),

llsodbook of Mathem at ic al Ponetione,Nationa/ Bureau of Sta n d a r d s Publiestion,1964.



R ,(-32 0,, )Zrr200 Knantum Fiziki

2— 3/2( Z /Zr(Zr) 2 7

2 ı

- 3 0 „

3 o..o..7 a,

4 V( 2 /2 ZrrZr/3 0 .1 - a.0..

2 V( -1 İ Z/2 ( Zr )2 - Zr ı 3 c 4 .03 .) ( r) -- -- (-7 12-5)

3.A ş a ğı daki nitel ozelikler özçözümlerin örnek olarak denenmesinden ortaya

ç ı km ış t ı r :

(a) Küçük r için 1. 1 davran ı q ı ,dalga fonksiyonunu -I ile artan bir yar ı çap

eri ş imindeküçük kalmaya zorlar.Bu davran ış ,elektronlar ı n çekirde ğ e yaklasmas ı n ı ön-

leyen itici merkezkaç engelin bir sonucudur.

(b) İ ndirgenme ba ğı nt ı s ı ,R(1)'nunr'inci dereceden bir çokterim-li oldu ğ unu,ve böylece I ş im:sel do ğ rultuda nr

tane dü ğ ümü(alf ı rlar ı ) oldu ğ unu gönte-

r i r

Kr)2 {R,İ i(r-)] 2

12-26 )

olası

lık yo

ğ

unluğ

u dağı

lı

mı

nda n --t tane mtü mnek" olacaktı

r. Verilen bir n için,kendisinin I zz n-en büyük de ğ erindeyken,yalniz bir tümeek yard ı r.(12-25) 1 -

in abyledi ğ i ve diferanaiyel denklemin çözümü nden görülebilece ğ i gibi,

n-1 - 2 7 ' 1 -A.m(12-27)r) OC r - zz r .,/,,,.. r ı

olur.Du yüzden P(r) ce r 2n elas ı l ığ ı ,r'nin

dP(r)n-17n )e-22r a " = Odr12-28)

denklemiyle belirlenen,2

n a. or .--: —12-29)Z

de ğerinde tepe yereeektir,Bu r de ğ eri,dairesel yörüngeler için Bohr atomu de ğ eridir.

t 'nin daha küçük de ğ erleripolas ı l ı k de ğı l ı m ı nda daha çok tümeek verir.Bunlar ı n,b*-

yük kuantum say ı lar ı s ı n ı r ı ndaki eliptik yörüngelere kar ş ı l ı k geldi ğ i gösterilebilir.

(c) Blektronuoba ş lang ı ç noktas ı ndan bir r uzakl ığı ndabulunma olas ı l ığ ı n ı g ö s . . .

'en P(r) ' ş inasi olas ı l ı k yo ğunluğunun gisimlari lgalga fonksiyonlar ı nın yard ımıyla yap ılabilir.

Ş ek.12-2 genel deseni gösterir.Dalga fonksiyonunun da aç ı sal bir parçal ı ı oldu ğ un u

an ı msamally ı a,bn k ı sm ı n mutlak karesi P i n (coscos o) ba ğ l ı Legendre

fonksiyonlar ı n ı n çizimleri Ş ek.12.3'te verilmistir.m ar tt ı kça,olas ı l ı k yo ğunlu ğ unun

3



rR(r)

A r O2

L;r,mi

1 ,t4er, r

— rRtt),,(e - Rfr)T

R +. 1

.?• o

ta)

(r-12 rl

o .

o . 6,r1

ı o r(rRI.r))1o

IL)

(r-RW)j z

Ş e k. 1 2-2 . n = 1,2,3,4 d e ğ e r l e r i y e 4 . ' n i n ol a b i l e n d e ğ e r l e r i i ç i n u ( r )= r R ( r )

l şı n s a l d a l g a f on k s i y on l a r ı ve u2 (r ) ışı n s a l o l a s ı l ı k yo ğ unlu ğu fonksiyonu. Sol-

d a k i o r d i n a t u (r )'y ı ye sağ daki o r d i n a t u 2 (r)'yi ö l çm e kt e d ir .D alg a fonksiyonl a r ı

s ü r e k l i v e o l a s ı l ı k yo ğunluklari kesikli ç i z g i l e r l e v e r i l m i ş tir.Apsis r'yi %bi-

r imle r i c i n si n d e n ö l ç m e kt e d i r .

201



-0.4

r Ikt r'3(‘\ ;:;

-o-

0-0.z

E l

0.2

0.1

-0.3

(r-R(r))"

R Z

(c)

(r. R1r)) 1

r R.l..).30.2

0,3.

ı ' r J

1% .

0.10

O

İ .iirZinebzn r-0- 1

r42(r)L C.(r R ( r - ) ) 2

(d )

202 Kuantum Fizlgi

r

Ş ek. 12-2.'nin devamı

e-eksen/nden ekvator düzlemine do ğ ru kayd ı gı ö r ü l ü r .mi = tld u ğ u z a m a n ,

D e n k .(10-55)'ten g ö r üleb i ld iğ

i g ib i llY(oos 0)1 2 e si6 21 6 olur.bu fonksiyonB = IT/2'de bir tepe verir. -t arttı kça,tepenin geni ş liğ inin t .i b i a z a l d i ğ i

gösterilebilir; ve böylece büyük kunntum say ı lar ı ?, için,düzlemsel y ö r ü n g e l e r i n

k l a s i k g ö r ü n ü l ö n ü e l d e ederiz.Tepenin noulu geni ş liğ i,asağ ı daki d ü ş ü n c e l e r d e n an-

las ı l ab i l i r .ld u ğ u n d a L 2 = t'dir ve sonuç olarak L x 2 + L 2 ==t olur.Y

Böylece aç ı sal m om e n t u m v e k t ö r ü h i ç b i r z a m a n t a m o l a r a k b i r e k s e n b o y un c a y ö n e l e -

maz,Fakat,m'nin katmerlili ğ i 'yörünge"yi ba ş ka bir eksene göre yöneltmemize izin

verir; bu yüzdenpasl ı nda seçilmi ş bir z-ekseni yoktur.bylece Lxiin özdeerli

b i r b x du r umn ola n b i r durun, . a - ıldkrultubund ı r y o n e l t i l e b i l l r . B u d u r u m i ç i n , d a l g a



0.

r-

(r Rir)) 2

n 3N ,

ı ,

og s

0.03

iı s r;rn

r- R(r):;ci .' ncş en r

.ftfrlr

^ 3, t .1

(e)

( f >

-09

Ş ek. 12-2. ° Din devam ı

203



t 4 " K i n f i e n r

Ş ok. 12-2.inin d eva m ı

204



— O O Bn 40.07

J-04:7

.1. oo3 .\,..o.oz

'...,0 1ı .birimi''''. 301 , - . . r . : z n d t n r

rRt,-)

( J )

rR

Ş ek. 1 2 - 2 . i n i n d e v a m ı

0_04

205



(e)

- - - . 4 - - . -

x

vz± " , ( e >

-pii2co)

p2 t. 2 (e)

206 Kuantr.m Fizii

Ş ek. 12-3. z-ekseni ile ekvator düzlemi aras ı ndaki 8 aç ı elnı n bir fonksiyonu ola-

rak,bakl ı ege:1(1re çokterimlilerinin biçimleri; burada ekvator düzlemi x-ekseni

ile gheterilmizt ı r .

fonksiyonu Y G,(8,0)'lerin bir Ozgisel birleltirimi olaeaktı r,fakat katmerlilik

nedeniyle enerji z'ye göre yönelen yörüngelerinkiyle ayn ı olacakt ı r.

(d) Dalga fonksiyonlar ı verilmizae,

o o

-ı r k z.4 f dr r 2 4 - k [ l I n t (r)J 21230)o

n ı eeligini besaplayabiliriz.Yarerl ı birkaç beklenen de ğer aş a ğı da verilmiztir:

0 .0<r)v.-

2ZI)]



no

2Z

2 2ckonr -

L 5n +1 - 3 ( i t + 1)]22'

Ilidrojen Atomu 207

(12-31)

P r ob lemle r

1 . ( 1 ) Bi d r o j e n d e k i , ( 2 ) d ö t e r y u m d a k i( ç e k i r d e k s e l k ü t l e = 2 X p r o to n k ü t l e s i),

(3) poz it ronyum d aki(bir e l e kt ronl a,küt l e s i bir e l e kt ron küt l e s inin ayn ı o l a n b i r p o -

z it ronun b a ğ l ı durumu) 2P -o IS geçi ş l e r i n i n d a l g a b oy l a r ı n ı kerolle ş t ı rı n ı z.

2.Çekirdeği bir proton ve iki elektrenelsw0lu şan trityumun taban durumunda bir

elektr ım ol m ı n S e B i r ç e k i r d e k t e p k i m e s i b i r d e n b i r e ç e k i r d e ğ i t i k i p r o t on v e b i r n ö t r o n d a n

ol u ş a n He 3 ' e döntiotörüyor.Clektronun I1e 3 . 1 i n t a b a n du r umun d a k a lm a s ı o l a s ı l ığı n ı be-

eaplay ı n ı z.lib ktronnn p mome ntum lu ö z gü r bir e l e kt r o ° olmas ı o l a s ı l ığı n e d i r ?

N o t: d z g ü r b i r e l e k t r o n u n m o me n t u m ö z io n k e i y o nu 17 ) -3/2'di

3 . S ı f ı r e p i n l i b i r e l e k t r c n i ç i n , Se h r o d i n ge r d e n k l e m i n i n g ö r e l i b e n z e r i ( b u

g e r ç e k b i r e l e k t r o n a u y g u la n a m a z ) ,

(E — V) 22e 2n 2c4

d e n k l e m i n i n io l e m e l e n l a t ı m ı ola n,

Ee 2 +le4 e

d e n k lemi d i r .

(a) Io ı n s a l d e n k lemi b ulunu z .

(b) Ilid rojen atomu problemind eki ı ş i n s a l d e n k l e m i l e ( e ) 'd a e l d e e d i l e n ışı n-

s e l d e n k l e m a r a s ı n d a k i y a k ı n ba ğ lant ı y ı g ö z ö n ü n d e t u ta r a k , ö a d e ğ e r sp e kt ru mu nu bu lu-

m

4, <1/r> n C n i n d e y i m i n i k u l l a n a r a k , l a t e k s e l b i r h i d r oj e n a t om u b z d u r u m u

i çin(Z isteksel), < T > , ı ,A

2m

d e y i m i n i b e s u p l a y ı n ı z . k u p o ta n s i y e l i ç i n g e n e l o l a r a k ,

olduğunu gösteriniz.Bu,Viriel t e o r e m ı n i n ö z e l b i r ö r n e ğ i d i r .



20 8 K u a n t u m . F i z i 4 i

5. Bir protonun Coulomb alan ı içindeki bir elektron,

ı r _6 1 4 Y100“ ) + 3 41 j2 ı 1 (.)210(I)r ; - e - ) N)21-1 (1)3

dalga fonksiyonu ile betimlenen bir durumdad ı r.

(a) Bnerjinin beklenen de ğ eri nedir?

(b) 1 , 2 'nin beklenen de ğ eri nedir?

(o) L a tnin beklenen de ğ eri nedir?

6. Bir protonun Coulomb alan ı içindeki bir elektron,

(?-)o < )3/2-c.(2-r/2

dalga fonksiyonu ile betimlenen bir durumdadlr.Blektronun,hidrojen atomunun taban

durumunda bulunabilmesi olas ı l ığı nedir?

7 . Bir elektron,bidrojen atomunun n = 2, -t =1, m = 0 durumundadı r.Blektre-

nun momentum uzey ı ndaki dalga fonksiyonu nedir?

8. f(;,;)•nin herhangi bir durmkl ı durumdaki beklenen de ğ eri bir sabitt r.

Bir

2,p İ 2m V(r)

Ramiltonien'i için4 O.p>=— <111,7.;»dt oldu ğ unu hesaplayin ı s,re

> =Cr'. V(r)>

oldu ğ unu gösteriniz.Bnnu kullanarak Problem 4'deki sonucu kurunuz.

9 . Ru bölümde geliçtirilmill olan tekni ğ i kullanarak,

-.2PR =nnr 2

2m

olan üç boyutlu harmonik eal ı ngan problemini tartxqin ı s.Ba ğ l ı Lague re çokterimli-

lerinin bu problemde de ortaya ç ı ktı ğ ı na dikkat ediniz,

Kaynaklar

Ridrojenimsi sı tonlar ı n tam bir tarti ş mas ı çu kitapta bulunabilirs

B.U.Condon and G.8.8hortley,The Theory of Atorxia Spectre,Cambridge

Unirersity Prean,Cambrid ğ e,1959.

Ayr ı ca bu problem,her kuantum mekent ğ i kitab ı nda tart ışı l ı r .





21i>izi ğ i

E va B alanlari, c k ve Ay ı tek alarak belirlemezler:

i'(r,t) = Ar,t) 251(;,t)

< /> / ( 7 , t )i 3 ( = .% -t)-+-7)*:)t

ile verilen yeni potansiyellerin dm,ayn ıs 11 alanla rini verdi ğ i kolayca

) kiimesindan (.4.;,CP)'ye olay d i n i i i s i i m bir ayar döniieiimii olarak bili-

nir,ve E ve W ı l ı n d e g i s m e z l i ğ i iste ksel f(i°,t) fonksiyonunu en uygun b i ç i m d e s e ç -

m e m i z e i z i n v e r i r .

;',imdi,(13-3) ve (13-4) kayna ğ a-ba ğ l ı ,

Vzi > ( 7 , t) — nv e_ . . . . ;:(i..,t)9 ` x ( V x A) + - - - 7 ; - -

-d t 2

Aoıkli ı m giftizi verir; ikinci Aonklem,

2. .

— ç i j ı l '( 1 " , t ) 4-1

i(r,t). ( - .+V V. Ae2t2

,t'

—7 4 >

?-t r,t)A 'tei

c

(13-9)

alarak

ıevillanı Ii-r.Yrik dağ ı l ı m ı durgun iseyani j (r) zamandan ba ğ ı meizyari

f:*(,, t).13-10)

o la c a k b i ç i m d e seçmek uygundur.f(i,t) i nin bu seçimine Coulomb ayar ı adx verilir.

