kuliah 5,6,7

AGUSTINI TRIPENA

KONSEP DASAR PROBABILITAS DAN DISTRIBUSI PROBABILITAS

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Pengantar :*Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, terutama kejadian yang akan datang.Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi.Derajat / tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik disebut Probabilitas (Peluang), yang dinyatakan dengan P.

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

. Data :Semua informasi yang dicatat dan dikumpulkan dalam bentuk aslinya, baik dalam bentuk hitungan maupun pengukuran.. Percobaan (Eksperimen):Suatu proses pengumpulan data yang menunjukan adanya variasi di dalam hasil nya. (proses ini diulang-ulang dlm kondisi yg sama, dan menghasilkan data)Percobaan, Ruang Sampel dan Kejadian**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh percobaan dan hasilnya**AGUSTINI TRIPENA

Percobaan Hasil Pengukuran waktu layanan seorang dokter Pengamatan sekumpulan hasil produksi Pengelompokan jenis hewan terhadap jenis makanannyaLama (waktu) layanan dokterBanyaknya produk cacat Karnifora, herbifora, omnifora

AGUSTINI TRIPENA

Ruang Sampel (S): Kumpulan semua hasil eksperimen atau Ruang sampel adalah himpunan seluruh kemungkinan outcome dari suatu eksperimen/percobaan. Biasanya dinyatakan dengan S atau . Banyaknya outcome dinyatakan dengan n(S). Dan tiap-tiap unsur dlm ruang sampel S disebut Titik Sampel Kejadian (event): Himpunan bagian dari ruang sampel S atau Peristiwa/kejadian adalah himpunan bagian dari outcome dalam suatu ruang sampel. Setiap himpunan A dengan A S disebut suatu kejadian atau peristiwa dari himpunan A, atau dengan kata lain Suatu peristiwa adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel

. **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Suatu peristiwa yang hanya memuat satu elemen saja dinamakan peristiwa sederhanaSuatu peristiwa bersusun merupakan gabungan (union) dari peristiwa sederhanaJika suatu percobaan telah dilakukan dan hasil yang diperoleh termasuk himpunan bagian A, maka dikatakan bahwa peristiwa A telah terjadi.

Contoh peristiwaMisalnya A adalah suatu kejadian (peristiwa) munculnya sisi Angka sebanyak 2 kali.A = { AAG, GAA, AGA }

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Ruang Sampel Diskrit : Ruang sampel dimana banyaknya elemen berhingga atau dpt dihitung sesuai dg bilangan cacah. Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel yang memuat semua bilangan dalam suatu interval

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 1Percobaan: Pelemparan sepasang dadu (merah dan putih)Hasil : Pasangan ( i , j ); i = titik yg tampak dari dadu merah j = titik yg tampak dari dadu putihRuang Sampel ( S): kumpulan pasangan( i , j ) dengan i = 1, 2, 6 dan j = 1, 2, ., 6

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Misalnya kita tertarik pada kejadian jumlah titik dadu yang tampak adalah 7, dan kejadian adanya titik kedua dadu sama, maka Kita misalkan: A = kejadian jumlah ttk yg tampak adalah 7

B = kejadian bahwa titik kedua dadu sama

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 2:Percobaan: Dalam dua minggu 4 pasien diberi obat. Sembuh dan tidaknya pengobatan pasien dicatat.Hasil : Semua pasangan yg mungkin dari ke 4-pasien. Misalnya, K = kesuksesan dalam pengobatan dan G = kegagalan dalam pengobatanRuang Sampel(S): kumpulan semua pasangan dari hasil eksperimen **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Misalnya:Kejadian A = semua pasien akan sembuh Kejadian B = ada 50% lebih pasien yg sembuh

Jika menyatakan banyaknya komponen yang muncul dalam kejadian tersebut maka: **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 3:Percobaan: Terdiri atas lantunan uang logam, bila muncul sisi muka akan dilakukan lantunan untuk kedua kalinya. Tetapi jika lantunan pertama diperoleh sisi belakang, lantunan kedua akan digulirkan sebuah dadu.Guna mencatat semua unsur dalam ruang sampel S yang memberikan informasi terbanyak, sebaiknya mencacat secara bersistem menggunakan diagram pohon seperti gambar 1Hasil: Semua pasangan (i,j), yang muncul pada lantunan pertama dan lantunan kedua.Ruang Sampel(S): dari gambar 1 diperoleh

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Hasil kedua

MB123456Titik Sampel

MMMBB1B2B3B4B5B6Hasil pertama

M

B

Gambar 1. Diagram pohon untuk contoh 3.**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 1: Komplemen suatu kejadian A terhadap ruang sampel S, adalah himpunan yang semua unsur S yang tidak termasuk dalam A. Dinyatakan dengan

Dalam contoh 3. Misalnya , A = kejadian munculnya titik sampel yang sama = {MM}

Maka

Jika B = {hasil pertama sisi belakang} = {B1, B2, B3, B4, B5, B6}, maka **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 2:Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan A B, adalah kejadian yang memuat semua unsur yang termasuk dalam A, atau B, atau sekaligus kedua- keduanya.

Contoh 5:Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e } A B = { a, b, c, d, e } dan B A = { a, b, c, d, e } disini A B = B A**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 3: Irisan dua kejadian A dan B dinyatakan A B, ,adalah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A, dan B.

Contoh 6: Misalkan A = { a, b, c } dan B = { b, c, d, e } A B = {b, c} dan B A = {b, c} disini A B = B A**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 4: Dua kejadian A dan B saling meniadakan atau terpisah bila A B= , yaitu bila A dan B tidak memiliki unsur persekutuan. Misalkan A {a, b, c} dan B = { b, c, d, e } A B = {b, c} dan B A = {b, c} disini A B = B A

Contoh 7:Misalkan A = {a, e, i, o, u} dan B = {r, s, t} A B = yaitu A dan B tidak mempunyai unsur persekutuan, jadi tidak mungkin muncul serentak.**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Teorema 1:Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan setiap cara pada operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua operasi tersebut secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1n2 cara. Aturan perkalian ini dapat diperluas sehingga mencangkup banyak (=k) operasi. **AGUSTINI TRIPENAMenghitung Titik Sampel

AGUSTINI TRIPENA

Teorema 1:Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara, dan setiap cara pada operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n2 cara, maka kedua operasi tersebut secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1n2 cara. Aturan perkalian ini dapat diperluas sehingga mencangkup banyak (=k) operasi. **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 8:Suatu perusahaan perumahan menawarkan untuk calon pembeli menyajikan beberapa pilihan rumah gaya luar berbentuk tradisional, spanyol, kolonial dan modern, bertempat di daerah pusat kota, pantai,dan bukit. Ada berapa banyak pilihan seseorang pembeli dapat memesan rumah?Jawab: n1 = 4; n2 =3Jadi banyaknya pilihan untuk memesan rumah = (n1)(n2) = (4)(3) = 12 macam Dapat pula dinyatakan seperti diagram pohon pada Gambar (1.2)**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Modern

Spanyol

Kolonial

TradisionalBukitPantaiPusat KotaBukitPantaiPusat KotaBukitPantaiPusat KotaBukitPantaiPusat Kota

Gambar 2. Diagram pohon untuk contoh 8**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 9:Seorang langganan ingin memasang telepon dan ia dapat memilih dari 10 warna dekorasi, 3 pilihan panjang kawat sambungan dan 2 jenis telepon yang diputar atau yang pakai tombol. Ada berapa banyak pilihan jika seseorang akan memasang telepon tersebut di atas?

Jawab: n1 = 10; n2 =3; n3 = 2 Jadi banyaknya pilihan jika seseorang akan memasang telepon adalah (n1)(n2)(n3) = (10)(3)(2) = 60 macam pilihan

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 5: Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan obyek yang diambil sebagian atau seluruhnya Banyaknya permutasi dari n-elemen setiap kali dipilih k- elemen dinyatakan dengan simbol atau atau P (n, k) ; Didefinisikan: o! = 1

**AGUSTINI TRIPENAContoh 11: untuk n = 4 dan k = 3 , diperoleh

AGUSTINI TRIPENA

Teorema 2: Banyaknya permutasi dari n-obyek yang berbeda adalah n! (dibaca n-faktorial)

**AGUSTINI TRIPENAContoh 12: Ada berapa permutasi yang dapat dibentuk dari himpunan yang mempunyai 3 anggota yang berlainan. Jawab:Misalnya himpunan tersebut adalah H = {a, b, c}Permutasi yang dapat dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, cba. Ada 6 susunan yang berlainan. AtauPermutasi yang dapat dibuat adalah = (3)(2)(1) = 6 (susunan yang berlainan)

AGUSTINI TRIPENA

Teorema 3: Banyaknya permutasi n-obyek berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!Contoh 13: Berapa banyaknya permutasi dari 5 orang yang duduk di meja bundar.Jawab: Misalnya nama orang tersebut adalah A, B, C, D, E Banyaknya permutasi yang dapat dibentuk melingkar ini adalah 4! = 24 susunan**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Teorema 4:Banyaknya permutasi dari n-obyek yang berlainan jika diantaranyan1 berjenis pertama, n2 berjenis ke-2, . , nk berjenis ke-k adalah

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 14: Berapa banyaknya jadwal yang dapat disusun dalam penyelenggaran pelatihan kerja, untuk 3 penceramah dalam 3 pertemuan bila ke-3nya bersedia memberikan pelatihan setiap hari selama 5-hari kerja?

