Kuliah 5 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS

1

Variabel Random2

Variabel Random3

Contoh Variabel Random4

Variabel Random5

Variabel Random6

Variabel Random7

Variabel Random8

Variabel Random9

Variabel Random10

Variabel Random11

Distribusi Probabilitas12






Distribusi Probabilitas Diskrit X (1) : 18

Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : - P(X = x) = f(x)

-

- 1)(1

n

x

xf

0)( xf


Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

xuntuktfxXPxFxt

)()()(


Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random diskrit X.

Dinyatakan dengan E(X), yaitu: )(.)( ii xfxXE

Contoh:21

Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini,

Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat.

Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.

Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28

Hitung nilai rata-rata X.

Jawab (1):22

Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :

X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah= 0, 1, 2

Sehingga dapat dihitung :

2810

2825

03

)0()0(

XPf2815

2815

13

)1()1(

XPf 283

2805

23

)2()2(

XPf

Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah x 0 1 2f(x) 10/28 15/28 3/28

Rumus distribusi probabilitas adalah 2,1,0,

2825

.3

)()(

xuntukxx

xfxXP

Jawab (2):23

Distribusi kumulatif F(x) adalah :F(0) = f(0) = 10/28 F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28 = 1Sehingga :

0 , untuk x < 0F(x) = 10/28 , untuk 0 x < 1

25/28 , untuk 1 x < 21 , untuk x 2

Jawab (3):24

Dengan menggunakan F(x), maka f(2) = F(2) – F(1)= 1 – 25/28= 3/28

Nilai Ekspektasi X adalahE(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.f(2) = (0). (10/28) + (1). (15/28) + (2). (3/28) = 21/28

Distribusi Probabilitas Kontinu X (1):25

Himpunan pasangan terurut (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau distribusi probabilitas dari suatu variabel random kontinu X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin, berlaku : Rxsemuauntukxf ,0)(

1)(

dxxf

b

a

dxxfbxaP )()(


Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel random diskrit X dengan distribusi probabilitas f(x), adalah :

xuntuktdtfxXPxFx

,)()()(

)()()( aFbFbxaP


Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (rata-rata) dari variabel random kontinu X.

Dinyatakan dengan E(X), yaitu:

dxxfxXE )(.)(

Contoh:28

Suatu variabel random X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1 x 4◦ Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah

kurva f sama dengan 1.◦ Hitunglah P(1,5 < x < 3)◦ Hitunglah P( x < 2,5)◦ Hitunglah P(x 3,0)◦ Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung

P( x < 2,5)◦ Hitung nilai E(X)

29

Definisi Ekspektasi Matematis

Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x). Mean atau nilai (expected value) dari X adalah: =E(X)= jika X diskrit dan =E(X)=

jika X kontinu

x

xxf )(

dxxxf )(

30

Contoh Ekspektasi Matematis

1.Berapa ekspektasi jumlah angka yang muncul dari pelemparan dua buah dadu?

2.Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah hari perawatan seseorang dengan penyakit demam berdaran di sebuah rumah sakit, di mana X memiliki fungsi kepadatan sebagai berikut:

f(x)= tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-

pasien demam berdarah di rumah sakit tersebut!

lainnya untuk 0

,0,

432

3

x

x

31

Definisi Variansi

Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) dan rataan . Variansi dari X adalah 2 = E[(X - )2] = jika X adalah diskrit dan 2 = E[(X - )2] = jika x kontinu. Akar kuadrat dari variansi, atau ,disebut dengan deviasi standar.

x

xfx )()( 2

-

2 )()( dxxfx

32

Teorema variansi

Variansi variabel random X adalah:2 = E(X2) 2

33

Contoh Perhitungan Variansi

1. Hitunglah variansi dari variabel random angka hasil pelemparan dadu!

2. Hitunglah dengan menggunakan teorema variansi!

Soal 134

Sebuah pengiriman 7 set televisi berisi 2 set cacat. Sebuah hotel melakukan pembelian secara acak 3 set dari semua set televisi yang ada. Bila x adalah jumlah set televisi yang cacat yang dibeli oleh hotel tersebut,◦ Carilah distribusi probabilitas X◦ Carilah distribusi kumulatif F(x)◦ Dengan menggunakan F(x), hitunglah P(X = 1)

dan P(0 < x 2)◦ Hitung nilai E(X)

Soal 235

Jumlah jam total, yang diukur dalam satuan 100 jam, bahwa suatu fungsi keluarga menggunakan pengisap debu pada periode satu tahun merupakan suatu variabel random kontinu X yang mempunyai fungsi probabilitas :f(x) = x , untuk 0 < x < 1, f(x) = 2 – x , untuk 1 x < 2, dan f(x) = 0, untuk x lainnya◦ Tunjukkan bahwa P(0 < x < 2) = 1◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga

menggunakan pengisap debu mereka kurang dari 120 jam◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga

menggunakan pengisap debu mereka antara 50 sampai 100 jam.◦ Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga

menggunakan pengisap debu mereka lebih dari 150 jam.◦ Hitung nilai harapan X.

Soal 336

Sebuah industri yang menghasilkan sabun mandi telah mengambil sampel 3 buah sabun mandi dengan aroma melati dan 7 aroma mawar. Semua sabun mempunyai bentuk dan ukuran sama. Semua sampel dimasukkan dalam kotak dan kemudian diambil 4 sabun. Didefinisikan variabel random X adalah banyaknya sabun mandi beraroma melati yang terambil, tentukan: Nilai dari variabel random X Distribusi probabilitas variabel random X Distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P(X=2) Hitung rata-rata dan variansinya

Soal 437

Proporsi orang yang menjawab suatu tawaran lewat pos berbentuk variabel random kontinu X yang mempunyai fungsi padat probabilitas

untuk 0 < x < 1 dan f(x) = 0

untuk nilai x lainnya. Buktikan bahwa f(X) merupakan fungsi padat

probabilitas. Hitung P( 1/4 < x < 1/2) Tentukan distribusi kumulatif F(x) kemudian

hitung P(¼ < x < ½)

5)2(2)(

xxf

Documents

Kuliah 5 Distribusi Probabilitas