Y ; ı 1 halde,

— V:0( " T r . 3 (i!)13-11)e l d e e d e r i z , ya n i zamandan ba ğı m s ı z s k a l e r bir potansiyelimiz olcr,ve öylece

)°nin d e n k lemi

- C7 Ai,t) +-2: (13-12)e

L r2

b i ç imi n i a l ı r .

Vik dağı l ı m ı durgun olmad ığ ı zaman,Lorentz a y a r ı d e n e n ,

V . A ( 1 " , t ) - l -(7:st) — o13-13)e ayar ı n ı Çtaok daha uyglı ndur.Bn,vekthr potansiyelin denklem ni ayn ı i r a k ı r i f a k a t

iimdi . skaler potansiyel de bir dalga d e n k lemi aağ lar.Önemii bir teknik n o kt a,

(13-9)'un elde edilmesinde kullan ı lan

V X(VXA)=—

zA7(7. A )

? 12 -1 .9:(; , t)



E lekt ronle r ı n El e kt rom any e t ı k Alan ll.e Etkile ş meai 211

baiOnt ı s ı n ı n y a ln ı z c a k a r t e z i ye n boordinatlarda g e ç e r l i olmns ı dir.Biiyieee ba ğı ut . da

g ö r ü n e n7 '3 '1(i%t),x,y v e z t ü r ü n d e n h e a s p l a u m a l ı d ı r .

kütlesi r. alan naktssel b i r e l e k t r o n un b i r e l e k t r o ma n y e t i k f i l a n ile etkile ş -memini betimleyen denklem klasik Lor e nt z kueveti d e n k lemi d i r :

x ; ( ; , t ) ]13-14)

Alanlar olmad ığı zaman,elektronun klasik Ham iltonie n'i

op . -

13-15)

d ü r;bu Bum iltonie n 'd e ,

ep 7- A(r,t) (13-16)

d esi yapı l ı ve-e0(i- ) po t a n s i y e l i e k l e n i r s ez d u r g u n a k a l e r p o t a n s i ye l -l e r l e ç a l ış a c a ğ ı z ),

R2. (. ] 3-17)1 4

bulnnor. ş im d i,(13-] 4)'ün b u y a n i li a m iltoni e n' d e n e l d e e d i l e c e gini ileri sUruyoruz.Bil

sa y ı n k a n ı tla nm a s ı n i b i r a l l ş t ı r m a o l a r a k okura b ı r a k ı yoruz1-Buna kar şı lik olan

S e h r d d i n g e r denklemi,

1- e

V + -!--- - -2) ,44;,t) ,--- [E + e O (r)]_ _ _ . . . _

(;-',t)13-18)2frx o l ur : b u r a d a , d u r g u n p ot a n s i y e l s a g y a n a a l ı nm ı ş t ı r.S01 van i ş lenirse,

ıi*-1> . :s \ % . %et e Aj

21-,r - t - e

, k 2 e k _. -. =-- -V. , . . . ..57 ,i,ek ( <j:iht. + e 2 A z

2t," ct,e .1,ek2 e 7 'ek ... . ... . " N v-- A . 1 7 y - I -2 -.2

Ay)-

2t,' ' ct,e 23-19-e r i r . D ü z g ün b i r s a b i t 1 ; m a n y e t i k a l a n ı için

1 rA-- ---B13-20)2

a l a b i l i r i z2. Bun a g ö r e , A'n ı n ü ç b i l e ş e ni

1 Bkz . d ipnot 4,s .21 6.

2*d r

d t'+

2Bn seçimin tek olmad ı ğ ı na d i k k a t ediniz;çnakü B'yi d e g i ş ti r m e k si z i n, A'ya h e r -

h a n g i b i r f o n k s i y o nun g r a d i e n t i n i e k l e y e b i l i r i z . A n e a k b u s e g i m , ç o k uy g u n d u r .



212 Kvantuo Fi zi ğ i

A —y8zB .zB — zB ,zB — yr '\Y

olur,ve sonuç olarak

V X A = ( 1 B xB x ,B y , 1 3 x )

. B

yüzden.9)'daki ikinci teri.,X---- B.; X C 7 y

2 t A e e r i D.r --- V W

2 1 . , c Acelur;ve B ni* do ğ rultuau z-eksenini taa ı ml ı yoraa,üçüncü teriis

e 2 B 2e2

2 ( ş ş x i3 )2 . , t , =22 ir 21 1 .2_ r..i0/1) 0 )A"I Y1/13-22)2

8 p . ctı ciı . . c

verir.Bu,iki boyutlu bir harmenik sal ı ngan ı n potaaaiyeli biçimindedir.

Bu iki terimi* bflyükliiklerini karo ı laot ı ral ı m. <Lx > 'yi 4‘ baaama ğ ı nda,ve

aoyi 0çap ı olmak üzere <

x 2 + y2> ,_i . a 2baaamag ı nda alarak,bu iki terimia

•raaı _

(0 2/81 ı c 2 ) aB2

12 1 C V , 4

/(e/2) 4 . ı B" C/ G

o2548/a 2oB

548(4, 8 X lo-10 ) /(0, 5 . 10-8) 2

9 X 109

gaues

kuluruz.Böylece laboratuvarda elde edilebilecek çeoitten alanlar için,yani B < 10 4

u kesindir.11 1 ye göre çiz-

gisel claw terim de Conlemb potaaeiyel enerjisi ile kar şı laot ı r ı larak,benzer bir

yoldan keatirilebilir:

(e/2 F, c) 4 ‘ B/Ac1 2 Z --,13-24)e/a0.. . .~

e/a.74/a'X 10 9 gauss

111Byleco, ı ,çizgisel terim atomaal enerji diizeylerini yaln ı zca pek az tedirgeyecektir.

Kareli terim iki ke ş fi alt ı nda çok önemli olabilir: Manyetik alsa çok ye ğ inse; 1012

ündeki bu alanların nötro

ıy ı

ldızlar

ıai s yüzeyinde buluaabileceklerine

B(13- 23)



El e kt ronl a r ı n Bl e kt rom any e t ik A l a n il e Et kil e ş m e s i 213

i n a n ı l ı r ; v e b u, a tomla r ı n y a p ı s ı n ı k ö k t e n d e ğ i ş tir ı r 3 . 1(a r e li t e r im e le kt ronun b i r

d ı ş a l a n d e a k i m a k r o s k op i k h a r e k e t i g ö z ö n ü n e al ı ndığ ı nda da ö n e m l i d i r .

Ünce yalnı

z ba ş ı n a ç i z g i s e l t e r i m i d üşürielim ve z-do

ğrultusunu 113'nin do

ğrultu-

su ile ş a k ış a c a k b i ç i m d e s e g e l i a . B n y l e c e B = 0 o l d u ğ u z am a nki Ram iltonie n,

e

] i l OLz13-25)2 p ı c

t e r i m i n i n e k l e n m e s i i l e d e ğ i ş mi ş o l u r . L a r m o r f r e k a n s ı d e n e n ,

eB= L A . >L

2 h e(13-26)

f r e k a n a ı n ı ta n ı mla y a l ı n ; L2ve L 'nin ortak özdurumlar ı o la n e n e r j i ö z d u r u m l e r ı i l e

ç a l ışı yortm ı k , (1 3 -2 5 ) e k t e r i m i b i r ö z d u r u m ü z e r i n e e t k i e t t i ğ i n d e b i r s a y ı v e r i r :

1 1 1 11, 1,M.nta(7)1 3-7 )

B u r a d a m , a p s a l m om e n t m m un z - b i l e ş e n i n i n ö z d e ğ S r i d i r ; - I Ğ mt d i r . V e r o l a n(21) k m s k a t m e r l i e n e r j i d ü z e y l e r i b ö y l e c e , (2 k . +1) h i l e e e y a r ı l ı r ; b u n l e r e -

ş i t a r a l ı kk ı d ı r , e n e r j i l e r i

(Ze<) 21

B =ı c

n 24\4.4k Lm

i l e v e r i l i r . Y a r ı lman ı n b üy ük lü ğ ü,

e B ' t ' ıi g ı l-----

2 1 . , , , ct . . . . c /aQo e

. 24,, ( t4c ° <

/

[ B

2 r, C /A4)

2 \ - t‘c /

/a 2

(13-28)

( 2 , 4 X 1 0) X 1 3 ,6 e v

du r.

S e ç i m k u r a l l a r ı n a ( i l e r d e t a r t ışı l a c a kt ı r ) g ö r e y a l n ı z c a m - d e ğ e r i n i n e ı f ı r ya

d a b i r b i r i m d e ğ i ş ti ğ i g e ç : i ş l e r i z i n l i d i r . B n y ü z d e n , Ş e k . 1 3 . 1 'd e g ö r ü l d ü ğ ü gibi,li = 0

oldu ğ u sem a n k i g e ç i ş i ğ ö s t e r i m l e y e n t e k ç i z g i § s ç i z g i y e y a r ı l ı r . Bupola ğ a n Z e e m a n

olay ı d ı r . G e r ç e k t e n , a t om d a k i e l e k t r on u n s p i u i s ı f ı r d u r u m un d a o l ma d i k ç a , e l e k t r on

R . C o h e n , L . L o d e n g n a i- Rodermau,Phys.Rev.Letters '35,467(1970).



Tr =2t Btni, c

IS E

E

E s t

=i. = . 0

= — 1

E 4! L'"2s E CE-014 -12re

( 2

21.4 e ı tc .

2 B2 B2

ı i +z 'y y 2 )N e'y (13-29)

14 RuenA3,2J P iz ı

Ş e k.1 3-1 . Ol a ğ a n Z e e m a n o l a y ı : M a n y e t i k a l a n d a y a r ı lm ış1 4 = 2 ve1d u ru m l a r ı s r a s ı n d a , o l a b i l e n 1 5 g e ç i ş t e n y a ln ı z c a 9 tanesi ol u ş u r .Bu n i a r , i i ç e r ç i z -

gi olaraki m = m i-a s = -1 , O , l'e ka r ş ı l ı k g e l i r l e r .

spininin manyetik olanla e tk ile ş m e s i y uk a r d a ö n g ö r ü l e n d e s e n i d e k i s t i r i r . D a h a g e -

nel a l a n ola ğ a nd ışı Z e e m e n o l a y i , s p i n i ö ğ r e n d i ğ i m i z z a m a n t a r t i s i l a c a k t ı r.

2B , l i t e r i n i n ö n e m l i , v e C o u l om b p ot a n s i y e l i n i n ö n e m s i z o l d u ğu ko ş u l l a r d a ,

s a b i t m a n y e t i k a l a n d a k i b i r e l e k t r o n u n ç ö z ü m ü n ü t a r t ış m a k o l d u k ç a i l g i n ç t i r . B u ko -

ş u l l a r a l t ı ndayine z-do ğ r u l t u s n n u t a n i m l a y s c a k b i ç i m d e s e ç i l i r s e , S c h r ö d i n g e r

d e n k l e n i

olu r; bu r a d a (13-1 9), (13-21) ve (13-22) ku ll a n ı ln ı st ı r.(x 2 + y 2 ) "pot ans iy e l innin

v a r l i k i , d e k l sk e n l e r i n a y r ı lmas ı için s i l i n d i r i k koo r d i n a t l a r ı n kulla n ı lmas ı n ı esin-I

l e r .

x =osY = s > sin c p

13-30)



Elektronlar ı n E lekt rom a r . y etik Ala n i le E tk ile ş m e s i 2 1 5

y a z a r a k ve Bölüm 10'un ba şı n d a ü z e t l e n e n i ş l e m l e r i i z l e y e r e k ,

. . „ .— --, COSs«--

X

),S,

c P ,

?a o s g 5b---- 8 n 95 — tay bs

Çt t '

sonu c un a ule s ı r ı z ; v e b ur a d a n ,

2 .. ' 22 ?. 5 7. . . " . . . "

. . . . " « . " ' L .....".-""." "."«..- + .......r....., ,2z 23 92 s 3 Ç D

e l d e e d e r i z . ş imdi

ima Zkx.C

ye z ı l ı r e a p u z (y)'nun os, ğ ]a d ığ i

d2u u2,2 3 2

214----2 . 1 1 2 c 2ss 9

d i f e r a n ş iyeli d enkle mini buluruz.

Fe:B

x ='2 ' b e

de ğ inkeni t U r n n d e n , d e n k l e m i

N I ( 7 )

(13-31)

13-32)

(13-33)

u .--- 0

(13-34)

(13-35)

e a

42

c

2d uu 2

•-- d x x 013-36)o la r a k y e n i d e n y e z a b i l i r i z , b u r u d a

42 k 2

91i (13-37)

csBiı

tı&

d i r . Ş u a l a r ı b e l i r l e m e k o l d u k ç a ko l a y d ı rs (a) u(x)'in sonsuzdaki davrani

d x2

2eaklemindez,n(x)-x12 olarak beirlenir; (b) n(x)in x = Oyak aladaki d a v r a -

n ış i ise,

de e u( )

d2u as 2

----5- 4.. --- ------7- u"..: .: 0dx" . x x

İ n 4 1o l a r a k b e l i r l e n i r . B ü y l e c e ,

-x1/2' 0 ( 2 ) = r (x ) (13-3s)

2d o

x2n



216 Inai tom Fizigi

yoznY vi 4 ; (x)'is sa ğ ladığı d feransiyal denklemi helleririz.

kiraz cebirit,

( 21mj + 1

lt

dG

+ (.7,— 2 — 2 ;set ) G

d ı lx(13-39)

sonucuna ulaş

Y =x2 (13-44)

den ı ieğ i ş tirYCe.â yepi/irsa,ho den 1 m (12 11) ile ayn ı hiç me getirilebilir. O

zaman dı enklem,

d 2 G

imi + 1 K I G

dy

4 y 2 I s e l

biçimini al ı r. Ş imdi Bölüm 12'deki yolu tutabiliriz.(12-11) ile kar şı laş t ı rmaya

,1,2,3,... olmak iimere,Ozdeger ko ş ulunun

1 +iml= nr

2(13-42)

olms ı ger ı kir.Bu,z—do2rultuaundaki özgür hareketin kinetili enerjisinin ç ı kar ı lma-

s ı yla bulunan E — 4 ı 2 k 2/2ıx enerjinin:D,

E 2nr9 - 1 m 1 4- n ı )

s.„2 k 2

l 3 4 i

2 LA. C4 3)

olarak yerilece ğ ini,ve

U(Y) 1ml (Y)n r(1 3-4)

olacağ ı n ı içerir.