Jawab: Dalam hal ini n = 5 dan k = 3, permutasi yang dapat dibentuk adalahJadi banyaknya jadwal yang dapat disusun dalam penyelenggaran pelatihan kerja tersebut adalah 60 macam susunan**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 5: Suatu himpunan bagian yang terdiri dari k elemen yang diperoleh dari suatu himpunan dengan n elemen disebut suatu Kombinasi dari n elemen setiap kali diambil k elemen.Diberi simbol sebagai: Dengan rumus:

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Teorema 5: Banyaknya kombinasi dari n-obyek yang berlainan bila diambil sebanyak r-sekaligus adalahTeorema 6: Banyaknya cara menyekat suatu himpunan dari n-obyek dalam r-sel, masing-masing berisi n1 unsur dalam sel-pertama, n2 dalam sel ke-2, , nr dalam sel ke-r adalah**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Catatan: Dari satu kombinasi dapat disusun k! permutasi, ini berarti bahwa jumlah permutasi yang diperoleh dari semua kombinasi, sama dengan k! kali jumlah kombinasinya.Jadi atau **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 15: Berapa banyaknya cara untuk menampung 7 orang dalam 3 kamar hotel, jika tersedia 1 kamar mempunyai 3 tempat tidur sedangkan 2 kamar lainnya mempunyai 2 tempat tidur?Jawab: Jumlah seluruh sekat adalah cara

Contoh 16 :Berapa kombinasi dari 4 huruf ABCD, jika diambil 3 huruf ?Jawab : Untuk n = 4 dan k = 3 diperoleh**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Tabel 1. tabel 4C3 Keterangan: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA adalah kombinasi-kombinasi yang sama (lihat baris pertama)

**AGUSTINI TRIPENA

KombinasiPermutasiABCABCACBBACBCACABCBAABDABDADBBADBDADABDBAACDACDADCCADCDADACDCABCDBCDBDCCBDCDBDBCDCB

AGUSTINI TRIPENA

Definisi Probabilitas, Peluang*Bila kejadian A terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dan masing-masing n cara itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian A, ditulis P(A), dapat dituliskan :*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Lanjutan ProbabilitasHarga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Lanjutan Probabilitas Atau dengan kata lain :Bila suatu percobaan mempunyai N hasil percobaan yang berbeda, dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, bila tepat n diantara hasil percobaan itu menyusun kejadian A, maka peluang kejadian A didefinisikan sebagai:

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Sifat-sifat ProbabilitasJika A B = , maka **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Lanjutan Sifat-sifat probabilitas :*0 P(A) 1 , artinya nilai probabilitas kejadian A selalu terletak antara 0 dan 1P(A) = 0, artinya dalam hal kejadian A tidak terjadi (himpunan kosong), maka probabilitas kejadian A adalah 0. Dapat dikatakan bahwa kejadian A mustahil untuk terjadi.P(A) = 1, artinya dalam hal kejadian A, maka probabilitas kejadian A adalah 1. Dapat dikatakan bahwa kejadian A pasti terjadi.*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh :*Sebuah koin dilemparkan dua kali. Berapakah probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka?Jawab : Misal M = Muka , B = Belakang Ruang sampel untuk percobaan ini adalah S = {MM, MB, BM, BB} Kejadian A = muncul paling sedikit satu Muka adalah A = {MM, MB, BM}Jadi, Probabilitas bahwa paling sedikit muncul satu Muka adalah

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh :*Suatu campuran kembang gula berisi 6 mint, 4 coffee, dan 3 coklat. Bila seseorang membuat suatu pemilihan acak dari salah satu kembang gula ini, carilah probabilitas untuk mendapatkan : (a) mint, dan (b) coffee atau coklat.Jawab : Misal, M = mint , C = coffee , T = coklat(a). Probabilitas mendapatkan mint = (b). Probabilitas mendapatkan coffee atau coklat =

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Probabilitas kejadian majemuk*Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A dan B adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada keduanya.*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Probabilitas kejadian majemuk:*Bila A, B, dan C kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka probabilitas gabungan kejadian A, B, dan C adalah :*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh :*Kemungkinan bahwa Ari lulus ujian matematika adalah 2/3 dan kemungkinan ia lulus bahasa inggris adalah 4/9. Bila probabilitas lulus keduanya adalah 1/4, berapakah probabilitas Ari dapat paling tidak lulus salah satu dari kedua pelajaran tersebut?Jawab :Bila M adalah kejadian lulus matematika, dan B adalah kejadian lulus bahasa inggris, maka :Probabilitas Ari lulus salah satu pelajaran tersebut adalah :P(M B) = P(M) + P(B) P(M B)= 2/3 + 4/9 1/4 = 31/36

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Dua kejadian saling lepas (disjoint events atau mutually exclusive):Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka berlaku :*Bila A, B, dan C tiga kejadian saling lepas, maka berlaku :*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh :*Berapakah probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 bila sepasang dadu dilemparkan?Jawab :Bila A adalah kejadian diperoleh total 7, maka A = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}Bila B adalah kejadian diperoleh total 11, maka B = {(5,6), (6,5)}Sehingga probabilitas mendapatkan total 7 atau 11 adalah :P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 6/36 + 2/36 0= 8/36

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Dua kejadian saling komplementer:Bila A dan A dua kejadian dalam S yang saling komplementer, maka berlaku :**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh:*Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama.Jawab :Misal A = kejadian munculnya muka dua dadu yang sama= {(1,1), (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}maka P(A) = 6/36Sehingga,Probabilitas munculnya muka dua dadu yang tidak sama = P(A) adalah: P(A) = 1 P(A)= 1 6/36= 30/36

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Dua kejadian saling bebas (independent):Dikatakan saling bebas artinya kejadian itu tidak saling mempengaruhi.Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas, jika kejadian A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya kejadian A.Bila A dan B dua kejadian saling bebas, berlaku :**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh:*Pada pelemparan dua uang logam secara sekaligus, apakah kejadian munculnya muka dari uang logam pertama dan uang logam kedua saling bebas?Jawab :Ruang sampel S = {(m,m), (m,b), (b,m), (b,b)}Misalkan, A = kejadian muncul muka dari uang logam 1 P(A) = 2/4 = = {(m,m), (m,b)} B = kejadian muncul muka dari uang logam 2 P(B) = 2/4 = = {(m,m), (b,m)} A B = kejadian muncul dua muka dari uang logam 1 dan 2= {(m,m)} P(A B) = Bila A dan B saling bebas berlaku : P(A B) = P(A). P(B)= . = Jadi, A dan B saling bebas.

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Probabilitas bersyarat (conditional probability):*Adalah probabilitas suatu kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi. Ditunjukkan dengan P(BA) yang dibaca probabilitas dimana B terjadi karena A terjadi *AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 1:*Misalkan dipunyai kotak berisi 20 sekering, 5 diantaranya rusak. Bila 2 sekering diambil dari kotak satu demi satu secara acak tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak. Berapakah peluang kedua sekering itu rusak?Jawab : Misalkan A = kejadian sekering pertama rusakB = kejadian sekering kedua rusakMaka peluang kedua sekering itu rusak = P(A B)P(A B) = P(A). P(BA) = 5/20 . 4/19 = 1/19

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 2:*Berdasarkan hasil 100 angket yang dilakukan untuk mengetahui respon konsumen terhadap pasta gigi rasa jeruk (J) dan pasta gigi rasa strawbery (S), diperoleh informasi sebagai berikut : 20 pria menyukai rasa jeruk, 30 wanita menyukai rasa jeruk, 40 pria menyukai rasa strawbery, dan 10 wanita menyukai rasa strawbery.Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery?Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk?Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria?Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita?

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Jawab:*Misal W = Wanita, R = Pria, S = pasta gigi rasa Strawbery, dan J = pasta gigi rasa jeruk. Jadi,Apabila kita bertemu dengan seorang pria, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa strawbery adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang wanita, berapa probabilitas ia menyukai pasta gigi rasa jeruk adalah Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa jeruk, berapa probabilitas ia adalah pria adalah

Apabila kita bertemu dengan seorang yang menyukai pasta gigi rasa strawbery, berapa probabilitas ia adalah wanita adalah

*AGUSTINI TRIPENA

ResponsenJSJumlahR204060W301040Jumlah5050100

AGUSTINI TRIPENA

Aturan Bayes :*Misalkan A1, A2, dan A3 adalah tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S.B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. *AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

probabilitas kejadian B adalah :*P(B) = P(BA1). P(A1) + P(BA2). P(A2) + P(BA3). P(A3)=disebut Hukum Probabilitas Total *AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*Secara umum, bila A1, A2, A3, , An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat AiB dirumuskan sebagai berikut :disebut Rumus Bayes (Aturan Bayes). *AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh:*Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu.. Berapakah peluang bola yang terambil berwarna merah? Berapakah peluang bola tersebut terambil dari kotak 2?