çhzümü,yalnı zea klasik s ı n ı rda tartış aeag ı z.Bunun için,önce klasik kuram ı

g -Ozden geçirelim.(13-17) liamiltonien'inde,akaler potansiyel terimi yoksa,

+ (e/c)i.V =

huloruz4

; ved ıe— —IS oduundan,2

fArXr=rXp+-,---;X;)L —it.r3) — r B (13-46)

4Bamilton mekaniğ ine al ış k ı n olmayan okur,k1=p

2/21.a. +V(r) için,dx/dt= 1 1// aPx ,

dp .r/d.-2111/ Z/x,•.b. d ı ı nklemlerinin Nevton denklemlerine e ş değer olduğuna kendini

ı nand ı rabilir.11u denklemler,daha karma şı k olan

el(i)/c j2 /2/›.amiltonien'i

için de geçerlidir.

(13-45)



bag ı utisna g ötü r ü r . Bu b a g ı nt ı ( 13 - 4 8) i l e b i r l i k t e , b i r a z c e b i r d e n s o n r a

2B z (13-51)

Blekt ront a - n N l e kt rom any e t ik A l a n I l e Et kil e sm e s i 21 7

erıi4hiir♦ do

x (“)1 -47)üzde ş li;inden yararland ı k.Bu denklemin z–hilegeniui al ı rsako

x ;),3 ,2 + y 2 )"c

elde edzri.z,iu Ise

e e

9 " =13-XC

d e m e kt ir .Bl e kt rood e t ki e d e n ku vve t in

ev XB

itadui,dairesel hareket için

lav_vB

(13-49)

(1 3-50 )

ve

ver,„

tA c

2c9---- Lz

e l i

(13-52)

Ş i m d i y e n i d e n , e n e r j i ni n (13-43)1~1~ döx clim.Akia yatk ı n B içi n, 'k'nin

küçüklügii ne d eniyle enerji yalnı zca,(2nr41 +1m1 + m) çok büyükse makroskopik büyüklük-

t e ola b il ı r . Bu r a d a i k i b a l vard ı r: (a) m < 0 ise,hu u 'nin çok büyük olmas ı n ı içerir.

Imir y ıı n , L okterimlisinin d e r e c e s i n i belirier; bu,fonksiyonılaki sifirlar n say ı s ı –

r

d ı r', ve bu çok büyüks e ,kl as ik yörüngenin y e r e i l e ş t i ğ i k ü ç ük e r i ş imli y i ç i n b u fonk si e

yon büyük olamaz.(b) m > 0 ise.katsayi (2n r + 1 + 2m) olu r ; v e h u,min i n büyük olmas ı

ko ş u luyl a,kü çü k n r i ç i n d e b ü y ü k ol a b i l i r : B ü y l e c e e n e r j i ,

2BE— (13-53)

5Denk.(12-23) 1 e , b n d e n k l e m i n e l d e e d i l i

şine ve 5.200 . d e k i t a r t ış maya bak

ın

ız.



e , ---- +

c

e— + A +

-, - e

218 Kuan ıum Fizigi

olur; ve bu e kIns ı k sonuçla uyum içlndedir.Beklendigi gibi,

L z'v aı m

13-54)

de ğ erinin pozitif olduguna dikkat ediniz.

Isı nsal olastl ı k dağı l ı m ı n ı n tepesi ile belirletten,yörünge yarlçap ı nin da,

klasik de ğ ere karşı l ı k geldiğ ini gösterebiliriz.nr= 0 alal ı m.% halde L I I R (y) birn r

sabittir; ve (13-38)'e gö re,d alga fonksiyonunun karesi

41 , x ) = 1 2m 1C ıolur.liunun,

dP

(2)ml2iml -1x2tm1 +1 ) ;.( 2 .

= O

dz

olduğu yerde.yani

(13-56)

noktas ı nda bir maksimumu vard ı r; ve bu,

2c/2sB1 0 (13-57)

verir. u problem kars ı l ı gı bulunma ilkesinin güzel bir örne ğ idir.

Manyetik alanla etkilesme konusunda ilginç birçok kuantum mekaniksel olay var-

dı r,biz simdi bunlar ı inceleyece ğ iz.(13-18) Schrödinger denklemi ayar de ğ iemezligi il-

kesini boznyor gibi görüns ı ktedir,çünkü denklemde ortaya ç ı kan i(g,t)nin

A --> A + Q f( .i,t)13-58)

dönii ş ü ü altanda.Rarniltunien

(13-55)

1

2p

'k 1.vC

2

;13-59)

ye göre dönösiir.Dalza fonksiyonunun r 'ye ba ğ l ı olabilen bir evre çarpan ı iledeis-

meminin hiçbir fiziksel sonucu olmadı ğ ı olgusunu kullanarak, ayar degiemezli ğ ini kur-

tarma olanağı a r d ı r.Boylece,(13-58) denklemine

(I?, t ) 1 ) - N + ) ()13-60)

dönü ümönön e elik etmesi gerektül kosulunu koyarsak,Denk,(13-18 'in sol yan ı



Blent.ronlarxxs Klektromsoyetik Alan İ le Etkile ş nesi 219

e + -- A+

• .)

iy+ —c

e +A + Vf + vA) y

e

--Vi' -4-4.‘"Aı r

(13-60

biçinix i alı r -ylece.

eİ\ - 1

C

seçimi ile,yani

e- (1-eAc)ff)

xy(7,t)?,t)d ö n : i l a n ı § yu s a a l i l e a y a r d e ğ i ş m e z li ğ i yeniden sağ lanmış olur.

B = 0 olan alsnelz bölge,

- 0eS"IXA=0

(13-2 )

(15-63)

(13-64 )

olmas ı n ı içerir; buna göre Â,bir fonksiyonun gradienti olarak yaz ı labilir:

A ee Vf (13-65)

Bu yüzdeu,slans ı s bölgedeki bir elektronun hareketini iki yol d a n betialeyabiliriz:

Ya hiç alan bulunmadığ ı n ı dUş iinürüs, ve enerji özfonksiyonu denbleni için

[

--I -- (.--!) 2 + V(11.;)]1,1/- 0 - K \ t !13-66)2 ,Ll yazarı z; , ya da denklemi,(13-65)'de verilen vektör potansiyel ile

1l r - z+ — A.,

+ V---- v.1)M \l/ =E . . ' + ' /13-67)2 1 . 4 .

olarak yazar,ve

( İf NC );13-68)al ı rı z.f(i"',t) fonksiyonu,(13-65)'i çözerek A(r,t)Oinsinimm yaz ı labilir:

/ ( ; , t )r 13-69)

burada tönlevin yolu,saptanmış isteksel bir noktadan örne ğ in,baş lang ı çtan ya da son-- 0

B uz d a n r noktas ı na kadard ı r.Tönlevin,yalnı zca B e . 0 olan a l n n s ı z bölgede anlamı

vard ı r; çfinkö 1 ve2 ilebeirtilen farklı iki yol boyunca al ı nan t ö n lev le r aras ı n-

daki fark,



220 KUantus Fiziti

Şek. 13-2. 1 ve 2 yolu boyunca al ı nan

Au.,).d;, t'cselevleri genel olarak ayn ı

değ ildir; çünkü fark,kspell ilaekten geçen manyetik sk ı ya e ş ittir.

J d(7',t)r c ı PA(; , , t)g'(re,t)Z

f Ğ ı " x13-70)

lir.Burada Stokes teoremini kullandı

kpre 4 ,bu iki yolun sı

nı

rledığı

yüzeyden geçenmanylı tik alan ı n alt ı old ı r.( Ş ek.13-2).B l yfflı dea,yala ı mı a < Dise,(13-68)'deki evre

çarpan ı çizgi tümlevindeki yolun seçiainden ba ğı m s ı z olecaktı r.Delge fonksiyennnun

tek-degerli olmas ı isteniyorsa,böyle bir ba ğ ı m s ı zl ı k gereklidir.

1311 iki yol ak ı içindeyee,o zaman iki yol boyunca giden elektron]ar farkl ı ev-

reler kozan ı rlar.ilinç bir sonuç ş udur: Blektron,yalln bağ lant ı l ı degil,fskat için-

den c l 5 ak ı s ı geçen bir "delik"i 'saran alens ı z bir b6igede hareket, ediyorsa,bir çevri-

ai tamemlad ı tı nda ek bir e4-t4711c evre çarpan kezon ı r.Elektronun.dalta fonksi-

yonunun tek-deterli olmas ı gereksinimi,ve bu yüzden evre çarpan ı n ı n bir blması t kuçe-

tı

lan akı

nı

n knentumlo olacağı

nı

içerir:

1 ı , +1,

13-7 1 )

e

Elektronları n,lgincien akı geçen bir bölgeyi saran tistüniletken bir halkadaki

hareketind.,böyle bir durum ortaya ç ı kar.1961' ılet:yepı lan ilk deneyler6

, ş u taslak ü-

zerine kurulmustu; Oetüniletkenden yap ı lm ış bir halks,kritik s ı ceklit ı n üstündeki

'B.S.Deaver and W.Fairbank,Phys.Dev.Lettere,7,43 (1961); R.WA1 and N.naayni yerde,7,51(1961).



Blektronlar ı n Rlektromasys k Alan Il Etkile ş mesi 22).

T >1.k <

'ş ek.13-3,Bir liatüniletken T > Tk(kr:itik s ı cakl ı k) alca•l ı gı nda,ba ş ka herhangi bir

metal gibi davran ı r;ve içinden manyetik ak ı çizgileri geçebilir.Scakl ık, T < T

k akı çizgilerini iter.

Bunları n baz ı ları halkanı n içinde tuzoklanmış olur.Kuantumlanmış olan ak ı ,bu tuzak-

lamba akı d ı r.

bir scakl ı kta,dış bir aanyetik alana konulmu ş tur; öyle ki,metal art ı k üstüniletken

degildir.üstüniletkenler mauyetik alan çizgilerini itti ğ iaden,içIerinde ince bir yüzey

tabakas ı dş ı nda 1 = 0 d ı r.Bu Meiasner olayid ı r7 .Halka kritik s ı cakl ığ ın alt na kadar

aogutulunca,üstüniletken olur,ve manyetik ak ı ha/kanı n içindi tuzaklan ı r( Ş ek.13-3).13u

ak ı = uataliklı Sir ölçümü,

2 . . T X ' i r - % 4) - e (13-72)

( 2 e )

de ğ i ş ikliğ ieçerli olduğ unu ghaterir.Bu i bizim üstibailetkenlik görün--

güaü imdiki anlay ışı m ı zia tntarlı d ı r; buna göre ustüniletkenlerde

troa çiftlerimin(2e yüklü! ) "ilintili durumlar ı " ' çal ı ş ı lan temel uicelikleri

oluş tururlar. •

Dalga fonksiyonunun evresinin akı

ya bağ

lı

lı ğ

inı

n baş

ka bir ortaya çı

kişı

,ilkeolarak,bir giriş im deneyinde görülebilir( Ş ak.13-4).Burada,bir çift yar ı k deneyinde

yarı klar aras ı na manyetik *kı y ı kuş atan bir sarma' konmu ş tur.likrandaki giri ş in deseni.

dalga fonkeiyonunun iki parças ı n ı n,

•(13-73)

77ivantun s ekan ı ginin böyle makroakopik ortaya ç ı k ış ları n ı n essiz bir tartış mas ı

içinözelikleFeynman Lecturea on Phyaies,Cilt III'deki Bölüm 21'i ö ğütleyelim.



Cii

222 Kul ntuz ig ı

Y o l I

E l s k i r c , r s .

Yn k

Ş ek. 13-4, Ru ş at ı lmış manyetik ak)n ı n elektron giri ş im desen ı nde olu ş turacağ ı koyma-

y ı dlçen deneyin taslak çizimi.

biçimindeki Ustiistegelmesinin sonu c u du r ; b u r sd a\114 ,dalga fonksiyonunun 1.nci yo-

l u i z l e y e n e l e k t r ono betimleyen parças ı n ı ve " s 4 ,"2,nci yola kar şı l ı k gelen parça-

y ı g a a t e r i r . S a r m a l ı n varl ı g ı nda,

e4 ) 2 . e0.e/4 ıcV

(-4, e€4' Ac 4. e,(ze/4,c)f dr. 1;

1,-74)

e l d e e d e r i z . BO y l e c e ak ı , kt/ s pez a r a s ı n d a nkil..birryrn teg ş ilj-irine neden

•b*r; ve bu,girisim d e s e n i n i d e g i ş tiri r. İ lk olarak Ahsranov ve Bohm'un belirladi ğ i

bu ola y d e n e l ola r a k g i i z l e nmi ş tir 8 ,

Problemler

1 .

için,dx, H

dt••x

dpxII

' • • •t

sR.G. Ch a mb e r s, P h y• . Rey. Leters 5,3 (1960).



f

k l e k t r o n l a r : n hlektromanyetik Alan I l e E t k i l e s m e s i 2 2 3 .

u h a r e k e t d n k l e m l e r ı o verdiost e r i n ı s :

V

D emiltoni e n' in i n,

e2

-r1d t2[E(7,t)-f-—Xe t

e

L o r e n t z ko vv e t i d e a k l e m i n i v e r d i ğ i n i t h a t e r i n i z 4 N o t : I l e s a p l a r ı n ı z d a ,

di ya% ,d;(i.".',t),„ _____---- -__------d tZtxt • ?yt.oldu ğ unu kulla n ı a ı z ; ç ü n k i i h a r e k e t d e n k l e m l e r i n e ( v e B a m i l t on i e n ' e ) gi r e n a l a n l a r a n ,

p a rg a c ı t ı n b ulun du ğ u ko num d a d e ğ e r l e n d i r i l m e s i g e r e k i r . ]

3. 104

gaul ı s l u k b i r a l a n d a k i b i d r o j e u i n 3 D - a • 2 P g e g i ş i n d e k i ü ç Z e e m a n ç i z -

g i s i n i n d a l g a b oy u n u b e s a p l a yın

ız .

4. S ı r a s ı y l a y a r ı ç a p l a r ı a v e b olan-iki silindir aras ı ndaki bökkeys*kapat ı l-

Nil bir elektro.» daliinünüz(b>a).(a) S c h r ö d i n g n r d e n k l e m i n i s i l ı n d i r i k ko or d i n a t -

l e r d e a y ı r ı n ı z (D e n k . 1 3 -3 2 i l e k a r a l l a ş t ı r in ı z ),ve d e nkl e m in Be ss e l fonksiyonl a r ı

ile göztilebilecetini g ö s t e r i n i z . E n e r j ı ö z d e ğ e r i n i n b e l i r l e n m e s i n d e k i ko ş u l l a r n e l e r -

d ir ? (b) Ene rji ö z fonksiyonl a r ı n ı n k a t m e r l i l i t i n i t a r t ı a ı n ı z . B u k a tm e r l i l i k n e r e d e n

i l e r i g e l i r ? B e s s e l f o n k s i y on l a r ı için,Problaa 8'clan sonraki nota hakim.

5. Bu p robl e m d e kap at ı lm ış b i r m a n y e t i k a k ı n ı a , a k ı tüpöniin d ışı n d a b i r b ö l g e -

d e k i b i r p a r ç a c ığı n ag ı sal momentosunwnasilfdraistirdigini-gbateren-hir..örna ğ i.0-

sece ğ iz.< a s i l i n d i r i k b ö l g e si n e kapat ı lmış i r m a uy etik alan d i i ş ününü z . Ak ı ,l

olsun. 5b ö l g e s i n d e m a n y e t i k a l a n y ok t ur , v e b n y ü z d e n v e k t ö r p ot a n s i y e lA( s ,o,z) ac , , z )

biç ı m i n d e d i r .

(a ) 0 a y a r ı n ı n , seçimi,

V2A = O

olmas ı e m e kt ir .Bu d e nkl e m in (13-70)'i s a ğ la y a n b i r ç ö z ümünün,

A _2 n

oldu ğ u n u g ö s t e r i n ı z .



224 Koantum Fizi ğ i

(b) Bm a ışı m e k s e n l ç e v r e s i n d e k i ,

,

e

a ç ionl mum eotomu no sil ind ir ik koor d inat l a r d a b e sopl ay ı n ı z , v e y u k a r d a k i için,

L--z 'ni l e v e r i l d i ğ i n i g 3st e r i n i z .

(c) tşy =;ky özde ğ e r p robl e m i n i ç ö z ü n ü z ,v e i - i z fon k e i yon l a r ı n t ek-d e ğ e r l i -

liginin ak ı knantomianmas ı ns götürdükö n ü g ö s t e r i n i z .

6);f t / c ) A(gı t)la

H e- 2t.a.

Ilam ı ltonieni ileb e t i m i e n e n b i r s i s t e m i ç i n ,

- t

ba ğ int ı sin ı s a ğ la y a n j a k ı s ı nin,

j -2i1 [ y

+ 9. j = o

2ie

s ti*-N4)

'h e

i l e v e r i l d i ğ i n i g üst e r i n i z . Ay r ı c e P r o b l e m I 'd e k i Hamiltom bereket de/iklimi,-

rinin,

d

od t

olman ı n ' i ç e r d i g i u i ğ ö s t e r i n i z , b u r a d a

d i r.

7 .-y13, °, 0) ola r a k se ç i l e n a y a r ls, d ı s bir ; = (0,13,33) manyetik elnn in-

d a k e , y ü k l ü b ir p a r l e c ı k p rob lemi n i dü ş ilnünüz.Eareket sebitleri n e l e r d i r ? H a r e k e t

d e n k l e m l e r i n i ç ü z e r k e n g ı d e b i l d i k i n i z k a d a r g i d i n i ı ,v e e n e rj i spektrumunu e l d e e -

d i ni z .Ay ni p roblemin Z= (-yB/2,1(13/2, D), A = (-y140,0) v e A = (0,x13,0) a y a r -

la r ı n d n k i ç O z ü m l e r i n i n h e r u ç h a l d e f a r k l ı g ö r ü n m e s i n e k a r ı n , n e d e r a y n ı f i z i k s e l

durumn güsterimleclikini e ç x k l e y a b i ! i r m i s i n i z ?

(0,0,13) m a n y e t i k a l a n ı n d a k i v e ç a p r a zE ,O,U) ele kt r i k a l a n ı n d a -

ki bir ytikli pe rçae l ğ i g ö z ö n ü n e a l l u ı z , P r o b l e * 7 'd e s ö z ü e d i l e n ü ç a y a r d a n h e n g i N i -

n i , b n p r o b le m i ç i n k u )l a n i r s i a l z ? Ö z d e 4 e r problemini çözünti ı .

Not. n t a mm a y ı o lm a k ü z e r e ,

d 2ed e2 N e

d z ' 4 2 1



E l e k t r o n a n y e t i k A l a n İ l e E t k i l e a m e s i 2 2 5

deakleminim dnzewli ç n t ; i nsleri,

(iz/2)21

2 )!(Ii!n (z)

%otel ton,1(sig ğıtlar ,vt diizeggiz ç iziialeri.

G C e

Na(z) —77

7— J ,(z) lex — —2 . 2

i i

1 2

ziz/2)2t

0 -t! 4 're.0I

- a( ı k —1.)!

L ! 2

(leg. 0,5772 ...) t

+n

aw t ( -ı rk..<

Neumann fel ı ketyoular ı olarak ► iliair.aualar ı a molsptotik elavrom ı elorl

1/22

J n ( z ) zcoo- 1 4- O( I

k 4 1/2

2

n(z)in ( z ----‘ "T! z f .7 14

biçimiz ı lotir.lualar ı ayrx ı ı tı ll bir itili1eaasi matematikzel fizitim

özel fookziyozaorl ila :ilgili herhangi kir kitapta bulunabilir.

aaruaklar

11*r manyatik alandaki sfiektron hareMetinin ça4itli yönlerinin 4u kitaptaki tnrt ı ı imasa

çok ilginçtir ı

R,P.Feyoman,11.B.Leighton,and M.Sond,The reynman Lechveicg

Ad dison—V ı sley,Inc.,1965.



Bölüm 14

IŞ L Z M C I L E R ,M A Y R I S L I R ,v s S P İ N

ilektronun •pini gözönüne •linmadan,atomlar ı n garlork bir tart ışmam' yap ı lamaz.

Anlaml ı ad ı na kar şı n,eloktronun bu örm ı li ğ inin klasik benzeri yoktur,ve,hemen görüle-

ce ğ i gibi,biraz soyut yöntemlerle i ş lenmesi gerekir.lbry ı e ki,koordinat uzay ı n* yak ı n-

dan ba ğ l ı bir betinlameden yola ç ı kan bu ileri inceleme için baz ı hoz ı rl ı klar ı miz

var; daha örmapharmonik mal ı ngan (Bölüm 7) vs

i' 2 Y12 t( + I) Y

L e r ii ,- x ı a r ı ı ,14-1)biçimindeki ag ı sal momentum özde ğ ar pr oblemlerinin ikisini els Menai yöntemleri ile

tart ış m ış t ı k.ftarmonik sal ı ngan için,

u (A r ) nhu)1/2olarak tan ı mlanan durumlar bulmu ş tuk; bn durumlar için,

Hunku,>(n + -1- ) u

2

idi.0n

üzerine art ı m& ve azaltma i ş lemeilerinin etkilerini de,

At a n unu + 1)-\ un+1 (14-2)

( 1 4-3)

(14-4)

vs

ku

14-5)

olarak hemaplayabilmi

.Ayr ı ca,

<naun>us

en

14-6)

oldu ğunu görmermi ş tiky bu,iierhangi bir he rm itiau Merminin (burada E) ösdurnw1 r ı

için geçerli k ı linabilen bir deyiedir.04:-.3)`ion 14•5) 1 e kadarki :. denklemler:'

ile mkale• çarpa ı s ı n ı al ı reak,

f l e s s >um227



O

an

- OOO O _ 2 )O O

N

O O

U

O

(çt -rrT)

D 757 = rn5

nunq

Iluvnı Tinn T?tTwe ş aA'mxiwl s • l ı o n l ı zo9 nunun.inp . n5InT5T unung.JTquı rr, ziareuuTn4op

ai ş utInq nq tı TST .TasTewinqap2 sT4qww. nTuTa Ş TToweiiT 5 *A d auk'a ı thru InIallur#11q

(t ı -TrI)" ( 5)"(J)"(5,1)

'Tutdiva 113aFs uTu uTimulfr '-urirrut.4..0 noenşmirce epn-Fa r ı £ grup* witz3140Id

-Tp T.T.t ı rqup lı T x şym xTq uTu,d epuequs nllapanş l nTo uTiiı i,Y~TaTpN r i j

a. n lı n gemin erupq m % aTri Tluertinq Ttl=rerw7es/T.:TcFTFt"uq.teqd•uTsspa r pTa

( o ı - g r I )

"I' le .zazung•stuninq

I n o w ı TaTA*5 snı misı el m ı lo T r ı turcifu5 Ju ı nqr < ç i r ı l o I r ı >out4•aaTT4k.s 1

QUalaftlffill teFouT ı lg 9A‘LUIXT$112T a T n T ı rT p s T ı l m qimn şcuolew uTuf~te

/14 Jur ı l ırTiTufgaTT%Tp u.rvirr.rxa nrournep ı ı s T eT .x ş ys'JwinTTTir nq.qypaTT42 tuxulzu.4

f . no n>

unu) ITuth ı rquq trqup•epu.ı nqll n.rnTnq

(4-1rI)= < nivtn ı .>a n y ı at >

1+14'w5 : '(1 + .),A <".v

ISMOtlt[Vll



/ ş lemeil r,Matrialer,ve Spin 229

biçiminde mçal ı a.en kat sayilar

ı

,

C u - <ix I G

olarak ver111r.1% yümloO,

<ı i 4 F 1 1 3 i >(ni,».Z Ca

<ui

1F lu n >

<ui„.> 

P in

yazmak koşulu ile,(14-1.2) ( nin aynı s ı d ı r.hirim i ş lemoiyi

= <u. (14-17)

biçiminde yezmak,b lillege yararl ı olan bir diisanektilive bu biçimiyle <ı ı i ı P i l l u j>

matria a ğ ı sindski P Yeş lemeilerinin aras ı na konuldugunda (14-15)'i verir.Matria

bağ lantı s ı için bagka bir kan ı t,

a v

< n I r u n >

ruD M> n ip t \ (14-18)

bağı atı s ı sdan gslir.bu batı nt ı ,P i ş lemcisi bir matrisle güsteriaı loadi ğ iade,PI her-

mitfen lı ş lenik i ş lemoiminin ise bermition e ş lenik matriale gösterimleneoe ğ ini giiata-

rir;Onkü bermitien aş henik matris,

( F t ) .* azlC1 4 - 1 9 )

olarak tannalsnı r.

Bu tartışmada hmrmonik *almam»admrumlar ı adan yola ç ı ktı -

ğ ı m ı als ilgili hiç bir ş ey shylemedi ğ imiai dikkat edinis,Onlarla ilgili tekş aypois-

lar ı n E'yi gbaterimblymn matriai kSaeganle ş tirmeleridirAla ş ka bir tam küme i ç in E

l ı b şegea olmayacak ş r* budeğ erlerini,yani kii ş sgen olduğ u sameaki matria üğelerini bul-

mak kolay oimayaeakt ı r-

2 va Ls 'yi birlikte köş egı usle ş tir n durumlar olarak tan ı mlanmış tı r,

•yi sabit bı rakı reak,yani yaln ı z m değ erlerinin değ i ş tiği durumlar ı alı rsak,k ı sa

bir yas ı ala,(14-Wto ikinci bağ ı nt ı sı

1 › ffi>

14-2o)

yerir.Ayrica (10-40),(10-52) ile birlikte

1+ 1) — ai( ı ı1 /2 s

m ı ',izt 1(14-21)



230uantue riaigio1dugunu •öyler.De ige, t 'agleel momentum ielemeileri

1 için

La= 4 ‘ ( o

ooo ( 1 4 - 2 2 )

O 0L t 4 t (

0C 0 0

O O OL. . kt 0 0

s o N n F 0 ( 1 4 - 2 4 )

aetrie göaterimlarina götürür8atirler aniden iaga ve ebtur ı lar yukardan aaeglyN alank

üzere e m,0,-1 wireamna göre atiketlenmietir.Bu matrislePin datigme begintiltarin ı

a ı litladigmn ı doğ rulamak kolaydir.örnegiu,

tL,„L_J= 4 -

sO0

o

o0

I -2-

0

02

0

O )( 5 7:0

Ooo J

0112

0

-

00

(I

O

00o

020

O \0

2 /

2s ({}o

,2 ha -

00

ç r ' i

1o

0

O

0

00

0(0

o0

-I

0000

V7 - • 0

m . 2 $ ı Ls 14-25)

'Durumlar arae ı ndaka genel bağ intiler de •atris gösterimi ila yamilebilirArn4-

kin,

- A14-26>gibi bir bat ı ntayi gözönüne alelim.Dunun,bir n i tam kümeeimin herhangi bir üyesiyle

akeler çarpimini elireak,



14-7)

elde ederia.Ayrica,(14-17) biçimindeki birim illemcinin A ile 4 . 5 •raenne konulmak'',

 <Ili, A< 10> (14-28)

verir. 46 >

[110>

<%10)--* <u3 f0>

(14-29)



iylemciler,Matrialer,ve Spin 231

biçiminde bir c( n initua vektörü olarak yezara ı lk,ve benzarince de

<u21 9 3

yazaraak,(14-26)'nla matta goaterimi

ıY "k in c < n

(14-

(14-31)

olur.Büylece satriolar idlemcileri,ve abtun vektörleridurumlarl ğ öaterir.Anlaşma olarak,

<) ; .• ;» a k e l e r çarpimi

* *<R n > 5( 1' °( . 2'(14-32)

biçiminde bir aatir olarnk yazilir;bu yüzden beno ğ in, <.4 NI)> akaler çarp ı m ı

.( 5 1 ‘ 1 , ›01 ur,><%H4'›

/e n

olarak yazilabilir.

Bir özdağ sr dı iklimi,(14-26)'ain özel bir balidir.lbn.

A ; » atli

demaktilk,ve rar4 rix ıl biçiminde

olarak yazilir.Bu,

(1k-33)

(14-34)

(14-35)

A12

A22

— a

A13

A23

a ( 6)

danklomino el e ğ erdir; va'yalnazets 8 ğ 4 r b u matricin deteaminent:, aitir oloraa,bu de

iesain salkâr olmayan bir ç ö z ü m ü vard ı r:

dot'n

ı

, 5

Bu,eonla matr.ialorle ciiaterimleneu hyiemci.ler için üzde ğ erleri (ve ömvulma-n iu iy i bir rolodur,fakat n o yazik ki.00neuz metrialer için ig böyle hardi. de ğ ildir.