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Jawab*P(bola yang terambil berwarna merah) =

P(bola merah tersebut terambil dari kotak 2) =

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Daftar Isi Materi: Perubah Acak Diskrit dan Kontinyu Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Kontinyu Fungsi Padat gabungan Distribusi Marginal Probabilitas Bersyarat Bebas Statistik

AGUSTINI TRIPENA

Variabel acak suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel atau Sebuah ukuran atau besaran yang merupakan hasil suatu percobaan atau kejadian yang terjadi acakVariabel acak diskret Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai tertentu dalam suatu interval.

Variabel acak kontinu Ukuran hasil percobaan yang mempunyai nilai yang menempati seluruh titik dalam suatu interval.**AGUSTINI TRIPENAVariabel Random

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 4: Misalkan f(x) merupakan fungsi probabilitas, fungsi massa probabilitas, atau distribusi probabilitas dari perubah acak diskrit X, maka berlaku:

1. 2. 3. Distribusi kumulatif F(x) dinyatakan sebagai

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 1:Suatu eksperimen dari pelemparan sebuah mata uang logam sebanyak 3 kali. Tentukan distribusi probabilitas X yang menyatakan banyaknya sisi muka yang tampak dari hasil eksperimen tersebutJawab: Hasil eksperien adalah sbb; dimana M = sisi muka ; B = sisi belakangMisalnya: X = perubah acak yang menyatakan banyaknya sisi muka yg muncul X = { 0, 1, 2, 3}Untuk x=0, artinya tidak ada sisi muka yg muncul x=1, artinya ada 1-sisi muka yg muncul

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

x=2, artinya ada 2-sisi muka yg muncul x=3, artinya ada 3-sisi muka yg munculTabel 1 Distribusi Probabilitas perubah acak X

Untuk x=0, artinya tidak ada sisi muka yg muncul x=1, artinya ada 1-sisi muka yg muncul**AGUSTINI TRIPENA

X0123

AGUSTINI TRIPENA

Tabel diatas, memenuhi: 1. f(x) 0 2. 3.

Distribusi kumulatif perubah acak X:

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Berdasarkan contoh 1 diperoleh mean dari distribusi adalah

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*dan variansi dari distribusi adalah

AGUSTINI TRIPENA

Variabel Random*GGGGGAGAGAGGAAGAGAGAAAAA0

1

2

3XX adalah banyaknya sisi Angka yang muncul dalam percobaan*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Variabel RandomVariabel random adalah suatu fungsi yang mengkaitkan bilangan riil pada setiap unsur dalam ruang sampel S. Variabel random dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil padanannya, misalnya x.Contoh : X = 2 artinya munculnya sisi A sebanyak dua kali, yaitu peristiwa {AAG, GAA, AGA} **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi peluangJika X = 2, artinya kita memiliki peristiwa {AAG, GAA, AGA} ,maka peluang peristiwanya adalah :

Disebut sebagai fungsi peluang Atau disebut juga sebagai fungsi variabel random, fungsi distribusi

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Secara teoritis, kurva distribusi probabilitas populasi diwakili oleh polygon frekuensi relatif yang dimuluskan fungsi kepadatan probabilitas (probability density function pdf) f(x)

Luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh sumbu-x antara garis x = a dan x = b menyatakan bahwa probabilitas bahwa X terletak antara x = a dan x = b yaitu

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Agar sebuah fungsi dapat menjadi sebuah fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak kontinu :1 Fungsi kepadatan probabilitas f(x) 0 2 Luas total daerah di bawah kurva f(x) adalah 1 yaitu

Jika X variabel acak kontinu maka berlaku

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Contoh 2 : Dalam suatu proses produksi obat-obatan, suatu bahan kimia harus dipanaskan dalam oven terlebih dahulu sebelum dapat diproses selanjutnya Oven dapat dipergunakan setiap selang waktu 5 menit Karena variasi waktu dalam persiapannya, bahan kimia tersebut tidak selalu tersedia pada saat yang bersamaan dengan saat oven siap pakai Jadi jika terlambat bahan kimia tersebut harus menunggu sampai waktu oven siap kembali digunakan Jika X variabel acak kontinu yang menyatakan waktu tunggu bahan kimia sampai bisa dipanaskan dalam oven maka himpunan nilai X yang mungkin adalah { 0 x 5 }

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Salah satu fungsi kepadatan probabilitas bagi X adalah

Probabilitas waktu tunggu bahan kimia selama 1 sampai 3 menit adalah

Probabilitas waktu tunggu bahan kimia tersebut lebih dari 3,5 menit adalah

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Jika variabel acak X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas f(x) maka fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak X dapat dinyatakan sebagai

Hubungan antara fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi dapat dinyatakan sebagai :

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Mean distribusi :

Variansi distribusi :

Contoh 2 (lanjutan) Fungsi distribusi :

untuk 0 x 5

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Mean distribusi adalah

dan variansi distribusinya adalah

AGUSTINI TRIPENA

**AGUSTINI TRIPENA3) Sebuah dadu dilemparkan 2xMisalkan : x = jumlah titik dadu dalam kedua lemparan itu, maka x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12Tabel distribusi probabilitas x :

P(x>8) = P(x=9)+P(x=10)+P(x=11)+ P(x=12) = = P(4

**AGUSTINI TRIPENA3) Eksperimen : 8 bit (1 byte) dibangkitkan secara acak.Variabel random y = banyak bit 1 dalam bytey = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8y = 0 n = c(8,0) = 1y = 1 n = c(8,1) = 8y = 2 n = c(8,2) = 28y = 3 n = c(8,3) = 56y = 4 n = c(8,4) = 70y = 5 n = c(8,5) = 56y = 6 n = c(8,6) = 28

AGUSTINI TRIPENA

**AGUSTINI TRIPENAy = 7 n = c(8,7) = 8y = 8 n = c(8,8) = 1n(S)=banyak cara membangkitkan 8 bit(0 & 1) = = 256Tabel distribusi probabilitas x :

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 3: Sebuah toko elektronik menjual 15 radio yang diantaranya ada 5 yang rusak. Jika seoarang calon pembeli melakukan test 3 radio yang dipilih secara random, tuliskan distribusi peluang dari banyaknya radio yang rusak dalam sampel tersebutJawabMisalkan:X = perubah acak yang menyatakan banyaknya radio yg rusak X = {0, 1, 2, 3}

10B, 5R 3 ; x=0,1,2,3 15 Diperoleh:

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

x=2 ; x=3

x=0 ; x=1 **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Tabel 2 Distribusi Probabilitas perubah acak XTabel diatas, memenuhi: 1. 2. 3.

Distribusi kumulatif perubah acak X:

**AGUSTINI TRIPENA

X0123

AGUSTINI TRIPENA

3. Distribusi Probabilitas KontinyuDistribusi probabilitas kontinyu adalah distribusi yang memuat perubah acak kontinyu. Distribusi probabilitas kontinyu dinyatakan dalam bentuk rumusan (dan tidak dapat dinyatakan dalam bentuk tabel) karena perubah acaknya berupa interval (selang). Cara menghitung fungsi peluang utk berbagai selang dari perubah acak kontinyu adalah sebagai berikut:**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Gambar 1. Luas daerah yang diarsir = 0 a bx Tidak menjadi soal, apakah titik ujung selang diikutsertakan atau tidak. Lihat gambar 1y **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 5: Misalkan f(x) merupakan fungsi probabilitas, dari perubah acak kontinyu X, maka berlaku:1.2. 3. Distribusi kumulatif F(x) dinyatakan sebagai Akibatnya: **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 4:Misalkan galat suatu reaksi dalam derajat celsius (0c) pada percobaan di laboratorium yang dikontrol merupakan perubah acak X yang mempunyai fungsi peluang sbb:

a). Tunjuan b). Hitung Jawab**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 5:Carilah distribusi kumulatif dari contoh(3.4) dan kemudian hitung P(0 < X < b)Jawab: untuk -1 < X < 2 Jadi:

Diperoleh:**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*4. Fungsi Probabilitas Bersama/Gabungan (Joint Probability)Pada Variabel acak dan distribusi probabilitas telah dibatasi hanya untuk ruang sample berdimensi satu, dalam arti bahwa hasil-hasil yg diperoleh sari suatu percobaan merupakan nilai-nilai yang dapat diambil oleh suatu peubah (variabel) acak. Dalam prakteknya banyak kondisi yang menghendaki kita untuk mencatat.