çankeiyonIer ve dIK'eranciyellerle alı torimieme aoçeua ğ inin belusimasii



ve (14-21) ise,

S

232

bmnPt -ı r,geüm i4lemT1er:' bu yel)u g:isterileme,Zıa baalt örel ,

1/2 4ıı

eal momeatnmuna kar şı lık gelen lelemeilerdir.Deak.(10-1) ve

blze,

Y. _ J/2el (14-3s)

olduğ umu a s ı yler;ve (10-54),

L_ Y1/2,1/2

coe 4Lçb/.2----=== e

sin

(14-39)

bağ ı nt ı s ı n ı besaplamas ı t ı salar.Fakat bal,Y0_1/2 ile craraf ı ll deılve ayrca

. O va 7( :Afekil1 ı k4r'.14hylece,/2 : için gIç1k1e vard ı r; ve matria ghl ı tarrimlerine damemiz gerekir. t/ 2 'd e n s ö z e t m e k y e r i n e S m 1/2 spininden s ö z ',deo.-

ğ iz erfiral i.x; 'ye kar şı l ı k gelen yrtiageeel aç ı eal momeratum i ç i n k u l l a s a c a -

ğı a.Spin i ş lemellerl Sz ,Sy vs Sz 'dir,ve

oy] 14-40)

v.b. de ğ i ş me bağ ı nt ı ları ileta n ı m l a n ı r l a r .

Bunla r ı , 2 ı 2 ' 1i k m a t r i e l e r l e g h s te r i m l e m e k i s t i y o r u z . ( 14 - 2 0 ) b a ğ ıml ı s ı ,

)

1/2 S_ au

verirler.Bn

(14-41)

(14-42)

S =, cr'

14-43)

olarak yazakellris; buradaki

(14.- 44)

ı ı ı s ı t risl, ri, P*u li ı smtri ele ri di r.Hurile r ı n (14-40)'t sağ lamaları e r e k t i ğ ind en,

[ ( y ) x , cr= 2i 0' z14-45)v.b. doı ğ i ş me ba ğ ıml ı ları n ı salarlar; ayr ca,

2

0

(14-46)



:l eme ler,MmCrisler,ve Spia33ve

o'. Cr yr ' y14-47)bag ı ntilar ı n ı da sa ğ larlar.Buniar :Ipin 1/2 gboterialerine bzgii ba ğ ant ı lard ı r,ve örne ğ in

t s 1 matrisleri için geçerli de ğ illerdir,

s'nin bedurumlar ı ,.1aftnbr denen iki b ı le ş enl ı .bir sutun vektörle gösterilecek-

tir.Bu baspiuhrleri bulmak için,

( 14-48)

denklemini O:çeyiz:bu denkleki,

olarak,veya

olarak yszabiliriz.Art ı bzçömiim için v . 0, va eksi ösçösi ı m için m = 0 'd ı r.Hdylec ı r ,

S z +(0)3i ipin yukar ı ve [ ;i z =:.-(1/2) -h ipin a şa ğı dı rmmiarima kar şı l ı k gelen

bsspinbrler için,olraslylo

(x4-49)

yasar ı z .

Ili:tel:sel bir spinör bu tam kümeye ag ı labilir:

l

-4- o<( o

01

(14-50)

V e aç ı lma postiilatlar ı u yorumu verir: lot I 2ve

1 o : Ç 1 2 0.1_12 a. I

04 4

nitelikleri,

(14-51)

(içiminde do ğ ru olarak boylandir ı lm ış iseler,urumu U:erin:U Sz'Ekin bir ölçü-

0(32

adnün +(1/2)*x ve -(1/2)4Nermesi olas ı l ı klar ı e s ı raslyla 1c< 4 . 1 ve0 1 _ 1lur.



denkleminiui çözmemiz gerakir.Hu denklemi aç ı k olarak,

(f)oz Gı — oi sin<p)

(+01,0

-l'a karg ı lik gelen özvektörler s ı ras ı yla,

e—. s 1 S İ2

“/2e

olur. e

0/2(14-551

234 Kuantum Fizii

Her zeman,S ' y ı kögegen almak zorunlu de ğ ildir. Sı

OS- S sinO Y

i§lemeistain özduramlar ı n ı r l yo r a s k,

(Sx CO* efr ± Sx sit tp ) ( < 1 4-52)

b i ç i m in d e y a z a b i l i r i z . a u ,

- ;14 e

U C

v e r i r . h y ley e e,

1

(14-53)

(14-54)

d i r. çb'yi-27r olarak de ğ itiriraek,öaiie1.rnigaret degittirdiginiu göz-

l e n m e s i i l g i n g t i r . Hn , a p i n i y e r i m t e k t a m e a y ı o la n d a l g a fonksiyonları n ı n (fermiyon

durumları ) belirtgenidir; böyle olmas ı u a ntum mekami ğ ini bozmaz,çtlakö -) yaln ı zca

bir evre çarpan ı d ı r.immmlk Inı ,açlaal momentumu yarı m tek tampayı olan klasik bir

makroakopik dalga paketini» k u r u l a m a y a c a g ı n i s ö y l e r .

ieteksel bir G; d u r u m u ve r i l d i ğ i n d e , 8 ? n i n b e k l e n e n de ğ eri hesaplanabilir:

< . <x i > <tIj><jN>veya eadagor olarak,

buluroz.Böyleze,



içIeraciler,Matrielar ve Spin55

'Z‹(4- e

<S .\Y i

c4 +, O L -)

(i4-56)

buludo*.liermitien i ş lemciler 10.1a beklendi ğ i gibi,bunlar ı n tümünün gerçel olduğuna dik-

kat ediniz.

Daha eonra,bir elektronun apiniala,~1mAkied*ema admmmmum-Mmusiltomeem'kmdo Yö -

rüngaael eg ı sal momentuala çittlenimli olarak ortaya ç ı ktığı n ı gürece ğ iz.hrnağ in bir

elektron bir kristal ergüaünfin kdiesin ı ı yerle ş tiğ inde,çoğu zaman apin,clektronatiAsşx-

d ığ ı tek- özgürlük derecesi dlarak ineelehabilir.Spini nedeniyle •lektronun bir ı .ç man-

yetik 9inkntup-mmus ı ı ti olacakt ı r,v• bu maı pettlimeummti

.(14-57)2mc

dir; burada,g jiromanyetik oran ı 2'ye çok yak ı ndı r;

( I 4- 21x

2.0023192 (1 4- 58 )

ve m elektron

Böyle yerella lmi ş bir •lektron igin,(11, bir B manyetik alan ı n ı » varl ı ğ ıuds,Hanfitosfen

tam olarak

kese

e‘‘i- (t)

- (t)

( 14-59 )

potanziyelonerjisime eqittir.l(t) durumu için Schrödinger denklemi,

L ag ı ds1 mousntumuyla bir daire üzerinde hareket eden"klasik" bir elektron,man-

yetik momenti W o -ehi2mc olan bir akı

n ilmeğ

i oluş

turur-9pin tümüyle kuantum mekanikselbir değ içkon olduğundan,(14-57) ancak bendetme yolu ile tart ı g ı labilir.Bunun doğ rulanma-;s ı için,güreli Dirac denklemine gerek vard ı r; g = 2 olduğu da,bn denklemden ç ı kar.g g. 2-nin düzeltmeleri kuantum elektrodinami ğ inden gelir.Spinin klasik olmayan görünüglerini,onun bulucularl olan S.Gouclamit ve G.Oblenbeck (1925) göstermigtir.



olurse,daba sonraki bir anda ,durum-iw

4 C

k , )geB

b e

01 ' =

kmc

(14-64)

1

o /

—LvA.

(e

*

e4

(14-65)cosi 2 2

236 Kuontum Fizigi

)14-60)S /1 1 ( tdtmc

dir.B 'nin dogr ultusu z-eksenini tammmlayacek biçimde seçilirse ,ve

ra+ (t) ' ‘ ♦

Ny( t) 3,11 (i4-61)_t). 4 >L

vizi 1 rsa,denklem

(1 4-62 )

biçimini alir.Çösümler farkli t ı i irekanslar ı na kar ş ı l ı k gelirler. w egB/seme için

(::1= ( 10 ) ,ve-4egB/4me ) için ( c : c: ) . = , ( C 1 ) elde odilir.BOylece,ba ıllangiç durumu

imeeO-1

ag4 ıB ()(14-63)

olaeaktir.t = 0 an ı nda spin,Sx 'in +(1/2ftı ösdegerli bir özdurumu olsun;yani spin,

"z-ekseni dogrultusunu göstersin".Buna göre,

1 0!

böylece,

b

/7 l i d ı r.6yleyee ,dalia sonraki bir anda



ogB 0g z

O a

eg B 1vu

14 mcme (14-69)

meeller,Matrieler,e, Spin 237

,; ) 1 , 1 1 ‹ : a kt xt .B e u z i P r i n e ,

< s y >1

. + S M A r t

• O• • • •

•• kW k

Y.

(ff .

i ;~''' ka

ııa ı

t/

i e

iu 2 Li ı t

2

bulunur.Bü ylece tip n,B 'nin de dogrultusu olan z-akseni etraf ı nda

2 ‘ ueB2ccc (14-6)

(14-67)

frekane ı pla egirim yapar.

Bir kat ı içinde,bir slaktronna g jiromanyetik çarpan ı kat ı içinde •tkiyal ı kuv-

vetlerin dogas ı adan atkilenir.ginia billiamesi,bu kuvvetlerin n * olabileceğ iz* deggin

çok yararl ı bağ ko ş ullar ı saglar,ve bu neden le g'yi hiçe/bilm•k önemlidir.Bu,gimii be-

timleyecogimiz paramanyatik recoaans yöntemi ile ya p ı labilir.

Te k özgürlük dareceai apin durumlar ı olan bir elaktromia;m:do ğ rultusuadoki,za-

mana göre sabit,büyük bir B o manyetik alan ı n ı n ve r-dogrultusuadaki,sal ı nan küçük bir

B ı cos uı t alan ı n ı n etkisi alt ı nda oldu ğunu dügünelim.Bu durumda Schrödiager denkle-

mi, a(t)

itkdt

d

b(t) Igt .

4 meCO8 Lui

Boaos wt(t) (14-68)

-Bo(t)olur; bu ise,

olmak üzere,

da(t) yoo a(t) +os uut b(t)dt

db(t)00 uu t a(t) — ua.b(t)14-70)d t

verir.

tA(t)zz a(t) t .Uu.,

B(t) = b(t) e- o (14-71)

oisun.Bnnlar,

uı . t .dA(t)L-a, ton e x ı t B(t) •dt



t(t)2tu r •

deaklemlerini aa ğ larlar.Bumlar ı elde ederken bir yaklas ı kl ı k yapt ı k :

1(14-72)

2

B(t) + a 14-78)( 4 1 ,

+ e

bulumur4os olar

in 3 .A 4 e4 -

238 Kuantum Bizi ğ 1

; A ze(t)

a s ( t )1. . . 0 n o t * tu t A( t) e

dt

COO L A 1 itt-2

4,4,4k. ° + e

1. z . ( t o . — u . › ) , t

e

2

yazd ı k.Biz uJ == 2 ta ı. de ğ erleriyle ilgilenece ğ imizden,ve ber ikisi de büyük olduğun-

dan,att ığı m ı z terim çok hisli eal ı n ı r,ve bunun katk ı s ı n ı a ortalama olarak s ı f ı r ola-

ca ğı n ı bekleyebiliriz.libe ayr ı nt ı l ı bir inceleme de bu gözlemi destekler.B(t) e yi

leyebilirizt

B ( t)

QJ1

dA(t)e"(2'"4*--

dt(14-73)

oldu ğ unu kullauarak,A(t) için ikinci baeamaktan bir difereasiyed (Naklen: elde ederiz:

d2A(t) dA(

dtt)

dt

2 i( 2 uu. -- +(t).. 0

Bu delikler için,

A( t ) = A(0) e

Oziiı ı ünü deneyelim.Bu,(14-74) i te yerine konulds ğ unds,

+ (2 tu.)). 4

deahlewinia kükleri, ı 'y

(14-74)

(14-75)

(14-76)

olarak belirler.

Bn genel çüzlim,

A ( t )A_ e14-77)

bfçlmindodir;va buradan



I s l e m e i l e r , M at r i s l e r , v e S p i n39v e r i r .t ==0 a n ı n d a e l e kt ro n u n s p i n ı art ı z-do ğ roltusuno gnsteriyorsa,a(0)= 1 ve

b(0) = 0 oldu ğ u n d a n ,

A + + A- =1

;1/4~A_ =O

e l d e e d i l i r ; b ur a d a n d a ,

bu lun u r .D ah a so n r a ki b i r t a n ı nda spinin eksi z -do ğ rultusund a bulunma olas ı l ığı

b(t)1 2'dir:. . _ı . ) ı . , . •. , , , . . 2 , _. i . _ t .

1b(t)12 — ,t + W 42 .. . .—, .

W2

-j-(2ı ,-2<=. >

-eI

( 2 < - ‘ - ı c .ı ı ) 2 - , - L ı . ır

2, 2 ( ı l- cos \f ( 2 W. — W ) 24- t1- 4

2" [ .

1

=

14-81( 2 ı .. .ı ı. - u..> ) 2 4- ki.) 1 2 W « tx.>,tt>0 oldu ğ u n d a n y bu n i c e li k k ü ç üktü r .B İ a l a n ı n ı n f r e k a n s ı 2 w 'a ayarlan ı r s ;

olas ı l ı k

1- cos ı ı ı ,tb(t)I 2 -t14-82)2

bi ç i m i n d e ,b i r e y a kl a s a r ."Yuk a r ı " durumun en e rjisi "a ş a ğı " durumunkind en farkl ı ol d u-

ğ und an,d ı s a l a n d a n so ğ u r ula n b öy le b i r e n e r ji f a r k ı r e z e n a n s f r e k a n s ı n ı b eli r l e r ; v e

böyle ce ı ı ıe ,v e bu r a d a n d a g bü yü k bi r k e s i n l i kl e ö l ç ü l e b i l i r .

P r o b l e m l e r

1 . H a r m o n i k s a l i n ğ a n ı n t a b a n d u r u m v e k tü r n ,

/ ı0

0

•

u =o



240 Knautunikiol a r a k verilnisee,(14-2) ve (14-10)'u k u l l a n a r a k n l , u 2 , u 3eseplayin ı z.Uenel desen

n e d i r?

<n m Iu s > m e a

olduğuna kendinizi inandiriniz.

2. Verilen bir

ve kt ü rü i ç in (14•9),(1 4-10) ve (1 4-11) he rmonik s al i ng a n illencileriylea ağ ı daki ni-

celikleri besapluy ı n ı z.

(a) <11).

h ) < . 2 > ,p 2 > • Cp> •(e) Bunu kullanarak, Apessplayiniz.

[Not. p ve s'in A ve Attüründen deyinlerl,(7-4)'ts ıs bulunur.]

3 . Harmonik 'solingen igin,x4 'ün nstris gösteri/zinde sol iiatteki 4 z 4 kö ş esi-

n i h e sop la y ı n ı z .

4. 3/2 aqlsal nonentneu için,(14-20) ve (14-21)'" k 1 anarak LT

, Ly

ve Lz'nin

netris gösterinin' heseplay ı niz.

[L t" y J

a . b . d e ğ 1gne be ğ x e t i la r i n i n s a ğ l a n d ığı n i d o gr u l a y ı n ı z .

5.

IL "'

/2 Y

3

Basiltonien'l veriliyor. a) Slatenim açies1 non atılm"' 1 oldu

ğu zaman, (b) Sistemin

eçisal nomentunn 2 olduğu zanan,R'nin ozdeğ erieriu" bulunuz.

Not. 41sal moneatua 2 oldu ğ unda L , L ve Lz'nin costris gOoterialeri,

y

/2 0 0 O

0 O 0 0 0-1O O L

z



1lk

( -3

2

a ı e iler,Netri pin41

0 i

4 f " 6 o o oiZ (Li )

o 0 o o 0 0 &e n e l d e e d i l e b i l i r .

4

n a t r i a i n ı n ö z d e ğ e r l e r i n i heaaplay ı nlz.hzvek

7. Apael monentumu 1 olan ve

nal«,?durum vektörüyla gösterimlenen bir s i s t e m i gö z ö n ü n e a l ı n ı z . L z ' in bir ölçümünün 0 de ğ e-

rini vermesi olas ı l ı ğ ı nedir?

8. Agl ı al monentuau 1 olan bir siatemi gözöa iiiie al ı n ı z.Lz Ly41,yL z ileacisizia

ö z toa k a iyonla r ı v e b z d e ğ e r l e r i Nedir?

9. Spini 1 /2 ol an bir s iat e m i gözönüne al ı n ı z.Sz4Sy illeaairininö z d e ğ e r l e r i

v e ö z v e k t ö r l e r i n e l e r d i r ? B u i ş lemcinin bir ölçümülı iin yapı ldığı n ı ,ve e i et emi n b üy ük

ö z d e ğ e r e k a r g i l i k gelen bir durumda bulundu ğ unu v a r a a y ı n ı z . S z ' nin bir Ol çüm ü nü a 4 1 k / 2

v e r m e s i o l e a l l ığı nedir?

10 . Heisenberg görünülündeki bir i ş leacinin d e ğ i ş me h ı z ı n ı n d e n k l e m i , D ı nk.(7-47)

ile verili Sx(t),... i ş l e a c i l e r i n i g ö z ö n ü n e al ı n ı zilimiltonion

K.,t)2mc

olarak verillyoraa,ve de ğ i ş me bağ ı nt ı ları S( t),S y (t) .] s i k S z (t) vb. ieeer,bu

i ş leacilerin hareket deaklemleri nedir? b (0,0,B) ie e,g(t) , yi S(0) tüls ğ a d e m g ö z ü -

nüz.

11 . Spini 1/2 olan bir ciaim,t m 0 ftniade sz

$ te zde ğ erli bir badurn-- e

m u n d a d ı r .A y n ı s a d e bir B m (0,0,B) ma ny etik a l a n ı i ç i n e ko n ul m u ş ve bir T z a m a n ı için

e ğ irim yapmaya b ı r a k ı lm ış t ı r . ° a n d a m a n y e t i k e l e n , b i l e ş e a lo ri (0,8,9) ol a c a k biçimde

çok h ı zl ı o l a r a k y - d o ğ r u l t ue n n a d ö n d ü r ü l m ü ş t ü r . B n a d a n sonraki T zaman a r a l ığı sonun d a ,

S 'in bir ülqümü ya p ı lm ış t ı r. "/2 de ğ e r i n i n bulunmas ı la s ı l ığı n e d i r ?



242 Kamat:un Fia i ğ i

12. Spihi 1 olan bir parçac ı g ı n bir dış maayetik alan içindeki davran ışı n ı

ineeleyinla.Ba 0,0,1) xeçiniz ve ba ş laag ı ç durumunu,

S.n = Sx iin8 coa9b # S sis O aim96x cos 8

ula 4,,0 •. - - . ; ; - L ardış ik badagerli hadurumlar ı udam biri olarak elini:.

[ipucu» (14-22)'den (14-24)°« kadarki verilen matri ı ı gbuterimlerini kullan ı nı t.1

Kaynaklar

Spin ile ilgili konular ataadarttir,ve tart ış malar in ai2 iia sormad k iı ı ralanan

kitaplar ı • t8mblide buluı abilir.





244 Kuentum Fisi ğ i

( 2 ),olur; ve ikinci elektronunpinörd için de durun bono benzer.Böylece bu dörtdurum,

0 12 )) (1)( t ) ( 2 . ) X2 )

X+ X+ , ,X 15-6)

olur.Bu dört durum için S z tnin özde ğ erleri,

( i )2 )I )2 )s z 4 - X ± = ( s i z + 8 2z ) X + XX .

( f )z )l )2 )( S i z •X + ) X ++ (5 2 z X+ )

denkleminden,( 4 )2))2)

S z X„ X„ = X+ X

-XC O

X(I)

= a O'a "- 4- A -- (02 . >02 . )X_ X_*k X_ X_ ( ı 5-7)

olarak bulunur.m-de ğ eri 0 olan iki durum var dir.Bu iki durumun bir çisgieel birle ş -

tiriminin,bir S= 1 durumu ver ece ğ i beklenebilir; ve bu durum, s = 1 ve m = -1 ile

birlikte bir ü çlü olusturur.Buna dik olan birle ş tirim ise,S= 0 tekli durumunu o-

lu ş turacakt ı r.Bu beklentiyi doğrulamak için,

8_ = 81 _ + 82 _15-8)

azaltma i ş lemcisini kurelim,ve s = 1 durumuna uygulayal ı m. Bu bize,öntheki bir kat-

sayı dı l ı nda,S = 1 bçlösiinün s =0 durumunu vermelidir.Bunu göstermek için,

ı ) x (i)(9.)15-9 )

oldu ğunu kullanana; bu bağ ı nt ı ,

i

o -t)j

t.‘

ij o / o)

(15-1o)

howahltidau bılluslobilir.Gerçekten de,(15-9)'u ullanarak

01 (2;

”

2)

1S _ X * ?(8 1 _ X 4 . S

t, X X)2 )( t ) ( 2 )

=- +§ - - k X + Xx ( 1 ) x (2).,Lz )

V715-11)

buluruı .Bu çizgisel birle ş tirim bcyland ı r ı lm ış t ı r,ve öndekir;+ıengelemeçarpan ı , I = m = 1 için (1 0-36) ve (10-48)'den b•klenenle uyn şur.Ş imdi,bu çizgisel

birleş

tirime S_ 'yi uygular,ve( i )8- X

t i )= 015-12)oldu ğ unu gözönlinde tutarsak,bir Saçieal momentum durumu lOu bekledi ğ imiz



V I 2

Açxsal Homentumlar ı a /oplaumazi 245

e l d * e d e r i z . • ,

(15-11 ) ° ‹ : d i k o la r a k kurulan ve do ğ ru olarak boyland ı rilan 4bür dur».

+1 )X

< 2 .0 12) .• X biçiriudedir;v* ba ş ka ortağı olmadı tı ndan,bunau bir S O

U oldujuna

unis yoklamak amac ı yla,

• 2

. v <l),(3.)

^ 4- A--

iki dMeuma,içia, 21 yi boaapl ı yorus. -i.2yi,

g• 2 1 1,L)

x + =ı r-2

=1 2x+

ve benzer olarak

(1)±

2S4- 2S.S

22(15-15)

(15-16)

= 81

-4- S2

+ 28laS2* + SS2*

olarak yazalim.Onne,

4 , 2 x+t5-18)

buluraz.Ban an sonra,

2S1z82zit =2(21-)(--4-jfı ) X* =

olduğ unu heaaplarlz.Son olarak da,

(81+S 2- + S 1-52+ )

(15-19)

(Oz)x + 82+ xs

t > s xn

%

- -

(f )

2- 2)s 9c<" s -x ( z )-> c _ 82+ X + )1+ -

denkkemi e (15-) ve (15-12) 1 nin yardimlyla

4 S 1- 82+ )' ± $12 1 1 4 J5-

20)



„

V(r)(r )2 (r)( s 1

V i (r )

( -3 ) V

2 (r )(15-24)

l r e r 1 r , 1 3 ( i y 1 k 3 (

-

r S \ Ot

2 s(s +1) xtl.5-21.)

e l d e e d i l i r ; b u r a d a S = 1 ve O 'd i r ; v e b u n l a r , t d u r u ml a r i n e k e r s i l i k geirler.

B ö y l e c e 1 / 2 s pi n l i i k i p a r ç a c ı g ı n t o pl a m d ö r t d u r u m n n un , b i r ü ç l ü v e b i r t e k -

li toplam spin durumu verecek b i ç im d e yeniden b i r l e s t i r i l e b i l e c e g ı ni g ö e t e rm ls ol-

d u k . i j e { r i i r s pinle r i çin,liu iki betimleme tam ola r a k e ş d e ğ e r d i r . B u n u u l a b i r l i k t e , k u v -

vetierin spine ba ğ l ı ol d u ğ u f i z i k s e l b i r s i s t e m v a r s a , t e k t e k spinlerin hzfonksi-- - ,

ye m a r ı art ı k H ile ö r n e ğ in S.2

, S .z ve S, 2 , S

2. 'n i n o r t a k ö z f e n k s i y o n l a r ı d e ğ il-21d i r ; f a k a t bunlar H, SSz

, S, ve Sn i n or t a k özfonksiyonlari olabilirler.

B u, b i r ö r n e k l e k o la y c a g ö r ü l e b i l i r .

İ k i e l e k t r o n a r a s ı n d a ,

1V(r) = Vi(r) 1 ° 5 2 V ‘ ( - r )--

n d e e n i n e b a ğ l ı bi r potansiyelimiz varse,Siz v e S 2z 'n i n i k i n c i t e r i m l e s ı -

r a d e ğ i.ltirmedipini kolayca g ö r e b ı li ri z; bu yliz d en,bu potansiyeli kaps ay a n H'nin

ö z d a u m ia r i , S iz ve S 2z ' n in ö z d u r u m l a r ı n ı n b a sit bir çarpı m ı olamaz. A n c a k

- 7 .-

512- S

221 (15-25)

olduğunu gözöniine al ı rsak,,2 'nin ösfonksiyonları ns e tk i d i ğ i n d e b u t e-

r i m i n y e r i n e ü z d e g e r g e l e b i l i r , v e o zaman

(15-22)

o l u r . G e r ç e k t e n , b ö y l e bir *Fine ba ğ l ı pot a n s i y e l n ö t r o n -p r o t on s i s t e m i n d e g ö z l e n i r .

I i d u r u m ,bir 5 =1 durumdar--tra dlitaroadar--;fakat y a ln ı z c a V 2 (r)i ç i n ola -b ile n1 9 1 1 11 0 1M*Ymm bir Sl durama d* vard ı r .

Illerdeki u y gu l a m a l a r i ç i n ç o k d a h a ö n e m l i o l a n , a pi n l e y i i ö n g e s e l a ç i s a l m o-

mentumnn birlest ı rimidir. L ozaysal koordinatlara ba ğ l ı ,faket S begl ı olmad ığ ı ndan

bunlar a. ı 'rade ğ i ş

S

bre .n1-as ı y a t a n ı mlr.nanop l a m a ç a a l m ome n tomon u n b i l . s e l e r



Homcmt~ar ı n Tpplanm'sa 2 47

desa ğ AnAllA ı r 1 1 -4 1 t i a A g l o , y d en k L i r . Ş imdi

j4-15- 27 )

+ 2 )

L + S_15-28)i ş l ı n c i l e r ' i n in ieg ı ael h J r 1 t r A tı -t r , - ,

terini

(15-29)+1/2.P Y ,t.„,..+1

çizgisel birle ş tirimini gözönüne alal ı m. Bu,kurulu u bak ı m ı ndan, j z ' nin (m+1/2)4ı

6zd ığarli bir öziomkaiyonudar. Ş imdi ve fily ı ,bu birle ş tirimin J 2 'nin de öz-

fonksiyonu olmas ı n ı salayacak biçimde b eli r la y e e e ğ ia.

1 .+Y tm = [i + 1) — 0(m i)] 1 /2 - , +

= [(t4- u + 1) (/2-t, nı +1

L-Yt, =[(t— + 1)m)] 1/2

S+ X + =0±+ba ğı nt ı la Ini kullanarak,

J a

/2("Wt , X +2m(2 ) yt

+ [ (t - e)(-t + e + i) 1/2 Yt,,, + N a {- 1 )

4y(rn 4- 1)( --

+ [( t — m)( t -F m + 1)] 1/2 Yt,X+

ınt

ı,

)( )ni - 1+ 1)(0( YLm X 4 .

biçim inde ol a c akt ı r; bunun için 41e,

(15-31)

+(15-32)

0( It (t + 1) +.] + p [(t— .) (-t+ + I)] 1/2bt

pI + j + cet( t — .)(1)] ı )p

(15-33)

olmal ı d ı r . % Jo s,

(t— DIM+ 0 3 + 1 ) = , 1 ) 1)—÷-- n ]

x tii(j+ ı ) --t(t+ 1)-4—+Ir+ ı j

(15-30)



+ 1 /2 ı r" -1 -

olur.t -1/2 çözümünün,y o

2, 4- ı

, 15-37)21 t-

. . z . , r o • ı - f X- (15-38)

248 Kuantum Fiziki

olmas ı n ı gerektirir.Aç ı kça görüldüg ı i gib ı ,bnnun

(15-34)

olarak iki çözümü vard ı r; bu çözümler için,

t -A

4

t +

dir./2 için,biraz ceb ı rden oonra

‘i 1

2 . / + 1

(1 5-35)

(15-36)

elde ederiz(Aol ı nda biz yaln ı zca bunlar ı n oranin ı elde gideriz; burada verilenler

boylandir ı lm ı s biçimierdir).Böylece

biçiminde °Imolai gerekti ğ ini keetirebiliria; çünkü bn çözüm, >4- 1/2 çözümünedik olacakt ı r.