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Sehingga untuk dinyatakan dalam bentuk formula kita ambil suatu contoh yaitu X dan Y adalah dua variabel acak diskrit, distribusi probabilitas bersamanya dapat dinyatakan sebagai sebuah fungsi f(x,y) bagi sembarang nilai (x,y) yang dapat diambil oleh peubah acak X dan Y. Sehingga dalam kasus variabel acak diskrit tersebut dinyatakan dalam :

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Formula Fungsi Probabilitas Bersamaf(x,y) = p(X=x, Y=y)Dimana : f(x,y) adalah pernyataan peluang bahwa x dan y terjadi secara brsamaan.

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Variabel Diskrit Hasil Lemparan Dadu Dua kali

X\Y123456111121314151622122232425263313233343536441424344454655152535455566616263646566

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Distribusi Probabilitas Bersama, p(x,y)

X\Y12345611/361/361/361/361/361/3621/361/361/361/361/361/3631/361/361/361/361/361/3641/361/361/361/361/361/3651/361/361/361/361/361/3661/361/361/361/361/361/36

AGUSTINI TRIPENA

4. Fungsi Massa Gabungan /bersamaKadang-kadang pencatatan hasil percobaan yang kita peroleh tidak selalu berasal dari perubah acak yang tunggal. Ada kalanya diperlukan pencacatan beberapa perubah acak yang terjadi secara serentak. Jika X dan Y perubah acak, maka probabilitas terjadinya secara serentak dari X dan Y dinyatakan sebagai f(x,y) disebut Distribusi Probabilitas Gabungan, untuk setiap pasangan (x,y) dalam rentangan X dan YJika X dan Y merupakan dua perubah acak diskret yang dapat terjadi secara serentak dinyatakan dengan notasi f(x,y), maka f(x,y) disebut Fungsi ( atau distribusi ) Massa Gabungan dari perubah acak X dan Y.

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 6:Fungsi f(x,y) disebut distribusi probabilitas gabungan atau fungsi massa gabungan dari perubah acak diskret X dan Y jika:1. f(x,y) 0; untuk semua (x,y) 2.3. P(X=x,Y=y) = f(x,y) Untuk setiap daerah A di bidang xy, maka P[(X,Y)A] =

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 6:Dua buah bolam dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 bolam berwarna biru, 2 berwarna merah, dan 3 berwarna hijau. Jika X menyatakan banyaknya bolam berwarna biru dan Y berwarna merah yang terpilih, maka hitunglah: a. fungsi probabilitas gabungan X dan Y b. P[(X,Y)A], bila A daerah {(x,y)/ x+y 1}

Jawab: a. Misalkan,X = banyaknya bolam biru yang terambil = {0, 1, 2} Y = banyaknya bolam merah yang terambil = {0, 1, 2} Pasangan nilai (x,y) yang terjadi :(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Ilustrasi:

2 n(S) = 3B 2M,3H 8 Misalnya n(S) = banyaknya cara memilih 2 bolam dari 8 yang ada Fungsi peluang gabungan f(x,y) dinyatakan dengan rumus: x = 0, 1, 2 y = 0, 1, 2 0 x+y 2**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

b. Dari hasil a), diperoleh sbb:

;

;

;**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Dari hasil diatas dapat dibuat tabel distribusi probabiliatas sbb: Tabel 3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y Jadi P[(X,Y)A] = P(x+y 1) = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) = + + =**AGUSTINI TRIPENA

f(x,y)XJumlah baris 0 1 2Y012 Jumlah kolom1

AGUSTINI TRIPENA

Fungsi Padat Gabungan Jika X dan Y, perubah acak kontinu, maka f(x,y) disebut fungsi padat gabungan dari X dan Y yaitu suatu permukaan yang terletak di atas bidang xy, dan P[(X,Y)A] dimana A adalah daerah di bidang xy , sama dengan isi silinder kanan yang dibatasi oleh dasar A dan permukaan. Fungsi padat gabungan ini merupakan cara menjelaskan distribusi probabilitas untuk populasi atau sistem. **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 7: Fungsi f(x,y) disebut fungsi padat gabungan dari perubah acak kontinu X dan Y jika: 1. f(x,y) 0; untuk semua (x,y) 2.3. P[(X,Y)A] = untuk tiap daerah di bidang xy

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 7:Suatu pengiriman barang yang memproduksi coklat dengan campuran krem,cofee dan kacang, dengan berlapis coklat cerah dan pekat. Bila sebuah kotak diambil secara acak , serta X dan Y masing-masing menyatakan proporsi campuran krem berlapis coklat cerah dan pekat dengan fungsi padat gabungannya adalah :

a. Tunjukan b. Cari P[(X,Y)A] jika A daerah {(x,y)/ 0 < x < ; < y < }

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Jawab:a.

b. P[(X,Y)A] = P ( 0 < x < ; < y < )

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

5. Distribusi Marginal (pias)

Jika f(x,y) peluang gabungan dari perubah acak diskrit X dan Y maka peluang g(x) dari X sendiri diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y) terhadap semua Y. demikian pula untuk distribusi peluang h(y) dari Y diperoleh dengan menjumlahkan f(x,y) terhadap semua nilai X. g(x) disebut distribusi marginal dari X, dan h(y) disebut distribusi marginal dari Y.Jika X dan Y perubah acak kontinu, tanda penjumlahan diganti dengan integral.**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 8: Distribusi marginal dari perubah acak X sendiri dan Y sendiri didefinisikan sebagai : a. Untuk hal diskrit, maka

dan

b. untuk hal kontinu, maka

dan **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 8:a. Tunjukan jumlah kolom dan baris pada tabel 3 memberikan distribusi marginal dari X sediri dan Y sendiri.b. Cari g(x) dan h(y) untuk fungsi padat gabungan pada contoh 6Jawab:

a. Untuk perubah acak X

P(X=0) = g(0) =

P(X=1) = g(1) =

P(X=2) = g(2) =

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Untuk perubah acak Y

P(Y=0) = h(0) =

P(Y=1) = h(1) =

P(Y=2) = h(2) =

Distribusi Marginal dalam bentuk tabel sbb:

**AGUSTINI TRIPENA

x 012g(x)

y 012h(y)

AGUSTINI TRIPENA

b. Untuk perubah acak X

dan

Untuk perubah acak Y

dan

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Catatan:Distribusi marginal g(x) dan h(y) adalah distribusi masing-masing perubah X dan Y sendiri. Hal ini dapat dengan mudah dengan menunjukan misalnya untuk hal kontinu:

Dan P(a< X < b) = P(a< X < b; - < Y < )

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

6. Definisi Probabilitas BersyaratProbabilitas terjadinya kejadian B ketika telah diketahui bahwa kejadian A terjadi disebut dengan probabilitas bersyarat kejadian B atas kejadian A, disimbolkan dengan P(B|A). P(B|A) ini didefinisikan sebagai:

P(B|A) = ,jika P(A) > 0**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi Bersyarat Menurut definisi probabilitas bersyarat sebelumnya bahwa kejadian B terjadi setelah A muncul dinyatakan:

Jika kejadian A dan B masing-masing menyatakan X=x dan Y=y, maka untuk X dan Y perubah acak diskrit:

Jika ditulis f(y/x), maka diperoleh definisi berikut ini Berlaku juga untuk X dan Y kontinu.**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 9: Misalkan X dan Y merupakan perubah acak diskrit maupun kontnu. Maka distribusi probabilitas bersyarat dari perubah acak Y , jika diketahui X=x dinyatakan sebagai:

Distribusi peluang bersyarat perubah acak X, jika diketahui Y=y dinyatakan sebagai:**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Mencari probabilitas perubah acak diskrit X , a

Contoh 9:Kembali ke contoh 6. a). Cari distribusi bersyarat X, jika diketahui Y=1b). Gunakan a). Untuk menghitung P(X=0/Y=1)

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Jawab:a). Yang akan kita cari

Pertama-tama dicari

b). Untuk menghitung P(X=0/Y=1)**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Tabel 3.4 distribusi bersyarat X, bila Y=1Sehingga diperoleh P(X=0/Y=1) = f(0/1) =

Jadi bila diketahui bahwa 1 dari kedua isi bulpoint yang terambil berwarna merah maka probabilitasnya bahwa isi yang satu lagi bukan biru **AGUSTINI TRIPENA

x 0 1 2f(x/1)0

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 10:Misalkan X perubah acak yang menyatakan banyaknya pelari pria dan Y pelari wanita yang menyelesaikan lomba-lomba maraton. Secara matematika dapat dinyatakan sebagai fungsi padat gabungan:

a). Hitung lah g(x), h(y), f(y/x)b). Tentukan peluang bahwa kurang dari 1/8 pelari wanita yang menyelesaikan maraton bila ada tepat 1/2 pria telah menyelesaikan maraton tsb