Bu iki örnek,açisal momentumlar ı n toplanmas ı nda kapaanan genel özelikleri21 ). 21 )

aç ı klar; B ğ er L 1 ve Lz 'nin Y ı 2 ve L 2s 'nin Y:du-rumlar ı n ı biliyoraak,(2 1 1 + 1) (2 .1 2 + 1) tane çarpı m ı dalga fonkoiyonu kurobili-

riz;

()2 )Y, (15-39)

Bunlar,

L 2z(15-4o)

iglemcle ı nin ozdegerlyle a ı n ı iland ı r ı labilir.Bu özdeğ er m1 4 m 2 'dir,ve bir en büyük

1,4 1 2 değ erinden-ti-, derine kadar ukanı r.Yukards tart ı ş ı lan basit durumlarda

olduğ u gibl,m-değ eri ayn ı olan l'onkolyonlar ı n farkl ı çizgiael birictı rimleri

farkl ı de ğ erlerine *it olacukt ı r.dzağ idaki ç ı zel ğ ede t l = 4, 1 2özel örne ğ i

için olabilen hirirtirtn1eri eirallyoruz.Y.,

( f )çin,(a l ,m 2 ) k

ı

salt-ass ı ut kullan ı yoruz:





Kwftleigi

b) (15-37) ye (15-5 §?),

r o.2)

,a mxy-Clebsch-Gordan eer s ı ni verecek biçimde genelle ş tiribe4lir:Cs;,2°2'

tsay ı lari W ı gner katsay ı lar olarak bilinir,seda isLenlerin çe ş it de ğerleri.

bu ketsay ı lar ı veren ç zelgelar hazir_ a ı nm ı gtı r.Bia ı yalnizea,aç ı kça heauplad ı -

k ı m ı z t . 1/2 için alan katsaylar kullunacağ iz.

(15-okkatl ı l ığ ı dorulayabiliriz: Durumlar ı n say ı s ı n ı toplarsa

4 - › -

4- İ ,) + 1] + [2( İ l + •.2 — 1)]2(2 ) +

It,

=2( 4 , - 2)1ı ı ı 0

. (2 İ 2 + 1)(2 İ l 4-1)

15-4”

aldı ederiz.

Son olarak s u aç ı klamayı yapal ı m.Üzdes parçac ı klar ı tartis rken,iki

troaln(voya-dsha ,, gemel Mlard ık kki forriyoullı ) bir sistowin,bu iki parçac ı ğ ı n deg ı s -

toku ş u alt ı nda lars ı lı akı siml ı lan bir durnmda bulunman ı gerekti ğ ini belirtmistik.

Bu degi ş tokus yaln ı zca uzaysal koordinatlar ı n degil,spfin ei♦ iketlerillin de degisi-

kusunu kapsar.dzdeşiki spin 1/2 parçac ığ ı n ı

n bir sietymi için,durı nslar

ı nfl)z)

X . X +

-4( X " ) X ( 2 ) 1- X _0)X

0 .))

-( o x _ 2 )

(15-40

biçimindeki S = 1 Oçlüan,spin etiketlerinin degistokusu alt ı nda bak ış ı ml ı d ı r;oyma

S ı p - - O için olan

İ) 42)I )1 . )(_

F2-(15-47)1

teklisi karg ı bek ı s ı ml ı d ı r.Shylece bir ilçlii durum için uzay ı:izi' dalga fonksiyonu

karşı bakı s ı mll,ve

ekli durum için bakns ı m l ı olmalzd ı r.Bir iki-parçac ı k siste-

minin uzaysal dalga fonksiyonu,klitle merkemi siatemindm

u(i) = R n t , . „ (r) 15-40genel biçimindedir.Bu iki parçac ı g ı n koordinatlar ı n ı n c',egistokusu,

( 1 5 - 4 4

r —* r

9C -, " N

15-49 )



Açlan' Momentumlar ı n Toplanmas ı 251

de ğ i ş mesine e ş degerdir.Boylece i şı nsal fonksiyon degi ş meden kal ı r .F a kat bu donn ş um

Alt ı nda,

Yk r ,(0,4') -->

il -0, <,IS 4- Tr)

= ( -0 1 Yt,0 .4' )5- 50)

olduğ undan,üçlü durumlar ı n / yörüngeael aç ı aal momentumu tak,ve tekli durumlar ı nki

çift olmal ı d ı r.bunun bir uygulamasinı ,belynm atomunu tart ı l ı rken görece ğ iz.

Bu edylediklerimizin ilginç bir uygulamas ı temel parçac ı klar fixiginde •rtaya

ç ı kar.Bnigularmas ı gereken çok karars ı z temel parçac ı klardan en önemlisi Yukava'nin

öngördüğ ü TZ mesonu idi.Çekirrlek kuvvetlerinde önemli bir rol oynayan bu parçac ı ko

/ t4 . ,

it , itiçiminde üç yük durumunda ortaya ç ı kar.Spini 0 olarak bulanaingtur;

böylece surun ş udur: Bilinen parçac ı kları n yani proton ve. nötronun iç paritelericin

art ı olduğ u vareay ı ldığ ı na göre,acaba bir pionun - Il mezonuna bu ad verilir-dalga

fonksiyonu yans ı malar alt ı nda te aidir,çift mdir/ A ş a ğı d aki deney öne aürülmügtür.

Bir 11enin bir döeron tarafı ndan yakalenmaa ı n ı gözönüne alin ı z.Yava ş bir

pion,siv ı döeryumiçindeçegitli igleyiçierleenerji yitirir;bu yitirip (pa) çakir-

d l i ğ i etraf ı ndaki en alçak Bobr yörüngesine indi ğ inde sona erer,ve o zaman çekirdek

kuvvetlerinin etkisiyle yakalan ı r,

71-* n -1-

çekirdek tepkimesinde aç ı sal momentum l'dir; pionun apini a ı f ı rd ı r,en alçak Bohr du-

rumunun yörüngesel aç ı i ı al komentumn s ı f ı rd ı r,bu yüzden tek katk ı döteronun 1 olanaç ı aal somentumundan gelir.Böyliteri e bu iki nntron aç ı sal momentumu 1 olan durumda bu-

lunmal ı d ı r.İ ki nritroann toplam apini 0 iae,yörüngesel açaas1 noan ı ntus 1 olmal ı dı r.

İ ki nötrom duckmunun toplam apini 1 ise yöriimileael açasal moansatum 0,1, ve 2 olabi-

lir; çünkü bir birimlik iki açlaal momentalenn toplam ı 0,1, ve2 verebilir.vebir bi-

rimlik açasal mumentamunç ı aal momentumla toplanmasa 3,2, ve 1 variebi-

lir.Fakat iki Özdal fermiyonun tekli durumunun yörüngesel aç ı aal momentusau çift al-

mal ı dı r;b4y1*** ku iki mölı mminum kekli durumu d ış arlannış slur, İ çlü ~man ieeyd-

r*mgosiel al ı l ıal ~atma tekolmal ı d ı r: böylece üçlü dernm,yöror gnfiel *11~1 wermen-

tum 1 isepolugabilir.Ve (15-59)'ye göre,böyle bir durumun paritaai tektir;bu yüzdenpionun paritesi tek olnalid ı r.SpektrumsaI yasimda,durnmiar

2S +1Lj15-51)

gdaterimine uygun olarak etiketlanSrler,IIuramlarin toplam s ı n ı f ı

• • • 3i, 3 P 3 3 "‘ " P2'2'

Dl'

F4'

F3 *.. 'dir İ ki ötronn durumlar ı ise2

, - 1,'-D -

3 °3

Ferni-Drac istatistiğ i ualomlamaal ile,bn tüm s ı n ı f ı n ş u dur lmlarzna k ı ı s ı tlana ı §-

t r:I

S o ,1

D 2 , . . . , •3 P 2,1,0 , 3F4,3,2,". bunları n içinden,yainiaca 34, durı ı aunrsrn

nç ı aal momantumu l'dir. •



252 Kmantum F ı zi ğ i

P bl oaale r

15- 1 ve (1',-38)' ı ,L yörnugesel aç ı sal mom

ma sın a g e n e l l e s t i r i n i z .

(a ) S 4 ve S'etin övdorumlar ı n ı butonu ° burada

(

1l - . . - . . . - s s k i '—t i

o l a r a k v e r i l i r .

u ta« ı le Sl ı i ıciplso-(b) ve 3_ 1l a r n k y a z ı lan bcu ö ı durn ıalara , ş ve Ş 'nin

e tk isinuz.(e )

L 2 + S + 2L

z S z

+ L + S_ + L_S +

ig lem c i si n i n,

m S< Yt,'Y, +i

gibi birlestirimier üzerine etkisini besaplayiniz.

(d) p , vekras ı ndaki bağ gat ı ları ,

12 , 4 1 ,. 1 2 J

denkleminden elde ediniz.

2. S p i n i 2, 1, ve 0 olan durumlar olu ş turacak biimde birle ş tirilebilen ild

tane spin 1 parçacığ

i için,(15-46) . aı

n benzerini buluncm.Parçacı

kları

n spin rek-törleri için 5 ( 4 ) --Çyz L) (.) a mı k ilann ı z.. 1 , 4. Bir dhteronun apini l'dir.isteksol bir L awm1 momentum lurumuudaki fiki

döteronun olabilen spin ve toplam aç ı sal momentum durumlar ı nelerdir? Pauli ilke•

sini unutmaylnı z.

4. 1 spinli bir parçac ı k,

V(r)=,15;.1: V2 ı (r)S .L) 2V(r)

biçimindeki merkezcil bir potansiyelde hareket ediyor. J=L + 1, L, v e L- I d u ru m-

ları nda V(r) 'nin de ğ erleri nelerdir?

5. 11nin paritesinin beirlenmesi ileilgili tartı ş mayı gözönüne al ı nuz.

/t - 'nin sp niuin 1 oldu ğunu,fakat

1i + dntepkimesinde gene bir L = 0 yörüngesel durumunda yakaliind ı ggn ı varsay ı n ı z.Olabi-

len iki-nötron durumlar ı hangileridir? Tx nin pariteni eksi olsayd hangi durum-

lara izin v e r i l i r d i ?

6 . 1T'nin apininin 0 ve paritesiniu eksi oldu ğ unu varsay ı n ı z,fakat

c l

- o

1 1

tepkimesinde P yhrüngesinden yakalansı u.ik nötronun tekli bir durumda olmas ı ge-

rektiğ ini gösteriniz.



A ç ış al Mumentumlur ı n Toplaumael 253

7. Bir spin sisteminin lismiltonien'i,

B S1S2(Siz

4- S2z

)H=A+-$ 1 :2

olarak verilmistir.iki parçac ı k sisteminin bzde ğerlerini ve hzdurnmlar ı n ı u du-

rumlar için bulunuz: (a) Parçac ı klarin ikisinin de spini 1/2'dir. (b) Parçac ı kla-

rı n birinin spini 1/2,öl üriiniin apini 1(dir.(a)'daki iki, parçac ığ ı n Szdes olduğ unu

varsayiniz.

8. Spinleri 1 ‹ ve 0 1 "2 . Pauli içlemcileri ile betimlenen,1/2 apinli iki

parçac ı ğ ı gözönüne al ı n ı z. ; iki parçac ı gı bağ layan birim rektör olaun,ve82 = 3( C?1 • e)6'1 • <3'2 .

i ş lemeisi tanı mlanıı n.tki parçac ı k bir S . 0 (tekli) durnmundayaa,o zaman

8 12Xtekli =

olacağ ı n ı beteriniz.141ü bir durum için,

(S12 - 2)(512 4- 4) Xu9 İ ii

olacağı n ı gösteriniz.

Kaynaklar

Burada tart ış ı lan konular,ber kuantum mekani ğ i ders kitabı nda su veya bu yoldan

ielenmietir.Ayxı nt ı lar ı n bir çoğu aş a ğ ı daki kitapta bulunabilir:

M.B.Rose,Elemantary Theory of Augnlar Momentum, John Wiley and Sonn,inc.4957.



R K A

FOUR İ E B T i tM L E V İ

ve DELTA FONKS İ YO NLARI

PerLyealts 21, olma bir f(x) pısiyeiilt fooksi7oat ou dii§iinelim,öyle ki

f(x) = f(xL)

A-1)

dir.Böyle bir fonkeiyoa (—L,L) aral ığ inde bir Fourier serisiae eçilabilir ve gerinin

biçimi

000f(x)=os• ta'« xulu nnxA-2)

n C >

ı ..{ e le

nit >c/İ —

f(x) =

n

e

A-3)

biçiminde yeniden yazabilece ğ imix kesindir,çiiukü

COa

nteac ,lİ L . L . v ı ı t x.

n eine

Lidir.Katsayiler,dx C

rnn

21oL

=

dikeyboyluluk beint ı si yardimiyla belirlenebilir.Böyh,ee

or,

d 1 - x)..



Ka ı ı ı ntnm F ı zigl

ik ı ard ı : s ı k t a m s a y ı_ arwa ı n d a ki f a r k]n. ile ı ı ı ererek,(A—, 'ü yeni

y e z a l ı m.l ı n f a r k b i r o l d n gu n d a n ,

innx/Lf(z)- - A e

Tl

L

r r

1 -%

ane

1 1 :

L

n

e l d e o d e r ı z .Y a z ı m ı a , i z a

n

L

ye

r ı An== Ak

L

y a z a r a k d e g' i§tI r e lim .Ay r i c a d a ,

A (k)

1 27x

ya z abil ir iz .Bu yü z d e n (A-6),

(A-9)

A (k)1 , . x .f ( x ) = L kA - 1 0 )

2 . ı r

olur. ş lmdi L—ayr a p ı l ı r s a , o z a m a nk so n s u z k ü ç ü k ol a c a ğı o d a n , k s ü r e k l i b i r

dei§kene yaklas ı r . B i r tümlevin Ri em a n n t a n ı m ı n ı a n ı m s a r e a k,lim it h a l d e (A-18)'un

os

f ( x ) = (k) e L kxdkA-11)V 21ı - - 0 0

blçimic ı d e y a z ı labilecegini görtirüz.AW katsay ı s ı ,

LL

A(k)TI--zf(s) e2L ek

1

oakx.f dal (z) (A-12)

Ir2;

i l e v e r i l i r . A - 11 B e A - 1 2 d e n k l e m l e r l F o ur i e r t ü ml e v i d ö n i i ş iamlerini tan ı m l a r l a r . t k i n -

ci denklemi birincide yerine koyarsak,

oooI kxLkf ( ı ) = k e dYf(7) e A—I3)



Fourier Tümlevi ve Delta Fonksiyonlar ı 257

elde ederiz.Bir sak ı ncas ı olmad ı gindan,tümlevierin s ı ras ı n ı deı ş tokuş etigial zi

varsayal ı m.0 zaman,

P C :ı.. .kfx.- )1f(x) . ,f drr(Y) t k e_ . . . /Y,,,c,

elde ederiz.bonun doğ ru olmas ı içi.a,

eo

= dk e

(A-14)

(A-15)

iletanmlanan ve Dirac Delta fonksiyonu denen S(x) niceliii,çok de ğ i ş ik türden

bir fonksiyon olmal ı d ı r; bu fonksiyon xiken s ı f ı r elmalid ı r,ve _$üffliillime.ölge-

si sonsuz küçük oldoğ

undan,r

= O iken de uygun bir biçimde sonsuza gitmelidir.buyüzden o,al ışı lm ış matematikeel anlamda bir fonksiyon de ğ ildir,fakat daha çok bir "ge-

nelle ş tirilmi ş fonksiyon" veya bir "de ğ ı l ı m"d ı r l .Yalnı z başı na bir anlamı yoktur,fakat

ş u ko ş ulla tanı mlanabilir: bu fonksiyon her zaman,

j dxf(, ) s )

biçiminde ortaya ç ı kmal ı d ı r;burada f(x) fonkaiyonn,delta fonksiyonunun argdman ı n ı n al-

d ı ğ ı değerler aral ı ğ ı nda yeterince yumu ş ak olmal ı dı r.Sonunda yazd ı ğ xm ı z bütün bag ı nt ı -

ları n yalnı zca tümlev i şarei altı nda olu ş tuğ u düş üncesi ils,delta fonksiyonunun var-

l ı ğ ı n ı kabul edecek re kendisi ile i ş

lem yapacağ ı

z.Delta fonksiyonun şu üzeikleri gösterilebilir.

(i )

S (ax) = --I - - S ( z )A-16)

la(

Bunun ş nradan ç ı kt ığ ı görülebilir:

f(x) dyf(y) s )17)

ve y = ag yazarsak,o zaman bu

r(= ini Jr d 7 i r ( f i i )[a( 3 -

v e r i r . O t e yandan,

f(a ) = f(olmas ı ise,sonucumuzu içerir .

I D a ğı l ı mlar kuramı matematikçi Laurer t Schwartz taraf ı ndan geli ş ti.rilmie{tir.

bir giriş incelemesi M.J.Lı ghthill,Introduction to Fou rier Analysis and Generalized

funct ı ons,Çambridge University Press (1958)'de bulunabilir.



293

(ii) 1 A -16)'diiii ç ı kan hi k ' ; ^ : og ı nt4,

2(x= r,(x --- e) 1-a )A-V)2

,I ı r.Bu,deltu fonka ı yonnu argamaninxnvex=--eı f ı r olmas ı oignanudan ç ı -

kar.13yleQe i ki k at k ı vard ı r :

(x) ++ a!

S (x +

D a h a g e n e l o la r a k ,

[5(x)&(z) : 121a1

(A-19)

df /dx

oldu ğ u g ö s t e r i l e b i l i r : b u r a d a x i eler,f(x)"inikel•mo bölgesindeki kö kl eridir .Delta fon k a i yO nu n n n ( A- I 5 ) g ö s t e r i m i n e e k o l a r a k , y a r a r l ı olabilecek baka

gi i at e r i m l e r d e vu r dır . B n n la r

ın birkaslni t a rt is a c agl z.

(*)kS(x)imk eA-20)b i ç i m i n d e y a z a b i l e c e g i m i z ( A - 15 ) b i ç i m i n i göz driline alal ı m. ku

S( ı )= Li ı L-.Dox= Lim

L

sin Lx (A-21 )

'verir(b)

x <:

1=a <m o

ile t a n im l a n a n6(x,a) fonksiyonunu düs ö nelim .0 zam a n (Ar22)

6(x). Lim5(x,a)AT23)



8( ) = Lim 80

(

x2

+ n2

Z. 1

8 (x) = LimC N..

a - • o e

re

Fobrie r Tüm l e yi v e D e lt a Fonksiyonl a r ı 259

olur.(x,a) ile ba ş l a n g ı ç ya k ı n ı nda ymu ş e k ol an bir f(x) fonksiyonuuun ç a r p ı m ı -

n i n b i r t ü m l e v i n i n b a ş l a n g ı ç t a k i d e ğ e r i se ç ip ç ı k a r a c a ğ ı a ç ı kt ı r .

L im , 1 dxf(x) A(x,a) = f(0) Lim j " . dx A(x,e)A-1 0

-o

= /(0

(c) Ayn ı n e d e n l e , a l t ı n d a k a l a n b i r i m a l a n i l e b o y l a u d ı r ı l a n h e r h a n g i b i r t e p e

fonkaiyona,t e p e nin g e ni ş li ğ inin şı f ı r a g i tti ğ i l ı mitt e b i r < t e lt& fonk siyonüns y a k la -

ş ı r . ş u n l a r ı n d a, d e lt a fonksiyonu nu n g ö st e r im ie r i ol d u ğ u nu ka n ı tla m a y ı o kur a b ı r a k ı -

yol - n ı ;

(d) P n (x) g e n e l s i m g e s i i l e g ö s t e r d i ğ i m i z d i k e y b o yl u ç o k t e r i m l i l e r i l e i ş gbr-

memiz g e r e k e b i l i r . B u n l a r ,

d xP m (x) P n (x) w(x)nA-26)

ö z e l i g i n i t a şı r l a r ; b u r a d a , b i r i m y a d a b a s i t b i r f on k s i y on o l a b i l e n1 . 1 ( x ) ' e a ğı r l ı k

fo n k s i yo nu d e n i r . B u d i k e y b oy l u ç o kt e r i m l i l e r i n b i r s e r i s i n e a ç ı la b i le n fonk siyonla r

i çin,

f(x)A-27)

y a z a b i l i r i z .1 1e r i ki ya n ı c u( x) P( a) i l e ç a r p a r v e x ü z e r i n d e nHmle r e e k £,f e e

I n =dy eo(Y) f(y) m(Y) (A-28)

b u lu r u z . B u n u (A - 7)' d e y e r i n e k oy a r a a k , " g e n e l l e ş tirilmi ş fonksiyou l a r" i l e i ş g ö r m e -

s i n i d e b i l i y or a n k , t op l a m i l e t i i m l e v i ö z g ü r c e d e g i ş toku ş e d e r i z , v e

f(x)n (x)y o J ( Y ) f(Y) P n (Y)

dYf(Y) n (x) w (Y) Pn (Y))A-9)

e l d e e d e r i z . B ö g l e c e g e n e , d e l t a f o n k s i y o nu n u n b i r b a ş k a g ö s t e r i mi n i e l d e e d e r i z .

Pn(x) , i n ö r n e k l e r i L e g e n d r e ç o k t e r i m l i l e r i , He r m i t e ç o k te r i m l i l e r i v e L u g n e r r e ç o k t e -

r i m l i l e r i d i r ; b un l a r ı n h e psi ku ant um se k a n i g i p r o b l e m le r i n d e o r ta y a ç ı k a r l a r .



2 £ 0 Kuantam

Delta fo -nksiu t ı tr zamonşhir t. ley?cti alt ı nda yci. klak üir fonk.siyonla

çarpilmi, olarak or oya çlktlindan,onull ti.irevlerine anlam irerebiliriz.drna ğ in,

C

dxf(x)- 8(x)(

dxdxx f(z) 5 (x)xdxf(x)

dx

O

(A-30)

ye bnzerleri.Delta fonksiyonu son der.?ce yararli bir gereçtir,ve

sel fizigin ber yerinde onunla k a r s ı la § a c a k ti r .

De lt a fonksiyonu nu n t üm l e vi,ı c

f dr S (y a) OE a matematik-

= 1> aA-31)O(x)

d i r p r e b u t ü l 4 e v , bu s ü r e k s i x f o n k a i y on i ç i n s t a n d a r t y a s io l ı r . K a r s i t o l a r a k , b a s a m a k

fonksiyonu d e ne n 0(x —ü r e e i , D i r a c d e l t a f o n k a i y onu d u r :

d)( 3 t —A-3$)dx



EX 3

Bu ekte,çlzgisel i ş lem eile r le ilg ili baz ı konuları neel eyeeegiz.Us a yatk ı n

dalga paketleri klimesi,karesi td ıalenebilen fanksiyonlardan olusur, NK(z) ve Ny 2 (x)

Neresi ti+mlenebilir f e a k s i ye e l a r y e - 4 . < 9 ,03 istekeei 1~1 say ı lau olmak.. üzere,

-w(x) =«4/1 (x)v2 (x)B-1)

I aresi tumlenebilld ı ı nnsadtzn, y l ler biruy olu ş tur u r , d e r i z .Bu uzay

üzerindeki bir A iglemcisi,

A Nr(x)h(x)B-2)

i ş lemini yapar,buradaS(x) de karesi tümlenebilirdir,Tdm i ş lemeiler aras ı nda £,Lz-

zi.sel islemeiler denen bir altküme yard ı r,bunlar. ş u Uzelikleri ta şı rlar:

..cy(x) = a A Y(x)

burada( ı steksel bir kartmal aabittir; ve 0 (armal say ı lar olmak üzere,

A E .<Y,(.)+. 1 B - - 1 , 2()= c A Yl (x ) + P A Y2(x)

B-4)

olur.Paş ka bir altkiime bermitienmeilerdir;usa yatk ı n tü m y(x)ler için,

,

<A›= fdx y4

(x) A -ı f , ( x)B-5)

beklenen de ğerleri gerçeldirjinee tüm usa yetkin ve y'ler için

f i/ 2 (x)(x) dx = f (A ‘-t J 2 (x):1 1 « . 'yi ( x) dxB-6)

in geçerli oldu ğ unu gösterelim.

<A>nı

n

f d x - S • Y*(x) A \Y(x)x [A y(x)]* '‘y(x)J

(B-7)

261



ierir. ş.imdi burada, V(x) yerine,

, 4 ) ( 7 4 )=, - 4 , , i ( ) ; ) 4-(x)kpYallM . Bu ,

d , ( - 1 / 4 y 3:,V;)/ dx(r

dx A- , x , £ 1,2

o n + }aer ırt.tien

u)lonsrak,

dx yA y iix y A

, 112( ,,Y1) -

B-11)

elde ederiz. >1/4 iatek:sel bir karmel Beyi olduğ undan, Xr.lu katsay ı s ı ve,9n kat-

sayas ı için olan hag ı ntJlar ayr ı ayr saglanmalldir.Böylece,

dx y2A yl = j r d.(A y2) \, B-12)

olur,

ganitlamak istedi ğ imiz bundan sonraki sonuç ş udur: Bir hermitienkiL§Aözdee*let zfonkaionları diktir.şu iki denklmmi gözönüne

al ı n ı z:

A N/1(x) e Yi(x)

ve

1A. 11 2(-)]* = .2 NIJ;(x)B-13)

Bir hermitien islemcinin badekerleri gerçel oldugundan,a 2 'nin gerçel oldu ğuna dikkat

e d i n i z . İ l k d e n k l e m i nı ; ile ve ikinci denkleminle ekaler ça ı rpı m ı n ı alal m .

Böylece,

dx y

A yi ( i ) = a

lf 1)/1 42 (x) 111 (x) dx

jd.(k y2 ) * yi(x )2 f ya (x) `f/i(x) dxB-14)olar.Bunları birbirinden çikarı rsak,

(a l — a2 ) jr -1; 2 (x) yi (x) dx =r d x , y ; A y id i ( A , y 2 - 4 1

=B-15)

elde ederiz.Böylece,a l # a ise

1 1 İ7(.) yi(x) dx = OB-16)

bulurus.





dx(I;N, 4- i * .iv) (11 -1" + i 2 ı Vy)

dx(U y)'*ti )2 1 / 4 2(VV 1 ) )

54 Knantum Fiii

olun Ye

= B-26)

,,Ox'dnüne olul ı zo.G ı ı .ocan,

) =

x 0 4 9S 1 -27)

olacakt ı r.i. ve B bermı tien oldukundan,U ve V de herio ı tiend ı r.Dhylece.IGN)

+ i 7J ı ıu-y)4 ' (vv -y)* (u1=x vt >* (r 2 + ?+2 v 2 + i\ [ (3 ,v

=(zA)2 +B) 2 + x \t7 u,v 11) > o

=( A ) 2 + >, 2 () 2 4- i)i <14 1 3 1>

olarak yeniden yaz ı labilir.Minimum,

2 2 1 / 4 ( dB) 2< [A,B1> = o

için oluş

acaktır.

_2( A13) 2

çözümU ( ,X)'da yerine konur**,

A ) 2« » 2[ A, B )> 2

o4 A B 2( Aa )2

elde edoric;lı nrodan da,

(3728)

(B-29)

(B-3o)

( A) 2 AB) 21 [A B) >B-31)

bniurys.ltaslant ı olarak,minı mum de ğerin olu ş tuğu "41 için.Uy veV N . ,' birbirleri

ile orantIlld ı r.x rep >leecileri halinde,hu

1 1 ( 1 1px S J ( z ) z o Odx

elmaa ı demehtir;bunuu

(B-32)

(R-33)



hb•~lkcluNu texel d.urumu 6%losik ı ly~'udur. ş imdi quiu)1 kom,yuh r a tirC rl

Documents

kuantum mekaniği gasiorowicz