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Jawab:

dan

Jadi,

dan**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 11: Diketahui fungsi padat gabungan:

a). Carilah g(x), h(y), f(x/y) b). HitunglahJawab: menurut definisi,

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

dan

Jadi,

dan

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

7. Bebas Statistik Jika f(x/y) tidak tergantung pada y, maka hasil dari perubah acak Y tidak mempengaruhi oleh hasil perubah acak X, dan disebut bahwa X dan Y perubah acak bebas.Definisi 10:Jika f(x,y) merupakan fungsi probabilitas gabungan dari perubah acak X dan Y dan distribusi marginal masing-masing g(x) dan h(y), maka X dan Y dikatakan bebas statistik jika :

untuk setiap (x,y) dalam daerah definisinya**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 12: Tunjukan bahwa perubah acak pada contoh (7.1) tidak bebas statistik.Jawab: Untuk x=0 dan y=1 pada tabel 7.1. diperoleh

diperoleh: , Jadi X dan Y tidak bebas statistik**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Definisi (3.8) juga berlaku untuk n-perubah acak ,yaitu:

untuk setiap dalam daerah definisinyaContoh 13: Umur makanan kemasan dalam kotak sebelum rusak (tahan lama) merupakan perubah acak dengan fungsi padat berbentuk

Hitung **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Jawab: Misal menyatakan umur tahan lama dari tiga kotak makanan. karena dipilih secara acak, maka dapat dianggap bebas statistik, sehingga distribusi gabungannya:

Jadi:**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

HARAPAN MATEMATIKA DAN VARIANSIOLEHAGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Pengantar: Distribusi probabilitas memiliki berbagai sifat atau karakteristik yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi suatu distribusi. Karakteristik yang biasa digunakan antara lain rata-rata hitung yang biasa disebut harapan matematis (atau nilai harapan) dan variansi. Harapan matetatis ini menentukan tendensi sentral dari distribusi probabilitas. Sering kali kita menjumpai data pengamatan yang memuat perubah acak tidak tunggal. Misalnya, X dan Y perubah acak, maka nilai harapan dinyatakan , Variansi dari X da Y dinyatakan , dan kovariansi dari perubah acak X dan Y dinyatakan .

AGUSTINI TRIPENA

Daftar Isi Materi: Rata-rata Perubah Acak Variansi dan Kovariansi Rata-rata dan Variansi dari Kombinasi linier Teorema Chebyshev

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Nilai Harapan dan Varians dari Variabel Acak DiskritNilai Harapan variabel acak diskrit adalah rata-rata tertimbang terhadap seluruh kemungkinan hasil dimana penimbangnya adalah nilai probabilitas yang dihubungkan dengan setiap hasil ( outcome ).

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Nilai Harapan Variabel Acak DiskritE ( X )= x = xi.f (x)atauE ( X )= x = (xi.P(x))Dimana :Xi = nilai ke i dari variabel acak XP(xi) = probabilitas terjadinya xi

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Contoh :X = banyaknya pesanan barang dalam satuan yang masuk selama 1 minggu. P(X) = probabilitas X = x.

Hitung rata-rata banyaknya pesanan atau pesanan yang diharapkan.

X0123P(x)0,1250,3750,3750,125

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Varians dan Simpangan BakuDengan menggunakan nilai harapan ini maka varians atau simpangan baku dari distribusi teoretis dapat dihitung, yaitu :

Var (X) = 2 = E(X2) (E(X))2 Var (X) = 2 = (x ) 2. P(x) = Var (X)

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Nilai Harapan dari Fungsi Probabilitas Bersama.E[h(x,y) = h(x,y) p(x,y)dimana :h(x,y) = sembarang fungsi dari X dan Yp(x,y) = probabilitas terjadinya X dan Y secara bersama-sama.

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Contoh : Apabila diketahui p(x,y) sebagai berikut :Carilah nilai E (X+Y)Carilah nilai E (X) + E (Y)Carilah nilai E (XY)

X\Y01234P(x)200,10,10,200,430,100,100,20,440,10,10000,2q(y)0,20,20,20,20,21

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Dimana :Xi = nilai variabel acak X ke iYi = nilai variabel acak Y ke ip(xi,yi) = probabilitas terjadinya xi dan yii = 1, 2, 3, ., nPersamaan Kovarians

AGUSTINI TRIPENA

1. Rata-rata Perubah Acak. Rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi peluang X ditulis X atau . . Dalam statistik rata-rata ini disebut harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X, dinyatakan sebagai E(X)..Rata-rata atau nilai harapan dari perubah acak X ini menggambarkan letak pusat distribusi probabilitas.

AGUSTINI TRIPENA

.E(X) tersebut adalah rata-rata dan tidak perlu menyatakan hasil yang muncul dalam percobaannya..Rata-rata ini yang disebut rata-rata perubah acak X atau rata-rata distribusi probabilitas X, dan juga banyak yang menyebutnya harapan matematik atau nilai harapan dari perubah acak X.

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 1: Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan (atau rata-rata) perubah acak X adalah

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 2: Carilah nilai harapan banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah 3 orang yang dipilih secara acak dari 4 statistikawan dan 3 ahli biologi.Jawab: Misalkan X = banyaknya statistikawan dalam panitia. X = {0, 1, 2, 3} Fungsi probabilitasnya dinyatakan sebagai

Dari perhitungan diperoleh:

AGUSTINI TRIPENA

Dibuat tabel distribusi probabilitas X Tabel 1. Distribusi Probabilitas X

Jadi nilai harapan (rata-rata) banyaknya statistikawan yang duduk dalam panitia adalah:

x0123f(x)

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 3 Hitunglah harapan umur dari bolam lampu, jika diketahui bahwa X perubah acak yang menyatakan umur (dalam jam) dari bolam lampu, yang dinyatakan dalam bentuk berikut:

Jawab: menurut definisi Jadi bolam lampu tersebut dapat diharapan (rata-ratanya)) berumur 200 jam

AGUSTINI TRIPENA

Teorema 1: Jika X suatu perubah acak dengan fungsi probabilitas f(x), maka nilai harapan perubah acak g(X) adalah

Contoh 4: Jika X menyatakan banyaknya mobil yang datang di tempat pencuci mobil setiap hari antara jam 13.00 14.00 mempunyai distribusi probabilitas seperti pada tabel di bawah ini: Tabel 2. Distribusi Probabilitas X

x456789P(X=x)

AGUSTINI TRIPENA

Jika diketahui bahwa g(X) = 2X-1 menyatakan upah para karyawan yang dibayar perusahaan pada jam tersebut (dalam ribuan rupiah), maka tentukan pendapatan yang diharapan karyawan perusahaan tersebut.

Jawab:

Jadi harapan penerimaan upah para karyawan = Rp 12,67

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 5

Jika X suatu perubah acak dengan fungsi padat pobabilitas:

Maka hitung nilai harapan g(x) = 4X+3Jawab: Nilai harapan g(x) = 4X+3 adalah

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 2: Jika X dan Y, perubah acak dengan fungsi probabilitas gabungan f(x,y), maka nilai harapan perubah acak g(X,Y) adalah

1. Untuk X dan Y diskret

2. Untuk X dan Y kontinu

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 6: Jika X dan Y suatu perubah acak dengan distribusi peluang gabungan seperti tabel berikut: Tabel 3. Distribusi Peluang Gabuangan X dan Y

Hitung nilai harapan g(X,Y) = XY

f(x,y)XJumlah baris 0 1 2Y0

1

2 Jumlah kolom1

AGUSTINI TRIPENA

Jawab:

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 7: Hitung nilai harapan untuk fungsi padat peluang

Jawab:

AGUSTINI TRIPENA

Catatan: Jika dalam definisi (2) g(X,Y) = X, maka

dan

dimana: g(x) distribusi marginal X dan h(y) distribusi marginal Y

AGUSTINI TRIPENA

2. Variansi dan Covariansi Variansi perubah acak X yang akan dibahas disini sangat berguna dalam memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar nilai rata-rata . Variansi dari perubah acak X diberi notasi Var(X)Definisi 3: Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x) dengan rata-rata ,maka variansi X adalah 2

AGUSTINI TRIPENA

Teorema 3:Jika X suatu perubah acak dengan fungsi peluang f(x), maka variansi perubah acak g(X) adalah a. untuk kasus diskret

b. untuk kasus kontinu Bukti: Langsung menggunakan teorema (1) dan definisi (3)

AGUSTINI TRIPENA

Definisi 4: Jika X dan Y perubah acak dengan distribusi probabilitas gabungan f(x,y), maka kovariansi X dan Y adalah a. untuk kasus X dan Y diskret

b. untuk kasus X dan Y kontinu

AGUSTINI TRIPENA

Teorema 4: Kovariansi dua perubah acah X dan Y dengan rata-rata dan diberikan oleh rumus:

Bukti:a. untuk kasus X dan Y diskrit

AGUSTINI TRIPENA

Karena

Maka diperoleh: b. Untuk kasus X dan Y kontinu (seperti a) dg mengganti tanda jumlahan dengan integral)

AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 8: Berikut ini perubah acak X menyatakan banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin jika 3 suku cadang disampling dari rantai produksi dan diuji. Kemudian hitung variansinya pada tabel di bawah ini Tabel 4. Distribusi Probabilitas X

Jawab:

Jadi banyaknya bagian yang cacat dari suatu mesin mempunyai variansi sebesar 0,4979

x0123f(x)0,510,380,100,01

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 9: Permintaan mingguan Coca Cola (dalam liter), pada jaringan pemasaran daerah merupakan perubah acak yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:

Carilah rata-rata dan variansinya Jawab:

Jadi rata-ratanya, dan variansinya,

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 10: Hitung variansi g(X) = 2X+3 ,jika perubah acak dengan distribusi probabilitas: Tabel 4.5. Distribusi Probabilitas X Jawab: Pertama-tama hitung rata-rata perubah acak 2X+3

Menggunakan teorema (3) pada kasus ini diperoleh

y0123f(y)

AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 11:Jika X perubah acak dengan fungsi probabilitas seperti contoh (5), maka cari variansi perubah acak g(X) = 4X + 3Jawab: Dari contoh (5) diperoleh; Menggunakan teorema (3) pada kasus ini diperoleh:

AGUSTINI TRIPENA

Jadi variansi perubah acak g(X) = 4X + 3 adalah:

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 12:Jika perubah acak X dan Y diberikan seperti pada contoh (6) dengan distribusi probabilitas gabungan pada tabel (1) maka carilah kovariansi dari X dan Y Jawab: Dari contoh (6) diperoleh Sekarang pada kasus ini diperoleh:

AGUSTINI TRIPENA

dan Sehingga diperoleh kovariansi dari X dan Y adalah:

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Contoh 13: Jika perubah acak X dan Y dengan fungsi padat gabungan diberikan sbb:

maka carilah kovariansi dari X dan YJawab: Dari contoh (10) diperoleh: dan Dan dapat dinyatakan sebagai:

dan

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Fungsi padat gabungan diatas, diperoleh:

Dan

Jadi kovariansi dari X dan Y

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*3. Rata-rata dan Variansi dari Konbinasi LinierDibawa ini diberikan beberapa sifat yang berguna untuk menyederhanakan perhitungan rata-rata dan variansi Teorema 5: Jika a dan b konstanta sembarang, maka

Bukti:Menurut definisi nilai harapan (kasus kontinnyu)

Karena: dan

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Akibatnya: 1. Jika diambil a=0, maka 2. Jika diambil b=0, maka Contoh 14:Kembali ke contoh (4) menggunakan diatas tentukan perubah acak Jawab: Menurut teorema diatas dapat dinyatakan Dari contoh (4) diperoleh

Jadi

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Contoh 15:Kembali ke contoh (5) menggunakan diatas tentukan perubah acak Jawab: Menurut teorema diatas dapat dinyatakan sebagai: Dari contoh (4.5) diperoleh

Jadi Hasilnya sama seperti pada contoh (5)

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Teorema 5: Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi tersebut, yaitu Bukti:Menurut definisi (kasus kontinnyu)

Analog untuk kasus diskrit

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Contoh 16:Diketahui X perubah acak dengan distribusi probabilitas sbb: Tabel 6. Distribusi Probabilitas X

Carilah nilai harapan Jawab: Menurut teorema diatas pada fungsi diperoleh Dengan

Jadi

x0123f(x)0

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Contoh 17:Jika diketahui X perubah acak dengan fungsi padat sbb:

Carilah nilai harapan Jawab: Menurut teorema diatas: Akibatnya:

Jadi

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Teorema 7: Nilai harapan selisih dua (atau lebih) fungsi perubah acak X dan Y sama dengan jumlah selisih dua (atau lebih) nilai harapan fungsi tersebut, yaitu Bukti:Menurut definisi (kasus kontinnyu)

Analog untuk kasus diskrit

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Akibatnya: 1. Jika maka diperoleh:

2. Jika maka diperoleh

Teorema 8: Jika X dan Y merupakan dua perubah acak bebas, maka

Bukti:Menurut definisi diatas (kasus kontinnyu)

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Karena X dan Y bebas, maka dapat ditulis Dimana g(x) dan h(x) merupakan distribusi pias, sehingga

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Contoh 17: Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan distribusi probabilitas gabungan:

Periksa apakah dipenuhi?

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Jawab

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Jadi

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Teorema 9: Jika a dan b konstanta sembarang, maka Bukti:Menurut definisi,dan

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Sehingga:

Akibatnya: 1. Jika a=1, maka 2. Jika b=0, maka

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Teorema 10: Jika X dan Y perubah acak dengan distibusi probabilitas f(x,y) maka Bukti:Menurut definisi,

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*dan

Maka

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Akibatnya: 1. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka

2. Jika X dan Y perubah acak bebas, maka3. Jika perubah acak bebas, maka berlaku

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Contoh 18: Jika X dan Y perubah acak dengan variansi ; dan kovariansi . Carilah variansi perubah acak : Jawab:

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Contoh 19: Misalkan X dan Y perubah acak bebas dengan variansi ; Carilah variansi perubah acak Jawab:

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*4. Teorema Chebyshev . Telah dikemukakan diatas bahwa variansi perubah acak akan memberikan gambaran mengenai keragaman pengamatan di sekitar rata-rata. . Bila variansi dan simpangan baku dari perubah acak kecil maka dapat diharapkan bahwa pengamatan akan mengelompok di sekitar nilai rata-rata. . Sehingga probabilitas perubah acak dalam selang tertentu di sekitar rata-rata akan lebih besar dari perubah acak serupa, yang lebih besar simpangan bakunya.. Tetapi jika nilai besar menyatakan keragaman yang lebih besar, sehingga dapat diharapkan pengamatan akan lebih menyebar. . Perhatikan gambar 1dibawah ini.

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Gambar 1. Keragaman pengamatan di sekitar rata-rata

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Gambar 2. Keragaman pengamatan dengan

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Teorema 11 (teorema Chebyshev) Probabilitas setiap perubah acak X mendapat nilai dalam k-simpangan baku dari nilai rata-rata adalah sekurang-kurangnya yaitu

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi peluang khususVariabel random diskret (Bernoulli, Binomial, Poisson,dll)Variabel random kontinu (Eksponensial, Normal, Chi Kuadrat, F, student t, dll)**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi bernoulli dan Binomial(Distribusi Probabilitas Diskrit)**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Percobaan Bernoulli :Sifat-sifat sebagai berikut :Tiap percobaan memberikan hasil yang dapat diidentifikasi sukses atau gagalProbabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan (tidak berubah) dari satu percobaan ke percobaan lainnya, sedangkan probabilitas gagal adalah q = 1- p.Nilai peluangnya untuk i = 0 (gagal) dan 1 (sukses) adalah**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi BinomialBanyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai : b(x,n,p) dimana x = 0,1, 2, , n**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Rata-rata dan Variansi Distribusi Binomial :Rata-rata =

Variansi = **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si* Contoh 1:Sebuah klub sepakbola amatiran hanya mampu mencetak gol sebanyak 3 kali dari 12 pemainnya yang melakukan tendangan penalti pada saat latihan. Pada suatu pertandingan sepak bola dengan klub lain, skor kedua klub adalah sama sampai akhir pertandingan sehingga harus dilakukan adu penalti. Dari 5 tendangan yang dilakukan oleh grup tersebut, hitung peluang bahwa: a. Tidak tidak terjadi golb. Paling sedikit empat gol dicetakc. Paling banyak empat gol dicetak

Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si

14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si* Penyelesaian. Diketahui: X = banyaknya gol dari n = 5 tendangan p = peluang sukses (terjadinya gol) = 3/12 = 1/4 maka X ~ B(5;0,25)Ditanyakan: (a). P(X = 0)(b). P(X 4)(c). P(X 4) a. Peluang tidak ada terjadi gol dari 5 tendangan:

b. Peluang paling sedikit empat gol dari 5 tendangan:

= = 0,0146 + 0,0010 = 0,0156c. Peluang paling banyak empat gol dari 5 tendangan


14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si*Contoh 2Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.Jawab: Misal tiap pengujian saling bebas

Catatan:


14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si*Contoh 3: Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang: a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh c). tepat 5 orang yg sembuhJawab: Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuhDiket : p = 0.4 n = 15

a).

Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338


14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si*b)

Jadi probabilitas terdapat 3 sampai 8 orang yg sembuh = 0.8779c)

Jadi probabititas tepat 5 orang yang sembuh = 0.1859


14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si*Contoh 4 : Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :a. Paling banyak 2 diantaranya menyatakan sangat puasb. Paling sedikit 1 di antara menyatakan kurang puasc. Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja


14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si*Jawab :a. X 2 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) = 0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 atau b(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768 b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960 b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480 ---------------------------------------------------- + Maka hasil x = 2 adalah = 0.94208


14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si* b. X 1 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) = 0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 X = 2 b(2; 5, 0.25) = 0.2637


14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si* c. X = 2 X = 4 Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut : b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528


14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si*Contoh 6. Tentukan mean dan variansi dari contoh (3) kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang

Jawab:Dari contoh diketahui n=15 dan p=0.4Diperoleh: dan

Menggunakan teorema Chebyshev adalah

Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 2.206 sampai 9.794


lATIHAN 1Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4. Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit ini, berapakah probabilitas :Tepat 5 orang yang sembuhAntara 3 sampai 8 orang yang sembuhPaling sedikit 10 orang yang sembuhPaling banyak 7 orang yang sembuh

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Kelemahan binomialSuatu saat populasi (sampel) yang diamati sangat banyak dan peluang terjadinya peristiwa tertentu sangat kecil. Distribusi Binomial tidak mampu lagi untuk menghitungnya.Contoh : ada sebanyak 3500 ekor sapi yang ada di Banyumas. Peluang seekor sapi akan melahirkan bayi sapi kembar adalah 0,001. Berapa peluang akan ada sebanyak 5 ekor sapi yang akan melahirkan bayi kembar? **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi Poisson(Distribusi Probabilitas Diskrit)**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Percobaan Poisson :Jika suatu percobaan menghasilkan variabel random X yang menyatakan banyak-nya sukses dalam daerah tertentu atau selama interval waktu tertentu, percobaan itu disebut percobaan Poisson. **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi PoissonJumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi , adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi Poisson adalah :

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Rata-rata dan Variansi Distribusi PoissonMean (rata-rata) dan variansi dari distribusi Poisson adalah .

Catatan :Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Hubungan Distribusi Poisson dengan Distribusi BinomialDistribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan np konstan. Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial, dengan = np**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Pendekatan Binomial Poisson

AGUSTINI TRIPENA

Contoh 2:

Besarnya kemungkinan ditemukan cacat pada hasil pengelasan titik adalah 0.001. Pada sebuah produk hasil rakitan terdapat 4000 titik pengelasan, berapa kemungkinan ditemukan lebih dari 6 cacat pada sebuah produk hasil rakitan?

Variabel random X (binomial) menyatakan jumlah cacat pada hasil rakitan, maka kemungkinan ditemukan lebih dari 6 cacat tersebut adalah

.

Perhitungan ini sulit dilakukan sehingga didekati dengan perhitungan untuk fungsi distribusi kemungkinan Poisson (dimana parameter adalah

) sebagai berikut

, maka kemungkinan ditemukan lebih dari 6 cacat adalah 1-0.889=0.111.

_997075178.unknown

_997075184.unknown

_997075147.unknown

*AGUSTINI TRIPENA* Contoh 1: Rata-rata banyaknya Tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menampung paling banyak 15 Tanker perhari. Berapa probabilitas pada suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi karena pelabuhan penuh dan tidak mampu melayani.

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Jawab: Misalkan: X = banyaknya Tanker minyak yg tiba tiap hari X = {1, 2, 3, . . . . . , 15} Maka Jadi peluang pd suatu hari tertentu Tanker terpaksa pergi = 0.0487Teorema(4) Distribusi poisson mempunyai rata-rata dan variansi sbb dan

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Contoh 2: Rata-rata banyaknya partikel radio atif yang meleati suatu penghiung selama 1 milidtik dalam suatu percobaan di laoratoium adalah 4. berapa probabilitas 6 partikel melewati penhtung it dalam 1 milidetik tertentu. Kemudikan gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang Jawab: dari tabel poisson dengan diperoleh

dari diperoleh Jadi, selang yang ditanyakan adalah dari 0 sampai 8

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Teorema(5) Misalkan X perubah acak binomial dengan distribusi probabilitas b(x,n,p). Jika n , p dan tetap sama maka Contoh 3: Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung(cacat) yang kadang menyebabkan sulit dipasarkan. Jika diketahui rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapa probailiasnya bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan erisi kurang dari 7 yang bergelembung?Jawab: n=8000, p=0.001 dihampiri dengan distribusi poisson dengan diperoleh menggunakan tabel:

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*

Diperoleh:

Dan

AGUSTINI TRIPENA

Latihan 2Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6 kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas :Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7 kecelakaanPada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi minimal 4 kecelakaanPada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi 4 kecelakaan

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Latihan 3Di suatu klinik bersalin rata-rata terjadi 6 pasien kabur dalam sebulan, maka hitunglah probabilitas :Pada suatu bulan tertentu terjadi 7 pasien kaburPada suatu bulan tertentu di klinik tadi terjadi minimal 4 pasien kabur

Distribusi Normal(Distribusi Probabilitas Kontinu)**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Kurva Normal dan Variabel Random NormalDistribusi probabilitas kontinu yang terpenting adalah distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal. Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti lonceng disebut variabel random normal.**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Pada distribusi kontinu, P(Z z) dan P(Z < z) nilainya sama saja. Contoh menghitung peluang dengan Tabel Normal:

AGUSTINI TRIPENA

Sifat kurva normal, yaitu :Kurva mencapai maksimum padaKurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui Kurva mempunyai titik belok pada Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normalSeluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x adalah 1**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi NormalVariabel random X berdistribusi normal, dengan mean dan variansi mempunyai fungsi densitas

luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan : X1xX2**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi Normal Standar (1) apabila variabel X ditransformasikan dengan substitusi maka :ternyata substitusi menyebabkan distribusi normal menjadi , yang disebut distribusi normal standar. **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Distribusi Normal Standar (2): Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai

ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel distribusi normal standar. **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Contoh 2Nilai IPK 300 mahasiswa tahun pertama dianggap mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 2,1 dan standar deviasi 0,6. Berapa banyak mahasiswa yang diharapkan mempunyai IPK di antara 2,45 dan 3,55 ?Penyelesaian:Diketahui: X = nilai IPK dan sehingga nilai z yang berpadanan adalah: dan

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA* Ditanyakan: = = = 0,9922 0,7190= 0,2732Jadi 27,32% mahasiswa mendapat nilai IPK di antara 2,45 dan 3,55.

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Jika Z ~ N(0,1) Apa interpretasi dari P(z1 < Z < z2)?Peluang antara z1 dan z2; atauLuas di bawah kurva normal baku yang dibatasi oleh z1 dan z2

Kurva tersebut dapat dipandang sebagai selisih luas di bawah kurva berikut:

sehingga P(z1 < Z < z2) = P(Z < z2) - P(Z < z1)

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Bagaimana bentuk distribusi yang tidak normal? Tidak simetris (miring kiri atau miring kanan). Sebagai ilustrasi:

Miring kanan (rata-rata > median) Miring kiri (rata-rata < median)

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Contoh 3 Sebuah perusahaan memproduksi susu bubuk rendah lemak. Diasumsikan kadar lemak susu bubuk merk A berdistribusi normal dengan mean 3,5 % dan standar deviasi 0,3 %. Berapakah probabilitas kadar lemak susu bubuk yang diambil secara acak berkisar antara 2,9 hingga 3,8 %?

Jika standar pabrik menentukan bahwa maksimal kadar lemak susu bubuknya adalah 4,0 %, hitunglah berapa persentase produk yang tidak memenuhi syarat tersebut?

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Jawaban soal nomor 3.Diketahui : = 3,5 dan = 0,3a. P( 2,9 x 3,8) =

Sehingga : P( 2,9 x 3,8) = P( -2,0 x 1) = P( -2,0 x 0) +P( 0 x 1,0) = 0,4772 + 0,3412 = 0,8184

P(X 4,0) = 0,5 P(0 x 4,0) = 0,5 P(0 Z 1,67) = 0,5 0,4525 = 0,0475

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Tabel. Distribusi Normal Nilai pada tabel III adalah luas dibawah kurva normal dari 0 sampai bilangan positif b atau P(0Zb).Contoh :4 Luas kurva normal dari 0 hingga 1,9P(0 Z 1,9)=0,3621

Karena Kurva normal simetris di =0 maka P(-1,9 Z 0)= 0,321

Karena kurva normal simetris di =0 dan luas dibawah kurva normal = 1 maka : P(0 Z +) = 0,5 dan P(-Z0)= 0,5 P(2,5 Z +) = 0,5 P(0Z2,5)= 0,5 0,4798=0,0202 P(0,5 Z 2,5) = P(0 Z 2,5)- P(0 Z 0,5) = 0,4798 0,1915 =0,2883

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*5. Suatu distribusi normal mempunyai mean 60 dan standar deviasi 12. Hitunglah :Luas kurva normal antara =60 dan x= 76 adalah : P(60 x 76) = .. Dicari dulu nilai Z-nya

Jadi P(60 x 76)= P(0 Z 1,33) = 0,4082

Luas kurva normal antara x1=68 dan x2=84.

P(68 x 84)= P(0,67 Z 2,00)= 0,4772-0,2486 = 0,2284

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Luas kurva normal antara x3=37 dan x4=72.

P(37 x 72)= P(-1,92 Z 1,00) = P(-1,92 Z 0,00) + P(0,00 Z 1,00) = 0,4726 + 0,3412 = 0,8136

d. Luas kurva normal antara x4=72 sampai positif takterhingga

P(72 x +)= 0,5 P(0 Z 1,00) = 0,5 0,3412 = 0,1588

AGUSTINI TRIPENA

Latihan 1Rata-rata berat 500 mahasiswa Fabio adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg. Berapakah banyaknya mahasiswa yang mempunyai berat kurang dari 53 kgdi antara 53 kg dan 57 kgBila nilai ujian statistika mempunyai mean 74 dan deviasi standar 7.9, hitunglahNilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan nilai 10% terendah mendapat E. Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa dengan nilai 5% tertinggi men-dapat A .

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Hubungan Distribusi Normal dan Distribusi Binomial:Jika n besar dan p atau q menuju 0, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal, sehingga bila X adalah variabel random yang berdistribusi Binomial dengan mean dan variansi maka Z berdistribusi normal standar **AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Pendekatan normal untuk binomialDistribusi normal akan memberikan pendekatan yang sangat baik jika n besar dan p mendekati 0,5. dalam hal ini : = np dan 2=np(1-p) sehingga : Contoh 4.Suatu proses produksi mempunyai kemungkinan 10% cacat, jika sampel sebanyak 100 buah diambil secara acak dari proses tersebut maka berapakah probabilitas :a. Delapan produk cacatb. Paling banyak lima produk cacatc. Paling sedikit lima belas produk cacatINGAT : Distribusi Normal : Kontinu VS Distribusi Binoamial : Diskrit

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Jawab : Kejadian binomial tetapi n besar shg didekati dengan distribusi normal, sehingga : = np = 100 X 10% = 10 2 = np(1-p) = 100. 10% X 0,9 = 9 = 3Maka :P(x = 8) = P (7,5 x 8,5) = P(-0,83 Z -0,5) = P (-0,83 Z 0) - (-0,5 Z 0) = 0,2967 0,1915 = 0,1052b. P(x 5) = P(x 5,5) = P(Z -1,5) = 0,5 P(-1,5 Z 0) = 0,5 0,4332 = 0,0668c. P(x 15) = P(x 14,5) = 0,5 P(0 x 14,5) = 0,5 P(0 Z 1,5) = 0,5 - 0,4332 = 0,0668

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Akhir tahun 1999, jumlah mahasiswa Kampus Selang sebanyak 752 orang. Yang mendapat bea siswa dari kampus tersebut ada 650 orang. Peluang yang mendapat bea siswa adalah 90%. Berapakah : a.Rata-rata mahasiswa yang seharusnya mendapat bea siswa ? b.Standar deviasinya ? c.Standar normalnya ?

Penyelesaian : Dik : x = 650, n = 752, p = 90% = 0.9 q = 1 p = 1 0.9 = 0.1 Dit : a. : ? b. : ? c. Z : ?

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*jawab : a. = n . p = 752 . 0.9 = 676.8 b. = n . p . q = 752 . 0.9 . 0.1 = 67.68 = 8.227 c. Z = (x - )/ = 650 676.8/ 8.227 = - 26.8 / 8.227 = - 3.258

AGUSTINI TRIPENA

Latihan 2Rata-rata berat mahasiswa Fabio adalah 55 kg dan deviasi standarnya 3.4 kg. Jika terdapat 200 mahasiswa Fabio, berapakah banyaknya mahasiswa yang mempunyai berat kurang dari 53 kgdi antara 53 kg dan 57 kg

Bila nilai ujian statistika mempunyai mean 74 dan deviasi standar 7.9, hitunglahNilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan nilai 15% terendah mendapat E. Nilai A, bila probabilitas mahasiswa dengan nilai 10% tertinggi mendapat A .

Latihan 3Suatu proses produksi menghasilkan sejumlah barang yang cacat sebanyak 10%. Bila 100 barang diambil secara random, maka hitung probabilitas :Banyaknya cacat melebihi 13Antara 5 s/d 10 yang cacatTepat 10 yang cacat

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Latihan: 4*Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya bola :MerahTidak biruMerah atau putih*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Latihan*Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok, diketahui : Sarjana teknik pria 1 orang, Sarjana teknik wanita 3 orang, , dan Sarjana ekonomi pria 2 orang, dan Sarjana ekonomi wanita 4 orangDari 10 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran. Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita?Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik?Hitunglah P(AB).Hitunglah P(AB).

*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Latihan:*Ada 3 kotak yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih, seperti yang dituliskan dalam tabel di bawah iniMula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil 1 bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih.Berapa peluang bahwa bola itu merah ?Berapa peluang bahwa bola itu putih ?Bila bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1?Bila bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2?*AGUSTINI TRIPENA

Kotak 1Kotak 2Kotak 3JumlahBola merah57820Bola putih43916Jumlah 9101736

AGUSTINI TRIPENA

Soal 4*Sebuah sistem mekanik memerlukan dua fungsi sub-sistem yang saling berkaitan. Skema penyederhaan sistem tersebut terlihat dalam gambar di bawah. Terlihat bahwa A harus berfungsi dan sekurangnya salah satu dari B harus berfungsi agar sistem mekanik itu bekerja baik. Diasumsikan bahwa komponen-komponen B bekerja dengan tidak bergantung satu sama lain dan juga pada komponen A. Probabilitas komponen berfungsi baik adalah untuk A = 0.9 dan masing-masing B = 0.8. Hitunglah probabilitas sistem mekanik tersebut berfungsi dengan baik.*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

Soal 5*Mesin produksi dari PT Sukses Jaya ada 2. Kapasitas produksi mesin pertama adalah 30% dan mesin kedua adalah 70%. 40% dari produksi mesin pertama menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakan komponen impor. Sedangkan 50% dari mesin kedua menggunakan komponen lokal dan sisanya menggunakan komponen impor. Apabila dipilih secara random sebuah produksi, berapa probabilitas:Produk yang terambil menggunakan komponen lokalBila diketahui produk yang terambil menggunakan komponen lokal, berapa probabilitas produk tersebut dari mesin pertama.*AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

*AGUSTINI TRIPENA*Distribusi Chi-SquarePeubah acak kontinu X berdistribusi chi-square (khi-kuadrat) dengan d.k (derajat kebebasan) r, dinotasikan dengan , bila fungsi kepadatan peluangnya diberikan oleh

Gambar 1. Nilai yang ditabelkan

AGUSTINI TRIPENA

ContohDiketahui variabel random X berdistribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan 8. Dengan menggunakan tabel distribusi chi-kuadrat, hitunglah:P(X < 17,5)P(X > 15,5)P(15,5 < X < 17,5)

JawabPada kolom pertama (kolom derajat kebebasan) pada tabel, pilih angka 8, kemudian tarik ke kanan hingga diperoleh angka 17,5. Selanjutnya tarik ke atas dan diperoleh nilai 0.975. Jadi P(X < 17.5) = 0.975Dengan cara yang sama, dari angka 8, tarik kekanan hingga diperoleh nilai 15,5. Selanjutnya tarik ke atas dan diperoleh nilai 0.05. Jadi nilai dari P(X > 15,5) = 1- P(X

Jawab3. P(15,5 < X < 17,5) = P(X < 15.5) P(X

StudenttFungsi densitas peluang X yang berdistribusi t student

*AGUSTINI TRIPENA*Distribusi-t Misalkan Z ~ N(0,1) dan Bila Z dan V saling bebas, maka variabel acak T dengan

dikatakan berdistribusi t dengan d.k r, dinotasikan dengan Fungsi kepadatan peluang distribusi T adalah

Untuk , Gambar 1. Nilai t yg ditabelkan dan

AGUSTINI TRIPENA

14/12/2010Dra.Agustini Tripena,BR,SB,M.Si*Menghitung peluang dengan Tabel distribusi t: Contoh 2. Misalkan t menyatakan nilai tabel t dengan luas arsiran kurva sebelah kanan adalah (Gambar 1). Tentukan t0,975 dan t0,025 agar luas yang diarsir di bagian ekor kiri dan kanan kurva t dengan d.k 14, masing-masing mempunyai luas = 2,5%.Penyelesaian. Dari tabel t untuk d.k 14 dan = 0,025, diperoleh t0,025 = 2,145. Karena distribusi t simetris maka t0,975 = t0,025 = -2,145.


ContohDistribusi t diketahui derajat bebas = 19 dan t = 0,127, maka luas daerah di sebelah kiri t adalah ..........Dari tabel distribusi t dapat diperoleh sebagai berikut :

vt0,995...........t0,55163,66...........0,158........................................192,86...........0,127

Luas daerah di sebelah kirinya adalah adalah 0,55.

Distribusi FVariabel random X dikatakan berdistribusi F jika fungsi peluangnya dapat didefinisikan sebagai:

dengan v1 = n1 1, v2 = n2 1 bilangan bulat positif dimana v1 disebut sebagai derajat kebebasan pembilang dan v2 disebut sebagai sebagai derajat kebebasan penyebut.

ContohDari tabel distribusi F untuk dk pembilang 10, dk penyebut 13 dan = 0,05 diperoleh nilai ....

**AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA

AGUSTINI TRIPENA**AGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENAAGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENA*AGUSTINI TRIPENA

Documents

kuliah 5,6,7